Fi Sica General

L U I S A LVA R E Z T H O N & H . A . V I L L AV I C E N C I O

A P U N T E S D EF Í S I C A G E N E R A LF M F - 0 2 4 ( 2 0 1 3 )

D E PA R TA M E N T O D E C I E N C I A S F Í S I C A SU N I V E R S I D A D A N D R É S B E L L O

Copyright © 2013 Luis Alvarez Thon & H.A. Villavicencio

Contenido

1. Acerca de la Ciencia 71.1. Ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. La medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Mediciones astronómicas en la antigüedad . . . . . . . . . 101.4. El método científico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Teorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Falacias pseudo-científicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Exactitud y precisión (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Movimiento de una partícula 212.1. Los principios o leyes de newton . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Primera ley: principio o ley de inercia . . . . . . . . . . . 212.3. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Velocidad y rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6. Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7. Caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8. La segunda ley de movimiento de Newton . . . . . . . . . 392.9. La tercera ley de movimiento de Newton . . . . . . . . . . 47

3. Energía 513.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. Tipos de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Termodinámica 614.1. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. Termómetros y escalas de temperatura . . . . . . . . . . . 624.3. Conversión entre la escala Farenheit y la escala Celsius . . 624.4. Cero absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5. Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6. Energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7. Expansión térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.8. Capacidad calorífica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.9. Calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.10. Cambios de estado de la materia . . . . . . . . . . . . . . 714.11. Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5. Electricidad 775.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 luis alvarez thon & h.a. villavicencio

5.5. Corriente eléctrica y circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6. Oscilaciones 1056.1. Movimiento de un sistema masa-resorte . . . . . . . . . . 1056.2. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3. Un M.A.S. es una idealización . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4. Oscilaciones forzadas y resonancia . . . . . . . . . . . . . 109

7. Ondas 1117.1. Pulso de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3. Formulación matemática de una onda . . . . . . . . . . . 1127.4. Ondas en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.5. Comportamiento de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.6. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.7. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.8. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8. Reflexión y refracción de la luz 1258.1. Reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.2. Ley de reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.3. Refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.4. Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.5. Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9. El átomo 1439.1. Modelos atómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.2. Cuantización de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.3. Los espectros atómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.4. Las transiciones electrónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.5. Mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.6. El efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10.El núcleo atómico 15510.1. Isótopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.2. Los rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.3. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.4. Decaimiento y vida media . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.5. Usos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Índice alfabético 163

Introducción

Esta asignatura está inserta en las ciencias básicas del plan común deestudios de los primeros años de las carreras de la Facultad de Ingenie-rías. Este curso introductorio de física es donde se sientan las bases deesta ciencia así como sus estructuras conceptuales básicas. Se realiza unbarrido sobre diferentes tópicos para que el estudiante valore la capacidadde modelar fenómenos cotidianos mediante modelos físicos simples.

La física es el estudio de las reglas de la naturaleza, y si uno conoceestas reglas entonces podrá apreciar mejor la belleza del entorno que nosrodea. La matemática es la herramienta que se utiliza para modelar estasreglas por medio de numerosas ecuaciones. Pero más que ecuaciones, loque buscamos en este curso es motivar e ilustrar conceptos importan-tes con ejemplos numéricos concretos. No pretendemos usar matemáticasavanzadas que se necesitarían si construyéramos un puente o si necesitá-ramos evaluar la trayectoria de un cohete. Sin embargo, cálculos precisoscasi nunca son necesarios para entender la esencia de la mayoría de losfenómenos físicos.

Debemos recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazarlos excelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienencomo objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografíatentativa es la siguiente:

“Física para ciencias e ingenierías”, 6a edición, Autor: Raymond A.Serway & John W. Jewet Editorial: Thomson

“Física Conceptual”, Autor: Paul G. Hewitt, Adison Wesley.

CAPÍTULO1Acerca de la Ciencia

1.1 Ciencia

Ciencia, proviene del latín y significa conocimiento1. El conocimien- 1 En latín Scientia, que significa cono-cimiento.to es el objetivo de la ciencia, pero no un conocimiento cualquiera, el

conocimiento de la naturaleza.2 2 No confundir ciencia con tecnología.La ciencia se ocupa de reunir conoci-mientos y organizarlos. La tecnologíapermite al hombre usar esos conoci-mientos para fines prácticos, y propor-ciona las herramientas que necesitan loscientíficos en sus investigaciones.

Desde la antigüedad el hombre ha buscado entender las relaciones,las proporciones y ritmos de la naturaleza. Antes que se desarrollara laescritura, hombres en distintas partes del mundo reconocían un patrón, elcambio estacional, viendo como las estaciones se sucedían ordenadamenteen un ciclo infinito.

Esta observación les permitió poder prepararse, acumular lo necesario,en una etapa inicialmente nómade de la humanidad, cuando cazaban yrecolectaban. Eventualmente, una nueva observación, el ver que las se-millas eran el origen de las plantas, les permitió cultivar, dando paso ala vida sedentaria, así como también fuertes cambios en la vida social,el paso del nomadismo al sedentarismo es también el paso social de unaestructura matriarcal a una patriarcal, así entonces, la ciencia, el cono-cimiento de la naturaleza, ha afectado desde épocas remotas la vida delhombre, para bien o para mal.

Pasaron los milenios y hubo quienes se dieron cuenta que podríanpredecir estas estaciones mediante la observación del cielo, reconociendoun nuevo patrón, las estrellas fijas (las estrellas tal como las conocemosahora) y las estrellas móviles (los planetas).

Hace ya miles de años, en Mesopotamia, los sacerdotes de los cultosestelares ya eran capaces de identificar patrones en las estrellas, a losque llamaron constelaciones y mediante estos patrones y la observacióndel curso del Sol, reconocer el inicio de las estaciones y con ello, poderprepararse para ellas.

Estas mismas observaciones llevaron a los sabios griegos a poder, muyposteriormente, unos siglos antes de nuestra era a determinar cosas comola circunferencia y radio de la Tierra,3 generándose incluso en esa épo- 3 ¡Sí! en esa época, hace más de 2000

años se suponía ya que la Tierra teniauna forma que tendía a una esfera.

ca teorías como el modelo heliocéntrico (el Sol como centro del sistemaplanetario, no la Tierra).

Ya en nuestra era, múltiples corrientes han pasado a través de la cien-cia, durante la edad media en Europa por ejemplo, se consideraba peca-minoso tratar de entender la obra divina y se castigaba a quienes con-tradecían los dichos del texto sagrado, mientras, en medio oriente, losislámicos, guiados por otro texto sagrado hacían grandes avances en lasmatemáticas y la astronomía, llegando a adelantarse hasta en 600 años a

8 apuntes de física general fmf-024 (2013)

Europa en algunas áreas.Posteriormente, en Europa, diversas corrientes como el renacimiento

trajeron un resurgir de la ciencia, una ciencia que aún conservaba lasbases de la ciencia clásica de los griegos.4 Posterior a esta época, han 4 Para los griegos, la ciencia era el es-

tudio de la naturaleza, del arte y de lodivino.

venido tiempos de fuerte racionalismo en que el arte y el estudio de lodivino han quedado relegados. Muchas controversias han surgido de laciencia, incluso hace unos 100 años, se discutían una serie de teorías,revolucionarias para la época, que no obstante, ahora son aceptadas sinmayores reparos por la mayor parte de la comunidad científica.

en resumen: la ciencia ha sido, y es, el deseo del hombre porentender el mundo que le rodea.

1.2 La mediciónTal como sentimos la necesidad de entender las cosas, sentimos la ne-

cesidad de medirlas, no es solo reconocer que existen 4 estaciones, senecesita también saber cuanto dura cada una, cada cuanto se completaun ciclo de ellas, así entonces, es necesaria la medición.

La primera observación, fue la sucesión de la noche y el día, un cicloconstante y eterno, la segunda medición, fue la observación de la luna,la cual hace un ciclo completo en 28 días, luego vino la medición delas estaciones, las cuales duran cada una aproximadamente 90 días yposteriormente, cuando las mediciones celestes lo permitieron, se llegóa determinar incluso la duración de un año, correspondiente al tiempoque tarda el Sol en volver a un mismo punto en el cielo (respecto a lasconstelaciones).

De esto, queda implícito entonces, que la medición es “respecto a...”,es decir, al no poseer algo en términos absolutos, nos hemos visto en lanecesidad de comparar una cosa desconocida con una conocida.

Por ejemplo, si queremos saber cuanto dura un día, medimos desdeel amanecer de un día, hasta el siguiente amanecer, luego, usamos esta“unidad” como referente para medir el tiempo de un ciclo lunar, que son28 días, luego, observamos que el Sol alcanza el mismo punto en el cielocada 13 ciclos lunares, estableciendo con ello el año.

Estos referentes pueden parecer triviales, pero fueron de increíble im-portancia para los pueblos antiguos, que los usaban para determinar cuan-do sembrar y cosechar y por ende, su vida, su sobrevivencia, dependía detener claridad al respecto.

Luego de medir el tiempo, se hizo necesario medir la distancia, primero,una mano extendida (la unidad de llamaba “palma”), luego, desde lapunta de los dedos hasta el codo (la unidad se llamaba “codo”), el hombrecomenzó usando aquello que tenía más cercano para medir, su propiocuerpo.

Posteriormente han surgido otras unidades, múltiples unidades de he-cho y por diferentes motivos. Algunas surgieron por razones tan simplescomo que las usaban diferentes pueblos que no tenían contacto entre sí,otras, como es más reciente, por rencillas entre diferentes naciones, así

acerca de la ciencia 9

por ejemplo, podemos ver que existió hace algunos siglos, un sistema deunidades en Inglaterra y otro en Francia, algo fuertemente relacionadocon los conflictos políticos entre estas naciones que en algún momentoestuvieron en guerra.

En la actualidad, los científicos de diferentes áreas han acordado eluso de un único sistema, llamado Sistema Internacional de Unidades (SI),este, basado en las unidades del sistema francés, es el más ampliamentedifundido.

En el SI podemos identificar 7 magnitudes fundamentales a medir, lascuales se muestran en la tabla 1.1.

Magnitud Nombre SILongitud (L) Metro [m]Tiempo (T) Segundo [s]Masa (M) Kilogramo [kg]Intensidad de corriente (I) Ampére [A]Temperatura (Θ) Kelvin [K]Cantidad de sustancia (N) Mol [mol]Intensidad lumínica (J) Candela [cd]

Tabla 1.1: Las 7 unidades básicas delsistema internacional (SI). Ellas, tienenuna particularidad, todas, con excep-ción del kilogramo son basadas en unfenómeno natural.

Aparte de estas unidades existen muchas unidades derivadas. la tabla1.2 muestra algunas de ellas.

Magnitud Nombre SI SímboloSuperficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/sAceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Número de onda metro a la menos uno m−1

Densidad kilogramo por metro cúbico kg/m3

Velocidad angular radián por segundo rad/sAceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

Tabla 1.2: Unidades derivadas de las las7 unidades del (SI).

Esta unidades unidades pueden llevar Prefijos del Sistema Internacio-nal, divididos en múltiplos y submúltiplos de 1000 (ver tabla 1.3).

Magnitud Nombre SI Factor Magnitud Nombre SI Factor1024 yotta Y 10−1 deci d1021 zeta Z 10−2 centi c1018 exa E 10−3 mili m1015 peta P 10−6 micro µ

1012 tera T 10−9 nano n109 giga G 10−12 pico p106 mega M 10−15 femto f103 kilo k 10−18 atto a102 hecto h 10−21 zepto z101 deca da 10−24 yocto y

Tabla 1.3: Prefijos del SI.


en resumen: el ser humano necesita medir para poder establecerlas relaciones que le permitan aprovechar su conocimiento, para esto,ha creado sistemas de unidades que le den una referencia al hacerlo.

1.3 Mediciones astronómicas en la antigüedadEs increíble que hace más de dos mil años, y a pesar de las precarias

condiciones técnicas, las personas fueron capaces de efectuar medicionesque incluso hoy en día son un desafío importante.

1.3.1 El tamaño de la Tierra

Figura 1.1: Eratóstenes nació en Cyre-ne (Libia) en el año 276 a.C. Fue as-trónomo, historiador, geógrafo, filósofo,poeta, crítico teatral y matemático. Es-tudió en Alejandría y Atenas. Alrede-dor del año 255 a. C fue el tercer direc-tor de la Biblioteca de Alejandría. Unade sus principales contribuciones a laciencia y a la astronomía fue su traba-jo sobre la medición de la tierra.

Hace más de dos mil años los griegos ya sabían que la tierra era redon-da. En esa época Eratóstenes encontró información de que las ciudades deSiena y Alejandría se encontraban a unos 800 Km de distancia y ademásen la ciudad de Siena los rayos del sol caían sobre una vara el mediodía delsolsticio de verano (el actual 21 de junio) no producía sombra. Clavandouna vara en el suelo en Alejandría (el mismo día y a la misma hora),Eratóstenes observó que allí el Sol proyectaba una sombra aproximadade 7.2 grados con la vertical. De esto dedujo que la tierra no era plana.Para efectuar sus cálculos usó geometría elemental y además supuso queel Sol estaba lo bastante lejos de la Tierra como para suponer que susrayos llegaban a la superficie paralelos entre sí.

Alejandría

Siena

rayos solares

sombra

Figura 1.2: El ingenioso método queusó Eratóstenes para calcular la circun-ferencia de la tierra. El ángulo que for-ma la sombra en Alejandría (α = 7.2)es el mismo ángulo subtendido desde elcentro de la tierra (ángulos correspon-dientes entre paralelas). Con este razo-namiento geométrico y una simple pro-porción aritmética es posible calcular lacircunferencia de la tierra.

De la figura 1.2 se desprende que si x es la circunferencia de la tierra,entonces por medio de una simple proporción

x

360 =800 km

7.2 ⇒ x =800 km× 360

7.2 = 40000 km

Este es un resultado muy cercano al real, que es de 40.074 km, a pesarde la probable falta de exactitud de la medida de la distancia entre Sienay Alejandría.


1.3.2 El tamaño de la lunaCuando observamos un eclipse de Luna, la sombra proyectada por la

Tierra sobre la Luna revela la forma esférica de la Tierra y además nosda una idea del tamaño de nuestro planeta comparado con el de la Luna.Aristarco de Samos otro gran filósofo griego, ideó un ingenioso método Aristarco de Samos (310 a.C.–250 a.C.)

fue un astrónomo y matemático griego,nacido en Samos, Grecia. Se le atribuyeser el primer en proponer el modelo he-liocéntrico del Sistema Solar, colocan-do el Sol, y no la Tierra, en el centrodel universo conocido. De Aristarco seconserva solamente una obra "Sobre lostamaños y distancias del Sol y de la Lu-na".

para medir el tamaño de la Luna y su distancia a la Tierra comparandoel tamaño de la sombra de la Tierra con el de la Luna durante un eclipselunar. Sus observaciones se basan en la figura 1.3 donde por simple ob-servación visual, Aristarco estimó que el diámetro aparente de la sombrade la Tierra era aproximadamente el 2.5 del diámetro lunar.

Aristarco se dio cuenta que la suposición anterior no es correcta, esdecir el radio de la tierra no es el mismo que el radio de la sombra de laTierra. La razón es que debido al gran tamaño del Sol comparado con elde la Tierra, la zona más oscura de la sombra (umbra) de la Tierra tieneuna forma cónica como se ilustra en la figura 1.4.

umbrapenumbra Figura 1.3: Secuencia de un elipse lunar

mostrando que el diámetro aparente dela Luna es aproximadamente 2.5 máspequeño que el diámetro de la Tierra.

Tierra

Sol Umbra

Penumbra

Luna

Penumbra

Figura 1.4: Esquema de eclipse lunarmostrando la formación de un cono, detal manera que el radio de la tierra noes igual al radio de la sombra.

En realidad una mejor aproximación (aunque todavía tiene deficien-cias) es que el radio de la Tierra es 3.5 el radio de la Luna. Puesto queEratóstenes ya había medido el radio de de la Tierra, esto le permitió aAristarco obtener un valor que está dentro del 5% de error.5 Posterior- 5 Dadas las condiciones precarias de

medición es posible que el valor obte-nido haya sido una fortuita cancelaciónde errores.

mente Aristarco mejoró su método midiendo ángulos y usando trigono-


metría, para medir también la distancia Tierra-Sol. Lamentablemente losinstrumentos de medición de la época no le permitieron obtener buenosresultados. Pero el problema no está en el método, que es perfectamentecorrecto, sino en que los resultados son muy sensibles a pequeños erro-res en las mediciones, especialmente los ángulos que son muy difíciles demedir.


1.4 El método científico

Un método6 es una forma de conseguir algo, el procedimiento, el ca- 6 El término es griego y significa el ca-mino hacia.mino que nos guía a lograr lo que queremos, así entonces el método cien-

tífico es la forma de conseguir el conocimiento.El conocimiento, puede llegar a volverse algo muy subjetivo, lo que

sabe una persona, se puede oponer a lo que sabe otra. Basta mirar lasreligiones, para ver que todas dicen tener la verdad y que las otras no sonciertas, es decir, lo que es verdadero en una religión, es falso en otra. Asíentonces, tener un conocimiento “verdadero” es el reto al que se enfrentala ciencia, obtener un conocimiento que pueda ser reconocido como cierto,como una ley y no como una simple creencia personal.

Figura 1.5: Aristóteles (384 a. C.-322a. C.) fue un polímata: filósofo, lógicoy científico de la Antigua Grecia cuyasideas han ejercido una enorme influen-cia sobre la historia intelectual de Oc-cidente por más de dos milenios.

Antes de nuestra era, Aristóteles, un científico y filósofo griego estudióla caída de los cuerpos, llegando a determinar que la caída de estos, seveía sujeta a una aceleración que dependía de su peso. Pasaron miles deaños en que esta conclusión fueron considerada cierta, hasta que GalileoGalilei, llevando a cabo un estudio más acabado que el de Aristóteles,llego a concluir que la aceleración con que cae un cuerpo es constante,independiente de su peso y más aún, logró obtener un valor aproximadode esta.

¿Estaba Aristóteles mintiendo? ¿Merece el puesto que ocupa en lahistoria de la ciencia o era simplemente un embustero?

Figura 1.6: Galileo Galilei (1564-1642)fue un astrónomo, filósofo, matemáti-co y físico italiano que estuvo relacio-nado estrechamente con la revolucióncientífica. Eminente hombre del Rena-cimiento, mostró interés por casi todaslas ciencias y artes (música, literatura,pintura). Sus logros incluyen la mejoradel telescopio, gran variedad de obser-vaciones astronómicas, la primera leydel movimiento y un apoyo determi-nante para el copernicanismo. Ha sidoconsiderado como el padre de la astro-nomía moderna, el padre de la físicamoderna y el padre de la ciencia.

La respuesta es que no mentía y que si merece su lugar en la historia.¿Pero, entonces, por que las diferencias al trabajo de Galileo? Simple, elsabio griego no consideró algunas de las variables.

Aristóteles simplemente no pensó en el aire, al percibirlo como algointangible, asumió que este no afectaba la caída de los objetos, por ende,para el, la razón que una piedra cayera con mayor aceleración que unapluma era la diferencia de peso, no considerando la posibilidad de que elaire, ejerciera una resistencia y por ende, que afectara su observación.

Galileo, por su parte, si pensó en esa posibilidad, por ende, diseñó unsistema de planos inclinados, por los que hacia rodar cuerpos de diferen-tes pesos. Si bien su sistema, visto desde la perspectiva actual era muyprimitivo, le permitió comprobar que la aceleración (razón de cambio dela velocidad de un cuerpo) era una constante y que esta constante podíaser calculada.

Así entonces, si bien ambos hicieron un estudio adecuado para los pará-metros de su época, podemos ver que Galileo, al considerar más variablesen juego, logró una observación más exacta, es decir, más cercana a larealidad.

El método científico7 ha sido ampliamente discutido a lo largo de los 7 AGalileo Galilei y Francis Bacon, filó-sofo inglés, se les atribuye ser los princi-pales fundadores del método científico,método extremadamente eficiente paraadquirir, organizar y aplicar nuevos co-nocimientos.

siglos, pero podemos decir, en un modo sintético, que es un procedimientoque busca medir los efectos de cada una de las variables en juego y verla relación que hay entre estas y el fenómeno observado.

El resultado, es relativo a la exactitud de la medida, así como tam-bién de su precisión, pero también, como se puede ver en la historia,dependiente del paradigma8 reinante de la época, así entonces, hubo una 8 La visión que se tiene de la realidad.


época en que el paradigma era que todos los planetas giraban en tornoa la Tierra (el Sol y la Luna eran considerados planetas), mientras queposteriormente, el paradigma cambió y se comenzó a creer que la Tierray los planetas giran en torno al Sol, posteriormente a esto, mucho másrecientemente, se observó que a la vez nuestro Sol es una estrella queforma parte de una galaxia y que como parte de ella, también se mueve,por ende, tampoco es el centro. ¿Cual es entonces el centro? He ahí unapregunta para la ciencia y las preguntas y buscar su respuesta son larazón de existir de la ciencia.

Podemos llegar a profundizar mucho en los detalles del método cien-tífico, pero este, más que un conjunto rígido de normas, es una formade abordar los problemas, según la rama de la ciencia en que se trabaje,habiendo llegado incluso a ser aplicado en áreas donde la medición es tandifícil como la psicología.

Podríamos en un modo simple, decir que el método científico sigue lossiguientes pasos:

Planteamiento de la pregunta (reconocer una duda o problema)

Observación (investigación acerca del problema)

Formulación de hipótesis (hacer una proposición educada)

Experimentación

Contrastación de la hipótesis y los experimentos

Conclusiones (y formular la regla general más sencilla)

Queremos advertir, que en otros libros de texto, los pasos pueden“distintos” en el sentido de que dos o más pasos pueden ser resumi-dos en uno solo, o un paso puede ser dividido en dos pasos. Comocomplemento, la figura 1.7 puede ser de utilidad.

Planteamientode la pregunta

Observación(investigación)

Formulaciónde la hipótesis

Experimentación(tests)

Constrastación dela hipótesis conel experimento

(análisis)

Conclusiones

Hipótesis verdadera Hipótesis falsa oparcialmente verdadera

Intentar de nuevo

Figura 1.7: Diagrama de flujo ilustran-do los pasos del método científico.

Si queremos confirmar la observación de Aristóteles (tal como lo hizoGalileo), nuestra pregunta sería ¿estaba Aristóteles en lo cierto?

Luego, en la etapa de observación podríamos decir, que ciertamente,cuerpos más pesados caen con mayor rapidez, pero también, podemosobservar que al agitar una mano, abanicando el aire, sentimos una presiónsobre ella, una dificultad para que avance, mayor esta, cuanto más rápidose mueve la mano, entonces nos surge una nueva pregunta ¿Afecta el airela caída de los objetos?

Surge entonces la hipótesis: “Es posible que los cuerpos caigan con igualaceleración, no obstante, que el aire los frene y generen la impresión deque caen con aceleraciones diferentes, nuestro experimento buscará medir,evitando el efecto del roce del aire, para confirmar o rechazar la creenciade Aristóteles.”

Pasamos entonces a la fase experimental, usamos, al igual que Galileo,planos inclinados y cuerpos rodando por él, con una condición, ser lobastante pesados, para que el aire no los afecte, como afectaría a unapluma o un papel.


Los resultados del experimento, una vez analizados, nos indican quetodos los cuerpos, independiente de su peso caen con igual aceleración(ver figura 1.8). Es más, podemos incluso calcular su valor aproximado(cerca de 10m/s2).

Contrastamos esto con nuestra hipótesis, comprobamos, según los pa-rámetros que hemos medido, que es cierta y que todos caen con igualaceleración y que Aristóteles simplemente no consideró la resistencia delaire.

Figura 1.8: La famosa demostración deGalileo al arrojar dos objetos, uno pesa-do y el otro ligero, para comprobar queambos caían al suelo al mismo tiempo.

Llegaríamos entonces a nuestra conclusión “Todos los cuerpos caeráncon una misma aceleración sin importar su peso, no obstante, la acelera-ción con que aparentemente caigan puede verse afectada por la resistenciadel aire.”

Así, entonces, hemos hecho aplicado el método científico para resolveruna pregunta.

Una de las consideraciones en el método, es que los experimentos sean“repetibles”, es decir, que dos personas, sin relación entre ellas, al realizarel mismo experimento, en iguales condiciones, obtengan los mismos re-sultados. El poder llegar a tener observaciones idénticas en observadoresdiferentes es lo que valida el trabajo y se conoce como “Repetibilidad”.

en resumen: el método científico busca obtener el conocimiento,siguiendo un conjunto de pasos ordenados que eliminen las posiblescausales de error y que permitan que cualquiera en cualquier mo-mento, pueda obtener los mismos resultados si trabaja en las mismascondiciones.

1.5 Teorías¿Que pasa cuando una hipótesis se haya probado una y otra vez y no

se haya encontrado ninguna contradicción? Entonces esta hipótesis puedetransformarse en una ley o principio, que más tarde pueden pasar a serparte de una teoría.

Las teorías son conjuntos de hipótesis que buscan explicar un fenó-meno, funcionan dentro de ciertos parámetros, un rango de aplicación,con determinadas normas, dentro de estos, la teoría es válida y da unmarco creíble que explica el fenómeno, no obstante, cuando se sale delos parámetros contemplados por la teoría, esta deja de cumplirse y suspostulados se hacen inútiles.

En la actualidad, al igual como fue en siglos previos, existen múltiplesteorías que explican diferentes fenómenos de la física, la química y labiología, entre otras ramas del saber científico. Todas ellas tienen unelemento en común, tarde o temprano serán desechadas, reemplazadaspor otras teorías, así ha sido antes, así seguirá siendo. Las teorías tienden a ser mejoradas y

reemplazadas por otras teorías.Esto último se debe a que a medida que el conocimiento avanza, vanapareciendo nuevos enfoques, más amplios, en que la teoría se hace máscercana a la realidad. Para dar un ejemplo más simple, Aristóteles, Gali-leo, Newton y Einstein forman parte de una cadena, en que la teoría de


cada uno reemplazó a la previa, dando un enfoque más amplio, más com-pleto, capaz de explicar de un modo más claro, más preciso y más exactolos fenómenos estudiados por el anterior. Donde Aristóteles vio objetoscayendo, Galileo vio una constante gravitatoria, seguido de él newtonvio gravitación universal hasta que Einstein generó un marco mucho másamplio a la gravedad y loo fenómenos asociados a ella.

En cada caso, la nueva teoría dejó a la anterior como falsa e incompleta.Nada de esto quita el valioso aporte que hizo cada teoría, sino más bien,demuestra que la visión que el hombre tiene de la naturaleza se vuelvemás amplia, más completa.

Las falacias9 de una visión son superadas por la siguiente, cada teoría 9 Según el diccionario, una falacia (dellatín fallacıa) significa: un engaño,fraude o mentira con el que se intentaafectar a alguien.

avanza un paso más en la búsqueda del verdadero conocimiento, que esla razón de ser de la ciencia.

1.6 Falacias pseudo-científicasNo obstante de lo anterior, existe una serie de falsedades que aún hoy

persisten, con bases erradas en teorías anteriores o en interpretacioneserradas de las teorías actuales.

Veamos algunos ejemplos de estas mentiras que aún hoy estánampliamente difundidas.

El más claro es el que la gente cree que el cambio estacional se debea la distancia variable entre la Tierra y el Sol, así como también que elcongelamiento de los polos se debe a que existe mayor distancia entre lospolos y el Sol que entre el Ecuador y el Sol.

Ambas ideas son falsas.

Si bien, la orbita terrestre es elíptica, las imágenes que muestra nuestroplaneta dentro del sistema solar son exageradas, de hecho, los focos dela elipse sobre la cual se mueve nuestro planeta se encuentran ambos alinterior del sol, por otro lado, la sola variación de la distancia al sol nobastaría para explicar el que entre el hemisferio norte y el sur haya undesfase de 6 meses entre las estaciones.

Así mismo, el congelamiento de los polos no es causa de la mayordistancia del sol a los polos que al ecuador, ya que, si lo comparamos conla distancia de la Tierra al Sol, ésta es ínfima.

Ambos fenómenos se deben, en realidad al hecho que la Tierra tieneuna inclinación de 23° 26’ respecto al plano orbital. Esto provoca quela luz no llegue en forma perpendicular siempre a cada hemisferio, sinosolo en los solsticios y esto solo en los trópicos (trópico de cáncer enel hemisferio norte y trópico de capricornio en el hemisferio sur). Porende, el ángulo de incidencia de la luz en cada hemisferio será diferentesegún la estación del año. Esto, se vincula al fenómeno de reflexión. Asípor ejemplo, en el solsticio de invierno del hemisferio sur, el ángulo deincidencia de la luz es mayor que en cualquier otro momento del año,por lo mismo, la reflexión es mayor (la luz es reflejada por la atmósfera,que actúa como un espejo) por esto es que, al ingresar menor cantidad


de luz, las temperaturas bajan. Análogamente sucede con el invierno delhemisferio norte.

En el caso de los polos, el ángulo de incidencia es grande prácticamenteen todo momento, por ende, la mayor parte de la luz es reflejada por laatmósfera en estas regiones y de ahí que se mantengan congeladas.

Otra falacia, que habitualmente se escucha, es que el color rojizo de losatardeceres se debe a los contaminantes atmosféricos, algo que en ciertamedida han difundido con un tono alarmante los ecologistas. Para esto,debemos pensar en que dichos contaminantes aparecen solo en la épocaindustrial, no obstante, basta leer a antiguos poetas, previos a esta épocay nos encontraremos con románticos comentarios sobre los atardeceresrojizos, ergo, el cielo del atardecer tomaba estos tonos mucho antes quehubiera máquinas que produjeran contaminantes.

¿A que se debe entonces?

Simple, la atmósfera actúa como un prisma, descomponiendo la luz, porende, en el atardecer, el ángulo es tal que queda proyectada la com-ponente roja sobre la superficie terrestre. Bingo! Hemos destruido unaapreciación errónea y hemos entendido un fenómeno totalmente naturaly muy hermoso.10 10 No es el mejor tema de conversación

con su novia mientras mira un román-tico atardecer.en resumen: las teorías son un conjunto de hipótesis que bus-

can explicar los fenómenos naturales, son eventualmente descartadascuando una teoría nueva, demuestra que estaban erradas y planteauna visión más completa. Eventualmente, restos de alguna teoríadesechada quedan dando vueltas entre las personas y generan fala-cias que se mantienen en la cultura popular.


1.7 Exactitud y precisión (Opcional)Ahora abordaremos dos términos muy comunes pero raras veces de-

bidamente usados, estos son exactitud y precisión, ambos términos muyimportantes en la ciencia.

El ejemplo más clásico, es lanzar dardos en un tablero. Si lanzamosdardos que caen cerca del centro (máxima puntuación, o en este caso,el valor verdadero, para fines científicos) estaríamos hablando de unamedición exacta, esto es, que el valor de la medición es cercano al valorreal.

1.7.1 Medida exacta imprecisa

Figura 1.9: Medida exacta imprecisa.

En la figura 1.9, podemos ver que todos los puntos están cercanos al cen-tro, no obstante, no están reunidos, sino que dispersos en forma aleatoriaen torno a este. Aquí entra en juego nuestro segundo término, la precisión.Cuando hablamos de precisión, hacemos referencia a cuan agrupados es-tén los datos, mientras más dispersos, menor será la precisión, como seve en la figura precedente, que es una medición exacta pero poco precisa.

1.7.2 Medida precisa inexacta

Figura 1.10: Medida precisa inexacta.

Luego, podríamos enfocarnos en la precisión. En la figura 1.10 vemosque todos los puntos se encuentran cercanos entre si, agrupados y porende con una dispersión baja, no obstante, muy alejados del valor central(real), este sería un ejemplo de una medición precisa pero poco exacta.

1.7.3 Medida precisa exacta

Figura 1.11: Medida precisa exacta.

La figura 1.11 nos presenta un caso ideal para un científico experimen-tal. En este caso, los puntos están agrupados, con una dispersión muybaja y todos en el centro (valor real); este sería el caso de una mediciónprecisa y exacta.

1.7.4 Medida imprecisa inexactaEste último caso que presenta la figura 1.12 sería una medición im-

precisa e inexacta, sería el peor escenario, es decir, sería una medicióncarente de cualquier valor.

Figura 1.12: Medida imprecisa inexac-ta.

1.7.5 Tratamiento del errorDe los dos conceptos, precisión y exactitud, proviene el tratamiento delerror de las mediciones. Podemos clasificar los errores en dos tipos fun-damentales, errores sistemáticos y errores aleatorios.

Los errores sistemáticos, afectan la exactitud de las medicionesy es posible corregirlos mediante el uso de patrones primarios,11 es decir, 11 Estos errores se repiten constante-

mente a lo largo del experimento. Sonerrores en el sentido de una equivoca-ción, no de una incerteza.

de elementos que sean usados como un referente de medición y contralos cuales se contrasta, para poder corregir. Las balanzas por ejemplo,


son calibradas mediante patrones de masa, que son pesas de una masaexacta y hechas de un material que es altamente resistente a factoresambientales, por ende, es poco probable que su masa se vea alterada, asíentonces, son usados para calibrar las balanzas. Calibración es el procesomediante el cual se mejora la exactitud de una medida.

Los errores aleatorios, pueden tener múltiples causas, es difíciltrabajar con ellos y usualmente se busca reducir el número de variablespara poder reducir este tipo de error. Corrientes de aire, distracciones,problemas de visión, etc. son solo algunos de los posibles causantes deeste tipo de error el cual afecta directamente la precisión de la medida,es decir, provoca que los datos resulten más dispersos.

Para poder reducir el efecto de los errores, el científico experimentalusa una serie de herramientas que le permiten determinar la validez de susdatos y por ende, tener una certeza del rango en el cual estos son válidos.Técnicas como la regresión lineal, la t de student, el ji cuadrado y otrosson las que usan, dependiendo de las necesidades y tipo de parámetromedido, las más usadas en ciencia.

¿Por que se realiza esto?

Simple, porque la validez del estudio queda comprometida, por ejemplo,si en una empresa farmacéutica, comete un error en la preparación de unmedicamento, esto puede traer graves consecuencias en la salud de quieneslo consuman, por ende, se establecen rigurosos controles de calidad, seaplican análisis a los productos y los resultados de estos análisis sontratados mediante diferentes técnicas estadísticas para poder concluir quela calidad del producto es la óptima para su comercialización.

en resumen: exactitud y precisión son los dos parámetros funda-mentales a considerar en una medición, son los que caracterizan losvalores obtenidos, poniéndolos en un contexto que permita juzgar lacalidad de estos.

CAPÍTULO2Movimiento de una partícula

Cabe aclarar, que en lo siguiente, trabajaremos bajo el concepto departícula, es decir, de una distribución puntual de la masa (puntual, esdecir, sin volumen), esto, porque simplifica el tratamiento matemático,el cual se vuelve eventualmente muy complejo cuando trabajamos consistema de partículas (cuerpos con volumen).

En el capítulo anterior, hemos estudiado la forma en que Aristóte-les y Galileo comprendieron el movimiento de los cuerpos; a esto, solopodríamos agregar una cosa. Figura 2.1: Sir Isaac Newton (1642-

1727) fue un físico y matemático Inglésquien es considerado como uno de losmás influyentes de todos los tiempos ycomo una figura clave en la revolucióncientífica. Su libro Philosophiæ Natura-lis Principia Mathematica (PrincipiosMatemáticos de la Filosofía Natural),publicado en por primera vez en 1687,sentó los fundamentos de la mecánicaclásica. Newton también hizo contribu-ciones fundamentales a la óptica y, ensu calidad de matemático, comparte elcrédito con Gottfried Leibnitz de haberinventado el cálculo infinitesimal.

Los experimentos de Galileo plantearon algo novedoso para su época,el concepto de que todo objeto mantendría su movimiento a no ser que serealizara una acción sobre el, lo cual alteraría ese movimiento, la resisten-cia a esa alteración, la llamó inercia y correspondía a la masa (cantidadde materia) del cuerpo.

Posteriormente a Galileo, aparece una figura sorprendente en la his-toria de la ciencia, en parte por las controversias que generó, pero ma-yoritariamente, porque se le refiere como el padre de la ciencia como laconocemos hoy en día, nos referimos a Isaac Newton.

