2018年5月26日

ヴィエト「探究法（第1巻～第5巻）」における比

の扱い

大阪工業大学　 北 秀和

1 フランソワ・ヴィエト　　　　　　

（Francois Viete、1540-1603）　・弁護士、政治顧問官，余暇で三角法，代数方程式の研究　・既知数の記号化→一般方程式の記号化　　→文字は加減乗除されるもの全て→方程式の構造の研究　　⇔方程式論の創始者（マホーニィ， 1982）　・未知項と被与項の識別，文字は演算可能な任意量，　　演算の記号化(+,−, A

B )，べき・積は言葉・省略記号，　　方程式の根と式の関係を解明（カッツ，2005）　・比例関係→代数等式（方程式），同次の項の法則，　　方程式は不確定の大きさと確定したものとの比較　　⇒近代記号代数の父 (佐々木，2010）

1　フランソワ・ヴィエト(2)

　・円に内接・外接する　　正393,216角形の周の長さから　　3.1415926535 < π < 3.1415926537

　・ヴィエトの公式

　　　x1 =√

12 , xn+1 =

√1+xn

2

　　　Π∞n=1xn = 2

π

　　⇒　　　 2

Π50n=1xn

= 3.141592653589803...

　　　π = 3.141592653589793...

　・デカルトの先駆者

2 「探究法（第1巻～第5巻）」での　　

比例の扱い方（結論）　比の値（デノミナティオ）によらずに，　　外項の積＝内項の積により，等式化　・比の値をみとめない立場　　G : D = A : B → D in A = G in B → A = G in B

D

　　　× → A = (GD ) in B　GとDは同質で、割れない。　・比の値の定式化、式の構成での暗黙の承認、の痕跡なし　・文字は既知・未知の有理数として埋め込まれた外延量　　か、その比の項(A:BのA,B)

　・式において、比の値(比例定数・内包量）は登場しない　・デカルトでは、式において比の値が登場

２　比例の扱い方（結論）(2)　

●文字は、基本的に有理数として埋め込まれた連続量●数は、個数、回数　A2とかA in B bis とか、A quadrato in B ter 等で表現・数を直接文字で表すことはしていない。　　数を量と解釈しなおして、　　　文字で表している。●分数は、等分、分割を表す。　

3 探究法5巻　　(Zeteticorum Libri

Quinque)

●探究法5巻は、　ヴィエトが、自身の代数的方法により　ディオファントスの「算術」にある問題を解いて見せた。　　第1～5巻の82探究中、30探究が、　　　ディオファントスの「算術」にある問題と類似　　　　第1巻探究法1　Data differentia duorum laterum,

　　　　　　　& adgregato eorumdem, invenire latera.

　　　　算術1巻問題1　Propositum numerum partiri

　　　　　　　 in duos numeros in differentia data.

4 探究法5巻の構成(1)

●第1巻　2辺の和・差・過不足等と、　　その比から、2辺を求める。・　探究 I～Xと3つの別解・　ディオファントスの算術と類似問題7個　●第2巻　2辺の積・平方和差・立方和差等と、　　2辺の和・差・比等から、2辺を求める。・　探究 I～XXII

・　ディオファントスの算術と類似問題4個

４　探究法5巻の構成(2)　

●第3巻　連続比例3・4項の外項内項の　　和・差・平方和等から、比例項を求める。　　（直角三角形の3辺の決定を含む）　　　＜＜斜・底辺の差、垂辺、斜・底辺の和：3項比例・　探究 I～XVI

・　ディオファントスの算術と類似問題なし●第4巻　2辺の平方・立方の諸条件から　　(代）数的に2辺・直角三角形(の有理解）を求める。・　探究 I～XXと2つの定理、1つの補題・　ディオファントスの算術と類似問題9個

４　探究法5巻の構成(3)　

●第5巻　3辺の平方・立方の諸条件から　　(代）数的に3辺・直角三角形(の有理解）を求める。・　探究 I～XIV

・　ディオファントスの算術と類似問題10個

5 探究法5巻での比（比例）の取扱いの

叙述箇所(1)

●第1巻　2辺の和・差・過不足等と、　　その比から、2辺　10探究、3別解の内の（9探究、3別解）●第2巻　2辺の積・平方和差・立方和差等と、　　2辺の和・差・比等から、2辺　22探究の内の（2探究）●第3巻　連続比例3・4項の外項内項の　　和・差・平方和等から、比例項　16探究の内の（14探究）

