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フーリエ変換・ラプラス変換
2
まとめ Fourier級数展開（周期２πの関数の場合）
1)( )cossin(
nnnx nxbnxaCf
,
xdnxfb
dxnxfa
dxfC
xn
xn
x
2
0 )(
2
0 )(
2
0 )(
)cos(1
)sin(121
Fourier級数展開（周期 Lの関数の場合）
1)( )cossin(
nnnx L
nbxL
naCf
,
xdxL
nfL
b
dxxL
nfL
a
dxfL
C
L
L xn
L
L xn
L
L x
)cos(1
)sin(121
)(
)(
)(
Fourier変換と逆変換
)(21
)()(
)()(
フーリエ逆変換ω
（フーリエ変換）
ωω
ωω
degf
dxefg
xix
xix
3
Parsevalの等式
ω ω dgdxf x
2
)(
2
)( 21
Convolution定理
フーリエ変換が )(2)(1)( ωωω ggG で、 )(1ωg , )(2ωg の逆フーリエ変換が )(1ωf , )(2ωf である時、
dtffF ttxx )(2)(1)(
Laplace変換と逆変換
（ラプラス逆変換）
（ラプラス変換）
dsFei
f
dxefF
ia
ia ssx
x
sxxs
)()(
0 )()(
21
4
Laplace変換表
ラプラス空間 実空間
s1 1 , )(tu
2
1s
t
1
1ns
nt
as1
atem
)(1
ass )1(1 ate
am
22 ass
cos(at)
22 ass
cosh(at)
22 asa
sin(at)
22 asa
sinh(at)
)0()( xXs s )(tx
)0()0()(2 xxsXs s )(tx
5
Fourier級数展開
周期関数（xの増加に伴って周期的な値を取る関数）は一般にどの様に表せるか考えてみたい。
まずは周期が 2πの関数は一般にどの様に表せるか考えてみよう。つまり、 )2()( xx ff
（x=0の時の値と x=2πの時の値が同じである）という関数 fを探すクイズである。でも 実は答えは簡単に見つかってしまう。答えはいくつかあって、
xf x sin)(
xf x 2sin)(
xf x sin2)(
などがそうである。
6
もっと複雑な形を考えて、一般解を見つけよう。
･･･ xxxf x 3sin22sin3sin)(
なども解になるので、0
)( sinn
nx nxaf とできる。n が負の場合を考えないのは、
)sin()sin( xx という性質があるためである。さらに、cosについても同様の議論を行え
る。ので 0
)( cosn
nx nxaf も解である。これらを統合して
0)( )cossin(
nnnx nxbnxaf
さらに、xに関係のない定数がくっついていても )2()( xx ff の要求を満たすので
0)( )cossin(
nnnx nxbnxacf
n=0の時は xがいかなる値でも 00sin0a 、 00 0cos bb という定数になるのでシグ
マの外に出して c と合併する。（ 0n の時は x の値によって変動するのでΣの外に出せない。）
1
0)(
)cossin(
)cossin(
nnn
nnnx
nxbnxaC
nxbnxacf
これが一般解であり、フーリエ級数展開と呼ばれている。ここから得られる大事な結論は いかなる周期２πの関数も sinと cosと定数の和で表現できるということである。
7
[Q1] 1
)( )cossin(n
nnx nxbnxaCf の C , na , nb を求めよ。
両辺を一周期の区間で積分すると
C
xC
dxnxbnxaCdx
dxnxbnxaCdxdxf
n
nnn
nnnx
2
0
)cossin(
)cossin(
1
20
1
2
0
2
0
2
01
2
0
2
0 )(
2
0 )(21 dxfC x
両辺に sin(mx)をかけて積分すると
n
n
nnnx
a
dxnxnxa
dxmxnxbmxnxadxmxCdxmxf
2
0
2
01
2
0
2
0 )(
)0sinsin(0
