Upload
tranbao
View
248
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Fourierova transformacija in
filtriranje v frekvenčni domeni
Interaktivni mediji 2 izr. prof. dr. Aleš Hladnik
Postopki slikovnega procesiranja
Točkovne operacije
Vrednost piksla na obdelani sliki je odvisna zgolj od
vrednosti piksla na isti lokaciji izvorne
slike
Lokalne operacije (prostorsko filtriranje)
Pri pretvorbah se upoštevajo vrednosti
sosednjih pikslov
Slikovne transformacije
Celotna slika se pretvori v drugo
obliko
odstranjevanje šuma, glajenje, ostrenje, stiskanje podatkov
Postopki obdelave slik
Slikovne transformacije
Diskretna kosinusna transformacija (DCT) izgubno stiskanje zvočnih (MP3), slikovnih (JPEG) ali video (MPEG) podatkov
Valjčna transformacija (Wavelet transform) uporabljena v standardu/formatu JPEG 2000
Fourierova transformacija
Fourierova transformacija (FT)
Slika v prostorski domeni Slika v frekvenčni domeni
(močnostni spekter)
FT
Inverzna FT
Nekateri postopki slikovnega procesiranja (npr. konvolucija) se izvedejo hitreje v frekvenčni domeni
Včasih procesiranje v prostorski domeni sploh ni možno oz. izvedljivo
Hitra FT (FFT) je učinkovit računalniški algoritem za izvedbo diskretne FT
Anatomija sinusoide
Fourierov teorem
Fourierov teorem: vsako zvezno periodično funkcijo (signal) g(x) lahko zapišemo kot uteženo vsoto primerno izbranih sinusoidnih valov – kot vsoto sinusnih in kosinusnih členov z ustrezno frekvenco, amplitudo in fazo (= Fourierova vrsta):
dxBxAxg
0
)sin()cos()( dxBxAxg
0
)sin()cos()(
Za neperiodično funkcijo velja t.i. Fourierov integral:
Aω, Bω … Fourierova koeficienta
Sinteza periodične funkcije s Fourierovo vrsto
dxBxAxg
0
)sin()cos()( dxBxAxg
0
)sin()cos()(
Matematika FT
Fourierova transformacija (FT): g(x) G(ω)
dxBxAxg
0
)sin()cos()( dxBxAxg
0
)sin()cos()(
Inverzna Fourierova transformacija (IFT): G(ω) g(x)
Matematika FT
Digitalna slika je diskretna funkcija dveh spremenljivk g(u,v)
dxBxAxg
0
)sin()cos()( dxBxAxg
0
)sin()cos()(
IFT: G(m,n) g(u,v)
FT: g(u,v) G(m,n)
2D diskretna Fourierova transformacija
Močnostni spekter
Ko digitalno sliko pretvorimo z diskretno FT, se njena prostorska informacija izrazi v obliki podatkov o frekvenci in fazi. Frekvenčno komponento lahko prikažemo kot t.i. močnostni spekter (power spectrum)
Močnostni spekter predstavlja 2D vizualizacijo kvadriranih amplitudnih vrednosti frekvenčnega spektra
DC premikFT
FT in usmerjenost vzorca
FT
FT in frekvenca vzorca
FT
Visoko- in nizkofrekvenčna področja slike
Za visokofrekvenčna področja na originalni sliki (v prostorski domeni) – npr. periodične strukture, ostri robovi, izrazit šum – je značilno močno lokalno spreminjanje intenzitete pikslov oz. signala, ustrezen položaj vrhov na FT sliki je na obrobju le-te
Nizkofrekvenčnim področjem – npr. predmeti – s šibko izraženo lokalno variabilnostjo intenzitete ustrezajo vrhovi blizu središča FT slike
Filtriranje v frekvenčni domeni
Konvolucijski teorem: konvolucija v prostorski domeni je ekvivalentna množenju v frekvenčni domeni
Filtriranje je v frekvenčni domeni dosti bolj enostavno kot v prostorski, saj imamo namesto zamudnega iterativnega postopka pomikanja filtrirne matrike po originalni sliki tu opravka le z množenjem obeh matrik v frekvenčni domeni –slike in njene filtrirne matrike
Prostorska domena Frekvenčna domena
Filtriranje v frekvenčni domeni (2)
Filtriranje z nizkoprepustnim filtrom
Uporaba nizkoprepustnega (NP) filtra odstrani visoke frekvence (daleč od središča FT slike!), zato sliko zgladi oz. zmehča
FT
Bela področja filtra 100% prepustijo ustrezne frekvence s FT slike, črna področja jih 100% zadržijo
Filtriranje z nizkoprepustnim filtrom (2)
Idealni NP filter
Filtriranje z nizkoprepustnim filtrom (3)
Filtriranje z visokoprepustnim filtrom
Če z visokoprepustnim (VP) filtrom odstranimo nizke frekvence (sredina FT slike!), sliko izostrimo
Idealni VP filter
Odstranjevanje periodičnega šuma
McAndrews, 125
ImageJ: odstranjevanje visokih frekvenc
Lincoln.tif
FT
LUT "Fire"
Močnostni spekter
Točke, ki ustrezajo visokim frekvencam
Blokiranje visokih frekvenc (delno!)
IFT
http://imagej.nih.gov/ij/docs/menus/process.html#fft
primerjaj!
Eksperimentiraj tudi s tole sliko:
ImageJ: prepuščanje nizkih frekvenc
Slika Blobs_gnoise
Pretvori sliko v frekvenčno domeno (Process-FFT-FFT)
Z ustreznim orodjem (elipsa) z belo "pobarvaj" nizke frekvence na sredini FT slike
Pretvori modificirano FT sliko nazaj v prostorsko domeno (Process-FFT-Inverse FFT)
Ponovi postopek z elipso večjih dimenzij in primerjaj obe filtrirani sliki
FT
IFT IFT
ImageJ: odstranjevanje Gaussovega šuma
Slika Blobs_gnoise
Process-Filters-Show Circular Masks
Izberi eno od 99 filtrirnih matrik (npr. r = 3) NP filter!
Jo povečaj na dimenzije slike, ki jo želiš filtrirati (Image-Scale)
Izvedi konvolucijo (filtriranje) v frekvenčnem prostoru (Process-FFT-FD math)
Bela področja na filtrirni matriki 100% prepuščajo ustrezne frekvence, črna jih 100% blokirajo!
Papir: ločitev markiranja od oblačnosti
…
…
…
FFT
• Filtriranje
• Inverzna FFT
Oblačnost + markiranje
Markiranje
Oblačnost
VP filter
NP filter
The result is an image of complex numbers that can be divided in a real part, the power spectrum and an imaginary part, the phase information. From the result the original image can be reconstructed without any loss by applying the inverse Fourier transform. Usually only the power spectrum is shown, since it contains most of the interesting information. However to reconstruct the original image, both, the power spectrum and the phase image are needed. (Baecker, 51)
Slika v frekvenčni domeni – močnostni spekter