Embed Size (px)
Citation preview
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: A resolução de problemas como recurso de aprendizagem da geometria plana.
Autora Rosinir Galvão.
Disciplina/Área (ingresso no PDE)
Matemática.
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Colégio Estadual Professora Eudice Ravagnani de Oliveira.
Município da escola Florestópolis.
Núcleo Regional de Educação
Londrina.
Professor Orientador Túlio Oliveira de Carvalho.
Instituição de Ensino Superior
Universidade Estadual de Londrina – UEL.
Relação Interdisciplinar Arte.
Resumo
Este trabalho tem como tema a Resolução de Problemas, sendo o seu principal objetivo utilizar a resolução de problemas como recurso de ensino-aprendizagem de conteúdos da geometria plana. Utilizaremos o roteiro apresentado por Allevato e Onuchic (2009) contemplando o aprendizado de conteúdos da geometria plana através da resolução de problemas, apresentando aos alunos, na introdução de um conteúdo, situações-problemas que sejam desafiadoras e exijam deles a necessidade de construir novos conceitos. Foram escolhidos sete problemas envolvendo o conteúdo de geometria plana retirados das provas das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP, que irão compor as atividades propostas aos alunos. Com este trabalho, pretendemos ainda incentivar os alunos a buscarem a construção de seus próprios conhecimentos, seguindo Hiebert & Behr (1989) apud Allevato & Onuchic (2009, p.10), ao afirmarem que “em lugar de se colocar o conhecimento como um pacote pronto e acabado, o ensino deveria encorajar os alunos a construírem seu próprio conhecimento”.
Palavras-chave Alunos; Resolução de Problemas; Geometria Plana.
Formato do Material Didático Unidade didática.
Público Alvo
Alunos do 7º ano do Ensino Fundamental da rede pública.
PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
ROSINIR GALVÃO
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO RECURSO DE
APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA PLANA
LONDRINA/PR
2012
ROSINIR GALVÃO
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO RECURSO DE
APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA PLANA
Produção didático-pedagógica
organizada na forma de unidade
didática, elaborada como um dos
requisitos necessários na
participação do Programa de
Desenvolvimento Educacional -
PDE.
IES: Universidade Estadual de
Londrina – UEL.
Orientador: Prof. Dr. Túlio Oliveira
de Carvalho.
LONDRINA/PR
2012
1 APRESENTAÇÃO
1.1 TEMA DE ESTUDO
Tendências metodológicas em Educação Matemática.
1.2 TÍTULO
A resolução de problemas como recurso de aprendizagem da geometria
plana.
1.3 JUSTIFICATIVA
A escolha por desenvolver conceitos e conteúdos de geometria através da
resolução de problemas surgiu com a constatação de que os conteúdos de
geometria têm sido pouco abordados no ensino básico de Matemática e por ter se
chegado ao diagnóstico de que esta metodologia pode vir a favorecer o
desenvolvimento da linguagem matemática dos alunos, bem como capacitá-los a
resolver problemas em diversas áreas.
Fizemos a opção por trabalhar a resolução de problemas abordando
conteúdos de geometria plana no Ensino Fundamental, uma vez que as Diretrizes
Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná para a disciplina de
Matemática recomendam que estes devam ser abordados através das tendências
em Educação Matemática, entre elas a resolução de problemas.
Devemos reforçar que essa metodologia não deve ser confundida com a
forma como a maior parte dos livros didáticos de Matemática utilizam a resolução de
problemas que, muitas vezes, fazem uma introdução de um determinado conteúdo
através de um problema de aplicação e, em seguida, apresentam uma série de
exercícios repetitivos e sem contextualização; ou ainda, aparecem ao final de cada
capítulo ou livro.
A forma como iremos trabalhar com a resolução de problemas consiste em
apresentar aos alunos, na introdução de um conteúdo, situações-problemas que
sejam desafiadoras e exijam deles a necessidade de construir novos conceitos.
1.4 PÚBLICO OBJETO DE INTERVENÇÃO
Alunos do 7º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Professora
Eudice Ravagnani de Oliveira.
1.5 OBJETIVOS
1.5.1 OBJETIVO GERAL
Utilizar a resolução de problemas como recurso de ensino-aprendizagem de
conteúdos da geometria plana.
1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
● Fazer uso de problemas desafiadores capazes de despertar o interesse dos
alunos pela Matemática;
● Estimular os alunos a raciocinarem e desenvolverem estratégias para
resolver, analisar e confrontar o resultado obtido;
● Explorar a capacidade de produção e independência dos alunos.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
As Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná para o
ensino da Matemática tem por proposta articular os conteúdos estruturantes com os
específicos em relações de interdependências que enriqueçam o processo
pedagógico a fim de abandonar abordagens fragmentadas.
