FIJAS UNI 2010-II

SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA

SEMESTRAL UNI – 2010

Aritmética

1. Indique la secuencia correcta de vera-

cidad (V) o falsedad (F) respecto a las

siguientes proposiciones.

I. Al simplificar [(A ∪ Bc) ∩ (Ac – B)] ∪ B,

se obtiene A ∪ B.

II. Si n(A ∆ B)=1, entonces, n(A ∆ C)=1

o n(B ∩ C)=1

III. Si A ⊂ Bc ∧ B ⊂ Cc, entonces, C ⊂ Ac.

A) FVF

B) VVV

C) VFF

D) FFF

E) VVF

2. Se sabe que

abc28 – 2cba8=(c –1)(c+1)d38 y

abc=dexyen, además, b < c. Calcule el

valor de a+b+c+d+x+y+n.

A) 25 B) 27 C) 28

D) 24 E) 30

3. Si la cantidad de divisores compuestos

de 4000 y abca(a+b) están en la rela-

ción de 3 a 4, respectivamente, siendo

dos de sus divisores primos del segun-

do numeral b y (a+b). Calcule a+b+c.

A) 11 B) 10 C) 12

D) 8 E) 14

4. El resultado de dividir los términos de

la fracción irreductible abnb30

en base n

es aea, 5 1( )d + ; y en la base siguiente

es a00, c c ad−( )1 .

Calcule el valor de a+b+c+d+e. Si n

es par.

A) 22 B) 23 C) 25

D) 24 E) 20

5. Un grupo de a obreros realiza el 50%

de una obra en m días; otros b obreros,

50% más eficientes que los anteriores,

hacen la tercera parte de lo que falta

de la obra en n días. Si para concluir

la obra solo trabajan x obreros del se-

gundo grupo (x < b), terminando lo

restante en 12 días, además, n posee 3

divisores, calcule ab

.

A) x6

B) 6m

C) 18m

D) m18

E) 9m

Seminario Especial de MatemáticaSemestral UNI

– 1 –

6. Fabiola tiene una letra que vence den-tro de 10 meses, descontada al 10% bi-mestral. Si el ahorro que obtendría por liberarse de su deuda 6 meses antes de su vencimiento en lugar de 4 meses antes lo impusiera al 10% cuatrimestral al cabo de 10 meses se convertiría en S/.2100,25. Halle el valor nominal de dicha letra.

A) S/.84 100 B) S/.1866 C) S/.16 802D) S/.18 401 E) S/.8401

7. De un grupo de 8 varones y 6 mujeres, dentro de los cuales se encuentran Ma-riano y Delia, se escogen a 3 varones y 3 mujeres; luego de esto se le hace una entrevista a cada uno de los elegidos por un lapso de 5 minutos. Si los que realizan la entrevista siempre la hacen intercalando el género de las personas, halle la probabilidad de que los dos últi-mos entrevistados sean Mariano y Delia.

A) 1/48 B) 2/9 C) 1/24D) 1/22 E) 3/16

8. La siguiente gráfica muestra los salarios semanales que tienen un grupo de obreros.

1200

148

n

mujeresvarones

salariosemanal

(S/.)

Nº deobreros

m

140 160 180 200

60%60%

75%75%

50%50%80%80%

Si hay 99 varones que ganan menos de

S/.150 semanales, ¿cuál es la diferencia

aproximada entre el salario promedio

de los varones y mujeres?

A) 4,09 B) 1,46 C) 1,52

D) 6,54 E) 4,48

Álgebra

9. Si P(x)=x2+ 1 3 2 2+ +e x e , tal que

x1 ∧ x2 son las raíces del polinomio,

entonces, determine el valor de

P Px x13

23( ) ( )−

A) e B) 1 C) 0

D) e2 1− E) e −1

10. Dadas las siguientes proposiciones res-

pecto a la ecuación de incógnita x

3x+8+n2=6 2 1 2x n x− +

indique la secuencia correcta de vera-

cidad (V) o falsedad (F).

I. Es compatible para cualquier valor

real de n.

II. Es compatible determinado para un

único valor de n.

III. Existe un n ∈ Q tal que la ecuación

presente solución.

A) VVV

B) FVF

C) VVF

D) FFF

E) FVV

Academia César Vallejo

– 2 –

11. Si se tiene que

f xe e

x

x x

( ) sgn= −

−2

2 halle la gráfica de f(1– x)+1.

A)

Y

X

B)

Y

X

C) Y

X

D)

Y

X

E)

Y

X

12. Dada la matriz

A = −

0 1 27 0 13 1 0

calcule el valor de

Traz −( )

−

=∑ 11 1 3

1A

k

k

n

A) 3n+1

B) 3n

C) n(n –1)

D) n2

E) n(n+1)

13. Determine la región en el plano com-plejo correspondiente al siguiente con-junto.

A z izz

= − − −− −

≥

1 22 1 1

0

A) ReRe

ImIm

11

– 1– 1

B) ReRe

ImIm

11

– 1– 1

C)

ImIm

ReRe00 11– 1– 1

D)

ImIm

ReRe11

– 1– 1

E)

ImIm

ReRe11

– 1– 1


– 3 –

14. Dadas las siguientes proposiciones res-

pecto a un problema de programación

lineal, indique la secuencia correcta de

veracidad (V) o falsedad (F).

I. La región factible siempre es un re-

cinto convexo con un número finito

de puntos extremos.

II. Si la región factible es no acotada,

entonces, la función objetivo alcan-

za su valor óptimo en un vértice.

III. Si la región factible es acotada, enton-

ces, el máximo y mínimo valor de la

función objetivo están determinados.

