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ハローパワースペクトルとRSD
Yosuke Kobayashi in collaboration with Takahiro Nishimichi & Masahiro Takada
「宇宙論における高次統計: バイスペクトルの理論と観測」@YITP March 2018
based on the master thesis
OutlineRedshift-space distortion
Modeling of the nonlinear clustering in redshift space
Dark matter halo — Galaxy
Dark Emulator
Emulator of the nonlinear redshift-space power spectrum of halos
Cosmological information extractable from the nonlinear RSD
Redshift-space distortion
zobs = z +vza
s = x+v(x) · zaH(z)
赤方偏移空間 での位置座標
実空間 での位置座標
銀河の特異速度
plain-parallel近似: 視線方向を1つ(eg. z軸)に定める
・密度揺らぎの実空間ー赤方偏移空間の対応
�D(k) + �s(k)
=
Zd3xeik·xe�ikzuz(x)[1 + �(x)]
・赤方偏移空間におけるパワースペクトル
�D(k) + P s(k) =
Zd3reik·r
⌦e�ikµ�uz [1 + �(x)][1 + �(x0)]
↵
© Nishimichi
: 波数とz軸との方向余弦
統計的等方性の破れ
Redshift-space distortion
zobs = z +vza
s = x+v(x) · zaH(z)
赤方偏移空間 での位置座標
実空間 での位置座標
銀河の特異速度
plain-parallel近似: 視線方向を1つ(eg. z軸)に定める
・密度揺らぎの実空間ー赤方偏移空間の対応
�D(k) + �s(k)
=
Zd3xeik·xe�ikzuz(x)[1 + �(x)]
・赤方偏移空間におけるパワースペクトル
�D(k) + P s(k) =
Zd3reik·r
⌦e�ikµ�uz [1 + �(x)][1 + �(x0)]
↵
© Nishimichi
: 波数とz軸との方向余弦
統計的等方性の破れ
Linear Regime: Kaiser’s FormulaRSDの線形理論での定式化(Kaiser, 1987)
�D(k) + P s(k) =
Zd3reik·r
⌦e�ikµ�uz [1 + �(x)][1 + �(x0)]
↵
P s(k, µ) = (1 + fµ2)2P (k)
single streaming, 線形近似
物質が高密度領域に集まる速度成分によって クラスタリングが増幅される効果
銀河のパワースペクトル
P sg (k, µ) = b2(1 + �µ2)2P (k)
Hamilton 1998
P s(k, µ) =1X
l=0
Pl(k)Ll(µ)
P sl (k) = (2l + 1)
Z 1
�1
dµ
2P s(k, µ)Ll(µ)
Constraint from the linear theory
線形理論におけるμ依存性からの の制限f(z)�8(z)
線形理論では と の縮退を解けないf(z) �8(z)
Okumura et al., 2016
Failure of the linear model赤方偏移空間でのクラスタリングは比較的大きなスケールで線形理論から逸脱する
(eg. Carlson et al, 2009, Okumura and Jing, 2011)N体シミュレーションと線形理論との比較
現在のサーベイ 解析の限界スケール
Perturbative Approaches赤方偏移空間クラスタリングの非線形効果
・real space — redshift space mapping の非線形性・物質密度場・速度場の非線形クラスタリング・ハロースケールにおける物質の random motion・galaxy bias
解析的模型: 非線形摂動論による模型構築 (eg. Taruya et al., 2010)
P s(k) =
Zd3reik·r
⌦e�ikµ�uz [�(x) +rzuz(x)] [�(x
0) +rzuz(x0)]↵
各項を摂動展開、 までの Leading term をとる⇠ �4
P s(k) '⇥P��(k) + 2µ2P�✓(k) + µ4P✓✓(k) +A(k) +B(k)
⇤exp(�k2µ2�2
v)
streaming motion(この模型ではフリーパラメータ)
Perturbative Approaches赤方偏移空間クラスタリングの非線形効果
・real space — redshift space mapping の非線形性・物質密度場・速度場の非線形クラスタリング・ハロースケールにおける物質の random motion・galaxy bias
解析的模型: 非線形摂動論による模型構築 (eg. Taruya et al., 2010)
⇠ �4
streaming motion(この模型ではフリーパラメータ)
・ 、バイアスなどのフリーパラメータ�v
・ハロースケールにおける single streamingの破綻
非線形スケール(k > 0.2 h/Mpc)で 精密な解析的模型の構築が困難
N体シミュレーションによるモデル構築
monopole
quadrupole
Dark Matter Halo — Galaxy
Hikage et al. 2012
・銀河形成の理解の不足 →第一原理からの銀河クラスタリングの予言は困難
・重力進化で生成が可能なダークマターハローの クラスタリングの模型を作って銀河と結びつける
・eg. halo reconstruction (Okumura et al. 2017)
Okumura et al. 2017
Dark Emulator (led by Nishimichi-san)
ダークマターハローの統計的性質の宇宙論+赤方偏移+ハロー質量閾値依存性を N体シミュレーションに基づいてモデル化する
多数のパラメータの値に対するシミュレーションデータを機械学習的な回帰手法で パラメータ空間上で補間
摂動論によらずにシミュレーションからモデルを作ることで、multi-streaming effect,
halo biasを自動的に含んだ模型構築ができ、サーベイデータのもつ非線形領域の
宇宙論情報をより多く抽出できる
将来の銀河分光サーベイのデータ解析に向けた理論模型整備
