Ficha de Trabajo 03 Derivadas

7/29/2019 Ficha de Trabajo 03 Derivadas

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ESCUELA DE INGENIERA INDUSTRIAL

Hallar la derivada con respecto a x de las siguientes funciones:

1) ))().(1004( 25 xSenxxy +=

))()(1004())().(1004( 2525 xSenxxxSenxxy +++=

1

4 5 2 21

(5 8 ).( ( )) ( 4 100)( ( )) .cos( )2y x x sen x x x sen x x

= + + +

2)5 23

2

)(

1

x

xy

+=

1

6 25 55 52 6 6 2

6 2 6 25 5

6(2 ).( ( ) ( )(1 )

(1 ) .( ) ( ) (1 ) 5

( ( ) ( ( )

x x x xx x x x

yx x

++ + = =

1

6 25 5

5 12

6(2 ).( ( ) ( )(1 )5x x x xy

x

+ =

3)xx

xxy

5

35 43

+

=

2

4343

)5(

)35)(5()5)(35(

xx

xxxxxxxxy

++

=

2 3 1/ 2 3 4

2

1(15 12 )( 5 ) ( 5)(5 3 )2

( 5 )

x x x x x x xy

x x

+ + =

4) xx +220

2 2 1/ 44 20 (20 )y x x x x= + = +

2 3/ 41

(20 ) (40 1)4

y x x x = + +

5) y =5

))2ln(ln( x

1 (ln(2 )) 1y= (ln(ln(2 )))

5 5(ln(2 )) 5 .ln(2 )

xx

x x x= =

6) y = Cos(x4+1)

4 3 3 4.( sen(x 1)(4 )) 4 .sen(x 1)y x x = + = +

7) y = Cos(Cos 3x)

Universidad Catlica

Santo Toribio de Mogrovejo Mgtr. Julio Csar Moreno Descalzi

Anlisis Matemtico I


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)3)(3)(3(cos xsenxseny =

8) )(.4 xsenx ey =

))(4())`(4( )()( xsenxxsenx eey +=

( ) ( )(4 )(ln 4).( ) (4 )( )(cos )x sen x x sen xy e e x = +

9) y =)(

)24ln( 2

xSen

xx +

2 2

2

(ln(4 2 )) . ( ) ( ) .ln(4 2 )

( )

x x sen x sen x x xy

senx

+ + =

2

2

2

)(

)24ln()).(cos()().28)(24

1(

senx

xxxxsenxxxy

+++=

10)7

85

5

12

x

xxy

+=

5 8 7 7 5 8

7 2

(12 ) .( 5 ) ( 5 ) .(12 )

( 5 )

x x x x x xy

x

+ + =

5 8 7 7 5 8 4 7 7 6 5 8

7 2 7 2

(12 ) .( 5 ) ( 5 ) .(12 ) (60 8 ).( 5 ) (7 5 ).(12 )

( 5 ) ( 5 )

x x x x x x x x x x x xy y

x x

+ + + + = =

11)12

52 2

+

=x

xxy

2

22

)12(

)52)`(12()12)`.(52(

++

=x

xxxxxxy

2

22/1

)12(

)52)`(2

1()12).(54(

++=

x

xxxxx

y

12) 31

2 12

+x

4 2 1/ 3( 2x 1)y = + 3/14/12 ))1((2x +=y ))1((2x 12/12 +=y

)4.()1(2x12

1 12/112 xy +=

13) )6).(96( 1036 xxxxy +=

)`6)`.(96()6)`.(96( 2/110361036 xxxxxxxxy +++=


3/8

)`2

160)`.(96()6).(186( 2/19361045 ++= xxxxxxxxy

14) y = 25.Sen(x3)

)25)`()(Sen(x))x25)`.(Sen(( 33 +=y )25)(3)(cosx( 23 xy =

15) y = Sen(Sen(5x+1))

1)(5)x1)))(cos(5cos(sen(5x( ++=y

16) 325

.5 += xx ey

)`)(5())`.(5( 323255

+++=

xxxxeey

5 5

2 3 2 3 4(5 ln 5).( ) (5 )( )(10 )x x x xy e e x+ + = +

Hallar la derivada con respecto a t de:

