1

OBJETIVO GENERAL: Conocer las definiciones relativas al error experimental. Determinar el

error en el proceso de una medición.

Las partes de este experimento son:

1) Medición y error experimental en una muestra discreta.

2) Medición y propagación de errores.

3) Gráfica de los resultados experimentales, curvas de ajuste.

I. OBJETIVO Determinar la curva de distribución normal en un proceso de medición, correspondiente al

número de frijoles que caben en un puñado normal.

Determinar la incertidumbre en este proceso de medición.

II. MATERIALES

Un tazón de frijoles.

Dos hojas de papel milimetrado.

Un tazón mediano de plástico.

III. PROCEDIMIENTO

Deposite los frijoles en el tazón. Coja un puñado de frijoles del recipiente una y otra vez hasta

logar un puñado normal (un puñado ni muy apretado ni muy suelto).

Después coja un puñado normal y cuente el número de granos obtenido. Apunte el resultado y

repita la operación, por lo menos 100 veces, llenando una tabla como la indicada en el ejemplo

siguiente, donde el número de muestras (puñados) es 20.

IV. CALCULOS Y RESULTADOS

Determine la media aritmética de los 100 números obtenidos. Esta media aritmética es el

número más probable, ∆𝑛𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ de frijoles que caben en un puñado normal.

Determine la INCERTIDUMBRE NORMAL o desviación estándar, ∆(𝑛𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ), de la medición

anterior. Para ello procesa así:

Sea NK el número de granos obtenidos en la k-ésima operación. Halle la media aritmética de los

cuadrados de las diferencias 𝑁𝐾 − 𝑛𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ , que será:

1

100∑(𝑁𝐾 − 𝑛𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ )2

100

𝑘=1

La raíz cuadrada positiva de esta media aritmética es el número ∆(𝑛𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ), buscado; en general:

∆(𝑛𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = [1

100∑(𝑁𝐾 − 𝑛𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ )2

100

𝑘=1

]1

2⁄

2

Grafique la posibilidad de que un puñado normal contenga tantos granos de frijoles. Sean, por

otra parte, r, s dos números naturales. Diremos que un puñado de frijoles es de clase [r,s) si tal

puñado contiene x frijoles y se cumple que 𝑟 ≤ 𝑥 < 𝑠. Sea N el número de veces que se realiza

el experimento consistente en extraer un puñado normal de frijoles, y sea n(r,s) se conoce como

frecuencia de la clase [r, s). Al cociente de dichos números (Cuando N es suficientemente grande)

lo llamaremos PROBABILIDAD π(r,s) DE QUE AL EXTRAER UN PUÑADO, ESTE SEA DE CLASE [n,

r); es decir

𝜋[𝑟, 𝑠) =𝑛[𝑟, 𝑠)

𝑁, 𝑁 𝑚𝑢𝑦 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

La probabilidad así determinada quedara mejor definida cuando más grande sea el número N.

Grafique tanto la probabilidad n [r, r+1) como la probabilidad n [r, r+2).

A continuación damos un ejemplo, con N=20, a fin de aclarar conceptos.

(Atención: este es un ejemplo artificial, pues N=20 es demasiado pequeño)

NK : es el número de granos en el k-ésimo puñado.

K Nk NK-62.75 (NK-62.75)2 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

1 58 m -4.75 22.56

2 60 -2.75 7.56

3 64 1.25 1.56

4 61 -1.75 3.06

5 59 -3.75 14.06

6 62 -.075 0.56

7 65 2.25 5.06

8 68 M 5.25 27.55

9 64 1.75 3.06

10 60 -2.75 7.56

11 62 -0.75 0.56

12 65 2.25 5.06

13 67 4.25 18.08

14 63 0.25 0.06

15 61 -1.75 3.06

16 61 -1.75 3.06

17 62 0.75 0.56

18 66 3.25 10.56

19 63 0.25 0.06

20 64 1.25 1.56

∑ = 𝟏𝟐𝟓𝟓, ∑ = 𝟏𝟑𝟓. 𝟐𝟏 1 1 2 3 3 2 3 2 1 1 1

m=puñado más pequeño M=puñado más grande

3

𝑚𝑛𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ =1255

20= 62.75

∆(𝑚𝑛𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = √135.21

20= 2.6

Dibuje en un plano la frecuencia versus número de frijoles; trace a su criterio, la mejor curva

normal. A 2/3 de la altura máxima trace una recta horizontal, generándose el segmento AB.

