Fi Sica Aaaaaaaaaa

9FÍSICA 2 00

j Introducció al càlcul vectorial

j Activitats fi nals

h Qüestions

1. La suma dels vectors unitaris →i,

→j és un altre vector unitari?

Justifi queu la resposta fent un gràfi c.

Els vectors unitaris →i i

→j són:

→i 5 (1, 0)

→j 5 (0, 1)

El vector suma és: →i 1

→j 5 (1, 0) 1 (0, 1) 5 (1, 1)

El mòdul del vector suma és √ 12 1 12 5 1,41. Per tant, la suma no és un vector unitari, ja que el seu mòdul no és la unitat.

2. Poseu dos exemples físics en què s’apliqui el producte esca-lar de dos vectors.

En el càlcul del treball, W 5 →F ?D

→r, i en el càlcul de la potència

a partir de la força i la velocitat, P 5 →F ?

→v.

3. Dibuixeu dos vectors tals que el producte escalar sigui:

a) Positiu.

0° , a , 90°

b) Negatiu.

90° , a , 180°

c) Nul.

90° , a , 180°

4. El producte escalar de dos vectors de mòduls 10 i 15 pot ser nul?

Si aquests dos vectors són perpendiculars, el seu producte esca-lar és nul, ja que a 5 90°, i cos 90° 5 0.

5. Quan un cos es desplaça perpendicularment respecte de la força neta que actua sobre aquest, la força no efectua tre-ball. Per què?

Perquè l’angle que formen és de 90° i cos 90° 5 0: →

F •D→r 5 F Dx cos 90° 5 0

h Problemes

1. Expresseu els vectors següents en forma polar:→a 5 (4, 3);

→b 5 (3, 22);

→c 5 (2, 24)

→a 5 (4, 3) → a 5 √ 42 1 32 5 √ 25 5 5

3tg a 5 — 5 0,75 → a 5 36,87° 4

→b 5 (3, 22) → b 5 √ 32 1(22)2 5 √ 13 5 3,61

2tg a 5 — 5 0,67 → a 5 33,69° 3

És al 4t quadrant ⇒ a 5 360° 2 33,69° 5 326,31°

→c 5 (2, 24) → c 5 √ 22 1 (24)2 5 √ 20 5 4,47

4tg a 5 — 5 2 → a 5 63,43° 2

És al 4t quadrant ⇒ 360° 2 63,43° 5 296,57°

2. Un cos està lligat a una corda i un noi tira de la corda amb una força de 150 N. Si la corda forma un angle de 30° amb el terra, quin és el valor de la força que tendeix a fer pujar el cos verticalment?

Fy 5 F sin 30° 5 150 ? sin 30° 5 75 N

3. La resultant de dues forces perpendiculars és 8 N. Si una d’elles és de 5 N, quant val l’altra força?→F 5

→F1 1

→F2 F 5 √ F 1

2 1 F 22

F2 5 √ F 2 2 F 12 5 √ 82 2 52 5 √ 64 2 25 5 √ 39 5 6,24 N

10 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE00

s 5 √ 7,332 1 14,72 5 16,43

14,7tg a 5 ——— 5 2,01 → a 5 63,5° 7,33

7. Donats els vectors en components polars →a 5 330° i

→b 5 460°,

representeu-los gràfi cament i trobeu:

La representació gràfi ca dels dos vectors és:

a) Els vectors en components cartesians. →

a 5 (3 cos 30°, 3 sin 30°) 5 2,60 →i 1 1,50

→j

→b 5 (4 cos 60°, 4 sin 60°) 5 2

→i 1 3,46

→j

b) El vector suma dels dos vectors, gràfi cament i en compo-nents cartesians i polars.

4. Donats dos vectors de mòduls 3 i 6 aplicats en un mateix punt, calculeu el mòdul del vector resultant quan formen un angle de:

Apliquem el teorema del cosinus: s2 5 a2 1 b2 1 2 ab cos a

a) 45°

s2 5 32 1 62 1 2 ? 3 ? 6 ? cos 45° → s 5 8,39

b) 30°

s2 5 32 1 62 1 2 ? 3 ? 6 ? cos 30° → s 5 8,73

c) 90°

s2 5 32 1 62 1 2 ? 3 ? 6 ? cos 90° → s 5 6,71

5. Un jugador de golf ha efectuat tres cops per posar la pilota al forat. En el primer cop mou la pilota 35 m cap al nord; en el segon 8 m cap al sud-est, i en el tercer 1 m cap al sud. Quin desplaçament hauria necessitat per fi car la pilota al forat en el primer cop?

component x: 8 ? cos 45° 5 5,65

component y: 35 2 1 2 8 ? sin 45° 5 28,34

s 5 √ 5,652 1 28,342 5 28,90

28,34tg a 5 ——— 5 5,01 → a 5 78,71° 5,65

6. Donats els vectors en components polars →a 5 530°,

→b 5 660°, →

c 5 790°, representeu-los gràfi cament i trobeu:

a) Els vectors en components cartesians. →

a 5 5 ? cos 30° ? →i 1 5 ? sin 30° ?

→j 5 4,33

→i 1 2,5

→j

→b 5 6 ? cos 60° ?

→i 1 6 ? sin 60° ?

→j 5 3

→i 1 5,2

→j

→c 5 7 ? cos 90° ?

→i 1 7 ? sin 90° ?

→j 5 7

→j

b) El vector suma dels tres vectors, gràfi cament i també expressat en components cartesians i polars.

→s 5

→a 1

→b 1

→c

→a 5 4,33

→i 1 2,5

→j

→b 5 3,33

→i 1 5,2

→j

1 →c 5 4,33

→i 1 7,3

→j

→s 5 7,33

→i 1 14,7

→j

11FÍSICA 2 00

10. Donats els vectors →a 5 (2, 4) i

→b 5 (8, 22), calculeu:

a) La suma i la diferència, gràfi cament i numèricament.

→s 5

→a 1

→b 5 (2, 4) 1 (8, 22) 5 (10, 2)

→d 5

→a 2

→b 5 (2, 4) 2 (8, 22) 5 (26, 6)

b) Determineu els mòduls de tots dos vectors i dels vectors suma i diferència.

a 5 d 22 1 42 5 d 18 5 4,47

b 5 d 82 1 (22)2 5 d 68 5 8,25

s 5 d 102 1 22 5 d 104 5 10,20

d 5 d (26)2 1 62 5 d 72 5 8,49

11. Sabent que F1 5 100 N i F2 5 50 N, calculeu a perquè el cos de la fi gura es mogui en la direcció de l’eix X.

F2F1 sin a 5 F2 sin (245°) → sin a 5 — sin (245°) F1

50sin a 5 —— sin (245°) 5 0,35 → a 5 20,70° 100

12. Calculeu el producte escalar dels vectors →a 5 2

→i 1 4

→j 2

→k,

→b 5 3

→i 2

→j 1 2

→k i raoneu, com són aquests dos vectors.

→a •

→b 5 ax bx 1 ay by 1 az bz

→a •

→b 5 2 ? 3 1 4 ? (21) 1 (21) ? 2 5 6 2 4 2 2 5 0

Els dos vectors són perpendiculars, ja que el seu producte esca-lar és zero.

13. Deduïu el valor de p perquè els vectors →

a 5 (5, 1, 22) i →b 5 (2, p, 3)

siguin perpendiculars.

En components cartesians: →

a 1 →b 5 (2,60 1 2)

→i 1 (1,50 1 3,46)

→j 5 4,60

→i 1 4,96

→j

En components polars:

→a 1

→b 5 d 4,602 1 4,962 5 6,76

4,96a 5 arctg ——— 5 47,2° 4,6

→a 1

→b 5 6,7647,2º

8. Sobre un cos actuen dues forces de 5 i 10 N que formen entre si un angle de 90°. Calculeu:

a) La força que s’ha de fer perquè el cos no es mogui.

F 5 √ 102 1 52 5 11,18 N

b) L’angle que forma amb l’horitzontal la força calculada a l’apartat a) suposant que la força horitzontal és la de 10 N.

5tg a 5 —— 5 0,5 → a 5 26,56° 10

Està al 3r quadrant ⇒ a 5 180° 1 26,56° 5 206,56°

9. Un cos de 5 kg està penjat de dos cables iguals que formen un angle de 90°. Calculeu la força que ha de fer cada cable per poder sostenir el cos.

F cos 45° 1 F cos 45° 2 p 5 0

2 F cos 45° 2 p 5 0

p 5 ? 9,8F 5 ————— 5 ————— 2 cos 45° 2 cos 45°

F 5 34,65 N


17. Trobeu l’angle més petit que formen els vectors següents: →a 5

→i 1 4

→j 2

→k i

→b 5 3

→i 1 2

→j 1 4

→k.

→a 5

→i 1 4

→j 2

→k

→b 5 3

→i 1 2

→j 1 4

→k 6

→a •

→b 5 ab cos a

→a •

→b 5 ax bx 1 ay by 1 az bz

6 →

a • →b 5 1 ? 3 1 4 ? 2 1 (21) ? 4 5 7

a 5 √ 12 1 42 1 (21)2 5 4,24

a 5 √ 32 1 22 1 42 5 5,38

→a ?

→b 7

cos a 5 ——— 5 ————— 5 0,31 ⇒ a 5 72,13° a ? b 4,24 ? 5,38

18. Donats els vectors →a 5 4

→i 2 3

→j i

→b 5 3

→i 1 2

→j 2

→k, calculeu:

a) El vector →c 5

→a 1

→b.

→a 5 4

→i 2 3

→j

1 →b 5 3

→i 1 2

→j 2

→k

→c 5 7

→i 2

→j 2

→k

b) Els vectors unitaris de →a,

→b i

→c.

a 5 d 42 1 (23)2 5 5

b 5 d 32 1 22 1 (21)2 5 3,74

c 5 d 72 1 (21)2 1 (21)2 5 7,14

4 3→ua 5 —

→i 2 —

→j 5 0,8

→i 2 0,6

→j

5 5

3 2 1→ub 5 ——

→i 1 ——

→j 2 ——

→k 5

3,74 3,74 3,74

5 0,8 →i 1 0,53

→j 2 0,27

→k

7 1 1→uc 5 ——

→i 2 ——

→j 2 ——

→k 5

7,14 7,14 7,14

5 0,98 →i 2 0,14

→j 2 0,14

→k

c) El cosinus de l’angle que formen els vectors →a i

→b.

→a •

→b 5 4 ? 3 1 (23) ? 2 1 0 ? (21) 5 6

→a •

→b 6

cos a 5 ——— 5 ———— 5 0,32 a b 5 ? 3,74

19. Calculeu el cosinus de l’angle que formen els vectors: →

a 5 4 →i 2 3

→j i

→b 5 3

→i 1 2

→j.

Calculem primer els mòduls dels vectors:

a 5 √ ax2 1 ay

2 5 √ 42 1 (23)2 5 5

b 5 √ bx2 1 by

2 5 √ 32 1 22 5 3,6

→a 5 (5, 1, 22) 6 →b 5 (2, p, 3)

→a •

→b 5 5 ? 2 1 p 1 (22) ? 3 5

5 10 1 p 2 6 5 0 → p 5 210 1 6 5 24

14. Donats els vectors: →

a 5 3 →i 1 4

→j 2

→k i

→b 5

→i 1 5

→j 2 2

→k

calculeu (2 →a 2

→b) • (3

→a 1 4

→b).

→a 5 3

→i 1 4

→j 2

→k

→b 5

→i 1 5

→j 2 2

→k 6

(2→a 2

→b) • (3

→a 1 4

→b)

2→a 2

→b 5 2 ? (3

→i 1 4

→j 2

→k) 2 (

→i 1 5

→j 2 2

→k) 5

5 6→i 1 8

→j 2 2

→k 2

→i 2 5

→j 1 2

→k 5 5

→i 1 3

→j

3→a 1 4

→b 5 3 ? (3

→i 1 4

→j 2

→k) 1 4 ? (

→i 1 5

→j 2 2

→k) 5

5 9→i 1 12

→j 2 3

→k 1 4

→i 1 20

→j 2 8

→k 5

5 13→i 1 32

→j 2 11

→k

(2→a 2

→b) • (3

→a 1 4

→b) 5 (5

→i 1 3

→j ) ? (13

→i 1 32

→j 2 11

→k) 5

5 5 ? 13 1 3 ? 32 1 0 ? (211) 5 161

15. Calculeu els components cartesians d’un vector →u que si-

gui unitari i que tingui la mateixa direcció que el vector →a 5 23

→i 1 4

→j però sentit contrari.

a 5 √ (23)2 1 42 5 √ 25 5 5

23 →i 1 4

→j→

ua 5 ————— 5 20,6 →i 1 0,8

→j

5

2→ua 5 0,6

→i 2 0,8

→j

16. Donat el vector →a 5 4

→i 2 2

→j 2

→k, calculeu:

a) Un vector →b que sigui perpendicular a

→a i que tingui un

component x 5 6 i z 5 0. →

a • →b 5 0

(4 →i 2 2

→j 2

→k) • (6

→i 1 y

→j) 5 0 →

4 ? 6 2 2y 5 0 → y 5 12 →

b 5 6 →i 1 12

→j

b) El vector unitari →ub.

b 5 √ 62 1 122 5 13,42

6 12→ub 5 ———

→i 1 ———

→j 5 0,45

→i 1 0,89

→j

13,42 13,42

13FÍSICA 2 00

Per a t � 1 s’obté: →f (1) � 3·12

→i � (3·1 � 2)

→j � 3

→i �

→j

Per a t � 2 s’obté: →f (2) � 3·22

→i � (3·2 � 2)

→j � 12

→i �

→4 j

Per a t � �1 s’obté: →

f (�1) � 3·(�1)2 →i � (3·(�1) � 2)

→j � 3

→i � 5

→j

23. Tenim la funció vectorial →

a(t) 5 (t2 2 3)→i 1 (2t2 1 t)

→j

determineu el vector unitari que té la direcció i el sentit de la derivada per a t 5 1.→a (t) 5 (t2 2 3)

→i 1 (2 t 2 1 t)

→j

→a9(t) 5 2 t

→i 1 (4 t 1 1)

→j

→a9(1) 5 2

→i 1 5

→j

a9(1) 5 d 22 1 52 5 d 29 5 5,38

2 5→ua9(1) 5 ——

→i 1 ——

→j 5 0,37

→i 1 0,93

→j

5,38 5,38

24. Donada la funció vectorial →a(t) 5 t2

→i 1 (3 2 t)

→j, calculeu

per a t 5 3:

a) →a i el seu mòdul.→a(3) 5 32

→i 1 (3 2 3)

→j 5 9

→i

a (3) 5 9

b) El mòdul de la derivada respecte de t.→a9(t) 5 2 t

→i 2

→j

a9(t) 5 d (2 t)2 1 (21)2 5 d 4 t2 1 1

a9(3) 5 d 4 ? 32 1 1 5 d 37 5 6,08

c) La derivada del mòdul.

a(t) 5 d (t2)2 1 (3 2 t)2 5 d t4 1 (3 2 t)2 5

5 d t4 1 t2 2 6 t 1 9

4 t3 1 2 t 2 6a9(t) 5 —————————— 2 d t4 1 t2 2 6 t 1 9

4 ? 32 1 2 ? 3 2 6 108a9(3) 5 ———————————— 5 ———— 5 6 2 ? d 34 1 32 2 6 ? 3 1 9 2 ? d 81

25. Donada la funció vectorial →

a(t) 5 (t2 2 1) →i 1 (2t 1 1)

→j

calculeu i representeu gràfi cament els vectors següents:

a) →a (0) 5 2

→i 1

→j

b) →a (2) 5 (22 2 1)

→i 1 (2 ? 2 1 1)

→j 5 3

→i 1 5

→j

c) D→a 5

→a (2) 2

→a (0) 5 (3

→i 1 5

→j) 2 (2

→i 1

→j ) 5

5 4→i 1 4

→j

El cosinus de l’angle que formen aquests vectors és:

→a •

→b 4·3 1 (23)·2

cos a 5 ——— 5 ——————— 5 0,33 a b 5·3,6

que és menor que la unitat, tal com ha de ser.

20. Donats els vectors →a 5 6

→i 1 2

→j i

→b 5 29

→i 1 m

→j , calculeu

el valor de m perquè els vectors →a i

→b siguin:

a) Perpendiculars. →

a • →b 5 6 ? (29) 1 2 m 5 0 →

54 254 1 2 m 5 0 → m 5 —— 5 27 2

b) Paral.lels.

a 5 0° ⇒ →a •

→b 5 ab cos 0° 5 ab

a 5 √ 62 1 22 5 √ 40

b 5 √ (29)2 1 m2 5 √ 81 1 m2 6 254 1 2 m 5 √ 40 ? √ 81 1

m2 →

(254 1 2 m)2 5 (√ 40 ? (81 1 m2))2 →

4 m2 2 216 m 1 2 916 5 3 240 1 40 m2 →

36 m2 1 216 m 1 324 5 0 →

m2 1 6 m 1 9 5 0 →

26 6 √ 36 2 4?9 26m 5 ————————— 5 —— 5 23 2 2

21. A partir de la funció vectorial →

a(t) 5 2 t →i 1 (2 t2 2 1)

→j

calculeu l’angle que formen els vectors obtinguts en fer t 5 1 i t 5 3.

→a (t) 5 2 t

→i 1 (2 t2 2 1)

→j

→a (1) 5 2 ? 1

→i 1 (2 ? 1 2 1)

→j 5 2

→i 1

→j

→a (3) 5 2 ? 3

→i 1 (2 ? 32 2 1)

→j 5 6

→i 1 17

→j

→a (1) •

→a (3) 5 2 ? 6 1 1 ? 17 5 29

a(1) 5 √ 22 1 12 5 √ 5 5 2,24

a(3) 5 d 62 1 172 5 √ 325 5 18,03

→a (1) •

→a (3) 29

cos a 5 —————— 5 —————— 5 0,71 → a 5 44° a (1) ? a (3) 2,24 ? 18,03

22. Donada la funció vectorial →

f(t) 5 3 t2 →i 1 (3t 2 2)

→j

calculeu el valor d’aquesta funció per als valors de t 5 1, 2 i 21.


c) L’angle que ha girat el vector →a.

21tg a 5 —— 5 4,2 ⇒ a 5 76,6° 5

27. Sigui la funció vectorial →a(t) 5 ((t2 2 1), 5t); cal culeu-ne

la integral entre t 5 1 s i t 5 10 s. →

a(t) 5 ((t2 2 1), 5t)

∫

→a(t)dt 5 ∫

10

1

((t2 2 1), 5t)dt →

Per tant,

t3 5 t2 103 1 5?102 5?13— 2 t, ——41

10

5 1—— 2 10 2 — 1 1, ——— 2 ——2 5 3 2 3 3 2 2

5 (324, 247,5)

d ) D

→a 4

→i 1 4

→j

—— 5 ———— 5 2→i 1 2

→j

D t 2 2 0

26. Donat el vector →a(t) 5 t

→i 1 (t2 2 4)

→j, determineu:

a) →a(2),

→a(5).

→a (2) 5 2

→i 1 (22 2 4)

→j 5 2

→i 5 (2, 0)

→a (5) 5 5

→i 1 (52 2 4)

→j 5 5

→i 1 21

→j 5 (5, 21)

b) D→a en els instants anteriors.

D→a 5

→a (5) 2

→a (2) 5 (5, 21) 2 (2, 0) 5 (3, 21)

15FÍSICA 2 01

Busquem l’equació de la trajectòria a partir de les equacions del moviment:

x 5 4 y2 1 2 → t2 5 y 2 1 → x 5 4 (y 2 1) 1 2 →y 5 t2 1 1

iyt

x 5 4 y 2 2

x 1y 5 — 1 — 4 2

6. Una partícula descriu el moviment donat per l’equació→r � (t2 � 5 t, t2 � 4), expressada en unitats del SI. Calculeu el mòdul del vector de posició per a t � 2 s.→r (t) 5 (t2 2 5 t, t2 2 4)→r (2) 5 (22 2 5 ? 2, 22 2 4) 5 (26, 0) →

r (2) 5 d (26)2 5 6 m

7. Trobeu l’equació de la trajectòria d’un mòbil el vector de posició del qual està determinat per la funció

→r � (2 t � 1)

→i � (3 t � 3)

→j en unitats del SI.

x 5 2 t 1 1 x 2 1 x 5 2 t 1 1 → t 5 ———y 5 3 t 2 3

iyt 2

x 2 1 3 x 3 3 9y 5 3 �———� 2 3 5 —— 2 — 2 3 → y 5 — x 2 — 2 2 2 2 2

8. Trobeu l’equació de la trajectòria del mòbil el vector de po-sició del qual està determinat per la funció

→r � (2 t � 2, 2 t � 4 t2)

en unitats del SI.

x 5 2 t 1 2 x 2 1 x 5 2 t 1 1 → t 5 ———y 5 2 t 1 4 t2

iyt 2

x 2 2 x 2 2y 5 2 �———� 1 4 �———�

2

→ 2 2

y 5 x 2 2 1 x2 2 4 x 1 4 → y 5 x2 2 3 x 1 2

9. Una partícula segueix una trajectòria circular de 3 m de radi. Si l’angle descrit està determinat per l’equació: � � t2 � 1, en què � està expressat en rad i t en s, quina és la longitud de l’arc recorregut entre els instants t � 1 s i t � 3 s?

w (1) 5 12 2 1 5 0; w (3) 5 32 2 1 5 8 rad

Dw 5 w (3) 2 w (0) 5 8 rad

Ds 5 r ? Dw 5 3 ? 8 5 24 m

10. La Lluna descriu una òrbita al voltant de la Terra que corres-pon pràcticament a un moviment circular i uniforme, de període T � 27,4 dies. La llum procedent de la Lluna triga 1,28 s a arribar a la Terra. Calculeu la velocitat angular i l’acceleració de la Lluna. Dada: c � 3 � 108 m/s

Ds Rv 5 —— → c 5 —— → R 5 c ? Dt → Dt Dt

R 5 3 ? 108 ? 1,28 5 3,84 ? 108 m

j Unitat 1. Mecànica


1. Raoneu si és certa aquesta afi rmació: quan un cos es mou amb velocitat constant, el seu moviment és rectilini.

Si la velocitat és constant (→v 5 constant), aleshores el mòdul,

la direcció i el sentit del vector velocitat han de ser constants, i això només és possible quan el moviment és rectilini.

2. Per què un moviment uniforme no es pot iniciar a partir del repòs? Raoneu la resposta.

Un moviment és uniforme quan la velocitat es manté constant al llarg del temps. Per tant, no pot iniciar-se a partir del repòs, ja que necessita una acceleració.

3. Com es pot representar vectorialment el moviment de la minutera d’un rellotge? Quin tipus de vector és?

Amb un vector axial que, en aquest cas, és el vector velocitat angular

→v.

4. L’equació del moviment d’un mòbil és →

r (t) � (2 t2 1 1)→i � (2 t3 � 5 t)

→j

Si mesurem el desplaçament en m i el temps en s, calculeu el desplaçament entre els instants t � 0 i t � 2 s.→r (0) 5 (2 ? 02 1 1)

→i 1 (2 ? 03 1 5 ? 0)

→j 5

→i

→r (2) 5 (2 ? 22 1 1)

→i 1 (2 ? 23 1 5 ? 2)

→j 5 9

→i 1 26

→j

D→r 5

→r (2) 2

→r (1) 5 9

→i 1 26

→j 2

→i 5 8

→i 1 26

→j m

5. Una partícula descriu la trajectòria donada per l’equa ció del moviment

→r � (4 t2 � 2, t2 � 1) expressada en unitats

del SI. Calculeu el vector de posició per als instants de temps t � 0 i t � 3 s, el vector desplaçament entre aquests dos instants i l’equació de la trajectòria.→r (t 5 0) 5 (4 ? 0 1 2, 0 1 1) 5 (2, 1)→r (t 5 3) 5 (4 ? 32 1 2, 32 1 1) 5 (38, 10)

Per tant, el desplaçament és:

D→r 5 (38, 10) 2 (2, 1) 5 (36, 9)


a) L’acceleració mitjana entre t � 0 i t � 2 s.

D→v→

am 5 —— Dt→v (0) 5 4 ? 0

→i 1 (6 ? 02 1 5)

→j 5 5

→j

→v (2) 5 4 ? 2

→i 1 (6 ? 22 1 5)

→j 5 8

→i 1 29

→j

→v (2) 2

→v (0) 8

→i 1 29

→j 2 5

→j→

am 5 —————— 5 ———————— 5 4 →i 1 12

→j m/s2

t (2) 2 t (0) 2

b) L’acceleració instantània per a t � 1 s.

d →v→

a 5 —— 5 4 →i 1 12 t

→j

d t→a (1) 5 4

→i 1 12 ? 1

→j 5 4

→i 1 12

→j m/s2

c) Es tracta d’un moviment uniformement accelerat? Rao-neu-ho.

No és un moviment uniformement accelerat, ja que l’accele-ració és una funció del temps:→a (t) 5 4

→i 1 12 ? t

→j

15. Una partícula descriu el moviment determinat per l’equació →r � (4 t2 � 2, t2 � 1), expressada en unitats del SI. Calculeu el vector acceleració per a l’instant de temps t � 3 s. Es tracta d’un moviment amb acceleració constant? Raoneu-ho.

Aprofi tem el resultat de l’activitat 14: →v (t) 5 (8 t, 2 t)

El vector acceleració és, per tant:

d →v (t)→

a (t) 5 ——— 5 (8, 2) m/s2

d t

Veiem que és un moviment amb acceleració constant ja que l’acceleració no depèn del temps. I per a t 5 3 s resulta: →a (t 5 3) 5 (8, 2) m/s2

16. L’abscissa d’un mòbil que es desplaça sobre l’eix OX és t3

x � —— m. Si el temps, t, està determinat en s, calculeu: 2

a) La posició i l’acceleració en l’instant en què la seva ve-locitat és de 6 m/s.

d x 3 t2

v 5 —— 5 —— d t 2

3 t2 6 ? 2Si v 5 6 → —— 5 6 → t 5 —— 5 2 s 2 3

23

Si t 5 2 s → x 5 — 5 4 m 2

d v 6 ta 5 —— 5 —— 5 3 t d t 2

Si t 5 2 s → a 5 3 ? 2 5 6 m/s2

dllllll

2 p 2 pv 5 —— 5 ———————————— 5 2,65 ? 1026 rad/s T 24 h 3 600 s 27,4 dies —— ? ——— 1 dia 1 h

an 5 v2 R 5 (2,65 ? 1026)2 ? 3,84 ? 108 5 2,7 ? 1023 m/s2


r (t) � (3 t2 � 6 t) →i � (t3 � 4 t2 � 2)

→j

Si mesurem el desplaçament en m i el temps en s, calculeu:

a) El desplaçament entre els instants t � 0 i t � 2 s.→r (0) 5 (3 ? 02 2 6 ? 0)

→i 1 (03 2 4 ? 02 1 2)

→j 5 2

→j

→r (2) 5 (3 ? 22 2 6 ? 2)

→i 1 (23 2 4 ? 22 1 2)

→j 5 26

→j

D→r 5

→r (2) 2

→r (0) 5 26

→j 2 2

→j 5 28

→j m

b) La velocitat mitjana entre aquests dos instants.

D→r 28

→j→

vm 5 —— 5 —— 5 24 →j m/s

Dt 2

c) La velocitat instantània per a t � 1 s.

d →r→

v 5 —— 5 (6 t 2 6) →i 1 (3 t2 2 8 t)

→j

d t→v (1) 5 (6 ? 1 2 6)

→i 1 (3 ? 12 2 8 ? 1)

→j 5 25

→j m/s

12. Una partícula descriu el moviment determinat per l’equa ció→r � (4 t2 � 2, t2 � 1), expressada en unitats del SI. Calcu-leu el vector velocitat per a l’instant de temps t � 3 s.

A partir del vector de posició →r (t) 5 (4 t2 1 2, t2 1 1), trobem

el vector velocitat:

d →r (t)→

v (t) 5 ——— 5 (8 t, 2 t) d t

Per a t 5 3 s resulta: →v (t 5 3) 5 (8 ? 3, 2 ? 3) 5 (24, 6) m/s

13. Una partícula es mou d’acord amb l’equació del moviment següent:

→r � (t2 � 5 t, t2 � 4), expressada en unitats del SI.

Calculeu el mòdul de la velocitat per a t � 2 s.

d →r→

v (t) 5 —— 5 (2 t 2 5, 2 t) → d t→v (2) 5 (2 ? 2 2 5, 2 ? 2) 5 (21, 4) →

→ v (2) 5 d (21)2 1 42 5 d 17 5 4,12 m/s


r (t) � (2 t2 � 1) →i � (2 t3 � 5 t)

→j


Tingueu en compte que:→v (t) 5 (4 t, 6 t2 1 5)

17FÍSICA 2 01

19. La posició d’un mòbil està determinada per l’equació→r � 3 t2

→i � 5 t

→j (en unitats del SI). Determineu-ne la velo-

citat i l’acceleració en l’instant t � 2 s.

d →r→→

v 5 —— 5 6 t →i 2 5

→j →

→→v (2) 5 12

→i 2 5

→j m/s

d t

d →v→

a 5 —— 5 6 →i →

→a (2) 5 6

→i m/s2

d t

20. Una partícula es mou d’acord amb l’equació del moviment següent:

→r � (t2 � 5 t, t2 � 4), expressada en unitats del SI.

Calculeu el mòdul de l’acceleració per a t � 2 s i raoneu si l’acceleració és constant o variable.

Aprofi tem el resultat de l’activitat 13 corresponent a aquest moviment: →v (t) 5 (2 t 2 5, 2 t)

d →v→

a (t) 5 —— 5 (2, 2) → →a (2) 5 (2, 2) →

d t

a (2) 5 d 22 1 22 5 d 8 5 2,83 m/s2

L’acceleració és constant ja que no depèn del temps.

21. En un cert instant, la velocitat d’un mòbil és →v � 5

→i � 12

→j,

i l’acceleració →a � 3

→i � 2

→j en unitats del SI. Calculeu els

components tangencial i normal de l’acceleració en aquest instant.→v 5 5

→i 2 12

→j i

yt→

a 5 3 →i 2 2

→j

v 5 d 52 1 (212)2 5 d 169 5 13 m/s

→v 5

→i 2 12

→j→

ut 5 —— 5 ————— 5 0,38 →i 2 0,92

→j

v 13

at 5 →a •

→ut 5 (3

→i 2 2

→j ) ? (0,38

→i 2 0,92

→j ) 5

5 3 ? 0,38 1 (22) ? (20,92) 5 3 m/s2

aT 5 d 32 1 (22)2 5 d 13 5 3,60 m/s2

→aT 5

→an 1

→at → aT 5 d an

2 1 at2 →

an 5 d aT2 2 at

2 5 d 3,602 1 32 5 d 4 5 2 m/s2

22. La velocitat d’un mòbil és →v � (2 t2 � 1, t2), expressada en

unitats del SI. Calculeu el mòdul de l’acceleració i els seus components intrínsecs en l’instant de temps t � 2 s.

d →v→

a 5 —— 5 (4 t, 2 t) → →a (2) 5 (4 ? 2, 2 ? 2) 5 (8, 4)

d t

a 5 d 82 1 42 5 d 80 5 8,94 m/s2

→v (2) 5 (2 ? 22 2 1, 22) 5 (7, 4)

v 5 d 72 1 42 5 d 65 5 8,06 m/s

→v (7, 4)→

ut 5 —— 5 ——— 5 (0,87, 0,50) v 8,06

b) La velocitat i l’acceleració mitjanes entre l’instant t � 0 i l’instant de temps calculat en l’apartat anterior.

x (0) 5 0 m

x (2) 5 4 m

x (2) 2 x (0) 4 2 0vm 5 ——————— 5 ——— 5 2 m/s 2 2

v (0) 5 0 m/s

v (2) 5 6 m/s

iuuyuut

v (2) 2 v (0) 6 2 0am 5 ——————— 5 ——— 5 3 m/s2

2 2

17. La velocitat d’una partícula està determinada per la funció →v � (2 t2 � 1, �t) en unitats del SI. Si en l’instant inicial la partícula es troba en la posició (10, 0) m, calculeu:→v 5 (2 t2 2 1, 2t)→r (0) 5 (10, 0)

a) El vector de posició.

d →r→

v 5 —— → d →r 5

→v d t →

d t

#→r

→r0

d →r 5 #

t

0

→v d t → #

→r

→r0

d →r 5 #

t

0

(2 t2 2 1, 2t) d t →

2 t3 t2

→ [→r ]

→r

(10, 0) 5 �—— 2 t, 2——�

t

0

→ 3 2

2 t3 t2→r 2 (10, 0) 5 �—— 2 t, 2——� → 3 2

2 t3 2t2

→ →r 5 �—— 2 t 1 10, ——� m 3 2

b) L’acceleració.

d →v→

a 5 —— 5 (4 t, 21) m/s2

d t

18. L’equació de moviment d’un mòbil és →

r (t) � (3 t2 � 6 t) →i � (t3 � 4 t2 � 2)

→j


a) L’acceleració mitjana entre t � 0 i t � 2 s.

D→v→

am 5 —— Dt→v (0) 5 (6 ? 0 2 6)

→i 1 (3 ? 02 2 8 ? 0)

→j 5 26

→j

→v (2) 5 (6 ? 2 2 6)

→i 1 (3 ? 22 2 8 ? 2)

→j 5 6

→i 2 4

→j

→v (2) 2

→v (0) 6

→i 2 4

→j 2 (26

→i ) 12

→i 2 4

→j→

am 5 —————— 5 ————————— 5 ————— 5 t (2) 2 t (0) 2 2

5 6 →i 2 2

→j m/s2

b) L’acceleració instantània per a t � 1 s.

d →v→

a 5 —— 5 6 →i 1 (6 t 2 8)

→j

d t→a (1) 5 6

→i 1 (6 ? 1 2 8)

→j 5 6

→i 2 2

→j m/s2


d vat 5 —— 5 21,63 t d t

at (1) 5 21,63 m/s2

c) El component normal de l’acceleració.

an 5 d aT2 2 at

2 5 d 21,632 2 21,632 5 0

25. Tres ciclistes, A, B i C, descriuen una corba circular de 20 m de radi. Calculeu l’acceleració total de cada ciclista en un instant en què el mòdul de la seva velocitat és de 10 m/s, si sabem que:

a) El ciclista A conserva una velocitat de mòdul constant.

v2 102

an 5 —— 5 —— 5 5 m/s2 → →aT 5 5

→un m/s2

r 20

b) El ciclista B accelera uniformement i la seva velocitat passa de 9,5 m/s a 10,5 m/s en 0,5 s.

v2 102

an 5 —— 5 —— 5 5 m/s2

r 20 Dv 10 ? 5 2 9,5 1at 5 —— 5 —————— 5 —— 5 2 m/s2

iuuyuut

→

Dt 0,5 0,5

→aT 5 (5

→un 1 2

→ut) m/s2

c) El ciclista C frena uniformement d’11 m/s a 9 m/s en un temps de 0,5 s.

v2 102

an 5 —— 5 —— 5 5 m/s2

r 20 Dv 9 2 11 2at 5 —— 5 ———— 5 2—— 5 24 m/s2

iuuyuut

→

Dt 0,5 0,5

→aT 5 (5

→un 2 4

→ut) m/s2

26. En un moviment circular de radi r � 6,5 m la velocitat angu-lar està determinada per � � 2 � 3 t (en unitats del SI).

a) Es tracta d’un moviment circular uniformement accele-rat? Per què?

d va 5 —— 5 3 rad/s2 5 ctant. Sí, perquè a 5 ctant Þ 0. d t

b) Calculeu l’acceleració tangencial i l’acceleració normal del punt mòbil en l’instant t � 3 s.

at 5 a ? r 5 19,5 m/s2

an 5 v2 ? r 5 (2 1 3 ? 3)2 ? 6,5 5 786,5 m/s2

c) Determineu la longitud de l’arc recorregut en els dos primers segons del moviment i la velocitat angular al fi nal de la primera volta.

1 1Du 5 v0 Dt 1 — a Dt2 5 2 ? 2 1 — 3 ? 22 5 10 rad → 2 2→ Ds 5 r ? Du 5 65 m

at 5 →a •

→ut 5 (8, 4) ? (0,87, 0,50) 5 8 ? 0,87 1 4 ? 0,50 5

5 8,93 m/s2

an 5 d aT2 2 at

2 5 d 8,942 2 8,932 5 0,41 m/s2

23. Una partícula descriu una trajectòria determinada donada pel vector de posició

→r � (t2, 2 t) en unitats del SI. Quan la

partícula passa per la posició (4, 4), determineu:→r 5 (t2, 2 t) (4, 4) 5 (t2, 2 t) → t 5 2 s→r 5 (4, 4)

iyt

a) La velocitat.

d →r→

v 5 —— 5 (2 t, 2) → →v (2) 5 (2 ? 2, 2) 5 (4, 2) m/s

d t

b) L’acceleració.

d →v→

a 5 —— 5 (2, 0) → →a (2) 5 (2, 0) m/s2

d t

c) Els components intrínsecs de l’acceleració.

v 5 d 42 1 22 5 d 20 5 4,47 m/s

→v (4, 2)→

ut 5 —— 5 ———— 5 (0,89, 0,45) v 4,47

at 5 →a •

→ut 5 (2, 0) ? (0,89, 0,45) 5 2 ? 0,89 1 0 ? 0,45 5

5 1,79 m/s2

aT 5 d 22 5 2 m/s2

an 5 d aT2 2 at

2 5 d 22 2 1,792 5 0,89 m/s2

d) El radi de curvatura.

v2 v2 4,472

an 5 —— → R 5 —— 5 ——— 5 22,36 m R an 0,89


r (t) � (2 t3 � 3, 3 t3 � 2)

expressat en unitats del SI. Calculeu en l’instant de temps t � 1 s:

a) El mòdul del vector acceleració.

d →r→

v (t) 5 —— 5 (6 t2, 9 t2) d t

d →v→

a (t) 5 —— 5 (12 t, 18 t) d t→a (1) 5 (12, 18)

a 5 d 122 1 182 5 d 468 5 21,63 m/s2

b) El component tangencial de l’acceleració.

v (t) 5 d (6 t2)2 1 (9 t2)2 5 d 36 t4 1 81 t4 5

5 d 117 t4 5 10,817 t2

19FÍSICA 2 01

Si apliquem la 2a llei de Newton, →F 5 m

→a, en mòdul, aleshores

tenim que F 5 m a i F9 5 m a9.

F9 d 2 FF9 5 d F2 1 F2 5 F d 2 → a9 5 —— 5 ——— → m m

d 2 m aa9 5 ——— 5 d 2 a m

31. Determineu les forces que actuen sobre cada objecte i dis-cutiu la descomposició d’aquestes respecte d’algun sistema de coordenades adequat.

En cada fi gura s’indica el sistema de referència triat i la des-composició de forces segons aquest sistema.

a)

b)

c)

d)

1Du 5 v0 Dt 1 — a Dt2

iuyut

→ 2v 5 v0 1 a Dt

v2 5 v0 1 2 a Du

v2 5 22 1 2 ? 3 ? 2 p → v 5 6,5 rad/s

27. El mòdul de la velocitat d’un punt material que descriu una trajectòria circular està determinat per l’equació (en uni-tats del SI) v � 6 � 10 t. Si el radi de la trajectòria és de 100 m, quina serà l’acceleració normal en l’instant t � 8 s? I l’acceleració tangencial?

v 5 6 1 10 t → v (8) 5 6 1 10 ? 8 5 86 m/s

86an 5 —— 5 0,86 m/s2

100

d vat 5 —— 5 10 m/s2

d t

28. Un mòbil descriu un moviment circular de radi r � 2 m. L’angle descrit pel mòbil en funció del temps està determi-nat per l’equació � � t3 � 5 t � 4 (en unitats del SI). Cal-culeu la velocitat angular i l’acceleració tangencial en l’ins-tant t � 1 s.

d uv 5 —— 5 3 t2 1 5 → v (1) 5 8 rad/s d t

d va 5 —— 5 6 t → a (1) 5 6 rad/s2

d t

29. Expliqueu les situacions següents tenint en compte les lleis de Newton:

a) Un observador està dins d’un vehicle en marxa a veloci-tat constant. De sobte, el vehicle frena.

L’observador experimenta la seva inèrcia a seguir amb el MRU i l’atribueix a una força d’inèrcia que l’impulsa cap endavant.

b) Un observador es troba en repòs dins d’un vagó d’una muntanya russa al punt més alt del seu recorregut. En un moment donat, el vagó inicia el descens sobre els raïls.

L’observador experimenta la seva inèrcia a seguir en repòs i l’atribueix a una força d’inèrcia que l’estira cap amunt.

c) L’observador anterior està en repòs dins d’un vagó en el punt més baix de la muntanya russa. A continuació, el vagó inicia l’ascens.

L’observador experimenta la seva inèrcia a seguir en repòs i l’atribueix a una força d’inèrcia que l’estira cap a baix.

30. Sobre una massa m actua una força →F que produeix una ac-

celeració →a. Si sobre la mateixa massa actuen dues forces

perpendiculars de mòduls iguals al mòdul de →F, que pro-

dueixen una acceleració →a9, quina relació tenen els mòduls

de les acceleracions?


b) La massa del cos.

Amb el resultat anterior obtenim la massa del cos:

Dpx 240m 5 —— 5 —— 5 10 kg Dvx 24

c) El valor mitjà de la força que ha provocat aquesta va-riació en la quantitat de moviment del cos si ha actuat durant 1 ms.

El valor mitjà de la força considerada constant és:

D→p 240 30→

F 5 —— 5 �——, ——� 5 (24 ? 104, 3 ? 104) N Dt 1023 1023

(24 ? 104 →i 1 3 ? 104

→j ) N

d) L’impuls mecànic que s’ha aplicat sobre el cos.

L’impuls mecànic és igual a la variació de la quantitat de moviment:→I 5 D

→p 5 (240, 30) N?s

(240 →i 1 30

→j ) N?s

35. Per què en l’expressió més general de les lleis de Newton s’utilitza la magnitud quantitat de moviment en comptes de l’acceleració?

Perquè són les expressions més generals, vàlides fi ns i tot per a sistemes de massa variable i també a física relativista.

36. Un cos de 5 kg de massa es mou sobre una trajectòria deter-minada per l’equació de moviment

→r � (t2 � t)

→i � (3 t3 � 2)

→j

en què →r i t s’expressen en unitats del SI. Determineu:

a) La força mitjana que actua damunt del cos entre els ins-tants t � 0 s i t � 5 s.

D→p→

Fm 5 —— Dt

d →r→

v 5 —— 5 (2 t 2 1) →i 1 9 t2

→j

d t→v (0) 5 2

→i

→v (5) 5 9

→i 1 225

→j

D→p 5 m D

→v 5 m (

→v (5) 2

→v (0)) 5

5 5 (9 →i 1 225

→j 2 (2

→i )) 5 5 (10

→i 1 255

→j ) 5

5 50 →i 1 1 125

→j

D→p 50

→i 1 1 125

→j→

Fm 5 —— 5 —————— 5 (10 →i 1 225

→j ) N

Dt 5

e)

f)

32. Tenint en compte el principi d’inèrcia, expliqueu què passa quan circulem amb un automòbil que descriu una corba.

Si tenim en compte el principi d’inèrcia, l’automòbil tendeix a seguir en la mateixa direcció que portava.

33. En el moment que un pèndol simple passa per la posició més baixa, la tensió i el pes coincideixen? Raoneu-ho.

v2

En aquesta posició, T 2 p 5 m ——. Si tenim en compte que ll’acceleració centrípeta és positiva, deduïm que:

T 2 p . 0 → T . p.

34. La variació de la quantitat de moviment d’un cos està de-terminada per: �

→p � (�px, 30) en unitats del SI. Si el

mòdul d’aquest increment val 50 kg�m/s i el component segons l’eix X de la corresponent variació de velocitat és �4 m/s, trobeu:

Les dades del problema són:

D→p 5 (Dpx, 30); |D

→p | 5 50 kg?m/s; Dvx 5 24 m/s

a) El valor del component segons l’eix X de la variació de la quantitat de moviment del cos.

Coneixent el mòdul i Dpy podem trobar Dpx:

Dpx 5 d (Dp)2 2 (Dpy)2 5 d 502 2 302 5 640 kg?m/s

Fixem-nos que tenim dos valors possibles per a Dpx. Ara bé, com que el component de la variació de la velocitat en aquesta direcció és negatiu i la massa sempre és positiva, hem d’optar pel resultat negatiu:

Dpx 5 240 kg?m/s

21FÍSICA 2 01

38. Observeu el sistema representat a la fi gura. Calculeu la ten-sió i l’acceleració amb què es mou el sistema, si el mòdul de la força

→F val 200 N, la massa de cada bloc és de 20 kg i

el coefi cient de fregament és de 0,2 per a tots dos cossos.

→p1 5

→p2 5

→p

Cos 1:

p 5 N1 1 F sin 30°

20 ? 9,8 5 N1 1 200 ? sin 30°

N1 5 20 ? 9,8 2 200 ? sin 30°

N1 5 96 N

F cos 30° 2 m N1 2 T 5 m1 a

200 ? cos 30° 2 0,2 ? 96 2 T 5 20 a

154 2 T 5 20 a

Cos 2:

T 2 p sin 30° 2 m N2 5 m2 ap cos 30° 5 N2

iyt

T 2 20 ? 9,8 ? sin 30° 2 0,2 ? 20 ? 9,8 ? cos 30° 5 20 a

T 2 131,95 5 20 a

154 2 T 5 20 aT 2 131,95 5 20 a

iyt

154 1 131,95154 2 T 5 T 2 131,95 → T 5 ———————— 5 142,97 N 2

154 2 142,97a 5 ——————— 5 0,55 m/s2

20

39. En el sistema de la figura les masses són mA � 1 kg, mB � 3 kg i mC � 6 kg, mentre que el coefi cient de frega-ment entre el cos A i B i el terra és de 0,1. Calculeu les tensions i l’acceleració del sistema.

b) La força instantània en funció del temps.

d →p d

→r→

F 5 —— → →p 5 m —— 5 5 [(2 t 2 1)

→i 1 9 t2

→j )] 5

d t d t

5 (10 t 2 5) →i 1 45 t2

→j

d [(10 t 2 5) →i 1 45 t2

→j ]→

F 5 —————————— 5 (10 →i 1 90 t

→j ) N

d t

37. Sobre un cos de 2 kg, que es troba sobre un pla inclinat de 30°, actua una força

→F en una direcció horitzontal. Si

el coefi cient de fregament entre el cos i el pla és negligible:

a) Representeu totes les forces que actuen sobre el cos.

b) Calculeu el valor de la força →F perquè el cos es mogui cap

a la part superior del pla amb velocitat constant.

F cos 30° 5 p sin 30° → F 5 p tg 30° →

F 5 2 ? 9,8 tg 30° 5 11,3 N

c) Si el coefi cient de fregament entre el cos i el pla és de 0,3, com canviarien els apartats anteriors?

F cos 30° 2 p sin 30° 2 Ff 5 0 iyt

N 5 F sin 30° 1 p cos 30°

F cos 30° 2 m N 2 p sin 30° 5 0

F cos 30° 2 m (F sin 30° 1 p cos 30°) 2 p sin 30° 5 0

F cos 30° 2 m F sin 30° 2 m p cos 30° 2 p sin 30° 5 0

p (m cos 30° 1 sin 30°)F 5 ————————————— 5 cos 30° 2 m sin 30° 2 ? 9,8 ? (0,3 cos 30° 1 sin 30°) 5 ———————————————— cos 30° 2 0,3 sin 30°

F 5 20,8 N


41. En el sistema representat a la fi gura cada cos té una massa de 3 kg. Negligim la massa de la politja, la massa de les cordes i el fregament. Trobeu:

a) L’acceleració del sistema.

p1 2 T1 5 m1 ap2 1 T1 2 T2 5 m2 a

iuyutT2 2 p3 5 m3 a__________________

p1 1 p2 2 p3 5 (m1 1 m2 1 m3) a

3 ? 9,8 1 3 ? 9,8 2 3 ? 9,8 5 (3 1 3 1 3) a

3 ? 9,8a 5 ——— 5 3,27 m/s2

3

b) La tensió de les cordes que uneixen els blocs.

T1 5 p1 2 m1 a 5 3 ? 9,8 2 3 ? 3,27 → T1 5 19,6 N

T2 5 p3 1 m3 a 5 3 ? 9,8 1 3 ? 3,27 5 39,2 N

42. Un extrem d’un fi l que passa per la gorja d’una petita po-litja fi xa està unit a un cos de massa 4 kg que llisca per damunt d’un pla inclinat de 30°, amb un coefi cient de fre-gament cinètic de 0,2. De l’altre extrem del fi l penja una massa d’1 kg. Calculeu:

Les dades del nostre problema són:

a 5 30°; m 5 0,2; m1 5 4 kg; m2 5 1 kg

Cos A

T2 2 FfA 5 mA apA 5 NA

iyt

T2 2 m pA 5 mA a → T2 2 0,1 ? 9,8 5 a → T2 5 0,98 1 a

Cos B

T1 2 T2 2 FfB 5 mB apB 5 NB

iyt

T1 2 T2 2 m pB 5 mB a → T1 2 T2 2 0,1 ? 3 ? 9,8 5 3 a →

→ T1 2 T2 2 2,94 5 3 a

Cos C

pC 2 T1 5 mC a → 6 ? 9,8 2 T1 5 6 a → T1 5 58,8 2 6 a

Si solucionem el sistema d’equacions, tenim:

58,8 2 6 a 2 0,98 2 a 2 2,94 5 3 a

→ 54,88 5 10 a → a 5 5,49 m/s2

T1 5 58,8 2 6 ? 5,49 5 25,86 N

T2 5 0,98 1 5,49 5 6,47 N

40. Una molla de constant recuperadora 100 N/m i longitud natural 1 m està lligada al sostre d’un ascensor. Si pengem de l’extrem lliure de la molla un cos de massa m � 2 kg, quina és la longitud de la molla quan:

a) L’ascensor puja amb una acceleració igual a 1 m/s2 en el sentit del moviment?

Perquè hi hagi una acceleració cap amunt cal que la força de la molla estigui dirigida cap amunt. Això signifi ca que s’haurà allargat:

k D l 2 m g 5 m a →

a 1 g 1 1 9,8→ D l 5 m ——— 5 2 ————— 5 0,22 m → k 100

→ l 5 1 1 0,22 5 1,22 m

b) L’ascensor puja a una velocitat constant?

En aquest cas no hi ha acceleració i la molla també està allargada per a compensar el pes:

k D l 2 m g 5 m a 5 0 →

g 9,8→ D l 5 m — 5 2 ——— 5 0,20 m → k 100

→ l 5 1 1 0,20 5 1,20 m

23FÍSICA 2 01

Apliquem la 2n llei de Newton a tot el sistema

Ff 5 m N3 5 m M3 g

p1 1 p2 2 Ff 5 (M1 1 M2 1 M3) a →

10 ? 9,8 1 30 ? 9,8 2 m ? 100 ? 9,8 5

5 (10 1 30 1 100) ? 1,25 → 392 2 175→ 3,92 2 980 m 5 175 → m 5 ————— 5 0,22 980

b) La tensió de la corda.

Apliquem la 2a llei de Newton a un dels blocs

p1 1 p2 2 T 5 (M1 1 M2) ? a →

10 ? 9,8 1 30 ? 9,8 2 T 5 (10 1 30) ? 1,25 →

→ 392 2 T 5 50 → T 5 342 N

c) La força normal que la superfície inferior (terra) de M2 fa sobre M1.

Apliquem la 2a llei de Newton a M1

p1 2 N1 5 M1 ? a →

N1 5 p1 2 M1 ? a 5 10 ? 9,8 2 10 ? 1,25 5 85,5 N

44. Tres cossos iguals de massa M � 20 kg cadascun estan en contacte sobre una superfície horitzontal, tal com es veu a la fi gura. El sistema es mou per acció d’una força horitzon-tal de mòdul F.

a) Suposeu que el fregament entre els cossos i la superfí-cie és negligible, i que la força de contacte entre el cos B i el cos C val 60 N. Calculeu l’acceleració del sistema.

60 5 20 ? a → a 5 3 m/s2

b) En les condicions de l’apartat anterior, calculeu el valor de F i el valor de la força de contacte entre els cossos A i B.

F 5 (20 1 20 1 20) ? 3 → F 5 180 N

a) Cap a on es mouran els cossos?

Escollim com a sentit positiu de moviment l’indicat a la fi -gura (la politja es mou en sentit antihorari). Apliquem ara la 2a llei de Newton a cada massa, d’acord amb el sentit positiu escollit:

px1 2 T 2 Ff1 5 m1 a px1 2 p2 2 Ff1 → a 5 ——————— 5 T 2 p2 5 m2 a

iyt m1 1 m2

m1 g sin a 2 m m1 g cos a 2 m2 g5 ————————————————— m1 1 m2

on les tensions que actuen sobre cada cos i les accelera-cions són les mateixes perquè negligim la massa de la polit-ja i de la corda.

Substituint les dades obtenim el valor de l’acceleració:

4 ? 9,8 (sin 30° 2 0,2 cos 30°) 2 1 ? 9,8a 5 ——————————————————— 5 0,6 m/s2

4 1 1

Aquest valor positiu indica que el sentit escollit com a po-sitiu és correcte. Per tant, els cossos es mouen cap avall del pla inclinat.

b) Quina és l’acceleració dels cossos i la tensió de la corda?

L’acceleració és la que acabem de calcular: a 5 0,6 m/s2

Calculem el valor de la tensió:

T 2 p2 5 m2 a → T 5 m2 (g 1 a) 5 1 (9,8 1 0,6) 5 10,4 N

43. Una massa M1 � 10 kg és a l’interior d’una caixa de mas-sa M2 � 30 kg. El conjunt està lligat a un cos de massa M3 � 100 kg mitjançant una corda i una politja de masses negligibles, tal com es veu a la fi gura. Es deixa anar el sis-tema, que inicialment està en repòs, i observem que s’ha desplaçat 10 m durant els primers 4 s. Calculeu:

a) L’acceleració del sistema i el coefi cient de fricció dinà-mic entre M3 i la superfície horitzontal.

1 1x 5 x0 1 v0 Dt 1 — a Dt2 → 10 5 — a ? 42 → 2 2 20a 5 —— 5 1,25 m/s2

16


78,4 2 T 5 8 aT 2 49 2 16,97 5 10 a

iyt

78,4 2 65,97 5 18 a → a 5 0,69 m/s2

Si el sistema no s’ha de moure quan posem damunt de A un cos de massa C, les forces s’han d’igualar:

pB 5 (pA 1 pC) sin 30° 1 m (pA 1 pC) cos 30°

8 ? 9,8 5 (10 ? 9,8 1 mC 9,8) sin 30° 1

1 0,2 ? (10 ? 9,8 1 mC 9,8) cos 30°

78,4 5 49 1 49 mC 1 16,97 1 1,7 mC

78,4 2 49 2 16,97mC 5 ————————— 5 1,88 kg 4,9 1 1,7

46. En el sistema de la fi gura la massa de la cabina (A) val MA � 200 kg i la de la cabina (B) val MB � 300 kg. Dins de cadascuna hi ha una massa M � 50 kg. Suposant negligi-bles les masses del cable i de les politges i els efectes del fregament, calculeu:

a) L’acceleració amb què es mou el sistema.

pB 2 pA (350 2 250) ? 9,8pB 2 pA 5 MT ? a → a 5 ———— 5 ———————— MT 350 1 250

→ a 5 1,63 m/s2

b) La tensió del cable.

pB 2 T 5 mB ? a → T 5 pB 2 mB a 5 mB (g 2 a) 5

5 350 (9,8 2 1,63) 5 2 858 N

F 2 f 5 M ? a → f 5 120 N

c) Suposeu que el coefi cient de fricció entre els cos sos i la superfície horitzontal és � 0,2. Cal culeu el valor de F perquè el sistema tingui una acceleració de 2 m/s2.

Considereu g � 10 m/s2.

F 2 f 5 3 M ? a → F 5 240 N

45. En el sistema de la fi gura les masses A i B valen 10 kg i 8 kg, respectivament, mentre que el coefi cient de fregament es-tàtic entre la massa A i el pla inclinat és de 0,2. Determineu la massa mínima que ha de tenir C perquè el sistema no es mogui, considerant que entre el cos C i el cos A hi ha un fregament molt gran.

Si hem de col.locar un cos de massa C damunt de A, hem d’in-terpretar que el sistema es mou inicialment cap al cos de mas-sa B. Es pot comprovar calculant l’acceleració amb què es mou el sistema inicial, però tenint en compte que m d , m e; per tant, podem fer un petit error en el càlcul de l’acceleració.

pB 2 T 5 mB aT 2 pA sin a 2 m pA cos a 5 mA a

iyt

8,98 2 T 5 8 a

T 2 10 ? 9,8 ? sin 30° 2 0,2 ? 10 ? 9,8 ? cos 30° 5 10 a

iyt

25FÍSICA 2 01

b) La força de contacte entre la massa m3 i el terra de la cabina.


��

�

�

N 2 m3 g 5 m3 a → N 5 115 N

48. Les forces que actuen sobre un cos quan descriu un movi-ment circular uniforme, efectuen cap treball? Raoneu-ho.

Si el cos es mou amb MCU, l’acceleració tangencial és zero i només té acceleració centrípeta. Per tant, la força neta ha de ser centrípeta i, en tot moment, és perpendicular al vector des-plaçament instantani. Si apliquem l’expressió del treball,

W 5 e →F ? D

→r, veiem que W 5 0.

49. Una partícula descriu un moviment parabòlic en les proxi-mitats de la superfície de la Terra.

A. Es conserva:

a) L’energia cinètica de la partícula.

b) La quantitat de moviment de la partícula.

c) L’energia mecànica de la partícula.

L’energia mecànica es conserva si no hi ha pèrdues per fre-gament. L’opció correcta és la c).

B. En el punt més alt de la trajectòria de la partícula, es compleix que:

a) L’acceleració normal de la partícula és nul.la.

b) L’acceleració tangencial de la partícula és nul.la.

c) La velocitat de la partícula és nul.la.

En el punt més alt d’un moviment parabòlic només actua l’acceleració de la gravetat que és perpendicular al vector velocitat en aquest punt. L’opció correcta és la b).

50. Una partícula descriu un moviment circular de radi 50 cm de manera que l’angle girat varia amb el temps segons l’equació � � 4 t � t3, en unitats del SI.

