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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: OS JOGOS LOTÉRICOS COMO MEIO DE ENSINAR PROBABILIDADE
Autor Gilmar Krauczuk
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Colégio Estadual Barão de Capanema – Ensino Fundamental, Médio e Profissional
Rua Afonso Ditzel, 870
Município da escola Prudentópolis
Núcleo Regional de Educação
Irati
Professor Orientador Sebastião Romero Franco
Instituição de Ensino Superior
Universidade Estadual do Centro – Oeste (UNICENTRO)
Relação Interdisciplinar
Resumo
Esta Unidade Didática tem por finalidade apresentar alternativas que tornem o processo de ensino-aprendizagem mais significativo para os alunos da 2ª Série do Ensino Médio. Espera-se que os alunos consigam transferir estes conhecimentos cujo tema será o estudo das probabilidades, para outras áreas como Biologia, Estatística, Engenharias entre outras, e também para situações do cotidiano que exigem o conhecimento em probabilidades. Para tanto serão utilizados os jogos lotéricos (Loto-Fácil, Mega-Sena e Quina) como meio de efetivação do processo ensino e aprendizagem.
Palavras-chave Combinatória, Probabilidade, Jogos Lotéricos
Formato do Material Didático
Unidade Didática
Público Alvo Alunos da 2ª Série do Ensino Médio
PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIDADE DIDÁTICA
OS JOGOS LOTÉRICOS COMO MEIO DE ENSINAR PROBABILIDADE
Produção didático-pedagógica apresentada a SEED/SUED – PR, como requisito para o cumprimento das atividades previstas dentro do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado do Paraná, orientado pelo Professor Sebastião Romero Franco da UNICENTRO/Irati.
IRATI
2012
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: Gilmar Krauczuk
Área/Disciplina PDE: Matemática
NRE: Irati
Professor Orientador IES: Professor Sebastião Romero Franco
IES vinculada: Universidade Estadual do Centro – Oeste
Escola de Implementação: Colégio Estadual Barão de Capanema
Público objeto da intervenção: Alunos da 2ª Série do Ensino Médio
E-mail: [email protected]
INTRODUÇÃO
Para as Diretrizes Curriculares Estaduais (DCE’s), os alunos devem
compreender e significar os conhecimentos historicamente acumulados pela
humanidade, para que desta forma se tornem críticos e reflexivos. Sendo a
matemática uma das partes dessa estrutura de conhecimentos, esta deve contribuir
de forma efetiva na formação do aluno. Para tanto, a resolução de problemas é uma
ferramenta importante para que esta significação aconteça.
Porém, é possível afirmar que este objetivo não vem sendo atingido de
forma integral. Não se pode afirmar que seja devido ao método tradicional ainda
“empregado” por alguns profissionais ou por falta de interesse dos alunos ou pelo
fato de não conseguirem transferir estes conteúdos para situações do cotidiano. Por
isso, é de extrema importância o surgimento de novas ações para amenizar ou
sanar as dificuldades que se apresentam no processo de ensino-aprendizagem.
Esta produção didática tem por objetivo fundamentar a implementação do
Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola para implementação do professor
PDE. Desta forma, espera-se que os alunos consigam transferir estes
conhecimentos cujo tema será o estudo das probabilidades, para outras áreas como
Biologia, Estatística, Engenharias entre outras, e também para situações do
cotidiano que exigem o conhecimento em probabilidades.
Segundo as DCEs, Paraná (2008, p. 61) “No Ensino Médio, o conhecimento
denominado Tratamento da Informação é um meio para resolver problemas que
exigem análise e interpretação”. E ainda que “[...] o estudo da probabilidade permite
diferentes olhares sobre o mundo, o que leva a uma leitura diferenciada daquela de
determinismo e exatidão que, em geral, encontra-se na disciplina de Matemática”.
Diante das afirmações, considera-se que os alunos do Ensino Médio devem, após
tomar conhecimento das probabilidades, transferir esse conhecimento para outras
áreas e também para o cotidiano de forma significativa, mas ainda existem alunos
que não conseguem fazer esta transferência, pode ser devido ao uso constante de
fórmulas para a resolução de problemas, sem a preocupação de analisar, interpretar
e compreender a situação antes de buscar a solução ou ainda pode estar na
desmotivação dos alunos devido não conseguirem relacionar os assuntos com a
realidade que os rodeia.
A proposta conta com atividades que visam a aquisição de conhecimentos
sólidos para a disciplina, que serão desenvolvidos com os alunos da 2ª série do
Ensino Médio do Colégio Estadual Barão de Capanema – Ensino Fundamental,
Médio e Profissional do município de Prudentópolis – PR. Esta proposta se dará
através de 32 horas aulas.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em
certa medida, todos são matemáticos e fazem matemática inconscientemente em
decorrência das atividades cotidianas, já que na história da humanidade, a
matemática foi descrita, inicialmente, como a ciência da quantidade e do espaço. Os
matemáticos, devido à necessidade de comunicação, estabeleceram convenções,
criando o simbolismo relacionado ao cálculo das quantidades e às medidas do
espaço. E para que este conhecimento fosse passado de geração para geração, os
ensinamentos matemáticos deveriam ser praticados e atualizados de acordo com
momento vivido.
Por isso, é possível afirmar que a educação matemática vem sendo
praticada a milhares de anos. E a apropriação do conhecimento matemático
sistematizado é um dos instrumentos fundamentais para uma participação
consciente e crítica na sociedade. Logo, o acesso a esse conhecimento pode
contribuir para a criação de uma nova organização social, não apenas através do
ensino de regras e mecanismos, mas através da dimensão política contida na
própria relação entre o conteúdo e a forma da sua transmissão-assimilação.
