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Unidad 4
Otras Técnicas de Análisis 4.1 Transformación de fuentes Una
transformación de fuente es un proceso de reemplazar una fuente de
voltaje V en serie con una resistencia R , por una fuente de
corriente I en paralelo con una resistencia R , o vicerversa, tal y
como se observa en la Figura 4.1.
Figura 4.1 Transformación de fuentes independientes
La transformación de la fuente requiere,
V IR= (4.1) o
VIR
= (4.2)
Ejemplo: Use la transformación de fuente para encontrar ov en el
circuito de la Figura 4.2.
Figura 4.2
Solución 1) Aplicando dos transformaciones de fuentes, se
tiene,
2) Realizando una segunda conversión de fuentes,
3) Simplificando,
4) Aplicando un divisor de corriente para determinar la
corriente en la resistencia de 8 Ω, se tiene que
( )8
2 2 2 A2 8 5R
i Ω = =+
5) Por lo que el voltaje buscado es,
V+−
Ra
b
I R
a
b
2Ω
8Ω4Ω12V
+−
3Ω
ov+
−3A
2Ω
8Ω4Ao
v+
−
4Ω
−+12V
3Ω2Ω
4Aov+
−2A8Ω
2Ω ov+
−2A8Ω
-
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( ) 2 168 A V5 5o
v = Ω =
La Figura 4.3(a) muestra el archivo de simulación en pspice, en
tanto que la Figura 4.3(b) muestra el archivo de resultados, en
donde se aprecia que el voltaje en el nodo 2 (voltaje nodal de
interés) es de 3.2 V, el cual coincide con el voltaje calculado. R1
1 0 4 R2 1 2 2 R3 2 0 8 R4 2 3 3 I1 1 0 DC 3 V1 3 0 DC 12
NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) -1.8667
( 2) 3.2000 ( 3) 12.0000
a) b) Figura 4.3
Ejemplo: use la transformación de fuente para encontrar xi en el
circuito mostrado en la Figura 4.4.
Figura 4.4
Solución. 1) Realizando la transformación de la fuente
dependiente de corriente por una fuente dependiente de corriente se
tiene
2) Que puede ser visto como una sola fuente de corriente, de la
siguiente manera,
3) Calculando la corriente xi por medio del divisor de
corriente, se tiene que,
( )24 55
10 5
x
x
ii
− =
+
Realizando operaciones
20 A17x
i =
Adicionalmente a las transformaciones de fuentes, existen
también transformaciones de elementos que permiten reemplazar una
conexión de varios elementos por un equivalente, lo cual simplifica
el análisis de ciertos circuitos. A continuación se muestran
algunos circuitos equivalentes.
10Ω4A 2 xi
−+
5Ω
ov+
−xi
10Ω4A 2
5 xi
xi
5Ω10Ω24
5 xi−
xi
5Ω
-
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Tabla 4.1 Conexión en serie de dos resistencias
Conexión en paralelo de dos resistencias
Conexión en serie aditiva de dos fuentes de voltaje
Conexión en serie sustractiva de dos fuentes de voltaje
Conexión en paralelo de dos fuentes de corriente con la misma
polaridad
Conexión en paralelo de dos fuentes de corriente con distintas
polaridades
1R
2R
1 2R R+
1R 2R1 2
1 2
R RR R+
+−
+−
1V
2V
+− 1 2
V V+
+−
−+
1V
2V
+− 1 2
V V−
1I 2I 1 2I I+
1I 2I 1 2I I−
-
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4.2 Linealidad y superposición La linealidad es una propiedad de
un elemento que describe una relación lineal entre causa y efecto.
Un circuito lineal es aquel cuya salida está linealmente
relacionada (o es directamente proporcional) a su entrada. Por
ejemplo, considere un circuito formado por una fuente de voltaje de
valor V conectada en paralelo a una resistencia de valor R, tal y
como se observa en la Figura 3.17.
Figura 3.17.
La corriente que circula por la resistencia es
VIR
=
En este circuito se puede considerar como la causa el voltaje V
y el efecto la corriente I. Si se considera una resistencia de 10 Ω
y una fuente de voltaje que varía desde los 0 V hasta los 100 V con
incrementos de 10 en 10 V, la Figura 3.18 se muestra el
comportamiento de la corriente en función a el voltaje aplicado y
la resistencia. Se aprecia que al incrementar el voltaje se
incrementa la corriente en una forma lineal.
