09. 12. 2015 1

FIIFEI-11 Elektromagnetické vlny

Optika - geometrická optika.

http://stein.upce.cz/msfei15.html

http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_11.pptl

Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)

09. 12. 2015 2

Hlavní body

• Úvod do optiky, vlastnosti světla

• Vymezení geometrické optiky

• Fermatův princip, optický systém

• Reflexe a reflexní optika

• Refrakce a refrakční optika, disperse

• Optické přístroje

09. 12. 2015 3

Maxwellovy rovnice I

• Základní elektromagnetické principy lze shrnout do čtyřech Maxwellových rovnic, které existují v několika verzích, a vztahu pro Lorentzovu sílu.• V případě časově neproměnných polí se

rozpadají na dvě nezávislé dvojice popisující elektrické a magnetické pole.

• Časově proměnná pole jsou spolu vázána a tvoří jedno elektromagnetické pole.

09. 12. 2015 4

Maxwellovy rovnice II

dtd

IldB

sdBd

dtd

ldE

QsdEd

e

m

m

e

000

0

0

09. 12. 2015 5

Maxwellovy rovnice III

• První rovnice je Gaussova věta, kterou známe z elektrostatiky, říká, že :• Existují zdroje elektrického pole – náboje.• Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické

siločáry v kladných nábojích (nebo nekonečnu) a končí v nábojích záporných (nebo nekonečnu).

• Pole bodového náboje klesá jako 1/r2.

09. 12. 2015 6

Maxwellovy rovnice IV

• Druhá rovnice je Faradayův zákon elektromagnetické indukce, který říká, že : • Elektrické pole může vznikat také časovou

změnou pole magnetického. V tomto případě není konzervativní a jeho siločáry jsou uzavřené křivky.

• Není-li přítomno časově proměnné magnetické pole, je elektrické pole konzervativní a existuje v něm skalární potenciál.

09. 12. 2015 7

Maxwellovy rovnice V

• Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu, která říká, že :• Neexistují oddělené zdroje magnetického pole

– magnetické monopóly.

• Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky.

• Pole proudového elementu klesá jako 1/r2.

09. 12. 2015 8

Maxwellovy rovnice VI

• Čtvrtá rovnice je zobecněný Ampérův zákon, který říká, že: • Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo

časovými změnami elektrického pole.

• Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky.

09. 12. 2015 9

Maxwellovy rovnice VII

• Shrnutí:

• V M. rovnicích a rovnici pro Lorentzovu sílu je veškerá informace o elektromagnetismu.

• Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých důsledků, z nichž některé byly předpověděny:• Existuje jedno elektro-magnetické pole. Pouze ve

speciálním statickém případě není první dvojice rovnic propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické pole mohou být uvažována zvlášť.

• Existují elektromagnetické vlny.

09. 12. 2015 10

Rovinné elektromagnetické vlny• Důležitým typem řešení MR jsou rovinné lineárně

polarizované. Pohybují-li se ve směru +x, rychlostí c, mohou být pole popsána :

E = Ey =E0sin(kx - t)

B = Bz =B0sin(kx - t)• E a B jsou ve fázi• vektory , , tvoří pravotočivý systém• mohou existovat s různou polarizací• vlnové číslo : k = 2/• úhlová frekvence : = 2/T = 2f• rychlost vlny :

c

E

B

00

1

kT

fc

09. 12. 2015 11

Přenos energie I• Hustota energie EMA vln v každém okamžiku je

součet hustot energie elektrického i magnetického pole:

• S použitím B = E/c a c = (00)-1/2 platí :

0

22

222 B

uE

uu

mo

e

0

0

0

22

EB

BEu o

09. 12. 2015 12

Přenos energie II

• Porovnáním vidíme, že hustota energie magnetického pole je rovna hustotě energie pole elektrického bez ohledu na nepoměr amplitud polí samotných.

• Každé z těchto polí tedy přispívá polovinou celkové hustoty energie.

• Poměr (0/0)1/2 = 0c = 377 se nazývá impedance vakua.

09. 12. 2015 13

Přenos energie III• Energie přenášená vlnou za jednotku času (výkon)

jednotkovou plochou se popisuje Poyntingovým vektorem , který má směr šíření vlny a jednotky W/m2.

• Energie, která projde za dt jistou plochou A je rovna hustotě energie v objemu:

dU = uAcdt

užijeme např. energii elektrického pole u=2ue

S

0

20

1

EB

cEucdt

dU

AS

09. 12. 2015 14

Přenos energie IV

• Pro EMA vlny šířící se obecným směrem platí vektorová definice Poyntingova vektoru:

• Pochopitelně je paralelní s .

• (t) je energie proudící jistým bodem v určitém okamžiku. Obvykle nás ale zajímá intenzita záření, což je časová střední hodnota <S>.