Nas últimas décadas, o processo de ensino e aprendizagem não se
preocupou em fazer com que os alunos “enxergassem” a relação entre a teoria e a
prática, os professores e alunos simplesmente ficavam retidos em aplicações de
fórmulas, em repetições de exercícios, entre outros, e é devido a esta
despreocupação que surgiram nos últimos anos diversas pesquisas no sentido de
buscar e mostrar uma relação concreta entre o que é ensinado com a realidade da
sociedade.
Mas, como a sociedade vem passando por mudanças constantes, é
fundamental que o professor de matemática se mantenha atualizado, ou seja, deve
repensar periodicamente as suas práticas pedagógicas, para facilitar a
aprendizagem, tornando os alunos reflexivos e questionadores, possibilitando assim,
estes alunos aplicarem os conhecimentos adquiridos em outras áreas.
A efetivação desta proposta requer um professor interessado em desenvolver-se intelectual e profissionalmente e em refletir sobre sua prática para tornar-se um educador matemático e um pesquisador em contínua formação. Interessa-lhe, portanto, analisar criticamente os pressupostos ou as idéias centrais que articulam a pesquisa ao currículo, a fim de potencializar meios para superar desafios pedagógicos. (PARANÁ, 2008, p. 48)
Para tanto, o professor de matemática pode utilizar diferentes metodologias
que fundamental sua prática docente, sendo por meio da resolução de problemas,
modelagem matemática, mídias tecnológicas, etnomatemática, história da
matemática ou investigações matemáticas. Não sendo possível esquecer que uma
complementa a outra, mas dentre as tendências apresentadas pode-se destacar a
resolução de problemas, onde Dante (2003, p.60) afirma que:
Ao incentivar os alunos na resolução de problemas, devemos apresentar sugestões e insinuações, mas nunca apontar o caminho a ser seguido. É melhor transformar as informações que porventura forneceríamos em descobertas do aluno orientadas por nós. Alguns segundos de prazer da descoberta valem mais do que mil informações que possam ser transmitidas ao aluno.
Assim entende-se que o aluno além de resolver o que lhe foi proposto, deve
transferir os conhecimentos adquiridos para outras situações que envolvem a
realidade na qual está inserido. Por isso, o processo de ensino e aprendizagem dos
conteúdos da matemática deve assegurar aos alunos uma visão reflexiva sobre o
que lhe foi ensinado, para que estes tenham a oportunidade de utilizar estes
conhecimentos em outras situações do cotidiano, seja no âmbito escolar ou nas
situações diárias.
Neste sentido as DCE’s (2008, p.48) destacam que:
Pela Educação Matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade.
Assim, é necessário que os conteúdos ensinados na disciplina estejam
sempre contextualizados. Pois, para que os alunos do Ensino Médio possam
construir os conceitos de probabilidades há necessidade que os mesmos tenham
conhecimentos em Análise Combinatória e Estatística, pois:
A integração da probabilidade com a estatística possibilita “um ensino com características interdisciplinares”, de modo a oferecer ao estudante conhecimentos menos fragmentados por meio de experiências que propiciem observações e conclusões, contribuindo para a formação do pensamento matemático. (PARANÁ, 2008, p. 61)
Desta forma, é imprescindível que o professor busque alternativas para
tornar o processo de ensino e aprendizagem o mais favorável possível, e a
resolução de problemas propicia estas condições, pois além de fazer com que
professor e aluno estejam em constante discussão sobre o assunto, possibilita a
aprendizagem de maneira efetiva e significativa, como Smole & Diniz (2001, p.125)
afirmam que:
Para que os alunos sejam capazes de apresentar as diferentes maneiras que utilizam para resolver problemas, cabe ao professor propiciar um espaço de discussão no qual eles pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia e façam o registro da solução encontrada ou dos recursos que utilizaram para chegar ao resultado. Assegurar esse espaço é uma forma de intervenção didática que favorece a formação do pensamento matemático, livre do apego às regras e às crenças tão presentes nas aulas de matemática.
E ainda, a resolução de problemas facilita aos alunos uma conexão com as
diversas áreas do conhecimento, bem como com a realidade. Pois através desta
tendência metodológica se fazem questionamentos não somente ao assunto
abordado, mas também às suas aplicabilidades em situações do dia-a-dia.
Possibilitando que sejam levantadas hipóteses e argumentos sobre o assunto
tratado. Há necessidade que o professor, enquanto mediador do conhecimento
estabeleça condições para que, a partir dos problemas propostos, estes tenham
motivações para a resolução dos problemas.
Para que o professor tenha êxito é necessário, segundo Polya (2006),
observar as seguintes etapas:
Compreensão do problema;
Estabelecimento de um plano;
Execução do plano;
Retrospecto ou conferência de resultados
Esta mesma autora destaca também que:
Primeiro, temos de compreender o problema, temos de perceber claramente o que é necessário. Segundo, temos de ver como os diversos itens estão inter-relacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos a idéia da resolução, para estabelecermos um plano. Terceiro, executamos o nosso palno. Quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a. (POLYA, 2006, p. 4).
Os primeiros estudos sobre probabilidades se dão na Idade Média a partir
dos jogos de azar. Mas as primeiras considerações matemáticas sobre o assunto se
deram no século XVII que também foram motivados pelos jogos de azar, que deram
origem a Teoria das Probabilidades. A partir desta época o estudo das
probabilidades começou a fazer parte da matemática, sendo que seu avanço foi
acontecendo de acordo com a evolução da humanidade, e seus estudos voltados
para os fenômenos da incerteza, como Boyer (1996, p.436) afirma que “a teoria dos
conjuntos e a teoria da medida durante o século vinte invadiram uma parte sempre
maior da matemática, e poucos ramos foram tão completamente influenciados por
essa tendência quanto a teoria das probabilidades”.
