Figura 4.1 Transformaci£³n de fuentes antonio/circuitos_u_4_es.pdf Una transformaci£³n de fuente es

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  • UMSNH Circuitos Eléctricos I FIE Unidad 4

    Dr. Antonio Ramos Paz 1

    Unidad 4

    Otras Técnicas de Análisis 4.1 Transformación de fuentes Una transformación de fuente es un proceso de reemplazar una fuente de voltaje V en serie con una resistencia R , por una fuente de corriente I en paralelo con una resistencia R , o vicerversa, tal y como se observa en la Figura 4.1.

    Figura 4.1 Transformación de fuentes independientes

    La transformación de la fuente requiere,

    V IR= (4.1) o

    VI R

    = (4.2)

    Ejemplo: Use la transformación de fuente para encontrar ov en el circuito de la Figura 4.2.

    Figura 4.2

    Solución 1) Aplicando dos transformaciones de fuentes, se tiene,

    2) Realizando una segunda conversión de fuentes,

    3) Simplificando,

    4) Aplicando un divisor de corriente para determinar la corriente en la resistencia de 8 Ω, se tiene que

    ( ) 8

    2 2 2 A 2 8 5R

    i Ω = =+

    5) Por lo que el voltaje buscado es,

    V + −

    R a

    b

    I R

    a

    b

    2Ω

    8Ω4Ω 12V

    + −

    3Ω

    ov +

    −3A

    2Ω

    8Ω 4Ao

    v +

    4Ω

    − +12V

    3Ω 2Ω

    4Ao v +

    −2A 8Ω

    2Ω ov +

    −2A 8Ω

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    ( ) 2 168 A V 5 5o

    v  = Ω =   

    La Figura 4.3(a) muestra el archivo de simulación en pspice, en tanto que la Figura 4.3(b) muestra el archivo de resultados, en donde se aprecia que el voltaje en el nodo 2 (voltaje nodal de interés) es de 3.2 V, el cual coincide con el voltaje calculado. R1 1 0 4 R2 1 2 2 R3 2 0 8 R4 2 3 3 I1 1 0 DC 3 V1 3 0 DC 12

    NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) -1.8667 ( 2) 3.2000 ( 3) 12.0000

    a) b) Figura 4.3

    Ejemplo: use la transformación de fuente para encontrar xi en el circuito mostrado en la Figura 4.4.

    Figura 4.4

    Solución. 1) Realizando la transformación de la fuente dependiente de corriente por una fuente dependiente de corriente se tiene

    2) Que puede ser visto como una sola fuente de corriente, de la siguiente manera,

    3) Calculando la corriente xi por medio del divisor de corriente, se tiene que,

    ( )24 5 5

    10 5

    x

    x

    i i

     −   =

    +

    Realizando operaciones

    20 A 17x

    i =

    Adicionalmente a las transformaciones de fuentes, existen también transformaciones de elementos que permiten reemplazar una conexión de varios elementos por un equivalente, lo cual simplifica el análisis de ciertos circuitos. A continuación se muestran algunos circuitos equivalentes.

    10Ω 4A 2 xi

    − +

    5Ω

    ov +

    − xi

    10Ω 4A 2

    5 x i

    xi

    5Ω 10Ω24

    5 x i−

    xi

    5Ω

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    Tabla 4.1 Conexión en serie de dos resistencias

    Conexión en paralelo de dos resistencias

    Conexión en serie aditiva de dos fuentes de voltaje

    Conexión en serie sustractiva de dos fuentes de voltaje

    Conexión en paralelo de dos fuentes de corriente con la misma polaridad

    Conexión en paralelo de dos fuentes de corriente con distintas polaridades

    1R

    2R

    1 2R R+

    1R 2R 1 2

    1 2

    R R R R+

    + −

    + −

    1V

    2V

    + − 1 2

    V V+

    + −

    − +

    1V

    2V

    + − 1 2

    V V−

    1I 2I 1 2I I+

    1I 2I 1 2I I−

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    4.2 Linealidad y superposición La linealidad es una propiedad de un elemento que describe una relación lineal entre causa y efecto. Un circuito lineal es aquel cuya salida está linealmente relacionada (o es directamente proporcional) a su entrada. Por ejemplo, considere un circuito formado por una fuente de voltaje de valor V conectada en paralelo a una resistencia de valor R, tal y como se observa en la Figura 3.17.

    Figura 3.17.