Calculem primer la velocitat angular i l’acceleració angular:

d w d vv 5 —— 5 4 2 3 t2; a 5 —— 5 26 t d t d t

A. L’acceleració tangencial de la partícula en t � 1 s val:

a) �3 m/s2

b) 0 m/s2

c) 3 m/s2

c) La força de contacte entre cada una de les masses M de 50 kg i la cabina respectiva.

NA 2 mA g 5 mA ? a → NA 5 mA (g 1 a) 5

5 50 (9,8 1 1,63) 5 571 N

mB g 2 NB 5 mB ? a → NB 5 mB (g 2 a) 5

5 50 (9,8 2 1,63) 5 409 N

47. El sistema de la fi gura, inicialment en repòs, es posa en moviment sota l’acció de la força F, de mòdul 1 370 N. A l’interior de la cabina, de massa m2 � 100 kg, hi ha una maleta de massa m3 � 10 kg. El coefi cient de fregament entre la massa m1 i el terra horitzontal és � 0,2. La mas-sa m1 � 30 kg. Les masses de la politja i de la corda són negligibles.

Calculeu:

a) L’acceleració del sistema i la tensió de la corda.

F 2 T 2 m m1 g 5 m1 a

T 2 (m2 1 m3) g 5 (m2 1 m3) a

→ a 5 1,5 m/s2

T 5 1 265 N


En el punt B, si plantegem el principi de conservació de l’ener-gia, tenim que:

EpB 5 m g h 5 m g 2 l

1EcB

5 — m vB2

iuyut 2

Aplicant el principi de conservació de l’energia mecànica i la 2a llei de Newton, tenim que:

1 1m g 2 l 1 — m vB

2 5 — m vA2 → 4 g l 1 vB

2 5 vA2 iuuuuyuuuut

→

2 2 vB

2

TB 1 m g 5 m —— l vA

2

TA 2 m g 5 m —— l

l TB 1 m g l 5 m vB2

l TA 2 m g l 5 m vA2

4 g l 1 vB2 5 vA

2

iueyuet

l TA 2 m g l 5 4 m g l 1 m vB2 → l TA 2 5 m g l 5 m vB

2

l TA 2 5 m g l 5 l TB 1 m g l → TA 5 TB 1 6 m g

52. Un cos de 3 kg de massa es mou al llarg d’una trajectòria determinada per l’equació de moviment:

→r � (3 t2

→i � 2 t

→j ) m

Calculeu la velocitat, la quantitat de moviment i el treball efectuat per la força que actua sobre aquest cos entre els instants de temps t � 1 s i t � 2 s.

→r 5 3 t2

→i 2 2 t

→j

d →r→

v 5 —— 5 6 t →i 2 2

→j

d t

→p 5 m

→v 5 3 ? (6 t

→i 2 2

→j ) 5 18 t

→i 2 6

→j

d →p→

F 5 —— 5 18 →i

d t

→r (1) 5 3 ? 12

→i 2 2 ? 1

→j 5 3

→i 2 2

→j

→r (2) 5 3 ? 22

→i 2 2 ? 2

→j 5 12

→i 2 4

→j

ieyet

D→r 5

→r (2) 2

→r (1) 5 12

→i 2 4

→j 2 3

→i 1 2

→j 5 9

→i 2 2

→j

W 5 →F ? d

→r 5 18

→i ? (9

→i 2 2

→j ) 5 18 ? 9 2 2 ? 0 5 162 J

L’acceleració tangencial a t 5 1 s val:

at 5 a r 5 26 ? 1 ? 0,5 5 23 m/s2

L’opció correcta és la a).

B. L’acceleració normal de la partícula en t � 1 s val:

a) �0,5 m/s2

b) 0 m/s2

c) 0,5 m/s2

L’acceleració normal a t 5 1 s val:

an 5 v2 r 5 (4 2 3 ? 12)2 ? 0,5 5 0,5 m/s2

L’opció correcta és la c).

C. L’energia cinètica de la partícula:

a) Es manté constant.

b) Augmenta amb el temps.

c) Primer disminueix i després augmenta amb el temps.

L’acceleració tangencial és la responsable del canvi en el mòdul de la velocitat. En aquest cas val: at 5 23 t; és a dir, és de signe contrari a la velocitat tangencial. Per tant, la velocitat primer disminueix en mòdul i després augmenta. I el mateix passa amb l’energia cinètica. L’opció correcta és la c).

51. Una partícula de massa m lligada a l’extrem d’una corda de longitud l gira en un cercle vertical sense que hi actuï cap força de fricció, tal com es veu a la fi gura.

Escolliu l’afi rmació correcta:

a) La velocitat en el punt A és la mateixa que en el punt B.

b) La tensió en el punt més baix és igual a m g.

c) La tensió en el punt A excedeix en 6 m g la tensió en el punt B.

d) El treball realitzat pel pes quan el cos es desplaça de A a B val 2 m g l.

L’opció correcta és la c). Veiem-ho:

En el punt A, si plantegem el principi de conservació de l’ener-gia tenim que:

EpA 5 0

1EcA

5 — m vA2

iuyut 2

27FÍSICA 2 01

→F 5 180 2 360 x

360 x2

W 5 #0

0,5

(180 2 360 x) d x 5 �180 x 2 ———�0

0,5

5 2

5 180 ? 0,5 2 180 ? 0,52 5 45 J

1W 5 DEc 5 Ecf 2 Ec0 5 — m v2 → 2

2 Ec 2 ? 45v 5 ——— 5 ————— 5 212,13 m/s m 2 ? 1023

55. La força amb què els gasos procedents de l’explosió de la càrrega de combustió actuen en l’interior d’un fusell sobre un projectil de 5 g de massa la dóna l’ex pressió F � 400 � 400 x. Si el projectil surt del fusell amb una velocitat de 200 m/s, calculeu l’energia cinètica en l’ins-tant de sortir del fusell i la longitud del fusell.

Primer representem la força que actua sobre el projectil:

La gràfi ca talla l’eix Y en el valor F 5 400 i a l’eix X en el valor:

400 2 400 x 5 0 → x 5 1 m

Busquem el treball fet per la força sobre el projectil a partir de la variació en la seva energia cinètica:

1 1W 5 DEc 5 — m ? (v

f2 2 v0

2) 5 — 0,005 ? (2002 2 0) 5 100 J 2 2

Aquest valor coincideix amb el de l’energia cinètica en l’instant de sortir del fusell.

Ara cal trobar en la gràfi ca anterior, el desplaçament tal que l’àrea de la funció és igual a aquest valor del treball:

Àrea 5 #x

0

F (x) d x 5 #x

0

(400 2 400 x) d x 5 [400 x 2 200 x2]x0 5

5 400 x 2 200 x2

Busquem per a quin valor de desplaçament s’obté el treball:

400 x 2 200 x2 5 100 → x1 5 0,3 m; x2 5 1,7 m

Aquests són els possibles valors de la longitud del fusell.

dllllll dlllllllll

53. Un cos es mou per l’acció de la força →F � x

→i � x

→j . Calculeu

el treball exercit per la força en traslladar el cos des del punt A (0, 4) fi ns al punt B (5, 8), si el desplaçament té lloc:

a) Pel camí 1.

W 5 #(0,

(5,

4)

8)

(x →i 1 x

→j ) d x d y

y 5 m x 1 b

4 5 m ? 0 1 b → b 5 4 48 5 5 m 1 b → 8 5 5 m 1 4 → m 5 —

iuuyuut 5

4 4y 5 — x 1 4 → d y 5 — d x 5 5

4W 5 #

(0,

(5,

4)

8)

(x →i 1 x

→j ) d x d y 5 #

5

0

x d x 1 #5

0

— x d x 5 5

x2 4 x2 52 4 ? 52

5 �——�5

0

1 �— ——�5

0

5 —— 1 ——— 5 2 5 2 2 5 ? 2

25 1 20 45 5 ————— 5 —— 5 22,5 J 2 2

b) Pel camí 2.

W 5 #5

0

x d x 1 #8

4

x d y 5 #5

0

x d x 1 #8

4

5 d y 5

↑ ↑ i u u y u u t i u u y u u t

y 5 4 d y 5 0 x 5 5 d x 5 0

x2 25 5 �——�

5

0

1 [5 y]84 5 —— 1 40 2 20 5 32,5 J

2 2

c) Raoneu si la força →F és conservativa.

Aquesta força no és conservativa perquè hem comprovat que el treball que realitza entre dos punts depèn del camí seguit.

54. La força que actua sobre un projectil de 2 g de massa i 50 cm de longitud, mentre aquest és al canó, la dóna l’ex-pressió

→F � 180 � 360 x. Determineu la ve locitat i l’energia

cinètica a la sortida del canó.


v2 v2

10 p 2 p 5 m —— → 9 p 5 m —— → r r

v2 v2

9 m g 5 m —— → 9 g 5 —— → r r

v 5 d 9 g r 5 d 9 ? 9,8 ? 1 5 d 88,2 5 9,39 m/s

1Dalt: Ec 1 Ep 5 — m v92 1 m g 2 l

iuuyuut

2

1Baix: Ec 1 Ep 5 — m v2

2

1 1— m v92 1 m g 2 l 5 — m v2 → 2 2

1v92 5 2 �— v2 2 2 g l� → 2

→ v9 5 d v2 2 4 g l 5 d 9,392 1 4 ? 9,8 ? 1 5 d 49 5 7 m/s

58. Una molla de constant elàstica 125 N/m que és sobre un pla horitzontal es comprimeix 50 cm amb un cos de 200 g de massa, de manera que dispara aquest cos. Calculeu l’al tura a què arriba el cos en el pla inclinat, si entre el cos i la super-fície no hi actua el fregament.

1Epe 1 Epq → — k x2 5 m g h 2

k x2 125 ? 0,52

h 5 ——— 5 —————— 5 7,97 m 2 m g 2 ? 0,2 ? 9,8

56. Un cos de 50 g lligat a l’extrem d’un fi l de 2 m descriu una trajectòria circular vertical. La velocitat al punt més alt de la trajectòria és de 10 m/s.

v 5 10 m/s

Ep 5 m g h

1Ec 5 — m v2

0

iuyut 2

Ep 5 0

1Ec 5 — m v2

iuyut 2

a) Dibuixeu totes les forces i calculeu la tensió del fi l en el punt més alt.

v2

P 1 T 5 m —— r

v2 102

T 5 m �—— 2 g� 5 0,05 ? �—— 2 9,8� 5 2,01 N r 2

b) Calculeu la velocitat del cos i la tensió del fi l en el punt més baix.

1 1— m v2 5 — m v2

0 1 m g h 2 2

v 5 d v20 1 2 g h 5 d 102 1 2 ? 9,8 ? 4 5 13,4 m/s

v2

T 2 p 5 m —— r v2 13,42

T 5 m �—— 1 g� 5 0,05 ? �——— 1 9,8� 5 4,95 N r 2

c) Calculeu el treball fet per la tensió del fi l durant una volta.

W 5 e →F ? d

→r 5 0, ja que

→F i D

→r són perpendiculars.

57. Es fa girar en un pla vertical un cos que està enganxat a un fi l d’1 m de longitud. Calculeu quina ha de ser la velocitat horitzontal que s’ha de comunicar a la corda en la posició més alta perquè la tensió de la corda en la posició més bai-xa sigui 10 vegades més gran que el pes.

29FÍSICA 2 01

61. Un cos llisca per un pla inclinat que forma un angle de 30° amb l’horitzontal i continua movent-se per un pla horitzon-tal fi ns a aturar-se. Determineu el coefi cient de fregament dels plans, si la distància que ha recorregut el cos pel pla inclinat és la mateixa que pel pla horitzontal.

DE 5 Wfnc

① 1— m v2 2 m g h 5 2m m g cos a x 2

hsin 30° 5 — → h 5 x sin 30° x

1— v2 2 g x sin 30° 5 2m g cos 30° x 2

1 12— m v2 5 2m m g x → — v2 5 m g x

iuuyuut 2 2

m g x 2 g x sin 30° 5 2m g cos 30° x

m 2 sin 30° 5 2m cos 30° →

sin 30°→ m 5 ——————— 5 0,27 1 1 cos 30°

②

62. Volem fer pujar amb velocitat constant un cos de massa 10 kg per un pla inclinat i per fer-ho li apliquem una for-ça F. El coefi cient de fregament dinàmic entre el cos i el pla inclinat és � 0,3.

a) Quant ha de valer el mòdul de F si la seva direcció és paral.lela al pla inclinat ( � 0)?

Ff 5 m N 5 m m g cos a

F 5 0 → F 2 Ff 2 px 5 0 → F 5 Ff 1 px 5

5 m m g cos a 1 m g sin a 5 m g (m cos a 1 sin a) 5

5 10 ? 9,8 (0,3 cos 30º 1 sin 30º) 5 74,5 N

59. Un gronxador està format per una cadira d’1,5 kg de massa i una cadena d’1,80 m de longitud i massa negligible. Una nena de 20 kg s’hi gronxa. En el punt més alt de l’oscil.la-ció, la cadena forma un angle de 40° amb la vertical. De-termineu:

a) L’acceleració del gronxador i la tensió de la cadena en el punt més alt de l’oscil.lació.

T 2 m g cos u 5 0 (v 5 0)

m g sin u 5 m at

T 5 m g cos u 5 162 N

at 5 g sin u 5 6,3 m/s2

b) La velocitat del gronxador en el punt més baix de l’os-cil.lació.

E 5 constant 5 U 5 Ec punt punt més més alt baix

1m g l (1 2 cos u) 5 — m v2

2

v 5 d 2 g l (1 2 cos u) 5 2,9 m/s

c) La tensió màxima de la cadena.

T 2 m g cos u 5 m v2 (u)/l

iuyut

iuyut

cos u

→

v (u)

→

quan u augmenta Tmàx en u 5 0°

g cos 0° 1 v2 (u 5 0°)Tmàx 5 m ———————————— 5 310 N l

60. Una bola de 500 g que es deixa caure des d’una altura de 3 m sobre una superfície de sorra penetra 15 cm en la sor-ra abans d’aturar-se. Determineu la força, suposada cons-tant, de la sorra sobre la bola.

DE 5 Wfnc → Epf 2 Epi

5 F Dx → m g (h 2 h0) 5 F Dx →

→ 0,5 ? 9,8 (20,15 2 3) 5 F ? 0,15 → F 5 2102,9 N


c) Determineu el mòdul de la velocitat de l’objecte quan és a 1 m de terra. Quin angle forma aquesta velocitat amb la vertical?

Si y 5 1 m

1,71 5 2,7 2 4,9 t2 → 1,7 5 4,9 t2 → t 5 —— 5 0,6 s 4,9

vx 5 5 m/svy 5 29,8 ? 0,6 5 25,8 m/s

iyt

v 5 d v2x 1 v2

y 5 d 52 1 (25,8)2 5 7,66 m/s

vy 25,8tg a 5 —— 5 ——— 5 21,16 → vx 5

a 5 arctg (21,16) 5 310,7°

64. Un cos llisca sense fregament des d’una altura de 60 m i efectua un ris de 20 m de radi. Calculeu la força que fa la superfície sobre el cos en els punts A, B i C.

A: 1m g h 5 — m v2 → v2 5 2 g h 2

v2 v2

F 2 p 5 m —— → F 5 m g 1 m —— → R R

2 g h 2 ? 60→ F 5 m g 1 m ——— → m g �1 1 ———� R R

→ F 5 7 m g

B: 1m g h → m g 2 R 1 — m v2 → 2

v2 5 2 g h 2 4 g R 5 2 g 60 2 4 g 20 5

120 g 2 80 g 5 40 g

dlllll

b) En aquest cas, quant varien l’energia cinètica i l’energia potencial gravitatòria del cos si el cos es desplaça una distància de 5 m pel pla inclinat? Quin treball fan F i la força de fregament en aquest trajecte?

DEc 5 0 ⇒ v 5 constant

hsin a 5 — → h 5 x sin a x

DEp 5 Epf 2 Epi

5 m g h 2 0 5 m g x sin a 5

5 10 ? 9,8 ? 5 sin 30º 5 245 J

WF 5 F Dx 5 74,5 ? 5 5 372,5 J

WFf 5 2Ff Dx 5 2m m g cos a Dx 5

5 20,3 ? 10 ? 9,8 ? cos 30° ? 5 5 2127,3 J

c) En el cas que fos com es representa a la fi gura, raoneu si la força de fregament seria més gran o més petita que per a � 0.

Fy 1 N9 5 py → N9 5 py 2 Fy ⇒ N9 , N, per tant la for-ça de fregament serà més petita.

63. Un objecte puntual baixa sense fricció per la rampa repre-sentada a la fi gura. En arribar al punt A té una velocitat horitzontal v � 5 m/s i després vola fi ns a terra.

a) Quant val h?

1 v2 52

Ei 5 Ef → m g h 5 — m v2 → h 5 —— 5 ———— 5 2 2 g 2 ? 9,8 5 1,28 m

b) A quina distància d de la paret vertical arriba l’ob jecte?

És un llançament horitzontal:

1y 5 y0 1 v0y Dt 1 — a Dt2

iuyut

vy 5 v0y 1 a Dt iyt

2x 5 x0 1 v0x Dt vx 5 v0x

y 5 2,7 2 4,9 t2 iyt

vy 5 29,8 t iytx 5 5 t vx 5 5

Quan y 5 0

2,70 5 2,7 2 4,9 t2 → t 5 —— 5 0,74 s 4,9x 5 5 ? 0,74 5 3,7 m

dlllll

31FÍSICA 2 01

1y 5 y0 1 v0y Dt 1 — a Dt2

iuyut

vy 5 v0y 1 a Dt iyt


v0y 5 v0 sin a 5 30 sin 30º 5 15 iyt

y 5 6,8 2 4,9 t2 iytv0x 5 v0 cos a 5 30 cos 30º 5 25,98 x 5 18,8 t

vy 5 6,8 2 9,8 t iytvx 5 18,8

15vy 5 0 → t 5 —— 5 1,53 s 9,8

y 5 15 ? 1,53 2 4,9 ? 1,532 5 11,48 m

66. Un esquiador de 70 kg de massa llisca per un trampolí de 200 m de longitud. Durant aquest trajecte, l’esquiador perd 90 m d’altura i sobre ell actua una força de fregament amb la neu que suposem constant i de valor 100 N. La velocitat de l’esquiador just quan perd el contacte amb el trampolí i comença el vol forma un angle de 20º respecte de l’horit-zontal. L’esquiador aconsegueix fer un salt de 120 m de longitud. Suposant negligible el fregament entre l’esquia-dor i l’aire, calculeu:

a) L’energia que perd per fregament l’esquiador en el re-corregut pel trampolí.

DE 5 Wfnc → DE 5 Ff Dx 5 2100 ? 200 5 220 000 J

b) El mòdul i els components del vector velocitat →v.

1DE 5 Wfnc → Wfnc 5 — m v2 2 m g h → 2 1→ 220 000 5 — 70 v2 2 70 ? 9,8 ? 90 → 2

→ 220 000 5 35 v2 2 61 740 →

61 740 2 20 000v 5 ————————— 5 34,53 m/s 35

→v 5 v cos 20°

→i 1 v sin 20°

→j 5

5 34,53 cos 20° →i 1 34,53 sin 20°

→j 5

5 32,45 →i 1 11,81

→j m/s

dlllllllllllllllll

v2 v2

p 1 F 5 m —— → F 5 m —— 2 m g → R R

40 g 40 F 5 m ——— 2 m g → F 5 m g �—— 2 1� 5 m g R 20

C: v2

F 5 m —— R

1m g h 5 — m v2 1 m g R → 2

v2 5 2 g h 2 2 g R 5 2 g 60 2 2 g 20 5 80 g

80 g 80 gF 5 m ——— 5 m ——— 5 4 m g R 20

65. Un esquiador de 80 kg que surt des de A arriba a B amb una velocitat de 30 m/s, i quan passa per C la seva velocitat és de 23 m/s. La distància entre B i C és de 30 m.

a) Quant han variat les energies cinètica i potencial de l’esquiador en anar des de B fi ns a C?

hsin 30° 5 — → h 5 x sin 30° x

1 1 1DEc 5 — m vC

2 2 — m vB2 5 — m (vC

2 2 vB2) 5

2 2 2

1 5 — 80 (232 2 302) 5 214 840 J 2

DEp 5 m g hC 2 m g hB 5 m g x sin 30° 5

5 80 ? 9,8 ? 30 sin 30º 5 11 760 J

b) Quanta energia s’ha perdut per fregament en el tram recte BC? Quant val la força de fregament, suposada constant, en aquest tram?

DE 5 DEC 1 DEp 5 214 840 1 11 760 5 23 080 J

DE 5 Wfnc → DE 5 Ff Dx →

DE 23 080→ Ff 5 —— 5 ———— 5 2102,67 N Dx 30

c) Si la pista s’acaba a C i l’esquiador fa un salt parabòlic, quina és la màxima altura h que assolirà, mesurada so-bre el nivell de C (vegeu la fi gura)? Suposeu negligibles els efectes del fregament amb l’aire.


68. Deixem anar un pèndol simple des de la posició horitzontal. Demostreu que la ten sió del fi l, en passar per la posició vertical, és tres vegades el pes del cos.

Representem totes les forces que actuen en la posició vertical i apliquem la 2a llei de Newton:

v2

F 5 m a → T 2 p 5 m an → T 2 p 5 m —— → l

v2

T 5 m �g 1 ——� l

Per determinar la velocitat que porta el pèndol en la posició vertical, apliquem el principi de conservació de l’energia mecà-nica. Considerem la referència d’energia potencial zero en la posició més baixa del pèndol:

Inici: Ec 5 0

Ep 5 m g l

Final: 1Ec 5 — m v2

2

Ep 5 0

1Ei 5 Ef → m g l 5 — m v2 → v 5 d 2 g l 2

Substituïm a l’expressió de la tensió:

v2 2 g lT 5 m g 1 m —— → T 5 m g 1 m —— → T 5 3 m g l l

69. Un avió de massa M fa un ris (loop) de manera que segueix una trajectòria circular i vertical de radi R. Quin treball fa la força pes quan l’avió va del punt més alt B al punt més baix A de la trajectòria? Quin treball fa aquesta força en fer una volta completa de A a A?

c) El desnivell y0 que hi ha entre el punt A, on l’esquiador ha començat el vol, i la pista a què arriba.

1y 5 y0 1 v0y Dt 1 — a Dt2

iuyut

y 5 y0 1 11,81 t 2 4,9 t2 iyt

2x 5 x0 1 v0x Dt x 5 32,45 t

120x 5 120 → t 5 ——— 5 3,7 s 32,45

y 5 0 → 0 5 y0 1 11,81 ? 3,7 2 4,9 ? 3,72 → y0 5 23,4 m

iuuyuut

67. Per dos plans inclinats d’igual alçada però de diferents an-gles d’inclinació llisquen sense fregament dos cossos que parteixen del repòs des de la part superior. Calculeu les ve-locitats respectives quan arriben a la base del pla inclinat:

a) Aplicant les lleis de Newton.

Apliquem la 2a llei de Newton, l’equació del moviment i l’equació de la velocitat del MRUA, i tenim en compte les condicions inicials de l’enunciat:

F 5 m a → m g sin a 5 m a → a 5 g sin a

1 1x 5 — a t2 → x 5 — g sin a t2

2 2

v 5 a t → v 5 g sin a t2

hsin a 5 — x

Aïllant i substituint, trobem que:

h 1x 5 ——— 5 — g sin a t2

sin a 2

1→ g h 5 — g2 sin2 a t2 → 2 1g h 5 — v2 → v 5 d 2 g h 2

b) Aplicant el principi de conservació de l’energia.

Aplicant el principi de conservació de l’energia mecànica:

Inici: Ec 5 0

Ep 5 m g h

Final: 1Ec 5 — m v2

2

Ep 5 0

1Einici 5 Efi nal → m g h 5 — m v2 → v 5 d 2 g h 2

Observeu que s’ha arribat al mateix resultat en els dos ca-sos, i que la velocitat amb què arriba un cos a la part infe-rior del pla inclinat no depèn de l’angle d’inclinació.

33FÍSICA 2 01

N2

N1

F

p2p1

T

a

T

b) Calculeu la força de tracció que fa el motor del cotxe i la força amb què el cotxe estira el remolc.

m1 5 1 500 kg; m2 5 500 kg; a 5 2 m/s2

T 2 m2 g sin 10º 5 m2 a → T 2 500 ? 9,8 ? sin 10º 5 500 ? 2

→ T 5 1 851 N

F 2 T 2 px1 5 m1 a → F 2 T 2 m1 g sin 10° 5 m1 a

→ F 2 1 851 2 1 500 ? 9,8 sin 10º 5 1 500 ? 2 →

→ F 5 7 403,5 N

c) Quina haurà estat la variació de l’energia mecànica del cotxe en un recorregut de 25 m a partir del punt d’arren-cada?

1r mètode

DE 5 Wfnc → DE 5 F Dx 5 7 403,5 ? 25 5 1,85 ? 105 J

2n mètode

1 1x 5 — a t2 → 25 5 — 2 ? t2 → t 5 5 s

iuyut

2 2

v 5 a t → v 5 2 ? 5 5 10 m/s

hsin 10° 5 — → h 5 x sin 10° 5 25 sin 10° 5 4,34 m x

1DE 5 Ecf 1 Epf 5 — m v2 1 m g h 5 2 1 5 — 2 000 ? 102 1 2 000 ? 9,8 ? 4,34 5 1,85 ? 105 J 2

72. Un cos de 3 kg de massa cau des d’una certa altura amb una velocitat inicial de 2 m/s dirigida verticalment cap avall. Calculeu el treball fet durant 10 s contra les forces de resis-tència que suposem constants, si se sap que al fi nal d’aquest temps la velocitat del cos és de 50 m/s.

ag 1 aR 5 abaixa

v 5 v0 1 a t 1y 5 y0 1 v0 t 1 — a t2

iuyut 2

Tenint en compte que la força pes és una força conservativa.

Wp (A → B) 5 mg Dx 5 m g 2 R

Wp (A → A) 5 0

70. Un jugador de futbol, que està parat amb la pilota als peus, passa la pilota a un company que es troba 15 m davant seu i que s’està allunyant amb velocitat constant en la direcció de la recta que uneix els dos jugadors. La pilota té una mas-sa de 400 g i surt dels peus del primer jugador amb una velocitat de 20 m/s, formant un angle de 20º respecte del terra. Calculeu:

a) La màxima altura assolida per la pilota en la seva trajec-tòria.

v0x 5 v0 cos a 5 20 cos 20º 5 18,8v0y 5 v0 sin a 5 20 sin 20º 5 6,8

iyt

1y 5 y0 1 v0y Dt 1 — a Dt2

iuyut

vy 5 v0y 1 a Dt iyt


y 5 6,8 2 4,9 t2 iyt

vy 5 6,8 2 9,8 t iytx 5 18,8 t vx 5 18,8

6,8ymàx → vy 5 0 → 0 5 6,8 2 9,8 t → t 5 —— 5 0,7 s 9,8

ymàx 5 6,8 ? 0,7 2 4,9 ? 0,72 5 2,35 m

b) La velocitat que ha de dur el segon jugador perquè la pilota caigui als seus peus just quan aquesta arribi al terra.

xmàx → y 5 0 → 0 5 6,8 t 2 4,9 t2 →

6,8→ t (6,8 2 4,9 t) 5 0 → t 5 —— 5 1,4 s 4,9

xmàx 5 18,8 ? 1,4 5 26,3 m

x2 5 x0 1 v Dt → 26,3 5 15 1 v ? 1,4 →

26,3 2 15→ v 5 —————— 5 8,1 m/s 1,4

c) Els components horitzontal i vertical de l’impuls mecà-nic que ha comunicat a la pilota el primer jugador.→I 5

→F Dt 5 m

→→v

→I 5 m (v0x, v0y) 5 0,4 (18,8, 6,8) 5 (7,52, 2,72) Ns

71. Un cotxe de massa 1 500 kg arrossega un remolc de 500 kg. Inicialment el cotxe està aturat en un se màfor i arrenca amb una acceleració constant de 2 m/s2. La carretera sobre la qual circula és ascendent i té una inclinació constant de 10°. Suposant que les forces de fricció sobre el cotxe i so-bre el remolc són negligibles:

a) Feu un esquema amb totes les forces que actuen sobre el remolc. Per a cadascuna d’aquestes, indiqueu sobre quin cos s’aplicarà la força de reacció corresponent.


c) Quina és la velocitat del cos quan passa pel punt més baix (C)?

EpA 5 m g h

1EcA

5 — m v2A

iuuuuyuuuut

2

EpC 5 0

1EcC

5 — m v2C 2

1 1 1 1m g h 1 — m v2

A 5 — m v2C → g 2 R 1 — v2

A 5 — v2C 2 2 2 2

vC 5 d 4 g R 1 v2A 5 d 4 ? 9,8 ? 0,6 1 32 5 5,7 m/s

74. Un bloc de 5 kg és llançat cap amunt per un pla inclinat de 30° amb una velocitat de 10 m/s. Si recorre una distància de 6 m sobre la superfície inclinada del pla i després llisca cap avall fi ns al punt de partida, calculeu la força de frega-ment que actua sobre el bloc i la velocitat amb què el bloc torna a la posició inicial.

DE 5 2Wfnc

hsin 30° 5 — → h 5 x sin 30° x

1m g h 2 — m v2 5 2Ff x 2

1m g x sin 30° 2 — m v2 5 2Ff x 2

15 ? 9,8 ? 6 ? sin 30° 2 — ? 5 ? 102 5 2Ff ? 6 → Ff 5 17,17 N 2

1— m v2 2 m g h 5 2Ff x → 2 1→ — ? 5 ? v2 2 5 ? 9,8 ? 6 ? sin 30° 5 217,17 ? 6 2

→ v 5 4,19 m/s

75. Deixem caure un cos de 50 g sobre una molla que té una constant elàstica de 200 N/m. Si la distància entre el cos i la molla és de 10 m, calculeu la deformació de la molla.

250 1 2250 5 22 1 a ? 10 → a 5 ————— 5 24,8 m/s2

10

aR 5 9,8 2 4,8 5 5 m/s2

1y 5 y0 5 22 ? 10 1 — ? 4,8 ? 102 5 2260 m/s2

2

W 5 m aR y 5 3 ? 5 ? 260 5 3 900 J

Per energies:

1 1DE 5 2W → — m v2 2 — m v2

0 2 m g h 5 2W 2 2

1 1— ? 3 ? 502 2 — ? 3 ? 22 2 3 ? 9,8 ? 260 5 23 900 J 5 2W 2 2

W 5 3 900 J

73. Un cos de 200 g lligat a un cordill de massa negligible i 60 cm de llargada gira en un pla vertical. En el punt més alt de la seva trajectòria (A) el cos té una velocitat de 3 m/s:

a) Feu un esquema de les forces degudes a la corda i al pes que actuen sobre el cos quan la corda està horitzontal i quan està vertical (quan el cos passa per A, per B, per C i per D).

T

A

p

TB

p

T

C

p

TD

p

b) Calculeu la tensió de la corda quan el cos passa per A.

v2

p 1 T 5 m an → T 5 m an 2 m g 5 m �—— 2 g� 5 R 32

5 0,2 �—— 2 9,8� 5 1,04 N 0,6

35FÍSICA 2 01

77. Una vagoneta que pesa 500 N es troba inicialment en repòs al capdamunt d’una rampa de 20 m de llargada, 30° d’incli-nació amb l’horitzontal i coefi cient de fricció � 0,2. La vagoneta es deixa lliure i al fi nal de la rampa continua el seu moviment sobre un pla horitzontal sense fricció, on topa amb una molla de constant recuperadora k � 7 � 104 N/m. Calculeu:

a) La velocitat amb què la vagoneta arriba al fi nal de la rampa.

f 5 m N 5 m m g cos a

Wnc 5 DE 12m m g cos a ? l 5 — m v2 2 m g l sin a 2

v 5 [2 g l (sin a 2 m cos a)1/2 5 11,43 m/s

b) El temps que la vagoneta triga a arribar al fi nal de la rampa.

Es tracta d’un MUA:

v 5 v0 1 a t → v 5 g (sin a 2 m cos a) t → t 5 3,5 s

c) La deformació màxima que es produeix en la molla, si no s’ha perdut energia mecànica en la col.lisió.


1 1Em 5 constant → — k x2 5 — m v2

2 1

m g 500 Nm 5 —— 5 ———— 5 50 kg

iuuyuut g 10 m/s2

→ x 5 0,3 m

78. Una massa de 500 g penja d’un fi l de 2 m de longitud. Es deixa anar la massa quan el fi l forma un angle amb la vertical, i quan passa pel punt més baix la seva velocitat és de 3 m/s. En aquest instant es trenca la corda i la massa m continua movent-se sobre el pla horitzontal fi ns a topar

1m g h 5 — k x2 → 2

2 m g h→ x 5 ———— 5 k

2 ? 0,05 ? 9,8 ? 10 ———————— → x 5 0,22 m 200

76. Sobre una massa M � 5 kg, que es troba en repòs a la base del pla inclinat de la fi gura, s’aplica una força horitzontal F de mòdul 50 N. En arribar a l’extrem superior E, situat a una altura H � 10 m respecte del terra horitzontal, la força F deixa d’ac tuar. Si el coefi cient de fricció durant el movi-ment entre la massa i el pla inclinat val � 0,2 i l’angle del pla amb l’horitzontal � � 30°, calculeu:

a) La força normal i la força de fregament entre la massa i el pla inclinat.

N 2 Fy 2 py 5 0 → N 5 Fy 1 py 5 F sin b 1 m g cos b 5

5 50 sin 30º 1 5 ? 9,8 cos 30º 5 67,4 N

Ff 5 m N 5 0,2 ? 67,4 5 13,5 N

b) La velocitat de la massa en arribar a l’extrem superior E.

h hsin b 5 —— → Dx 5 ——— Dx sin b

DE 5 Wfnc → Ef 2 Ei 5 2Ff Dx 1 Fx →

1 h h→ m g h 1 — m v2 5 2Ff ——— 1 F cos b ——— → 2 sin b sin b 1→ 5 ? 9,8 ? 10 1 — 5 ? v2 5 2 10 105 213,49 ———— 1 50 cos 30° ———— → sin 30° sin 30°

→ 490 1 2,5 v2 5 596,22 →

596,22 2 490→ v 5 ——————— 5 6,51 m/s 2,5

c) L’energia cinètica amb què la massa arribarà al terra. Quin tipus de trajectòria seguirà la massa després de passar per E?

DE 5 0 → Epi 1 Eci

5 Ecf

1 1Ecf

5 m g h 1 — m v2 5 5 ? 9,8 ? 10 1 — 5 ? 6,512 5 596 J 2 2

La trajectòria és parabòlica.

dllllllll

dlllllllllllllll

dlllllllllllll


Suposeu que no hi ha fregament a la guia, i deter mineu:

a) La velocitat de la partícula en el punt B.

EpA 5 m g h

EcA 5 0

iyt

EpB 5 m g R

1EcB

5 — m v2B

iuyut 2

Aplicant el principi de conservació de l’energia mecànica:

1m g h 5 m g R 1 — m v2

B 2

vB 5 d 2 g (h 2 R) 5 d 2 ? 9,8 (3 2 1) 5 6,3 m/s

b) La força que la guia fa sobre la partícula en el punt B.

v2B 6,32

F 5 m an → T 5 m —— 5 2 ? —— 5 78 N R 1

c) El mòdul de l’acceleració total de la partícula en el punt B.

v2B 6,32

an 5 —— 5 ——— 5 39,7 m/s2

R 1

at 5 g 5 9,8 m/s2

80. Una anella de radi R està fi xada verticalment en el terra. De la part de dalt llisca sense fregament un cos. A quina dis-tància del punt fi xat amb el terra cau el cos?

hcos a 5 — R

v2

pn 2 N 5 m —— R

Punt on cau: N 5 0

v2 v2

Pn 5 m —— → p cos a 5 m —— → R R v2 h v2

→ m g cos a 5 m —— → g —— 5 —— → v 5 d g h R R R

amb una molla. La compressió màxima de la molla deguda al xoc amb la massa m és de 40 cm. Es demana:

a) La tensió de la corda just abans de trencar-se.

v2 v2

F 5 m a → T 2 p 5 m an 5 m —— → T 5 m �—— 1 g� 5 l l 32

5 0,5 �—— 1 9,8� 5 7,15 N 2

b) El valor de l’angle .

l 2 hcos a 5 ——— → h 5 l (1 2 cos a) l

1Ei 5 Ef → m g h 5 — m v2 → 2

1→ g l (1 2 cos a) 5 — v2 → 2

v2

→ 1 2 cos a 5 —— → 2 g l

v2 32

→ cos a 5 1 2 —— 5 1 2 ———— 5 0,77 2 g l 2 ? 9,8 ? 2

→ a 5 39,6°

c) La constant recuperadora (k) de la molla.

Considereu negligible el fregament entre la massa i el pla.

1 1 m v2 0,5 ? 32

Ei 5 Ef → — m v2 5 — k x2 → k 5 —— 5 ———— 5 2 2 x2 0,42

5 28,1 N/m

79. Deixem caure una massa puntual de 2 kg des de l’extrem A de la guia representada a la fi gura, situat a 3 m de terra. L’altre extrem de la guia descriu un cercle de radi 1 m, en un pla vertical.

37FÍSICA 2 01

→a 5 (0, 29,8)

t0 5 0

→r 5 (0,74 R, 1,67 R) 1 (1,7 d R 2 1,9 d R ) t 1 1 1 — ? (0, 29,8) t2

2

x 5 0,74 R 1 1,7 d R t

y 5 1,67 R 2 1,9 d R t 2 4,9 t2

ieyet

Si y 5 0 → 4,9 t2 1 1,9 d R t 2 1,67 R 5 0

21,9 d R 6 1,92 ? (d R )2 ? 4 ? 1,67 R ? 4,9t 5 ———————————————————— 5 9,8

21,9 d R 6 d 3,61 R 1 32,73 R 5 ——————————————— 5 9,8

21,9 d R 1 6,03 d R d R (6,03 2 1,9) 5 —————————— 5 ————————— 5 0,42 d R 9,8 9,8

x 5 0,74 R 1 1,7 d R ? 0,42 d R 5 0,74 R 1 0,716 R 5 1,46 R

81. Un canó de 5 000 kg dispara un pro jectil de 40 kg amb una velocitat inicial horitzontal de 300 m/s des d’un penya-se-gat a una altura de 60 m sobre el nivell del mar. El canó està inicialment en repòs sobre una plataforma amb � 0,2. Calculeu:

a) La velocitat del canó immediatament després que surti el projectil.

m1 5 5 000 kg; m2 5 40 kg; v2 5 300 m/s

→pi 5

→pf → 0 5 m1 v1 1 m2 v2 →

m2 v2 40 ? 300v1 5 2——— 5 2———— 5 22,4 m/s m1 5 000

dlllllllllllllll

Principi de conservació de l’energia:

Inici: Ep 5 m g 2 R

Ec 5 0

Final: Ep 5 m g (R 1 h)

1Ec 5 — m v2

2

1m g 2 R 5 m g (R 1 h) 1 — m v2 → 2

1 2 g R 5 g (R 1 h) 1 — g h 2

h→ 2 R 5 R 1 h 1 — → 2

3 2→ R 5 — h → h 5 — R 2 3

2v 5 d g h 5 — g R 3

h 2 R 2cos a 5 — 5 — — 5 — R 3 R 3

4 R2 2 — R2

x0 d R2 2 h2 9sin a 5 —— 5 —————— 5 ———————— 5 R R R

4 R2 �1 2 —� 9 9 2 4 d 5 5 —————————— 5 ———— 5 —— R 9 3

4 4x0 5 d R2 2 h2 5 R2 2 — R2 5 R2 �1 2 —� 5 9 9

d 5 5 —— R 5 0,74 R 3

1→r 5

→r0 1 v0 Dt 1 —

→a Dt2

2

2→r0 5 (x0, R 1 h) 5 �0,74 R, R 1 — R� 5 3

5 5 �0,74 R, — R� 5 (0,74 R, 1,67 R) 3

→v0 5 (v cos a, 2v sin a) 5

2 2 2 d 5 5 � — R g ? —, 2 — R g ? ——� 5 3 3 3 3

8 10 5 � —— R g, 2 —— R g� 5 27 27

5 (1,7 d R 2 1,9 d R )

dlllllll

dlllllllllll

dllllllllllll

dllllllll

dllllllllll dllllllllllll

dllllll dllllll

dlllllll dlllllll


En ser el xoc elàstic es compleix que la velocitat relativa abans del xoc és igual a la velocitat relativa després del xoc:

v1 2 v2 5 2(v91 2 v92)

En el nostre cas:

v1 5 2(v91 2 v92) → v92 5 v1 1 v91 5 v1 2 |v91|,

on prenem el sentit positiu de X habitual. La massa 1 asso-leix una altura menor que la del punt A. Això signifi ca que el mòdul de la seva velocitat s’ha reduït per efecte del xoc (|v91| , v1). Aleshores, de la conservació de la quantitat de moviment es dedueix: 1m1 v1 5 m1 ? (2|v91|) 1 m2 v92 → m2 5 —— m1 (v1 1 |v91|) 5 v92 v1 1 |v91| 5 m1 ———— . m1 v1 2 |v91|

v1 1 |v91|donat que ———— . 1. Per tant, l’opció correcta és la c). v1 2 |v91|

B. La quantitat de moviment de la bola m1 després del xoc:

a) És la mateixa que abans del xoc.

b) És diferent que abans del xoc.

c) Es manté constant.

L’opció correcta és la b) ja que la quantitat de moviment de la massa 1 ha canviat en mòdul i en direcció.

C. La quantitat de moviment del sistema constituït per les dues boles:

a) És la mateixa en tot moment des que m1 ha sortit de A.

b) Varia per efecte del xoc.

c) No varia per efecte del xoc.

L’opció correcta és la c). El xoc no fa variar la quantitat de moviment del sistema, però sí que ho fa la força pes des que la massa 1 està al punt A.

D. En tot el procés es manté constant:

a) L’energia cinètica del sistema.

b) L’energia mecànica del sistema.

c) L’energia mecànica de m1.

L’opció correcta és la b). Com que no hi ha fregament, l’energia mecànica del sistema es manté constant. En canvi, la massa 1 ha perdut part de la seva energia mecànica en interaccionar amb la massa 2.

84. Considereu el sistema de la fi gura. La massa m1 � 1,5 kg es troba inicialment en repòs, en contacte amb l’extrem d’una molla ideal de constant recuperadora k � 500 N/m, comprimida 30 cm. La massa m2 � 1,5 kg també es troba inicialment en repòs, a una distància de 2 m de m1, a la part inferior d’una pista semicircular de radi R � 0,25 m.

b) L’espai recorregut pel canó sobre la plataforma com a conseqüència del tret.

DE 5 Wfnc → Ecf 2 Eci

5 2Ff Dx →

1→ 0 2 — m1 v

21 5 2m N Dx →

2

1→ — m1 v

21 5 m m1 g Dx →

2

v21 2,42

→ Dx 5 ——— 5 —————— 5 1,47 m 2 g m 2 ? 9,8 ? 0,2

c) L’energia cinètica amb què arriba el projectil a l’aigua.

E 5 constant →

1 1E 5 — m2 v

22 1 m2 g h 5 — 40 ? 3002 1 40 ? 9,8 ? 60 5

2 2 5 1,82 ? 106 J

82. Una partícula de massa 0,1 kg, lligada a l’extrem d’un fi l, descriu un moviment circular en un pla vertical. Quan el fi l es troba en posició horitzontal, la seva tensió és 10 N. Calculeu per a aquesta posició:

a) L’acceleració centrípeta de la partícula.

T 5 m ac → ac 5 100 m/s2, direcció i sentit de →T.

b) L’acceleració tangencial de la partícula.

m g 5 m at → at 5 10 m/s2, direcció i sentit de →g.

83. La fi gura representa una guia circular en un pla vertical. La bola m1, inicialment en repòs en el punt A, llisca per la guia i xoca elàsticament amb la bola m2, inicialment en repòs en el punt B. Com a conseqüència del xoc, la bola m1 retrocedeix fi ns a la posició C. El fregament és negligible.

A. La massa de la bola m2:

a) És igual que la de la bola m1.

b) És més petita.

c) És més gran.

39FÍSICA 2 01

b) Les velocitats de les dues masses un instant després d’entrar en contacte.

v92 2 v91 5 2(v92 2 v91)

m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v91 1 m2 v92

ieyet

m1 2 m2v91 5 ————— v1 5 0 m/s m1 1 m2

2 m1v92 5 ————— v1 5 4,7 m/s m1 1 m2

c) L’acceleració centrípeta de m2 quan arriba a la part més alta de la pista circular (punt B).

v2Bac 5 ——

R

1 1— m2 v92

2 5 — m2 v

2B 1 m2 g ? 2 R

iuuyuut 2 2

→ a25 49,12 m/s2

Al tram horitzontal que separa m1 de m2, el coefi cient de fregament és � 0,2, mentre que a la pista semicircular el fregament és negligible.

Quan la molla es deixa anar, es descomprimeix i im pulsa la massa m1, que se separa de la molla i xoca elàsticament amb m2. Calculeu:

a) La velocitat de m1 un instant abans d’entrar en contac-te amb m2.

Wnc 5 DE

Wnc 5 2f ? d 5 2m m1 g d → Wnc 5 25,886 J

1 1DE 5 — m1v1

2 2 — k x12

2 2

0,75 v12 2 22,5 5 25,886 → v15 4,7 m/s


j Unitat 2. Camp gravitatori

j Activitats

1. Justifi ca el fet que a prop de la superfície terrestre el camp associat a la força pes és un camp uniforme.

Per a altures petites es pot negligir la curvatura de la Terra i considerar que la intensitat del camp gravitatori és perpendicu-lar a l’horitzontal. També es pot suposar, sense fer massa error, que és constant i de valor igual a g. Per tant, el camp associat a la força pes és un camp uniforme prop de la superfície ter-restre.

2. Un camp newtonià actua sobre una partícula. Quan aquesta partícula es troba a una distància deter minada del centre de forces, experimenta una força de 200 N. Quina força rebria la partícula si se situés al doble de distància que abans?

kF 5 —— 5 200 N r 2

Si ara en comptes de r tenim 2r:

k 1 k 1F 9 5 ——— 5 — — 5 — 200 5 50 N (2r)2 4 r 2 4

3. Un camp newtonià pot no ser un camp central?

No, perquè per defi nició un camp newtonià és un camp cen-tral.

4. En un camp conservatiu el treball per anar d’A a B pel camí C és de 120 J. El treball per anar de B a A per un altre ca-mí qualsevol és:

a) 120 J

b) 2120 J

c) 0 J

El treball associat a un camp conservatiu al llarg d’un camí tan-cat és zero. Per tant, per tornar de B a A es fa un treball oposat a l’anterior. L’opció correcta és la b) 2120 J.

5. En un camp conservatiu, el treball per anar d’A a B és 12 J i per anar de B a C, 45 J. Quina de les afi rmacions és la correcta?

a) El treball per anar d’A a C és 57 J.

b) El treball per anar d’A a C és 33 J.

c) El treball per anar d’A a C és 257 J.

El treball associat a un camp conservatiu és independent del camí seguit. En aquest cas, per anar d’A a C escollim el camí d’A a B seguit de B a C. El treball és la suma dels dos treballs i l’opció correcta és la a), W 5 12 1 45 5 57 J.

6. Si expressem la força en N, la massa en g i la distància en cm, quin és el valor de la constant de la gravitació univer-sal G? m m9Segons la llei de la gravitació universal, F 5 G ———, la r 2

constant de gravitació universal, en el sistema internacional, pren el valor de G 5 6,67 ?10211 N?m2/kg2. En les unitats dema-nades, G val:

N?m2 104 cm2 1 kg2 N?cm2

G 5 6,67?10211 ———?————?——— 5 6,67?10213 ——— kg2 1 m2 106 g2 g2

7. Dues masses s’atrauen amb una força d’1 N quan es troben a una distància d. Quina serà la força d’atracció quan les masses es trobin a una distància 4d?

m m9F 5 G ——— 5 1 N d2

Si ara en comptes de d tenim 4 d:

m m9 1 m m9 1F ’ 5 G ——— 5 — G ——— 5 — · 1 5 6·1022 N (4 d)2 42 d2 16

8. Una massa de 1000 kg es troba en l’origen de coorde-nades i una altra de 2000 kg en el punt de coordenades (300, 400) m. Quin és el mòdul de la força que rep la massa de 1000 kg? Expressa el resultat en nN.

La distància que separa les masses és:

d 5 d 3002 1 4002 5 500 m

Les dues masses reben la mateixa força (en mòdul):

m m9F 5 G ——— 5 8 G N 5 5,3336·10210 N → 0,5336 nN d2

9. Quin és el període del moviment de rotació de la Terra al voltant del Sol si suposem que la trajectòria és circular i que aquests cossos estan aïllats de la resta de l’Univers?

Dades: MS 5 1,99 ? 1030 kg i rST 5 1,495 ? 1011 m

En girar la Terra al voltant del Sol, la força centrípeta ha d’igualar la força gravitatòria:

mT Ms MsmT v2r 5 G ——— → v2 5 G —— r 2 r 3

Tenint en compte que la velocitat angular es pot posar en fun-ció del període, tenim que:

2 p 2 p 2 pv 5 —— → T 5 —— 5 —————— 5 T v Ms √

⎯⎯⎯ G ——

r 3

2 p5 ——————————————— 5 365 dies 1,99 ?1030

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

6,67 ?10211? —————— (1,495 ?1011)3

41FÍSICA 2 02

1L’espai recorregut per un cos en un temps t és: s 5 — g t2. 2Substituint dades: s 5 84,27 cm → 0,84 m.

b) Quin és el període d’oscil.lació a la superfície lu nar d’un pèndol que a la Terra oscil.la amb un pe río de d’1 s?

El període del pèndol de longitud l ve donat per:

lT 5 2 p — g

Dividint els períodes a la Lluna i a la Terra:

TL gT— 5 — 5 2,41. Si TT 5 1 s, TL 5 2,41 s. TT gL

c) Quins pesos hauríem d’utilitzar a la superfície lunar per equilibrar la massa d’un cos en el plat d’una balança, si aquest equilibri s’aconsegueix a la Terra amb pesos de 23,15 g?

Dada: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2

Cal posar els mateixos pesos, és a dir, 23,15 g.

15. Si la densitat de la Terra es tripliqués sense variar el radi, quin seria el valor de g a la superfície de la Terra?

A la superfície de la Terra, la intensitat de camp gravitatori és, en mòdul: 4 r0 — p R

T

3

M 3 4g0 5 G —— 5 G —————— 5 G r0

— p RT RT

2 RT

2 3

Si la densitat fos el triple, el camp gravitatori valdria:

g 5 G (3 r0) 4 p RT 5 3 g0 5 3 ? 9,8 5 29,4 m/s2

16. A quina distància de la Terra la gravetat es redueix a una desena part del seu valor a la superfície?

Dades: Rt 5 6 380 km

El mòdul de la gravetat a la superfície de la Terra és:

MTg 5 G —— R2

en què R és el radi de la Terra.

Si la gravetat es redueix a una desena part, l’expressió anterior queda:

g MT—— 5 G —— 10 R92

Relacionem les dues expressions:

MT G —— g R2 R92 R92—— 5 ———— ⇒ 10 5 —— ⇒ 10 5 ——— g MT R2 6 3802

—— G —— 10 R92

dllll

dllll

10. Quan una nau s’allunya de la Terra, el seu pes varia? Com varia?

L’atracció gravitatòria de la Terra sobre la nau varia de forma inversament proporcional al quadrat de la distància de la nau al centre de masses de la Terra.

11. Un cos té una massa de 50 kg. Aquest cos a la Lluna té la mateixa massa? I pes? Justifi queu la resposta.

La massa és independent de la intensitat de la gravetat on es troba el cos del planeta. Per tant, la massa és 50 kg tant a la Terra com a la Lluna. En canvi, el pes a la Lluna serà menor perquè l’acceleració de la gravetat a la superfície de la Lluna és menor que la de la Terra.

12. La intensitat de la gravetat a la superfície d’un planeta és 3,2 m/s2. Quina és la intensitat de la gravetat a una dis-tància de la superfície del planeta igual al triple del seu radi?

La intensitat de la gravetat és inversament proporcional a la distància al centre. Si la massa del planeta és M i el radi és MR, la gravetat a la superfície és: g (R) 5 G ——. A la distància R2

Md 5 4 R, la gravetat és g (d) 5 ———. És clar que la gravetat a (4 R)2

quàdruple distància és 16 vegades més petita, per tant, 0,2 m/s2.

13. Calculeu la intensitat de camp gravitatori que genera en la seva superfície una gran esfera metàl.lica de coure de radi 5 m i densitat 8,93 ?103 kg/m3. Amb quina força atrau una persona de 80 kg que està tocant l’esfera?

Si designem per r la densitat, la massa de l’esfera és:

4M 5 r — p R3

3

La intensitat del camp gravitatori a la seva superfície és:

4 — p R3

M 3 4 Ng 5 G — 5 G ———— 5 G — p R 5 1,25 ? 1025 —— R2 R2 3 kg

La força d’atracció sobre una persona de massa m 5 80 kg sobre la superfície serà:

F 5 m g 5 9,98 · 10–4 N → 1 mN

14. La massa de la Lluna és aproximadament de 7,3 ? 1022 kg, i el radi de 1,7 ? 106 m.

a) Quina distància recorre un cos en 1 s, en caiguda lliure a la Lluna, si el deixem anar des d’un punt proper a la superfície?

Calculem la intensitat de la gravetat a la superfície de la Lluna:

M 7,3 ? 1022

g 5 G — 5 6,67 ? 10211 ————— 5 1,69 m/s2

R2 (1,7 ? 106)2


21. Calculeu el camp gravitatori creat en el punt P per la dis-tribució de masses representada en la fi gura.

Els vectors de posició de les masses són:

→r1 5 4

→j → r1 5 4

→r2 5 3

→i 1 4

→j → r2 5 5

→r3 5 10

→i 1 4

→j → r3 5 d 116

La intensitat de camp gravitatori de la distribució de masses ve donada per l’expressió:

Mi→g 5 S G —— r

i

2

500 1000 (3→i 1 4

→j ) 5 000 (10

→i 1 4

→j )→

g 5 2G 1—— →j 1 ——— ? ————— 1 ————? —————2 5 42 52 5 (d 116 )2

d 116

5 (1,07 ?1029→i 2 5,29 ?1029

→j ) m/s2

22. En els vèrtexs d’un quadrat de costat 10 m hi ha quatre esferes iguals de 1 000 kg. Calculeu:

a) La intensitat de camp en el centre del quadrat.

La intensitat del camp gravitatori és nul.la en el centre del quadrat.

b) El potencial en el centre del quadrat.

El potencial és 4 vegades el produït per una de les masses. La distància de cada massa al centre és la meitat de la dia-gonal: d 5 5 d 2 m. Per tant, el potencial és:

11 810004 4·6,67·10 · 3,77·10

5 2

MV G

d− −= − = − = − J/kg

Resolem l’equació i ens dóna que la distància respecte al centre de la Terra és R95 20 175,3 km que correspon una altura respec-te de la superfície de la Terra de 13 795,3 km.

17. Quant pesa una persona de 90 kg al cim de l’Everest?

Dades: altitud Everest 5 8 840 m

Aquesta persona, al nivell del mar, pesa aproximadament:

p 5 mg 5 90 ? 9,8 5 882 N

En el cim de l’Everest la gravetat disminueix una mica i el seu valor és, respecte al valor pres inicialment, aproximadament:

MT R 2 R 2

g9 5 G ———— ? —— 5 9,8 ? ———— 5 (R 1 H)2 R 2 (R 1 H)2

1 1 5 9,8 ? —————— 5 9,8 ? ———————— 5 9,7729 m/s2

H 8,84 11 1 —2

2

11 1 ———22

R 6 380

Per tant, el pes serà p 5 mg 5 90 ? 9,7729 5 879,6 N

18. Trobeu la relació de la força gravitatòria i la força centrípe-ta que rep una massa m a l’equador.

Dades: MT 5 5,98 ? 1 024 kg; RT 5 6 380 km

La força gravitatòria és: p 5 mg 5 9,8 m N

La força centrípeta és:

2 pFn 5 m v2 R 5 m 1—————2

2

6,38 ? 106 5 0,03374 m N 24 ? 3 600

La relació entre aquestes forces és:

9,8 m—————— 5 290,5 0,03374 m

És a dir, la força gravitatòria és 290,5 vegades més gran que la centrípeta.

19. En els vèrtexs d’un triangle equilàter hi ha tres masses iguals. En quin punt s’anul.la la intensitat de la gravetat?

La gravetat s’anul.la al centre de masses (el baricentre).

20. Si en tres dels quatre vèrtexs d’un quadrat tenim tres esfe-res de masses diferents, la intensitat del camp gravitatori en el centre del quadrat varia segons la posició de les mas-ses en els vèrtexs? Justifi queu la resposta.

Sí que varia. El component en la direcció de cada diagonal és la diferència dels camps dels vèrtexs oposats i les dues diagonals són perpendiculars. Si canviem de posició les masses dels vèr-texs, els components varien i la seva composició varia.

43FÍSICA 2 02

La distància al centre de la Terra és r 5 RT 1 h 5 16 370 km

Aplicant la segona llei de Newton:

MT mG ——— 5 m v2 r r 2

2 p r 3

T 5 ——— 5 2 p ——— 5 20 799 s 5 5 h 46 min 39 s v GMT

28. Si un satèl.lit vol reduir el radi d’òrbita entorn d’un plane-ta, l’energia cinètica ha d’augmentar o disminuir? Justifi -queu la resposta.

Per a un satèl.lit en òrbita entorn un planeta de massa M, la

G Mseva velocitat ve donada per: v 5 —— r

En conseqüència, si es vol reduir el radi de l’òrbita r, cal aug-mentar la velocitat del satèl.lit, és a dir, cal augmentar la seva energia cinètica.

29. Un satèl.lit artifi cial de massa 1500 kg descriu una trajec-tòria circular a una distància de 630 km respecte de la su-perfície terrestre. Calculeu:

a) El període del satèl.lit.

r 5 RT 1 h 5 7 � 106 m

MT m G ? MTG ——— 5 m v2 r → v 5 ——— r 2 r 3

2 p r3

T 5 —— 5 2 p √⎯⎯⎯

——— 5 5,82 � 103 s → 1,62 h v G MT

b) L’energia cinètica i l’energia mecànica del satèl.lit en òrbita.

