COURS D’OPTIQUE GEOMETRIQUE

Semestre 2 – Module : Optique Géométrique

FILIERES : SMA - SMI

Semestre 2

Année universitaire 2017 - 2018

Pr. BENHMIDA Abdellatif

1

PROGRAMME

- Lois et Principes de l’Optique Géométrique.

- Eléments constitutifs des Instruments Optiques (Dioptres et Miroirs).

- Systèmes centrés (Lentilles).

2

Chapitre 1.

LOIS ET PRINCIPES FONDAMENTAUX DE

L’OPTIQUE GEOMETRIQUE

- L’Optique est l’étude des phénomènes dus aux radiations lumineuses.

0,4 m 0,8 m

Ultra-violet Spectre Infra-rouge Longueur d’onde

(U.V.) visible (I.R.)

- Pour réaliser une expérience d’Optique, il faut disposer de trois éléments essentiels :

une source, un milieu de propagation et un récepteur.

I. Définitions.

I.1. Sources lumineuses.

Elles sont constituées par les corps lumineux qui émettent le rayonnement.

Exemples :

- Sources naturelles : soleil, étoiles, …

- Sources artificielles : Feux, bougies, arcs électriques, lampes spectrales, lampes à

incandescence, lasers, …

Nous ne ferons aucune différence entre les corps éclairés et les sources de lumière : les

uns comme les autres constitueront des objets lumineux.

Une source est dite ponctuelle pour l’utilisateur (œil ou appareil optique), si ses

dimensions sont très faibles par rapport à sa distance. Ou d’une manière un peu plus

précise, s’elle est vue sous un diamètre apparent n’excédant pas une minute

(1′ ≈ 3.10-4

rd). Autrement, la source est dite étendue ou large.

- Diamètre apparent :

A

B

O

3

Le diamètre apparent d’un objet AB(ou source AB) est l’angle sous lequel on

voit son diamètre : 𝛼 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝐴𝐵

𝑂𝐴). Comme est généralement petit, l’angle en

radian est directement lié au diamètre de l’objet par la relation : 𝛼 ≈𝐴𝐵

𝑂𝐴.

- Exemples :

Diamètre apparent du soleil : αS = 32’ ≈ 0,5°.

Diamètre apparent de la lune : αL = 31’5" ≈ 0,5°.

Diamètre apparent des étoiles : α<< 3.10-7

rd.

On distingue aussi les sources monochromatiques et les sources polychromatiques :

Source monochromatique : émet une seule radiation.

Source polychromatique : émet une série de radiations.

Source de lumière blanche : émet une infinité de radiations dans la bande du

spectre visible de V =0,4 m (violet) à R =0,75 m (rouge), environ.

Remarque :

La lumière blanche peut être analysée en lumière simple (monochromatique) à l’aide

d’un disperseur (prisme ou réseau).

Lumière blanche

Prisme

I.2. Optique intermédiaire.

Elle est constituée des composants optiques placés entre la source et le

récepteur. On trouve des fentes, des diaphragmes, des lentilles, des polariseurs, des

prismes, des filtres monochromatiques, des miroirs, … etc.

I.3. Récepteurs.

La lumière n’est pas perceptible sous sa forme lumineuse s’il n’y a pas pour la

recevoir un œil ou un appareil optique.

Les récepteurs habituellement utilisés sont :

- Les écrans,

- Les cellules photoélectriques,

- Les récepteurs thermiques,

- Les plaques photographiques,

- L’œil : récepteur qui ne distingue que les radiations comprises entre 0,4 m et

0,75 m, environ.

Plusieurs

radiations

V

i

R

A

n()

4

I.4. Milieu de propagation.

■ Le milieu situé entre la source et le récepteur joue un rôle important dans la

transmission de la lumière. Ce milieu peut être le vide, car la lumière le traverse. S’il est

matériel, il peut être transparent ou opaque.

La lumière se propage dans le vide avec la vitesse : c ≈ 3.108 ms

-1. Dans tout milieu

matériel transparent, la vitesse v d’une radiation monochromatique est inférieure à c

(Exemple : Pour la lumière jaune, dans l’eau : 𝑣 ≈ 3

4𝑐, dans le verre : 𝑣 ≈

2

3𝑐 ).

■ Indice absolu de réfraction.

L’indice absolu de réfraction d’un milieu matériel transparent est défini par le rapport :

n = 𝑐

𝑣, c étant la vitesse de propagation de la lumière dans le vide et v étant la vitesse de

propagation de la lumière dans le milieu considéré.

L’indice de réfraction est une constante caractéristique du milieu matériel transparent

dans lequel l’onde se propage. Il dépend de la longueur d’onde de la lumière.

Remarques :

a) Dans le vide, on a :0 0

1c

et dans un milieu matériel, on a :

1

r r

cv

,

car : 0 r et 0 r . Avec :

0

0

: perméabité magnétique relative au milieu considéré.

: perméabilité magnétique du vide.

: permittivité électrique du vide.

: permittivité électrique relative du milieu considéré.

r

r

D’où : r r

cn

v .

Dans certains milieux diélectriques non ferromagnétiques, la perméabilité : 1r , il

vient donc que : r

cn

v .

Exemple : Pour : 0,59 m , on a :

Milieu Vide Air Eau Verre Diamant

n 1 1,0003 1,33 1,5 à 1,7 2,42

b) Dans le vide, on a : 0 cT et dans un milieu homogène, on a : vT (T étant la

période).

5

D’où : 0 cn

v

. Soit : 0

n

.

Donc la longueur d’onde d’un rayonnement lumineux dépend de l’indice de

réfraction du milieu dans lequel il se propage.

