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FI001 Aula 28

Simetria de Reversão Temporal na Mecânica Quântica

De

8><

>:

h�|A|↵i = h↵|⇥A⇥�1|�i

e

9 A, tal que ⇥A⇥�1

= ±A

tiramos h�|A|↵i = ±h↵|A|�i = ±h�|A|↵i⇤

Se |�i = |↵i, temos: h↵|A|↵i = h↵|⇥A⇥�1|↵i = ±h↵|A|↵i⇤ = ±h↵|A|↵i.

Caso 1: p

De tudo que discutimos ate agora, esperamos que h↵|p|↵i = �h↵|p|↵i, ou seja

p e um operador ımpar e ) ⇥p⇥�1= �p. Isto implica em

p|{z}⇥|p0i = �⇥p⇥�1

⇥| {z } |p0i = �⇥p|p0i = �p0

⇥|p0i

�⇥p⇥�11

Ou seja ⇥|p0i e um autoket do operador momento linear p com autovalor � p0.

Assim, podemos escolher a fase e tomar ⇥|p0i = |� p0i.

Caso 2: x

De forma semelhante, (apenas exija que h↵|x|↵i = h↵|x|↵i)

convenca-se que

8><

>:

⇥x⇥�1= x operador par mediante reversao temporal

⇥|x0i = |x0i a menos de uma fase global

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Simetria de Reversão Temporal na Mecânica Quântica <latexit sha1_base64="6Ozmlz9P4D3VOIwszgq5Z0Jz/Ps=">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</latexit>

Caso 3: [xi, pj ] = i~�ijConsidere [xi, pj ]|i = i~�ij |i, onde |i simboliza um ket arbitrario.

Aplique ⇥ pela esquerda em ambos os lados e insira a unidade no lado direito

do [xi, pj ], isto e

⇥[xi, pj ]⇥�1⇥|i = ⇥i~�ij |i =) [xi, (�pj)]⇥|i = �i~�ij⇥|i

=) [xi, pj ]⇥|i = i~�ij⇥|i=) [xi, pj ] = i~�ij , pois ⇥|i e arbitrario.

Note que esta relacao de comutacao e preservada sob reversao temporal porque

⇥ e antiunitario.

Caso 4: [Ji, Jj ] = i~✏ijkJkSimilarmente, para preservar esta relacao, precisamos que J seja ımpar sob

reversao temporal. Isto e: ⇥J⇥�1 = �J

Note que isto esta consistente com o caso J = x⇥ p. Note tambem que

obterıamos que J e ımpar sob reversao temporal, se utilizassemos que ⇥

comuta com o operador de rotacao.

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Reversão temporal e funções de onda Suponha que no instante t = 0 um sistema de uma partıcula sem spin se

encontra no estado |↵i. Como vimos, sua funcao de onda hx0|↵i aparececomo coeficiente de expansao na representacao das coordenadas:

|↵i =Z

d3x0|x0ihx0|↵i

Aplicando o operador de reversao temporal ⇥, temos:

⇥|↵i =Z

d3x0⇥|x0ihx0|↵i =Z

d3x0|x0ihx0|↵i⇤

Na expressao acima escolhemos a fase tal que ⇥|x0i = |x0iE isso permite escrever (x0) ! ⇤(x0), conforme previmos anteriormente.

Se a parte angular da funcao de onda for dada por uma harmonica esferica

Y m` (✓,�), terıamos: Y m

` (✓,�) ! Y m⇤` (✓,�) = (�1)mY �m

` (✓,�), e isso

permite escrever: ⇥|`mi = (�1)m|`,�miNote que se a funcao de onda for do tipo Rn`Y

m` (✓,�), nos concluirıamos

que a densidade de corrente, j(x, t) =� ~m

�Im( ⇤r ) flui no sentido contrario

do relogio (regra da mao direita) para m > 0. A reversao temporal, faz ela

fluir no sentido do relogio. Note tambem que Im( r ⇤) = �Im( ⇤r ),

ou seja j(x, t) inverte o sinal sob reversao temporal.

função real vezes eimϕ

Im c = -Im c*

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Reversão temporal e funções de onda Teorema. Suponha uma Hamiltoniana invariante sob a reversao temporal e

com espectro nao-degenerado. As autofuncoes correspondentes sao reais (ou

de forma mais geral, uma funcao real vezes uma fator de fase independente

de x).

