Filtrage non linéaire

Filtrage linéaire Filtrage non linéaire

Bases du traitement des images

I Filtrage d’images J

Nicolas Thome

11 octobre 2016

1 / 99Bases du traitement des images


Plan

1 Filtrage linéaireFiltrage spatial

2 Filtrage non linéaire



Filtrage linéaire

Systèmes Linéaires Invariants par Translation (LIT)

I Cas continu, en 1D

I Opérateur T : x(t)→ T [x(t)] = y(t), propriété LIT :

1 Linéarité : T[∫∞−∞ cwx(t)dw

]=∫cwT [x(t)] dw =

∫cwy(t)dw

2 Invariance translation : T [x(t − τ)] = y(t − τ)

I h(t) = T [δ(t)] : réponse impulsionnelle du système LIT

I x(t) =∫∞−∞ x(τ)δ(t − τ)dτ , conséquences LIT :

y(t) = T [x(t)] =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t − τ)dτ = x(t) ? h(t)



Filtrage linéaire


I Cas continu, en 1D

y(t) = T [x(t)] =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t − τ)dτ = x ? h(t) (1)

I Système LIT : entièrement caratérisé par sa réponse impulsionnelle h

I Sortie y(t) pour entrée quelconque x(t) : convolution x(t) et h(t)

x(t)h(t)

y(t) = h ⋆ x(t)

(convolution)



Filtrage linéaire


I Cas continu, en 1D : y(t) = x ? h(t)

Y (f ) = TF [y(t)] = TF [x ? h(t)] = X (f ) · H(f ) (2)

I h(t) : réponse impulsionnelle du filtre

I H(f ) = TF [h(t)] : fonction de transfert du filtre

y(t) = h ⋆ x(t)

TF (Transformee de Fourier)

X(v)H(v)

Y (v) = H(v)X(v)

x(t)h(t)



Filtrage linéaire

Systèmes LIT : bilan

y(t) = h ⋆ x(t)

TF (Transformee de Fourier)

X(v)H(v)

Y (v) = H(v)X(v)

x(t)h(t)

Temporel Fréquentiely(t) = x ? h(t) y(t) = TF−1 [X (f ) · H(f )]

I Opérations duales

I Avantages/inconvénients des espaces de traitement (complexitéalgorithmique) ?



Filtrage linéaire


I Cas discret, en 1D

I Opérateur T : x(n)→ T [x(n)] = y(n), propriété LIT :

1 Linéarité : T[∞∑

n=−∞cnx(n)

]=

∞∑n=−∞

cnT [x(n)] =∑

cny(n)

2 Invariance translation : T [x(n − k)] = y(n − k)

I h(n) = T [δ(n)] : réponse impulsionnelle du système LIT

I x(n) =∞∑

k=−∞x(k)δ(n − k), Conséquences LIT :

y(n) = T [x(n)] =∞∑

k=−∞

x(k)h(n − k) = x ? h(n)



Filtrage linéaire



y(n) = T [x(n)] =∞∑

n=−∞x(k)h(n − k) = x(n) ? h(n) (3)

I Système LIT : entièrement caratérisé par sa réponse impulsionnelle h

I Sortie y(n) pour entrée quelconque x(n) : convolution x(n) et h(n)

Filtre y(n) = h ⋆ x(n)x(n)



Filtrage linéaire


I Cas discret, en 1D : y(n) = x ? h(n)

I X (z) Transformée de Fourier Discrète (TFD) de x(t)

Y (z) = TFD [y(n)] = TFD [x ? h(n)] = X (z) · H(z) (4)

I H(z) = TFD [h(n)] : fonction de transfert du filtre

TFD

x(n)h(n)

y(n) = h � x(n)

(convolution)

X(v)H(v)

Y (v) = H(v)X(v)



Filtrage linéaire


TFD

x(n)h(n)

y(n) = h � x(n)

(convolution)

X(v)H(v)

Y (v) = H(v)X(v)

Temporel Fréquentiely(n) = x ? h(n) y(n) = TFD−1 [X (z) · H(z)]


I Avantages/inconvénients des espaces de traitement ? Complexitéalgorithmique ?



