Filipe Santos Matem¶atica Simples Ensino Universitario¶videosmatematicasimples.com/wp-content/uploads/2014/05/matematica... · Filipe Santos Matem¶atica Simples Ensino Universitario¶

Filipe Santos Matematica Simples

Ensino UniversitarioAula # 1- Primitivas Imediatas

Regras de Primitivacao:

Funcao Regra Exemplo

Constante∫

kdx = kx + c∫

3dx = 3x + c

Potencia de x∫

axndx = axn+1

n+1+ c

∫5x2dx = 5x3

3+ c

Potencia de Funcao∫

f ′fndx = fn+1

n+1+ c

∫6x(3x2 − 7)6dx = (3x2−7)7

7+ c

Exponencial∫

f ′afdx = af

ln(a)+ c

∫3× 43xdx = 43x

ln(4)+ c

Logaritmo∫ f ′

fdx = ln|f |+ c

∫ 8x3

2x4+6dx = ln|2x4 + 6|+ c

Exercıcios: Calcule as primitivas das seguintes funcoes

1.∫ x5

4− 6x2 + 4

x3 + 5dx

2.∫

2x5 × e3x6−6dx

3.∫

tg(x)dx

4.∫

x2 ×√2x3 + 9dx

1


Ensino UniversitarioAula # 2- Vetor Gradiente e Derivada Direcional

Definicao: Seja f uma funcao de domınio D ⊆ Rn para R.

. Chama-se vetor gradiente de f no ponto P0 ∈ D a:

∇f(P0) =

(df

dx1

(P0),df

dx2

(P0), . . . ,df

dxn

(P0)

)

sendo que dfdxi

(P0) e a derivada parcial em relacao a variavel xi de f ;

. Chama-se derivada direcional de f no ponto P0 em relacao ao vetor unitario ~u aolimite:

f~u(P0) = limt→0

f(P0 + t~u)− f(P0)

t

Obs.: Caso ~u nao seja unitario, para obter a derivada direcional com a direcao de ~ue necessario considerar o versor de ~u. Que se obtem dividindo ~u pela sua norma, isto e:

vers(~u) =~u

||~u||

Teorema: Seja f uma funcao de domınio D ⊆ Rn para R, diferenciavel no pontoP0 ∈ D e ~u um vetor unitario em Rn. Entao:

f~u(P0) = 〈∇f(P0), ~u〉tal que, 〈~v, ~w〉 representa o produto escalar entre ~v e ~w.

Exercıcio: Seja f uma funcao de domınio R3 tal que:

f(x, y, z) = y2z − xz2 − xyz

Calcule a derivada direcional no ponto P0 = (0,−1, 1) com a direcao do vetor ~u =2~e1 − 2~e2 − ~e3.

2


Ensino UniversitarioAula # 3- Inversa de uma Matriz pelo Metodo de Gauss-Jordan

A AI In n

−1

Processo:

1. Para obter a matriz inversa A−1 de uma matriz quadrada A de ordem n, e necessarioconstruir a matriz prolongada n × 2n, que contem a matriz A (a esquerda) juntamentecom a matriz identidade I de ordem n (a direita);

2. Atraves de operacoes elementares nas linhas da matriz prolongada anulam-se todosos elementos abaixo da diagonal principal de A, comecando na primeira coluna. Nesta fasee aconselhavel transformar os elementos da diagonal principal, de modo a serem iguais a1;

3. Repete-se o processo para os elementos acima da diagonal principal de A comecandopela ultima coluna. No final desta fase, a matriz prolongada deve ter a matriz identidadea esquerda e a inversa de A a direita.

Lista de Operacoes Elementares:

. Troca de linhas (ou colunas);

. Multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um escalar;

. Soma a uma linha (ou coluna) de outra multiplicada por um escalar.

