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情報視覚化講義
コンピュータグラフィックス
モデリング編その1
資料ダウンロード
URL：http://kmj.iis.u-tokyo.ac.jp/infoviz/ID : infovizpassword : infoviz2014
ビジュアル情報処理
コンピュータグラフィクス (CG)仮想空間の情報を入力し，画像を生成する
画像処理
現実空間の風景画像を入力し，画像を処理する
ビジュアル情報処理
CGと画像処理の融合
拡張現実感・複合現実感
ディジタルカメラモデル - 1
実際のカメラと計算処理のモデル
カメラの基礎知識 - 1シャッタースピード
速い 動きが止まる，光量が少ない(暗い)遅い 動きがぶれる，光量が多い(明るい)
カメラの基礎知識 - 2絞り
小口径 光量が少ない(暗い)，被写界深度が広い
大口径 光量が多い(明るい)，被写界深度が狭い
カメラの基礎知識 - 3焦点距離
短い 広角レンズ，広い範囲，奥行き感が大きい
長い 望遠レンズ，狭い範囲，奥行き感が小さい
焦点深度
許容錯乱円 ： 投影面での像のボケが視覚として許容される円の大きさ
焦点深度
レンズ有効径 D許容錯乱円の直径 ε
𝐹𝐹 =𝑓𝑓𝐷𝐷 =
焦点深度の半分
許容錯乱円の直径 𝜀𝜀焦点深度 = ±2𝜀𝜀𝐹𝐹
焦点距離が長いと、焦点深度は深いレンズを絞ると、焦点深度が深い
被写界深度
レンズで投影面に像を写すとき、像がぼやけないための被写体の範囲
レンズ有効径 D
被写界深度
前側被写界深度後側被写界深度
焦点深度
口径が小さいと、被写界深度は深い焦点距離が短いと、被写界深度は深い
ディジタルカメラモデル - 2
モデルの要素
形状モデリング(形状データ)幾何学モデル(カメラデータ)光学モデル(照明データ)離散化(標本化・量子化)後処理(画像効果)
ディジタルカメラモデル - 3 CGと画像処理
画像生成(CG) 形状復元(画像処理・コンピュータビジョン)
モデリング (詳細は第3章で)
形状モデル – 形状データの表現・表現法
点，線分，ポリゴン
3次元 vs 2次元
==
PPP
PPP
θθ
sincos
ryrx
2次元座標系
2次元空間
2つの自由度を持つ
→ 2つの数値で位置が定まる
直交座標系と極座標系
+=′+=′
y
x
tyytxx
2次元座標系での基本変換 - 1
平行移動
各軸方向に一定距離移動
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
=′=′
ysyxsx
y
x
2次元座標系での基本変換 - 2
拡大・縮小
各軸方向に一定倍率
(原点中心)
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
2次元座標系での基本変換 - 3
回転
原点中心の回転
x軸から y軸の方向に
(通常は反時計回り)
+=′−=′
θθθθ
cossinsincos
yxyyxx
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
その他の変換 - 1
• 鏡映・折り返し反転
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
その他の変換 - 2
スキュー
せん断・ズレ
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
txx +=′ I
xxyx ssS ,=′
xx θR=′
=
′′
yx
ss
yx
y
x
00
−=
′′
yx
yx
θθθθ
cossinsincos
+
=
′′
y
x
tt
yx
yx
1001
平行移動
拡大・縮小
回転
ベクトルと行列
アフィン変換とは
以下の形式で書ける変換
平行移動，拡大・縮小，回転などはアフィン変換
アフィン変換の合成変換もアフィン変換
txx +=′ A
( ) ( )212122112 ttxttx ++=++ AAAAA
アフィン変換と合成変換
アフィン変換の利用
部品の組合せ
コピーと合成変換で複雑なモデル
≈
⇔
1yx
wwywx
yx
n+1次元空間と同値関係
自由度
2次元→3次元 +1同値関係 -1
実空間 同次空間
同次座標表現
同次座標表現と変換行列 – 実は射影変換
=
′′
11000000
1yx
ss
yx
y
x
−=
′′
11000cossin0sincos
1yx
yx
θθθθ
=
′′
11001001
1yx
tt
yx
y
x平行移動
拡大・縮小
回転
xxyx ttT ,=′
xxyx ssS ,=′
xx θR=′
xx0000 ,, yxyx TRT −−=′ θ
合成変換の例
原点以外での回転
原点へ平行移動↓
回転↓
元の位置に平行移動
行列の積演算
結合則は成立
交換則は不成立
( )( ) ( )xx 123123 AAAAAA =
2112 AAAA ≠