En 1687, Newton publica su libro Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural), en el cualpresenta sus leyes o principios sobre el movimiento de los cuerpos.

Figura 2.2: Tapa del libro PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica pu-blicado por Isaac Newton el 5 de juliode 1687. En este libro se recogen susdescubrimientos en mecánica y cálculomatemático. Esta obra marcó un pun-to de inflexión en la historia de la cien-cia y es considerada, por muchos, comola obra científica más importante de laHistoria..

2.1 Los principios o leyes de newtonLos principios de Newton son tres:

1. Ley de Inercia

2. Ley de fuerzas

3. Ley de acción y reacción.

Estudiaremos estas leyes en detalle durante el curso.

2.2 Primera ley: principio o ley de inerciaEste principio, dice literalmente:

“Todo objeto continua en su estado de reposo o de movimiento uniformeen linea recta a menos que sea obligado a cambiar este estado por fuerzasque actúan sobre él.”


Entonces, en ausencia de cualquier acción que se realice sobre él, un cuer-po permanecerá quieto o en un movimiento a rapidez y dirección cons-tante, así ad infinitum. Al igual que como observó Galileo, esto implicaráque si un cuerpo se detiene, será por acción de una fuerza, como en elcaso de un cuerpo rodante, será la fricción de la superficie por la que sedesliza o de un objeto que cae, la resistencia del aire.

El cuerpo tendrá a su vez una resistencia al cambio de su régimen demovimiento, la cual será su inercia, la cual es directamente la cantidadde materia en este o masa.

Así por ejemplo, si estuviéramos en un espacio totalmente vació, librede cualquier acción gravitatoria, corrientes de aire o lo que fuera y lan-záramos una piedra, esta viajaría en linea recta, sin detenerse, viajaríapor toda la eternidad, siempre a la misma velocidad y en la misma direc-ción. Igualmente, si la dejáramos quieta, permanecería así, sin importarcuanto tiempo pasara. Mientras no exista una fuerza externa1 el cuerpo 1 Es importante recalcar que se trata de

una fuerza externa, ya que las fuerzasinternas, como las que se generan entrelos átomos y las moléculas, no alteraranel estado del cuerpo.

permanecerá inalterado.En el capitulo previo, vimos que la Tierra se mueve en torno al Sol

y este se mueve como parte de la vía lactea, todo esto a velocidadesingentes. ¿Por qué entonces, siendo que la propia Tierra gira sobre sueje a gran velocidad, nos es posible observar que las cosas permanezcanquietas, en la superficie de nuestro planeta, mostrando la primera ley deNewton en acción?

Existe un concepto con el que debemos familiarizarnos; se llama mo-vimiento relativo.

Veamos un ejemplo:

Imagínese viajando en un bus y que este, se desplaza a una velocidadconstante. Usted, lleva en su mano el interesante libro que sus profesoresde física han hecho para usted con mucho cariño, pero tiene sueño y suapunte se cae al piso del bus. ¿Que pasó? Cae justamente a su lado,si bien, el bus se mueve, el libro no ha sido desplazado hacia la parteposterior del bus mientras cae, sino que cae a su lado ¿Como se explicaeso? Simple, tanto el bus, como usted y el libro se están moviendo a lamisma velocidad, esa velocidad la puede notar mirando por la ventana, alver el desplazamiento, si bien, todo lo que va dentro del autobús, mantienesu posición relativa.

Visto, desde el interior del bus, el libro solo se movió verticalmente, alcaer, no obstante, si alguien lo viera, desde algún punto en la carretera,vería que el libro no solo se mueve en la vertical, sino, que se muevetambién con la misma velocidad y dirección que el bus.

Así entonces nos hallamos ante dos posibles observaciones, ambas cier-tas, en una el libro solo tiene movimiento en la vertical, en la otra, tienemovimiento en la vertical y la horizontal. Todo dependerá del punto dereferencia que se haya tomado. Si usáramos un sistema cartesiano parareferir el fenómeno2 podemos decir, que el observador desde el interior 2 Un sistema de coordenadas con ejes

perpendiculares a los que llamaremos xe y, siendo x la horizontal e y la verticalen este caso.

del bus (usted) ve solo velocidad en el eje y mientras que el observadoren la carretera medirá velocidades en los ejes x e y. Estas serán llamadasvelocidades relativas, pues dependerán netamente del punto desde donde

movimiento de una partícula 23

se hace la observación.

2.3 FuerzasRefiriéndonos la la primera ley de Newton (ley de inercia), esta puede

ser formulada de forma equivalente como:

Un objeto en reposo permanece en reposo y un objeto en movimientopermanece en movimiento con la misma velocidad y dirección a menosque actúe sobre el objeto una fuerza neta.

De aquí surge la pregunta ¿qué es una fuerza?. La respuesta más simple esque una fuerza en un empujón o tirón. El origen de las fuerzas puede sergravitacional, eléctrica, magnética o simplemente un esfuerzo muscular.

¿Pero que significa exactamente fuerza neta? Una fuerza neta es unafuerza no balanceada.

En la figura 2.3 se ilustra el caso de una fuerza neta nula (fuerza balan-ceada). Una fuerza (la gravedad ejercida por la tierra) ejerce una fuerzahacia abajo. La otra fuerza, ejercida por la mesa sobre el libro (tambiénconocida como fuerza normal), empuja hacia arriba. El resultado es quela fuerza neta sobre el libro es nula. En este caso las dos fuerzas son igua-les en magnitud pero en direcciones opuestas; ellas están balanceadas. Ellibro está en equilibrio, no hay fuerzas netas y el libro mantiene su estadode movimiento (reposo).

Fuerza de reacción de la mesa

Peso del libro

Figura 2.3: El libro está en equilibrio.La fuerza neta actuando sobre el libroes nula, entonces el libro mantiene suestado de movimiento (reposo).

Ahora consideremos un libro deslizándose sobre una mesa hacia laderecha (ver figura 2.4). Quizás, en algún momento anterior se le ha dadoun empujón desde la posición de reposo. Pero no importando como llegóel libro a deslizarse hacia la derecha, lo importante es que ahora no hayninguna fuerza empujando hacia la derecha.3 Las dos fuerzas actuando

3 No se necesita ninguna fuerza paramantener un objeto moviéndose haciala derecha.

verticalmente se anulan tal como en el caso anterior. Mientras el libro semueve hacia la derecha, la fricción actúa hacia la izquierda haciendo que elmovimiento del libro se más lento. Hay una fuerza no balanceada (fuerzaneta distinta de cero). El libro no está en equilibrio y en consecuenciaacelera.4 En este caso, la fuerza no balanceada se dirige en la dirección 4 Las fuerzas no balanceadas causan

aceleraciones, un concepto que veremosmás adelante.

opuesta al movimiento del libro.

Fuerza de reacciónde la mesa

Peso del libro

La fricción entre la mesa yel libro ejerce una fuerzahacia la izquierda cuandoel libro se mueve haciala derecha

Dirección delmovimiento

Figura 2.4: El libro está en equilibrio.La fuerza neta actuando sobre el libroes nula, entonces el libro mantiene suestado de movimiento (reposo).

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades (Si),se mide en newtons (N), en reconocimiento a Isaac Newton. El newtonse define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de1m/s2 a un objeto de 1 kg de masa.

2.3.1 Equilibrio

Resumiendo la sección anterior, diremos que un cuerpo está en equi-librio mecánico si la fuerza neta actuando sobre el cuerpo es cero. Otraforma de ver esto, es decir que la suma de las fuerzas es cero. En la figura2.5 el bloque está en reposo porque el peso, ~Fg, está en equilibrio conla tensión, ~T , la fuerza ejercida por la cuerda hacia arriba. En este caso


usamos la notación vectorial para decir que la suma de las fuerzas es cero

~T + ~Fg = 0

Notar que el signo del vector va implícito, es decir, una de las dos fuerzasdebe tener signo contrario. Aquí hemos introducido anticipadamente elconcepto de vector en una dimensión. Un vector tiene magnitud y direc-ción. En el caso unidimensional, la dirección está dada generalmente porel signo del vector.

Podemos adoptar la convención de que todas las fuerzas hacia la dere-cha (o arriba) tienen signo positivo y todas hacia la izquierda (o abajo)tienen signo negativo. Entonces la expresión vectorial

~T + ~Fg = 0

se puede interpretar como

T − Fg = 0

donde los símbolos (sin flecha), Fg y T son escalares (números) positivos.Tensión dela cuerda

Peso delbloque

Figura 2.5: El bloque está en equilibrio.La fuerza neta actuando sobre el bloquees nula, entonces el libro mantiene suestado de movimiento (reposo).

Finalmente, podemos generalizar si tenemos N fuerzas actuando sobreun cuerpo, la condición de equilibrio se escribe:

~F1 + ~F2 + . . . ~Fn =N∑i=1

~Fi = 0

2.3.2 Vectores en una dimensiónEn la sección introdujimos el concepto de vector en una dimensión cuan-do definimos que la fuerza neta sobre un cuerpo debe ser nula para lograrel equilibrio. Las reglas para sumar vectores (tales como fuerzas) en unadimensión son muy simples. Podemos adoptar la convención que los vec-tores que apuntan hacia la derecha tienen signo positivo y los vectoresque apuntan hacia la la izquierda tienen signo positivo. Lo mismo paravectores en la dirección vertical; vectores hacia arriba tienen signo posi-tivo y vectores hacia abajo tienen signo negativo. La figura 2.6 ilustra unejemplo simple.

Nos vamos a encontrar frecuentemente con los términos "centro demasa" y "centro de gravedad". Aquí los consideraremos como sinó-nimos. El centro de masa sirve para representar el punto único deun objeto o sistema que se puede utilizar para describir la respuestadel sistema a las fuerzas. En otras palabras, el centro de masa es elpunto donde se concentraría toda la masa de un objeto.


Figura 2.6: Un ejemplo simple de sumade vectores en una dimensión, con laconvención de signos.

EJEMPLO 2.1

80 N65 N

40 N

Un tablón uniforme de 40.0 N de peso soporta a dos niñosque pesan uno 80 N y el otro 65 N, como se muestra en lafigura. El soporte (llamado punto de apoyo) está debajo delcentro de gravedad del tablón.Solución: En la figura hemos representado a ~n como la fuer-za normal que equilibra los pesos de los niños y del tablón.Suponemos que el centro de gravedad está en el centro deltablón porque hemos señalado que el tablón es uniforme. Elequilibrio de fuerzas se expresa como,

∑Fy = 0, es decir

n− 80N− 65N− 40N = 0

y despejando n, tenemosn = 185N

Notar que a los pesos del los niños y el tablón les asignamos el signo negativo (hacia abajo). Por otrolado, el signo de n resultó ser positivo (hacia arriba).

EJEMPLO 2.2: Análisis de un sistema de dos cuerpos

La figura muestra dos cuerpos, uno enci-ma del otro. Hacer un análisis de fuerzassobre cada uno de los cuerpos.Solución: Hemos dividido la figura endos partes. Al medio hemos aislado las


fuerzas que actúan sobre el cuerpo de ma-sa m1. La masa m1 está en reposo y por

lo tanto las fuerza neta que actúan sobre ella debe ser nula. En notación vectorial escribimos esto como

~N1 + ~P1 = 0

y usando la convención de signos

N1 − P1 = 0 ⇒ N1 = P1

Por otro lado, las fuerzas que actúan sobre m2son el peso de m1 (~P1), la fuerza normal que ejerce el suelosobre m1 ( ~N2) y el peso de m2 ( ~P2). En notación vectorial

~N2 + ~P1 + ~P2 = 0

equivalentementeN2 − P1 − P2 = 0 ⇒ N2 = P1 + P2

Para ambos casos, el hecho de que la suma de fuerzas de cero indica que se trata de un sistema que estaquieto o moviéndose a una velocidad constante (recordemos que todo dependerá del sistema de referenciaque hayamos elegido).

2.4 Velocidad y rapidezLos antiguos griegos estudiaron los fenómenos físicos, pero sin usar las

herramientas de la matemática para expresar sus ideas. Nuevamente fueGalileo Galilei quien introdujo el concepto de velocidad. Lo que hizo fuetomar el tiempo que un objeto se demoraba en recorrer una distancia yasí relacionó la distancia recorrida por un cuerpo en un segundo. De estamanera, Galileo desarrolló el concepto de la velocidad como una variaciónde la distancia recorrida en una unidad de tiempo (un segundo).

En la vida diaria estamos acostumbrados a usar la palabra rapidezcomo sinónimos de velocidad. En física hay una clara distinción entreellas y, por el momento, nosotros vamos a adoptar la palabra rapidez.

Galileo se planteó la pregunta: ¿Cual es la diferencia entre dos cuerposidénticos viajando a diferente rapidez? Bueno, casi todos sabemos que unobjeto que se está moviendo más rápidamente que el otro (el que tienemayor rapidez) va a llegar más lejos que el objeto que se está moviendomás lentamente en la misma cantidad de tiempo. Es decir el objeto quese mueve más rápidamente llegará antes a un punto que el objeto máslento.

¿Pero qué es rapidez?

Sea lo que sea rapidez, ésta implica tomar en consideración distanciay tiempo. "Maś rápido" significa ya sea "más lejos" (mayor distancia) o"más pronto" (menos tiempo). Duplicando la rapidez significaría duplicarla distancia recorrida en una cantidad de tiempo dada. Duplicar la rapideztambién significaría reducir a la mitad el tempo requerido para recorrer


una distancia dada. Entonces Galileo llegó a las siguientes conclusionesdespués de efectuar sus experimentos:

Rapidez (v) es directamente proporcional a la distancia (d) cuando eltiempo es constante: v ∝ d (t constante)

Rapidez es inversamente proporcional al tiempo cuando la distanciaes constante: v ∝ 1/t (d constante)

Así la rapidez se define como:

Rapidez ≡ distanciatiempo

y matemáticamente:5 5 Notar que usamos el símbolo “v” pararapidez.

v =d

t

La unidad de rapidez en el SI es[ms], pero también es muy usada

[kmh

].

2.4.1 Distancia y desplazamientoEn la sección anterior hemos definido rapidez en función de la distancia

recorrida. Para ponernos de acuerdo con el lenguaje de la física, debemoshacer distinción entre los términos distancia y desplazamiento. Al parecerson la misma cosa, pero tienen distinta definición y significado:

a

b(i)

(ii)

(iii)

Figura 2.7: El desplazamiento es el vec-tor (azul) que va desde (a) hasta (b).

Distancia es una cantidad escalar (número) y se refiere a "cuanto ca-mino o distancia total ha recorrido un objeto" durante su movimiento.

Desplazamiento es una cantidad vectorial (tiene dirección y magni-tud) y se refiere a "cuan distante del lugar de partida se encuentra unobjeto"; es el cambio absoluto de la posición del objeto.

La figura 2.7 ilustra el caso de ir del punto (a) hasta el puto (b). Hay 3posibles rutas (i), (ii) y (iii). En cada una de ellas la distancia recorridaes distinta. El desplazamiento es la flecha (vector) que une los puntos (a)y (b).

EJEMPLO 2.3

A B

C D

Usar el diagrama para determinar el desplazamiento resultante y la distancia recorrida por el velociraptordurante los tres minutos.


Solución: La distancia recorrida es 420 m, y el desplazamiento es 140 m hacia la derecha.

2.4.2 Rapidez promedio y rapidez instantáneaPara calcular a rapidez de un objeto debemos saber cuan lejos ha ido y

cuanto tiempo le tomó en llegar. "Más lejos " y "más pronto" correspondeto "más veloz". Supongamos que usted manejó su auto desde Santiago aValparaiso. La distancia por carretera es aproximadamente 115 km. Si elviaje dura una hora y media, ¿cual es la rapidez? Simple

v =115 km1.5 h ≈ 77 km

hEsta es la respuesta que nos da la ecuación, pero ¿cuan correcta es estarespuesta? ¿Realmente la rapidez del auto fue de 77 km/h? Es poco pro-bable porque el auto puede haberse detenido o disminuido o aumentadola rapidez en ciertas zonas del trayecto. Entonces, el número que calcu-lamos arriba no es la rapidez del auto, es la rapidez media del trayecto.En algunos libros de texto se enfatiza esto poniendo una barra sobre elsímbolo de rapidez (v)

v =∆d∆t

Donde el símbolo “delta” indica un cambio.

Figura 2.8: El “velocímetro” de un au-tomóvil mide la rapidez instantánea.

Por el contrario, el “velocímetro”6 del auto muestra la rapidez ins-

6 Una palabra más científica sería “ra-pidómetro”.

tantánea, es decir, la rapidez determinada en un pequeño intervalo detiempo. Idealmente este intervalo debería ser lo más pequeño posible.Simbólicamente se escribe7

7 En lenguaje matemático riguroso es-cribimos

v = lım∆t→0

∆d∆t

vinst =∆d∆t

(con ∆t lo más chico posible)

Donde el símbolo ∆ significa un cambio.

2.4.3 VelocidadEn física velocidad y rapidez tienen significados diferentes. Velocidad

es una cantidad vectorial y tal como la fuerza tiene magnitud y dirección,la velocidad también. Imagine que una persona se mueve rápidamenteuna paso hacia delante y un paso atrás, siempre volviendo a la posiciónoriginal de partida. Puede que esta parezca una actividad estúpida, locierto es que el resultado sería que la velocidad es cero. ¿Porqué? la razónes que la persona siempre vuelve a la posición original, y el movimientonunca daría lugar a un cambio de posición. Por lo tanto la velocidadresultaría ser cero.

Como dijimos, velocidad es una cantidad vectorial y como tal, la ve-locidad tiene dirección. Cuando evaluamos la velocidad de un objeto,debemos tener en cuenta su dirección.8 No es suficiente decir que un ob- 8 Por ejemplo: norte, sur, derecha iz-

quierda, arriba, abajo, etc.jeto tiene una velocidad de 55 km/h, uno debe informar la dirección paradescribir complemente la velocidad del objeto.

La velocidad se define como el desplazamiento (un vector) por unidadde tiempo o cambio de la posición en la unidad de tiempo.

Velocidad ≡ desplazamientotiempo


Este desplazamiento, al ser un vector, tiene una magnitud y dirección,así que podríamos definir la velocidad, ~v, por medio de la ecuación

~v =~d

∆t

Al igual que en el caso de la rapidez, haremos la distinción entre velo-cidad media o promedio, y la velocidad instantánea.

Como hemos definido velocidad como un vector, entonces la velocidadpermanecerá constante si la magnitud y la dirección de ésta no cambian.Como ejemplo, tenemos la velocidad de la Luna alrededor de la tierra.Si bien es cierto que la rapidez (magnitud de la velocidad) de la Lunapermanece constante, su dirección cambia y por lo tanto podemos decirque la velocidad de la luna no es constante.

EJEMPLO 2.4: Diferencia entre velocidad y rapidez

Una persona camina 4 metros hacia el Este, 2 metros hacia el Sur, 4 metros hacia el Oeste, y finalmente 2metros hacia el Norte. La persona se demoró 24 segundos en el recorrido. Determinar la rapidez promedio yla velocidad promedio.Solución: La persona caminó una distancia de 12 metros en 24 segundos, entonces la rapidez media es

v =12m24 s = 0.5 m

s

Ahora si hacemos la cuenta, el desplazamiento es 0 metros, por lo tanto la velocidad promedio es 0 m/s.Recordar que el desplazamiento se refiere a un cambio en la posición y la velocidad se está basada en estecambio de posición.

EJEMPLO 2.5

A B

C D

Usar el diagrama para determinar la rapidez y velocidad promedio del velociraptor durante los tres minutos.Solución: La rapidez media es 420m/3min = 140m/min, y la velocidad media es 140m/3min =

46.7m/min hacia la derecha.

2.5 AceleraciónSe puede cambiar la velocidad de algo si se cambia su rapidez, si se

cambia su dirección o si se cambian las dos. Por ejemplo la Luna cambiasu velocidad en todo momento pero su rapidez permanece constante. Unauto en una curva cambia su velocidad. Cuando se pisa el freno de unauto, este cambia su rapidez y por lo tanto su velocidad.


¿Qué tan rápido cambia la velocidad de un objeto?

En el fondo estamos preguntando “¿cual es la velocidad con que cambiala velocidad?” Eso se llama aceleración y puede expresarse como:

Aceleración ≡ cambio de velocidadtiempo

y por supuesto que aceleración es un vector.

la unidad de aceleración en el SI es [m/s2] y se deriva de [(m/s/s],indicando que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad en eltiempo.9 9 La aceleración es “la velocidad con

que cambia la velocidad”.

Como ejemplo, si un automóvil aumenta su velocidad de 30 a 35 kiló-metros por hora en un segundo, y en el siguiente segundo a 40 kilómetrospor hora, a 45 en el siguiente y así sucesivamente. Cambiamos la veloci-dad en 5 kilómetros por hora cada segundo. Este cambio de velocidad eslo que entendemos por aceleración.

Aceleración =cambio de velocidad

tiempo =5 km/h

1 s

Si convertimos kilómetros en metros y horas a segundos, tendremos quela aceleración será

Aceleración =5000m/3600 s

1 s = 1.38 ms2

La aceleración media se define como10 10 ∆v = vf −vi, significa velocidad finalmenos velocidad inicial.

a =∆v∆t

Tal como en el caso de la velocidad, la aceleración también es un vector,y podemos reescribir la ecuación anterior como

~a =∆~v∆t

A veces, en programas deportivos de la televisión, oímos que losanunciadores dicen que una persona está acelerando si esa personase está moviendo rápidamente. Pero aceleración no tiene nada que vercon ir rápido o lento. Una persona se puede mover muy rápido peroaun así puede tener aceleración nula. Aceleración tiene que ver concambio de velocidad. Si un objeto no está cambiando su velocidad,entonces el objeto no está acelerando.

EJEMPLO 2.6

Un auto en USA se dice que va desde “cero hasta sesenta, en seis punto siete segundos”.(a) ¿Cual es la aceleración en m/s2?Solución: Bueno sabemos que en USA se usan millas para las distancia, así que “cero hasta sesenta” debería


significar “desde cero hasta sesenta millas por hora”, así que nosotros vamos a convertir todo en unidades SI:

v =60mih× 1069m

1mi = 26.8m/s

Entonces la aceleración media es

a =∆v∆t

=26.8m/s− 0m/s

6.7 s = 4.0 ms2

La respuesta está incompleta porque no hemos especificado la dirección. La respuesta completa es 4.0m/s2

hacia adelante (el auto está acelerando).

(b) El conductor mantiene el pie en el acelerador. ¿Cuantos segundos adicionales le tomaría al conductorpara alcanzar 36.0m/s, asumiendo que la aceleración no ha cambiado?Solución:

∆t =∆va

=36.0m/s− 26.8m/s

4.0m/s2 = 2.3 s

(c) Si el auto se mueve a una rapidez de 35.8m/s. ¿Cual sería la aceleración si le tomara 5.0 s para detenerse?Solución: Aquí la velocidad final es cero, por lo tanto

a =∆v∆t

=0m/s− 35.8m/s

5.0 s = −7.16 ms2

El signo menos indica que el auto está desacelerando. Por lo tanto la respuesta correcta es 7.16m/s2 haciaatrás.

2.6 Resumen de ecuacionesHasta el momento hemos definido dos conceptos: velocidad y acelera-

ción. Tomemos por ejemplo el módulo de la velocidad (rapidez)11 donde 11 Vamos a sustituir el símbolo ”d” por∆x.es conveniente expresar el desplazamiento adoptando un sistema de coor-

denadas en una dimensión (ver figura 2.9), de tal forma que ∆x se escribeen función de una coordenada inicial (x0) y una coordenada final (x). Lomismo podemos hacer con el tiempo, definimos un tiempo inicial, t0, yun tiempo final, t. Así la expresión de la velocidad se escribe12 12 Recordemos que habíamos usado el

símbolo “d” para el desplazamiento.Origen de

coordendasPosición

inicialPosición

final

Desplazamiento

Desplazamiento

Posicióninicial

Posiciónfinal

Figura 2.9: Sistema de coordenadas enuna dimensión. Si el auto viaja hacia laderecha, ∆x > 0, la velocidad es posi-tiva. Cuando el auto viaja hacia la iz-quierda, ∆x < 0, la velocidad en nega-tiva.

v =∆x∆t

=x− x0t− t0

Establecer un sistema de coordenadas tiene la conveniencia de que va-


lor de la velocidad puede tener dos signos, positivo (hacia la derecha) ynegativo (hacia la izquierda)

De la ecuación anterior podemos “despejar” x

x = x0 + v(t− t0)

Solo para simplificar las ecuaciones, partimos cuando el reloj marca cero,es decir t0 = 0

x = x0 + vt

Podemos hacer un análisis similar para la aceleración

a =∆v∆t

=v− v0t− t0

y de aquí obtener la velocidad final v

v = v0 + a(t− t0)

Igualmente, podemos partir cuando t0 = 0

v = v0 + at

Cuando la aceleración es constante, la velocidad cambiará uniforme-mente desde un valor inicial hasta un valor final y el promedio de lavelocidad estará entre medio de esos dos valores. Entonces, la velocidadpromedio (o velocidad media) será simplemente la media aritmética delos dos valores

v =12 (v0 + v) (?)

Si sustituimos v = v0 + at en (?), obtenemos

v =12 (v0 + v0 + at) = v0 +

12at

v = v0 +12at (??)

Por otro lado si sustituimos (??) en x = x0 + vt

x = x0 + (v0 +12at)t = x0 + v0t+

12at

2

x = x0 + v0t+12at

2

Finalmente, para aceleración constante, podemos combinar las ecua-ciones anteriores para obtener una ecuación donde no aparece el tiempo

v2 = v20 + 2a(x− x0)


2.7 Caída libre

2.7.1 Aceleración de gravedadUn objeto en caída libre es un objeto que cae solamente bajo la in-

fluencia de la gravedad. Hay dos características del movimiento de unobjeto en caída libre:

Fuerza degravedad

Figura 2.10: Un objeto en caída libre.La única fuerza actuando es la fuerzade gravedad.

Los objetos en caída libre no encuentran resistencia del aire.

Todos los objetos en caída libre (en la tierra) aceleran hacia abajo arazón de de 9.8m/s/s.

El símbolo en física para la aceleración de gravedad es g. El valor numéricode la aceleración de gravedad más aceptado es 9.8m/s/s, aunque haypequeñas variaciones en este valor numérico (en el segundo decimal) loscuales dependen principalmente de la altura. Ocasionalmente usaremosel valor de 10m/s/s para facilitar los cálculos.

Figura 2.11: Un objeto en caída libredonde se han registrado el tiempo y ve-locidad en algunos puntos de la trayec-toria.

Si pudiéramos registrar la velocidad y tiempo de un objeto en caída li-bre notaríamos que hay un patrón. Por ejemplo, de la figura 2.11 podemos


tomar las velocidades para calcular la aceleración media (a = ∆v/∆t) encada intervalo de segundo. Veamos, en el primer segundo

a =9.8m/s− 0m/s

1 s− 0 s = 9.8m/s2

Similarmente entre 1s y 2s

a =19.6m/s− 9.8m/s

2 s− 1 s = 9.8m/s2

y así sucesivamente comprobamos que la aceleración permanece constan-te. Observar además que la velocidad del objeto está cambiando a razónde 9.8m/s cada segundo.

2.7.2 Ecuaciones de caída libreSabemos que el movimiento de caída libre tiene una aceleración cons-

tante dada por g. Podemos utilizar la ecuaciones de la sección 2.6 parautilizarlas en el movimiento de caída libre:

v = v0 + gt

x = x0 + v0t+12gt

2

v2 = v20 + 2g(x− x0)

Estas dos ecuaciones pueden ser simplificadas aún más si consideramosque el cuerpo parte del reposo (v0 = 0) y colocamos el origen del sistemade coordenadas en la posición de partida (x0 = 0)

v = gt

x =12gt

2

v2 = 2gx

2.7.3 El signo de gA veces es confuso constatar que diferentes libros de texto usan dife-

rentes signos para la aceleración de gravedad en las ecuaciones. Estamosacostumbrados a adoptar un sistema de coordenadas donde el desplaza-miento hacia la derecha tiene signo positivo (eje x positivo). En el casode la caída libre lo normal sería que un desplazamiento hacia arriba ten-ga signo positivo (eje y positivo). Pero la gravedad apunta hacia abajo,así que los cuerpos tendrán aceleración negativa, de tal forma que lasecuaciones anteriores se escriben:

v = v0 − gt

x = x0 + v0t−12gt

2


(+)

(-) (+)

(-) Figura 2.12: Diagrama mostrando laforma de las ecuaciones de movimientode acuerdo al sistema de coordenadaselegido.

v2 = v20 − 2g(x− x0)

La figura 2.12 puede ser de ayuda para elegir el signo correcto.

EJEMPLO 2.7

Un gato baja de una cornisa y llega al piso en 1/2 segundo. (a)a) ¿Cuál es su rapidez al llegar al suelo?b) ¿Cuál es su rapidez promedio durante el 1/2 segundo?c) ¿Qué altura tiene la cornisa sobre el piso?Solución:(a) La rapidez: v = gt = 10m/s2 × 0.5 s = 5m/s(b) La rapidez media: v = (vinic + vfinal)/2 = (0m/s+ 5m/s)/2 = 2.5m/s(c) La altura: h = 1

2gt2 = 1

2 × 10m/s2 × (0.5 s)2 = 1.25m

Notar que hemos usado un sistema de coordenadas con la dirección positiva hacia abajo y hemos puestoel origen de coordenadas en la posición de la cornisa.

EJEMPLO 2.8: Abajo es negativo

Una pelota de golf se deja caer a partir del reposo desde la azotea de un edificio muy alto, Despreciando laresistencia del aire, calcular la velocidad de la pelota después de 1.0 s, 2.0 s y .3.0 sSolución: Ahora vamos a considerar mirar hacia abajo y elegir un sistema de coordenadas con direcciónpositiva hacia arriba y el origen que esté en la azotea (y0 = 0 en t0 = 0), entonces

v = −gt = −(9.8m/s2)t

la posición está dada pory = −1

2gt2 = −1

2 × (9.8m/s2)t2


donde el tiempo está en segundos, la distancia en metros y la velocidad en metros por segundo. Para t = 1.0 s:

v = −(9.8m/s2)× 1.0 s = −9.8m/s

y = −12 × (9.8m/s2)× (1.0 s)2 = −4.9m

Similarmente para t = 2.0 s,v = −19.6m/s y y = −19.6m, y para t = 3.0 s, v = −29.6m/s y y = −44.1m.

Los signos menos de v indican que la dirección de la velocidad es hacia abajo y los signos menos de yindican un desplazamiento en la dirección negativa.

EJEMPLO 2.9

Un niño se ubica frente a un pozo de 40m de profundidad, desde el borde del pozo deja caer una piedra (sindarle impulso).a) ¿Cuanto tarda la piedra en llegar al fondo del pozo?b) ¿Que velocidad lleva la piedra al llegar al fondo del pozo?c) ¿Cuanto tiempo pasa desde que el niño suelta la piedra y escucha que toca fondo? (considerando que lavelocidad del sonido sea 340m/s.Solución: Vamos a considerar la dirección positiva hacia arriba (g = −10.0m/s2).(a) Para determinar el tiempo de caída, dado que el niño no impulsa la roca, su velocidad inicial será 0m/s.El fondo del poso, de acuerdo al sistema de coordenadas elegido estará a y = −40m (considerando que elniño está en el origen del sistema de coordenadas). Por lo tanto de

y = −12gt

2 ⇒ −40 = −12 (10.0m/s2)t2

y despejando el tiempo

t =

√2× 40

10 = 2.83 s

(b) Teniendo el tiempo de caída podemos calcular la velocidad usando

v = −gt = −(10.0m/s2)× 2.83 s = 28.3m/s

(c) Finalmente, para saber cuanto tardó el niño en escuchar el eco de la piedra que cayó, debemos sumarel tiempo de caída al tiempo que tarda el sonido en viajar esos 40 metros. El sonido viaja a 340m/s por lotanto el tiempo que el sonido se demora en recorrer esos 40m es

t =40m

340m/s = 0.12 s

Así el niño escuchará a la piedra tocar fondo después de 2.83 s+ 0.12 s = 2.95 s .

EJEMPLO 2.10

Un niño se para en el techo de un edificio de 60m de altura y deja caer una pelota, sin darle ningún impulso.a) ¿Cuanto tardará la pelota en llegar a la mitad del edificio?b) ¿Cuanto tardará la pelota en recorrer la segunda mitad?Solución: Aquí tenemos dos alternativas para el sistema de coordenadas. Podemos poner el origen en laazotea, lo cual significa que todas las distancias hacia abajo tienen signo negativo. La otra alternativa es queel origen esté en el suelo, lo cual significa que todas las distancias son positivas hacia arriba. Aquí vamos aelegir esta última alternativa.(a) La mitad del edificio está a 30m sobre el suelo, mientras que el niño se encuentra a 60m sobre el suelo.


Utilizamos la ecuación y = y0 − 12gt

2 con y = 30 y y0 = 60

30 = 60− 12 × 10t2 ⇒ t =

√6 s = 2.45 s

(b) Calcularemos el tiempo total en caer del edificio y le restaremos el tiempo de la primera mitad. Usamosy = y0 − 1

2gt2 con y0 = 60 y y = 0

0 = 60− 1210t2 ⇒ t =

√12 s = 3.46 s

Por lo tanto el tiempo para recorrer la segunda mitad del edificio será

t = 3.46 s− 2.45 s = 1.01 s

Es importante observar, que aunque el recorrido fue igual, el tiempo de caída en el segundo tramo fue menor,esto debido a que la pelota va aumentando su velocidad de caída a medida que desciende, producto de laaceleración de gravedad.

EJEMPLO 2.11

Una piedra lanzada desde el techo de un edificio adquiere una ve-locidad inicial de 20.0m/s en línea recta hacia arriba. El edificiotiene 50mde altura. Determinar(a) El tiempo necesario para que la piedra alcance su máximaaltura.(b) La altura máxima.(c) El tiempo necesario para que la piedra regrese hasta el techodel edificio.(d) La velocidad de la piedra en ese instante.(e) La velocidad y posición de la piedra en t = 5.00 s.(f) La velocidad y el tiempo cuando la piedra llega al suelo.Solución:(a) La altura máxima se encuentra observando que la velocidadfinal es cero. Ponemosv = 0 en v = v0 − gt

0 = 20.0m/s− (9.8m/s2)t ⇒ t =20.0m/s9.8m/s2 = 2.04 s

(b) Con el tiempo encontrado en (a) podemos encontrar la altura

y = v0t−12gt

2

ymax = (20.0m/s)(2.04 s)2 − 12 (9.8m/s2)(2.04 s)2 = 20.4m

(c) Cuando la piedra regresa hasta el techo y = 0

y = v0t−12gt

2

0 = (20.0m/s)t− 12 (9.8m/s2)t2

Al factorizar esta ecuación, tenemost(20.0− 4.90t) = 0


Esta ecuación tiene dos soluciones. Una es cuando t = 0, correspondiente al tiempo cuando la piedra iniciasu movimiento. La otra solución es la que buscamos y corresponde a t = 4.08 s.(d) En ese instante (a los t = 4.08 s) la piedra regresa al punto de partida, pero con una velocidad en direcciónopuesta a la velocidad inicial. En efecto, la ecuación siguiente nos permite obtener la velocidad final

v = v0 − gt

v = 20.0m/s− (9.8m/s2)(4.08 s) = 20.0m/s− 40.0m/s = −20.0m/s

es un valor con signo negativo, lo cual indica que la piedra está descendiendo.(e) A los t = 5.00 s la piedra tendrá una velocidad

v = 20.0m/s− (9.8m/s2)(5.00 s) == −29.0m/s

y la posición y = v0t− 12gt

2

y = 20.0m/s)(5.00 s)− 12 (9.8m/s2)(5.00 s)2 = −22.5m

Es decir la piedra está a una distancia de 22.5m desde el techo hacia abajo.(e) Primero calculamos el tiempo en llegar al suelo. Esto se calcula en forma similar a la parte (c) cony = v0t− 1

2gt2 y poniendo y = −50m.

