• Fibonačijev niz sačinjavaju sledeći brojevi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

pri čemu su prva dva člana niza 0 i 1, a svaki sledeći predstavlja zbir prethodna dva, pa se može predstaviti i funkcijom.

f0 = 0;

f1 = 1;

fn = fn-1 + fn-2 ; n ≥ 2

• Takođe, postoji i druga varijanta ovog niza, gde je on predstavljen bez nule ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...), ali je sam niz nepromenjen, jer nula ne utiče na niz, već samo predstavlja početni član.

• Fibonačijev niz se osim brojevima može prikazati i putem serije pravougaonika, kao i spiralom koju možemo nacrtati koristeći te pravougaonike, i u tom obiku se najčešće pojavljuje u prirodi kao umetnosti.

• Ovi pravougaonici se prave na sledeći način:

• nacrtaju se 2 mala kvadrata od kojih je svaki 1 jedinica mere puta 1 jed. mere, pa zajedno oni čine pravougaonik veličine 1X2.

• Ispod ovog pravougaonika se nacrta kvadrat veličine 2X2, zajedno oni ce stvoriti kvadrat veličine 2X3.

• Zatim se nacrta novi kvadrat veličine 3X3, cija ce jedna strana biti istovremeno i desna strana prethodnog pravougaonika. Ovim smo dobili pravougaonik veličine 3X5.Onda se nacrta novi kvadrat veličine 5X5 cija ce jedna strana biti istovremeno i gornja strana prethodnog kvadrata. Dobili smo kvadrat veličine 5X8. Da bi dobili spiralu ucrtaćemo četvrtinu kruga u svaki od kvadrata počinjuci od prvog. Spirala je slična onima kakve se mogu zapaziti na ljušturama mekušaca, uključujući puževe i školjke Nautilusa.

• Pored osobine svakog člana (da je zbir prethodna dva), u Fibonačijevom nizu se može uočiti i ponavljanje :

• Ukoliko posmatramo poslednje cifre 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

• Uočava se niz koji se ponavlja u beskonačnost, a ciklus traje 60 brojeva

• Isto je i za poslednje dve cifre svakog broja, samo ciklus traje 300 brojeva, ako uzmemo tri poslednje cifre, trajaće 1.500 brojeva, sa četiri cifre 15.000 brojeva, a sa pet 150.000 brojeva, itd...

Istorija

 Puno ime ovog italijanskog matematičara je Leonardo Pizano Fibonači poznat i kao Leonardo iz Pize.

Ponekad sebe nazivao imenom Bigollo, što znaci dobar za ništa (ljenjivac) ili putnik.

Rođen u Italiji, ali se obrazovao u Severnoj Africi.Živeo je u mediteranskom gradu Bužiju,

gde je podučavao matematiku.Dosta je putovao sa svojim ocem te tako

prepoznao ogromne prednosti decimalnog brojnog sisetma koji se tad u svakodnevnom životu koristio u islamskim zemljama. 

Fibonači je završio svoja putovanja oko 1200 godine i u to vreme se vratio u Pizu.

Tu je napisao važne tekstove koji su igrali bitnu ulogu u oživljavanju drevnih matematičkih veština i u tome je njegov veliki doprinos.

Živeo je u doba pre nego se pojavila Gutenbergova štamparska mašina, tako da su njegove knjige rukom pisane i jedini način da postoji kopija njegove knjige je da postoji već jedna knjiga prethodno rukom napisana.

Od njegovih mnogobrojnih knjiga do danas su sačuvane:

"Liber abaci” (1202) "Practica geometriae” (1220) "Flos” (1225) "Liber quadratorum”Postoji mišljenje da se Fibonačijev rad u

vreme kada je Evropa bila poprilično nezainteresovana za obrazovanje uveliko ignorisao.

Ova konstatacija ipak ne stoji jer je upravo veliki interes za njegov rad jako doprineo njegovoj važnosti i popularnosti.

 U to vreme, rimski imperator je bio Frederick II koji je postao svestan važnosti Fibonačijevog rada, te je stoga izgradio Univerzitet u Napulju 1224. godine.