Dans un milieu matériel, la vitesse v – et par suite l’indice de réfraction n – d’une

radiation monochromatique dépendent de sa couleur : on dit que le milieu est dispersif

(Exemple : Prisme en verre, gouttelette d’eau, …)

La longueur d’onde d’un rayonnement change de valeur lorsque le milieu change.

Par contre, sa fréquence(ou sa période T) ne change pas de valeur avec le milieu.

II. Principes de l’Optique Géométrique.

L’Optique Géométrique est un domaine très important de la physique appliquée. Elle

est une approximation de l’Optique Ondulatoire, valable lorsque les dimensions du

diaphragme (ouverture) ou objet qui limitent les faisceaux lumineux sont grandes devant la

longueur d’onde du rayonnement.

L’Optique Géométrique ignore donc le caractère ondulatoire de la lumière et s’appuie

sur la Propagation Rectiligne de la lumière et sur le Principe de Fermat, qui est plus général

que les Lois de Snell-Descartes. Elle utilise comme outils mathématiques la géométrie

élémentaire et la trigonométrie. Son but essentiel est l’obtention d’une image à partir d’un

objet.

II.1. Propagation rectiligne de la lumière.

On ne considère que des milieux parfaitement transparents, homogènes et isotropes,

c’est-à-dire dont les propriétés optiques sont les mêmes dans toutes les directions. On les

désigne par l’abréviation : M.T.H.I..

Des expériences élémentaires montrent que la lumière se propage en ligne droite

(faisceaux lumineux provenant du soleil et traversant des nuages, par exemple). On énonce

donc le premier principe de l’Optique Géométrique comme suit :

″Dans un M.T.H.I., la lumière se propage en ligne droite ″.

Un rayon lumineux est une droite ou une portion de droite suivie par la lumière.

Un faisceau lumineux est composé de rayons lumineux émis initialement par une

même source et qui se propagent indépendamment les uns des autres. Un faisceau est dit

divergent, convergent ou cylindrique suivant que les rayons proviennent d’un même point

source, concourent en un même point ou sont parallèles, respectivement (voir figure ci-

dessous).

6

Faisceau divergent Faisceau convergent Faisceau parallèle

Un pinceau lumineux est un faisceau de très faibles dimensions transversales.

II.2. Principe de Fermat.

II.2.1. Notion de chemin optique.

Soit un M.T.H.I. d’indice n pour la radiation

considérée. Soient A et B les extrémités d’un

trajet pris sur un rayon lumineux. La

longueur AB est le chemin géométrique

parcouru par la lumière.

On appelle chemin optique(AB) la longueur : AB = n.AB .

(AB) sera positif si la lumière va de A vers B.

Remarque :

- Dans le milieu d’indice n, on a :𝐴𝐵 = 𝑣. 𝑡 ⇔ 𝑡 =𝐴𝐵

𝑣.

- Le trajet parcouru dans le vide pendant le même temps t est :

𝑐. 𝑡 = 𝑐. (𝐴𝐵

𝑣) = (

𝑐

𝑣) . 𝐴𝐵 = 𝑛. 𝐴𝐵.

- Donc le chemin optique est le chemin dans le vide parcouru dans le même temps que

le chemin réel.

Cas de plusieurs M.T.H.I..

■ Considérons une série de M.T.H.I., séparés par des surfaces de séparation S1, S2, …, Si et

d’indices n1, n2, …, ni. Un rayon lumineux va de A vers B en se réfractant en I1, I2, …, Ii

(Figure).

Rayon lumineux

ni

n3

n2

n1

I3

I2

I1 li l3 l2 l1

B A

n

B

A

S

S

7

Le chemin optique est par définition : (AB) =n1l1 + n2l2 + ...

+ nili, qu’on peut écrire

encore :

i i

i

AB n l .

■ Soient trois M.T.H.I. d’indices respectifs n1, n2 et n3.

Considérons un point B′ sur le prolongement du rayon I2B dans le sens opposé au

parcours de la lumière. B′ est un point virtuel appartenant optiquement au milieu d’indice n3.

On écrit par définition :

(AB’) =n1 l1 + n2 l2 – n3 l3.

Le signe – signifie que l’on passe de I2 en B′ en suivant le sens opposé à celui suivi par la

lumière le long de la droite I2B.

Cas d’un milieu non homogène.

On appelle chemin optique de A à B le long

du rayon lumineux ℛ l’intégrale curviligne :

.RL n M dl

.

II.2.2. Enoncé du Principe de Fermat (1657).

Il a été énoncé par Pierre de Fermat en 1657 sous la forme suivante :

″La lumière se propage d’un point à un autre sur une trajectoire telle que la durée

du parcours soit minimale (dt = 0)″.

Le Principe de Fermat impose donc que le

temps mis pour suivre les chemins

physiques effectifs (t1) soit plus petit que le

temps mis pour suivre tout chemin arbitraire

sans réalité physique (t2) (Figure).

ℛ n(M)

dl

t1< t2

B

A (2)

(1)

M B

A

l3 l2 l1

n3 n2 n1

B’

I2

B

A

8

Actuellement, on énonce le Principe de Fermat à l’aide du chemin optique, ce qui est

une autre façon d’évaluer cette durée et on remplace minimale par stationnaire :

″Le trajet effectivement suivi par la lumière pour aller d’un point A à un point B est

celui pour lequel le chemin optique (AB) est stationnaire″. C’est-à-dire que :

(AB) = cte ou d(AB) = 0.

Le mot stationnaire veut dire minimum ou maximum. Mais, retenons que dans les

milieux homogènes, le rayon lumineux est la trajectoire qui réalise le minimum du chemin

optique.