−50 = (20.0m/s)t− 12 (9.8m/s2)t2

esto resulta en una ecuación de segundo grado

4.9t2 − 20t− 50 = 0

cuyas soluciones sont = −1.75 s y t = 5.83 s

El valor −1.75 s no tiene sentido físico, así que la piedra llega al suelo después de t = 5.83 s . Con este tiempocalculamos la velocidad de llegada al suelo

v = 20.0m/s− (9.8m/s2)(5.83 s) == −37.1m/s


2.8 La segunda ley de movimiento de NewtonEn la primera ley de Newton vimos que si la fuerza neta sobre un

objeto es cero, entonces el estado de movimiento del objeto permaneceinalterado. Es decir la aceleración es cero y por lo tanto el objeto perma-nece en reposo o permanece con velocidad constante (ver figura 2.13).

Fuerza neta nula

Aceleración nula

Permanece en reposo

Objeto en movimientoObjeto en reposo

Permanece enmovimiento

(misma rapidez y dirección)

Figura 2.13: Diagrama de la primeraley de Newton.

La segunda ley de Newton es aplicable a objetos donde las fuerza so-bre ellos no está balanceada, es decir se aplica una fuerza neta (ver figura2.14). La segunda ley dice que la aceleración de un objeto es dependientede la fuerza que actúa sobre el objeto y de la masa del objeto. La ace-leración será mayor cuando la fuerza sea mayor o la masa sea menor. Siaplicamos una misma fuerza a dos objetos de distinta masa, el objeto másliviano tendrá mayor aceleración. La fuerza causa la aceleración.

Este hecho fue formulado por Newton de la siguiente manera:

La aceleración de un objeto, la cual es producida por una fuerza neta, esdirectamente proporcional a la magnitud de la fuerza neta e inversamenteproporcional a la masa del objeto.

Esto se expresa matemáticamente como

a =Fnetam

es decirFneta = ma

La unidad de fuerza, el Newton (N) ya la habíamos introducidoen forma preliminar. Ahora estamos en condiciones de ser más rigurosos,ya que tenemos la segunda ley de Newton formulada. Un Newton es lacantidad de fuerza requerida para acelerar un cuerpo de 1 kg a 1m/s2.

1N = 1 kg.ms2


Fuerza neta

Aceleración

La aceleración depende directamente de

la fuerza neta

La aceleración depende inversamente de la

masa del objeto

Figura 2.14: Diagrama de la segundaley de Newton. Si la fuerza neta sobreun objeto es distinta de cero, entoncesel cuerpo acelera.

2.8.1 ¿Qué es una fuerza?Habíamos definido fuerza como un empujón o tirón. Ahora podemos

decir que:

Una fuerza es una interacción que causa aceleración.13 13 Más generalmente, una fuerza es unainteracción que causa un cambio.

La fuerza es una cantidad vectorial asociada con una interacción.

Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo o sistema, lo que interesaes la fuerza neta externa.

Para que una fuerza acelere un objeto, la fuerza debe venir desde fueradel objeto (fuerza externa).

2.8.2 Fuerzas de fricciónCuando un objeto está en movimiento ya sea sobre una superficie o

en un medio viscoso tal como el aire o el agua, hay una resistencia almovimiento porque el objeto interactúa con los alrededores.14 A esta re- 14 Hay una fuerza neta externa.sistencia la llamamos fuerza de fricción. Si aplicamos una fuerza paradeslizar un bloque sobre una superficie, comprobaremos que existe resis-tencia al avance, es decir aparece una fuerza de fricción o roce, que suelereducir la fuerza neta y la aceleración que resulta. Esta resistencia se debea que las superficies en contacto tienen irregularidades. La razón es quea nivel microscópico (ver figura 2.15) existen superficies de contacto queno son lisas, y que son la causa del roce.

Superficie decontacto

microscópica

Figura 2.15: Superficies de contacto mi-croscópicas causan la fricción.

La figura 2.15 muestra que la fuerza de fricción o roce está en direcciónopuesta a la fuerza aplicada. La fuerza neta será entonces

~Fneta = ~F − ~Froce

La dirección de la fuerza de fricción siempre es la opuesta al movi-miento.

En la figura 2.15 el peso del bloque está balanceado con la fuerzanormal que ejerce el suelo sobre el bloque. La fricción no aparece hasta


que tratamos de mover el bloque. Esa fricción va a depender del materialde las dos superficies y de cuanto se oprima el bloque contra la otrasuperficie.

Otro ejemplo se muestra en la figura 2.16 donde la acción de caminarsin (caerse) involucra una fuerza de roce. El píe ejerce una fuerza haciaatrás y para que exista equilibrio, el camino ejerce una fuerza de roce deigual magnitud pero en dirección contraria. Pie empuja

hacia atrásCamino empujahacia adelante

Figura 2.16: Superficies de contacto mi-croscópicas causan la fricción.

Si aplicamos una fuerza para mover un bloque sobre una superficie y elbloque no se mueve, quiere decir que la fuerza de roce es igual a la fuerzaaplicada. Si incrementamos las fuerza y el bloque no se mueve, entoncesla fuerza de roce habrá aumentado para igualar la fuerza aplicada. Enalgún momento la fuerza de roce “cederá”, romperemos la adherencia yla caja resbalará. La experiencia nos dice que una vez que el bloque estáen movimiento nos costará menos deslizar el bloque posteriormente. Osea, la fricción en el deslizamiento es algo menor que la fricción que seacumula antes de que haya deslizamiento.

En la figura 2.17 se muestra un ejemplo donde la fuerza aplicada sedebe incrementar hasta 99N para que el bloque empiece a deslizar. Poste-riormente todo es más fácil, la fuerza de roce disminuye e incluso podemosreducir la fuerza aplicada para mantener el movimiento (Fig. 2.18).

Figura 2.17: Se incrementa la fuerzaaplicada hasta vencer la fuerza de fric-ción estática.

Figura 2.18: Una vez en movimiento serequiere una fuerza menor para mante-ner el movimiento, debido a que el rocedisminuye.

En física se hace la diferencia entre fricción estática y fricción de desli-zamiento o cinética.15 La fricción dinámica es típicamente menor que la

15 Roce estático y roce cinético.

fricción estática. La figura 2.18 ilustra humorísticamente este hecho.

Si la fuerza de fricción (cinética) de un bloque que se desliza sobre elsuelo es 50 N a baja rapidez, será también, con mucha aproximación, de


50 N a mayor rapidez. Esta es una manifestación del caso general donde lafricción no depende de la rapidez. Un automóvil que frena y patina, tiene La fricción no depende de la rapidez.la aproximadamente la misma fricción independiente de su velocidad.

Un caso menos intuitivo es que la fricción no depende del área de con-tacto. Un ejemplo son los neumáticos de algunos vehículos. Neumáticosmás anchos no proporcionan más fricción que los angostos (ver figura2.19). El beneficio de un neumático ancho es repartir el peso del vehículosobre más superficie, para reducir el calentamiento y el desgaste.

Figura 2.19: La fricción de estos dosneumáticos no depende del área de con-tacto. No importa el ancho, la fricciónserá la misma.

¿Cuantos neumáticos necesita un camión para obtener un mejor fre-nado? Da lo mismo. la fricción entre un camión y el pavimento es igualsin importar el número de neumáticos. El efecto de una mayor cantidadde neumáticos es repartir la carga sobre más pavimento y de esa formareducir la presión en cada neumático (Fig. 2.20).

Figura 2.20: La mayor cantidad de neu-máticos tiene el propósito de repartir lacarga, pero eso no aumenta la fricción.

Para terminar esta sección, hay que dejar en claro que la fricciónes un fenómeno muy complejo, el cual no puede ser representadomediante un modelo simple. Casi cualquier afirmación que digamosacerca de fricción puede ser contradicha con algún contraejemplo.

Por ejemplo, parece seguro afirmar que superficies rugosas expe-rimentan más fricción. Pero si dos placas de metal plano son pro-gresivamente pulimentadas y suavizadas, nos encontraremos en unpunto donde ¡la resistencia al movimiento relativo se incrementa!.De hecho, en el caso ideal, donde se han eliminado todas impurezasentre las placas para hacerlas más suaves y planas, las dos superficiesse adherirán; eso se llama “soldadura en frío”.

2.8.3 Masa y peso

la masa de un objeto es una propiedad fundamental del objeto;es una medida numérica de su inercia; es una medida fundamental de lacantidad de materia en el objeto. Es difícil definir masa porque inevita-blemente tenemos que definirla en función de otra cosa que también sedefine en función de masa (definición circular).

En la vida diaria usamos el término peso en forma indistinguible deltérmino masa. Sin embargo, el peso de un objeto es la fuerza de gravedadsobre el objeto y puede ser definido como la masa multiplicado por laaceleración de gravedad (segunda ley de Newton)

Peso = masa× aceleracion de gravedad

Puesto que el peso es una fuerza, su unidad en el sistema SI en el Newton.

La masa es una propiedad fundamental. Si un cuerpo tiene una masade 1 kg en la Tierra, este tendrá una masa de 1 kg en la Luna, peroel cuerpo pesará seis veces más en la tierra que en la Luna. La razónes que en la Luna la aceleración de gravedad es aproximadamenteseis veces menor que en la Tierra.


2.8.4 La segunda ley y la gravedadComo vimos en una sección anterior, el movimiento de caída libre es

un tipo especial movimiento donde la aceleración es constante (g). Losobjetos en caída libre, no encuentran una fuerza de resistencia (roce ofricción) debida al aire significativa. Los objetos caen con la misma acele-ración, no importando sus masas. Por ejemplo consideremos un elefantede 1000 kg y un ratón de 1 kg, ambos en caída libre (ver figura 2.21).El elefante al ser más pesado va a experimentar una mayor fuerza degravedad que el ratón. Decimos entonces que el elefante es más pesado.Esto lo sabemos por la segunda ley de Newton porque el peso del elefante(Pel) y el ratón (Pr) se calculan de la siguiente manera

Figura 2.21: En caída libre siempre loscuerpos experimentan la misma acele-ración..

Pe =Meg = 1000 kg× 10m/s2 = 10000N

Pr = mrg = 1 kg× 10m/s2 = 10N

Pe y Pr son las fuerzas netas que sienten ambos. Si bien la fuerza degravedad (peso) sobre el elefante es mayor que la del ratón, ambos estánacelerando en la misma proporción:

10000N1000 kg =

10N1 kg = g

EJEMPLO 2.12

El cohete V-2 usado por los alemanes en 1945, pesaba alrededor de 12 toneladas (m = 12000 kg) comple-tamente cargado con combustible y 3 toneladas (3000 kg) vacío. El motor del cohete creaba un empuje de240000N. Usando g = 10.0m/s2, calcular:(a) La aceleración del V-2 en el momento de lanzarlo(b) La aceleración justo antes que se le acabara el combustible.Solución: Supongamos que la dirección hacia arriba es positiva y la dirección hacia abajo negativa. Con estaconvención podemos trabajar con números en vez de vectores.

En el momento de lanzamiento hay dos fuerza actuando sobre el cohete: un empuje de +240000N y elpeso del cohete completamente cargado

mg = 12000 kg× (−10.0m/s2) = −120000N

La fuerza neta hacia arriba es entonces

+240000N+ (−120000N) = +120000N

y la aceleración inicial, se calcula por la segunda ley de Newton

a =120000N12000 kg = 10.0m/s2 = 1g

Entonces el cohete parte subiendo con la misma aceleración que una piedra en caída libre. A medida queel combustible va disminuyendo, la masa del cohete decrece pero la fuerza no, entonces esperamos que laaceleración aumente. El peso en este caso es

mg = 3000 kg× (−10.0m/s2) = −30000N


así que la fuerza neta es ahora

+240000N+ (−30000N) = +210000N

obteniéndose una aceleracióna =

210000N3000 kg = 70.0m/s2 = 7g

El hecho de que la aceleración se incremente a medida que el combustible se gasta es muy importante paralos vuelos espaciales tripulados. El cuerpo de un astronauta ante una aceleración de of 7g experimentaráuna fuerza de hasta 8 veces su peso (¡la gravedad también contribuye!), creando un exceso de estrés(3-4 g es probablemente el límite sin trajes especiales). Es difícil controlar el empuje de un cohete, peroun cohete con varias etapas puede superar la primera etapa antes de que a se incremente demasiado, ycontinuar con un motor más pequeño.

EJEMPLO 2.13

Una cuerda es usada para tirar un balde de 2.89 kg de agua desde un pozo profundo.(a) ¿Cual es la aceleración del balde cuando la tensión en la cuerda es 30.2N?(b) Si se parte del reposo, , ¿cuales la rapidez del balde después de experimentar esta fuerza durante 2.16 s?Solución:(a) Imaginemos primero cual sería la tensión si el balde estuviera colgado con velocidad constante o detenido.En ambos casos la aceleración sería cero. Por lo tanto la fuerza neta sería cero. Eso quiere decir que la tensiónde la cuerda sería igual al peso del balde.

En este caso el balde está acelerando pues la tensión es mayor que el peso. En efecto, la fuerza neta sobreel balde es:

Fneta = T − P = 30.2N− 2.89 kg× 9.8m/s2 = 1.878N

esto no da una aceleracióna =

1.878N2.89 kg = 0.65m/s2

(b) Después de partir del reposo y al cabo de 2.16 s acelerando a 0.65m/s2 el balde tendrá una velocidad

v = v0 + at = 0 + 0.65m/s2 × (2.16 s)2 = 1.4m/s

EJEMPLO 2.14

Momentos antes de hacer un salto desde un avión, una persona de 82.5 kg experimenta una resistencia delaire de 118N. Determinar la aceleración en ese instante.Solución: En ese instante la persona experimenta una fuerza neta dada por la diferencia entre su peso (haciaabajo) y el empuje (hacia arriba)

Fneta = 82.5 kg× 9.8m/s2 − 118N = 690.5N

esto no da una aceleración dea =

690.5N82.5 kg = 8.37m/s2

EJEMPLO 2.15

Una pelota de béisbol de masa 0.145 kg llega al guante de un jugador a una velocidad de 38.2m/s. El jugadorejerce una fuerza para detener la pelota y su mano retrocede 0.135m. Determinar la aceleración y la fuerza


aplicada a la pelota.Solución: Esta es una buena ocasión para usar la ecuación que relaciona la velocidad y la aceleración sininvolucrar el tiempo

v2 = v20 + 2a∆x

en nuestro caso ∆x = 0.135m, la velocidad final es cero, v = 0, entonces de

0 = v20 + 2a∆x

obtenemosa = − v2

02∆x

=(38.2m/s)2

2× 0.135m = 5404.6m/s2

y la fuerzaF = 0.145 kg× 5404.6m/s2 = 784N

2.8.5 La resistencia del aireYa se que un objeto se desplace horizontalmente o cayendo, siempre

hay una resistencia al avance debido a la fuerza de resistencia del aire.16 16 Es una fuerza de roce o fricción.Esto hace que la fuerza neta sobre un objeto se vea disminuida. En elcaso de caída libre, a medida que un cuerpo cae, su velocidad aumenta amedida que transcurre el tiempo. Eso se puede ver fácilmente mediantela expresión

v = v0 + gt

mientras mayor sea el tiempo de caída, mayor será la rapidez, v. En teoríala velocidad puede aumentar sin disminuir. En la realidad, la resistenciadel aire se hace cada vez mayor mientras mayor sea la velocidad. La fuerzaneta sobre un objeto de masa m, en caída es

Fneta = mg−R

donde R es la resistencia del aire y apunta hacia arriba (en direccióncontraria a la gravedad). La aceleración es

a =Fnetam

=mg−Rm

= g− R

m

Se ve que la aceleración es siempre menor que g.

¿Hasta cuando aumenta la resistencia del aire?

Hasta que la aceleración sea cero, es decir hasta cuando la resistenciasea igual al peso del objeto. Entonces estamos en la situación donde laaceleración es cero. Esto significa que la velocidad es constante.

En conclusión, se llega a un punto donde el objeto que cae deja deaumentar su velocidad y sigue cayendo con velocidad constante. Al ter-minarse la aceleración se dice que el objeto alcanzó su rapidez terminal. Rapidez terminal.La figura 2.22 ilustra esto.


Región develocidad terminal

Figura 2.22: A medida que el objetocae, la resistencia R aumenta y la ace-leración disminuye de acuerdo a a =g −R/m. La velocidad terminal se lo-gra cuando a = 0, es decir cuando laresistencia equilibra al peso.


2.9 La tercera ley de movimiento de NewtonLa tercera ley de Newton puede ser formulada de diferentes maneras

equivalentes y con diferentes grados de sofisticación:

Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, elsegundo objeto ejerce una fuerza de igual magnitud y dirección opuestasobre el primero.

Para cada acción hay una reacción igual y opuesta.

“No puedes tocar sin ser tocado”

Las fuerzas ocurren siempre en pares. Si el objeto A ejerce una fuerza~F sobre el objeto B, entonces el objeto B ejerce una fuerza, igual yopuesta, −~F , sobre el objeto A.

Si dos cuerpos interactúan, la fuerza ejercida sobre el cuerpo 1 por elcuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el cuerpo 2 sobreel cuerpo 1:

~F12 = −~F21

En resumen, ninguna fuerza existe sin la otra; las fuerzas se dan en pa-res, una es la acción y la otra la reacción. Es importante recalcar que lainteracción es entre dos cuerpos y el par de fuerzas de acción y reacciónforma una interacción entre los dos cuerpos.

Figura 2.23: El cohete empuja los gasescalientes hacia atrás. Los gases empu-jan al cohete adelante. Esa es la fuerzade empuje.

Podemos observar una gran variedad de fuerzas de acción-reacción enla naturaleza. Considere la propulsión de un pez a través del agua. Un pezusa sus aletas para empujar el agua hacia atrás. Esto resultará que el aguaacelerará el agua. Puesto que las fuerza resultan de interacciones mutuas,el agua debe también empujar el pez hacia adelante, haciendo que el pezavance a través del agua. la magnitud de la fuerza sobre el agua iguala ala fuerza sobre el pez; la dirección de la fuerza sobre el agua (hacia atrás)es opuesta a la dirección de la fuerza sobre el pez (hacia adelante). Lafigura 2.16 también ilustra que en la acción de caminar, el píe ejerce unafuerza hacia atrás y por ende aparece una fuerza de roce (reacción)de igualmagnitud pero en dirección contraria. También aparece un par de fuerzascuando un cohete se eleva, pues el cohete empuja los gases calientes haciaatrás, y a su vez los gases empujan al cohete adelante (ver figura 2.23).

Figura 2.24: Al empujar un camiónusted sentirá una fuerza en direcciónopuesta y acelerará mucho más que elcamión, pues el camión es muchísimomás pesado.

Si usted trata de empujar un gran camión usando patines, usted semoverá en la dirección contraria (ver figura 2.24). Cuando usted empujael camión su cuerpo aplica una fuerza al camión y el camión a su vezaplica una fuerza sobre usted. Puesto que el camión es muchísimo máspesado que usted, este no se mueve (mucho), pero usted se mueve haciaatrás lejos porque usted acelera más. En ecuaciones esto se puede verfácilmente. Suponga que la masa de usted es m y la masa del camiónes M (mucho más grande). Si la magnitud de la fuerza aplicada es F ,entonces las aceleraciones del camión ac y la de usted ap serán


donde se ha usado la misma fuerza, y se ve claramente que la aceleraciónap es mayor que ac porque m < M .

Un ejemplo parecido son dos patinadores donde la fuerza de roce conel suelo es pequeña (ver figura 2.25). Aquí los dos cuerpos tienen masaparecida así que las aceleraciones de ambos cuerpos serán parecidas.

A B

A B

Figura 2.25: El cuerpo A empuja alcuerpo B con una fuerza. El cuerpo Breacciona con una fuerza de igual mag-nitud pero en dirección contraria. Am-bos cuerpos al ser de masa parecidaacelerarán con una aceleración pareci-da.

Es importante recordar que para que haya movimiento, la segundaley nos dice que la fuerza neta aplicada debe ser externa al sistemao cuerpo. Si uno quiere empujar un auto al cual se le ha agotadola batería, ¿por uno qué no lo puede empujar sentado cómodamenteen el interior y empujando contra el tablero?, ¿por qué un libro quedescansa sobre una mesa nunca acelera “espontáneamente” comorespuesta a los miles de miles de millones de fuerzas interatómicasdentro de él?

Las dos preguntas se pueden responder fácilmente: porque en am-bos casos las fuerzas son internas.

Pregunta: si las fuerzas de acción y de reacción son iguales en magni-tud y dirección opuesta, ¿por qué no se anulan?

Esta supuesta paradoja aparece, porque se olvida que la tercera ley seaplica a dos cuerpos. Las fuerzas son interacciones entre cosas distintas.La única manera que dos fuerzas iguales y opuestas se anulen es que seanaplicadas a un solo cuerpo u objeto.

Un buen ejemplo que aclara lo anterior es el siguiente: un burro quese rehúsa a empujar un carro. El burro razona, "de acuerdo a la terceraley de Newton, cualquier fuerza que yo ejerza sobre el carro, el carroejercerá un fuerza igual y opuesta sobre mi, de tal manera que la fuerzaneta será cero y no habrá ninguna posibilidad de acelerar el carro" (verfigura 2.26-a).

¿Que hay de malo con este razonamiento?

Analicemos la figura 2.26-b, donde la fuerza ejercida por el burro es ~F .Las otras fuerzas que actúan sobre el carro son su peso ~P , la reacciónvertical de soporte del suelo ~Fn, y la fuerza horizontal ejercida por elpavimento ~fr (fuerza de fricción).17 17 Esto se llama diagrama de cuerpo li-

bre.La figura 2.26 muestra el diagrama de cuerpo libre del carro con el finde analizar las fuerzas que actúan sobre el. Ya que el carro no aceleraverticalmente, la suma de las fuerza verticales deben sumar cero. Encuanto a las fuerzas horizontales, el carro acelerará hacia la derecha si Fes más grande que fr.

En la figura 2.26-d, la fuerza de reacción ~F ′ es ejercida sobre el burroy no sobre el carro. ~F no tiene efecto en el movimiento del carro, pero síafecta el movimiento del burro. Si el burro acelera hacia la derecha, debe


haber una fuerza ~Fpav (hacia la derecha) ejercida por el pavimento sobrelas patas del burro, y esta fuerza debe ser mayor que ~F ′.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2.26: Ilustración de la tercera leymediante un ejemplo.

Recordar que en la segunda ley de Newton la fuerza neta sobre uncuerpo es la que importa, y esta fuerza neta determina si el cuerpoacelera o no. En contraste, la tercera ley relaciona las fuerza que dosdiferentes cuerpos ejercen uno sobre el otro. La tercera ley por si solano dice nada acerca del movimiento de cualquiera de los cuerpos.

EJEMPLO 2.16: Un ejemplo para discutir

Un naufrago decide soplar la vela para mover la balsa como se muestraen la figura. Si usted argumenta que el soplido es muy débil, entonces unasituación equivalente sería colocar un ventilador sobre la balsa, para soplaraire hacia la vela. ¿Usted cree que el naufrago logrará su propósito?Solución: ...


EJEMPLO 2.17: Otro problemita para pensar

Un marino está parado sobre un carro metálico (sin fricción con el suelo)y decide usar la tercera ley de Newton de movimiento para propulsarsea si mismo utilizando un magneto, tal como se muestra en la figura.¿Tendrá éxito? Explique.Solución: ...

EJEMPLO 2.18

Superficie sin fricción

Un hombre de 70 kg empuja un bloque de 35 kg con una fuerza horizontalde 280N. El hombre y el bloque están sobre una superficie sin fricción. Estafuerza causa que el bloque acelere.

Sin embargo debido a la tercera ley de Newton, el bloque empujará alhombre con una fuerza igual y opuesta de 280N, lo cual sugiere que la fuerzaneta sobre el bloque es cero y por lo tanto la caja no acelerará. ¿Acelerará ono el bloque? ¿Hay alguna contradicción aquí con la tercera ley de Newton?Solución: No hay contradicciones con la tercera ley de Newton. El bloqueacelerará puesto que hay una única fuerza horizontal actuando sobre el, esdecir la fuerza de 280N que el hombre ejerce. El bloque ejerce una fuerzade −280N sobre el hombre. Calculemos las aceleraciones del hombre y del

bloqueab =

280N35 kg = 8m/s2

ah =−280N70 kg = −4m/s2

No hay contradicciones con la tercera ley de Newton puesto que la fuerza de reacción que actúa sobre elhombre es igual y opuesta a la fuerza de acción del hombre sobre el bloque.

EJEMPLO 2.19

Superficiecon fricción

Superficiesin fricción

Un hombre de 70 kg, sobre una superficie con fricción, empuja un bloque de35 kg, que está sobre una superficie sin fricción, con una fuerza horizontal de+280N. Determinar las fuerza netas sobre el bloque y el hombre y despuésencontrar la aceleración de ambos.Solución: El hombre empuja con una fuerza de +280N y por lo tantoel bloque empujará al hombre con una fuerza de −280N. El hombre estáparado sobre una superficie rugosa, entonces el también sentirá una fuerzade fricción de +280N. Como resultado el hombre no se moverá, pero elbloque sí acelerará

ab =280N35 kg = 8m/s2

Esto es porque la caja se desliza sobre una superficie sin fricción.

CAPÍTULO3Energía

Hasta aquí hemos estudiado las tres leyes de Newton donde la fuerza hajugado un papel central como la cantidad que determina el movimiento.En este capítulo veremos que podemos estudiar el movimiento de tras-lación usando un nuevo concepto llamado energía. Este es un conceptomuy útil en todas las áreas de la ciencia. Aristóteles fue el primero en usar la pa-

labra "energeia" en un libro. El signifi-cado actual diverge significativamentedel significado original dado por Aris-tóteles. La palabra "energeia" se tra-duce como "actividad" o "trabajando".“Energeia” significa literalmente “con-tener trabajo” (en+ergon).

¿Pero qué es energía?

Es algo difícil de definir en forma precisa. Pero veamos con un ejemplo.Cuando usted levanta un objeto y lo mantiene en el aire usted se cansa,aunque usted no está haciendo ningún movimiento. Esta simple observa-ción implica que los músculos requieren energía para funcionar y proveeruna fuerza. En la vida cotidiana racionalizamos energía en términos decombustibles, electricidad, alimentos, etc. Pero estos términos no definenla energía; solo podemos decir que ellos proporcionan algo que se llamaenergía, la cual provee una fuerza para realizar un movimiento.

La energía total de un cuerpo o sistema puede estar presente en variasformas, que individualmente se transforman en el tiempo, pero que encircunstancias bastante generales, la suma de ellas siempre permanececonstante.

Una ventaja adicional es que energía es una cantidad escalar, lo cualfacilita las cosas en comparación a cantidades vectoriales tales como ve-locidad y aceleración.

3.1 TrabajoEn física la palabra trabajo tiene tiene una significado diferente al que

le damos en la vida diaria. En física trabajo tiene un significado muyespecífico para describir lo que se logra cuando una fuerza actúa sobreun objeto, y este se mueve a lo largo de una distancia.

Cuando una fuerza actúa sobre un objeto para causar un desplaza-miento del objeto, se dice que se ha realizado trabajo sobre el objeto. Haytres ingredientes en el trabajo: fuerza, desplazamiento y causa. Para queuna fuerza haga trabajo sobre un objeto debe haber un desplazamiento,y la fuerza debe causar el movimiento.

Supongamos que aplicamos una fuerza constante, si el movimiento es enuna línea recta en dirección de la fuerza, el trabajo realizado sobre unobjeto se define como el producto de la magnitud del desplazamiento porla fuerza. Definición de trabajo.

Trabajo= fuerza× distancia


Figura 3.1: Trabajo efectuado por unafuerza.

W = F × d

Usamos la letra W para trabajo, porque viene del inglés “work”. La unidadde trabajo es el Joule y se define como

[1 J] = [1N.m]

¿Qué pasa si la fuerza no es paralela al desplazamiento?

Esta situación está esquematizada en la figura 3.2 donde tenemos trescasos donde la fuerza aplicada forma un ángulo θ con la dirección dedesplazamiento. Mientras mayor sea θ menor será el trabajo efectuado,porque ahora el trabajo es

W = F cos θ× d

Figura 3.2: El trabajo efectuado poruna fuerza disminuye si ésta forma unángulo con la horizontal.

El valor de la expresión F cos θ es menor que F , lo cual significa que eltrabajo realizado será menor cuando la fuerza forme un ángulo con lahorizontal. La expresión F cos θ es la componente de la fuerza paralela aldesplazamiento (ver figura 3.3). Entonces solo la componente horizontalde la fuerza causa un desplazamiento horizontal.

Esta es la fuerzaque importa

Figura 3.3: La componente horizontalde la fuerza es la que importa.

Ahora estamos en condiciones de definir energía más formalmente:

Un sistema posee energía si tiene la habilidad de efectuar trabajo.

EJEMPLO 3.1: Definición de trabajo

¿En cual de las siguientes situaciones se efectúa trabajo?(a) Un profesor aplica una fuerza sobre la pared y se cansa.(b) Un libro cae hasta el suelo desde una mesa(c) Un cohete acelera a través del espacio.(d) Un mesero sostiene una bandeja llena de comida sobre su cabeza y se desplaza a través de la habitacióncon velocidad constante.(e) La Tierra ejerce una fuerza sobre la Luna.

energía 53

3.2 PotenciaEn la sección anterior definimos trabajo cuando una fuerza causaba un

desplazamiento. Pero trabajo no tiene ninguna relación con el tiempo quela fuerza actúa para causar el desplazamiento. Algunas veces el trabajo seefectúa muy rápidamente y otras veces el trabajo es hecho bastante lento.Por ejemplo, si tenemos que subir una carga por las escaleras, hacemosel mismo trabajo si lo hacemos en forma lenta o rápida. Si lo hacemosen forma más rápida nos cansamos más. ¿Porqué? Para explicar estotenemos que definir una cantidad que represente la velocidad con que seefectúa el trabajo. esta velocidad se llama potencia:

Potencia= trabajo efectuadointervalo de tiempo

P =W

∆t

La unidad de potencia es el Watt, 1W = 1 J/s. Una unidad de potenciamuy común es el caballo de fuerza (hp), que es equivalente a aproxima-damente 750 Watts.

Por ejemplo, supongamos que un motor de 40 hp puede acelerar unauto de 0 km/h a 60 km/h en 16 segundos. Si existiera otro motor conuna potencia cuatro veces superior, entonces ese motor podría hacer elmismo trabajo en un cuarto del tiempo. Es decir, un motor de 160 hppodría acelerar el mismo auto desde 0 km/h a 60 km/h en 4 segundos.

En resumen la ecuación P = W/∆t sugiere que un motor más pode-roso puede hacer el mismo trabajo en menos tiempo.

Tomando nuevamente la definición de potencia

Potencia =trabajo efectuadointervalo de tiempo =

fuerza× distanciaintervalo de tiempo

= fuerza× distancia

intervalo de tiempo= fuerza× velocidad

vemos que la potencia también se puede definir como la fuerza multipli-cada por la velocidad:

P = F .v


3.3 Tipos de energíaLa energía puede existir en muchas formas diferentes. Hay básicamente

dos tipos de energía. La energía asociada con el movimiento es llamadaenergía cinética. La energía asociada con la posición es llamada energíapotencial.

3.3.1 Energía potencialUn objeto puede almacenar energía debido a su posición con respecto

a algún otro objeto. A esta energía se le llama energía potencial (EP)porque en su estado almacenado tiene el potencial de efectuar trabajo.Podemos distinguir varias formas energía potencial:

Energía potencial gravitacional: montaña rusa, molino deagua, central hidroeléctrica.

Energía potencial electromagnética: energía potencial eléc-trica, energía potencial magnética, energía potencial química, energíapotencial elástica (resorte).

Energía potencial nuclear fuerte: energía nuclear, armasnucleares.

Energía potencial nuclear débil: decaimiento radioactivo.

En este curso vamos a trabajar con energía potencial gravitacional.

La energía potencial gravitacional es la energía almacenadaen un objeto como el resultado de su posición vertical o altura. Para elevarun objeto en contra de la gravedad de la Tierra se requiere efectuar untrabajo y la fuerza involucrada es el peso del objeto. El trabajo paraelevar un objeto hasta una altura h, se define como energía potencialgravitacional (EP )

Energía potencial gravitacional= peso× altura

EP = mg× h

La altura h es la distancia arriba de un nivel de referencia, por ejemploel suelo, o el piso de un edificio. Por ejemplo, la figura 3.4 ilustra uncolumpio donde la altura se mide a partir del suelo. En la figura del medio,al energía potencial es mínima con respecto a las otras dos posiciones.El nivel de referencia puede cambiar, por ejemplo, podríamos colocarlojusto cuando el columpio está en posición vertical. En ese punto la alturasería cero y por lo tanto la energía potencial sería cero.

¿Si el nivel de referencia puede cambiar, entonces tenemos alguna ambi-güedad en la definición?

energía 55

Figura 3.4: Tres posiciones de la trayec-toria de un columpio. A mayor alturamayor es la energía potencial gravita-cional EP = mgh.

No, la energía potencial solo tiene importancia solo cuando cambia, cuan-do efectúa trabajo o se transforma en energía de alguna otra forma. Enel caso de la figura 3.4, la diferencia de energía potencial entre el puntomás alto y el punto más bajo, es la misma, no importando desde dondese mida la altura.En el caso de la figura 3.5 tenemos tres trayectorias por las que podemoselevar una pelota de 1 kg hasta una altura de 3 m. La esfera pesa 10 N:

En el caso (a), la energía potencial de la esfera es igual a (W = 10N×3m = 30 J), porque se debe aplicar una fuerza de 10 N, para desplazarla pelota desde el suelo hasta una altura de 3 m.

En el caso (b) el recorrido son 5 m, pero como tenemos un planoinclinado, la fuerza aplicada debe ser de solo 6 N y el trabajo es W =

6N× 5m = 30 J.

En el caso (c) se sube con 10 N por escalones de 1 m. No se efectúatrabajo (si no se tiene en cuenta la fricción) para moverla horizontal-mente.

En resumen, la esfera de la figura 3.5 ganó 30 J de energía y ahora suenergía potencial con respecto al suelo es de 30 J.

(a) (b) (c)

Figura 3.5: El trabajo realizado parasubir la esfera de 1 kg una distancia de3 m, en contra de la gravedad es 30 J,en los tres casos.


3.3.2 Energía cinética

La energía cinética es la energía del movimiento. Un objeto que tie-ne movimiento, no importando la dirección, tiene energía cinética. Haymuchas forma de energía cinética

Energía mecánica (movimiento de sistemas macroscópicos): máquinas,energía eólica, energía de las olas, sonido.

Energía térmica (movimiento de partículas de materia): energía geo-térmica.

Energía eléctrica (movimiento de cargas): corriente domiciliaria, luz.

Radiación electromagnética: radio, microondas, infrarrojo, luz, ultra-violeta, rayos-X, rayos gama, energía solar.

Para hacer las cosas simples nos enfocaremos en la energía cinética tras-lacional. La cantidad de energía cinética traslacional (Ec) que un objetoposea depende de dos variables: la masa (m) y la rapidez (v) del objeto.La energía cinética se define como

Energía cinética= 12 × masa× rapidez2

Ec =12mv

2

Esta ecuación revela que la energía cinética de un objeto es directamenteproporcional al cuadrado de su velocidad. Esto significa que si la veloci-dad se dobla, la energía cinética aumenta en un factor de cuatro. Si lavelocidad se triplica la energía cinética aumenta en un factor de nueve.

3.3.3 Energía mecánica (energía total)

La energía mecánica es cuando consideramos la suma de las energíacinética y potencial de un sistema.1 Entonces, la energía total mecánica 1 Recordemos que esta es una simplifi-

cación y estamos dejando de lado mu-chas otras forma de energía, las cualesahora consideraremos que son nulas.

(ET ) se define comoET = Ec +EP

ET =12mv

2 +mgh

Un objeto que posee energía mecánica es capaz de efectuar trabajo. Dehecho, a veces, la energía mecánica se define como la habilidad de efectuartrabajo. Es la energía mecánica la que permite que un objeto aplique una Un sistema tiene energía si tiene la ha-

bilidad de efectuar trabajo.fuerza a otro objeto para causar su movimiento. En la figura 3.6 se ilustraun ejemplo de una máquina de demolición, donde se muestra el proceso deconversión de energía potencial en energía cinética. Esta energía mecánicapuede proveer de una fuerza para causar un desplazamiento, es decir seefectúa trabajo sobre las paredes de la torre.

energía 57

Figura 3.6: Proceso por el cual la ener-gía mecánica es usada para efectuartrabajo. Primero la bola tiene energíapotencial, la cual se va convirtiendoen energía cinética. Finalmente la bolaaplica una fuerza para causar que lasparedes de la torre se desplacen.