Exercıcio: Calcule a matriz inversa de

A =

1 2 32 5 31 0 8

3


Ensino UniversitarioAula # 4- Probabilidades na Distribuicao Normal

. Calculo de probabilidades com o recurso a tabela da distribuicao normal Z = N(0, 1):

Consideremos a um valor real positivo, b e c quaisquer valores reais:

1. P (Z ≤ a) para calcular este tipo de probabilidades basta ir directamente a tabela,tal que, na primeira coluna obtem-se a casa das unidades e a decimal de a e na primeiralinha obtem-se a casa das centesimas;

2. P (Z ≥ a) = 1− P (Z ≤ a) pelo acontecimento contrario, depois e so obter o valorna tabela;

3. P (Z ≥ −a) = P (Z ≤ a) por simetria em torno da origem;

4. P (Z ≤ −a) = 1− P (Z ≥ −a) = 1− P (Z ≤ a) por contrario e simetria respectiva-mente;

5. P (b ≤ Z ≤ c) = P (Z ≤ c)− P (Z ≤ b) e depois basta utilizar uma das abordagensanteriores.

. Para o calculo de probabilidades de uma distribuicao normal X = N(µ, σ) recorre-setambem a tabela de Z uma vez que

X − µ

σ= Z

Desta feita basta subtrair a expressao de probabilidade µ e dividir por σ e passa-se aocalculo de probabilidade com Z:

P (a ≤ X ≤ b) = P

(a− µ

σ≤ X − µ

σ≤ b− µ

σ

)= P

(a− µ

σ≤ Z ≤ b− µ

σ

)

4


Ensino UniversitarioAula # 4- Probabilidades na Distribuicao Normal

Exercıcios: Sejam Z e X variaveis aleatorias com distribuicoes normais N(0, 1) eN(4, 5) respetivamente. Calcule as probabilidades:

1. P (Z ≤ 1.28)

2. P (Z > 2.46)

3. P (Z ≥ −0.29)

4. P (Z < −2.78)

5. P (−1.44 < Z ≤ −0.35)

6. P (2.8 ≤ X ≤ 3.75)

5


Ensino UniversitarioAula # 5- Introducao ao SPSS

Qualitativas

Variáveis

Quantitativas

Ordinal Intervalar RazãoNominal

6


Ensino UniversitarioAula #6- Primitiva por Partes

Formula: Sejam f e g funcoes reais de variavel real, tais que F e a primitiva de f ,entao:

∫f(x) · g(x)dx = F (x) · g(x)−

∫F (x) · g′(x)dx

Exercıcios: Calcule as primitivas das seguintes funcoes:

1.f1(x) = x · ex

2. f2(x) = ln(x)

3. f3(x) = (2x− 1) · cos(3x)

7


Ensino UniversitarioAula #7- Teorema da Probabilidade Total e Regra de Bayes

Sejam A1, A2, . . . An acontecimentos numa determinada experiencia aleatoria, disjun-tos dois a dois, isto e, Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j. E cuja reuniao e o espaco amostral,ou seja, A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = Ω. Entao para qualquer acontecimento B ∈ Ω:

Teorema da Probabilidade Total:

P (B) = P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2) + . . . + P (B|An) · P (An)

Regra de Bayes:

P (Ai|B) =P (B|Ai) · P (Ai)

P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2) + . . . + P (B|An) · P (An)

Exercıcio: Numa fabrica existem tres maquinas que produzem o mesmo tipo depecas A, B e C. Cada uma produz respetivamente 45%, 35% e 20% desses pecas. Para amaquina A a probabilidade da peca sair com um defeito e de 5%, para a B e 8% e paraa C e 12%. Escolhida uma peca ao acaso, determine a probabilidade de:

a) Ter defeito;

b) Ter sido produzida na maquina C sendo que tem defeito.

8


Ensino UniversitarioAula #8- Determinantes

Seja A uma matriz n× n:. Se

A =[

a]

Entao o determinante da matriz e |A| = a;

. Se

A =

[a bc d

]

Entao o determinante da matriz e |A| = ad− bc;

. Se

A =

a b cd e fg h i

Entao o determinante da matriz e |A| = aei + bfg + cdh− (ceg + bdi + afh).