Rappel mathématique :

Soit une fonction G = f(x, y, z). On dit que G est stationnaire en un point M(x, y, z), si

en ce point les dérivées partielles fx’, fy’ et fz’ sont nulles; donc la différentielle totale dG en ce

point est nulle : ' ' ' 0x y zdG f dx f dy f dz , avec : ' ' ', ,x y z

f f ff f f

x y z

.

II.2.3. Conséquences immédiates du Principe de Fermat.

a) Propagation rectiligne dans un milieu homogène.

Le Principe de Fermat contient le Principe de Propagation Rectiligne de la

lumière. En effet, un milieu homogène est caractérisé par un indice uniforme n. Alors

le chemin optique entre deux points A et B peut s’écrire :

. .B B

A AAB n dl n dl n AB .

Il en résulte que (AB) est minimal si AB s’identifie à la droite AB. Donc : (AB) = n.AB.

.״ Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite ״

b) Principe du retour inverse de la lumière.

Dans un milieu quelconque, on considère un rayon lumineux curviligne passant

par deux points A et B. Le chemin optique (AB) est stationnaire :

. .B A

A BAB n dl n dl .

En notant dl′ = -dl, l’élément curviligne orienté de B vers A, on voit que :

n

B

A

dl

n

B

A

dl′

dl

9

. 'A

BAB n dl BA .

Comme (AB) est stationnaire, (BA) l’est aussi. Donc :

.״ Le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens du chemin parcouru״

Cet énoncé constitue le principe du retour inverse de la lumière.

II.2.4. Lois de Snell-Descartes et Principe de Fermat.

Ces lois ont été trouvées par Snell en 1621 et retrouvées par Descartes en 1637. Elles

expriment le changement de direction d’un rayon lumineux rectiligne à la traversée d’une

surface séparant deux M.T.H.I., soit par réflexion, soit par réfraction.

Le Principe de Fermat, énoncé par ce dernier en 1657, contient ces Lois de Snell-

Descartes. On va les établir à partir de ce principe.

a) Différentielle d’un chemin optique rectiligne.

La longueur du segment AB s’écrit : .AB u AB ,u étant le vecteur unitaire

porté par le rayon dans le sens A vers B. Le chemin optique entre les points A et B

s’écrit donc : ( ) . .AB n AB nu AB (Figure).

Déformons le segment AB en imposant des variations élémentaires dA et dB

aux extrémités (avec donc : 'dA AA et 'dB BB ) (Figure). Alors la variation

élémentaire du chemin optique correspondante s’écrit(d’après les propriétés du produit

scalaire) :

( ) ( . ) . . . .( )d AB d nu AB nAB du nu d AB nABu du nu dB dA .Car :

' ' ( ' ') ' 'd AB A B AB A A AB BB AB A A BB dB dA (d’après les

notations ci-dessus).

Or u est un vecteur unitaire, donc : 2

. 1u u u et ( . ) 2 . 0d u u udu . Ce qui

implique que : u du . Il vient alors :

d(AB) = nu.( dB - dA) (1) : Différentielle d’un chemin optique rectiligne (AB).

b) Expression vectorielle des Lois de Snell-Descartes.

Considérons un dioptre (S), c’est-à-dire une surface séparant deux M.T.H.I.

d’indices n1 et n2, et un rayon lumineux qui tombe sur le dioptre au point d’incidence I

(Figure).

dB

dA

u

n A

B

10

Entre les points A1 et A2 situés respectivement dans les milieux 1 et 2, le

chemin optique s’écrit : 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2( ) . .A A n A I n IA n u A I n u IA .

Appliquons le Principe de Fermat (d(A1A2) = 0), en déformant la trajectoire A1IA2

suivant A1I′A2 (voir figure). La variation du chemin optique correspondante est :

1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( . ) ( . ) . . ( ). 0d A A d n u A I d n u IA n u dI n u dI n u n u dI , (d’après

l’expression (1)), 1u et

2u étant les vecteurs unitaires portés par les rayons incident

A1I et réfracté IA2. 'dI II est le vecteur porté par la tangente à (S) au point

d’incidence I. Comme d(A1A2) = 0, 1 1 2 2( )n u n u est perpendiculaire à dI , donc

colinéaire au vecteur unitaire N de la normale au dioptre au point d’incidence I.

D’où :

1 1 2 2n u - n u = aN (2), ( )a :

Expression vectorielle des Lois de Snell-Descartes.

c) Lois de la réfraction.

■ Première loi.

D’après la relation (2), on a : 1 12

2

n u aNu

n

,

2u est donc contenu dans le plan

1,u N appelé plan d’incidence, formé par le rayon incident et la normale. On peut

alors énoncer la première loi de la réfraction comme suit : ″ Le rayon réfracté est

contenu dans le plan d’incidence ″.

■ Deuxième loi.

Multiplions vectoriellement à gauche par N la relation (2). Il vient :

Normale

I′

i1

A1

n1 dI

I

I

2u

1u

2u N n2

(S)

A2

i2

11

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1

0

sin , sin , sin , sin , .

N n u n u N aN n N u n N u a N N n N u n N u

n N u n N u n N u N u n N u N u N u N u

Car les angles 1,N u et 2,N u sont aigus. Posons :

1 1,i N u : angle d’incidence et 2 2,i N u : angle de réfraction. Il vient :

n1sini1 = n2sini2 (3) : Deuxième loi de la réfraction.

d) Lois de la réflexion.