17) ( )( ) ttCosSentf 2.()( 3=

( )( ) ( )( ) )`2.((2)`.(()( 33 tt tCosSentCosSentf +=

( )( ) 2ln2.(2).()(cos(cos().)(cos(3)( 32 tt tCosSentsenttsentf +=

18) 423

)ln()( += t

tctg

24

44

)3(

))ln()`(3()3)`()ln(()(

2

22

+

++

=t

tttctc

tg

24

442/1

)3(

))ln()`(3()3())ln(()(

2

22

+

++

=t

tt tctCtg

24

442/1

)3(

))ln()(2)(3ln3()3)(1)())ln(21(

)(2

22

+

++

=t

tt tctt

tC

tg

19) ( )( ) ( )53.7)( 24 += ttSentf

( )( ) ( ) ( )( ) )6(753)7)(7cos(.74)( 423 ttSentttSentf ++=

20)1

)5()(

23+

+=

btat

bttaCostg

123 )1)()5cos(()( ++= btatbttatg

[ ] ))5cos()`.()1(()1`())5cos(()( 123123 bttabtatbtatbttatg +++++=

[ ] ))5cos()(23).(1(()1())5(5()( 223123 bttabtatbtatbtatbttasentg ++++++=

Concentracin de un Medicamento.- La concentracin de unmedicamento t horas despus de haber sido inyectado en el brazo de unpaciente est dada por:


4/8

81.0

15.0)(

2 +=

t

ttC

a) Hallar la razn de cambio de la concentracin respecto al tiempo.b) Hallar la concentracin en 4=t horas.c) Hallar la razn de cambio en 4=t horas.

a)

81.0

15.0)(

2 +=

t

ttC

22

2

)81.0(

)81.0(15.0)'(

+

=t

ttC

Interpretacin: Es la razn de cambio en el tiempo de la concentracin deun medicamento en el brazo.

b)

81.0

15.0)(

2+

=t

ttC

C (t) = 0.036

Interpretacin: Pasadas 4 horas, la concentracin de dicho medicamentoen la sangre del pacientes de 0.036 unidades.

c)

C (t) = 0.00806

Interpretacin: Cuando han pasado 4 horas, la concentracin de dichomedicamento en la sangre ha disminuido a razn de 0.0806

unidades/horas.

Infeccin por epidemia.- Un equipo de investigacin mdica determinaque t das despus del inicio de una epidemia la cantidad de personasinfectadas es:

ttttN ++= 510)( 3

A qu razn se incrementa la poblacin infectada en el noveno da?

ttttN ++= 510)(3

= N (t) = 2435

Interpretacin: Pasado 9 das la cantidad de personas infectadas haaumentado a razn de 2435

personas/da.

22

22

)81.0(

)15.0()81.0()81.0)(15.0()(

+

++=

t

tttttC

22 )81.0(

)15.0()(

+=

t

ttC 22 )81.0)4((

))4(15.0()(

+=tC

22

22

)81.0)4((

))4(15.0)(81.0)4(()81.0)4)((15.0()(

+

++=

ttC

2/12

2

1530)( ++= tttN

2/12 )9(2

15)9(30)( ++=tN


5/8

El numero de dlares del costo total de la manufactura de x unidades decierta mercanca est dada por: C(x) = 40 + 3x + x29 . Obtenga:

(a) el costo marginal cuando se producen 50 unidades y(b) el nmero de unidades producidas cuando el costo marginal es de

$4.50

a)C(x) = 40 + 3x + x29

10

93

)5( +=dt

dC85.5

)5(=

dt

dC

Interpretacin: Cuando se han producido 50 unidades el costo total ha

aumentado a razn de 5.85 dlares/unidad.

b) El nmero de unidades producidas cuando el costo marginal es $4.50

=4.50

Crecimiento de la Poblacin: Se estima que dentro de t aos, la

poblacin de cierta comunidad suburbana ser:1

620)(

+=

ttP miles.