3.3.4 Conservación de la energía

Un objeto en movimiento rectilíneo puede sufrir transformaciones deenergía cinética, pues su velocidad puede variar. Así mismo la energía po-tencial de un objeto en caída libre disminuye a medida que el cuerpo cae,pero a la vez su energía cinética aumenta. Son estos cambios de energíalos interesantes pues nos permiten comprender los procesos naturales.

La figura 3.7 ilustra como las energías cinética y potencial cambian amedida que un esquiador se desliza hacia abajo. La energía total (mecá-nica) es la suma de las energías potencial y cinética. Al inicio la energíacinética es cero y la energía potencial 50000 J. A medida que el esquiadoravanza su velocidad varía y por lo tanto ahora la energía cinética no escero. La energía potencial disminuye salvo cuando el esquiador ha salta-do hacia arriba. Notar que la suma de las energías es 50000 J, en todomomento.

Figura 3.7: La energía total del esquia-dor es constante.

El hecho de que la energía total no varíe en ningún punto de la trayec-toria es un caso particular de un hecho qué siempre se cumple y se llamaley de la conservación de la energía.

La energía no se puede crear ni destruir; se puede transformar de unaforma a otra, pero la cantidad total de energía nunca cambia. Conservación de la energía.

Los gráficos de barras son una herramienta muy útil para enten-der la ley de conservación de la energía. En una situación inicial y final,la energía se puede desglosar como


Eci +EPi︸︷︷︸inicial

= Ecf +EPf︸︷︷︸final

A

B

C

DFigura 3.8: Cuatro punto de la trayec-toria de una esfera que se deja caer.

Esta relación puede ser representada por un gráfico de barras, donde seusa una barra representar cada término de la energía total. Por ejemplo enla figura 3.8 se ilustra una esfera cayendo. En los cuatro puntos señaladosde su trayectoria, la energía total es la misma, pero la energía potencial yla energía cinética varían en cada punto. En la figura 3.9 se representa lasituación en los cuatro punto de la trayectoria. La altura de cada barra esarbitraria porque lo que importa es la suma de las altura de cada barra.Observar que el gráfico revela que no hay energía cinética en el estadoinicial, además no hay energía potencial en el estado final.

A B C DFigura 3.9: Los gráfico de barras en loscuatro puntos considerados, demues-tran que la suma de las energía cinéticay potencial es constante.

Finalmente, en la figura 3.10 muestra un ciclo completo, (a)-(b)-(c)-(d)-(e)-(f)-(g)-(h), de un péndulo oscilando. En todo momento la energíatotal permanece constante. Por supuesto que estamos suponiendo el casiideal donde el aire no ofrece resistencia. En ese caso el péndulo oscila-ría para siempre. Si la resistencia de aire es considerada, entonces éstaefectúa un trabajo sobre el sistema, hasta que el péndulo se detiene com-pletamente.

energía 59

Toda la energíaes cinética

Toda la energíaes potencial

Toda la energíaes potencial

Toda la energíaes cinética

La energía total no cambia(se conserva)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

Figura 3.10: Se muestra un ciclo com-pleto de oscilación de un péndulo. Du-rante el ciclo los valores de la energíapotencial y energía cinética varían, pe-ro la energía total permanece constan-te.


EJEMPLO 3.2

¿Cuando NO se conserva la energía mecánica?Solución: Cuando hay una fuerza externa. Por ejemplo la fuerza de roce o la resistencia del aire. Cuandoactúa una fuerza de roce, ésta tiene dirección opuesta al desplazamiento y por lo tanto el trabajo hecho poresta fuerza es negativo.

EJEMPLO 3.3

Un objeto que pesa 10 N es dejado caer desde una altura de 4 metros sobre el suelo. ¿Cual es la energíamecánica respecto del suelo, cuando ha caído 1 metro? (La respuesta debería ser inmediata).

EJEMPLO 3.4

Durante un cierto intervalo de tiempo, un objeto de 20N cae libremente una distancia de 10m. ¿Cuantaenergía cinética gana el objeto durante este intervalo de tiempo?Solución: La cantidad total de energía mecánica se conserva en situaciones de caída libre (no hay fuerzasexternas haciendo trabajo). Entonces la pérdida de energía potencial es transformada en energía cinética. Elobjeto pierde una energía potencial dada por

EPerd = mg∆h = 20N× 10m=200 J

Recordar que mg es igual a 20N. Por lo tanto la energía cinética ganada es 200 J. Notar que no fue necesariosaber cual era la velocidad del objeto a los 10m.

EJEMPLO 3.5: Caso de estudio

A

B

Un esquiador se desliza hacia abajo sobre un cerro sin fricciónde 100m de altura, y luego asciende a otro cerro de 90m. comose muestra en la figura. ¿Cual es la rapidez del esquiador cuandollega al segundo cerro?Solución: Si la energía mecánica ha de conservarse, entoncesla energía total en el punto A es la misma que en e punto B.

En el punto A la energía cinética es cero (vA = 0) y la energía total está toda en forma de energía potencial

EA =12mv

2A +mg× 100 = 100mg

En el punto B, la energía total es:EB =

12mv

2B +mg× 90

Como la energía se conserva tenemos que debe cumplirse que EA = EB

100mg = 12mv

2B + 90mg

10mg = 12mv

2B

Observemos que la masa se cancela en ambos lados de la ecuación. Finalmente despejamos vB

vB =√

2× g× 10 =√

2× 10× 10 = 14.1m/s

CAPÍTULO4Termodinámica

La termodinámica se puede definir como la rama de la física que estudiala energía, la transformación entre sus distintas manifestaciones, como elcalor, y su capacidad para producir un trabajo (energía mecánica).

4.1 TemperaturaTemperatura es un concepto difícil de definir sin recurrir a ecuaciones.

Tenemos que ser cuidadosos al definir temperatura y no confundirla concalor. Calor es una forma de energía. Temperatura es algo diferente. Envez de dar una definición rigurosa, podríamos preguntarnos: ¿cuan ca-liente está un objeto?. La respuesta a esta pregunta es una medida de latemperatura. Mientras más caliente está un objeto, mayor será su tem-peratura. En consecuencia nos gustaría dar una definición informal porel momento ...

Temperatura es una medida de cuán caliente o frío está un objeto.

¿No le gustó la definición?

Temperatura es en realidad una medida de actividad molecular. En ter-modinámica clásica (este curso) las cantidades son definidas en términosde observables MACROSCÓPICOS solamente.1 1 Por ejemplo: volumen, presión, tem-

peratura, densidad, concentración, etc.Estas variables pueden ser descritas co-mo promedios de variables microscópi-cas, tales como la masa y la velocidadde las moléculas en un gas. Estos deta-lles se estudian la teoría cinética de losgases.

Un a definición conveniente de temperatura es que es una medidade la energía cinética traslacional promedio asociada con elmovimiento desordenado de átomos y moléculas. Por ejemplo la figura4.1 muestra el movimiento de las partículas que pueden moverse libres enun gas. La mayor rapidez de las partículas es una medida de una mayortemperatura.

Figura 4.1: La energía cinética trasla-cional promedio de un gas es una me-dida de la temperatura.


4.2 Termómetros y escalas de temperaturaUn termómetro es un dispositivo que mide la temperatura de las cosas.

Usted puede usar un termómetro para medir la temperatura del interioro exterior de la casa, dentro de un horno o incluso la temperatura delcuerpo.

Figura 4.2: Un termómetro común y co-rriente consiste en una columna de mer-curio que se dilata o contrae de acuerdoa la temperatura.

Los termómetros que se usan hoy en día son diferentes a los usadoshace siglos. Usualmente hay una esfera en la base del termómetro ado-sada a con un tubo largo de vidrio más delgado (Fig. 4.2). Dentro hayuna sustancia (por ejemplo mercurio) que se dilata con la temperatura.Los primeros termómetros usaban agua, pero como el agua se congelano había ninguna manera de medir temperaturas bajo el punto de con-gelación del agua. Si se reemplaza el agua por alcohol es posible medirtemperaturas bajo cero.2 2 El etanol se congela a aproximada-

mente -114 °C y hierve a 78 °C.Los termómetros miden temperatura en Fahrenheit, Celsius y otraescala llamada Kelvin. La escala Fahrenheit es principalmente usada enEE.UU, y en la mayor parte del mundo se usa la escala Celsius. La escalaKelvin es usada por científicos.

4.3 Conversión entre la escala Farenheit y laescala Celsius

En las escalas más usadas, generalmente se eligen dos puntos para es-tablecer una relación lineal entre la temperatura un la altura del mercurio(u otra sustancia) dentro del la columna de vidrio. Se toman los puntosde congelación y ebullición del agua como referencia de 0°C y 100°C res-pectivamente en la escala Celsius. En la escala Fahrenheit estos puntosson 32 °F y 212 °F respectivamente.

20100

102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220

FAHRENHEIT

30

20

10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

CELSIUS

PUNTO DE EBULLICIÓN

100 °C -- 212 °F

DEL AGUA

PUNTO DE CONGELACIÓN

0 °C -- 32 °F

°C °F

DEL AGUA

Figura 4.3: Comparación de la escalasCelsius y Farenheit

Para convertir una escala en otra, suponemos que hay una relaciónlineal entre ellas. Por ejemplo:

TF = aTC + b

y con los puntos de referencia3

3 A una presión de 1 atm.

32°F←→ 0°C

212°F←→ 100°C

se obtiene que a = 9/5 y b = 32, por lo tanto:

TF =95TC + 32

termodinámica 63

4.4 Cero absolutoRespecto a las escalas de temperatura, uno se puede preguntar si exis-

ten límites para la temperatura más baja o más alta. Por lo que se conoce,no existe un límite para la temperatura alta. Por ejemplo, en las estrellasmás calientes se han medido temperaturas de 109°C. Por otro lado, hayun límite inferior para la temperatura en la naturaleza. Podemos llegarcerca de esta temperatura mínima, pero nunca alcanzarla.

El punto cero del la escala Kelvin es conocido como el cero absoluto y esel punto más bajo de temperatura que se puede alcanzar. El concepto deun mínimo de temperatura absoluta fue promovido por el físico EscocésWilliam Thomson4 en 1848. 4 También conocido como Lord Kelvin

Usando este cero absoluto, podemos definir la escala fundamental oabsoluta de temperatura, eligiendo la temperatura del punto triple delagua como 273.16K.5 La conversión entre Kelvin y grados Celsius es: 5 El punto triple del agua es la tempe-

ratura en que el hielo, agua y vapor co-existen y corresponde a 0.01 °C.

TC = TK − 273.15 °C

No hay números negativos en la escala Kelvin. En ella, los grados secalibran en divisiones con el mismo tamaño que los de la escala Celsius. Lafigura siguiente hace una comparación de las tres escalas de temperaturaque hemos revisado.

32°C

Fahrenheit Kelvin Celcius

273 0°C

212°F 373 100°CPunto de ebullicióndel agua

Punto de congelamientodel agua

Cero absoluto-460°F 0 -273°C

Figura 4.4: Comparación de las tres es-calas de temperaturas más usadas.


4.5 CalorUn sistema termodinámico es una parte del universo que queremos

estudiar. Para esto necesitamos aislar el sistema, en el laboratorio o enteoría. El sistema termodinámico lo estudiamos desde el punto de vistaMACROSCÓPICO. Es decir, el detalle de sus características MICROS-CÓPICAS (Ej: la posición y la velocidad de las partículas en cada ins-tante) es inaccesible y donde solo son accesibles sus características esta-dísticas.

Universo

Sistema

Frontera

Entorno

Entorno

El término calor está íntimamente relacionado con el concepto de tem-peratura, y a veces se le denomina energía térmica. Sin embargo, calorno es una nueva forma de energía, sino se define como transfe-rencia de energía a través de la frontera de un sistema. Esta transferencia Calor es transferencia de energía debido

a la diferencia de temperaturas.de energía es debido a la diferencia de temperaturas entre el sistema y elentorno. La dirección del calor va desde la temperatura más alta hacia latemperatura más baja.

Dirección del flujo de calor Figura 4.5: La dirección del flujo de ca-lor.

Entornose calienta

Entornose enfría

Figura 4.6: En el proceso de trasferen-cia de calor, el objeto más caliente seenfría y el objeto más frío se calienta.

Consideremos una taza muy caliente de café. Par efectos de discusióndiremos que la taza está a 80°C y que el entorno (la habitación) tieneuna temperatura de 26°C. ¿Qué pasará en esta situación?

La respuesta la sabemos: la taza se enfriará gradualmente a medidaque pase el tiempo. A 80°C, usted no se atrevería a beber el café, perodespués de un tiempo la taza se habrá enfriado. El café se enfría de 80°Ca cerca de 26°C. Entonces, ¿que estuvo pasando durante todo ese tiempo

termodinámica 65

hasta que el café se enfrió?. La respuesta es que el café y la taza estántransfiriendo calor a la habitación. Esta transferencia ocurre desde el cafécaliente al entorno más frío (figura 4.6). El hecho de que el café disminuyasu temperatura es signo de que la energía cinética de las partículas estádecreciendo. El café y la taza pierden energía. La energía perdida por elcafé y la taza es transferida al entorno. Esta transferencia de energía sellama calor. Calor es la transferencia de energía.

¿Hasta cuando dura el proceso de transferencia de energía?

Hasta que, tanto la taza como la habitación (o el hielo derretido y lahabitación), estén a la misma temperatura. Decimos entonces que ambosobjetos está en equilibrio térmico. Equilibrio térmico.

en resumen:

Un objeto disminuye su temperatura al transferir energía en la formade calor al entorno.

Un objeto incrementa su temperatura al ganar energía en forma decalor desde los alrededores.

Ambos procesos funcionan de la misma manera: se transfiere energíadel objeto de mayor temperatura al objeto de menor temperatura.

Podemos redefinir el concepto de temperatura y decir que mientrasmás alta sea la temperatura de un objeto, más alta será la tendenciade trasferir calor.

convención de signos: Usualmente calor se designa con la letra Q.Si Q > 0 el calor se retira del medio y se deposita en el sistema. Si Q < 0el calor se retira del sistema y se deposita en el entorno. sistema

Figura 4.7: Convención de signos parael calor Q.4.6 Energía interna

Es conveniente aclarar que el término calor no es lo mismo queenergía interna. Energía interna está relacionada con la energía delos componentes microscópicos (átomos, moléculas) de una sustancia. Lafigura 4.8 ilustra los componentes microscópicos de la energía interna.

En algunos libros de texto aparece el término energía térmica. Estetérmino se refiere al movimiento al azar de las partículas y está asociadoa la temperatura.

La energía interna incluye las siguientes energías:

Energía cinética de traslación, energía cinética de rotación.

Energía potencial de vibración asociada con fuerzas entre átomos enmoléculas.

Energía potencial eléctrica asociada con fuerza entre moléculas.


Traslaciónmolecular

Rotaciónmolecular

Traslaciónelectrónica

VibraciónMolecular

Espínelectrónico

Espínnuclear

ENERGÍA INTERNA Figura 4.8: Componentes microscópi-cos de la energía interna.

Todos los materiales poseen internamente una gran cantidad de ener-gía. Con la famosa ecuación E = mc2 podemos calcular la inmensaenergía contenida en los núcleos atómicos. Como se ve en la figura4.8, la energía interna puede ser bastante compleja aun en la sus-tancia más simple. En este curso nos ocuparemos de los cambios deenergía interna, lo cual es sinónimo de cambio de temperatura.

termodinámica 67

4.7 Expansión térmica

Cuando la temperatura de una sustancia es incrementada, sus molé-culas o átomos se agitan y se mueven más rápidamente, y en promedio,están más aparte unos de los otros.

Figura 4.9: Los enlaces entre los áto-mos de un sólido pueden ser modeladosimaginando resortes entre átomos veci-nos.

El resultado es que la sustancia se expande. Solo con algunas excepcio-nes,6 todas las formas de la materia (solidos, líquidos, gases y plasmas)

6 Cuando una sustancia se contrae alaumentar la temperatura se dice quetiene expansión térmica negativa. Unejemplo es el tungstato de zirconio(ZrW2O8). Este compuesto se contraecontinuamente en el rango de tempera-tura de 0.3 a 1050 K.

se expanden cuando son calentadas, y se contraen cuando son enfriadas.

Figura 4.10: Un termómetro común ycorriente se vale de la expansión térmi-ca del mercurio.

Si la expansión térmica es pequeña relativa a las dimensiones inicialesdel objeto, el cambio en alguna dimensión es proporcional al cambio detemperatura. Si un objeto tiene longitud inicial Li a lo largo de algunadirección a una temperatura y que la longitud se incrementa en ∆L cuan-do la temperatura cambia en ∆T . Entonces definimos el coeficiente linealpromedio de expansión como

α ≡ ∆L/Li∆T

esta es una ley experimental y el valor de α depende de cada material.Además α es constante para pequeños cambios en la temperatura. Des-pejando ∆L

∆L = αLi∆T

si suponemos que Lf es la longitud final, Ti la temperatura inicial y Tfla temperatura final, podemos escribir la ecuación anterior como:

Lf −Li = αLi(Tf − Ti)

Coeficientes de expansión lineal y volumétrico promediopara algunos materiales cerca de temperatura ambiente

Lineal VolumétricoMaterial (α) [°C−1] Material (β) [°C−1]

Aluminio 24× 10−6 Alcohol etílico 1.12× 10−4

Latón y bronce 19× 10−6 Benceno 1.24× 10−4

Cobre 17× 10−6 Acetona 1.5× 10−4

Vidrio (ordinario) 9× 10−6 Glicerina 4.85× 10−4

Vidrio (Pyrex) 3.2× 10−6 Mercurio 1.82× 10−4

Plomo 29× 10−6 Trementina 9.0× 10−4

Acero 11× 10−6 Gasolina 9.6× 10−4

Invar (aleación Ni-Fe) 0.9× 10−6 Aire a 0°C 3.67× 10−3

Concreto 12× 10−6 Helio 3.665× 10−3

Tabla 4.1: Coeficientes de expansión li-neal y volumétrico para algunos mate-riales. Notar que para estos materia-les α o β es siempre positivo. La calci-ta (CaCO3) es un caso especial porquese expande a lo largo de una dirección(α > 0) y se contrae a lo largo de otra(α < 0).


EJEMPLO 4.1

El acero es usado para construir los rieles de los ferrocarriles, no obstante,estos deben ubicarse con una cierta separación, debido a que la dilatacióntérmica puede hacer que se presionen entre si, deformándose. Calculemos ellargo final de un riel de 250 m, si su temperatura sube desde -10 °C hasta 30°C. La dilatación será

∆L = αL0∆T

Si miramos la tabla 4.1 para el acero α = 11 × 10−6 °C−1. Por otro ladoL0 = 250m y ∆T = 30 °C-(-10 °C)=40 °C. Entonces

∆L = αL0∆T = 11× 10−6 °C−1 × 250m× 40 °C = 0.11m = 11 cm

Vemos que el riel se ha dilatado 11 cm y el largo actual es 250m+ 0.11m = 250.11m.Aunque la temperatura inicial de −10 °C pueda parecer exagerada, aun un estiramiento inferior a 11

centímetros, podría provocar que las lineas férreas se doblen y provocar accidentes.

termodinámica 69

4.8 Capacidad caloríficaCuando se añade energía a un sistema y no hay cambios en la ener-

gía cinética o energía potencial del sistema, la temperatura del sistemausualmente aumenta. Si el sistema es una sustancia, encontramos quela cantidad de energía requerida para aumentar la temperatura de unamasa dada de esa sustancia varía de una sustancia a otra. Por ejemplola cantidad de energía para elevar la temperatura de 1 kg de agua esen 1°C es 4186 J, pero la energía requerida para incrementar en 1°C latemperatura de 1 kg de cobre es 387 J. No todas las sustancias absorben o li-

beran energía en la misma forma.La capacidad calorífica de una muestra de una sustancia se defi-

ne como la cantidad de energía necesaria para incrementar la temperaturade esa muestra en 1°C.7 7 Si una sustancia tiene masa m y se

requiere una cantidad de energía paraincrementar su temperatura en 1°C, en-tonces si la masa se duplica, se reque-rirá el doble de energía.

Entonces si una cantidad de energía Q produce un cambio de tempe-ratura ∆T en una sustancia

Q ≡ C∆T

donde C es la capacidad calorífica de la sustancia.

4.9 Calor específicoComo la capacidad calorífica depende de la masa de la sustancia, es

conveniente definir el calor específico de una sustancia mediante 8 8 Notar que el calor específico es iguala la capacidad calorífica por unidad demasa. c = C/m.c ≡ Q

m∆T

de aquí se desprende que el calor transferido transferido entre una muestrade masa m de una sustancia y el entorno es

Q = mc∆T

El calor específico definido de esta manera la convierte en una cantidadintensiva. El calor específico es una medida de cuan sensible es térmica-mente es una sustancia cuando se añade energía.


4.9.1 La gran capacidad calorífica del aguaSi nos fijamos en la tabla anterior, el agua tiene un calor específico

muy alto (4186 J/kg.°C) en comparación con las otras sustancias. Estealto calor específico hace que el agua sea un gran regulador de las tem-peraturas en la tierra. Pasa lo mismo con el agua de nuestro cuerpo, estanos ayuda a regular la temperatura nuestra temperatura.

Figura 4.11: La gran capacidad calorí-fica del agua, es usada para almacenarenergía.

El gran calor específico de agua hace que el agua sea un gran enfriador.Una pequeña cantidad de agua es capaz de absorber una gran cantidadde calor, con un aumento de temperatura relativamente pequeño.

¿Se acuerdan de los “guateros”?

También el agua se enfría con mucha lentitud. Este hecho se aprovechapara llenar los “guateros” con agua caliente.

EJEMPLO 4.2: Comparación de calores específicos

Tenemos hierro, vidrio y agua, 1 kg de cada uno, y las tres muestras están a 10C. Si agregamos 100 J deenergía, ¿como se ordenarían las muestras de acuerdo a su temperatura?

Agua

HierroVidrio

T T

T

Hierro

TVidrio

TAgua

T

c

c c

ccc

Solución: Las tres muestras están inicialmente a T = 10C y al agregar una energía Q = 100 J, la tempe-ratura de estas subirá. La muestra con mayor calor específico se “calentará menos”, es decir el aumento detemperatura será menor. En nuestro caso el agua tiene el calor específico más alto (4186 J/kg.°C) y por lotanto será la sustancia que tendrá una menor variación en su temperatura. El hierro tiene el calor específicomás bajo (448 J/kg.°C), entonces será la sustancia que tenga una mayor variación de temperatura. El vidrioestá en medio con un calor específico igual a 837 J/kg.°C.

termodinámica 71

4.10 Cambios de estado de la materiaLos tres estados de la materia en la naturaleza son: sólido, líquido

y gaseoso. la materia puede pasar de un estado a otro añadiendo oextrayendo calor de un sistema.

La temperatura y la presión influencian el estado en que la materiase presente. Una sustancia puede pasar de un estado a otro medianteel cambio de temperatura. La figura 4.12 se muestra los nombres quereciben los diferentes cambios de estado.

FusiónSo

lidificación

FusiónSo

lidificación Vaporización

Condesación

Sublimación

SublimaciónSólido Gas

Líquido

Figura 4.12: Cambios de estado de lamateria.

Generalmente si transferimos energía a una sustancia ésta experimen-tará un cambio de temperatura. Sin embargo, hay situaciones en que alañadir energía a la sustancia no se produce un cambio de temperatura.Esto ocurre cuando hay un cambio de fase, es decir la materia pasa deun estado a otro. Durante un cambio de fase la tempera-

tura no varía.Diferentes sustancias se comportan en forma diferente al experimentarun cambio de fase. Unas necesitarán más energía que otras para pasarde un estado a otros.9 también la energía necesaria para efectuar el el 9 Esto tiene que ver con las estructura

molecular de cada sustancia.cambio de fase dependerá de la cantidad de masa, m, de la sustancia. Seha encontrado experimentalmente que en un cambio de fase, la cantidad

L ≡ Q

m

es una propiedad térmica característica de una sustancia. La cantidad Lse llama calor latente. De esto se define que la cantidad de energía paraefectuar el cambio de fase de una masa m es10 10 Se usa a veces Q = ±mL. El signo

positivo es cuando entra calor al siste-ma. El signo negativo es cuando el sis-tema pierde calor.

Q = mL

Por supuesto que el calor necesario para fundir una sustancia no es elmismo para vaporizarla. De esta forma se define el calor latente de fusión

Q = mLf

y el calor latente de vaporización

Q = mLv


Un trozo de hielo de 100 g a -20°C se calienta, se derrite, se calientahasta el punto de ebullición, se vaporiza y se calienta hasta 150°C. Laenergía total necesaria para llegar a los 150°C se puede esquematizar mi-rando la figura siguiente. El hielo pasa por varias etapas hasta llegar auna temperatura de 150°C. Lo interesante está en los puntos B y D, quecorresponden a la fusión del hielo y a la vaporización del agua respec-tivamente. En estos dos puntos, los 100 g de agua ganan calor, pero sutemperatura no aumenta hasta que el hielo esté convertido totalmente enagua (B) o el agua esté totalmente convertida en vapor (D).

Cal

or a

ñadi

do (

kcal

)

Temperatura (°C)

A B

C

D

E

El calor ganado en cada etapa es:

QA = 1.0 kcal

QB = 8.0 kcal

QC = 10.0 kcal

QD = 54.0 kcal

QC = 2.4 kcal

El calor total es la suma de los calores en cada etapa:

Qtotal = QA +QB +QC +QD +QE = 75.4 kcal

termodinámica 73

4.11 Transferencia de calorEl calor, no fluye libremente de un cuerpo a otro, se encuentra con

restricciones al hacerlo, que dependen no solo del equilibrio térmico, sinotambién del material constituyente. Retomemos el ejemplo del hombrede nieve del otro lado de una pared. Ahí, la pared separa al hombre denieve del fuego, razón por la cual este no se derretirá de forma inmediata.La pared puede no ser un buen aislante, sino, solo ejercer una resistenciaal flujo de calor. En este caso podremos observar las siguientes variablesque condicionan la conducción del calor a través de la pared.

En las secciones anteriores anticipamos que el calor puede transferir-se de lugares más calientes a lugares más fríos. Al final dos cuerpos encontacto térmico llegarán a una temperatura común de equilibrio. Estaigualación de temperaturas se lleva a cabo de tres maneras: por con-ducción, convección y radiación.

4.11.1 ConvecciónEl aire es un pobre conductor del calor, pero la energía térmica puede

ser transferida fácilmente a través del aire, agua y otros fluidos porque elaire y el agua pueden fluir. En general la transferencia de de energía tér-mica (calor) mediante el movimiento de un fluido se llama convección.11 11 Es bien conocido el dicho “el calor

sube”.Si en un día de verano usted abre una ventana, entrará una masa de airetibio que aumentará la temperatura de la habitación.

4.11.2 RadiaciónLa radiación térmica es un concepto menos intuitivo de entender. To-

dos los objetos continuamente radian energía en la forma de ondas elec-tromagnéticas (lo veremos en otro capítulo) producidas por vibracionestérmicas de las moléculas. Es probable que usted esté familiarizado conla radiación electromagnética en la forma de brillo anaranjado del que-mador de una estufa eléctrica, un calentador eléctrico o las bobinas deun tostador.

4.11.3 ConducciónLa conducción se puede ver como un intercambio de energía cinética

entre moléculas o electrones que chocan. Si usted toma una varilla me-tálica y la pone al fuego, pronto la varilla se calentará en un extremos ydespués de un rato, el calor será conducido al otro extremo de la varillay usted se quemará. A la transmisión de calor de esta manera se le llamaconducción.

Conducción de calor implica una transferencia de calor desde un lugara otro en ausencia de flujo de material (sin convección). No hay nadafísico o material moviéndose desde el agua caliente al agua fría. Sólo setransfiere energía.

Vamos a revisar un caso interesante cuando la conducción es a travésde la pared de un objeto. La taza de cerámica consiste de una pared de


partículas. Estas partículas pueden moverse levemente de su posición deequilibrio. Las partículas calientes del café golpean la pared y transmitensu energía cinética a a las partículas de la pared (la pared se calienta).A la vez, las partícula de la pared vibran y transmiten esta energía a laspartículas vecinas. Este proceso continua hasta que las partículas exte-riores reciben energía cinética de las partículas de la pared exterior de lataza.

¿De que factores depende esta transferencia de energía?

Por supuesto que depende del grosor de la pared de la taza. Tambiéndepende de la diferencia de temperaturas y del tamaño de la superficiede la pared. Se puede establecer experimentalmente una ecuación quemodela esta transferencia de energía. Factores para la transferencia de calor:

Grosor de la paredSuperficie (área) de la paredTipo de material de la paredDiferencia de temperaturas

Supongamos que tenemos dos medios con temperaturas T1 y T2. Porejemplo el interior de una casa (T1) y el exterior de la casa (T2). Supo-nemos que adentro de la casa la temperatura es mayor. Si consideramosla transferencia de calor a través de una ventana de área A y grosor d ,ecuación que relaciona la tasa de transferencia de calor a estas variableses

tasa =k.A.(T1 − T2)

d[J/s]

donde k es el coeficiente de transferencia de calor o conductividad tér-mica del material de la ventana. Notar que la tasa de transferencia tieneunidades de potencia (W).

Conductividades térmicasMetales (W/m.°C) No metales (W/m.°C) Gases (W/m.°C)Aluminio 238 Asbesto 0.08 Aire 0.0234Cobre 397 Concreto 0.8 Helio 0.138Oro 314 Diamante 2300 Hidrógeno 0.172Hierro 79.5 Vidrio 0.8 Nitrógeno 0.0234Plomo 34.7 Hielo 2 Oxígeno 0.0238Plata 427 Caucho 0.2

Agua 0.6Madera 0.08

termodinámica 75

EJEMPLO 4.3

Calcular la transferencia de calor en un día frío a través de una ventanarectangular de 1.2 m de ancho y 1.8 m de alto, con grosor de 6.2 mm,un coeficiente k=0.27W/m/C. la temperatura adentro es 21°C y latemperatura exterior es -4°C.Solución:

A = (1.2m)•(1.8m) = 2.16m2

T1 − T2 = 21 °C− (−4 °C) = 25 °C

d = 6.2mm = 0.0062m

Con estos datos se obtiene

tasa =0.27W/m× 2.16m2 × °C× 25 °C

0.0062m = 2532 J/s

CAPÍTULO5Electricidad

La raíz de las palabras electricidad,electrónico, y electrostático es la pa-labra griega “elektron” , que significa“ámbar”. Ámbar es una resina fosiliza-da; los griegos usaban pedazos de ám-bar en la joyería. Ellos notaron quecuando el ámbar era frotado con tela,este atraía pequeños pedazos de pas-to seco u hojas. El ámbar podía levan-tar estos objetos desde el suelo vencien-do la fuerza de gravedad. Parecía natu-ral atribuir este comportamiento al ám-bar, así que que cualquier cosa que secomportara similarmente se le compa-raba con ámbar. En el siglo 16 el médi-co y físico William Gilbert estudió estecomportamiento y llamó a tales objetos“electrics”.

En tiempos modernos, estamos acostumbrados a tratar con el términoelectricidad. Las fuerzas eléctricas son las que sostienen el mundo mate-rial. Estas fuerzas enlazan los electrones y núcleos para formar átomos,a su vez los átomos son enlazados a otros átomos para formar moléculas.

Empezaremos este capítulo con el concepto de electrostática. El ob-jetivo de la electrostática es estudiar las fuerzas y otros efectos que seproducen entre los cuerpos que poseen carga eléctrica en reposo, ademásde los campos eléctricos que no cambian en el tiempo.

5.1 Carga eléctrica¿Qué es la carga eléctrica?

Ese es un misterio que permaneció que viene de la época de los griegos.Incluso uno podría decir que todavía es un misterio hoy en día. El entendi-miento moderno de electricidad comenzó en el siglo 18 con los trabajos deBenjamin Franklin, quien fue el primer científico de renombre del NuevoMundo. Se le atribuye a Franklin el uso de las palabras negativa y positivapara referirse al estado de carga eléctrica de un objeto.

Figura 5.1: Benjamin Franklin (1706 -1790) fue un político, científico e inven-tor estadounidense. Es considerado unode los Padres Fundadores de los Esta-dos Unidos. Una de sus contribucionesa la ciencia fue su estudio de los fenó-menos eléctricos. Presentó la teoría delfluido único (esta afirmaba que cual-quier fenómeno eléctrico era causadopor un fluido eléctrico, la "electricidadpositiva", mientras que la ausencia delmismo podía considerarse "electricidadnegativa") para explicar los dos tiposde electricidad atmosférica a partir dela observación del comportamiento delas varillas de ámbar, o del conductoreléctrico, entre otros.

Lo que podemos decir es que hay dos tipos de carga, las cuales sedesignan como positiva (+) y negativa (-). Cuando frotamos una varilla devidrio contra un pedazo de seda, la varilla de vidrio queda “electrificada” o“cargada” y llamamos a esa carga positiva. Ahora si frotamos si frotamosuna varilla de goma contra un pedazo de piel, entonces la varilla quedacon carga negativa (Fig. 1.1).

Goma

Piel de gato

VidrioSeda

Figura 5.2: La varilla de goma quedacargada negativamente al ser frotadacon piel. La varilla de vidrio queda car-gada positivamente al ser frotada conseda.

También se puede comprobar experimentalmente (Figura 5.3) que car-gas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.


Goma

Goma

Vidrio

Goma

(a) (b)

Figura 5.3: Comprobación de que car-gas iguales se atraen y cargas distintasse repelen.

5.1.1 Origen la carga eléctrica

La materia está constituida de átomos.1 Cada átomo consiste de un 1 Más adelante volveremos a revisar laestructura atómica con más detalle.núcleo, que contiene protones y neutrones, y este núcleo está rodeado por

un cierto número de electrones. La figura 5.4 muestra esquemáticamenteun átomo de Litio (Li). En el lado izquierdo está el átomo de litio neutro(carga cero), que consiste en un núcleo de tres protones (+) y cuatroneutrones (carga cero), y tres electrones (-) moviéndose alrededor delnúcleo. En el medio está el mismo átomo con un electrón de menos, porlo tanto, el ion litio (Li+) tendrá una carga neta de +1e. En el ladoderecho se ha agregado un electrón al átomo y tendremos el ion (Li−)con una carga en exceso de −1e.

Figura 5.4: Esquema de un átomo de li-tio neutro Li y los iones Li− y Li+. Loselectrones no tienen trayectorias defini-das así que las curvas azules en la fi-gura sólo tienen carácter esquemático.Sea positivo, done un electrón.

La fuerza de repulsión o atracción entre dos cuerpos cargados depende-rá de la “cantidad neta de carga” que posean. Por carga neta se entiendela carga en exceso (positiva o negativa) que un cuerpo posee comparadocon el mismo cuerpo neutro.

electricidad 79

Carga positiva Carga neutra Carga negativa

Figura 5.5: Un cuerpo neutro poseela misma cantidad de cargas negativasque positivas. En un cuerpo con unacarga neta, alguno de los dos tipos decargas está en exceso.

5.1.2 Cuantización de la carga

Los experimentos demuestran además que la carga está cuantizada.Esto quiere decir que la carga viene en múltiplos enteros de una cargaelemental (e). Por ejemplo si un cuerpo tiene una carga neta Q, entoncesnecesariamente se cumple que

Q = Ne

donde N = 1, 2, 3, · · · es un número entero y e es la carga fundamental,que tiene un valor de 1.602 × 10−19 C. Donde la unidad de carga esllamada Coulomb (C). Esto quiere decir que no puede haber una carga Coulomb (C) es la unidad de carga.más pequeña que 1.602× 10−19 C.

Notar que la unidad de carga eléctrica (1 Coulomb) es una cantidadextremadamente grande, ya que son necesarios 6× 1018 electronespara completar una carga de −1.0 C. Por ejemplo, si dos cargas deun Coulomb cada una están separadas un metro, entonces aplicandola ley de Coulomb, la fuerza de repulsión es aproximadamente 9×109 N. ¡Esto es alrededor de un millón de toneladas!.

