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Nova School of Business and Economics
Álgebra Linear
1
Ficha de Exercícios nº 3
Transformações Lineares, Valores e Vectores
Próprios e Formas Quadráticas
1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação linear?
a) ( ) ( ).
b) ( ) ( ).
c) ( ) 0
1.
d) ( ( )) ( )
( ).
2 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Uma transformação linear de domínio pode ter como contradomínio um
conjunto constituído apenas por um vector não nulo.
b) A aplicação que transforma cada objecto na soma das suas imagens segundo duas
transformações lineares é uma transformação linear.
c) A intersecção dos conjuntos de imagens de duas transformações lineares com
domínio e o mesmo espaço de chegada pode ser ∅.
d) Todas as transformações lineares com o mesmo espaço de partida e espaço de
chegada são invertíveis.
3 T e f são duas transformações lineares, de para , cujas matrizes de
transformação, na base canónica, são comutativas. Qual das seguintes afirmações é
necessariamente verdadeira?
a) T e f têm os mesmos valores próprios.
b) Os núcleos de T e f são o mesmo.
c) As transformações compostas Tof e foT são iguais.
d) T e f são transformações inversas.
Álgebra Linear
Ficha de Exercícios nº 3
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4 O espaço próprio associado a um valor próprio de uma transformação linear T,
cuja matriz de transformação na base canónica é diagonalizável, é *( )+. Das
seguintes, qual pode ser a imagem de ( ) segundo T, escrita numa base de vectores
próprios de T?
a) ( ).
b) ( ).
c) ( ).
d) ( ).
5 T e f são duas transformações lineares, de para , cujos valores próprios são
reais. O que pode garantidamente afirmar sobre a transformação composta Tof?
a) Pode não ser uma transformação linear.
b) A sua matriz de transformação na base canónica não é diagonalizável.
c) É a mesma transformação que foT.
d) Os vectores próprios comuns a T e a f são seus vectores próprios.
6 é uma matriz diagonalizável, cujos valores próprios são reais. O que pode
garantidamente afirmar sobre A?
a) É simétrica.
b) Todos os seus valores próprios têm multiplicidade algébrica 1.
c) Tem determinante diferente de 0.
d) Pode ter um único valor próprio distinto.
7 T é uma transformação linear, cuja matriz de transformação na base canónica, A,
comuta com uma matriz não singular, V, cujas colunas são vectores próprios de A. O que
pode garantidamente afirmar sobre A?
a) É não singular.
b) É ortogonal.
c) É diagonal.
d) É idempotente.
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Ficha de Exercícios nº 3
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8 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Uma forma quadrática pode ser semi-definida positiva e semi-definida negativa.
b) Se a matriz associada a uma forma quadrática for o quadrado de uma outra matriz,
a forma quadrática pode ser definida negativa.
c) Se a matriz associada a uma forma quadrática for singular, a forma quadrática pode
ser definida positiva.
d) Se uma forma quadrática não envolver termos cruzados, não pode ser semi-
definida positiva, nem semi-definida negativa.
9 Q é uma forma quadrática não nula cuja matriz associada é idempotente. Qual é,
garantidamente, a classificação de Q?
a) Definida positiva.
b) Semi-definida positiva.
c) Indefinida.
d) Definida negativa.
10 Q é a forma quadrática que representa, para cada vector de , o quadrado da
soma das suas coordenadas. Qual das seguintes mudanças de variável não permite
representar Q sem termos cruzados?
a) ( ) .√
√
√
√
/.
b) ( ) . √
√
√
√
/.
c) ( ) .√
√
√
√
/.
d) ( ) .√
√
√
√
/.
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Álgebra Linear
1
Correcção Ficha de Exercícios nº 3
Transformações Lineares, Valores e Vectores
Próprios e Formas Quadráticas
1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação linear?
a) ( ) ( ).
A resposta é incorrecta:
( ) ( )
Linear na soma: ( ) ( )
( ) [( ) ( )] ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Linear na multiplicação por números reais: : ( )
( . ) , . ( )- ( ) ( )
. ( ) . ( ) . ( ) ( )
( . ) . ( )
Conclusão: T é uma transformação linear.
b) ( ) ( ).