1 1 MT mEc 5 — m v2 r2 5 — G ——— → Ec 5 4,29 � 1010 J 2 2 r

MT m 1 MT mE 5 U 1 Ec 5 2G ——— 1 — G ——— → r 2 r

E 5 24,29 � 1010 J

c) L’energia mínima que caldria comunicar al satèl.lit en òrbita perquè s’allunyés indefi nidament de la Terra.

Dades: G 5 6,67 � 10211 N�m2/kg2; RT 5 6 370 kmMT 5 6 � 1024 kg

Eadicional mínima 1 E 5 E (`) 5 0 →

Eadicional mínima 5 4,29 � 1010 J

dllllll

dlllll

√⎯⎯

23. Si en tres dels quatre vèrtexs d’un quadrat tenim tres esfe-res de masses diferents, el potencial gra vi tatori en el centre del quadrat varia segons la posició de les masses en els vèr-texs? Justifi queu la resposta.

No, perquè les distàncies són iguals i, en conseqüència, el poten- S Micial V 5 2G —— només depèn de la massa total. d

24. En els vèrtexs d’un triangle equilàter hi ha tres mas ses iguals. Hi ha algun lloc proper a les masses on s’anul.li el potencial?

No, el potencial sempre és una suma de termes del mateix signe i no es pot anul.lar a distància finita de les masses.

25. Tenim una massa de 10 kg en repòs sobre la superfície te-rrestre. Quin treball cal fer per pujar-la fi ns a una distància de 10 m? I fi ns a una altura de 630 km?

Dades: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2

RT 5 6,37 ?106 m

MT 5 5,98 ? 1024 kg

h 5 10 m

W 5 mgh → W 5 10·9,81·10 5 981 J

o bé:

MT MTW 5 m 12G ———— 1 G ——2 → W 5 981 J RT 1 h RT

h 5 630 km 5 6,3·105 m

MT MTW 5 m 12G ———— 1 G ——2 → W 5 5,6·107 J RT 1 h RT

26. Si l’energia mecànica d’un cos és de 1200 J i suposem que es troba en un camp conservatiu, pot ser que el valor de l’energia potencial sigui:

a) 21000 J

b) 1400 J

c) 5000 J

Raoneu la resposta.

L’energia mecànica per a un sistema conservatiu és la suma de les seves energies cinètica i potencial. A més, l’energia cinètica sempre és positiva o zero. Per tant, si l’energia mecànica és de 1 200 J, l’energia potencial no pot superar aquest valor. L’única opció possible és la a) 21 000 J que implica un valor de 2 200 J per a l’energia cinètica.

27. Quin és el període d’un satèl.lit que gira a 10000 km de distància respecte de la superfície de la Terra?

Dades: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2; RT 5 6 370 km MT 5 6 ? 1024 kg


33. És correcte afi rmar que el vector intensitat de camp gravi-tatori va en el sentit en què augmenta el potencial?

Justifi queu la resposta.

No és correcte perquè la relació entre la direcció d’augment de potencial i el vector intensitat ve donada per: d V 5 2

→g � d

→r.

Considerant un diferencial de camí en el mateix sentit que el camp, resulta una disminució del potencial.


h Qüestions

1. Dibuixeu les línies de camp gravitatori de dues masses iguals que es troben a una certa distància.

2. Defi niu el concepte d’intensitat de camp gravitatori i apli-queu-lo en un punt de la superfície de la Terra.

La intensitat del camp gravitatori en un punt és la força que experimenta una partícula de massa unitat situada en aquest punt.

En el cas d’una massa situada a la superfície de la Terra, és la força pes d’una massa d’1 kg.

3. a) Quina diferència hi ha entre la massa i el pes?

Entenem la massa com la quantitat de matèria de què el cos està format, i sol ser invariable. El pes és la força amb què la Terra o un planeta atrau el cos. Quan la massa es mou a velo citats properes a la de la llum, aleshores la massa varia i cal tenir en compte els efectes relativistes.

b) Pot ser que una persona no tingui massa?

No, no és possible. Qualsevol cos té una certa massa.

c) I pes?

Una massa situada en un camp gravitatori nul no rep cap força i entenem que el seu pes és nul.

Justifi queu les respostes.

4. A la Lluna, un bloc pesa 50 N. Pesa igual a la Terra? La mas-sa varia d’un lloc a l’altre?

No. A la Terra pesa més ja que la gravetat és més gran.

30. Un cos de massa 0,5 kg és sotmès a un camp d’energia po-tencial gravitatòria Ep 5 (x2 2 25) J. Calculeu:

a) Si la massa té una energia mecànica de 216 J, en quin interval es pot moure?

Representem gràficament l’energia potencial en funció de la distància i establim un nivell d’energia mecànica de 216 J:

E 5 x 2 2 25 → x2 2 25 5 216 →E 5 216

iyt

x 5 √ 9 5 63 m → [23, 3]

b) Quina és la velocitat màxima i en quin punt es dóna aquesta velocitat?

La velocitat màxima tindrà lloc quan passi per l’origen de coordenades, ja que l’energia potencial és mínima i, per tant, l’energia cinètica és màxima:

E 5 Ec 1 Ep → 216 5 225 1 Ec → Ec 5 9 J

Que correspon a una velocitat de:

19 5 — ? 0,5 ? v 2 → v 5 6 m/s 2

31. Com són les superfícies equipotencials d’una massa pun-tual? Dibuixeu-les.

Atès que el potencial depèn inversament de la distància, les superfícies equipotencials són esferes concèntriques amb la massa puntual.

32. Demostreu que el vector intensitat de camp és perpendicu-lar a les superfícies equipotencials.

El diferencial de potencial és d V 5 2 → g � d

→r. Si prenem d

→r sobre

la superfície, d V 5 0. Com que la intensitat de camp no és nul.la, ha de ser perpendicular a la superfície, de manera que el producte escalar doni zero.

45FÍSICA 2 02

9. Es poden tallar dues línies de camp gravitatori?

No és possible.

En la figura hem suposat que dues línies de camp es tallen en un punt P. En aquesta situació, en P tindríem dues intensitats diferents que actuen sobre el mateix cos.

10. Pot ser nul.la la intensitat de camp en un punt i no ser-ho el potencial? Raoneu la resposta amb un exemple.

Sí que és possible. Considerem, per exemple, la Terra i la Lluna.

Si negligim els efectes dels altres astres, podem considerar, segons indica la figura, un punt del segment que uneix la Terra i la Lluna on

→g 5 0 i v Þ 0.

11. La velocitat d’escapament d’un planeta depèn:

a) De la massa del cos que surt.

b) De la massa del planeta.

c) Del radi del cos que surt.

L’única opció correcta és la b): la velocitat d’escapament d’un planeta depèn de la massa del planeta. A més, també depèn del radi del planeta però no depèn ni del radi del cos que vol escapar-se ni de la seva velocitat.

12. Quin és el camp gravitatori en el centre d’un quadrat si en els vèrtexs hi ha quatre cossos de la mateixa massa m?

Els camps gravitatoris de les parelles de masses situades a vèr-texs oposats s’anul.len perquè tenen igual mòdul i direcció i van en sentits contraris.

Si no tenim en compte els efectes relativistes, la massa és in-variable.

5. Enuncieu les lleis de Kepler.

Vegeu Llei de la gravitació universal.

6. Dibuixeu les línies de camp gravitatori d’una massa pun-tual. Indiqueu el vector

→g en un punt qualsevol. Dins d’una

mateixa línia de camp indiqueu dos punts A i B i especifi -queu quins dels dos té més potencial.

7. Observeu les superfícies equipotencials representades a la fi gura.

En quin dels dos punts indicats, A o B, la intensitat de camp és més gran? Justifi queu la resposta.

La relació entre el camp gravitatori i el potencial ve donada dV per l’expressió —— 5 2

→g.

d→r

Com que per una distància r determinada, en A hi ha més varia-ció de potencial que en B, ja que hi ha més densitat de línies equipotencials, aleshores deduïm que la intensitat de camp gravita tori és més gran en A que en B.

8. Pot ser nul el potencial en un punt i no ser-ho la in tensitat de camp? Raoneu la resposta amb un exemple.

En el cas del camp gravitatori, el potencial en un punt és nul quan es troba a una distància infinita de la massa, i, en aques-ta situació, el camp gravitatori també és nul. Les expres sions següents justifiquen aquesta conclusió:

mg 5 G —

6 r 2

mV 5 2G — r

Per tant, no és possible que es doni la situació de la qüestió.


Veiem que en disminuir la intensitat de camp augmenta el pe-ríode i, per tant, el rellotge s’endarrereix.

18. Quan un satèl.lit augmenta el radi d’òrbita al voltant de la Ter ra, el període augmenta o disminueix? Raoneu la resposta.

Considerem la llei de Kepler, T 2 5 K r 3. En augmentar el radi, augmenta el període seguint la condició següent:

T 5 d K r 3

19. Què li succeeix a un satèl.lit artifi cial quan gira al voltant de la Terra si posa momentàniament en funcionament un dels coets per augmentar la velocitat en sentit tangencial?

Suposem que inicialment, el satèl.lit té una energia mecànica E1, de manera que l’energia cinètica i el potencial compleixen la relació:

E1 5 Ec1 1 Ep1

L’activació del coet farà augmentar l’energia mecànica a un valor més alt, E2:

E2 5 Ec2 1 Ep2

En la figura observem que l’energia cinètica disminueix i que l’energia potencial augmenta.

20. Un hipotètic planeta té la mateixa massa que la Terra i un radi doble.

a) Quant val la gravetat a la superfície d’aquest planeta?

Mg0 5 2G —— R 2

M g0g 5 2G ——— 5 —— (2 R)2 4

La gravetat en el hipotètic planeta es redueix a una quarta part de la de la Terra.

13. Quan separem dues masses, l’energia potencial:

a) Augmenta.

b) Disminueix.

c) No varia.

L’opció correcta és la a), la seva energia potencial gravitatòria augmenta perquè és negativa i el seu valor absolut disminueix en augmentar la distància entre les dues masses.

14. Suposeu que aterreu en un planeta que té la mateixa den-sitat que la Terra, però un radi 5 vegades més gran. Quant pesaríeu en aquest planeta en comparació del que peseu a la Terra?

Suposem que R és el radi de la Terra, i r la seva densitat. En mòdul, el meu pes a la Terra seria:

4 — p R 3r m M m 3 4pTerra 5 G —— 5 G ——————— 5 — G p r m R R 2 R 2 3

En un planeta de la mateixa densitat i radi 5 R, el meu pes seria:

4 — p (5 R)3 r m M m 3 4pplaneta 5 G —— 5 G ———————— 5 5 ?— G p r m R 5 R 2 R 2 3 5 5 pTerra

15. Calculeu el temps aproximat que trigaria a completar la seva òrbita al voltant del Sol un planeta del Sistema Solar que es trobés a una distància mitjana del Sol tres vegades més gran que la distància mitjana de la Terra al Sol.

T2 T 02 (3 R0)

3 T 02

—— 5 —— → T2 5 ————— 5 33 ? T 02 →

R 3 R03 R0

3

T 5 √ 27 � T0 5 5,2 anys

16. Quan un coet cau cap a la Terra, l’energia potencial augmen-ta o disminueix? I l’energia cinètica?

L’energia potencial entre dos cossos és:

m m9Ep 5 2G —— r

Si suposem que negligim el fregament de l’atmosfera, tenim un sistema conservatiu.

Si el coet cau cap a la Terra, l’energia potencial disminueix i, en conseqüència, l’energia cinètica augmenta.

17. Un pèndol funciona com a rellotge. Quan s’allunya de la Ter-ra, s’avança o s’endarrereix?

En augmentar la distància a la Terra, la intensitat del camp gravi-tatori disminueix. Tenint en compte l’expressió que relaciona el període amb la intensitat de camp gravitatori i la longitud d’un pèndol senzill:

lT 5 2 p — gdllll

47FÍSICA 2 02

El període d’un pèndol és:

lT 5 2 p — g

Per tant, a la Lluna el pèndol del rellotge s’endarrereix.

26. Dos satèl.lits A i B tenen la mateixa massa i giren al voltant de la Terra en òrbites circulars, de manera que el radi de l’òrbita de A és més gran que el radi de l’òrbita de B.

a) Quin dels dos satèl.lits té més energia cinètica?

m MO v2 1 1 m MOG ——— 5 m —— → Ec 5 — m v2 5 — G ——— . 0 r2 r 2 2 r

rA . rB → EcA , EcB

b) Quin dels dos satèl.lits té més energia mecà nica?

1 m MO 1 m MOEm 5 — m v22 G ——— 5 1— 2 12 G ———5 2Ec 2 r 2 r

→ EmA . EmB

27. En els vèrtexs d’un triangle equilàter de longitud l hi ha tres mas ses iguals m. Quin treball és necessari per des-plaçar una de les masses al mig del costat oposat al vèrtex que ocupava.

Energia potencial inicial de la massa desplaçada:

22 G m2

G ———— l 22 G m2

Energia potencial final de la massa desplaçada: Ep2 5 ———— l 22 G m2

Si restem: W 5 Ep2 2 Ep1 5 ———— l

28. Quin treball es realitza sobre una massa que es desplaça per una superfície equipotencial? Justifi queu la resposta.

El treball realitzat per la força gravitatòria sobre una massa m que es mou d’A a B ve donat per: WA → B 5 2m (VB 2 VA), d’on es dedueix que el treball sobre una massa que es desplaça sobre una superfície equipotencial (V 5 constant) és nul.

h Problemes

1. La intensitat de camp gravitatori en la superfície d’un pla-neta és 1,62 m/s2. Un cos que pesa 8 000 N a la superfície de la Terra, quant pesarà en aquest planeta?

Dades: g0 5 9,8 m/s2

El pes és P 5 mg. Per tant, la relació dels pesos al planeta PP i a la Terra PT serà

PP gP—— 5 —— PT

gT

Substituint dades s’obté PP 5 1 322,45 N.

dllll

b) Si traslladem al planeta un rellotge de pèndol que a la Terra estava perfectament ajustat, s’avança o s’endarre-reix? Per què?

lSegons l’expressió T 5 2 p —— deduim que en disminuir gla gravetat augmenta el període i, per tant, s’endarrereix.

21. Considerem un meteorit que procedeix de l’espai interes-tel.lar i que inicia la caiguda sobre la Terra sense energia cinètica. Amb quina velocitat incidiria sobre la superfície si no existís fregament amb l’atmosfera?

Podem considerar que el meteorit té una energia mecànica zero en l’espai interestel.lar. En arribar a la superfície de la Terra, tenim que:

1 M m 2 G M0 5 — m v 2 2 G —— → v 5 √

⎯⎯⎯ ———

2 RT RT

que és, justament, la velocitat d’escapament.

22. Si la densitat de la Terra augmentés sense que en variés el radi, la velocitat d’escapament hauria de ser més gran o més petita?

Si augmentés la densitat, augmentaria la massa de la Terra. Per tant, la velocitat d’escapament hauria de ser més gran, segons indica l’expressió següent:

2 G Mv 5 √

⎯⎯⎯ ———

RT

23. Quan un satèl.lit disminueix la seva energia cinètica, ten-deix a apropar-se a la Terra o a allunyar-se’n?

Si disminueix l’energia cinètica, ha d’augmentar l’energia po-tencial, ja que suposem que el camp és conservatiu.

m m9De l’expressió de l’energia potencial, Ep 5 2G ———, tenim rque la distància ha d’augmentar.

24. Si llancem un cos cap amunt amb la mateixa velocitat a la superfície de la Terra i a la superfície de la Lluna, assoleixen la mateixa altitud? MDe l’expressió del camp gravitatori, g 5 G ——, es demos- R 2

tra que la intensitat del camp gravitatori de la Terra és més gran que el de la Lluna. Per tant, en llançar un cos verticalment cap amunt, a la Lluna assoleix més altura que a la Terra.

25. Un pèndol de rellotge funciona correctament a la Ter ra. Si el portem a la Lluna, funcionarà correctament?

No, ja que com hem comentat en la qüestió anterior, la intensi-tat de camp a la Lluna és menor que a la Terra.

dllll


5. Un astronauta pesa 700 N a la Terra. En arribar al planeta Venus es pesa. Si descomptem el pes de l’equip i els accessoris, el seu pes és de 600 N. Tenint en compte que el diàmetre de Venus és gairebé igual al de la Terra, calculeu la massa d’aquest planeta.

Dades: MT 5 6,37 ? 106 kg; gT 5 9,8 m/s2

Calculem la massa de l’astronauta:

p 700m 5 —— 5 ——— 5 71,4 kg g 9,8

Calculem la intensitat de gravetat en el planeta Venus:

p 600g 5 —— 5 ——— 5 8,4 m/s2

m 71,4

El mòdul de la intensitat de camp que genera un planeta ve donat per l’expressió:

M g R2 8,4 ? (6,37 ? 106)2

g 5 G —— → M 5 —— 5 ————————— 5 5,1 ? 1024 kg R2 G 6,67 ? 10211

6. El període de revolució de la Lluna al voltant de la Terra és de 27,31 dies, amb un radi de 3,84 ?108 m. Calculeu la intensitat de camp gravitatori a la superfície de la Terra.

Dades: RT 5 6 370 km

En girar la Lluna al voltant de la Terra, la força centrípeta ha d’igualar la força gravitatòria:

mLMT MTmL�2r � G ——— → �2 � G ——

r 2 r 3

Tenint en compte que la velocitat angular es pot posar en fun-ció del període, tenim que:

2 � 2 � 2 �� —— → T � —— � —————— → T � MT G —— r 3

2 �—————————————— � 27,31 � 24 � 3 600 MT 6,67 �10�11� —————— (3,84 �108)3

Però la intensitat de camp a la superfície de la Terra és, en mòdul:

Mg � G —— R

T

2

√⎯⎯⎯

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2. Calculeu la força, en mòdul i vectorialment, que rep un cos de massa 10 000 kg situat al punt (40, 30) quan a l’origen hi ha una massa de 40 000 kg.

Determinem el radi de posició de la massa de 104 kg respecte de l’origen de coordenades:

→r 5 (40, 30) → r 5 √ 402 1 302 5 50 m

Apliquem la llei de la gravitació universal:

M m 104? 4 ?104 (40, 30)→F 5 2G ——

→u →

→F 5 26,67?10211?—————?———— 5

r 2 502 50

5 (28,54 ?1026 →i 2 6,403 ?1026

→j ) N

En mòdul:

F 5 √ (28,54?1026)2 1(26,40?1026)2 5 1,067?1025 N

3. Suposem que es descobreix un nou planeta que gira entorn del Sol i s’observa que triga 9 ? 109 s a completar la seva òrbita. A quina distància es trobaria del Sol?

Dades: radi d’òrbita de la Terra entorn del Sol: 1,496 ? 1011 m.

Aplicant la tercera llei de Kepler al planeta i a la Terra:

2 3

P P

T T

T rT r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i substituint dades:

TPrP 5 rT 1——22

5 6,48 ? 1011 m TT

4. Calculeu la intensitat de camp gravitatori que genera el Sol a la seva superfície. Quant pesaria una massa de 5 kg a la superfície del Sol?

Dades: MS 5 1,98 ?1030 kg; RS 5 6,96 ?108 m; G 5 6,67 ? 10211 Nm2/kg2

Determinem en mòdul la intensitat del camp gravitatori a la superfície del Sol:

M 1,99 �1030

g � G —— → g � 6,67 �10�11� ————— � 274 m/s2

R2 (6,96 �108)2

El pes, en mòdul, d’una massa de 5 kg seria:

p � m g � 5 � 274 � 1370 N

3dlllllll

49FÍSICA 2 02

10. Un cos pesa 12 N a la superfície d’un planeta de mas sa 1023 kg i de radi 106 m. Calculeu quant pesa a la superfície de la Terra (g0 5 9,8 m/s2).

Apliquem la llei de la gravitació universal en mòdul:

M m m �1023

F � G —— → 12 � G ———— → m � 1,799 kg r 2 (106)2

A la superfície de la Terra, el pes seria:

p � m g � 1,799 � 9,8 � 17,63 N

11. Llancem un cos de massa 8 kg des de la superfície de la Lluna amb una velocitat inicial de 20 m/s.

Calculeu l’alçada màxima, el temps d’anada i tornada i l’energia cinètica quan ha pujat 100 m.

Dades: MLL 5 7,34 ?1022 kg; RLL 5 1,74 ?106 m

Amb les dades que tenim, podem calcular la intensitat de camp gravitatori a la superfície de la Lluna:

M 7,34 �1022

g � G —— � G � ————— � 1,617 m/s2

r 2 (1,74 �106)2

Com que la velocitat de llançament del cos és petita, podem consi-derar que la intensitat de camp gravitatori és pràcticament cons-tant. Aleshores, es tracta d’un moviment uniformement variat. Calculem l’alçada màxima:

v 2 � v0

2 � 2 g x → 0 � 202 � 2 �1,62 � x → x � 123,46 m

Calculem el temps d’anada i tornada:

20v � v0 � g t → t � ——� 2 � 24,7 s 1,62

Calculem, fent plantejaments energètics, l’energia cinètica:

1Ec � Ec� � Ep� → — � 8 � 202 � Ec� � 8 �1,617 �100 → 2

Ec� � 306,4 J

12. Si la densitat mitjana de la Terra fos el doble de la que té ara, quin seria el valor de g a la superfície de la Terra si la massa no variés?

En mòdul, la intensitat de camp gravitatori a la superfície de la Terra és: 4 0 — � R

T

3

M 3 4g0 � G —— � G —————— � G 0

— � RT RT

2 RT

2 3

Si la massa és la mateixa, la relació entre la densitat i el radi ha de complir:

4 4 RT0 — � (RT)

3 � 20 — � R3 → R � ——— 3 3

3√ 2

Combinant amb l’expressió anterior:

2 �——————————————— � 27,31 � 24 � 3 600 MT R

T

2

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

6,67 �10�11� ————— � —— (3,84 �108)3 R

T

2

2 � ————————— � 27,31 � 24 � 3 600 → g ——————� R

T

2

(3,84 �108)3

2 � ———————————— � 27,31 � 24 � 3 600 g ——————� (6,37 �106)2

(3,84 �108)3

(2 �)2� (3,84 �108)3

g � ——————————————— � 9,8 m/s2

(27,31� 24 � 3 600)2� (6,37 �106)2

7. A quina distància del centre de la Terra una massa d’1 kg pesa 1 N?

Dades: MT 5 5,98 ?1024 kg

Apliquem la llei de la gravitació universal en mòdul:

M m G M mF � G —— → r � —— � r 2 F

6,67 �10�11� 5,98 �1024�1� ———————— � 1,997 �107 m 1

Si el radi de la Terra és RT � 6,37�106 m, correspondria aproxi-madament a 3 vegades el radi terrestre.

8. Si l’acceleració de la gravetat a la superfície de Mart és 3,7 m/s2 i el seu diàmetre és de 6,8 ?106 m, quina és la seva massa?

En mòdul, la intensitat de camp gravitatori a la superfície de Mart és:

M Mg � G —— → 3,7 � 6,67 �10�11� ————— → R

M

2 (3,4 �106)2

M � 6,41 �1023 kg

9. Determineu la intensitat de camp g de la Terra a dos radis terrestres (2 RT) de distància tenint en compte que la g0 en la superfície de la Terra és 9,8 m/s2.

En mòdul, la intensitat de camp gravitatori a la superfície de la Terra és:

M M R T

2

g0 � G —— → g � G ——— � —— � R

T

2 (3RT)2 R

T

2

g0 g0 9,8� ——— � R

T

2 � —— � —— � 1,09 m/s2

(3 RT)2 9 9

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

√⎯⎯⎯

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


16. Calculeu el potencial i la intensitat de camp gravitatori en el punt A creat per una distribució de masses com la repre-sentada a la fi gura.

Prèviament, calculem els vectors de posició de les masses res-pecte del punt A:

→r1 � 6

→i → r1 � 6

→r2 � 3

→i → r2 � 3

→r3 � 3

→i � 4

→j → r3 � 5

→r4 � 6

→i � 8

→j → r4 � 10

El potencial en A de la distribució de masses és:

500 200 100 1000V � �G �—— � —— � —— � ———� � �1,8 �10�8 J/kg 6 3 5 10

Calculem la intensitat de camp gravitatori:

500 200 100 (3→i � 4

→j )→

g � �G �——→i � ——

→i � ——� ————— �

36 9 25 5

1000 (6→i � 8

→j )

� ——— � —————� � 10 10

� (�2,97 �10�9→i � 3,2 �10�10

→j ) m/s2

Per tant, en aquest cas, el valor de la gravetat seria:

Mg � G ———— �

3

√ 4 g0 � 15,6 m/s2

RT �——�2

3√

2

13. El radi d’un planeta és m vegades més gran que el de la Terra i la seva densitat és n vegades més gran que la de la Ter- ra. Quina és l’acceleració de la gravetat a la superfície del planeta?

En mòdul, la intensitat de camp gravitatori d’un planeta és:

4 n 0 — � (m R

T)3

M 3g � G —— � G ————————— � m n g0 R2 (m R

T)2

14. Un cos pesa 49 N a la superfície de la Terra i 5 N en una altura determinada de la superfície. Calculeu la massa del cos i l’altura.

Dades: RT 5 6,38 ?106 m; g0 5 9,8 m/s2

La variació de la intensitat gravitatòria terrestre amb l’altura és:

g RT

2

—— � ———— g0 (RT � h)2

Si multipliquem per la massa:

m g RT

2 RT

2

——— � ———— → — � ———— m g0 (RT � h)2 0 (RT � h)2

Substituint valors, obtenim que m � 5 kg i h � 1,359 �107 m → 2,13 RT

15. a) Calculeu el potencial en la superfície d’una massa es-fèrica de valor 1 000 kg i de densitat r 5 7,8 g/cm3.

Prèviament, determinem el radi del cos esfèric:

M � V → 103 � 7,8 �103 V → V � 0,1282 m3

4 4V � — � r 3 → 0,1282 � — � r 3 → r � 0,3128 m 3 3

El potencial a la superfície de l’esfera és:

m 103

V � �G — � �G � ——— � �2,13 �10�7 J/kg r 0,3128

b) En quin punt el potencial és màxim?

A una distància molt gran de l’esfera, el potencial tendeix a zero. Per tant, a una distància infinita, el valor és nul.

51FÍSICA 2 02

100 200vC 5 26,67 ? 10211 ? —— 2 6,67 ? 10211 ? —— 5 5 3

5 25,78 ?1029 J/kg

Wsistema 5 2m (vC 2 vB) 5

5 D Ec → 24 (25,78 ? 1029 1 4,89 ? 1029) 5

5 3,56 ? 1029 J

13,56 ? 1029 5 —— 4 v2 → v 5 4,2 ? 1025 m/s 2

20. Un cos es troba a 500 km d’altura. Si el deixem anar lliu-rement, amb quina velocitat impacta a la superfície de la Terra, si negligim el fregament amb l’aire?

Dades: RT 5 6,38 ?106 m; g0 5 9,8 m/s2

Plantegem la situació de la mateixa manera que en l’apartat b) de l’activitat 18:

Ep � Ep� � Ec�

1 1 1�G MT m �————� � �G MT m —— � — m v 2

RT � h RT 2

MTSimplificant i tenint en compte que g0 � G ——, podem escriu- R

T

2

re el resultat anterior de la manera següent:

1 1 1�g0 RT

2 �————� � �g0 RT

2 �——� � — v 2

RT � h RT 2

Substituint valors, obtenim que v � 3,015 �103 m/s.

21. Un cos celeste de radi 1 km i densitat 7,5 g/cm3 es mou en l’espai interestel.lar, on g és zero. Quina és la velocitat d’escapament d’un cos que es troba a la superfície del me-teorit?

Dades: MT 5 5,98 ? 1024 kg; RT 5 6,38 ? 106 m

Recordem que la velocitat d’escapament d’un cos celeste és:

2 G mv � √

⎯⎯⎯ ———

r 4Tenint en compte que m � V � — � r 3, la velocitat d'esca- 3pament es pot escriure com:

2 G m 8v � √

⎯⎯⎯ ——— � r √

⎯⎯⎯ — G � � 2,047 m/s

r 3

22. El Meteosat és un satèl.lit geoestacionari, és a dir, que gira en el pla equatorial amb la mateixa velocitat an gular que la Terra. A quina distància de la superfície es troba?

Calculem la velocitat angular de la Terra, que és la mateixa que la del satèl.lit:

2 � 2 �� ——— � ————— � 7,2722 �10�5 rad/s 1 dia 24 � 3 600

17. Desplacem una massa de 100 kg que es troba en una super-fície equipotencial de 290 J/kg fins una altra de 270 J/kg. Quin treball és necessari per fer aquest desplaçament?

El treball realitzat per la força externa és:

W 5 DEp 5 m (v2 2 v1) 5 100 ? (270 2 (290)) 5 2 000 J

18. Quina és l’energia necessària per portar una massa de 40 kg des de la superfície de la Terra fi ns a:

a) 100 m d’altura.

Com que es tracta d’una alçada petita, podem considerar que la intensitat de la gravetat és gairebé constant i de valor g0 � 9,8 m/s2. El treball necessari per portar-la a una alçada de 1000 m és:

Wforces externes � Ep � m g h � 40 � 9,8 �103 � 3,92 �104 J

b) 1 000 km d’altura.

Quan les distàncies són grans, hem de tenir en compte la variació de la intensitat de camp gravitatori. Apliquem el principi de conservació de l’energia mecànica:

1 1Wforces externes � Ep � �G MT m �——— � ——� RT � h RT

MTTenint en compte que g0 � G ——, podem escriure l’expressió R

T

2

anterior d’aquesta manera:

RT

2 1 1 Wforces externes � �G MT m —— �——— � ——� � R

T

2 RT � h RT

1 1 ��g0m R

T

2 �——— � ——� � 3,39 �108 J RT � h RT

Dades: RT 5 6,38 ?106 m i g0 5 9,81 m/s2

19. Deixem anar lliurement una massa de 4 kg des del punt B. Només pot circular (sense fricció) pel carril.

100 Kg

4 m

200 Kg

3 m

C B A

2 m

a) Anirà cap a la dreta o cap a l’esquerra? Per què?

Anirà cap a la dreta i passarà per C.

b) Amb quina velocitat arribarà als punts A i C, tenint en compte la resposta anterior?

Calculem els potencials de les masses fi xes en els punts B i C:

100 200vB 5 26,67 ? 10211 ? —— 2 6,67 ? 10211 ? —— 5 3 5

5 24,89 ? 1029 J/kg


24. Dues masses de 100 kg i 500 kg estan separades una dis tància de 10 m. Si separem la massa de 500 kg fi ns a 20 m i la deixem anar lliurement, amb quina velocitat torna a passar pel lloc inicial?

Com que es tracta d’un sistema conservatiu, podem aplicar el principi de conservació de l’energia mecànica:

Ec � Ep � 0 → Ec � � Ep �

100 � 500 100 � 500 � ��G ————— � G —————� � 10 20

� 1,6675 �10�7 J

Per tant, la velocitat és:

11,6675 �10�7 � — � 500 � v 2 → v � 2,6 �10�5 m/s 2

25. Calculeu la intensitat de la gravetat a la superfície del pla-neta Mart, la velocitat d’escapament i el seu període al vol-tant del Sol.

Dades: MM 5 6,4 ?1023 kg

RM 5 3,32 ?106 m

RS2M 5 2,28 ?1011 m

La intensitat en mòdul del camp gravitatori a la superfície del planeta Mart és:

mg � G —— → g � 3,9 m/s2

R2

Calculem la velocitat d’escapament:

2 G Mv � ——— � 5,1 �103 m/s R

I el període de rotació al voltant del Sol:

MM r 3

�2 � G —— → T � 2 � ——— � 1,88 anys r 3 G MM

26. Les relacions aproximades entre les masses i els radis de la Terra i la Lluna són, respectivament, MT 5 81 ML; RT 5 3,7 RL:

a) Quant val l’acceleració de la gravetat a la superfície de la Lluna?

La relació entre les intensitats de la gravetat a la Lluna i a la

Terra és: 2

L L T

T T L

g M Rg M R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Substituint dades gL 5 1,66 m/s2

b) A quina altura sobre la superfície de la Lluna l’energia po-tencial gravitatòria d’un cos de massa m és la quarta part del seu valor a la superfície? No considereu els efectes de l’atracció gravitatòria terrestre.

Dades: RL 5 1 740 km; g0 5 9,8 m/s2

Ha de ser RL 1 h 5 4 RL. Per tant h 5 3 RL 5 5 220 km.

dllllll

dlllll

En girar el satèl.lit al voltant de la Terra, la força centrípeta ha d’igualar la força gravitatòria:

m MT MTm �2r � G ——— → �2 � G —— → r 2 r 3

GMTr �3√

⎯⎯⎯ ——— � 4,225 �107 m

�2

Per tant, l’altura on es troba el satèl.lit és:

GMTh � r � RT �3√

⎯⎯⎯ ——— � RT �

�2

� 4,225 �107 � 6,38 �106 � 3,6 �107 m → 36 000 km

23. Un satèl.lit de massa 250 kg gira en una òrbita geoesta-cionària. Calculeu:

a) La velocitat del satèl.lit.

MTEn el problema anterior hem deduït que �2 � G ——. r 3

MTSi tenim en compte que v � � r → v � √⎯⎯⎯

G ——. r

Substituint valors:

MTv �√⎯⎯⎯

G —— � 3,07 �103 m/s r

b) El radi de l’òrbita.

El radi de l’òrbita és el que hem trobat en el problema ante-rior:

r � 4,23 �107 m

c) L’angle amb què es veu la Terra des del satèl.lit.

Dades: MT 5 5,98 ?1024 kg

RT 5 6,38 ?106 m

Si observem la figura, l’angle d’observació és:

6,38 �106

� � 2 arc sin ————— � 17° 22� 4,225 �107

53FÍSICA 2 02

29. Júpiter és l’objecte més màssic del sistema solar després del Sol. La seva òrbita al voltant del Sol es pot considerar circular, amb un període d’11,86 anys. Determineu:

a) La distància de Júpiter al Sol.

T 5 11,86 anys · 365 dies/any · 24 h/dia · 3600 s/h 5

5 3,74 · 108 s

M m 2 pG �—— � 5 m �—— �

2

r → r2 T

Tr3 5 G M �—— � → r 5 7,79·1011 m 2 p

b) La velocitat de Júpiter en la seva òrbita al voltant del Sol.

2 p v 5 � r 5 �——� r → v 5 1,3·104 m/s I

c) L’energia mecànica total (cinètica i potencial) de Júpiter.

Dades: massa de Júpiter m 5 1,9 ? 1027 kg; massa del Sol M 5 2,0 ? 1030 kg; constant de la gravitació universal G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2

1 M m 1 M mE 5 — m v2 2G —— 5 2— G —— → E 5 21,63·1035 J 2 r 2 r

30. Tres masses puntuals, m1 5 1 kg, m2 5 2 kg i m3 5 3 kg, estan situades als vèrtexs d’un triangle equilàter de costat a 5 d 3 m, en una regió de l’espai on no hi ha cap altre camp gravitatori que el creat per les tres masses. Determineu:

a) El treball que s’ha fet per portar les masses des de l’infinit fins a la seva configuració actual (aquest treball correspon a l’energia potencial gravitatòria de la confi-guració).

m1 m3 m1 m2 m2 m3 W 5 2G �——— 1 ——— 1 ——— � a a a

W 5 24,2·10210 J

b) El potencial gravitatori en el punt mitjà del segment que uneix m1 i m3.

m1 m3 m2V 5 2G �——— 1 ——— 1 ———� a a a sin u — — 2 2

27. Un satèl.lit artificial de 200 kg gira entorn de la Ter ra amb una radi geoestacionari en el pla equatorial. Calculeu la for-ça d’atracció que rep de la Terra i la seva energia cinètica.

Dades: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2

MT 5 5,98 ? 1024 kg

El període T i el radi r de rotació estan relacionats per:

Tr3 5 G MT 1——2

2

2 p

Aïllant r obtenim r 5 4,225·107 m.

La força d’atracció és:

MT M 5,98 ? 1024 ? 200F 5 G —— 5 6,67 ? 10211 ———————— 5 44,70 N r2 (4,225 ? 107)2

L’energia cinètica és:

1 1 1 2 pEc 5 — m v2 5 — m v2 r2 5 — m 1——2

2

r2 5 9,44 ? 108 J 2 2 2 T

28. Un satèl.lit artificial de massa 2 000 kg està en òr bita circu-lar al voltant de la Terra a una altura de 3,6 ? 106 m sobre la superfície terrestre. Determineu:

a) La relació entre la intensitat del camp gravitatori a aquesta altura i el seu valor a la superfície de la Terra.

La intensitat de la gravetat a una altura h sobre la superfí-cie de la Terra val:

MTg (h) 5 G ———— (RT 1 h)2

Per tant, la relació entre les dues intensitats de la gravetat és:

g (h) RT 1 h h 3,6 ? 106

——— 5 1———222

5 11 1 ——222

5 11 1 ————222

5 g0 RT RT 6,38 ? 106

5 0,409

b) Representeu la força que actua sobre el satèl.lit i cal-culeu-ne el mòdul. Sobre quin cos actuaria la força de reacció corresponent?

La intensitat de la gravetat a l’òrbita del satèl.lit val g 5 0,409 g0 5 4 N/kg.

La força és F 5 mg 5 2 000 kg ? 4 N/kg 5 8 000 N

La força de reacció actua sobre la Terra.

c) Quant valdrà la velocitat del satèl.lit?

Dades: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2

RT 5 6,38 ?106 m; MT 5 5,98 ? 1024 kg

GMv 5 —— 5 r

6,67 ? 10211 ? 5,98 ? 1024

5 ———————————— 5 6,32 ? 103 m/s (6,28 1 3,6) ? 106

√⎯⎯

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


Calculeu:

a) L’acceleració de la gravetat a la superfície del planeta esmentat.

Ep 5 m g0 h (per h ,, R)

Del gràfic: 40 5 2·g0·10 → g0 5 2 m/s2

b) La massa del planeta.

F 5 m g0

m M M

F 5 G ——— 6 G —— 5 g0 → R2 R2

2·(5·106)2

M 5 ——————— 5 7,5·1023 kg 6,67·10211

c) La velocitat d’escapament en el planeta.

Dada: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2

1 M mEc 1 U (R) 5 0 → — m v2

2 2 G —— 5 0 2 R

→ ve 5 4,47·103 m/s

Si u 5 30°:

V 5 23,7·10210 J/kg

c) El mòdul de la força d’atracció gravitatòria que experi-menta la massa m1.

Dada: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2

m1 m2

→ F12 5 G ——— (1, 0) a2

m1 m3→ F13 5 G ——— (cos u, sin u) a2

2 1 √ 3→ FT 5

→ F12 1

→ F13 5 G �—, 0� 1 G �—, —— � 5 3 2 2

7 √ 3 5 G �— , —— � N 6 2

→ FT 5 9,7·10211 N

31. La gràfica adjunta mostra com varia l’energia potencial gravitatòria d’un cos de massa 2 kg en un planeta de radi R 5 5 000 km, amb la distància h a la superfície del planeta (suposant que h és molt més petita que R).

55FÍSICA 2 03

a) El buit.

(40 ? 1026) ? (260 ? 1026)F 5 9 ? 109 ? ———————————— 5 2540 N 0,22

El signe menys indica que les forces entre càrregues són atractives.

b) L’aigua.

Si consultem la taula 3.1 del llibre, veiem que quan les càrregues es troben en el medi aigua, les forces d’atracció minven en 81 vegades respecte del buit:

2540F 5 ——— 5 26,67 N 81

c) El vidre.

2540F 5 ——— 5 267,5 N 8

7. Dues càrregues iguals es repel.leixen amb una força de 150 N quan es troben a una distància de 2 m i en un medi oli. Quin és el valor de la càrrega? Q Q9Apliquem la llei de Coulomb en mòdul, F 5 K ——, i tenint en r 2

compte la taula 3.1, podem escriure:

9 ? 109 Q2 40050 5 ——— ? —— → Q 5 √

⎯⎯⎯ ——— 5 2,1 ? 1024 C

2 22 9 ? 109

8. Dues càrregues de 40 mC i de signe contrari s’atrauen amb una força de 100 N en un medi d’aigua. A quina distància es troben? Q Q9Si apliquem la llei de Coulomb en mòdul, F 5 K ——, i tenim r 2

en compte la taula 3.1, podem escriure:

9 ? 109 2(40 ? 1023)2

2100 5 ——— ? —————— → 81 r 2

9 ? 109 ? (40 ? 1023)2

r 5 √⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

————————— 5 42,2 m 81 ? 1 000

9. En deixar anar un electró en un punt, observem que es mou cap a la nostra dreta. Cap a on va dirigit el camp elèctric?

Recordem que el sentit del camp elèctric és el que seguiria una càrrega elèctrica positiva sotmesa a aquest camp. Per tant, en aquest cas, el camp elèctric va en sentit contrari, és a dir, cap a l’esquerra.

j Unitat 3. Camp elèctric

j Activitats

1. Si s’extreuen 5 electrons d’un cos elèctricament neutre, en quin estat elèctric queda el cos?

Quan diem que un cos es troba en un estat elèctricament neu-tre, hem d’entendre que conté el mateix nombre de càrregues positives que negatives. Per tant, si n’extraiem 5 electrons, els cos quedarà carregat amb una càrrega de 15e.

2. D’un cos carregat amb 8 electrons s’extreuen 5 electrons; en quin estat elèctric queda el cos? I si se n’extreuen 12?

3. A un àtom de Ca li traiem 2 electrons, en quin estat elèctric queda?

Ca 2 2 e2 → C a21

4. Un cos es carrega per fricció fi ns aconseguir una càr rega de 196 nC. Quina quantitat d’electrons se li han tret?

Com que el cos ha quedat carregat positivament, se li ha extret una quantitat d’electrons donada per:

1029 C 1 electró96 nC ? ——— ? —————— 5 6 ? 1011 electrons 1 C 1,6 ? 10219 C

5. La força de repulsió entre dues càrregues del mateix signe en un medi diferent de l’aire és més gran o més petita que en l’aire?

És més petita que en l’aire. La força entre les càrregues pren el valor màxim en el buit o l’aire. En altres medis, disminueix. Si consultem la taula 3.1 del llibre, podem dir que, per exemple, en el medi vidre, la força disminueix vuit vegades.

6. Dues càrregues de 140 mC i 260 mC es troben a una distàn-cia de 20 cm. Calculeu el mòdul de la força d’atracció quan el medi que les envolta és:

Apliquem la llei de Coulomb en mòdul per a cada cas:

Q Q9F 5 K —— r 2


14. Calculeu el camp en A si Q1, Q2 i Q3 són càrregues puntuals. Quina força rep una càrrega puntual de 25 mC situada en A?

En la figura s’indiquen els camps creats en el punt A per les càrregues puntuals.

20 ? 1029 30 ? 1029 40 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 1————— 1 ————— 2 —————2 5 12 12 22

5 360 N/C cap a la dreta.

La força que rep la càrrega és:

F 5 Q E 5 25 ? 1023? 360 5 1,8 N cap a l’esquerra.

15. No sabem com està distribuïda la càrrega en l’inte rior d’una esfera de radi R amb càrrega 1Q. Podem acceptar que el po- Qtencial en un punt exterior r . R és V 5 K —? Raoneu la rresposta.

Quan un cos té simetria esfèrica i està carregat elèctricament amb una quantitat Q, podem considerar, per a punts exteriors a l’esfera, que el potencial és igual al d’una càrrega puntual de valor Q situada al centre de l’esfera.

16. Calculeu el potencial que crea una càrrega puntual de 60 nC en un punt A que dista 9 m.

El potencial creat per una càrrega puntual a una distància r és QV 5 K —. r

60 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 60 V 9

17. Quan els cossos es carreguen fi ns que creen un camp elèctric a la superfície de 3 ?106 N/C, que anomenem camp de ruptu-ra, es descarreguen elèctricament amb l’aire que els envol-ta ja que l’aire s’ionitza i facilita la descàrrega. Calculeu la càrrega i el potencial a la superfície d’una esfera de radi 5 cm perquè es pro dueixi la descàrrega amb l’aire.

La càrrega que ha de tenir l’esfera perquè es produeixi la des-càrrega és:

Q3 ? 106 5 9 ? 109? ——— → Q 5 8,33 ? 1027 N/C 0,052

El potencial creat amb aquesta càrrega és:

8,33 ? 1027

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 1,5 ? 105 V 0,05

10. Dues càrregues iguals i del mateix signe es troben a una distància r. En quin punt s’anul.la el camp elèctric? I si són de signe contrari?

Si les càrregues són del mateix signe, el camp s’anul.la just en el punt mitjà del segment que les uneix.

Si les càrregues són de signe contrari, no s’anul.len en cap punt de l’espai que les envolta.

11. Es poden tallar dues línies de camp elèctric? Raoneu la resposta.

Les línies de camp elèctric no es poden tallar.

Si suposem que dues línies de camp elèctric es tallen en un punt P, aleshores podríem dibuixar dos vectors camp en el ma-teix punt P que tindrien direccions diferents.

12. Una càrrega de 120 nC està sotmesa a una força de 5 N. Quina és la intensitat de camp elèctric que rep?

Quan una càrrega elèctrica està sotmesa a un camp elèctric,rep una força donada per l’expressió

→F 5 Q

→E.

En mòdul: 5 5 2 ? 1029 E → E 5 2,5 ? 108 N/C i té la mateixa direcció i sentit que la força.

13. Calculeu el camp elèctric d’una càrrega puntual de 120 nC a una distància de 5 cm. Quina força rep una càr rega de 25 mC situada en aquest punt?

El camp elèctric creat per una càrrega elèctrica puntual és, en mòdul:

Q 20 ? 1029

E 5 K — 5 9 ? 109 ? ————— 5 7,2 ?104 N/C r 2 0,052

Per tant, la força que rep una càrrega elèctrica de 25 mC situa-da en aquest punt és, en mòdul:

F 5 Q E 5 25 ? 1023? 7,2 ?104 5 2360 N

La força actua en el sentit contrari al camp.

57FÍSICA 2 03

Per tant, la diferència de potencial entre aquests dos punts és el potencia d’A:

2 Q 2 √⎯2⎯

QVA 2 VO 5 K —————— L

21. Una càrrega elèctrica positiva es mou en la mateixa direcció i sentit que la d’un camp elèctric uniforme passant d’A cap a B. El valor de VB 2 VA és positiu o negatiu? I si la càrrega es negativa? Raoneu les respostes.

Quan una càrrega elèctrica positiva es mou d’A cap a B, sempre ho fa de potencials alts a potencials baixos; en conseqüència, en aquest cas tenim que VA . VB. Per tant, VB 2 VA , 0.

Si la càrrega és negativa, aleshores VB 2 VA . 0.

22. Quin treball es realitza en moure una càrrega elèctrica per una trajectòria tancada en presència d’un camp elèctric extern?

Com que el camp elèctric és conservatiu, el treball realitzat en moure una càrrega elèctrica seguint una trajectòria tancada és zero.

23. a) Calculeu l’energia potencial del sistema de dues càrre-gues puntuals de 2 mC i 24 mC separades una distància d’1 m.

L’energia potencial de dues càrregues puntuals ve donada per Q Q9l’expressió Ep 5 K ——. r 2

(2 ? 1026) ? (24 ? 1026)Ep 5 9 ? 109 ? —————————— 5 20,072 J 1

b) Quin treball cal fer sobre el sistema per separar-les una distància molt gran?

El treball fet pel sistema és:

Wsistema 5 2D Ep 5 2(EpA 2 Ep`) 5 0,072 J

24. Es deixa anar lliurement Q9 des d’A fi ns a B segons la fi gura.

18. Calculeu el potencial en A de la distribució de càrregues puntuals de la fi gura.

230 ? 1029 90 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 0 V 0,5 1,5

19. Quin treball cal realitzar per desplaçar una càrrega puntual de 11 C des de B fins a A del sistema de la figura.

��

� �

5 ? 1026

VA 5 9 ? 109 ———— 5 22 500 V 2

5 ? 1026

VB 5 9 ? 109 ———— 5 11 250 V 4

El treball realitzat per la força elèctrica és:

VA 2 VB 5 2W B → A → WB → A 5 11 250 2 22 500 5 211 250 J

11 C 11 C

El treball realitzat per un agent extern és, per tant, 11 250 J.

20. En els vèrtexs d’un quadrat de longitud L hi ha dues càrre-gues iguals de valor Q en dos vèrtexs oposats i una altra càrrega de valor 22 Q en un tercer vèrtex. Calculeu la di-ferència de potencial que hi ha entre el seu centre O i l’altre vèrtex lliure A.

El potencial en el seu centre és nul ja que les tres càrregues es troben a la mateixa distància, la meitat de la diagonal:

Q 1 Q 2 2 QVO 5 K ———————— 5 0 D — 2

El potencial en A és:

Q 1 Q 2 Q Q 1 Q √⎯2⎯

QVA 5 K 1——— 2 ———2 5 K 1——— 2 ———2 5 L √

⎯2⎯

L L L

2 Q 2 √⎯2⎯

Q5 K —————— L


2. Tres càrregues iguals i de signe 1 es troben situades als vèrtexs d’un triangle equilàter de costat l. Quin és el camp elèctric al seu centre?

El camp elèctric en el seu centre és nul.

Les intensitats dels tres camps creats per les càrregues són de la mateixa intensitat, ja que es troben a la mateixa distància. La suma vectorial d’aquests vectors és zero.

q1 5 q2 5 q3

→E1 1

→E2 1

→E3 5 0

3. Si disposem de 4 càrregues d’igual valor absolut, dues de signe 1 i dues de signe 2, com les posaríeu als vèrtexs d’un quadrat perquè en el seu centre el camp elèctric fos nul?

q1 5 |q2| 5 q3 5 |q4|

4. Dues càrregues Q i 2 Q es troben a una distancia d. A quina distància de Q s’anul.la el camp?

S’anul.la en un punt interior del segment que uneix les càrregues di a una distància de Q de ———— . 1 1 √ 2

a) Quina és la variació de l’energia potencial?

220 ? 1029? 300 ? 1023

D Ep 5 9 ? 109 ? —————————— 3

220 ? 1029? 300 ? 1023

2 9 ? 109 ? —————————— 5 24,5 J 4

b) Quina energia cinètica té quan passa per B, suposant que en A està en repòs?

D Ec 5 2D Ep 5 4,5 J

c) Amb quina velocitat passa per B?

1 9— ? 5 ? 1023? v 2 5 4,5 → v 5 √

⎯⎯⎯⎯ ———— 5 42,4 m/s

2 5 ?1023


h Qüestions

1. Dibuixeu les línies de camp elèctric dels cossos carregats de la fi gura. Representeu una línia per a cada càrrega elèctrica.

a) b)

c)

59FÍSICA 2 03

Segons aquesta expressió, si són del mateix signe i les acos-tem, aleshores l’energia potencial augmenta. En la figura hi ha representada l’energia potencial de dues càrregues iguals d’1 C cadascuna en funció de la distància que les separa.

Si són de signe contrari i les acostem, l’energia potencial dis-minueix. En la figura hi ha representada l’energia potencial de dues càrregues iguals d’1 C i de signe contrari.

9. Quan dues càrregues positives se separen, el treball fet pel sistema és positiu o negatiu? I si són nega tives?

El treball fet pel sistema és:

Q Q9 Q Q9W 5 2Q9 (VB 2 VA) 5 2D Ep 5 21K —— 2 K ——2 rf ri

Per tant, si les càrregues són positives i les separem, la varia-ció d’energia potencial és negativa i, per tant, el treball és positiu.

Si les càrregues són negatives, arribem a la mateixa conclusió.

10. Per separar dues càrregues de signe contrari, el treball fet per una força externa és positiu o ne gatiu?

El treball fet per les forces externes és:

Q Q9 Q Q9W 5 Q9 (VB 2 VA) 5 D Ep 5 K —— 2 K —— rf ri

Per tant, el treball esmerçat dóna positiu.

En efecte,

Q 2 Q 1 2K — 2 K ———— 5 0 → — 2 ———— 5 0 x2 (d 2 x)2 x2 (d 2 x)2

d 2 x d→ ——— 5 √ 2 → x 5 ———— x 1 1 √ 2

5. Una esfera de radi R carregada amb una càrrega Q crea un Qcamp elèctric en r . R de valor E 5 K ——. r 2

És correcta aquesta afi rmació?

Com en l’activitat 15 d’apartat, per a punts exteriors a l’esfera, també podem considerar que el camp elèctric correspon al d’una càrrega puntual situada al centre de l’esfera.

6. Dues càrregues puntuals fi xes Q i 2Q estan separades una distància D. Digueu si les afi rmacions següents són certes o falses i justifi queu la resposta.

a) En la línia que uneix les dues càrregues només hi ha un punt (a distància fi nita) en què el poten cial elèctric és nul.

Certa.

Q Q DV (x) 5 k —— 2 k ——— 5 0 → x 5 — |x| |x 2 D| 2

b) No hi ha cap punt de l’espai (a distància fi nita) en què el camp elèctric sigui nul.

Certa. El dibuix de les línies de camp —corresponents a un dipol— ho mostra clarament. També es pot analitzar cada regió de l’espai.

7. Què hem de fer per augmentar l’energia potencial d’un sis-tema de dues càrregues elèctriques de signe contrari?

Acostar-les.

8. En aproximar dues càrregues del mateix signe, l’energia po-tencial augmenta o disminueix? I si són de signe contrari? Raoneu la resposta.

L’energia potencial entre dues càrregues, que suposem pun-tuals, ve donada per l’expressió:

QQ9Ep 5 K —— r


En situar una càrrega puntual en les proximitats de la super-fície del cos, aquesta rep una força en sentit contrari al camp elèctric i és rebutjada cap a fora en direcció perpendicular a la super fície.

13. Un electró inicialment en repòs es deixa lliure en un punt de l’espai, en presència del camp elèctric creat per una càr-rega puntual positiva.

A. Quan l’electró es desplaça en el camp elèctric:

a) Augmenta la seva energia potencial electrostàtica.

b) Segueix el sentit de les línies de camp.

c) Es mou en la direcció de potencial elèctric creixent.

L’electró inicialment en repòs es mou en sentit contrari a les línies de camp i la seva energia potencial electrostàti-ca disminueix ( )0pEΔ < . Com que la seva càrrega elèctrica és negativa ( )0q < , es mou en la direcció del potencial

elèctric creixent: 0pEV

q

ΔΔ = > . L’opció correcta és la c).

B. Quan l’electró es desplaça entre dos punts del camp que tenen una diferència de potencial de 1 000 V:

a) La seva energia cinètica augmenta en 1000 J.

b) La seva energia cinètica augmenta en 1 000 eV.

c) La seva energia mecànica augmenta en 1 000 eV.

Com que el camp electrostàtic és conservatiu, l’augment de l’energia cinètica equival a la disminució de l’energia potencial electrostàtica. Així:

DEc 5 2DEp 5 2q DV 5 2(2|e|) ? 1 000 V 5 1 000 eV

L’opció correcta és la b).

14. El camp elèctric en un punt interior d’una esfera de radi R i carregada amb una càrrega Q és zero. Aquesta afi rmació és correcta?

No sempre és certa.

Si l’esfera és conductora, la càrrega es distribueix en la super-fície i el camp elèctric en un punt qualsevol interior certament és zero. Però si no és conductora, aleshores la càrrega es distri-bueix en el seu interior i fa que el camp elèctric sigui diferent de zero.

15. Una escorça esfèrica de radi R està carregada amb una den-sitat de càrrega superficial s. Quin és el potencial en el seu centre?

Calculem primer la càrrega total i després el potencial que generen en el centre, tenint en compte que totes les càrregues es troben a la mateixa distància R perquè es troben en simetria esfèrica respecte del centre:

Q 5 s A 5 s 4 p R2

1 s 4 p R2 s RV 5 ——— ? ———— 5 ——— 4 p «0 R «0

11. Segons la fi gura, la càrrega 1Q està fi xa. Responeu si és cert o fals:

a) La càrrega 2Q es mou d’A cap a B i augmenta l’energia potencial.

Si la càrrega Q9 es mou d’A cap a B, s’acosta cap a Q; i de l’expressió:

Q Q9 Q Q9D Ep 5 21K —— 2 K ——2 rf ri

deduïm que l’energia potencial del sistema disminueix.

b) La càrrega 2Q es mou d’A cap a B i el treball fet pel sistema és positiu.

Com que Wsistema 5 2D Ep i D Ep , 0 ⇒ W . 0

c) La càrrega 2Q es mou d’A cap a C i augmenta l’energia potencial.

Si la càrrega Q9 es mou d’A cap a C, s’allunya de Q; i de l’expressió:

Q Q9 Q Q9D Ep 5 21K —— 2 K ——2 rf ri

deduïm que l’energia potencial del sistema augmenta.

d) La càrrega 2Q es mou d’A cap a C i el treball fet per les forces externes és positiu.

Com que Wforces externes 5 D Ep i D Ep . 0 ⇒ W . 0

12. Un cos està carregat elèctricament amb signe 2 i disposem d’una càrrega puntual elèctrica també negativa. Si la deixem anar lliurement just en les proximitats de la superfície del cos, en quina direcció i sentit es mourà?

El camp elèctric creat pel cos carregat negativament va dirigit perpendicularment a la superfície des de fora cap a dins.

61FÍSICA 2 03

3. Sobre una càrrega de 120 nC i massa 8 g actua un camp elèctric uniforme de 5 ?104 N/C. Suposant negligible el camp gravitatori, amb quina acceleració es mou? Amb quina velocitat va al cap d’1 s? Quin espai ha recor regut?

Si suposem que la càrrega es mou en la direcció de l’eix X,amb l’expressió

→F 5 Q

→E calculem la força:

→F 5 20 ? 1029? 5 ? 104 5 1023

→i N

Amb la 2a llei de Newton, calculem l’acceleració:

→F 1023

→i→

a 5 — 5 ———— 5 0,125→i m/s2

m 8 ? 1023

La velocitat al cap d’1 s és:

→v 5

→a t 5 0,125

→i ? 1 5 0,125

→i m/s

L’espai recorregut és:

1x 5 — ? 0,125

→i ? 12 5 0,0625

→i m

2

4. Suposeu una càrrega de 120 nC fi xa i una altra càrrega mò-bil de 11 C i de massa 2 kg. Amb quines acceleracions es mourà quan es trobi a les distàncies següents:

El camp creat per la càrrega fixa a una distància r és:

QE 5 K — r 2

La força que rep la càrrega mòbil és F 5 Q E.