Para darse una idea del tamaño de las partículas que constituyen unátomo, se muestran en la tabla, las masas de los electrones, protones yneutrones junto con sus respectivas cargas.

Partícula Masa (kg) Carga (C)electrón 9.11× 10−31 −1.602× 10−19 (−e)protón 1.673× 10−27 +1.602× 10−19 (+e)

neutrón 1.675× 10−27 0

Tabla 5.1: Masas y cargas de las partí-culas que forman un átomo.

5.1.3 Ley de conservación de la carga

Esta ley establece que la carga neta de un sistema aislado permanececonstante.

Si un sistema parte con un número igual de cargas positivas y nega-tivas, no se puede hacer nada para crear un exceso de carga negativa opositiva en el sistema a menos que traigamos una carga desde afuera delsistema (o quitar alguna carga del sistema). De la misma forma, si al-gún sistema parte con una cierta carga neta (+ o -), por ejemplo +100e,el sistema tendrá siempre +100e, a menos que se le permita al sistemainteractuar con el exterior.


5.1.4 Tipos de materialesLas fuerzas entre dos objetos cargados pueden ser muy grandes. La

mayoría de los objetos son eléctricamente neutros; tienen igual cantidadde cargas positivas que negativas.

Los metales son buenos conductores de carga eléctrica, mientras quelos plásticos, madera, y goma no lo son (se les llama aislantes). La cargano fluye muy fácilmente en los aislantes comparado con los metales.

Los materiales están divididos en tres categorías, dependiendo cuanfácilmente permitan el flujo de carga (ej. electrones) a los largo de ellos.Estos son: Tipos de materiales.

Conductores - por ejemplo los metales.

Semiconductores - el silicio es un buen ejemplo.

Aisladores - por ejemplo: goma, madera, plástico.

Si un conductor está cargado negativamente (exceso de electrones), loselectrones tienen la libertad de moverse libremente, y como cargas deigual signo se repelen, entonces los electrones van a tender a alejarseentre si. En consecuencia, los electrones se van a distribuir por todo elconductor para estar, en lo posible, lo más espaciados entre ellos.

GomaVidrio

Madera

Aire seco

Silicio

Germanio

AguaCarbono

MercurioHierro

AluminioPlata

Cobre

Habilidad de conducción creciente

Aislantes Semiconductores Conductores

Respecto al agua hay que tener cuidado en afirmar que es conductora.Estrictamente el agua (H2O) no es conductora. En agua de la llaveno es pura, sino que lleva disueltos gases (CO2) o sales minerales(cloruros, sulfatos, nitratos, calcio, magnesio, hierro, etc), y eso haceque sea conductora.

Cuando objetos con distinta carga se tocan, puede ocurrir conducción.La conducción es la transferencia de carga eléctrica por contacto directo.Como ya se mencionó anteriormente la conducción es mejor en conduc-tores que en aisladores. La figura 5.6 ilustra un ejemplo.

EJEMPLO 5.1

Esfera A Esfera B Una de estas esferas aisladas es de cobre y la otra de goma. Ambas esferastienen un exceso de cargas negativas. Identificar la esfera de cobre y la esferade goma.

electricidad 81

Un objeto cargado toca un objeto neutro:los dos objetos comparten la misma carga.

Un objeto cargado positivamente toca unobjeto cargado negativamente:los dos objetos se neutralizan.

Un objeto con dos unidades de carga negativatoca un objeto con seis unidades de carga negativa:los dos objetos quedan con cuatro unidades decarga negativa cada uno.

Un objeto con dos unidades de carga negativatoca un objeto con seis unidades de carga positiva:los dos objetos quedan con dos unidadesde carga postiviva cada uno.

Figura 5.6: La conducción es muchomejor entre conductores que en los ais-ladores. Aquí tenemos cuatros casos deesferas conductoras idénticas pero dedistinta carga.

EJEMPLO 5.2

Suponga que una esfera conductora es cargada positivamente mediante algún método. La carga está inicial-mente depositada en el lado izquierdo de la esfera. Debido a que la esfera es conductora, la carga se distribuyeuniformemente sobre la superficie de la esfera. ¿Cómo explica que la carga se distribuya uniformemente?(a) Los átomos cargados en la zona izquierda se mueven a través de la superficie de la esfera.(b) La carga positiva en exceso se mueve desde el lado izquierdo al resto de la esfera.(c) Los electrones en exceso del resto de la esfera son atraídos hacia la región de carga positiva.

5.1.5 Modos de cargar un objetoHay tres maneras de cargar un objeto. Estas son:

1. Por fricción: esto es útil para cargar aisladores.

2. Por conducción: es útil para cargar metales y otros conductores. Si unobjeto cargado toca a un conductor, una cantidad de carga será trans-ferida entre el objeto y el conductor, de tal manera que el conductorquedará cargado con el mismo signo que la carga del objeto.

3. Por inducción: también es útil para cargar metales y otros conductores.La figura de abajo muestra un ejemplo de como cargar una esferametálica por el método de inducción:


(a) (b) (c)

(d) (e)

Tierra

Figura 5.7: (a) Una esfera conductoray aislada. (b) Se acerca una barra car-gada negativamente y las cargas en laesfera se polarizan, pero la esfera siguesiendo neutra. (c) Se conecta un cable atierra y las cargas negativas fluyen ha-cia la tierra. (d) Se desconecta el cabley la esfera queda cargada positivamen-te y la tierra negativamente. (d) Se ale-ja la barra y las cargas positivas en laesfera se distribuyen uniformemente ensu superficie.

electricidad 83

5.2 Ley de Coulomb

Figura 5.8: Charles-Augustin deCoulomb (1736–1806) fue un físico eingeniero francés. La mayor aportaciónde Coulomb a la ciencia fue en el cam-po de la electrostática y el magnetismo,en 1777 inventó la balanza de torsióncon la cual, midió con exactitud lafuerza entre las cargas eléctricas. Coneste invento, Coulomb pudo establecerel principio, conocido ahora comoLey de Coulomb: la fuerza entre lascargas eléctricas es proporcional alproducto de las cargas individuales einversamente proporcional al cuadradode la distancia que las separa.

Charles Coulomb, con su balanza de torsión, se las arregló para medirlas magnitudes de las fuerzas eléctricas entre dos objetos cargados. Eldescubrió que la fuerza entre dos cargas depende de dos cosas:

La cantidad de carga en exceso de los dos objetos (Fig. 5.9).

La distancia entre los dos objetos (Fig. 5.10).

Figura 5.9: La fuerza electrostática en-tre dos objetos cargados es proporcio-nal al producto de la cargas, F ∝ q1q2.La figura 5.9 ilustra cinco casos donde la distancia entre las cargas es

constante. En cada caso, mientras mayor sea el producto de las cargas,mayor será la fuerza entre ellas, y mientras menor sea el producto de lascargas, menor será la fuerza entre ellas. Decimos entonces, que la fuerzaes directamente proporcional al producto de las cargas. Eso se escribecomo

F ∝ q1q2

Por otro lado en la figura 5.10 mantenemos las cargas constantes y va-riamos la distancia entre ellas. Se ve que a mayor distancia menor será lafuerza, y a menor distancia mayor será la fuerza. Decimos que la fuerzaes inversamente proporcional a la distancia entre las cargas es decir

F ∝ 1/R2


Figura 5.10: La fuerza electrostática en-tre dos objetos cargados es inversamen-te proporcional al cuadrado de la dis-tancia entre las cargas, F ∝ 1/R2.

Si juntamos las dos expresiones anteriores anteriores, podemos formu-lar la ley de Coulomb:

La fuerza electrostática entre dos objetos cargados es proporcional alproducto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia entre las cargas.

F = keq1q2R2

donde ke es llamada la constante de Coulomb:

ke = 8.9875× 109 N.m2/C2

pregunta:¿Quién descubrió la ley de Coulomb?

respuesta:¡Sorpresa! NO fue Charles Coulomb; ¡fue Henry Cavendish!. Henry

Cavendish (1731–1810) fue un científico brillante, pero también era muyretraído, solitario, misógino y excéntrico. También fue el primero en de-terminar el valor de la constante de gravitación universal (G). El des-cubrió que el agua es un compuesto molecular y no un elemento (comose pensaba). El también determinó la ley de fuerzas para cargas eléctri-cas (F = kq1q2/R2). Sin embargo, Cavendish raramente publicaba sushallazgos. Así que años más tarde, fue Coulomb quien recibió todos loscréditos al descubrir la ley de fuerza eléctrica.

electricidad 85

5.3 Campo eléctricoLa presencia de una carga eléctrica produce una fuerza sobre todas las

otras cargas presentes. La fuerza eléctrica produce una “acción a distan-cia”; los objetos cargados pueden influenciar a otros sin tocarlos.

Figura 5.11: La presencia de una cargaproduce perturbaciones a su alrededor.

Viendo la figura 5.11, la ley de Coulomb nos permite calcular la fuerzaejercida por la carga q2 sobre la q1. Si acercamos la carga q2 hacia q1entonces la magnitud de la fuerza sobre q1 se incrementará. Sin embargo,este cambio no ocurre instantáneamente (ninguna señal se puede propagarmás rápidamente que la luz). La cargas ejercen una fuerza sobre las otrasmediante perturbaciones que ellas generan en el espacio que las rodean.Estas perturbaciones se llaman campos eléctricos. Cada objeto cargadogenera un campo eléctrico que influencia el espacio alrededor.

Campo generado por

Figura 5.12: Una carga de prueba pe-queña q0 en presencia del campo eléc-trico generado por la carga Q muchomás grande. Esta carga pequeña “sien-te” la presencia de un campo eléctrico~E, y por lo tanto una fuerza ~F = q0 ~E.

El campo eléctrico ~E generado por una carga Q puede ser medido po-niendo una carga de prueba q0 en alguna posición (ver figura 5.12). La car-ga de prueba “sentirá” una fuerza eléctrica de magnitud F = keq0Q/r2.Entonces se define la magnitud del campo eléctrico ~E a una distancia rde la carga Q como

E ≡ F

q0

o en forma vectorial

~E ≡~F

q0

Puesto que la fuerza entre las dos cargas Q y q0 es F = keq0Q/r2,entonces la magnitud del campo eléctrico producido por la carga Q es

E = keQ

r2

Ya sabemos que existe una fuerza eléctrica entre dos objetos cargados.Por ejemplo la figura 5.13 muestra una carga de prueba pequeña q en lascercanías de una carga grande +Q la cual crea un campo eléctrico. Unafuerza eléctrica F actuará sobre la carga q. Si ahora colocamos una cargade prueba 3q en el mismo lugar, la fuerza eléctrica será tres veces mayor.


La dirección del campo eléctrico es definidacomo la dirección que tomaría una carga

positiva si se colocara cerca de Q.

Cargas positivas experimentan una fuerzaen la dirección del campo; cargas negativas(por ejemplo electrones) experimentan unafuerza en dirección opuesta al campo

Figura 5.13: Pequeñas cargas de pruebason colocadas en las cercanías de gran-des cargas +Q,−Q las cuales generancampos eléctricos. En consecuencia lascargas de prueba sentirán una fuerzaproporcional a la magnitud de sus car-gas.

electricidad 87

5.3.1 Lineas de fuerza de cargas puntualesPara representar la naturaleza vectorial del campo eléctrico, es convenien-te tratar de visualizarlo mediante lineas de fuerza de campo eléctrico. Envez de dibujar una infinidad de flechas de vectores en el espacio que ro-dea a la carga, es quizás más útil dibujar un patrón de algunas líneas queparten de la carga y se extienden hasta el infinito. Estas líneas, tambiénllamadas lineas de campo eléctrico, apuntan en la dirección que aceleraríauna carga de prueba positiva colocada en esa línea.

Figura 5.14: Líneas de fuerza para losdos tipos de cargas puntuales.Es decir, las líneas se alejan desde una carga positiva y se acercan

hacia una carga negativa. Un diagrama como el anterior podría incluirun infinito número de líneas, pero por razones de visualización se limitael número de ellas.

Hay dos reglas para las líneas de campo:

1. La dirección del campo eléctrico es, en todas partes, tangente a laslíneas de campo y van en el sentido de las flechas en las líneas.

2. La magnitud del campo es proporcional al número de líneas de cam-po por unidad de área que pasan a través de una pequeña superficienormal a las líneas. En el caso de las cargas puntuales, la magnituddel campo eléctrico es mayor cerca de la carga (hay mayor densidadde líneas). La figura 5.15 muestra un ejemplo donde un campo eléctri-co penetra dos superficies. La magnitud del campo eléctrico es mayoren la superficie A (hay mayor densidad de líneas por unidad de áreaatravesando la superficie) que en la B.

Figura 5.15: La densidad de líneas esuna indicación de la magnitud del cam-po eléctrico.

En la figura 5.16 se muestra una carga puntual y donde se ve que magni-tud del campo eléctrico disminuye con la distancia y también se ve quela cantidad de líneas de campo que atraviesan la misma área disminuye.

Las lineas de campo correspondientes a dos cargas puntuales idénticasse muestran en la figura 5.17. A la izquierda se muestran dos cargaspositivas y a la derecha una carga positiva y otra negativa:


A AA

Figura 5.16: La magnitud del campoeléctrico disminuye en la proporción1/r2 con la distancia r. La densidad delíneas que atraviesan una misma áreatambién disminuye .

Figura 5.17: Líneas de campo de doscargas puntuales.

Finalmente la figura 5.18 muestra una carga puntual y las líneas decampo eléctrico en presencia de tres conductores. Los conductores (neu-tros) se polarizan y como consecuencia se producen lineas de campo eléc-trico debido a los conductores.

−+

− − −−−−−−+++ + + + + +

−−−−

−

−+ + +

−

−

+

+

+

++

−−−−− − − −

+ + + + +++

Figura 5.18: Líneas de campo de unacarga puntual en presencia de tresconductores. La configuración produceademás una polarización electrostáticaen los conductores, los que a su vez ge-neran campos eléctricos.

electricidad 89

5.4 Potencial eléctricoHasta el momento hemos aprendido que:

La carga existe.

Las cargas ejercen fuerzas entre ellas.

La fuerza aparentemente se ejerce a través de cualquier distancia.

La fuerza se ejerce sin que haya contacto; es “una misteriosa fuerza adistancia”. Para tratar de explicar y hacer que este tipo de fuerza seamatemáticamente formal, se creó el concepto de campo eléctrico.

Pero, ¿acaso el concepto de campo no es complicado?. Recordemos queel campo eléctrico es un vector, y los vectores pueden ser complicados ydifíciles de manejar matemáticamente. Así que los científicos inventaronalgo que sea conceptualmente y matemáticamente más simple.

¿Recuerda las líneas de campo eléctrico? ¿Acaso estas líneas no separecen al flujo de algo? Las líneas de campo “fluyen” desde las cargaspositivas a las cargas negativas (ver por ejemplo las figuras 5.14 y 5.17).La tabla de abajo ilustra varios ejemplos de flujo:

El flujo de ... es causado por una diferencia en ...Agua en un río alturaEl viento (gases atmosféricos) presión atmosféricaCalor (energía interna) temperaturaSustancias disueltas concentración

¿Entonces, qué es lo que causa el flujo de líneas de campo eléctrico?

El flujo de lineas de campo eléctrico (cargas de prueba) es causado poruna diferencia de energía potencial eléctrica.

Una partícula en un campo eléctrico tiene una energía, que llamamosnaturalmente, energía potencial eléctrica. La palabra “potencial” nos diceque esa energía depende de la posición de la partícula. Si la partícula tieneuna cierta carga, entonces definimos potencial eléctrico

Potencial eléctrico =energía potencial eléctrica

carga

La unidad de medida del potencial eléctrico (voltaje) es el volt

1 volt = 1 joulecoulomb

Figura 5.19: Una pila de 1.5 volt cede1.5 joules de energía por cada coulombde carga que pasa por ella.

no confundir energía potencial eléctrica con potencial eléctrico.La energía potencial eléctrica se mide en joules mientras que le po-tencial eléctrico se mide en volt=joule/coulomb.


Otra manera de ver lo anterior es recordando que en el capítulo 3de energía, vimos que un objeto tiene energía potencial gravitacionaldebido a su ubicación en el campo gravitacional de la Tierra. Demanera análoga, una carga tiene energía potencial eléctrica en virtudde su lugar en un campo eléctrico. Así como se requiere trabajo paralevantar un objeto masivo contra el campo gravitacional de la Tierra,se requiere trabajo para mover una partícula cargada contra el campoeléctrico.

5.4.1 Potencial producido por una carga puntualEn la sección 5.3 que la magnitud del eléctrico de una carga puntual

está dada por E = keQr2 . Pero debemos recordar que el campo eléctrico es

una cantidad vectorial. El potencial es una escalar (número) que puede sernegativo o positivo. Para una carga puntual la expresión para e potenciales:

V = keQ

r

La diferencia con el campo eléctrico está en la dependencia de 1/r en vezde 1/r2.

5.4.2 Potencial eléctrico en circuitosAhora vamos a ver la utilidad del concepto de potencial eléctrico. En

realidad el voltaje es como una “presión eléctrica” que puede producir unflujo de carga, o corriente. La corriente se mide en ampere, cuyo símbolo Corriente es el flujo de carga.es A. Por otra parte, el alambre o material impide este flujo en ciertamedida. A este impedimento se le llama resistencia.

El circuito de la figura 5.20 tiene una batería, la cual invierte energía(química) para mover carga desde el terminal negativo (potencial bajo)hasta el terminal positivo (potencial alto). Este movimiento de cargas sehace en el circuito interno de la batería. Si la batería se mantiene co-nectada entonces habrá un flujo constante de carga a través del circuitointerno y las cargas saldrán por el terminal positivo hacia el circuito ex-terno para pasar a través de la ampolleta. En el filamento de la ampolletalas cargas (electrones) pierden energía (esa energía se convierte en calory luz). El final del viaje es cuando las cargas alcanzan el borne negativo.A este flujo de cargas lo llamaremos corriente eléctrica.

Potencialbajo

Potencialalto

Corriente

Corriente

Corriente

Figura 5.20: Al conectar la ampolleta,la batería gastará energía química paramover (dentro de la batería) cargas des-de un potencial bajo (borne negativo) auno más alto (borne positivo). Una vezque estas cargas hayan llegado al bor-ne positivo (potencial alto), circularána través de circuito externo (alambre yampolleta) hasta el borne negativo (po-tencial bajo).

electricidad 91

5.4.3 Diferencia de potencial¿Cuando se establece una corriente eléctrica en un circuito?

Cuando existe una diferencia de potencial, se hace posible que lacarga fluya a través del circuito externo (alambre). Este movimiento decarga es natural y no requiere energía. Podemos hacer una analogía conel caso gravitacional. Para elevar un objeto se necesita hacer un traba-jo contra las fuerza de gravedad, es decir hay que aumentar la energíapotencial gravitacional. Para que el objeto vuelva a bajar no se necesitainvertir energía, pues el proceso es espontáneo (ver figura 5.21).

Potencialbajo

Potencialalto

Se requiere energía para moverun objeto desde un potencialbajo a un potencial más alto

No se requiere energía para queel objeto se mueva hacia abajo

Potencialbajo

Se requiere energía para moverla carga desde un potencialbajo a un potencial más alto

No se requiere energía para quela carga se mueva hacia unun potencial más bajo.

Bornenegativo.Potencial bajo.

Bornepositivo.Potencial alto.

Bornenegativo.Potencial bajo.

Flujo al interio

r de la

bateríaFlujo a través del circuito

Figura 5.21: Analogía gravitacional: Senecesita energía para elevar un objeto.Para que el objeto caiga no es necesarioinvertir energía; el proceso es espontá-neo.

Los cargas (electrones) no fluirán si ambos bornes de la batería tienenel mismo potencial; las cargas fluirán desde un punto a otro solamentesi existe una diferencia de potencial (voltaje) entre esos dos puntos. Unvoltaje alto resulta en una mayor tasa de flujo de carga. Como ya mencio-namos anteriormente este flujo se llama corriente. La figura 5.22 muestrauna analogía con el caso gravitacional. Una persona no se deslizará si nohay una diferencia de altura; la persona se deslizará solamente si existeuna diferencia de alturas (diferencia de energía potencial gravitatoria)entre dos puntos. A mayor diferencia de altura resultará en una mayorrapidez de deslizamiento.


Alto voltaje Bajo voltaje

Alta elevación

Baja elevación

Figura 5.22: Otra analogía con el casogravitacional. Mayor diferencia de al-turas es análogo a mayor diferencia depotencial.

electricidad 93

5.5 Corriente eléctrica y circuitosEn las secciones anteriores ya nos adelantamos en definir un circuito

eléctrico. Si conectamos una pila a una ampolleta por medio de alam-bres conductores, entonces en el momento que la ampolleta se enciendey permanece encendida, es evidencia que se ha establecido un circuitoeléctrico.

5.5.1 CircuitosUn circuito eléctrico es simplemente una trayectoria cerrada por la Circuito eléctrico.

cual la cargas fluyen continuamente. Cuando la ampolleta se enciende,la carga se está moviendo a través de las celdas electroquímicas de labatería, los alambres y el filamento de la ampolleta. Se dice que hay unacorriente (un flujo de carga dentro del circuito), y la razón por la quese establece una corriente es que la batería establece una diferencia depotencial.

El circuito eléctrico consiste en dos partes distintas: el circuito internoy el circuito externo. La parte del circuito que contiene las celdas electro-químicas de la batería es el circuito interno. La parte del circuito dondela carga fluye hacia afuera de la batería, hacia los alambres y la ampolletaes el circuito externo. En esta sección nos ocuparemos del flujo de cargaa través del circuito externo.

Una manera simplificada de representar un circuito es mediante eldiagrama de la figura 5.23. La corriente o flujo de carga se representa porla letra I, la diferencia de potencial (batería) se representa por el símboloV y la resistencia (ampolleta) por R. En las secciones siguientes vamos adetallar estos conceptos.

Potencialbajo

Potencialalto

Corriente

Corriente

Corriente

Figura 5.23: A la derecha, representa-ción esquemática del circuito real de laizquierda.


5.5.2 CorrienteCorriente, es una cantidad física que da cuenta de la velocidad con que

pasa una cierta cantidad de carga (tasa de flujo de carga) por un puntodel circuito (Fig. 5.24). Matemáticamente se escribe

Alambre

Figura 5.24: Corriente es la velocidadcon que pasa una carga a través de lasección de un alambre (tasa de flujo decarga). Si una pequeña sección de unalambre pudiera ser aislada y se pudie-ra medir la carga Q que pasa por esasección en un tiempo ∆t, entonces lacorriente es Q/∆t.

Corriente = cargatiempo

El símbolo de corriente es I, y se mide en amperes (A)

I =Q

∆t1[A] ≡ 1

[Cs

]

EJEMPLO 5.3

Supongamos que por un trozo de alambre de 2 mm de largo pasa una carga de 20 C en un tiempo de 40 s,entonces la corriente que pasa es

I =20C40 s = 0.5A

Si por otro trozo de alambre de 1 mm de largo pasan 2 C de carga en 0.5 s, la corriente será

I =2C0.5 s = 4A

En este segundo caso la corriente resultó ser mucho mayor. Notar que el largo del trozo de alambre no tieneninguna importancia.

5.5.3 ResistenciaUna batería o una pila establece una corriente en un circuito. Esta

corriente no solo depende de la diferencia de potencial sino también de laresistencia eléctrica que ofrece el alambre (conductor) al paso de la carga.En efecto, un electrón que viaja a través de los alambres de un circuitoencuentra impedimento al flujo de carga. Para un electrón, el viaje desdeun borne a otro borne no es una ruta directa; es mas bien un camino enzigzag, resultado de innumerables colisiones con átomos fijos del materialconductor.

El flujo de carga a través de los alambres es usualmente comparadocon el flujo de agua a través de tuberías. La resistencia al flujo de cargaen un circuito eléctrico es análogo a la fuerza de fricción entre el agua ylas paredes del tubo. Es esta la resistencia que impide el flujo de agua yreduce tanto el flujo como la velocidad. Al igual que la resistencia al flujode agua, la resistencia al flujo de carga dentro del alambre de un circuitoeléctrico es afectado por variables claramente identificables:

La longitud total de los alambres afectará la resistencia. Mientras máslargo el alambre habrá mayor resistencia. Esto tiene sentido, porquedespués de todo, si la resistencia es el resultado de colisiones de las

electricidad 95

cargas (electrones) con los átomos del conductor. Entonces es más pro-bable que haya más colisiones en un alambre más largo. Más colisionessignifican más resistencia.

El área transversal (grosor) de los alambres afectará la resistencia.Alambres más gruesos tiene una área seccional más grande. Pasarámás agua por una tubería más ancha que por una tubería más angosta.Podemos decir que hay una menor resistencia en una tubería másancha. De la misma manera un alambre más grueso ofrecerá menosresistencia al paso de carga eléctrica.

El material del alambre es otra variable que afectará la resistencia. Notodos los materiales están hechos de la misma manera, así que cada ma-terial tendrá una habilidad diferente de conducción eléctrica. Algunosmateriales son mejores conductores que otros y ofrecen menos resisten-cia al flujo de carga. La plata es uno de los mejores conductores, perono es muy usado debido a su alto costo. El cobre y el aluminio estánentre los conductores más baratos con una habilidad de conducción. La“habilidad de conducción” de un material es indicada por medio de suresistividad.2 La resistividad de un material depende de la estructura 2 Resistividad no es lo mismo que resis-

tencia (ver más adelante).electrónica del material y de su temperatura. Para la gran mayoríade los materiales, la resistividad aumenta al aumentar la temperatura.La tabla 5.2 lista los valores de resistividad de algunos materiales ala temperatura de 20°C. Esta tabla muestra un enorme intervalo deresistividades, desde valores muy reducidos para buenos conductores,como el cobre y la plata, hasta valores muy elevados para los buenosaislantes como el vidrio y el hule. Un conductor ideal debería tener unaresistividad igual a cero, y un aislador ideal una resistividad infinita.

Tabla 5.2: Resistividades (ρ) de algu-nos materiales. Todos los valores estána 20°C. Los elementos de la tabla seconsideran libres de impurezas. La uni-dad de resistividad es [ohm.m]


Tal como muestra la tabla 5.2, la resistividad es una propiedad del ma-terial. En la práctica, es más conveniente trabajar con el concepto deresistencia (R). Resistencia es una cantidad numérica que puede ser me-dida y expresada matemáticamente. La unida estándar en el sistema SI esel ohm, representado por la letra griega omega (Ω). Un aparato eléctricocon una resistencia de 5 Ω es representado como R = 5 Ω. La ecuaciónque representa la dependencia de la resistencia (R) de un conductor ci-líndrico (alambre) es

R = ρL

A

donde L representa el largo de alambre (en metros), A representa elárea transversal del alambre (en metros cuadrados), and ρ representa laresistividad del material (en ohm•metro). Esta ecuación muestra quela resistencia es proporcional a la longitud del alambre e inversamenteproporcional al área transversal del alambre. La ecuación R = ρL/A nosdice si se duplica la longitud de un alambre, su resistencia se duplica. Sise duplica su área de sección transversal, su resistencia disminuye a lamitad. La figura 5.25 ilustra lo anterior.

(a) Largo constante (b) Área constante

Figura 5.25: Variación de la resistenciacon respecto a la geometría del conduc-tor, manteniendo la resistividad ρ cons-tante.

En el caso de un circuito simple que alimente una ampolleta, la resis-tencia de los alambres conductores es muy baja. En cambio la resistenciadel filamento de la ampolleta es muy alta, pues el diámetro del filamentoes muy pequeño.

La resistencia del filamento dela ampolleta es tan alta que seproduce una gran cantidad decalor cuando la corriente pasa.

La resistencia a lo largodel alambre del circuitoes muy baja.

La resistencia es la ampolleta

Figura 5.26: Para el alambre conductorel área A en la ecuación R = ρL

Aes

grande en comparación al área A del fi-lamento. En consecuencia la resistenciadel filamento es mucho más grande.

electricidad 97

5.5.4 ¿Las pilas recargables son recargables?¿Qué?

Esta pregunta puede parecer extraña, pero tiene mucho sentido si pone-mos atención a los conceptos. Supongamos por un momento que una pilao batería es “recargable”; con esto suponemos que podemos conectar lapila a una cargador de pilas para reemplazar la carga que la pila a perdidoa consecuencia del uso en el circuito. Si la pila (compuesta internamentepor celdas electroquímicas) fuera recargable esto tendría consecuencias:

Primero, si la pila es recargable, entonces esta debe suministrar cargadentro del circuito eléctrico. Es decir la carga suministrada debe pasarpor la ampolleta, pero como la carga es consumida allí, eso quiere decirque la carga que entra en la ampolleta no es la misma que sale. Conesta consideración sería razonable pensar que la carga suministradapor la pila está siendo usada por el circuito, y cuando la ampolletaya no se encienda, sería natural pensar que la pila ha perdido toda sucarga. En ese caso tendríamos que recargar la pila.

Segundo, si las pilas fueran una fuente de cargas en un circuito, ten-dríamos que aceptar que las cargas se mueven a una gran rapidez.Esto es razonable, porque después de todo uno observa que la luz seenciende casi instantáneamente después de apretar el interruptor. Porotro lado, una casa no es alimentada por una batería o pila, sino poruna central eléctrica. Uno debería suponer que la compañía eléctricadebe suministrar una cantidad incontable de electrones (carga) a loshogares. Estos electrones viajan a casi la velocidad de la luz cuandoun aparato eléctrico es encendido.

¿Qué hay de malo con el razonamiento anterior?

No hay nada de malo con el razonamiento lógico. Lo malo está en lahipótesis de que una pila es la fuente de carga eléctrica en el circuito yque las pilas deben ser cargadas cuando están “agotadas”. Esto lleva aconclusiones completamente equivocadas.

La verdad:

Una pila (celda electroquímica) suministra la energía necesaria paramover una carga desde un potencial bajo a un potencial alto (versección 5.4).

La carga que fluye a través de un circuito se origina en los alambres delcircuito.. Los alambres están hechos de átomos, y estos átomos tienen La carga se origina en los alambres del

circuito.electrones, los cuales son los responsables de transportar la carga (versección 5.4).

En realidad la carga se mueve muy lentamente (en promedio, alrededor La carga se mueve muy lentamente.de 1 metro por hora) en un circuito. Tan pronto como se enciende elinterruptor, la carga localizada en todo el circuito empieza a moverse.Los electrones que “iluminan” la ampolleta no necesitan viajar desde


la batería hasta el filamento. Los electrones que iluminan la ampolleta(después de apretar el interruptor) son los electrones que se encuentranen el mismo filamento.

Filamento

Figura 5.27: Los electrones que “ilumi-nan” la ampolleta no provienen de lafuente de voltaje sino que ellos estánen el filamento. La fuente de voltaje só-lo les manda impulsos de energía.

Los electrones se mueven de manera análoga, que cuando se abrela llave del agua. Cuando se abre la llave, es el agua que se encuentrajusto cerca de la llave la que emerge. Uno no tiene que esperar que elagua que está afuera llegue a la salida de la llave, pues la cañería yaestá llena de agua y al abrir la llave toda el agua se mueve al mismotiempo.

Una aparato eléctrico (ampolleta, radio, calentador, etc) transformala energía eléctrica de las cargas en movimiento en otras formas deenergía, tales como luz o energía térmica. Luego, la cantidad de energíaque poseen las cargas al salir de un aparato eléctrico en menor que laque poseían al momento de entrar al aparato.

Figura 5.28: Falso, falso, falso ... noexisten la pilas recargables.

A una batería o pila “agotada”, en realidad, le sobra carga, tiene muchacarga, lo que le falta es energía. Una batería o pila opera internamentepor medio de una serie de reactivos químicos. Estos químicos sufrenuna reacción de oxidación-reducción la cual produce energía. Esta reac-ción química es capaz de “bombear” carga a través del circuito internode la batería desde el borne a potencial bajo al borne a potencial alto,y así establecer una diferencia de potencial. Cuando una batería ya nofunciona, significa que los elementos químicos han sido consumidos alpunto que la batería ya no tiene la habilidad de mover carga entre losbornes.

Las baterías “recargables” son aquellas donde se puede revertir el pro-ceso de oxidación-reducción. Al colocar una batería en un “recarga-dor”, la energía eléctrica domiciliaria se usa para conducir la reacciónquímica en la dirección contraria y transformar los productos de lareacción química de vuelta a reactantes químicos. Este proceso inversorequiere energía; es el recargador el que la suministra. En este sentidopodríamos decir que las baterías son “reversibles” o “re-energizables”.

electricidad 99

5.5.5 La ley de OhmAhora hemos visto los conceptos de corriente, potencial y resistencia.

Estas cantidades están relacionadas mediante una ecuación, llamada leyde Ohm. Ohm descubrió que la corriente en un circuito es directamenteproporcional al voltaje impreso a través del circuito, y es inversamenteproporcional a la resistencia del circuito. Es decir:

Figura 5.29: Georg Simon Ohm (1789-1854) fue un físico y matemático ale-mán. Ohm empezó a investigar conceldas electroquímicas (inventadas porel científico italiano Alessandro Volta).Ohm descubrió que existe una relaciónde proporcionalidad directa entre la di-ferencia de potencial aplicada y la co-rriente eléctrica resultante.

Corriente = voltajeresistencia

Matemáticamente, la ley de Ohm se expresa mediante cualquiera de lasecuaciones equivalentes:

I =V

R; V = IR ; R =

V

I

Esta ley indica que una diferencia de potencial de 1 volt establecida através de un circuito cuya resistencia es 1 ohm, producirá una corrientede 1 ampere. Si en vez de 1 volt aplicamos 12 volts, la corriente será deI = 12V/1 Ω = 12A.

La ley de Ohm indica las dos variables que afectan la corriente enun circuito. Mientras más grande sea el voltaje (diferencia de potencial),mayor será la corriente. Por otro lado a mayor resistencia menor será lacorriente. La tabla siguiente ilustra esto con algunos valores numéricos

Voltaje Resistencia Corriente1.5V 3 Ω 0.50A3.0V 3 Ω 1.00A4.5V 3 Ω 1.50A1.5V 6 Ω 0.25A3.0V 6 Ω 0.50A4.5V 6 Ω 0.75A4.5V 9 Ω 0.50A

La filas 1, 2 y 3 ilustran que al doblar y triplicar el voltaje tiene comoconsecuencia doblar y triplicar la corriente en el circuito. Al compararlas filas 1 y 4 o las filas 2 and 5 se ilustra que al doblar la resistencia, alcorriente se reduce a la mitad.


EJEMPLO 5.4

A B El diagrama muestra un par de circuitos conectadoa una fuente de voltaje, una resistencia (ampolleta).En cada caso se muestra la corriente que circula porel circuito. ¿Cuál circuito tiene la mayor resistencia?Solución: Calculamos la resistencia en cada caso

RA =V

I=

6V1A = 6 Ω RB =

V

I=

6V2A = 3 Ω

es decir, el circuito A tiene mayor resistencia.

EJEMPLO 5.5

¿Qué factores pueden causar la disminución de la corriente a través de un circuito eléctrico?a) Disminución del voltajeb) Disminución de la resistenciac) Aumento del voltajed) Aumento de la resistencia

EJEMPLO 5.6

Usted ha sido advertido de no tocar aparatos eléctricos o enchufes cuando sus manos está mojadas. Ese tipode contacto es más peligroso cuando las manos están mojadas que secas, porque las manos mojadas causanque ...a) el voltaje del circuito sea mayorb) el voltaje del circuito sea menorc) su resistencia sea mayord) su resistencia sea menore) la corriente a través de usted sea menor

EJEMPLO 5.7

Si la resistencia de un circuito se triplicara, entonces la corriente a través del circuito ...a) disminuiría a un terciob. tres veces mayorc) no cambiaríad) ¡no tiene sentido! No hay manera de hacer esa predicción.

EJEMPLO 5.8

Si el voltaje en un circuito se cuadruplica, entonces la corriente a través del circuito sería ...a) disminuye a un cuartob. es cuatro veces mayorc) no cambiaríad) ¡no tiene sentido! No hay manera de hacer esa predicción.

electricidad 101

5.5.6 Conexión de resistencias

en serie: En el circuito de la figura tenemos dos resistencias conectadasen serie, donde la corriente I es la misma que pasa por ambas resistencias.