Atualmente, a probabilidade está presente em várias situações do cotidiano,
como nas previsões meteorológicas, na economia, nos jogos, na Biologia, na
Psicologia, entre outros. Devido a esta aplicabilidade nas diferentes áreas do
conhecimento, a tornam essencial no currículo escolar, e é por isso que os alunos do
Ensino Médio devem compreendê-la de tal forma que possibilite a transferência de
seus conceitos para esses diversos campos de aplicação.
Por isso, este estudo se propõe em abordar as teorias das probabilidades
através de uma abordagem pedagógica que traga aos alunos do Ensino Médio, uma
aprendizagem significativa sobre o assunto. Sendo a resolução de problemas, o
principal meio para a motivação e também o fator dinâmico da prática, buscando
possibilitar a construção de um pensamento crítico dos alunos bem como despertar
o interesse e a curiosidade dos alunos em resolver situações problemas.
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A presente produção didático-pedagógica será desenvolvida no primeiro
semestre de 2013, no Colégio Estadual Barão de Capanema, com os alunos da 2ª
série do Ensino Médio em Prudentópolis – PR, a qual será acompanhada pela
direção e equipe pedagógica do colégio, bem como pelo professor orientador da
IES.
Para tanto serão elaboradas questões que visam a construção do
conhecimento combinatório e na sequência serão propostas situações problemas
que relacionam a probabilidade com os jogos lotéricos Loto-Fácil, Mega-Sena e
Quina, para que desta forma haja um favorecimento da aprendizagem. Neste
sentido é preciso que se leve em consideração todos os procedimentos adotados
pelos alunos, para que desta forma seja possível possibilitar aos alunos buscar a
solução através do raciocínio lógico, bem como através do levantamento de
hipóteses, e trabalhar os métodos matemáticos na resolução dos problemas com
uma análise comparativa entre os resultados.
Agindo desta forma, espera-se que os alunos consigam compreender os
conceitos combinatórios e de probabilidade e transferi-los para outras áreas do
conhecimento, bem como utilizar no seu cotidiano.
ATIVIDADES
Serão desenvolvidas 08 (oito) atividades, sendo que cada atividade será
composta por uma variedade de situações que visam a construção do conhecimento
combinatório e probabilístico.
1ª Atividade: Operações com números fatoriais
Objetivo: Identificar e operar algebricamente com fatoriais
Carga horária: 03 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno
Fatorial
Dado um número n natural (n 2), define-se fatorial de n, representado por n!, ao
produto de n fatores consecutivos de n a 1.
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . (...) . 3 . 2 . 1
Também define-se que:
0! = 1
1! = 1
Observação:
O fatorial de um número natural é uma operação aritmética que não admite certas
propriedades numéricas:
6! + 3! 9!
10! – 4! 6!
(4!) . (3!) 12!
!9
!18 2!
Atividade:
1) Efetue as operações:
a) 3! + 5! – 4!
b) !4
!8
c) !7!.5
!12
d) !4!.4
!8
e) !69
!71!70
2) Simplifique:
a) )!1n(
!n
b) )!2n(
)!1n(
c) )!2n(
)!4n(
d) )!1n(
)!3n(
e) )!1n(2)!n2(
)]!1n(2[!n2
3) Encontre conjunto solução das equações:
a) (n – 6)! = 720
b) 60n!
2)!(n
c) (n + 2)! + (n + 1)! = 24.n!
d) 15)!3n(
)!2n.(3
e) (2n – 5)! = 1
f) 13)!1n(!n
2)!1n()!1n(
g) 18)!2n(
)!1n.(2!n
h) )!1n(1n
!n
2ª Atividade: Princípio Fundamental da Contagem e a Árvore das
Possibilidades
Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através da árvore das
possibilidades e do princípio fundamental da contagem.
Carga horária: 02 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno
Princípio Fundamental da Contagem
Para a compreensão do assunto é importante que os alunos construam o
conhecimento a partir de uma situação problema. Como por exemplo:
O Departamento de Trânsito (DETRAN) do Brasil faz uso do seguinte sistema de
emplacamento: as placas dos veículos são codificadas utilizando-se 3 letras do
alfabeto (das 26 letras disponíveis) e 4 algarismos (dos 10 disponíveis). Qual o
número máximo de veículos que poderão ser licenciados? Em que momento o
DETRAN terá que alterar o sistema de emplacamento?
Solução:
Imaginemos uma placa genérica do tipo ATF-0529. Como o alfabeto possui 26 letras
(de A a Z) e o sistema de numeração possui 10 algarismos (de 0 a 9), pode-se
concluir que: para a 1ª posição, tem-se e 26 alternativas e para a 2ª e 3ª também
teremos 26 alternativas, pois é possível haver repetição. Com relação aos
algarismos, concluímos que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares.
Então o número total de veículos que podem ser licenciados é 26.26.26.10.10.10.10
que resulta em 175.760.000. Assim é possível concluir que o sistema de
emplacamento teria que ser modificado se no país existissem 175.760.001 veículos.
Portanto, se há x possibilidades ocorrer um evento A e existem y modos de ocorrer
um evento B, então o número de maneiras diferentes de ocorrer sucessivamente os
eventos A e B é dado pelo produto x.y, esta condição retrata o princípio fundamental
da contagem.
Árvore das Possibilidades
Em determinadas situações é possível descrever todas as possibilidades de
ocorrência de certo evento através da árvore das possibilidades, como por exemplo:
Quantos e quais são os resultados possíveis no lançamento de três moedas?