Exercıcio: Determine os determinantes das matrizes:

1. A =[−6

]

2. A =

[−2 5−4 3

]

3. A =

1 −6 0−3 7 30 4 9

9


Ensino UniversitarioAula #9- Regra de L’Hopital ou Cauchy

Sejam f e g funcoes reais de variavel real diferenciaveis.

limx→a

f(x)

g(x)

e uma indeterminacao do tipo 00

ou ∞∞ . Entao

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

Exercıcio: Recorrendo a regra de L’Hopital (ou Cauchy) determine os seguinteslimites:

1.

limx→2

e3x−6 − 1

ln(2x− 3)

2.

limx→−∞

7x2 − 4x + 6

−2x2 + 5x− 9

3.

limx→0

4x5 − 8x3

sin(x)− x

10


Ensino UniversitarioAula #10- Series Geometricas

Definicao: Sejam k ∈ IN0, a ∈ IR\0 e r ∈ IR+ chama-se serie geometrica aexpressao

+∞∑

n=k

a · rn

Criterios de Convergencia: Dada uma serie geometrica, sabe-se que esta:

. Diverge se r ≥ 1;

. Converge se r < 1, e a soma de todos os seus termos e:

ark

1− r

Exercıcio: Classifique as seguintes series quanto a sua convergencia e calcule a somados seus termos em caso de convergencia:

1.+∞∑

n=3

7 ·(

2

5

)−n

2.+∞∑

n=0

2 · en+1

3n+2

3.+∞∑

n=1

3n−2 + 4n

7n+1

11


Ensino UniversitarioAula #11- Primitiva de Funcoes Racionais

Consideremos f uma funcao racional com expressao:

f(x) =p(x)

(x− a)n · (x− b)m

tal que a, b sao numeros reais; n, m sao numeros naturais e p(x) e um polinomio degrau menor que n + m.

Entao

f(x) =A1

(x− a)n+

A2

(x− a)n−1+ · · ·+ An

(x− a)+

B1

(x− b)m+

B2

(x− b)m−1+ · · ·+ Bm

(x− b)

tal que A1, A2 ... An, B1, B2 ... Bm sao numeros reais.Exercıcio: Calcule a primitiva de cada uma das funcoes racionais:

1.

f1(x) =x + 2

(x− 1)2

2.

f2(x) =3x

x2 − 5x + 6

3.

f3(x) =2x4 − 7x3 − 4x2 + 3

x3 − 4x2

12


Ensino UniversitarioAula #12- Regra de Cramer

Consideremos o sistema Ax = b tal que A e uma matriz de ordem n, b uma matrizn× 1 (matriz coluna) e x = [x1, x2 . . . xn]T . Se A for uma matriz invertıvel entao:

xi =det(Ai)

det(A)

tal que a matriz Ai se obtem substituındo a coluna i da matriz A por b.

Exercıcio: Utilizando a Regra de Cramer resolva o seguinte sistema:

x + y − z = 82y + z = 2

−3x− 2z = 5

13


Ensino UniversitarioAula #13- Intervalo de Confianca para a Media

Consideremos uma amostra com n elementos obtida a partir de uma variavel normal Xde media µ e desvio padrao σ, ou seja, X ∼ N(µ, σ). O intervalo de confianca (1−α)·100%para a media e:

a)

µ ∈]x− zα

2· σ√

n, x + zα

2· σ√

n

[

se a variancia σ2 for conhecida;

b)

µ ∈]x− tα

2,n−1 · s√

n, x + tα

2,n−1 · s√

n

[

se a variancia σ2 for desconhecida e n < 30;

c)

µ ∈]x− zα

2· s√

n, x + zα

2· s√

n

[

se a variancia σ2 for desconhecida e n ≥ 30;

tal que:. x e a media da amostra;. s e o desvio padrao da amostra;. zα

2e o valor da tabela de Z ∼ N(0, 1) cuja probabilidade e α

2.

Valores habituais de zα2:

Confianca zα2

90% 1.64595% 1.9699% 2.575

. tα2

,n−1 e o valor da tabela Tde Student com n− 1 graus de liberdade e probabilidadeα2.

Exercıcio: Construa um intervalo de confianca 95% para a media:

1. numa amostra com 125 elementos, de media 13.4 obtida a partir de uma variavelnormal de variancia 24;

2. numa amostra com 23 elementos de media 7.8 e variancia 31.6;

3. numa amostra com 59 elementos de media 42 e desvio padrao 26.