Q Q9 K —— F Q E r 2

L’acceleració és: a 5 — 5 —— 5 ———— m m m

a) 0,5 m

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 0,52

a 5 ———————————— 5 360 m/s2

2

b) 1 m

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 12

a 5 ———————————— 5 90 m/s2

2

c) 2 m

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 22

a 5 ———————————— 5 22,5 m/s2

2

h Problemes

1. Dues càrregues, una triple que l’altra, es troben a una dis-tància de 2 m i es repel.leixen amb una força de 5 000 N. Determineu el valor de cada càrrega.

Q Q9Apliquem la llei de Coulomb en mòdul, F 5 K —— : r 2

3 Q2

5 000 5 9 ? 109 ? —— → 22

2 ? 104

Q 5 √⎯⎯⎯⎯

——— 5 8,61 ? 1024 C 27 ? 109

L’altra càrrega serà de 2,58 ?1023 C.

2. Dues càrregues de 20 mC i 230 mC estan situades en els punts (3, 2) i (25, 4) respectivament. Calculeu la força que actua sobre la càrrega negativa i expresseu el resultat vectorialment i en mòdul.

Apliquem la llei de Coulomb en forma vectorial:

Q Q9→F 5 K ——

→u

r 2

Trobem el vector posició de la càrrega negativa respecte de la positiva:

→r 5 (25, 4) 2 (23, 2) 5 (28, 2)

El vector unitari que dirigeix a →r és:

→r (28, 2) (28, 2)→

u 5 — 5 ——————— 5 ———— r √ (28)2 1 22 √ 68

Per tant, la força és:

(20 ? 1026) ? (230 ? 1026) (28, 2)→F 5 9 ? 109 ? ———————————— ? ———— 5 68 √ 68

5 (0,077→i 2 0,019

→j ) N

El seu mòdul és:

F 5 √ 0,0772 1 (20,019)2 5 0,079 N


8. Quina ha de ser la intensitat de camp elèctric que ha d’actuar sobre una càrrega esfèrica de massa 100 g car-regada amb 20 nC perquè es mantingui en equilibri amb la força gravitatòria (pes)?

Dada: g0 5 9,8 m/s2.

Si igualem la força gravitatòria amb l’elèctrica, tenim:

m g 0,1 ? 9,8m g 5 Q E → E 5 —— 5 ————— 5 4,9 ? 107 N/C Q 20 ? 1029

9. Calculeu el camp en A i en B on Q1 i Q 2 són càrregues pun-tuals.

En A tenim que:

20 ? 1029 30 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 1————— 2 —————2 5 2225 N/C 22 12

Actua en sentit cap a l’esquerra.

En B tenim que:

20 ? 1029 30 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 12————— 1 —————2 5 2112,5 N/C 12 22

El seu sentit també és cap a l’esquerra.

10. Un camp elèctric uniforme actua sobre una càrrega de 20 mC i de massa 1 cg. La càrrega parteix del repòs i es deixa anar lliurement, i en recórrer 4 m aconsegueix una velocitat de 500 m/s. Quin és el mòdul de la intensitat de camp elèctric?

Calculem la variació de l’energia cinètica:

1D Ec 5 — ? 1025? 5002 5 1,25 J ⇒ D Ep 5 21,25 J 2

La diferència de potencial que supera és:

D Ep 21,25DV 5 ——— 5 ————— 5 262,5 V Q 20 ? 1023

d) 10 m de la càrrega fi xa.

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 102

a 5 ———————————— 5 0,9 m/s2

2

La direcció de les acceleracions és la recta que uneix les càr-regues, i allunyant-se de la càrrega de 20 nC.

5. Una càrrega elèctrica de 150 nC està envoltada d’aigua. Quin és el camp elèctric a una distància de 30 cm de la càrrega?

En mòdul, el camp elèctric en el buit és:

Q 50 ? 1029

E 5 K — 5 9 ? 109 ? ————— 5 5 ?103 N/C r 2 0,32

Consultant la taula 3.1, εaigua 5 81 ε0. Per tant, en l’aigua el camp elèctric és:

5 ? 103

E 5 ——— 5 61,7 N/C 81

6. Una càrrega 1Q crea un camp de 2 ?104 N/C a una distància de 2 m d’aquesta. Quina càrrega Q9 cal afegir a Q perquè el camp sigui de 3 ?104 N/C en el mateix punt?

Q9 ? 109 ? — 5 2 ?104 N/C 22

Q 1 Q99?109 ? ———— 5 3?104 N/C 6 22

De la primera equació, trobem el valor de Q :

Q 5 8,89 ? 1026 C

8,89 ? 1026 1 Q99 ? 109 ? ———————— 5 3 ?104 → 22

Q9 5 4,4 ? 1026 C 5 4,4 mC

7. Una càrrega 1Q crea un camp de 2 ?104 N/C a una distància de 3 m d’aquesta. Quina càrrega Q9 cal afegir a Q perquè el camp sigui de 104 N/C en el mateix punt?

Q9 ? 109 ? — 5 2 ?104 N/C 32

Q 1 Q99 ? 109 ? ———— 5 104 N/C

6 32

De la primera equació, trobem el valor de Q :

Q 5 2 ?1025 C

2 ?1025 1 Q99 ? 109 ? ——————— 5 104 → Q9 5 21025 C 5 210 mC 32

63FÍSICA 2 03

Determinem els vectors posició i el seus mòduls de les càrre-gues respecte del punt P:

→r1 5 (0, 26) 2 (28, 0) 5 (8, 26) → r1 5 10

→r2 5 (0, 26) 2 (0, 6) 5 (0, 212) → r2 5 12

→r3 5 (0, 26) 2 (8, 0) 5 (28, 26) → r3 5 10

El camp al punt P és:

240 ? 1026 (8, 26) 260 ? 1026→E 5 9 ? 109 ? 1————— ? ———— 1 ————— ? 102 10 122

20 ? 1026 (28, 26)? (0, 21) 1 ————? —————2 5 102 10

5 (24 320 →i 1 4 830

→j ) N/C

La força que rep la càrrega és: →

F 5 (24320 →i 1 4 830

→j ) ? 7 ? 1023 5 (230,24

→i 1 33,81

→j ) N

13. Dues càrregues de 30 nC i 60 nC es troben a una distància de 2 cm. A quina distància de la primera s’anul.la el camp?

Com que són del mateix signe, només es poden anul.lar en un punt del segment que uneix les càrregues.

Anomenem x la distància a la primera càrrega on s’anul.la el camp.Apliquem la condició S

→E 5 0:

30 60 (2 2 x)2

K ? —— 2 K ? ———— 5 0 → ———— 5 2 x2 (2 2 x)2 x2

2 2 x 2 → ——— 5 √2 → x 5 ———— 5 0,828 cm x 1 1 √2

Cal adonar-se que com que es tracta d’una equació homogènia hem utilitzat unitats no internacionals per facilitar el càlcul.

14. Un camp elèctric uniforme està dirigit verticalment cap amunt, E 5 20 000 N/C, i hi col.loquem una càrrega Q po-sitiva i de massa 5 g. Quin és el valor de Q perquè l’efecte gravitatori anul.li l’efecte elèctric?

Hem d’igualar les forces gravitatòria i elèctrica.

m g 5 Q E → 5 ? 1023? 9,8 5 Q ? 2 ? 104 →

Q 5 2,45 ? 1026 C 5 2,45 mC

La intensitat del camp elèctric és:

2DV 62,5E 5 —— 5 —— 5 15,625 N/C Dx 4

11. En una regió de l'espai hi ha un camp uniforme d’intensitat E 5 2000 N/C. Es llança un protó amb una velocitat de 105 m/s en sentit contrari al camp. Quina distància recorre com a màxim fi ns a parar-se?

Dades: e: 1,602 ? 10219 C; mp 5 1,67 ? 10227 kg

Calculem la força i l’acceleració sobre el protó:

F 5 Q E 5 1,6 ? 10219 ? 2 ? 103 5 3,2 ? 10216 N

F 3,2 ? 10216

a 5 — 5 —————— 5 1,92 ? 1011 m/s2

m 1,67 ? 10227

Calculem el temps que tarda fins que es para:

105

v 5 v0 1 a t → t 5 —————— 5 5,21 ? 1027 s 1,92 ? 1011

L’espai recorregut fins que es para és:

1x 5 v0 t 1 — a t 2 → 2

1x 5 2105? 5,21 ? 1027 1 — ? 1,92 ? 1011? (5,21 ? 1027)2 5 2

5 20,026 m → 22,61 cm

És a dir, que el protó és desplaçarà 0,026 m cap a l’esquerra.

12. Si tenim una distribució de càrregues com la representada a la fi gura, calculeu el camp en P. Si en aquest punt situem una càrrega de valor 7 mC, calculeu la força que rep.


17. Dues esferes puntuals de 20 g de massa cadascuna estan carregades amb la mateixa càrrega elèctrica positiva. Les esferes estan situades als extrems de dos fi ls d’1 m de lon-gitud, tal com es veu a la fi gura. En la posició d’equilibri cada fi l forma un angle de 30° amb la vertical.

a) Calculeu la tensió dels fi ls en la posició d’equilibri.

T cos a 5 m g 5 0 → T 5 0,23 N

b) Calculeu la càrrega de cada esfera.

T sin a 2 F 5 0

q2

F 5 K ————— (2l sin a)

c) Calculeu el camp elèctric (mòdul, direcció i sentit) que s’hauria d’aplicar a l’esfera de l’esquerra per mantenir-la en la mateixa posició d’equilibri si no existís l’esfera de la dreta.

q E 5 K ————— 5 3,24·104 N/C;

→E 5 2E

→ i

(2 l sin a)2

on s’ha pres g 5 10 m/s2

18. Una esfera conductora de radi 2 cm té una càrrega de 23 mC.

a) Quant val el potencial elèctric creat per l’esfera en un punt que dista 3 cm del centre de l’esfera?

Com que el punt és exterior:

K q 23 ? 1026

V 5 ——— 5 9 ? 109 ————— 5 29 ? 105 V r 3 ? 1022

b) Quant val el camp elèctric creat per l’esfera en un punt que dista 1 cm del centre de l’esfera?

La càrrega es distribueix uniformement sobre la superfície de l’esfera conductora. Per tant, el camp dins l’esfera és nul: E 5 0 N/C

6 q 5 3,6 ? 1026 C

15. Calculeu:

a) El camp en P de la distribució de càrregues elèctriques de la fi gura.

Indiquem en el punt P els sentits dels camps creats per les càrregues puntuals.

Calculem el camp total en P :

20 ? 1029 40 ? 1029 60 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 1————— 2 ————— 2 ————— 22 12 12

80 ? 1029

2 —————2 5 2675 N/C 22

b) La força que rep una càrrega de 30 mC situada a P.

Una càrrega puntual de 30 mC situada a P rep una força:

F 5 2675 ? 30 ? 1023 5 20,25 N cap a l’esquerra.

16. Una càrrega esfèrica de 50 mC i 40 g de massa es penja de l’extrem d’un fi l de 70 cm. Si actua un camp elèctric uni-forme i horitzontal de 10 000 N/C, calculeu l’angle que es desplaça la càrrega respecte de la vertical, i la tensió que suporta el fi l.

En l’equilibri, S→F 5 0.

Per tant,

Fe 2 Tx 5 0

Ty 2 m g 5 0 6 6T sin a 5 E Q

T cos a 5 m g

E Qtg a 5 —— m g

104 ? 50 ? 1026

tg a 5 ——————— 5 1,275 → a 5 51,9° 40 ? 1023? 9,8

La tensió és:

m g 40 ? 1023? 9,8T cos a 5 m g → T 5 —— 5 ——————— 5 0,64 N cos a cos 51,9°

65FÍSICA 2 03

Q1 5 20 mC

Q2 5 230 mC

Q3 5 50 mC

Calculem la distància de cada càrrega al punt P :

→r1 5 (22, 24) → r1 5 √ (22)2 1 (24)2 5 √ 20

→r2 5 (22, 24) 2 (3, 4) 5 (25, 28) →

→ r2 5 √ (25)2 1 (28)2 5 √ 89

→r3 5 (22, 24) 2 (28, 15) 5 (6, 219) →

→ r3 5 √ 62 1 (219)2 5 √ 397

El potencial a P és:

20 ? 1026 230 ? 1026 50 ? 1026

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 ————— 1 —————2 5 √ 20 √ 89 √ 397

5 3,42 ? 104 V

22. Calculeu el potencial al centre d’un triangle equilàter com el de la fi gura.

Sigui d la distància de cada càrrega al centre del triangle. El potencial en aquest punt és:

20 ? 1029 10 ? 1029 230 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 ————— 1 —————2 5 0 V d d d

23. En la part superior d’un pla inclinat hi ha una esfera de massa 1 kg, carregada elèctricament amb una càrrega de 50 nC. Calculeu la intensitat de camp elèctric que ha d’actuar sobre l’esfera perquè es mantingui en equilibri quan:

a) El camp actua paral.lelament al pla.

La força elèctrica ha d’igualar la força tangencial px:

Q E 2 px 5 0 → 50 ? 1029? E 5 1 ? 9,8 ? sin 30° →

→ E 5 9,8 ? 107 N/C

19. Una càrrega puntual Q crea en un punt de l’espai un camp elèctric d’intensitat 10 N/C i un potencial elèctric de 23 V. Determineu el valor i el signe de la càrrega.

K q E 5 ———, r2

1 V 2

→ q 5 — —— 5 1 3 10210 C K E

K q V 5 ——, r

→ q negativa, com V

20. El camp elèctric creat en un cert punt de l’espai per una càrrega elèctrica Q puntual i positiva val E 5 200 N/C. El po-tencial elèctric en aquest mateix punt és V 5 600 V. Deduïu el valor de la càrrega elèctrica Q.

En ser la càrrega positiva: q q=

Així, el mòdul del camp elèctric és:

K q K qE 5 ——— 5 —— 5 200 N/C r2 r2

El potencial elèctric val: 600Vq

Vr

= =K

Si dividim les dues expressions anteriors podem trobar el valor de la distància a la càrrega:

K q —— V r 600— 5 ——— 5 —— → r 5 3 m E K q 200 —— r2

En substituir el valor de r a qualsevol de les expressions s’obté el valor de la càrrega:

V r 600 ? 3q 5 —— 5 ———— 5 2 ? 1027 C 5 0,2 mC k 9 ? 109

21. Tres càrregues puntuals de 20 mC, 230 mC i 50 mC es troben situades en els punts A (0, 0), B (3, 4) i C (28, 15) respec-tivament. Calculeu el potencial en el punt P (22, 24).


Calculem els mòduls dels vectors posicions de les càrregues respecte del punt P:

→r1 5 (8, 0) 2 (0, 0) 5 (8, 0) → r1 5 8

→r2 5 (8, 0) 2 (0, 1) 5 (8, 21) → r2 5 √65

→r3 5 (8, 0) 2 (0, 2) 5 (8, 2) → r3 5 √68

→r4 5 (8, 0) 2 (0, 3) 5 (8, 3) → r4 5 √73

Apliquem l’expressió del potencial d’una distribució de càrre-gues puntuals:

20 ? 1029 240 ? 1029 60 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1———— 1 ————— 1 ———— 1 8 √65 √68

280 ? 1029

1 —————2 5 240,9 V √73

25. Quina càrrega cal posar en el punt A perquè el potencial s’anul.li en el punt P?

Apliquem l’expressió del potencial d’una distribució de càrre-gues puntuals:

280 ? 1029 50 ? 1029 Q9 ? 109 ? 1————— 1 ———— 1 ——2 5 0 12 8 13

80 ? 1029 50 ? 1029

Q 5 1———— 2 ————2 ? 13 5 5,42 ? 1029 C → 5,42 nC 12 8

b) El camp actua horitzontalment al pla.

Q E 2 N sin 30° 5 0

N cos 30° 2 m g 5 0

Q E m g tg 30°→ tg 30° 5 —— → E 5 ————— m g Q

E 5 1,13 ?108 N/C

24. Calculeu el potencial en el punt P d’una distribució de càrre-gues puntuals com la representada a la fi gura.

67FÍSICA 2 03

Prèviament, calculem la distància de les càrregues al centre:

2r 5 — ? √ 32 2 1,52 5 √ 3 5 1,73 m 3

21029

V 5 9 ? 109 ? ——— ? 3 5 21 5,58 V √ 3

Quadrat

Per simetria, el camp elèctric és nul.

Prèviament, calculem la distància de les càrregues al centre:

1r 5 — ? √ 32 1 32 5 2,12 m 2

1029

V 5 9 ? 109 ? ——? 4 5 16,97 V 2,12

Hexàgon


Calculem la distància de les càrregues al centre:

r 5 3 m

1029

V 5 9 ? 109 ? ——? 6 5 18 V 3

Octògon


26. Calculeu el potencial en el vèrtex lliure A dels triangles de la fi gura.

20 ? 1029 250 ? 1029

a) V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 290 V 3 3

20 ? 1029 50 ? 1029

b) V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 148,5 V 5 4

c) Calculem prèviament la distància de les càrregues al punt A:

0,5cos 80° 5 —— → d 5 2,88 d

30 ? 1029 30 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 187,5 V 2,88 2,88

27. Calculeu el camp i el potencial en el centre de cada una de les distribucions de càrregues de la fi gura. La càrrega Q 5 1 nC.

Triangle



c) L’energia potencial electrostàtica emmagatzemada en el sistema de càrregues.

q·q q·q q·q q2→Ep 5 K —— 1 K —— 1 k —— 5 3 K —— a a a a

Ep 5 1,56·102 J → 156 J

30. Considereu dues càrregues idèntiques de valor q 5 23 mC situades als vèrtexs de la base d’un triangle equilàter de costat r 5 2 m. Deter mineu:

a) El camp elèctric creat per aquestes càrregues en el vèr-tex superior del triangle.

q q →E � K —— (�sin u, �cos u) � K —— (�sin u, �cos u) � r2 r2

q � K —— (0, �2 cos u) r2

amb u � 30º →

E � (0, �11,691) N/C

b) El treball necessari per portar una càrrega posi tiva d’1 mC des de l’infi nit fi ns al vèrtex superior del triangle.

q qW � q9 �k — 1 k —� → W 5 22,7·1022 J r r

c) L’energia potencial d’una càrrega positiva d’1 mC col-locada al vèrtex superior del triangle.

q qU � q9V � q9 �K — 1 K —� → U 5 22,7·1022 J r r

31. Donada una càrrega puntual de 20 nC:

a) Calculeu el potencial en un punt situat a una distància de 3 m de la càrrega.

Calculem la distància de les càrregues al centre:

360 1,5a 5 —— 5 22,5° ; sin 22,5° 5 —— → r 5 3,92 m 16 r

1029

V 5 9 ? 109 ? ——? 8 5 1 8,36 V 3,92

28. Un cèrcol de radi 5 cm està carregat uniformement amb una densitat lineal de càrrega elèctrica de 20 nC/m. Calculeu el camp i el potencial en el seu centre.

Tota la distribució de càrregues equidista del centre i, per tant, per simetria, el camp elèctric és nul.

Per calcular el potencial, prèviament calculem la càrrega total de la distribució:

Q 5 l l 5 20 ? 1029? 2 p ? 0,05 5 6,28 ? 1029 C

6,28 ? 1029

→ V 5 9 ? 109? —————— 5 1 130,9 V 0,05

29. Tres càrregues elèctriques puntuals, po sitives, de 1024 C ca-dascuna, estan situades als vèrtexs d’un triangle equilàter de d 3 m de costat. Calculeu:

a) El valor de la força electrostàtica que actua sobre cada càrrega per efecte de les altres dues.

Considerem la càrrega del vèrtex superior

a 3cos — 5 cos 30º 5 — 2 2

q2 aF 5 2 [K ——] cos — 5 52,0 N a2 2

b) El potencial elèctric en el punt mitjà d’un costat qualse-vol del triangle.

ah2 5 a2 2 �—�

2

2

ah 5 a2 2 �—�

2 5 1,5 m

2

q q qV 5 K �—— 1 —— 1 —� 5 2,7·106 V a a h — — 2 2

dllll

dlllllllll

69FÍSICA 2 03

DU 5 q [V (3, 0) � V (2, 0)] 5

1 15 q ? 2 kQ [———— � ————] 5 √ 22 1 32 √ 22 1 22

5 �1,37·10�2 J

1 DEc 5 — m v2 2 0 2

22 DU→ v 5 ———— 5 3,02 m/s m

33. El potencial d’una càrrega puntual en un punt A és 500 V i el camp elèctric 200 N/C.

a) A quina distància es troba A de la càrrega?

Plantegem el sistema següent:

QK — 5 500 r

QK — 5 200 6

Q K — r 5→ ———— 5 — → r 5 2,5 m Q 2 K — r 2 r 2

b) Quin és el valor de la càrrega?

Trobem la càrrega per substitució en la primera equació:

Q 500 r 500 ? 2,5K — 5 500 → Q 5 ——— 5 ———— 5 r K 9 ? 109

5 1,389 ? 1027 C 5 138,9 nC

c) Quin treball cal fer per portar una càrrega de 50 mC des d’A fi ns a 3 cm de la càrrega?

Calculem prèviament el potencial a una distància de 3 cm:

138,9 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? —————— 5 41 670 V 0,03

Wforces externes 5 Q DV 5 50 ? 1023? (41 670 2 500) 5 2 058,5 J

34. Dues càrregues de valors 20 mC i 240 mC estan separades una distància de 5 cm. Calculeu el treball que han de realit-zar les forces externes per separar-les fi ns a 8 cm.

Wforces externes 5 D Ep

1 1Wforces externes 5 9 ?109?20 ?1026? (240 ?1026) ? 1—— 2 ——2 0,08 0,05Wforces externes 5 54 J

35. Quin treball cal fer per separar dues càrregues de 2 mC i 26 mC, respectivament, des d’1 m fi ns a 6 m?

Wforces externes 5 D Ep

1 1Wforces externes 5 9 ? 109? 2 ? 1023? (26 ? 1023) ? 1— 2 —2 6 1Wforces externes 5 9 ? 104 J

dllllllll

Potencial en A:

20 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 60 V 22

b) En quin punt el potencial és zero?

Perquè el potencial creat per la càrrega sigui nul, cal allu-nyar-se fins a l’infinit.

c) Quin treball hem de fer per portar una càrrega de 2 C des de l’infi nit fi ns a A?

El treball fet per les forces externes en desplaçar una càrre-ga Q és:

W 5 Q DV 5 2 ? (60 2 0) 5 120 J

d) I si es porta des de B fi ns a A, on B es troba a 5 m de la càrrega?

Calculem prèviament el potencial a B:

20 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 36 V 5

W 5 Q DV 5 2 ? (60 2 36) 5 48 J

e) I des d’A fi ns a B?

W 5 Q DV 5 2 ? (36 2 60) 5 248 J

32. Considereu dues càrregues iguals, cadas cuna de valor Q 5 1025 C, fi xes en els punts (0, 2) i (0, 22). Les dis-tàncies es mesuren en m i la constant de Coulomb val 1 k 5 ——— 5 9 ? 109 N?m2/C2. 4 p «0

a) Calculeu el camp elèctric en el punt (2, 0). Determineu la força elèctrica total que experimentaria una petita càrrega q 5 1026 C situada en aquest punt.

r2 � 22 1 22 � 8 m2

Q pE (2, 0) � 2 k — cos — � 1,59·104 N/C;

→E � E

→ i

r2 2

F � q E � 1,59·1022 N; →F � F

→ i

b) Determineu el treball elèctric que un agent extern ha ha-gut de fer sobre la càrrega q per portar-la des de l’infi nit fi ns al punt (2, 0) sense modifi car la seva energia cinètica.

W � q·DV 5 q·V (2, 0)

QW � q·2 K — 5 6,36·1022 J → 63,6 mJ r

W . 0: s’ha fet contra el camp →E

c) Suposeu que la càrrega q té una massa de 3 g i es troba en repòs en el punt (2, 0). Calculeu la velocitat amb què arriba al punt (3, 0).

Ec 1 U � constant → DEc � DU 5 0


a) La força elèctrica que actua sobre q1.

q2 q3→F 5 k q1 [ —— (1, 0) 1 —— (0, 21)] r 212 r 213

3·1026 2·1026→F 5 9,0·109·1·1026 [ ——— (1, 0) 1 ——— (0, 21)] 102 102

5 9,0·1025 (3, 22) N

b) El potencial elèctric en el punt P4 5 (0, 5).

21·1026 3·1026 22·1026

V4 5 9,0·109 [ ———— 1 ———— 1 ———— ] 5 d 5 1 102 5

V4 5 23,0·103 V

c) La variació d’energia potencial elèctrica que experimen-ta un electró quan el desplacem del punt P4 5 (0, 5) al punt P5 5 (0, 15).

21·1026 3·1026 22·1026

V5 5 9,0·109 [ ———— 1 ————— 1 ———— ] 5 15 d 15 1 102 5

5 22,7·103 V

DU 5 qc (V5 2V4 ) → DU 5 24,8·10217 J

39. Quin treball hem de fer per desplaçar una càrrega Q de 20 mC des d’un punt A fi ns a punt B, per un camí qualsevol?

Prèviament, calculem els potencials creats per les càrregues fixes en els punts A i B:

60 ? 1029 240 ? 1029 30 ? 1029

VA 5 9 ? 109 ? 1———— 1 ————— 1 ————2 5 108 V 5 4 3

60 ? 1029 240 ? 1029 30 ? 1029

VB 5 9 ? 109 ? 1———— 1 ————— 1 ————2 5 174 V 3 6 5

El treball realitzat per les forces externes és:

Wforces externes 5 Q DV 5 20 ? 1023? (174 2 108) 5 1,32 J

36. Una esfera metàl.lica de 10 cm de radi es carrega amb una càr-rega positiva de 1025 C. A continuació es connecta a una al tra esfera metàl.lica, de 20 cm de radi, inicialment descarregada, i seguidament s’hi desconnecta. Calculeu la càrrega de cada esfera a la situació fi nal.

QT 5 Q1 1 Q2

6 1025 5 Q1 1 Q2 6 Q1 5 3,33 · 1026 C

Q1 Q2V1 5 V2

— 5 — Q25 6,66 · 1026 C r1 r2

37. Una esfera conductora de radi 5 cm està carregada fi ns a 40 nC i una altra esfera conductora de radi 8 cm, fi ns a 60 nC. Si connectem les esferes amb un fi l conductor, quina quan-titat de càrrega circula i en quin sentit ho fa?

En primer lloc cal esbrinar els potencials de les esferes:

40 ? 1029

V1 5 9 ? 109 ? ———— 5 7 200 V 0,05

60 ? 1029

V2 5 9 ? 109 ? ———— 5 6 750 V 0,08

Com que l’esfera petita es troba a un potencial més alt que l’esfera gran, tindrà lloc una transferència de càrrega de l’esfera petita cap a la gran fins que els potencials s’igualin. Anomenem Q9 la càrrega transferida:

40 ? 1029 2 Q9 60 ? 1029 1 Q99 ? 109 ? ——————— 5 9 ? 109 ? ——————— → 0,05 0,08

40 2 Q9 60 1 Q9→ ———— 5 ———— → 320 2 8 Q9 5 300 1 5 Q9 5 8

20→ Q9 5 —— 5 1,54 nC 13

38. Tres partícules carregades, q1 5 21 mC, q2 5 3 mC, q3 5 22 mC, es troben sobre un pla en els punts de coordena-des P1 5 (0, 0), P2 5 (10, 0) i P3 5 (0, 10), respectivament. Totes les coordenades s’expressen en m. Calculeu:

71FÍSICA 2 03

43. En una regió de l’espai hi ha un camp elèctric uniforme de mòdul E 5 105 N/C.

a) Quina és la diferència de potencial entre dos punts A i B d’aquesta regió separats 2 cm si la direcció AB és pa-ral.lela al camp elèctric? I entre dos punts A i C també separats 2 cm si la direcció AC és perpendicular al camp elèctric?

Un protó (qp 5 1,6 ?10219 C, mp 5 1,67 ?10227 kg), que en l’instant inicial té una velocitat v0 5 2 ?105 m/s, es mou sobre una recta en la mateixa direcció del camp, però en sentit contrari.

VA 2 VB 5 E ? d 5 105 ? 0,02 5 2,1 V, és un valor positiu perquè el sentit del camp és de potencials alts a potencials menors.

VA 2 VC 5 E ? d ? cos a 5 0, és nul.la perquè ens movem sobre una línia equipotencial.

b) Quant val el treball efectuat per la força elèctrica sobre el protó des de l’instant inicial fi ns que la seva velocitat és nul.la?

Com que l’única força que actua sobre el protó és l’associada al camp elèctric, és:

1W 5 2DEc 5 2— 1,67 ? 10227 ? (2 ? 105)2 5 23,34 ? 10217 J 2

c) Quina és la distància recorreguda pel protó en aquest mateix interval de temps?

Fent ús del resultat anterior:

W 5 F ? d ? cos 180° 5 2q E d →

2W 3,34 ? 10217

→ d 5 —— 5 ——————— 5 1,99 m q E 1,6 ? 10219 ? 105

40. Quin és el potencial al centre d’una esfera metàl.lica de radi 8 cm, carregada amb una densitat superfi cial s de 20 nC/m2? Recordeu que en els bons conductors la càrrega es troba dis-tribuïda només en la superfície.

En els bons conductors, la càrrega es distribueix per la su-perfície i es comporta com una superfície equipotencial. Del’expressió d V 5 2

→E ? d

→r i tenint en compte que en l’interior

del conductor el camp és zero, tenim que:

d V 5 2→E ? d

→r → d V 5 0 → V 5 constant

Per tant, el potencial al centre de l’esfera és el mateix que a la superfície:

20 ? 1029? 4 p ? 0,082

V 5 9 ? 109 ? ————————— 5 181 V 0,08

41. Es llança una càrrega Q 5 200 mC i de massa 2 g amb una velocitat de 2 ?104 m/s en sentit contrari a un camp elèctric uniforme de 5 ?104 N/C. Quina ddp supera? Qui na distància recorre fi ns que s’atura?

Com que es tracta d’un camp conservatiu, tenim que:

D Ep 1 D Ec 5 0 →

1D Ep 5 2D Ec 5 210 2 — ? 2 ? 1023? (2 ?104)22 5 4 ? 105 J 2

La diferència de potencial que supera és:

DEp 4 ?105

DV 5 ——— 5 ————— 5 2 ? 106 V Q 200 ?1023

El camí recorregut és:

2DV 22 ?106

DV 5 2E Dx → Dx 5 —— 5 ———— 5 40 m E 25 ?104

42. Una càrrega elèctrica de 140 mC es troba en una superfície equipotencial de 220 V i es desplaça cap a una altra de 80 V. Quin treball hem de fer per realitzar aquest desplaçament?

El treball per desplaçar una càrrega en un camp elèctric és:

W 5 Q DV 5 40 ? 1023? (80 2 (220)) 5 4 J


El treball realitzat és zero, ja que la força és en tot moment perpendicular al vector desplaçament:

W 5 e →F ?

→ d 5 0

4. El camp magnètic, pot fer variar l’energia cinètica d’una càrrega?

En la qüestió anterior hem dit que la força magnètica no realit-za treball. D’altra banda, tenim que:

W 5 D Ec 5 0

Per tant, no hi ha variació d’energia cinètica.

5. Es llança un protó amb una velocitat de 3 ? 104 m/s perpendi-cularment a un camp magnètic uniforme d’intensitat 0,4 T. Calculeu la força que rep la càrrega en aquest instant.

Dada: Qp � 1,6 � 10�19 C

Amb l’expressió →F 5 Q (

→v 3

→B) calculem la força que rep la

partícula:

→i

→j

→k

→F 5 1,6 ? 10219 ? *3 ? 104 0 0 * 5 1,9 ? 10215

→j N

0 0 20,4

6. El camp magnètic pot fer variar la quantitat de moviment d’una càrrega?

Sí que fa variar la quantitat de moviment.

En el cos del camp magnètic uniforme de la fi gura de l’activi-tat 3, la càrrega gira en una trajectòria circular amb velocitat constant. La velocitat és constant en mòdul, però no en direc-ció. Per tant, la quantitat de moviment de la càrrega varia vec-torialment, encara que el seu mòdul sigui constant.

7. Es llança un electró amb una velocitat de 5 � 105 m/s per-pendicularment a un camp magnètic uniforme d’intensitat 0,4 T. Calculeu la força que rep la càrrega en aquest instant.

Dada: |Qe| � 1,6 � 10�19 C

j Unitat 4. Electromagnetisme I

j Activitats

1. Un imant atrau una peça de ferro. Aleshores el ferro pot atraure una altra peça de ferro. Podeu donar una explicació d’aquest fenomen?

Quan un imant natural atrau un tros de ferro, aquest s’imanta, és a dir, el moments bipolars magnètics s’arrengleren en una direcció determinada; aleshores el tros de ferro manifesta el caràcter magnètic, o sigui, es converteix en un altre imant.

2. Quines d’aquestes sis afi rmacions són certes i quines són falses?

Una càrrega en repòs només pot crear un camp elèctric. Quan es mou, pot crear un camp elèctric i magnètic, és a dir, un camp electromagnètic.

a) Una càrrega elèctrica en repòs crea: 1) només camp elèctric, 2) només camp magnètic, 3) un camp elèctric i un camp magnètic.

1) Certa

2) Falsa

3) Falsa

b) Una càrrega elèctrica en moviment crea: 4) només camp elèctric, 5) només camp magnètic, 6) un camp elèctric i un camp magnètic.

4) Falsa

5) Falsa

6) Certa

3. Per què la força que rep una càrrega a causa d’un camp mag-nètic no fa treball?

Perquè la força magnètica és igual a la força centrípeta. Recor-deu que la força centrípeta va dirigida cap al centre de la tra-jectòria circular.

En la fi gura il.lustrem la situació d’un camp magnètic uniforme perpendicular al paper i una càrrega Q que gira en una trajectò-ria circular.

73FÍSICA 2 04

12. Determineu la força que rep una espira de 5 cm de radi quan hi circula un corrent de 10 A en presència d’un camp mag-nètic uniforme de 0,2 T.

Quan el circuit és tancat, la força neta que rep a causa del camp magnètic uniforme extern sempre és nul.→F 5 e I (d

→l 3

→B) 5 0

13. Determineu la força que rep el conductor de la fi gura, vecto-rialment i en mòdul, si la intensitat del camp és de 0,4 T.

Apliquem l’expressió →F 5 I (

→ l 3

→B) en el segment de l’eix Y i

apliquem la regla de la mà dreta:

→F 5 10 ? 1 ? 0,4

→i 5 4

→i N

Pel segment de l’eix X és:

→F 5 10 ? 2 ? 0,4

→j 5 8

→j N

La força total, vectorialment i en mòdul, que rep el conductor és:

→F 5 (4

→i 1 8

→j ) N → F 5 8,94 N

14. Expliqueu per què dos conductors rectes molt llargs que porten corrents elèctrics en direccions oposades es repel-leixen l’un a l’altre.

El conductor 1 crea un camp magnètic B1 sobre el conductor 2 en la direcció i sentit indicat per x. Amb la regla de la mà dreta, deduïm que el conductor 2 rep una força cap a la dreta.

Fem el mateix amb el conductor 2 sobre el conductor 1, i com-provem que farà una força cap a l’esquerra.

Per tant, els conductors es repel.leixen.

15. Per un fi l de coure rectilini molt llarg passa un corrent de 5 A. Calculeu el valor del camp magnètic en un punt que dista 5 cm del conductor.

Utilitzem la mateixa expressió que en el problema anterior:

→i

→j

→k

→F 5 1,6 ? 10219 ? * 5 ? 105 ? cos 30° 5 ? 105 ? sin 30° 0 * 5

0 0 20,4

5 (1,60 ? 10214 →i 2 2,77 ? 10214

→j ) N

8. S’allibera un protó des del repòs en una regió on hi ha un camp elèctric i un camp magnètic paral.lels i uniformes. Com es mourà el protó? I un electró?

El camp elèctric farà moure la càrrega Q amb moviment unifor-me accelerat:

→F Q

→E→

F 5 Q→E →

→a 5 —— 5 ——

m m

El camp magnètic, que actua en la mateixa direcció que la càr-rega, no li farà cap efecte.

Per tant, la càrrega es mourà amb moviment uniformement ac-celerat en la direcció del camp elèctric.

Si la càrrega és un protó, es mourà en la mateixa direcció i el mateix sentit que el camp elèctric. Si la càrrega és un electró, es mourà en la mateixa direcció i sentit contrari al camp elèctric.

9. Els protons i les partícules � passaran amb la mateixa velo-citat per un selector de velocitats? Raoneu la res posta (una partícula � és un nucli de He, és a dir, un nucli format per 2 protons i 2 neutrons).

La velocitat que selecciona un selector de velocitats només depèn del camp elèctric i del camp magnètic i ve donada per l’expressió:

Ev 5 — B

Per tant, és independent de la massa i de la càrrega de la par-tícula.

10. Els protons i els electrons passaran amb la mateixa veloci-tat per un selector de velocitats? Raoneu la resposta.

És independent de la quantitat de càrrega i del signe de la càr-rega.

11. Per un conductor rectilini de 3 m de longitud passa un cor-rent de 20 A. Quina força rep el conductor, quan hi actua un camp magnètic de 0,5 T perpendicular al conductor?

Apliquem l’expressió per determinar la força d’un element lineal de corrent quan és sotmès a un camp magnètic extern:→F 5 I (

→ l 3

→B)

En mòdul, i sabent que el camp magnètic actua perpendicular, podem escriure:

F 5 I l B sin m 5 20 ? 3 ? 0,5 5 30 N


Punt 1:

4 ? p ? 1027 ? 40 4 ? p ? 1027 ? 25B1 5 ——————— 1 ——————— 5 1,3 ? 1024 T (3) 2 ? p ? 0,1 2 ? p ? 0,1

Punt 2:

4 ? p ? 1027 ? 40 4 ? p ? 1027 ? 25B2 5 ——————— 2 ——————— 5 2,3 ? 1025 T (•) 2 ? p ? 0,3 2 ? p ? 0,1

Punt 3:

24 ? p ? 1027 ? 40 4 ? p ? 1027 ? 25B3 5 ———————— 1 ——————— 5 6,3 ? 1025 T (•) 2 ? p ? 0,1 2 ? p ? 0,3


h Qüestions

1. La direcció del camp elèctric →E es pot defi nir a partir de la

força que rep una càrrega puntual. Per què no podem defi nir de la mateixa manera la direcció d’un camp magnètic?

Suposem una càrrega puntual positiva en el si d’un camp elèc-tric. La força elèctrica que rep ve donada per l’expressió →F 5 Q

→E, d’on deduïm que la força pren la mateixa direcció i el

mateix sentit que el camp elèctric.

Si ara suposem que el camp que actua sobre la càrrega puntual positiva és magnètic, aleshores la força ve donada per l’expres-sió

→F 5 Q (

→v 3

→B), d’on deduïm que la direcció de la força no

coincideix amb la direcció del camp magnètic.

2. Quan llancem un electró amb una velocitat v perpendicular-ment a un camp magnètic uniforme B, la seva trajectòria és: a) lineal amb velocitat constant; b) circular uniforme; c) lineal accelerada; d) circular accelerada.

La resposta correcta és la b), ja que la força magnètica és cons-tant i perpendicular a la velocitat i, per tant, descriu una tra-jectòria circular.

3. Un electró es mou en un camp magnètic uniforme i descriu una trajectòria circular continguda en el pla del paper, com indica la fi gura. Determineu la direcció i el sentit del camp magnètic amb referència al pla del paper. Raoneu la resposta.

Quan per un conductor passa un corrent elèctric, aquest crea un camp magnètic la intensitat en mòdul del qual ve donada per l’expressió:

m0 l 4 ? p ? 10�7 ? 5B 5 ——— → B 5 ——————— 5 2 ? 10�5 T 5 0,2 G 2 p r 2 ? p ? 0,05

16. Una anella de radi 12 cm està formada per 100 espires molt compactades.

Quin camp crea en el seu centre quan hi passa un corrent de 5 A?

El camp magnètic creat al centre d’una anella quan hi passa un corrent elèctric és:

m0 l NB 5 ———— 5 2,62 mT 2 r

17. Dos conductors rectilinis molt llargs es creuen perpendicu-larment sense fer contacte entre si. Per cadascun passa un corrent de 20 A. Calculeu el camp magnètic que hi ha en el punt P i doneu el resultat segons el sistema de referència indicat.

m0 lApliquem per a cada conductor l’expressió B 5 ——— i amb la 2 p rregla de la mà dreta determinem el resultat vectorialment:

4 ? p ? 1027 ? 20 k→ 4 ? p ? 1027 ? 20 k

→→B 5 —————————— 2 ————————— 5 0,266

→k G

2 ? p ? 0,3 2 ? p ? 0,1

18. Calculeu el camp magnètic produït per dos conductors li-neals paral.lels i molt llargs en els punts 1, 2 i 3. Utilitzeu la nomenclatura del punt i de la creu per indicar el sentit del camp.

75FÍSICA 2 04

La intensitat del camp magnètic a l’interior de la bobina és aproximadament B 5 m0 n I.

7. L’energia cinètica d’una partícula carregada, pot ser modifi -cada per un camp magnètic uniforme? I per un camp elèc-tric uniforme? Justifi queu les respostes.

Un camp magnètic uniforme no pot canviar l’energia cinètica d’una partícula carregada, perquè:

si →B //

→v →

→F B 5 0 →

→v 5 constant

si →B //

→v →

→F B 0 →

→v 5 constant

Un camp elèctric uniforme sempre canvia l’energia cinètica d’una partícula carregada, perquè:→FE 5 q

→E 5 0 canvia el component de

→v en la direcció de

→E.

8. Quina magnitud representa N/A2?

Si prenem l’expressió de la força entre dos conductors paral.lels i infi nits, la podem escriure com:

m0 I1 I2 l F m0 lF 5 ————— → ——— 5 ———— 2 p d I1 I2 2 p d F NObserveu que la magnitud que representa ——— < —— és la I1 I2 A2

permeabilitat.

Recordem que les constants no es tenen en compte, i que la distància d i la longitud l es cancel.len.

Per tant, tenim:

N Tmm → —— 5 ———

A2 A

9. Un electró i un protó que tenen la mateixa velocitat pene-tren en una regió on hi ha un camp magnètic perpendicular a la direcció de la seva velocitat. Aleshores la seva trajectò-ria passa a ser circular.

a) Raoneu quina de les dues partícules descriurà una tra-jectòria de radi més gran.

m v2 m ? vq V B 5 ——— → R 5 ———; com, me ,, mp

→ Re , Rp R q B

b) Dibuixeu esquemàticament la trajectòria de cada partí-cula i indiqueu quin és el sentit de gir del seu movi-ment.→F 5 q ?

→v ?

→B

Protó: Electró:

Recordeu que me , mp; qe � �qp

F

→F 5 q

→v 3

→B

→ →B és perpendicular al paper i cap enfora (•).

q , 0

iyt

4. Quan llancem un electró amb una velocitat v i en sentit contrari a un camp magnètic uniforme B, la seva velocitat: a) augmenta; b) disminueix; c) no s’altera.

La resposta correcta és la c), ja que la força que rep segons l’expressió

→F 5 Q (

→v ∧

→B) 5 0 és nul.la. El producte vectorial de

dos vectors paral.lels s’anul.la.

5. En una regió de l’espai hi ha un camp elèctric i un camp magnètic constants en la mateixa direcció i sentit. En un determinat instant penetra en aquesta regió un electró amb velocitat paral.lela als camps i de sentit contrari. Descriviu el tipus de moviment que farà l’electró. Justifi queu la res-posta.→E: fa sobre e2 una força 2e

→E que l’accelera en el mateix

sentit que →v.

→B: es paral.lel a

→v i, per tant,

→E 5 (2e)

→v 3

→B 5 0; no fa

cap efecte sobre l’electró.

Conclusió: l’electró segueix un MUA en el sentit de →v0.

6. Expliqueu com es pot fer una brúixola amb un generador de CC, una bobina i un fi l conductor.

En la fi gura hem fet un esquema on connectem la font de CC amb la bobina mitjançant fi ls conductors. Situem la bobina en una base sobre la qual pot girar lliurement sobre un eix.

La font d’alimentació proporciona un corrent elèctric de valor DVI 5 ——, en què R és la resistència del circuit. R


El corrent que circula pel fi l genera un camp magnètic per-pendicular al paper i en sentit cap endins (3) segons la regla de la mà dreta i, per tant, la càrrega rep una força cap a la dreta, segons la regla de la mà dreta.

b) Canviarien les respostes de l’apartat a) si la càrrega fos positiva? En cas afi rmatiu, quin seria el canvi?

Si la càrrega fos negativa, evidentment que el camp magnè-tic continuaria sent igual, però la força que rebria la càrrega positiva canviaria de sentit, és a dir, s’aproparia cap al con-ductor.

13. En quines condicions una partícula carregada descriu una trajectòria rectilínia en presència d’un camp magnètic uni-forme? I en presència d’un camp elèctric uniforme?

Com que el camp magnètic exerceix una força en una direcció diferent de la velocitat, és necessari que aquesta sigui nul.la.

De l’expressió →F 5 Q (

→v 3

→B), deduïm que només pot seguir

una trajectòria rectilínia quan l’angle que formen els vectors →v i

→B és de 0° i 180°. Per tant, quan llancem una partícula carrega-da en la direcció d’un camp magnètic uniforme, aquesta segueix una trajectòria rectilínia en la mateixa direcció que el camp magnètic.

Quan actua un camp elèctric, la força que rep ve donada per l’expressió

→F 5 Q

→E, on veiem, com hem comentat abans, que la

força pren la mateixa direcció que el camp elèctric.

Per tant, una partícula carregada elèctricament seguirà una trajectòria rectilínia en un camp elèctric quan aquest sigui uni-forme.

14. Un canó dispara ions en direcció a un selector de velocitats. Si volem determinar la velocitat màxima dels ions emesos pel canó i suposem que només podem variar la intensitat del camp elèctric, què hem de fer, augmentar-la o dismi-nuir-la? Raoneu la resposta.

En un selector de velocitats, la velocitat seleccionada ve dona- Eda per l’expressió v 5 —. Per seleccionar la velocitat màxima Bcaldrà anar augmentant el camp magnètic fi ns assolir un màxim.

15. Un feix d’ions positius passa sense desviar-se d’esquerra a dreta a través d’un selector de velocitats en el qual el sen-tit del camp elèctric actua cap amunt. Si ara s’inverteix el sentit del feix de dreta a esquerra, continuarà no desviant-se en el selector? Si es desvia, raoneu en quina direcció.

10. Una càrrega està en repòs en les proximitats d’un fi l recte pel qual passa un corrent elèctric d’intensitat constant. Existeix camp magnètic en el punt on es troba la càrrega? Actua una força sobre la càrrega? Raoneu les respostes.

En efecte, hi ha camp magnèic en les proximitats d’un conduc-tor quan hi circula un corrent elèctric. El seu valor és:

m0 IB 5 ——— 2 p r

Però com que la càrrega elèctrica es troba en repòs, el camp magnètic no li fa cap efecte, ja que:→F 5 Q (

→v 3

→B)

Si v 5 0, aleshores F 5 0. I, per tant, continuarà en estat de repòs.

11. Per un fi l, que suposem indefi nidament llarg, circula un corrent continu d’intensitat I. A prop del fi l es mou una partícula amb càrrega positiva amb velocitat v. Tant el fi l com el vector velocitat estan en el pla del paper. Indiqueu la direcció i el sentit del camp magnètic creat pel corrent en el punt on es troba la càrrega.

Feu un dibuix indicant la direcció i el sentit que hauria de tenir un camp elèctric addicional per tal que la resultant sobre la partícula fos nul.la. Raoneu la resposta.

��

�

��

��

�

Apliquem la regla de la mà dreta i observem que el camp mag-nètic que genera el conductor és perpendicular al paper i cap endins, és a dir, (3). Aquest camp actua sobre la càrrega 1q, que segons la regla de la mà dreta, rep una força en la direcció i sentit del corrent elèctric. Per tant, el camp elèctric que s’hauria d’aplicar perquè la resultant de les forces sobre la càr-rega fos nul.la ha d’anar en sentit contrari al corrent elèctric del conductor.

12. Per un fi l, que suposarem infi nitament llarg, circula un cor-rent continu d’intensitat I. A prop del fi l i amb velocitat v paral.lela a aquest fi l es mou una partícula amb càrrega ne-gativa.

a) Quines seran la direcció i sentit del camp magnètic creat per I en el punt on és la partícula? I els de la força que el camp magnètic fa sobre la partícula?

77FÍSICA 2 04

4. Una partícula �, que és un catió format per dos protons i dos neutrons, es llança a una velocitat de 8 � 104 m/s que forma un angle de 30° respecte d’un camp magnètic unifor-me de 0,3 T. Representeu la situació i calculeu la força que rep la partícula �.

Dada: Qp � 1,6 � 10�19 C

Calculem la força en mòdul amb l’expressió →F 5 Q (

→v 3

→B):

F 5 Q v B sin w 5 2 ? 1,6 ? 10219 ? 8 ? 104 ? 0,3 ? sin 30° 5

5 3,84 ? 10215 N

Aplicant la regla de la mà dreta determinem la direcció i el sen-tit de la força. La partícula segueix una trajectòria helicoïdal.

5. Un camp magnètic uniforme fa que un protó giri en una òrbita circular estacionària de radi 5 mm i amb una freqüència de 107 Hz. Calculeu el mòdul de

→B i l’energia cinètica en eV.

Dades: Qp � 1,6 � 10�19 C i mp � 1,67 � 10�27 kg

Si l’òrbita on gira el protó és estacionària, hem d’interpretar que el vector velocitat és perpendicular al camp magnètic. De l’expressió F 5 Q v B sin w deduïm que:

F 5 Q v B

Apliquem la 2a llei de Newton:

m a 5 Q v B → m v2 r 5 Q v r B → 2 p f m m v 5 Q B → m 2 p f 5 Q B → B 5 ———— Q

Substituint valors, la intensitat de camp magnètic és:

B 5 0,657 T

Calculem l’energia cinètica:

1 1Ec 5 — m v2 5 — m (2 p f r)2 5 8,24 ? 10217 J 2 2

Expressada en eV:

1 eV8,24 ? 10217 J ? ————— 5 515,4 eV 1,6 ? 10219

6. Un camp magnètic uniforme de 0,8 T fa girar una partícula en una òrbita circular estacionària de radi 2 mm, i amb una energia cinètica d’1 keV. Si sabem que és un catió de tipus X�, calculeu-ne la massa.

Prèviament expresssem l’energia en unitats del SI i ho substi-tuïm en l’expressió de l’energia cinètica:

1,6 ? 10219 J103 eV ? —————— 5 1,6 ? 10216 J 1 eV

� � � � � � � �

��

� � � � � � � �

��

��

�

Segons la fi gura de l’enunciat, observem que si el camp elèctric actua cap amunt, la força elèctrica també i, per tant, la força magnètica ha d’actuar cap avall. En conseqüència, el camp mag-nètic actua perpendicularment al paper i cap a nosaltres (•). Si ara els ions positius entren pel cantó oposat del selector, obser-vem que les forces a causa del camp elèctric i magnètic actuen cap amunt i, per tant, els ions es desvien cap amunt.

16. En un circuit hi circula un corrent d’intensitat I i es troba en el si d’un camp magnètic uniforme. La força magnètica total que rep el circuit és:

a) Diferent de zero.

b) Nul.la.

c) Variable en funció de la posició.

La resposta correcta és la b).

17. Indiqueu tres factors dels components d’un motor elèctric que poden fer augmentar la seva potència.

Augmentar la intensitat de corrent que passa pel rotor, aug-mentar el nombre d’espires del rotor i augmentar la intensitat de camp magnètic de l’estator.

h Problemes

1. Trobeu el moment dipolar magnètic d’una bobina de 1 000 voltes superconductora, de radi 5 cm, quan hi passa un cor-rent 12 A. Indiqueu-ne la direcció i el sentit.

El moment dipolar magnètic d’una espira és en mòdul:

m 5 N I S 5 1 000 ? 12 ? p ? 0,052 5 94,2 A?m2

2. El camp magnètic varia bastant d’un lloc a un altre de la super-fície de la Terra. A Manresa, de latitud 41° 44� 10�, li corres-pon un valor de 2,221 � 10�5 T. Expresseu el resultat en gauss.

104 G2,221 ? 1025 T ? ——— 5 0,222 G 1 T

3. Un protó entra en una regió on hi ha un camp magnètic uni forme B � 0,2 T. Si, en entrar-hi, va a una velocitat v � 106 m/s, perpendicular a la direcció del camp, calculeu el radi de la trajectòria circular que descriu el protó.

Dades: QP 5 16 � 10�19 C i mP � 1,67 � 10�27 kg

m v2 m vq V B 5 ——— → R 5 —— 5 5,2 ? 1022 m 5 5,2 cm R q B


9. Un ciclotró utilitzat per accelerar partícules � té un camp magnètic d’1,2 T i un radi de 0,8 m. Calcula la freqüència del ciclotró i l’energia màxima de les partícules �.

m v 2 m vDe la relació Q v B 5 ——— → Q B 5 ——. R R

Tenint en compte que v 5 v R:

v Q B 2 ? 1,6 ? 10219 ? 1,2v 5 — 5 —— 5 ————————— 5 5,74 ? 107 rad/s R m 4 ? 1,67 ? 10227

vf 5 —— 5 9,14 ? 106 Hz 2 p

L’energia cinètica de la partícula és:

1 1Ec 5 — m v 2 5 — m (v R)2 5 2 2 1 5 — ? 4 ? 1,67 ? 10227 ? (5,74 ? 107 ? 0,8)2 5 7,043 ? 10212 J 2

Expressada en MeV és:

1 eV7,043 ? 10212 J ? —————— 5 4,4 ? 107 eV 5 44,1 MeV 1,6 ? 10219 J

10. Un ió de 24Mg2�, de massa 3,983 � 10�26 kg, s’accelera amb una diferència de potencial de 2,5 kV i es desvia amb un camp magnètic de 100 mT a l’interior d’un espectròmetre de masses.

a) Trobeu el radi de la seva òrbita.

m v 2

De l’expressió Q v B 5 ———, aïllem el radi: R m v PR 5 ——— 5 ——— Q B Q B

Calculem la quantitat de moviment de la partícula a partir de l’energia cinètica fent les transformacions següents:

1 1 p2

Ec 5 — m v2 5 — —— 5 Q DV → p 5 d 2 m Q DV → 2 2 m

p 5 d 2 ? 3,983 ? 10226 ? 2 ? 1,6 ? 10219 ? 2,5 ? 103 5

5 7,983 ? 10221 kg?m/s

Ara ja podem calcular el radi:

P 7,983 ? 10221

R 5 —— 5 ————————— 5 0,249 m → 24,9 cm Q B 2 ? 1,6 ? 10219 ? 0,1

b) Quina és la diferència entre els radis de les òrbites dels ions 26Mg2� i 24Mg2�, si la relació entre les masses és 26/24?

Establim la relació entre els radis combinant l’expressió an-terior:

m v ——— R Q B m—— 5 ———— 5 —— R9 m9 v m9 ——— Q B

1 1Ec 5 — m v 2 → 1,6 ? 10216 5 — m v 2 → 2 2

3,2 ? 10216

m v 5 ————— v

m v 2 3,2 ? 10216

De l’expressió Q v B 5 ——— → m v 5 Q B R 5 ————— R vpodem determinar la velocitat de la partícula:

3,2 ? 10216

1,6 ? 10219 ? 0,8 ? 2 ? 1023 5 —————— → v 5 1,25 ? 106 m/s v

3,2 ? 10216

Amb l’expressió m v 5 —————— podem calcular la massa: v

3,2 ? 10216

m 5 —————— 5 2,05 ? 10228 kg (1,25 ? 106)2

7. Una partícula � entra dins d’un camp magnètic uniforme de 0,2 T a una velocitat de 5 � 105 m/s que forma un angle de 30° respecte del camp. Calculeu el radi de l’òrbita i la freqüència amb què gira.

Dades: mp . mn � 1,67 � 10�27 kg i e � 1,6 � 10�19 C

Calculem el component perpendicular de la velocitat en la di-recció del camp magnètic:

v⊥ 5 v sin w 5 5 ? 105 sin 30° 5 2,5 ? 105 m/s

m v2⊥

Simplifi cant i substituint valors en l’expressió Q v⊥B 5 ———, Rdeterminem el radi:

m v⊥ 4 ? 1,67 ? 10227 ? 2,5 ? 105

Q B 5 ——— → R 5 ———————————— 5 0,026 m R 2 ? 1,6 ? 10219 ? 0,2

Calculem la freqüència:

v v 2,5 ? 105

f 5 —— 5 ——— 5 ——————— 5 1,52 ? 106 Hz 2 p 2 p R 2 ? p ? 0,026

8. Un selector de velocitats té un camp magnètic 0,4 T perpen-dicular a un camp elèctric d’1,5 � 105 N/C. Quina és la ve lo-citat d’una partícula carregada? Si són protons, amb quina energia es mou en eV?

Dades: mp � 1,672623 � 10�27 kg; 1 eV � 1,6 � 10�19 J

La velocitat no depèn ni de la massa ni de la càrrega, ja que:

E 1,5 ? 105

v 5 — 5 ———— 5 3,75 ? 105 m/s B 0,4

L’energia cinètica que correspon a un protó amb aquesta veloci-tat és:

1 1Ec 5 — m v2 � — 1,672623 ? 10�27 (3,75 � 105)2 5 2 2 5 1,176 ? 10�16 J

Expressat en eV, és:

1 eV1,176 ? 10�16 J ? —————— 5 735 eV 1,6 ? 10�19 J

79FÍSICA 2 04

Segment BC:

→i

→j

→k

→FBC 5 10 ? * 2 ? cos 120° 2 ? sin 120° 0 * 5 0 0 20,4

5 (26,93 →i 2 4

→j ) N

Segment CA:

→i

→j

→k

→FCA 5 10 ? * 22 ? cos 60° 22 ? sin 60° 0 * 5

0 0 20,4

5 (6,93 →i 2 4

→j ) N

Com era d’esperar, la força neta és nul.la, ja que el circuit és tancat:→Fneta 5 0

13. Determineu la força que rep la porció d’un conductor recti-lini AB quan hi passa un corrent de 40 A en presència d’un camp magnètic uniforme de 0,5

→ j T.

→i

→j

→k

→FAB 5 40 ? * 22 4 2 * 5 (240

→i 2 40

→k ) N

0 0,5 0

En mòdul: F 5 56,6 N

14. Calculeu el camp magnètic en el centre d’un conjunt de 100 espires de radi 5 cm molt compactades quan hi circula un corrent de 2 A.

