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1/9 Fiche d’exercices 3 : Fonctions à plusieurs variables Mathématiques PACES - Année universitaire 2018/2019
PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - Toulouse(France) - http://www.physique-et-maths.fr
Fiche d’exercices 3 : Fonctions à plusieurs variables
Fonctions à plusieurs variables
Exercice 1 :
Soit la fonction 22 823),,( zxyzxzyxf
1. yzyx
f26
2. x
z
f2
3. zxy
f163 2
4. 2163 zx
y
f
5. yxzx
f26
Exercice 2 :
Soit la fonction t
yxetyxf t
2
3),,(
1. t
ex
x
f t3
2
2. 2
3
xt
e
x
f t
3. 2
23 13
t
tyxe
x
f t
4. Différentielle de f : dt
t
tyxedy
t
xedx
t
exdf tt
t
223
23
3 132
5. Différentielle de f : dt
t
tyxedy
t
edx
t
exdf t
tt
223
33 132
Exercice 3 : Soit l’équation d’une mole de gaz parfait PV = nRT, où P, V, n et T représentent respectivement la pression, le volume, le nombre de mole et la température absolue. R est une constante.
1. P
n
T
V
2.
V
nRT
V
P
3. n
V
P
T
4. 2RT
PV
T
n
5. 2RT
PV
T
n
Exercice 4 :
Soit l’équation g
LT 2
1. LgL
T
2.
LgL
T
2
3. 2g
gL
g
T
4.
TL
g 2
4
5. 2
216
T
L
L
g
Exercice 5 :
Soit la fonction 2
,,yz
yxzyxf
1. 2
1,,
yzzyx
x
f
2.
42 2
,,yz
yzyxyzzyx
y
f
3. 2
1,,
yzzyx
x
f
4.
32
,,yz
yxyzzyx
y
f
5.
dzyz
yxdy
yz
xyzdx
yzdf
332
2221
Exercice 6 :
Quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) :
1. yz
yxxzyxf
45,, alors
yz
yzyxf
x
f
45,,
2. yz
yxxzyxf
45,, alors
245
,,yz
xyxzyxf
x
f
3. zyyxzyxg 45,, 2 alors zyyzyxfx
g45,,
4. zyyxzyxg 45,, 2 alors 29,, yxzyxfx
g
5. yx
zzyxh
2
3,, alors
22
1,,
yxzyxf
y
h
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Exercice 7 :
Soit f la fonction telle que xyyxf ln.2exp, :
1. La fonction f est définie sur ℝ+
2. La fonction f s’annule pour le point de coordonnées 0;0;0
3. x
y
x
f 2exp2
4. x
y
x
f 2exp
5. xyy
fln.2exp2
Exercice 8 :
Exercice 9 :
Exercice 10 :
Exercice 11 :
Exercice 12 :
Exercice 13 :
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Exercice 14 :
Exercice 15 :
Exercice 16 :
Exercice 17 :
Exercice 18 :
Exercice 19 :
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Exercice 20 :
Exercice 21 :
Exercice 22 :
Exercice 23 :
Exercice 24 :
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Exercice 25 :
Exercice 26 :
Exercice 27 :
Exercice 28 :
Exercice 29 :
Exercice 30 :
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Exercice 31 : A. Le graphe qui représente une application partielle est une section d’une surface par un
plan vertical.
B. La différentielle est représentée par une hypersurface. C. Le point critique est systématiquement un extremum sur la courbe.
D. Soit f la fonction définie par ykxex
yxf 322, et k un réel.
Sa différentielle est telle que : dyedxkxex
df ykx 32
322 2
.
E. Soit zy
yxzyxf 2
13,, 2 . La différentielle s’annule au point 0;2;0K , la courbe
admet donc au moins un extremum.
Exercice 32 :
A. Soit f une fonction définie par xeyzzxzyxf 22
2
34,, .
Sa dérivée partielle est xeyzxdz
df 34 2
B. Soit f une fonction définie par la fonction yxxyxf coscos,
Sa dérivée partielle est yxxyxdx
dfsincossincossin
C. xy sin.cos est strictement décroissante sur
0;
2
D. Si la différentielle de 0,, zyxf au point A, l’étude de ses différentes dérivées partielles
autour de xA, yA et zA peut permettre d’affirmer ou de réfuter qu’un extremum existe.
E. . Si la différentielle de 0,, zyxf au point A, l’étude de ses différentes dérivées
partielles autour de xA, yA et zA ne peut pas permettre d’affirmer ou de réfuter qu’un
extremum existe.
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Sujets de concours / Concours blanc QCM 1 : Maraîchers Janvier 2014
QCM 2 : Maraîchers Janvier 2013
QCM 3: Purpan janvier 2013
QCM 4 : Purpan janvier 2015
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QCM 5 : Maraîchers Janvier 2012
QCM 6 : Rangueil janvier 2014
QCM 7 : Maraîchers Janvier 2013
QCM 8 : Rangueil Janvier 2016
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QCM 9 : Purpan Janvier 2017
QCM 10 : Purpan Janvier 2016
QCM 11 : Maraichers Janvier 2015
QCM 12 : Maraichers Janvier 2011