)sincossinsin()sin()sin(
2
0 )( )sin(1 dxmxfa xn
同様に、cos(mx)をかけて積分すると 2
0 )( )cos(1 dxmxfb xn
※ sin(nx)cos(mx) の積分は、sinが奇関数、cosが遇関数なのでゼロになる。
sin(nx)sin(mx) , cos(nx)cos(mx)の積分は、積和変換で cosになるためゼロだが、n=mの時だけは cosの２倍角に帰着するため値が残る。いずれも計算してみればわかる。
8
[Q2] 下図の波をフーリエ級数展開せよ。
π）π （
π） （
xx
f x 101
)(
周期２πの関数なので、以下の様に展開できる。
1)( )cossin(
nnnx nxbnxaCf
xdnxfb
dxnxfa
dxfC
xn
xn
x
π
π
π
)cos(1
)sin(121
)(
)(
)(
もちろんこの式に代入して計算しても良いのだが、計算量を減らす工夫をしよう。
Cは )(xf の振動中心を決める定数である。この問題における )(xf は y=0を中心に振動して
いるので C=0 である。また、 )(xf は奇関数であるからフーリエ展開も奇関数の sin だけ
で構成されているはずである。以上より
1)()( )sin(1sin
nxnnx dxnxfanxaf
π 、
9
1)()( )sin(1sin
nxnnx dxnxfanxaf
π 、 を計算してみよう。
が偶数の時） （
が奇数の時） （
π
π
π
π
π
n
nn
n
nxn
nxn
dxnxdxnx
dxnxfdxnxf
dxnxfa
nn
xx
xn
0
4
))1(1())1(1(1
)cos(1)cos(11
)sin()1()sin()1(1
)sin()sin(1
)sin(1
00
0
0
0
0 )()(
)(
以上より1
)( )12sin()12(
4n
x xnn
f
)(xf が連続な関数である時にはフーリエ級数展開で完璧に展開することが出来るが、 )(xf が
不連続な関数であるときは、不連続点付近で近似の精度が落ちる。これは不連続関数を連
続関数の重ね合わせで表現しようとすることに無理があるからである。この現象を Gibbs現象という。これについては江端氏がまとめているのでそちらを参照のこと。
10
Fourier級数展開の拡張
フーリエ級数展開 1
)( )cossin(n
nnx nxbnxaCf は周期が 2πの関数にしか
適用できなかった。これを拡張し、2π以外の周期の関数も扱えるようにしよう。つまり
)()( Lxx ff を満たす関数を見つけるという問題である。
xL
nf x sin)(
この関数は L≦x≦2L , 2L≦x≦3L , ･･･で同じ値を持つことが分かる。よってこれは要求を満たしている。（ )sin(nx の xを xπ/Lにしたと考えても良いだろう。）この fについて先程と同様の議論を進めてゆけば
1)( )cossin(
nnnx x
Lnbx
LnaCf
,
xdxL
nfL
b
dxxL
nfL
a
dxfL
C
L
xn
L
xn
L
x
0 )(
0 )(
0 )(
)cos(1
)sin(121
11
[Q3] 下図の波をフーリエ級数展開せよ。
）（ LxAxLAf x 02
)(
周期２πの関数なので、以下の様に展開できる。
1)( )cossin(
nnnx x
Lnbx
LnaCf
,
xdxL
nfL
b
dxxL
nfL
a
dxfL
C
L
xn
L
xn
L
x
0 )(
0 )(
0 )(
)cos(1
)sin(121
Cは )(xf の振動中心を決める定数である。この問題における )(xf は y=0を中心に振動して
いるので C=0 である。また、 )(xf は奇関数であるからフーリエ展開も奇関数の sin だけ
で構成されているはずである。以上より
10 )()( )sin(1)sin(
n
L
xnnx dxxL
nfL
axL
nbf 、
12
10 )()( )sin(1)sin(
n
L
xnnx dxxL
nfL
axL
naf 、 を計算してみよう。
が偶数の時） （
が奇数の時） （
nn
AL
n
nnnA
nAn
nA
nAn