Sabem que el camp magnètic en el centre d’una espira ve dona-da per l’expressió:

m0 IB 5 —— 2 R m0 IEn el cas de N espires molt compactades: B 5 N ——. 2 R

Substituïm els valors de l’enunciat i obtenim:

4 p ? 10�7 ? 2B 5 100 —————— 5 2,51 mT 2 ? 0,05

m9R 26 ? 0,249R9 5 ——— 5 ————— 5 0,269 m 24

DR 5 0,269 2 0,249 5 0,02 m 5 2 cm

11. Calculeu la força que rep una porció d’un conductor rectili-ni, quan hi passa un corrent de 20 A en presència d’un camp magnètic de 0,2 T.


→ l 3

→B) en mòdul:

F 5 I l B sin w 5 20 ? 8 ? 0,2 ? sin 60° 5 27,7 N

Apliquem la regla de la mà dreta per determinar-la vectorialment:

27,7 (2→k) 5 227,7

→k

12. Determineu la força que actua sobre cadascun dels seg-ments del circuit triangular equilàter i la força neta. La in-tensitat que circula és de 10 A i el camp magnètic és de 0,4 T i actua perpendicularment a la superfície del circuit. Expresseu els resultats segons el sistema de referència es-tablert.


→ l 3

→B) a cada segment:

Segment AB:

→i

→j

→k

→FAB 5 10 ? * 2 0 0 * 5 8

→j N

0 0 20,4


16. Calculeu la intensitat de camp magnètic que es crea en el centre d’una circumferència de radi 8 cm quan pel conduc-tor passa un corrent de 20 A.

En el punt P el camp ve donat per la contribució de l’espira i del conductor rectilini.

m0 l NEl camp creat pel l’espira és: B 5 ——— 2 r

m0 lEl camp creat pel conductor és: B 5 ——— 2 p r

4 ? p ? 1027 ? 20 4 ? p ? 1027 ? 20→ B 5 ——————— 1 —————— 5 2,1 G (•) 2 ? p ? 0,08 2 ? 0,08

17. Per una bobina de 2 000 voltes i de 20 cm de longitud passa un corrent de 10 A. Quin és el camp magnètic en el seu in-terior?

El camp magnètic a l’interior d’una bobina és pràcticament cons-tant i el seu valor ve donat per l’expressió:

4 ? p ? 1027 ? 2 000 ? 10B 5 m0 n I 5 —————————— 5 0,126 T 0,2

15. En dos conductors paral.lels circulen corrents de 20 i 30 A en la mateixa direcció i sentit, i es troben separats una dis-tància de 20 cm. Calculeu el valor del camp magnètic en un punt P que es troba en el mig dels dos conductors, així com també la seva direcció i sentit segons la fi gura.

El camp magnètic generat per un conductor està determinat per m0 Il’expressió B 5 ——— en què d és la distància del punt P al 2 p dconductor.

Segons la regla de mà dreta el conductor de 20 A genera un camp en la direcció perpendicular al paper i de sentit (•). L’al-tra conductor genera un camp de sentit (3). Per tant, els camps magnètics generats pels dos conductors es resten en P i el camp resultant tindrà el sentit del camp per on passa un corrent més gran, és a dir, (3).

El valor d’aquesta intensitat de camp magnètic en P és, per tant:

4 p ? 10�7 ? 30 4 p ? 10�7 ? 20→B 5 ——————— 2 ——————— 5 2 ? p ? 0,1 2 ? p ? 0,1

2 ? 10�7 ? 30 2 ? 10�7 ? 20 5 —————— 2 —————— 5 2 ? 10�5 T (3) 0,1 0,1

81FÍSICA 2 05

5. En una bobina de 100 voltes, de 3 cm de radi i de 4 � de resistència, com ha de variar un camp magnètic per induir un corrent elèctric de 50 mA?

d FApliquem la llei de Faraday-Lenz, % 5 2N ——, en valor abso- d tlut, i la llei d’Ohm, % 5 R I:

d F d FN —— 5 R I → 100 ? —— 5 50 ? 1023 ? 4 → dt dt

d F—— 5 0,002 Wb/s dt

F 5 N B S → 0,002 5 B ? p ? 0,032 → B 5 7,1 ? 1021 T

DB—— 5 0,71 T/s D t

6. Es pot induir un corrent elèctric en un circuit tancat sense la presència d’un imant natural?

Per induir un corrent elèctric en un circuit tancat, cal que hi hagi un camp magnètic, de manera que es produeixi una varia-ció de fl ux magnètic en la superfície tancada del circuit.

Per tant, si no disposem d’un imant natural, podem crear-ne un d’artifi cial, com per exemple una bobina amb corrent elèctric.

7. Una bobina de 500 voltes i una àrea de 5 cm2 gira al voltant del seu eix en presència d’un camp magnètic de 0,4 T. Quina ha de ser la freqüència de gir per tal de generar una fem màxima de 14 V?

La fem màxima d’un generador és:

%0 5 N B S v

Substituint valors:

14 5 500 ? 0,4 ? 5 ? 1024 ? v → v 5 140 rad/s

que corresponen a una freqüència de:

vf 5 —— 5 22,3 Hz 2 p

j Unitat 5. Electromagnetisme II

j Activitats

1. Una espira rectangular de 4 cm de llargada i 2 cm d’amplada es troba en el si d’un camp magnètic uniforme de 0,7 T. De-termineu el fl ux màxim que pot travessar l’espira.

De la defi nició de fl ux magnètic, F 5 e →B ? d

→S, quan el camp

magnètic és uniforme, tenim que el fl ux és màxim quan el fac-tor trigonomètric és 1:

F 5 e →B ? d

→S 5 B S cos w 5 B S 5 8 ? 1024 ? 0,7 5 5,6 ? 1024 Wb

2. Un camp magnètic uniforme de mòdul 5 000 G forma un angle de 60° amb l’eix d’una bobina de 1 000 espires i 5 cm de radi. Trobeu el fl ux magnètic a través de la bobina.

El fl ux magnètic per N espires és:

F 5 N→B ?

→S

F 5 0,5 ? 1 000 ? p ? 0,052 ? cos 60° 5 1,96 Wb

3. Per una bobina de 2 000 espires, de longitud 15 cm i radi 2 cm, passa un corrent continu de 3 A. Determineu el fl ux que passa per cada espira i el fl ux total que passa a través de la bobina.

El fl ux que passa per una bobina és:

2 000F 5

→B ?

→S 5 m0 n l S 5 4 ? p ? 1027 ? ——— ? 3 ? p ? 0,022 5

0,15 5 6,3 ? 1025 Wb

El fl ux total que passa per la bobina:

F 5 2 000 ? 6,3 ? 1025 5 0,126 Wb

4. Indiqueu el sentit del corrent induït quan l’imant s’acosta al circuit de la fi gura.

Amb la regla de la mà dreta, deduïm que el sentit del corrent induït ha de ser antihorari, a fi que el camp magnètic generat pel circuit s’oposi al camp creat per l’imant natural.


El valor de la força electromotriu induïda serà:

a) 20 V; b) 50 V; c) 100 V; d) 500 V

Trieu la resposta que considereu correcta i justifi queu-la.

L’opció correcta és la c) ja que:

d F DF 50 2 10%0 5 —— 5 —— 5 ————— 5 100 V d t Dt 0,1 2 0,5

6. Una espira es mou en el si del camp magnètic uniforme re-presentat en la fi gura, en el sentit que s’indica en cada cas. El símbol x indica que el camp entra en el paper.

En l’espira, s’indueix corrent elèctric:

a) En tots els casos.

b) Només en el cas D.

c) En els casos A i B.

d) En els casos A, B i C.

Escolliu l’opció correcta i raoneu la resposta.

L’opció correcta és la b), en l’espira s’indueix corrent només en el cas D. En els casos A, B i C el fl ux magnètic a través de l’es-pira no canvia en el temps i, per tant, no indueix corrent. En el cas D el fl ux varia de forma alternativa i, per tant, s’indueix un corrent altern.

7. La fi gura representa dues espires circulars, A i B, enfronta-des. L’espira A està connectada a un generador i un inter-ruptor, mentre que l’espira B està connectada a un amperí-metre. Raoneu si les afi rmacions següents són vertaderes o falses:


h Qüestions

1. Un camp magnètic variable pot induir corrent en una espira conductora?

Quan un circuit tancat rep una variació de fl ux, segons la llei de Faraday-Lenz s’indueix un corrent elèctric mentre dura la varia-ció del camp magnètic.

2. Com podem induir corrent en una espira conductora amb un camp magnètic uniforme?

Entre altres maneres de manipular, només cal fer girar l’espira entorn d’un dels seus eixos diametrals.

3. Si deixem caure un imant en caiguda lliure des d’una certa alçada en direcció perpendicular a un circuit tancat de ma-nera que un dels pols de l’imant és el cap de l’avançament, podem afi rmar que el corrent induït en el circuit:

a) és zero.

b) és constant.

c) va augmentant.

d) va disminuint.

Com que la velocitat de caiguda lliure de l’imant augmenta amb el temps, la variació de fl ux augmenta ràpidament en la caiguda de l’imant i, per tant, el corrent elèctric induït en el circuit va augmentant.

4. A. Perquè es generi corrent induït en un circuit indeforma-ble en repòs, cal que:

a) Sigui travessat per un camp elèctric variable.

b) Sigui travessat per un camp magnètic constant.

c) Sigui travessat per un camp magnètic variable.

B. Els transformadors:

a) Es fonamenten en la inducció electromagnètica.

b) Funcionen tant en corrent continu com en corrent altern.

c) Canvien la freqüència del corrent altern.

Les solucions correctes són: A c i B a.

5. En aquest gràfi c es representa la variació del fl ux magnètic amb el temps en un circuit.

83FÍSICA 2 05

b) Si es fa girar l’espira al voltant de la línia de punts ver-tical (L2).

No perquè el camp magnètic és paral.lel a l’eix de gir i no creua l’espira en cap moment. El fl ux es manté constant i de valor zero.

10. De quins paràmetres depèn la força electromotriu màxima d’un generador de CA?

La fem màxima que pot generar un generador depèn de les ca-racterístiques del generador, és a dir, del nombre d’espires de l’inductor, del camp magnètic que genera l’estator, de la super-fície de les bobines de l’inductor i de la velocitat angular amb què gira l’inductor. Totes aquestes variables hi infl ueixen de manera directament proporcional segons l’expressió:

%0 5 N B S v

11. Què mesuren normalment els aparells de mesura elèctrica: valors instantanis, valors màxims o valors efi caços?

Valors efi caços.

12. Mitjançant un transformador, podem transformar una tensió de 40 V de CC a un valor de 25V?

No, ja que el transformador només pot transformar senyals va-riables. Un corrent continu no pot infl uir en el secundari del transformador perquè no hi ha variació de fl ux magnètic.

13. Doneu el sentit del corrent induït en l’espira circular de la fi gura quan es tanca el circuit elèctric.

Quan tanquem el circuit que conté la font, crea un camp magnè-tic en el seu interior en la direcció i sentit x, i, per tant, en el circuit de l’espira aquest camp entra en la direcció i sentit de •. Segons la llei de Lenz, el corrent induït ha de ser en sentit horari.

a) Si l’amperímetre no indica pas de corrent, l’interruptor de l’espira A està forçosament obert.

És falsa. L’interruptor pot estar tancat. Si el corrent que circula per l’espira A és estacionari no es genera cap varia-ció de fl ux en A i, per tant, no apareix corrent en B.

b) Si l’interruptor de l’espira A està tancat i l’espira A se separa de l’espira B, l’amperímetre no indica pas de cor-rent.

És falsa. En separar A de B es modifi ca el fl ux de camp mag-nètic a través de B i, per tant, s’indueix un corrent en l’es-pira B en el sentit que compensi la variació de fl ux.

8. Considereu un camp magnètic uniforme, perpendicular a la superfície plana delimitada per un fi l metàl.lic en forma de U, i una barra metàl.lica que es mou sobre el fi l a velocitat constant i en el sentit indicat en la fi gura. El símbol x indi-ca que el camp apunta cap a dins del paper.

a) En quin sentit circula el corrent induït en el circuit? Raoneu la resposta.

El corrent induït apareix en sentit antihorari per compensar la variació del fl ux magnètic.

b) Quin moviment hauria de descriure la barra perquè el corrent induït fos altern? Per què?

Un moviment harmònic simple perquè el corrent induït va-riés de forma sinusoïdal en el temps.

9. Una espira rectangular està sotmesa a l’acció d’un camp magnètic uniforme, com indiquen les fl etxes de la fi gura. Raoneu si l’amperímetre A marcarà pas de corrent:

a) Si es fa girar l’espira al voltant de la línia de punts ho-ritzontal (L1).

Sí, perquè el camp magnètic és perpendicular a l’eix de gir i el fl ux que travessa l’espira va variant en el temps a mesura que l’espira va girant.


b) No circularia corrent.

c) Circularia un corrent d’intensitat variable.

Les respostes correctes són: A b; B c; C b; D b; E b.

h Problemes

1. Una espira de radi 6 cm es troba immers en un camp magnè-tic uniforme de 0,4 T. Si el vector superfície forma un angle de 40º respecte la direcció del camp magnètic, quin és el fl ux magnètic que travessa la superfície?

El fl ux magnètic que travessa una superfície ve donada per l’ex-pressió:

F 5 →B ?

→S 5 0,4 ? p ? 0,0612 ? cos 40° 5 3,47 mWb

2. Una espira conductora de radi 12 cm, la superfície de la qual és travessada perpendicularment per un camp magnè-tic de 0,5 T, gira un angle de 50º amb un temps de una dè-cima de segon. Quin és la fem induïda?

Segons la llei de Faraday-Lenz:

DF 0,5 ? p ? 0,062

|j| 5 —— 5 ——————— 5 0,057 V Dt 0,1

3. A una bobina de 10 voltes i 2 cm de radi se li acosta un imant en direcció perpendicular a l’eix longitudinal de la bobina, i en una dècima de segon el camp magnètic passa de 0,2 T a 0,5 T. Suposant que el camp magnètic és pràcti-cament uniforme en tota la superfície de l’espira, determi-neu la fem induïda.

Apliquem la llei de Faraday:

DF DB S (0,5 2 0,2) ? p ? 0,022

% 5 N —— 5 N ——— 5 10 ? ————————— 5 D t D t 0,1

5 0,038 V

4. Una espira rep un fl ux variable segons la funció

F(t) � (t 2 � 10 t) Wb

Determineu:

a) La fem induïda en l’espira en funció del temps.

Apliquem la llei de Faraday:

d F d (t2 2 10 t)% 5 2N —— 5 2N ——————— 5 (22 t 1 10) V d t d t

b) Quan el fl ux és nul, quina és la fem induïda en aquest moment?

L’instant en què el fl ux és nul és quan:

t 5 0t2 2 10 t 5 0 → i

yt

t 5 10

Per a t 5 0 → % 5 10 V

Per a t 5 10 → % 5 210 V

14. Sobre el conductor metàl.lic en forma de U de la fi gura pot lliscar la barra metàl.lica M. Tot el conjunt es troba en un pla horitzontal, en presència d’un camp magnètic uniforme de mòdul B, direcció perpendicular al pla del paper i sentit cap a dins.

A. Si la barra llisca a velocitat constant en el sentit en què augmenta la superfície delimitada pel circuit, s’indueix un corrent en el circuit que:

a) circula en el sentit de gir de les agulles del rellotge.

b) circula en el sentit contrari al de gir de les agulles del rellotge.

c) creix en el temps.

B. Si el fl ux magnètic a través de la superfície delimitada pel circuit, en funció del temps, ve donada per � � 0,1 � t (en unitats del SI), la força electromotriu del corrent in-duït en el circuit en els primers 5 s té un valor de:

a) 5 V

b) 0,5 V

c) 0,1 V

C. Si la barra llisqués sobre el conductor en forma de U amb un moviment vibratori harmònic:

a) La força electromotriu del corrent induït en el circuit tindria un valor constant.

b) El corrent induït seria un corrent altern.

c) No s’induiria corrent, perquè el circuit no conté cap generador.

D. Si la barra es mantingués immòbil sobre el conductor en forma de U, i disminuís progressivament el valor del camp magnètic en el circuit:

a) No s’induiria corrent.

b) S’induiria corrent en el sentit de gir de les agulles del rellotge.

c) S’induiria corrent en el sentit contrari al de gir de les agulles del rellotge.

E. Si el conductor en forma de U girés entorn de l’eix verti-cal defi nit per la barra M:

a) Circularia un corrent d’intensitat constant.

85FÍSICA 2 05

b) La potència màxima dissipada.

La potència màxima dissipada és:

P0 5 R I 02

DV 220La resistència és: R 5 —— 5 ——— 5 605 V → I 0,36P 5 160 W

9. Una resistència de 20 � es connecta a un generador d’una fem màxima de 12 V i d’una freqüència de 60 Hz. Determi-neu la freqüència angular, la intensitat i la potència submi-nistrada.

Coneixent la freqüència podem determinar la freqüència angular:

v 5 2 p f 5 2 p 60 5 377 rad/s

Amb la llei d’Ohm calculem la intensitat màxima i efi caç:

j0 12I0 5 —— 5 —— 5 0,6 A R 20

I0Ie 5 —— 5 0,424 A d 2

Calculem la potència subministrada:

Pm 5 R I e2 5 20 ? 0,4242 5 3,6 W

10. Un sistema de resistències connectades en paral.lel de 200 i 600 � és alimentat per un alternador de fem màxima de 40 V i freqüència 50 Hz. Determineu la intensitat màxima i efi caç que passa per la resistència de 200 �.

Calculem prèviament la resistència equivalent:

1 1 1— 5 —— 1 —— ⇒ R 5 150 V R 200 600

Apliquem la llei d’Ohm per calcular la intensitat màxima:

j0 40I0 5 —— 5 —— 5 0,267 A R 150

La intensitat màxima i efi caç que passa per la resistència de 200 V és:

40I0 5 —— 5 0,2 A 200

I0Ie 5 —— 5 0,141 A d 2

11. Un sistema de resistències connectades en sèrie de 200 i 600 � és alimentat per un alternador de fem màxima de 40 V i freqüència 50 Hz. Determineu la diferència de poten-cial que ens indicaria un voltímetre posat en els extrems de la resistència de 200 �.

Calculem prèviament la resistència equivalent:

R 5 200 1 60 5 260 V

5. Un conductor lineal de longitud 30 cm es mou perpendicu-larment en el si d’un camp magnètic uniforme de 0,5 T a una velocitat de 20 m/s. Calculeu la ddp que hi ha entre els extrems del conductor i el camp elèctric en l’interior del conductor suposant que és gairebé constant.

La ddp entre els extrems del conductor quan es mou perpendi-cularment a un camp magnètic és: % 5 v B l

Substituïm valors en aquesta expressió:

% 5 20 ? 0,5 ? 0,3 5 3 V

El camp elèctric a l’interior del conductor es pot considerar pràcticament constant:

DV 3E 5 —— 5 —— 5 10 N/C l 0,3

6. Tenim un circuit tancat per una barnilla conductora de lon-gitud 15 cm en presència d’un camp magnètic perpendicular de 0,5 T. Suposem que la barnilla conductora té una resis-tència de 5 � i la resta del circuit és pràcticament negligi-ble. Amb quina velocitat s’ha de moure la barnilla perquè circuli una intensitat de 12 mA.

Amb la llei d’Ohm, calculem la ddp necessària per donar una intensitat de 12 mA:

DV 5 I R 5 12 ? 10�3 ? 5 5 0,06 V

Calculem la velocitat necessària de la barnilla per generar una ddp de 0,06 V:

DV 0,06DV 5 v B � ⇒ v 5 —— 5 ———— 5 0,8 m/s B � 0,5 ? 0,15

7. Una bobina de 400 voltes i de secció 24 cm2 gira en un camp magnètic de 0,7 T. Amb quina velocitat angular ha de girar el rotor de l’alternador, expressat en rpm, per tal que generi una fem màxima de 20 V?

La fem d’un alternador ve donada per l’expressió:

j0 20j0 5 N B S v ⇒ v 5 —— 5 ————————— 5 N B S 400 ? 0,7 ? 24 ? 1024

5 29,76 rad/s

1 volta 60 sExpressat en rpm: 29,76 rad/s ? ———— ? ———— 5 284 rpm 2 p rad 1 min

8. Una bombeta de 80 W s’endolla a 220 V efi caços. Calculeu:

a) La intensitat efi caç i màxima.

La potència dissipada per una bombeta és:

P 80P 5 Ie DVe → Ie 5 —— 5 —— 5 0,36 A DVe 220

La intensitat màxima és:

I0 5 d 2 Ie 5 0,51 A


Apliquem la relació d’espires amb la tensió:

%p np 120 800—— 5 —— → —— 5 —— → ns 5 20 espires %s ns 3 ns

120 800—— 5 —— → ns 5 100 espires 15 ns

120 800—— 5 —— → ns 5 200 espires 30 ns

16. Un transformador ideal i elevador té 10 espires en el prima-ri i 500 en el secundari.

a) Si el primari es connecta a un voltatge efi caç de 12 V, quin és el voltatge en el secundari en circuit obert?

Apliquem la relació espires amb la tensió:

%p np 12 10—— 5 —— → —— 5 —— → Es 5 600 V %s ns %s 500

b) Si el corrent en el primari és de 20 A, quan val el cor rent en el secundari?

Calculem el corrent en el secundari:

%p Is 12 Is—— 5 —— → —— 5 —— → Is 5 0,4 A %s Ip 600 20

17. Una ona electromagnètica es propaga en el buit amb una intensitat màxima de camp elèctric de 3 000 N/C. Quina és la intensitat màxima del camp magnètic?

Les intensitats de camp elèctric i magnètic estan relacionats amb l’expressió:

Ec 5 — B

Aquesta relació la podem expressar també en valors màxims de les intensitats dels dos camps:

E0c 5 —— B0

La intensitat de camp magnètic de l’ona electromagnètica és, per tant:

E0 3 000B0 5 —— 5 ——— 5 1025 T c 3 ? 108

j Avaluació del bloc 1

1. A la fi gura es mostren tres distribucions de càrregues, A, B i C, cadascuna de les quals està formada per quatre càr regues puntuals situades als vèrtexs d’un quadrat. Totes les càrre-gues tenen el mateix valor absolut q, però poden diferir en el signe, com es mostra a la fi gura. Indiqueu en quina o quines distribucions es compleix que:

a) El camp és nul al centre del quadrat però el potencial no.

Apliquem la llei d’Ohm per calcular la intensitat màxima:

j0 40I0 5 —— 5 —— 5 0,05 A R 800

La diferència de potencial del voltímetre connectat a la resis-tència de 200 V és d’un valor efi caç:

0,05DVe 5 200 ? ——— 5 7,1 V d 2

12. Un radiador elèctric amb una potència de 2 kW s’endolla a una tensió de valor efi caç de 220 V. Determineu la resistèn-cia i la intensitat efi caç que hi circula.

La potència d’una resistència ve donada per l’expressió P 5 Ve Ie

P 2 000Ie 5 —— 5 ——— 5 9,091 A Ve 220

Ve 220R 5 —— 5 ——— 5 24,2 V Ie 9,091

13. El primari d’un transformador reductor ideal té 250 espires en el primari està connectat a 120 V efi caços. El secundari subministra un corrent de 20 A a 9 V efi caços. Determineu el corrent del primari i el nombre d’espires de secundari.

Si el transformador és ideal, entenem que la potència adminis-trada pel primari és igual a la potència subministrada pel se-cundari. Podem determinar la potència de sortida que és igual també a la del primari.

Coneixent la potència d’entrada podem determinar la intensitat del primari:

P 180Ie 5 —— 5 —— 5 1,5 A je 120

jp np 250 ? 9—— 5 —— ⇒ ns 5 ———— ø 19 espires js ns 120

14. Un timbre funciona a 6 V amb un corrent de 0,4 A. Es con-necta a un transformador en què el primari conté 200 espi-res i està alimentat per un corrent altern de 120 V. Quantes espires ha de tenir el secundari? Quin és el corrent en el primari?

Suposem que el transformador és ideal i, per tant, la potència de sortida del secundari ha de ser igual al de l’entrada (primari).

P 5 Is ? DVs 5 6 ? 0,4 5 2,4 W 5 Ip ? DVp 5 120 ? Ip ⇒

4Ip 5 2 ? —— 5 0,02 A 120

En quan la relació entre les espires del primari amb el secunda-ri, podem partir de la relació següent:

DVp np 6 ? 200—— 5 —— ⇒ ns 5 ———— 5 10 espires DVs ns 120

15. Un transformador de 800 espires en el primari està connec-tat a una tensió efi caç de 120 V. En el secundari hi ha tres possibles sortides de 3 V, 15 V i 30 V. Determineu quantes espires ha de tenir cada part del secundari.

87FÍSICA 2 05

4. Un satèl.lit meteorològic, de massa 300 kg, descriu una òrbita circular geostacionària, de manera que es troba per-manentment sobre el mateix punt de l’equador terrestre. Calculeu:

a) L’altura del satèl.lit mesurada des de la superfície de la Terra.

T 5 1 dia 5 86 400 s

G MT m T———— 5 m v2 r → r3 5 G MT �——�

2

r2 2 p

→ r 5 4,23 ? 107 m → h 5 r 2 RT 5 3,59 ? 107 m

b) L’energia potencial i l’energia mecànica del satèl.lit en la seva òrbita geostacionària.

MT mU 5 2G ——— 5 22,84 ? 109 J r

1 MT m 1E 5 U 1 Ec 5 2— G ——— 5 — U → E 5 21,42 ? 109 J 2 r 2

c) L’energia cinètica total que es va comunicar al satèl.lit en el moment del seu llançament des de la superfície terrestre per posar-lo en òrbita.

MT mE 5 Ec* 1 U (RT) → Ec* 5 E 1 G ——— 5 21,74 ? 1010 J RT

Dades: G � 6,67 � 10�11 N�m2/kg2; RT � 6 370 km; MT � 6 � 1024 kg

5. Un protó i un electró que viatgen a la mateixa velocitat penetren en una regió de l’espai on hi ha un camp magnètic perpendicular a la seva trajectòria, com es mostra a la fi -gura. La massa del protó és aproximadament 1758 vegades més gran que la massa de l’electró.

a) Feu un esquema del moviment que seguiran les dues partícules.

b) Tant el camp com el potencial són nuls al centre del quadrat.

Justifi queu les respostes.

A B C

E 5 0 només en les distribucions B i C, per la simetria en la distribució de càrregues.

V 5 0 només en les distribucions A i C pel fet de tenir dues càrregues positives i dues càrregues negatives iguals en mòdul i a la mateixa distància del centre, de manera que la suma de potencials associats és nul.la.

Per tant, la condició a) la compleix només la distribució B i la condició b) la compleix només la distribució C.

2. Una partícula de massa m, carregada elèctricament i lligada a l’extrem d’una corda, es manté en equilibri dins d’un camp elèctric horitzontal uniforme.

Si assignem els nombres:

1: la càrrega és positiva

2: la càrrega és negativa

3: el camp elèctric apunta cap a l’esquerra

4: el camp elèctric apunta cap a la dreta

Trieu, de les possibilitats següents, la que correspongui a la situació representada en la fi gura:

a) 1 i 4 b) 2 i 3 c) 1 i 3 d) 2 i 4

Les opcions c) i d) són correctes.

La força ha d’anar dirigida cap a l’esquerra.

3. Dos satèl.lits que tenen la mateixa massa descriuen òrbi-tes circulars al voltant d’un planeta. Les òrbites tenen ra-dis a i b, amb a , b. Raoneu quin dels dos satèl.lits té més energia cinètica.

M m v2 G MFg 5 Fc → G —— 5 m —— → v2 5 —— r2 r r

1 G MEc 5 — m —— 2 r

Si r augmenta, l’energia cinètica disminueix, per tant, té més energia cinètica el de radi menor o sigui, el satèl.lit que descriu l’òrbita de radi a.


c) Determineu la relació entre els períodes de rotació de les partícules.

m q B 2 p— 5 —— amb v 5 v r 5 1——2 r → r v T

Tp mp—— 5 —— 5 1 758 Te me

m v2 m q Bq v B 5 —— → — 5 —— r r v

mp .. me → rp .. re

b) Determineu la relació entre els radis de les trajectòries.

rp mp|qp| 5 |qe| → —— 5 —— 5 1 758 r9p me

89FÍSICA 2 06

�Si v � 0 → cos � � 0 → � 5 90º → — rad 2

4. L’equació del moviment d’un cos que descriu un moviment �harmònic és, en unitats del SI: x � 10 sin �� t � —�. 2

a) Quant valen l’amplitud i el període del moviment?

2 �A � 10 m; � � —— � � → T � 2 s T

b) I la velocitat del cos per a t � 2 s?

� 3 �v � 10 � cos �� t � —� → v � 10 � cos —— � 0 2 2

c) En quin estat de vibració es troba el mòbil en l'instant inicial?

5. La velocitat i l’acceleració màximes d’un cos que oscil.la verticalment amb l’ajut d’una molla valen, respectivament 1,29 m/s i 13,87 m/s2. En quins punts es donen aquests valors màxims? Quines són les equacions del moviment, de la velocitat i de l’acceleració d’aquest cos, si es comença a comptar el temps quan l’elongació del cos és la tercera part de l’amplitud?

vmàx 5 A v 5 1,29 m/s → es dóna en el punt d’elongació nul.la, y 5 0

amàx 5 A v2 5 13,87 m/s2 → es dóna en el punt d’elongació mínima, y 5 2A

Amb els valors de vmàx i de amàx podem calcular v i A:

A v2 amàx 13,87——— 5 ——— 5 ——— → v 5 10,75 rad/s A v vmàx 1,29

1,29 1,29A v 5 1,29 m/s → A 5 ——— 5 ———— 5 0,12 m � 10,75

A ASi t0 5 0 i y0 5 — → y0 5 A sin (w ? 0 1 w0) 5 — → 3 3

1 1→ sin �0 5 — → w0 5 arcsin �—� 5 0,34 rad 3 3

Per tant:

y (t) 5 0,12 sin (10,75 t 1 0,34) m

dyv (t) 5 —— 5 0,12 ? 10,75 cos (10,75 t 1 0,34) → dt

→ v (t) 5 1,29 cos (10,75 t 1 0,34) m/s

dya (t) 5 —— 5 21,29 ? 10,75 sin (10,75 t 1 0,34) → dt

→ a (t) 5 213,87 sin (10,75 t 1 0,34) m/s2

j Unitat 6. Moviment ondulatori

j Activitats

1. Un oscil.lador harmònic d’amplitud A té una freqüència an-gular v.

a) Quina és la fase inicial si es comença a comptar el temps quan l’elongació del mòbil és la meitat de l’amplitud?

y (t) � A sin (� t � �)

Ay (0) � —

iuyut

2

y (0) � A sin �

A→ — � A sin � → sin � � 0,5 → 2

�� — rad 6

b) I si és la quarta part?

A 1— � A sin� → sin� � — → 4 4

� rad� � 14,48° � ——— � 0,2527 rad 180°

2. Escriviu l’equació del moviment harmònic simple d’un mòbil que es mou en l’eix X si la seva amplitud és de 15 cm, la seva freqüència val 4 Hz i en l’instant inicial el mòbil es troba en el punt mitjà de la seva amplitud.

A � 15 cm � 0,15 m

f � 4 Hz

0,15t 0 � 0 → x � ——— � 0,075 m 2

x � A sin (� t � �)

� � 2 � f → f � 2 � � 4 � 8 � rad/s

0,0750,075 � 0,15 sin � → sin � � ——— � 0,5 m → 0,15

� rad �� 30° � ——— � — rad 180° 6

�x � 0,15 sin �8 � t � —� 6

3. Un cos descriu un moviment harmònic simple d’e quació x (t) � A sin (� t � �0). Quina serà l’equació de la seva velocitat en funció del temps? Quant val la constant de fase si per a t 5 0 la velocitat del cos és nul.la?

v (t) 5

dxdt

= A ω cos (ω t 1 �)


k 5 75 N/m

f 5 3,5 Hz 6 v 5 2 p f 5 2 ? p ? 3,5 5 7p rad/s

k k 75v 5√

⎯⎯ — → m 5 —— 5 ——— 5 0,1551 kg 5 155,1 g

m v2 (7 p)2

9. Una massa puntual penja d’un fi l inextensible de massa negligible. Posem la massa a oscil.lar amb moviment vi-bratori harmònic simple. Escolliu la resposta correcta a aquestes qüestions:

A. La massa està sotmesa a la màxima acceleració:

a) En els instants en què l’elongació és màxima.

b) En el punt central de l’oscil.lació.

c) En els instants en què la velocitat és mà xima.

La resposta correcta és la a). Derivant dues vegades l’ex-pressió de l’arc en funció del temps s’obté l’acceleració que és proporcional a l’arc. Per tant, és màxima quan aquest també ho és.

B. Si l’amplitud de l’oscil.lació disminuís, la freqüèn cia del moviment:

a) No variaria.

b) Augmentaria.

c) Disminuiria.

La resposta correcta és la a). En l’estudi vàlid per a peti-tes amplituds d’oscil.lació, la freqüència és independent de l’amplitud.

10. Construïm un pèndol amb una petita massa que penja d’un fi l. Si el separem un angle de 4° de la posició d’equilibri, es posa a oscil.lar amb un període de 2,3 s.

a) Quina és la longitud del fi l?

l T 2

T 5 2 p √⎯

— → —— g 5 l g 4 p2

2,32? 9,8l 5 ———— 5 1,31 m 4 p2

6. L’agulla d’una màquina de cosir oscil.la entre dos punts se-parats una distància vertical de 20 mm. Suposant que fa un moviment harmònic sim ple de freqüència 30 Hz, quina és la seva acceleració màxima en unitats del SI?

A 5 10 mm

v 5 2 � f 5 2 � 30

amàx 5 2v2 A → amàx 5 (2 � · 30)2 · 1022 5 355,3 m/s2

7. Un cos que penja d’una molla oscil.la de manera que ve des-crit per l’equació del moviment següent, tenint en compte que l’elongació es mesura en cm i el temps en s:

4 � �y (t) � 15 cos 1—— t � —2, 3 5

a) Calculeu la velocitat i l’acceleració màximes, el període i la freqüència.

Expressem l’amplitud en unitats del SI: A 5 15 cm 5 0,15 m

4 �vmàx 5 A v 5 0,15 ? —— 5 0,63 m/s 3

4 �amàx 5 A v2 5 0,15 ? �——�

2

5 2,63 m/s2

3

4 � —— � 3f 5 —— 5 ——— 5 0,67 Hz 2 � 2 �

1 2 � 2 �T 5 — 5 —— 5 ——— 5 1,5 s f � 4 � —— 3

b) Determineu l’elongació quan la velocitat té un valor de 0,58 m/s.

dy 4 � 4 � �v (t) � —— � �0,15 � —— sin �—— t � ——� → dt 3 3 5

4 � �→ v (t1) � �0,2 � sin �—— t1 � ——� � 0,58 m/s → 3 5

4 � � 0,58→ sin �—— t1 � ——� � ———— � �0,92 → 3 5 �0,2 �

4 � �→ —— t1 � —— � arcsin (�0,92) � �1,18 rad 3 5

4 � �y (t1) � 0,15 cos �—— t1 � ——� � 3 5

� 0,15 cos (�1,18) � 0,06 cm

8. Una molla té una constant elàstica de 75 N/m. Una massa que penja d’aquesta molla oscil.la amb una freqüència de 3,5 Hz quan la separem 2,5 cm de la posició d’equilibri. Quin és el valor d’aquesta massa?

91FÍSICA 2 06

b) La longitud del gronxador.

Amb l’expressió de la freqüència d’un pèndol calculem la longitud del gronxador:

g gv � — → 2 � f � — → l l

g 9,8→ l � ——— � ————— � 2,54 m 4 �2 f 2 4 �2 � 0,312

c) L’energia mecànica.

L’energia mecànica coincideix amb l’energia potencial al punt més alt de la trajectòria (ja que en aquest punt no hi ha energia cinètica). Per tant:

E � Ep màx � m g y � m g l (1 � cos ) �

� 25 � 9,8 � 2,54 (1 � cos 10°) � 9,45 J

13. Doneu exemples d’ones mecàniques i dieu si són longitudi-nals o transversals.

Per exemple: ones transversals en una superfície d’un líquid, ones en una corda, que poden ser tan transversals o longitu-dinals, i les ones sonores propagant-se en l’aire que són ones longitudinals.

14. Suposeu que amb una mà subjecteu l’extrem d’una corda i que l’altre extrem està fi xat a una paret. Expliqueu quins moviments amb la mà i el canell s’han de fer per:

a) Originar un pols en la corda.

Per produir un pols cal fer un cop sec a l’extrem de la corda amb un moviment ràpid del canell.

b) Originar un tren d’ones en la corda.

Per produir un tren d’ones, cal mantenir un moviment con-tinu del canell amunt i avall.

15. Quines magnituds físiques són pertorbades pel pas d’una ona electromagnètica?

Els camps elèctric i magnètic a cada punt de l’espai on arriba l’ona electromagnètica.

16. Defi niu la velocitat de fase d’una ona, el front d’ona i el raig.

j Velocitat de fase d’ona: velocitat a la que es propaga la per-torbació en un medi determinat.

j Front d’ona: conjunt de punts del medi als quals arriba la pertorbació en un instant de temps determinat.

j Raig: qualsevol línia recta que sigui perpendicular a un front d’ona determinar.

√⎯

√⎯

b) Escriviu l’equació del moviment suposant que en l’instant inicial el cos està passant per la posició d’equilibri.

s 5 l sin U 5 1,31 sin 4° 5 0,09 m

g 9,8v 5√

⎯ — 5 √

⎯⎯⎯ —— 5 2,73 rad/s � l 1,31

x0 5 0 → w0 5 0

s (t) 5 S sin (v t 1 w0)

s(t) 5 0,09 sin 2,73 t

11. Un oscil.lador harmònic està format per una molla ideal de massa negligible i una partícula puntual unida a l’extrem de la molla, de massa m � 40 g. El període d’oscil.lador és de 2 s.

a) Si l’amplitud de les oscil.lacions és de 10 cm, quina ve-locitat màxima adquireix la massa m?

2 pvmàx 5 Av 5 A —— → vmàx 5 31,4 cm/s T

b) Representeu en una gràfi ca l’acceleració de l’os-cil.lació en funció del temps, i indiqueu en els eixos les escales corresponents.

x (t) 5 A sin v t

2 pa (t) 5 2A v2 sin v t, amb A v2 5 0,1·�——�

2

5 0,99 m/s2

2

c) Quant hauria de valer la massa m perquè la freqüència de l’oscil.lador es multipliqués per dos?

mm v2 5 k; si v → 2 v, m → — 5 10 g 4

12. Un gronxador efectua 5 oscil.lacions en 16 s amb un angle de separació respecte de la vertical de 10º. Si en el gronxa-dor hi ha un nen de massa 25 kg, determineu:

a) La freqüència d’oscil.lació.

Amb les dades de l’enunciat calculem la freqüència:

5 oscf � ——— � 0,31 Hz 16 s


23. Una ona harmònica descrita per l’equa ció

y (x, t) � 2 cos p (x � 2 t)

en unitats del SI, viatja per un medi elàstic.

A. La velocitat de propagació de l’ona és de:

a) 0,5 m/s

b) 1 m/s

c) 2 m/s

� 2 �v 5 — � —— � 2 m/s. L’opció correcta és la c). k �

B. La distància mínima entre dos punts en el mateix estat de pertorbació és de:

a) 0,5 m

b) 2 m

c) 5 m

2 � 2 �La distància mínima val: 5 v —— � 2 � —— � 2 m. L’opció � 2 �correcta és la b).

C. L’amplitud de la pertorbació és de:

a) 0,5 m

b) 1 m

c) 2 m

L’amplitud de la pertorbació és A � 2 m. L’opció correcta és la c).

D. La freqüència angular (o pulsació) és de:

a) 2 p rad/s

b) 2 rad/s

�c) — rad/s 2

La pulsació és: � � 2 � rad. L’opció correcta és la a).

E. La velocitat màxima d’oscil.lació d’un punt afectat per la pertorbació és de:

a) � m/s

b) 2 � m/s

c) 4 � m/s

d yLa velocitat és: v � —— � 4 � sin (� x � 2 � t) que dóna d tlloc a un valor màxim de vmàx � 4 � m/s. L’opció correcta és la c).

17. Com es pot generar una ona cilíndrica? Expliqueu-ho deta-lladament.

Per generar una ona cilíndrica cal fer oscil.lar alhora tots els punts que estiguin situats sobre una mateixa recta i de tal manera que l’ona es transmeti en l’espai al llarg d’un medi ho-mogeni, per tal que es conservi la forma de l’ona.

18. A distàncies prou grans d’un focus emissor d’ones esfèri-ques, com són els fronts d’ona?

A distàncies prous grans del centre, les superfícies esfèriques es poden assimilar localment a plans ja que els diferents fronts d’ona esfèrics tenen poca curvatura. És una bona aproximació considerar-los fronts d’ona plans.

19. Per a una ona harmònica que vibra amb una freqüència de 120 Hz i una amplitud de 2 cm, la distància mínima entre dos punts que estan en fase és de 2 mm, quina serà la velocitat de fase de l’ona?

v � f � 0,002 � 120 � 0,24 m/s

20. Una ona harmònica de freqüència 550 Hz es propaga a una velocitat de 300 m/s. Quina és la distància mínima entre dos punts que en tot moment es troben en el mateix estat de vibració?

3000,55m

550vf

λ = = =

21. L’equació d’una ona transversal, en unitats del SI, és: t xy 5 0,04 sin 2 p 1— 2 —2. Determineu el període, la lon- 2 4gitud d’ona, la freqüència i la velocitat de fase.

t x 1y 5 A sin 2p 1— 2 —2 → T 5 2 s; f 5 — 5 0,5 Hz T l T

l 5 4 m; v 5 lf 5 2 m/s

22. L’equació d’una ona harmònica transversal és (en unitats t xdel SI): y � 0,4 sin � 1— � —2. Quant valdran l’elongació 2 4i la velocitat transversals del punt x � 0 a l’instant t � 6 s?

L’elongació a x 5 0 a l’instant t 5 6 s és:

6y 5 0,4 sin p 1—2 02 5 0,4 sin 3 p 5 0 2

La velocitat és:

d y 0,4 � t � xv 5 —— � —— � cos 1—— � ——2 d t 2 2 4

Per tant, a x 5 0 a l’instant t 5 6 s val:

� 6v 5 0,2 � cos 1—— � 02 5 20,2 � m/s → �0,63 m/s 2

93FÍSICA 2 06

4. A la fi gura hi ha representats tres moviments harmònics simples. Escriviu les equacions del moviment i calculeu el desfasament entre aquests.

2�1: x � A sin � t � A sin —— t T

� 2� �2: x � A sin �� t � —� � A sin �—— t � —� 2 T 2

2�3: x � A sin (� t � �) � A sin �—— t � �� T

Càlcul dels angles de desfasament ��:

� �Entre 1 i 2: �� t � —� � � t � — 2 2

Entre 1 i 3: �� (� t � �) � � t � �

� � �Entre 2 i 3: �� (� t � �) � �� t � —� � � � — � — 2 2 2

També es pot comprovar si s’observen els gràfics on represen-tem les tres funcions harmòniques.


h Qüestions

1. Quina característica distingeix un moviment harmònic d’un moviment vibratori qualsevol?

Un moviment vibratori qualsevol és aquell moviment periòdic en el qual el mòbil es mou al voltant d’una posició d’equilibri i repeteix una vegada i una altra la seva trajectòria. El moviment harmònic és el més senzill que es dóna a la natura i resulta de projectar un moviment circular uniforme sobre un eix que passi pel centre de la circumferència i que estigui contingut en el pla que la defineix.

2. Un mòbil descriu un moviment harmònic d’equació x � A sin � t. Quina serà la seva ve locitat en l’instant en què l’elongació sigui màxima (x � A)?

v 5 0, ja que v 5 A ω cos ω t 5 A ω cos 90º 5 0

3. Quin és l’angle de desfasament que hi ha entre la velocitat i l’acceleració del moviment harmònic simple? Raoneu la resposta.

Si tenim en compte que la velocitat i l’acceleració es poden expressar per les equacions:

�v (t) � A � cos � t � A � sin �� t � —� 2

a (t) � �A �2 sin � t � A �2 sin (� t � �)

Aleshores podem comprovar que l’angle de desfasament �� és:

� �� (� t � �) � �� t � —� � — 2 2

Això també es pot comprovar si observem els gràfics v-t i a-t que s’obtenen en representar les funcions anteriors.


b) Els cossos són iguals, però l’amplitud d’oscil.lació d’un cos és el doble que la de l’altre.

Ara estem considerant que tant les masses dels oscil.ladors com les seves constants elàstiques són les mateixes per a tots dos. Si tenim en compte que l’amplitud no està rela-cionada amb les magnituds anteriors i recordeu l’expressió anterior que relaciona el període amb la massa i la constant elàstica, hem de concloure que els períodes d’oscil.lació de tots dos casos també són iguals.

7. Disposem de dues molles idèntiques, fi xades al sostre. Pengem una massa A a la primera molla i una massa B a la segona, i les deixem oscil.lar amb un moviment harmònic simple.

a) Si mA 5 2 mB, determineu la relació entre els períodes d’oscil.lació.

k � mA �2A 6 mA �A TA

—— � 1——2 � 1——2 → TA � d 2 TAk � mB �2B mB �B TB

b) Expliqueu com afecta l’amplitud de l’oscil.lació al valor del període.

En el moviment harmònic simple, el període és independent de l’amplitud del l’oscil.lació. No l’afecta.

8. Tenim dos pèndols de la mateixa longitud, però la massa d’un és el doble de la de l’altre. Com són els períodes entre ells?

El període d’oscil.lació d’un pèndol ve donat per l’expressió

l T 5 2 p —. Per tant, podem comprovar que la massa no ginflueix en el valor del període. Així, si les longituds dels dos pèndols són iguals, els seus períodes també són iguals.

9. Tenim dos pèndols de la mateixa massa, però la longitud d’un és quatre vegades la de l’altre. Com són els períodes entre ells?

El període d’oscil.lació d’un pèndol ve donat per l’expressió lT 5 2 p —. Per tant, g

l1l1 T1 5 2 p √⎯

— g

l2 4 l1l2 5 4 l1

6 T2 5 2 p √

⎯ — 5 2 p √

⎯⎯ — 5

g g

l1 5 2 ? 2 p √

⎯ — 5 2 T1 → T2 5 2 T1 g

dlll

dlll

5. La freqüència angular d’un oscil.lador harmònic és el triple que la d’un altre. Digueu quina relació hi ha entre:

�1

�2 � 3 �1

a) Els períodes.

2�� —— T

2��1 � —— T1

2��2 � —— � 3 �1

� T2

2� 2 �3 �——� � —— → 3 T2 � T1 T1 T1

b) Les freqüències.

�1 � 2 � f1

�2 � 2 � f2 � 3 �1

3 (2 � f1) � 2 � f2 → f2 � 3 f1

c) Les amplituds.

L’amplitud d’un oscil.lador harmònic no està relacionada amb la freqüència angular, ja que el seu valor depèn de les condicions inicials en què se n’estudia el moviment.

Raoneu les respostes.

6. Pengem dos cossos diferents de dues molles que tenen la mateixa constant elàstica. Raoneu com són entre ells els períodes d’oscil.lació dels cossos en els casos següents:

L’expressió que lliga la constant elàstica amb la massa i el perío-

kde és T 5 2 p √

⎯⎯ ——.

m

a) Un dels cossos té una massa quatre vegades més gran que l’altre, però estan separats la mateixa dis tància de la posició d’equilibri.

Si la constant elàstica dels dos oscil.ladors és la mateixa i la massa del primer és quatre vegades la del segon:

m1

m2 5 4 m1 6

m1T1 5 2 p √⎯⎯

—— k

m2 4 m1 m1 T2 5 2 p √⎯⎯

—— 5 2 p √⎯⎯

—— 5 4 p √⎯⎯

—— 5 2 T1 k k k

→ T2 5 2 T1

Així doncs, el període del segon oscil.lador és la meitat del període del primer.

95FÍSICA 2 06

L’opció correcta és la b) perquè l’energia mecànica d’un oscil-lador és constant.

14. Proposeu dos experiments en els quals es demostri que en la propagació d’una ona no hi ha transport net de matèria.

El primer experiment consisteix a col.locar un suro petit sobre la superfície en repòs d’un líquid i generar una ona llançant un objecte sobre la superfície a una determinada distància del suro. Així, veurem que, en arribar la pertorbació al suro, aquest es posa a oscil.lar en direcció vertical sense que es desplaci en la direcció en què avança l’ona, és a dir, en direcció horitzontal.

Un segon experiment, semblant a l’anterior, consisteix a fer passar un fil o una corda pel forat d’una volandera. Si fem os-cil.lar la corda en un pla vertical, observarem que la volandera es posa a oscil.lar en direcció vertical sense que es desplaci en la direcció en què avança l’ona.

15. En què es diferencia una ona longitudinal díuna ona trans-versal? Expliqueu-ho detalladament.

En una ona longitudinal la direcció d’oscil.lació de les partí-cules del medi és la mateixa que la direcció de propagació de l’ona, mentre que en una ona transversal aquestes direccions són perpendiculars. Un exemple d’ona longitudinal és el so; un exemple d’ona transversal és l’ona produïda en una corda.

16. Com es poden classificar les ones si tenim en compte el temps que dura la pertorbació? Expliqueu-ho detallada-ment.

Si la pertorbació que origina l’ona dura un interval de temps molt petit, gairebé instantani, tenim un pols. En aquest cas l’energia que es transmet amb l’ona es proporciona durant aquest temps petit.

Si la pertorbació que origina l’ona dura un temps relativament gran, tenim un tren d’ones. En aquest cas l’energia que es transmet amb l’ona és proporcionada de manera contínua du-rant l’interval de temps que dura la pertorbació i es genera una succesió de polsos.

17. Dibuixeu dues ones transversals:

a) De la mateixa amplitud, però una amb una longitud d’ona una triple que la de l’altra.

10. En el moment que un pèndol simple passa per la posició més baixa, la tensió i el pes, coincideixen? Raoneu-ho.

v 2

En aquesta posició, T 2 p 5 m —. Si tenim en compte que ll’acceleració centrípeta és positiva, deduïm que:

T 2 p . 0 → T . p.

11. Volem resoldre un problema proposat per Galileu. Una corda està penjada dalt d’una torre alta, de manera que l’extrem superior és invisible i innacces sible, però l’extrem inferior sí que es veu. Com tro baríeu la longitud de la corda?

Sabem que el període d’oscil.lació d’un pèndol simple és

lT 5 2 p —. Si fem oscil.lar la corda i mesurem el període gd’oscil.lació, segons aquesta expressió tenim:

T 2 l T—— 5 — → l 5 1——22

g 4 p2 g 2 p

12. Quina de les gràfi ques següents pot representar l’energia potencial d’un objecte lligat a una molla en funció del seu desplaçament de la posició d’equilibri? Raoneu la res-posta.

1U 5 — k x2 → paràbola amb les branques cap amunt. 2

La solució correcta és la a).

13. Quina de les gràfi ques següents representa millor la varia-ció de l’energia mecànica d’un oscil.lador harmò nic simple en funció del temps? Raoneu la resposta.

dlll


20. Si disminuïm la freqüència d’una ona, com variarà la longi-tud d’ona si es transmet a través del mateix medi? Raoneu la resposta.

Si l’ona no canvia el seu medi de transmissió, la seva velocitat de fase no varia encara que variï la seva freqüència. Per tant, si recordem l’expressió que relaciona la freqüència, la velocitat de fase i la longitud d’ona, v 5 l f, podem comprovar que, en disminuir la freqüència f, la longitud d’ona l augmenta per tal que la velocitat de fase v es mantingui constant.

21. Expliqueu detalladament què vol dir que una ona és doble-ment periòdica.

En tota ona s’ha de considerar una doble periodicitat: en el temps i en l’espai. En el temps, perquè qualsevol partícula del medi oscil.la al pas de l’ona, i sabem que un moviment oscil-latori és un tipus particular de moviment periòdic. En l’espai, perquè l’ona es va repetint periòdicament a in tervals regulars de longitud d’ona d’acord amb el seu valor de longitud d’ona. Aquesta doble periodicitat queda reflectida, per exemple, en l’equació d’ona harmònica, en la qual la periodicitat temporal ve donada pel valor del període T, mentre que la periodicitat espacial ve donada pel valor de la longitud d’ona:

y (x, t) 5 A sin (v t 2 k x) 5 A sin 2 p

Aquesta doble periodicitat d’una ona també queda reflecti-da si tenim en compte que l’expressió que lliga la velocitat de fase v, la longitud d’ona l i el període T ve donada per lv 5 —. D’altra banda, es defineix la velocitat de fase com la Trelació entre la distància que recorre l’ona des del focus fins a un punt determinat situat a una distància x del focus i el xtemps que triga a fer-ho, v 5 —. t

Per tant, si comparem ambdues expressions, comprovem que, en el temps d’un període, l’ona avança una longitud igual a la lon-gitud d’ona, mentre que, perquè l’ona recorri una longitud igual a la longitud d’ona, ha de transcórrer el temps d’un període.

22. Dos diapasons emeten sons les freqüències dels quals estan en la relació 2:1. Raoneu quin tipus de relació tenen:

a) Els seus períodes.

La relació entre les freqüències dels dos diapasons és 2:1. Això vol dir que la freqüència f del primer so és el doble de la freqüència f9 del segon so: f 5 2 f9.

Si tenim en compte la relació que lliga la freqüència i el pe- 1ríode, f 5 —, trobem que: T

1 1 1 1 T9f 5 2 f9 → T 5 — 5 — f9 5 — — → T 5 — f 2 2 f9 2

Per tant, els períodes estan en la relació 1:2, és a dir, que el període del primer so és la meitat del període del segon so.

b) De la mateixa longitud d’ona, però una amb la meitat d’amplitud que l’altra.

c) De la mateixa amplitud i la mateixa longitud d’ona, però desfasades 180º.

18. Per a una ona que es desplaça sobre l’eix X cap a l’es querra, com s’expressa l’equació d’ona?

Si una ona es desplaça cap a l’esquerra, podem considerar que la seva velocitat de fase és negativa. Per tant, si anomenem v el valor absolut d’aquesta velocitat, tenim que:

xy (x, t) 5 A sin v 1t 2 —2 5 2v

x 5 A sin v 1t 1 —2 → y (x, t) 5 A sin (v t 1 k x) v

19. Escriviu l’equació de la quantitat de moviment que transmet una ona en el cas d’una ona harmònica.

Recordem que l’equació d’una ona harmònica és:

y (x, t) 5 5 A sin (v t 2 k x).

Si derivem aquesta equació respecte del temps, obtenim la velocitat d’una partícula del medi situada a una distància x del focus:

d xv 5 — 5 A v cos (v t 2 k x) d t

Finalment, si multipliquem aquesta velocitat per la massa m de la partícula del medi que ocupa la posició x, obtenim la quanti-tat de moviment en mòdul, p, que transmet l’ona:

p 5 m v 5 m A v cos (v t 2 k x) 5 p0 cos (v t 2 k x)

en què p0 5 m A v és el valor màxim de la quantitat de movi-ment que assoleix la partícula.

97FÍSICA 2 06

� �→ x � 0,1 sin �2 � � 0,5 � —� � 0,1 sin �� —� � 2 2� �0,1 m

2. Una partícula vibra amb una velocitat màxima de 20 m/s. Calculeu la freqüència i l’acceleració màxima si l’amplitud d’aquest moviment és de 10 cm.

vm � 20 m/s

A � 10 cm � 0,1 m

vm 20vm � A � → � � — � —— � 200 rad/s A 0,1

� 200� � 2 � f → f � —— � —— � 31,83 Hz 2 � 2 �

a � ��2 A � �2002� 0,1 � �4 000 m/s2

3. Un cos vibra amb una amplitud de 4 cm i una freqüència de 50 Hz. Trobeu:

a) La velocitat màxima de la vibració.

� � 2 � f � 2 � � 50 � 100 � rad/s

vmàx � A � � 0,04 � 100 � � 4 � � 12,57 m/s

b) La velocitat quan l’elongació val 1 cm.

v � A � cos (� t � �) → y � 0

x � A sin (� t � �)

x � 0,04 sin (100 � t � �) � 0,04 sin (100 � t)

0,010,01 � 0,04 sin (100 � t) → —— � sin (100 � t) 0,04

→ 0,25 � sin (100 � t) →

14,48→ 14,48 rad � 100 � t → t � ——— � 0,046 s 100 �

v � 0,04 � 100 � � cos (100 � � 0,046) � 12,16 m/s

c) El nombre de vibracions en 1 min.

� 100 � 60 sf � —— � ——— � 50 s�1 � ——— � 2 � 2 � 1 min

� 3 000 vibracions/min

4. El moviment d’una partícula ve donat per l’equació px 5 8 sin — t, en cm. Calculeu: 2

a) L’amplitud del moviment.

A � 8 cm

b) El període.

2 � � 2 � �� —— � — → —— � — → T � 4 s T 2 T 2

b) Les seves longituds d’ona.

Si tenim en compte la relació que lliga la velocitat de fase, la freqüència i la longitud d’ona, i considerem que els dos sons es transmeten a la mateixa velocitat del so v, compro-vem que:

v v9 1 v l9f 5 2 f9 → l 5 — 5 —— 5 — — → l 5 — f 2 f 9 2 f9 2

Per tant, les longituds d’ona també estan en la relació 1:2, és a dir, que la longitud d’ona del primer so és la meitat de la longitud d’ona del segon so.

23. Un tren d’ones travessa un punt d’observació. En aquest punt, el temps transcorregut entre dues crestes consecuti-ves és de 0,2 s. De les afi rmacions següents, escolliu la que sigui correcta i justifi queu la resposta.

a) La longitud d’ona és de 5 m.

b) La freqüència és de 5 Hz.

c) El període és de 0,4 s.

d) Cap de les afi rmacions anteriors no és correcta.

De l’enunciat es dedueix que T � 0,2 s. Així:

1 1f � — � —— � 5 Hz. T 0,2

És a dir, l’afi rmació b) és correcta. Per tant, ni la c) ni la d) són correctes. Pel que fa a l’afi rmació a), no tenim prou dades per a trobar la longitud d’ona ja que desconeixem la velocitat de propagació i � v T.

h Problemes

1. Un oscil.lador harmònic comença el seu moviment des d’un extrem a 10 cm del punt d’equilibri i tarda 0,25 s a arribar al centre. Calculeu:

a) El període del moviment.