Figura 3.18
Un sistema lineal obedece el principio de superposición, que
establece que cuando un sistema lineal se excita, o se alimenta,
con más de una fuente independiente de energía, la respuesta total
es la suma de las respuestas individuales. Una respuesta individual
es el resultado de una fuente independiente actuando sola. También
se debe definir una fuente dependiente lineal como una fuente de
corriente o tensión, cuya corriente o tensión de salida resulta
proporcional sólo a la primera potencia de la variable de corriente
o tensión especificada en el circuito (o a la suma de tales
cantidades). Ejemplo: 1 20.1 14sv i v= − es lineal 21 20.1 14sv i
v= − no es lineal
V+− R
I
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Voltaje (V)
Cor
rient
e (A
)
I = V/R
-
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Superposición El principio de superposición establece que la
tensión (o corriente) a través de un elemento en un circuito lineal
es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de
ese elemento debido a que cada fuente independiente actúa sola.
Procedimiento para aplicar el principio de superposición
1. Apagar todas las fuentes independientes excepto una.
Encuentre la salida (tensión o corriente) debido a esa fuente
activa, utilizando el análisis nodal o de malla.
2. Repetir el paso 1 para cada una de las otras fuentes
independientes
3. Encuentre la contribución total, sumando algebraicamente
todas las contribuciones de las fuentes independientes.
Ejemplo: Calcular las corrientes de rama del circuito mostrado
en la Figura 3.19.
Figura 3.19
Ejemplo: Determinar la magnitud de la corriente xi por medio del
teorema de superposición, para el circuito que se muestra en la
Figura 3.20.
Figura 3.20
Considerando la contribución de la fuente de voltaje y haciendo
un circuito abierto la fuente de corriente se tiene:
la corriente 'xi se calcula como:
( )
3 1'6 9 5x
Vi A= =+ Ω
Considerando ahora la contribución de la fuente de corriente y
haciendo un corto circuito la fuente de voltaje se tiene:
( )( )( )2 6 4'' A6 9 5xA
iΩ
= =+ Ω
6 Ω 2 Ω
3 Ω 4 Ω 12 A120 V
i1
i2
i3
i4
6 Ω 2 Ω
3 Ω 4 Ω 12 A120 V
i1
i2
i3
i4
+−3V
9Ω
6Ω
2Axi
+−3V
9Ω
6Ω
2Axi
+−3V
9Ω
6Ω
'xi+−3V
9Ω
6Ω
'xi
-
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La corriente xi se calcula como:
1 4 5' '' A A A 1A5 5 5x x x
i i i= + = + = =
Ejemplo: utilizando el teorema de superposición determinar el
valor de xi para el circuito mostrado en la Figura 3.21.
Figura 3.21
Dejando circuito abierto en la posición de la fuente de
corriente se tiene que:
Aplicando una LVK alrededor de la malla se tiene que:
1 02 ' ' 2 ' 0x x xi i i− − − = Solucionando para 'xi se tiene
que: ' 2xi =
Poniendo en corto circuito a la fuente de tensión de 10 V se
tiene que:
Aplicando una LCK en el nodo v’’ se tiene que: '' 3xi i+ =
donde:
''''2xvi =
'' 2 ''
1xv ii
−=
pero: ( )'' 2 '' 2 ''x xv i i= − = − realizando una sustitución
y operaciones se tiene que: '' 0.6xi = −
Finalmente se tiene que la corriente xi está dada por: ' '' 2
0.6 1.4Ax x xi i i= + = − =
9Ω6Ω 2A''xi9Ω6Ω 2A''xi
+−
10V 3A
2Ω
2 xi
xi
1Ω
+−
+−
10V 3A
2Ω
2 xi
xi
1Ω
+−
+−
10V
2Ω
2 'xi
'xi
1Ω
+−
+−
10V
2Ω
2 'xi
'xi
1Ω
+−
+−
10V
2Ω
2 'xi
'xi
1Ω
+−
3A2Ω 2 ''xi
''xi
1Ω
+−
''v
i3A
2Ω 2 ''xi
''xi
1Ω
+−
''v
i
-
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Ejemplo: utilizar el teorema de superposición para determinar el
valor de 12v para el circuito que se muestra en la Figura 3.22.