A resposta é incorrecta:
( ) ( )
Linear na soma: ( ) ( )
( ) [( ) ( )] ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Linear na multiplicação por números reais: : ( )
( . ) , . ( )- ( ) ( )
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 3
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. ( ) . ( ) . ( ) ( )
( . ) . ( )
Conclusão: T é uma transformação linear.
c) ( ) 0
1.
A resposta é incorrecta:
( ) 0
1
Linear na soma:
( ) (
)
,( ) ( ) ( ) - [
]
( ) ( ) ( ) ( ) [
] [
]
[
]
( ) ( ) ( )
Linear na multiplicação por números reais: :
( . ) , . ( )- ( ) 0
1
. ( ) . ( ) . 0
1 0
1
( . ) . ( )
Conclusão: T é uma transformação linear.
d) ( ( )) ( )
( ).
A resposta é correcta:
( ( )) ( )
( )
Linear na soma: ( ) ( ) ( )
, ( ) ( )- , ( )- ( )
( )
, ( )- , ( )- ( ) , ( )-
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Linear na multiplicação por números reais: : ( ) ( )
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, . ( )- , . ( )-
. , ( )- . , ( )- .
, . ( )- . , ( )-
Conclusão: T não é uma transformação linear.
Resposta correcta: d)
2 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Uma transformação linear de domínio pode ter como contradomínio um
conjunto constituído apenas por um vector não nulo.
A afirmação é falsa. Se uma transformação, T, tiver domínio e como contra-domínio o
conjunto * +, , então a imagem de todos os seus objectos é a mesma, . Se isto
acontecer, T não é uma transformação linear:
( )
Linear na soma:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Linear na multiplicação por números reais: :
( . )
. ( ) .
. ( . ) . ( )
Conclusão: T não é uma transformação linear.
b) A aplicação que transforma cada objecto na soma das suas imagens segundo duas
transformações lineares é uma transformação linear.
A afirmação é verdadeira. Basicamente, é preciso provar que a soma de duas
transformações lineares é uma transformação linear. Chamemos a duas transformações
lineares quaisquer e . A sua soma, T, é uma aplicação que a cada objecto comum a e
, x, faz corresponder um outro vector, ( ), que é a soma das imagens de x segundo e
, ou seja, ( ) ( ). Vamos provar que, sendo e transformações lineares, ou seja,
lineares na soma e lineares na multiplicação por números reais, T também é:
( ) ( ) ( ), e transformações lineares
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
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Linear na soma: ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Linear na multiplicação por números reais: :
( . ) ( . ) ( . ) . ( ) . ( )
. ( ) . , ( ) ( )- . ( ) . ( )
( . ) . ( )
Conclusão: T é uma transformação linear.
c) A intersecção dos conjuntos de imagens de duas transformações lineares com
domínio e o mesmo espaço de chegada pode ser ∅.
A afirmação é falsa. Todas as transformações lineares com domínio têm como objecto o
vector nulo deste espaço. E a imagem do vector nulo, segundo qualquer transformação
linear, é o vector nulo do espaço de chegada. De facto:
( ) ( . ) . ( )
Mas se duas transformações lineares contêm, nos conjunto das suas imagens, o vector nulo
do seu espaço de chegada, a intersecção destes conjuntos não pode ser o conjunto vazio, já
que inclui este vector nulo.
d) Todas as transformações lineares com o mesmo espaço de partida e espaço de
chegada são invertíveis.
A afirmação é falsa. Se uma transformação é invertível, então os seus espaços de partida e
de chegada são iguais, pois caso contrário será impossível definir uma transformação que a
cada vector do espaço de chegada da transformação original faça corresponder o vector do
espaço de partida que lhe deu origem. Mas se o espaço de partida e o espaço de chegada de
uma transformação forem o mesmo, não é garantido que a transformação seja invertível.