14


Ensino UniversitarioAula #14- Estatıstica Descritiva com o SPSS

Graficos. Para variaveis nominais e ordinais recorre-se ao grafico de barras e grafico cir-

cular;. Para variaveis quantitativas utiliza-se o histograma.Medidas Descritivas. Para variaveis nominais a medida utilizada e a moda;. Para variaveis ordinais as medida utilizadas sao moda, mediana e quartis;. Para variaveis quantitativas as medida utilizadas sao moda, mediana, quartis,

media, variancia, desvio padrao, media aparada...

15


Ensino UniversitarioAula #15- Primitivas de Funcoes Trigonometricas

Funcao Regra Exemplo

Cosseno∫

f ′ cos(f)dx = sin(f) + c∫

3 cos(3x)dx = sin(3x) + cSeno

∫f ′ sin(f)dx = − cos(f) + c

∫14x · sin(7x2 + 8)dx = − cos(7x2 + 8) + c

Recorrendo as propriedades das funcoes trigonometricas e as suas primitivas imediatas,calcule as primitivas das seguintes funcoes:

1.∫

cos2(x)dx

2.∫

sin3(x)dx

3.∫

cos2(x) sin2(x)dx

4.∫

cos(3x) sin(2x)dx

16


Ensino UniversitarioAula #16- Inversa de uma Matriz atraves da Matriz Adjunta

Definicao: Seja A uma matriz de ordem n:

. Representamos por Aij a matriz de ordem n−1 que se obtem a partir de A eliminandoa linha i e a coluna j;

. Chamamos ajdunta adj(A) da matriz A a matriz de ordem n tal que adj(A) = [bij]T

sendo bij = (−1)i+j × |Aij|;

Teorema: Consideremos uma matriz A de ordem n invertıvel. Entao

A−1 =adj(A)

|A|

Exercıcio: Calcule a matriz inversa de

A =

1 2 32 5 31 0 8

17


Ensino UniversitarioAula # 17- Valores Proprios

Definicao: Seja A uma matriz quadrada de ordem n:. Chamamos valor proprio de A as solucoes λ da equacao:

det(A− λI) = 0

tal que I e a matriz identidade de ordem n;

. Ao polinomio det(A− λI) chama-se polinomio caracterıstico;

. A multiplicidade de um valor proprio do polinomio caracterıstico e dita multipli-cidade algebrica.

Exercıcio: Determine os valores proprios e respetivas multiplicidades algebricas damatriz:

A =

2 1 12 3 23 3 4

18


Ensino UniversitarioAula # 18- Primitivas por Substituicao

Regra: Seja f uma funcao real de variavel real, entao∫

f(x)dx =∫

f (ϕ(t)) · ϕ′(t)dt tal que x = ϕ(t)

A funcao real de variavel real ϕ e invertıvel.

Exercıcios: Atraves do metodo de substituicao calcule as primitivas das seguintesfuncoes:

1.∫ 1

e2x+ex dx

2.∫ √

1− x2dx

19


Ensino UniversitarioAula # 19- Determinantes atraves do Metodo de Laplace

Definicao: Seja A uma matriz de ordem n, representamos por Aij a matriz de ordemn− 1 que se obtem a partir de A eliminando a linha i e a coluna j;

Teorema: Consideremos uma matriz A de ordem n. Entao

|A| =n∑

i=1

(−1)i+j · aij · |Aij| sendo j um valor entre 1 e n

ou entao

|A| =n∑

j=1

(−1)i+j · aij · |Aij| sendo i um valor entre 1 e n

Exercıcio: Utilizando o metodo de Laplace, obtenha o determinante da matriz:

A =

2 1 0 10 3 2 03 0 4 21 5 0 2

20


Ensino UniversitarioAula # 20- Teorema Fundamental do Calculo

Teorema: Seja f uma funcao real de variavel real contınua em [a, b] e F a funcaodefinida em [a, b] por

F (x) =∫ x

af(t)dt

Entao F ′(x) = f(x).