Em relação à articulação dos conteúdos, Machado (1993, p.28) afirma que “o
significado curricular de cada disciplina não pode resultar de apreciação isolada de
seus conteúdos, mas sim do modo como se articulam”.
“No Ensino Fundamental, por exemplo, ao trabalhar os conteúdos de
geometria plana, vinculado ao conteúdo estruturante Geometrias, o professor pode
buscar em números e álgebra, mais precisamente no conteúdo específico equações,
elementos para abordá-los” (PARANÁ, 2008, p. 62).
Ainda segundo as diretrizes (PARANÁ, 2008, p.57), “na Educação Básica, a
Educação Matemática valoriza os conhecimentos geométricos, que não devem ser
rigidamente separados da aritmética e da álgebra”.
Entende-se que a valorização de definições, as abordagens de enunciados e
as demonstrações de seus resultados são inerentes ao conhecimento geométrico.
No entanto, tais práticas devem favorecer a compreensão do objeto e não reduzir-se
apenas às demonstrações geométricas em seus aspectos formais. (PARANÁ, 2008,
p.57)
A articulação dos conhecimentos geométricos com a aritmética e a álgebra
torna-se possível quando fazemos uso da tendência metodológica resolução de
problemas.
De acordo com D’Ambrosio (2003) apud Huanca (2008), pesquisas recentes
em psicologia e ciência cognitiva descrevem a aprendizagem como o processo de
dar sentido às ideias do indivíduo com base em suas compreensões. Teorias que
descrevem como as pessoas aprendem ou constroem conhecimento servem como
base para ensinar Matemática através da resolução de problemas.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1999) do Ensino
Fundamental, assim como do Ensino Médio (BRASIL, 2002), afirmam que os
problemas devem ser o ponto de partida para conduzir à formação dos conceitos,
antes de sua apresentação em linguagem matemática.
Para Dante (2003) apud Paraná (2008), “um dos desafios do ensino da
Matemática é a abordagem de conteúdos para a resolução de problemas. Trata-se
de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar
conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver a
questão proposta”.
Schoenfeld (1997) afirma que a resolução de problemas possibilita a
compreensão dos argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento
passível de ser apreendido pelos sujeitos envolvidos no processo de ensino e
aprendizagem.
Ainda, de acordo com Smole & Diniz (2001) apud Paraná (2008), cabe ao
professor assegurar um espaço de discussão no qual os alunos pensem sobre os
problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia, apresentem suas hipóteses e
façam o registro da solução encontrada ou de recursos que utilizaram para
chegarem ao resultado. Isso favorece a formação do pensamento matemático, livre
do apego às regras. O aluno pode lançar mão de recursos como a oralidade, o
desenho e outros, até se sentir à vontade para utilizar sinais matemáticos.
Segundo Onuchic (1999), o trabalho de ensino de matemática deve acontecer
numa atmosfera de investigação orientada em resolução de problemas; sendo que
os alunos devem se sentir desafiados a resolver certo problema, desejando fazê-lo.
Além disso, o problema deve levá-los a fazerem uso de seus conhecimentos
pré-existentes, exigindo que busquem novas alternativas, novos conhecimentos para
obter a solução, senão a atividade deixa de ser um problema.
Logo, “o problema não deve ser tratado como um caso isolado, mas como um
passo para alcançar a natureza interna da matemática, assim como seus usos e
aplicações” (ONUCHIC, 1999).
Ainda, no entendimento de Onuchic e Allevato (2004), “ensinar com
problemas é difícil. As tarefas precisam ser planejadas ou selecionadas a cada dia,
considerando a compreensão dos alunos e as necessidades do currículo”.
A resolução de problemas deve ter como ponto de partida situações reais,
procurando estabelecer relação com os conteúdos anteriores e, quando possível,
com outras disciplinas.
Allevato e Onuchic (2009) apresentam uma proposta de atividades que pode
servir como orientação aos professores interessados em trabalhar com essa
tendência metodológica. As etapas por elas elaboradas são:
●1ª Preparação do problema: nessa etapa o professor deve selecionar um
problema visando a construção de um novo conceito, lembrando que o conteúdo
matemático necessário para a resolução do mesmo não pode ter sido trabalhado em
sala de aula. Esse problema será chamado de “problema gerador” que é aquele
capaz de conduzir os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo
professor para aquela aula, através das suas etapas de resolução.
●2ª Leitura individual: o professor deve entregar uma cópia do problema para
cada aluno, solicitando que seja realizada sua leitura.
●3ª Leitura em conjunto: devem-se formar grupos e solicitar que seja feita
nova leitura do problema no grupo. Se houver no enunciado do problema palavras
desconhecidas pelos alunos, eles devem utilizar o dicionário.