Demonstracao. Para provar isso, primeiro note que

H⇥|ni = ⇥H|ni = En⇥|ni,ou seja |ni e ⇥|ni tem o mesmo autovalor de energia. A hipotese de espectro

nao degenerado, implica que |ni e ⇥|ni representam o mesmo estado e devem

diferir por um fator de fase global (constante). Isso permite escrever:

⇥|ni = ei�|ni =) hx0|⇥|ni = e

i�hx0|ni =) hx0|ni⇤ = ei�hx0|ni c.q.d.

Assim, uma funcao de onda de um estado ligado pode ser sempre feita real.

Voce poderia reclamar que os estados ligados do atomo de hidrogenio sao

complexos, pois Ym` sao funcoes complexas. Isso nao contradiz o teorema, pois

En e degenerado (|n, `,mi e |n, `,�mi sao ortogonais e correspondem a mesma

energia En). Similarmente, as partıculas livres sao representadas por funcoes de

onda complexas eipx/~

. Isso tambem nao contradiz o teorema, pois e�ipx/~

e ortogonal a eipx/~

e e autofuncao de Hlivre com o mesmo autovalor p2/2m

(autovalor degenerado).

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Reversão temporal e representação dos momentos

Vimos que na representacao das coordenadas o efeito de ⇥ = UK aplicado

a |↵i e o mesmo que o de K sozinho sobre |↵i. Isto por que

⇥|↵i = ⇥

Zd3x0|x0ihx0|↵i =

Zd3x0|x0ihx0|↵i⇤ = K

Zd3x0|x0ihx0|↵i.

Isso nao seria verdade se usassemos a representacao dos momentos, pois:

⇥|↵i = ⇥

Zd3p0|p0ihp0|↵i =

Zd3p0K|� p0ihp0|↵i =

Zd3p0|� p0ihp0|↵i⇤.

=

Zd3p0|p0ih�p0|↵i⇤ 6= K

Zd3p0|p0ihp0|↵i =

Zd3p0|p0ihp0|↵i⇤

Ou seja, a forma de ⇥ depende da representacao utilizada. Na representacao

dos momentos nao basta tirar o complexo conjugado. E preciso trocar p0

por � p0, isto e: hp0|↵i = �↵(p0) ! h�p0|↵i⇤ = �⇤

↵(�p0).

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Reversão temporal para um sistema de spin ½ A situacao fica ainda mais interessante para um sistema de spin 1/2.

Para ver isso, lembre que |n; +i = e�iSz↵/~e�iSy�/~|+i, onde n,

caracterizado pelos angulos polar e azimutal � e ↵, e autoket de S.n

com autovalor ~/2. Sabemos aplicar ⇥ em |n; +i, pois ⇥J⇥�1= �J.

Assim temos ⇥|n; +i = e�iSz↵/~e�iSy�/~⇥|+i = ⌘|n;�i.Mas, |n;�i = e�i↵Sz/~e�i(⇡+�)Sy/~|+i = e�i↵Sz/~e�i(⇡+�)Sy/~K|+i.O K aqui nao tem efeito, mas foi inserido para lembrar que e preciso

tomar o complexo conjugado de constantes que multiplicam os kets.

Insercao dessa expressao e comparacao direta nos leva a:

⇥ = ⌘e�i⇡Sy/~K

Se lembrarmos que

exp��iS.n�

~�= exp

��i�.n�

2

�= 11 cos

��2

�� i�.n sin

��2

�

⇥ pode ser escrito na forma: ⇥ = �i⌘2Sy

~ K (tomei � = ⇡, acima)

O exercıcio 4.7 da lista 6 pede para voce demonstrar esta formula

de uma outra maneira.

lousa

lousa

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Reversão temporal para um sistema de spin ½ Da expressao

exp��iS.n�

~�= exp

��i�.n�

2

�= 11 cos

��2

�� i�.n sin

��2

�

com n = y, obtemos:

e�i⇡Sy/~|+i = �i2Sy

~ |+i = �i2(S+ � S�)