Remplaçons le dioptre (S) par un miroir (M) (Figure). Le rayon réfracté IA2 est

remplacé par le rayon réfléchi '

2IA se propageant dans le même milieu 1 et

l’expression (2) s’écrit : '1 1 2n u u aN ( )a (2′).

■ Première loi.

D’après (2’), on a : ' '

2 1 2 1

1

,aN

u u u plan u Nn

. D’où :

″ Le rayon réfléchi est contenu dans le plan d’incidence ″.

■ Deuxième loi.

Après multiplication vectorielle à gauche par N , on obtient :

' ' ' ' '

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2sin , sin , sin , sin ,N u N u N u N u N u N u N u N u N u N u

'

1 2 1 1sin , sin , , sin sin sin sinr .N u N N N u i r i Soit :

1r = -i (4).

En posant : 1 1,i N u : angle d’incidence et '2,r N u : angle de réflexion.

En module, les angles d’incidence et de réflexion sont égaux.

r i1 '

2u

1u

'

2A A1

n1

N

(M)

12

Remarques :

- Les angles d’incidence i1 et de réfraction i2 sont de même signe, donc les rayons

incident et réfracté sont toujours de part et d’autre de la normale.

- Les angles d’incidence i1 et de réflexion r sont toujours de signes opposés, donc les

rayons incident et réfléchi sont toujours de part et d’autre de la normale.

- Tant que i1 et i2 ne dépassent pas une quinzaine de degrés, on peut confondre ces

angles avec leurs sinus et la deuxième loi de réfraction prend la forme particulière :

n1i1 = n2 i2 : Formule de Kepler.

III. Etude de la réfraction.

III.1. Angle de réfraction limite. (n2>n1)

Etudions la variation de i2 (angle de réfraction) en fonction de i1 (angle d’incidence)

dans le cas où une radiation lumineuse passe d’un milieu d’indice n1dans un autre plus

réfringentd’indicen2, c’est-à-dire où n2 > n1 (voir figure ci-dessus). La loi de réfraction donne :

12 1 2 1 2 1 2 1

2

sin sin sin sin ( : )n

i i i i car n n i in

: Les angles i1 et i2 étant aigus et de

ou Miroir

13

même signe. On a : 1 11 2

2 2

1 sin 1 sinn n

i in n

, soit aussi :

1 22 2

i l i l

, où l est l’angle de réfraction limite, défini par :

1

2

sinn

ln

Par conséquent, un rayon se dirigeant vers un milieu plus réfringent est toujours réfracté en se

rapprochant de la normale. Si l’angle d’incidence est 2

(incidence rasante), l’angle de

réfraction est l tel que : 1

2

sinn

ln

. Cet angle l dépend de la nature des milieux 1 et 2 en

contact et de la radiation utilisée.

Après la traversée de (S), un faisceau incident de 180° d’ouverture est transformé en

un faisceau conique de demi-angle au sommet égal à l.

Exemple : Quelques valeurs de l pour la radiation D du sodium, le milieu (1) étant l’air :

Milieu 2 n l

Eau 1,333 48°30’

Crown 1,52 41°

Flint 1,60 38°40’

Diamant 2,41 24°40’

III.2. Réflexion totale. (n2 < n1)

Examinons le cas où le milieu (1) est plus réfringent que le milieu (2), c’est-à-dire

n1 > n2, la lumière passe toujours du milieu (1) dans le milieu (2).

D’après la loi de réfraction, on a : 12 1

2

sin sinn

i in

. Donc : i2>i1.

(S)

n2

n1

Normale

-/2 +/2

+l -l

14

Le rayon réfracté IR, provenant de l’incident AI, traverse la normale en I et s’en écarte

(Figure). En faisant croître i1 à partir de zéro, i2 croît plus vite et atteint la valeur extrême de

2

de pour une valeur l′ de i1 telle que :

2

1

sin 'n

ln

Tous les rayons qui arrivent sur la surface (S) avec une incidence i1 > l′ (exemple le

rayon KI) subissent une réflexion totale. La surface (S) se comporte pour ces rayons comme

un miroir parfait.

Remarque :

l′ n’est autre que l’angle de réfraction limite de la lumière passant du milieu (2) dans le

milieu (1) et défini par : 2

1

sinn

ln

.

I

Normale

-l′ l′

n2

n1

+/2 -/2

K’

L’

K

l′

i1> l′ i1

L A

n2

n1

(S) n2

R

I i2

/2

n1 > n2

15

IV. Notions d’objet et d’image.

IV.1. Système optique.

Un système optique est une succession de milieux M.T.H.I., séparés par des dioptres

ou des miroirs pouvant être interposés dans un ou plusieurs milieux.

Un système qui ne comporte que des dioptres est dit dioptrique (microscopes, lunettes,

…), celui qui n’a que des miroirs est dit catoptrique et celui contenant à la fois des dioptres et

des miroirs est dit catadioptrique (télescopes) (Figure).

Système dioptrique Système catadioptrique

Un système formé par un ensemble de surfaces de révolutions qui admettent un axe

commun est un système centré (Figure).

Si, après les changements de direction provoqués par les miroirs et par les dioptres

d’un système (S), les rayons issus d’un point lumineux A passent tous par un même point A′,

ce dernier est dit par définition l’image de A à travers le système.

Etant donné le Principe du Retour Inverse de la lumière, l’image d’un objet placé en A′

se trouve en A. On exprime la réciprocité des rôles joués par A et par A′ en disant qu’ils sont

conjugués par rapport à (S).

axe optique principal du système

n1

M

n1

A

A’

n2 n3 D1 D2

(S) M1

M2

D1 D2

M

Système catoptrique

D1 D2

D3

n2 n3

n1 n2 n3 n4

16

IV.3.Stigmatisme rigoureux.