a) Deduzca una frmula para la razn de cambio a la cual cambiarla poblacin respecto al tiempo dentro de taos.b) A qu razn crecer la poblacin dentro de 1 ao?c) A qu razn crecer la poblacin dentro de 9 aos?

a) 2)1(6

)(+

=t

tP

)2()2(2

1.93)( 2

1+= xxC

2/1)2(

2

93)(

+= xxC

xxC

2

93)( +=

xxC

2

93)( +=

50.12

9)( =

xxC

50.1

92)( = xxC

62)( = xxC

2)6()2()( = xxC

18362)( = xxC


6/8

b) milest

tP 5.1)11(

6

)1(

6)(

22

+

+=

Interpretacin: Dentro de 1 ao la poblacin aumentara a razn de 1500personas/ao.

c) milest

tP 06.0)19(

6

)1(

6)(

22

+

+=

Interpretacin: Dentro de 9 aos la poblacin aumentara a razn de 60personas/ao.

Temperatura durante una enfermedad: La temperatura T de unapersona durante una enfermedad est dada por:

6.981

4)(

2+

+=

t

ttT

Donde T es la temperatura en grados Fahrenheit, en el tiempo t, en horas.

a) Hallar la razn de cambio de la temperatura respecto al tiempo.b) Hallar la temperatura en 2=t horas.c) Hallar la razn de cambio en 2=t horas.

a) Hallar la razn de cambio de la temperatura respecto al tiempo 6.98)1(4)( 12 ++= tttT

6.98)2()1(4)1(4)( 2212 ++= tttttT

6.98)1(

8

1

4)(

22

2

2+

+

+

=t

t

ttT

6.98)1(

446.98

)1(

8)1(4)(

22

2

22

22

++

++

+=t

t

t

tttT

b) Hallar la temperatura en 2=t horas

6.981

4)(

2+

+=

t

ttT

FtT +++

= 2.1006.985

86.98

1)2(

)2(4)(

2

c) Hallar la razn de cambio en 2=t horas

Ft

ttT +

+

+

+

= 12.986.98

)12(

)2(446.98

)1(

44)(

22

2

22

2

El ingreso mensual I por vender compactadoras es una funcin de lademanda X del mercado: I(x)= 300x 2x2


7/8

La demanda es funcin del precio p por compactadora: X(p)= 300 2pa) Hallar la dependencia del ingreso I en funcin del precio p.

b) Hallar la razn de cambio del Ingreso I (p) en miles de $, cuando p= 30 dlares.

a) )150(22300)( 2 xxxxxI =

PpX 2300)( =

Reemplazando en 2x (150-x):

)1502)(150(4)2300150)(2300(2)( += PPPPpI

b) )2)(150(4)1502)(1(4)( PPpI +=

)150(8)1502(4)( PPpI +=

PPPpI 161800)81200)6008)( ++=

1320)30(161800161800)( = PpI Miles

Un taller de soldadura est especializado en la produccin desilenciadores para autos. Los precios de fabrica: C(x) en euros, estn

relacionados con el nmero de silenciadores fabricados: x, a travs dela siguiente expresin:

( )2

10 20 25C x x x= + +

Cul es el ingreso marginal relacionado con este artculo cuando sevenden 4 unidades?

( )210 20 25C x x x= + +

10020)4(202020)( ++= xxCInterpretacin:

Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fbrica revela que untrabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 am habr producido

unidades t horas ms tarde.a) Calcular la tasa de produccin del trabajador a las 9:00 am.

b) Cul es la razn de cambio de la tasa de produccin deltrabajador con respecto al tiempo a las 9:00 am.?

a) 3 2( ) 8 15Q t t t t = + + 3 2( ) (1) 8(1) 15(1) 22Q t = + +


8/8

Interpretacin: En una hora la tasa de produccin es 22 unidades

b) 3 2( ) 8 15Q t t t t = + + 2 2( ) 3 16 15 3(1) 16(1) 15 32Q t t t = + + + +

Interpretacin: A las 9:00 am la tasa de produccin ser 32unidades/hora.

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Ficha de Trabajo 03 Derivadas