Corolario: Seja f uma funcao real de variavel real contınua em [a, b] e F a primitivade f entao

∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a)

Exercıcio: Determine os seguintes integrais recorrendo ao teorema fundamental docalculo:

1. ∫ 5

22x3 − 4dx

2. ∫ π

π6

2cos2(x)dx

3. ∫ 8

5ln(x)dx

21


Ensino UniversitarioAula # 21- Teste para a Media

Passos para a resolucao de um teste para a media

1. Identificacao das Hipoteses

Teste Hipotese Nula Hipotese Alternativa

Bilateral Ho : µ = µo Ho : µ 6= µo

Uniteral a Direita Ho : µ = µo Ho : µ > µo

Uniteral a Esquerda Ho : µ = µo Ho : µ < µo

2. Escolha da Estatıstica de Teste

Variancia Tamanho da Amostra Estatıstica

Conhecida Qualquer√

n · Xn−µσ

∼ N(0.1)

Desconhecida n ≤ 30√

n · Xn−µs

∼ Tn−1

Desconhecida n > 30√

n · Xn−µs

∼ N(0, 1)

3. Construcao da Regiao Crıtica (ou Zona de Rejeicao)

Teste Regiao Crıtica

Bilateral ]−∞,−cα/2[∪]cα/2, +∞[Uniteral a Direita ]cα, +∞[

Uniteral a Esquerda ]−∞,−cα[

sendo α o nıvel de significancia e o valor de c obtido a partir da tabela adequada.

4. Calculo da Estatıstica de Teste e Conclusoes

Caso a estatıstica de teste pertenca a regiao crıtica rejeita-se Ho e caso nao pertencaaceita-se Ho.

Valores Utilizados

Sımbolo Valor

µ media da populacaoµo media a testarXn media da amostraσ desvio padrao da populacaos desvio padrao da amostran numero de elementos da amostra

Exercıcio: Num estudo efetuado, um cientista afirma que em media uma especie deinseto vive mais que 72 horas. Para confirmar a sua hipotese o cientista recolheu umaamostra de 25 insetos que viveram em media 73.5 horas com variancia 9 horas. Teste comnıvel de significancia 5% a afirmacao do cientista.

22


Ensino UniversitarioAula # 22- Teste para a Media com o SPSS

Hipoteses do Teste

. Hipotese Nula: Ho : µ = µo;

. Hipotese Alternativa: H1 : µ 6= µo;

Parametros da Tabela de Resultados

Sımbolo Valor

t estatıstica de testedf graus de liberdade

Sig. p-valor do testeMean Difference diferenca entre a media da amostra e o valor a testar

lower valor inferior do intervalo de confiancaupper valor superior do intervalo de confianca

Interpretacao do p-valor

. Se o nıvel de significancia α for maior que o p-valor rejeita-se Ho;

. Se o nıvel de significancia α for menor que o p-valor aceita-se Ho;

23


Ensino UniversitarioAula # 23- Volumes de Solidos de Rotacao em Torno de Eixos

Teorema: Consideremos f e g funcoes reais de variavel real continuas no intervalo[a, b] tais que f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b].

O volume V do solido de rotacao em torno do eixo dos xx das funcoes f e g no intervalo[a, b] e dado por:

V = π∫ b

af 2(x)− g2(x)dx

Exercıcio:

a) Mostre que um cilindro de raio r e altura h tem volume V = πr2h;

b) Calcule o volume do solido de rotacao da area compreendida entre as funcoesf(x) =

√x e g(x) = x2.

24


Ensino UniversitarioAula # 24- Coordenadas Polares no Calculo Integral

As coordenadas polares permitem localizar as coordenadas de um ponto (x, y) noplano (ou (x, y, z) no espaco) em funcao de r e θ (ou r, θ e z no espaco). A incognita rcorresponde a distancia do ponto a origem e θ e o angulo que o ponto faz com o semi-eixopositivo dos xx.

Logo,

r =√

x2 + y2 e θ = tg−1(

y

x

)

Ou seja,x = r cos(θ) e y = r sin(θ)

Integral no Plano: Consideremos f uma funcao definida em IR2 primitivavel numaregiao do plano R entao:

∫∫

Rf(x, y) dy dx =

∫∫

R′f(r cos(θ), r sin(θ)) · rdθ dr

sendo R′ a regiao R em coordenadas polares.