Un système optique (S) est stigmatique pour un couple de points A et A′, si tout rayon

(ou son support) passant par A avant la traversée du système (S) passe par A’ après cette

traversée. On dit qu’il y a stigmatisme pour le couple de points A et A′. A est le point objet, A′

le point image à travers le système ou encore A et A′ sont deux points conjugués par rapport à

(S).

Condition du stigmatisme rigoureux.

D’après le Principe de Fermat, le chemin optique est rigoureusement constant quel que

soit le rayon choisi entre les points A et A′. On a donc :

(AIA′) = cte, (ⱯI) :Condition du stigmatisme rigoureux.

(ⱯI) : quel que soit le point d’incidence ou quel que soit le rayon choisi.

A'

A’ A

A

(S) (S)

(S) (S)

A’

A A A’

Objet réel – Image réelle Objet réel – Image virtuelle

Objet virtuel – Image réelle Objet virtuel – Image virtuelle

axe optique A’

A

(S)

n n’

17

Cette condition montre que le chemin optique (AA′) est indépendant du rayon lumineux choisi

pour aller de A à A′.

Exemple : Le miroir plan est le seul instrument rigoureusement stigmatique pour tous les

points de l’espace.

IV.4.Condition d’aplanétisme.

Un système optique (S) est aplanétique pour un couple de points conjugués A et A′, s’il

donne comme image d’un élément de plan AB perpendiculaire à l’axe en A, un élément de

plan A′B′ perpendiculaire en A′ à cet axe.

Un système optique (S) sera aplanétique, s’il satisfait à la relation :

𝒏𝑨𝑩 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝒏′𝑨′𝑩′ 𝒔𝒊𝒏𝜶′ : Relation d’Abbe (1879).

Cette condition d’aplanétisme peut s’écrire : 𝒔𝒊𝒏𝜶

𝒔𝒊𝒏𝜶′=

𝒏′

𝒏𝜸.

Avec : 𝜸 =𝑨𝑩

𝑨′𝑩′ : Grandissement linéaire (ou transversal) de (S).

Cette dernière écriture montre bien que le rapport des sinus des angles et ′ est alors

indépendant des points B et B′ considérés.

IV.5.Stigmatisme approché - Approximation de Gauss.

On dit qu’un système centré est utilisé dans les Conditions de Gauss(C.G.), lorsque les

deux conditions suivantes sont satisfaites :

1°) Les rayons lumineux font un petit angle avec l’axe du système.

2°) Les rayons rencontrent les dioptres ou les miroirs au voisinage de leur sommet.

B’

axe optique ′ A’

B

A

(S)

n n’

18

C.G.petit

SH petit

Le système centré est approximativement stigmatique pour un point objet quelconque,

si on ne considère que des rayons satisfaisant aux Conditions de Gauss (les rayons utiles

doivent être paraxiaux c’est-à-dire peu inclinés par rapport à l’axe optique).

En terme de chemin optique, l’approximation de Gauss s’exprime par :

(AIA′) = cte au 4ème

ordre près par rapport à l’ouverture, (ⱯI).

En général, on se contente d’un stigmatisme approché pour la plupart des systèmes en

les utilisant dans les C.G..

axe optique

Normale

I

A’ A

C H

′

n n’

19

Chapitre 2.

DIOPTRES

I. Dioptre sphérique.

I.1. Définitions.

Un dioptre sphérique est un ensemble de deux M.T.H.I. d’indices différents séparés

par une surface sphérique.

La surface utile de la sphère est limitée par un plan (P)(voir figure ci-dessous).C,

centre de la sphère, est le centre du dioptre. La normale à (P)passant par C est l’axe

principal, qui coupe la sphère au sommetS du dioptre. Toute autre droite passant par C est

un axe secondaire. est l’angle d’ouverture du dioptre. Le rayon de courbure est le

segment : SC R .

I.2. Invariant fondamental.

D’après la loi de réfraction, IR est dans le plan de la figure (pris comme plan

d’incidence) et les angles i et i′ sont liés par la relation : nsini = n′sini′.Dans le triangle

ACI, on a :sin sin

CA IA

i et dans le triangle A'CI, on a :

' '

sin ' sin

CA IA

i ; d’où la relation :

'sin sin '

'

IA IAi i

CA CA .Et en tenant compte de la loi de réfraction, on a :

CA CA'n = n'

IA IA'(1).

R

I

i’

A’ A S axe optique

axe optique

secondaire (P)

S

axe optique (principal)

n n’

C

C

i

n n’

20

La quantitéCA

nIA

, qui se conserve à la traversée du dioptre, est appelée l’invariant

fondamental du dioptre sphérique.

I.3. Stigmatisme rigoureux.

Pour que le stigmatisme rigoureux soit réalisé, la position de l’image A doit être la

même, quel que soit le rayon incident, c’est-à-dire quel que soit I :

,' ' '

IA n CActe I

IA n CA (2).

I.3.1. Centre du dioptre. 0 ' 0 'CA CA A C A :Le centreCest sa

propre image. Tout rayon passant par le centre C est réfracté sans déviation.

I.3.2. Points de la surface du dioptre. 0 ' 0 'IA IA A I A : Le

stigmatisme rigoureux est également réalisé pour tous les points de la surface du

dioptre. Ce cas ne présente pas d’intérêt pratique.

I.3.3. Points de Young-Weierstrass.

A partir de la relation (2), on retrouve les points de Young-Weierstrass :

'nCA CS

n et '

'

nCA CS

n .