2i~ |+i = S�~ |+i = +|�i

De forma similar, podemos obter e�i⇡Sy/~|�i = �|+i. Com isso podemos

calcular o efeito de ⇥ em um ket generico escrito na base |±i :⇥(c+|+i+ c�|�i) = +⌘c⇤+|�i � ⌘c⇤�|+i

Se aplicarmos ⇥ de novo, obtemos:

⇥2(c+|+i+ c�|�i) = ⇥(+⌘c⇤+|�i � ⌘c⇤�|+i) = �(c+|+i+ c�|�i) e )para o caso de spin 1/2, temos: ⇥2 = �1 (que significa � 1 vezes o

operador identidade). Isso vale para qualquer que seja a orientacao do

spin e qualquer que seja a escolha de ⌘.

Para partıculas sem spin, vale ⇥2 = 1,

como pode ser visto por

8><

>:

⇥|`,mi = (�1)m|`,�miou

⇥ (x0)|x0i = ⇤(x0)|x0i

use |η|2 =1

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Reversão temporal para um sistema de momento angular j

Queremos provar que

8><

>:

⇥2|j semi-inteiroi = �|j semi-inteiroi

⇥2|j inteiroi = +|j inteiroiSe verdade, o auto valor de ⇥2 poderia ser escrito como (�1)2j . Para provar,

comece com ⇥ = ⌘e�i⇡Jy/~K, aplique ⇥2 em um ket generico |↵i e utilize o

operador unidade na base {|jmi}. Isto e: ⇥�⇥X

jm

|jmihjm|↵i�=

= ⇥�⌘e�i⇡Jy/~

X

jm

|jmihjm|↵i⇤�= |⌘|2 e�i2⇡Jy/~

| {z }X

jm

|jmihjm|↵i

rotacao de 2⇡ao redor de y

mas e�i2⇡Jy/~|jmi = (�1)2j |jmi, o que demonstra o que querıamos.

|j inteiroi

8>>>>>><

>>>>>>:

estado orbital |`mi

sistema de N (par)

eletrons. Ex: N=21p2

�|+�i± |�+i

�

|j semi-inteiroi

8>>>>>><

>>>>>>:

estado orbital de um

eletron |`1/2;mmsi

sistema de N (ımpar)

eletrons.

Veja slide 13 da aula 19 e use caixa azul do slide 11 da aula 23

lousa

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Reversão temporal: convenção de fase e valores esperados Foi natural escolher ⇥|`,mi = (�1)

m|`,�miAlguns autores acham atraente generalizar, e escolher ⇥|j,mi = (�1)

m|j,�mi,para j inteiro (orbital ou soma de semi-inteiros). Nosso livro texto escolhe ⌘ = i

e a convencao ⇥|j,mi = i2m|j,�mi, 8j inteiro ou semi-inteiro.

Tendo estudado a efeito do operador de reversao temporal sobre autoestados

de momento angular, estamos prontos para calcular valores esperados de

operadores Hermiteanos.

Havıamos obtido que

8><

>:

⇥A⇥�1

= ±A

h↵|A|↵i = ±h↵|A|↵icom a convencao acima, temos h↵, j,m|A|↵, j,mi = ±h↵, j,�m|A|↵, j,�mi,onde as fases i2m cancelaram.

Agora, suponha que A seja um tensor esferico T (k)q . Devido ao teorema de

Wigner-Eckart, sera suficiente examinar apenas o elemento de matriz com q = 0.

Assim, examinaremos o elemento de matriz (onde ⇥T (k)q=0⇥

�1= ±T (k)

q=0) :

h↵, j,m|T (k)0 |↵, j,mi = ±h↵, j,�m|T (k)

0 |↵, j,�mi

Isso garante caixa azul do slide anterior

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Reversão temporal: convenção de fase e valores esperados <latexit sha1_base64="2yjtrTYDWmFczFWaiBzhiGE+GJQ=">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</latexit>

Usaremos que |↵, j,�mi = D(0,⇡, 0)|↵, j,mi (mostre!) e a relacao obtida no

capıtulo 3, D†(R)T (k)q D(R) =

kX

q0=�k

D (k)⇤

qq0 T (k)q0 para escrever (para q = 0) :