Figura 3.22
Abriendo la fuente de corriente de 2A se tiene que:
Por medio de la aplicación de una LVK alrededor de la malla
asociada con la corriente 1 se tiene que:
( )1 1 1 224 10 20 30 0i i i i− − − − = Simplificando se tiene
que: 1 210 5 4i i− = (1)
Aplicando una LVK alrededor de la malla 2 se tiene que:
( )2 1 230 45 48 0i i i− − − − = (2)
Expresando las ecuaciones (1) y (2) de manera matricial se tiene
que:
1
2
10 5 430 75 48
ii
− = −
Resolviendo se tiene que:
1
2
0.10.6
ii
= −
el voltaje 12v es:
( ) ( )12 1 20 0.1 20 2.0Vv i A= Ω = Ω =
Poniendo en corto circuito las fuentes de voltaje se tiene
que:
Aplicando una LCK en el nodo v1 se tiene que: 1 22 0i i− − =
expresando las corrientes en términos de los voltajes se tiene
que:
1 1 22 010 20v v v−
− − =
Simplificando se tiene que: 1 23 40v v− = (3)
Mediante la aplicación de una LCK en el nodo v2 se tiene
que:
+−
24V 2A
10Ω
xv+ −
20Ω
+−
45Ω
48V
1v 2v
30Ω+−
24V 2A
10Ω
xv+ −
20Ω
+−
45Ω
48V
1v 2v
30Ω
+−
24V
10Ω 20Ω
+−
45Ω
48V
1v 2v
30Ω1i2i
+−
24V
10Ω 20Ω
+−
45Ω
48V
1v 2v
30Ω1i2i
2A10Ω
20Ω
45Ω
1v2v
30Ω1i 4i
3i
2i
2A10Ω
20Ω
45Ω
1v2v
30Ω1i 4i
3i
2i
-
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2 3 4i i i= + Expresando las corrientes en términos de los
voltajes se tiene que:
1 2 2 220 30 45
v v v v−= +
Realizando operaciones de simplificación se tiene que: 1 29 19
0v v− = (4)
Representando en forma matricial las ecuaciones (3) y (4) se
tiene que:
12
3 1 409 19 0
vv
− = −
Resolviendo se tiene que:
12
15.83337.5
vv
=
El valor de 12 ''v es: 12 1 2'' '' '' 15.8333 7.5 8.3333Vv v v=
− = − = Calculamos ahora el valor de 12v como: 12 12 12' '' 2
8.3333 10.3333Vv v v= + = + =
Ejemplo: calcular la intensidad de corriente que circula por la
resistencia de 23 Ω del circuito mostrado en la Figura 3.23.
Utilice el principio de superposición.
Figura 3.23
Considerando el efecto de la fuente de voltaje se tiene que,
Haciendo un análisis de mallas por inspección se obtiene,
12
74 47 20047 74 200
II
− − = −
4Ω
27Ω
+−
20A
200V
23Ω47Ω
47Ω
27Ω +−
4Ω
23Ω200V
1I 2I
-
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Resolviendo se tiene que:
12
1.65291.6529
II
− =
Considerando ahora la fuente de corriente,
Haciendo un análisis de nodos por inspección se obtiene,
12
0.3083 0.25 00.25 0.2934 20
vv
− = −
Resolviendo,
12
178.8575220.5670
vv
=
Por lo que la corriente en la resistencia de 23 Ω es, 23 2 / 23
9.5899ARI vΩ = = Finalmente sumando la corriente en la resistencia
de 23 Ω obtenida al considerar solamente la fuente de voltaje, con
la corriente en la resistencia de 23 Ω obtenida al considerar la
fuente de corriente se tiene que, 23 1.6529 9.5899 11.2428RI AΩ = +
= Ejemplo: Utilizando el principio de superposición determinar el
valor de abV para el circuito mostrado en la Figura 3.24.
Figura 3.24
47Ω27Ω
4Ω
23Ω20A
0
1 2
+−
4V 2A
10Ω
abV+
−
3 abV
+ −
+−
4V 2A
10Ω
abV+
−
3 abV
+ −
-
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Solución Considerando la fuente de voltaje en corto circuito se
tiene:
Aplicando una LVK alrededor de la malla señalada se tiene
que:
3 10 0ab abV V i+ − = donde 2i = dado que la corriente no puede
circular hacia el circuito abierto, por lo que:
4 20 0abV − = por lo que:
20' 54ab
V = =
Considerando ahora en circuito abierto la fuente de corriente se
tiene que:
Planteando una LVK alrededor de la malla señalada se tiene que:
3 10 4 0ab abV V i+ − − = Donde 0i = dado que no hay circulación de
corriente en un circuito abierto, por lo que: 4 4 0abV − = Por lo
que:
4'' 14ab
V = =
Finalmente se tiene que: ' '' 5 1 6Vab ab abV V V= + = + =
Ejemplo: Use el principio de superposición para determinar el valor
de i para el circuito que se muestra en la figura siguiente.
2A
10Ω
abV+
−
3 abV
+ −
2A
10Ω
abV+
−
3 abV
+ −
+−
4V
10Ω
abV+
−
3 abV
+ −
+−
4V
10Ω
abV+
−
3 abV
+ −
4 kΩ
30 mA
+ −
6 kΩ12 kΩi
15 mA
2 kΩ
15 V
-
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Solución Inhabilitando la fuente de voltaje y aplicando un
análisis nodal, según el circuito de la figura siguiente, se tiene
que,
Por medio de la aplicación de una LCK en el nodo 1
1 230 15
1000 1000i i= + + (1)
Expresando las corrientes en términos de voltajes nodales
1 1 230 151000 1000 2000 4000
v v v−= + + (2)
Simplificando 1 23 60v v− = (3) Por medio de la aplicación de
una LCK en el nodo 2 se tiene que,
2 3 415
1000i i i+ = + (4)
Expresando las corrientes en términos de voltajes nodales
1 2 2 2151000 4000 12000 6000
v v v v−+ = + (5)
Simplificando 1 22 60v v− + = (6) Resolviendo (3) y (6) para 2v
se tiene que 2 48Vv = Por lo que
23
48V 4mA12000 12000
vi = = =Ω Ω
4 kΩ
30 mA6 kΩ
12 kΩ3i
15 mA
2 kΩ1i
2i
1 2
4i
-
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Inhabilitando ahora las fuentes de corriente se tiene el
circuito que se muestra en la figura siguiente,
La corriente i puede ser calculada por medio de un circuito
divisor de voltajes, en base a las simplificaciones mostradas en la
figura siguiente,
La corriente i se calcula como
( )( )
4 15V0.5mA
10 12000i
−= = −
Ω
Finalmente se tiene que la corriente buscada es: 4mA 0.5mA
3.5mAi = − = Ejemplo: para el circuito de la Figura 3.25 encuentre
oi , cuando 12Vsv = y 24Vsv = .