Basta pensar na transformação, de para , definida por ( ) ( ). Nesta
transformação, qualquer vector de tem a mesma imagem, ( ), o que significa que T
não é injectiva (porque tem pelo menos 2 objectos com a mesma imagem). Não sendo
injectiva, não é invertível. De facto, se existisse , teria que ter, como imagem de ( ), o
objecto que o originou segundo T. Mas, no caso desta transformação linear, não houve um
objecto único a originar ( ), mas uma infinidade de vectores: todos os de . Logo,
segundo , o vector ( ) teria que ter mais do que uma imagem, o que é incompatível
com o facto de ser uma transformação. Por outro lado, sabemos que, se uma
transformação T tiver inversa, , então as matrizes de transformação destas duas
transformações, na mesma base, são inversas. Mas se A, a matriz de transformação de T na
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
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base canónica não tiver inversa, não existe matriz de transformação de na base
canónica, o que significa que não existe . De facto:
*( ) ( )+
, ( ) ( )- 0
1
| |
Resposta correcta: b)
3 T e f são duas transformações lineares, de para , cujas matrizes de
transformação, na base canónica, são comutativas. Qual das seguintes afirmações é
necessariamente verdadeira?
a) T e f têm os mesmos valores próprios.
b) Os núcleos de T e f são o mesmo.
c) As transformações compostas Tof e foT são iguais.
d) T e f são transformações inversas.
A transformação composta Tof é a transformação que calcula imagens em 2 etapas.
Primeiro, faz corresponder a cada objecto de f uma imagem segundo esta transformação.
Depois, trata cada uma destas imagens como objectos de T e faz-lhes corresponder a sua
imagem segundo T:
( ) , ( )-
A transformação composta foT usa T e f por outra ordem. Primeiro, transforma cada objecto
de T na sua imagem segundo esta transformação e depois transforma o vector resultante na
sua imagem segundo f:
( ) , ( )-
Chamemos a A e B as matrizes de transformação de T e f, respectivamente, na base
canónica. Matricialmente, podemos descrever o processo Tof da seguinte forma: cada
vector x é multiplicado, à esquerda, por B, para se obter a sua imagem segundo f, o vector
Bx. Depois, este vector é multiplicado, à esquerda, por A, para se obter a sua imagem
segundo T. O vector obtido no final do processo é ABx. Assim, ( ) . Já o processo
foT segue os seguintes passos, na forma matricial: cada vector x é multiplicado por A, à
esquerda, originando a sua imagem segundo T, o vector Ax, que depois é multiplicado por B,
à esquerda, para que se encontre a sua imagem segundo f, gerando-se no fim o vector BA.
Logo, ( ) . Mas se A e B são comutativas, sabemos que a ordem pela qual são
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multiplicadas é irrelevante para o resultado obtido, pelo que . Mas isto signfica que
( ) ( ) e as transformações compostas Tof e foT são iguais.
Resposta correcta: c)
4 O espaço próprio associado a um valor próprio de uma transformação linear T,
cuja matriz de transformação na base canónica é diagonalizável, é *( )+. Das
seguintes, qual pode ser a imagem de ( ) segundo T, escrita numa base de vectores
próprios de T?
a) ( ).
b) ( ).
c) ( ).
d) ( ).
Se T tem como vectores próprios associados a um valor próprio o conjunto de múltiplos de
( ), então T é uma transformação linear de para . Sendo a sua matriz de
transformação na base canónica, chamemos-lhe A, é diagonalizável, sabemos que podemos
encontrar uma base do seu espaço de partida, , constituída por vectores próprios de A,
sendo que o número de vectores próprios associados a cada valor próprio, de entre os
escolhidos, é igual à multiplicidade (geométrica ou algébrica, neste caso é irrelvante, porque,
sendo A diagonalizável, são iguais) desse valor próprio. Sendo o espaço próprio (conjunto de
vectores próprios) associado a um valor próprio de A, chamemos-lhe , *( )+,
sabemos que a multiplicidade (algébrica e geométrica) de é 1, tal como a dimensão de
*( )+. Assim, ao formarmos uma base de constituída por vectores próprios de A,
temos que escolher um vector não nulo pertencente a *( )+, ou seja, um múltiplo
de ( ), que podemos designar genericamente como . ( ), . Chamando V a
esta base, sabemos que * . ( ) +, sendo e vectores próprios associado
aos outros (ou outro) vectores próprios de A (claro que o vector . ( ) pode estar noutra
ordem, mas tem sempre que pertencer a V).