Integral no Espaco: Consideremos f uma funcao definida em IR3 primitivavel numaregiao no espaco R entao:

∫∫∫

Rf(x, y, z) dz dy dx =

∫∫∫

R′f(r cos(θ), r sin(θ), z) · rdθ dr dz

sendo R′ a regiao R em coordenadas polares.

Observacao: O valor de r a multiplicar no integral corresponde ao determinante damatriz Jacobiana relacionada com a mudanca de coordenadas.

Exercıcio: Considere a regiao R definida em IR2 limitada pela circunferencia centradana origem de raio 4 e contida no primeiro e segundo quadrante. Calcule:

∫∫

R

(√x2 + y2

)3

dy dx

25


Ensino UniversitarioAula # 25- Vetores Linearmente Independentes

Definicao: Sejam u1, u2, . . . , un vetores de um espaco vetorial V e α1, α2, . . . , αn

escalares:. Ao vetor v definido por:

v = α1 · u1 + α2 · u2 + · · ·+ αn · un

chama-se combinacao linear dos vetores u1, u2, . . . , un.

. Os vetores u1, u2, . . . , un sao ditos linearmente dependentes se existir (pelomenos) um vetor uk que seja igual a uma combinacao linear dos restantes. Caso essevetor nao exista entao u1, u2, . . . , un sao ditos linearmente independentes.

Teorema: Os vetores u1, u2, . . . , un de um espaco vetorial V sao linearemente in-dependentes se e so se existir uma unica combinacao linear do vetor nulo nesses vetores(com todos os escalares nulos). Ou seja,

0 = α1 · u1 + α2 · u2 + · · ·+ αn · un ⇔ α1 = α2 = · · · = αn = 0

Exercıcio: Verifique se sao linearmente independentes os conjuntos de vetores doespaco vetorial definido em IR3

1. u1 = (1, 2, 0); u2 = (−2, 1, 3); u3 = (−1, 3,−1)

2. v1 = (1, 1, 0); v2 = (−1, 0, 2); v3 = (−1, 2, 6)

26


Ensino UniversitarioAula # 26- Subespacos Vetoriais

Definicao: Um subconjunto F de um espaco vetorial V e dito subespaco vetorialse

1. ∀u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F2. ∀u ∈ F ⇒ α× u ∈ F tal que α e um escalar.

Observacao: Qualquer subespaco vetorial contem o vetor nulo.

Exercıcio: Verifique se sao subespacos vetoriais os seguintes subconjuntos de IR3

1. F1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x + y = 0 ∧ z = 1

2. F2 = (x, y, z) ∈ IR3 : x + y + z = 0

27


Ensino UniversitarioAula # 27- Teste de Independencia

Objetivo: Pretende-se averiguar se duas variaveis qualitativas nominais com n e mcategorias sao ou nao independentes.

Passos para a resolucao do teste

1. Identificacao das Hipoteses

. Hipotese Nula Ho : As variaveis sao independentes;

. Hipotese Alternativa H1 : As variaveis sao dependentes;

2. Calculo da Estatıstica de Teste

Q =n∑

i=1

m∑

j=1

((Oij − Eij)

2

Eij

)

Sendo que Eij = Li·Cj

N.

3. Construcao da Regiao Crıtica (ou Zona de Rejeicao)

Regiao Crıtica = ]cα, +∞[

sendo α o nıvel de significancia e o valor de cα obtido a partir da tabela de Qui-quadrado com (n− 1) · (m− 1) graus de liberdade.

4. Calculo da Estatıstica de Teste e Conclusoes

Caso a estatıstica de teste pertenca a regiao crıtica rejeita-se Ho e caso nao pertencaaceita-se Ho.

Pressupostos do Teste: Nao devem existir valores esperados inferiores e 1 e apercentagem de valores esperados inferiores a 5 deve ser menor que 20%. Caso algum dospressupostos nao se verifique sera necessario juntar linhas (ou colunas) da amostra.