Figura 3.25
4.3 Circuitos Equivalentes de Thévenin y Norton Los equivalentes
de Thevenin y Norton son técnicas para la simplificación de
circuitos que se enfocan en el comportamiento de terminales y, por
tanto, son de invaluable ayuda en el análisis de circuitos.
Equivalente de Thevenin Se puede describir mejor un circuito
equivalente Thevenin refiriéndonos a la Figura 3.7, que representa
un circuito cualquiera compuesto de fuentes (dependientes e
independientes) y resistores.
4 kΩ+ −
6 kΩ12 kΩi
2 kΩ
15 V
6 kΩ
−+ 6 kΩ12 kΩ
i
2Ω
sv 3 xv−+
8Ω
6Ω
+−
xv+ −4Ω 4Ω
oi
-
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Figura 3.7. Circuito eléctrico
Las letras a y b representan el par de terminales de interés. La
Figura 3.8 muestra el equivalente Thevenin del circuito. Así, un
circuito equivalente Thevenin es una fuente de voltaje
independiente thV en serie con un resistor thR , que reemplaza a
una interconexión de fuentes y resistores. Esta combinación en
serie de thR y
thV es equivalente al circuito original en el sentido de que, si
conectamos la misma carga a través de las terminales a , b de cada
circuito, obtenemos los mismos voltajes y corrientes en las
terminales de la carga. Esta equivalencia se cumple para todos los
valores posibles de la resistencia de carga.
Figura 3.8 Equivalente de Thevenin
Ejemplo: calcular el equivalente de Thevenin del circuito
mostrado en la Figura 3.9 en para las terminales a b− .
Figura 3.9
Solución Primeramente se determina el valor de thR
cortocircuitando la fuente de voltaje y abriendo la fuente de
corriente, tal y como se muestra en la figura siguiente.
Calculando la resistencia equivalente entre las terminales a b−
se tiene que,
( )( )12 43
12 4thR = = Ω
+
Para determinar el voltaje de thevenin, se aplica análisis por
mallas, generándose una supermalla. Mediante la aplicación de una
LVK se tiene que,
Simplificando 1 26 10 12i i+ = O bien
10Ω 5Ω60V
2i
+ −
25i
1
6v
1v+
−
+−
a
b
Vth+−
Circuito
R th a
b
2A12V 4Ω
6Ω
+−
6Ωa
b
4Ω
6Ω6Ω
thR
a
b
-
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1 23 5 6i i+ = (1) Se tiene que 1 2 2i i− = (2) Resolviendo (1)
y (2) se llega a:
23 A2
i =
Por lo que
( )3 A 4 6V2th
V = Ω =
Por lo que se llega al equivalente de thevenin mostrado en la
figura siguiente.
Ejemplo: calcular el equivalente de Thevenin del circuito
mostrado en la Figura 3.10 en para las terminales a b− .
Figura 3.10
Solución Primeramente se determina el valor de thR
cortocircuitando la fuente de voltaje y abriendo la fuente de
corriente, tal y como se muestra en la figura siguiente.
( )( )4 12
1 44 12th
R = + = Ω+
Para calcular el voltaje de thevenin se aplica análisis
nodal.
Por medio de la aplicación de la LVK se tiene que, ( )1 1 232 4
12 0i i i− + + − = Simplificando
2A12V 4Ω
6Ω
+−
6Ω
1i 2i
6V
a
+−
3Ω
b
2A32V 12Ω
1Ω
+−
4Ωa
b
12Ω
1Ω4Ωa
b
-
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1 24 3 8i i− = (1) Del circuito se observa que, 2 2i = − (2)
Sustituyendo (2) en (1) y resolviendo, se tiene que,
11 A2
i =
Dado que no hay circulación de corriente a través de la
resistencia de 1 Ω, se tiene que
( )1 2112 12 2 30V2th
V i i = − = + =
El circuito equivalente de Thevenin, es mostrado en la figura
siguiente,
Ejemplo: Calcular el equivalente de Thévenin en las terminales a
b− del circuito mostrado en la Figura 3.11.