D†(0,⇡, 0)T (k)0 D(0,⇡, 0) = (�1)kT (k)

0 + componentes com q0 6= 0. Para isso,

usamos que D (k)00 (0,⇡, 0) = Pk(cos⇡) = (�1)k (mostre!) e que nao precisavamos

calcular as componentes com q0 6= 0, pois, quando “sanduichadas” por h↵, j,m|e |↵, j,mi dariam zero (regra m de selecao, m = q0 +m). Assim, temos:

h↵, j,m|T (k)0 |↵, j,mi = (�1)kh↵, j,m|T (k)

0 |↵, j,mieste resultado e muito interessante, pois mostra que para k ımpar

h↵, j,m|T (k)0 |↵, j,mi = 0 mesmo quando |↵, j,mi nao tem paridade bem definida.

Exemplo:

hxi

8>>><

>>>:

hn, `,m|x|n, `,mi = 0 e obvio, pois o estado tem paridade bem definida

h↵|x|↵i = 0 com |↵i = cs|s1/2i+ cp|p1/2i nao tao obvio, pois |↵i nao e

autoestado do operador paridade.

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Interações com campos elétricos e magnéticos; degenerescência de Kramers

Suponha, primeiro, uma partıcula sujeita a um potencial eletrico estatico

V (x) = e�(x). Uma vez que o potencial e real e funcao do operador x,

par sob reversao temporal, temos [⇥, H] = 0. Contrariamente ao caso do

operador paridade, o fato de H comutar com ⇥ nao gera nenhum resultado

interessante, pois ⇥U(t, t0) 6= U(t, t0)⇥. Ou seja, nao existe algo do tipo

numero quantico fruto da conservacao de reversao temporal. Lembre,

entretanto, que [⇥, H] = 0 =) hx0|ni = hx0|ni⇤.Outra consequencia da invariancia sob reversao temporal e a chamada

degenerescencia de Kramers. Se H e ⇥ comutam, temos que |ni e ⇥|nitem o mesmo autovalor En. Assim, ou diferem por uma fase global (caso

nao degenerado) ou sao ortogonais (caso degenerado). Suponha

⇥|ni = ei�|ni e aplique ⇥ novamente, para obter

⇥2|ni = ⇥e

i�|ni = e�i�

⇥|ni = e�i�

ei�|ni = |ni

Esta relacao e impossıvel para sistemas com j semi-inteiro (⇥2= �1).

Concluımos que para um sistema com um numero ımpar de eletrons,

independente de quanto complicado possa ser o potencial eletrico, existe

pelo menos uma degenerescencia dupla! Isso muda na presenca de um

campo magnetico B (externo), ex: S.B, p.A+A.p, pois [⇥, H] 6= 0.

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x

y

z

Rz(↵)

↵

�

x

y

z

Ry(�)

�

x

y

z

Rz(↵)

x

y

z

� + ⇡

<latexit sha1_base64="TgW8w3bfBldx5bJZz9EQbT/h4BI=">AAAB8HicbVBNS8NAEJ34WetX1aOXxSIIQklKQb0VvHisYD+kKWWz3bRLd5OwOxFK6K/w4kERr/4cb/4bt20O2vpg4PHeDDPzgkQKg6777aytb2xubRd2irt7+weHpaPjlolTzXiTxTLWnYAaLkXEmyhQ8k6iOVWB5O1gfDvz209cGxFHDzhJeE/RYSRCwSha6dEPONJLPxH9UtmtuHOQVeLlpAw5Gv3Slz+IWap4hExSY7qem2AvoxoFk3xa9FPDE8rGdMi7lkZUcdPL5gdPyblVBiSMta0IyVz9PZFRZcxEBbZTURyZZW8m/ud1Uwyve5mIkhR5xBaLwlQSjMnsezIQmjOUE0so08LeStiIasrQZlS0IXjLL6+SVrXi1So397VyvZrHUYBTOIML8OAK6nAHDWgCAwXP8ApvjnZenHfnY9G65uQzJ/AHzucPddiQKA==</latexit>

Ry(� + ⇡)