T � 4 � 0,25 � 1 s

b) El nombre d’oscil.lacions que fa en 1 min.

1 60 sf � — � 1 Hz � 1 s�1 � ——— � 60 vibracions�min�1

T 1 min

c) La pulsació.

� � 2 � f � 2 � rad/s

d) La posició quan han passat 0,5 s de l’inici del moviment.

�x � A sin (� t � �) � 0,1 sin �2 � t � —� 2 �y � — rad 2

t � 0,5 s �


c) La constant recuperadora de la molla.

m·ay 5 2k y

6 k 5 m �2 → k 5 118,43 N/may 5 2�2 y

6. Un oscil.lador harmònic es construeix fi xant l’extrem supe-rior d’una molla, penjant-hi una massa de 23 g de l’extrem inferior i separant la massa 7,5 cm de la seva posició d’equilibri. Prèviament hem mesurat la longitud en repòs de la molla sense la massa i amb la massa penjada, i hem ob-tingut uns resultats de 23,3 cm i 28,8 cm, respectivament.

a) Escriviu l’equació del moviment d’aquest oscil.lador su-posant que comencem a comptar el temps quan la massa passa per la posició d’equilibri i amb velocitat positiva.

F 5 k Dy → m g 5 k Dy

m g 0,023 ? 9,8k 5 —— 5 ———————— 5 4,025 N/m Dy 0,0288 2 0,0233

k 4,025v 5 √

⎯⎯ — 5 √

⎯⎯⎯ ——— 5 13,23 rad/s

m 0,023

y 5 A sin (v t 1 w)

6y 5 0 y (t) 5 0,075 sin 13,23 t

A 5 0,075 m

b) Quines són la velocitat i l’acceleració màximes?

vmàx � A � � � 0,075 � 13,23 � 0,99 m/s

amàx � A � �2 � 0,075 � 13,232 � 13,13 m/s2

7. Pengem un cos de 15 g de massa d’una molla de constant elàstica 5 N/m. Quin és el període de les oscil.lacions que es produeixen en separar el cos de la seva posició d’equilibri i deixar-lo anar?

m 0,015T � 2 � — � 2 � ——— � 0,34 s k 5

8. Hem mesurat la constant elàstica d’una molla pel mètode dinàmic, que consisteix a penjar una massa i comptar el temps que triga a fer una sèrie d’oscil.lacions; quan la mas-sa és de 42 g, veiem que fa 20 os cil.lacions en un temps de 12,5 s.

dllll dlllllll

c) La posició de la partícula en els instants de temps t � 0, t � 1 s, t � 2 s, t � 3 s, t � 4 s i t � 5 s, i representeu-les en una gràfi ca.

t (s) x (cm)

0 0

1 8

2 0

3 �8

4 0

5 8

5. Un objecte de massa 3 kg penja d’una molla. Des de la seva posició d’equilibri l’estirem cap avall una distància de 25 cm i, des d’aquest punt i trobant-se inicialment en re-pòs, el deixem oscil.lar lliurement. El període d’oscil.lació és d’1 s. Deter mineu:

a) Les constants A, �, �, en unitats del SI, de l’equació y � A cos (v t � �) que descriu el moviment de l’objecte.

A 5 0,25 m

t 5 0, y 5 2A → � 5 � (� 5 0 també és correcte)

2 �T 5 1 s → � 5 —— 5 2 � rad/s → 6,28 rad/s T

b) El valor màxim de l’acceleració de l’objecte, la seva direc-ció i sentit, i els punts de la trajectòria en què s’assoleix.

d 2 yay 5 —— 5 2 A �2 cos (� t 1 �) d t2

valor màxim ay màx 5 �2 A → ay màx 5 �2 m/s2

S’assoleix als dos extrems de la trajectòria.

99FÍSICA 2 06

a (t) 5 2A v2 sin (v t 1 w) → a (0) 5 5,42 m/s2

125,42 5 A v2 sin w → 25,42 5 A v2 — → 6→ 232,52 5 A v2

32,52232,52 5 20,385 v → v 5 ——— 5 84,38 rad/s 0,385

0,385A 5 2——— 5 24,5 ?1023 m 84,38

x(t) 5 24,5 ?1023 sin (84,38 t 1 0,17) m

v (t) 5 20,38 cos (84,38 t 1 0,17) m/s

a(t) 5 32,52 sin (84,38 t 1 0,17) m/s2

b) Determineu la constant elàstica de la molla i escri-viu l’expressió de la força recuperadora en fun ció del temps.

k 5 v2m 5 84,322? 0,092 5 655,04 N/m

F(t) 5 ma(t) 5 2,94 sin (84,38 t 1 0,17) N

10. Construïm un pèndol senzill amb una petita esfera de 35 g de massa i una corda de 45 cm de longitud. Determineu el període, la freqüència i la freqüència angular de les oscil.lacions que es produeixen en deixar anar el pèndol des d’una posició que forma 3° amb la vertical.

l 0,45 1T 5 2p√

⎯ — 5 2p√

⎯⎯⎯ ——— 5 1,35 s → f � — � 0,74 Hz

g 9,8 T

g 9,8� � — � ——— � 4,67 rad/s l 0,45

11. Separem un pèndol una longitud d’arc de 22 cm respecte de la posició d’equilibri. Si la longitud del pèndol és d’1,35 m i la massa que hi penja és de 2 kg, calculeu:

a) El període i la freqüència angular de les oscil.la cions que es produeixen.

l 1,35T 5 2 p√

⎯ — 5 2 p√

⎯⎯⎯ ——— 5 2,33 s

g 9,8

2 p 2 pv 5 —— 5 ——— 5 2,69 rad/s T 2,33

b) La velocitat màxima del pèndol.

vmàx 5 A v 5 0,22 ? 2,69 5 0,59 m/s

dllll dlllll

a) Calculeu la constant elàstica de la molla i la freqüència de les oscil.lacions.

12,5 1 1T � ——— � 0,625 s → f � — � ——— � 1,6 Hz 20 T 0,625

2 � 2 �k � m �——�

2

� 0,042 � �———�2

� 4,24 N/m T 0,625

b) Escriviu l’equació del moviment quan separem la molla una longitud de 2,5 cm de la seva posició d’equilibri, suposant que el cos inicialment es troba en un punt d’elongació màxima. Calculeu també la velocitat i l’acce-leració màximes.

k 4,24� � — � ——— � 10,05 rad/s m 0,042

Per tant, l’equació del moviment és:

y (t) � 2,5 � 10�2 sin (10,05 t � �0)

La velocitat és:

d yv � —— � 2,5 � 10�2 � 10,05 cos (10,05 t � �0) d t

El valor màxim de la velocitat és:

vmàx � 2,5 � 10�2 � 10,05 � 1 � 0,25 m/s

L’acceleració ve donada per:

d va � —— � �2,5 � 10�2 � 10,052 sin (10,05 t � �0) d t

El valor màxim de l’acceleració és:

amàx � 2,5 � 10�2 � 10,052 � 1 � 2,53 m/s2

9. Un cos de 92 g de massa està enganxat a una molla i expe-rimenta un moviment harmònic simple, de ma nera que en l’instant inicial l’elongació és la sisena part de l’amplitud, mentre que la velocitat i l’acceleració són, respectivament, �0,38 m/s i 5,42 m/s2.

D’acord amb les dades, la velocitat inicial és positiva, mentre que l’acceleració inicial és negativa; aquesta situació només és possible quan l’elongació inicial també és negativa. Per calcular A, v i w0 resolem les equacions que s’obtenen de l’elongació, la velocitat i l’acceleració en l’instant inicial prenent valors abso-luts, i, en donar l’equació del moviment, tindrem en compte el signe negatiu de l’elongació inicial:

a) Escriviu les equacions del moviment, de la velocitat i de l’acceleració. Ax(t) 5 A sin (v t 1 w) ⇒ x(0) 5 — 6 A 1— 5 A sin w → w 5 sin21 — 5 9,59° 5 0,17 rad 6 6

v (t) 5 A v cos (v t 1 w) → v(0) 5 20,38 m/s

20,38 5 A v cos w → 20,38 5 A v cos 9,59° →

→ 20,38 5 A ? v ? 0,986 → A v 5 20,385

dllll dlllllll


14. Una molla horitzontal està unida per l'extrem de l'esquerra a la paret i per l'extrem de la dreta a una partícula de massa 2 kg. Separem la partícula una distància de 25 cm cap a la dreta de la seva posició d'equilibri i la deixem anar. En aquest moment comencem a comptar el temps. La partícula descriu un moviment harmònic simple amb un període de 0,75 s. Quan la partícula es trobi a 0,10 m a la dreta del punt central de l'oscil.lació i s'estigui movent cap a la dreta, determineu:

a) L'energia cinètica de la partícula.

1 1 1E 5 — m v2 � — k x2 � — k A2

2 2 2

2 � 2 �� —— � —— � 8,38 rad/s T 0,75

k � m �2 � 2 � 8,382 � 140 N/m

1 1 1— m v2 � — k A2 � — k x2 � 2 2 2 1 � — 140 � (0,252 � 0,102) � 3,7 J 2

Solució alternativa: x (t) 5 A cos (v t 1 θ0)

El sentit positiu de les X és cap a la dreta. La posició d’equi-libri correspon a x 5 0.

Condicions inicials:

t 5 0; A 5 A cos (0 1 u0) → cos u0 5 1 → θ0 5 0

2 pv 5 ——— 5 8,38 rad/s 0,75

Per x1 5 0,10 m:

0,10 5 0,25 cos v t → v t 5 �1,16 rad

d xv 5 —— 5 2A v sin v t 5 �1,16 rad d t

Per x1 5 0,10 m (i es mou cap a la dreta):

v1 5 20,25 ? 8,38 sin (21,16) 5 1,92 m/s

1 1Ec 5 — m v2 � — 2 � 1,922 � 3,7 J 2 2

b) L'energia mecànica del sistema.

1 1E � Ec � Ep � — mv2

màx � — m (A v)2 → 2 2 1E � — � 2 � (0,25 � 8,38)2 � 4,4 J 2

Solució alternativa:

1 1 1E � — m v2 � — k x2 � — k A2 → 2 2 2

1E � — � 140 � 0,252 � 4,4 J 2

12. Un pèndol oscil.la amb un moviment harmònic simple quan se separa un angle de 5° respecte de la vertical. Si el pèndol passa per la posició d’equilibri a una velocitat de 0,38 m/s, determineu la seva equació del moviment sabent que co-mencem a comptar el temps quan es troba a la cinquena part de la seva amplitud. Quan valen el període i la freqüència d’aquest pèndol?

v0 5 0,38 m/s

1Ec màx � Ep màx → — m v0

2 � m g hmàx → 2

v02 0,382

hmàx � —— � ——— � 7,37 � 10�3 m 2 g 2 � 9,8

y � hmàx � l → l cos � hmàx � l →

hmàx 7,37 � 10�3

l � ————— � —————— � 1,94 m 1 � cos 1 � cos 5

g 9,8� � — � ——— � 2,25 rad/s l 1,94

�S � l � � 1,94 � — � 0,17 m 36

s(t) � S sin (� t � �0) →

S 1→ S sin �0 � — → �0 arcsin �—� � 0,20 rad 5 5

Per tant:

s (t) � 0,17 sin (2,25 t � 0,20)

2 � 2 �T � —— → T � —— � 2,79 s v 2,25

1 1f � — → f � ——— � 0,36 Hz T 2,79

13. Un cos d’1,6 kg de massa està lligat a una molla que l’obliga a descriure un moviment harmònic simple donat per l'equa- � �ció x(t) � 0,03 sin 1— t � ——2, en què x s’expressa en 6 10 metres. Determineu l’energia cinètica i l’energia potencial del cos quan passa pel punt d’elongació x � 2,2 cm.

p px (t) 5 0,03 sin1— t 1 ——2 6 10

k pv 5 √

⎯⎯ — → k 5 v2m 5 1—2

2

? 1,6 5 0,44 N/m m 6

1 1Ep 5 — k x 2 5 — ? 0,44 ? 0,222 5 1,06 ? 1024 J 2 2

1 1ET 5 — k A2 5 — ? 0,44 ? 0,032 5 1,98 ? 1024 J 2 2

Ec 5 ET 2 Ep 5 1,98 ? 1024 2 1,06 ? 1024 5 9,2 ? 1025 J

√⎯

√⎯⎯⎯

101FÍSICA 2 06

17. A l’aigua de mar el so es transmet amb una velocitat aproxi-mada de 1 530 m/s. Quina és la freqüència que cor respon a un so de longitud d’ona 2,5 m? Trieu la resposta correcta:

a) 3 825 Hz b) 1,63 ? 1023 Hz c) 612 Hz

v 5 1 530 m/s 6 → v 1 530f 5 — 5 ——— 5 612 Hz l 2,5l 5 2,5 m

Per tant l’opció correcte es la c).

18. L’oïda humana només és sensible als sons que tenen una freqüència compresa entre 20 Hz i 20 000 Hz. A quines lon-gituds d’ona del so és sensible l’oïda humana, si suposem que la velocitat en l’aire és de 345 m/s?

f0 5 20 Hz

v 5 345 m/s 6 v 345→ l 5 — 5 —— 5 17,25 m f0 20

fmàx 5 20 000 Hz 6 v 345→ l9 5 —— 5 ——— 5 1,72 ? 1022 m fmàx 20 000v 5 345 m/s

19. Una ona sonora de 440 Hz té una longitud d’ona de 77 cm. Quina serà la longitud d’ona d’una ona sonora de 200 Hz que es propagui en el mateix medi?

v � 1 f1 � 0,77 � 440 � 339 m/s →

v 3392 5 —— 5 —— 5 1,69 m � 169 cm f2 200

20. En una cubeta d’ones generem ones de 20 Hz de freqüència i de 2 cm d’amplitud, de manera que tarden 5 s per a recórrer 10 m.

A. La velocitat màxima de vibració dels punts de la super-fície de l’aigua és:

a) 2 m/s

b) 0,8 � m/s

c) 4 m/s

D x 10v 5 —— 5 —— 5 2 m/s D t 5

v � 2 � f � 2 � � 20 � 40 � rad/s

v v 40 �v � — → k � — � —— � 20 � m k v 2

y (x, t) � 0,02 sin (40 � t � 20 � x)

v (x, y) � 0,02 � 40 � cos (40 � t � 20 � x) �

� 0,8 � cos (40 � t � 20 � x)

El valor màxim de la velocitat anterior es dóna quan cos (40 p t 2 20 p x) 5 1, i, per tant, aquest valor de la ve-locitat és 0,8 p m/s. Així doncs, la resposta correcta és la b).

c) La força resultant que actua sobre la partícula. Doneu-ne el mòdul, la direcció i el sentit.

F 5 m a 5 m v2 x → F 5 2 ? 8,382 ? 0,10 5 14,04 N

a�

v�k

15. Fem oscil.lar amb una amplitud de 15 cm un dels extrems d’una corda, de manera que en 15 s fa 20 oscil.lacions. Si l’altre extrem està a 4 m de distància, mesurada horitzontal-ment, i la pertorbació triga 2,6 s a arribar:

En primer lloc, calculem la freqüència amb les dades de les os-cil.lacions que fa en 15 s.

20 osc.f 5 ———— 5 1,33 Hz 15 s

a) Calculeu la velocitat de fase de l’ona.

Calculem la velocitat de fase amb les dades de la distància entre extrems i el temps que tarda la pertorbació a arribar d’un extrem a l’altre:

D x 4v 5 —— 5 —— 5 1,54 m/s D t 2,6

b) Calculeu el nombre d’ona. 2 pApliquem les expressions v 5 l f i k 5 —— : l

v 1,54v 5 l f → l 5 — 5 ——— 5 1,15 m f 1,33

2 p 2 p k 5 —— 5 ——— 5 5,44 rad/m l 1,15

c) Escriviu l’equació d’ona suposant que en l’instant inicial el focus es troba en l’estat d’oscil.lació y � A.

Si per t � 0 i x � 0, tenim y � A � 0,15 m, tenint en compte el valor de k calculat abans i, a més a més, que:

� � 2 � f � 2 � � 1,33 � 8,38 rad/s

obtenim:

y (x, t) � A cos (� t � k x) � 0,15 � cos (8,38 t � 5,44 x)

16. Una noia pilota una llanxa situada damunt de la superfície d’un llac i, amb el seu moviment, origina sobre l’aigua 15 oscil.lacions durant un temps de 25 s. Si l’ona superficial que es produeix triga 18 s a arribar a la riba del llac, que es troba a 30 m, quina és la longitud d’ona de l’ona generada?

15 osc.f 5 ———— 5 0,6 Hz 25 s D x 30 mv 5 —— 5 ——— 5 1,67 m/s 6 D t 18 s

v 1,67l 5 — 5 ——— 5 2,78 m f 0,6


23. La funció de l’ona generada en una corda és:

t xy (x, t) � 0,6 sin 2 � 1—— � ——2 1,25 0,5

en què les distàncies s’expressen en metres, i el temps en segons. Calculeu:

Llegim els valors de A, T i l directament de la funció d’ona.

a) La freqüència.

1 1T 5 1,25 s → f 5 — 5 —— 5 0,8 Hz T 1,25

b) La velocitat de fase.

l 5 0,5 → v 5 l f 5 0,5 ? 0,8 5 0,4 m/s

c) L’amplitud.

A 5 0,6 m

d) La longitud d’ona.

l 5 0,5 m

e) Esquematitzeu els dos últims resultats sobre un dibuix que representi la forma de la corda.

24. Determineu la diferència de fase que hi ha entre dos punts d’un medi en el qual es propaga una ona amb una velocitat de fase de 120 m/s i un període de 0,05 s, si sabeu que els punts estan a unes distàn cies de 8 m i 12 m, respectiva-ment, del focus.

Amb les dades que es donen de T i v calculem v i k:

1 1T 5 0,05 s → f 5 — 5 —— 5 20 Hz T 0,05

v 5 2 p f 5 2 p ? 20 5 40 p rad/s

v 5 120 m/s

v 40 p pk 5 — 5 —— 5 — rad/m v 120 3

La diferència de fase és:

D w 5 w2 2 w1 5 (v t 2 k x2) 2 (v t 2 k x1) 5

p 4 p5 k (x1 2 x2) 5 — (12 2 8) 5 —— rad 3 3

També podem arribar al mateix resultat si recordem que el valor màxim de la velocitat del moviment harmònic simple, que és el moviment que assoleixen els punts de la superfície de l’aigua al pas de l’ona, és:

vmàx 5 A v 5 0,02 ? 40 p 5 0,8 p m/s

B. La diferència de fase entre dos punts sobre la super -fície de l'aigua situats en la mateixa direcció de propaga-ció de l'ona i separats per una distància de 5 cm, en un instant determinat és:

�a) — rad 2

�b) — rad 4

c) � rad

Dw � (v t � k x2) � (v t � k x1) � k (x1 � x2) �

� k D x � 20 � � 0,05 � � rad

Per tant, la resposta correcta és la c).

21. L’equació d’una ona que es propaga per una corda és y (x, t) � 8 sin (� (100 t � 8 x)), on x i y es mesuren en centímetres i t en segons. Calculeu el temps que trigarà l’ona a recórrer 25 m.

Busquem primer la velocitat de fase de l’ona. A partir de l’ex-pressió de l’equació d’ones deduïm:

k 5 8 p rad/cm 5 8 p·102 rad/m; v 5 100 p rad/s

� 100 �Aleshores: v � — � ———— � 12,5 � 10�2 m/s k 8 � � 102

L’ona trigarà a recórrer 25 m un temps igual a:

s 25t � — � ————— � 200 s v 12,5 � 10�2

22. L’ona produïda sobre la superfície d’un líquid arriba a dos objectes que hi suren damunt i que estan separats una dis-tància d’1,3 m. Els objectes es posen a os cil.lar i fan 16 os-cil.lacions en 4 s, de manera que els moviments harmònics simples dels dos objectes estan en fase, i entre ells hi ha 3 longituds d’ona. Amb quina velocitat es propaga l’ona sobre la superfície d’aquest líquid?

Com que els dos objectes estan separats una distància d’1,3 m i entre els dos hi ha 3 longituds d’ona aleshores:

D x 1,3l 5 —— 5 ——— 5 0,43 m 6 3 3

16 osc.f 5 ———— 5 4 Hz 4 s

v 5 l f 5 0,43 ? 4 5 1,73 m/s

103FÍSICA 2 06

Quina és la velocitat de fase d’aquest moviment ondulatori?

d y p p pv (x, t) 5 —— 5 0,03 ?— ? cos 1— t 2 — x2 5 d t 8 8 5

p p 5 0,0118 cos 1— t 2 — x2 8 5

p pv (3, 8) 5 0,0118 cos 1— ? 8 2 — ? 32 5 29 ? 1023 m/s 8 5

d v p p pa (x, t) 5 —— 5 0,0118 ?— ? 32sin 1— t 2 — x24 5 d t 8 8 5

p p 5 24,63 ? 1023 sin 1— t 2 — x2 8 5

p pa (3, 8) 5 24,63 ? 1023 sin 1— ? 8 2 — ? 32 5 8 5

5 3 ? 1023 m/s2

p — v 8v 5 — 5 —— 5 0,625 m/s k p — 5

27. Una ona es propaga en el sentit negatiu de les x amb longi-tud d’ona de 20 cm. El focus emissor vibra amb una freqüèn-cia de 25 Hz, una amplitud de 3 cm i inicialment es troba en un estat d’elongació màxima. Determineu:

a) La velocitat de propagació de l’ona.

v � f � 0,2 � 25 � 5 m/s

b) L’equació d’ona.

2 210

0,2k

π π= = = πλ

rad/s

� � 2 � f � 2 � � 25 � 50 � rad/s

A � 3 m

Per tant, l’equació d’ona és:

y (x, t) � 0,03 cos (10 � x � 50 � t)

c) L’instant en què un punt que es troba a 2,5 cm de l’origen assoleix, per primera vegada, una velocitat nul.la.

Busquem per a quin valor de t mínim el punt situat a x � 2,5 cm � 2,5 � 10�2 m tenim una velocitat nul.la:

v (2,5 � 10�2, t) � 1,5 � sin (� � 2,5 � 10�1 � 50 � t) � 0

→ sin (� � 2,5 � 10�1 � 50 � t) � 0

→ � � 2,5 � 10�1 � 50 � t � 0

� � 2,5 � 10�1

→ t � ——————— � 5 � 10�3 s 50 �

25. L’equació d’un moviment ondulatori està determinada per la t xfunció y (x, t) � 7 �10�2 cos 1— � —2 , en què totes les mag- 4 6nituds expressades en unitats del SI. Determineu:

Llegim els valors de A, v i k directament de la funció d’ona.

a) L’amplitud i la velocitat d’un punt que és a una dis tància d’11 m del focus.

L’amplitud és: A � 7 � 10�2 m

La velocitat de qualsevol punt on arriba l’ona és:

d y (x, t) 1 t xv (x, t) � ———— � �7 � 10�2 — sin �— � —� � d t 4 4 6 t x � �1,75 � 10�2 sin �— � —� 4 6

La velocitat d’un punt tal que x � 11 m val:

t 11v (11, t) � �1,75 � 10�2 sin �— � ——� � 4 6

t � �1,75 � 10�2 sin �— � 1,83� 4

b) La freqüència angular i el període.

1v 5 — 5 0,25 rad/s 4

2 p 2 pT 5 —— 5 —— 5 8 p s v 0,25

c) El nombre d’ona i la longitud d’ona.

1k 5 — m 5 0,167 rad/m 6

2 p 2 pl 5 —— 5 —— 5 12 p m k 1 — 6

d) La freqüència i la velocitat de fase.

1 1f 5 — 5 —— 5 0,04 Hz T 8 p

v 0,25v 5 — 5 ——— 5 1,5 m/s k 0,167

(o bé, v 5 l f 5 12 p ? 0,04 5 1,5 m/s)

26. Donada la funció d’ona següent, en què les distàncies s’ex-pressen en metres i el temps en segons, calculeu la velocitat i l’acceleració d’un punt que dista 3 m de l’origen de coorde-nades quan ha passat un temps de 8 s.

p py (x, t) 5 0,03 sin 1— t 2 — x2 8 5


29. Un filferro de 74 cm està enganxat per un extrem a un cos de 250 g de massa. El cos penja d’una molla situada en po-sició vertical i de constant elàstica 35 N/m, i, quan fem oscil.lar el cos separant-lo 5,2 cm de la posició d’equilibri, es genera una ona harmònica transversal al filferro que tar-da 1,2 a arribar a l’altre extrem. Determineu

a) L’equació de l’ona al filferro si considerem que es co-mença a comptar el temps quan el focus (punt de con-tacte del filferro amb el cos) es troba a 2 cm de la posi-ció d’equilibri.

k 35v � — � ——— � 11,83 rad/s m 0,25

D x 0,74vfase � —— � ——— � 0,62 m/s D t 1,2

v 11,83k � — � ——— � 19,08 rad/m v 0,62

y (0, 0) � A sin (v � 0 � k � 0 � w0) � 0,02 →

0,02 0,02sin w0 � ——— � ——— → A 0,052

0,02w0 � arcsin �———� � 0,39 rad 0,052

Per tant,

y (x, t) � 0,052 sin (11,83 t � 19,08 x � 0,39)

b) L’elongació i la velocitat d’un punt del filferro que dista 23 cm del focus en l’instant t � 0,5 s. Quines són la velocitat i l’acceleració màximes d’aquest punt?

y (0,23, 0,5) � 0,052 sin (11,83 � 0,5 � 19,08 � 0,23 � 0,39) �

� 0,049 m

v (0,23, 0,5) �

� 0,052 � 11,83 cos (11,83 � 0,5 � 19,08 � 0,23 � 0,39) �

� �0,21 m/s

vmàx � A � v � 0,052 � 11,83 � 0,62 m/s

amàx � A � v2 � 0,052 � 11,832 � 7,28 m/s2

√⎯⎯

√⎯⎯

28. En una corda s’ha generat una ona d’equació:

t xy (x, t) � 1,5 sin 2 � 1— � —2 4 6

en què les distàncies s’expressen en metres i el temps en segons. Representant 3 longituds d’ona, dibuixeu la forma de la corda en els instants de temps següents:

T T 3 T 5 Tt 5 0, t 5 —, t 5 —, t 5 ——, t 5 T, t 5 —— 4 2 4 4

Per dibuixar la forma de la corda en els instants de temps in-dicats, cal obtenir les funcions de x que resulten de substituir els temps indicats en l’equació d’ona, tenint en compte que 1T 5 — 5 0,25 s (ho llegim directament de l’equació d’ona). 4 A continuació, donem valors a x en les equacions obtingudes, fins a un valor màxim de xmàx 5 3 l 5 3 ? 6 5 18 m, ja que en l’enunciat se’ns diu que cal representar 3 longituds d’ona, i l 5 6 m (ho llegim directament de l’equació d’ona).

Per fer aquestes representacions gràfiques s’aconsella fer servir un programa informàtic (per exemple EXCEL) i obtindrem els gràfics següents:

105FÍSICA 2 07

Apliquem la llei de refl exió i obtenim l’angle de refl exió:

ar 5 a i → ar 5 65°

Per calcular l’angle de refracció, apliquem la llei de Snell:

a i 5 65°

v1 5 1,27 m/s

iuyutv2 5 1,03 m/s

→ a9r 5 arcsin (0,7350) 5 47,31°

Per tant, l’opció correcta de l’apartat A és la b) i la del B és també la b).

4. Suposeu que una font d’ones i un observador es mouen en la mateixa direcció, en el mateix sentit i amb la mateixa celeritat. Es produeix efecte Doppler? Raoneu la resposta.

Si l’observador i la font es mouen amb la mateixa velocitat en valor absolut, la mateixa direcció i el mateix sentit, aleshores la velocitat relativa entre tots dos és zero. Per tant, la situació és similar a la que es dóna quan tots dos estan en repòs i no es produeix efecte Doppler.

5. En què consisteix el fenomen d’interferències? Poseu-ne un exemple.

El fenomen de les interferències consisteix en la superposició additiva dels moviments ondulatoris de la mateixa natura en tot punt del medi de propagació de les ones. És a dir, tot punt de l’espai és pertorbat segons la suma de pertorbacions asso-ciades a cada una de les ones. Un cas típic d’interferències el constitueixen les ones estacionàries en una corda.

6. Dues fonts coherents d’ones de freqüència 2 Hz es tan sepa-rades una distància de 25 cm. L’ona emesa per un dels focus tarda 5 s a arribar a l’altre focus.

Calculem primer la velocitat de propagació de l’ona:

Ds 0,25v 5 —— 5 ——— 5 0,05 m/s Dt 5 v 0,05La longitud d’ona val: l 5 — 5 ——— 5 2,5 ? 1022 m f 2

A. Al punt P, que dista 32,52 cm del focus 1 i 14,43 cm del focus 2, trobem:

a) Interferència constructiva.

b) Interferència parcialment constructiva.

c) Interferència destructiva.

Busquem el mòdul de la diferència de camins de les dues ones:

|r1 2 r2| 5 |0,3252 2 0,1443| 5 0,1809 m

Comprovem si aquest valor és un múltiple parell o senar d’una semilongitud d’ona:

l 2,5 ? 1022 2 ? 0,18090,1809 5 n — 5 n ————— → n 5 ————— 5 2 2 2,5 ? 1022

5 14,47 Ó Z

j Unitat 7. Fenòmens ondulatoris

j Activitats

1. Comenteu breument en què consisteix la difracció de les ones i poseu-ne un exemple.

La difracció és la distorsió d’una ona o un tren d’ones que troba en el seu recorregut un obstacle de dimensions comparables a les de la longitud d’ona del moviment ondulatori. Exemples de fenòmens de difracció s’observen en la cubeta d’ones amb obs-tacles amb petites obertures. En el cas del so, en interposar obstacles entre el focus i el receptor, el so és capaç de vorejar l’obstacle.

2. Perquè diem que la difracció és un fenomen típicament ondulatori? Expliqueu-ho detalladament.

La difracció és un fenomen típicament ondulatori perquè per-met que les ones arribin a punts que, en principi, no poden ser assolits per un moviment corpuscular com podria ser, per exem-ple, un feix de partícules amb moviment rectilini. Pensem, per exemple, en la difracció que es produeix quan una ona arriba a un petita escletxa practicada en una paret que n’impedeix la propagació de l’ona: la forma del seu front d’ona canvia en tra-vessar l’escletxa, i, per tant, també canvia la seva direcció de propagació. L’ona pot arribar a punts on el feix de partícules no arribaria, ja que aquestes o bé no travessarien la paret (rebota-rien), o bé continuarien el seu moviment rectilini sense canviar de direcció de propagació.

Una altra situació en què també es fa palesa aquesta propietat intrínseca de les ones es dóna quan aquestes, en la seva propa-gació, arriben a un petit obstacle: la difracció fa que es pro-dueixen ones secundàries que «dibuixen» la forma de l’obstacle. El feix de partícules simplement rebotaria amb l’obstacle, o bé continuaria impertorbable el seu moviment rectilini, sense que es produeixi una situació com la que sí que es té per a l’ona.

3. Una ona plana produïda en una cubeta d’ones arriba a la superfície de separació de dos líquids diferents i incideix de manera que un raig determinat forma un angle de 25° respecte de la superfície de se paració. Una part de l’ona es refl exa i la resta es refracta. Sabem que en el primer medi la velocitat de l’ona és d’1,27 m/s i que en el segon medi és d’1,03 m/s:

A. L’angle de refl exió val:

a) 25º; b) 65º; c) 47º

B. L’angle de refracció val:

a) 25º; b) 47º; c) 65º

L’angle que forma el raig incident amb la superfície de separació dels dos líquids val 25°. Per tant,

a i 5 90° 2 25° 5 65°


D r 20,09—— 5 ———— 5 21 → D r 5 21 ? l 5 n l; l 0,09

n 5 21 → Condició d’interferència constructiva.

c) r1 5 8 cm, r2 5 10,25 cm

r1 5 8 cm 5 0,08 m

r2 5 10,25 cm 5 0,1025 m

iyt

→

D r 5 r2 2 r1 5 0,1025 2 0,08 5 0,025 m

D r 0,025—— 5 ——— 5 0,278 → D r Þ n l l 0,09

D r 0,025 l—— 5 ——— 5 0,5556 → D r Þ (2 n 1 1) —

iuuuyuuut

→

l 0,045 2 — 2

No es dóna ni la condició d’interferència constructiva ni la d’interferència destructiva → Interferència parcialment constructiva.

d) r1 5 20 cm, r2 5 15 cm

r1 5 20 cm 5 0,2 m

r2 5 15 cm 5 0,15 m

iyt

→

D r 5 r2 2 r1 5 0,15 2 0,2 5 0,05 m

D r 0,05—— 5 ——— 5 0,5556 → D r Þ n l l 0,09

D r 0,05 l—— 5 ——— 5 1,1111 → D r Þ (2 n 1 1) —

iuuuyuuut

→

l 0,045 2 — 2


8. Escriviu l’equació d’ona corresponent al primer harmònic de l’exemple 4, suposant que l’amplitud màxima en els ventres és de 10 cm.

Hem vist a l’exemple 4 que f1 5 136 Hz i que l1 5 2,5 m. Així, per al primer harmònic:

2 p 2 pk 5 —— 5 —— i v 5 2 p f 5 2 p ? 136 rad/s. l 2,5

L’expressió de l’ona estacionària d’amplitud màxima 2 A0 5 0,1 m és:

y (x, t) 5 2 A0 sin (k x) cos (v t) 5

2 p 5 0,1 ? sin 1—— x2 cos (2 p ? 136 t) 2,5

Com que no és un nombre natural, això signifi ca que hi ha interferència parcialment constructiva. L’opció correcta és la b).

B. Al punt Q, que dista 17,52 cm del focus 1 i 6,27 cm del focus 2, trobem:

a) Interferència destructiva.

b) Interferència parcialment constructiva.

c) Interferència constructiva.

En aquest cas: |r1 2 r2| 5 |0,1752 2 0,0627| 5 0,1125 m

Comprovem si aquest valor és un múltiple parell o senar d’una semilongitud d’ona:

l 2,5 ? 1022 2 ? 0,11250,1125 5 n — 5 n ————— → n 5 ————— 5 2 2 2,5 ? 1022

5 9 Ó Z

Com que s’obté un nombre natural i senar, això signifi ca que hi ha interferència destructiva. L’opció correcta és la c).

7. Sobre la superfície de l’aigua generem dos moviments on-dulatoris i fem oscil.lar dos punts amb una freqüència sín-crona de 5 Hz. Les ones produïdes es transmeten per tota la superfície amb una velocitat de 0,45 m/s. En un punt de la superfície, que és a una distància r1 del primer focus i a una distància r2 del segon focus, col.loquem un suro. Deter-mineu-ne l’estat de vibració en els casos següents:

En primer lloc, calculem la longitud d’ona i la meitat de la lon-gitud d’ona:

f 5 5 Hz

v 5 0,4 m/s

iyt

→

v 0,45 l 0,09l 5 — 5 ——— 5 0,09 m → — 5 ——— 5 0,045 m f 5 2 2

a) r1 5 15 cm, r2 5 28,5 cm

r1 5 15 cm 5 0,15 m

r2 5 28,5 cm 5 0,285 m

iyt

→

D r 5 r2 2 r1 5 0,285 2 0,15 5 0,135 m

D r 0,135——— 5 ——— 5 3 → l 0,045 — 2

l lD r 5 3 — 5 (2 n 1 1) —; 2 2

n 5 1 → Condició d’interferència destructiva.

b) r1 5 14 cm, r2 5 5 cm

r1 5 14 cm 5 0,14 m

r2 5 5 cm 5 0,05 m

iyt

→

D r 5 r2 2 r1 5 0,05 2 0,14 5 20,09 m

107FÍSICA 2 07

12. L’oïda d’una persona és sensible als sons de freqüèn cies compreses entre 30 Hz i 16 000 Hz. Quina serà la mínima longitud d’ona sonora en l’aire que serà ca paç d’apreciar aquesta persona?

Dada: velocitat de propagació del so a l’aire: 340 m/s

v v 340l 5 — → lmín 5 —— 5 ———— 5 2,12 ? 1022 m f fmàx 16 000

13. Consultant la taula 7.1, calculeu la velocitat del so en els materials següents:

Dades: rCu 5 8,96 g/cm3; rPb 5 11,4 g/cm3

Expressem la densitat en unitats del SI, consultem la taula 7.1 i apliquem l’expressió de la velocitat del so en els sòlids.

a) Coure

ra 5 8,96 g/cm3 5 8,96 ? 103 kg/m3

ya 5 1,25 ? 1011 N/m2

iyt

y 1,25 ? 1011

v 5 — 5 —————— 5 3 735,1 m/s r 8,96 ? 103

b) Plom

rPb 5 11,4 g/cm3 5 1,14 ? 104 kg/m3

rPb 5 1,6 ? 1010 N/m2

iyt

1,6 ? 1010

v 5 —————— 5 1 184,7 m/s 1,14 ? 104

14. La velocitat del so en el mercuri és de 1450 m/s. Si sabem que la densitat d’aquest metall és de 13,6 g/cm3, quant val el seu mòdul de compressibilitat?

Expressem la densitat en unitats del SI i aïllem el mòdul de com-pressibilitat en l’expressió de la velocitat del so en els líquids.

rHg 5 13,6 g/cm3 5 1,36 ? 104 kg/m3

v 5 1 450 m/s

iyt

kv 5 — → k 5 rv 2 5 1,36 ? 104 ? 1 4502 5 2,86 ? 1010 N/m2

r

15. Una ona es propaga per l’aire, que té una densitat d’1,29 kg/m3, de manera que triga 8 s a arribar a un punt que està a una distància r 5 5 m del focus. Si el punt es posa a oscil.lar amb una amplitud d’1,5 cm i fa 20 oscil.la-cions en 5 s, calculeu:

Expressem A en unitats del SI i amb les dades proporcionades, calculem la velocitat de fase, la freqüència.

r1 5 5 m r1 5 v 5 —— 5 — 5 0,625 m/sDt 5 8 s

iyt Dt 8

20 osc.f 5 ———— 5 4 Hz 5 s

A1 5 1,5 cm 5 0,015 m

dllll dllllllllll

dllllllllll

dlll

9. Trobeu les longituds d’ona i les freqüències corresponents als dos primers harmònics de la corda de l’exemple 5.

Substituint els valors de la longitud de la corda i de la velocitat de propagació de l’ona estacionària de l’exemple 5 tenim:

l1 5 2 L 5 2 ? 1,15 5 2,30 m

2 Ll2 5 —— 5 L 5 1,15 m 2

v 149,5f1 5 —— 5 ———— 5 65 Hz 2 L 2 ? 1,15

v 149,5f2 5 —— ? 2 5 ———— ? 2 5 130 Hz 2 L 2 ? 1,15

10. Indiqueu tres situacions en què es produeixen ones estacio-nàries.

Les ones estacionàries es produeixen sempre que una ona es transmet a través d’un medi que es troba en una regió de l’espai limitada per algun tipus de barrera. En tenim un exemple en les cordes dels instruments musicals de corda, en les quals la barre-ra la constitueixen els extrems mateixos de la corda, que es fi -xen en algun suport (penseu, per exemple, en les cordes d’una guitarra o d’un violí). Un exemple semblant es dóna en els ins-truments de vent, en els quals l’ona estacionària es produeix quan una ona sonora es propaga a l’interior d’un tub tancat, per exemple una fl auta o els tubs d’un orgue. Tenim un tercer exem-ple en el cas de l’ona superfi cial que es propaga en un líquid contingut en un recipient petit: si produïm una ona en el centre del recipient, després d’esperar un temps, veurem que es pro-dueix una ona estacionària en el recipient en refl ectir-se l’ona produïda a les parets del recipient.

11. En una corda de 0,75 m subjectada pels extrems es genera una ona de manera que l’ampliatud màxima d’oscil.lació inicial és de 5 mm. L’ona estacionària originada conté 5 no-des, incloent-hi els extrems, i vibra amb una freqüència de 400 Hz. A quina velocitat es propaga l’ona? Quina és l’equa-ció de l’ona estacionària?

Com que hi ha 5 nodes, deduïm que n 5 4

n 5 4 2 L 2 ? 0,75 l 5 —— 5 ———— 5 0,375 mL 5 0,75 m

iyt n 4

v 5 l f 5 0,375 ? 400 5 150 m/s

Ara calculem A0, k i v per poder escriure l’equació d’ona esta-cionària:

A0 5 5 mm 5 5 ? 1023 m

2 p 2 p 16 pk 5 —— 5 ——— 5 ——— rad/s l 0,375 3

v 5 2 p f 5 2 p ? 400 5 800 p rad/s

y (x, t) 5 2 A0 sin k x cos v t →

16 py (x, t) 5 1022 sin ——— x cos 800 p t 3


Per calcular el nou quocient entre les amplituds en els dos punts hem de tenir en compte l’expressió que relaciona el quocient entre intensitats i el quocient entre amplituds de manera similar a com ho hem fet a l’apartat a):

I1 A21 A9 I9

— 5 — → — 5 — 5 d 3,16 ? 107 5 5,62 ? 103

I2 A22 A I


h Questions

1. A quin fenomen ondulatori es deu el fet que les ones sono-res puguin travessar obstacles, com ara cantonades?

Les ones sonores, com qualsevol moviment ondulatori, poden vorejar els obstacles, com ara una cantonada o una petita es-cletxa. Recordem que aquest fenomen es coneix amb el nom de difracció i és una conseqüència del principi de Huygens.

2. Quin fenomen ondulatori es produeix quan sentim l’eco d’algun soroll?

El fenomen de l’eco consisteix en la refl exió d’una ona sonora quan troba un obstacle en el seu camí de transmissió, com per exemple una paret. Per tant, l’eco és un fenomen típic de refl e-xió d’una ona.

3. La velocitat del so a l’aigua és més gran que a l’aire. Quan una ona harmònica de so passa de l’aire a l’aigua:

a) La seva freqüència augmenta, disminueix o queda inal-terada?

La freqüència ( f ) de l’ona no varia en canviar de medi ( faire 5 faigua).

b) La seva longitud d’ona augmenta, disminueix o queda inalterada?

vaigua vairelaigua 5 ——— . ——— 5 laire → laigua . laire. És a dir, la lon- faigua faire

longitud d’ona augmenta en passar l’ona de l’aire a l’aigua.

Justifi queu la resposta.

4. Un ciclista sent el so emès per la sirena d’un camió de bom-bers en moviment. Raoneu com és la freqüència del so que sent, respecte la freqüència de la sirena, quan el camió i el ciclista estan en les situacions següents:

a) El ciclista es troba en repòs en un semàfor en vermell, i el camió s’hi apropa.

Com que la font emissora d’ones (camió) s’apropa a l’obser-vador (ciclista), els fronts d’ona que rep l’observador s’ajun-ten respecte del cas en què tots dos estan en repòs. Per tant, la longitud d’ona disminueix i, així, augmenta la fre-qüència del so emès pel camió: el ciclista sent la sirena del camió amb una freqüència més gran respecte del cas en què tots dos estan en repòs (so més agut).

dllll

a) La intensitat d’energia que arriba al punt.

Apliquem l’expressió de I:

I1 5 2 p r 2 r v f 2 A12 5 2 p2 ? 1,29 ? 0,625 ? 42 ? 0,0152 5

5 5,73 ? 1022 W/m2

b) La potència amb què el focus emet les ones.

Per calcular la potència emesa per la font apliquem la defi -nició de I, tenint en compte que a 5 m de la font la super-fície és la d’una esfera (s1 5 4 p r

1

2):

E EI 5 ——— → p 5 —— 5 I S 5 I1 S1 → S D t D t

p 5 5,73 ? 1022 ? 4 p ? 52 5 18 W

16. Determineu el quocient entre les intensitats i el quocient entre les amplituds en dos punts diferents si els nivells d’intensitat que hi origina una ona sonora difereixen en:

a) 25 dB

El nivell d’intensitat sonora B ve donat per l’expressió:

IB 5 10 log 1—2 I0

en què I0 és un valor de referència. Considerem dos punts en els quals les intensitats són I i I9. La diferència entre els nivells d’intensitat sonora DB és: I9 — I9 I I0D B 5 10 log — 2 10 log — 5 10 log —— 5 I0 I0 I — I0

I9 I9 I9 5 10 log — 5 log 1—2

10

→ 1—210

5 I I I

I9 5 10DB → — 5 10

DB—— 10

I

Com que D B 5 25 dB, tenim que:

I9— 5 10

DB—— 10 5 10

25—— 10 5 102,5 5 316,22

I

Per calcular el quocient entre les amplituds en els dos punts hem de tenir en compte l’expressió que relaciona el quo-cient entre intensitats i el quocient entre amplituds:

I1 A21 A9 I9

— 5 — → — 5 — 5 d 316,22 5 17,78 I2 A2

2 A I

b) 75 dB

Com que D B 5 75 dB, tenim que:

I9— 5 10

DB—— 10 5 10

75—— 10 5 107,5 5 3,16 ? 107

I

dllll

109FÍSICA 2 07

c) El motorista rep menys fronts d’ona per unitat de temps que un observador en repòs.

d) L’ona sonora està polaritzada.

L’opció correcta és la b). El motorista s’apropa a la font d’ones sonores que està en repòs. Rep més nombre de longituds d’ona per unitat de temps i per això nota una freqüència més alta (so més agut).

6. Suposeu que una font d’ones es mou amb una velocitat més gran que la velocitat de fase de les ones que emet. Efectueu un dibuix que ho representi i discutiu com és l’ona que s’observa, fent, si cal, una recerca bibliogràfi ca i/o de pàgi-nes d’Internet sobre el tema.

En aquesta situació, i donat que la velocitat de la font, v, és més gran que la velocitat de propagació de l’ona (velocitat de fase, vF), els successius fronts d’ona produïts per la font es van acumulant en una munió de punts que defi neixen una superfí-cie. Si considerem que, en el temps t, la font s’ha mogut entre els punts A i C, el front d’ona emès per la font en el punt A ha arribat al punt B, i, com que v . vF, tenim que A C . A B.

1 2 3

1 2 3

A

vt

vF t

vFC

B

a

Ona de xoc o de Mach

Veiem que aquest i els següents fronts d’ona 1, 2, 3, etc., eme-sos per la font en temps posteriors en els punts 1, 2, 3, etc., s’amunteguen en una superfície cònica d’obertura angular a, de manera que, en aquesta superfície, l’amplitud de l’ona es va fent cada vegada més gran. L’ona obtinguda en aquesta super-fície cònica s’anomena, per aquest motiu, ona de xoc, també anomenada ona de Mach.

Així, en el cas del so, quan es produeixen ones de xoc diem vulgarment que la font «ha trencat la barrera del so». En reali-tat, la font emissora d’ones sonores, com podria ser, per exem-ple, un avió supersònic, el qual es mou a una velocitat més gran que la velocitat del so, origina una ona de Mach que consisteix en un so sobtat i molt intens.

També podem observar ones de Mach a la superfície d’un líquid, per exemple, quan un objecte o una llanxa motora es mouen a una velocitat més gran que la velocitat de les ones superfi cials a l’aigua: en aquest cas s’observa una estela de forma cònica, que és l’ona de Mach.

b) El camió ja ha sobrepassat al ciclista i se n’allunya.

Com que ara la font emissora d’ones (camió) s’allunya de l’observador (ciclista), els fronts d’ona que rep aquest se separen respecte del cas en què tots dos estan en repòs. Així doncs, la longitud d’ona augmenta i, per tant, dismi-nueix la freqüència del so emès pel camió: el ciclista sent la sirena del camió amb una freqüència més petita respecte del cas en què tots dos estan en repòs (so més greu).

c) El ciclista es mou en sentit contrari al camió tot apro-pant-s’hi.

Tal com passa en el cas plantejat en l’apartat a), l’observa-dor i la font emissora d’ones s’apropen entre si, i la freqüèn-cia que rep el ciclista també és, per tant, més gran que en el cas en què tots dos estan en repòs. Com que el valor ab-solut de la velocitat relativa entre la font i l’observador és encara més gran que en l’apartat a), perquè tots dos es-tan en moviment i s’apropen l’un a l’altre, tenim que la fre-qüència que rep ara el ciclista és fi ns i tot més gran que en el cas a); és a dir, el ciclista sent el so encara més agut.

d) El ciclista es mou en sentit contrari al camió tot allu-nyant-s’hi.

Com en el cas plantejat en l’apartat b), l’observador i la font emissora d’ones s’allunyen entre si i la freqüència que rep el ciclista també és, per tant, més petita que en el cas en què tots dos estan en repòs. Com que el valor absolut de la velocitat relativa entre la font i l’observador és ara enca-ra més gran que en el cas de l’apartat b), perquè tots dos estan en moviment i s’allunyen l’un de l’altre, tenim que la freqüència que rep el ciclista és fi ns i tot més petita que en b), i així, sent el so encara més greu.

e) En quins dels casos anteriors el ciclista rep el so amb una freqüència més gran respecte de la freqüència quan tots dos mòbils estan en repòs? En quin cas rep el so amb una freqüència més petita? Raoneu les respostes.

Els casos en què el ciclista rep una freqüència més gran res-pecte de la freqüència que rep quan tots dos estan en repòs són el a) i el c). Això passa perquè en totes dues situa cions la velocitat relativa entre tots dos és tal que s’estan apro-pant l’un a l’altre i els fronts d’ona que rep el ciclista estan més junts respecte de la situació en què tots dos estan en repòs. Per contra, els casos en què rep una freqüència més baixa són el b) i el c), ja que la velocitat relativa entre tots dos és tal que s’allunyen l’un de l’altre i els fronts d’ona es-tan més separats respecte de la situació en què tots dos estan en repòs.

5. Un cotxe de bombers que està aparcat fa sonar la sirena. Una moto que circula a gran velocitat s’acosta al cotxe i el motorista percep un so més agut que el propi de la sirena. Raoneu a quina de les causes següents es pot atribuir aquest fet:

a) L’ona sonora es refracta.

b) El motorista rep més fronts d’ona per unitat de temps que un observador en repòs.


Aplicant el principi de superposició, podem veure que l’equació de l’ona resultant és:

y (x, t) 5 y1(x, t) 1 y2(x, t) 5 p 5 A sin (v t 2 k x) 1 A sin 1v t 2 k x 2 —2 4

Si traiem factor comú d’A i recordem la relació trigonomètrica

a 2 b a 1 bsin a 1 sin b 5 2 cos ———— sin ———— 2 2

p (v t 2 k x) 1 1v t 2 k x 2 —2 4y (x, t) 5 A 3cos ———————————————— ? 2 p (v t 2 k x) 1 1v t 2 k x 2 —2 4 ? sin ————————————————4 5 2

p p 5 A cos — sin 1v t 2 k x 2 —2 8 8

Aquesta última equació correspon a una ona d’amplitud p pA cos —, que té una fase inicial de — rad. 8 8

Per tant, la resultant de la superposició dels dos moviments ondulatoris és una altra ona de la mateixa freqüència i de la mateixa longitud d’ona que les ones que interfereixen, però pamb una amplitud disminuïda en un factor cos —. 8

9. Quan s’emet una nota aguda molt intensa a prop d’una copa de vidre prim, es pot arribar a trencar. A què es deu aquest fenomen?

Les ones estacionàries que es produeixen en una corda tensa i en tubs tancats vibren segons una sèrie de freqüències caracte-rístiques i donen el que s’anomenen modes de vibració o harmò-nics, les freqüències dels quals són múltiples de la freqüència fonamental. En general, qualsevol objecte pot vibrar d’acord amb les seves pròpies freqüències característiques. Si la fre-qüència d’una ona sonora que s’emet prop de l’objecte coinci-deix amb alguna de les freqüències característiques de l’objec-te, aquest es veurà sotmès a una successió de polsos que faran augmentar la seva amplitud d’oscil.lació en valors cada vegada més grans que els de l’ona incident. Quan l’objecte és fràgil, com pot ser el cas d’una copa fi na de vidre, aquest es pot arri-bar a trencar en trencar-se els enllaços entre algunes de les seves molècules com a resultat d’aquesta amplitud creixent. Aquest fenomen s’anomena ressonància.

10. Com és l’ona estacionària que es produeix en una corda que només està subjectada per un extrem?

Suposem que una corda fi xada només per un extrem està vi-brant. En aquestes condicions, i com que l’altre extrem és lliure, s’origina una ona estacionària en la qual l’extrem lliure es com-porta com un ventre. Aquesta ona estacionària es pot aconse-guir, per exemple, fi xant una corda de longitud L per un extrem i unint l’altre extrem a un diapasó que vibra. Aquest últim ex-

7. Dibuixeu les línies nodals i ventrals quan dues fonts d’ones coherents estan separades per una distància igual a:

a) Una longitud d’ona.

b) Dues longituds d’ona.

c) Tres longituds d’ona.

8. Com és l’ona resultant de la superposició de dos moviments ondulatoris de la mateixa amplitud, la mateixa freqüència i la mateixa longitud d’ona, que es transmeten per l’eix X i

p que estan desfasats — rad? 4

Les dues ones tenen la mateixa amplitud, la mateixa freqüència i la mateixa longitud d’ona, però estan desfasades un angle de p— rad. Per tant, també tenen la mateixa freqüència angular i 4el mateix nombre d’ona, i les seves funcions d’ona són:

y1(x, t) 5 A sin (v t 2 k x)

py2(x, t) 5 A sin 1v t 2 k x 2 —2 4

111FÍSICA 2 07

Per tant, i en general:

(2 n 1 1) ln 4 L—————— 5 L → ln 5 ———— → 4 2 n 1 1

v (2 n 1 1) vfn 5 —— → fn 5 —————— ln 4 L

On n 5 0, 1, 2...

Observem que només tenim harmònics imparells.

11. Què oscil.la en el cas de les ones sonores? Expliqueu-ho detalladament.

En el cas d’una ona sonora que es propaga en un gas, oscil.la la densitat del gas, de manera que es van succeint una sèrie de contraccions i dilatacions de les diverses capes del gas i, per tant, augments i disminucions en la pressió local del gas. És el que passa, per exemple, amb el so que surt d’un altaveu: a mesura que la membrana de l’altaveu vibra, la capa d’aire més propera a l’altaveu pateix successives contraccions i dilata-cions, les quals es van transmetent a les capes veïnes. En el cas de les ones sonores que es transmeten a través d’un líquid o d’un sòlid, també es produeixen contraccions o dilatacions suc-cessives de les diferents capes de material. Però si tenim en compte que els líquids i els sòlids són pràcticament incompren-sibles, aquestes dilatacions i contraccions són gairebé inapre-ciables, a diferència d’un gas.

12. Una ona sonora pot estar polaritzada? Justifi queu la res-posta.

Si tenim en compte que les ones sonores són ones longitu-dinals, podem concloure que no poden estar mai polaritzades, ja que aquest fenomen només es dóna en el cas d’ones trans-versals.

13. Com varien l’amplitud i la intensitat d’energia amb la dis-tància en el cas d’una ona esfèrica? Quina de les dues varia més ràpidament? Raoneu la resposta.

Considerem les expressions que lliguen la intensitat d’energia i l’amplitud amb la distància:

I1 r 22 A1 r2—— 5 —— ; —— 5 ——

I2 r 21 A2 r1

Podem observar que la intensitat d’energia és inversament pro-porcional al quadrat de la distància, de manera que la intensitat disminueix ràpidament en augmentar la distància.

Quant a l’amplitud, podem observar que aquesta magnitud és inversament proporcional a la distància, de manera que l’ampli-tud disminueix en augmentar la distància; però aquesta dismi-nució no és tan ràpida com en el cas de la intensitat d’energia, ja que la distància no està elevada al quadrat.

14. Tenim dues fonts sonores de la mateixa freqüència. Una emet les ones amb una potència 5 vegades més gran que l’altra. Quina relació tenen:

trem es pot considerar lliure i la vibració del diapasó fa que hi tingui un ventre.

a)

Es pot comprovar que, tal com passa amb una corda fi xada pel seus dos extrems, la corda pot vibrar segons diferents modes de vibració o harmònics, però ara amb un extrem que es comporta sempre com un ventre.

Fixem-nos en les relacions que acompleixen els harmònics:

l1Harmònic fonamental: —— 5 L → l1 5 4 L 4

3 l3 4 LTercer harmònic: —— 5 L → l3 5 —— 4 3

5 l5 4 LCinquè harmònic: —— 5 L → l5 5 —— 4 5

7 l7 4 LSetè harmònic: —— 5 L → l7 5 —— 4 7


b) Quant ha de variar l’amplitud perquè la intensitat aug-menti en un factor 6?

Si la intensitat augmenta en un factor 6, tenim que:

I A9 I II9 5 — → —— 5 —— 5 —— 5 6 A I9 I — 6 I A9 5 6 — → —— 5 d 6 I A

Per tant, l’amplitud ha d’augmentar en un factor d 6 .

16. Consulteu bibliografi a adient i escriviu un petit treball de recerca on s’expliquin els efectes que té el soroll sobre la salut de les persones.

Resposta oberta.

Si es vol desenvolupar aquesta activitat, cal que l’alumnat con-sulti bibliografi a sobre el tema o que visiti pàgines web com, per exemple, les de l’Organització Mundial de la Salut (OMS). L’activitat es pot plantejar com una ampliació del que s’ha ex-plicat en el llibre, amb el mateix esquema: fonts de contami-nació acústica i nivells d’intensitat sonora associats, nivells d’intensitat sonora permesos i alteracions sobre la salut.

h Problemes

1. Determineu l’angle de desviació respecte de la normal que experimenta una ona sonora que es propaga en l’aire quan incideix amb un angle d’inclinació de 10° sobre la superfí-cie en repòs d’un estany i l’ona penetra en l’aigua.

Dades: vaire 5 340 m/s; vaigua 5 1500 m/s

a i 5 10°

v1 5 vaire 5 340 m/s

v2 5 vaigua 5 1 500 m/s

iuyut

Apliquem la llei de Snell:

sin a i v1 sin 10° 340——— 5 —— → ———— 5 ——— → sin a9r v2 sin a9r 1 500

1 500 ? sin 10°sin a9r 5 ——————— 5 0,7661 → 340

→ a9r 5 arcsin (0,7661) 5 50°

2. Discutiu, en els casos següents, com serà l’estat de vi bració d’un punt que és a unes distàncies r1 i r2 de dos focus emis-sors d’ones, tenint en compte que entre ells hi ha una sepa-ració de 12 cm i 3 longituds d’ona:

En primer lloc calculem la longitud d’ona i la meitat de la lon-gitud d’ona:

2F1

2F2

2

2 5 12 cm 5 0,12 m

0,12 l 0,043 l 5 0,12 → l 5 ——— 5 0,04 m; — 5 ——— 5 0,02 m 3 2 2

dllll dlllll

dlllll

a) Les seves amplituds a la mateixa distància.