)(1

0

BES

S

c

S

09. 12. 2015 15

Přenos energie V

• Pro harmonickou vlnu můžeme použít výsledek, který jsme odvodili u střídavých obvodů:

• Intenzitu záření tedy můžeme vyjádřit pomocí špičkových nebo efektivních hodnot polí :

2

2022 E

EE ef

00

00

2 efef BEBE

S

09. 12. 2015 16

Tlak záření I

• Přenáší-li EMA vlny energii, lze očekávat, že mají i hybnost p.

• Dopadnou-li vlny na určitý povrch, jsou částečně absorbovány a částečně odraženy. Každopádně na povrch působí síla podle 2. Newtonova zákona:

• Síla na jednotku plochy je tlak, zde tlak záření P.

dt

pdF

09. 12. 2015 17

Tlak záření II

• Lze ukázat, že p = U/c, kde je parametr s hodnotou mezi 1 pro úplnou absorpci a 2 pro úplnou reflexi. Platí:

• Jeho velikost může být významná v mikrosvětě nebo ve vesmíru (plachtění)

cS

AF

P

cAS

dtAdtS

cdtdU

cdtdp

F

09. 12. 2015 18

Vytváření EMA vln

• Protože měnící se elektrické pole vytváří pole magnetické a naopak, jsou-li jednou taková pole vytvořena, existují dál nezávisle a šíří se od svého zdroje rychlostí světla do prostoru.

• Může to být ilustrováno na jednoduché dipólové anténě a střídavém generátoru.

• Rovinné vlny existují jen daleko (ve srovnání s vlnovou délkou) od antény, kde vymizí rychle klesající dipólové pole.

09. 12. 2015 19

Spektrum EMA vln I

• Ukazuje se, že zdánlivě nesrovnatelné jevy, jako jsou radiové vlny, tepelné záření, viditelné světlo, ultrafialové záření, rentgenové záření, paprsky gama a záření kosmické jsou elektromagnetické vlny s různou vlnovou délkou a energií.

09. 12. 2015 20

Spektrum EMA vln II

• Velmi rozdílné jevy jsou způsobeny stejnými EMA vlnami, majícími ‘pouze’ jinou frekvenci: • Radiové vlny > 0.1 m

• Mikrovlny 10-1 > > 10-3 m

• Infračervené záření 10-3 > > 7 10-7 m

• Viditelné záření 7 10-7 > > 4 10-7 m

• Ultrafialové záření 4 10-7 > > 6 10-10 m

• Rentgenové záření 10-8 > > 10-12 m

• Gama a kosmické záření 10-10 > > 10-14 m

09. 12. 2015 21

Rozhlas a TV

• Ve vysílači je vlna určité nosné frekvence napřed modulována přenášeným signálem. Obvykle to bývá amplitudově AM nebo frekvenčně FM. Potom je zesílena a přes anténu vyslána do prostoru.

• Přijímač musí mít anténu citlivou buď na elektrickou nebo magnetickou složku vlny.

• Jeho důležitou částí je ladící obvod, v němž se vybírá správná frekvence přijímaných vln.

09. 12. 2015 22

EMA záření v látkách I• Řešení MAX může být obecně dosti složité.

• V nevodivých látkách jsou řešením též elektromagnetické vlny, které se šíří menší rychlostí než ve vakuu

• Poměr c/v se v optice nazývá index lomu. Téměř u všech dielektrik (vyjma feromagnetik) je r 1 a platí tzv. Maxwellův zákon

rrrvc

n

rrrroo

cv

11

09. 12. 2015 23

EMA záření v látkách II

plyn nexp

vodík 1.00013 1.00013

vzduch 1.000294 1.000293

CO2 1.000482 1.000450

elthylén 1.000692 1.000699

r

09. 12. 2015 24

EMA záření v látkách III[nm] voda nexp

650 8.88

88 8.89

37 8.10

8 8.97

4 9.50

0.00126 1.32

0.000589 1.33

94.8r

09. 12. 2015 25

Shrnutí vlastností EMA vln

• Řešení Maxwellových rovnic bez proudů a nábojů vyhovuje obecným vlnovým rovnicím.

• Ve vakuu se EMA vlny šíří rychlostí světlac = 3.108 m/s. Šíření v látkách je pomalejší a je určeno hodnotou permitivity při dané frekvenci.

• Vektory ( ), , tvoří pravotočivý systém • Amplituda magnetické indukce je c-krát menší než

amplituda elektrické intenzity, ale energii nesou obě pole stejnou!

• Pro elektromagnetické vlny platí princip superpozice.

c

E

B

S

09. 12. 2015 26

Typicky vlnové vlastnosti

• Na EMA vlny lze aplikovat Huygensův princip (Christian 1629-1695):• Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým

zdrojem kulových vln. • Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln.• Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je

obálkou kulových vln.• V případě překážek dochází k interferenci a

difrakci.

09. 12. 2015 27

Dualismus vln a částic• Elektromagnetické vlny projevují řadu vlnových

vlastností, ale s rostoucí frekvencí a tedy zkracující se vlnovou délkou se u nich výrazněji projevují vlastnosti částicové - korpuskulární.