Compare el semi ancho 𝑠𝑎̅̅ ̅ =|𝐴𝐵|

2 con ∆(𝑚𝑛𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ )

|𝐴𝐵| = 2𝑠𝑎̅̅ ̅ ≅ 64.9 − 60.1 = 4.8

∆(𝑚𝑛𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = 2.6 ; 𝑠𝑎̅̅ ̅ = 2.4

Como usualmente ∆(𝑚𝑛𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ) y 𝑠𝑎̅̅ ̅ tienen valores cercanos, entonces el semi ancho puede ser

considerado aproximadamente como la desviación standard.

I. OBJETIVOS

Expresar los errores al medir directamente longitudes con escalas en milímetros y en 1/20 de

milímetro.

Determinar magnitudes derivadas o in directas, calculando la propagación de las

incertidumbres.

Figura 2a

En la figura 2a diremos que la flecha indica: (78.2 ± 0.5) unidades de la menor escala.

Queriendo decir que la longitud medida está entre (78.29 – 0.5) u y (78.2 + 0.5) u.

77 78 79 80

u

NK

n(r,s)

58 59 60 61 62 63 64

A

. .

. . . .

. . .

65 66 67 68

.

. . .

. B

4

En la figura 2b diremos que la flecha indica (78.2 ± 0.5) unidades de la menor escala.

Esto indica que esta longitud está comprendida entre (78.8 – 0.5) u y (78.8 + 0.5) u.

II. MATERIALES

Un paralelepípedo de metal.

Una regla graduada en milímetros.

Un pie de rey.

III. CRITERIO PRINCIPAL

Designe con u la unidad de la menor escala del instrumento de medición, entonces la

incertidumbre en esta escala será igual a ± 0.5 u.

Ejemplo: si al medir dos longitudes se obtuviera las líneas mostradas en la figuras 2a y 2b donde

las unidades u son las unidades de menos escala.

Figura 2b

IV. FUNDAMENTO TEORICO

En el proceso de medición, el tratamiento de errores (también llamados errores) nos lleva al

tema de la propagación de estos, al buscar expresar el valor de magnitudes que se determinan

indirectamente.

Teniendo en cuenta que el error de medición directa, de la una magnitud x, es Δx << x , se puede

usar la aproximación.

Δx ≈ dx

Asi, para cualquier magnitud indirecta (o que se mida indirectamente) por ejemplo:

V=V(x,y)

Cuya expresión diferencial es:

𝑑𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑑𝑦

Podremos calcular el error de V si se conoce explícitamente V=V(x,y) y se hace las

aproximaciones.

ΔV ≈ dv ; Δx ≈ dx ; Δy ≈ dy

Ejemplo de aplicación:

Calcular el volumen e un cono recto de radio r y de altura h.

Solución:

𝑉 =1

3𝜋𝑟2ℎ

𝑑𝑉 =2

3𝜋𝑟ℎ𝑑𝑟 +

1

3𝜋𝑟2𝑑ℎ

77 78 79 80

5

Teniendo en cuenta la aproximación (ya indicada)

ΔV ≈ dV ; Δr ≈ dr ; Δh ≈ dh

Se obtiene la expresión correspondiente a la incertidumbre en el cálculo del volumen V.

𝛥𝑉 =2

3𝜋𝑟ℎ𝛥𝑟 +

1

3𝜋𝑟2𝛥ℎ

Nota: en este caso se requiere además, que los valores π/3 y 2π/3 tengan suficientes dígitos

como para evitar introducir errores mayores que los correspondientes a las mediciones de r y

h.