    La corriente que circula por la resistencia es

    VI R

    =

    En este circuito se puede considerar como la causa el voltaje V y el efecto la corriente I. Si se considera una resistencia de 10 Ω y una fuente de voltaje que varía desde los 0 V hasta los 100 V con incrementos de 10 en 10 V, la Figura 3.18 se muestra el comportamiento de la corriente en función a el voltaje aplicado y la resistencia. Se aprecia que al incrementar el voltaje se incrementa la corriente en una forma lineal.

    Figura 3.18

    Un sistema lineal obedece el principio de superposición, que establece que cuando un sistema lineal se excita, o se alimenta, con más de una fuente independiente de energía, la respuesta total es la suma de las respuestas individuales. Una respuesta individual es el resultado de una fuente independiente actuando sola. También se debe definir una fuente dependiente lineal como una fuente de corriente o tensión, cuya corriente o tensión de salida resulta proporcional sólo a la primera potencia de la variable de corriente o tensión especificada en el circuito (o a la suma de tales cantidades). Ejemplo: 1 20.1 14sv i v= − es lineal 21 20.1 14sv i v= − no es lineal

    V + − R

    I

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Voltaje (V)

    C or

    rie nt

    e (A

    )

    I = V/R

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    Superposición El principio de superposición establece que la tensión (o corriente) a través de un elemento en un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debido a que cada fuente independiente actúa sola.

    Procedimiento para aplicar el principio de superposición

    1. Apagar todas las fuentes independientes excepto una. Encuentre la salida (tensión o corriente) debido a esa fuente activa, utilizando el análisis nodal o de malla.

    2. Repetir el paso 1 para cada una de las otras fuentes independientes

    3. Encuentre la contribución total, sumando algebraicamente todas las contribuciones de las fuentes independientes.

    Ejemplo: Calcular las corrientes de rama del circuito mostrado en la Figura 3.19.

    Figura 3.19

    Ejemplo: Determinar la magnitud de la corriente xi por medio del teorema de superposición, para el circuito que se muestra en la Figura 3.20.

    Figura 3.20

    Considerando la contribución de la fuente de voltaje y haciendo un circuito abierto la fuente de corriente se tiene:

    la corriente 'xi se calcula como:

    ( )

    3 1' 6 9 5x

    Vi A= = + Ω

    Considerando ahora la contribución de la fuente de corriente y haciendo un corto circuito la fuente de voltaje se tiene:

    ( )( ) ( ) 2 6 4'' A 6 9 5x A

    i Ω

    = = + Ω

    6 Ω 2 Ω

    3 Ω 4 Ω 12 A120 V

    i1

    i2

    i3

    i4

    6 Ω 2 Ω

    3 Ω 4 Ω 12 A120 V

    i1

    i2

    i3

    i4

    + −3V

    9Ω

    6Ω

    2A xi

    + −3V

    9Ω

    6Ω

    2A xi

    + −3V

    9Ω

    6Ω

    'xi + −3V

    9Ω

    6Ω

    'xi

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    La corriente xi se calcula como:

    1 4 5' '' A A A 1A 5 5 5x x x

    i i i= + = + = =

    Ejemplo: utilizando el teorema de superposición determinar el valor de xi para el circuito mostrado en la Figura 3.21.

    Figura 3.21

    Dejando circuito abierto en la posición de la fuente de corriente se tiene que:

    Aplicando una LVK alrededor de la malla se tiene que:

    1 02 ' ' 2 ' 0x x xi i i− − − = Solucionando para 'xi se tiene que: ' 2xi =

    Poniendo en corto circuito a la fuente de tensión de 10 V se tiene que:

    Aplicando una LCK en el nodo v’’ se tiene que: '' 3xi i+ = donde:

    '''' 2x vi =

    '' 2 ''

    1 xv ii

    − =

    pero: ( )'' 2 '' 2 ''x xv i i= − = − realizando una sustitución y operaciones se tiene que: '' 0.6xi = −

    Finalmente se tiene que la corriente xi está dada por: ' '' 2 0.6 1.4Ax x xi i i= + = − =

    9Ω6Ω 2A''xi 9Ω6Ω 2A''xi

    + −

    10V 3A

    2Ω

    2 xi

    xi

    1Ω

    + −

    + −

    10V 3A

    2Ω

    2 xi

    xi

    1Ω

    + −

    + −

    10V

    2Ω

    2 'xi

    'xi

    1Ω

    + −

    + −

    10V

    2Ω

    2 'xi

    'xi

    1Ω

    + −

    + −

    10V

    2Ω

    2 'xi