figuras planas

Unidad 7: Figuras planasUnidad 7: Figuras planas

1.1. Triángulos: Rectas y puntos notables. Triángulos: Rectas y puntos notables.

2.2. Teorema de Pitágoras. AplicacionesTeorema de Pitágoras. Aplicaciones

3.3. Cuadriláteros. Clasificación y Propiedades.Cuadriláteros. Clasificación y Propiedades.

4.4. Circunferencias y Rectas.Circunferencias y Rectas.

5.5. Ángulos en la Circunferencia.Ángulos en la Circunferencia.

6.6. Áreas de los polígonos.Áreas de los polígonos.

7.7. Áreas y perímetros de las figuras curvas.Áreas y perímetros de las figuras curvas.

2

Figuras geométricas cotidianas (Pág... 144).

Observa con atención las fotografías y los objetos que aparecen en la

imagen relaciónalos con las siguientes figuras geométricas.

¿Sabrías nombrar estas figuras planas?

Romboide, Pentágono, Romo, Trapecio isósceles,

Rectángulo, Triángulo, Cuadrado, Hexágono, Polígono

irregular

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Triángulos: Rectas y puntos notables.Mediatriz y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a su punto medio.

En un triángulo la mediatriz es la recta perpendicular al punto medio de cada lado.

Las mediatrices de un triángulo coinciden en un punto llamado circuncentro.

El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo. Por tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita. Dibujar mediatrices

Obtener la figura completa

4

Ejercicio para clase (Pág. 146-1)

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Triángulos: Rectas y puntos notables.Bisectrices e Incentro

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.

Las bisectrices de un triángulo coinciden en un punto llamado incentro.

El incentro equidista de los tres lados del triángulo. Por tanto, es el centro de la circunferencia inscrita.

Dibujar bisectrices


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7

Triángulos: Rectas y puntos notables.Medianas y Baricentro.

Se llama mediana de un triángulo al segmento que une cada vértice con punto medio del lado opuesto.

Las medianas de un triángulo coinciden en un punto llamado baricentro.

La distancia del baricentro a cada vértice es doble que al punto medio del correspondiente lado opuesto.

Dibujar medianas


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Triángulos: Rectas y puntos notables.Alturas y Ortocentro

Se define altura de un triángulo como al segmento perpendicular que va desde el vértice hasta el lado opuesto.

Las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

Observar como varía el ortocentro en un triángulo obtusángulo, rectángulo y acutángulo

Las alturas ABC coinciden con las mediatrices de A´BĆ´.

A´BĆ´ se obtiene al trazar por cada vértice de ABC la paralela al lado opuesto.

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Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro, y el circuncentro de cualquier triángulo están alineados sobre la misma recta denominada recta de Euler.

Dibujar recta Euler.

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Resumen rectas y puntos notables

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Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

222 acb Comprobación

Demostraciones visuales

Demostraciones matemáticas

13

Aplicamos el teorema (Pág.. 148-1)

14

Como calcular el lado desconocido de un triángulo rectángulo.

Para calcular un cateto desconocido basta con despejar de la ecuación del teorema de Pitágoras.

222 acb 22

222

cab

cab

¿Cuánto valdrá el cateto b?

15

Aplicamos Pitágoras (Pág.. 148)

16

¿Cómo determinar si un triángulo es rectángulo?

En cualquier triángulo de lados a, b y c (el mayor)

rectángulo 222 cbaSi

222 cbaSi

222 cbaSiobtusángulo

acutángulo

Comprobación

17

Veamos un ejemplo. (Pág.. 149-3)

18

Resuelve tu ahora este ejercicio

19

¿Cómo calcular la altura de un triángulo no rectángulo?

La altura en un triángulo no rectángulo divide a este en dos triángulos rectángulos menores, sobre los que es posible aplicar el teorema de Pitágoras, planteando así un sistema de ecuaciones que permite obtener el valor de la altura (h) y de la hipotenusa (b).

Observar como la altura es cateto común de los dos triángulos menores.

222

222

xbhc

xha

20

Veamos un ejemplo

21

Resuelve tu este ejercicio

22

Ejercicio para clase. (Pág. 161-12)

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Cuadriláteros: Clasificación y propiedades.

PARALELOGRAMOS(Lados opuestos paralelos)

NO PARALELOGRAMOS(Lados opuestos no paralelos)

RECTÁNGULOS

ROMBOS

ROMBOIDES

TRAPECIOS

OTROS

CUADRADOS

Pinchar sobre cada figura

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Circunferencias y Rectas. Posiciones relativas.

POSICIONES RELATIVAS de recta y circunferencia: Secantes: Se cortan en dos puntos Tangentes: Se cortan en un punto Exteriores: No tienen ningún punto en común

La historia sucede en un plano y tiene como personajes principales a una recta y un círculo. ¿Qué puede pasar entre ellos?

(“El teorema del loro” de Denis Guedj)

Posiciones relativas

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El radio (r), la mitad de la cuerda (c/2) y la distancia del centro a la cuerda (d) forman un triángulo rectángulo sobre el que se puede aplicar el teorema de Pitágoras.

22

2

2d

cr

Demostración

La historia sucede en un plano y tiene como personajes principales a una recta y un círculo. ¿Qué puede pasar entre ellos?Puede ser que la recta corte al círculo o bien que no lo corte. Puede rozarla, observó Ruche. Si lo corta, lo dividirá forzosamente en dos partes. Y para que las partes sean iguales, ¿cómo debe estar situada la recta? Tales le dio la respuesta: para que la recta divida al círculo en dos partes iguales, debe ………………

(“El teorema del loro” de Denis Guedj)

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Desde un punto exterior se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia. Cada una de ellas es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Por tanto, el triángulo de lados d, r y t es rectángulo.