Dark Emulator
pcosmo = {⌦bh2,⌦ch
2,⌦de, ln[1010As], ns, w}
6次元宇宙論パラメータ空間から
Planck 2015を中心に60→57個
約20個ずつが1つの偏りのない サンプルセット (Optimal Sliced Latin Hypercube design, Ba et al, 2015)
0 < z < 1.5 から21個の赤方偏移
N = 20483
L = 2Gpc/hGadget2 (Springel, 2005)
広い宇宙論パラメータ+赤方偏移のパラメータ空間の 領域の中から偏りなくハローのパワースペクトルを測定
Learning: Gaussian process本研究で用いた多次元空間の離散データ点の補間
ガウス過程 … 確率変数の集合、そのうちどの有限個をとってもガウス分布
・入力ベクトルとそれに対する出力値が与えられたデータf(xn)xn
• データの出力 を多変量ガウス分布に従う確率変数と見なすf(xn)
出力値の集まり がガウス過程になっていると思う{f(xn)}
ガウス分布の共分散を指定するcovariance function
k(x,x0 |✓): ハイパーパラメータ でパラメトライズされる入力ベクトルの関数
✓ = {✓0, ✓1, ...}
ガウス過程が学習データを生成する 尤度関数を最大化するようなハイパーパラメータ を求める(=「学習」)
Gaussian Process for Power Spectrum
input 7次元パラメータベクトル {pcosmo, z}
pcosmo = {⌦bh2,⌦ch
2,⌦de, ln[1010As], ns, w}
parameter range
redshift 21
cosmology 38
output P0(k),P2(k)をB-spline fit、7個の係数に対して別々にガウス過程を作る
次元削減
Halo Selection
⌦S
survey region
observer
halo mass function emulator by Nishimichi-san
ハロー選択の基準・分光サーベイでの直接観測量 Δz、Ωs、Nを固定
・Δz、Ωs、Nを変えない ように各宇宙論でハローの 質量閾値を決める
Power Spectrum Emulator
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40k [hMpc�1]
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
Ps 2(k
)/P
s 0(k
)
�8 = 0.835
⌦m = 0.231
⌦m = 0.247
⌦m = 0.264
⌦m = 0.281
⌦m = 0.299
構築されたエミュレータ
ハローの赤方偏移空間におけるパワースペクトルのmonopoleおよびquadrupoleの
宇宙論+赤方偏移依存性を高速に予言する模型
モジュールのインポート
エミュレータクラスの インスタンス
宇宙論パラメータ、z、k
P0, P2 を出力(~1 msec)
Validation of the Emulator
0.1 0.2 0.3 0.4k [hMpc�1]
�0.04
�0.02
0.00
0.02
0.04Ps
0,sim/P s0,emu � 1
BOSS CMASS Gaussian error
1% line
0.1 0.2 0.3 0.4k [hMpc�1]
�0.2
�0.1
0.0
0.1
0.2Ps
2,sim/P s2,emu � 1
BOSS CMASS Gaussian error
5% line非線形領域で~1%
非線形領域で~5%
検証データの宇宙論19個それぞれについて
38宇宙論を学習して作ったエミュレータによる予言
シミュレーションデータ(+ B-spline fit )— 1
nfid = 10�3[h3Mpc�3] V = 2[Gpch]3
Cosmological Information in the Nonlinear RSD
P2(k) (非等方成分のLeading order)
P0(k) (等方成分)
・線形理論ではスケール不変P s2 (k)
P s0 (k)
���!k!0
43� + 4
7�2
1 + 23� + 1
5�2
� = f/b
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40k [hMpc�1]
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
Ps 2(k
)/P
s 0(k
)
�8 = 0.835
⌦m = 0.231
⌦m = 0.247
⌦m = 0.264
⌦m = 0.281
⌦m = 0.299
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40k [hMpc�1]
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
Ps 2(k
)/P
s 0(k
)
⌦m = 0.264
�8 = 0.781
�8 = 0.808
�8 = 0.835
�8 = 0.861
�8 = 0.888
Ωm dependence σ8 dependence
・非線形RSDの宇宙論情報の豊富さを直接的に表現
Kaiser-like
streaming motionstreaming motion
large scale bias
Scale dependence of the Nonlinear RSD
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.1 hMpc�1
9.45
9.90
10.35
10.80
11.25
11.70
12.15
12.60
13.05
13.50
・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s0 (k)
・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.2 hMpc�1
26.4
28.0
29.6
31.2
32.8
34.4
36.0
37.6
Scale dependence of the Nonlinear RSD・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s
0 (k)・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.3 hMpc�1
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