Valores Utilizados

Sımbolo Valor

N total de elementos da amostraLi total de elementos da linha iCj total de elementos da coluna jOij valor observado na linha i e coluna jEij valor esperado na linha i e coluna j

Exercıcio: Averigue com nıvel de significancia 0.05 se as variaveis zona de residenciae meio de transporte sao independentes:

Carro Autocarro A pe

Centro 30 10 60Periferia 50 40 20

Longe da Cidade 80 40 10

28


Ensino UniversitarioAula # 28- Serie de Mengoli

Definicao: Chamamos serie de Mengoli a serie:

S =+∞∑

n=1

vn − vn+p

tal que vn e uma sucessao e p um numero natural.

Teorema: Uma serie de Mengoli e convergente se vn for uma sucessao convergente enesse caso a serie converge para:

v1 + v2 + · · ·+ vp − p · lim vn

Exercıcios: Determine se sao convergentes as seguintes series e em caso afirmativodetermine o seu limite:

1. S =∑+∞

n=14

2n+1− 4

2n+3

2. S =∑+∞

n=1 ln(

nn+1

)

3. S =∑+∞

n=21

(n+1)2−4

29


Ensino UniversitarioAula # 29- Serie de Taylor

Desenvolvimento em Serie de Taylor: Seja f uma funcao real de variavel realdiferenciavel de ordem n + 1 num intervalo I contendo um valor a. Entao para cada xem I existe um valor c entre x e a, tal que:

f(x) = f(a) +f ′(a)(x− a)

1!+

f ′′(a)(x− a)2

2!+ · · ·+ f (n)(a)(x− a)n

n!+ Rn(f, a)(x)

sendo o resto Rn(f, a)(x) = f (n+1)(c)(x−a)n+1

(n+1)!.

Ao polinomio

Pn(f, a)(x) = f(a) +f ′(a)(x− a)

1!+

f ′′(a)(x− a)2

2!+ · · ·+ f (n)(a)(x− a)n

n!

chamamos polinomio de Taylor de ordem n.

Caso a = 0 o polinomio e dito de Maclaurin.

Exercıcios: Determine o desenvolvimento em serie de Taylor de ordem 5 das funcoes:

1. f(x) = ex para a = 3.

2. f(x) = sin(x) para a = 0 (Maclaurin).

30


Ensino UniversitarioAula # 30- Derivada da Funcao Implıcita

Definicao: Diz-se que F (x, y) = 0 define implicitamente y em funcao de x seexiste uma funcao real de variavel real f tal que y = f(x) e F (x, f(x)) = 0 para todo xpertencente ao domınio de f .

Teorema: Seja F uma funcao definida numa regiao de IR2 contendo a bola abertaBr(a, b). Se:

. F (a, b) = 0,

. dFdx

(x, y) e dFdy

(x, y) sao contınuas em Br(a, b),

. dFdy

(a, b) 6= 0,

entao F (x, y) = 0 define implicitamente y em funcao de x num aberto A contido emBr(a, b).

E a derivada de y em funcao de x e dada por:

dy

dx(x) = −

dFdx

(x, y)dFdy

(x, y)

para (x, y) ∈ A.

Exercıcio: Mostre que a equacao xy+sen(xy) = 0 define implicitamente y em funcaode x para uma vizinhanca de (1, 0). Calcule dy

dx.

31


Ensino UniversitarioAula # 31- Limite de Funcoes em IR2

Definicao: Seja f uma funcao definida de IR2 em IR. Diz-se que o limite de f noponto (a, b) e l se:

∀δ > 0 ∃ε > 0 :√

(x− a)2 + (y − b)2 < ε ∧ (x, y) 6= (a, b) ⇒ |f(x, y)− l| < δ

e representa-se porlim

(x,y)→(a,b)f(x, y) = l.

Observacao: Se o limite de f no ponto (a, b) e l entao:

. limx→a

limy→b

f(x, y) = l ∧ limy→b

limx→a

f(x, y) = l

Sao os chamados limites iterados. E:

lim(x,y)→(a,b)∧y=mx+k

f(x, y) = l.