A) FVF

B) FFV

C) VFF

D) VFV

E) VVF

15. Si

f(x; y; z)=(x+y)z ∧ x ≠ y ∧ {x; y; z} ⊂ Z+

está sujeta a las restricciones siguientes

2 3 5 232 5 13

14

x y z

x y z

y z

y

+ + >− + <

− ><

halle el valor de fx y

z; ;

.1

A) 8 B) 1 C) 2

D) 4 E) 3

16. Se define la sucesión (xn) como

xn+1=xn+e – n; n ∈ Z+ ∧ x1=2

halle el valor de convergencia de la

sucesión (an) si se cumple que

log logxn n ee

a e= − −−

12 1

; si n ≥ 2 ∧ a1=ee

A) ee –1

B) e

C) eloge

D) logee

E) e2e

Geometría

17. Se tiene un triángulo rectángulo ABC,

recto en B. Se traza la altura BH, tal que

la circunferencia inscrita en el triángulo

BHC es tangente a AC en su punto me-

dio. Si AO interseca a BH en E, BE=a y

EH=b, calcule AB. (O: es el centro de la

circunferencia inscrita en BHC).

A) a+2b

B) b+2a

C) 2(a+b)

D) 2a+3b

E) 2a – b

18. Del gráfico, ABCD es un rombo.

Calcule mHC .

B

H

C

A D

MM

NN

αα

A) aB) 2aC) 3aD) 4a

E) 32α


– 4 –

19. En un triángulo ABC, de circuncentro

O, BO��

interseca a AC en M, tal que

OM=MC; además, m MBC=q.

Calcule m ABO.

A) 90º – 2qB) 90º – 3qC) 90º – 4qD) 90º – qE) 2q

20. Se tiene un triángulo ABC, de ortocen-

tro H y circuncentro O, donde OB=a y

(BH)(HD)=b2 (D es la intersección de

BH� ��

y AC��

). Calcule OH.

A) a b2 2−

B) b a2 22−

C) a b2 22−

D) a b2 2

2+

E) a b2 2

4+

21. Indique la secuencia correcta de

veracidad (V) o falsedad (F) respecto a

los siguientes enunciados.

I. Si una recta es perpendicular a un

plano, entonces, cualquier recta que

pase por su pie será perpendicular a

ella.

II. Si dos rectas son paralelas a un plano,

entonces, el plano determinado por

ellas será paralelo al plano inicial.

III. El ángulo triedro es un conjunto

convexo.

A) VFF B) VVF C) FFV

D) FVF E) FFF

22. Del gráfico, se muestran un tetraedro

regular y un cubo. Calcule la razón de

sus volúmenes.

A) 23

B) 64

C) 3

3

D) 34

E) 26

23. Se tiene un prisma regular ABCDEF -

MNPQRS. Si la medida del diedro entre

las regiones MNPQRS y ABPS es 45º,

calcule la medida del ángulo entre BS��

y el plano MPR.

A) 15º

B) 53º/2

C) 37º/2

D) 30º

E) 37º


– 5 –

24. Se tiene un cono, al cual se traza un

plano secante y paralelo a la base del

sólido. Si los sólidos parciales son equi-

valentes, calcule la razón de alturas de

dichos sólidos.

A) 13

B) 23

3

C) 123

D) 12 13 −

E) 23

3

Trigonometría

25. Del gráfico, calcule 4 5 5−( )tanq+8

si T, A y B son puntos de tangencia,

además MN=1 y RP=2.

A

θBR P

T

NM

A) 3 5

B) 2 5

C) 4 5

D) 5

E) 5 5

26. Si sen2x=n y sen2y=m, calcule

(cos(x+y)+sen(x – y))2 en términos de

m y n.

A) (1 – n)(1 – m)

B) (1+n)(1+m)

C) (1 – n)(1+m)

D) (1 – m)(1+n)

E) m2n2

27. Del gráfico, calcule el área de la región

sombreada si AB=6 y MN=4.

θθ

A B

M

N2θ

A) 23

21 3 2+( ) u

B) 43

21 3 2+( ) u

C) 43

21 2 2+( ) u

D) 23

97 7 2+( ) u

E) 43

97 7 2+( ) u


– 6 –

28. En la circunferencia trigonométrica

mostrada, halle ab en términos de q.

θθ

Y

X

(a; b)

A) −cosθ2

B) −senθ2

C) – cosq

D) –senq

E) senqcosq

29. Determine el rango de la función f,

cuya regla de correspondencia es

f x x x x( ) cos cos tan= − +1 8 2 2

si x∈

23

34

π π; .

A) − 3 1;

B) [0; 1]

C) − 3 0;

D) [– 1; 1]

E) − 3 3;

30. Calcule el dominio de la función defi-nida por

f xx

( )arctan arctan arctan( )

=

+

−4

7311

2

sen 2arccos(2xx)3

−

π

A) −

− −

12

12

14

34

; ;

B) −

− −

12

12

34

14

; ;

C) −

− −{ }1

212

14

;

D) −

−

12

12

34

;

E) −

−{ }1

212

0;

31. Resuelva la ecuación

(tan ) (cot ) (cot ) ( )α α απ

arcsen arcsenx x=−2 2

Considere a constante.

A) −3

3

B) 3

3

C) ± 33

D) −12

E) 12


– 7 –

32. En el gráfico se muestra una parábola en el sistema X’Y’, cuyo vértice es V y foco F. Halle la ecuación de la parábola en dicho sistema.

Y

Y ' X '

XF

V(1; 1/6)

85

715

; –

37º

A) ( ' ) 'x y− = − −

116

2

B) ( ' ) 'x y− = −

1 616

2

C) ( ' ) 'x y− = −116

2

D) ( ' ) 'x y− = −

116

16

2

E) ( ' ) 'x y− = − −

1 616

2

Lima, 10 de agosto de 2010


– 8 –

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