• Ukazuje se, že energie je kvantovaná a jeden foton nese energii danou Planckovým zákonem:

eVsJsh

hchfE

1534 1013.41063.6

09. 12. 2015 28

Optika

Původně se zabývala vlastnostmi a použitím světla.

Nyní je mnohem obecnější

09. 12. 2015 29

Úvod do optiky I• Již od nepaměti si lidstvo klade otázku: Co je

světlo?

• První důležité objevy byly uskutečněny ve staré Číně a v Antice, cca před třemi tisíci lety. Nyní se naše znalosti dvojnásobí téměř každý rok. Ale nejhlubší poznání se mění pomalu a původní otázka zůstává nezodpovězená.

09. 12. 2015 30

Úvod do optiky II• Dlouhou dobu se věřilo tomu, že světlo je proud jakýchsi

mikroskopických částic. Tzv. korpuskulární teorie, založená na této představě, byla podporována například Isaacem Newtonem (1642-1727). Tento genius ‘dovršil’ lidské poznání v několika oblastech (mechanika, gravitace…).

• Přes obrovskou autoritu, kterou měl i po své smrti, se objevily experimenty, které jasně ilustrovaly vlnové vlastnosti světla.

• Zhruba před sto lety se zjistilo, že světlo je přecejen proud částic, ovšem velmi zvláštních, protože se nemohou zastavit a chovají se podle vlnového jízdního řádu.

09. 12. 2015 31

Úvod do optiky III• Existují dvě skupiny experimentů. Jedna podporuje teorii

korpuskulární, druhá částicovou. Každá z nich podporuje jednu z těchto představ.

• Problém, zda světlo jsou vlny nebo částice se ukázal hlubší, než se původně zdálo a zůstal nevyřešen. Protože světlo nejsou ani klasické vlny ani klasické částice.

• Vlnové vlastnosti byly geniálně shrnuty Jamesem Clerkem Maxwellem (1831-1879).

• Nyní v řadě aplikací postačuje považovat světlo za elektromagnetické vlny s vlnovou délkou 400 – 700 nm.

09. 12. 2015 32

Úvod do optiky IV• Přenos energie, podobně jako absorpce a emise se

uskutečňují po jistých minimálních kvantech – fotonech. Jsou to částice s celočíselným spinem, tzv. bosony, u nichž není omezení na počet částic ve stejném stavu – laser.

• Nicméně pohyb světla přes optické elementy jako čočky, otvory a štěrbiny je řízen vlnovými vlastnostmi světla.

09. 12. 2015 33

Úvod do optiky V• Ukazuje se, že dualismus vln a částic je základní

vlastností mikrosvěta a přijmutí myšlenky, že mikroskopické objekty mohou být částice a „současně“ vlny, je základem kvantové mechaniky. Ta je zatím nejlepší teorií mikrosvěta, která byla do současnosti vybudována. Její pochopení bohužel vyžaduje značné úsilí, především proto, že je nutné se vzdát představ z normálního makrosvěta.

09. 12. 2015 34

Úvod do optiky VI• Díky dualismu vln a částic se značně rozšířila

oblast zájmu a působení optiky. V současné době se zabývá nejen viditelným světlem, ale obecně vlnami a to nejen elektromagnetickými, ale i částicovými. Významná část optiky se například zabývá zaostřováním typicky částicových objektů jako jsou elektrony nebo neutrony.

09. 12. 2015 35

Hranice geometrické optiky I• Přestože je optika široká a složitá disciplína, pro

mnoho praktických aplikací lze uvažovat první přiblížení – geometrickou optiku. V ní lze jevy popisovat čistě geometricky pomocí paprsků, které dědí určité vlastnosti vln:• přímočaré šíření• nezávislost• reciprocita

• Geometrická optika přestává být dobrou teorií v okamžiku, kdy začnou hrát významnou roli částicové nebo vlnové vlastnosti světla.

09. 12. 2015 36

Hranice geometrické optiky II

• Typicky vlnové vlastnosti začínají hrát roli, když je velikost optických elementů srovnatelná s vlnovou délkou světla. Tato situace nastává vždy u radiových vln a mikrovln. V optice viditelného světla je jeho vlnový charakter limitním faktorem pro rozlišení optických přístrojů.

• Částicové vlastnosti elektromagnetických vln se projevují hlavně u vyšších energií. Viditelné světlo je bohužel právě na hranici.

09. 12. 2015 37

Hranice geometrické optiky III• Popis geometrickou optikou může být

použit tam, kde lze vlnovou délku záření považovat za nulovou, rychlost za nekonečnou a energii za malou vzhledem k použitým materiálům (lze například zanedbat fotoelektrický jev) .

• Tyto podmínky obvykle splňuje viditelné světlo nízkých intenzit.

09. 12. 2015 38

Základy geometrické optiky I• Prvním důležitým předpokladem je, že se světlo šíří ve

formě paprsků. To jsou obecně křivky, podél nichž se šíří zářivá energie. V izotropních a homogenních materiálech jsou paprsky přímkami, které jsou kolmé k vlnoplochám.