Posle 1228 godine postoji samo jedan poznat dokument koji se odnosi na Fibonačija a to je odlika koju je izdala Republika Piza 1240. u kojoj se plata dodjeljuje: “Ozbiljnom i učenom učitelju Leonardo Bigollo”.

"Liber abaci", objavljena 1202 godine, nakon Fibonačijevog povratka u Italiju, i posvećena Scotusu.

Knjiga razmatra aritmetiku i algebru koje je Fibonači skupio tokom putovanja islamskim svetom.

"Practica geometriae" je napisana 1220 i posvećena je Dominicusu Hispanusu.

Knjiga sadrži veliku kolekciju geometrijskih problema raspoređenih u osam poglavlja sa teoremama iz Euklidovih knjiga.

"Liber quadratorum", napisan 1225 godine, je Fibonačijev najimpresivniji rad iako to nije rad po kojem je poznat.

Naziv knjige znači knjiga o kvadratima i razmatra oblast teorije brojeva.

Knjiga "Liber quadratorum" Fibonačija postavlja kao matematičara koji je dao glavni doprinos teoriji brojeva u vremenu od Diophantusa do francuskog matematičara Pierre de Fermata u 17-tom veku.

Fibonačijev niz

zanimljivosti

• Zbog zanimljivih osobina Fibonačijevog niza, pominje se u mnogim filmovima i serijama, poput filmova “Pi” (1998.), “Da Vinčijev kod” (2006.), i serija “Brojevi,” “Zločinački umovi” i drugih

• Takođe je primenjen i u muzici, u nekim pesmama se pominju brojevi niza, u drugim predstavljaju taktove ili stihove, pa i same note, i pojavljuje se u svim žanrovima, od klasične muzike pa do repa i hip-hopa.

• Još jednu primenu Fibonačijev niz je našao u kockanju, naročito na ruletu.

• To je Fibonačijev sistem, i zasniva se na verovatnoći:– Fibonačijevi brojevi ovde predstavljaju niz poteza,

označavajući veličinu uloga – 1x; 1x; 2x; 3x; 5x; 8x; 13x; 21x; ... Itd.

– Dakle, prvi ulog je jedna jedinica uloga, kao i sledeći. Zato je treći ulog (ukoliko prvi ili drugi ne budu pobednički) 2x, ukoliko ne dođe, 3x, i tako se ulog povećava prateći niz. Svakim potezom koji nije dobitan, verovatnoća se povećava da je naredni dobitan, a Fibonačijev niz u ulogu omogućava dobitak.

– Pri prvom dobitnom potezu, ulog se ne vraća na početak niza ( 1x ), već samo za dva člana unazad – ukoliko je bio 13x, sledeći iznosi 5x, i niz se nastavlja.

• Jedan deo numerologije zasnovan je na Fibonačijevom nizu, zbog njegove povezanosti sa prirodom:– suncokret – njegova glava ima 55 redova semenki

koje se okreću u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na časovniku i 89 redova semenki koje se okreću u smeru kretanja kazaljki casovnika

– borove šišarke – imaju 5 strmih i 8 postepenih spirala – ananas – ima 8 i 13 postepenih spirala i 21 strmu

spiralu – imamo Fibonačijeve prste – 2 ruke na svakoj po 5

prstiju savi prst ima tri falange spojene sa dva zgloba – klavijatura na klaviru ima 13 dirki obuhvata oktavu od

toga je 8 belih i pet crnih koje su dalje podeljene u grupe od 2 i 3 dirke

• U prirodi se mogu naći brojni drugi matematički sklopovi a feng šui jeste sistem matematičkih sklopova u prirodi čija četiri osnovna principa odgovaraju brojevima Fibonaćijevog niza:

• (1). Taiđi • (2). jin i jang • (3). Či (nebeski, zemaljski, ljudski) • (5). Pet faza i • (8). Osam trigrama

Zlatni presek u arhitekturi

Proporcionalnost u arhitekturi

• Jos od stare Grcke poznajemo geslo ``covek je merilo stvari`` sto treba prihvatiti na 2 nivoa:

• Prvo, arhitektura ima uvek utilitarno svojstvo---njena funkcija odredjuje njen oblik i mere.

