Copyright © 2008

Figury niemożliwe: złudzenia interpretacji przestrzennej

Zenon Kulpa

Cz. II: Zastosowania i konstrukcja

Copyright © 2008

Figury niemożliwe:złudzenia przestrzennej interpretacji obrazów płaskich

Figury niemożliwe mieszczą się tu w okolicy drugiego miejsca (pierwsze zajmują modelki)...

Przykłady błędów reprezentacji diagramowejwynikających z niepełnej naśladowczości tych reprezentacji, t.j. nieizomorficzności struktury

2płaszczyzny euklidesowej R ze strukturą reprezentowanej dziedziny (tu: przestrzenią trójwymiarową ).3 R

Sztuka i projektowanie graficzne:

Diagramatyka:

Dwa pytania:

Odpowiedzi na nie pomogą:

– dlaczego i w jaki sposób z nieskończonej liczby dopuszczalnych interpretacji danego rysunku, w większości przypadków wybieramy tylko jedną interpretację i traktujemy ją jako naturalną i oczywistą?

– dlaczego czasami właśnie ta naturalna i oczywista interpretacja okazuje się wewnętrznie sprzeczna?

– w badaniu mechanizmow percepcji wzrokowej (psychologia widzenia),

– w modelowaniu procesów percepcji w komputerach (komputerowa analiza scen).

przyciągnąć uwagę odbiorcy Pierwsza zasada reklamy:

Copyright © 2008

Figury niemożliwe:proces interpretacji przestrzennej

Lokalnaanaliza:

Globalnaintegracja: Kontrola niesprzeczności:

Znajdźmy inną interpretację...

Płaskirysunek

„wskaźniki głębi”,dopasowanie znanych fragmentów kształtów

ciągłość linii i obszarów, dopasowanie

znanych kształtów

rozpoznanie przedmiotu,szukanie sprzeczności

interpretacyjnych

Interpretacja„możliwa”

Interpretacjaglobalna

Relacjeprzestrzenne

Interpretacja„niemożliwa”

Trzy główne etapy interpretacji: 1. Lokalna analiza wskaźników głębi;2. Globalna integracja;3. Kontrola niesprzeczności.

Figury: – niemożliwe: błąd etapów 1-2;– nieprawdopodobne: błąd etapu 3;– prawdopodobne: błąd etapów 1-2 i 3.

Copyright © 2008

Interpretacja przestrzenna:podstawowe reguły

1. Reguła prostoty: 2. Reguła minimalnej zmiany:Interpretacja powinna być prostsza niż rysunek (przynajmniej nie bardziej złożona).

Geometryczne własności i relacje (np. prostolinijność, równoległość, przecinanie się) obecne na rysunku powinny być zachowane w interpretacji (jeśli nie jest to sprzeczne z regułą prostoty).

Obiekt jest przedstawiony na rysunku w takim położeniu,że niewielka zmiana punktu widzenia nie narusza istotnie struktury rysunku lub istotnych własności jego elementów.

Wszystkie linie proste

Beleczki połączone

Większość to linie krzywe

Beleczki niepołączone

Prostsze jako przestrzenne

Prostsze jako płaskie

3. Reguła pozycji ogólnej:

Reguły te sterują lokalną interpretacją „wskaźników głębi” i globalną integracją tych lokalnych interpretacji.

Copyright © 2008

Interpretacja przestrzenna:uzasadnienie reguł podstawowych

Zdolność do przestrzennej interpretacji płaskich obrazów jest stosunkowo nową ewolucyjnie, specyficznie ludzką zdolnością „nadbudowaną” nad i wykorzystującą w istotnym stopniu istniejące od dawna mechanizmy percepcji obiektów świata trójwymiarowego. Rzeczywistość trójwymiarowa przejawia pewne regularności, wykorzystywane do ujednoznacznienia interpretacji, jak np.:

– obiekty trójwymiarowe mają zazwyczaj prostszą strukturę, niż ich płaskie rzuty, w których występują znaczne zniekształcenia perspektywiczne (reguła prostoty);

linia krywaw przestrzeni

linia przerwanaw przestrzeni

Niewielka zmiana punktu widzenia

ciągła

iniaprosta

l a ob

azie

n

r

Z nieskończonej liczby przestrzennych interpre-tacji płaskiej figury wzrok wybiera zwykle tylko te, które najlepiej pasują do podanych reguł.