• V dané aproximaci mohou být tyto křivky studovány čistě geometricky.

• Předměty principiálně emitují záření, které pozorujeme. Příčiny emise mohou být různé. V GO obvykle uvažujeme, že předměty ‘odrážejí’ dopadající záření.

09. 12. 2015 39

Základy geometrické optiky II• Je relativně snadné „stopovat paprsky“ (ray

tracing), tedy sledovat jejich průchod optickým systémem a vlnoplochy a ostatní parametry zobrazení mohou být rekonstruovány dodatečně.

• Paprsky se řídí zákonem reciprocity: prochází-li paprsek (jednoduchým) optickým systémem jedním směrem, může procházet přesně po stejné dráze i směrem opačným. To je jeden z důsledků Fermatova principu.

09. 12. 2015 40

Fermatův princip I

• Fermatův princip je vhodný základ pro vysvětlení jednoduchých, ale i těch nejsložitějších optických jevů. Říká:

Světlo z bodu S do bodu P musí procházet po optické dráze, která je stacionární vůči variacím dráhy.

09. 12. 2015 41

Fermatův princip II• Vyplývá to z vlnových vlastností záření, kde lze

ukázat, že vlny pohybující se po dráhách blízkých skutečnému chodu paprsku, s ním musí být téměř ve fázi.

• Často platí zjednodušená formulace, že skutečná dráha je ta, po níž putuje paprsek nejkratší dobu.

• V homogenním a izotropním prostředí se jedná o nejkratší dráhu, což odpovídá přímočarému šíření světla.

09. 12. 2015 42

Ideální optický systém I• Optickým systémem se snažíme zaostřit všechny

paprsky vycházející z určitého bodu S v předmětovém prostoru do jediného bodu P v prostoru obrazovém.

• Je-li toho dosaženo, říkáme že zobrazení je pro body v těchto prostorech ostré neboli stigmatické.

• Ideální optický systém by ostře zobrazoval určitou třírozměrnou podmnožinu předmětového prostoru do jisté třírozměrné oblasti prostoru obrazového. Vzhledem k reciprocitě jsou oba prostory záměnné.

09. 12. 2015 43

Ideální optický systém II• Vlastnosti reálného optického systému by se měly

ideálnímu co nejvíce přibližovat.

• Navíc by mělo být snadné určit chod paprsků a díky jednoduché parametrizaci by měla existovat jednoduchá rovnice popisující vztah předmětu a obrazu.

• Optické systémy jsou založeny na odrazu (reflexi), lomu (refrakci) nebo difrakci záření.

09. 12. 2015 44

Odraz světla I• K nalezení zákona odrazu na rovné ploše

použijme Fermatův princip:

• Bod S bude zdroj radiálně se šířících paprsků a bod P bodem pozorování. Protože oba body jsou ve stejném prostředí (homogenním a izotropním), musí být odražený paprsek nejkratší ze všech možných. Najdeme jej, pomocí triku, kdy si promítneme jeden z bodů za zrcadlo a využijeme shodnosti vzniklých trojúhelníků.

09. 12. 2015 45

Odraz světla II• Z jednoduché geometrie plyne, že úhel odrazu se

rovná úhlu dopadu. V optice se podle konvence (obvykle) měří úhly od příslušných normál.• Zákon platí pro každý element plochy.• Je-li zrcadlící plocha konečné velikosti hladká, je

reflexe spekulární a z bodu P vidíme ostrý obraz bodu S. Není-li plocha hladká je reflexe difúzní (papír, Měsíc). Tu nelze použít k zobrazování, zato však nese jistou informaci o struktuře povrchu.

09. 12. 2015 46

Reflexní optika I• Využití reflexe je jednou z možností konstrukce

optických systémů. V tomto případě různé druhy zrcadel k vytváření obrazu jistého předmětu.

• Obraz může být buď reálný, pokud jím přímo prochází paprsky nebo zdánlivý (virtuální), pokud pozorovatel pouze vidí paprsky přicházející od obrazu.

• Využití reflexe má v současnosti velký význam v rentgenové a neutronové optice a astronomii.

09. 12. 2015 47

Reflexní optika II• Optické elementy obvykle umisťujeme vůči optické

osu tak, že je tato osou jeho symetrie.• Místo, kde elementem optická osa ‘prochází’, se

nazývá optický střed. (Pozor na satelitní antény!)• Dopadnou-li na ideální zrcadlo paprsky rovnoběžné

s optickou osou, tedy předmět je v nekonečnu, je obrazem jediný bod ohnisko.• Je-li zrcadlo duté neboli konkávní, je ohnisko reálné a

paprsky jím skutečně prochází. • Je-li zrcadlo vypuklé neboli konvexní, je ohnisko

virtuální a paprsky z něj zdánlivě vychází.