Sendo ( ) um vector próprio de T associado a , sabemos que a sua imagem, na base
canónica, é o múltiplo de ( ) resultante da multiplicação de por ( ):
( ) . ( )
Queremos agora saber as suas coordenadas na base V. Para isso, temos que saber como
escrevê-lo como uma combinação linear dos vectores da base V, ou seja, temos que
encontrar os valores únicos de , e (únicos porque V é uma base de , o que significa
que há apenas uma combinação linear dos seus vectores que permite gerar cada vector
deste espaço) que resolvem a seguinte equação:
. ( ) , . ( )-
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
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Uma solução para esta equação é óbvia:
, e . Sendo e V uma base
de , sabemos faz sentido e é a única. Desta forma, as coordenadas de . ( ) na base
V são .
/, que dependem do valor próprio e do múltiplo de ( ) escolhido para
formar a base V. Logo, de entre as hipóteses de resposta, a única possível é ( ). Note-se
que estas coordenadas apenas são possíveis se, aquando da formação da base V, se escolher
o múltiplo do ( ) como 1º vector.
Resposta correcta: c)
5 T e f são duas transformações lineares, de para , cujos valores próprios são
reais. O que pode garantidamente afirmar sobre a transformação composta Tof?
a) Pode não ser uma transformação linear.
A resposta é incorrecta. Se T e f são transformações lineares, logo lineares na soma e na
multiplicação por números reais e compatíveis para composição, a transformação composta
Tof tem que ser linear. Sabendo que a transformação composta Tof transforma cada objecto
de f na correspondente imagem, transformando o vector daqui resultante na sua imagem
segundo T, ou seja, que ( ) , ( )-, a prova é a seguinte:
( ) , ( )-, T e f transformações lineares
Linear na soma:
( )( ) , ( )- , ( ) ( )- , ( )- , ( )-
( )( ) ( )( ) , ( )- , ( )-
( )( ) ( )( ) ( )( )
Linear na multiplicação por números reais: :
( )( . ) , ( . )- . , ( )-
. ( )( ) . , ( )-
( )( . ) . ( )( )
Conclusão: Tof é uma transformação linear.
b) A sua matriz de transformação na base canónica não é diagonalizável.
A resposta é incorrecta. Basta pensar em T e f como sendo representadas, na base canónica,
respectivamente, pelas matrizes 0
1 e 0
1. Sabemos que a transformação
composta Tof é representada, na base canónica, pela matriz 0
1. Esta matriz é
diagonalizável não só por ser simétrica, mas também por ser diagonal (o que implica que os
seus valores próprios são os seus elementos da diagonal principal e a matriz que resulta do
processo da sua diagonalização é a própria matriz).
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
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c) É a mesma transformação que foT.
A resposta é incorrecta. Já sabemos que Tof e foT são a mesma transformação se (e só se, é
fácil demonstrá-lo) as matrizes que as representam numa base forem comutativas. Não
sendo estas matrizes comutativas, foT e Tof são duas transformações lineares diferentes.
d) Os vectores próprios comuns a T e a f são seus vectores próprios.
A resposta é correcta. De facto, qualquer vector que, quando transformado quer em T, quer
em f, resulta num múltiplo de si próprio, também o fará quando transformado em Tof.
Chamemos a x um vector próprio de T e de f, associado ao valor próprio no caso de T e
no caso de f. Podemos então dizer que ( ) . e que ( ) . . Agora, basta
lembrarmo-nos que T é linear na multiplicação por números reais para provarmos que x é
vector próprio de Tof:
( )( ) , ( )- ( . ) . ( ) .
