アルゴリズムとデータ構造

2012年7月26日

酒居敬一(sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp)

http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2012/index.html

ＮＰ完全問題 （３８６ページ）

•  アルゴリズムの開発 – 第5章までは、効率のよいアルゴリズムの紹介 – 問題の大きさの２乗とか３乗くらいの計算量

•  計算量の理論 – 難しいかどうかわからない問題がたくさんある – 問題の難しい程度を分類する

• 難しいことを証明し、無駄な努力を省く • 効率のよいアルゴリズムを開発する

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やさしい問題と難しい問題 （３８７ページ）

•  基準は、しらみつぶしが必要かどうか – しかしながら、細かい基準を設けることも難しい…

•  問題の大きさｎの多項式 – やさしい問題

•  問題の大きさｎの指数関数 – 難しい問題

•  難しさを決定不能 •  難しいかどうか現状では不明（ＮＰ完全問題）

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クラスＰとＮＰ （３８９ページ）

•  決定性アルゴリズム – 解く途中のどの段階でも手順が決まっている

• 普通のアルゴリズム

– それで解ける問題はクラスＰに属する •  非決定性アルゴリズム

– 適切な手を選べば解に至る • 選択が正しいかどうかは神のみぞ知る

–  知る方法が無いから非決定性アルゴリズムということ

• 途中の手を適切に選択して多項式時間で解ければ その問題はクラスＮＰに属する、という 4

ＮＰ困難 （ＮＰ-ｈａｒｄ）

•  クラスＮＰに属するどんな問題よりも 難しいか同程度に難しい問題のこと – 問題が多項式還元可能なら、同程度に難しい – 問題がクラスＮＰに属さないこともある

•  ＮＰ完全問題とは、クラスＮＰの問題のうち ＮＰ困難であるもの –  Ｐ＝ＮＰ問題は、ＮＰ完全問題に効率のよい アルゴリズムがあるかどうか、という問題

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最適化問題の解法

•  指数関数時間でも枝狩りにより実用になる –  ６.１節から６.３節までの例

•  分枝限定法 – バックトラック法によるしらみつぶしを基本とする – 最適解に至る見込みが無い場合は探索を打ち切る

•  動的計画法 – 部分的な解の状態を表の形で表す

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０-１ナップザック問題 （３９６ページ）

•  ｎ個の品物があって、 それぞれ価値と重さが決まっている – 重さは正の実数（計算機上では浮動小数点数）

•  ３９２ページのナップザック問題と違うところ１

•  重さの総和が制約として与えられる •  品物は選択する・しないの２とおり

•  ３９２ページのナップザック問題と違うところ２

•  価値の総和が最大となる組み合わせを探す •  重さあたりの価値で分枝限定法を使う 7

public class KnapsackBB { // 0-1ナップザック問題を分枝限定法で解く private static double maxsofar; private static boolean[] result; private static boolean[] choice; private static void backtrack(int i, double profit, double weight){ if(i >= (items.length-1)){ if(profit > maxsofar){ maxsofar = profit; result = choice.clone(); // 現時点での最良の解 } } else { if(items[i].getWeight() <= weight){ choice[i] = true; // i番目の物を詰める backtrack(i + 1, profit + items[i].getProfit(), weight - items[i].getWeight()); } double z = 0; double u = weight; int j; for(j = i+1; items[j].getWeight() <= u; j++){ u -= items[j].getWeight(); z += items[j].getProfit(); } z += u*items[j].getValue(); if((z + profit) > maxsofar){ choice[i] = false; // i番目の物は詰めない backtrack(i+1, profit, weight); }}}} 8

拡張ナップザック問題

本来の0-1ナップザック問題

private static ItemBB[] items = { new ItemBB("みかん", 10, 100), new ItemBB("りんご", 98, 300), new ItemBB("マンゴー", 398, 300), new ItemBB("すいか", 1000, 6000), new ItemBB("パイナップル", 398, 800), new ItemBB("焼き芋", 100, 200), new ItemBB("いちご", 200, 300), new ItemBB("ドリアン", 980, 2000), new ItemBB("パパイヤ", 298, 400), new ItemBB("メロン", 1000, 800), new ItemBB("びわ", 10, 50), new ItemBB("すもも", 20, 60), new ItemBB("文旦", 100, 300), new ItemBB("バナナ", 20, 100), new ItemBB("とうもろこし", 100, 250), new ItemBB("パッションフルーツ", 300, 90), new ItemBB("ぶどう", 333, 600), new ItemBB("梨", 198, 300), new ItemBB("カニステル", 300, 100), new ItemBB("チェリモヤ", 1000, 200), new ItemBB("番兵", 0, Double.POSITIVE_INFINITY) };

public static void main(String[] args) { double limit; try { limit = Double.parseDouble(args[0]); }catch(Exception e){ limit = 9000; }