09. 12. 2015 48

Reflexní optika III

• Optické vlastnosti ideálního zrcadla lze tedy popsat jediným parametrem ohniskovou vzdáleností f, tedy vzdáleností ohniska od optického středu podél optické osy.

• Ideální zrcadlo by mělo být parabolické, tedy mít tvar rotačního paraboloidu.

09. 12. 2015 49

Reflexní optika IV• V současné době je principiálně možné vyrobit

parabolická zrcadla a pro speciální aplikace se to skutečně dělá. Vyrobit příslušný tvar s potřebnou přesností, která musí být minimálně srovnatelná s vlnovou délkou světla, je ovšem velice obtížné a drahé. Ve většině případů se proto používají snáze vyrobitelnější a tedy i podstatně levnější zrcadla sférická (kulová). Ta mají ovšem principiálně – sférickou vadu a jsou použitelná pouze pro paraxiální paprsky, což jsou paprsky v těsné blízkosti optické osy.

09. 12. 2015 50

Reflexní optika V

• Vzdálenosti předmětová, obrazová a ohnisková: do, di, a f musí vyhovovat zrcadlové zobrazovací rovnici:

1/do + 1/di = 1/f

• Tu lze jednoduše odvodit z geometrie.

• Stejná rovnice platí i pro konvexní zrcadla, ale jejich ohnisková vzdálenost je záporná.

09. 12. 2015 51

Reflexní optika VI• Dalším parametrem zobrazení je příčné zvětšení,

které definujeme:

m = hi/h0 = - di/do

• V současné době se vyvíjí řada optických systémů, založených na reflexi: hvězdářské dalekohledy, rentgenová a neutronová optika a optická vlákna, založená na totálním odrazu na jednoduché nebo mnohonásobné vrstvě. V daných oblastech je použití čoček neefektivní nebo dokonce nemožné.

09. 12. 2015 52

Refrakce I• Další důležitý základní optický jev je lom záření neboli

refrakce. K lomu dochází, prochází-li paprsky rozhraním z jedné fáze do druhé a tyto fáze se liší optickou hustotou. Refrakce je vždy doprovázena reflexí.

• Čím je materiál opticky hustší, tím je v něm menší rychlost šíření světla.

• Optickou hustotu charakterizujeme absolutním indexem lomu: n = c/v, kde c je rychlost světla ve vakuu a v rychlost světla v příslušné látce (fázi).

• Vzpomeňte si na Maxwellův zákon :

rrrvc

n

09. 12. 2015 53

Refrakce II

• Pro odvození zákona lomu můžeme opět použít Fermatova principu.

• Nalezení paprsku, který doputuje nejrychleji z bodu S do P, je podobný problém, jako hledání časově nejkratší cesty při zachraňování tonoucího člověka, vezmeme-li v úvahu, že běžíme rychleji než plaveme.

09. 12. 2015 54

Refrakce III• Použijeme obecnější formulace Fermatova

principu, která říká, že správný paprsek je stacionární. Jinými slovy to znamená, že doba letu sousedního velice blízkého paprsku bude přibližně stejná.

• Ať je bod S v prostředí, kde se paprsek šíří rychlostí v1 = c/n1 a bod P v prostředí, kde se šíří rychlostí v2 = c/n2.

Refrakce IV

C

φ1

F

n1

n2

S

Pφ2

E

X

EC/v1 = XF/v2

XCsinφ1/v1 = XCsinφ2 /v2

n1 sinφ1 = n2 sinφ2

09. 12. 2015 56

Refrakce V• Budiž SCP hledaný paprsek, který putuje nejkratší

dobu a SXP nějaký blízký sousední paprsek. Má-li být doba jeho letu stejná, musí dobu, kterou ztratil v jednom prostředí, nahnat v prostředí druhém:

EC/v1 = XF/v2

• Použijeme: EC = XCsin1 and XF = XCsin2 a dosadíme za rychlosti v1 a v2.. Dostaneme Snellův zákon:

n1sin1 = n2sin2

09. 12. 2015 57

Refrakce VI• Zřejmě čím je prostředí opticky hustší a tedy rychlost

šíření v něm nižší, tím je refrakční úhel v něm menší a paprsek v něm letí po kratší dráze.

• Prochází-li paprsek z opticky hustšího do opticky řidšího prostředí, láme se od kolmice.

• Pro úhel sin2 = n1/n2 se paprsek láme pod úhlem 90°, pohybuje se podél rozhraní a do druhého prostředí neproniká. Jedná se o kritický úhel lomu.

09. 12. 2015 58

Refrakce VII

• Když paprsek dopadá z opticky hustšího prostředí pod větším než kritickým úhlem, neprojde do druhého prostředí, ale dojde k totálnímu odrazu do prostředí původního.

• Jevu totálního vnitřního odrazu se využívá ve vláknové optice.

09. 12. 2015 59

Disperze I• Průhledné látky mají zajímavou vlastnost:

Rychlost světla v nich a tedy i jejich index lomu závisí na vlnové délce procházejícího záření.

• Znamená to, že světlo (záření) každé vlnové délky se láme pod trochu jiným úhlem.