●4ª Resolução do problema: os alunos em seus grupos devem ir em busca de
uma solução para o problema, num trabalho “cooperativo e colaborativo”.
●5ª Observar e incentivar: nessa etapa o professor não desempenha o papel
de transmissor do conhecimento, mas sim de mediador. Ele apenas observa,
analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo, levando os
alunos a pensar; enquanto os mesmos fazem tentativas em busca de uma solução
para o problema. Entretanto, é necessário que o professor ajude os alunos, quando
necessário, a resolver problemas secundários que podem aparecer durante a
resolução.
●6ª Registro das resoluções na lousa: representantes dos grupos registram
na lousa suas resoluções, estando certas ou erradas.
●7ª Plenária: os alunos discutem as diferentes resoluções propostas,
defendendo seus pontos de vista e esclarecendo suas dúvidas. Neste momento o
professor se coloca como mediador das discussões.
●8ª Busca do consenso: juntamente com os alunos o professor faz uma
tentativa de chegar a um consenso sobre o resultado correto. Observa-se aqui a
importância de não se usar a autoridade do professor para estabelecer o que é
correto. Em seu lugar, a discussão será o fio condutor.
●9ª Formalização do conteúdo: o professor registra na lousa uma
apresentação “formal”, organizada e estruturada em linguagem matemática,
padronizando os conceitos e os procedimentos construídos por meio da resolução
do problema. Destaca ainda as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações
das propriedades.
Escolhemos utilizar o roteiro apresentado por Allevato e Onuchic como uma
forma de orientação desse trabalho que contemplará o aprendizado de conteúdos da
geometria plana através da resolução de problemas.
Pretendemos, ainda, com esse trabalho, incentivar os alunos a buscarem pela
construção de seus próprios conhecimentos, pois segundo Hiebert & Behr (1989)
apud Allevato & Onuchic (2009, p.10), “em lugar de se colocar o conhecimento como
um pacote pronto e acabado, o ensino deveria encorajar os alunos a construírem
seu próprio conhecimento”.
3 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
Foram selecionados pelo professor PDE sete problemas envolvendo o
conteúdo de geometria plana retirados das provas das Olimpíadas Brasileiras de
Matemática das Escolas Públicas – OBMEP, que irão compor as atividades
propostas aos alunos.
Em cada uma das atividades propostas em sala de aula seguiremos as
etapas sugeridas por Allevato & Onuchic (2009), no que se refere à resolução de
problemas.
1ª etapa: Apresentação do “problema gerador” selecionado pelo professor aos
alunos;
2ª etapa: Os alunos irão realizar a leitura do problema de forma individual;
3ª etapa: Será realizada nova leitura do problema de forma coletiva, ou seja,
em duplas;
4ª etapa: Em duplas, os alunos irão tentar encontrar uma solução para o
problema proposto;
5ª etapa: O representante de cada dupla fará o registro da resolução do
problema na lousa;
6ª etapa: Os alunos discutem as diferentes resoluções propostas, através de
uma plenária;
7ª etapa: Juntamente com os alunos o professor procura chegar a um
consenso sobre o resultado correto;
8ª etapa: O professor faz a formalização do conteúdo.
Em todas as etapas de resolução de problemas a serem seguidas o
professor deve desempenhar o papel de mediador do conhecimento, auxiliando os
alunos a resolver problemas secundários que poderão surgir durante a resolução
sempre que se fizer necessário. Ainda, o professor deve observar e analisar o
comportamento dos alunos, além de estimular o trabalho colaborativo, levando-os a
pensar, enquanto os mesmos fazem tentativas em busca de uma solução para o
problema proposto. (Allevato & Onuchic, 2009)
4 ATIVIDADES
4.1 ATIVIDADE 1
Figuras no vazio
Joãozinho dobrou duas vezes uma folha de papel quadrada, branca de
um lado e cinza do outro, e depois recortou um quadradinho, como na figura.
Qual das figuras abaixo ele encontrou quando desdobrou
completamente a folha?
Fonte: Banco de questões OBMEP 2012.
Duração: 20 minutos.
4.2 ATIVIDADE 2
As duas peças de madeira a seguir são iguais.
Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como
mostra o seguinte exemplo.
Qual das figuras abaixo representa uma peça que NÃO pode ser
formada com as duas peças dadas?
Fonte: Prova OBMEP 2005.
Duração: 30 minutos.
4.3 ATIVIDADE 3
Tia Anastácia uniu quatro retângulos de papel de 3 cm de comprimento
por 1 cm de largura, formando a figura abaixo.
A) Qual é o perímetro da figura?
B) Qual é o menor número de retângulos de 3 cm de comprimento por
1 cm de largura que é necessário juntar a essa figura para se obter um
quadrado? Faça um desenho ilustrando sua resposta.