nA
nnAx
LnnL
LnA
xL
nnAx
Ln
nLx
Lnx
nL
LA
dxxL
nAL
dxxL
nxLA
L
dxxL
nAxLA
L
dxxL
nfL
a
L
LL
L
LL
L
L
xn
2
0
1)cos()cos(2
)cos(02)cos(2
1)cos()cos(0)cos(2
)cos()cos()cos(2
)sin(1)sin(21
)sin(21
)sin(1
0
0
2
00
2
00
0
0 )(
以上より 1
)(2sin
nx x
Ln
nALf
13
Fourier級数展開の拡張 2
フーリエ級数展開 1
)( )cossin(n
nnx Lnbx
LnaCf には sin と cos が含ま
れているので、これらを何とか指数関数で表したい。なぜなら指数関数のほうが取り扱い
（微分など）が簡単だからである。オイラーの公式 xixeix sincos を用いると
1
1
1
1
1)(
)(21)(
21
21
21
22
)cossin(
n
xL
nixL
ni
n
xL
ni
nn
xL
ni
nn
n
xL
nixL
ni
n
xL
nixL
ni
n
n
xL
nixL
ni
n
xL
nixL
ni
n
nnnx
BeAeC
eiabeiabC
eebeeiaC
eebieeaC
Lnbx
LnaCf
ここで xdxL
nfL
bL
L xn )cos(1)( ,
L
L xn dxxL
nfL
a )sin(1)( に注目すると、Aと B
の関係が見えてくる。 na , nb を指数関数に変換してから A, Bの標識に代入してみよう。
14
xdeefLixdeef
L
xdieef
Lxdeef
L
dxxL
nfL
axdxL
nfL
b
L
L
xL
nixL
ni
x
L
L
xL
nixL
ni
x
L
L
xL
nixL
ni
x
L
L
xL
nixL
ni
x
L
L xn
L
L xn
)(2
)(21
21
21
)sin(1)cos(1
)()(
)()(
)()(
n
L
L
xL
ni
x
L
L
xL
nixL
nixL
nixL
ni
x
L
L
xL
nixL
ni
x
L
L
xL
nixL
ni
xnn
C
xdefL
xdeeeefL
xdeefLiixdeef
Liab
)(21
)(41
)(22
1)(121
21
)(
)(
)()(
カッコ内は積分なので、いかに x が変動しても最終的にただの数値になってしまう。そこで定数 Cとして表すことにした。nが添えてあるのは nは一つの数字ではなく 1,2,3,･･･という値を取るので、変数ではないにしろ気にしておきたいからである。同様にして
n
L
L
xL
ni
x
L
L
xL
nixL
nixL
nixL
ni
x
L
L
xL
nixL
ni
x
L
L
xL
nixL
ni
xnn
C
xdefL
xdeeeefL
xdeefLiixdeef
Liab
)(21
)(41
)(22
1)(21
21
21
)(
)(
)()(
Cの添え字を- nにしたのは、 nC でnの代わりに- nを代入すると同じ値になるからである。
15
n
xL
ni
n
n n
xL
ni
n
xL
ni
n
n
xL
ni
n
n n
xL
ni
n
xL
ni
n
n
xL
ni
n
xL
ni
nx
eC
eCeCeC
eCeCC
eCeCCf
1 10
1 1
1)(
ここで、C= 0a + 0b +定数 だったので、Cは 0n
xL
ni
neC と表せないのではと思うかも
しれないが、定数部を 0a , 0b に吸収させたと考えれば、それでよい事が分かる。以上より
n
xL
ni
nx eCf )(
tdefL
CL
L
tL
ni
tn )(21
)(
これがフーリエ級数展開の指数関数（複素数）表示である。
nC の表式で xを tに変えたのは
n
xL
niL
L
xL
ni
xx exdefL
f )(21
)()(
これだと微少長さ dxが変動することになってしまう。そういう 意味ではないので、違う文字でおいて誤解を避けることにした。
16
Fourier級数展開の拡張 3
フーリエ級数展開 n
xL
ni
nx eCf )( , tdefL
