Ficha de Trabalho 4 - Probabilidades - Análise Combinatória

Escola Secundria de Caldas das Taipas

12 Ano Ficha de trabalho n. 4 Tema I Probabilidades e Combinatria MATEMTICA 2013/2014

Nome: N.: Turma: Data: /10/13

ANLISE COMBINATRIA E

APLICAO AO CLCULO DE PROBABILIDADES 1. Considere todos os nmeros de seis algarismos que se podem formar com os

algarismos de 1 a 9. Destes nmeros, quantos tm exatamente um algarismo 4?

[A] 58 [B] 59 [C] 586 [D] 5

86 A

2. Antes do comeo de uma partida de basquetebol, habitual os 12 intervenientes (os 5 jogadores de cada equipa e os 2 elementos da equipa de arbitragem) disporem-se una ao lado dos outros para uma fotografia. De quantas maneiras diferentes se podem dispor os 12 intervenientes, se os 2 elementos da equipa de arbitragem ficarem no meio, e os jogadores de cada equipa ficarem todos juntos?

[A] !5!522 [B] !5!52 [C] !522 [D] !102

3. De quantas maneiras se podem sentar trs raparigas e quatro rapazes num

banco de sete lugares, sabendo que em cada um dos extremos fica uma rapariga?

[A] 120 [B] 240 [C] 720 [D] 5040

4. Trs rapazes e duas raparigas vo dar um passeio de automvel. Qualquer um

dos cinco jovens pode conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois frente e trs atrs, de modo a que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz? [A] 36 [B] 120 [C] 12 [D] 72

5. Um casal e trs filhos decidem ir ao teatro. Sabe-se que vo ocupar lugares

consecutivos e que o pai e a me se sentam ao lado um do outro. De quantas maneiras pode esta famlia ocupar os seus lugares?

[A] 8 [B] 24 [C] 48 [D] 120

6. Numa conferncia de alto nvel, encontram-se doze polticos de quatro pases,

sendo trs de cada pas (o Presidente da Repblica, o Primeiro-Ministro e o Ministro dos Negcios Estrangeiros). De quantas maneiras diferentes se podem dispor as doze pessoas, em fila, para uma fotografia, de tal modo que os representantes de cada pas fiquem juntos?

[A] 13 198 [B] 21 106 [C] 31 104 [D] 41 162

Probabilidades e Combinatria pgina 2

Ficha de Trabalho n. 4 Matemtica A 12 Ano

7. Um frigorfico tem cinco prateleiras. Pretende-se guardar, nesse frigorfico, um iogurte, um chocolate e um queijo. De quantas maneiras diferentes se podem guardar os trs produtos no frigorfico, sabendo que devem ficar em prateleiras distintas?

[A] 35C [B] 3

5 A C] 53 [D] 35

8. No bar de uma escola esto venda cinco tipos de pastis (laranja, feijo, nata, coco e amndoa). Quatro amigos, Joo, Maria, Paulo e Rui, decidem comer um pastel cada um. O Joo escolhe o pastel de laranja ou de feijo. A Maria no escolhe pastel de nata. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os pastis?

[A] 45C [B] 25 4 2+ + [C] 25 4 2 [D] 45 A

9. Considere todos os nmeros pares com cinco algarismos. Quantos destes nmeros tm quatro algarismos mpares?

[A] 455 C [B] 55 [C] 5! [D] 455 A

10. Foram oferecidos dez bilhetes para uma pea de teatro a uma turma com doze rapazes e oito raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro formado por cinco rapazes e cinco raparigas. De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo?

[A] 58

512 CC [B] 5

85

12 AA [C] 25812 [D] !5

!8!12

11. Numa turma com 25 alunos, vo ser escolhidos 3 alunos para organizar um baile. A Joana aluna da turma. Quantas comisses se podem formar nas quais a Joana seja um dos elementos?

[A] 1 [B] 276 [C] 356 [D] 552

12. Uma estante tem oito prateleiras. Pretende-se expor, nessa estante, seis peas de porcelana: duas jarras iguais e quatro pratos diferentes. De quantas maneiras podem ser expostas as seis peas nas oito prateleiras, de tal modo que no fique mais do que uma pea em cada prateleira?

[A] 46

28 AC [B] !42

8 A [C] 48

28 AC [D] 4

62

8 CA

13. Num curso superior existem dez disciplinas de ndole literria, das quais trs so de literatura contempornea. Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse curso. Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas da literatura contempornea?

[A] 37

47

23 CCC + [B] 3

74

72

3 CCC ++ [C] 37

47

23 CCC [D] 3

74

72

3 CCC +

14. Numa turma com doze raparigas e sete rapazes, vo ser escolhidos cinco elementos para formar uma comisso. Pretende-se que essa comisso seja constituda por alunos dos dois sexos, mas tenha mais raparigas do que rapazes. Nestas condies, quantas comisses diferentes se podem formar?

[A] 25

519

35

519 CCCC + [B] 2

63

81

74

12 CCCC + [C] 2

77

193

1212

19 CCCC + [D] 27

312

17

412 CCCC +



15. A Joana comprou dez discos, todos diferentes, sendo trs deles de msica clssica e os restantes de Jazz. Pretende oferecer esses dez discos aos seus irmos, o Ricardo e o Paulo, de modo que cada irmo fique com o mesmo nmero de discos e que o Ricardo fique com exatamente dois discos de msica clssica. De quantas maneiras o poder fazer?

[A] 37

23 CC [B] 4

71

33

72

3 CCCC [C] 3

72

3 CC + [D] 47

13

37

23

CCCC +

16. Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o nmero de partidas disputadas foi:

[A] 2

10C [B] 1010C [C] 10! [D] 910

17. Admita que tem sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual

pretende colocar os dois cavalos brancos, de tal modo que fiquem na mesma fila horizontal. De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabuleiro, respeitando a condio indicada?