Filtrage linéaire



I Opérateur T : x(n,m)→ T [x(n,m)] = y(n,m), propriété LIT :

1 Linéarité :

T

[∞∑

n=−∞cnx(n,m)

]=

∞∑n=−∞

cnT [x(n,m)] =∑

cny(n,m)

2 Invariance translation : T [x(n − k,m − l)] = y(n − k,m − l)

I h(n,m) = T [δ(n,m)] : réponse impulsionnelle du système LIT

I x(n,m) =∞∑

k=−∞

∞∑l=−∞

x(k , l)δ(n − k ,m − l), Conséquences LIT :

T [x(n,m)] =∞∑

k=−∞

∞∑l=−∞

x(k , l)h(n − k ,m − l) = x ? h(n,m)



Filtrage linéaire


I Cas discret, en 2D : y(n,m) = T [x(n,m)]

y(n,m) =∞∑

k=−∞

∞∑l=−∞

x(k , l)h(n − k ,m − l)

= x ? h(n,m)

(5)

I Système LIT : entièrement caratérisé par sa réponse impulsionnelleh(n,m)

I Sortie y(n,m) pour entrée quelconque x(n,m) : convolution x(n,m)et h(n,m)

Filtrex(n,m) y(n,m) = h ⋆ x(n,m)



Filtrage linéaire


I Cas discret, en 2D : y(n,m) = x ? h(n,m)

I X (f , g) Transformée de Fourier Discrète (TFD) de x(n,m)

Y (f , g) = TFD [y(n,m)] = TFD [x ? h(n,m)]

= X (f , g) · H(f , g)(6)

I H(f , g) = TFD [h(n,m)] : fonction de transfert du filtre



Filtrage linéaire


X(f, g)H(f, g)

Y (f, g) = H(f, g)X(f, g)

TFD

h(t)y(n,m) = x ⋆ h(n,m)x(n,m)

Temporel Fréquentiely(n,m) = x ? h(n,m) y(n,m) = TFD−1 [X (f , g) · H(f , g)]


I Avantages/inconvénients des espaces de traitement ? Complexitéalgorithmique ?



Plan





Filtrage spatial

Pourquoi filtrer une image ?

I Pour réduire le bruit dans l’image (sujet de ce cours)

I Pour détecter les contours d’une image (sujet du prochain cours)

I Convolution entre une image f et un filtre h, appelé aussi masquede convolution

I Opération de voisinage qui effectue une combinaison linéaire (ounon) de pixels de l’image f , produisant une nouvelle image f ′

I h est un opérateur sur f défini en chaque pixel (i , j) et sur sonvoisinage



Réduction du bruitDéfinition du bruit

I Phénomène parasite aléatoire (suivant une distribution deprobabilité connue ou non) dont les origines sont diverses (capteur,acquisition, lumière, ...)

I Dans le cas du filtrage linéaire, on considère que le bruit est additif

I Pour le cas du bruit additif, si fb est l’image alors on peut l’écrire dela forme :

fb(i , j) = f (i , j) + b(i , j)

I Exemples de bruits additifs : bruits gaussiens et impulsionnels

• Bruit gaussien : I (x , y) = I (x , y) +N (0, σ)• Bruit impulsionnel ("poivre et sel") d’ordre n : ajouter n pixels

blancs et n pixels noirs aléatoirement dans l’imagecaractérisé par un % de pixels remplacés.