222 trd

Demostración

El punto donde una recta tangente corta a una circunferencia se llama punto de tangencia. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Punto de tangencia

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35

Tangentes comunes a dos circunferencias

Dos circunferencias exteriores o secantes tienen dos tangentes comunes exteriores.

El cuadrilátero que se forma es un trapecio rectángulo sobre el que se puede aplicar el teorema de Pitágoras.

Demostración

Demostración

Demostración

Dos circunferencias exteriores tienen dos tangentes comunes interiores.

222 ´ trrd

36


37


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Ángulos en la Circunferencia

El ángulo central de una circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de la misma.

La medida angular del arco de circunferencia coincide con la de ángulo central.

Ángulo central

El ángulo inscrito es aquel que esta determinado por dos cuerdas de extremo común. Su vértice está en el perímetro de la circunferencia.

La medida angular de un ángulo inscrito coincide con la mitad del arco que abarca.

Ángulo inscrito

Demostración Dos ángulos inscritos en una circunferencia que

abarcan el mismo arco son iguales

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Ángulos en la Circunferencia Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto Cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia abarca un arco de 180º, luego su medida siempre será 90º.

Otros tipos de ángulos son: Semiinscrito: Determinado

por una cuerda y una tangente, mide la mitad del arco que abarca.

Interior: Cuando su vértice está en el interior de la circunferencia. Mide la mitad de la suma de los arcos determinados por sus lados y prolongaciones.

Exterior: Cuando su vértice está en el exterior de la circunferencia. Mide la mitad de la diferencia de los arcos determinados por sus lados.

Demostración

Actividad

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44

Áreas de los polígonos: Rectángulo y Cuadrado.

hbS

RectánguloCabri

Geocebra

Cuadrado

2lS Geocebra

45

Áreas de los polígonos: Romboide y Rombo.

baS

Paralelogramo o Romboide

Cabri Geocebra

Rombo

2

dDS

Cabri

Geocebra

46

Áreas de los polígonos: Triángulo

2

hbS

Triángulo cualquiera

Cabri

Geocebra

Triángulo rectángulo

2

ahS

2

ćcS

47

Áreas de los polígonos: Trapecio y Polígono irregular.

2

hbBS

Trapecio

Cabri

Geocebra

Geocebra

Polígono cualquiera

TRIÁNGULOSdeáreasdeSUMASPOLÍGONO

48

Áreas de los polígonos: Polígono regular.

2

.

2

. aPerímetroalnS

Octogono

DodecagonoPentágono Hexagono

Regular 36 lados

Podemos aplicar Pitágoras sobre el triángulo rectángulo para calcular la apotema (segmento que une el centro con el punto medio de cada lado).

222

2

L

ra

49


50

Soluciones

51

Soluciones

52


53

Soluciones

54

Soluciones

55

Soluciones

Bloque: GEOMETRÍAUnidad: nº 7, FIGURAS PLANAS

Apartados: - 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS

(Ver páginas de notas con orientaciones)

57

7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)

a) PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA:

rP ..2

58

Curiosidades sobre el número π.

Históricamente estudiado: En la antigua Babilonia

se consideraba π ≈ 3

Saltar al áreadel círculo

59


Históricamente estudiado: En el Antiguo Egipto se consideraba

1605,36

19


60


Históricamente estudiado: En Europa, el genial

Arquímedes demostró (en el siglo III a.d.C.) que

7

22

71

223


¿Cómo?

Más sobre Arquímedes

61


Históricamente estudiado: En China Tsu Ch'ung, en el siglo V calculó que

3,14159113

355


En occidente hubo que esperar 1000 años para alcanzar este nivel.

62


Históricamente estudiado: Los árabes en el siglo XV

consiguieron hasta 17 decimales exactos de π tras determinar el lado del polígono regular de 2832 lados

3589793243,14159265


63


Históricamente estudiado: Actualmente: Se conocen

más de 30 millones de decimales de π y se siguen buscando los siguientes


64


b) ÁREA DEL CÍRCULO:

2.rA

65


b) ÁREA DEL CÍRCULO:

Como suma de triángulos

2.2

...2

2

.r

rraPA

66


c) ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR:

º360

º.. 2 nrA

67


d) SEGMENTO CIRCULAR:

TRIÁNGULOSECTORSEGMENTO AAA

68


e) CORONA CIRCULAR:

).(.. 2222 rRrRA

69


f) ELIPSE:

baA ..

70

SOLUCIONES:

71

SOLUCIONES:

72

Más EJERCICIOS para casa

p163e30 y 32

73

Arquímedes (298 AC - 212 AC )

El matemático más grande de la antigüedad

Contribuyó enormemente al desarrollo de la Geometría

También fue físico, ingeniero e inventor (catapulta, un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, …)

Famoso por el Principio de Arquímedes

Alguna anécdota

Usuario

74

“Dadme un punto de apoyo y os levantaré el mundo“

Logró defender durante tres años a Siracusa que estaba sitiada por los romanos mediante sus inventos mecánicos y ópticos. Asesinado por un soldado a pesar de haber

ordenado el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio.

Arquímedes: Anécdotas “¡Eureka!” Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical

y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado

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