La potència P emesa per una font d’ones tridimensionals ve Edonada per l’expressió P 5 —— 5 I S, mentre que la relació D tentre les intensitats d’energia i les amplituds ve donada per I A92

—— 5 ——. Si la potència P de la primera font és 5 vega- I9 A2

des la potència P9 de la segona, i si considerem la mateixa distància, r 5 r9, aleshores:

P — A I SP 5 5 P9 → —— 5 — 5 —— 5 A9 I9 P9 — S9

5 P9 —— P S9A 5 ——— ? S 5 4 p r 2 5 4 p r9 2 5 —— 5 √5 S9 A9 —— S

Per tant, l’amplitud de la primera font a aquesta distància és √ 5 vegades més gran que l’amplitud de la segona font a la mateixa distància.

b) Les seves intensitats d’energia a la mateixa distància.

P — I S P9 S9 IP 5 5 P9 → —— 5 —— 5 5 —— —— → — 5 5 S 5 I9 P9 P9 S9 I9 —— S9

5 4 p r 2 5 4 p r9 2 5 S9

Per tant, la intensitat de la primera font a aquesta distància és 5 vegades més gran que la intensitat de la segona font a la mateixa distància.

15. Per una ona sonora:

a) Com varia la intensitat quan l’amplitud augmenta en un factor 3?

Considerem l’expressió que lliga la intensitat d’energia i l’amplitud:

I A92

—— 5 —— I9 A2

Si l’amplitud augmenta en un factor 3, tenim que:

I9 A2 A2 1A9 5 3 A → —— 5 —— 5 ——— 5 — I A92 (3 A)2 9

I9 1→ —— 5 — I 9

Per tant, la intensitat disminueix en un factor 9.

dllll dlllll

dllllll

113FÍSICA 2 07

e) Feu un esquema que representi la interferència i situeu-hi diversos punts on hi hagi diferents tipus d’interfe-rències.

3. En els punts d’abscissa x 5 0 m i x 5 5 m es generen dues ones longitudinals, és a dir, unidimensionals, que es propa-guen al llarg de l’eix X amb la mateixa amplitud i amb la mateixa freqüència. Si entre tots dos punts hi ha 5 semilon-gituds d’ona:

En primer lloc calculem la longitud d’ona:

xF1 5 0 m xF2

2 xF1 5 5 2 0 5 5 m

l l 5 5 5 — → l5 2 mxF2

5 5 m

ieyet xF1

2 xF2 5 5 —

ieyet

2 2

a) Trobeu els punts on hi ha interferència construc tiva i els punts on hi ha interferència destructiva.

Dibuixem la situació:

2

21

1

Ara calculem la diferència de camins recorreguts per les dues ones en un punt genèric x:

Dr 5 (x 2 xF1) 2 (xF2

2 x) 5 2 x 2 xF1 2 xF2

5

5 2 x 2 0 2 5 5 2 x 2 5

Interferència constructiva:

D r 5 n l → 2 x 2 5 5 n ? 2 →

2 n 5 5x 5 —— 1 — → x 5 n 1 —, n 5 0, 61, 62... 2 2 2

En tots els punts en què es verifi ca la condició anterior es dóna interferència constructiva. És el cas, per exemple, dels punts (situats entre xF1

i xF2):

5n 5 22 → x 5 22 1 — 5 0,5 m 2

5n 5 21 → x 5 21 1 — 5 1,5 m 2

a) r1 5 6 cm, r2 5 18 cm

r1 5 6 cm 5 0,06 m

r2 5 18 cm 5 0,18 m

iyt

D r 5 r2 2 r1 5 0,18 2 0,06 5 0,12 m

D r 0,12—— 5 ——— 5 3 → D r 5 3 l 5 n l, l 0,04

n 5 3 → Condició d’interferència constructiva.

b) r1 5 12 cm, r2 5 9 cm

r1 5 12 cm 5 0,12 m

r2 5 9 cm 5 0,09 m

iyt

D r 5 r2 2 r1 5 0,09 2 0,12 5 20,03 m

D r 20,03—— 5 ———— 5 20,75 → D r Þ n l l 0,04

D r 20,03 l—— 5 ———— 5 21,5 → D r Þ (2 n 1 1) —

iuuuyuuut

l 0,02 2 — 2


c) r1 5 11,75 cm, r2 5 17,25 cm

r1 5 11,75 cm 5 0,1175 m

r2 5 17,25 cm 5 0,1725 m

iyt

D r 5 r2 2 r1 5 0,1725 2 0,1175 5 0,055 m

D r 0,055—— 5 ———— 5 1,375 → D r Þ n l l 0,04

D r 0,055 l—— 5 ———— 5 2,75 → D r Þ (2 n 1 1) —

iuuuyuuut

l 0,02 2 — 2


d) r1 5 25 cm, r2 5 31 cm

r1 5 25 cm 5 0,25 m

r2 5 31 cm 5 0,31 m

iyt

Dr 5 0,31 2 0,25 5 0,06 m

Dr 0,06 l l—— 5 ——— 5 3 → Dr 5 3 — 5 (2 n 1 1) —, l 0,02 2 2 — 2

n 5 1 → Condició d’interferència destructiva.


a) Determineu la funció d’ona resultant de la interferència.

Sumem les dues ones per obtenir l’ona resultant:

y 5 y1 1 y2 5 5 0,2 sin (30 t 2 4,4 x) 1 0,2 sin (28 t 2 4,2 x)

y 5 0,2 [sin (30 t 2 4,4 x) 1 sin (28 t 2 4,2 x)]

Apliquem l’expressió trigonomètrica següent:

a 1 b a 2 bsin a 1 sin b 5 2 sin ——— cos ——— 2 2

Tenim doncs:

(30 t 2 4,4 x) 1 (28 t 2 4,2 x)y 5 0,2 ? 2 ? 3sin ——————————————— ? 2 (30 t 2 4,4 x) 2 (28 t 2 4,2 x) ? cos ———————————————4 2

y (x, t) 5 0,4 cos (t 2 0,1 x) sin (29 t 2 4,3 x)

b) Representeu en un dibuix la forma de l’ona.

Per fer la representació gràfi ca de l’ona, donem un valor determinat al temps, ja que volem representar la forma de l’ona. Per exemple, podem fer t 5 0 per simplifi car el càlcul de la funció y (x) que es vol representar:

y (x, 0) 5 0,4 cos (0 2 0,1 x) sin (0 2 4,3 x) →

y (x) 5 20,4 cos 0,1 x sin 4,3 x

Per fer la representació gràfi ca de la funció de x anterior, y (x), donem valors a la variable independent x i calculem els valors corresponents de la variable dependent y, de ma-nera que, per exemple, quedin representades dues longituds d’ona. Com que x 5 4,3 m, tenim:

2 p 2 pl 5 —— 5 —— 5 1,46 m → 2 l 5 2,92 m k 4,3

Per tant, hem de donar a x valors compresos entre x 5 0 i x 5 3 m, aproximadament. Es pot fer servir un programa informàtic.

c) D’acord amb la funció d’ona obtinguda, discutiu com és el tipus d’ona que s’obté en aquesta si tuació.

Característiques de l’ona resultant:

L’amplitud de l’ona resultant no és constant, sinó que té una doble dependència espacial i temporal. Per tant, diem que l’amplitud està modulada. Aquesta doble dependència queda refl ectida en els valors de la freqüència angular vmod i el nombre d’ona kmod de l’amplitud modulada, que, com

5n 5 0 → x 5 0 1 — 5 2,5 m 2

5n 5 1 → x 5 1 1 — 5 3,5 m 2

5n 5 2 → x 5 2 1 — 5 4,5 m 2

Interferència destructiva:

lDr 5 (2 n 1 1) — → 2

22 x 2 5 5 (2 n 1 1) ? — → 2 x 2 5 5 2 n 1 1 → 2

2 n 62 x 5 2 n 1 1 1 5 → x 5 —— 1 — → 2 n 6

x 5 n 1 3, n 5 0, 61, 62...

En tots els punts en què es verifi ca aquesta última condició, es dóna interferència destructiva, tret dels punts x 5 0 i x 5 5 m, que també la verifi quen però, en ser els focus emissors d’ones, no hi pot haver, lògicament, interferència destructiva.

És el cas, per exemple dels punts (situats entre xF1 i xF2

):

n 5 22 → x 5 22 1 3 5 1 m

n 5 21 → x 5 21 1 3 5 2 m

n 5 0 → x 5 0 1 3 5 3 m

n 5 1 → x 5 1 1 3 5 4 m

b) Suposeu que en els mateixos punts es generen dues ones circulars (bidimensionals), com les ones superfi -cials produïdes a la cubeta d’ones. Hi haurà els mateixos tipus d’interferències en els punts que heu trobat a l’apartat anterior? Raoneu la resposta.

Tenint en compte que les ones superfi cials generades en un líquid pateixen una atenuació a mesura que ens allunyem del focus, les interferències anteriors no són ni totalment constructives ni totalment destructives, ja que l’ona que ar-riba del focus més llunyà no té la mateixa amplitud que l’ona que arriba del focus més proper, sinó que la seva amplitud és lleugerament inferior.

4. Dues ones harmòniques transversals longitudinals es propaguen al llarg de l’eix X d’acord amb les funcions d’ona següents: y1 (x, t) 5 0,2 sin (30 t 2 4, 4 x), y2(x, t) 5 0,2 sin (28 t 2 4,2 x), en què totes les unitats estan mesurades en unitats del SI.

y1(x, t) 5 0,2 sin (30 t 2 4,4 x)

y2(x, t) 5 0,2 sin (28 t 2 4,2 x)

115FÍSICA 2 07

Ara, amb l’expressió de la velocitat del MRU, calculem la longi-tud de la barra:

D t 5 1 m/s 5 1023 s

D x lv 5 —— → v 5 —— → D t D t

l 5 v D t 5 5,09 ? 103 ? 1023 5 5,09 m

7. Quina és la velocitat del so en l’aigua pura si sabem que la seva densitat és d’1 g/cm3 i el seu mòdul de compressibili-tat és de 2,22 ? 109 N/m2?

Expressem la densitat en unitats del SI i apliquem l’expressió de la velocitat del so en els líquids.

rH2O 5 1 g/cm3 5 103 kg/m3

KH2O 5 2,22 ? 109 N/m2

iyt

k 2,22 ? 109

v 5 — 5 ————— 5 1 490 m/s r 103

8. A quina distància del focus l’amplitud d’una ona queda ate-nuada en un 15 % si sabem que a 3 m l’ate nuació arriba al 25 %? Quina és la relació entre les intensitats?

Anomenem A0 l’amplitud de l’ona en el focus, A1 l’amplitud a la distància r1 desconeguda, i A2 l’amplitud a la distància r2 5 3 m.

Si en r1 l’ona s’atenua en un 15 % vol dir que en aquest punt l’amplitud és un 85 % de l’amplitud en el focus. Per tant:

r1 5 ? → A1 5 0,85 A0

En el punt r2 l’ona s’atenua un 25 % i, per tant, l’amplitud en aquest punt és un 75 % de l’amplitud en el focus:

r2 5 3 m → A2 5 0,75 A0

Si dividim les expressions anteriors per a A2 i A1, i tenim en comp- A2 r1te que —— 5 —— i que r2 5 3 m, la distància r1 demanada és: A1 r2

A2 0,75 A0 r1 r1 0,75—— 5 ———— 5 —— → —— 5 ——— → A1 0,85 A0 r2 3 0,85

0,75 r1 5 3 ? ——— → r1 5 2,65 m 0,85

Per calcular la relació entre les intensitats en r1 i r2 apliquem l’expressió corresponent:

l2 r 21 2,652

—— 5 —— 5 ——— 5 0,78 l1 r 2

2 32

9. Un altaveu emet un cert so per l’aire amb una freqüència de 125 Hz. A 2 m de l’altaveu la intensitat de l’ona val 5,2 ? 1026 W/cm2 i se suposa que no hi ha absorció, és a dir, que el medi és elàstic.

Expressem la intensitat I1, a la distància r1 5 2 m, en unitats del SI:

I1 5 5,2 ? 1026 W/cm2 5 5,2 ? 1022 W/m2

dllll dllllllllll

veiem, tenen uns valors molt petits comparats amb els de les ones incidents:

vmod 5 1 rad/s, kmod 5 0,1 rad/m

A més de tenir una amplitud modulada, l’ona resultant és una ona harmònica amb una freqüència angular i un nombre d’ona molt semblant als de les ones que interfereixen, es-sent, de fet, les mitjanes aritmètiques de les freqüències angulars i els nombres d’ona de les ones incidents y1 i y2:

v1 1 v2vmit 5 ———— 5 29 rad/s 2

k1 1 k2kmit 5 ———— 5 4,3 rad/m 2

TmodCada —— segons, l’amplitud modulada de l’ona resultant 2pren el seu valor màxim o el seu valor mínim: és a dir, que Tmodcada —— s es produeix un batec. 2

d) Quina és la velocitat de fase de l’ona resultant?

vmit 29v 5 —— 5 —— 5 6,74 m/s kmit 4,3

5. Determineu la velocitat del so quan es transmet a través de l’heli, amb una temperatura de 25 °C, si sabem que la cons-tant adiabàtica d’aquest gas val 1,67 i que la seva massa molecular és de 4 g/mol.

Dada: R 5 8,31 J/mol?K

Expressem la massa molecular i la temperatura en unitats del SI i apliquem l’expressió de la velocitat del so en els gasos:

M 5 4 g/mol 5 4 ? 1023 kg/mol iuuyuut

T 5 25 °C 5 298 K

g 5 1,67

R 5 8,31 J/mol

g R T 1,67 ? 8,31 ? 298v 5 ——— 5 ———————— 5 1 016,80 m/s M 4 ? 1023

6. Donem un cop a un extrem d’una barra d’alumini. Si la per-torbació triga una mil.lèsima de segon a arribar a l’altre extrem, quina és la longitud de la barra?

Dades: la densitat de l’alumini val 2,7 g/cm3 i el seu mòdul de Young és de 7 ? 1010 N/m2

Expressem la densitat en unitats del SI i apliquem l’expressió de la velocitat del so en els sòlids.

rAl 5 2,7 g/cm3 5 2,7 ? 103 kg/m3

yAl 5 7 ? 1010 N/m2

iyt

y 7 ? 1010

v 5 — 5 ————— 5 5,09 ? 103 m/s r 2,7 ? 1023

dllllll dlllllllllllllll

dllll dllllllllll


Per tant,

I1 4 ? 10210

B1 5 10 log —— → B1 5 10 log ———— 5 26,02 dB I0 10212


1. D’una molla situada en posició vertical penja en repòs un cos d’1,75 kg. Quan separem el cos de la seva posició d’equi-libri una certa distància i el deixem anar observem que efec-tua 21 oscil.lacions en 8,4 s, i passa per la posició d’equili-bri amb una velocitat de 1,26 m/s. Determineu:

a) El període, la freqüència i la constant elàstica de la molla.

El període es pot calcular amb les dades proporcionades:

8,4 sT 5 ———— 5 0,4 s 21 osc

La freqüència és:

1 1f 5 — 5 —— 5 2,5 Hz T 0,4

Calculem la freqüència angular per determinar la constant elàstica de la molla:

v 5 2 p f 5 2 p ? 2,5 5 5 p rad/s →

k 5 m v2 5 5,75 ? (5 p)2 5 431,80 N/m

b) L’equació del moviment, tenint en compte que es co-mença a comptar el temps quan el cos es troba a la ter-cera part de l’amplitud, i l’acceleració màxima. En quina posició és dóna l’acceleració màxima?

Determinem primer l’amplitud tenint en compte que la velo-citat quan passa per la posició d’equilibri és la velocitat màxima:

vmàx 12,57A 5 —— 5 ——— 5 0,08 m 5 8 cm v 5 p

Ara determinem la fase inicial:

A 1y0 5 — 5 A sin w0 → w0 5 arcsin 1—2 5 0,34 rad 3 3

Per tant, l’equació del moviment és:

y (t) 5 0,08 sin (5 p t 1 0,34)

L’acceleració màxima és:

amàx 5 A v2 5 0,08 ? (5 p)2 5 0,08 m 5 8 cm

Aquesta acceleració es dóna en els punts extrems, és a dir, en les posicions següents:

y 5 A 5 0,08 m; y 5 2A 5 20,08 m

a) Si tenim en compte que la densitat de l’aire és d’1,29 kg/m3 i que la velocitat del so en aquest medi és de 340 m/s, quina amplitud té aquest so a aquesta distància?

Apliquem l’expressió de I per aïllar l’amplitud A1 a la distàn-cia r1 5 2 m:

r1 5 2 m

f 5 125 Hz

r 5 129 kg/m3

iuuuyuuut

I 5 2 p2 r v f 2 A2 →

v 5 340 m/ss

I1 5 5,2 ? 1022 W/m2

I1→ A1 5 ————— 5 2 p2 r v f 2

7 ? 1010

5 —————————— 5 1,96 ? 1025 m 2 p2 ? 1,29 ? 340 ? 1252

b) Amb quina amplitud i amb quina intensitat rebem aquest so si ens situem a 20 m de distància del focus?

A la distància r2 5 20 m del focus, A val:

A2 r1—— 5 —— → A1 r2

r1 2A2 5 A1 —— 5 1,96 ? 1025 ? —— 5 1,96 ? 1026 m r2 20

La intensitat I2 és:

l2 r 21—— 5 —— →

I1 r 22

r 21 22

I2 5 I1 —— 5 5,2 ? 1022 ? —— 5 5,2 ? 1024 W/m2

r 22 202

c) Quina energia emet l’altaveu en 2 minuts?

Per calcular l’energia emesa en 2 minuts, apliquem la defi ni-ció d’I, tenint en compte que, a 2 m del focus, la superfície és la d’una esfera, s1 5 4 p r

1

2:

El 5 ——— → E 5 I1 S1 D t → S D t

E 5 5,2 ? 1022 ? (4 ? p ? 22) ? (2 ? 60) 5 313,66 J

10. Determineu el nivell d’intensitat sonora a 5 m d’un altaveu sabent que la intensitat llindar, de valor 10212 W/m2, es dóna a una distància de 100 m.

A la distànci a r2 5 100 m la intensitat I2 val el valor llindar I0 5 10212 W/m2. Per tant, a la distància r1 5 5 m:

r2 5 100 m

I2 5 10212 W/m2

iuyutr1 5 5 m

dllllllllll

dlllllllllllllllllll

117FÍSICA 2 07

3. Una ona harmònica transversal es propaga per un medi material homogeni segons l’equació

y (x, t) 5 0,3 cos p (1,5 t 2 3 x)

expressada en unitats del SI. Determineu:

a) La velocitat de propagació de l’ona, la longitud d’ona i el període.

y 5 A cos (v t 2 k x)

vv 5 — k

→ 1,5 pv 5 ——— 5 0,5 m/s 3 p

2 pl 5 —— k

→ 2 pl 5 —— 5 0,67 m 3 p

2 pT 5 —— v

→ 2 pT 5 ——— 5 1,33 s 1,5 p

b) L’amplitud de l’oscil.lació d’una partícula del medi i la seva velocitat màxima en el moviment d’oscil.lació.

A 5 0,3 m

vmàx 5 A v → vmàx 5 1,4 m/s

c) L’acceleració, en el moviment d’oscil.lació, d’una partí-cula del medi que es troba en la posició x 5 0,25 m en l’instant t 5 1 s.

d2 ya (x, t) 5 ——— 5 2A v2 cos (v t 2 k x) d t2

a (0,25 m, 1 s) 5 4,71 m/s2

4. En les situacions següents s’han generat diversos tipus d’ones. Digueu com és l’ona generada i quin fenomen ondu-latori es produeix (expliqueu-ho detalladament).

a) Sobre la superfície en repòs de l’aigua continguda en un recipient deixem caure alhora dos objectes petits en punts propers.

Es generen ones circulars a la superfície d’un líquid. Com que s’han produït dos moviments ondulatoris que es propa-guen a la mateixa superfície, es produeixen fenòmens d’in-terferència: apareixen punts d’interferència constructiva, punts d’interferència destructiva i punts d’interferència par-cialment constructiva. Sota determinades condicions (per exemple, quan la distància entre els punts on cauen els objectes és un múltiple de la longitud d’ona) es poden ob-servar les línies nodals (conjunt de punts amb interferència constructiva) i les línies ventrals (punts d’interferència des-tructiva). Val a dir que aquestes dues ones pateixen dos ti-pus d’atenuació: a la superfície, ja que a mesura que ens allunyem dels focus (punts on han caigut els objectes), l’energia subministrada s’ha de repartir en fronts d’ona cada vegada més grans; en el temps, ja que a mesura que passa el temps, es va perdent l’energia subministrada degut al fregament que hi ha entre les molècules d’aigua superfi cials i les de l’interior.

c) L’energia potencial elàstica del cos quan el mòdul de la seva velocitat és 0,55 m/s i està baixant.

Calculem la fase quan la velocitat val 20,55 m/s (negati-va, perquè està baixant), per poder calcular després el valor de y:

v (t) 5 0,08 ? 5 p cos (5 p t1 1 0,34) 5 20,55 m/s

20,555 p t1 1 0,34 5 arccos 1————2 5 2,02 rad 1,26

y 5 y (t1) 5 0,08 sin (5 p t1 1 0,34) 5

5 0,08 ? sin (2,02) 5 0,07 m

Ara ja podem calcular l’energia potencial la posició en què v 5 20,55 m/s:

1 1Ep 5 — k y2 5 — ? 431,80 ? 0,072 5 1,06 J 2 2

2. En una cubeta d’ones es generen ones transversals planes de 10 cm d’amplitud. El generador fa 10 oscil.lacions cada 5 s. La vora de la cubeta es troba a 60 cm de distància, i les ones tarden 1 s a arribar-hi. Determineu:

a) L’equació de les ones generades en la superfície de la cubeta (en unitats del SI).

Les ones fan oscil.lar un tap de suro de 5 g que es troba a la cubeta, amb un moviment vibratori harmònic. Cal-culeu:

rad 10 oscv 5 2 p —— ? ———— 5 4 p rad/s osc 5 s

0,6 m vv 5 ——— 5 0,6 m/s → k 5 — 5 6,67 p m21

1 s v

A 5 0,1 m

y (x, t) 5 A sin (k x 2 v t) 5 0,1 sin p (6,67 x 2 4 t)

b) L’energia cinètica del suro quan la seva elongació és de 5 cm.

y 5 A sin w → 0,05 5 0,1 sin w → w 5 0,52 rad

d yv 5 —— 2 A v cos → v 5 21,09 m/s d t

1Ec 5 — m v2 → Ec 5 3,0 ? 1023 J 2

c) L’energia mecànica total del suro.

k 5 m v2

1 1Em 5 — k A2 5 — m v2 A2

2 2

Em 5 3,9 ? 1023 J


rem res perquè s’ha sobrepassat la intensitat llindar (míni-ma intensitat a la qual el so comença a ser audible).

e) Donem un crit i sentim l’eco produït en una paret rela-tivament llunyana.

S’ha produït una ona sonora, que es refl exa a la paret de manera que tornem a sentir el nostre propi so: l’ona canvia la seva direcció de propagació, però continua movent-se en el mateix medi (l’aire).

f) Colpegem un diapasó i sentim el seu so.

Es genera una vibració harmònica al diapasó, d’una freqüèn-cia que és la pròpia del diapasó, i que, al seu torn, genera una ona sonora en l’espai (esfèrica), també harmònica: el so produït és, en aquest cas, un so simple, ja que conté només un harmònic.

g) Sobre la superfície en repòs de l’aigua continguda en un recipient, situem un cos que fa de barrera, però que té una petita escletxa, i deixem caure un objecte a prop de l’escletxa.

Es genera una ona circular a la superfície del líquid; quan aquesta ona arriba a l’escletxa es produeix el fenomen de la difracció: l’ona canvia la seva direcció de propagació de manera que l’escletxa es comporta com un nou focus emis-sor d’ones circulars amb centre a l’escletxa.

b) El conductor d’un automòbil, que primer s’apropa cap a nosaltres i després s’allunya, fa sonar el seu clàxon d’una manera contínua.

Es genera una ona sonora en l’espai (esfèrica), que sentim a una determinada freqüència quan l’automòbil s’apropa. Te-nint en compte que la font emissora d’ones (automòbil) i l’observador (nosaltres) tenen moviment relatiu, es produ-eix l’efecte Doppler: quan ja ens ha sobrepassat sentirem el so a una freqüència més petita (so més greu) que quan s’apropa.

c) Toquem una corda de guitarra i sentim el seu so.

En aquesta situació es genera una ona en una corda i, com que aquesta està fi xada pels extrems, es produeix una ona estacionària: la corda vibra barrejant molts dels seus har-mònics i es produeix un so complex les característiques principals del qual són el to (freqüència de l’harmònic fona-mental) i el timbre (barreja dels diferents harmònics cadas-cun amb una amplitud determinada).

d) Sentim la música emesa per un altaveu en punts cada vegada més allunyats.

En aquest cas es genera una ona sonora en l’espai, que es va atenuant a mesura que ens allunyem de l’altaveu, ja que l’energia produïda a l’altaveu s’ha de repartir per superfícies cada vegada més grans: sentim la música cada vegada amb menys intensitat i si ens allunyem sufi cientment no senti-

119FÍSICA 2 08

L’experiment de Young de la doble escletxa mostra que la sepa-ració entre franges �x que es veu a la pantalla depèn de la lon- d�gitud d’ona: �x � ——, essent d la longitud que hi ha entre les aescletxes i la pantalla, i a la distància entre les escletxes. Per tant, i si recordem que la llum blanca conté totes les longituds d’ona corresponents a tots els colors, cada un d’aquests pateix una separació �x diferent. Així, observarem cada franja com una suma de tots els colors, tal com passa amb un prisma, que sepa-ra els colors de la llum blanca, o amb l’arc de sant Martí.

4. Per què les lleis de Maxwell semblen reforçar la idea de l’èter?

Les lleis de Maxwell prediuen que la velocitat de la llum en un medi determinat es pot determinar a partir de les propietats elèctriques i magnètiques del medi, i aquesta velocitat repre-senta la velocitat de la llum relativa al medi. Per tant, com que la velocitat de la llum en el buit també es pot calcular a partir de les propietats elèctriques i magnètiques del buit, en princi-pi, es pot suposar que el buit es comporta com un medi mate-rial, medi que ha de ser l’èter. Sota aquesta idea es trobava la concepció mecanicista que es tenia del món en l’època de Max-well, que feia veure les ones electromagnètiques com un cas particular d’ones mecàniques, les quals, recordem-ho, necessi-ten un medi material per a la seva propagació.

5. Quines condicions s’han de donar perquè es produeixi l’emis-sió d’ones electromagnètiques en un circuit? Com ha de ser el corrent en el circuit? Per què creieu que ha de ser així?

Les ones electromagnètiques són generades per càrregues elèc-triques accelerades i, per tant, aquesta és la condició que s’ha de donar per produir-les. Recordem que un corrent elèctric consis-teix en un moviment de càrregues (electrons en moviment). En principi, si podem disposar d’un circuit elèctric on les càrregues estiguin accelerades, podrem generar ones electromagnètiques. Això es pot aconseguir amb un corrent que sigui variable en el temps, com ara el corrent que proporciona un alternador, ja que es tracta d’un corrent oscil.lant en el qual les càrregues (elec-trons) estan accelerats. Depenent de la freqüència d’oscil.lació de les càrregues s’obté un tipus o un altre d’ones electromag-nètiques.

6. Un cos que veiem de color blau quan l’il.luminem amb llum blanca, quines longituds d’ona de l’espectre visible absor-beix i quines emet?

Emet les longituds d’ona corresponents a la franja del blau i absorbeix tota la resta.

7. La càrrega elèctrica és una magnitud que està quantitza-da en els mateixos «paquets», tots del mateix valor (pen-sem en els electrons, o en els protons). Passa el mateix amb l’energia irradiada per un cos en forma d’ona electro-magnètica?

Sí, l’energia irradiada en forma d’ones electromagnètiques està també quantitzada. És múltiple del quàntum corresponent, de valor h f, on h és la constant de Planck i f és la freqüència de les ones emeses.

j Unitat 8. Naturalesa de la llum

j Activitats

1. Quines objeccions van posar els defensors del model ondu-latori de la llum al model corpuscular?

Les objeccions són les següents:

• La llum consisteix en un feix de partícules que són emeses per la font, com és que aquesta no va perdent massa d’una manera apreciable?

• En la realitat observem que, quan dos raigs de llum es creuen, continuen la seva trajectòria rectilínia impertorbables; aquest fet experimental contradiu el model corpuscular, ja que si la llum estigués composta per partícules, moltes d’aquestes par-tícules haurien de xocar entre si en creuar-se els dos raigs i canviarien les seves trajectòries.

• El fenomen de la refl exió està associat moltes vegades al fe-nomen de la refracció; per tant, quina explicació donem al fet que alguns corpuscles rebotin elàsticament en la superfí-cie de separació, produint la refl exió, mentre que d’altres la traspassen i continuen movent-se en el segon medi donant un raig refractat?

• El fenomen de la refracció es pot explicar, en principi, amb el model corpuscular; en l'ob tenció de la llei d’Snell, però, s’arri-ba a una greu contradicció amb els fets experimentals, i es prediu que el raig refractat s’allunya de la normal quan pas-sem d’un medi menys dens a un altre més dens; això és exac-tament el contrari del que s’observa en la realitat.

2. Quines objeccions van posar els defensors del model cor-puscular de la llum al model ondulatori?

Les principals objeccions a la teoria ondulatòria van ser les següents:

• El so, a causa del fenomen de la difracció, pot creuar obsta-cles; en el cas de la llum, per contra, no s’observa aquest fe-nomen sinó que dibuixa ombres perfectament nítides.

• La propagació de la llum en forma d’ona a través dels medis materials és fàcilment explicable si s’admet que les partícu-les del medi vibren al pas del raig de llum; però, a través de quin medi material es propaga la llum que prové del Sol i de les estrelles?

3. La llum blanca del sol, és monocromàtica? Què vol dir aquest concepte? Si en un experiment com el de Young il.luminem les escletxes amb llum blanca, què observarem?

La llum del Sol no és monocromàtica. Per a comprovar-ho n’hi ha prou en fer passar un feix de llum solar a través d’un prisma de vidre i observar que es descompon en diferents colors.

El concepte de llum monocromàtica signifi ca llum d’una única freqüència; és a dir que no està formada per l’agrupació d’ones de diferents freqüències i longituds d’ona.


13. Entre dos punts A i B s’estableix una diferència de poten cial VA � VB � 120 V. Un electró està situat al punt B, inicial-ment en repòs. Determineu:

a) La velocitat amb què arriba al punt A.

W � qe � �V � 1,92 � 10217 J

1W � �Ec � — me v

2A � 0 → vA � 6,5 � 106 m/s

2

b) La longitud d’ona de De Broglie de l’electró, correspo-nent a la velocitat anterior.

h h� � — � ——— → � � 1,1 � 10210 m p me vA

Dades: h � 6,62 � 10�34 J�s; qe � �1,6 � 10�19 C;

me � 9,11 � 10�31 kg

14. En un microscopi electrònic s’aplica una diferència de po-tencial de 20 kV per tal d’accelerar els electrons. Quina longitud d’ona assoleix el feix d’electrons?

� � 8,67 � 10212 m

15. Un àtom d’hidrogen en repòs assoleix un estat excitat quan absorbeix un fotó d’energia 10,6 eV. Determineu: a) la lon-gitud d’ona del fotó incident i la zona de l’espectre a la qual pertany; b) La velocitat amb què retrocedeix l’àtom excitat; c) La longitud d’ona de De Broglie de l’àtom excitat.

a) � � 1,17 � 1027 m

b) v � 3,38 m/s

c) � � 1,17 � 1027 m

16. Hem mesurat l’interval d’incertesa de la velocitat d’una bala de fusell i d’un electró, i en ambdós casos hem obtingut el mateix valor de 5 � 10�3 m/s.

a) Quin és l’interval d’incertesa de la posició en ambdós ca-sos tenint en compte que la massa de la bala és de 12 g, mentre que la massa de l’electró és de 9,11 � 10�31 kg?

b) Atenent als valors obtinguts, quina conclusió podem extreure’n?

h h h�x �p � —— → �x � ———— � ————— 2 � 2 � �p 2 � m �v

Bala:

�v � 5 � 1023 m/s ; m � 12 g � 0,012 kg

6,62 � 10234

�x � —————————— � 1,76 � 10230 m 2 � � � 0,012 � 5 � 1023

Electró:

�v � 5 � 1023 m/s ; m � 9,11 � 10231 kg

6,62 � 10234

�x � ———————————— � 2,3 � 1022 m 2 � � � 9,11 � 10231 � 5 � 1023

8. Experimentalment, les corbes d’energia emesa per un cos negre tenen l’aspecte mostrat a la fi gura 8.17. Si augmenta la temperatura del cos negre, com es desplaça el màxim de la corba d’energia emesa?

En augmentar la temperatura, disminueix el valor de la longi-tud d’ona a la qual la intensitat d’energia emesa és màxima.

9. Calculeu el valor de la longitud d’ona d’un fotó d’energia 3 keV.

Dades: h � 6,62 � 10�34 J�s; c � 3 � 108 m/s;

1 eV � 1,609 � 10�19 J

c� � — f

E � h � f

ieyet

ch� � —— → � � 4,11 � 10210 m � 411 pm E

10. Calculeu l’energia i la longitud d’ona d’un fotó de 1 015 Hz de freqüència.

Dades: h � 6,625 � 10�34 J�s; c � 3 � 108 m/s

E � h � f � 6,625 � 10234 � 1 015 � 6,72 � 10231 J

c� � — � 2,96 � 105 m f

11. Calculeu l’energia cinètica màxima dels electrons emesos per una superfície metàl.lica quan hi incideixen fotons de longitud d’ona � � 2 � 10�7 m. L’energia mínima per allibe-rar els electrons (treball d’extracció) és W0 � 6,72 � 10�19 J.

Dades: h � 6,62 � 10�34 J�s; c � 3 � 108 m/s

L’energia cinètica de cada electró és igual a l’energia rebuda menys el treball d’extracció:

cT � E � W0 � h — � W0 � �

3 � 108

� 6,625 � 10�34 ———— � 6,72 � 10�19 � 2 � 10�7

� 3,22 � 10�19 J ø 2 eV

12. Un metall emet electrons quan se l’il.lumina amb llum ver-da, però no quan se l’il.lumina amb llum groga. Trieu la resposta correcta i justifi queu la vostra elecció.

a) Hi haurà efecte fotoelèctric quan s’il.lumini amb llum blava?

Sí que hi haurà efecte fotoelèctric perquè la llum blava té una freqüència superior a la llum verda.

b) Hi haurà efecte fotoelèctric quan s’il.lumini amb llum vermella?

No hi haurà efecte fotoelèctric perquè la llum vermella té una freqüència inferior a la llum groga.

121FÍSICA 2 08


h Qüestions

1. Enumereu els principals arguments clàssics en favor de la naturalesa corpuscular de la llum, i les contradiccions que plantegen.

Els principals arguments a favor del model corpuscular clàssic són:

• La trajectòria rectilínia de la llum té una fàcil explicació si s’admet que està formada per partícules que es mouen en lí-nia recta en totes direccions i a gran velocitat.

• El fet que les ombres formades pels objectes il.luminats si-guin, generalment, nítides s’explica fàcilment si suposem que els corpuscles que formen la llum segueixen una trajectòria rectilínia, de manera que, quan s’il.lumina l’objecte, alguns corpuscles hi reboten i altres continuen el seu camí rectilini tot «dibuixant» la forma de l’objecte.

• El camp gravitatori sembla no afectar la trajectòria rectilínia de la llum, que s’explica pel valor tant gran de la velocitat de la llum, que impedeix que s’alteri la trajectòria rectilínia de les partícules que formen la llum.

• La llei de la refl exió s’explica fàcilment com una conseqüèn-cia del xoc elàstic entre les partícules de la llum i la superfí-cie refl ectora.

Les contradiccions que plantegen aquests arguments són:

• Si la llum està formada per partícules, com és que les fonts emissores de llum no perden massa de manera apreciable en emetre les partícules de llum?

• Dos raigs de llum que es creuen no podrien seguir la seva trajectòria rectilínia, ja que les partícules xocarien entre sí i canviarien les seves trajectòries.

• La refracció no té explicació dins del model corpuscular quan va acompanyada de la refl exió, ja que no té sentit que algu-nes partícules de llum rebotin a la superfície de separació dels dos medis, i altres passin al segon medi. A més, en la deducció de la llei de la refracció, Newton va arribar a una conclusió que és justament la contrària de la que es dóna en la realitat.

2. Enumereu els principals arguments clàssics en favor de la naturalesa ondulatòria de la llum, i les contradiccions que plantegen.

Els principals arguments a favor de la teoria ondulatòria clàssi-ca són:

• Les lleis de la refl exió i de la refracció es demostren fàcil-ment a partir del principi de Huygens, que, recordem, s’apli-ca als moviments ondulatoris, en concordança amb el que s’observa en la realitat.

• Els colors que formen la llum blanca es poden interpretar fàcilment si s’admet que els diferents colors són ones amb longituds d’ona diferent.

17. a) Per a un electró a l’interior d’una caixa cúbica d’aresta a, quina és la mínima incertesa per a la seva velocitat?

b) Aquest electró pot estar exactament en repòs a l’interior de la caixa?

La incertesa màxima de la posició ve donada per les dimensions de la caixa. En una dimensió:

1Dx � �— a 2

Utilitzant el principi d’incertesa de Heisenberg podem calcular la mínima incertesa en la velocitat en aquest cas:

h � 6,63 � 10�34

me � 9,11 � 10�31

h 2,3 � 10�4

Dv � ——————— � ————— 2 � � � m � �x a

Un electró completament en repòs suposaria que Dv � 0 i, per tant, una incertesa en la posició infi nita. Això seria impossible 1perquè com sabem Dx � �— a 2

18. Si poguéssim observar el rellotge d’una nau espacial que viat-gés a una velocitat de 0,6 c, tindríem la impressió que s’alen-teix. Quan triga el rellotge de la nau a marcar un segon vist des del nostre sistema de referència?

Apliquem la transformació de Lorentz per al temps:

t 1t � ——————— � ————————— � v2 (0,6 c)2

1 � —— 1 � ———— c2 c2

1 � —————— � 1,25 s d 1 2 0,36

19. Quina és la massa d’un protó que és accelerat en un sincro-tró fi ns a assolir una energia de 25 MeV, si la seva massa en repòs és d’1,7 � 10�27 kg?

Apliquem l’expressió d’Einstein d’equivalència entre la massa i l’energia: 1,6 � 10219 JEc � 25 MeV � 2,5 � 107 eV � —————— � 4 � 10212 J 1 eV

m0 � 1,7 � 10227 kg

EcEc � m c2 � m0 c2 → m c2 � Ec m0 c

2 → m � —— m0 c2

4 � 10212

m � ————— 1,7 � 10227 � 1,74 � 10227 kg (3 � 108)2

dllllllll dlllllllllllll


5. Per què els espectres discontinus dels elements demostren la hipòtesis del quanta de llum? Expliqueu-lo detallada-ment.

Un element, en ser excitat (per exemple escalfant-lo) el que fa és absorbir energia i tornar a reemetre aquesta energia (espectre d’emissió). Si s’escalfa a una temperatura adequada, l’energia emesa és lluminosa, és a dir, emet ones electromagnètiques en la franja del visible. En principi, és d’esperar que en aquestes condicions emeti energia de manera contínua i amb totes les freqüències del visible, és a dir, que tots els colors estarien pre-sents en el seu espectre d’emissió. Però això no és el que passa en la realitat, sinó que sempre emet uns colors determinats i no hi són la resta de colors. Dit d’una altra manera, un element de-terminat emet radiacions electromagnètiques de manera discon-tínua, és a dir, sempre amb unes freqüències fi xes. Això sembla donar peu a la idea que, per a cada una de les freqüències que emet l’element, l’energia és emesa en forma de «paquets», tots de la mateixa freqüència. Planck va anomenar quàntum a cada un d’aquests paquets.

6. Quins fets experimentals fan que es torni a postular un model corpuscular per a la llum a principis del segle XX? Contradiu aquest model el caràcter ondulatori de la llum?

Els experiments que fan reprendre el model corpuscular de la llum a principis del segle XX són els estudis sobre la radiació d’un cos negre, els espectres d’emissió dels elements, i l’efecte fotoelèctric. En tots aquests fenòmens el que s’estudia és la interacció de la radiació electromagnètica amb la matèria, o, dit d’una altra manera, com té lloc l’absorció i la emissió de la radiació electromagnètica per la matèria. Tots ells s’expliquen admetent que la radiació, quan és absorbida o emesa, ho fa en forma de partícules que primer van ser anomenades quanta i, posteriorment, fotons. Aquest nou model per a la llum no entra en contradicció amb la seva naturalesa ondulatòria, ja que, quan la llum es propaga, continua mostrant el seu caràcter ondulatori.

7. La radiació electromagnètica, quan mostra el seu aspecte ondulatori? Quan mostra el seu aspecte corpuscular? Expli-queu-ho detalladament.

Com ja s’ha comentat a la qüestió anterior, la llum mostra el seu caràcter ondulatori quan es propaga, i així, en la seva pro-pagació pateix fenòmens de difracció d’interferència, de refl e-xió i refracció, de polarització, etc., com qualsevol ona. Per contra, mostra el seu caràcter corpuscular quan interacciona amb la matèria, i així, és absorbida i emesa per aquesta en forma de partícules (fotons).

8. En què consisteix l’efecte fotoelèctric? Quines aplica cions pràctiques té?

L’efecte fotoelèctric consisteix en l’emissió d’electrons de un material quan és il.luminat amb radiació electromagnètica.

Com aplicacions, entre d’altres, l’efecte fotoelèctric és la base en la producció d’energia elèctrica per radiació solar i de l’apro-fi tament de l’energia solar. També és utilitzat en diodes foto-sensibles (cèl.lules fotovoltaiques) i en electroscopis i electrò-metres.

• El fet que un raig de llum blanca es descompongui en els seus colors quan travessa un prisma és una conseqüència de la difracció i de la refracció que efectua el prisma sobre el raig de llum blanca.

• Dos raigs de llum que es creuen interfereixen en la zona de l’espai on coincideixen, però continuen impertorbables el seu camí una vegada han interferit, com passa amb la resta d’ones.

Les contradiccions d’aquest model són:

• Normalment no s’observen fenòmens de difracció ni d’inter-ferències amb la llum.

• La trajectòria rectilínia de la llum hauria de veure’s alterada sota determinades condicions a causa del fenomen de la di-fracció.

• Les ones necessiten un medi material per a la seva propaga-ció. Però si, com és de suposar, l’espai entre el Sol i la Terra és buit, com ens pot arribar la llum del Sol?

3. Quins problemes planteja per a la física clàssica la idea de l’èter? És correcte, aquest concepte? Expliqueu-ho detalla-dament.

La hipòtesi de l’èter va sorgir per explicar la propagació ondu-latòria de la llum a través de l’espai: l’èter havia de ser molt dens per permetre una propagació de les ones de llum a una gran velocitat, però alhora molt tènue per no difi cultar el mo-viment dels planetes i els astres. Aquestes dues propietats de l’èter són contradictòries, i, de fet, aquesta hipòtesi és errònia i es va abandonar a principis del segle XX.

4. Quin experiment confi rma el caràcter ondulatori de la llum? Efectueu un esquema i expliqueu-ho.

El caràcter ondulatori de la llum va quedar defi nitivament con-fi rmat amb l’experiment de Young que va fer palesos fenòmens d’interferència amb la llum sota determinades condicions i que va rebatre, per tant, un dels principals arguments en contra del model ondulatori de la llum. Una versió d’aquest experiment és l’anomenat experiment de la doble escletxa: es fa passar una raig de llum per una paret opaca on s’ha fet una petita esclet-xa; el raig prim que en resulta es fa passar per una segona pa-ret opaca on s’han fet fues escletxes i darrera de la qual hi ha una pantalla. Els raigs difractats produïts en aquestes dues es-cletxes interfereixen i donen una sèrie de franges clares i fos-ques alternatives a la pantalla. Això indica que s’han produït fenòmens d’interferència constructiva i d’interferència destruc-tiva, respectivament.

��

��

�

��

��

123FÍSICA 2 08

D. Si es duplica la longitud d’ona de la radiació incident, l’energia cinètica màxima:

a) Augmenta.

b) Disminueix.

c) No varia.

Aplicant el principi de conservació de l’energia i igualant el treball d’extracció a l’energia associada a la freqüència llindar obtenim, per a l’efecte fotoelèctric:

1h � f � — me � ve màx

2 h � f0 2

A. Per produir l’efecte fotoelèctric (ve � 0) la freqüència de la radiació incident (com observem en la fórmula) ha de ser més gran que f0. La resposta correcta és la a).

B. L’energia cinètica màxima no depèn de la intensitat de la radiació. La resposta correcta és la c).

C. Com veiem en la formula, augmenta. La resposta correcta és la a).

D. La longitud d’ona és una magnitud inversa a la freqüència, per tant, disminueix. La resposta correcta és la b).

12. Què és el treball d’extracció d’un metall? Com el podem mesurar? Expliqueu-lo amb cert detall.

El treball d’extracció d’un metall és la quantitat mínima d’ener-gia que un electró ha de vèncer per poder escapar de la super-fície del metall.

Abans del descobriment de l’efecte fotoelèctric, Edison havia descobert que escalfant un metall a temperatura molt alta s’alli-beraven electrons. El treball d’extracció es pot calcular mesurant l’energia (en aquest cas calorífi ca) aplicada al metall fi ns que comencen a alliberar-se els electrons.

13. A la fi gura 8.25 observem que la representació gràfi ca del potencial de frenada en funció de la freqüència de la radia-ció incident és una recta.

a) Què representa el pendent d’aquesta recta. Quin és el seu valor? hEl pendent d’aquesta recta és una constant �—� i experi- ementalment permet calcular la constant de Planck, ja que la carrega de l’electró, e, és una magnitud coneguda.

b) Quin és el punt de tall amb l’eix d’abcisses, i què repre-senta aquest punt?

El punt de tall amb l’eix d’abscisses és la freqüència llindar, és a dir, la freqüència mínima amb què hem d’il.luminar el càtode per que hi hagi emissió fotoelectrònica.

9. En alguns metalls l’efecte fotoelèctric només té lloc amb llum ultraviolada, mentre que en d’altres té lloc amb llum visible. A què és degut aquest fet?

L’efecte fotoelèctric té lloc en els metalls quan la freqüència de la radiació incident supera un cert valor llindar. Aquest valor està relacionat amb el treball d’extracció dels electrons del metall, i té un valor diferent per a cada metall. Per tant, aquells metalls que tinguin un treball d’extracció petit presen-ten l’efecte fotoelèctric a partir de freqüències que pertanyen a la franja de l’es pectre visible. Per contra, aquells metalls que tinguin un treball d’extracció gran no presentaran l’efecte foto-elèctric amb radiacions del visible, sinó només per a freqüèn-cies més grans, com per exemple, aquelles que corresponen a la franja de l’espectre corresponent a la radiació ultraviolada.

10. a) Expliqueu breument en què consisteix l’efecte fotoelèc-tric.

És l’emissió d’electrons que presenta un metall quan sobre ell incideix una radiació electromagnètica (fotons) de fre-qüència prou alta.

b) Suposeu que en irradiar un metall amb llum blava es produeix l’efecte fotoelèctric. Discutiu si també es pro-duirà quan irradiem el metall amb llum groga, sabent que la llum groga té una freqüència més baixa que la llum blava. Justifi queu la resposta.

Que hi hagi efecte fotoelèctric amb llum blava no garanteix que es produeixi també amb llum groga. L’energia E � h � f dels fotons d’aquesta última podria no ser sufi cient per produir l’efecte fotoelèctric.

11. En un experiment sobre l’efecte fotoelèctric s’ha il.luminat una placa feta d’un cert metall, de freqüència llindar f0, amb llum ultraviolada de determinada intensitat, i s’ha me-surat l’energia cinètica màxima dels electrons emesos. Tri-eu la resposta correcta.

A. Només es produeix l’efecte fotoelèctric si la freqüència de la radiació incident és, respecte de f0:

a) Més gran.

b) Més petita.

c) Sempre hi ha efecte fotoelèctric.

B. Si es duplica la intensitat de la radiació ultravio lada incident, l’energia cinètica màxima:

a) Augmenta.

b) Disminueix.

c) No varia.

C. Si es duplica la freqüència de la radiació incident, l’ener-gia cinètica màxima:

a) Augmenta.

b) Disminueix.

c) No varia.


hem de concloure que, si un fotó pogués romandre en repòs, hauria de tenir una massa no nul.la, ja que, en cas contrari, de l’expressió anterior es deduiria que la seva massa seria infi nita, en ser la velocitat del fotó igual a la velocitat de la llum: v � c.

19. Segons el model atòmic de Böhr, els electrons en un àtom ocupen òrbites discretes. És correcta aquesta afi rmació? D’acord amb la física quàntica, té sentit el concepte d’òrbi-ta per als electrons lligat a un àtom? Expliqueu-lo detalla-dament.

D’acord amb la mecànica quàntica, qualsevol partícula participa de la doble dualitat ona-corpuscle. Quan l’electró està lligat a un àtom, podem considerar que té associada una ona que, re-cordem-ho, representa una certa deslocalització del moviment. Per tant, l’electró no té una trajectòria perfectament defi nida, ja que no es comporta en rigor com un corpuscle; i hem de concloure que el concepte d’òrbita tal com l’entenem, no té sentit. En aquestes situacions se sol parlar d’orbital de l’electró, entenent-lo com aquella ona que acompanya l’electró i que està restringida a la regió de l’espai al voltant del nucli on hi ha una certa probabilitat que es trobi l’electró.

20. S’acceleren un electró i un protó fi ns que assoleixen la ma-teixa energia cinètica. Quina és la relació entre les seves longituds d’ona? Trieu la resposta correcta.

a) 43 b) 23 c) 53

1 2 EcEc � — m � v2 → v � —— 2 m

L’enunciat ens diu que electró i protó assoleixen la mateixa energia cinètica:

1 2 EcEc � — mp � vp2 → vp � ——

2 mp

1 2 EcEc � — me � ve2 → ve � ——

2 me

2 � Ec ——— vp mp me—— � ————— � —— ve 2 � Ec mp ——— me

D’altra banda, la hipòtesi de De Broglie, relaciona la longitud d’ona associada a una partícula amb la seva massa i la seva velocitat:

h�e � ——— me � ve

h�p � ——— mp � vp

�e mp � vp m p m e m p—— � ——— � —— � —— � —— � d 1 840 ø 43 �p me � ve m e m p m e

La resposta correcta és la a).

dllll

dllll

dllll

dlllllllll

dllll

dlllll dlllll

c) Quin és el punt de tall amb l’eix d’ordenades, i què re-presenta aquest punt?

El punt de tall amb l’eix d’ordenades representa el treball �W0d’extracció per unitat de càrrega �——�, en altres parau- eles, el treball d’extracció expressat en eV.

14. Per què en l’efecte fotoelèctric el corrent elèctric no és nul encara que ho sigui el potencial aplicat als elèctrodes?

Si l’energia dels fotons que incideixen sobre la superfíce del metall supera el treball d’extracció d’aquest metall, alguns elec-trons poden escapar-ne, arribar a la placa metàl.lica contrària i tancar el circuit, donant un valor no nul, encara que molt petit, de corrent elèctric.

15. Suposem que una superfície metàl.lica emet fotoelec trons quan s’il.lumina amb llum groga, però que no ho fa quan s’il.lumina amb llum taronja. Hi haurà efecte fotoelèctric en il.luminar la superfície amb llum verda? I amb llum ver-mella?

D’acord amb la taula 8.1 del llibre, podem ordenar els colors esmentats en ordre creixent de freqüències: vermell, taronja, groc i verd. Si l’efecte fotoelèctric té lloc en aquest metall amb llum groga, però no taronja, deduïm que la freqüència llindar es dóna pel color groc. Per tant, l’efecte fotoelèctric tindrà lloc amb llum verda, ja que aquesta té una freqüència més gran que la llum groga. Per contra, l’efecte fotoelèctric no tindrà lloc amb llum vermella, ja que aquesta té una freqüència més petita que la llum groga.

16. Quina o quines de les magnituds següents varien quan un fotó passa d’un medi a un altre: la freqüència, la longitud d’ona, la velocitat, l’energia? Justifi queu les respostes.

La freqüència no es modifi ca en variar de medi. Per tant, l’ener-gia que ve donada per E � h f tampoc varia.

En canvi la velocitat sí que varia. En conseqüència, la longitud vd’ona � � — també varia. f

17. Expliqueu breument un fenomen relacionat amb la llum que pugui ser explicat satisfactòriament amb la teoria corpus-cular de la llum però no segons la teoria ondulatòria.

Per exemple, l’efecte fotoelèctric que consisteix en l’emissió d’electrons per part d’un metall quan hi incideix llum amb una determinada freqüència. L’existència d’una freqüència llindar, característica de cada metall, a partir de la qual s’observa aquest efecte, no es pot explicar amb la teoria ondulatòria de la llum.

18. Quin signifi cat té la frase «els fotons són partícules de mas-sa en repòs nul.la»?

Aquesta afi rmació no vol dir que els fotons no tinguin massa, simplement vol dir que el fotó no pot estar mai en repòs i sem-pre es mou a la velocitat de la llum c. Tenint en compte l’ex- m0pressió de la massa en funció de la velocitat, m � ——————, v2

1 � —— c2dllllllll

125FÍSICA 2 08

Per tant, si partim de l’expressió que estableix el principi d’in- �pcertesa i multipliquem, i dividim pel terme —— per fer aparèi- 2 mxer el terme �E, tenim que:

h �p 2 m h�x �p � —— → �x �p —— � —— � —— → 2 � 2 m �p 2 �

�p2 2 m �x h �p2 �x h→ —— � ———— � —— → —— � ——— � —— → 2 m �p 2 � 2 m �p 2 � —— 2 m

�x h h→ �E � —— � —— → �E �t � —— �v 2 � 2 �

Per tant, deduïm que les magnituds energia i temps també ve-rifi quen el principi d’incertesa.

23. En quin sentit diem que la física moderna no és mecanicis-ta, mentre que la física clàssica sí que ho és? En quin sentit diem que la física clàssica és determinista, mentre que la física moderna no ho és?

La física moderna no és mecanicista en el sentit que les lleis de la mecànica de Newton no són aplicables a les situacions que estudia, com, per exemple, les partícules elementals com l’electró i els protons. En canvi, la física clàssica sí que és me-canicista, ja que es basa en les lleis de Newton i només s’aplica a escala macroscòpica, encara que no sempre. La física clàssica és determinista en el sentit que el moviment de qualsevol cos es pot estudiar sempre descrivint-lo en termes d’una trajec-tòria perfectament defi nida que permet determinar exactament la posició del cos en tot moment. En canvi, i admetent que qualsevol cos presenta una dualitat ona-corpuscle, la física moderna no permet determinar amb total exactitud la posició d’un cos, ja que l’ona associada al cos introdueix una certa deslozalització de la posició; aquesta propietat de la matèria queda refl ectida en el principi d’incertesa de Heisenberg, però només es fa patent a escala microscòpica.

24. Per què segons la teoria de la relativitat el temps no és absolut, sinó que depèn del sistema de referència? Quines conseqüències té aquest fet?

Segons la teoria de la relativitat, el temps no és una magnitud absoluta. Això vol dir que l’interval de temps que hi ha entre dos successos determinats té una durada diferent quan s’obser-va des de diversos sistemes de referència que estiguin en mo-viment relatiu.

Aquest fet és una conseqüència del segon postulat de la relati-vitat restringida, que afi rma que tot observador mesura el ma-teix valor de la velocitat de la llum. Recordem que la noció que teniu de temps, i que es posa en evidència amb la manera en què el mesurem, ve donada per la durada d’algun esdeveniment determinat (per exemple, pel període d’oscil.lació d’un pèndol, com ho fa un rellotge clàssic, o d’un cristall de quars, com ho fa un rellotge digital). La invariança de la velocitat de la llum ens porta a concloure que el temps no pot ser considerat com a invariant i absolut, sinó que, tal com també passa amb les me-sures de les coordenades espacials, depèn del sistema de refe-rència.

21. Les partícules � són nuclis d’heli i, per tant, consisteixen en una partícula formada per dos protons i dos neutrons; supo-seu que una d’aquestes partícules s’accelera, juntament amb un protó, a través de la mateixa diferència de poten-cial. Quina és la relació entre les seves longituds d’ona?

Anomenem mp la massa del protó p1. Recordem que el neutró té aproximadament la mateixa massa que el protó i que una partí-cula consisteix en una partícula formada per dos protons i dos neutrons. Per tant, la massa m

a d’una partícula és m

a � 4 mp,

mentre que la càrrega d’un protó és e i la d’una partícula és 2 e, ja que el neutró no té càrrega. Si ambdues partícules s’acce-leren a través de la mateixa diferència de potencial V, que supo-sem constant, podem establir, aplicant el principi de conserva-ció de l’energia:

1 2 eVp1: eV � — mp v

2p → vp � ———

2 mp

1 1 : 2 eV � — m

a v2

a � — 4 mp v

2a � 2 mp v

2a →

2 2

eVv

a � ——

mp

Per calcular la relació entre les longituds d’ona d’ambdues par-tícules, recordem primer la relació entre aquesta magnitud i la hvelocitat, � � ——. Així, podem establir: m v

h h h�p � ——— � ———————— � —————— mp vp 2 eV eV mp ——— —— mp mp

h h h�

a � ——— � ———————— � ——————

iuuuuyu

→

uuut

ma v

a eV eV

4 mp —— 4 —— mp mp

h —————— 2 eV ——— �p mp �p 4 �p—— � ———————— → —— � —— → —— � 2 d 2 �

a h �

a d 2 �

a —————— eV 4 —— mp

22. Escriviu el principi d’incertesa per a les magnituds conju-gades x, p, i demostreu, multiplicant i dividint pel terme

�p ——, que les magnituds conjugades E, t també el verifi quen. 2 m

En primer lloc, fi xem-nos que l’energia cinètica es pot expres-sar en funció de la quantitat de moviment:

1 1 m2 v2 1 p2 p2 �p2

E � — m v2 � — ——— � — —— � —— → �E � —— 2 2 m 2 m 2 m 2 m

dllllll

dlllll

dlllllll dlllll

dlllll dlllll

dlllllll

dlllll


h Problemes

1. En un experiment com el de Young s’il.luminen les escletxes amb llum monocromàtica de longitud d’ona 4,95 � 10�7 m. Si situem la pantalla a 1,5 m de les escletxes, que estan sepa-rades per una distància de 0,2 mm, quina separació entre franges observarem?