CL
L
tL
ni
tn )(21
)( は周期が L で
ある関数について成り立つものであった。では L→∞（周期が∞）の時はどのようになるか考えてみよう。周期が∞の関数と言うのは xを-∞から+∞まで変化させても１周期分しかない、よって周期関数でない関数ということになる。
まずは n
xL
ni
nx eCf )(で nL
nω
πと置いてみる。
いま L→∞を考えているので、L1ω は超微少な値になる。しかし nについてはΣがある
ので、この超微少な値の（２倍を入れた時）+（３倍を入れた時）・・・と-∞倍から∞倍ま
を足し合わせる。これはまさに dω=Lπの積分である。
ω
ω
ωω
ωω
deg
egd
etdefL
etdefL
eCf
xi
n
xi
n
xL
niL
L
tL
ni
t
n
xL
niL
L
tL
ni
t
n
xL
ni
nx
n
n
)(
)(
)(
)(
)(
21
21
)(21
)(21
17
まとめると以下の様になる。
dxefg
degf
xix
xix
ωω
ωω
ω
)()(
)()( 21
この、周期の無い関数にも適応できるフーリエ級数展開をフーリエ変換と呼ぶ。
フーリエ変換は dxf x
2
)( が収束するものにしか行えない。収束しないと gが不定か発散
になってしまうからである。この条件を2L ノルム有界と言う。でも xie ω
があるためどんな
関数も収束するのでは？と思うかもしれないが、これは複素数であるため押さえにならな
い。
18
[Q4] )sin()( ktf t のフーリエ変換を求めよ。 フーリエ変換の式に代入すると
）δ（δπ
）δ（δπ
）δ（δπ
ππ
π
ωπ
ωπ
π
ωω
ω
ω
ω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
ω
ωω
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)22
(
)22
(22
)(21
)2
(
)sin(
F
kk
kk
ba
ibtiat
tkitki
tkitki
tiiktikt
ti
tit
i
i
i
dbedaei
dedei
dedei
deiee
dekt
def
19
[Q5] )(0)()(
ttt VRI
dtdI
L δ＋ の特解を求めよ。
フーリエ逆変換を用いて
)2
()2
()2
( )(0
)()(ω
π
δ ω
π ＋ω
π ωωωωωω deVde
IRde
IdtdL tititi
↓
1
)()(
δδ ωω dte ti
t
↓
)()()(-
0)()( ω ＋ω ωωω
ωω deVdteIRdteILi tititi
)()()( 0)()(tititi eVeIReILi ωω
ωω
ω ω
L
VIω
ω iR0
)(
20
この )(ωI をフーリエ変換の式に代入して
ω ω
ω ω
ω
ω
ω
ωω
dL
eV
deL
V
deI
ti
ti
tit
iR2
iR21
2I
0
0
)()(
あとは複素積分を行えば t
LR
t eL
VI 0
)( という解（特解）が求まる。
21
[Q6] )sin(0)()( kxVRI
dtdI
L tt＋ の特解を求めよ。
フーリエ逆変換を用いて
)2
)(()
2()
2(
)()(
0)()( dteiVdte
IRdte
IdtdL ti
kktiti ω
ωωωωωω
π
δδπ
π
＋π
))(()()( )()(0)()( dtei
VdteIRdteILi tikk
titi ωωω
ωω
ωω δδ
π ＋ω
)( )()(0)()( ωωωω δδπ
＋ω kkiVIRILi
)(iR1
)()(0
)( ωωω δδπ
ω kki
VL
I
)(
- )()(0
)( ωωω δδω
π kkiRL
VI
22
この )(ωI をフーリエ変換の式に代入して
)sin(
)cossin()(
)cossin(2)(2
))sin)(cos()sin)(cos((2
)))(()()((
2
)(2
)(2
)(21
2I
222
0
222222
222222
0
2220
2220
0
0
)()(0
)()(0
)()(