[A] 288 C [B] 2

64C [C] 8

264C

[D] 28 A

18. Considere uma caixa de doze aguarelas, sendo uma de cada cor e tambm

uma caixa de doze lpis de cera com as mesmas cores do que as referidas aguarelas. Retirou-se, ao acaso, uma aguarela e um lpis de cera. Qual a probabilidade de ter obtido uma aguarela e um lpis de cera da mesma cor?

[A] 121 [B]

241 [C]

!121 [D]

!241

19. Cada uma de seis pessoas lana um dado com faces numeradas de 1 a 6.

Qual a probabilidade de os nmeros sados serem todos diferentes?

[A] 66!6 [B] 66

1 [C]

!61 [D]

61

20. A Sandra tem dez fichas de plstico, trs das quais so verdes, sendo as

restantes vermelhas. A Sandra empilha as dez fichas, aleatoriamente, umas em cima das outras. Qual a probabilidade de as trs fichas verdes ficarem em cima?

[A] 3

103

10

AC

[B] 3

101A

[C] !10!3 [D]

!10!7!3

21. Sete amigos vo ao futebol ver um desafio entre o clube Alfa e o clube Beta.

Trs deles so adeptos do clube Alfa e quatro so adeptos do clube Beta. No estdio sentam-se na mesma fila, uns ao lado dos outros, distribudos ao acaso. Qual a probabilidade de os adeptos do clube Alfa ficarem todos juntos e os adeptos do clube Beta ficarem tambm todos juntos?

[A] !7

!4!3 [B]

!7!4!32 [C]

!4!32

[D] !4!3

1



22. Um saco contm cinco cartes, numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cartes do saco e alinha-os, da esquerda para a direita, pela ordem de sada, de maneira a formar um nmero de cinco algarismos. Qual a probabilidade de esse nmero ser par e de ter o algarismo das dezenas tambm par?

[A] 2

52

5

AC

[B] !52

5C [C]

25

!32A

[D] !5

!32

23. Escolhem-se aleatoriamente dois vrtices distintos de um cubo. Qual a

probabilidade de o centro do cubo ser o ponto mdio do segmento por eles definido?

[A] 2

81C

[B] 2

84C

[C] !8

1 [D]

!84

24. Considere seis pontos distintos (A, B, C, D, E e F), pertencentes a uma

circunferncia. Escolhidos trs desses pontos ao acaso, qual a probabilidade de eles definirem um tringulo que contenha o lado [AB]?

[A] 61 [B]

51 [C]

41 [D]

31

25. Considere os pontos A, B, C, D, E e F representados

sobre o cubo, na figura ao lado. Escolhendo trs destes pontos ao acaso, a probabilidade de que eles definam um plano :

[A] 0,5 [B] 0 [C] 0,9 [D] 1

26. Cinco amigos vo dar um passeio num automvel de 5 lugares. Sabendo que

s trs deles podem conduzir, o nmero de formas diferentes de ocuparem os lugares durante o passeio dado por: [A] 2

41

3 AA [B] 13

45 CC [C] 4

41

3 AC [D] 44

13 CC

27. Para certo exame, os candidatos devem preparar 100 temas dos quais trs,

selecionados ao acaso, sairo no exame. Um candidato apresenta-se a

exame tendo preparado 41dos temas. A probabilidade de que tenha acertado

s dois dos temas que saram :

[A] 3

1002

2575CC

[B] 3

1002

253CC

[C] 3

1002

25225C

C [D]

3100

225

CC

28. Num grupo de 20 congressistas, 8 s falam ingls, 5 s falam francs e 7

falam as duas lnguas. Qual a probabilidade de dois congressistas, escolhidos ao acaso, poderem conversar sem auxlio de intrprete?



[A] 2

202

82

72

5

CCCC ++

[B] ( )

220

28

257

CCC +

[C] 2

202

20 40C

C [D]

220

28

27

25

CCCC

29. De quantas maneiras distintas podem ficar sentados quatro rapazes e cinco

raparigas, num banco de nove lugares, de tal modo que os rapazes fiquem todos juntos?

[A] 16 470 [B] 17 280 [C] 18 560 [D] 19 340

30. Considere todos os nmeros de cinco algarismos diferentes que se podem

formar com os cinco algarismos mpares. Quantos deles so maiores do que 60 000?

[A] 48 [B] 64 [C] 68 [D] 74

31. Um baralho de cartas completo constitudo por 52 cartas, repartidas em 4

naipes (Espadas, Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe h um s, trs figuras (Rei, Dama e Valete) e mais nove cartas (do Dois ao Dez). A Joana pretende fazer uma sequncia com seis cartas do naipe de Espadas. Ela quer iniciar a sequncia com o s, quer que as trs cartas seguintes sejam figuras e quer concluir a sequncia com duas das nove restantes cartas desse naipe. Quantas sequncias diferentes pode a Joana fazer?

[A] 416 [B] 432 [C] 528 [D] 562

32. Quatro raparigas e quatro rapazes entram num autocarro, no qual existem

seis lugares sentados, ainda no ocupados. De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados esses seis lugares, supondo que ficam dois rapazes em p?

[A] 3560 [B] 3840 [C] 4180 [D] 4320

33. Considere, num referencial o.n. Oxyz , um octaedro regular em que cada um

dos seus vrtices pertence a um dos eixos coordenados (dois em cada eixo). Escolhendo, ao acaso, trs vrtices desse octaedro, qual a probabilidade de eles definirem um plano perpendicular ao eixo Oy ?