Figura 5.30: Circuito en serie. Las am-polletas son las resistencias.

R1 R2

∆V

−+

I ↑ ↓ I

I →

La diferencia de potencial aplicada a través de las resistencias se dividiráentre las resistencias: En una conexión en serie la diferencia

de potencial se divide en cada resisten-cia, pero la corriente es la misma.∆V = V1 + V2

aplicando V = IR:

∆V = IR1 + IR2 = I(R1 +R2)

vemos que podemos definir una resistencia equivalente

Req = R1 +R2

y podemos reemplazar el circuito anterior por uno equivalente

Figura 5.31: Resistencia equivalente enun circuito en serie.

Req=R1 +R2

∆V

−+

I ↑ ↓ I

La generalización para varias resistencias en serie es

Req = R1 +R2 +R3 + · · ·

en paralelo: En el circuito de la figura tenemos dos resistencias conec-tadas en paralelo, donde ambas están a la misma diferencia de potencial.Además la corriente I de bifurca en I1 y I2 y como la carga debe conser-varse En una conexión en paralelo, la dife-

rencia de potencial es la misma en cadaresistencia, pero la corriente se divide.I = I1 + I2


R1

∆V

−+

R2I ↑

I1 ↑

I2 →

Figura 5.32: Circuito en paralelo. Lasampolletas son las resistencias.

De la expresión I = V /R obtenemos

I = I1 + I2 =∆VR1

+∆VR2

= ∆V(

1R1

+1R1

)=

∆VReq

donde Req es la resistencia equivalente del circuito

1Req

=1R1

+1R1

La generalización para varias resistencias en paralelo es

1Req

=1R1

+1R1

+1R3

+ · · ·

5.5.7 Caída de potencial en un circuitoUn diagrama de potencial eléctrico es una manera conveniente para re-

presentar las diferencias de potencial en diferentes puntos de un circuito.La figura 5.33(izquierda) muestra un circuito simple con una fuente devoltaje de 12V y tres resistencias en serie. Cuando la carga ha atravesadotodo el circuito externo habrá perdido 12V de potencial eléctrico. Estapérdida en potencial eléctrico se llama caída de potencial. Esta caída depotencial ocurre porque la energía eléctrica de la carga es transformadaen otras formas de energía (térmica, luz, mecánica, etc) cuando pasa porlas resistencias. Por cada resistencia en la figura 5.33, ocurre una pérdidade potencial (∆V < 0) y la la suma de estos voltajes debe ser 12V El voltaje de la batería es igual a la

suma de las caídas de potencial en cadaresistencia.12V = 3V+7V+2V

El diagrama de la derecha ilustra lo anterior.

electricidad 103

A

H

B C

D

E

FG

A

H

B

C D

E F

G

Figura 5.33: Diagrama de caída de po-tencial en un circuito simple.

CAPÍTULO6Oscilaciones

Oscilación es la variación repetitiva (en el tiempo),1 de alguna medi- 1 Una vibración u oscilación es un vai-vén en el tiempo, también llamado mo-vimiento periódico.

da alrededor de un valor central (punto de equilibrio) o entre dos o masestados. En este capítulo vamos a considerar el caso más simple de oscila-ción: el movimiento armónico simple (M.A.S.). Por otro lado el conceptode M.A.S. es fundamental para entender el concepto de ondas.

Figura 6.1: Movimiento oscilatorio enuna silla mecedora.

6.1 Movimiento de un sistema masa-resorteEste es un ejemplo típico de M.A.S. En este caso, cuando el resorte

se estira una cantidad x, existe una fuerza restauradora que se opone almovimiento. Esta es una ley como conocida y se llama ley de Hook, dondela fuerza restauradora es directamente proporcional al estiramiento x, elcual se mide desde la posición de equilibrio (posición de reposo).

La Figura 6.2 ilustra cuatro posiciones distintas de la masa conec-tada al resorte. La posiciones extremas son cuando la masa se detienecompletamente (v = 0) y la fuerza sobre la masa es máxima porque elestiramiento/compresión (x) es máximo. En la posición de equilibrio escuando la masa tiene su velocidad máxima y la fuerza es cero pues elestiramiento es cero.

Posición deequlibrio

Máximoestiramiento

Máximacompresión

Figura 6.2: Un objeto y un resorte so-bre una superficie son fricción. La fuer-za restauradora es directamente pro-porcional al desplazamiento x desde laposición de equilibrio.

Supongamos que pudiéramos colocar un detector del movimiento de lamasa en el resorte. La idea es que en todo momento pudiéramos registrarla posición (x) de la masa. Entonces podríamos confeccionar un gráficode la posición (x) versus el tiempo (t). En figura 6.3 se ha registrado elmovimiento de la masa hasta los 14 s, además se han identificado algunospuntos para ayudar a la discusión.


Pos

ició

n (m

)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 Tiempo (s)

A E I M Q U Y

B F J N R V

C G K O S W

D H L P T X

Figura 6.3: Gráfico de posición vs tiem-po.

Una característica importante del gráfico es su forma. La curva nosrecuerda a la función trigonométrica y = sin(x).

Otra característica es que el gráfico es periódico, es decir se repite aintervalos de tiempo regular.

un ciclo completo de vibración sería cuando la masa partedel punto A (posición de equilibrio) hasta su máxima elongación (B), yluego llega hasta la posición de reposo (C), y continua hasta su máximacompresión (D), y finalmente de vuelta a la posición de reposo (E).

Tomando en cuenta el eje del tiempo podemos calcular el periodo (eltiempo que se demora la masa en efectuar un ciclo completo), Desdeque la masa está en el punto A se demoró 2.3 en llegar al punto E.Puesto que el movimiento es periódico, entonces a la masa le toma 2.3 sen efectuar otro ciclo. La tabla de abajo es otra forma de registrar elmovimiento de la masa hasta los 14 s. Al inspeccionar la tabla podemosconcluir que el movimiento de la masa es regular y periódico

Ciclo Letras Tiempo Tiempo del(inicial-final) ciclo

1 A-E 0.0 s - 2.3 s 2.3 s2 E-I 2.3 s - 4.6 s 2.3 s3 I-M 4.6 s - 7.0 s 2.3 s4 M-Q 7.0 s - 9.3 s 2.3 s5 Q-U 9.3 s - 11.6 s 2.3 s6 U-Y 116.s - 13.9 s 2.3 s

Matemáticamente, una fuerza restauradora, tal como en un sistemamasa-resorte se escribe

F = −kx

donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del re-sorte2 y el signo menos es para indicar que la fuerza es restauradora (se 2 La constante del resorte tiene que ver

con cuan “duro” o “blando” sea un re-sorte.

opone a la dirección del desplazamiento desde la posición de equilibrio).Es posible aplicar la segunda ley de Newton a este sistema y obtener unaecuación que nos dice donde va a estar la masa en cualquier momento.La posición x de la masa, depende del tiempo, es decir, en tiempos di-ferentes la masa tendrá una posición diferente. Esto se puede expresarmatemáticamente como:

x(t) = A sin(ωt+ φ)

oscilaciones 107

La ecuación anterior representa el movimiento oscilatorio o vibratoriodel sistema masa-resorte; es un movimiento de “ir y venir”, el cual esrepresentado por una curva llamada sinusoide. La figura 6.4 ilustra laidea.

Amplitud

Periodo

Tiempo

Posición Figura 6.4: Representación gráfica deun M.A.S. (a) Posición versus tiempo.(b) Velocidad versus tiempo. (c) Ace-leración versus tiempo. Notar que encualquier tiempo la velocidad está des-fasada en 90° con la posición y la acele-ración está desfasada 180° con respectoa la posición.

El movimiento masa-resorte es un caso especial de un movimientoarmónico simple (M.A.S.) En la ecuación y la gráfica anteriores, el símbolo Movimiento armónico.ω se llama frecuencia angular y está relacionada con la masa y la constantedel resorte de la siguiente manera

ω =

√k

m

Otras tres cantidades importantes son el periodo,T , el tiempo que demorael sistema en efectuar un ciclo (ir y volver), la frecuencia, f , el númerode ciclos por unidad de tiempo, y la amplitud, A, que es el estiramientomáximo del resorte. La relación entre el periodo y la frecuencia es

T =1f

La unidad de frecuencia es el hertz (Hz) y equivale a ciclos/s o s−1.En cambio la frecuencia angular ω se refiere a la cantidad de ángulo(radianes) en la unidad de tiempo (rad/s).

Otro sistema masa-resorte es el mostrado en la figura 6.5. El movi-miento también es un M.A.S., pero el desplazamiento de la masa es endirección vertical.

Amplitud

Periodo

Figura 6.5: Un sistema masa-resortevertical también es un M.A.S,


6.2 El péndulo simpleEste es otro caso de movimiento oscilatorio y consiste de una masa

m suspendida por una cuerda liviana de largo L, la cual está fija enel extremo superior. El movimiento ocurre en un plano vertical y estádirigido por la fuerza de gravedad (Fig. 6.6).

pivote sinfricción

cuerda sinmasa

trayectoriaposición deequilibrio

amplitud

Figura 6.6: Esquema de un péndulosimple.

Recordemos que en caso del sistema masa-resorte había una fuerzarestauradora ejercida por el resorte. En el caso del péndulo, la fuerzarestauradora la ejerce la gravedad (Fig. 6.7).

Fuerza restauradora

Figura 6.7: El péndulo simple oscila al-rededor de la posición de equilibrio. Lafuerza restauradora esmg sin θ y es tan-gente a la trayectoria.

Este movimiento también es un M.A.S., la ecuación resultante tiene lamisma forma que el sistema masa-resorte. En este caso lo que nos interesael el ángulo θ que forma la cuerda con la vertical

θ(t) = θ0 sin(ωt+ φ)

con θ0 la amplitud máxima y

ω =

√g

Ly T = 2π

√L

g

El periodo y frecuencia de un péndulo simple dependen sólo de la longitudde la cuerda y de la aceleración de gravedad.

6.3 Un M.A.S. es una idealizaciónEl M.A.S. que hemos visto es una idealización, pues estamos consi-

derando que el movimiento es perpetuo y no hay fuerza externas queinfluyan. Sin embargo en sistemas reales este no es el caso y existen fuer-zas no conservativas tales como fricción que retardan el movimiento. Estotiene como consecuencia que la energía mecánica no se conserva. En estesentido el gráfico de la figura 6.3 no es realista. En realidad, a medidaque pasa el tiempo, la masa acoplada al resorte es amortiguada debidoal roce. Un gráfico más realista sería el mostrado en la figura 6.8 dondese ve claramente que la amplitud de vibración disminuye con el tiempo.

Pos

ició

n (m

)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 Tiempo (s)

A E I M Q U Y

B F J N R V

C G K O S W

D H L P T X

Figura 6.8: Gráfico de posición vs tiem-po, donde se muestra el movimientoamortiguado de la masa acoplada al re-sorte.

En la práctica, sabemos que a medida que pase el tiempo la amplitudde la oscilación de un péndulo disminuye hasta este se detiene completa-mente. Cuando el movimiento de un oscilador es reducido por una fuerzaexterna, se dice dice que el oscilador es amortiguado. La figura 6.9 ilustratres grados de amortiguamiento de un sistema masa-resorte.

oscilaciones 109

aire aceite agua

(a) (b) (c)

Figura 6.9: Esquema del desplaza-miento versus tiempo para el siste-ma masa-resorte para: (a) levementeamortiguado - masa en aire; (b) sobre-amortiguado - masa en aceite grueso;(c) críticamente amortiguado - masa enagua.

En este tipo de movimiento existe una fuerza retardadora que hace elmovimiento amortiguado. Esta fuerza es proporcional a la velocidad conque mueve el objeto (masa).3 3 Es una fuerza similar a la resistencia

del aire cuando un cuerpo está en caídalibre.

6.4 Oscilaciones forzadas y resonanciaUna persona oscilando en un columpio sin que sea empujado es un

ejemplo de una oscilación libre. Sin embargo si alguien empuja el columpioperiódicamente, el columpio tiene oscilaciones forzadas (dirigidas).

Existen dos frecuencias angulares que están asociadas con una oscila-ción forzada: Resonancia es cuando la frecuencia na-

tural de un sistema es cercana a la fre-cuencia de la fuerza que causa el movi-miento forzado (ω ≈ ω0).

1. La frecuencia angular natural, ω0, del sistema, es decir la frecuenciaa la que oscilaría si se le dejara oscilar libremente después de sacarlodel equilibrio.

2. La frecuencia angular, ω, de la fuerza externa causante la oscilaciónforzada.

No vamos a dar una ecuación de movimiento de una oscilación forzada,sino que vamos a ver un caso especial cuando la frecuencia natural deoscilación es cercana a la frecuencia de la fuerza externa, es decir ω ≈ ω0.Cuando esto sucede se dice que ocurre resonancia, es decir. Los efectosde resonancia son caracterizados por oscilaciones o vibraciones de granamplitud.

Figura 6.10: En 1940 vientos turbulen-tos ocasionaron vibraciones torsionalesen el puente “Tacoma Narrows”, cau-sando que el puente oscilara a una fre-cuencia cercana a la frecuencia naturalde la estructura del puente. Una vezque se hubo establecido esta resonan-cia, el puente colapsó en un par de ho-ras.

En el caso del oscilador amortiguado, existe una fuerza externa quehace que el sistema pierda energía, por lo tanto la amplitud disminuye enel tiempo. En el caso de la resonancia, se transfiere energía al sistema bajocondiciones favorables, y esa es la explicación de las grandes amplitudes.

Todas las estructuras mecánicas tiene una o más frecuencias angularesnaturales, y si la estructura es sujeta una gran fuerza externa que tengauna frecuencia que coincida con esas frecuencias angulares, el resultado esque las oscilaciones de la estructura la pueden destruir. Un caso dramáticoes el del puente Tacoma Narrows en 1940, que se encuentra en la figura


6.10.Un viento de apenas 65 km/h logró activar un modo de torsión nuncaantes observado y que causó el colapso del puente.

CAPÍTULO7Ondas

El concepto de onda es abstracto, pero es algo que está en todas par-tes. Aunque tal vez no lo percibamos, encontramos ondas todos los días.Ondas de sonido, ondas de luz visible, ondas de radio, microondas, ondasen el agua, ondas en un terremoto y ondas en una cuerda son sólo unospocos ejemplos.

Figura 7.1: Ondas en el agua causadaspor la caída de una gota de agua.

Hay dos tipos principales de ondas, ondas mecánicas y ondas electro-magnéticas. En el caso de ondas mecánicas, se necesita un medio físicopara que la onda se propague. En cambio las ondas electromagnéticas norequieren un medio para propagarse; algunos ejemplos de ondas electro-magnéticas son luz visible, ondas de radio, señales de televisión y rayosX. En esta parte del curso estudiaremos ondas mecánicas.

Una onda mecánica se puede interpretar como la propagación de unaperturbación a través de un medio. Cuando observamos una onda en elagua, lo que vemos es una reorganización de la superficie del agua. Sinel agua no habría onda. Una onda viajando a través de una cuerda noexistiría sin la cuerda. Las ondas de sonido no podrían viajar desde unpunto a otro so no hubiera moléculas de aire entre los dos puntos.

Las ondas transportan energía y momentum a través del es-pacio sin transportar masa. Por ejemplo, cuando una onda en el agua semueve a través de una laguna, las moléculas de agua oscilan para arribay para abajo, pero ellas no cruzan la laguna junto con la onda. Ondas enel agua, ondas en la cuerda de una guitarra y ondas de sonido involucranuna oscilación.

Lo mismo se puede decir acerca de la “ola” en los estadios. En elestadio, los fanáticos no se mueven de sus asientos y caminan a través delestadio. En un estadio cada fanático se pone de pie y luego se vuelve asentar. La perturbación se mueve a través del estadio, pero los fanáticosno son transportados.

7.1 Pulso de onda

Un pulso de onda es una onda corta sin repetición de las oscilacio-nes. Por ejemplo creamos un pulso en una cuerda (Fig. 7.2-a) cuando laagitamos rápidamente y se éste se propagará a través de la cuerda. Sirepetimos la generación de pulsos uno tras otro entonces crearíamos unaonda viajera (Fig. 7.2-b), la cual es una perturbación periódica.1 1 Una onda periódica.


(a) (b)

Figura 7.2: (a) Generación de un pulsoy una onda. (b) la continua generaciónde pulsos crea una onda.

7.2 Tipos de ondasLa ondas se clasifican en dos tipos: ondas transversales y ondas longi-

tudinales.

Una onda viajera o pulso que causa que los elementos del medio pertur-bado se muevan perpendicular a la dirección de propagación se llamaonda transversal. Por ejemplo en la figura 7.3 se muestra un punto quesube y baja pero que no viaja con la onda se propaga.

Figura 7.3: Generación de una ondamediante la sucesiva generación de pul-sos.

Otro de pulso es el generado en un resorte largo que se comprime (Fig.7.4). El extremo izquierdo del resorte es empujado brevemente hacia laderecha y luego tirado brevemente hacia la izquierda. Este movimientocrea una compresión súbita de una región de las espiras del resorte. Laregión comprimida viaja a lo largo del resorte y hacia la derecha. Laregión comprimida es seguida por una región donde las espiras estánextendidas. Si se generan pulsos sucesivos, entonces creamos una ondalongitudinal.

Figura 7.4: Un pulso longitudinal a lolargo de un resorte estirado. El despla-zamiento de las espiras es paralelo a ladirección de propagación.

7.3 Formulación matemática de una ondaAquí vamos a considerar un tipo especial de onda, llamada onda sinu-

soidal u onda armónica. Este es un tipo de onda que es periódica y es elpunto de partida que nos permitirá entender ondas que son más comple-jas. En todo caso, cualquier onda, por muy compleja que sea, es posiblemodelarla y estudiarla como una superposición de ondas armónicas.

Si generamos pulsos consecutivos en una cuerda, con una frecuenciaconstante (Fig. 7.2), entonces la onda generada (tren de ondas) será ar-mónica y la forma de la onda será sinusoidal. Una onda sinusoidal secaracteriza por tener una longitud de onda, λ, una frecuencia f , un pe-riodo T y una amplitud A. En la figura 7.5 se muestra la longitud deonda y la amplitud. Los puntos de máxima amplitud se llaman crestas ylos de mínima amplitud (negativos) se llaman valles. La mínima distan-cia entre dos puntos idénticos y adyacentes se llama longitud de onda, λ

ondas 113

(por ejemplo la distancia entre una cresta y la próxima). El periodo,T ,es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de laoscilación. También puede ser definido como el tiempo que tarda la ondaen ir de un punto de máxima/mínima amplitud al siguiente.

valle

longitud de onda

amplitudcresta Figura 7.5: Elementos que componen

una onda.

Tal como definimos en el M.A.S., la frecuencia f y la frecuencia ω

angular de la onda

f ≡ 1T

ω = 2πf =2πT

y la rapidez de la onda

Rapidez de la onda= longitud de la onda× frecuencia

v =λ

T= fλ

por aquí pasauna onda

por segundo

v=1 m/s

Figura 7.6: Si la longitud de onda es1 m, y por donde está el pez pasa unaonda por segundo, la rapidez de la ondaes 1 m/s.

Finalmente el número de onda k

k =2πλ

(m−1)

Con estos datos podemos definir la forma de la onda sinusoidal Ecuación de una onda armónica.

y(x, t) = A sin (kx− ωt)

La función de onda dada anteriormente asume que el desplazamientovertical es cero en x = 0 y en t = 0.


7.4 Ondas en una cuerda

El movimiento ondulatorio en una cuerda puede ser descrito por mediode una onda armónica. Mientras la onda viaja a lo largo del eje x, lospuntos de la cuerda oscilan para arriba y para abajo en la dirección y. Lavelocidad de estos puntos tienen dirección vertical (hacia arriba y haciaabajo).2 2 No es la misma velocidad con que la

onda se mueve a lo largo de la cuerda.Si nos referimos a la figura 7.7, las flechas representan la velocidadde los puntos en la cuerda moviéndose en dirección vertical. Vemos quelos puntos que tienen velocidad máxima son aquellos que tienen amplitudcero. Lo más interesante de las ondas en una cuerda es cuando se generanondas estacionarias (ver sección 7.6 más adelante)

Figura 7.7: Esquema de una onda enuna cuerda. Las flechas representan lavelocidad de los puntos en la cuerdamoviéndose en dirección vertical.

7.5 Comportamiento de las ondas

Cuando una onda viaja a través de un medio, es posible que la ondaencuentre un obstáculo o quizás la onda pase a otro medio. Es sabidoque una onda de sonido se puede reflejar y producir un eco. Una onda desonido viaja a través del aire, se refleja en la montaña y vuelve al puntodonde se originó. Por otro lado, una onda también puede sufrir refracción,difracción o interferencia.

7.5.1 Reflexión

Una onda o pulso, puede sufrir reflexión. Consideremos un pulso laque viaja por una cuerda que se encuentra fija al otro extremo. El pulsose reflejará y pueden suceder dos cosas (Fig. 7.8): el pulso reflejado tienesigno contrario (pulso en una cuerda) o puede tener el mismo signo (ondade sonido).

Si el extremo no está completamente fijo y pudiera vibrar, una porciónde la energía transportada por el pulso es transmitida a este extremo.

Las características de una onda reflejada son:

La rapidez del pulso reflejado es la misma que la del pulso incidente.

ondas 115

Figura 7.8: Reflexión de un pulso en unextremo fijo.

La longitud de onda del pulso reflejado es la misma que del pulsoincidente.

La amplitud del pulso reflejado es la misma que la del pulso incidente.

7.5.2 Refracción

La reflexión implica un cambio de dirección de las ondas cuando setopan con una barrera. La refracción también implica un cambio de di-rección, pero este cambio de dirección se experimenta cuando las ondaspasan desde un medio a otro. En la refracción las ondas pueden cambiarsu velocidad y su longitud de onda.

En general, la rapidez de una onda depende del medio por donde sepropague. Entonces si el medio (y sus propiedades) cambian, tambiéncambiará la rapidez. Por ejemplo, las ondas en el agua varían significati-vamente su rapidez dependiendo de la profundidad; a mayor profundidadmayor será la rapidez. Entonces si las ondas de agua pasan de un lugarmás profundo a un lugar menos profundo, su rapidez disminuirá. Recor-demos que la rapidez está relacionada con la longitud de onda mediantev = fλ, entonces una disminución de la rapidez significará una disminu-ción de la longitud de onda (ver Fig. 7.9).

Profundo

Bajo

Figura 7.9: Refracción de ondas en elagua. Al pasar a un medio menos pro-fundo, las ondas en el agua disminuyensu rapidez y su longitud de onda.

las ondas de sonido también experimentan refracción. Esto suce-de especialmente cuando el sonido se propaga a través de aire a distintastemperaturas. El sonido viaja más rápidamente cuando el aire está a ma-yor temperatura. Cuando el aire cerca de la superficie está muy caliente,las ondas sonoras se desvían hacia arriba donde está el aire más frío (verFig. 7.10). Cuando hay gradientes de temperatura (variaciones de tempe-ratura entre dos zonas), tal como sucede entre puntos distantes algunoscientos de metros, o que se encuentran a diferentes alturas, el camino quesigue el sonido es curvilíneo en lugar de recto. Esta es la razón por la cualnuestra percepción se confunde al intentar determinar auditivamente pordónde está pasando un avión.

7.5.3 Difracción

En el caso de ondas sonoras, en general, un obstáculo no impide suavance. La onda rodea los obstáculos, pues cada molécula del aire se


Aire fríomenor rapidez del sonido

Aire fríomenor rapidez del sonido

Aire calientemayor rapidez del sonido

Aire calientemayor rapidez del sonido

(a)

(b)

Figura 7.10: Las ondas sonoras se des-vían en el aire, cuando este tiene dis-tintas temperaturas.

comporta como una nueva fuente de sonido. Esto permite oír aunque noveamos la fuente sonora original. A esta propiedad de las ondas se lellama difracción.

Un ejemplo es la figura 7.11, donde una onda de sonido llega a unaabertura (puerta) y es capaz de cruzarla. El sonido que se escucha a laderecha varía de intensidad dependiendo de dónde uno esté. Directamentefrente a la abertura, la intensidad es máxima.

¿Cuál es la diferencia con reflexión y refracción?

La reflexión implica un cambio de dirección cuando la onda se encuentracon una barrera; la refracción implica un cambio de dirección cuando laonda pasa de un medio a otro; y difracción implica un cambio de direcciónde las ondas cuando estas pasan a través de una abertura o alrededor deuna barrera. El agua tiene el mismo comportamiento que las ondas desonido de la figura 7.11. El agua es capaz de pasar a través de aperturas,además de doblar esquinas y de rodear obstáculos.

7.5.4 InterferenciaLos objetos materiales no pueden ocupar el mismo lugar en espacio

a la vez, no importando cuan pequeños sean estos objetos. De la mismamanera dos músicos no pueden ocupar el mismo espacio a la vez, pero dosnotas musicales sí lo pueden hacer. En general dos ondas pueden existiral mismo tiempo y en el mismo espacio. Cuando más de una onda ocupael mismo espacio en el mismo tiempo, en cada punto del espacio se sumanlos desplazamientos. Eso se llama principio de superposición. En la figura Principio de superposición.

ondas 117

Ondas originales Ondas difractadas

Fuentesonora

Figura 7.11: Difracción de ondas de so-nido. Estas ondas pueden “curvarse” ydifundirse aunque no se esté directa-mente ante la fuente de sonido.

7.12 se ilustra el principio de superposición. En los dos casos se sumanlas amplitudes de cada onda para dar lugar a otra onda. Dependiendosi las ondas están en fase o no, el resultado puede ser una interferenciaconstructiva o interferencia destructiva. Cuando la cresta de una onda setraslapa exactamente con el valle de otra onda se produce la anulacióncompleta de la onda (interferencia destructiva).

Interferencia constructiva(refuerzo)

Interferencia destructiva(anulación)

Figura 7.12: Interferencia de ondas.

También podemos ilustrar lo mismo de otro punto de vista. Si dos pul-sos vienen en dirección contraria, estos interferirán en forma constructivacuando se encuentren (Fig. 7.13)

Antes de la interferencia Durante la interferencia

resultante

Después de la interferencia Figura 7.13: Interferencia de dos pulsosde onda.

Por otro lado si los pulsos tienen desplazamientos de distinto signo(hacia arriba y hacia abajo), ocurre una interferencia destructiva cuandolos pulsos se encuentran (Fig. 7.14 ).


Antes de la interferencia Durante la interferencia

resultante

Después de la interferencia Figura 7.14: Interferencia de dos pulsosde onda.

Una forma usual de explicar el concepto de interferencia es medianteondas en el agua. Cuando dos objetos vibratorios tocan la superficie delagua. En la figura 7.15 se han añadido dibujado dos frentes de onda. Lospuntos rojos es donde dos crestas o dos valles se suman para obteneruna interferencia constructiva. Los puntos negros es donde un valle y unacresta se suman destructivamente.

ValleCresta

Interferenciaconstructiva

Interferenciadestructiva

Fuente Fuente

Figura 7.15: Esquema de interferenciade ondas en el agua.

7.6 Ondas estacionariasCuando veo anillosen un vaso de agua

mi primer pensamiento es:¡debe ser un T-Rex!

Una onda mecánica es una perturbación (creada por un objeto vibran-te) y que subsecuentemente viaja a través de un medio desde un lugar aotro, transportando energía. El mecanismo por el cual una onda mecánicase propaga a través de un medio implica una interacción de partículas;una partícula aplica un “empujón” o un “tirón” a su vecina adyacente,causando un desplazamiento del vecino desde la posición de equilibrio oreposo. Da la impresión de que una onda se mueve a través de un me-dio y que una cresta viaja a través de un medio (ver figura). De hecho,se observa toda la forma sinusoidal moviéndose a través del medio. Estaforma sinusoidal continua moviéndose ininterrumpidamente hasta que seencuentra con otra onda o algún obstáculo; eso es una onda viajera.

Onda viajera

Una cresta parece moversea través de un medio

Figura 7.16: Onda viajera. Da la im-presión que las crestas de la onda semovieran hacia la derecha. Esto es soloaparente, pues sabemos que las ondasno transportan materia.

ondas 119

Las ondas viajeras son observadas cuando la onda no está confinadaa algún espacio a lo largo del medio (por ejemplo ondas en el océano).Una onda confinada podría ser una onda en una cuerda, la cual está fijaen un extremo. Cuando la onda llega al extremo puede ocurrir reflexión(ver figura 7.8). Esta onda reflejada puede interferir con la onda inci-dente, y esta interferencia puede producir una nueva forma en el mediode propagación, que podría ser totalmente diferente a la onda sinusoi-dal original. Esta nueva forma está formada por dos ondas viajeras, laincidente y la reflejada. Sin embargo ninguna de las dos ondas viajerasson fácilmente observadas debido a que ellas se interfieren. Bajo ciertascondiciones especiales, la onda resultante de la interferencia parece noavanzar (estacionaria) y solo se observa un movimiento vertical.

A

A

B

El punto A oscila endirección vertical

El punto B no se mueve Figura 7.17: Onda estacionaria forma-da por la superposición de una onda in-cidente y una onda reflejada. Los pun-tos en la horizontal son los “nodos”, loscuales permanecen estacionarios.

La figura 7.17 ilustra una onda estacionaria. Se han superpuesto variasondas tomadas en tiempos diferentes (color diferente). Notar que el puntoA se mueve desde un desplazamiento máximo positivo hasta un mínimonegativo a medida que pasa el tiempo. Este movimiento es persistente enel tiempo. Observar también, que el punto B nunca se mueve. Tales puntosse conocen como nodos. Los nodos son las regiones de desplazamientomínimo o cero, cuya energía es mínima o cero. El patrón de movimientoobservado en la figura 7.17 es uno de muchas posibilidades.

Las ondas estacionarias se forman en las cuerdas de los instrumentosmusicales, por ejemplo, cuando se puntean (con una uña), se tocan (conun arco) o se percuten (en un piano). Se forman en el aire de los tubosde un órgano, de las trompetas o de los clarinetes, y en el aire de unabotella, cuando se sopla sobre la boca de éste. Se pueden formar ondasestacionarias en una tina llena de agua o en una taza de café, al moverlahacia adelante y atrás con la frecuencia adecuada. Se pueden producircon vibraciones tanto transversales como longitudinales.


7.7 Ondas electromagnéticas

Son aquellas ondas que no necesitan un medio material para propa-garse, es decir pueden viajar a través del vacío en el espacio exterior.Incluyen, entre otras, la luz visible y las ondas de radio, televisión y te-lefonía.

Las ondas electromagnéticas son producidas por cargas eléctricas vi-brantes y como consecuencia están compuestas de dos componentes, uncampo eléctrico y un campo magnético. En vez de discutir la naturale-za precisa de las ondas electromagnéticas nos vamos a concentrar en suspropiedades.

Las ondas electromagnéticas existen con un enorme rango de frecuen-cias. Este rango de frecuencias continuo se llama espectro electromagnéti-co. Este espectro se divide en regiones específicas para resaltar como cadaregión interactúa o afecta a la materia (ver figura 7.18). Se puede obser-var que mientras mayor sea la longitud de onda menor es la frecuencia. Una onda con mayor frecuencia tiene

mayor energía.La energía de una onda electromagnética es directamente proporcionala la frecuencia, es decir, las ondas tienen mayor energía si tienen mayorfrecuencia.

Edificios Humanos Mariposas Punta de aguja

Protozoos Moléculas Átomos Núcleo atómico

104 108 1012 1015 1016 1018 1020

¿Penetra la atmósfera terrestre?

Radio Microondas Infrarrojo Visible Ultravioleta Rayos X Rayos gamma

103 10−2 10−5 0,5×10−6 10−8 10−10 10−12Tipo de radiación

Longitud de onda (m)

Escala aproximada dela longitud de onda

Frecuencia (Hz)

Figura 7.18: Espectro electromagnéti-co.

Existe una región muy angosta en el espectro llamada región de luzvisible; esa es la luz que podemos ver. El espectro visible para el ojohumano se muestra en la figura 7.19. A la radiación electromagnética eneste rango de longitudes de onda se le llama luz visible o simplementeluz. No hay límites exactos en el espectro visible; un típico ojo humanoresponderá a longitudes de onda desde 400 a 700 nm aunque algunaspersonas pueden ser capaces de percibir longitudes de onda desde 380 a780 nm.

Cada longitud de onda dentro del espectro visible representa un colorparticular. Es decir, cuando luz de una determinada longitud de ondallega a la retina del ojo, ese es el color que percibimos (Fig. 7.20).

Isaac Newton mostró que la luz a través de un prisma se separa en

ondas 121

400 nm 450 nm 550 nm500 nm 600 nm 650 nm 700 nm

Espectro visible por el ojo humano (Luz)

750 nm

1 km 1 Mm1 m1 cm1 mm1 nm 1 µm1 pm1 fm 1 Å

InfrarrojoUltravioleta

1012

(1 Tera-Hz)10

1110

1310

1410

15

(1 Peta-Hz)10

1610

1710

18

(1 Exa-Hz)10

1910

2010

21

(1 Zetta-Hz)10

2210

2310

1010

9

(1 Giga-Hz)10

810

710

6

(1 Mega-Hz)10

510

410

3

(1 Kilo-Hz)10

2

105

104

106

107

103

102

101

100

10–1

10–2

10–3

10–4

10–5

10–6

10–7

10–8

10–9

10–10

10–11

10–12

10–13

10–14

10–15

Frecuencia (Hz)

Figura 7.19: Espectro de luz visible.

ROJO

NARANJO

AMARILLO

VERDE

AZUL

INDIGO

VIOLETA

Figura 7.20: Cada color está asociado auna longitud de onda.


sus diferentes longitudes de onda y entonces serán visibles los diferentescolores que componen la luz (Fig. 7.21). Esta separación de la luz visibleen sus diferentes colores se llama dispersión. Cada color tiene asociadouna longitud de onda, y la luz de diferente longitud de onda se “doblará”(cambiará de dirección o se refracta) de forma diferente. Por esta razónla luz se dispersa cuando pasa a través del prisma. Cuando un haz de luzblanca procedente del sol atraviesa un prisma, la luz con menor longitudde onda será más desviada que luz con una mayor longitud de onda. Deacuerdo a la figura 7.19 la luz roja es la que tiene la mayor longitud deonda y la luz violeta es la que tiene la menor longitud de onda, por lotanto la luz violeta (azul) es la que tendrá mayor dispersión.

Figura 7.21: La luz visible (luz blanca)se descompone en sus diferentes coloresal pasar por un prisma.

El color azul del cielo es causado por la dispersión de la luz so-lar, debido a que la luz choca con las moléculas de la atmósfera.Esta dispersión o esparcimiento, llamado “Rayleigh scattering”, esmás efectiva para las longitudes de onda más cortas (la zona “azul”del espectro visible). En consecuencia la luz esparcida hacia abajoa ángulos grandes con respecto a la dirección de la luz del sol espredominantemente azul.

Algunas aplicaciones importantes de la ondas electromagnéti-cas son:

Radiografías: Los rayos X son una forma de radiación electromagné-tica con longitudes de onda en el rango de 10 a 0.1 nanómetros, co-rrespondiendo a frecuencias en el rango de 30 to 3000 PHz (petahertz;1PHz = 1015 Hz). Una radiografía es la creación de imágenes al expo-ner una placa fotográfica u otro receptor a los rayos X.

Figura 7.22: Los rayos X pueden revelarla estructura interna de los objetos.

Los rayos X pueden penetrar los objetos sólidos, pero son debilitadosen su camino, dependiendo de la composición de los objetos. La imagenresultante revela la estructura interna del objeto.

Figura 7.23: La radiación de microon-das hace que las moléculas de la comi-da empiecen a rotar y a golpearse entreellas. Como consecuencia, las moléculasadquieren energía cinética traslacional;temperatura.

Horno microondas: Las microondas tienen longitudes de onda en elrango de 30 cm (frecuencia = 1 GHz) a 1 mm (300 GHz). Un hornomicroondas funciona con emisión de radiación microondas, usualmentea una frecuencia 2450 MHz (λ = 12.24 cm), a través de la comida. Lasmoléculas de agua, grasa y azúcar en la comida absorben energía delhaz de microondas. El efecto del haz de microondas sobre la comida esque las moléculas que la componen empiezan a rotar. Este movimientode rotación hace que las moléculas golpeen otras moléculas, las cualesse ponen en movimiento. Como consecuencia las moléculas adquierenenergía cinética traslacional, lo cual es sinónimo de temperatura.