Sendo (C) cara e (K) coroa, temos:
1ª Moeda 2ª Moeda 3ª Moeda Resultado
C
C
C C,C,C
K C,C,K
K
C C,K,C
K C,K,K
K
C
C K,C,C
K K,C,K
K
C K,K,C
K K,K,K
Portanto, é possível concluir que teremos 8 resultados diferentes para o lançamento
de três moedas, como demonstrado acima.
Atividade:
1) Um restaurante oferece no cardápio 5 saladas distintas, 3 tipos de pratos de
carne, 6 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. A refeição de uma
pessoa será constituída por uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma
sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
2) Quantos números de 3 algarismos podemos formar empregando os algarismos 1,
2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?
3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os
algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?
4) Quantos números de 3 algarismos pares podemos formar empregando os
algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?
5) Quantos números de 3 algarismos distintos ímpares podemos formar empregando
os algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 8 e 9 ?
6) Para ir ao clube Junior deseja usar uma camiseta, uma bermuda, um par de tênis
e um par de meias. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas,
três pares de tênis e cinco pares de meias, de quantas maneiras distintas ele poderá
vestir-se?
7) Se as placas dos veículos fossem constituídas por 3 letras distintas
acompanhadas por 4 algarismos distintos. Qual seria o número máximo de veículos
que podem ser emplacados?
8) Os números dos telefones da cidade de Prudentópolis tem 8 algarismos cujos
primeiros dígitos são 3446. Qual o número máximo de telefones que podem ser
instalados na cidade?
9) Os organizadores das tradicionais “barraquinhas” de São João convidaram quatro
grupos folclóricos para se apresentarem nos últimos quatro dias de festejos.
Sabendo-se que a programação previa uma apresentação por dia, determine o
número de maneiras distintas que as apresentações podem ser programadas,
nesses quatro dias.
10) Uma prova é constituída por 10 questões, cada uma com duas alternativas para
serem escolhidas (verdadeiro ou falso). De quantas maneiras diferentes essa prova
poderia ser respondida?
11) Quantos números de pares com quatro algarismos distintos, podemos formar
com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
12) Entre 20000 e 60000 é possível formar quantos números com algarismos
distintos?
13) Utilizando o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, quantos números com algarismos
distintos existem entre 20000 e 60000?
14) Um determinado colégio possui 4 portas de entrada. De quantas maneiras ele
poderá estar aberto?
3ª Atividade: Arranjo Simples
Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através dos conceitos de arranjos
simples.
Carga horária: 02 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno.
Arranjos Simples
Existem inúmeros exemplos para abordar o assunto em questão, um deles pode ser
o seguinte: Considerando que a senha de um determinado cartão de crédito é
composta por 6 algarismos distintos. Considere a seguinte situação, se uma pessoa
esqueceu parte da sua senha, e somente consegue lembrar que o primeiro
algarismo é 5 e o último é 8. Quantas senhas são compostas nestas condições?
Sabendo que o caixa eletrônico permite 4 tentativas antes de bloquear o cartão, o
que seria mais viável: tentar descobrir aleatoriamente a senha ou ir até um dos
atendentes do banco e explicar a situação?
Solução
As senhas serão do tipo 5xyzt8. Para a posição x teremos 8 possibilidades, pois dois
algarismos, dos 10 disponíveis, são conhecidos, para a posição y 7 possibilidades,
para z 6 possibilidades e para a posição t 5 possibilidades, assim através do
Princípio Fundamental da Contagem teremos 8.7.6.5 que resulta em 1680 senhas
possíveis de serem formadas nas condições apresentadas no problema. Ou
poderíamos fazer um arranjo de 8 elementos tomados de 4 em 4, representado
matematicamente por A8, 4 ou 4
8A .
Assim é possível concluir que, seria viável ir atrás de um dos atendentes do banco e
explicar a situação, do que tentar descobrir aleatoriamente a senha e bloquear o
cartão.
Portanto se for dado um conjunto A com n elementos, chama-se arranjo simples dos
n elementos, tomados p a p, a qualquer seqüência de p elementos distintos formada
com elementos de A.
Indica-se por An, p ou p
nA com n p, a quantidade desses arranjos.
Como os agrupamentos são seqüências, elas diferem entre si:
pela ordem dos elementos – (a, b) (b, a)
pela natureza dos elementos – (a, b) (a, c)
Número de Arranjos
O número de arranjos simples dos n elementos tomados p a p pode ser calculado
pela fórmula
)!pn(
!nAp
n
Atividade:
1) Calcule o valor da expressão: 3
8
7
10
3
7 AAA
2) Encontre o valor de n que satisfaz as igualdades:
a) 30A2
n
b) An+2, 2 = 90
c) 4
3
A
A
3,n
3,1n
3) Julio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor
para cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de
tintas?
4) Considerando os algarismos de 1 a 8, quantos números de quatro algarismos
distintos podem ser formados?
5) Considerando os algarismos do nosso sistema de numeração, quantos números
de quatro algarismos distintos são múltiplos de 5?
6) O sistema de cadastramento de livros de uma certa biblioteca, é composto por
códigos que se utilizam de três letras distintas seguidas de dois algarismos distintos.
Sabendo-se que mesmo existindo livros repetidos não existem códigos repetidos,
determine quantos livros podem ser cadastrados?
7) De quantas maneiras diferentes é possível pintar as listras da bandeira abaixo,
utilizando uma cor para cada uma listras, sabendo-se que estão disponíveis 6
cores?
4ª Atividade: Permutações Simples e com Repetição
Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através dos conceitos de
permutações simples e com repetição.