5　探究法5巻での比（比例）の取扱いの　叙述箇所（2）

●第4巻　2辺の平方・立方の諸条件から　　数的な2辺・直角三角形を求める。　20探究、2定理、1補題の内の（17探究、1補題）●第5巻　3辺の平方・立方の諸条件から　　数的な3辺・直角三角形を求める。　14探究の内の（6探究）

6 探究法5巻での比（比例）の扱い方(1)

●第1巻探究 II　A:A+B=R:S

→SinA=RinA+RinB

　　 1⃝比例→外項=内項　

　●第1巻探究 II　SinA-RinA=RinB、RinB

S−R=A

→S-R:R=B:A

　　 2⃝外項=内項→比例　

6　探究法5巻での比（比例）の扱い方(2)　●第1巻探究 IV　第1の不足:第二の不足=R:S、第1の不足A

→R:S=A:SinAR →第2の不足 SinAR

　　 3⃝比例第4項の速算　

　●第3巻探究 III　垂辺D、斜辺・底辺の差Bで、和A

→BinA=Dq→ DqB =A

　　 4⃝垂辺は斜辺・底辺の差、和の比例中項　

6　探究法5巻での比（比例）の扱い方(3)

　●第3巻探究VII　B、D、DqB が比例項

→すべてにBを掛けてBq、BinD、Dqも比例項　　 5⃝同量を掛けても比例　

　●第3巻探究VIII　3項が比例項→斜、底、垂は、外項和、外項差、比例中項の2倍に比例　　 6⃝同量を掛けても比例(相似)

　

6　探究法5巻での比（比例）の扱い方(4)　

　●第4巻探究 IV　H1=B,P1=N-DinA

B ,H2=D,P2=A+M,H1:H2=P1:P2

→B:D=N-DinAB :A+M

　　 7⃝比例式に比例割合を代入して証明　

　●第4巻探究X　　BinA+Aq+Bq∝Dqq+Bqq+BqinDq.3+BcinD.2+BinDc.2=(Bq+Dq+BinD)q

　　 8⃝等式に比例割合を代入して証明　

6　探究法5巻での比（比例）の扱い方(5)　

　●第4巻探究XIへの補題　1つ目//Bin(Dq+BinD)、2つ目//Din(Bq+BinD)、3つ目//(B+D)in(BinD)

→どの体積も BinDq+DinBq

　　 9⃝比によらずに面積体積計算　

　●第4巻探究XVIII　　(6N)c−(3N)c=(4N)c+(5N)c

　　 10⃝文字N,Q,Cによる比例割合の式表現　

7 探究法5巻での比(比例)の扱い方のま

とめ　　 1⃝ 比例→外項積＝内項積　16探究－28箇所、　　 2⃝ 外項積＝内項積→比例　13－29、　　 3⃝ 比例第4項の速算　13－29、　　 4⃝ 垂辺は斜辺底辺の和・差の比例中項　4-4、　　 5⃝ 同量・同数を掛けても比例　10-10、　　 6⃝ 同量・同数を掛けても比例(相似)　14－29、　　 7⃝ 比例式に比例割合を代入して証明　4－6、　　 8⃝ 等式に比例割合を代入して証明　3－3、　　 9⃝ 比によらずに面積体積計算　6－7、　　10⃝ 文字N,Q,Cによる比例割合の式表現　3－3、

8 立方を超える積の根拠　　連続比例（3項比例）による　(パップス以来の伝統)

　　　A,B,B2/A,B3/A2,B4/A3,...は線分として作図可能　　A4,A3*B,A2*B2,A*B3,B4は、　　　A,B,B2/A,B3/A2,B4/A3の図で代替　　　→同次の項であれば、比例関係により線分で表現可能　　　→立方を超える積で表現される辺の直角三角形も可能　　→　　　幾何学の証明を代数的に行う意図（佐々木力）　　　　　有理数として埋め込まれた連続量に限定だが…

9 探究法5巻での直角三角形の登場●第3巻探求3　直角三角形の垂辺と、底辺と斜辺との差とが、与えられているとき、底辺と斜辺を見つけること　

　各辺を有理数(自然数)の比において見つける　→ある線分を単位として有理数を埋め込んだ連続量は、　　代数演算可能　⇔任意の連続量が代数演算可ではない　●第3巻探求8　直角三角形を数によって見出すこと(3辺の比が有理数)