<latexit sha1_base64="bNt9iiT0b9n+BNFeBpA7wqrbqe8=">AAAB9XicbVBNS8NAEN34WetX1aOXxSJUhJKUgnorePFYxX5AE8tmO2mXbjZhd6OE0P/hxYMiXv0v3vw3btsctPXBwOO9GWbm+TFnStv2t7Wyura+sVnYKm7v7O7tlw4O2ypKJIUWjXgkuz5RwJmAlmaaQzeWQEKfQ8cfX0/9ziNIxSJxr9MYvJAMBQsYJdpID3f9tOL6oMm5G7OzfqlsV+0Z8DJxclJGOZr90pc7iGgSgtCUE6V6jh1rLyNSM8phUnQTBTGhYzKEnqGChKC8bHb1BJ8aZYCDSJoSGs/U3xMZCZVKQ990hkSP1KI3Ff/zeokOLr2MiTjRIOh8UZBwrCM8jQAPmASqeWoIoZKZWzEdEUmoNkEVTQjO4svLpF2rOvXq1W293KjlcRTQMTpBFeSgC9RAN6iJWogiiZ7RK3qznqwX6936mLeuWPnMEfoD6/MHgAKR1Q==</latexit>

Slide 6

Nãoparece,masestáalinhado(noplanoxz)eapontanadireçãoopostaaodecima

Nãoparece,masestáalinhadoeapontanadireçãoopostaaodecima

13 MAPLima

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Slide 13 da aula 19: Representações do Operador de Rotação

Note tambem que D(j)m0m(R(�1)) = hj,m0| exp

�+iJ.n'

~�|j,mi =

= hj,m|⇥exp

�+iJ.n'

~�⇤†|j,m0i⇤

| {z }= hj,m| exp

��iJ.n'

~�|j,m0i⇤ = D(j)⇤

mm0(R)

h↵|A|�i = h�|A†|↵i⇤

Para apreciar o significado fısico da matriz de rotacao, rode o ket:

|j,mi ! D(R)|j,mi

D(R)|j,mi = 11D(R)|j,mi =X

j0m0

|j0m0ihj0m0|D(R)|j,mi =X

m0

|j,m0iD (j)m0m(R)

Assim, D (j)m0m(R)e amplitude para o estado rodado ser encontrado em |j,m0i,

quando o estado original for |j,mi. Que tal a rotacao definida por angulos de

Euler (↵,�, �)?

D (j)m0m(↵,�, �) = hj,m0| exp

��iJz↵

~�exp

��iJy�

~�exp

��iJz�

~�|j,mi =

= exp�� i(m0↵+m�)

�hj,m0| exp

��iJy�

~�|j,mi

Isso permite definir: d(j)m0m(�) ⌘ hj,m0| exp��iJy�

~�|j,mi uma matriz bastante

util para rodar kets. Fizemos d(1/2)m0m (�). Siga o texto e faca d(1)m0m(�).volta

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FI001 Aula 28

Slide 11 aula 23 Matrizes de Rotação e Osciladores de Schwinger

volta

Simplificando a ultima formula do slide anterior, temos

D(↵ = 0,�, � = 0)|jmi =X

m0

X

k

p(j +m)!(j �m)!

(j +m� k)!k!(k �m+m0)!(j � k �m0)!⇥

⇥�cos�/2

�2j�2k+m�m0�sin�/2

�2k�m+m0�a†+

�j+m0�a†�

�j�m0�� 1

�k�m+m0

|0, 0i

Comparacao direta com a formula do do topo do slide 10, nos leva a

d(j)m0m(�) =X

k

�� 1

�k�m+m0p

(j +m)!(j �m)!(j +m0)!(j �m0)!

(j +m� k)!k!(k �m+m0)!(j � k �m0)!⇥

⇥�cos�/2

�2j�2k+m�m0�sin�/2

�2k�m+m0

Se rodamos |jmi de 2⇡, ele volta para ele mesmo, a menos de uma fase.

Assim, m0 = m ) so precisa de d(j)mm(�) ! isso e o sin(2⇡/2) exige k = 0.

) D(0,�, 0)|j,mi =X

m0

|j,m0id(j)m0m(2⇡) = |j,mid(j)mm(2⇡) = (�1)2j |jmi

<latexit sha1_base64="fAezhmJg1YT9s7EOXh0EBA2yLiw=">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</latexit>