Carga horária: 02 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno
Permutações Simples
Para introduzirmos o assunto em questão, poderíamos utilizar a seguinte
problematização: Se 5 pessoas chegam ao mesmo tempo ao posto de saúde, de
quantas maneiras poderíamos organizar uma fila indiana com estas 5 pessoas?
Solução
Para o primeiro lugar da fila teríamos 5 possibilidades, para o segundo 4, para o
terceiro 3, para o quarto 2 e para o último uma única possibilidade. Através do
Princípio Fundamental da Contagem teremos 5.4.3.2.1 resultando em 120
possibilidades de organizar a fila. Ou ainda, poderíamos fazer um arranjo simples de
5 pessoas, tomadas de 5 a 5, resultado em uma Permutação Simples de 5 pessoas,
representado matematicamente por P5 .
Por isso, sempre que for dado um conjunto A, formado por n elementos, chama-se
permutação simples dos n elementos de A a todo arranjo simples dos n elementos
tomados n a n.
Sendo Pn as permutações que podemos formar com n elementos, então
Pn = n
nA
Pn = n!
Observação:
O cálculo de permutações simples é conseqüência imediata do princípio
multiplicativo.
Permutações com Repetição
Se, na permutação de n elementos, existirem alguns elementos que apareçam
vezes, vezes, vezes, ..., o número de permutações com esses elementos
repetidos será:
!...!!
!nP ,...,,
n
Como por exemplo, se queremos descobrir de quantas maneiras é possível pintar 5
casas de um condomínio, dispondo de 4 cores diferentes, sendo que duas delas
deverão ter a mesma cor, teremos uma permutação com repetição, ou seja,
60P
3.4.5P
!2
!5P
2
5
2
5
2
5
Portanto, é possível pintar as 5 casas de 60 maneiras diferentes.
Atividade:
1) Calcule o valor da expressão: 456 P3PP
2) Determine o valor de n que satisfaz as igualdades:
a) Pn – 2 = 120
b) 42P 2n
n
b) 3n
PPP5 2n1n
n
3) Numa Van viajam 11 pessoas, das quais 3 podem dirigir. De quantas maneiras
diferentes é possível acomodá-las (3 no banco da frente, 4 no banco do meio e 4 no
banco de trás) de forma que uma das 3 que dirigem ocupe o lugar da direção?
4) Quatro meninas e quatro meninos vão juntos ao cinema, e encontram uma fileira
para oito lugares consecutivos. De quantas maneiras eles podem se sentar de forma
que não fiquem dois meninos ou duas meninas juntos?
5) Quantos anagramas podem ser formados com:
a) COLEGIO
b) PROFESSOR
c) ALUNO
d) DIDATICA
e) FUTURO
6) Quantos anagramas da palavra CELULAR:
a) começam por vogal;
b) começam e terminam por vogal;
c) começam com a letra L.
7) Quantos anagramas da palavra NUMERO não possuem vogais juntas?
8) Permutando-se os algarismos 1, 4, 5, 6 e 8 e escrevendo-os em ordem crescente
qual a posição do número 65841?
5ª Atividade: Combinações Simples
Objetivo: Desenvolver o raciocínio combinatório através dos conceitos de
combinações simples.
Carga horária: 02 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno
Combinações Simples
As combinações simples estão presentes em diferentes situações do nosso
cotidiano. Por isso é de fundamental importância que iniciemos o estudo das
combinações através de situações problemas. Como por exemplo: Pedro trabalha
em um bar e verifica que possui somente 7 tipos de bebidas, das quais utiliza
sempre 3 delas para preparar os coquetéis para seus clientes. Quantos coquetéis
diferentes podem ser preparados com as 7 bebidas disponíveis?
Solução
Observe que a ordem das bebidas não muda o coquetel servido, por isso, teremos
uma combinação de 7 bebidas, relacionando 3 a 3 delas, matematicamente teremos
3
7C , o que resulta a partir da fórmula em 35 tipos de coquetéis diferentes que
poderiam ser servidos.
E assim, sempre que é dado um conjunto A com n elementos, chama-se
combinação simples dos n elementos, tomados p a p, a qualquer subconjunto p
elementos distintos escolhidos entre os elementos de A.
Indica-se por Cn, p ou p
nC com n p, a quantidade desses subconjuntos.
Como os agrupamentos são subconjuntos, eles diferem entre si apenas:
pela natureza dos elementos componentes – {a., b} {a, c}
e não pela ordem de seus elementos {a, b} = {b, a}
Número de Combinações
O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p pode ser
calculado pela fórmula
!p)!pn(
!nCp
n
Observação:
Pode-se ainda relacionar a combinação simples, com arranjo simples pela relação:
!p
AC
p
np
n
Atividade:
1) Calcule o valor da expressão 5
8
3
8
7
10
3
7 CCCC
2) Encontre o valor de n nas igualdades:
a) 28C2
n
b) 10C2
1n
3) Se você possui a sua disposição 8 tipos de frutas, quantas tipos saladas de frutas
é possível fazer utilizando exatamente 4 frutas diferentes?
4) Uma determinada sala de aula tem 30 alunos, sendo 10 meninos e 20 meninas.
Será feita uma comissão de 6 alunos que representarão a turma, e para manter a
proporcionalidade ficou decidido que a comissão deverá ser formada por 2 meninos
e 4 meninas. Quantas comissões nessas condições poderão ser formadas?
5) Em uma circunferência são marcados 8 pontos distintos e eqüidistantes, quantos
segmentos de reta não colineares poderão ser traçados?
6) Em uma circunferência são marcados 8 pontos distintos e eqüidistantes, quantos
polígonos podem ser formados?