• Geometrická optika tedy neplatí přesně u refrakce ani v prvním přiblížení. Problém ale obvykle řeší korekcemi v rámci g.o.

09. 12. 2015 60

Disperze II• Jev disperze komplikuje vývoj optických systémů.

• Na druhé straně dává možnost rozkládat viditelné světlo a blízké IČ a UV záření do různých vlnových délek, což má velký význam například u spektroskopických metod. Ty lze provádět i u nesmírně vzdálených objektů a např. z Dopplerova jevu zjišťovat navíc jejich relativní pohyb.

• I romantická duha je způsobena mimo jiné disperzí.

09. 12. 2015 61

Refrakční optika I• Refrakce se využívá ke konstrukci optických

prvků a systémů.

• Máme-li bod S v prostředí n1 a bod P v prostředí n2 > n1 můžeme použít Fermatův princip, k nalezení tvaru rozhraní, aby se všechny paprsky, vycházející z bodu S lámaly do bodu P, čili oba body byly konjugované nebo optický systém by byl vůči nim stigmatický.

09. 12. 2015 62

Refrakční optika II• Porovnáme-li některý paprsek, který se láme s

paprskem na optické ose, která oba body přímo spojuje, najdeme vztah :

l1n1 + l2n2 = s1n1 + s2n2 • Je také ihned vidět, že čočka z opticky hustšího

materiálu musí být konvexní.• Vztahu přesně odpovídá plocha čtvrtého řádu,

zvaná karteziánský ovoid.• Tuto plochu lze v paraxiální oblasti aproximovat

plochou sférickou.

09. 12. 2015 63

Refrakční optika III

• Posuneme-li jeden z bodů S nebo P do nekonečna, bude výsledná plocha řádu druhého, buď eliptická nebo hyperbolická.

• Na tomto principu se konstruují čočky - optické prvky, které umožňují, aby předmět i obraz byly ve stejném prostředí.

09. 12. 2015 64

Refrakční optika IV• Ideální čočky mohou mít například obě plochy

hyperbolické nebo jednu planární.

• Přestože v současnosti je principiálně možné asférické plochy vyrobit, je podstatně levnější je aproximovat plochami sférickými.

• Podobně, jako tomu bylo u zrcadel, sférické čočky mohou být úspěšně použity pouze v paraxiální oblasti v těsné blízkosti optické osy.

09. 12. 2015 65

Tenká čočka I• Důležitou aproximací jsou takzvané tenké čočky.

• Mohou být charakterizovány jediným parametrem, ohniskovou vzdáleností f. Je to vzdálenost optického středu od ohniska F, což je bod ve kterém se sbíhají paprsky přicházející rovnoběžně s optickou osou.

• Vlastnosti tenké čočky jsou z obou stran stejné.

09. 12. 2015 66

Tenká čočka II• K porozumění funkce optických přístrojů je dobré

vědět, že rovnoběžné paprsky se za čočkou sbíhají v jednom bodě, i když nepřichází rovnoběžně s optickou osou. Každému směru přísluší určitý bod v ohniskové rovině a ohnisko je speciálním případem.

• Oftalmologové a optici charakterizují čočky pomocí “síly nebo optické mohutnosti” P = 1/f , vyjadřované v dioptriích 1D = 1m-1.

09. 12. 2015 67

Tenká čočka III• Pro tenké čočky lze odvodit vztah (lensmaker’s equation),

který vyjadřuje závislost optické mohutnosti D nebo ohniskové vzdálenosti f čočky na poloměrech křivosti R1 a R2 ploch a indexech lomu materiálu čočky n a okolí n0 :

• Musí se dodržet znaménková konvence. • Je patrné, že v této aproximaci, je ohnisková vzdálenost na

obou stranách čočky stejná, i při různých poloměrech křivosti.

)11

)(1(1

210 RRnn

fD

09. 12. 2015 68

Tenká čočka IV

• Podobně jako u zrcadel, čočky mohou být spojné a rozptylky a zobrazení může být skutečné nebo zdánlivé.

• K nalezení obrazu k danému předmětu požíváme dvou ze tří speciálních paprsků. Dvakrát můžeme využít vlastnosti ohniska a navíc skutečnosti, že paprsky procházející optickým středem se nelámou.

09. 12. 2015 69

Tenká čočka V• Lze odvodit zobrazovací rovnici čočky, která dává

do souvislosti předmětovou, obrazovou a ohniskovou vzdálenost určitého zobrazení :

1/do + 1/di = 1/f

• a definovat příčné zvětšení jako poměr výšky obrazu ku výšce předmětu, přičemž se musí respektovat znaménková konvence :

m = hi/ho = - di/do

09. 12. 2015 70

Kombinace čoček

• Postupujeme od čočky nejbližší předmětu :

• Zobrazíme předmět pouze nejbližší čočkou.

• Obraz vytvořený první čočkou považujeme za předmět pro druhou čočku.