Infrarrojo (IR): Nosotros no podemos ver la IR, pero la podemos sentircomo energía calórica3. El sol es la mayor fuente natural de radiación 3 Es por eso que la radiación infrarro-

ja se la conoce también como radiacióntérmica.

infrarroja y menos del 50% de la radiación solar es IR. Aplicacionesprácticas de IR son principalmente en transformaciones de calor sincontacto, tales como el secado y procesamiento de materiales, en el

ondas 123

campo médico y en las instalaciones spa. Otras aplicaciones son lascámaras IR, visores de visión nocturna, controles remotos IR y puertospara computadores y celulares.

7.8 Efecto DopplerSuponer que hay un insecto en el centro de una laguna. El insecto

produce periódicamente movimientos con sus patas para producir pertur-baciones que viajan a través del agua. Estas perturbaciones se muestrancomo círculos concéntricos en la figura 7.25 (izquierda). Un observadoren el punto A verá que las ondas llegarán a la orilla a la misma frecuenciaque se observaría en el punto B. Si el insecto produce perturbaciones auna frecuencia de 2 por segundo, entonces cada observador en B, mediríauna frecuencia de 2 por segundo (2 Hz).

Figura 7.24: Efecto Doppler, la longi-tud de onda delante del pato es menor.

En la figura 7.25 (derecha) el insecto se está moviendo hacia la derechaproduciendo perturbaciones de 2 por segundo. Puesto que el insecto semueve hacia la derecha, cada perturbación consecutiva se origina a unadistancia más cercana a un observador en B y más lejana a una observadoren A. Como consecuencia las perturbaciones llegarán a B con mayorfrecuencia. Por otro lado a cada perturbación consecutiva le tomará mástiempo en llegar al punto A. Por lo tanto, en el punto en A se observaráuna menor frecuencia. El efecto neto del movimiento del insecto (fuentede ondas) es que el observador en B medirá una frecuencia mayor a 2perturbaciones por segundo. Este fenómeno se llama efecto Doppler.

A B A B

Figura 7.25: Patrón de ondas generadopor un insecto en reposo (izquierda) yen movimiento (derecha).

El efecto Doppler puede ser observado en cualquier tipo de onda (ondasen el agua, ondas de sonido, ondas de luz, etc). Nosotros estamos másfamiliarizados con el efecto Doppler en ondas de sonido. Quizás ustedrecuerde que el sonido de un auto policial o ambulancia que se acerca auno, es muy agudo (una medida de la frecuencia de la sirena); y entoncesdespués que el vehículo a pasado el sonido se siente más grave. Eso esel efecto Doppler, un cambio aparente de la frecuencia de una onda desonido producida por una fuente (sirena) en movimiento.

El efecto Doppler es de inmensa utilidad para los astrónomos, quienesusan la información acerca del corrimiento en la frecuencia de las ondas


electromagnéticas producida por estrellas en movimiento en nuestra gala-xia y más allá. La creencia de que el universo se está expandiendo se basaen parte por las observaciones de las ondas electromagnéticas emitidaspor estrellas en galaxias distantes.

Figura 7.26: Efecto Doppler en autos.Un micrófono detectará una mayor fre-cuencia del auto que se aproxima.

CAPÍTULO8Reflexión y refracción de la luz

La capacidad de la visión de los humanos y otros animales es el resul-tado de una compleja interacción de la luz, los ojos y el cerebro. Nosotrospodemos ver porque la luz desde un objeto puede moverse a través delespacio y llegar hasta nuestros ojos. Una vez que la luz alcanza nuestrosojos, las señales son enviadas a nuestro cerebro, y nuestro cerebro descifrala información para detectar la apariencia, ubicación, y movimiento delos objetos que estamos mirando. El complejo proceso, no sería posible sino fuera por la presencia de luz. Sin luz, no habría visión.

8.1 ReflexiónAlgunos objetos pueden generar su propia luz, mientras que otros ob-

jetos (objetos iluminados) son capaces de reflejar la luz hasta nuestrosojos. El sol es un ejemplo de un objeto que genera su propia luz, mientrasque la luna es un objeto iluminado. Sin luz no podríamos ver la luna; sinluz, no habría visión.

Espejo

Pared

Láser

El rayo de luz no puede ser vistomientras se mueve desde el laserhasta el espejo, tampoco desde elespejo hasta la pared. La luz solopuede ser vista en los puntos dondehay objetos que reflejen la luzhasta nuestos ojos

La luz puede ser vistaen estos dos puntos.

Figura 8.1: Reflexión de una haz de luzláser en un espejo.

Un ejemplo sencillo es el mostrado en la figura 8.1, donde un rayoláser se hace incidir sobre un espejo plano. La presencia del haz de luzno puede ser detectada mientras viaja hacia el espejo. Es más, el rayode luz tampoco puede ser detectado después que se refleja en el espejo.Los únicos puntos donde se puede detectar la presencia de luz es en lospuntos donde el rayo choca con el espejo y con la pared. En estos dospuntos, una porción de la luz, se refleja y viaja hasta nuestros ojos. Peroentre el láser y el espejo, y entre el espejo y la pared la luz no puede serdetectada, porque no hay nada (ningún objeto) que sea capaz de reflejar


luz.

¿Los objetos reflejan la misma luz que incide sobre ellos?

Sólo reflejan parte de la luz que les llega, la parte que produce su color.Recordemos que el color está asociado a una determinada longitud deonda. Por ejemplo, cuando la luz incide sobre un objeto, el objeto no emiteluz sino que la refleja. Normalmente solo una parte de la luz incidente esreflejada. Parte de la luz que no es reflejada es absorbida por el cuerpo.

Cuando una onda de luz de una única frecuencia (color) incide sobreun objeto, pueden ocurrir varias cosas.

La luz podría ser absorbida por el objeto, lo cual significa que suenergía se convierte en calor.

La luz podría ser reflejada por el objeto.

La luz podría ser transmitida por el objeto (objeto transparente), esdecir la luz pasa hasta el lado opuesto del objeto. Figura 8.2: La figura ilustra los dos ca-

sos extremos de reflexión y absorción.El cuadrado de la izquierda refleja to-dos los colores que lo iluminan. Es blan-co bajo la luz solar. Cuando se le ilu-mina con luz azul, es azul. El cuadradode la derecha absorbe todos los coloresque lo iluminan. Bajo la luz solar, esmás cálido que el cuadrado blanco.

Sin embargo es poco frecuente que sólo ondas de una frecuencia (color)incidan sobre un objeto. Lo usual que el haz de luz consista de variasfrecuencias (colores). Cuando esto ocurre, los objetos tienen la tendenciaa absorber, reflejar o transmitir selectivamente ciertas frecuencias. Porejemplo, un objeto podría reflejar el verde y absorber todas las otrasfrecuencias de luz visible. Otro objeto podría trasmitir selectivamente luzazul y absorber todas las otras frecuencias de luz visible. La manera comola luz visible interactúa con un objeto depende de la luz y de la naturalezaatómica de los objetos. Si el objeto es transparente, la luz pasa hasta ellado opuesto del objeto. Tales frecuencias se dicen que son transmitidas.

Ya hemos mencionado que el color de un objeto que vemos, se debea como el objeto interactúa con la luz y a como la luz es reflejada otransmitida a nuestros ojos. El color de un objeto “no está dentro” delobjeto sino que el color está en la luz que brilla y llega hasta nuestrosojos.

Figura 8.3: Rueda de colores comple-mentarios.

Supongamos que hacemos incidir un rayo de luz blanca sobreun objeto, y el objeto absorbe solo luz roja.

¿Que color es el que se observa?

Si solo absorbe luz roja quiere decir que refleja el resto de las longitudesde onda. Una manera práctica de averiguar esto es mediante la ruedade colores mostrada en la figura 8.3. Por cada color único absorbido semuestra un color opuesto, el cual corresponde al color que veremos. Sisolo se absorbe luz roja, entonces veremos el color verde.

8.2 Ley de reflexiónCuando se ve un objeto, la luz viaja desde ese objeto hasta nuestros

ojos en linea recta. Esto que parece trivial decirlo, pero esto es consecuen-cia del principio de Fermat. La idea de este principio es que entre todas

reflexión y refracción de la luz 127

las trayectorias posibles que podría seguir la luz para ir de un punto aotro, toma la que requiere el tiempo mínimo.

Supongamos que deseamos determinar la localización de la imagen deun objeto al reflejarse en un espejo. La figura 8.4 ilustra varias trayectoriasque podría seguir la luz reflejada en el objeto hasta llegar a nuestros ojos.

Rayos reflejadosRayos incidentes

Objeto

Espejo

Figura 8.4: Posibles trayectorias quepodría seguir la luz hasta llegar al ob-servador.

¿Cuál es la trayectoria correcta?

La respuesta está en el principio de Fermat, la trayectoria es aquella quetome el tiempo mínimo. Si nos fijamos en la figura 8.5, se ha indicadoun punto “imagen” que está a la misma distancia del espejo que el punto“objeto”, es decir, la distancia imagen es igual a la distancia objeto. Segúnel principio de Fermat, la trayectoria que toma el tiempo mínimo para irdesde el observador hasta el punto imagen es una línea recta.

Rayoreflejado

Rayoincidente

Objeto

Imagen

Distanciaobjeto

Distanciaimagen

Figura 8.5: Posibles trayectorias quepodría seguir la luz hasta llegar al ob-servador.

Ahora bien, los dos triángulos mostrados son iguales (congruentes) detal manera que mediante consideraciones geométricas se puede demostrarque el ángulo incidente es igual al ángulo de reflexión. Esto se ilustra enla figura 8.6.

Ángulo de incidencia = Ángulo de reflexión


θi = θr

Rayoreflejado

Rayoincidente

Nor

mal

Ángulo deincidencia

Ángulo dereflexión

Espejo

Figura 8.6: Ley de reflexión.

La idea de que el ángulo de incidencia sea igual al ángulo de reflexión,también es aplicable al caso de partículas que rebotan en una pared impe-netrable. Por ejemplo en una mesa de pool el choque de la bola blanca enuna banda hará que el ángulo de rebote sea igual al ángulo de incidencia(Fig. 8.7).

EspejoFigura 8.7: Ley de reflexión en una me-sa de pool.


8.3 RefracciónPuesto que la luz es una onda, esta también sufre el fenómeno de

refracción que describimos en la sección 7.5.2. La figura 7.9 mostrabaondas en el agua pasando de un lugar profundo a uno menos profundo. Elresultado es que la onda cambia de dirección. El mismo comportamientotiene la luz al pasar de desde el aire hacia un vidrio; hay un cambioen la rapidez y la longitud de onda al cruzar la frontera aire-vidrio, larapidez y longitud de onda disminuyen, pero la frecuencia no cambia. Lomás importante es, sin embargo, el cambio de dirección al traspasar lafrontera. Este “doblamiento” de la trayectoria se conoce como refracción.La onda transmitida experimenta esta refracción. Como se ve en la figura8.8, cada frente de onda se “dobla” al cruzar la frontera. Una vez que elfrente de onda ha traspasado la frontera, viaja en línea recta. Entoncestal como muestra la figura 8.9 hay un rayo incidente que forma un ángulocon la normal (ángulo incidente), y hay un rayo refractado, el cual formaotro ángulo con la normal (ángulo de refracción).

Aire

Vidrio

Figura 8.8: Refracción de la luz a pa-sar desde el aire hacia el vidrio. Las luzen el vidrio disminuye su rapidez y sulongitud de onda.

Rayoincidente N

orm

al

Ángulo deincidencia

Ángulo derefracción

Vidrio

Aire

Rayorefractado

Figura 8.9: Refracción.

La luz viaja en el vacío a la velocidad de 300.000 km/s. La rapidez enel aire es un poco menor, pero en el agua la rapidez es un 75% del valoren el vacío.

¿De qué depende la velocidad de la luz en diferentes medios?

La cantidad en que difiere la velocidad de la luz en distintos medios y enel vacío se expresa por el índice de refracción n, del material:

n =Rapidez de la luz en el vacío

Rapidez de la luz en el material

Por ejemplo, la rapidez de la luz en un diamante es 125.000 km/s, yentonces el índice de refracción del diamante es

n =300000 km/s125000 km/s = 2.4

En general, la rapidez de la luz en cualquier material es menor que en elvacío. De hecho la luz viaja a su máxima rapidez en el vacío. De acuerdoa la definición y a la tabla 8.1, queda claro que el índice de refracción esun número sin dimensiones mayor que la unidad porque la rapidez en elmaterial es siempre es menor que la rapidez en el vacío. Además, n esigual a la unidad para el vacío.


Sustancia Índice de Sustancia Índice derefracción refracción

Sólidos a 20° Líquidos a 20°Circonio cúbico 2.20 Benceno 1.501Diamante (C) 2.419 Disulfuro de carbono 1.628Fluorita (CaF2) 1.434 Tetracloruro de carbono 1.461Cuarzo fundido 1.458 Alcohol etílico 1.361Fosfato de galio 3.50 Glicerina 1.473Vidrio, sin plomo 1.52 Agua 1.333Vidrio, con plomo 1.66Hielo 1.309 Gases a 0°C, 1 atmPoliestireno 1.49 Aire 1.000293Cloruro de sodio 1.544 Dióxido de carbono 1.00045

Tabla 8.1: Índices de refracción (todoslos valores son para luz cuya longitudde onda sea de 589 nm en el vacío).

Un ejemplo muy común de refracción, es cuando introducimos un ob-jeto recto dentro de un envase de vidrio y que está lleno de agua. El airetiene un índice de refracción cercano a 1.0003 mientras que el del agua es1.33. Si una persona mira el objeto recto (un lápiz, por ejemplo) que hasido colocado inclinado, parcialmente dentro del agua, el objeto aparecedoblado en la superficie del agua (ver figura 8.10). Si analizamos específi-camente el punto X, los rayos que parten (se reflejan) de ahí cambian dedirección al salir del agua y llegan hasta nuestro ojo. Entonces nuestroojo interpreta (erróneamente) que el rayo viene desde el punto Y.1 1 Para ser más precisos, para cualquier

ángulo de vista, Y debería estar ver-ticalmente sobre X, y el lápiz deberíaaparecer más corto que lo mostrado enla figura.

Figura 8.10: Debido a la refracción, unobjeto sumergido parece estar más cer-ca de la superficie que lo que realmenteestá.


8.4 EspejosLa reflexión especular se produce cuando un rayo de luz incide sobre

una superficie pulida (espejo) cambia su dirección sin cambiar el mediopor donde se propaga decimos que el rayo de luz se refleja.

8.4.1 Espejos planosCuando un rayo de luz incide sobre un espejo plano, el rayo de luz

se refleja en el espejo. Ya sabemos por la ley de reflexión que el ángulode incidencia es igual al ángulo reflexión (ver figura 8.6). Para la forma-ción de una imagen en un espejo plano, podemos seguir el procedimientomostrado en la figura 8.11:

1. En (a) se dibuja la imagen del objeto en P, al otro lado del espejo (enP’) y a una misma distancia del objeto al espejo. Esto se denota cons (distancia objeto-espejo) y s′ (distancia espejo-imagen), que en estecaso s = s′.

2. En (b), para un observador la imagen parece venir desde atrás delespejo en el punto P’, y se dibuja una linea desde la imagen en P’hasta el ojo del observador

3. En (c) se dibuja un rayo incidente desde el objeto (punto P) hasta elespejo. El rayo incidente se refleja en el espejo de acuerdo a la ley dereflexión.

En el punto P’ se localiza la imagen virtual. La imagen virtual es aquella Imagen virtual.que se forma cuando, tras pasar por el sistema óptico, los rayos divergen.Para nuestro sentido de la vista los rayos parecen venir desde un puntopor el que no han pasado realmente (punto P’). La imagen se percibe enel lugar donde convergen las prolongaciones de esos rayos divergentes.

Objeto Imagenvirtual

Distanciaobjeto

Distanciaimagen

Rayoreflejado

Rayoincidente

Espejo

(a) (b) (c)

P P' P P' P P'

Figura 8.11: Procedimiento para laconstrucción de imágenes en un espe-jo plano.El procedimiento anterior se hizo para un objeto puntual. Si imagi-

namos que si colocamos una vela frente a un espejo plano, los rayos deluz parten de la llama en todas direcciones. La figura 8.12 muestra laconstrucción de la imagen con solo dos puntos (los extremos). Cuando


esos rayos llegan al espejo, son reflejados en ángulos iguales a sus ángulosde incidencia.

Espejo

(a) (b)

(c) (d)

Imagenvirtual

Figura 8.12: Procedimiento para laconstrucción de imágenes en un espe-jo plano.

Este procedimiento es especialmente útil para explicar porqué solo unaporción de la imagen de un objeto puede verse. En la figura 8.12 el espejono es lo suficientemente alto para que el ojo pueda ver la parte de abajode la imagen. El punto más bajo de la imagen que el ojo puede ver es elpunto más bajo del espejo. Si el ojo trata de ver puntos que están másabajo de la imagen, no hay suficiente espejo para que la luz se refleje. Laporción que no puede verse está encerrada en un círculo

Espejo

Parteno visible

Figura 8.13: Solo una parte del objetopuede ser vista.

en resumen, las características de espejos planos son

La imagen del objeto es virtual.

El tamaño de la imagen es la misma del objeto.

Simetría del objeto con respecto al plano del objeto.

La imagen se ubica a la misma distancia que el objeto (s = s′).

El ángulo de incidencia es el mismo que el reflejado (ley de reflexión).


8.4.2 Espejos cóncavosUn espejo cóncavo se puede imaginar como una tajada de una esfera

(ver figura 8.14). Existe una línea que pasa a través del centro de laesfera y que toca al espejo en su centro. Esta línea se conoce como ejeprincipal (eje óptico). El punto C, en en centro de la esfera se conocecomo centro de curvatura. El punto donde el eje principal y el espejo sejuntan se llama vértice y se denota con la letra A. El vértice es el centrogeométrico del espejo. A mitad de camino entre el centro de curvatura yel vértice se ubica el punto focal (F). La distancia entre el vértice hasta elcentro de curvatura se conoce como el radio de curvatura (representadopor R). Finalmente las distancia desde el espejo hasta el punto focal sellama distancia focal (representado por f). Todos los detalles se muestranen la figura 8.15.

C

Eje óptico(eje principal)

Superficiecóncava

R

Vértice

A

Superficieconvexa

Figura 8.14: Formación de un espejocóncavo.

CEjeprincipal F

A

R

f

Figura 8.15: Espejo cóncavo.

Una característica importante de un espejo cóncavo es que si los rayosllegan en forma paralela al eje principal, entonces estos se reflejarán enel espejo y convergerán en el foco (Fig. 8.16). Debido a que el sol está a


una distancia muy gran de la tierra, los rayos llegan casi paralelos a lasuperficie de la tierra. Si la luz del sol llega a un espejo cóncavo, la luz sereflejaría en el espejo y se concentraría en el punto focal; ¡tendríamos unhorno solar.!

CEjeprincipal F

A

Figura 8.16: Los rayos reflejados con-vergen al punto focal en un espejo cón-cavo.

Hay tres casos posibles de como se refleja un objeto en un espejocóncavo. Eso depende donde se coloque el objeto, es decir, entre el foco yel espejo, entre el foco y el centro de curvatura, y a una distancia mayorque el radio de curvatura. la figura 8.17 ilustra el último caso, caso deun espejo cóncavo a una distancia mayor de el radio de curvatura. Elresultado es que la imagen es real, invertida y más pequeña. La imagenreal es aquella que se forma cuando tras pasar por el sistema óptico, losrayos de luz son convergentes. Esta imagen no la podemos percibir direc-tamente con nuestro sentido de la vista, pero puede registrarse colocandouna pantalla en el lugar donde convergen los rayos.

Notar que se necesitan trazar solo tres rayos para obtener la imagen:

1. Un rayo paralelo al eje principal y que pase por el punto focal.

2. Un rayo a pase por el punto focal se refleja paralelo al eje.

3. Un rayo que incida sobre el vértice del espejo se reflejará con un ánguloigual en el lado opuesto del eje principal.

La figura 8.18 muestra el caso cuando el objeto se encuentra entre elcentro de curvatura y el foco. La imagen resultante es real, invertida ymas pequeña.

En la figura 8.19 el objeto se encuentra entre el vértice y el punto focal. Laimagen resultante es virtual, más grande y derecha. Notar que la imagense encuentra al otro lado del espejo.


C FA

Imagen real e invertida

Objeto

Figura 8.17: Formación de una imagenreal e invertida en el caso de que la dis-tancia objeto (s) sea mayor que el radiode curvatura (s > R).

C FA

Imagen real e invertida

Figura 8.18: Formación de una imagenreal e invertida en el caso de que el ob-jeto se encuentre entre el centro de cur-vatura y el punto focal.

Imagen virtualy derecha

AFC

Figura 8.19: Formación de una imagenvirtual, derecha y más grande en el casode que el objeto se encuentre a una dis-tancia del espejo menor a la distanciafocal.


8.4.3 Espejos convexos

En la sección anterior, se mostró que los espejos cóncavos pueden pro-ducir imágenes reales y virtuales., dependiendo donde se coloque el obje-to. Aquí vamos a usar un procedimiento con el fin de investigar como losespejos convexos reflejan la luz y producen imágenes.

La figura 8.20 muestra un espejo convexo. Siguiendo la misma notaciónque usamos para los espejos cóncavos, ahora podemos notar que el centrode curvatura y el punto focal están localizados al otro lado del espejo (ladoopuesto del objeto). En este caso se dice que el espejo tiene una distanciafocal negativa (f < 0).

CEjeprincipalF

A

R

f

Figura 8.20: Espejo convexo.

Un espejo convexo es un espejo divergente debido a que la luz incidenteproveniente del mismo punto se reflejará en el espejo y divergirá. la figura8.21 muestra cuatro rayos incidentes que se originan en un punto y lleganal espejo convexo. Estos cuatro rayos se reflejan de acuerdo a la ley dereflexión.Después de la reflexión, los rayos divergen; en consecuencia ellosnunca se intersectan en el lado donde se encuentra el objeto. Por estarazón los espejos convexos producen imágenes virtuales, las cuales estánlocalizadas detrás del espejo.

CFObjeto

Figura 8.21: Los rayos reflejados en unespejo convexo divergen.

Si un observador mira a lo largo de una línea, un rayo de luz se reflejadesde el espejo hasta el ojo del observador. Entonces la tarea de deter-minar la localización de la imagen de un objeto consiste en determinarel lugar donde se intersectan los rayos reflejados. La figura 8.22 muestraun objeto enfrente de un espejo convexo. Solo se han dibujado dos líneaspara determinar la posición de la imagen virtual..

Las reglas para determinar la imagen en un espejo convexo se puedenresumir en dos:

1. Cualquier rayo incidente que viaje paralelo al eje principal en su ca-mino hacia el espejo, se reflejará de tal manera que su extensión pasaráa través del punto focal.

2. Cualquier rayo incidente que viaje hacia un espejo convexo tal que suextensión pase a través del punto focal se reflejará y viajará paraleloal eje principal.


CF

Imagenvirtual

Este rayo entró paralelo al eje ópticoentonces aparece como viniendo de F

Este rayo se reflejó en elespejo entonces aparececomo viniendo de C

Figura 8.22: Los rayos reflejados en unespejo convexo divergen.

Un espejo convexo siempre produce una imagen más pequeña de un obje-to. Los espejos convexos son usados por ejemplo en los espejos laterales devehículos porque de esa manera se incrementa el campo visual, es decir,el espejo convexo forma imágenes de vehículos que están situados sobreuna gran área.

Figura 8.23: Los objetos en un espejoconvexo aparecen más pequeños de loque son.


8.5 LentesUna lente es un pedazo de vidrio u otro material transparente. Si la

lente tiene la forma apropiada, es posible que luz paralela incidente puedaconverger a un punto o también aparecer que diverge desde ese punto.La lente usa la refracción de la luz en su superficie curva, para formarimágenes de rayos divergentes.

Las lentes esféricas tienen superficies definidas por dos esferas (Fig.8.24).

(a) Lente biconvexa (convergente) (b) Lente bicóncava (divergente)

Figura 8.24: Formación de lentes pormedio de superficies esféricas.

Las lentes pueden ser convergentes o divergentes (Fig. 8.25). La lentesconvergentes son más gruesas en el centro que en los extremos; se repre-sentan esquemáticamente con una línea con dos puntas de flecha en losextremos. Las lentes divergentes son más delgadas en la parte central queen los extremos; se representan esquemáticamente por una línea rectaacabada en dos puntas de flecha invertidas.

Biconvexa Planoconvexa

Meniscoconvergente

Bicóncava Planocóncava

Meniscodivergente

Representación

Lentesconvergentes

Lentesdivergentes

Figura 8.25: Tipos de lentes.

En una lente simétrica como la de la figura 8.24, existe una línea quepasa por el centro de la lente. esta línea imaginaria se llama eje principal.Una lente también tiene un eje imaginario vertical que bisecta la lentesimétrica en dos partes. Los rayos de luz que inciden en la lente y queviajan en forma paralela al eje principal pueden converger o divergir. Sila luz converge (lente convergente), entonces el punto donde converge sellama punto focal de la lente. Si los rayos de luz divergen (lente diver-gente), entonces los rayos pueden se prolongados hacia atrás hasta que


ellos se intersectan en un punto. Esta intersección se conoce como puntofocal de la lente divergente. El punto focal se denota con la letra F. Notarque cada lente tiene dos puntos focales, uno a cada lado de la lente. Adiferencia de los espejos, las lentes permiten que la luz pase a través delas dos caras, dependiendo de donde venga el rayo de luz. La distanciadesde la lente al punto focal se llama distancia focal (abreviado por f).Técnicamente una lente no tiene centro de curvatura (al menos no tieneimportancia aquí). Sin embargo una lente tiene un punto imaginario co-nocido como punto 2F. Este punto que yace sobre el eje principal está auna distancia 2f de la lente (Fig. 8.26).

FF2F 2F

Distanciafocal (f)

Eje vertical

Eje principal

Figura 8.26: Anatomía de una lenteconvergente.

8.5.1 Refracción por una lente convergenteLa figura 8.27 muestra el comportamiento de dos rayos incidentes y

paralelos al eje principal . Notar que los rayos convergen a un punto; elpunto focal de lente.

Punto focal

F

Figura 8.27: Los rayos incidentes queviajan paralelos al eje principal se re-fractarán a través de la lente y conver-gerán a un punto.

Ahora supongamos que los rayos de luz parten del punto focal haciala lente (Fig. 8.28). Estos rayos se refractarán al entrar en la lente yse refractarán cuando salgan de la lente. Estos rayos saldrán en formaparalela al eje principal. Se puede hacer la generalización

F


Con estos dos ejemplos se puede hacer la siguiente generalización paralentes convergentes:

Cualquier rayo incidente que viaje paralelo al eje principal de unalente convergente se refractará a través de la lente y viajará a travésdel punto focal al otro lado de la lente.

Cualquier rayo incidente que viaje a través del punto focal en su viajehacia la lente se refractará a través de la lente y emergerá paralelo aleje principal.

8.5.2 Refracción por una lente divergente

F


La figura 8.29 muestra el comportamiento de dos rayos incidente acer-cándose al lente en forma paralela al eje principal. Al entrar al lente,el rayo se refractará y saldrá, pero debido a la forma del lente bicónca-vo, esto rayos refractados no convergen a ningún punto (divergen). Poresta razón una lente bicóncava nunca producirá una imagen real. la len-tes bicóncavas producen imágenes virtuales. Si los rayos refractados seextienden hacia atrás, detrás de la lente, se observa que estos rayos con-


vergen a un punto focal. Sed dice que se una lente divergente tiene unadistancia focal negativa.

Ahora supongamos que los rayos viajan hacia la lente en dirección alpunto focal de la derecha (Fig. 8.30). Esto rayos se refractarán y saldránen forma paralela el eje principal .

F


Con lo anterior, podemos establecer dos reglas para lentes divergentes:

Cualquier rayo incidente que viaja paralelo al eje principal de una lentedivergente se refractarán a través de la lene y emergerá pasando porel punto focal (es decir, en una dirección tal que su extensión pasaráa través del punto focal).

Cualquier rayo incidente que viaja hacia el punto focal en su caminohacia la lente se refractará y viajará paralelo al eje principal.

8.5.3 Lentes delgadas

La reglas que vimos anteriormente no son las únicas, porque los rayosconsiderados no son los únicos. Hay una cantidad infinita de rayos quellegan a la lente y se refractan en una variedad de maneras. hay un rayoen especial, el cual pasa por el centro de la lente, por la intersecciónentre el eje principal y el eje vertical. Este rayo se refracta en la lentey también cuando sale. El efecto neto es que esta doble refracción noafecta la dirección inicial. Esto es válido para lentes delgadas donde lerayo refractado tiene la misma dirección que el rayo incidente.

FF2F 2F FF2F 2F

Figura 8.31: En una lente delgada losrayos que pasan justo por el centro dela lente salen de la lente sin refractarse..

8.5.4 Formación de imagen por una lente divergente

Las lentes divergentes crean imágenes virtuales puesto que los rayosrefractados no convergen a un punto. En una lente divergente la imagense localiza en el lado del objeto donde los rayos refractados se intersectansi se extienden hacia atrás. La figura 8.32 nuestra algunos rayos incidentesemanando del objeto. Cada rayo incidente se refracta en la lente y puedeser detectado por diferentes observadores. La localización donde los rayosrayos refractados se intersectan, es la localización de la imagen. Estosrayos refractados (línea punteada) en realidad no existen, es por eso quese llama imagen virtual. Para el observador la luz parece venir desde esepunto.


FF2F 2F

Imagenvirtual

Figura 8.32: En una lente divergente, laimagen formada es siempre divergente.

8.5.5 Formación de imagen por una lente convergenteHay varios casos que podemos considerar para la formación de la ima-

gen en una lente convergente, dependiendo donde esté localizado el obje-to. Hay tres casos donde la imagen formada es real: el caso de un objetolocalizado más allá del punto 2F; el caso cuando el objeto está localizadoen el punto 2F; y el caso cuando el objeto está localizado entre 2F y F. Figura 8.33: La lupa es un instrumen-

to óptico que consta de una lente con-vergente de corta distancia focal, quedesvía la luz incidente de modo que seforma una imagen virtual ampliada delobjeto

El caso más interesante es cuando el objeto está localizado entre elpunto F y el espejo. La figura 8.34 muestra la imagen virtual formadapor una lente convergente.

FF2F 2F

Imagenvirtual

Figura 8.34: En una lente divergente, laimagen formada es siempre divergente.

CAPÍTULO9El átomo

En el capítulo 5 sobre electricidad, introdujimos el concepto de átomopara explicar cómo está constituida la materia. Dijimos que cada átomoconsiste de un núcleo, que contiene protones y neutrones, y este núcleoestá rodeado por un cierto número de electrones. Sin embargo es intere-sante hacer un poco de historia y constatar que el concepto de átomo, talcomo lo conocemos hoy en día, tiene una larga historia.

9.1 Modelos atómicos

9.1.1 En la antigua Grecia y Edad Media

Desde la antigüedad, algunas de las grandes mentes que ha tenido lahumanidad, se han cuestionado sobre la composición de la materia, ya enla antigua Grecia, muchos filósofos se preguntaron cual sería la base dela sustancia física.

Algunas de las grandes mentes que conoció la antigüedad se cuestio-naron sobre esto, pensando que la materia estaba formada por 4 carac-terísticas esenciales, las cuales se expresaban, combinándose por parespara formar los 4 elementos (Fuego, Tierra, Aire y Agua), que serían,según su presencia en la materia, la base de esta. Así entonces, definieronque existiría una unidad fundamental llamada el átomo, habiendo átomosde distintas clases según las cantidades de los 4 elementos que tuvieranen forma particular. Así, existirían átomos para el metal, la piedra, lamadera, etc, variando solo en su proporción relativa de cada átomo.

En aquellos tiempos, se la ciencia comprendía el estudio de tres cosas:el arte o sentido de la belleza, la religión o causa divina de las cosas yel estudio de la naturaleza. Así entonces, todas las teorías de los sabiosgriegos giraban como una mezcla de estas tres lineas de estudio.

Esta concepción, presocrática de hecho, se mantuvo por muchos siglos,ampliándose o modificándose según los nuevos estudios, en el medioevo,una nueva forma de científicos/místicos aparece, conocidos en la actuali-dad como alquimistas, los cuales, en sus estudios buscaban la transmu-tación de plomo en oro. Tanto en un sentido práctico como filosófico (lapurificación del propio hombre), ellos, amplían la variedad de elementos aanalizar, comprendiendo que existen tanto elementos simples como com-puestos, pero aún así, sin avanzar mayormente en la verdadera naturalezadel átomo.

No es sino hasta la era industrial, cuando se comienza un estudio entorno al tema, que es más coincidente con la concepción actual de la


ciencia.

9.1.2 Modelo atómico de Dalton

John Dalton, fue un químico, matemático y meteorólogo. Tal vez lomás conocido sobre el, sea que fue el primero en investigar a profundidadla ceguera al color, conocida comúnmente como daltonismo.

Dalton postulo en 1808 que los átomos son unidades indivisibles, di-ferentes entre si según su tipo, estos átomos, pueden combinarse entre sípara formar compuestos, pero lo hacen en proporciones determinadas, yque la variación de la proporción de los átomos da origen a sustanciasdiferentes aunque se trate de los mismos átomos (Ley de las proporcio-nes múltiples, estequiometría), pero, no obstante a esta combinación, losátomos no pierden su naturaleza, es decir, siguen siendo ellos mismos,aunque combinados, así como también, permanecen indivisibles.

Figura 9.1: John Dalton (1766-1844)

Lo importante de este modelo, es que indica que aunque hay una re-lativamente pequeña cantidad de elementos, la combinación de estos endiferentes proporciones genera la gran multitud de compuestos existentes.

9.1.3 Modelo atómico de Thomson

Figura 9.2: Joseph J. Thomson (1856-1940)

Joseph J. Thomson fue un matemático y físico británico, realizó mu-chos avances en la ciencia que aún hoy en día son de importancia, entreellos, fue el descubridor del electrón.

En el año 1904, Thomson postula que el átomo esta formado por unadeterminada cantidad de electrones (con carga eléctrica negativa) y queestos estarían suspendidos en una masa de carga positiva. A este modelo,se le conoce coloquialmente como "el budín de pasas" ya que plantea a loselectrones como elementos suspendidos en una masa de carga positiva,cual confites en un pastel (la analogía criolla, seria un pan de pascua).

Figura 9.3: Modelo atómico de Thom-son.

Si bien este modelo fue aceptado por un tiempo, no tomó en cuentaciertas consideraciones que posteriormente serían la causa de que uno delos discípulos de Thomson lo derribara e impusiera un modelo más acordea lo experimentalmente observado.

el átomo 145

9.1.4 Modelo atómico de Rutherford

Figura 9.4: Ernest Rutherford (1871-1937)

Ernest Rutherford, fue un científico británico de gran renombre en suépoca, especializado en radiación. Fue el maestro del danés Niels Bohr ydel tristemente célebre Robert Oppenheimer (Director de los experimen-tos que llevaron a cabo la creación de la primera bomba atómica, usadacontra Japón). En 1908 recibió el premio Nobel de Química (sí... era unfísico, no obstante recibió el premio Nobel de Química, cosa que ni elmismo entendía, en vista que no sentía ningún particular aprecio a estarama de la ciencia).

Rutherford experimentó, lanzando partículas radioactivas de carga po-sitiva (partículas α) sobre una lámina muy delgada de oro, poniendo endistintas posiciones alrededor de esta, placas sensibles que generarían lu-miniscencia al ser impactadas por las partículas alfa reflejadas por losátomos de dicha lámina (Fig. 9.5).

Lámina delgadade oro

Pantalla detectora

Fuente radioactivaemisora de partículas alfa

Figura 9.5: Experimento de Ruther-ford. La mayoría de las partículas alfapasan a través de la lámina de oro sindesviarse. Esto da cuenta de un granespacio vacío dentro del átomo.