C) Qual é a área do quadrado obtido no item anterior?
Fonte: Prova OBMEP 2005.
Duração: 50 minutos (1 hora-aula).
4.4 ATIVIDADE 4
Márcia cortou uma tira retangular de 2 cm de largura de cada um dos
quatro lados de uma folha de papel medindo 12 cm por 20 cm. Qual é o
perímetro do pedaço de papel que sobrou?
Fonte: Prova OBMEP 2011.
Duração: 50 minutos (1 hora-aula).
4.5 ATIVIDADE 5
Triângulo sobre triângulo
Um quadrado de lado 3 cm é cortado ao longo de uma diagonal em
dois triângulos, como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras
dos itens (a), (b) e (c), nas quais destacamos, em cinza, a região em que um
triângulo fica sobre o outro. Em cada item, calcule a área da região cinza.
Fonte: Banco de questões OBMEP 2012.
Duração: 50 minutos (1 hora-aula).
4.6 ATIVIDADE 6
Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da seguinte
maneira: um quadrado de área 16 cm2, cinco quadrados de área 4 cm2 cada
um e treze quadrados de área 1 cm2 cada um. Qual era a medida do lado da
folha, antes de ela ser cortada?
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 7 cm
(E) 8 cm
Fonte: Prova OBMEP 2005.
Duração: 50 minutos (1 hora-aula).
4.7 ATIVIDADE 7
A figura mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em três
retângulos de mesma área. Qual é o perímetro do retângulo sombreado?
Fonte: Prova OBMEP 2009.
Duração: 50 minutos (1 hora-aula).
Os conteúdos matemáticos explorados durante a resolução dos problemas
propostos serão simetria, formas geométricas planas, perímetro e área de figuras
planas, operações fundamentais com números reais: adição, subtração,
multiplicação e divisão, retas perpendiculares, intersecção de retas, equivalência de
áreas e resolução por tentativa e erro. A abordagem por resolução de problemas
pode ser mais efetiva na sedimentação destes conceitos entre os saberes dos
alunos.
5 AVALIAÇÃO
A avaliação da aprendizagem será realizada durante o desenvolvimento
desse trabalho com o ensino de Geometria, mediante observações e interferências
da professora.
Os instrumentos de avaliação utilizados serão: observações, participações
nas plenárias e registros escritos das soluções para os problemas.
No que se refere aos registros escritos das possíveis soluções para os
problemas sugeridas pelos alunos, este ocorrerá em várias etapas, com a pretensão
de proporcionar um tempo para que o aluno possa vir a refletir sobre aquilo que já
havia escrito antes.
As notas serão atribuídas de acordo com o especificado no quadro abaixo e
corresponderá a nota de um bimestre:
Instrumentos de avaliação Atribuição de
notas
Observações 2,0
Participações nas plenárias 3,0
Registros escritos das soluções dos
problemas
5,0
TOTAL 10,0
REFERÊNCIAS
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, Brasília, MEC, 1999. _______. Parâmetros Curriculares Nacionais + Ensino Médio – Matemática, Brasília, MEC, 2002. HUANCA, R. R. H. Um olhar para a sala de aula a partir da Resolução de Problemas e Modelação Matemática. In: I Seminário em Resolução de Problemas. Rio Claro, 2008. Disponível em: http://www.rc.unesp.br/serp/ trabalhos.html. Acesso: 18 de maio de 2012. IMPA/OBMEP. Prova OBMEP 2005. Disponível em: http://www.obmep.org.br/
provas.htm. Acesso em: 07 out. 2012.
__________. Prova OBMEP 2009. Disponível em: http://www.obmep.org.br/
provas.htm. Acesso em: 09 out. 2012. __________. Prova OBMEP 2011. Disponível em: http://www.obmep.org.br/
provas.htm. Acesso em: 09 out. 2012. __________. Banco de Questões 2012. 2012. Disponível em: http://www.obmep.org.br/ provas.htm. Acesso em: 10 out. 2012. MACHADO, N. J. Interdisciplinaridade e Matemática. Revista Quadrimestral da Faculdade de Educação - Unicamp - Proposições. Campinas, n. 1 [10], p. 25-34, mar. 1993. ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap. 12, p.199-218. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org.) Educação Matemática: pesquisa em movimento. São
Paulo: Cortez, 2004. p. 212-231. PARANÁ, Governo do Paraná, Secretaria de Estado da Educação do Paraná, Departamento da Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica:
Matemática. Paraná: Governo do Paraná, 2008. Disponível em: <www.diadiaeducacao.pr.gov.br>. Acesso em 12/06/2012. SCHOENFELD, A. H. Heurísticas da sala de aula. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. A Resolução de Problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