Figura 3.11
Aplicando una LVK alrededor de la malla A, la cual se muestra en
la Figura siguiente se tiene que: 5 2000 3 0ai V− − =
Pero se sabe que: 500aV i= − Por lo que: ( )5 2000 3 500 0i i− −
− =
Resolviendo para i se tiene que: 5 1500 100
i = =
Por lo que thV es: ( )1500 500 5
100th aV V i V = = − = − = −
2A32V 12Ω
1Ω
+−
4Ωa
b
1i 2i
30V
a
+−
4Ω
b
25Ω
2KΩ
+−5V +−
3 aV 20ii
aV+
−
a
b
25Ω
2KΩ
+−5V +−
3 aV 20ii
aV+
−
a
b
25Ω
2KΩ
+−5V
+−
3 aV 20i aV+
−
a
b
A
25Ω
2KΩ
+−5V
+−
3 aV 20i aV+
−
a
b
A
-
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Para calcula la corriente de corto circuito se tiene que:
Por lo que: 20sci i= − donde: 5 2000 3 0ai V− − = Dado que 0aV =
, se tiene que: 5 2000 0i− =
Despejando i se tiene: 52000
i A=
Calculando sci 520 50mA
2000sci A = − = −
La resistencia de Thévenin se calcula como: 35V 100
50 10 Ath
thsc
VR
i −−
= = = Ω×
Por lo que se tiene que el equivalente de Thévenin es:
Ejemplo: determinar el equivalente de thevenin en las terminales
a-b para el circuito mostrado en la figura siguiente.
Solución La resistencia equivalente de thevenin se calcula
mediante el circuito mostrado en la figura siguiente.
25Ω
2KΩ
+−5V +−
3 aV 20ii
aV+
−
a
b
sci25Ω
2KΩ
+−5V +−
3 aV 20ii
aV+
−
a
b
sci
+−5V−
100Ωa
b
+−5V−
100Ωa
b
6 mA
600Ω
1 mA
1.4 Va
b
1.4 kΩ 3 kΩ
+ −
-
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Dando un valor de 2000 || 3000 1200thr = = Ω Para calcular el
voltaje de thevenin se transforman las fuentes de corriente en
fuentes de voltaje y aplica análisis por mallas en base al circuito
que se muestra en la figura siguiente,
La corriente de malla es:
10V 2mA5000
i = =Ω
Por lo que el voltaje en las terminales a-b es ( )3V 3000 2mA
3Vabv = − + Ω = El circuito de la figura siguiente muestra el
equivalente de thevenin en las terminales a-b.
Ejemplo: determinar el equivalente de thevenin en las terminales
a-b para el circuito que se muestra en la figura siguiente.
Solución La resistencia de thevenin se calcula en base al
circuito mostrado en la figura siguiente en donde han sido
canceladas las fuentes de voltaje y corriente,
600Ωa
b
1.4 kΩ 3 kΩ
2000Ω
a
b
3 kΩ
3 V−+
7 V +−
i
3V +−
1200Ωa
b
20 V +−
4Ω
8Ω
4Ω2 A
a
b
-
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El valor de la resistencia equivalente de thevenin es, 12 || 4
3thr = = Ω Para determinar el voltaje de thevenin se aplica
análisis por mallas, considerando las corrientes de malla mostradas
en la figura siguiente,
Aplicando una LVK en la malla 1, 1 2 220 4 4 8 0i i i− + + + =
(1) Simplificando, 1 24 12 20i i+ = (2) Se observa que, 1 2 2i i− =
(3)
Resolviendo (2) y (3) se tiene que, 23 A4
i =
Por lo que el voltaje de thevenin es, ( )2 43 A 4 3V4th
v i R Ω = = Ω =
La figura siguiente muestra el equivalente de thevenin en las
terminales a-b
4Ω
8Ω
4Ω2 A
a
b
20 V +−
4Ω
8Ω
4Ω2 A
a
b
1i 1i
3V +−
3Ωa
b
-
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Ejemplo: determinar el equivalente de thevenin en las terminales
a-b para el circuito que se muestra en la figura siguiente.
El voltaje de thevenin puede ser calculado por medio de un
análisis de mallas, en base a las corrientes de malla que se
muestran en la figura siguiente.