行列(線形変換)の合成変換
同次座標表現による3次元変換 - 1
=
′′′
11000000000000
1zyx
ss
s
zyx
z
y
x
=
′′′
11000100010001
1zyx
ttt
zyx
z
y
x平行移動
拡大・縮小
xxzyx tttT ,,=′
xxzyx sssS ,,=′
同次座標表現による3次元変換 - 2
−
=
′′′
110000cossin00sincos00001
1zyx
zyx
θθθθ
回転
x軸中心
y軸中心， z軸中心
xx θ,xR=′
,10000cos0sin00100sin0cos
,
−= θθ
θθ
θyR
−=
1000010000cossin00sincos
,θθθθ
θzR
3次元座標系での基本変換 - 1
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
3次元座標系での基本変換 - 2
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
投影 - 1実際のカメラとカメラモデル
投影面を前方に置く↓
部屋から見る窓の景色
透視投影と平行投影
投影 - 2
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
透視投影と平行投影
透視投影： 平行線 → 消失点(消点)で交差
平行投影： 平行線 → 平行線
透視投影 - 1透視投影と画角
広い(範囲)→広角レンズ，狭い(範囲)→望遠レンズ
透視投影 - 2
透視投影の原理三角形の相似
同次座標表現
3行目(z成分)は異なることもある
zyy
zxx =′=′ ,
≈
=
⇔
′′′
11//
10100010000100001
1
zyzx
zzyx
zyx
zyx
透視投影 - 3
透視投影の原理三角形の相似
同次座標表現
1/,
1/ +=
+=′
+=
+=′
dzy
dzydy
dzx
dzxdx
+
=
⇔
′′′
1/0
11/100000000100001
dz
yx
zyx
dwzyx
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
平行投影 - 1特徴
実形・実長 → 設計図面などに利用
yyxx =′=′ ,
平行投影 - 2
平行投影の原理
単に x, y 座標をとる
ビューボリュームとクリッピング
ビューボリューム
実際の描画対象領域(空間)ビューボリューム外はクリッピングされる
ビューイングパイプライン
複数座標系の利用
物体座標系
ワールド座標系
カメラ座標系
投影変換
ウィンドウ・ビューポート変換
ディジタル画像 - 1アナログ画像
2次元(連続)空間の関数
位置 (x,y) → 濃淡値
ディジタル画像
離散化された画像
標本化：定義域の離散化
量子化：値域の離散化
A/D, D/A変換
アナログ・ディジタルの変換
ディジタル画像 - 2
ラスタ化
ピクセル(ラスタ)の値を定め，ディジタル画像にする
ディジタル画像 – 3𝑦𝑦 = ∆𝑦𝑦
∆𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐴𝐴;∆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴, ∆𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝐵𝐵 − 𝑦𝑦𝐴𝐴
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
エイリアシング - 1
シャノンの標本化定理
周期現象の再現には
½周期以下で標本化
偽の周期，ジャギーなど
エイリアシング - 2
アンチエイリアシング
エイリアシングの除去
主に中間階調を利用する
画像の幾何学的変換 - 1アフィン変換
平行移動，拡大・縮小，回転
画像の幾何学的変換 - 2再標本化
ピクセル格子外の位置で
標本化する(画素値を求める)補間
最近隣補間
nearest neighbor双1次補間
bi-linear
最近隣補間
x,y座標を四捨五入した位置の
画素値を用いる
5.0,5.0,
+′=+′=
=
yjxiPP ji
画像の幾何学的変換 - 3
双1次補間
x,y双方向の1次補間
画像の幾何学的変換 - 4
jytixtyjxi yx −′=−′=′=′= ,,,( )( ) ( ) ( ) 1,1,11,, 1111 ++++ +−+−+−−= jiyxjiyxjiyxjiyx PttPttPttPttP
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )1,11,
,1,
1,1,1
1,,
1
11
1
11
+++
+
+++
+
+−+
+−−=
+−+
+−−=
jixjixy
jixjixy
jiyjiyx
jiyjiyx
PtPttPtPtt
PtPttPtPttP