Não só provámos que, se x for vector próprio de T e f associado aos valores próprios e ,
respectivamente, também é vector próprio de Tof, como provámos que o valor próprio que
lhe está associado na transformação composta é o produto dos valores próprios que lhe
estavam associados em cada uma das transformações originais: .
Resposta correcta: d)
6 é uma matriz diagonalizável, cujos valores próprios são reais. O que pode
garantidamente afirmar sobre A?
a) É simétrica.
A resposta é incorrecta. Todas as matrizes simétricas são diagonalizáveis, mas nem todas as
matrizes diagonalizáveis são simétricas. Qualquer matriz cujos valores próprios têm
multiplicidades algébrica e geométrica iguais é diagonalizável. Por exemplo, a matriz
0
1 tem como valores próprios 1 e 2, cada um com multiplicidade algébrica igual a 1
(porque são raízes únicas do polinómio característico, | |). Os espaços próprios de A são
*( )+ e *( )+ associados, respectivamente aos valores próprios 1 e 2, o que
significa que ambos os valores próprios têm multiplicidade geométrica 1 (porque os espaços
próprios que lhes estão associados têm dimensão 1). Desta forma, tanto para o valor próprio
1 como para o valor próprio 2, a multiplicidade algébrica é igual à geométrica o que significa
que A é diagonalizável e é possível construir uma base de com vectores próprios de A.
Por exemplo, *( ) ( )+.
b) Todos os seus valores próprios têm multiplicidade algébrica 1.
A resposta é incorrecta. Para A ser diagonalizável, é necessário que todos os seus valores
próprios tenham multiplicidades algébrica e geométrica iguais. Não é necessário que
qualquer uma destas multiplicidades seja 1. Por exemplo, a matriz identidade (2x2),
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
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1, tem um valor próprio, 1, com multiplicidade algébrica 2. O espaço próprio que
lhe está associado é , que tem dimensão 2, pelo que a multiplicidade geométrica do seu
valor próprio é 2. Logo, I é diagonalizável e é possível construir uma base de com
vectores próprios de I. Por exemplo, *( ) ( )+.
c) Tem determinante diferente de 0.
A resposta é incorrecta. O determinante de uma matriz iguala o produto dos seus valores
próprios, repetidos um número de vezes igual à sua multiplicidade algébrica. Se o
determinante de uma matriz é diferente de 0, é garantido que nenhum dos seus valores
próprios é 0. Mas esta condição não é necessária para a matriz ser diagonalizável. Por
exemplo, a matriz 0
1 tem como valores próprios 0 e 2 (os dois têm multiplicidade
algébrica 1) e, por isso, determinante nulo. Contudo, os espaços próprios que lhes estão
associados são, respectivamente, *( )+ e *( )+, dois espaços com dimensão
1, pelo que a multiplicidade geométrica de ambos os valores próprios é 1. Logo, A é
diagonalizável e é possível construir uma base de com vectores próprios de A. Por
exemplo, *( ) ( )+.
d) Pode ter um único valor próprio distinto.
A resposta é correcta. Para uma matriz ser diagonalizável, os seus valores próprios têm que
ter multiplicidades algébrica e geométrica iguais. Mas isto não significa que tenha que haver
mais do que 1. Por exemplo, a matriz identidade (2x2), 0
1, tem um único valor
próprio, 1, com multiplicidade algébrica 2. O espaço próprio que lhe está associado é ,
cuja dimensão é 2, pelo que a sua multiplicidade geométrica é 2. Logo, I é diagonalizável e é
possível construir uma base de com vectores próprios de I. Por exemplo,
*( ) ( )+.
Resposta correcta: d)
7 T é uma transformação linear, cuja matriz de transformação na base canónica, A,
comuta com uma matriz não singular, V, cujas colunas são vectores próprios de A. O que
pode garantidamente afirmar sobre A?
a) É não singular.
b) É ortogonal.
c) É diagonal.
d) É idempotente.