Se tiene que, ( )4 10 2 6 0i i i− − + = Resolviendo para i 5Ai =
El voltaje de thevenin (en las terminales a-b) es entonces, ( )( )6
5A 6 30Vab thv v iR Ω= = = Ω = Ahora se calcula la corriente de
corto circuito ( )sci en base al circuito que se muestra en la
figura siguiente, utilizando un análisis nodal,
Aplicando una LCK en el supernodo formado por los nodos 1 y 2 2
110 sci i i= + + (1) Expresando las corrientes en términos de los
voltajes nodales,
1 2 2104 6 4v v v
= + + (2)
Simplificando
4Ω
6Ω4Ω10 A i
− +
2i
a
b
6Ω4Ω10 A i
− + a
b
4Ω6Ω4Ω10 A i
− +
2i1 2
sci2i
-
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1 2120 3 5v v= + (3) En base a los nodos 1 y 2 se aprecia que, 2
1 2v v i− = (4) Pero
26vi = (5)
Sustituyendo (5) en (4) 2 12 3v v= (6) Sustituyendo ahora (6) en
(3) y resolviendo para 2v
2120
7v = (7)
La corriente de corto circuito es entonces
2 30 A4 7scvi = =
Finalmente se calcula la resistencia de thevenin como,
30V 730 A7
thth
sc
vr
i= = = Ω
El circuito de la figura siguiente muestra el equivalente del
circuito en las terminales a-b
Equivalente de Norton El circuito equivalente Norton consiste en
una fuente de corriente independiente en paralelo con una
resistencia equivalente Norton. Podemos derivarlo del circuito
equivalente Thevenin haciendo simplemente una transformación de la
fuente. Por lo que la corriente de norton es igual a la corriente
de corto circuito entre las terminales de interés y la resistencia
de norton es idéntica a la resistencia Thévenin. El equivalente de
Norton se obtiene efectuando una transformación de fuente sobre el
equivalente de Thévenin, tal y como se muestra en la Figura
3.12.
30V +−
7Ωa
b
-
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Figura 3.12. Transformación del equivalente de Thevenin al
equivalente de Norton
Ejemplo: Reemplace el circuito de la Figura 3.13 con su
equivalente de Norton.
Figura 3.13.
Solución Para calcular la resistencia de equivalente, se
cortocircuita la fuente de voltaje y se abre la de corriente, tal y
como se muestra a continuación.
Calculando la resistencia de Thevenin, se tiene que,
4 6 10thR = Ω+ Ω = Ω
Realizando la transformación de la fuente de voltaje en fuente
de corriente.
Aplicando análisis nodal, 15 3i= + Por lo que 1 2Ai = Eso
significa que el voltaje en las terminales a-b es: 8V
Con base a la resistencia de Thevenin y el voltaje en las
terminales a-b, se calcula la corriente de Norton como:
8V 4 A
10 5I = =
Ω
Por lo que el circuito equivalente de Norton es:
thV+−
thRa
b
thnorton
th
VIR
= thR
a
b
6Ω
20V +−
3A
a
8Ω
4Ω
b
6Ωa
8Ω
4Ω
b
thR
6Ω
5A3A
a
8Ω4Ω
b
1i
4 A5
a
10Ω
b
-
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Ejemplo: determinar el equivalente de norton en las terminales
a-b para el circuito que se muestra en la figura siguiente.
Solución Realizando la transformación de la fuente de corriente
en fuente de voltaje se tiene que,
Encontrando el equivalente de las resistencias en serie
Transformando ahora la fuente de voltaje en fuente de corriente
se tiene,
Se llega entonces directamente al equivalente de norton en las
terminales a-b, tal y como se muestra en la figura siguiente.
1Ω
a
1Ω6 A 3 A
b
1Ω
a
1Ω6 A
3 V
b
−+
a
2Ω6 A
3 V
b
−+
a
6 A 1.5 A
b
2Ω
-
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4.4 Transferencia de potencia Máxima La transferencia máxima de
potencia puede describirse mejor con la ayuda del circuito que se
muestra en la Figura 3.14. Suponemos una red resistiva que contiene
fuentes dependientes e independientes y un par designado de
terminales a , b al cual se conectará una carga LR . El problema es
determinar el valor LR que permite entregar una potencia máxima a
LR . El primer paso en este proceso es reconocer que una red
resistiva siempre puede reemplazarse por su equivalente Thevenin.
Por lo tanto, redibujamos el circuito de la Figura 3.14(a) por el
que se muestra en la Figura 3.14(b).