φ
ω δω
δω
ω δδω
π
π
ω
ω
ω
ω
ω
ωωω
ωω
ktLkR
V
ktLkR
kLktLkR
RLkRLkR
V
ktkLktRLkR
V
LkRktiktkLiRktiktkLiRV
kLiRkLiRekLiRekLiRV
iRkLe
iRkLeV
diRL
eiRL
eV
deiRL
V
deI
iktikt
iktikt
k
ti
k
ti
tikk
tit
以上より )sin(222
0)( φ kt
LkR
VI t と解（特解）が求まる。
23
Fourier変換の世界
フーリエ変換には、単に関数を sinや eで展開できるという以上の意味がある。 一見関係ないようだが、まずはここから考えてゆこう。任意の点 P は直行座標でかならず表す事が出来る。
zcybxaP
このとき x、y、zの間には内積がゼロ（例えば 0 yx ）が成り立っているため３軸は
直交しおり、これらが張る三次元空間で全ての関数を表すことができる。
ところで、フーリエ級数展開 ･･･ ＋ xcxbxaf x 3sin2sinsin)( は全
ての関数について行えるので、任意の点 1P , 2P ,･･･は以下の様に表せる。
・
・
・
･･･
･･･
･･･
333333)(3
222222)(2
111111)(1
3sin2sinsin
3sin2sinsin
3sin2sinsin
3
2
1
xcxbxafP
xcxbxafP
xcxbxafP
x
x
x
するとこれは sinx、sin2x、sin3x、・・・を直交軸とする無限次元空間で全ての関数を表す事が出来る・・・ということになるだろう。また本当に直交しているかを確かめる式は
1P のとき 1sin x と 12sin x の内積は・・・、 2P のとき 2sin x と 22sin x ・・・と確かめるため、
dxmxnx ))(sin(sin
を計算すればよいだろう。（n=mの時だけ値があればよい。）
24
まとめると、 任意の点 Pを色々な座標でみることができる。座標にはいくつか種類があり、直交座標（三次元）、極座標（三次元）、円筒座標（三次元）、フーリエ空間（無限次元）などが存在する・・・
ということである。これは P をどの様な物差しで測るかということで、P 自体は何も変わっていない。
),3sin,2sin,(sin),,(),,(),,( ･･･xxxzrrzyx PPPP
25
Parsevalの等式
いま、関数 fの値 dxx
2
)(ｆ を計算をしてみよう。
ω
ω
ω
ωω
ｆ
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
dxdtdegg
dxdtdegg
dxdtegdeg
dxdegdeg
dxffdx
tixt
tixt
itxt
xi
xixi
xxx
)()()(
*
)()()(
*
)()(*
)()(*
)(*
)(
2
)(
21
21
21
21
21
21
21
21
積分の順序は自由であること、またデルタ関数の定義 dyeixyx 2
1)( にも注目すると
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
ωω
ωω
dg
dgg
dtdgg
dtddxegg
tt
tixt
2
)(
)()(*
)()()(*
)()()(
*
21
21
21
21
21
この結果は当然である。なぜなら実空間とフーリエ空間は、ある関数 fをどの座標でみているかという違いなので、実空間での値とフーリエ空間での値が変わってはならない。 これを「パーセバルの等式」と呼ぶ。
26
音波を使ってパーセバルの等式を直感的に説明してみよう。 スピーカーから音が出ており、その音量が 10dbの音量で聞こえた。 フーリエ変換するとスピーカーからの音は 10kHzと 100kHzと 1000kHzで構成されていることが分かった。スピーカーからその３つの波が別々に出ているとして、それらの音量
の和を求めたとしても、それは 10dbでなければならない。
低音← →高音
カーステレオなどに付いているアレ
27
Convolution定理（畳み込み積分）