[A] 13 [B]

23 [C]

15 [D]

25

34. Considere a funo f , de domnio , definida por ( ) 2 9f x x= . No grfico desta funo, considere os pontos cujas abcissas so -4, -2, 0, 2 e 4. Escolhem-se, ao acaso, dois desses cinco pontos e desenha-se o segmento de reta que tem por extremidades esses dois pontos. Qual a probabilidade de esse segmento intersectar o eixo das abcissas?

[A] 0,4 [B] 0,5 [C] 0,6 [D] 0,7



35. No balco de uma geladaria existe um recipiente com dez compartimentos, cinco frente e cinco atrs, para colocar gelado. Em cada compartimento s colocado um sabor, e nunca existem dois compartimentos com o mesmo sabor. Num certo dia, a geladaria tem sete sabores disponveis: cinco so de fruta (morango, anans, pssego, manga e framboesa) e os outros dois so baunilha e chocolate.

35.1 De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no

recipiente? 35.2 De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no

recipiente, de tal forma que os cinco de fruta preencham a fila da frente?

36. De um baralho de cartas, selecionam-se seis cartas do naipe de Espadas: s,

Rei, Dama, Valete, Dez e Nove. Dispem-se as seis cartas, em fila, em cima de uma mesa.

36.1 Quantas disposies diferentes podem ser feitas, de modo que as

duas cartas do meio sejam o s e o Rei (no necessariamente por esta ordem)?

36.2 Quantas disposies diferentes podem ser feitas, de modo que o Rei

no fique ao lado da Dama? 37. Considere o seguinte problema: Utilizando os cinco algarismos do nmero 41

123, quantos nmeros podem ser formados? !325 C e 3

5 A so duas respostas corretas. Numa pequena composio, com cerca de dez linhas, explique o raciocnio que conduziu a cada uma dessas respostas.

38. Considere um prisma regular em que cada base tem n lados. Numa pequena

composio, justifique que o nmero total de diagonais de todas as faces do prisma (incluindo as bases) dada por:

( )22 2nC n n + . 39. Um fiscal do Ministrio das Finanas vai inspecionar a contabilidade de sete

empresas, das quais trs so clubes de futebol profissional. A sequncia segundo a qual as sete inspees vo ser feitas aleatria. Qual a probabilidade de que as trs primeiras empresas inspecionadas sejam exatamente os trs clubes de futebol? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado s unidades.

40. Seis amigos entram numa pastelaria para tomar caf e

sentam-se ao acaso numa mesa retangular com trs lugares de cada lado, como esquematizado na figura. Determine a probabilidade de dois desses amigos, a Joana e o Rui, ficarem sentados em frente um ao outro.



41. Uma roda gigante de um parque de diverses tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12, com um lugar cada uma (ver figura ao lado). Seis raparigas e seis rapazes, vo andar na roda gigante e sorteiam entre si os lugares que vo ocupar. Qual a probabilidade de rapazes e raparigas ficarem sentados alternadamente, isto , cada rapaz entre duas raparigas e cada rapariga entre dois rapazes? Apresente o resultado na forma de percentagem.

42. O Joo e a irm Alice querem telefonar a um amigo. Ele lembra-se de que o nmero de telefone do amigo comea por 21 e tem mais sete algarismos: um 3, dois 5, dois 7, dois 8.

42.1 Quantos nmeros existem nestas condies?

42.2 A Alice tambm se lembra de que o nmero de telefone do amigo

termina em 857. Se eles digitarem ao acaso os restantes quatro algarismos, qual a probabilidade de acertarem primeira tentativa? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

43. Seja B o conjunto dos nmeros de quatro algarismos diferentes, menores que 3000, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. O conjunto B tem 240 elementos. Escolhem-se, ao acaso, trs elementos de B. Qual a probabilidade de todos eles serem maiores do que 2000? Apresente o resultado na forma de dzima, com duas casas decimais.

44. Uma embalagem contm doze pastilhas com igual aspeto exterior, sendo

trs de anans, trs de cereja, trs de laranja e trs de morango. Esvaziando a embalagem aps a compra e retirando quatro pastilhas ao acaso, qual a probabilidade de retirar uma de cada sabor?

45. Trinta soldados participam num exerccio. A Marina Santos um dos trinta

soldados. necessrio escolher trs dos trinta soldados para ficarem de sentinela durante a noite. Admitindo que a escolha feita ao acaso, qual a probabilidade de a Marina Santos ficar de Sentinela? Apresente o resultado na forma de percentagem.

46. Para inaugurar uma ponte em Cegonhas de Baixo, a respetiva Junta de

Freguesia vai organizar uma feijoada. O principal clube desportivo da regio, o Cegonhas Futebol Clube, foi convidado a fazer-se representar no almoo por trs quaisquer membros da sua direo. A Sr. Manuela Silvestre e o Sr. Antnio Gonalves so dois dos sete elementos dessa direo. Se a escolha dos trs representantes for feita por sorteio, entre os sete elementos da direo do clube, qual a probabilidade de a Sr. Manuela Silvestre e o Sr. Antnio Gonalves irem ambos feijoada? Apresente o resultado na forma de uma frao irredutvel.



47. Para representar Portugal num campeonato internacional de hquei em patins foram selecionados dez jogadores: dois guarda-redes, quatro defesas e quatro avanados.

47.1 Sabendo que o treinador da Seleo Nacional opta por que Portugal

jogue sempre com um guarda-redes, dois defesas e dois avanados, quantas equipas diferentes pode ele constituir?