I Autres types de bruits : flou (convolutif), grain (multiplicatif)



Réduction du bruit

Exemples d’images bruitées

I Hypothèse fondamentale pour la réduction du bruit :

• Signal utile et bruit ont des composantes fréquentielles différentes• Signal utile ↔ basses fréquences• Bruit ↔ hautes fréquences



Filtrage spatial

Filtrage spatial linéaire : convolution

I Filtrage linéaire spatial : convoluer l’image avec la réponseimpulsionnelle du filtre

I Dans le domaine spatial

T [x(n,m)] =+∞∑

k=−∞

+∞∑l=−∞

x(k , l)h(n − k ,m − l) = x ? h(n,m)

Filtrex(n,m) y(n,m) = h ⋆ x(n,m)

I Comment s’interprète le calcul de la convolution ?

I Comment fait-on le calcul de la convolution pour des images(signaux discrets 2D) ?



Filtrage spatial

Produit de convolution : Illustration en 1D continu

1 Retournement du signal :g(t)→ g(−t)

2 Translation du signal dex : → g(x − t)

3 Produit entre Translationdu signal de t :f (t)g(x − t)

4 Calcul de l’intégrale def (t)g(x − t)



Filtrage spatial

Produit de convolution 2D discret

I Le produit de convolution d’un signal 2D f (i , j) (une image) avecun filtre h(i , j) est donné par :

f ′(i , j) = (f ? h)(i , j) =+∞∑

n=−∞

+∞∑m=−∞

f (i − n, j −m)h(n,m)

I On disctingue 2 stituations :

1 Filtres de Réponse Impulsionnelle h(n,m) Finie (RIF)2 Filtres de Réponse Impulsionnelle h(n,m) Infinie (RII)



Filtrage par convolution

Filtres de Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) v.s. Infinie (RII)

1 Filtres de Réponse Impulsionnelle h(n,m) Infinie (RII) : h(n,m) nes’annule pas

2 Filtres de Réponse Impulsionnelle h(n,m) Finie (RIF) : h(n,m) estnul en dehors d’un intervalle en n et m

• On parle de masque de convolution• Par exemple, si h(n,m) est un masque carré de taille d impaire,

centré en (0,0), h(n,m) 6= 0 pour |n| ≤ d−12 et |m| ≤ d−1

2 :

f ′(i , j) = (f ? h)(i , j) =

d−12∑

n=− d−12

d−12∑

m=− d−12

f (i − n,m − j)h(n,m)




Filtres de Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

I Exemple : si h(n,m) est un masque carré de taille d = 3 impaire :

f ′(i , j) = (f ? h)(i , j) =1∑

n=−1

1∑m=−1

f (i − n, j −m)h(n,m)

f ′(i, j) = h(1, 1)f (i − 1, j − 1) + h(1, 0)f (i − 1, j) + h(1,−1)f (i − 1, j + 1)

+ h(0, 1)f (i, j − 1) + h(0, 0)f (i, j) + h(0,−1)f (i, j + 1)

+ h(−1, 1)f (i + 1, j − 1) + h(−1, 0)f (i + 1, j) + h(−1,−1)f (i + 1, j + 1)

I Si on pose g(n,m) = h(−n,−m) : somme pondérée image avec g

f ′(i, j) = g(−1,−1)f (i − 1, j − 1) + g(−1, 0)f (i − 1, j) + g(−1, 1)f (i − 1, j + 1)

+ g(0,−1)f (i, j − 1) + g(0, 0)f (i, j) + g(0, 1)f (i, j + 1)

+ g(1,−1)f (i + 1, j − 1) + g(1, 0)f (i + 1, j) + g(1, 1)f (i + 1, j + 1)




Principe de calcul de la convolution pour un filtre RIFSoit un filtre RIF de réponse impulsionnelle h(n,m)Au pixel p = f (i , j) :

1 Faire une symétrie centrale du noyau par rapport à son centre :h(n,m)⇒ h(−n,−m) = g(n,m)

2 Centrer le filtre sur p en le superposant à l’image

3 Effectuer la somme pondérée entre les pixels de l’image et lescoefficients du filtre g(n,m)

4 Le pixel p dans l’image but (filtrée) aura comme valeur cettesomme pondérée



Exemple de convolution

Cas avec un filtre de taille d = 3

h =

w9 w8 w7w6 w5 w4w3 w2 w1

g =

w1 w2 w3w4 w5 w6w7 w8 w9

I La convolution au pixel (i , j) de f par le noyaux h est donnée par :

f ′(i , j) = w1f (i − 1, j − 1) + w2f (i − 1, j) + w3f (i − 1, j + 1)