Arrays.sort(items); maxsofar = Double.NEGATIVE_INFINITY; choice = new boolean[items.length]; backtrack(0, 0, limit); double p = 0, w = 0; int n = 0; for(int i = 0; i < items.length-1; i++){ if(result[i]){ p += items[i].getProfit(); w += items[i].getWeight(); n++; System.out.println(items[i]); } } System.out.print("重量の上限: " + limit); System.out.print("\t個数: " + n); System.out.print("\t重量の合計: " + w); System.out.println("\t価格の合計: " + p);

}

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[sakai@star bin]$ java complex.KnapsackBB 5000 チェリモヤ, 1000.0, 200.0 パッションフルーツ, 300.0, 90.0 カニステル, 300.0, 100.0 マンゴー, 398.0, 300.0 メロン, 1000.0, 800.0 パパイヤ, 298.0, 400.0 いちご, 200.0, 300.0 ぶどう, 333.0, 600.0 焼き芋, 100.0, 200.0 ドリアン, 980.0, 2000.0 重量の上限: 5000.0 個数: 10 重量の合計: 4990.0 価格の合計: 4909.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackBB 4900 チェリモヤ, 1000.0, 200.0 パッションフルーツ, 300.0, 90.0 カニステル, 300.0, 100.0 マンゴー, 398.0, 300.0 メロン, 1000.0, 800.0 パパイヤ, 298.0, 400.0 いちご, 200.0, 300.0 ぶどう, 333.0, 600.0 ドリアン, 980.0, 2000.0 すもも, 20.0, 60.0 びわ, 10.0, 50.0 重量の上限: 4900.0 個数: 11 重量の合計: 4900.0 価格の合計: 4839.0

変形ナップザック問題

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•  ｎ個の品物があって、 それぞれ価値と重さが決まっている – 重さは正の整数である

•  ３９２ページのナップザック問題と違うところ

•  重さの総和が制約として与えられる •  品物はいくら選択してもよい •  価値の総和が最大となる組み合わせを探す

public class KnapsackDP { // ナップザック問題を動的計画法で解く private static void solve(ItemDP[] items, int weight, int[] result){ double[] gain = new double[weight+1]; int[] choice = new int[weight+1]; Arrays.fill(choice, -1); for(int j = 0; j < items.length; j++){ for(int i = 1; i <= weight; i++){ int k = i - items[j].getWeight(); if(k >= 0){ if((gain[k] + items[j].getProfit()) > gain[i]){ gain[i] = gain[k] + items[j].getProfit(); choice[i] = j; } } } } int k; for(int i = weight; choice[i] >= 0; i -= items[k].getWeight()){ k = choice[i]; result[k]++; } } }

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重さの限界直前に選んだ品物

ｊ-１までの品物を使って

重さの限界値のときの価値

重さの限界ごとに最適値を求める

private static ItemDP[] items = { new ItemDP("とよのか", 297, 298), new ItemDP("さちのか", 280, 298), new ItemDP("レッドパール", 295, 335), new ItemDP("さがほのか", 283, 350), new ItemDP("紅ほっぺ", 291, 398), new ItemDP("あまおう", 270, 350), new ItemDP("あすかルビー", 288, 278), new ItemDP("ももいちご", 300, 398), new ItemDP("にょほう", 265, 298), new ItemDP("とちおとめ", 290, 348) };

public static void main(String[] args) { int limit; try { limit = Integer.parseInt(args[0]); }catch(Exception e){ limit = 9000;

} int[] result = new int[items.length]; solve(items, limit, result); double p = 0; int w = 0, n = 0; for(int i = 0; i < result.length; i++){ if(result[i] > 0){ p += items[i].getProfit()*result[i]; w += items[i].getWeight()*result[i]; n += result[i]; System.out.println(items[i] + ", " + result[i]); } } System.out.print("重量の上限: " + limit); System.out.print("\t個数: " + n); System.out.print("\t重量の合計: " + w); System.out.println("\t価格の合計: " + p); } }