• Primer - to znaci da vrata moraju odgovarati prosecnoj visini osobe koja ce ta vrata koristiti, odnosno prolaziti kroz njih.

• Zlebovi na stubovima grckih hramova, kanelure, imaju sirinu ljudskih ledja, kako bi se osobe koje se okupljaju ispred hrama mogle na njih nasloniti i odmoriti.

• Drugo, u projektovanju zgrada koriste se razmeri ljudskih proporcija, cime se stvara osecaj sklada i prihvatanja od strane gledaoca, koji na nesvesnom nivou u odnosima arhitektonskih elemenata prepoznaje odnose vlastitog tela. Ceo stub se, npr. odnosom kapitela i tela stuba odnosi kao ljudska glava prema telu, a razmak izmedju stubova razmeran je rasponu koraka coveka. Posebno je vazno i ovo: rec RAZMER na latinskom se zvala PROPORCIJA, a na grckom ANALOGIJA

• Pitagora, je prema prici prolazeci pored kovacnice cuo zvuke udaranja cekica o nakovanj u oktavama. Usavsi, video je kako su cekici napravljeni u razmeri 1:2, jedan je dvostruko veci od drugog. Time se stvorio, analogan proporcionalan odnos. Manji cekic prema vecem kao nota C prema noti C1!

• Ta spoznaja omogucila mu je istrazivanje skrivenih odnosa medju stvarima koje je poceo svuda pronalaziti. Stoga je za univerzum skovao naziv kosmos, uredjen i suprotan od haosa. Iz ovih razmisljanja pojavljuju se reci struktura, nadredjeni red i korelacija- slicnost... kad jedno na drugo lici, po istim nacelima, dakle, ne po temi nego po sadrzaju.

• Primer imamo, kod skolske nastave, otkrivanjem sakrivanih relacija ucenik i student ne usvaja samo znanje vec i odusevljenje u posmatranju i istrazivanju.

• Stari Grci su znali za postojanje pravougaonika cije su strane u zlatnoj proporciji (1: 1.618 sto je isto kao i 0.618: 1).

Akropolj ,u centru Atine ,je izdan od stene koja dominira drevnim gradom.Njegov najpoznatiji spomenik je Partenon,hram boginje Atine izgradjen oko 430. ili 440. godine pre n ove ere.

Cini se da je gradjen na dizajnu zlatnog pravougaonika i korenu-5 pravougaonika.

Upotreba zlatnog preseka je pocela mozda jos sa Egipcanima u dizajnu piramida.Kada se osnovni odnosi Pi

koriste za kreiranje pravouglog trougla,formiraju se dimenzije Velike

piramide u Egiptu.

Nema pisanih tragova da su stari Egipćani znali za Zlatni presek, ali je činjenica da se u izgrađenim piramidama jasno prepoznaju elementi Zlatnog preseka.

– Renesansni umetnici iz 1500. godine u vreme Leonarda Da Vincija su ga znali kao Bozanske proporcije.U Indiji je koriscen u izgradnji Tadz Mahala,koja je zavrsena 1648. godine.

• Geometrijska analiza dosadasnjih istrazivanja u Velikoj dzamiji Kajruan otkriva doslednu primenu zlatog odnosa tokom projektovanja.

• Notr Dam u Parizu,koja je sagradjena izmedju 1163. i 1250. godine ima zlatne proporcije u nekoliko kljucnih odnosa dizajna.

• Njegova upotreba se nastavlja u savremenoj arhitekturi,sto je ilustrovano u zgradi Ujedinjenih nacija.

• Zgrada Ujedinjenih nacija u Njujorku.

Centralni toranj u Torontu je najvisi toranj I samostalna struktura u svetu,sadrzi zlatni presek u svom dizajnu.Odnos vidikovca na 342 metra na visini od 553,33 ukupno je 0.618.

• Fakultet tehnickih nauka u Kaliforniji na Politehnickom drzavnom univerzitetu je organizovan na principu zlatnog preseka.

Video snimak o prirodi kroz brojeve :