Según el modelo de Thomson, la carga positiva se encuentra distribuidaa través de toda la extensión del átomo (modelo del “budín de pasas”),entonces la probabilidad de que una partícula α sea repelida y desviadapor una carga positiva en el núcleo es muy escasa, o sea que el resultadoesperado es que las partículas pasen a través del átomo sin desviarse. Elresultado real del experimento es que, no solo hubo reflexión de partículasque chocaban contra los átomos de la lámina de oro, sino que además,muchas de las partículas pasaban a través de ella en linea recta (Fig. 9.7).Este último hecho, derribaba el modelo atómico de su propio maestro,Thomson, dejando entonces la necesidad de crear un nuevo modelo.

Figura 9.6: Modelo atómico de Ruther-ford.

El modelo de Rutherford, habla de que existen dos zonas en el átomo,un núcleo, cargado positivamente y una corteza de electrones orbitandocargada negativamente, entre ambos, existe un gran espacio vació (gran-de, en relación a los tamaños de dichas partículas, aunque muy pequeñodesde nuestro punto de vista), este modelo, explica entonces que cuandolas partículas que el lanzaba chocaban con el núcleo, estas eran reflejadas,mientras que el resto, si no tocaba ningún núcleo, seguiría en linea recta,atravesando la lámina de oro, cosa que su experimento demostraba.


Partículasincidentes

Resultado esperado(Thomson)

Resultado obtenido(Rutherford)

Núcleo

Figura 9.7: El resultado esperado segúnThomson era que las partículas α (car-gadas positivamente) cruzarían el áto-mo prácticamente sin desviarse. En elexperimento algunas pocas partículassufrían gran desviación. Eso da cuentaque todas la carga positiva dentro delátomo se concentra en una zona muypequeña, el núcleo.

Sumado a esto, explica que el núcleo aunque, con una carga de igualmagnitud a la de la corteza pero de signo positivo, concentraría la mayorparte de la masa del átomo. Lo importante de este modelo, es que esta-blece la existencia de un núcleo atómico, además de que la mayor partedel espacio ocupado por un átomo está vacío.

9.1.5 Modelo atómico de Bohr

Como a estas alturas será notorio, fue costumbre en su época que eldiscípulo derribara el modelo de su maestro. Así lo hizo Niels Bohr, unDanés, discípulo de Rutherford, que planteó un modelo que sustituiría alde su maestro, pero no solo eso, sino que además, se trata del modelo queestá mas estereotípicamente implantado en la cultura popular.

Figura 9.8: Niels Bohr (1885-1962)

Bohr, en 1913, define que el átomo esta formado por un núcleo de cargapositiva, pero que este además está rodeado de electrones los cuales semueven en orbitas alrededor del núcleo. La novedad del modelo de Bohres que introduce un nuevo concepto a las corrientes científicas de la época;la cuantización. Bohr habla entonces de ciertas “posiciones” permitidas,en las cuales los electrones se pueden mover, llamadas orbitales. Se debeconsiderar que el modelo atómico de Bohr fue hecho sobre la base delátomo de hidrógeno, el más simple de todos los elementos, que posee soloun electrón orbitando a su núcleo (ver figura 9.9).

NúcleoElectrón enuna órbita

niveles de energíapermitidos

Nieveles deenergía prohibidos

nivel de energíamás bajo

(estado fundamental)

Figura 9.9: Átomo de hidrógeno segúnla teoría de Bohr.

el átomo 147

Las orbitas debían ser circulares en torno al núcleo, buscando los elec-trones tener la menor energía posible dentro de sus espacios "cuantizados",partiendo de la base que el momentum angular (cantidad de movimientogiratorio) de estos también estaría cuantizado. En el modelo de Bohr los electrones gi-

ran en planos como lo hacen los plane-tas. Posteriormente se hicieron correc-ciones para decir que los electrones semueven en “capas” y en “nubes”. To-davía se utiliza “órbita” solo para finespedagógicos . Los electrones no son só-lo cuerpos como los planetas, sino másbien se comportan como ondas concen-tradas en determinadas partes del áto-mo.

Cuando hablamos de cuantización, nos referimos a que la cantidadde energía no queda definida en forma libre, como un continuo en quecualquier espacio puede ser ocupado, sino, en zonas definidas por cifrasprecisas, fuera de las cuales no es posible que este presente un electrón.Bohr supuso que esta relación está vinculada a la constante de Planck,ante lo cual definió una serie de parámetros que vincularían la posicióndel orbital dentro esta corteza de electrones.

9.2 Cuantización de la energíaFigura 9.10: La radiación electromag-nética ocurre en “paquetes de energíallamados fotones.

De acuerdo a la hipótesis de Planck, toda la radiación electromagnéticaestá cuantizada y ocurre en “paquetes” de energía los cuales llamamosfotones. La energía de este fotón depende de la longitud de onda o fre-cuencia de la radiación electromagnética. Por ejemplo, un fotón de luzazul de longitud de onda λ = 450 nm tendrá siempre una energía de2.76 eV. La luz azul ocurre en pedazos o paquetes de 2.76 eV. No pode-mos tener la mitad de fotón de luz azul. La frecuencia que puede tenerun fotón no está limitada y está disponible en un continuo, tal como lomuestra el espectro electromagnético (Fig. 9.11). La energía de un fo-tón se calcula multiplicando la frecuencia (f) por la constante de Planck(h = 6.62606957×10−34 m2 kg/s)

Efotón = constante de Planck× frecuencia

Efotón = hf

400 nm 450 nm 550 nm500 nm 600 nm 650 nm 700 nm

Espectro visible por el ojo humano (Luz)

750 nm

1 km 1 Mm1 m1 cm1 mm1 nm 1 µm1 pm1 fm 1 Å

InfrarrojoUltravioleta

1012

(1 Tera-Hz)10

1110

1310

1410

15

(1 Peta-Hz)10

1610

1710

18

(1 Exa-Hz)10

1910

2010

21

(1 Zetta-Hz)10

2210

2310

1010

9

(1 Giga-Hz)10

810

710

6

(1 Mega-Hz)10

510

410

3

(1 Kilo-Hz)10

2

105

104

106

107

103

102

101

100

10–1

10–2

10–3

10–4

10–5

10–6

10–7

10–8

10–9

10–10

10–11

10–12

10–13

10–14

10–15

Frecuencia (Hz)

Figura 9.11: La energía de un fotón esdirectamente proporcional a su frecuen-cia. Un fotón de radiación ultravioletatiene más energía que un fotón infra-rrojo.


9.3 Los espectros atómicosEl modelo de Bohr plantea que en un átomo, los electrones solo pueden

ser encontrados en ciertos estados de energía discretos. Estos niveles deenergía están asociados con las órbitas o “capas” de electrones en unátomo. Cuando un electrón absorbe radiación electromagnética (fotón),entonces es posible que el electrón pase a una órbita con mayor energía(Fig. 9.12). Para que esto ocurra la energía del fotón deber ser igual a ladiferencia de energías entre los dos niveles.

Fotón conenergía igual a

Nivel demayor energía

Figura 9.12: La absorción de un fotónpermite que el electrón pase a un ni-vel más alto en energía; el electrón está“excitado”.

Antes de Rutherford, los químicos (espectroscopistas) usaban un apa-rato llamado espectroscopio para visualizar las transiciones electrónicasentre diferentes niveles de energía en un átomo. Básicamente, el aparatoconsiste de una gas encerrado donde ocurren descargas, la luz irradiadapasa por una rendija y luego por un prisma, donde la luz se descompone,para luego ser detectada en una pantalla (Fig. 9.13). El espectro obtenidorepresenta una característica única del elemento (gas) y es equivalente aobtener su huella digital (Fig. 9.14).

Prisma

Tubo con gas dondeocurren descargas

Rendija

Parte visible delespectro del gas

Figura 9.13: Espectrógrafo: las descar-gas dentro de un tubo con gas son lafuente de luz que se refracta en un pris-ma. En la pantalla, vemos las líneas delespectro visible del gas.

El átomo de hidrógeno es el más ligero y sencillo. Las lineas espectralesno pueden ser explicadas por el modelo de Rutherford. La única formade explicar el espectro era mediante una fórmula empírica, la fórmula deRydberg. La figura 9.15 ilustra la emisión de un fotón cuando un electrónvuelve a un nivel de energía más bajo. Este fotón es registrado como unalínea en la pantalla de un espectrógrafo.

el átomo 149

390

400 500450

600550

700650 750

Figura 9.14: La líneas espectrales soncaracterísticas de un elemento. Las lí-neas siempre ocurren con en el mismo.Esto es equivalente a tener una huelladigital del elemento atómico..

Nivel demayor energía

Nivel demenor energía

Emisión deun fotón deenergía igual a

Línea espectral

Figura 9.15: La emisión de un fotónpermite que el electrón pase a un nivelmás bajo. La energía liberada es iguala la diferencia de energía entre niveles.

Desde hacía tiempo se sabía que el hidrógeno, el elemento más ligero,tiene un espectro mucho más ordenado que los demás elementos (en lafigura 9.16 se muestra una porción del espectro para H, Ag y Ne).

Figura 9.16: Una porción de las líneasde emisión para el hidrógeno, mercurioy neón. Cada línea (una imagen de larejilla en un espectroscopio) representala luz de una frecuencia específica emi-tida.

Una secuencia importante de líneas en el espectro del hidrógeno se iniciacon una línea en la región del rojo, seguida por una en el azul, y despuésvarias líneas en el violeta, y muchas en el ultravioleta. El espacio entrelas líneas sucesivas se vuelve menor y menor, desde la primera en el rojohasta la última en el ultravioleta, hasta que las líneas están tan cercanasque parecen fundirse. Un maestro de escuela suizo, J. J. Balmer, fue quienprimero en 1884 expresó las longitudes de onda de esas líneas en una solaecuación matemática. Sin embargo, no pudo explicar por qué su fórmulafuncionaba tan bien. Creía que para otros elementos, las series podrían


seguir una fórmula parecida, y que podrían predecir líneas que todavíano habían sido observadas.

9.4 Las transiciones electrónicasEn el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, cada nivel de energía de

un electrón, está asociado a un número entero (1,2,3,....). Este número sellama número cuántico. En la figura 9.17 se muestran algunas transicioneselectrónicas con las respectivas longitudes de onda asociadas. Por ejemplo,en la serie de Balmer, la transición desde el nivel n = 6 hasta el niveln = 2 involucra la emisión de un fotón con una longitud de onda de410 nm. Las series de Lyman, de Balmer y de Paschen son transicionesque fueron obtenidas experimentalmente, mucho antes del desarrollo dela teoría atómica.

103

nm

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 6n = 5

434 nm

122

nm

Lyman series

Balmer series

Paschen series

94 nm

410 nm

486 nm656 nm

1875 nm1282 nm

1094 nm

97 nm

95 nm

Figura 9.17: Algunas transiciones elec-trónicas para el átomo de hidrógeno.

El gran éxito de la teoría de Bohr es que logró predecir las transicionesde energía del átomo de hidrógeno. Bohr dedujo una ecuación que lepermitió obtener los niveles de energía cuantizados para el átomo dehidrógeno. Si asociamos en número cuántico n al nivel de energía En,entonces

En = −13.6n2 [eV]

De la ecuación anterior se obtienen las diferencias entre niveles de energía.En efecto, si asociamos los números cuánticos n1 y n2 a los niveles deenergía E1 y E2 respectivamente, entonces la diferencia de energía entrelos niveles es

Figura 9.18: La energía del fotón emi-tido es igual a la diferencia de energíaentre los niveles.

∆E = −13.6[

1n2

1− 1n2

2

][eV]

el átomo 151

Para que haya una transición debe cumplirse que la energía del fotónabsorbido/emitido debe coincidir con esta diferencia de energía

Efotón = hf = −13.6[

1n2

1− 1n2

2

]

Si bien los modelos atómicos como el de Dalton y Thomson dan una idea prosaica de lo que es un átomo,sirvieron de base para que, a medida que la ciencia avanzaba en ideas y en equipamiento, fueran surgiendomás claras teorías sobre la composición de la materia.

Los modelos atómicos de Rutherford y Bohr, si bien errados, de acuerdo a las teorías actuales, tuvieronun fuerte impacto, porque estos explicaban un fenómeno llamado "lineas de emisión", es decir, la emisiónde luz de parte de átomos irradiados, cosa que antes de ellos no se había podido explicar, solo cuantificarsu efecto.

La ciencia busca poder explicar lo que se observa, así entonces, estos últimos dos modelos permitíantener una cercanía mayor entre lo observado y lo supuesto. No obstante, ambos tenían fallas fundamentalesque llegaban a contradecir la teoría del electromagnetismo.

Fundamentalmente, todos sabemos que dos cargas opuestas se atraen, una carga eléctrica negativa, seráirremediablemente atraída por una negativa, tenderán estas a juntarse y a neutralizarse posterior a sucontacto, esto era el problema que contenían ambos modelos, inevitablemente los electrones caerían sobreel núcleo, neutralizándolo y con ello, acabando con toda estructura en el universo, cosa que de hecho, nosucede. Así entonces, los modelos eran errados, pese a lo cual, fueron la base para modelos posteriores.

9.5 Mecánica cuánticaLa idea de que el electrón se mueve en círculos alrededor del núcleo

funciona muy bien para el átomo de hidrógeno. Los físicos se dieron cuentaque esta idea tenía muchos problemas y los físicos tuvieron que desechareste modelo.

Figura 9.19: Louis de Broglie (1892-1987).

Hubo un físico francés llamado Louis de Broglie, que en 1924 vino conuna idea radical. El propuso que una partícula como el electrón tienepropiedades de una onda. Supuso que una onda está asociada con todapartícula, y que la longitud de una onda de materia tiene una relacióninversa con la cantidad de movimiento de la partícula. Estas ondas demateria de de Broglie se comportan igual que las demás ondas: puedenreflejarse, refractarse, difractarse e interferir entre sí. Aprovechando laidea de la interferencia, demostró de Broglie que los valores discretos delas órbitas de Bohr son una consecuencia natural de las ondas electrónicasestacionarias.

¿A quién se le podría ocurrir que una partícula material también puedaser una onda?

¡Nadie me dijoque tenía quetrabajar con ella!

Schrödinger

Figura 9.20: La dualidad onda-partícula.

La idea era revolucionaria y extraña, pero mediante esa suposición, deBroglie logró explicar la teoría de Bohr, es decir de Broglie explicó que losvalores discretos de las órbitas de Bohr son una consecuencia natural delas ondas electrónicas estacionarias. En aquella época se empezó a aceptarque el electrón se comportaba como una onda o una partícula de acuerdo


al experimento que se realizara. Esta dualidad onda-partícula, postulaque todas las partículas presentan propiedades de onda y partícula.

De acuerdo con la física clásica existen diferencias entre onda y partí-cula. Una partícula ocupa un lugar en el espacio y tiene masa mientrasque una onda se extiende en el espacio caracterizándose por tener unavelocidad definida y masa nula

Aunque el concepto de “órbitas” resulta ser bastante útil, tuvo queser desechado. Hoy en día en vez de órbitas se prefiere hablar de que loselectrones están en niveles de energía. La regla es: órbita mayor =energía mayor.

Figura 9.21: Erwin Schrödinger (1887-1961) fue un físico austríaco, naciona-lizado irlandés, que realizó importan-tes contribuciones en los campos de lamecánica cuántica y la termodinámica.Recibió el Premio Nobel de Física en1933 por haber desarrollado la ecuaciónde Schrödinger.

Una vez que la idea de que las partículas materiales tienen propie-dades ondulatorias fue aceptada por la comunidad científica, un físicollamado Erwin Schrödinger, formuló una ecuación que describe cómo va-rían las ondas de materia bajo la influencia de fuerzas externas. Puestoque las cosas a nivel atómico no funcionan como en el mundo macroscópi-co. Esta ecuación juega el mismo rol que la segunda ecuación de Newton(F = ma). Lamentablemente, en la ecuación de Schrödinger, las ondas demateria son entidades matemáticas que no son observables directamente,todo se vuelve bastante abstracto. En la ecuación de onda de Schrödingertenemos ondas de materia, y como toda onda, tiene una amplitud.

¿Donde está el electrón?

no se puede saber. En la teoría de Newton se puede establecer enforma exacta la posición de una partícula si se conocen las condicionesiniciales. Por ejemplo, si lanzamos una piedra con una velocidad inicialy con un cierto ángulo, entonces mediante las ecuaciones de movimiento,podremos saber en forma exacta donde se encuentra la piedra en uninstante posterior. Es por eso que se dice que la teoría de Newton esdeterminista. en contraste, en la teoría de Schrödinger no es posibledeterminar la posición exacta de un electrón (recordemos que es unaonda). Lo único que podemos saber es la probabilidad de encontrar unelectrón en una cierta región del espacio.

Si bien es cierto que no es posible encontrar un electrón en una posi-ción exacta, experimentalmente hay una probabilidad finita de encontrara un electrón en determinada región en cualquier instante. Esta proba-bilidad es un número entre 0 y 1, donde 0 indica nunca (probabilidadcero) y 1 equivale a siempre (certeza). Por ejemplo, si la probabilidadde encontrar a un electrón dentro de cierto radio es 0.4, eso quiere decirque las probabilidades son de 40% de que el electrón se encuentre allí.La figura 9.22 muestra un ejemplo de una nube electrónica, donde en lasregiones más oscuras es más probable encontrar un electrón.

Es costumbre, sobre todo en química, tratar de imaginar la localizaciónde un electrón en cierta región del espacio. Se dibujan regiones llamadasnubes electrónicas (o regiones de probabilidad). Se usa muy a menudo eltérmino orbital para representar las nubes estas nubes electrónicas (Fig.9.23).

el átomo 153

Nube de electrones

Región de altaprobabilidad deencontrar un electrón

Región de escasaprobabilidad deencontrar un electrón

Región de casi nulaprobabilidad deencontrar un electrón

Figura 9.22: Distribución de probabili-dades de una nube electrónica.

1s 2p 3d 4f

Figura 9.23: Orbitales atómicos.

Hay que tener cuidado. Un orbital atómico es una función matemáti-ca que describe el comportamiento de un electrón en un átomo. Estafunción es una solución de la ecuación de Schrödinger y es usadapara calcular la probabilidad de encontrar un electrón en una regiónespecífica alrededor del núcleo.


9.6 El efecto fotoeléctricoSe ha determinado experimentalmente que cuando la luz incide sobre

la superficie de un metal, la superficie emite electrones (Fig. 9.25). Estefenómeno se llama efecto fotoeléctrico y ahora se usa en las celdas solares,en los exposímetros de las cámaras y para captar el sonido de la pistasonora en las películas.

La explicación de este fenómeno era un misterio para los científicos,pues si la luz se considera como una onda, entonces se originan una seriede contradicciones al tratar de explicar este efecto. Hasta que Einsteinllegó a la respuesta en 1905. El se imaginó que la luz Einstein que la luztiene propiedades cuánticas, y además consideró que la luz es una grani-zada de partículas, es decir la luz tiene un comportamiento de partícula.Son estas partículas de luz (fotones) las responsable de impartir energíacinética a los electrones y expulsarlos de la superficie del metal. La cantidad de fotones en un rayo de

luz controla el brillo de todo el rayo,mientras que la frecuencia de la luz con-trola la energía de cada fotón indivi-dual.

Figura 9.24: Albert Einstein (1879-1955).

Fotones

Electronesexpulsados

Figura 9.25: Efecto fotoeléctrico.

Hay dos factores principales de los cuales depende el efecto fotoeléc-trico:

El efecto fotoeléctrico depende de la intensidad de la luz incidente (másluz expulsa más electrones).

El efecto fotoeléctrico depende de la frecuencia de la luz incidente(la luz de alta frecuencia expulsa más electrones que luz de menorfrecuencia).

CAPÍTULO10El núcleo atómico

En el capítulo sobre el átomo nos ocupamos principalmente del elec-trón. Nuestra mirada ahora se enfoca en el núcleo atómico, compuesto deprotones y neutrones. La radiactividad fue descubierta al final de siglo19. En las próximas décadas se entendieron mejor los procesos de radiac-tividad tales como la fisión y fusión nucleares. En la segunda mitad delsiglo 20 se desarrollaron las aplicaciones prácticas tales como las plantasnucleares y las armas nucleares.

Figura 10.1: Explosión nuclear.

En el capítulo 5 mencionamos que el núcleo de un átomo está formadopor protones y neutrones (denominados nucleones). Estas partículas semantiene unidas debido a una gran fuerza, denominada interacción nu-clear fuerte, que le da la estabilidad al núcleo. Si no existiera esta fuerzael núcleo se desintegraría debido a la repulsión de los protones. Número atómico, Z, es la cantidad de

protones en el núcleo.

10.1 IsótoposLa cantidad de protones en el núcleo (número atómico, Z), determina

el elemento químico al que pertenece. Los núcleos atómicos no necesaria-mente tienen el mismo número de neutrones. No todos los átomos tienenla misma cantidad de protones que de neutrones. Un ejemplo conocidoes el hidrógeno que tiene un protón, pero que no tiene neutrón. En estesentido, se denominan isótopos a los átomos de un mismo elemento, cuyosnúcleos tienen una cantidad diferente de neutrones, y por lo tanto, difie-ren en masa atómica. Una notación para distinguir los diferentes isótoposes añadir subíndices y superíndices al símbolo del elemento, y así proveerinformación importante.

SímboloA

Zcarga

Número de masa(número de protones+neutrones)

Número atómico(número de protones)

H, He, Li, Be. etc

(+), (-) o neutro

Figura 10.2: Simbología para describirisótopos.

La mayoría de los elementos químicos tienen más de un isótopo. Unisótopo del carbono, conocido como carbono-14 (14C),1 tiene ocho neutro- 1 En muchos casos se omite en número

atómico Z, así en ves de utilizar la nota-ción 14

6 C escribimos simplemente 14C.nes. Los átomos de 14C son inestables; a la larga estos átomos decaen enátomos de carbono-12 (12C) los cuales tiene seis neutrones. Otros ejem-plos de átomos inestables incluyen al hidrógeno -3 (3H), también conocidocomo tritio, el cual tiene un núcleo consistente en un protón y dos neutro-


nes; berilio-7 (7Be), con un núcleo con cuatro protones y tres neutrones ;y (10Be), con un núcleo de cuatro protones y seis neutrones. En algunoscasos los isótopos más comunes también resultan ser radiactivos. En latabla periódica, los elementos actínidos (Fig. 10.3) con número atómicoentre Z = 89 hasta Z = 103. son radiactivos. También se incluyen elpolonio, astato, radón, francio y el radio.

Ac 89Actinium

Gas LampMantles

Th 90Thorium

Pa 91Protactinium

U 92Uranium

RadioactiveWaste

Np 93Neptunium

Pu 94Plutonium

SmokeDetectors

Am 95Americium

Cm 96Curium

RadioactiveWaste

Bk 97Berkelium

Medicinaradiactiva

Cf 98Californium

Es 99Einsteinium

Lr 103Lawrencium

Elementos actínidos

Radiactivos, creados artificialmente, no se encuenran en la naturaleza

Fm 100Fermio

Fm 101Mendelevium

Fm 102Nobelio

Analisis deminerales

Analisis deminerales

Armasnucleares

Energíanuclear

Desechosradiactivos

Figura 10.3: Elementos actínidos de latabla periódica.

10.2 Los rayos X

El espectro electromagnético cubre una gran variedad de radiaciónelectromagnética, desde las ondas de radio hasta la radiación gama.

Los rayos X ocupan un lugar especial. Estos fueron descubiertos en1895 por Wilhelm Conrad Roentgen, un físico alemán. El encontró quelos rayos X atraviesan materiales sólidos, pueden ionizar el aire, no tienenrefracción en el vidrio y no los desvía un campo magnético. Por estedescubrimiento ganó el primer premio Nobel en física (1901). Los rayos Xpueden penetrar a través de la carne de la mano, pero son absorbidos porlos huesos. Esta propiedad, de que los rayos X pueden penetrar la carnemejor que los huesos, fue puesta inmediatamente en uso por la comunidadmédica y la radiología (el uso de rayos X para el diagnóstico médico) seconvirtió rápidamente en una herramienta de diagnóstico estándar enmedicina.

Fuente de rayos X X placa fotográficaFigura 10.4: Los rayos X penetran lostejidos de los organismos vivos.

el núcleo atómico 157

10.3 RadiactividadLos núcleos de las mayoría de las sustancias mas comunes son estables.

Ellos mantienen su identidad y permanecen inalterables indefinidamente.Sin embargo, algunos núcleos atómicos cambian con el tiempo; son ines-tables. Al desintegrarse (decaimiento radiactivo) los núcleos atómicos,estos emiten fotones de alta energía, además de una variedad de partícu-las subatómicas. La radiactividad es en general un término que se refierea todos los tipos de radiación como consecuencia de la desintegración deátomos inestables.

Átomo radiactivoEnergía

Partícula

Figura 10.5: Radiación: cuando un nú-cleo se desintegra (decae radiactiva-mente), este cambia a un estado de me-nor energía y emite una partícula (algu-nas veces más de una), un rayo gama,o ambos.

Existen tres tipos de decaimiento radiactivo: radiación α,radiación β y radiación γ:

10.3.1 Radiación αLas partículas alfa (α) son núcleos de helio-4 (4He) viajando a grandes

velocidades. Los núcleos de 4He consisten de dos propones y dos neutro-nes. Una partícula alfa tiene una carga eléctrica positiva porque no hayelectrones rodeándola. Así se dice que todas las partículas alfa son iones.Estas partículas tiene una masa significativa, entonces si ellas logran unagran velocidad, ellas adquieren una considerable cantidad de energía ciné-tica. La mayoría de las partículas alfa pueden se bloqueadas por barrerasdelgadas.

10.3.2 Radiación βLas partículas beta son electrones o positrones de alta velocidad. (un

positrón es antimateria, igual que un electrón pero con carga positiva).Un electrón es una partícula beta y se denota β−, y un positrón que poseecarga positiva se denota β+. Todas las partículas beta tienen masa.

10.3.3 Radiación γ

Rayo luminoso

Rayo gama

Rayo X

Longitudde onda

Energía

Figura 10.6: Comparación de los rayosγ con otros tipos de radiación (la figurano está a escala).

A medida que la longitud de onda se hace cada vez más corta enel espectro electromagnético, su poder de penetración se incrementa. Ellímite aproximado donde terminan los rayos X y comienzan los rayosgama es a los 0.01nm (10−11 m). Los rayos gama pueden, en teoría, sermás y más cortos sin límite. Los rayos gama son los más energéticos detodos los campos electromagnéticos. Los rayos gama de corta longitud deonda pueden penetrar algunos centímetros de plomo sólido o concreto.Estos rayos pueden ser incluso mas dañinos para los organismos vivosque los rayos X. Los rayos gama se originan en materiales radiactivos. Lafigura 10.6 muestra una comparación (no a escala) de la radiación gamacon los rayos X y la luz visible. A menor menor longitud de onda mayorenergía, y a mayor longitud de onda menor energía. Finalmente la figura10.7 muestra el grado de penetración que tienen las radiaciones alfa, betay gama.


Papel Aluminio Plomo

Figura 10.7: Las partículas alfa son lasque menos penetran y pueden ser de-tenidas por unas cuantas hojas de pa-pel. Las partículas beta atraviesan elpapel con facilidad, pero no una lámi-na de aluminio. Los rayos gamma pe-netran en varios centímetros de plomomacizo.

los neutrinos son una clase de partícula totalmente diferente.Ellos no tienen carga ni masa (no tienen masa en reposo, es unapropiedad de las partículas viajando cerca de la velocidad de la luz).Estas partículas tienen un poder de penetración tremendo. La Tie-rra está constantemente bombardeada por neutrinos desde el espacio.Estos neutrinos tienen su origen en el interior del Sol y en estrellasdistantes. La mayoría de los neutrinos pasan a través del planeta sinser afectados. Se necesitan equipos muy sofisticados para detectar-los. Los detectores de neutrinos son colocados muy profundamentebajo tierra para bloquear todas las otras formas de radiación y asíasegurase de que el equipo esté detectando neutrinos.

10.4 Decaimiento y vida mediaLas sustancias radiactivas pierden gradualmente su “potencia” a me-

dida que pasa el tiempo. Los núcleos inestables decaen uno por uno.Algunas veces un núcleo inestable decae y se convierte en un núcleo es-table (que no emite radiación) en un solo paso. En otros casos, un núcleoinestable cambia a otro núcleo inestable, el cual más tarde decae y seconvierte en uno estable.

Supongamos que tenemos una gran cantidad de núcleos radiactivos,y que medimos el periodo de tiempo que se requiere para que cada unode los núcleos decaiga y entonces tomamos un promedio de todos losresultados. El tiempo de decaimiento promedio es llamado vida promedioy se simboliza con la letra griega “tau” (τ).

Por otro lado, si tenemos una muestra inicial de un isótopo radiactivo,entonces el tiempo que le toma a la muestra en decaer o desintegrarsea la mitad se llama vida media. Este tiempo es característico para cada Vida media: una muestra radiactiva tie-

ne la mitad de la radiactividad que te-nía al principio.

elemento y se representa por el símbolo t1/2.Una gráfica de decaimiento radiactivo siempre tiene una forma ca-

racterística: empieza con un cierto valor y decrecen hasta cero. Algunascurvas de decaimiento decrecen rápidamente, y otras decrecen lentamen-te, pero la forma característica siempre es la misma y puede ser definida

el núcleo atómico 159

en términos de la vida media t1/2.Supongamos que la intensidad de la radiación de una muestra se mide

en t = 0. Después que ha pasado un tiempo t1/2, la intensidad de laradiación decrece hasta la mitad. Después de otro lapso de tiempo t1/2(tiempo total transcurrid 2t1/2), la intensidad baja hasta un cuarto delvalor original. Si dejamos pasar otro tiempo de vida media t1/2 (tiempototal transcurrido 3t1/2), la intensidad baja a un octavo del valor original.

La figura 10.8 ilustra un ejemplo para el elemento radio 226 (22688 Ra)

cuya vida media es de 1620 años. Eso quiere decir que la mitad de cual-quier muestra dada de radio 226 se convertirá en otros elementos cuandopasen 1620 años. A los 3240 años la intensidad de la radiación será desolo una cuarta parte de la original.

1 kg

1/2 kg

1/4 kg

1/8 kg

1620 3240 4860 Años

Años

Figura 10.8: Cada 1620 años la canti-dad de sustancia radiactiva disminuyea la mitad.

10.5 Usos prácticosLa radiactividad tienen numerosas aplicaciones de beneficio en ciencia,

industria y medicina. La aplicación más conocida es el reactor nuclear defisión, el cual es usado para generar electricidad a gran escala.

Los isótopos radiactivos son usados en medicina para ayudar al diag-nóstico de enfermedades, localizar tumores dentro del cuerpo, medir tasasde metabolismo, y examinar la estructura de los órganos internos. Dosiscontroladas de radiación son usadas para intentar destruir células cance-rosas.

En la industria, la radiación puede ser usada para medir las dimensio-nes de delgadísimas láminas de metal o plástico, para destruir bacteriasy virus que puedan contaminar la comida consumida o manejada porpersonas, y para examinar equipaje con rayos X. El fechamiento por carbono-14 ha reve-

lado que los dinosaurios desaparecieroncasi completamente en un corto perío-dos de tiempo hace alrededor de 65 mi-llones de años. La razón habría sido lacaída de un gran meteorito o cometa enel golfo de México en ese tiempo.

Otras aplicaciones incluyen la irradiación de comida, equipaje y correopara proteger al publico de contra ataques biológicos.

Los geólogos y biólogos usan fechamiento radiactivo para estimar laedad de fósiles y utensilios arqueológicos. El elemento más usado para este


propósito es el carbono.2 Cuando un objeto es creado o un espécimen está 2 Se aprovecha el hecho de que las vidasmedias de los elementos radiactivos novarían de acuerdo a las condiciones ex-ternas durante largos periodos de tiem-po.

vivo, se cree que existe una cierta proporción de átomos de 14C entre latotalidad de átomos de carbono (toda cosa viviente el la Tierra contienealgo de carbono 14). Estos átomos de 14C gradualmente decaen a átomosde 12C. Al medir la intensidad de la radiación y determinar la proporciónde 14C en las muestras, los antropólogos pueden tener una idea de lafecha de muerte de un espécimen.

Apéndice A

Índice alfabético

ángulo de refracción, 129átomo, 78, 143

aceleración, 29aceleración de gravedad, 33aisladores, 80Aristóteles, 13Aristarco de Samos, 11

caída de potencial, 102caída libre, 33calor, 61calor específico, 69calor latente, 71cambios de estado, 71capacidad calorífica, 69carga de prueba, 85carga eléctrica, 77carga fundamental, 79Celsius, 62centro de gravedad, 24centro de masa, 24cero absoluto, 63ciencia, 7circuito eléctrico, 93circuito externo, 93circuito interno, 93conducción, 73, 81conductividad térmica, 74conductores, 80conservación de la carga, 79convección, 73cuantización de la carga, 79,

146

Dalton, 144decaimiento, 158desintegración, 157desplazamiento, 27diagrama de cuerpo libre, 48diferencia de energía potencial

eléctrica, 89diferencia de potencial, 91difracción, 115dispersión, 122dualidad onda-partícula, 152

efecto Doppler, 123efecto fotoeléctrico, 154

eje principal, 138electricidad, 77electrostática, 77energía, 51energía cinética, 54energía potencial, 54energía potencial eléctrica, 89equilibrio mecánico, 23Eratóstenes, 10errores aleatorios, 18errores sistemáticos, 18escalar, 27espectro electromagnético, 120espejo divergente, 136espejos cóncavos, 133espejos convexos, 136espejos planos, 131expansión térmica, 67

Fahrenheit, 62falacias, 16fisión nuclear, 155fotón, 147fricción, 81fricción de deslizamiento, 41fricción estática, 41fuerza de fricción, 40fuerza neta, 23fuerza normal, 23fuerza retardadora, 109fusión nuclear, 155

Galileo, 13

hipótesis, 14

imagen real, 134imagen virtual, 131inducción, 81inercia, 42interacción nuclear fuerte, 155interferencia, 116interferencia constructiva, 117interferencia destructiva, 117isótopo, 155

Kelvin, 62

lente convergente, 138

lente divergente, 138lentes, 138lentes delgadas, 140ley de Coulomb, 83ley de Inercia, 21ley de la conservación de la

energía, 57ley de Ohm, 99lineas de campo, 87lineas de fuerza, 87luz visible, 120

método científico, 13masa atómica, 155medición, 8medición exacta, 18medida exacta imprecisa, 18medida imprecisa inexacta, 18,

21medida precisa exacta, 18medida precisa inexacta, 18modelo atómico de Bohr, 146modelo atómico de Dalton, 144modelo atómico de Rutherford,

145modelo atómico de Thomson, 144modelo heliocéntrico, 7movimiento amortiguado, 108movimiento armónico simple,

M.A.S., 105movimiento relativo, 22

núcleo, 143núcleo atómico, 78, 155número cuántico, 150neutrón, 78, 143Newton, 21nivele de energía, 152nodo, 119nube electrónica, 152

onda, 105onda estacionaria, 118onda viajera, 118ondas electromagnéticas, 111,

120ondas longitudinales, 112ondas mecánicas, 111ondas transversales, 112


orbital, 146oscilación, 105oscilaciones forzadas, 109

paradigma, 13potencial eléctrico, 89Prefijos del Sistema

Internacional, 9primera ley de Newton, 21principio de superposición, 116protón, 78, 143

radiación, 73radiación α, 157radiación β, 157radiación γ, 157radiactividad, 155, 157rapidez, 26

rapidez media, 28rapidez terminal, 45rayos X, 156reflexión, 114reflexión de la luz, 125refracción, 115refracción de la luz, 125, 129repetibilidad, 15resistencia eléctrica, 94resistividad, 95resonancia, 109Rutherford, 145

Scientia, 7segunda ley de Newton, 39semiconductores, 80SI, 9

sistema de coordenadas, 31Sistema Internacional de

Unidades, 9

teoría, 15tercera ley de Newton, 47termodinámica, 61Thomson, 144trabajo, 51transferencia de calor, 73transición electrónica, 150transmisión de la luz, 126tratamiento de errores, 18

velocidad, 26, 28vida media, 158vida promedio, 158

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