7) A Mega-Sena consiste em sortear 6 números, a cada sorteio, entre os números de
1 a 60. Para participar do sorteio é necessário escolher no mínimo 6 números e para
ganhar o prêmio máximo (sena) é preciso que o apostador acerte os 6 números
sorteados, mas também é possível ganhar algum “trocado” se acertar 5 números
(quina) ou 4 números (quadra) dos 6 escolhidos pelo apostador. Nessas condições:
a) Quantas apostas diferentes podem ser feitas para a Mega-Sena?
b) Se o apostador escolher 7 números num único cartão, o que é permitido de
acordo com as regras do jogo, estará fazendo o mesmo que apostar quantos cartões
com 6 números?
c) Fazendo uma aposta com 6 números, com quantas quinas diferentes o apostador
estará concorrendo?
d) Fazendo uma aposta com 6 números, com quantas quadras diferentes o
apostador estará concorrendo?
8) Para participar dos sorteios da Lotofácil é necessário marcar no mínimo 15
números, dos 25 disponíveis no cartão de aposta. Quantas apostas diferentes com
15 números podem ser feitas? E com 16 números?
9) Na Quina o apostador escolhe no mínimo 5 números ou no máximo 7 números,
entre os números de 1 a 80. Quantas apostas distintas poderão ser feitas com 5
números? E Com 7 números?
10) Com relação às questões 7, 8 e 9, e considerando que o valor das apostas
mínimas da Mega-Sena. Lotofácil e Quina tivessem o mesmo valor, qual das três
seria mais vantajoso arriscar a sorte? Por que?
6ª Atividade: Situações diversas envolvendo questões de combinatória
Objetivo: Identificar o método adequado de contagem que deve ser aplicado para a
resolução de problemas diversos.
Carga horária: 02 h/a em sala de aula e mais 02 h/a em contra turno
Diferença entre Arranjos Simples e Combinações Simples
Os arranjos simples e as combinações simples diferenciam-se pela mudança ou não
de ordem de seus elementos escolhidos nos agrupamentos.
Arranjos Simples – são seqüências, portanto (a, b) (b, a) (importa a ordem).
Por exemplo: Senhas, placas de carros, etc.
Combinações Simples – são subconjuntos, portanto {a, b} = {b, a} (não
importa a ordem). Por exemplo: Grupos de alunos, composição de comissões, etc.
Para exemplificar pode-se retornar as situações exemplos ou atividades da 3ª e 5ª
atividade.
Atividade:
1) Encontre a solução da equação 2
1n
3
n AC
2) Em um grupo de 8 amigos está acontecendo uma disputa. Os três que “tirarem”
as melhores notas do bimestre na disciplina de Matemática receberão como
“recompensa” um jantar, cada um, no melhor restaurante da cidade. Quantos são os
resultados possíveis, sabendo-se que não houveram notas repetidas?
3) Em um grupo de 8 amigos está acontecendo uma disputa. Os três que “tirarem”
as melhores notas do bimestre na disciplina de Matemática receberão como
“recompensa” o seguinte: 1ª melhor nota, uma viagem para a praia, 2ª melhor nota,
um jantar, e a 3ª melhor nota, um presente surpresa. Quantos são os resultados
possíveis, sabendo-se que não houveram notas repetidas?
4) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com 4 algarismos
distintos podem ser formados?
5) Dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, desses serão sorteados 4. Quantos são
os resultados possíveis?
6) Um técnico de futsal dispõe de 10 jogadores, 5 dos quais devem ser selecionados
para disputar o campeonato municipal. Se Tião não pode ficar de fora da equipe,
pois é o único goleiro entre os jogadores, e os demais jogam em quaisquer
posições, qual é o número total de equipes que poderão ser formadas?
7ª Atividade: Probabilidades e os Jogos Lotéricos
Objetivo: Compreender o conceito de probabilidade, bem como dominar os cálculos
que a envolvem.
Carga horária: 04 h/a em sala de aula
Probabilidade
Todos os princípios e fórmulas usados na Análise Combinatória podem também ser
usados aqui.
Para este assunto, a diferença é que, agora, não queremos apenas o número de
maneiras de realizar determinada tarefa, mas, sim, estamos interessados também
em descobrir a chance para que aleatoriamente possamos realizar essas tarefas.
Por exemplo:
Qual é a probabilidade de um casal que deseja ter dois filhos, ter primeiro um
menino e depois uma menina?
Espaço Amostral
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
Será representado pela letra maiúscula E. Em alguns casos poderá estar
representado pelas letras U ou .
Como exemplo é possível voltar a situação anterior, em que o casal deseja ter dois
filhos. O espaço amostra para tal situação, considerando M para menino e F para
menina, será E = {(M,M), (MF), (F,F), (F,M)}, totalizando 4 possibilidades, sendo
portanto n(E) = 4.
Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral. Assim, os elementos de um evento são
também elementos do espaço amostral. No entanto, o evento é formado apenas
pelos resultados que nos interessam.
Os eventos geralmente são representados pelas letras maiúsculas A, B, C, ...
Portanto, no exemplo dado o casal deseja ter primeiro um menino e depois uma
menina, assim teremos A = {(M,F)}, ou seja, uma única possibilidade de ocorrência,
sendo portanto n(A) = 1.
Evento Impossível
É o subconjunto vazio do espaço amostral.
Por exemplo, no lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6,
quais as possibilidades de termos o número 7 como resultado?
Como não existe o número 7 marcado em uma das faces do dado o evento é
impossível.
Evento Certo
O espaço amostral também é um evento. Ele é chamado de evento certo.
Por exemplo:
No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, quais as
possibilidades de termos como resultado um número natural menor que 7?