　

10 連続比例から直角三角形の構成　

　　BD=AC、AF=CE →AB:AC=AC:AF（連続比例）　JK=IF=(AF−AB)/2　（底辺）、KL=AC　（垂辺）、　JL=HF=(AF+AB)/2　（斜辺）

11 ユークリッドでの文字、ヴィエトで

の文字・ユークリッドは、　点を文字で表した。　線分の長さを文字で表した。　数でも、文字でも、計算の式表現はない。・ヴィエトは、　有理数を埋め込んだ量をも文字で表した。　量の演算を(文字)式表現　定数も文字⇔同次の項の法則　幾何の作図、証明を文字式で処理した。　同種の量の割り算(比の値)は認めない。比例式として処理　比の値を、文字で表すこともない。

12 デカルト「幾何学」での文字

　・　 IK:KL=z : n,　 IK=x

　　　→ KL=nz x

　・　デカルトは同質のものの商を認め，　　　比の値(デノミナティオ)・比例定数として　　　xから独立させて，n

z と表記している。

12 デカルト「幾何学」での文字(2)

　・　 cflgz−dekz2

ez3−cgz2 = 2m　dez2+cfgz−bcgzez3−cgz2 = 2n

z

　・　比の値(デノミナティオ)・比例定数を文字で表す

12 デカルト「幾何学」での文字(3)　　・　任意の量を、線分で代表させる　・　任意の、ある線分を単位として、　　　　線分の乗除を定義　　　　⇒連続量のデノミナティオを、数の拡張として定義　　　　⇒原論の比例論と中世の比例論との統一　　　　　　　　⇒単位の積を想定し、同次の項の法則を突破　　　　⇒連続量・比の値の四則・冪根の定義、座標の設定　　　　⇒今日の文字式世界の構築、　　　　　　代数曲線論(分類、接線等)、解析学の源流開拓

13 まとめヴィエタは、「探究法5巻」でも　・文字式における「同次の項の法則」（各項の次数の一致）　　を堅持，割られる方が高次　　　同質のものの和差積を認め商は認めない。　　　比としては認める。　・比例は外項の積と内項の積が等しいという等式に　　書き換えて立式　　　「探究法」でも，比の値による計算はない。　・比の値(デノミナティオ)は　　　「探究法」でも位置付けていなかった　・同次の項の法則を徹底→既知量も文字に

13　まとめ(2)

　・ヴィエタの文字が表すものは外延量であって、　　内包量(比の値)ではあり得ない。　・デカルトの幾何学では、　　比の値・比例定数・内包量を分数表記し，　　文字は比の値・比例定数も表現。　　ヴィエタの著作で　　内包量を文字にして式表現しているものがないか　　対象を広げて文献に当たる予定である。

14 参考文献(1) Descartes, R. Geometrie(1637). The Geometry of Rene

Descartes(1925). trans. Smith, D. E. and Latham, M. L.

The Open Court Publishing Company.

(2) Diophantus. Arithmetica. Diophanti Alexandrini Opera

omnia: cum graecis commentariis(1893) trans. Paul

Tannery, others.

(3) Euclid. Elements. Euclidis opera omnia (1883). by

Heiberg, others.

(4) Katz, V. J. 「ルネッサンスの代数学」.『カッツ数学の歴史』(2005). 訳中根美知代他. 共立出版(5) Mahoney, M. S. 「一七世紀における代数的思想の始原」.『歴史における数学』(1982). 訳佐々木力. 勁草書房

(6) 佐々木力.「17世紀の科学革命と近代数学の始原」.『数学史』(2010). 岩波書店(7) Vieta, F. Zeteticorum Libri Quinque(1591/1593).

Francisci Vietae Opera Mathematica(1646). in unum

volumen congesta, ac recognita, opera atque studio

Francisci a Schooten. Lugduni Batavorum, Ex Officina

Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum. Publishing

Company.

(8) Witmer, T. R. The analytic art : nine studies in

algebra, geometry, and trigonometry from the Opus

restitutae mathematicae analyseos, seu, Algebr nov(1983).

Kent State University Press.