Scale dependence of the Nonlinear RSD・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s
0 (k)・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.4 hMpc�1
54
60
66
72
78
84
90
96
102
Scale dependence of the Nonlinear RSD・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s
0 (k)・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.1 hMpc�1
4.35
4.80
5.25
5.70
6.15
6.60
7.05
7.50
7.95
Scale dependence of the Nonlinear RSD
・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s2 (k)
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.2 hMpc�1
13.65
14.10
14.55
15.00
15.45
15.90
16.35
16.80
17.25
17.70
Scale dependence of the Nonlinear RSD
・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s2 (k)
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.3 hMpc�1
17.5
19.0
20.5
22.0
23.5
25.0
26.5
28.0
29.5
31.0
Scale dependence of the Nonlinear RSD
・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s2 (k)
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.4 hMpc�1
13.5
18.0
22.5
27.0
31.5
36.0
40.5
45.0
Scale dependence of the Nonlinear RSD
・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s2 (k)
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
�8
k = 0.4 hMpc�1
13.5
18.0
22.5
27.0
31.5
36.0
40.5
45.0
Scale dependence of the Nonlinear RSD
・★はPlanck 2015・z = 0.57, nfid = 10 [h/Mpc]-3 3
・エミュレータが予言する のスケール毎の 依存性⌦m � �8k3P s2 (k)
P0, P2で異なる宇宙論依存性
クラスタリングの非等方性が 宇宙論情報を持っている
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
�8
Ps0
kmax = 0.1
kmax = 0.2
kmax = 0.3
Fisher Forecasts
・非線形性の情報で宇宙論パラメータの縮退が緩和
・ , でP0を用いてFisher解析kmin = 0.02hMpc�1 kmax = {0.1, 0.2, 0.3}hMpc�1
・ ~BOSS CMASSV = 2[Gpch]3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
�8
Ps2
kmax = 0.1
kmax = 0.2
kmax = 0.3
Fisher Forecasts
・非線形性の情報で宇宙論パラメータの縮退が緩和
・ , でP0を用いてFisher解析kmin = 0.02hMpc�1 kmax = {0.1, 0.2, 0.3}hMpc�1
・ ~BOSS CMASSV = 2[Gpch]3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8⌦m
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
�8
Ps0 + Ps
2
kmax = 0.1
kmax = 0.2
kmax = 0.3
Fisher Forecasts
・非線形性の情報で宇宙論パラメータの縮退が緩和
・ , でP0+P2を用いてFisher解析kmin = 0.02hMpc�1 kmax = {0.1, 0.2, 0.3}hMpc�1
・ ~BOSS CMASSV = 2[Gpch]3
�1.15
�1.10
�1.05
�1.00
�0.95
�0.90
�0.85
w
P s2
Ps0
Ps0 + Ps
2
0.28 0.30 0.32 0.34⌦m
0.76
0.78
0.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
�8
�1.1 �1.0 �0.9w
Fisher Forecasts: Subaru PFS
・
でP0+P2を用いてFisher解析
・Subaru PFSを想定したFisher forecast
・ の4つのredshift binz = {0.7, 0.9, 1.1, 1.3}
kmax = 0.3hMpc�1kmin = 0.02hMpc�1
非等方性+非線形性で 宇宙論パラメータの 縮退が緩和することを 確認
Conclusion
・シミュレーション+ガウス過程で k = 0.05 - 0.40 h/Mpc において、ハローのmonopole を~1%、quadrupoleを~5%
で高速に予言できるエミュレータが構成された
・非線形monopole+quadrupoleにより、宇宙論パラメータの縮退が
効果的に解けることを確認:非線形性の持つ情報の豊富さ
・Subaru PFS など広視野・高精度銀河分光サーベイ
のもたらすクラスタリング情報の効果的な活用に寄与すると期待
Future Works
・実際の観測データをエミュレータを用いて解析(BOSS DR12など)→ Halo reconstruction (Okumura et al., 2017) などとの併用による宇宙論情報の抽出
・追加シミュレーションによるエミュレータの予言精度の向上→ P4, Bispectrum ??