Como todos os números contidos nas faces dos dados são menores que 7 o evento
é certo.
Evento Complementar
Se A é um evento de um espaço amostral E, o complementar de A indica-se por A ,
é o evento formado pelos resultados de E que não pertencem a A.
A = { x / x E e x A}
Por exemplo:
No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, quais as
possibilidades de termos como resultado um número natural menor que 3?
Neste caso teremos o espaço amostral como sendo E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e o nosso
evento A= {1, 2}, sendo assim o evento complementar de A será A = {3, 4, 5, 6}.
Intersecção de Eventos
Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral E, a intersecção de A e B
indica-se por A B, é um evento formado pelos resultados comuns a A e B.
A B = {x E e x B}
Por exemplo:
No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, quais as
possibilidades de termos como resultado um número múltiplo de 2 e de 3
simultaneamente?
Sendo o espaço amostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e os eventos, A os números múltiplos
de 2, então A = {2, 4, 6} e B os números múltiplos de 3, B = {3, 6}. Teremos a
possibilidade de resultado um número múltiplo de 2 e de 3 simultaneamente
somente o número 6, ou seja, A B = {6}
União de Eventos
Sendo A e B eventos de um espaço amostral E, a união de A e B indica-se por A
B, é um evento formado pelos resultados de A ou de B.
A b = {x E / x A ou x B}
Por exemplo:
No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, quais as
possibilidades de termos como resultado um número múltiplo de 2 ou de 3?
Sendo o espaço amostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e os eventos, A os números múltiplos
de 2, então A = {2, 4, 6} e B os números múltiplos de 3, B = {3, 6}. Teremos a
possibilidade de resultados números múltiplos de 2 ou de 3 os seguintes números 2,
3, 4 e 6, ou seja, A B = {2, 3, 4, 6}
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando não apresentam resultados
em comum, ou seja:
A B =
Por exemplo:
No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, quais as
possibilidades de termos como resultado um número múltiplo de 2 e de 5
simultaneamente?
Sendo o espaço amostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e os eventos, A os números múltiplos
de 2, então A = {2, 4, 6} e B os números múltiplos de 5, B = {5}. Portanto, não
teremos a possibilidade de resultado um número múltiplo de 2 e de 5
simultaneamente, ou seja, A B = .
Probabilidade de ocorrer um evento
A probabilidade de ocorrer um evento A de um espaço amostral E representa-se por
p(A), é o número real dado por:
)E(n
)A(n)A(p
Onde
n(A) é o número de casos favoráveis, quanto à ocorrência de A;
n(E) é o número de casos possíveis do experimento.
Voltando a questão inicial, em que um casal que deseja ter dois filhos, ter primeiro
um menino e depois uma menina, qual é a probabilidade de isso ocorrer?
Solução:
)E(n
)A(n)A(p
Neste caso temos n(E) igual a 4 e n(A) igual a 1, portanto a probabilidade de ocorrer
o que o casal deseja é de 0,25, ou seja, 25%.
Propriedades das probabilidades
As seguintes propriedade são verificadas em qualquer experimento aleatório;
p(E) = 1 (evento certo)
p() = 0 ( evento impossível)
0 p(A) 1 (qualquer evento)
p(A) + p( A ) = 1
A probabilidade de ocorrer o evento A somada com a probabilidade de não ocorrer é
igual a 1 (100%)
Adição de Probabilidades
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades de
A e B, menos a probabilidade da intersecção de A com B.
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)
Por exemplo:
No lançamento de um dado, onde suas faces são numeradas de 1 a 6, qual a
probabilidade de termos como resultado um número múltiplo de 2 ou de 3?
Neste caso temos n(E) = 6, n(A) = 3, n(B) = 2 e n(A B) = 1, portanto p(A) = 6
3
p(B)
= 6
2 e p(A B) =
6
1, ficando, portanto, através da condição p(A B) = p(A) + p(B) –
p(A B), p(A B) = 6
4, o equivalente a
3
2, ou ainda a 66,67%.
Eventos Independentes
Dois eventos são independentes quando a informação da ocorrência de um evento
não altera a probabilidade de ocorrência do outro.
Matematicamente a independência entre dois eventos A e B pode se expressa pela
seguinte relação:
p(A B) = p(A) . p(B)
Por exemplo:
Lançando-se um dado duas vezes, com faces numeradas de 1 a 6, qual a
probabilidade de termos como resultado um número múltiplo de 2 na primeira jogada
e um múltiplo de 3 na segunda?
Neste caso temos n(E) = 6, n(A) = 3 e n(B) = 2, portanto p(A) = 6
3
e p(B) =
6
2
ficando, portanto, através da independência de dois eventos, p(A B) = p(A) . p(B),
p(A B) = 6
3.
6
2, o equivalente a
6
1, ou ainda a 16,67%.
Multiplicação de Probabilidades
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, a
probabilidade de ocorrência desse acontecimento é dada pelo produto das
probabilidades dos eventos componentes.
p = p(A) . p(B) . p(C)...
onde
p é a probabilidade resultante
p(A), p(B), p(C),... são as probabilidades dos eventos sucessivos e
independentes.
Exemplo:
Uma sala de aula é composta por 25 alunos, dos quais 10 são meninos e 15 são
meninas. Serão sorteados 3 brindes nesta turma, oferecidos pela escola, da
seguinte maneira, os nomes de todos os alunos serão colocados em uma caixa,
será sorteado o primeiro nome e entregue o prêmio. Coloca-se novamente o nome
da pessoa sorteada na caixa e faz-se o segundo sorteio, e para o terceiro prêmio
procedesse da mesma forma. Qual a probabilidade dos prêmios ficarem somente
com as meninas?