Sur chaque diamètre du dioptre existe un couple de points de Young-Weierstrass. Le seul

cas intéressant du stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique (exemple : télescope).

I.4. Etude du dioptre sphérique dans les C.G..

La relation d’invariance (1) s’écrit dans le cas où la portion utile dudioptre est réduite

à une portion entourant le sommet S :

''

'

CA CAn n

SA SA (3).

axe optique

S

I

S C

axe optique

n’ n

C n n’

21

Puisque les angles d’incidence sont faibles dans ce cas et on peut alors confondre les

longueurs IAet 'IA avec SA et 'SA , respectivement.

Cette relation (3) ne fait plus intervenir I et montre qu’à tout point objet Acorrespond

un point image A′ : Il y a stigmatisme approché pour tout point de l’espace qui n’envoie

sur le dioptre que des rayons paraxiaux.

Le dioptre est aplanétique dans les C.G..

I.4.1. Relations de conjugaison avec origine au centre C.

- D’après (3), on a :

' ' 1 1' ' 1 1

'' ' '

CA CA CA CA CS CSn n n n

n nSA SA CA CS CA CS CA CA

1 1 1 1 '

' '' '

n nCS

n n nnnCA n CA

. Soit :

n n' n - n'- =

CA' CA CS(1).

- Le grandissement linéaire est (voir figure) : A'B' CA'

γ = =AB CA

(2).

I.4.2. Relations de conjugaison avec origine au sommetS.

- D’après (3), on a :' '

' '' '

CA CA SA SC SA SCn n n n

SA SA SA SA

'1 ' 1 '

' '

SC SC n nn n n n SC

SA SA SA SA

, soit encore :

n n' n - n'- =

SA SA' SC(1).

i’

B’

B

A’

A

S axe optique

C

n n’

i

22

En posant : SA p , ' 'SA p et SC R , il vient : n n' n - n'

- =p p' R

(1’).

- Le grandissement linéaire est à déterminer à partir de la figure précédente, on a :

ABtgi i

SA et

' '' '

'

A Btgi i

SA , d’où :

' ' ' 'A B SA i

iAB SA , or : ' 'ni n i , donc :

A'B' n SA' n p'γ = = =

n' n' pAB SA(2).

I.4.3. Relations de conjugaison avec origine auxfoyers.

On appelle foyers dans les C.A.G., les conjugués des points à l’infini sur l’axe.

D’après la relation de conjugaison avec l’origine au sommet (§ I.4.2), on a :

a) Foyer principal objet.

Si ' ,donc : ' ,alors :A p p f SF ; F : est le foyer principal objet.

f :est la distance focale objet du dioptre sphérique : nSC nR

f = SF = =n - n' n - n'

.

b) Foyer principal image.

Si ,donc : ,alors : ' ' 'A p p f SF ;F′ : est le foyer principal image.

f′: est la distance focale image du dioptre sphérique :n'SC n'R

f' = SF' = =n' - n n' - n

.

c) Relations entre les distances focales.

* ' '

f n

f n (< 0) : Les deux foyers sont toujours de part et d’autre du sommet S du

dioptre.

* 'f f R : Les deux foyers sont à l’extérieur du segment CS à des distances

égales de C et S : 'CF SF ou encore : 'CF SF .

Si les foyers sont réels, le dioptre est convergent ; s’ils sont virtuels, il est divergent.

d) Relation de conjugaison avec origine aux foyers F et F′.

J

I

axe optique

S

F

F’

B’

A’

B

A

n n’

C

23

Les triangles semblables FAB et FSJ donnent (voir figure) :

, : ' ' ,SJ FS

or SJ A B et FS fAB FA

d’où :' 'A B f

AB FA .

De même avec les triangles semblables F′A′B′ et F′SI, on a :

' ' ' ' ' ' ' '

''

A B A B F A F A

fAB SI F S . D’oùl’expression du grandissement linéaire :

A'B' f F'A'γ = = - = -

f'AB FA(1).

On retrouve la formule de Newton : FA.F'A' = f.f' (2).

e) Plans focaux-Foyers secondaires.

Le dioptre sphérique est aplanétique. Lorsqu’un objet plan perpendiculaire à

l’axe est rejeté à l’infini, le plan image coupe l’axe au foyer principal image F′ et lui

est perpendiculaire : C’est le plan focal image du dioptre sphérique.

Si le plan objet coupe perpendiculairement l’axe au foyer principal objet F, le

plan image est rejeté à l’infini : Le plan objet est appelé le plan focal objet du dioptre

sphérique.

Les plans focaux peuvent être considérés comme le lieu des foyers secondaires.

I.4.4. Autres formules du dioptre sphérique.

a) Grandissement axial.

Par définition, on a : 'dp

gdp

,dp et dp′ étant la position de l’objet et de son

image, respectivement.

En différentiant la relation de conjugaison (1’) du paragraphe I.4.2, on obtient :

2 2

'' 0

'

dp dpn n

p p ,d’où :

22

2

n n'= = γ > 0

n' n

dp' p'g =

dp p : L’objet et l’image se

déplacent toujours dans le même sens.

b) Formule de Lagrange-Helmoltz.

La condition d’aplanétisme dans le cas de l’approximation de Gauss s’écrit :

' ' ' 'nAB n A B . On en déduit : A'B' n α

γ = =n' α'AB

.

24

I.4.5. Constructions géométriques.

a) Tracé du rayon réfracté correspondant à un incident quelconque.

On trace l’axe secondaire parallèle à AI, il coupe le plan focal image (PFI)au

foyer secondaire 1

'F . Le réfracté est alors le rayon1

'IF .

b) Image d’un objet AB .