– z uwagi na widzenie za pomocą dwojga oczu i możliwości ruchu oka względem obiektu, jest bardzo mało prawdopodobne zobaczenie obiektu tylko z tego jednego punktu widzenia, który ukrywa jego

rzeczywistą strukturę na skutek specjalnego ustawienia jego części (reguła pozycji ogólnej) lub istotnego zniekształcenia ich własności geometrycznych (reguła minimalnej zmiany).

Copyright © 2008

– pewien fragment rysunku interpretowany jest jako obiekt o sprzecznych cechach przestrzennych (położenie, rozmiar, itp.), lub jako dwa obiekty między którymi zachodzą jednocześnie dwie sprzeczne relacje przestrzenne, takie jak: – wyżej / niżej; – z lewej / z prawej; – bliżej / dalej ...– większy/mniejszy

pionowa,widziana

– obszar rysunku interpretowany jest jako fragment powierzchni obiektu posiadający jednocześnie: Różne orientacje w przestrzeni: Różne kształty:3.1. 3.2.

poziomaz prawej z lewej

. . .. . .

. . .

krzywy płaski

Struktura figur niemożliwych:typy sprzeczności interpretacyjnych

– pewien fragment rysunku interpretowany jest raz jako część figury (przedstawionego obiektu) a raz jako część tła, na którym ten obiekt się znajduje;– sprzeczność ta generuje zwykle wtórne sprzeczności pozostałych dwóch typów;– dla figur z tym typem sprzeczności najtrudniej jest znaleźć możliwą interpretację.

Wszystkie one, jak się rzekło, nie istnieją, ale każdy rodzaj w zupełnie inny sposób. [Stanisław Lem, „Cyberiada”]

2. Sprzeczność „relacje w przestrzeni”:

3. Sprzeczność „forma powierzchni”:

1. Sprzeczność „figura-tło”:

Copyright © 2008

Struktura figur niemożliwych:typy sprzeczności interpretacyjnych - przykłady

2. Sprzeczność „relacje w przestrzeni”:

3. Sprzeczność „forma powierzchni”:

1. Sprzeczność „figura-tło”:

• położenie w pionie: • węższe/szersze:

3.1. inna orientacja:

DwubelkaErnsta

3.2. krzywa / płaska:

• położenie w głębi:

ab poniżej a

r w

ó no z a

b

b powyżej a

pionowapłaszczyzna

L dalej niż R

L tak samo daleko jak R

b a

b

pboniżej a

[Stanisław Lem, „Cyberiada”]...wykrył trzy rodzaje smoków: , i .zerowe urojone ujemne

poziomapłaszczyzna cylindryczne

powierzchnie

płaskiepowierzchnie

W tej samej figurze, a nawet na tym samym elemencie figury, może wystąpić kilkaróżnych sprzeczności.

Copyright © 2008

Struktura figur niemożliwych:typy sprzeczności - wzajemne związki

Figura-tło ⇒ położenie:

Położenie ⇒ kształt:

a – figurab – tło{{ a wyżej niż b

a i b na tym samym poziomie{{a

b

a – figura (zacieniona)b – tło (zacienione)

(sprzeczność niewizualna)a – pionowab – pozioma

a – dwie belkib – jedna belka

{{

1 – powierzchnia płaska2 – powierzchnia krzywa

a i b na tym samym poziomiea wyżej niż b{{ {{

{{{{

a

1

a

b

2

b

1 = 2

Figura-tło ⇒ orientacja:

Copyright © 2008

Struktura figur niemożliwych:przykład analizy typów sprzeczności

11

1,1,

22

2,2,

33

3, ...3, ...

4455

6677

8899

10101111

GG

GG

GG

DD

D,D,

GG

G: 5 dalej od 3: 5 tak daleko jak 3D{{położenie

w głębi

G: 10 dalej od 8: 10 tak daleko jak 8D

[Na podstawie rysunku Oscara Reutersvärda]

– numery elementów figury

– „punkty widzenia” na figurę

{{położenie

w głębi

{{G: 5 pozioma, widok z góry: 5 pionowa, widok z lewejD

orientacjapowierzchni

{{{{ {{G: 10 pozioma, widok z góry: 10 pionowa, widok z lewejD

orientacjapowierzchni

DD

G: 6 pionowa, widok z lewej: 6 pionowa, widok z prawejD{{

G: 5 – tło: 5 – figuraD{{figura - tło

orientacjapowierzchni

G: 10 – tło: 10 – figuraD{{figura - tło

G: 11 zakrzywiona (cylinder): 11 płaskaD{{kształt

powierzchni

Sprzeczności główne:

Sprzeczności pochodne:

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne:wielokąty

{{

Cztery rodzaje narożników: Zapis sekwencji narożników:

NSMSSMSNMSNSSNSM

NN

ZZ SS

MM

(przyjęta kolejność leksykograficzna)

sekwencja „ ” (leksykograficzniepierwsza)

kanoniczna

równoważne sekwencje opisujące

kierunekzapisu

sekwencji

N < M < Z < S

NSNSSSS NZZM NMSNMS

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne - wielokąty:grupy przekształceń geometrycznych „TIOE”

Jedna grupa 4-elementowa:

Dwa rodzaje grup 2-elementowych:

NNMZNNMZ

I

TT

T: figura „typowa”(leksyko- graficzniepierwsza)

I: inwersja(odbicie lustrzane)

O: obwersja(„widok z tyłu”)

Ewewersja·(superpozycja I O)

lustro

lustro

EEE

O

O

NSMM

NNSM

Z↔S, wspak

Z↔S,

N↔M, wspak

N↔M

NMMZ

O

O I

TI

I

I

NMNM

IE

NMSS NZZM

TO

NNSZ MMZS

TI OE

O I

IOE

O

E

Jedna grupa 1-elementowa:

Systematyczna generacja wszystkich wielokątów:1. Generacja w porządku leksykograficznym wszystkich n-elementowych sekwencji kanonicznych;

2. Grupowanie sekwencji w klasy zamknięte względem grupy przekształceń geometrycznych;

3. Wybranie z każdej grupy jej reprezentanta – figury typowej T, jako leksykograficznie pierwszej w grupie;

4. Ponumerowanie grup w kolejności leksykograficznej ich reprezentantów.E

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne - wielokąty:tabele wielokątów dla n = 1, 2, 3 i 4

9IE

SSS

n moż-liwe

niemo-żliwe

razem

4102470

208700

2344

27

2064

200686

2324

23468

1420

1234567

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

Nr

Nr

Nr

12

12345

123456789

10

NZ

1TI: N

4IE: SS

2IE: S

3O: MZNN

ZS

NMNZZZ

NNN

NZS

NNMNNZNMZNMSNZZ

NSZZZZZZS

=TS

=T=TNSSS=T

=T=T

NNSNSMNZMNSS=T=T

SSSZSS

M=T

MM=TMZ=T=T

MMM

MSZ

NMMMMZ

=T=T

MZZ

MZS=T=T

=O=I

=O=TMS=I=T

=O=O

MMS=I=I

MSS=O=O=I=I

T

T

T

I

I

I

O

O

O

E

E

E

NZZM

NSNS

Nr

123456789

10

11121314151617181920

21222324252627

NNNN

NNZS

NNNM

NNMM

NMNM

NNNZ

NNMZNNMSNNZZ

NNSZ

NMNZNMZZNMZSNMSSNZNZNZNSNZMZ

NZZZNZZS

NZMS

NZSZNSMZNSZZZZZZZZZSZZSSZSZS

=T=T

NNNS=T

NNSMNNZMNNSS

=T=T=T

NMNSNSSMNZSMNZZMNSNS

=TNSMS

=TNSSSNZSS

NSZS=T

NSSZSSSSZSSS

=T=T

MMMM

MMSZ

NMMMMMMZ

=TNMMZNMMSMMZZ

MMZS=T

NMZM=T

NMSZ=T

MZMZMZMS

=T=T

MZZZMSZZ

MZSZ=T

MZZS=T=T=T=T

=O=O

MMMS=T

NSMMNZMMMMSS

=O=O=T

NMSM=I

NSZM=I

MSMS=O=I=T

MSSSMSSZ

MSZS=T

MZSS=I=I=T=T

T I O E

NNMZ NNSM

5T 5I

15I

14IE

5E5O

NSMMNMMZ

17IE

NSMS

możliwe wg prostegokryterium Cowana (płaska rama)

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne - wielokąty:wielokąty wklęsłe i zaokrąglone

[wierzchołki wklęsłe oznaczone apostrofem „’”]

Wielokąty wklęsłe:

dwa nowe rodzaje narożników

Przykłady:NZSZ’Z

NS SoZ Zo o

NMNZS’S

NZN’ZM’ZM

Zo So

ZZMZ’MSo

Wielokąty zaokrąglone:

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne:metoda centaura (1)

Rysujemy kilka równoległych linii:

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne:metoda centaura (2)

Dorysowujemy do nich przestrzenne zakończenie na jednym końcu (np. dwie beleczki):

jakieśprostokątne

Interpretacje pasów:1. płaski, widok z przodu,2. płaski, widok z prawej,3. tło,4. płaski, widok z przodu,5. płaski, widok z prawej.