Así, el valor del volumen se expresa como:

Volumen = V ± ΔV

Donde:

𝑉 =1

3𝜋𝑟2ℎ

Procediendo de esta manera (con diferenciales) se obtiene que, para los casos en que se tenga

la suma, la resta, multiplicación o cociente de dos magnitudes x e y, el valor experimental

incluyendo los respectivos errores son:

Suma = x+ y ± (Δx + Δy)

Resta = x – y ± (Δx + Δy)

Producto= xy ± xy(𝛥𝑥

𝑥 +

𝛥𝑦

𝑦)

Cociente= 𝑥

𝑦±

𝑥

𝑦(𝛥𝑥

𝑥 +

𝛥𝑦

𝑦)

Nota: los valores Δx y Δy no se restan como se hubiera hecho en la resta y el cociente, por

cuanto en la medición la incertidumbre esta entre el mínimo y el máximo error.

Resta = x – y - (Δx + Δy) ………….. Valor mínimo

Resta = x – y + (Δx + Δy) …………. Valor máximo

Dadas las siguientes relaciones:

S=x + y R=x – y P=xy C=x/y

Verifique los resultados anteriores mediante diferenciales considerando que:

Δx ≈ dx Δy ≈ dy

SOLUCION:

Datos iniciales 𝑥 ± 𝑑𝑥 𝑦 ± 𝑑𝑦

Sea su suma: q=x+y y su diferencia q=x-y

Calculemos la incertidumbre dq

6

Suma Resta

Valor máximo de q qmax=x+dx+y+dy qmax=x+y+(dx+dy)

qmax=x+dx-(y-dy) qmax=x-y+(dx+dy)

Valor mínimo de q qmin=x-dx+y-dy qmin=x+y-(dx+dy)

qmin=x-dx-(y+dy) qmin=x-y-(dx+dy)

Entonces dq=dx+dy y como Δx ≈ dx y Δy ≈ dy

De donde Δq= Δx+ Δy

Finalmente

Suma = x+ y ± (Δx + Δy)

Resta = x – y ± (Δx + Δy)

Datos iniciales 𝑥 ± 𝑑𝑥 = 𝑥 (1 ±𝑑𝑥

𝑥) 𝑦 ± 𝑑𝑦 = 𝑦 (1 ±

𝑑𝑦

𝑦)

Sea el producto: q=xy y el cociente q=x/y

Calculemos la incertidumbre dq

Producto Cociente

Valor máximo de q qmax= 𝑥 (1 +𝑑𝑥

𝑥) 𝑦 (1 +

𝑑𝑦

𝑦)

≅ 𝑥𝑦 (1 +𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦+

𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦)

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦≈ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑞𝑚𝑎𝑥 ≅ 𝑥𝑦 (1 + [𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦])

𝑞𝑚𝑎𝑥 =𝑥 (1 +

𝑑𝑥𝑥

)

𝑦 (1 −𝑑𝑦𝑦 )

𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 1

1−𝜀= 1 + 𝜀, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜀| < 1

≅𝑥

𝑦(1 +

𝑑𝑥

𝑥) (1 +

𝑑𝑦

𝑦)

≅𝑥

𝑦(1 +

𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦+

𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦)

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦≈ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑞𝑚𝑎𝑥 ≅𝑥

𝑦(1 + [

𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦])

Valor mínimo de q qmin= 𝑥 (1 −𝑑𝑥

𝑥) 𝑦 (1 −

𝑑𝑦

𝑦)

≅ 𝑥𝑦 (1 −𝑑𝑥

𝑥−

𝑑𝑦

𝑦+

𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦)

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦≈ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑞𝑚𝑖𝑛 ≅ 𝑥𝑦 (1 − [𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦])

𝑞𝑚𝑎𝑥 =𝑥 (1 −

𝑑𝑥𝑥 )