47.2 Um patrocinador da seleo nacional oferece uma viagem a cinco dos dez jogadores selecionados, escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de os dois guarda-redes serem contemplados com essa viagem? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

48. Na figura junta esto representados um prisma

quadrangular e uma pirmide cuja base [ABCD] coincide com a base inferior do prisma. O vrtice I da pirmide coincide com o centro da base superior do prisma. Considerando, ao acaso, cinco dos nove vrtices da figura representada, qual a probabilidade de que pelo menos quatro sejam da pirmide?

49. Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro situado nossa

frente, como o representado na figura, nove peas de igual tamanho e feitio, das quais quatro so brancas e cinco so pretas. Cada casa do tabuleiro ocupada por uma s pea.

49.1 Mostre que existem 126 maneiras diferentes de as

peas ficarem colocadas no tabuleiro.

49.2 Supondo que as peas so colocadas ao acaso, determine a probabilidade de uma das diagonais ficar s com peas brancas.

50. Um grupo de jovens, formado por cinco rapazes e cinco raparigas, vai

dividir-se em duas equipas, de cinco elementos cada uma, para disputarem um jogo de basquetebol. Supondo que a diviso dos dez jovens pelas duas equipas feita ao acaso, determine a probabilidade de as equipas ficarem constitudas por elementos do mesmo sexo, isto , de uma das equipas ficar s com rapazes e a outra, s com raparigas. Apresente o resultado na forma de dzima, com aproximao s milsimas.

51. Uma turma de uma escola secundria tem 27 alunos: 15 raparigas e 12

rapazes. O delegado da turma um rapaz. Pretende-se constituir uma comisso para organizar um passeio. A comisso deve ser formada por 4 raparigas e 3 rapazes. Acordou-se que um dos 3 rapazes da comisso ser necessariamente o delegado de turma.

51.1 Quantas comisses diferentes se podem constituir?

51.2 Admita que os 7 membros da comisso, depois de constituda, vo

posar para uma fotografia, colocando-se uns ao lado dos outros. Supondo que eles se colocam ao acaso, qual a probabilidade de as raparigas ficarem todas juntas? Apresente o resultado na forma de dzima, com aproximao s milsimas.



52. A Joana tem na estante do seu quarto trs livros de Jos Saramago, quatro de Sophia de Mello Breyner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as frias a casa da sua av, decidiu escolher seis desses livros, para ler durante este perodo de lazer. A Joana pretende levar dois livros de Jos Saramago, um de Sophia de Mello Breyner e trs de Carl Sagan.

52.1 De quantas maneiras pode fazer a sua escolha?

52.2 Admita agora que a Joana j selecionou os seis livros que ir ler em

casa da sua av. Supondo aleatria a sequncia pela qual estes seis livros vo ser lidos, qual a probabilidade de os livros de Jos Saramago serem lidos um a seguir ao outro? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

53. Considere um tabuleiro com nove casas, como o que est representado na

figura.

Suponha que dispomos de cinco peas, numeradas de 1 a 5. Pretende-se escolher trs dessas peas e, seguidamente, coloc-las no tabuleiro, no mais do que uma em cada casa, obtendo assim uma configurao de trs peas sobre o tabuleiro. Na figura abaixo apresentam-se quatro possveis configuraes:

53.1 Quantas configuraes diferentes se podem fazer?

53.2 Sabendo que, depois de escolhidas, as peas so colocadas no tabuleiro ao acaso, determine a probabilidade de as casas A e B ficarem livres.

54. Numa turma de vinte e cinco jovens, as suas idades e sexos esto

distribudos como indica a tabela:

Idade Rapazes Raparigas 15 4 2 16 5 4 17 6 4

54.1 Pretende-se escolher um jovem para representar a turma. Sabendo

que esse representante escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que tenha dezasseis anos ou seja uma rapariga? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

54.2 Ao escolher dois jovens ao acaso, qual a probabilidade de eles serem de sexo diferente e terem a mesma idade? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.



55. Considere um conjunto de 4 casais.

55.1 Escolhendo ao acaso quatro dessas oito pessoas, qual a probabilidade de serem escolhidos dois homens e duas mulheres? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

55.2 Escolhendo ao acaso uma pessoa de cada casal, qual a

probabilidade de serem escolhidos dois homens e duas mulheres? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

56. Na figura est representado o slido [ABCDEFGHI].

Dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, preto e vermelho) para colorir as suas nove faces. Cada face colorida por uma nica cor.

56.1 De quantas maneiras diferentes podemos

colorir o slido, supondo que as quatro faces triangulares s podem ser coloridas de amarelo, de branco ou de castanho, e que as cinco faces retangulares s podem ser coloridas de preto ou de vermelho?

56.2 Admita agora que o slido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face. Determine a probabilidade de exatamente cinco faces ficarem coloridas de branco e as restantes faces com cores todas distintas. Apresente o resultado na forma de dzima, arredondado s dcimas de milsima.

57. Na figura esto representados dois polgonos:

Um pentgono [ABCDE] Um quadriltero [FGHI] Dos nove vrtices representados, no existem trs colineares.

57.1 Determina quantos tringulos tm como vrtices trs dos noves pontos, de tal modo que dois vrtices pertenam a um dos polgonos e o terceiro vrtice pertena ao outro polgono.

57.2 A Sandra e o Jorge escolheram cada um, e em segredo, um dos nove vrtices representados. Qual a probabilidade de os dois vrtices, assim escolhidos, pertenam ambos ao mesmo polgono? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado s unidades.

58. Considere, num referencial o.n. Oxyz , superfcie esfrica de equao

25222 =++ zyx . Considere todos os tringulos cujos vrtices so pontos de interseco desta superfcie esfrica com os eixos do referencial. Escolhido um desses tringulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por 0=z . Indique o resultado em forma de percentagem.



59. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz , um octaedro regular. Sabe-se que: um dos vrtices do octaedro a origem do referencial; a reta ST paralela ao eixo Oz; o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox; o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy.

Escolhidos ao acaso dois dos vrtices do octaedro, qual a probabilidade de estes definirem uma reta contida no plano de equao yx = ? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

60. Na figura est representado um poliedro com doze faces, que pode ser

decomposto num cubo e em duas pirmides quadrangulares regulares.

60.1 Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os nmeros de 1 a 12 (um nmero diferente em cada face). Como se v na figura, duas das faces do poliedro j esto numeradas, com os nmeros 1 e 3.

60.1.1 De quantas podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez nmeros?

60.1.2 De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez nmeros, de forma a que, nas faces de uma das pirmides, fiquem s nmeros mpares e, nas faces da outra pirmide fiquem s nmeros pares?

60.2 Considere agora o poliedro num referencial o.n. Oxyz , de tal forma

que o vrtice P coincida com a origem do referencial, e o vrtice Q esteja no semieixo positivo Oy . Escolhidos ao acaso trs vrtices distintos, qual a probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano de equao 0=y ? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

61. Considere o seguinte problema:

Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados l, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como evidente, cinco jovens iro ficar sem bilhete. Qual a probabilidade de uma das filas ficar ocupada s com rapazes e a outra s com raparigas?

Uma resposta correta para este problema :!20

!10!10220

2510

1310

12

CCC

Numa pequena composio, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta.

Nota: Deve organizar a sua composio de acordo com os seguintes tpicos: Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis; Explicao do nmero de casos favorveis.



62. Num saco existem quinze bolas, indistinguveis ao tato. Cinco bolas so amarelas, cinco so verdes e cinco so brancas. Para cada uma das cores, as bolas esto numeradas de 1 a 5.

62.1 Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as, ao acaso, numa fila,

qual a probabilidade de as bolas da mesma cor ficarem todas juntas?

62.2 Suponha agora que, esto apenas algumas das quinze bolas. Nestas novas condies, admita que, ao retirarmos, ao acaso, uma bola do saco, se tem:

A probabilidade de essa bola ser amarela 50% A probabilidade de essa bola ter o nmero 1 25% A probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o nmero 1

62,5%

Prove que a bola amarela nmero 1 est no saco. 63. A banda desenhada retrata um episdio de uma aula de Matemtica. A

professora prope um problema turma, e o Joo e a Joana so os primeiros a responder.

Ambas as respostas ao problema proposto esto certas. Numa pequena composio (quinze a vinte linhas, aproximadamente) explique o raciocnio de cada um dos dois alunos.

64. Uma turma do 12 ano constituda por vinte e cinco alunos (quinze

raparigas e dez rapazes) Nessa turma, vai ser escolhida uma comisso para organizar uma viagem de finalistas. A comisso ser formada por trs pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsvel pelas relaes pblicas.



64.1 Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comisso, podendo ocupar qualquer um dos trs cargos, quantas comisses poderiam ser formadas?

64.2 Admita agora que o delegado de turma pode, ou no, fazer parte da comisso.

64.2.1 Quantas comisses mistas distintas podem ser formadas? Nota:

Entenda-se por comisso mista uma comisso constituda por jovens que no so todos do mesmo sexo.

64.2.2 Suponha que a escolha dos trs elementos vai ser feita por

sorteio, da seguinte forma: Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas so dobradas e introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, trs folhas de papel. O primeiro nome a sair corresponde ao presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do responsvel pelas relaes pblicas.

Sejam A, B e C os acontecimentos: A: o presidente uma rapariga B: o tesoureiro uma rapariga C: a comisso formada s por raparigas

Indique o valor da probabilidade condicionada P(C|(AB)) e, numa pequena composio, com cerca de dez linhas, justifique a sua resposta.

Nota: No aplique a frmula da probabilidade condicionada. O valor pedido dever resultar exclusivamente da interpretao de P(C|(AB)), no contexto do problema.

65. Num baralho de cartas completo constitudo por 52 cartas, repartidas por

quatro naipes de treze cartas cada: Espadas, Copas, Ouros e Paus. Cada naipe tem trs figuras: Rei, Dama e Valete.

65.1 Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho completo, qual

probabilidade de, entre elas, haver um e um s rei? Apresente o resultado na forma de dzima, com aproximao s milsimas.

65.2 De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposio, duas cartas. Sejam E1, C2 e F2 os acontecimentos:

E1: sair Espadas na primeira extrao; C2: sair copas na segunda extrao; F2: sair figura na segunda extrao.

Sem utilizar a frmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P((F2C2)|E1). Numa pequena composio, com cerca de dez linhas, explicite o raciocnio que efetuou. O valor dever resultar apenas da interpretao do significado de P((F2C2)|E1), no contexto da situao descrita.

66. Num certo jogo de cartas, utiliza-se um baralho completo e do-se treze cartas a cada jogador. Imagine que est a participar nesse jogo. Qual a probabilidade de, nas treze cartas que vai receber, haver exatamente seis cartas do naipe de espadas? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado s unidades.



67. Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que: A quarta parte tem olhos verdes; A tera parte tem cabelo louro; Das que tm cabelo louro, metade tem olhos verdes.

Admita que em Vale do rei moram cento e vinte raparigas. Pretende-se formar uma comisso de cinco raparigas, para organizar num baile. Quantas comisses diferentes se podem formar com exatamente duas raparigas louras?

68. Um quadro de palavras cruzadas, constitudo por 5 linhas e cinco colunas,

tem 9 quadrculas a cheio. Destas, sabe-se que 5 ocuparo os 4 cantos e o quadrado central, podendo as restantes ocupar qualquer posio.

