Upload
rhea-cook
View
31
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II. http://stein.upce.cz/ ms fei 14 . html http:// stein .upce.cz/ fei /fIfei_06.html. Doc. Milo š Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029. Hlavní body. Obecné analogie gravitačního a elektrického pole - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
04. 04. 2016 1
FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II
http://stein.upce.cz/msfei16.htmlhttp://stein.upce.cz/fei/fIfei_06.html
Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029
04. 04. 2016 2
Hlavní body• Obecné analogie gravitačního a elektrického pole• Souvislost potenciální energie a síly a potenciálu a
intenzity• Gradient • Ukázky řešení typických problémů
• Gravitační a tíhová zrychlení, tíha• Pohyb hmotných těles v gravitačním poli• Použití potenciální energie
• Soudobé názory na gravitaci
04. 04. 2016 3
Konzervativní pole
• Řada vlastností gravitačního a elektrostatického pole je analogická, ale gravitační pole se nedá odstínit.
• Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule.
04. 04. 2016 4
Existence potenciální energie• Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce
potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti částice v těchto dvou bodech.
• Tato vlastnost se nazývá potenciální energie Ep.
BApp
ppBA
WAEBE
AEBEW
)()(
)()(
04. 04. 2016 5
Existence potenciálu• Potenciální energii lze dále napsat jako
součin vlastnosti částice, náboje nebo hmotnosti a jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech.
• Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g.
04. 04. 2016 6
Práce v gravitačním poli• Přesune-li například nějaký vnější činitel
částici s hmotností m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :
)]()([)()(, ABmAEBEW GGppBAm
04. 04. 2016 7
Práce v elektrickém poli• Přesune-li například nějaký vnější činitel
částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :
• UAB naměříme, když propojíme bod A s - nebo COM a bod B s + nebo V zdířky voltmetru.
ABEEppBAq qUABqAEBEW )]()([)()(,
04. 04. 2016 8
Potenciál shrnutí I
• Pro potenciální energii částice obecně platí :
• Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep definovanou podle druhu pole :
)()( rmrE gpg
)()( rqrE epe
BApp WAEBE )()(
04. 04. 2016 9
Potenciál shrnutí II• Ve většině praktických případů nás zajímá
rozdíl potenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětí U :
UAB (B)-(A)• Pomocí napětí je vykonaná práce :
W(A->B)=q UAB
04. 04. 2016 10
Potenciál shrnutí III• Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité
částici tedy platí :
W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUAB
• Je důležité si uvědomit principiální rozdíly :• Mezi potenciálem, což je vlastnost pole,
potenciální energií částice v poli a napětím.• Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo
polem
04. 04. 2016 11
Důsledky existence potenciálu• Díky existenci potenciálu je možné přejít od
popisu příslušného pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů
• Stačí nám jen třetina informací• Superpozice vede na prostý aritmetický součet • Některé výrazy lépe konvergují
)()( rrE
rrrrE 11 )()( 2
04. 04. 2016 12
Elektrické jednotky
• Jednotkou potenciálu i napětí U je 1 Volt.• [ ] = [Ep/q] => V = J/C• [E] = [/d] = V/m• [] = [k q/r] = V => [k] = Vm/C => [0] = CV-1m-1
04. 04. 2016 13
Obecný vztah • Obecný vztah je analogický u elektrického i
gravitačního pole:
• Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor :• Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu
funkce f.• Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f,
kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost.
)(E
)()( rgradrE
04. 04. 2016 14
Gravitační pole v blízkosti Země I• Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze pro
zjednodušení charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačním zrychlením :
• Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na rotaci Země, dostáváme měřitelné tíhové zrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2.
• Na nízkých drahách družic ~100 km je g podobné.
002)( rar
RMrE g
Zg
04. 04. 2016 15
Gravitační pole v blízkosti Země II• Ve vztahu vystupuje součin M. Gravitační konstanta
se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. • Dostatečně jednoduše a citlivě měřit lze například na
torzních vahách. Díky tomu se v laboratoři ‘váží‘ nebeská tělesa.
• Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky hlavně v důsledku lokálních nehomogenit hmotnosti povrchu Země. Toho se využívá při geologickém průzkumu.
04. 04. 2016 16
Gravitační pole v blízkosti Země III
• Je-li již známá lze vesmírná tělesa vážit z pohybu jejich oběžnic. Zemi tedy z z pohybu Měsíce, ale též z gravitačního zrychlení.
• Příklad : Určete M a M z a g.
kgRa
M g 242
1098.5
333
2
105.543
43 mkg
Ra
RRa gg
M
04. 04. 2016 17
Potenciál I• Potenciál v jistém bodě centrosymetrického
gravitačního pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice :
• Potenciál v kalibraci C = 0 :C
rMmrmrEp )()(
rMr )(
04. 04. 2016 18
Potenciál II• Obecně je pohodlnější popisovat gravitační
pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu :
• V centrosymetrickém případě tedy :))(())(()( rrgradrE
drrdrE )()(
04. 04. 2016 19
Zákon zachování energie I• Práce dodaná do systému se rovná přírůstku
jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie.
• Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li práce kladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstem energie potenciální
pk EEEW
04. 04. 2016 20
Zákon zachování energie II• Je-li práce dodaná do systému nulová
zachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie).
• Jeden druh energie se ale může měnit v druhý.
• V těsné blízkosti Země :0 pk EEE
mghmv
2
2
04. 04. 2016 21
Pohyb satelitů I• Obecně se tělesa otáčejí kolem společného těžiště.• Je-li satelit podstatně lehčí než centrální těleso lze
společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa.
• Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :
2
2
rmM
rmv
04. 04. 2016 22
Pohyb satelitů II
• Můžeme například vyjádřit rychlost oběhu :
• Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:
rMrv )(
MrTrT
vrT
rM
2
3
2222 442
04. 04. 2016 23
Pohyb satelitů III• Jsou-li hmotnosti obíhajícího a obíhaného
tělesa srovnatelné, musí se uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu ‘centrálního’ tělesa.
• Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd.
• Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (1780, 818 letos!).
• http://en.wikipedia.org/wiki/Discoveries_of_exoplanets
04. 04. 2016 24
1. Kosmická rychlost • 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu po kruhové dráze
těsně u povrchu vesmírného tělesa. • Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát
kopíruje povrch tělesa. • Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá
atmosféru, třeba u Měsíce.• V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní, těleso by
bylo atmosférou zbržděno a shořelo by:19.7 skmaRv gR
MI
04. 04. 2016 25
2. Kosmická rychlost• 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při
které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna • Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou
• Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.
122
2.112
skmvRMmmv
RM
II
04. 04. 2016 26
3. Kosmická rychlost• 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při
které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna • Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je
• Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země.• Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst
obvodovou rychlost Země, tedy cca 30 km/s.
122
2.422
skmvr
mMmvsz
srM
IIsz
s
04. 04. 2016 27
Proč shořela Columbie I• Kinetická a potenciální energie satelitu jsou
spolu svázány a celková energie je :
• Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:
rmM
rmM
rmM
rmMmvE
222
2
rMv
2p
k
EE
04. 04. 2016 28
Proč shořela Columbie II• Podle předchozího se celková energie satelitu
musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom :• se zvětší její vzdálenost od Země• její rychlost se zmenší (!)
• Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale roste rychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovské teploty.
04. 04. 2016 29
Moderní teorie gravitace I• Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a
setrvačné hmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval v roce 1915 obecnou teorii relativity. • Podle ní hmotnost zakřivuje časoprostor ve svém okolí. • Experimentálními potvrzeními této teorie jsou
například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčení roviny oběhu Merkura.