+ w4f (i , j − 1) + w5f (i , j) + w6f (i , j + 1)

+ w7f (i + 1, j − 1) + w8f (i + 1, j) + w9f (i + 1, j + 1)

I Les filtres que nous étudions dans ce chapitre (débruiteurs) doiventconserver la moyenne de l’image ; les cœfficients du filtre doiventdonc vérifier

∑i wi = 1.



Principe de la fenêtre glissante



Convolution 2D

Types de convolution

I Comment faire quand le masque recouvre des zones en dehors del’image ?

I Convolution linéaire : on considère que l’image est entourée de noir,donc de valeurs nulles : zero-padding

I Convolution circulante : on considère que l’image est entourée d’ellemême (i.e. support infini de l’image)

I Convolution d’une image avec répétition du bord : on considère quel’image est entourée des mêmes valeurs que sur son bord

I Convolution miroir



Filtrage spatial linéaire : exemple de filtres

Lissage par moyennage

I Propriété : la valeur d’un pixel est relativement similaire à celle deses voisins

I Dans le cas où l’image contient un bruit et que la propriétéprécédente est préservée, un moyennage local peut atténuer ce bruit↪→ Cette opération est appelée lissage (smoothing)

I Pour effectuer un moyennage dans un bloc voisinage de taille d × d ,on obtient la sortie f ′ :

f ′(i , j) =1d2

d−12∑

n=− d−12

d−12∑

m=− d−12

f (i + n, j + m)




Exemple

I Le filtre de taille d = 3 :

h =19

1 1 11 1 11 1 1

I D’une manière générale, si on a un filtre de taille d , tous les

coefficients du filtre ont comme valeur wi = 1d2

I Plus d est grand, plus le lissage sera important, et plus l’imagefiltrée perd les détails de l’image originale










Filtrage spatial v.s. fréquentiel


I Quelle est la fonction de transfert du filtre moyenneur ? Type defiltrage fréquentiel ?

I Filtre passe-bas, passe-bas idéal ? (voir section filtrage fréquentiel)

I En TME



Filtrage spatial linéaire : exemple de filtres

Lissage gaussien

I Définition : noyau gaussien centré et d’écart-type σ :

gσ(i , j) =1

2πσ2 e− i2+j2

2σ2

I Lissage par moyennage pondéré de l’image en fonction de ladistance du pixel voisin



Lissage gaussien

Du continu au discretI Le noyau gaussien est défini par un ensemble de coefficients qui sont

des échantillons de la gaussienne 2D



Lissage gaussien

Calcul des coefficients du filtreI La largeur du filtre est donnée par son écart-type σ :

• Largeur du filtre de part et d’autre du point central : Ent+(3σ)(Ent+(.) est l’entier supérieur)

• Largeur totale du filtre : 2Ent+(3σ) + 1

I Si σ est plus petit qu’un pixel le lissage n’a presque pas d’effet

I Plus σ est grand, plus on réduit le bruit, mais plus l’image filtrée estfloue

I Si σ est choisi trop grand, tous les détails de l’image sont perdus

↪→ On doit trouver un compromis entre la quantité de bruit àenlever et la qualité de l’image en sortie



Lissage gaussien

Exemple pour σ = 0.625

I Largeur du filtre de part et d’autre du point central : Ent+(3σ) = 2

I Largeur totale du filtre : 2Ent+(3σ) + 1 = 5

I On obtient le filtre suivant :

h = 0.4× 10−2 ×

0.03 0.16 5.98 0.16 0.030.16 7.7 27.8 7.7 0.165.98 27.8 100 27.8 5.980.16 7.7 27.8 7.7 0.160.03 0.16 5.98 0.16 0.03



Lissage gaussien : des petites aux grandeséchelles

image originale




σ = 2




σ = 4




σ = 8




σ = 16




σ = 32




σ = 64



Lissage gaussien



I Quelle est la fonction de transfert du filtre gaussien ?