• Provedeme zobrazení pouze druhou čočkou a obdobně postupujeme s čočkami dalšími.

• Optické přístroje obvykle obsahují několik čoček např. kvůli kompenzaci barevné vady.

09. 12. 2015 71

Lidské oko I• Na lomu se nejvíce podílí (rohovka cornea n = 1.376), čočka obstarává jen jemné doostření.• Kvalita zaostření a hloubka ostrosti závisí na

zorničce, obě jsou lepší při menší apertůře (při větším osvětlení), protože propustí jen paraxiální paprsky. Podobného efektu lze částečně docílit zacloněním předmětu nějakou hranou.

• Blízký bod normálního oka je 25 cm, daleký bod je nekonečno.

09. 12. 2015 72

Lidské oko II• Důvodem krátkozrakosti (myopie) je obvykle dlouhé oko.

Daleký bod není v nekonečnu a pacienti vidí špatně na dálku, ale dobře na blízko. Při čtení si kladou předmět blíže než do konvenční vzdálenosti. Krátkozrakost lze korigovat rozptylkou.

• Důvodem dalekozrakosti (hypermetropie, hyperopie, presbyopie) je krátké oko nebo ztráta pružnosti čočky, která se vyvíjí také s věkem. Pacienti nedokáží zaostřit oko na blízké předměty a při čtení si kladou předmět dále než do konvenční vzdálenosti. Dalekozrakost lze korigovat čočkou spojnou.

09. 12. 2015 73

Lidské oko III• Relaxované oko je zaostřeno na nekonečno. Proto

okuláry některých přístrojů vytvářejí paralelní paprsky.

• Jiné optické přístroje vytvářejí virtuální obraz v konvenční optické vzdálenosti 25 cm. Příkladem jsou především brýle a mikroskopy. Do nich nebo jejich okuláru je nutné se dívat z přesné vzdálenosti. Existují na to opěrky očí. Bez opěrek je správné použití stereo-mikroskopu velice obtížné.

09. 12. 2015 74

Lupa• Lupa se užívá :

• buď je předmět v ohniskové rovině a pozorujeme jej relaxovaným okem.

• nebo je oko těsně u čočky (alias Sherlock Holmes) a virtuální obraz se vytváří přibližně v konvenční optické vzdálenosti.

• Zvětšení souvisí se zvětšením zorného úhlu. Objekty nám totiž připadají tak velké, pod jakým úhlem se nám jeví na sítnici.

09. 12. 2015 75

Dalekohled I• Jednoduchý Keplerův hvězdářský dalekohled má

dvě čočky, které mají společnou ohniskovou rovinu. Tedy obrazová ohnisková rovina objektivu (téměř) splývá s předmětovou rovinou okuláru, který má kratší ohniskovou vzdálenost.

• Úhlové zvětšení je dáno poměrem ohniskových vzdáleností fobj/foku.

• Existují dalekohledy s přímým obrazem Galileův, který má společnou zadní ohniskovou rovinu. nebo s více čočkami.

09. 12. 2015 76

Dalekohled II• Velice důležité jsou zrcadlové dalkohledy,

například Newtonův, Cassegrainův a mnoho jiných :• velká zrcadla se snadněji vyrábí a podpírají• zrcadla nemají barevnou vadu

09. 12. 2015 77

Mikroskop• Princip mikroskopu může být opět ukázán na

jednoduchém typu se dvěma čočkami :

• Objektiv, který má nyní velmi krátkou ohniskovou vzdálenost, vytváří skutečný obraz. Ten je pozorován okulárem, tak že výsledný obraz se jeví jako zdánlivý v konvenční optické vzdálenosti.

• Dobré mikroskopy, podobně jako jiné kvalitní optické přístroje, bývají značně komplikované, protože je nutné kompenzovat optické vady čoček.

09. 12. 2015 78

Fresnelova čočka• Na konci 18. století vznikla potřeba vyrábět velké

spojné čočky pro námořní majáky. Augustin Jean Fresnel (1788-1827) přišel s myšlenkou, že důležité je zakřivení povrchu čočky a vyvinul plochou čočku se zónami příslušné křivosti.

• Fresnelovy čočky nejsou vhodné pro kvalitní zobrazování. Zato však znamenají značnou úsporu materiálu, mají nižší absorpci a snadněji se mechanicky upevňují – světlomety, semafory…

09. 12. 2015 79

Jevy za hranicí geometrické optiky

• Při návrhu optických systémů vyšší kvality je žádoucí až nutné brát v úvahu další jevy, zejména :

• disperzi - rychlost šíření závisí na frekvenci

• současný odraz a lom

• absorpci - světlo se v látkách pohlcuje

• polarizaci

• interferenci / difrakci / rozptyl - vlnové vlastnosti

• nelineární jevy - při vyšších intenzitách / energiích

09. 12. 2015 80

Polarizace odrazem

C

φ1

F

n1

n2

S

Pφ2

E

X

Zobrazovací rovnice I

^

ioio

o

i

o

i

oo

i

o

ddfdfdfd

dd

hh

ffd

hh

1111

^

Zobrazovací rovnice II

^

oi

i

o

i

o

ii

o

i

dfd

fd

d

d

h

h

f

fd

h

h

1

• .