(a) (b) Figura 3.14 Máxima transferencia de potencia
Al reemplazar la red original por su equivalente Thevenin se
simplifica en gran medida la tarea de calcular
LR . La derivación de LR requiere que se exprese la potencia
disipada de LR como una función de los tres parámetros del
circuito: thV , thR y LR . Así,
2
2 ThL L
Th L
Vp i R R
R R
= = + (3.3)
A continuación, reconocemos que para un circuito dado, thV y thR
tienen un valor fijo. Por lo tanto, la potencia disipada es una
función de una sola variable LR . Para calcular el valor de LR que
hace máxima la potencia, empleamos cálculo elemental. Empezamos
escribiendo una ecuación para la derivada de p con respecto a LR
:
( ) ( )
( )
22
4
2Th L L Th LTh
L Th L
R R R R Rdp VdR R R
+ − +=
+ (3.4)
Cuando la derivada es cero, se encuentra un máximo o mínimo de
la función, en este caso: ( ) ( )2 2Th L L Th LR R R R R+ = + (3.5)
Resolviendo la Ecuación (3.5) se tiene:
a
7.5 A
b
2Ω
a
b
LR
a
b
LR +−
thR
thV
a
b
LRi+−
thR
thV
a
b
LRi
-
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Th LR R= (3.6) Así, la transferencia de potencia máxima ocurre
cuando la resistencia de la carga LR es igual a la resistencia de
Thévenin thR . Para calcular la potencia máxima entregada a LR ,
simplemente sustituimos la Ecuación (3.6) en la Ecuación (3.3),
( )
2 2
max 2 42Th L Th
LL
V R VP
RR= = (3.7)
Ejemplo: considérese el siguiente circuito equivalente de
Thévenin.
La potencia absorbida por la carga está dada por:
2 ThL LTh L
Vp i R R
R R
= = +
La gráfica siguiente muestra el comportamiento de la potencia
suministrada a la carga para valores de LR desde 0.1 hasta 16 Ω.
Puede observarse que la potencia máxima suministrada coincide
cuando L thR R=
4thR = Ω
10VthV = LRi
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
7
RL (Ohms)
P (w
atts
)
-
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Ejemplo: Para el circuito de la Figura 3.15,
360 V
30150 RL
a
b Figura 3.15
a) Calcule el valor de LR que ocasiona que se transfiera la
máxima potencia a LR . b) Calcule la potencia máxima que puede
entregarse a LR
Solución El voltaje de Thevenin puede calcularse por medio de un
divisor de tensiones como:
150 360 300150 30Th
V V VΩ = = Ω + Ω
La resistencia de Thevenin se calcula como el paralelo de la
resistencia de 30Ω con la resistencia de 150 Ω de la siguiente
manera:
( )( )150 30
25150 30Th
RΩ Ω
= = ΩΩ+ Ω
Reemplazando el circuito a la izquierda de las terminales a , b
con su equivalente de Thévenin se obtiene el circuito que se
muestra en la Figura siguiente:
300 V
25RL
a
b se tiene entonces que LR debe ser igual a thR , es decir, a 25
Ω para una transferencia de potencia máxima.
La potencia máxima que puede entregarse a LR es 2
max 2Th
L
VP
R
=
Sustituyendo valores ( )
2
max300 900
2 25P W
= =
-
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Ejemplo: determine la potencia máxima que puede suministrarse a
la resistencia R en el circuito de la Figura 3.16.
Figura 3.16
Ejemplo: calcular el valor de CR , para el circuito de la figura
siguiente, de tal forma que absorba la máxima potencia.
Solución Se determina el equivalente de thevenin en las
terminales en las cuales está conectada la resistencia CR
Primeramente se determina el voltaje de thevenin, para ello
consideremos la transformación de la fuente de corriente en una
fuente de voltaje, así como las direcciones de corrientes de malla
mostradas en el circuito de la figura siguiente.
Por medio de la aplicación de una LVK en la malla 1.
( )1 1 24Io 4 4 2 0xi v i i− + + + − = (1) Pero se sabe que,
24xv i= − (2) Sustituyendo (2) en (1) y simplificando 1 23 9 2Ioi
i− = (3) Por medio de la aplicación de una LVK en la malla 2
3Ω
20V
10V− +
2Ω
6A
R
5Ω+−
6Ω4Ω
2Ω
2Ω4ΩIo A
4 xv
xv+ −
+ −
CR
6Ω4Ω
2Ω
2Ω
4Ω
4Io V
4 xv
xv+ −
+ −
1i 2i+−
-
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( )2 2 2 2 12 6 4 2 0i i i i i+ + + − = (4) Simplificando (4) 1
27i i= (5) Sustituyendo (5) en (3) y resolviendo para 2i
2Io6
i = (7)
Por lo que thv es
( )2 6Io 6 Io6th
v i R Ω= = Ω =
Ahora se calcular la corriente de corto circuito ( )sci a través
del circuito mostrado en la figura siguiente,
Por medio de la aplicación de una LVK en la malla 1, ( ) ( )1 14
4 4 4 2 0sc scIo i i i i− + + − + − = (8) Simplificando (8) 16 18
4Iosci i− = (9) Por medio de la aplicación de una LVK en la malla
2, ( )14 2 2 0sc sc sci i i i+ − + = (10) Simplificando (10) 14 sci
i= (11) Resolviendo (9) y (11) para sci
23sc
i Io=
Ahora se calcular la resistencia de thevenin como,
6Ω4Ω
2Ω
2Ω
4Ω
4Io V
4 xv
xv+ −
+ −
1i sci+−
-
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Io 3
2 2Io3
thth
sc
vR
i= = = Ω
Finalmente se tiene que la resistencia que absorberá la máxima
potencia es
32C th
R R= = Ω
Ejemplo: calcular R de tal manera que disipe la máxima potencia,
para el circuito de la figura siguiente. Determinar además el valor
de esta máxima potencia.