フーリエ変換が ωωω sin)( eG である時、もとの関数 )( xF は
ωe の逆フーリエ変換と ωsin
の逆フーリエ変換の積になるのでは・・・と思う。もしそうなら計算が随分楽になる。こ
れが本当に成り立つのか一般的にチェックしてみよう。
dtdxeff
dtefdxef
dxefdxef
ggG
txitx
tit
xix
xix
xix
)()(2)(1
)(2)(1
)(2)(1
)(2)(1)(
ω
ωω
ωω
ωωω
ここで、x+t=yと置くと
dtdyeff yitty
ω )(2)(1
dteffeF
dtdyeffdyeF
dtdyeffdxeF
dtdyeffG
yitty
yiy
yitty
yiy
yitty
xix
yitty
ωω
ωω
ωω
ωω
)(2)(1)(
)(2)(1)(
)(2)(1)(
)(2)(1)(
28
ωω
ωω
dtffF
dtffF
edtffeF
dteffeF
ttxx
ttyy
yitty
yiy
yitty
yiy
)(2)(1)(
)(2)(1)(
)(2)(1)(
)(2)(1)(
以上より、 )(2)(1)( ωωω ggG で、 )(ωG , )(1ωg , )(2ωg の個々の逆フーリエ変換が
)(ωF , )(1ωf , )(2ωf である時、 )(2)(1)( xxx ffF は成り立たず
dtffF ttxx )(2)(1)(
となる。これをコンボリューション定理と呼ぶ。
29
Laplace変換
フーリエ変換は
2L ノルム有界な関数についてしか行えなかった。これを何とか改良して、どんな関数でも行えるようにしたい。
いま、2L ノルム有界を満たさない関数 )(xf があるとする。これを無理矢理収束させるには
dxef axx)(
一見解決できたかに見えるが、これでは+∞の時は収束しても、-∞の時が収束しない。
dxef axx0 )(
これで解決する。しかしフーリエ変換の定義は－∞から+∞なので、なんとか積分領域を伸ばしたい。そこで、ステップ関数θ（x<0で 0 、 0<xで 1）をかける。
dxef axxx )()(θ
これで積分領域を保ちつつ収束させることに成功した。ではフーリエ変換してみよう。
dxef
dxef
dxeefg
xiax
xiaxx
xiaxxx
0
)()(
)()()(
)()()(
ω
ω
ωω
θ
θ
30
dxefg xiax0
)()()(
ωω
ここで a+iω=sと置き換えると
dxefF sxxs 0 )()(
これをラプラス変換と呼ぶ。 フーリエ逆変換は
dsFei
f
dseeFi
fe
deFfe
xdeFfe
deFfe
ia
ia ssx
x
ia
ia
sxaxsx
ax
xasx
ax
xix
ax
xix
axx
)()(
)()(
)()()(
)()(
)()()(
21
2121
)0(21
21
ω
ω
ω θ
ω
ωω
ωω
これがラプラス逆変換である。
31
微分方程式の Laplace変換による解法
ラプラス変換の値を覚えておくと、非常に鮮やかに微分方程式を解くことが出来る。 物理問題で現れやすいラプラス変換を書き出しておくと
ラプラス空間 実空間
s1 1 , )(tu
2
1s
t
1
1ns
nt
as1
atem
)(1
ass )1(1 ate
am
22 ass
cos(at)
22 ass
cosh(at)
22 asa
sin(at)
22 asa
sinh(at)
これらはもちろん定義に従って計算すれば求まるのだが、これらを暗記するかもしくは割
り切って公式集を見るのがミソである。これから続く問題を見てみればそれがわかるだろ
う。
32
[Q7] )(tx )(tx のラプラス変換を求めよ。
)0()(
)()0(
0 )()0(
0 )(0)(
0)()(
0
0
xsX
sXx
dtexsx
dtexsex
dtexX
s
s
stt
stt
stt
stts
)0()0()(2
)0()0()(
)0()(
0)()0(
0)(
0)(
0)()(
)(
0
xsxXs
xxsXs
xXs
dtexsx
dtexsex
dtexX
s
s
s
stt
stt
stt
stts
33
[Q8] ） （ 0)0(iERidtdiL を解け。