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[sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 1200 とよのか, 297.0, 298, 4 重量の上限: 1200 個数: 4 重量の合計: 1192 価格の合計: 1188.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 1190 とよのか, 297.0, 298, 3 あすかルビー, 288.0, 278, 1 重量の上限: 1190 個数: 4 重量の合計: 1172 価格の合計: 1179.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 1170 とよのか, 297.0, 298, 2 あすかルビー, 288.0, 278, 2 重量の上限: 1170 個数: 4 重量の合計: 1152 価格の合計: 1170.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 1150 とよのか, 297.0, 298, 1 あすかルビー, 288.0, 278, 3 重量の上限: 1150 個数: 4 重量の合計: 1132 価格の合計: 1161.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 1130 あすかルビー, 288.0, 278, 4 重量の上限: 1130 個数: 4 重量の合計: 1112 価格の合計: 1152.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 1110 とよのか, 297.0, 298, 1 ももいちご, 300.0, 398, 2 重量の上限: 1110 個数: 3 重量の合計: 1094 価格の合計: 897.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 1093 とよのか, 297.0, 298, 2 ももいちご, 300.0, 398, 1 重量の上限: 1093 個数: 3 重量の合計: 994 価格の合計: 894.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 990 とよのか, 297.0, 298, 3 重量の上限: 990 個数: 3 重量の合計: 894 価格の合計: 891.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 893 とよのか, 297.0, 298, 2 あすかルビー, 288.0, 278, 1 重量の上限: 893 個数: 3 重量の合計: 874 価格の合計: 882.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 873 とよのか, 297.0, 298, 1 あすかルビー, 288.0, 278, 2 重量の上限: 873 個数: 3 重量の合計: 854 価格の合計: 873.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 853 あすかルビー, 288.0, 278, 3 重量の上限: 853 個数: 3 重量の合計: 834 価格の合計: 864.0 [sakai@star bin]$ java complex.KnapsackDP 833 ももいちご, 300.0, 398, 2 重量の上限: 833 個数: 2 重量の合計: 796 価格の合計: 600.0

近似アルゴリズム •  最適値を求めるのではなく、 最適値に近い近似値を求める問題に変形

•  近似解法の時間計算量 – 解くことをあきらめる必要がない程度

• 少なくとも指数関数時間ではない、など

•  近似解の精度 – 最適値に対して近似値がどれくらい近いか

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Ｅｕｃｌｉｄ的巡回セールスマン問題 （４０２ページ）

•  元の問題 – グラフが与えられており、各辺に重みがついている。

– このグラフの頂点を全て通り、重みの総和が最小の経路を求める。

•  変形した問題 – グラフの各辺の重みは０以上

• 少なくとも重みの総和が減ることはない – 任意の３頂点（Ａ，Ｂ，Ｃ）間で

•  ＡからＣへ行くのに、Ｂを通らないほうが良い 14 ACBCAB ddd ≥+

貪欲解法 1.  任意の頂点をひとつ選ぶ 2.  そこから到達可能な最小の重みの辺を選ぶ 3.  その辺の先の頂点から同様に次の辺を選ぶ

•  すでに通過した頂点へ至る辺を除去する 4.  そのうち最初に選んだ頂点に戻る道ができる

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1.  最小の重みの辺をグラフ全体から選ぶ •  この辺を除外する

2.  次に最小の重みの辺を選ぶ •  このときひとつの輪にならない辺も除外する

3.  そのうちひとつながりの輪ができる

局所的

大域的

挿入法 •  どれか１つの頂点を選ぶ •  輪の中に、輪の外の頂点を加える

– 輪を作る各頂点から最近の頂点を選ぶ（方法１） – 輪を作る各頂点から最遠の頂点を選ぶ（方法２）

• 大局的には、遠い点どおしを先に結ぶほうがよさそう…

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局所探索法 •  まず全頂点をどうにかして輪につなぐ

– 重さの総和の大小は気にしない •  交差している２辺を繋ぎかえる

– 特に３本以上同時につなぎ替えるといいらしい •  つなぎかえができなくなったら終了

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期末試験 •  教室: Ｃ１０１　（いつものＡ１０７は使えません）

•  日時: ２０１２年７月３０日１６時３０分～１８時００分 – 入室限度: １６時５０分まで – 退出可能: １７時００分より

•  持ち込み可 – 教科書・資料(自筆・コピー問わず)は持ち込み可 – 人間・パソコン・携帯電話・PHSなど持ち込み不可

•  学生証必携 – 持っていない場合は教務で発行してもらうこと

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