� � 4,95 � 1027 m

d � 1,5 m

a � 0,2 mm � 2 � 1024 m

iuyut

Apliquem l’expressió corresponent:

d � 1,5 � 4,95 � 1027

�x � —— � ———————— � 3,71 � 1023 m � 3,71 mm a 2 � 1024

2. Efectuem un experiment similar al de Young per determinar la longitud d’ona de la radiació ultraviolada que emet un determinat gas quan s’excita amb un corrent elèctric. La pantalla consisteix en una placa fotogràfi ca, que és impres-sionada per la radiació ultraviolada emesa pel gas; una ve-gada revelada, s’observa que la separació entre franges és de 3 mm. Si la separació entre les escletxes és de 0,25 mm i la pantalla hi està situada a 2,2 m, quina és la longitud d’ona de la radiació?

�x � 3 mm � 3 � 1023 m

a � 0,25 mm � 2,5 � 1024 m

iuyutd � 2,2 m

d �Apliquem l’expressió �x � —— i aïllem �: a d ��x � —— → a

�x a 3 � 1023 � 2,5 � 1024

� � ——— � ————————— � 3,41 � 1027 m d 2,2

3. S’il.lumina una xarxa de difracció de 1 500 ratlles/mm, amb llum blanca, i s’observa el patró d’interferències correspo-nent a 90 cm de la xarxa.

A. La separació entre màxims d’interferència és de:

a) 0,56 m

b) 1,52 m

c) 0,74 m

La resposta correcta és la c).

B. La separació entre un màxim per al color groc (� � 575 nm) i el següent màxim consecutiu del color blau (� � 475 nm) és de:

a) 0,51 m

b) 0,65 m

c) 0,82 m


25. Quines magnituds són absolutes en la dinàmica de Newton?

En la dinàmica de Newton (dinàmica clàssica) les magnituds que són absolutes són el temps i la massa; així, la dinàmica clàssica considera que el temps és el mateix a tot l’Univers, és a dir, per a tots els observadors. La massa també és un concepte absolut en la dinàmica clàssica, ja que qualsevol cos sempre té la mateixa massa independentment de l’observador. Aquestes magnituds deixen de ser absolutes per a la física moderna.

26. Què passa amb la massa d’una partícula quan n’augmenta l’energia cinètica?

Si augmentem l’energia cinètica d’una partícula vol dir que augmenta la seva velocitat, i, d’acord amb la física moderna, la seva massa també ha d’augmentar. Recordem que aquest aug-ment només es fa palès per a velocitats properes a la de la llum, i només s’ha observat treballant amb partícules elemen-tals que han estat accelerades fi ns a velocitats properes a la de la llum. A la nostra vida quotidiana aquest augment passa desapercebut perquè les velocitats implicades són molt més petites que la de la llum, i podem aplicar la dinàmica newto-niana.

27. Proposa un argument que demostri que és impossible acce-lerar un objecte de massa m a la velocitat de la llum, encara que hi actuï contínuament una força a sobre.

Si considerem l’expressió d’augment de la massa amb la veloci-tat proposada per Einstein, veiem que si un cos pogués anar a la velocitat de la llum tindria una massa infi nita, ja que, en aquest cas, el denominador d’aquesta expressió s’anul.la i dóna un valor infi nit per a la massa. Deduïm, per tant, que és impos-sible que un cos vagi a la velocitat de la llum, sempre ha d’anar a una velocitat inferior; només els fotons van a aquesta velo-citat.

Un argument intuïtiu que demostra aquest fet és el següent: suposem que fem contínuament una força sobre un cos; d’acord amb la segona llei de Newton (F � m a), el cos s’accelera, és a dir, va augmentant la seva velocitat i, per tant, el que estem fent és augmentar la seva energia cinètica. Donat que, d’acord amb la física moderna, l’energia és una de les formes en què es pot presentar la massa, deduïm que la massa del cos va aug-mentant a mesura que augmenta la seva energia cinètica. És a dir, com més velocitat tingui el cos, més massa tindrà, i, per tant, d’acord amb la segona llei de Newton, cada vegada serà més petita l’acceleració que podrà assolir el cos amb la força efectuada, és a dir, més costarà accelerar-lo fent aques-ta força.

Així doncs, l’acceleració del cos va tendint a zero a mesura que augmenta la seva velocitat, de manera que arribarà un moment en què la massa ja haurà assolit un valor tant gran que l’acce-leració que pot aconseguir el cos és insignifi cant i ja no el po-drà fer augmentar de velocitat de manera signifi cativa. Deduïm que, en tendir l’acceleració a zero, la velocitat tendeix a un valor límit que no pot ser sobrepassat, ni tant sols assolit. Aquest valor límit de la velocitat és, precisament, la velocitat de la llum.

127FÍSICA 2 08

6. Les característiques d’un làser comercial d’infrarojos ens indiquen que pot donar una potència màxima del feix làser de 250 mW amb una longitud d’ona de 1 060 nm. Determi-neu la quantitat de moviment i l’energia de cada fotó del feix, i el nombre de fotons que dóna en mitja hora.

p � 6,25 � 10228 N�s

E � 1,15 eV

2,4 � 1021 fotons

7. La superfície d’un metall sotmès a una temperatura alta emet radiació electromagnètica de diverses freqüències, la màxima de les quals és de 7,5 � 1014 Hz. Trieu la resposta correcta.

A. A quina franja de l’espectre pertany aquesta radiació?

a) Visible, color blau.

b) Ultraviolat.

c) Microones.

Com que la freqüència màxima és de 7,5 � 1014, és radiació visible, color blau. Les freqüències superiors a aquesta ja formen part de la radiació ultraviolada. La resposta correcta és la a).

B. Quina és la longitud d’ona d’aquesta radiació?

a) 2 � 107 m

b) 4 � 107 m

c) 8 � 107 m

c 3 � 108

� � — � ————— � 4 � 10�7

f 7,5 � 1014


C. Quina potència emet si suposem que desprèn 2 � 1020 fo-tons cada hora tots amb la mateixa freqüència?

a) 27,58 �W

b) 27,58 W

c) 27,58 mW

E � h � f � 6,63 � 10�34 � 7,5 � 1014 � 4,9 � 10�19 J (un fotó).

fotons fotons 1 hora2 � 1020 ———— � 2 � 1020 ———— � ———— � h 1 hora 3 600 s

� 5,56 � 1016 fotons/s

Multiplicant el nombre de fotons per segon per la quantitat d’energia de cada fotó, expressada en Joules, obtindrem la potencia en watts:

5,56 � 1019 � 4,97 � 10�19 � 0,02758 W � 27,58 mW


C. La separació entre un màxim per al color taronja (� � 610 nm) i el següent mínim consecutiu del color violeta (� � 410 nm) és de:

a) 0,32 m

b) 0,56 m

c) 1,03 m


4. El radar d’un aeroport funciona a una freqüència central de 10 500 GHz. Si la potència mitjana del radar és de 15 kW, quants fotons emet en un minut? Quina quantitat de movi-ment té cada fotó?

Emet 1,29 � 1026 fotons/min

p � 2,32 � 10229 N�s

5. Es defineix el potencial d’ionització d’un element com l’energia que ha d’absorbir l’electró de l’últim nivell d’un àtom de l’element per escapar-ne. Calculeu quina ha de ser la freqüència i la longitud d’ona dels fotons que poden ionitzar els elements següents:

Expressem les energies en J i apliquem l’expressió de Planck.

a) Rubidi, de potencial d’ionització 4,18 eV.

1,6 � 10219 JE1 � 4,18 eV � ——————— � 6,688 � 10219 J 1 eV

E 6,688 � 10219

E � h f → f1 � — � ——————— � 1,01 � 1015 Hz h 6,62 � 10234

c 3 � 108

� � — → �1 � ————— � 2,97 � 1027 m f 1,01 � 1015

b) Fluor, de potencial d’ionització 17,42 eV.

1,6 � 10219 JE2 � 17,42 eV � —————— � 2,787 � 10218 J 1 eV

2,787 � 10218

f2 � ——————— � 4,21 � 1015 Hz 6,62 � 10234

3 � 108

�2 � —————— � 7,13 � 1028 m 4,21 � 1015

c) Carboni, de potencial d’ionització 11,26 eV.

1,6 � 10219 JE3 � 11,26 eV � ——————— � 1,8016 � 10218 J 1 eV

1,8016 � 10218

f3 � ——————— � 2,72 � 1015 Hz 6,62 � 10234

3 � 108

�3 � ————— � 1,10 � 1027 m 2,72 � 1015


9. En un tub de descàrrega cal aplicar una tensió inversa de 3,5 V per anul.lar el corrent elèctric quan s’il.lumina amb llum blava de longitud d’ona 470 nm. Determineu la màxi-ma longitud d’ona a la qual deixa d’haver-hi emissió de fo-toelectrons.

� � 8,81 �m

10. El treball d’extracció per al sodi és de 2,5 eV. Calculeu la freqüència llindar i la longitud d’ona corresponent.

1,6 � 10214 JW0 � 2,5 eV � —————— � 4 � 10219 J 1 eV

W0 4 � 10219

W0 � hf0 → f0 � —— � —————— � 6,04 � 1014 Hz h 6,62 � 10234

c 3 � 108

�0 � —— → �0 � ————— � 4,97 � 1027 m f0 6,04 � 1014

11. En una cèl.lula fotoelèctrica il.luminem el càtode amb llum verda, de longitud d’ona 5 500 Å, i s’origina un corrent elèc-tric. Calculeu el treball d’extracció de l’electró i la seva velocitat màxima, sabent que el corrent es deté quan el potencial invers és de 0,95 V, i que la massa de l’electró és de 9,11 � 10231 kg.

En primer lloc determinem la velocitat màxima v:

V0 � 0,95 V → Ec � eV0 � 1,6 � 10219 � 0,95 � 1,52 � 10219 J

1Com que me � 9,11 � 10231 kg → Ec � — m v0

2 → 2

2 Ecv � ——— → m

2 � 1,52 � 10219

v � ———————— � 5,78 � 105 m/s 9,11 � 10231

10210

D’altra banda, � � 5 500 Å � ——— � 5,5 � 1027 m, i 1 Å

W0 � h f0 c W0 � h f � Ec � h — � Ec →h f � h f0 � Ec

iyt �

3 � 108

W0 � 6,62 � 10234 � ————— � 1,52 � 10219 � 2,09 � 10219 J 5,5 � 1027

12. S’il.lumina una làmina de plata, de freqüència llindar 1,14 � 1015 Hz, amb llum ultraviolada de longitud d’ona 190 nm. Trieu la resposta correcta:

A. La màxima longitud d’ona perquè es produeixi efecte fotoelèctric a la plata és:

a) 156 nm

b) 263 nm

c) 326 nm

c 3 � 108

� � — � ————— � 263 nm f 1,14 � 1015


dllllll

dlllllllllllllll

D. La quantitat de moviment d’un fotó d’aquesta freqüèn-cia és:

a) 1,66 � 10227 N�s

b) 2,34 � 10227 N�s

c) 5,89 � 10227 N�s

ELa quantitat de moviment d’un fotó és: p � — c 4,97 � 10�19

p � —————— � 1,66 � 10�27 N�s 3 � 108


E. Quants fotons emet en 15 minuts si la potència emesa disminueix a la tercera part?

a) 0,75 � 1019

b) 1,25 � 1019

c) 2,50 � 1019

La potència disminueix una tercera part:

0,02758————— � 9,19 � 10�3 J/s (W) 3

Dividint per l’energia de cada fotó (apartat c)) obtindrem el nombre de fotons emesos en 1 segon:

9,19 � 10�3

—————— � 1,85 � 1016 fotons/s 4,97 � 10�19

Multiplicant per 900 s (15 minuts) obtenim el nombre de fotons en un quart d’hora:

1,85 � 1016 (fotons/s) � 900 s � 1,66 � 1019 fotons

8. L’efecte fotoelèctric amb llum groga, � � 5900 Å, deixa de tenir lloc quan la tensió del generador val �1,5 V. Calculeu:

a) L’energia cinètica màxima dels fotoelectrons.

V0 � 1,5 V → Ec � e V0 � 1,6 � 10219 � 1,5 � 2,4 � 10219 J �

� 1,5 eV

b) La freqüència llindar.

Ec c Ech f � h f0 � Ec → f0 � f � —— → f0 � — � —— h � h

Com que � � 5 900 Å � 5,9 � 1027 m, tenim:

3 � 108 2,4 � 10219

f0 � ————— � —————— � 1,46 � 1014 Hz 5,9 � 1027 6,62 � 10234

c) El treball d’extracció.

W0 � h f0 → W0 � 6,62 � 10234 � 1,46 � 1014 �

� 9,66 � 10220 J � 0,6 eV

129FÍSICA 2 08

Amb l’expressió de Planck, E1 � h f, calculem el nombre de fotons n tenint en compte que l’energia del conjunt ha de ser ET: c E �E � n E1 → E � n h f � n h — → n � —— → � h c

5 � 1023 � 5,97 � 1027

n � —————————— � 1,50 � 1016 fotons 6,62 � 10234 � 3 � 108

b) La velocitat màxima dels fotoelectrons.

W0 � 2 eV � 3,2 � 10219 J

cEc � h f � W0 � h — � W0 �

3 � 108

Ec � 6,62 � 10234 � ————— � 3,2 � 10219 � 1,27 � 10220 J 5,97 � 1027

1 2 Ec 2 � 1,27 � 10220

Ec � — m v2 → v � ——— � ———————— � 2 m 9,11 � 10231

� 1,67 � 105 m/s

14. La superfície d’un metall ha estat il.luminada amb llum de longituds d’ona diferents, i s’han mesurat els potencials de frenada corresponents. Els resultats obtinguts han estat els següents:

l (1027 m) 3,71 4,21 4,80 5,16 5,54

V0 (V) 1,43 1,03 0,66 0,49 0,34

Representeu gràfi cament els potencials de frenada en front de les freqüències i calculeu:

En primer lloc, calculem les freqüències f corresponents a cada clongitud d’ona: f � —. �

3 � 108

�1 � 3,71 � 1027 → f1 � ————— � 8,09 � 1014 Hz 3,71 � 1027

3 � 108

�2 � 4,21 � 1027 → f2 � ————— � 7,1 � 1014 Hz 4,21 � 1027

3 � 108

�3 � 4,80 � 1027 → f3 � ————— � 6,25 � 1014 Hz 4,80 � 1027

3 � 108

�4 � 5,16 � 1027 → f4 � ————— � 5,81 � 1014 Hz 5,16 � 1027

3 � 108

�5 � 5,54 � 1027 → f5 � ————— � 5,42 � 1014 Hz 5,54 � 1027

dlllll dlllllllllllllll

B. El treball d’extracció val:

a) 6,53 eV

b) 4,72 eV

c) 1,82 eV

W0 � h � f0 � 6,63 � 10�34 � 1,14 � 1015 �

� 7,59 � 10�19 J � (1 eV/1,6 � 10�19 J) � 4,72 eV


C. L’energia cinètica màxima amb què surten els electrons emesos és:

a) 6,53 eV

b) 4,72 eV

c) 1,82 eV

L’energia cinètica dels electrons és la diferència entre l’energia proporcionada pels fotons i el treball d’extracció (4,72 eV):

c 3 � 108

E � h � f � h � — � 6,63 � 10�34 � ————— � � 190 � 10�9

� 1,05 � 10�18 J � 6,54 eV

Per tant:

6,54 eV � 4,72 eV � 1,82 eV


D. El potencial invers de frenada val:

a) 6,53 V

b) 4,72 V

c) 1,82 V

El potencial de frenada correspon numèricament a l’energia cinètica màxima en eV (1,82 V).


13. El feix d’un làser de 5 mW s’utilitza per produir efecte foto-elèctric en un elèctrode de potassi, metall que té una ener-gia d’extracció de 2 eV. Si el làser emet ra diació amb una longitud d’ona de 5 970 Å, calculeu:

Expressem les dades en unitats del SI:

p � 5 mW � 5 � 1023 W

� � 5 970 Å � 5,97 � 1027 m

a) El nombre de fotons que emet el làser en un segon.

Calculeu l’energia total emesa pel làser en 1 s:

�t � 1 s E � P �t � 5 � 1023 � 1 � 5 � 1023 JP � 5 � 1023 W

iyt


b) La bala d’un fusell, de 15 g de massa, quan surt d’aquest a una velocitat de 250 m/s.

m � 15 g � 0,015 kg

v � 250 m/s

ieyet

h 6,62 � 10234

� � —— � —————— � 1,76 � 10234 m m v 0,015 � 250

c) Un electró que es mou a una velocitat de 0,5 c.

m � 9,11 � 10231 kg

v � 0,5

ieyet

h 6,62 � 10234

� � —— � ———————————— � 4,84 � 10212 m m v 9,11 � 10231 � 0,5 � 3 � 108

Podem concloure que les longituds d’ona de les ones asso-ciades són molt petites. La més gran correspon a l’electró i és de l’ordre de l’àngstrom, per això s’utilitzen per a l’es-tudi de xarxes cristal.logràfi ques, ja que la separació entre àtoms és ø 10�10 m.

16. Podem considerar que la velocitat mitjana dels electrons que es mouen per dintre d’un conductor metàl.lic val apro-ximadament 10�4 m/s, encara que aquest valor depengui de la intensitat de corrent i del tipus de conductor. Quina lon-gitud d’ona tenen els electrons a aquesta velocitat?

v � 1024 m/s

m � 9,11 � 10231 kg

iyt

h 6,62 � 10234

� � —— � ————————— � 7,27 m m v 9,11 � 10231 � 1024

17. En un experiment de difracció amb electrons es bombardeja amb aquestes partícules una mostra d’una substància pura. Si la distància mitjana entre els àtoms de la xarxa cristal-lina de la substància és de 150 pm, amb quina diferència de potencial cal accelerar els electrons per tal que la seva lon-gitud d’ona tingui unes dimensions comparables a la sepa-ració entre àtoms?

�V � 67 V

18. Un protó i un petit cos esfèric de massa 5 g i càrrega 250 nC són accelerats a través de la mateixa diferència de poten-cial de 500 V. Determineu la longitud d’ona aquests dos cossos i justifi queu en quin cas es fa patent el comporta-ment ondulatori.

�1 � 1,28 � 10212 m

�2 � 5,92 � 10231 m

A continuació, representem v0 en front de f :

a) La freqüència llindar.

La freqüència llindar f0 és el punt de tall de la recta ante rior amb l’eix X (eix de les f ). Del gràfi c anterior, deduïm que f0 � 4,65 � 1014 Hz.

b) L’energia mínima necessària per arrencar un electró.

E0 � h f0 � 6,62 � 10234 � 4,65 � 1014 � 3,0783 � 10219 �

� 1,924 eV

c) El quocient h/e. hEl pendent de la recta és el terme —, que calculat sobre la egràfi ca dóna un valor de:

h— � 4,08 � 10215 J � s/C e

15. Calculeu la longitud d’ona associada als cossos en movi-ment següents. Atenent als resultats que s’obtenen, quina conclusió podem extreure’n?

Apliquem en tots els casos l’expressió de De Broglie.

a) Un automòbil de 300 kg de massa que va a una velocitat de 120 km/h.

m � 300 kg

v � 126 km/h � 35 m/s

iyt

h 6,62 � 10234

� � —— � —————— � 6,31 � 10238 m m v 300 � 35

131FÍSICA 2 08

20. Els fotons d’una de les radiacions electromagnètiques eme-ses pels àtoms d’hidrogen quan es desexciten, tenen una energia de 12,73 eV. Determineu:

a) La quantitat de moviment i la longitud d’ona d’un d’aquests fotons emesos. Pertanyen a la franja del visible?

ELa quantitat de moviment: p � — c

E � 12,73 eV � 12,73 eV � (1,6 � 10�19 J/eV) � 2,04 � 10�18 J

2,04 � 10�18 Jp � ——————— � 6,8 � 10�27 kg�m/s � 6,8 � 10�27 N�s 3 � 108 m/s

hLa longitud d’ona: � � — � 98 � 10�9 m � 98 nm p

No pertany a la radiació visible, ja que aquesta correspon a longituds d’ona entre 4 � 102 nanòmetres i 7,8 � 102 nanòme-tres. És radiació ultraviolada.

b) La quantitat de moviment i la velocitat amb què retro-cedeix un àtom excitat en repòs que emet un d’aquests fotons.

Com que l’àtom excitat està en repòs per a que es conservi la quantitat de moviment, la quantitat de moviment de l’àtom serà igual en mòdul a la del fotó emès:

ph � 6,8 � 10�27 kg�m/s � 6,8 � 10�27 N�s

D’altra banda, la massa de l’àtom d’hidrogen és:

mh � 1,7 � 10�27 kg

Com que p � m � v, la velocitat de retrocés serà: vh � 4 m/s.

c) La longitud d’ona de De Broglie de l’àtom desexcitat.

h�h � ——— � 97 nm � 9,74 � 10�8 m mh � vh

21. Un electró és a l’interior d’una esfera buida de radi 2 cm. Si no es coneix la seva posició exacta:

R � �x � 2 cm � 2 � 1022 m

a) Quina és la mínima incertesa en la seva velocitat?

h h h�x �p � —— → �x m �v � —— → �v � ————— 2 � 2 � 2 � m �x

6,62 � 10234

�v � ————————————— � 5,78 � 1023 m/s 2 � � � 9,11 � 10231 � 2 � 1022

b) Quina és la mínima incertesa en la seva energia si la incertesa en l’interval de temps és de 3 ms?

�t � 3 m/s � 3 � 1023 s

h h 6,62 � 10234

�E �t � —— → �E � ———— � ——————— � 2 � 2 � �t 2 � � � 3 � 1023

� 3,51 � 10232 J

19. Es mesura una longitud d’ona per a una partícula � de 0,55 pm. Trieu la resposta correcta.

A. L’energia cinètica de la partícula és:

a) 68 eV

b) 6,8 eV

c) 0,68 keV

B. La velocitat de la partícula val:

a) 1,80 � 105 m/s

b) 1,80 � 103 m/s

c) 1,80 m/s

C. La tensió que l’ha accelerat és:

a) 189 V

b) 45 V

c) 338 V

Primer calcularem la velocitat, seguint la fórmula de De Broglie

h h�

� ———— → v

� ————

m � v

m

� v

Les dades son:

Ec � 2,04 � 10�18 J

�α � 0,55 � 10�12 m

mα � 6,65 � 10�27 kg

h � 6,63 � 10�34

Per tant:

vα � 1,80 � 105 m/s

D’altra banda:

1Ec � — m � v2

2

En el nostre cas, substituint les dades anteriors:

1 eVEc � 1,08 � 10�20 J � —————— � 680 eV � 0,68 keV 1,6 � 10�19 J

Per calcular el potencial de frenada utilitzarem l’expressió:

q � V � Ec

Com la càrrega de la partícula alfa és 2:

Ec V � —— � 340 V 2

Per tant:

A. La resposta correcta és la c).

B. La resposta correcta és la a).

C. La resposta correcta és la c).


Per tant:

t 3t � ——————— → 8 � ——————— → v2 v2

1 � —— 1 � —— c2 c2

v2 3→ 1 � —— � — → c2 8

v2 3 v2 3→ 1 � —— � �—�

2

→ —— � 1 � �—�2

→ c2 8 c2 8

9v2 � c2 �1 � ——� → v � 0,927 c 64

25. Una nau espacial, de longitud pròpia 25 m, passa ràpida-ment per sobre d’una estació espacial en òrbita al voltant de la Terra. Si considerem l’estació en repòs i la nau passa a una velocitat de 0,45 c respecte d’aquesta, quina longitud mesura un astronauta que és a dins de l’estació?

Apliquem l’expressió de Lorentz per a la contracció de la lon-gitud:

l0 � 25 m (longitud pròpia)

v � 0,45 c

iyt

v2 (0,45 c)2

l � l0 1 � —— � 25 � 1 � ———— � 22,32 m c2 c2

26. Un protó en repòs es desintegra amb un antiprotó i donen lloc a dos fotons idèntics. Determineu les energies dels fo-tons i les seves freqüències i longituds d’ona tenint en comp-te que tota la massa de les partícules inicials es converteix en energia.

Dada: la massa del protó és igual que la de l’antiprotó, de valor 1,67 � 10227 kg.

Tota la massa de les dues partícules inicials, 2 m, es converteix íntegrament en energia dels 2 fotons. Per tant, com que aquests són idèntics, tenim que:

2 E � (2 m) c2 →

E � m c2 � 1,67 � 10227 � (3 � 108)2 � 1,503 � 10210 J

Per calcular la freqüència de cada fotó, apliquem l’expressió de Planck: E 1,503 � 10210

E � h f → f � — � ——————— � 2,2704 � 1023 Hz h 6,62 � 10234

Finalment, calculem �:

c 3 � 108

c � � f → � � — � ——————— � 1,3214 � 10215 m f 2,2704 � 1023

Aquests fotons pertanyen a la zona de l’espectre corresponent als raigs �.

dllllllll dllllllll

dlllllllll

dllllllll dlllllllllll

c) Quines conclusions extraiem dels resultats ante riors?

Deduïm que la incertesa en la velocitat és relativament gran, per la qual cosa la velocitat està força indefi nida. Per contra, la incertesa en l’energia és petitíssima, pràctica-ment nul.la, i, així, el valor de l’energia es pot conèixer amb total exactitud.

22. S’accelera un feix d’electrons a través d’una diferència de potencial de 5 000 V. Quan es mesura la velocitat, es troba que la incertesa que s’ha comès en la mesura és del 0,02 %. Quina és la mínima incertesa en la posició? Si s’accelerés un feix de protons a través de la mateixa diferència de po-tencial i la incertesa en la velocitat tingués el mateix per-centatge, quina seria ara la mínima incertesa en la posició?

�x1 � 1,38 � 1027 m

�x2 � 3,22 � 1029 m

23. Els mesons pi (o pions) són partícules elementals origina-des en alguns processos nuclears i es desintegren ràpida-ment en altres partícules. Una d’aquestes partícules triga 2 � 1028 s a desintegrar-se quan s’observa des d’un sistema en el qual la partícula està en repòs. Quan triga a desinte-grar-se quan s’observa des d’un sistema en el qual el mesó

3 c viatja a una velocitat de ——? 5

En el sistema S respecte del qual el pió està en repòs, aquest triga a desintegrar-se un temps de t � 2 � 1028 s.

Per calcular el temps t que triga a desintegrar-se el pió quan 3 cs’observa des del sistema S que es mou a velocitat v � ——, 5apliquem la transformació de Lorentz per al temps:

t tt � ——————— � —————————— � v2 3 c 1 � —— �——�

2

c2 5 1 � ————— c2

2 � 1028

� ————————— � 2,5 � 1028 s 9 c2 1 � —— —— 25 c2

24. Un astronauta marxa a l’espai l’endemà del dia de l’aniver-sari del seu fi ll, que ha fet dos anys. Després de tres anys de viatge per l’espai, mesurats respecte del sistema de re-ferència de l’astronauta, torna a la Terra el dia que el seu fi ll fa deu anys. A quina velocitat mitjana ha estat viatjant l’astronauta?

Amb les dades que es donen, tenim que:

t � 3 anys (temps propi de l’astronauta)

t � 10 anys � 2 anys � 8 anys

dllllllll dllllllllllllll

dllllllllllll

133FÍSICA 2 08

El mòdul de la quantitat de moviment d’aquesta partícula d’acord amb la física relativista és:

m0 v 9,11 � 10�31 � 1,87 � 108

p � m v � —————— � ——————————— � v2 1,87 � 108

1 � —— 1 � �—————�2

c2 3 � 108

� 2,18 � 10�22 kg�m/s

En canvi, d’acord amb la física clàssica, val:

p � m v � 9,11 � 10231 � 1,87 � 108 � 1,70 � 10222 kg�m/s

Per tant, l’error relatiu és:

prelativitat � pclàssica 2,18 � 1,70Erelatiu � ————————— � —————— � 22 % prelativitat 2,18

31. Un satèl.lit (m0 � 325 kg) es desplaça sobre la seva òrbita a una velocitat v � 1 km/s. Quin augment de massa li veu un observador que es troba fi x respecte del sistema Terra?

m0 � 325 kg Ec � �m c2 v � 1 000 m/s

1 1Ec � — m0 v

2 � — � 325 � 1 0002 � �1,625 � 108 J 2 2

Ec 1,625 � 108

�m � —— � —————— � 1,8 � 1029 kg c2 (3 � 108)2

32. L’energia d’un electró en repòs és de 8,18 � 10214 J. Calculeu l’energia cinètica d’un electró en moviment amb una veloci-tat v � 0,5 c.

E0 � m0 c2

1Ec � — m0 v

2

2E � �m c2

iuuyuut

E0 8,18 � 10214

m0 � —— � —————— � 9,1 � 10231 kg c2 (3 � 108)2

m0 9,1 � 10231

m � ——————— � ————————— � v2 0,52 c2

1 � —— 1 � ———— c2 c2

9,1 � 10231

� —————— � 1,05 � 10230 kg d 1 2 0,52

E � �m c2 � (1,05 � 10230 � 9,1 � 10231) (3 � 108)2 →

E � 1,26 � 10214 J

33. L’energia total d’un protó és dues vegades l’energia que té en repòs. Si la massa del protó és de 1,67 � 10227 kg, cal-culeu:

a) L’energia en repòs del protó.

E0 � m0 c2 � 1,67 � 10227 � (3 � 108)2 → E0 � 1,5 � 10210 J

dllllllll dlllllllllllllllll

dllllllll dllllllllllll

27. La massa en repòs d’un electró és de 9,1 � 10231 kg. Quina és la massa relativista que té si la velocitat que duu és de 0,7 c?

m0 9,1 � 10231 9,1 � 10231

m � —————— � ———————— � ————— → v2 0,72 c2 d 1 2 0,72

1 � —— 1 � ——— c2 c2

→ m � 1,27 � 10230 kg

28. Per a un electró que s’accelera fi ns a arribar a una velocitat de 0,6 c, compareu l’energia cinètica relativista amb el va-lor donat per la mecànica de Newton.

Ec � (m � m0) c2 → Relativista

m0 9,1 � 10231

m � —————— � —————— � 1,14 � 10230 J v2 d 1 2 0,62

1 � —— c2

Ecrel � (1,14 � 10230 � 9,1 � 10231) (3 � 108)2 � 2,07 � 10214 J

1 1Ecno rel

� — m0 v2 � — � 9,1 � 10231 (0,6 � 3 � 108)2 � 1,47 � 10214 J

2 2

29. Si en un experiment físic es necessita incrementar en un 15 % la massa d’una partícula respecte del seu valor en repòs, quina velocitat s’ha de comunicar a la partícula? Expresseu el resultat en termes de la velocitat de la llum.

Busquem primer la massa de la partícula en funció de la seva massa en repòs:

15 115�m � m � m0 � —— m0 → m � ——— m0 100 100

Busquem ara la velocitat associada a aquest valor de massa:

m0m � ——————; v2 1 � —— c2

115 m0 v2 100——— m0 � ——————— → 1 � —— � ——— → 100 v2 c2 115 1 � —— c2

v2 1002 v2 104

→ 1 � —— � ——— → —— � 1 � ——— c2 1152 c2 1152

Per tant, obtenim:

104

v � c 1 � ——— � 0,49 c 1152

30. La quantitat de moviment →p en la teoria de la relativitat es

defi neix com a →p � m

→v. Calculeu el mòdul de la quantitat

de moviment d’una partícula de massa en repòs igual a 9,11 � 10231 kg que es mou a una velocitat d’1,87 � 108 m/s. Quin error relatiu es tindria si es prengués com a valor de p el calculat segons la física clàssica?

dllllllll dllllllllll

dllllllll

dllllllll

dllllllll

dllllllll

dllllllllll


v2 1,67 � 10227 v2

→ 1 � —— � —————— � 0,5 → 1 � —— � 0,52

c2 3,33 � 10227 c2

→ v � c d 1 2 0,52 � 3 � 108 d 1 2 0,52 � 2,60 � 108 m/s

c) L’energia cinètica del protó.

Ec � 2 E0 � E0 � 1,5 � 10210 J

dllllllllb) La velocitat del protó.

2 E0 2 � 1,5 � 10210

2 E0 � m c2 → m � ——— → m � ——————— → c2 (3 � 108)2

m � 3,33 � 10227 kg

m0 1,67 � 10227

m � ——————— → 3,33 � 10227 � ——————— → v2 v2

1 � —— 1 � —— c2 c2dllllllll dllllllll

135FÍSICA 2 09

El nucli 3517Cl conté 17 protons i 18 neutrons. La massa dels

nucleons sense formar nucli és:

neutrons → 18 � 1,008665 � 18,15597 uprotons → 17 � 1,007277 � 17,12371 u

iyt

→

⇒ massa total 35,27968 u

El defecte de masses és 35,27968 2 M 5 DM

Sent M la massa atòmica del nucli 3517Cl.

931,5 MeVApliquem l’equivalència de ——————: u

931,5 MeV289 � (35,27968 � M) � —————— ⇒ M � 34,96943 u 1 u

7. Què representa la corba d’estabilitat dels nuclis en funció del nombre atòmic?

La corba d’estabilitat dels nuclis dóna informació dels isòtops que són estables o inestables. Quan un nucli es troba per sota de la banda d’estabilitat signifi ca que conté un excés de protons i, seguint uns determinats mecanismes, no troba l’estabilitat fi ns que la relació N/Z augmenta.

Si el nucli es troba per sobre de la banda d’estabilitat, alesho-res conté un excés de neutrons, i també evolucionarà fi ns a trobar la relació d’estabilitat N/Z adient.

8. L’isòtop 146C és radioactiu i té una constant de desintegració

d’1,2094 � 10�4 anys�1. Si disposem d’una mostra de 1023 nuclis, quin percentatge de nuclis quedaran per desintegrar al cap de 20 000 anys? Trieu la resposta correcta:

a) 91,1 % b) 8,9 % c) 12,4 %

La resposta correcta és: b)

9. Tenim 6,02 � 1023 àtoms de l’isòtop radioactiu 51Cr, amb un període de semidesintegració de 27 dies. Quants àtoms quedaran al cap de sis mesos?

5,925 ? 1021 àtoms

10. Una mostra radioactiva conté 5,5 �g de 116C en estat pur,

isòtop que té un període de desintegració de 20,4 min. Cal-culeu els nuclis que hi haurà al cap de 10 hores. Trieu la resposta correcta.

a) 1015 b) 10�2 c) 4 ? 108

El nombre de nuclis inicials és:

1 mol 11C 6,023 � 1023 nuclisN0 � 5,5 � 10�6 g � ————— � ————————— � 11 g 1 mol 11C

� 3,012 � 1017 nuclis

Si la vida mitjana és de 20,4 min, al cap de 10 hores (o 3,6 � 104 s), el nombre de nuclis presents és:

N � N0 e�� t � N0 e

t � ln 2———— T1/2 � 3,012 � 1017 � e

3,6 � 104 � ln 2———————— 20,4 � 60 � 4 � 108

Per tant, l’opció correcta és la c).

j Unitat 9. Física nuclear

j Activitats

1. Trieu les respostes correctes:

A. Un nucli queda ben defi nit si es dóna:

a) El nombre de protons.

b) La quantitat de nucleons.

c) El nombre atòmic i el nombre màssic.

La resposta correcta és la c). Un nucli queda ben determinat només si coneixem el nombre de protons (nombre atòmic) i el nombre de neutrons (diferència entre nombre màssic i nombre atòmic).

B. Els isòtops són nuclis que tenen:

a) Els mateixos valors d’A i de Z.

b) El mateix Z però diferent A.

c) El mateix A i diferent Z.

La resposta correcta és la b). Els isòtops són nuclis del mateix element químic (igual nombre atòmic) que dife-reixen en el nombre de neutrons. Per tant, tenen un nom-bre màssic diferent.

2. Escriviu el símbol del nucli de l’element itri que conté 90 nu-cleons, i el símbol del nucli de l’alumini amb 27 nucleons.

9039Y i 27

13Al

3. El potassi té dos isòtops en la natura. L’un té un 93,4 % del total i la seva massa atòmica és de 38,975 u, i la de l’altre és de 40,974 u. Calculeu la massa atòmica del potassi de la natura.

Calculem la mitjana ponderada dels isòtops de potassi:

93,4 � 38,975 � (100 � 93,4) � 40,974——————————————————— � 39,106 u 100

4. Si la massa atòmica del clor natural és 35,453 i sabem que està format només pels isòtops 35Cl i 37Cl, estimeu la pro-porció de cada isòtop en el clor na tural.

77,35 % de 35Cl i 22,65 % de 37Cl.

5. Quin seria el radi d’un hipotètic nucli de nombre atò mic 110 i nombre màssic 294?

r 5 7,98 ? 10215 m

6. L’energia d’enllaç del 3517Cl és de 289 MeV. Determineu-ne la mas-

sa en unitats de massa atòmica (u). Dades: 1 u � 931,50 MeV; mp � 1,007277 u; mn � 1,008665 u.


b) El 8Li es desintegra donant una partícula �1

0�.83Li →

�10� � 8

4Be

c) El 27Al* es desintegra donant una radiació �.27Al* → � � 27Al

18. Quan un nucli es desintegra i dóna una partícula �, quin és el nucli resultant? Trieu la resposta correcta.

a) El mateix Z i N � 4

b) Z � 4 i A � 2

c) Z � 2 i A � 4

La reacció nuclear corresponent és: AZX → A

Z ��

42X � 4

2He

Per tant, la resposta correcta és la c).


h Qüestions

1. Justifi queu el fet que les interaccions fonamentals dife-rents de la gravitatòria i electromagnètica reben el nom genèric de forces nuclears.

Tant la interacció nuclear forta com la interacció dèbil s’ano-menen forces nuclears perquè els seus efectes només són apre-ciables a distàncies nuclears, és a dir, de l’ordre de 10�15 m.

2. Quines forces són les dominants entre dos protons separats una distància de 10�8 m?

A aquesta distància les forces nuclears són totalment negligi-bles i dominen les interaccions electromagnètica i gravita-tòria. Aquesta última, a més, és molt més petita que la repul-sió electrostàtica entre els dos protons.

3. Busca informació sobre les partícules fonamentals següents: mesons, barions, neutrins, positrons i fotons.

Resposta oberta.

4. Descriviu breument les interaccions fonamentals de l’univers.

A la natura hi ha quatre tipus de forces que són: la força gra-vitatòria, la força electromagnètica, les forces nuclears fortes i les forces nuclears dèbils.

La força gravitatòria es deu a la força d’atracció entre les masses i podem calcular-la mitjançant la llei de la gravitació universal:

m1 � m2F � G ———— d 2

La força electromagnètica es deu a la força entre les càrregues elèctriques i, en el cas de càrregues en repòs, podem calcular-la mitjançant la llei de Coulomb:

Q1 � Q2F � k ———— d 2

11. Calculeu l’activitat d’1 mil.ligram de radó 222Rn que té una constant de desintegració de 2,1 � 10�6 s�1. Trieu la resposta correcta.

a) 5,69 � 1012 Bq b) 7,69 � 103 Bq c) 7,99 � 1018 Bq


12. Per què la major contribució de la radioactivitat natural és el radó?

Perquè totes les sèries radioactives proporcionen aquest element.

13. En una reacció nuclear hi ha una pèrdua de massa de 8 � 10�10 kg. Quanta energia s’ha alliberat en el procés? Ex-presseu el resultat en joules i en quilowatts hora.

DE 5 7,2 � 107 J 5 20 kWh

14. Un estudiant afi rma que un isòtop d’hidrogen es desintegra per emissió d’una partícula �. Què li contesta el professor?

Veure «Reaccións nuclears».

15. La combustió d’una tona de carbó proporciona aproximada-ment 3,3 � 1010 J d’energia. La fi ssió d’un nucli d’urani 235U proporciona una quantitat d’energia de 208 MeV. Quina massa d’urani faria falta per produir la mateixa quantitat de calor? Trieu la resposta correcta.

a) 0,39 g b) 134,56 g c) 4,35 kg

La massa d’un nucli d’urani-235 val:

235 g—————— � 3,902 � 10�22 g i proporciona una energia igual a: 6,023 � 1023

1,6 � 10�19 J208 � 106 eV ——————— � 3,328 � 10�11 J 1 eV

Per obtenir la mateixa energia que amb una tona de carboni cal una massa d’urani igual a:

3,902 � 10�22 gm � 3,3 � 1010 J ———————— � 0,39 3,328 � 10�11 J

L’opció correcta és la a).

16. El nucli 23490Th pateix una desintegració ��. Quin és el nucli

fi ll? Trieu la resposta correcta.

a) 23489Ac b) 235

91Pa c) 23491Th d) 234

91Pa

La reacció nuclear corresponent és: 23490Th →

�10� � A

Z X

On A � 234 � 0 � 234 i Z � 90 � (�1) � 91. Per tant, l’ele-ment X és el protoactini. La resposta correcta és la d).

17. Completeu les reaccions de desintegració dels nuclis se-güents:

a) El 183W es desintegra donant una partícula �.

18374W → 4

2He � 17972Hf

137FÍSICA 2 09

12. Identifi queu els elements següents: 22889X; 52

24X; 5625X

Si consultem la taula periòdica, identifi quem aquests elements pel nombre atòmic: actini, crom i manganès, respectivament.

13. Que són les partícules ��? Trieu l’opció correcta.

a) Electrons emesos pel nucli.

b) Neutrons emesos pel nucli.

c) Electrons emesos per l’escorça electrònica atò mica.

La resposta correcta és la a). Les partícules β són electrons emesos pel nucli i es formen a partir de reaccions nuclears.

14. La datació de l’home de gel que es va trobar en un glacera dels Alps italians va donar una edat de 5 300 anys. En una mostra de l’individu hi havia 14C i 11C, de vides mitjanes 5 730 anys i 20,4 min, respectivament. Per què els cientí-fi cs van optar per la datació amb 14C?

Perquè el 14C té una vida mitjana més propera al valor de 5 730 anys. Per tant, permet obtenir un valor més precís de l’edat de «l’home de gel» que no pas amb el 11C.

15. Un succés consta de l’emissió d’una partícula � i d’una par-tícula � per part d’un nucli. Després del succés, quina rela-ció hi ha entre el nucli original i el fi nal?

Les reaccions nuclears corresponents són:

AZX → A

Z ��

42X � 4

2He

AZ

��

42X → A

Z ��

41X �

�10�

El nucli fi nal té un nombre atòmic una unitat menor que el nucli original i un nombre màssic quatre unitats menor.

16. Per què la radiació còsmica augmenta amb l’altura?

Perquè l’atmòsfera absorbeix part d’aquesta radiació, fonamen-talment en els processos de formació d’ozó.

17. Un protó i un antiprotó s’anihilen donant lloc a dos fotons de la mateixa energia. Com són les seves quantitats de mo-viment? I les seves energies?

Trieu la resposta correcta:

A. Les seves quantitats de moviment:

a) Tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el ma-teix sentit.

b) Tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció però sen-tit contrari.

c) Tenen el mateix mòdul, però diferent direcció.

La resposta correcta és la b). Per conservació de la quan-titat de moviment, els moments lineals s’han d’anul.lar entre si, si el moment lineal inicial és nul.

La força nuclear forta és la força d’atracció entre els nucleons d’un nucli i que fonamenta la seva estabilitat. Són forces de curt abast que només dominen dins del radi nuclear.

La força nuclear dèbil explica, per exemple, les desintegracions radioactives. Aquesta és molt menys intensa que les forces electromagnètiques i la nuclear forta.

5. Les forces nuclears fortes, depenen dels nucleons en què actuen?

Les forces nuclears depenen del tipus de nucleons en què ac-tuen: si són protons o neutrons i també de magnituds com ara la velocitat, i el spin, entre altres.

6. Què són els isòtops? Com podem distingir els isòtops d’un element donat?

Els isòtops són elements que tenen el mateix nombre atòmic, però diferent nombre màssic. Aquests elements es diferencien pel nombre neutrònic.

7. El nombre atòmic es pot donar en funció del nombre d’elec-trons? Feu-ne una explicació convincent.

El nombre atòmic no es pot donar en funció del nombre d’electrons perquè només coincideixen en els àtoms elèctrica-ment neutres i sense formar enllaç químic amb altres àtoms amb els quals comparteixen electrons. Així, per exemple, els ions d’un determinat element químic són àtoms que han per-dut o guanyat electrons i, en canvi, el seu nombre atòmic és característic de l’element que es tracti.

8. Per què les masses atòmiques dels elements de la taula periòdica són la majoria en decimals?

Com que la majoria dels elements de la naturalesa presenten una varietat d’isòtops, les masses atòmiques en són la mitjana ponderada.

9. En física nuclear, què s’entén per energia d’enllaç?

Quan els nucleons s’uneixen i formen un nucli estable, el de-fecte de masses d’aquest procés de formació del nucli es trans-forma en energia d’enllaç.

10. Per què els nuclis més pesats són inestables?

A partir de Z . 83 els nuclis són inestables i no pertanyen a la zona d’estabilització, per això són nuclis radioactius naturals.

Els nuclis pesats són més inestables pel gran nombre de protons que contenen (augmenta la repulsió eléctrica entre ells).

11. La massa d’una partícula � no és igual a la suma de les masses de dos neutrons i dos protons. És superior o infe-rior? Per què?

Perquè en formar-se el nucli es produeix un defecte de mas-ses, és a dir, els nucleons (dos protons i dos neutrons) abans de formar-se el nucli tenen més massa que quan es forma el nucli. En formar-se aquest, part de la massa inicial es trans-forma en energia d’enllaç.


4. En un procés de desintegració radioactiva es perden 0,0457 u de massa. Quina energia es desprèn en megaelectronvolts?

Cada una que es desintegra proporciona una energia de 931,5 MeV. Per tant,

931,5 MeV0,0457 u ? —————— 5 42,57 MeV 1 u

5. Determineu la velocitat d’una partícula � d’energia cinètica 20 MeV. No tenim en compte els efectes relativistes.

1 2 EcEc 5 — m v2 → v 5 —— 2 m

1,6 ? 10213 J 2 ? 20 MeV ? —————— 1 MeVv 5 ——————————————————— 5 (2 ? 1,6726 ? 10227 1 2 ? 1,6750 ? 10227)

5 3,09 ? 107 m/s

6. El període de semidesintegració d’una mostra és de 3 anys. Quina fracció de la mostra hi haurà al cap de 18 anys?

ln 2 ln 2 ln 2T 1

— 2

5 ——— → l 5 ——— 5 ——— 5 0,231 l T 1

— 2

3

NN 5 N0 e

2l t → —— 5 e20,231 ? 18 5 0,015625 5 226

N0

7. Quina massa de 238U té una activitat d’1 mCi? La constant de desintegració del 238U és � 4,9 � 10�18 s�1.

3,7 ? 1010 s21

A0 5 l N0 → 1023 Ci ? ——————— 5 4,9 ? 10218 s21 ? N0 1 Ci

→ N0 5 7,55 ? 1024 nuclis

La massa d’aquests nuclis és:

1 mol 238 g7,55 ? 1024 nuclis ? ————————— ? ———— 5 2,98 ? 103 g 6,023 ? 1023 nuclis 1 mol

8. Una mostra radioactiva de 15 g es redueix a 3 g en 40 dies. Quina és la seva vida mitjana?

N 5 N0 e2l t → 3 5 15 e2l ? 40 → ln 0,2 5 240 l →

l 5 0,040236

ln 2T 1

— 2

5 —————— 5 17,23 dies 0,040236

9. Immediatament després de ser extreta del reactor, una mostra d’un isòtop radioactiu té una activitat de 120 Bq i al cap de 3 h passa a ser de 90 Bq.

a) Calculeu la constant radioactiva i el període de semi-desintegració de la mostra.

A 5 A0 e2l t → 90 5 120 e2l 3 → 0,75 5

5 e2l 3 → ln 0,75 5 23 l → l 5 0,0958 h21

ln 2 ln 2T 1

— 2

5 ——— 5 ———— 5 7,23 h l 0,0958

dlllll

dlllllllllllllllllllllllllllllllll

B. Les seves energies:

a) Són iguals.

b) Són diferents.

c) No ho podem saber.

Segons l’enunciat, les energies dels dos fotons són iguals. Per tant, la resposta correcta és la a).

18. A la natura hi ha tres isòtops de l’hidrogen. Po dem crear un altre isòtop diferent artifi cialment. Com?

Sí, afegint un neutró més al nucli. Aquest nucli seria molt ines-table i es descompondria molt ràpidament.

19. D’on prové l’energia produïda en una reacció nuclear?

A un defecte de masses entre les masses dels reactius i les mas-ses dels productes. Aquest defecte de masses es transforma en energia segons la fórmula d’Einstein: E 5 m c2.

20. La fi ssió d’un nucli pesat s’ha de fer amb neutrons lents o ràpids?

S’ha de fer amb neutrons lents.

21. La radioactivitat del nostre entorn és sempre perni ciosa?

No, el cos humà conté una quantitat natural de radioactivitat, i el seu entorn també.

22. Per mesurar el dany biològic, utilitzem el rem o el rad? I per mesurar la quantitat de radiació que incideix sobre un cos?

Per mesurar el dany biològic s’utilitza el rem o bé un múltiple seu, el Sievert (1 Sv 5 100 rem). Per mesurar la quantitat de radiació que incideix sobre un cos s’utilitza el rad.

h Problemes

1. Calculeu la massa atòmica de l’element oxigen sabent que en la natura hi ha un 99,759 % de 16O de massa 15,994915; un 0,037 % de 17O de massa 16,999133, i un 0,204 % de 18O de massa 17,999160.

99,759 ? 15,994915 1 0,037 ? 16,999133 1 0,204 ? 17,999160————————————————————————————— 5 1005 15,9994 u

2. El plom natural conté els isòtops 204Pb, 206Pb, 207Pb i 208Pb en les proporcions d’1,4 %, 24,1 %, 22,1 % i 52,4 %, respecti-vament. Quin és la massa atòmica del plom?

207,24 u

3. Quin és el radi aproximat d’un nucli de 125Te?

R 5 R0 3d A 5 1,2 ? 10215 ? 3d 125 5 6 ? 10215 m

139FÍSICA 2 09

15. Identifi queu el nucli X de cadascuna de les reaccions:

X → 65Ni �

215Po → X �

X → 55Fe �

109Cd X → 109Ag

Per identificar els elements només hem d’aplicar la conservació del nombre atòmic. Consultant la taula periòdica:

X → 65Ni 1 g ⇒ Z 5 28 1 0 5 28 ⇒ Ni

215Po → X 1 a ⇒ 84 5 Z 1 2 ⇒ Z 5 82 ⇒ Pb

X → 55Fe 1 b ⇒ Z 5 26 1 (21) 5 25 ⇒ Mn

109Cd 1 X → 109Ag ⇒ 48 1 Z 5 47 ⇒ Z 5 21 ⇒ b

16. Completeu les reaccions següents consultant la taula 9.3.

a) 23Na 4He → 26Mg ...

b) 10B 4He → 13N ...

c) 238U → 234Th ...

En les reaccions nuclears es conserva el nombre màssic A i el nombre atòmic Z. El nombre atòmic no s’indica en les reaccions i es poden determinar amb la taula 9.3.

Anem a escriure de nou les reaccions indicant els nombres atò-mics i apliquem la conservació d’A i de Z:

a) 2311Na 1 4

2He → 2612Mg 1 1

1X ⇒ X 5 11H

b) 105B 1 4

2He → 137N 1 1

0X ⇒ X 5 10n

c) 23892U → 234

90Th 1 42X ⇒ X 5 4

2He

17. Quina és la partícula que falta en les reaccions següents? Trieu en cada cas l’opció correcta:

A. 21H 199

80Hg → 19779Au ...

a) � b) � c) neutró d) protó e) electró

La resposta correcta és la b), la partícula � perquè té Z 5 2 i A 5 4.

B. 10n 198

80Hg → 19779Au ...

a) electró b) � c) neutró d) protó e) deuteró

La resposta correcta és la e), el deuteró perquè té Z 5 1 i A 5 2.

18. Calculeu en MeV l’energia despresa en la fi ssió d’un nucli de 235U d’acord amb la reacció:

235U 1n → 90Sr 136Xe 101n

Dades: 235U � 235,0439, n � 1,0087, 90Sr � 89,9073 i 136Xe � 135,9072

Calculem el defecte de masses:

Dm 5 89,9073 1 135,9072 1 10 ? 1,0087

2 (235,0439 1 1,0087) 5 20,1511 u

b) Quants nuclis hi havia inicialment?

A0 120A0 5 l N0 → N0 5 —— 5 ——————————— 5 l 1 h 0,09589 h21 ? ———— 3 600 s 5 4,51 ? 106 nuclis

10. Una mostra de nuclis de 214Pb té una vida mitjana de 3,05 min i emet inicialment 352 partícules � per segon. Quant de temps ha de transcórrer perquè només emeti 10 partícules � per segon?

t 5 10,8 min

11. Una font de cobalt 60Co té un semiperíode de 5,2 anys i una activitat inicial de 1 100 Ci.

a) Expresseu l’activitat inicial en Bq.

Ao 5 4,07 ? 1013 Bq

b) Calculeu l’activitat que tindrà al cap de 40 anys.

A 5 1,97 ? 1011 Bq

12. Un nucli d’urani 234U pateix 5 desintegracions � successives fins a assolir una forma nuclear estable.

a) Quin és aquest nucli final?

b) A quina sèrie radioactiva pertanyen?

El nombre atòmic es redueix en 5 � 2 � 10 unitats i passa a ser: Z � Z � 10 � 82. El nombre màssic es redueix en 5 � 4 � 20 unitats i és: A � A � 20 � 234 � 20 � 214. Per tant, l’ele-ment resultant és el 214

82Pb que pertany, junt amb el 23492U, a la

sèrie de l’urani-radi.

13. Identifi queu el producte resultant de la reacció 2412Mg (p, �) AZ X

La reacció 2412Mg (p, a) A

Z X es pot escriure com:

24Mg12 1 1p1 → AXZ 1 4He2

Si apliquem la conservació dels nombres màssics i atòmics:

24 1 1 5 A 1 4

iyt → A 5 21; Z 5 11

12 1 1 5 Z 1 2

que correspon a l’element Na.

14. Determineu l’energia de la reacció 235U n → 236U, sabent que les masses isotòpiques són:

235U � 235,11392 u; n � 1,00893 u i 236U � 236,11559 u

Calculem el defecte de masses:

Dm 5 236,11559 2 (235,11392 1 1,00893) 5 20,00726 u

Aquesta pèrdua de massa es transforma en energia alliberada per la reacció segons la fórmula d’Einstein:

931,5 MeVE 5 Dm c2 → 0,00726 u ? —————— 5 1 u

5 6,76 MeV per a cada nucli desintegrat.


b) En quin temps s’hauria de produir per tenir una potència de 10 MW?

25 dies

4. Completeu les reaccions següents i identifi queu els ele-ments desconeguts:

a) � 19880Hg → 197

79Au ...

� � 19880Hg → 197

79Au � 11H

b) 21H 3

1T → 42He ...

21H � 3

1T → 42He � 1

0n

c) 10n 235

92U → 23692U* → 141

56Pt 92...Kr ... 1

0n10n � 235

92U → 23692U* → 141

56Pt � 9236Kr � 3 10n

5. Calculeu les longituds d’ona associades de:

a) Un electró que es mou a la velocitat de la radiació elec-tromagnètica.

Si substituïm els valors en l’expressió tenim que:

6,63 � 10�34

� � ————————— � 2,43 � 10�12 m 9,1 � 10�31 � 3 � 108

b) Un cotxe de 1 000 kg que es mou a 10 km/h.

Passem prèviament la velocitat a unitats del SI:

10 km/h � 2,77 m/s

6,63 � 10�34

� � —————— � 2,39 � 10�37 m 1 000 � 2,77

c) Una persona de 50 kg que es mou a 10 km/h.

Aplicarem l’expressió de la dualitat ona corpuscle:

h� � ——— m � v

6,63 � 10�34

� � —————— � 4,77 � 10�36 m 50 � 2,77

Dades: h � 6,63 � 10�34 J�s; c � 3 � 108 m/s; me � 9,1 � 10�31 kg

6. S’ha determinat que el radi 226Ra té una constant de desin-tegració d’1,36 � 10�11 s�1.

a) Trobeu el període de semidesintegració en anys.

T1/2 � 1,62 � 103 anys

b) Si disposem d’una massa de 200 g, quina quantitat tin-drem al cap de 10 anys?

m � 199 g

Aquesta pèrdua de massa es transforma en energia alliberada per la reacció segons la fórmula d’Einstein:

931,5 MeVE 5 Dm c2 → 0,1511 u ? —————— 5 140,75 MeV 1 u

19. Una part orgànica de 200 g rep una dosi de 4 rad de radia-ció � amb un RBE d’1,5.

a) Quina quantitat d’energia rep?

1 J —— 1022 Gy 1 kg 1 kg4 rad ? ————— ? ———— ? ———— ? 200 g 5 0,008 J 1 rad 1 Gy 1 000 g

b) Quina és la dosi en rems?

dosi en rem 5 (dosi en rad) ? (RBE) 5 4 ? 1,5 5 6 rem


1. A quina velocitat s’ha de moure un cos perquè se’n tripliqui la massa?

1,27 � 10�30 kg

2. Un metall emet electrons per efecte fotoelèctric quan s’ir-radia amb llum blava, però no n’emet quan s’irradia amb llum ataronjada. Determineu si emetrà electrons quan s’ir-radiï:

f (i també E)

a) Amb llum vermella.

E (vermell) � E (taronja)

La llum vermella no produïrà efecte fotoelèctric en el me-tall.

b) Amb llum ultraviolada.

E (ultraviolat) � E (blau)

La llum ultraviolada té energia sufi cient per produir efecte fotoelèctric en el metall.

Raoneu la resposta.

3. Si en una substància sotmesa a una reacció nuclear s’ha produït un defecte de masses total de 10�2 g:

a) Quina quantitat d’energia s’ha alliberat en aquesta reac-ció?

9 � 1011 J

Documents

Fi Sica Aaaaaaaaaa