04. 04. 2016 30
Moderní teorie gravitace II• To v důsledku znamená, že uspořádáním hmoty je
definováno uspořádání časoprostoru. V časech Einsteina se automaticky předpokládalo, že vesmír a tedy i časoprostor je statický. Ale• Ve 30. letech bylo zjištěno, že se vesmír rozpíná - Hubbleův
zákon a vyvstala otázka počátku vesmíru • V roce 1964 bylo objeveno reliktní záření ~3K, které silně
podpořilo model Velkého třesku• Koncem 60. let bylo zjištěno, že rychlosti pohybu
galaktických ramen neodpovídají rozložení viditelné hmoty - temná hmota a rozpínání vesmíru vyžaduje existenci neviditelné - temné energie.
Skalární součin Ať Definice I (ve složkách)
Definice II
n
iiibac
1
cosbac
bac
Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^
Příklad - potenciál I• Spočítejme práci, kterou musíme (jako
vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z rA do rB v centrálním poli jisté hmotnosti M.• Protože gravitační síla je radiální, závisí jen na
změně vzdálenosti od tělesa a práci musíme dodávat jen při zvětšování r:
B
A
r
r
B
A
B
ABA drrFrdrFdWW )()(
Příklad - potenciál II
Tuto práci chápeme jako přírůstek potenciální energie
srovnáním
)11(2AB
r
rBA rr
mMdrrmMW
B
A
)()( AEBEW ppBA
rmMrEp
)(
Příklad - potenciál III• Práce dodaná tělesu vnějším činitelem zvýší
jeho potenciální energii. Tu obecně definujeme včetně integrační konstanty C, dané kalibrací:
• Často předpokládáme, že potenciální energie
v nekonečnu je nulová, což odpovídá C=0 :
CrMmrEp )(
rmMrEp
)(^
Gradient I
Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os .
Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .
)(],,[)( rzf
yf
xfrfgrad
ld
Gradient II
Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu.
Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f !!!
))(()()( rfgradldrfldrf
^
ld
První kosmická rychlost pro Měsíc
Takové rychlosti může dosáhnout speciální střela a rozhodně také molekuly plynu, který by tvořil atmosféru Měsíce.
Proto Měsíc atmosféru nemá a ani by se ji tam nepodařilo vytvořit.
smRMv
M
MIM /1197
10467.31037.71067.6
6
2211
^
Relativistické efekty při urychlování elektronu
• Relativistické efekty se začínají výraznějiprojevovat, dosáhne-li rychlost
c/10= 3 107 ms-2.• Jaké urychlovací napětí je potřebné k
dosažení této rychlosti ?• Ze zachování energie : mv2/2 = q U
U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV !
^
Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj?
Přebytečný náboj :
^
eCq 1459 102103.3109/10
Celkový a přebytečný /celkový náboj :
)(!10/
108.28.55
261002.6
9
2323
t
t
eq
Korekce g na rotaci Země I
Srovnejme tíhu tělesa na pólu a na rovníku :
]4642;864003600*24[
0337.0
~)(
1
22
22
msTRvsT
msRva
amRvam
RmvmaG
maG
Z
ZRg
gZR
gZR
gR
gP
^
Korekce g na rotaci Země IIPřesný výpočet vyžaduje vzít v úvahu zploštění Země, na
rovníku cca 21 km.V zeměpisných šířkách mezi rovníkem a pólem je nutno vzít v
úvahu i fakt, že odstředivé zrychlení působí kolmo k ose otáčení, takže výsledné tíhové zrychlení nesměřuje přesně do středu Země.
^
Gravitační zrychlení ve výšce 200 kmPoměr gravitačního zrychlení ve výšce 200 km, kde již létají některé
družice je :(Rz/(Rz+200))2 = 94 %
Je tedy téměř stejné jako na Zemi, takže například raketa, která vynáší družici na nízkou oběžnou dráhu se ze zemského gravitačního pole nijak výrazně nevymaní.
^