V é uma matriz não singular, logo com determinante não nulo e, por isso, quadrada, (nxn). É
por isso constituída por n colunas que são vectores de , que formam um conjunto
linearmente independente (já que o determinante de V não é 0) e são, por isso (e porque
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 3
10
qualquer conjunto de n vectores de um espaço vectorial de dimensão n geram esse espaço)
uma base de . Sendo estes vectores vectores próprios de A, sabemos que é possível
construir uma base de com vectores próprios de A e, por isso, A é diagonalizável. Logo, é
possível diagonalizar A, encontrando uma matriz cujas colunas sejam uma base de de
vectores próprios de A, como é, por exemplo, V. Diagonalizamos A, calculando e
sabendo que, ao fazê-lo, será uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal
são os valores próprios, pela ordem correspondente à escolhida aquando da construcção da
base de vectores próprios de A.
Por outro lado, A e V comutam, o que quer dizer que . Tendo esta igualdade em
conta, bem como aquela decorrente da diagonalização de A, ficamos com:
Ou seja, neste caso, A é não só diagonalizável, como também igual à matriz diagonal
originada pela sua diagonalização. Logo, podemos afirmar que A é uma matriz diagonal.
Repare-se que A não tem que ser não singular, ortogonal, nem idempotente, como nos
mostra a matriz 0
1, singular, não ortogonal e não idempotente e que comuta com
0
1, cujas colunas formam uma base de constituída por vectores próprios de A.
Resposta correcta: d)
8 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Uma forma quadrática pode ser semi-definida positiva e semi-definida negativa.
A afirmação é verdadeira. Uma forma quadrática em n variáveis é semi-definida positiva se,
avaliada em qualquer vector de , for não negativa. É semi-definida negativa se for sempre
não positiva. Mas é possível que as duas condições sejam preenchidas. Se uma forma
quadrática for nula em qualquer vector de , é sempre não negativa e não positiva. De
facto, repare-se que a forma quadrática nula, em 2 variáveis, ( ) preenche estas
condições. Podemos confirmar este facto, passando a forma quadrática para a forma
matricial, ( ) , - 0
1 0 1 e constantando que a
matriz A tem um único vector próprio que é não negativo e, ao mesmo tempo, não positivo:
0.
b) Se a matriz associada a uma forma quadrática for o quadrado de uma outra
matriz, a forma quadrática pode ser definida negativa.
A afirmação é falsa. Se uma matriz estiver associada a , o quadrado de A, é
garantidamente semi-definida positiva (pode também ser definida positiva, mas não deixa
de ser semi-definida positiva). De facto, se A está associada a uma forma quadrática, é
simétrica e, por isso, todos os seus valores próprios são reais. Cada valor próprio de é o
quadrado de um valor próprio de A. Sendo o quadrado de qualquer número um número não
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
11
negativo (pode ser 0, se o número for 0), sabemos que todos os valores próprios de são
maiores ou iguais a 0. Quer isto dizer que a forma quadrática associada a é forçosamente
semi-definida positiva. Se nenhum valor próprio de A for 0, podemos também dizer que a
forma quadrática associada a é definida positiva, porque esta matriz terá todos os valores
próprios positivos.
c) Se a matriz associada a uma forma quadrática for singular, a forma quadrática
pode ser definida positiva.
A afirmação é falsa. Uma matriz singular é uma matriz não invertível, cujo determinante é 0.
Sendo o determinante de uma matriz o produto dos seus valores próprios, repetidos um
número de vezes igual à sua multiplicidade algébrica, sabemos que, se for 0, um dos valores
próprios da matriz será também 0. Mas se uma matriz tem um valor próprio nulo, não pode
ser definida positiva (nem definida negativa), podendo, isso sim, ser semi-definida positiva,
semi-definida negativa, ou indefinida.
d) Se uma forma quadrática não envolver termos cruzados, não pode ser semi-
definida positiva, nem semi-definida negativa.