𝑦 (1 +𝑑𝑦𝑦 )

𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 1

1+𝜀= 1 − 𝜀, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜀| < 1

≅𝑥

𝑦(1 −

𝑑𝑥

𝑥) (1 −

𝑑𝑦

𝑦)

≅𝑥

𝑦(1 −

𝑑𝑥

𝑥−

𝑑𝑦

𝑦+

𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦)

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑦≈ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑞𝑚𝑎𝑥 ≅𝑥

𝑦(1 − [

𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦])

Entonces para el producto dq= 𝑥𝑦 [𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦]

Y para el cociente dq=𝑥

𝑦[

𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦]

7

Además como Δx ≈ dx y Δy ≈ dy

Entonces para el producto dq= 𝑥𝑦 [Δx

𝑥+

Δy

𝑦]

Y para el cociente dq= 𝑥

𝑦[

Δx

𝑥+

Δy

𝑦]

Finalmente

Producto = 𝑥𝑦 ± 𝑥𝑦 [Δx

𝑥+

Δy

𝑦]

Cociente = 𝑥

𝑦 ±

𝑥

𝑦[

Δx

𝑥+

Δy

𝑦]

V. PROCEDIMIENTO

Tome el paralelepípedo de metal y mida sus tres dimensiones con:

a. Una regla graduada en milímetros

b. Un pie de rey

NOTA: Estas mediciones deben estar provistas de las incertidumbres, mencionadas en el

Criterio Principal.

VI. CALCULOS Y RESULTADOS

Determine el área total A y el volumen V del paralelepípedo.

Suponga que coloca 100 paralelepípedos, apoyados uno sobre otro, formando un gran

paralelepípedo, para esto determine:

a. El área total A100

b. El volumen total V100

Todas estas mediciones se registran en la tabla dad en el manual.

I. OBJETIVOS

Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su periodo independiente de

su amplitud angular θ. (θ≤12º).

Determinar la relación entre el periodo y la longitud l del péndulo.

Construir funciones polinómicas que representen a dicha función.

II. MATERIALES

Un péndulo simple de 1.5 m de longitud.

8

Una regla graduada en mm.

Un cronometro.

02 hojas de papel milimetrado.

III. PROCEDIMIENTO

Sostenga el péndulo de manera que el hilo de soporte forme un ángulo θ con la vertical. Suéltelo

y mida el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas, (cada oscilación es una ida y una

vuelta completa). Ahora determine el significado de “Para ángulos θ suficientemente pequeños

el tiempo que dura una oscilación (0 a 10 oscilaciones) no depende del valor de θ”. En lo que

sigue supondremos que trabajamos con valores de θ suficientemente pequeños.

Fije una cierta longitud l k para el péndulo (10 cm ≤ l k ≤ 150 cm), y midiendo 10 oscilaciones

completas determine el periodo TK1 de dicho péndulo. Repita esto 5 veces, obteniendo TK2…, TK5.

Luego determine el periodo más probable TK de dicho péndulo como media aritmética de las

cinco mediciones anteriores.

Realice todo lo anterior para k= 1, 2,…., 10; obteniendo así 10 puntos (T1, l 1), (T2, l 2),…, (T10,

l 10), llenando la tabla.

IV. CALCULOS Y RESULTADOS

1. Grafique la función discreta

F(Tk)={(T1, l 1), (T2, l 2),…, (T10, l 10)}

2. Calcule la incertidumbre.

∆𝑓 = {1

10∑[𝑙𝑘 − 𝑓(𝑇𝐾)]2

10

𝑘=1

}

1/2

3. Grafique una nueva función discreta

{(T12, l 1), (T2

2, l 2),…, (T102, l 10)}

4. Elija una curva de ajuste polinómica de segundo orden y determine los coeficientes α, β

y γ de la función g(T)= α + βT + γt2 de manera que pase por tres puntos

“convenientemente” elegidos de esta segunda función.