On utilise deux de ces trois rayons particuliers :

- le rayon BI parallèle à l’axe, qui se réfracte en passant par le foyer image F′,

- le rayon BF passant par le foyer objet F, qui se réfracte parallèlement à l’axe,

- le rayon BC passant par le centre C, qui ne subit aucune déviation en se réfractant.

II. Dioptre plan.

II.1. Définition.

Un dioptre plan est constitué par l’ensemble de deux M.T.H.I. d’indices différents

séparés par une surface plane.

II.2. Stigmatisme rigoureux.

Donc l’image A2 n’est pas unique : Il n’y a pas stigmatisme rigoureux, en général,

pour le dioptre plan. Cependant, il faut signaler deux exceptions :

J

I

F’ axe optique A’

B’

F

B

A S

1'F

PFI

F

I

S F’

A

n n’

C

n n’

C

25

1°) L’objet et l’image sont sur la surface du dioptre : 0HA et ' 0HA (cas sans

intérêtpratique).

2°) L’objet est à l’infini : HA et 'HA : Le seul cas intéressant du stigmatisme

rigoureux du dioptre plan.

II.3. Stigmatisme approché (C.A.G).

Dans les C.A.G., on établit l’unique relation de conjugaisonsuivante du dioptre plan:

HA HA'=

n n' :Relation de conjugaison du dioptre plan.

Il y a donc stigmatisme approché pour des rayons peu inclinés sur la normale au dioptre.

Remarques :

HA et 'HA sont toujours de même signe. DoncAet A′ sont toujours de nature

différente : l’un réel, l’autre virtuel.

L’image A se déduit de A′par une translation apparente d’amplitude :

'' ' 1

nAA HA HA HA

n

.

Il y a rapprochement apparent de Avers la surface si 'n n , éloignement si 'n n .

II.4. Image d’un objet étendu.

Dans les conditions de l’approximation de Gauss (C.A.G.), l’image d’un objet AB

parallèle au plan du dioptre est ' 'A B parallèle à l’objet et au dioptre. L’image ' 'A B est

égale à l’objet AB , de même sens que celui-ci et de nature opposée : ' 'AB A B .

Le grandissement linéaire est alors égal à :' 'A B

AB = +1 .

B’ B

A’ A

axe optique

H

n n’

26

Chapitre 3.

LENTILLES MINCES

I. Définitions.

Une lentille est un corps transparent homogène d’indice de réfraction n limité par deux

dioptres, dont l’un au moins doit être sphérique. La lentille est un cas particulier de

système centré dioptrique.

Une lentille est dite mince, si son épaisseure 1 2e S S est très petite devant les rayons

de courbure de ses deux faces : 1 2 1 2,e R e R et e R R (avec :

1 1 1R S C

et 2 2 2R S C ). Dans ce cas, on a : S1≡ O ≡S2, O étant le centre optique de la lentille.

Dans le cas contraire, la lentille est dite épaisse.

On classe les lentilles minces en deux catégories principales : les lentilles à bords

minces(convergentes) et les lentilles à bords épais (divergentes). On distingue trois types

dans chacune de ces deux catégories :

On étudie les lentilles dans les conditions de l’approximation de Gauss, en se plaçant

dans le cas simple où les deux faces de la lentille baignent dans l’air (nair = 1).

II. Relations de conjugaison avec origine au centre O.

S2 S1

axe optique

A1 A’ A

biconcave plan-concave ménisque à bords épais représentation

axe optique

axe optique

O S2 S1

n

S2 S1

n

S2 S1

n

biconvexe plan-convexe ménisque à bords minces représentation

O S1 S1 S2 S2 S2 S1

n n n

n

1 1

O

27

1 2. .

11 1

1 1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 21 2

1 2 1

1

'

1 11 2

'13 4

1 1

'

D S D S

n

A A A

n n

S C S C

S A S An

n S A S A

n n

S A S A S A S A

En tenant compte de S1≡ O ≡S2, (1) + (2) donne la relation de conjugaison d’une lentille

mince placée dans l’air :

1 2

1 1 1 1 11

''n

fOA OA OC OC

.

Le grandissement linéaire de la lentille est égal à : 1 2 .

Soit : ' ' 'A B OA

AB OA (d’après (3) et (4)).

II.1. Foyer imageF′ – Distance focale image f′.

Si 1 2

1,A' ' : 1

'

1 1 1

'F n

fA

OF OC OC

.

' 'f OF : Distance focale image de la lentille.

II.2. Foyer objet F – Distance focale objetf.

Si 1 2

1,A' : 1

'

1 1 1n

OFA F

OF OC OC

.

f OF : Distance focale objet de la lentille.

On a donc : f′ = -f ou 'OF OF : Les foyers principaux F et F′ sont symétriques par

rapport au centre optique O.

II.3. Vergence, V.

La vergence V (ou convergence C) d’une lentille est l’inverse de sa distance focale

image f′. Elle s’exprime en dioptrie () pour des distances exprimées en mètre(m) :

1

'V

f .

0, ' 0 : .

0, ' 0 : .

Si V f Lentille convergente

Si V f Lentille divergente

28

III. Relations de conjugaison avec origine aux foyers.

Les triangles semblables FAB et FOJ donnent :

' ', : ' ' , ' : .

OJ FO A B for OJ A B et FO f d où

AB FA AB FA

De même avec les triangles semblables F′A′B′ et F′OI, on a :

Soit :A'B' F'A' f

γ = = - = -f'AB FA

et 2

FA.F'A' = f.f' = -f' .

Remarque.