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne:metoda centaura (3)

Dorysowujemy do nich przestrzenne zakończenie na drugim końcu (np. trzy beleczki):

innecylindryczne

Interpretacje pasów:1. cylindryczny,2. tło,3. cylindryczny,4. tło,5. cylindryczny.

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne:metoda centaura (4)

Teraz wystarczy połączyć razem...

Interpretacje pasów:1. cylindryczny,2. tło,3. cylindryczny,4. tło,5. cylindryczny.

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne:metoda centaura (5)

I mamy figurę

niemożliwą! Interpretacje pasów:1. płaski, widok z przodu,2. płaski, widok z prawej,3. tło,4. płaski, widok z przodu,5. płaski, widok z prawej.

Interpretacje pasów:1. cylindryczny,2. tło,3. cylindryczny,4. tło,5. cylindryczny.

sprzecznośćna każdym pasie

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne:figury pasowe

OPlVrVlHaHbSh

obiekt,płaski,płaszczyzna pionowa widziana z prawej,płaszczyzna pionowa widziana z lewej,płaszczyzna pozioma widziana z góry,płaszczyzna pozioma widziana z dołu,cień, ... itd.

BCu

tło,zakrzywiony,

lub dokładniej:

interpretacje drugiego końca każdego pasa

interpretacje jednego końca każdego pasa

I1

J1

I2

J2

...

...

...

In

Jn

Ha

Ha

Vr

Ha

Ha

Ha

Vr

Vr

Vl

Ha

Hb

Vr

Hb

Vr

Vl

Ha

B

B

Pl

Cu

Pl

Cu

O

B

O

B

B

O

Ha

Cu

Vr

Cu

Vr

B(Ha)

Ha

B

B(Pl)

Cu

Ha

Ha

Vr

Vr

Vr

B(ShHa)

Ogólny schemat figury: Przykładowe interpretacje końców:

Opisy przykładowych figur:

PROBLEM: określenie ograniczeń na do-puszczalne interpretacje sąsiadujących pasów.

Copyright © 2008

Bibliografiagłówne klasyczne prace

Thiéry A, 1895 "Über geometrisch-optische Täuschungen" Philosophische Studien 11 307-370

Penrose L S, Penrose R, 1958 "Impossible objects: a special type of visual illusion" British Journal of Psychology 49 31-33

Huffman D A, 1971 "Impossible objects as nonsense sentences" in Machine Intelligence 6 eds B Heltzer, D Michie (Edinburgh, Edinburgh University Press) pp. 295-323

Cowan T M, 1977 "Organizing the properties of impossible figures" Perception 6 41-56

Kulpa Z, 1983 "Are impossible figures possible?" Signal Processing 5 201-220

Sugihara K, 1982 “Mathematical structures of line drawings of polyhedrons – toward man-machine communication by means of line drawings" IEEE Transactions of Pattern Analysis and Machine Intelligence 4 458-469

Térouanne E, 1980 "'Impossible' figures and interpretations of polyhedral figures" Journal of Mathematical Psychology 24 370-405

Young A W, Deręgowski J B, 1981 "Learning to see impossible" Perception 10 91-105

Kulpa Z, 1987 "Putting order in the impossible” Perception 16 201-214Definicja, cztery typy figur, typy sprzeczności, recepty konstrukcyjne.

Definicja, cztery typy figur, reguły interpretacji przestrzennej, typy sprzeczności.

Zastosowanie do automatycznej interpretacji przestrzennej rysunków wielościanów.

Różnice w percepcji figur niemożliwych w różnych kulturach.

Figury niemożliwe a interpretacja rysunków wielościanów.

Zastosowanie teorii warkoczy do opisu wieloboków (możliwych i niemożliwych).

Pierwsze rozważania o figurach niemożliwych w komputerowej analizie obrazów; próba określenia geometrycznych „wskaźników niemożliwości” (nieudana).

Pierwszy opis „figury Thiery’ego” jako figury niejednoznacznej (wklęsłe-wypukłe).

Pierwsza publikacja o figurach niemożliwych (rysunki trójkąta i schodów Penrose’a).

Copyright © 2008

Figury niemożliwe

KONIECCzęści II

i ostatniej