68.1 Quantos quadros diferentes se podem obter satisfazendo as condies

indicadas?

68.2 Qual a probabilidade de que, ao escolher ao acaso um dos quadros possveis, este tenha pelo menos uma das diagonais com quadrculas a cheio?

69. Uma pessoa tem de tomar diariamente, mesma refeio, 2 comprimidos de

vitamina C e 1 comprimido de vitamina A. Por lapso, misturou todos os comprimidos no mesmo frasco. Os comprimidos tm igual aspeto exterior, sendo 20 de vitamina A e 35 de vitamina C.

69.1 Ao retirar simultaneamente 3 comprimidos do frasco de quantas

formas diferentes o pode fazer de modo que sejam todos do mesmo tipo de vitamina?

69.2 Ao tomar 3 dos comprimidos do frasco, qual a probabilidade de cumprir as indicaes do mdico?

70. Um comerciante foi informado de que tem 4 embalagens premiadas entre as

20 que adquiriu de um certo produto, mas no sabe quais so. Dispondo as 20 embalagens em fila, na montra, por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as embalagens premiadas fiquem todas juntas no incio ou no fim da fila?

71. Uma das provas de atletismo a estafeta 4x100 metros planos em que cada

equipa participa com 4 atletas. O clube Ps Voadores vai participar na prova, dispondo de 10 atletas para formar a equipa de estafeta.

71.1 Quantos conjuntos diferentes possvel constituir para formar a

equipa de estafeta deste clube?

71.2 Formada a equipa necessrio estabelecer a ordem de participao dos atletas que a constituem. Por razes tticas escolheu-se o Joo Rui para iniciar a prova, podendo os restantes atletas da equipa participar em qualquer posio. De quantas formas diferentes se pode organizar esta equipa?

71.3 Ao todo vo competir na prova 6 equipas de clubes diferentes. A

colocao das equipas pelas 8 pistas feita por sorteio. Qual a probabilidade de que a equipa dos Ps Voadores corra na pista 1 no ficando nenhuma equipa na pista 2?



72. No basquetebol cada equipa entra em jogo apenas com 5 jogadores. Certo clube treinou 12 elementos, 4 postes, 3 bases e 5 extremos.

72.1 Quantas equipas diferentes, deste clube, podem entrar em jogo,

sabendo que se quer sempre em campo dois e s dois postes e pelo menos um base?

72.2 Sabe-se que os lanamentos efetuados a partir de certa linha tm apenas 55% de probabilidade de acertar. Se um dado jogador fizer 5 lanamentos a partir dessa linha, qual a probabilidade de que acerte em 3 e s 3 deles?

73. Num dado no equilibrado a probabilidade de sair 6 0,4, tendo as

restantes faces igual probabilidade de ocorrer.

73.1 Mostre que, efetuando apenas um lanamento deste dado, a probabilidade de sair 1 0,12.

73.2 Lanando cinco vezes consecutivas o dado referido, qual a probabilidade de se obter duas e s duas vezes um nmero mpar?

74. Dispomos de um dado equilibrado, cujas faces esto numeradas do seguinte

modo: 3 faces com o nmero 1 2 faces com o nmero 2 1 face com o nmero 3

74.1 Num lanamento desse dado, qual a probabilidade de sair um nmero mpar?

74.2 Se fizermos 5 lanamentos sucessivos, qual a probabilidade de ocorrer 3 vezes o nmero dois?

75. Os irmos Joo, Maria e Filipe no sabiam em que dias da semana tinham

nascido mas, antes de procurarem informar-se desses factos, o Joo apostou que tinham todos nascidos em dias da semana diferentes (por exemplo: o Joo numa 3 feira, a Maria numa 5 feira e o Filipe num domingo).

75.1 Qual a probabilidade do Joo ganhar a aposta? (Supe que os dias

da semana so todos equiprovveis quanto ao nascimento de bebs). 75.2 A me dos trs irmos informou-os depois que havia pelo menos dois

que tinham nascido no mesmo dia da semana, e a Marta apostou logo que ela prpria e o Filipe tinham nascido no mesmo dia da semana, mas no o Joo. Qual a probabilidade de ter acertado?

76. Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz , de tal

forma que uma das suas bases est contida no plano de equao 2z = . Escolhendo ao acaso dois vrtices do prisma, qual a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oy ? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.



77. Numa sala de Tempos Livres, a distribuio dos alunos por idades e sexo a seguinte:

77.1 Escolhem-se dois alunos ao acaso. Qual a probabilidade de a soma

das suas idades ser igual a 12? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

77.2 Escolhe-se um aluno ao acaso. Seja A e B os acontecimentos:

A: o aluno tem 7 anos; B: o aluno rapaz.

Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada

( )ABP | . Apresente o resultado na forma de frao irredutvel. 78. Seis amigos, a Ana, o Bruno, a Catarina, o Diogo, a Elsa e o Filipe, vo jantar

a um restaurante. Sentam-se, ao acaso, numa mesa redonda, com seis lugares (pode considerar que os lugares esto numerados, de 1 a 6).

78.1 Sejam os acontecimentos:

:A O Diogo, a Elsa e o Filipe sentam-se me lugares consecutivos, ficando a Elsa no meio.

:B A Catarina e o Filipe sentam-se ao lado um do outro.

78.1.1 Determine a probabilidade do acontecimento A . Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

78.1.2 Sem utilizar a frmula da probabilidade condicionada, indique o valor de ( )ABP | . Justifique a sua resposta no contexto da situao descrita.