Neste caso temos os eventos A (ocorrência do primeiro prêmio), B (ocorrência do
segundo prêmio) e C (ocorrência do terceiro prêmio) independentes, ou seja, um
evento não influencia a ocorrência do outro, portanto teremos: p = p(A) . p(B) . p(C),
ou seja p = 25
15
.25
15
.25
15
, ficando p =
125
27
igual a 21,6%.
Atividade:
1) Em relação ao jogo da Mega-Sena que consiste no sorteio de 6 números, dos 60
disponíveis no cartão de aposta, responda:
a) Qual a probabilidade de acertar os 6 números, com uma aposta de 6 números?
b) Qual a probabilidade de acertar 5 números (quina), com uma aposta de 6
números?
c) Qual a probabilidade de acertar 4 números (quadra), com uma aposta de 6
números?
d) Uma pessoa sonhou com 3 números que sairiam no próximo sorteio, e eles
realmente saíram. Supondo que esta pessoa fez uma aposta com 6 números, sendo
três deles os quais havia sonhado, qual a probabilidade dessa pessoa ganhar o
prêmio máximo? A Quina? A quadra?
e) Se você faz a seguinte aposta 02 – 11 – 23 – 32 – 35 – 56, e seu amigo a
seguinte 01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 06, quem tem maiores chances de ganhar algum
prêmio?
f) Quantas vezes maiores são as chances de ganhar de quem aposta em 15
números?
2) Em relação as extrações da Lotofácil que consiste no sorteio de 15 números, dos
25 disponíveis no cartão de aposta, responda:
a) Qual a probabilidade de acertar os 15 números, com uma aposta de 15 números?
b) Qual a probabilidade de acertar 14 números, com uma aposta de 15 números?
c) Qual a probabilidade de acertar 13 números, com uma aposta de 15 números?
d) Qual a probabilidade de acertar 12 números, com uma aposta de 15 números?
e) Qual a probabilidade de acertar 11 números, com uma aposta de 15 números?
f) Qual a probabilidade de acertar os 15 números sorteados com uma aposta de 18
números? Sua chance de ganhar aumenta, em porcentagem, quanto em relação a
uma aposta de 15 números?
g) Sabendo-se que os sorteios ocorrem 3 vezes por semana (segunda, quarta e
sexta-feira), que dará uma média de 156 sorteios por ano. Supondo que em todos os
sorteios os resultados são diferentes, quanto tempo levaria para esgotar todas as
possibilidades de resultados?
3) Em relação aos sorteios da Quina que consiste no sorteio de 5 números, dos 80
disponíveis no cartão de aposta, responda?
a) Qual a probabilidade de acertar os 5 números, com uma aposta de 5 números?
b) Qual a probabilidade de acertar 4 números, com uma aposta de 5 números?
c) Qual a probabilidade de acertar 3 números, com uma aposta de 5 números?
d) Qual a probabilidade de acertar os 5 números, com uma aposta de 8 números?
4) Se você fosse fazer uma aposta em algum dos jogos lotéricos apresentados nas
questões anteriores, em qual você apostaria? Justifique sua resposta.
5) Se a Lotofácil mudasse as regras, em vez de sortear 15 números dos 25,
sorteasse apenas 10 números dos 25, qual seria a sua chance de acertar os 10
números em uma aposta com 10 números? Sua chance de ganhar o prêmio máximo
mudaria? Por quê?
6) Se a Mega-Sena mudasse as regras, em vez de sortear 6 números dos 60,
sorteasse 54 números dos 60, qual seria a sua chance de acertar os 54 números em
uma aposta com 54 números? Sua chance de ganhar o prêmio máximo mudaria?
Por quê?
8ª Atividade: Pesquisa sobre as reais possibilidades de ganhar jogos lotéricos
Objetivo: Perceber que a previsão de resultados é uma das características da
probabilidade e discutir sobre fatos que norteiam os princípios da probabilidade.
Carga horária: 03 h/a em contra turno
Atividade:
Neste momento os alunos irão trabalhar no laboratório de informática, primeiro com
o texto “Como não ganhar na Mega-Sena” que se encontra disponível em
http://www.sigmasociety.com/artigos/jose_antonio_francisco_megasena.pdf, para
que a partir do texto possam compreender as reais chances de ganhar em jogos
lotéricos. Na sequência será entregue para cada aluno, um cartão de cada um dos
jogos lotéricos trabalhados em sala de aula, Mega-Sena, Lotofácil e Quina, para que
façam uma aposta mínima para cada um dos cartões. Em seguida será pedido que
visitem a página http://www1.caixa.gov.br/loterias , para que a partir dos dados que o
site possui, possam verificar se os números por eles marcados já foram sorteados
em um mesmo sorteio. Por fim, os alunos serão questionados sobre a importância
da internet e de seus meios de pesquisas, para que a partir dessa importante
ferramenta tecnológica possam “tentar” encontrar respostas ou fórmulas “mágicas”
de ganhar em jogos lotéricos, e com isso discutir sobre as possibilidades de se
tornar o mais novo milionário do Brasil.
REFERÊNCIAS
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2003. FRANCISO, J. A. Como não ganhar na Mega-Sena. Disponível em
http://www.sigmasociety.com/artigos/jose_antonio_francisco_megasena.pdf. Acesso em 21/11/2012. LOTERIAS DA CAIXA. Resultados. Disponível em http://www1.caixa.gov.br/loterias.
Acesso em 21/11/2012 PARANÁ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: Secretaria de Educação do Estado do Paraná, 2008.
POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Editora Interciência, Rio de Janeiro,
2006. SMOLE, K.S. e DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Editora Artmed, 2001.