Lom na kulovém rozhraní I

d1 d2

Lom na kulovém rozhraní II

^R

nndn

dn

nnnn

12

2

2

1

1

1221 )(

Budeme studovat lom na kulovém rozhraní dvou oblastí v paraxiální oblasti.Paprsek vychází s bodu O v prostředí n1, láme se v bodě P na kulové ploše s poloměrem křivosti R se středem v bodě C do bodu I v prostředí n2. Z trojúhelníků PIC: = + 2; OPC: 1 = + V paraxiální oblasti platí :

Snellův zákon : n11 = n22

S použitím výšky h bodu P od optické osy: = h/d1; = h/R; = h/d2

Po jednoduché úpravě vymizí úhlové závislosti :

Lensmaker’s equation I

Q

R1R2

Lensmaker’s equation IIStudujeme lom paprsku přicházejícího z vakua na dvou kulových rozhraních ohraničujících oblast n v paraxiální oblasti.Paprsek přichází paralelně s optickou osou. Láme se v bodě A1, ležícím v přední kulové ploše se středem C1 a poloměrem R1, do oblasti n a v bodě A2, ležícím v zadní kulové ploše se středem C2 a poloměrem R2, se znovu láme do ohniska F.Zavedeme odklon při prvním lomu: = 1 - 2

Z trojúhelníků C2A2F: 4 = + ; A1A2Q: 3 = + V paraxiální oblasti platí :

Snellův zákon : 1 = n2 ; 4 = n3

S použitím výšek h1a h2 bodů A1 a A2 :1 = h1/R1; = h2/R2; = h2/f

V poslední rovnici uvažujeme velmi tenkou čočku.

Lensmaker’s equation III

nnnn1

1214

3

Můžeme tedy postupně psát :

Vyjádříme-li úhly pomocí výšek :

Uvážíme-li že pro velmi tenkou čočku přibližně platí : h1=h2, dostaneme po drobných úpravách nakonec :

1

1

1

12

2

2

2

2

nRh

Rh

nfh

nRh

Rh

)11

)(1(1

21 RRn

fD

Lensmaker’s equation IVJaká je optická mohutnost a ohnisková vzdálenost čočky podle obrázku, vyrobené ze skla n = 1.50 ve vzduchu n = 1 ?

Je nutné si uvědomit, že nyní je R2 záporné. Po dosazení :

87.015.1)462.01

224.01

)(5.0(1 ff

D

Lensmaker’s equation V

^

Jaká by byla optická mohutnost nebo ohnisková vzdálenost vzduchové n = 1.50 dutiny ve skle n = 1 stejných rozměrů ? Nyní použijeme obecnější vztah :

Ve výrazu na pravé straně se bude lišit jen první závorka. Když se jednalo o skleněnou čočku ve vzduchu, bylo n =1.5 a n0 = 1 a (n/n0 – 1) = 0.5 Nyní je tomu obráceně a tedy n =1 a n0 = 1.5 a (n/n0 – 1) = – 0.33.Podle očekávání se dutina chová jako rozptylka, ale číselně není hodnota jejích parametrů opačná!

3.177.0)462.01

224.01

)(33.0(1 ff

D

)11

)(1(1

210 RRnn

fD

Brýle (pro krátkozrakého) I

^

Df

12.0

125.011

Jaké brýle předepíšeme krátkozrakému člověku, který čte ostře ve vzdálenosti 20 cm ?

Brýle musí vytvořit z předmětu, umístěného do konvenční vzdálenosti a = 25 cm, přímý, zdánlivý obraz ve vzdálenosti 20 cm, kde ho pacient vidí ostře. Tedy a b = 20 cm :

Brýle (pro dalekozrakého) II

^

Df

25.0

125.011

Jaké brýle předepíšeme dalekozrakému člověku, který čte ostře ve vzdálenosti 50 cm?

Brýle musí vytvořit z předmětu, umístěného do konvenční vzdálenosti a = 25 cm, přímý, zdánlivý obraz ve vzdálenosti 20 cm, kde ho pacient vidí ostře. Tedy a b = 50 cm :

Vztah energie a hybnosti• Pro celkovou energii podle speciální teorie

relativity platí : 2mcE

• Hybnost je definovaná jako součin relativistické hmotnosti a rychlosti : mvp

^

• Fotony se šíří rychlostí světla, tedy v = c :

cE

ppcEmcp

Tlak záření• Na povrch Země dopadá sluneční záření intenzitou <S>=1000 W/m2. Jakým tlakem na vás bude působit? Předpokládáme úplnou absorpci

κ=1.

• Hybnost, procházející plochou A za dt je:

• Tedy tlak :

26 /10.3 mNcS

AF

P

cAS

dtdp

Fc

AdtSc

dUdp

^