78.2 Depois de sentados, os seis amigos resolvem escolher a refeio. Sabe-se que:

na ementa, existem trs pratos de peixe e quatro de carne; cada um dos seis amigos vai escolher um nico prato, de peixe ou

de carne; s o Filipe est indeciso se vai escolher peixe ou carne; as restantes cinco vo escolher peixe.

De quantas maneiras diferentes podem os seis amigos escolher os seus pratos?



79. Uma turma do 12. ano de uma Escola Secundria est a organizar uma viagem de finalistas. 79.1 Os alunos da turma decidiram vender rifas, para angariarem fundos

para a viagem. A numerao das rifas uma sequncia de trs algarismos (como, por exemplo, 099), iniciando-se em 000. De entre as rifas, que foram todas vendidas, ser sorteada uma, para atribuir um prmio. Qual a probabilidade de a rifa premiada ter um nico algarismo cinco? Apresente o resultado na forma de dzima, com aproximao s centsimas.

79.2 A turma constituda por doze raparigas e dez rapazes, que pretendem formar uma comisso organizadora da viagem. Sabe-se que a comisso ter obrigatoriamente trs raparigas e dois rapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, no querem fazer parte da comisso em simultneo. Explique, numa composio, que o nmero de comisses diferentes que se pode formar dado por: 12 10 11

3 2 2 9C C C . 80. Queremos colocar 6 bolas indistinguveis em 4 caixas distintas, de forma a

que cada caixa contenha pelo menos uma bola. De quantas maneiras diferentes podem ficar colocadas nas caixas?

[A] 4 [B] 8 [C] 10 [D] 12

81. De quantas maneiras diferentes podem ficar colocadas sete bolas diferentes em quatro caixas diferentes?

[A] 74 [B] 47 [C] 7 4A [D] 7

4C

82. Um saco contm vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Ao acaso, extraem-se simultaneamente trs bolas do saco e anotam-se os respetivos nmeros. Qual a probabilidade de o maior desses trs nmeros ser 10?

[A] 203

24C

[B] 203

28C

[C] 203

32C

[D] 203

36C

83. De um baralho com 40 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros,

Espadas e Paus), em que cada naipe contm um s, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mo, pela ordem que as recebe. Qual a probabilidade de o jogador obter a sequncia 2 4 6 7 Dama - Rei, nas cartas recebidas?



84. De um bilhete de lotaria sabe-se que o seu nmero formado por sete algarismos, dos quais trs so iguais a 1, dois so iguais a 4 e dois so iguais a 5 (por exemplo: 1551414). Determine quantos nmeros diferentes satisfazem as condies anteriores.

85. Uma caixa contm bolas, indistinguveis ao tato, numeradas de 1 a 20. As bolas numeradas de 1 a 10 tm cor verde, e as bolas numeradas de 11 a 20 tm cor amarela. Considere a experincia aleatria que consiste em retirar, sucessivamente, duas bolas da caixa, no repondo a primeira bola retirada, e em registar a cor das bolas retiradas.

85.1 Determine a probabilidade de as duas bolas retiradas da caixa terem cores diferentes. Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

85.2

86. A Maria gravou nove CD, sete com msica rock e dois com msica popular,

mas esqueceu-se de identificar cada um deles. Qual a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de msica rock e o outro ser de msica popular?

87.



88. Considere todos os nmeros de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. De entre estes nmeros, quantos tm, exatamente, trs algarismos 5?

89. O cdigo de um autorrdio constitudo por uma sequncia de quatro

algarismos. Por exemplo, 0137. Quantos desses cdigos tm dois e s dois algarismos iguais a 7? [A] 486 [B] 810 [C] 432 [D] 600

90.

91. A MatFinance uma empresa de consultoria financeira.

91.1 Dos funcionrios da MatFinance, sabe-se que:

60% so licenciados; dos que so licenciados, 80% tm idade inferior a 40 anos; dos que no so licenciados, 10% tm idade inferior a 40 anos; Determine a probabilidade de um desses funcionrios, escolhido ao acaso, ser licenciado, sabendo que tem idade no inferior a 40 anos. Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

91.2



92. A Ana dispe de sete cartas todas diferentes: quatro cartas do naipe de

espadas e trs cartas do naipe de copas. 92.1 A Ana vai dispor essas sete cartas sobre uma mesa, lado a lado, da

esquerda para a direita, de modo a formar uma sequncia com as sete cartas. A Ana pretende que a primeira e a ltima cartas da sequncia sejam ambas do naipe de espadas. Quantas sequncias diferentes, nestas condies, pode a Ana fazer?

92.2 Admita que a Ana baralha essas sete cartas e, em seguida, tira trs, ao acaso. Qual a probabilidade de, nessas trs cartas, haver pelo menos uma carta de copas? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

92.3 As cartas de que a Ana dispe so:

o s, o rei, a dama e o valete do naipe de espadas; o rei, a dama e o valete do naipe de copas.

Depois de introduzir as sete cartas num saco, a Ana retira uma carta ao acaso.

Sejam A e B os acontecimentos:

A: A carta retirada do naipe de espadas B: A carta retirada um rei

Averigue se os acontecimentos A e B so independentes.

93. Um saco contm dezasseis bolas, numeradas de 1 a 16Retiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas dessas dezasseis bolas e adicionam-se os respetivos nmeros. Qual a probabilidade de a soma obtida ser igual a 7?