A afirmação é falsa. Uma forma quadrática em n variáveis semi-definida positiva é um
polinómio constituído apenas por termos de grau 2 que é não negativo, para qualquer
vector de . Mesmo não tendo termos cruzados, pode perfeitamente ser sempre maior ou
igual a 0. Primeiro, porque é óbvio que pode ser definida positiva, como acontece, por
exemplo, com a forma quadrática ( ) (que é obviamente sempre positiva,
com a excepção do vector nulo de , que anula qualquer forma quadrática), sendo, por
isso, semi-definida positiva (se a forma quadrática é sempre positiva, também é verdade que
é sempre não negativa). Depois, porque pode ser estritamente semi-definida positiva (no
sentido em que não é definida positiva). De facto, mesmo não tendo termos cruzados, pode
ser possível anulá-la num vector não nulo. É o que se passa, por exemplo, com a forma
quadrática ( ) . Apesar de não contemplar nenhum termo envolvendo a variável y,
esta deve ser incluída nos vectores a aplicar a Q. Desta forma, qualquer vector da forma
( ) anula esta forma quadrática, sendo, por isso, Q semi-definida positiva. O mesmo
raciocínio se aplica à classificação semi-definida negativa.
Resposta correcta: a)
9 Q é uma forma quadrática não nula cuja matriz associada é idempotente. Qual é,
garantidamente, a classificação de Q?
a) Definida positiva.
b) Semi-definida positiva.
c) Indefinida.
d) Definida negativa.
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
12
Sabemos que Q não é a forma quadrática nula, pelo que tem pelo menos um valor próprio
não nulo. Para além disso, a matriz que lhe está associada, chamemos-lhe A, é idempotente,
o que significa que . Sendo os valores próprios de o quadrado dos valores próprios
de A, estes valores próprios são o quadrado de si próprios ( representa um valor próprio):
* + (
)
⇔
( )
( )
Assim, A pode ter como valores próprios apenas 0 e 1. Tendo pelo menos um valor próprio
não nulo, sabemos que 1 será sempre valor próprio de A. Já 0 pode ser ou não. Podemos
desta forma garantir que os valores próprios de A são não negativos, não sendo possível
afirmar que são positivos. É por isso possível afirmar que Q é semi-definida positiva (se o seu
único valor próprio for 1, como acontece com a matriz identidade de qualquer dimensão, Q
é definida positiva, não sendo por isso que deixa de ser semi-definida positiva).
Resposta correcta: b)
10 Q é a forma quadrática que representa, para cada vector de , o quadrado da
soma das suas coordenadas. Qual das seguintes mudanças de variável não permite
representar Q sem termos cruzados?
a) ( ) .√
√
√
√
/.
b) ( ) . √
√
√
√
/.
c) ( ) .√
√
√
√
/.
d) ( ) .√
√
√
√
/.
Primeiro, encontremos a expressão de ( ) e representemo-la na forma matricial:
( ) ( ) , - 0
1 0 1
Q é uma forma quadrática que tem 1 termo cruzado, e, por isso, a matriz que lhe está
associada não é uma matriz diagonal. Contudo, é possível efectuar uma mudança de
variável, de forma a que Q, nessa nova variável, não apresente termos cruzados. De facto,
chamemos à nova variável e definamos a mudança de variável da seguinte forma: ,
sendo V uma matriz (2x2). Resta saber que matriz poderá ser V, para que a forma quadrática
na nova variável não tenha, de facto, termos cruzados (ou para que a matriz associada à
forma quadrática nesta variável seja diagonal). Lembrando-nos da representação matricial
de Q e da mudança de variável a efectuar, ficamos com:
( ) ( ) ( ) ( )
Desta forma, a matriz associada a Q na nova variável é . Resta garantir que é uma
matriz diagonal. Sabemos que, sendo A simétrica, é diagonalizável, o que significa que é
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Correcção Ficha de Exercícios nº 3
13
possível obter uma matriz diagonal a partir de A. Para isso, é necessário encontrar uma base
de constituída por vectores próprios de A e construir uma matriz, chamemos-lhe , cujas
colunas são estes mesmos vectores. Ao fazermos isto, obtemos a matriz diagonal, (que