C’est le sens des rayons lumineux qui définit la position respective des foyers :

si la lumière change de sens (par suite d’une réflexion par exemple), les foyers

permutent. C’est-à-dire que le foyer objet jouera le rôle du foyer image et ce

dernier sera le foyer objet.

IV. Constructions géométriques.

Lentille convergente. Voir la figure ci-dessus.

Lentille divergente.

AB : Objet réel - ' 'A B : Image virtuelle

O

A F’

AB : Objet réel

' 'A B : Image réelle

' ' ' ' ' ' ' ', : ' ', ' : .

''

A B F A A B F Aor OI AB et F O f d où

fOI F O AB

A’

J

I

axe optique

B’

F’ F

B

A

axe optique

F O

B’

A’

B

29

V. Associations de lentilles minces.

Lentillesséparées – Doublet.

On a : 1

1 '

nV

f et 2

2

1

'V

f , d’où lavergence du doublet :

1 12 2

eV = V + V - V .V

n :Formule de Gullstrand 1 2e O O .

Lentillesaccolées.

- Dans ce cas : e = 0. D’où : 1 2V = V + V .

- Et en généralisant à un grand nombre de lentilles, on a : ii

V = V .

. . . axe optique

1 n

e

O1 O2

axe optique

1

30

Chapitre 4.

MIROIRS

I. Miroirs sphériques.

I.1. Définition.

Un miroir sphérique une portion de sphère réfléchissante. Il est défini par le

rayon R de la sphère et par le plan (P) qui limite la partie utile de la sphère.

I.2. Stigmatisme rigoureux.

Il n’est réalisé que dans les deux cas particuliers suivants (sans intérêt

pratique) :

a) Le centre C du miroir sphérique est sa propre image : A≡ C ≡A′.

b) Les pointsI de la surface du miroir sphérique : A≡ I ≡A′.

I.3. Etude des miroirs sphériques dans les C.A.G..

I.3.1. Relations de conjugaisons avec origine au centre C.

i i

S

(P)

C

axe optique

secondaire

S

axe optique (principal)

C A

axe optique

B

A’

B’

31

1 1 2

'CA CA CS .

Les triangles semblables CAB et CA′B′ permettent d’écrire :

' ' 'A B CA

AB CA .

I.3.2.Relations de conjugaison avec origine au sommetS.

1 1 2

'SA SA SC .

Les triangles semblables SAB et SA′B′ permettent d’écrire :

' ' 'A B SA

AB SA .

I.3.3.Relations de conjugaison avec origine au foyerF.

a) Foyer objet principal, F. Si A≡ F, A′ → ∞ : 2

SCf SF : Distance

focale objet du miroir sphérique.

b) Foyer image principal, F′. Si A → ∞,A′≡ F′ : ' '2

SCf SF : Distance

focale image du miroir sphérique.

Dans un miroir sphérique, les distances focales objet et image sont égales et les

foyers objet F et image F′ sont confondus au milieu du segment de droite ,C S :

F≡ F′ etf = f′.

c) Relations de conjugaison.

J

I

F

S C A

axe optique

B

A’

B’

32

Les triangles semblables FAB et FSJ permettent d’écrire :

' ', : ' ' , ' : .

SJ FS A B for SJ A B et FS f d où

AB FA AB FA

De même, dans les triangles semblables FA′B′ et FSI, on a :

' ' ' ' ' ', : , ' : .

A B FA A B FAor SI AB et FS f d où

fSI FS AB

D’où les relations de conjugaison avec l’origine au foyer F :

A'B' FA' fγ = = - = -

AB f FA et

2FA.FA' = f .

I.3.4.Constructions géométriques.

a) Rayon conjugué d’un rayon incident quelconque.

Le rayon AI peut être considéré comme appartenant au faisceau cylindrique de

direction AI, dont les rayons réfléchis concourent tous au point '

1F du plan focal (P.F.)

(foyer secondaire) '

1CF AI : le rayon réfléchi est '

1 'IF A (exemple : schéma du

miroir concave).

On peut dire aussi que AI coupe le plan focal (P.F.) en 1F et que le rayon réfléchi IR

est parallèle à 1CF (exemple : schéma du miroir convexe).

b) Image d’un objet AB .

La construction géométrique de l’image s’effectue à l’aide de deux de ces trois

rayons particuliers (Figure ci-dessous) :

- le rayon incident BI parallèle à l’axe, qui se réfléchit en passant par le foyer F,

- le rayon BF passant par le foyer F, qui se réfléchit parallèlement à l’axe,

- le rayon BC passant par le centre C, qui se réfléchit sur lui-même.

Ces rayons réfléchis se coupent en B′, image de B.

axe optique

I

A

R

A’

F1

S C F

P.F.

I

F’1

P.F.

A’ S C F A

Miroir concave Miroir convexe

33

II. Miroir plan.

II.1. Définition.

- Un miroir plan est une surface plane réfléchissante.

- On les réalise à partir des surfaces parfaitement polies, qu’on recouvre par un dépôt

métallique (argent, aluminium, …).

II.2. Stigmatisme rigoureux.

Le miroir plan est le seul système réalisant le stigmatisme rigoureux pour tous les

points de l’espace, l’image A′ d’un point A étant le symétrique de A par rapport à son

plan.

L’objet et l’image sont toujours de natures différentes. Si l’objet AB est réel, son

image ' 'A B ′ est virtuelle et inversement : HA' = -HA .

Le grandissement linéaire est alors égal à : A'B'

γ = = +1AB

.

AB : Objet réel - ' 'A B : Image virtuelle

axe optique

H A’

B’ B

A

I

axe optique

B’

B

A’

A C

S F