Sendo y = mx + k uma reta que passa por (a, b).

Exercıcio: Calcule, se existirem, os seguintes limites:

a) lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

b) lim(x,y)→(0,0)

2xy

x2 + y2

c) lim(x,y)→(0,0)

4xy2

x2 + y2

32


Ensino UniversitarioAula # 32- Criterio do Integral para Series

Definicao: Seja an uma sucessao de termos reais. A soma infinita

+∞∑

n=1

an

chamamos serie associada a an.Se a soma infinita tender para um valor real S a serie e dita convergente. Caso

contrario, e dita divergente.

Teorema: Seja an uma sucessao de termos positivos e f uma funcao nao negativa, de-crescente de domınio [1, +∞[. Se f(n) = an entao a serie

∑+∞n=1 an e o integral

∫ +∞1 f(x)dx

tem a mesma natureza.Isto e, se o integral converge a serie tambem, e se o integral diverge o mesmo acontece

com a serie.

Exercıcio: Estude a convergencia das seguintes series recorrendo ao criterio do inte-gral.

a)+∞∑

n=1

1

n3

b)+∞∑

n=1

4

n

c)+∞∑

n=1

1√n

Serie de Dirichlet: a serie

+∞∑

n=1

1

nα

e convergente caso α > 1 e divergente se α ≤ 1.

33


Ensino UniversitarioAula # 33- Criterios da Comparacao para Series

Teorema: Sejam an e bn sucessoes de termos nao negativos. Se:

. an ≤ bn ∀n ∈ IN e∑+∞

n=1 an diverge entao∑+∞

n=1 bn tambem;

. an ≤ bn ∀n ∈ IN e∑+∞

n=1 bn converge entao∑+∞

n=1 an tambem;

. liman

bn= l ∈ IR+ entao as series

∑+∞n=1 an e

∑+∞n=1 bn tem a mesma natureza;

. liman

bn= +∞ e

∑+∞n=1 bn diverge entao

∑+∞n=1 an tambem. Caso

∑+∞n=1 an converge

entao∑+∞

n=1 bn tambem.

. liman

bn= 0 e

∑+∞n=1 bn converge entao

∑+∞n=1 an tambem. Caso

∑+∞n=1 an diverge entao∑+∞

n=1 bn tambem.

Exercıcio: Estude a convergencia das seguintes series recorrendo aos criterios dacomparacao

a)+∞∑

n=1

1

2n3 + 4

b)+∞∑

n=1

4

2n + 6

c)+∞∑

n=1

3n + 5

4n2 + 1

d)+∞∑

n=1

2n4 + 5n2

8 + 2n7

34


Ensino UniversitarioAula # 34- Criterios de D’Alembert para Series

Teorema: Sejam an uma sucessao de termos nao negativos e

l = liman+1

an

.

Se:

. l > 1 a serie∑+∞

n=1 an diverge;

. l < 1 a serie∑+∞

n=1 an converge;

. l = 1 nada se pode concluir acerca da serie∑+∞

n=1 an.

Exercıcio: Estude a convergencia das seguintes series recorrendo ao criterio de D’Alembert

a)+∞∑

n=1

3n

n!

b)+∞∑

n=1

n!

nn

c)+∞∑

n=1

2(n!)2

(3n)!

35


Ensino UniversitarioAula # 35- Criterios da Raız para Series

Teorema: Sejam an uma sucessao de termos nao negativos e

l = lim n√

an.

Se:

. l > 1 a serie∑+∞

n=1 an diverge;

. l < 1 a serie∑+∞

n=1 an converge;

. l = 1 nada se pode concluir acerca da serie∑+∞

n=1 an.

Exercıcio: Estude a convergencia das seguintes series recorrendo ao criterio da raız

a)+∞∑

n=1

(n

3

)n

b)+∞∑

n=1

72n

nn

c)+∞∑

n=1

(5n2 + n

n5 + 3n + 4

)n

36

Documents

Filipe Santos Matem¶atica Simples Ensino Universitario¶videosmatematicasimples.com/wp-content/uploads/2014/05/matematica... · Filipe Santos Matem¶atica Simples Ensino Universitario¶