両辺をラプラス変換して
)(
1
)(
1)(
1)0(
1)(
)(
)(
)(
)()(
)()0()(
LRssL
EI
RLssEI
sEIRLs
sERIsIL
sERIisIL
s
s
s
ss
ss
ラプラス変換表と見比べれば
tLR
tLR
t
eRL
eRL
LEi
1
1)(
34
[Q9] ） （ 5,3423 )0()0(2
2
2
xxexdtdx
dtxd t を解け。
両辺をラプラス変換して
214143)23(
21429353
21423
)(2
)()()(2
)()0()()0()0()(2
ssXss
sXsXsXs
sXxsXxsxXs
s
sss
sss
2
2
2
2
2)(
)2(4
21
17
)1()2(24203
224203
)1)(2(1
)143(2
423
1
sss
ssss
sss
ss
sssX s
ラプラス変換表と見比べれば
tttt teeex 22)( 447
※ もちろんラプラス逆変換を真面目に計算してもよいのだが、そうすると複素積分が出
てくるために計算が大変で、普通に解くのと労力が変わらなくなってしまう。
35
[Q10] ） （ 1,0sin52 )0()0(2
2
xxtexdtdx
dtxd t を解け。
両辺をラプラス変換して
)22(11)52(
1)1(150210
sin52
2)(2
2)()()(2
0
)1()()0()()0()0()(
2
ssXss
sXsXsXs
tdteXxsXxsxXs
s
sss
tssss
4)1(1
32
1)1(1
31
521
32
221
31
)52)(22(32
22
22
22
2
)(
ss
ssss
ssssssX s
ラプラス変換表と見比べれば
tte
tetex
t
ttt
2sinsin31
2sin21
32sin
31
)(
36
[Q11] )1,10(02
0432yxt
yxdtdy
dtdx
yxdtdy
dtdx
で を解け。
初期条件に気を付けつつ 2式の両辺をラプラス変換すると
02))1(()1(
043))1(()1(2
)()()()(
)()()()(
ssss
ssss
YXsYsX
YXsYsX
簡単な連立方程式になったので、Xと Yについてまとめる。
1)1(1
1)1(1
2)(
2)(
ssY
sX
s
s
ラプラス逆変換を用いれば､解が求まる。
)cos(
))sin()(cos(
)(
)(
tey
ttex
tt
tt
37
Fourier / Laplace変換 まとめ フーリエ変換は初期条件を考慮せずに用いることができ、方程式の特別解を得ることが出来る。 ラプラス変換は初期条件無しに用いることはできず、方程式の一般解を得ることが出来る。 両変換の数学的な有用性は、微分方程式を代数方程式に変換することによって計算を簡単にでき
ることにあるが、物理的な有用性はどう説明されるのだろうか？ フーリエ変換は初期条件によらない解を導くが、これは与えられた系の初期条件によらない状態
（定常状態）が得られているということである。一方でラプラス変換は初期値による解、つまり
定常的でない状態が得られる。二つの変換は異なるコンセプトで用いるもので、決して「フーリ
エ変換を便利にしたのがラプラス変換」では無いのである。 物理問題は大別して「定常状態を探る問題」と「初期値問題」の２つに分けられる。よって、与
えられた問題がどちらを聞いているのかを見極める力があれば、自ずとどちらの変換を使うべき
かが見えてくるのである。
38
[参考文献]
・ マグロウヒル大学演習シリーズ「フーリエ解析」
Murry R. Spigel著 中野寛 訳 オーム社
・ マグロウヒル大学演習シリーズ「ラプラス変換」 Murry R. Spigel著 中野寛 訳 オーム社
・ 「使える数学 フーリエ変換・ラプラス変換」
楠田信・平居孝之・福田亮治 著 共立出版株式会社 ・ 物理数学 2のテキストとノート ・ 物理数学演習のテキストとノート ・ 江端修一郎氏のまとめノート
著者 井上 http://bme.web.infoseek.co.jp
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