tem na diagonal principal os valores próprios de A, pela ordem correspondente à ordem pela
qual os vectores próprios de A foram escolhidos para colunas de V), através do produto
. Se conseguirmos garantir que (ou seja, que V é ortogonal), então
e a matriz de Q na variável é diagonal. Mas uma matriz é ortogonal se e só se as suas
colunas são vectores ortonormados (mutuamente ortogonais e de norma 1). Por isso, se,
durante a diagonalização de A, escolhermos para colunas de V vectores que não só são
vectores próprios de A, mas ainda ortonormados, garantimos que V é ortogonal. Se isto for
verdade:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Vamos então calcular os valores próprios de A:
| | |0
1 0
1| |
| ( )
( )
Agora, os seus vectores próprios:
( ) 0
1 0 1 0
1 {
{
*( ) + *( ) + *( )+
( ) 0
1 0 1 0
1 {
{
*( ) + *( ) + *( )+
Já sabemos que os vectores próprios associados a são os múltiplos de ( ) e os vectores
próprios associados a são os múltiplos de ( ). Precisamos agora de escolher um
vector de e outro de que tenham norma 1 e sejam ortogonais. Sendo A simétrica (o
que acontece em todas as matrizes associadas a formas quadráticas), sabemos que a valores
próprios diferentes de A correspondem vectores próprios ortogonais. Logo, qualquer vector
de é ortogonal a qualquer vector de . Por outro lado, sabemos que se multiplicarmos
um vector próprio de A por qualquer número real, continuamos a ter um vector próprio de
A, pelo que, depois de escolher um vector de e outro de podemos multiplicá-los pelo
inverso da sua norma, obtendo desta forma vectores ortonormados. Agora, as hipóteses de
escolha de vectores de e de são infinitas. Chamemos, ao vector escolhido de ,
( ) ( ) e, ao proveniente de , ( ) ( ), com e diferentes de 0
(caso contrário, um dos vectores escolhidos é o vector nulo e os vectores escolhidos não
podem formar uma base de , por serem linearmente dependentes). Multiplicando cada
um pelo inverso da sua norma, obtemos os seguintes vectores:
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 3
14
( )
‖( )‖
( )
√ ( )
√
( )
√ √ √
( )
| | .
√
| | √
| |/ {
.√
√
/
. √
√
/
( )
‖( )‖
( )
√ ( ) ( )
√ ( )
√ √ √
( )
| | .
√
| |
√
| |/
{.√
√
/
. √
√
/
Estes resultados significam que, independentemente dos vectores escolhidos de e de ,
os vectores ortonormados a ser usados serão o .√
√
/ ou o .
√
√
/ e o .
√
√
/ ou o
. √
√
/ (qualquer combinação, por qualquer ordem, funciona). Chamemos aos vectores
escolhidos, respectivamente, ( ) e ( ). Assim, a matriz V, cujas colunas
serão os vectores a e b terá a forma [
]. Logo, 0
1. Resta saber qual a
mudança de variáveis associada a esta matriz V. Dissemos que, para chegar à forma
quadrática na nova variável, faríamos a mudança de variável . Mas, se isto é verdade,
então:
[ ] 0
1 [ ] [
] [
]
A primeira coordenada da nova variável será uma combinação linear das duas coordenadas
da variável original, cujos coeficientes são as coordenadas do vector a. A segunda
coordenada também será uma combinação linear das mesmas coordenadas, mas com
coeficientes iguais às coordenadas do vector b. Desta forma, esta é a lista de todas as
mudanças de variável que permitem eliminar o termo cruzado de Q:
.√
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
.√
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
. √
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
. √
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
.√
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
.√
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
. √
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
. √
√
/ .
√
√
/ ( ) .
√
√
√
√
/
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 3
15
Repare-se que, enquanto que nas primeiras 4 mudanças de variável, o 1º vector escolhido
pertencia a e o segundo a , nas outras, a ordem foi revertida. Assim, equanto que, para
as primeiras 4 mudanças de variável, a forma quadrática na nova variável é ( )
, - 0
1 [ ] , para as outras, a forma é ( ) , - 0
1 [ ] .
Resposta correcta: c)