Solución Calculando la resistencia de thevenin en las terminales
que contienen a la resistencia R , se tiene que,
Por lo que la resistencia equivalente es: 150 ||100 60thr = = Ω
Se tiene entonces que el valor de R debe de ser de 60 Ω. El voltaje
de thevenin puede ser calculado mediante dos transformaciones de
fuentes, tal y como se observa en el circuito siguiente,
Por lo que el voltaje de thevenin es: ( )1 250 5060 3.6Vthv = +
= Se tiene entonces que la potencia máxima transferida a la
resistencia R es:
( )( )
22 3.6V54mW
4 4 60th
th
vP
r= = =
Ω
150Ω
6 V R+−
+−
100Ω
2 V
150Ω 100Ω
150 A
60Ω2
50 A
-
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Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton usando Pspice El
comando .TF obtiene la función de transferencia desde una variable
de entrada a una variable de salida y da el valor de las
resistencias vistas por las dos fuentes. Puede, por lo tanto,
generar el equivalente de Thevenin de un circuito resistivo. La
sintaxis es: .TF Ejemplo: considere el circuito siguiente.
Usando pspice, determinar el equivalente de thévenin en las
terminales a-b. Solución Se propone la numeración de nodos que se
muestra en la figura siguiente.
Considerando como la función de transferencia 31
VFT
V= , se propone el siguiente archivo de simulación en
pspice,
V1 1 0 DC 40 I1 2 3 DC 3 R1 1 2 10 R2 2 3 20 R3 2 0 40 .TF V(3)
V1
El resultado obtenido es,
2Ω
+− 40Ω
3A
40V
10Ω
2Ω
+− 40Ω
3A
40V
10Ω
0
1 2 3
Variable de entrada v1 = 40 V
Variable de salida v3
-
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NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) 40.0000
( 2) 32.0000 ( 3) 92.0000 V(3)/V1 = 8.000E-01 INPUT RESISTANCE AT
V1 = 5.000E+01 OUTPUT RESISTANCE AT V(3) = 2.800E+01
Por lo que se tiene que el voltaje de Thévenin es 3 92VV = , en
tanto que la resistencia de Thévenin es la resistencia de salida en
3V , es decir, 28thR = Ω . El circuito equivalente de norton se
obtiene a través de una transformación de fuentes. La figura
siguiente muestra los equivalente de Thévenin y Norton del circuito
en las terminales a-b.
Ejercicio: Determinar los equivalentes de Thevenin y Norton en
las terminales a-b del circuito siguiente, usando pspice.
Ejercicio: determinar el equivalente de Thevenin y Norton en las
terminales a-b para el circuito mostrado en la Figura siguiente.
Determinar además el valor de la potencia máxima que puede ser
extraída. Use pspice.
+−
28thR = Ω
92VthV = 28nortonR = Ω23 A7Norton
I =
a
b
a
b
6Ω
20V +−
3A
a
8Ω
4Ω
b
50Ω
0.01 abv 100Ω
0.2 abv
200Ωabv+
−
−+
-
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Ejercicio: determine el equivalente de Thévenin en las
terminales a-b para el circuito que se muestra en la figura
siguiente. Use pspice.
Ejemplo: determinar el equivalente de Thevenin y Norton en las
terminales a-b para el circuito mostrado en la Figura siguiente.
Determinar además el valor de la potencia máxima que puede ser
extraída. Use pspice.
4.5 Aplicaciones
1. Hacer una interfaz gráfica que permita realizar todas las
equivalencias mostradas en la Tabla 4.1.
2. Diseño de un programa que determine los voltajes nodales y
corrientes en los elementos de un circuito eléctrico que contenga
exclusivamente resistencias, fuentes independientes de voltaje y
fuentes independientes de corriente. Use el análisis nodal.
3. Diseño de una GUI que permita ver como es el comportamiento
de la potencia máxima entregada por un circuito en un par de
terminales a-b a partir de su resistencia de Thevenin y su voltaje
de Thevenin.
4. Dado que en el análisis de circuitos es muy común la solución
de sistemas de ecuaciones, diseñar una GUI que permita resolver
sistemas de ecuaciones de 2x2, 3x3 y 4x4. Los coeficientes pueden
ser reales o complejos. En el caso de coeficientes complejos los
resultados deberán ser presentados ya sea en forma polar o en forma
rectangular.
5. Hacer un programa que haga preguntas aleatorias sobre los
temas y conceptos analizados en este capítulo.
3KΩ
+−
8V
10KΩ
40KΩ
a
b
1KΩov+
−
−+
120 ov
100mAxi
a5 xi
250Ω
+−
b
7.5kΩ