[A] 135

[B] 140

[C] 145

[D] 1

50

94. Os trs irmos Andrade e os quatro irmos Martins vo escolher, de entre

eles, dois elementos de cada famlia para um jogo de matraquilhos, de uma famlia contra a outra. De quantas maneiras pode ser feita a escolha dos jogadores de modo que o Carlos, o mais velho dos irmos da famlia Andrade, seja um dos escolhidos? [A] 8 [B] 12 [C] 16 [D] 20



95. Relativamente a uma turma de 12. ano, sabe-se que:

o nmero de rapazes igual ao nmero de raparigas;

34 dos alunos pretendem frequentar um curso da rea de sade e os

restantes alunos pretendem frequentar um curso da rea de engenharia; dos alunos que pretendem frequentar um curso da rea de engenharia,

dois em cada sete so raparigas.

95.1 Escolhe-se, ao acaso, uma rapariga da turma. Qual a probabilidade de essa rapariga pretender frequentar um curso da rea de sade? Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

95.2 Escolhem-se, ao acaso, dois alunos da turma para estarem presentes nas comemoraes do aniversrio da escola. Sabe-se que a

probabilidade de esses dois alunos serem rapazes 1354

. Seja n o

nmero de rapazes da turma. Determine o valor de n.

Para resolver este problema, percorra as seguintes etapas: equacione o problema; resolva a equao, sem utilizar a calculadora.

96. Para assistirem a um espetculo, o Joo, a Margarida e cinco amigos

sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares. Qual a probabilidade de o Joo e a Margarida no ficarem sentados um ao lado do outro?

[A] 2 5!

7!

[B] 5!7!

[C] 27 [D]

57

97. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com

tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento pode ser arrumado apenas um copo. De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?

98. Numa escola, realizou-se um estudo sobre os hbitos alimentares dos alunos. No mbito desse estudo, analisou-se o peso de todos os alunos. Sabe-se que: 55% dos alunos so raparigas; 30% das raparigas tm excesso de peso; 40% dos rapazes no tm excesso de peso.

98.1 Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola. Determine a

probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem excesso de peso. Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

98.2 Considere agora que a escola onde o estudo foi realizado tem 200 alunos. Pretende-se escolher, ao acaso, trs alunos para representarem a escola num concurso. Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz. Apresente o resultado com arredondamento s centsimas.



99. O cdigo de acesso a uma conta de e-mail constitudo por quatro letras e

trs algarismos. Sabe-se que um cdigo tem quatro a, dois 5 e um 2, como, por exemplo, o cdigo 2aa5a5a. Quantos cdigos diferentes existem nestas condies?

[A] 105 [B] 210 [C] 5040 [D] 39

100. Considere uma empresa em que:

80% dos funcionrios apostam no euromilhes; dos funcionrios que apostam no euromilhes, 25% apostam no

totoloto; 5% dos funcionrios no apostam no euromilhes nem no totoloto.

100.1 Determine a probabilidade de, ao escolher, ao acaso, um funcionrio

dessa empresa, ele apostar no totoloto.

100.2 Considere agora que essa empresa tem 50 funcionrios. Escolhem-se, ao acaso, oito funcionrios dessa empresa. Determine a probabilidade de, pelo menos, sete desses funcionrios serem apostadores no euromilhes. Apresente o resultado com arredondamento s centsimas.

101. Num grupo de nove pessoas, constitudo por seis homens e trs mulheres,

vo ser escolhidos trs elementos para formarem uma comisso. Quantas comisses diferentes se podem formar com exatamente duas mulheres?

102. Na Figura 1, est representado um tabuleiro

quadrado dividido em dezasseis quadrados iguais, cujas linhas so A, B, C e D e cujas colunas so 1, 2, 3 e 4. O Joo tem doze discos, nove brancos e trs pretos, s distinguveis pela cor, que pretende colocar no tabuleiro, no mais do que um em cada quadrado. De quantas maneiras diferentes pode o Joo colocar os doze discos nos dezasseis quadrados do tabuleiro?

Bom trabalho! Prof. Paula Gomes



SOLUES

1. C 2. A 3. C 4. A 5. C 6. C 7. B 8. C 9. B 10. A 11. B 12. A 13. D 14. D 15. A 16. A 17. A 18. A 19. A 20. D 21. B 22. D 23. B 24. B 25. C 26. C 27. A 28. C 29. B 30. A 31. B 32. D 33. C 34 C 35.1 604 800

35.2 2 400 36.1 48 36.2 480 39. 3% 40. 51 41. 0,2% 42.1 630

42.2 241 43. 0.12 44.

559 45. 10% 46.

71 47.1 72 47.2

92

48. 12621

49.1 126 49.2 212 50. 0.008 51.1 75 075

51.2 0.114 52.1 120 52.2 31 53.1 5 040 53.2

125

54.1 53 54.2

7513

55.1 3518

55.2 83 56.1 2 592 56.2 0,0015

57.1 70 57.2 51% 58. 20% 59. 52 60.1.1 3 628 800

60.1.2 103 680 60.2 151 62.1 0,0000079 64.1 1 656 64.2.1 10 350

64.2.2 2313

65.1 0,336 65.2 513 66. 4% 67. 64 084 800

68.1 4 845 68.2 6% 69.1 7 685 69.2 0,45 70. 0,0004 71.1 210

71.2 6 71.3 281 72.1 276 72.2 34% 73.2 0,3397 74.1

32

74.2 24340

75.1 4930

75.2 196 76.

111 77.1

81253

77.2 29

78.1.1 1

10 78.1.2

13 78.2 1701 79.1 0,24 80. C 81. A 82. D

83. C 84. 210 85.2 1019 86. D 87. C 88. B 89. A 90. C 91.1

14

91.2 Resposta II 92.1 1440 92.2 3135

92.3 No 93. B 94. B

95.1 67 95.2 14 96. D 97. C 98.1

1829

98.2 0,41 99. A

100.1 0,35 100.2 0,49 101. B 102. B

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Ficha de Trabalho 4 - Probabilidades - Análise Combinatória