I Rappel : la transformée de Fourier d’une gaussiene est unegaussienne

TF[e−b

2t2]

=

√π

|b|e−

π2 f 2b2

TF[e−b

2(t2+u2)]

=π

b2 e−π2(f 2+g2)

b2

I Filtre passe-bas, non idéal (voir partie filtrage fréquentiel)



Lissage gaussien


TF[e−b2(t2+u2)

]=

π

b2 e−π2(f 2+g2)

b2

I En spatial σs = 1b , en fréquentiel σf = b

π ⇒ σf = 1σsπ

h(n,m) H(f , g)

σs = 0.7, taille 7× 7 σf = 0.45



Lissage gaussien


TF[e−b2(t2+u2)

]=

π

b2 e−π2(f 2+g2)

b2


π ⇒ σf = 1σsπ

h(n,m) H(f , g)

σs = 1.0, taille 7× 7 σf = 0.32



Lissage gaussien


TF[e−b2(t2+u2)

]=

π

b2 e−π2(f 2+g2)

b2


π ⇒ σf = 1σsπ

h(n,m) H(f , g)

σs = 2.0, taille 13× 13 σf = 0.16



Lissage gaussien


TF[e−b2(t2+u2)

]=

π

b2 e−π2(f 2+g2)

b2


π ⇒ σf = 1σsπ

h(n,m) H(f , g)

σs = 3.0, taille 19× 19 σf = 0.10



Autres filtres

Filtre binomialI Coefficients obtenus par le binôme de Newton

h =1256

1 4 6 4 14 16 24 16 46 24 36 24 64 16 24 16 41 4 6 4 1



Filtrage spatial linéaire : autres filtres

filtre binomial

h =1

256

1 4 6 4 14 16 24 16 46 24 36 24 64 16 24 16 41 4 6 4 1





filtre pyramidal

hp =1

81

1 2 3 2 12 4 6 4 23 6 9 6 32 4 6 4 21 2 3 2 1





filtre conique

hc =1

25

0 0 1 0 00 2 2 2 01 2 5 2 10 2 2 2 00 0 1 0 0





filtre réhausseur de contraste

hr1 =

1 −3 1−3 9 −31 −3 1

I Filtre passe-haut, non idéal (voir partie filtrage fréquentiel)




filtre réhausseur de contraste : seconde version

hr2 =

0 −1 0−1 5 −10 −1 0

I Filtre passe-haut, non idéal (voir partie filtrage fréquentiel)



Filtre de GaborFiltres de Gabor pour la classification [Serre2007]

I But : modéliser le traitement du cortex visuel (V1)

• Couche S1 : convolution image par des filtres de Gabor



Filtre de Gabor

Définition

h(x , y) = exp(−x2

0 + γ y20

2σ2

)cos(2πλx0

)(7)

x0 = x cos (θ) + y sin (θ) et y0 = −x sin (θ) + y cos (θ)

I Paramètres fixés : γ = 0.3, λ et σ à partir de données biologiques

I Paramètres variables : échelle s et orientation θ

I Filtres passe-bande localisés dans l’espace et en fréquence

I Donne des réponses à différentes échelles et orientations



Filtres de Gabor

Variations de l’orientationEn faisant varier θ :

Réponse impulsionnelle h(n, n)

Fonction de Transfert H(f , g)

I Capturent des fréquences spatiales à différentes orientations

I Filtres passe-bande localisés



Filtres de Gabor

Variation de l’échelleEn faisant varier s :

Réponse impulsionnelle h(n, n)

Fonction de Transfert H(f , g)

I Capturent des fréquences spatiales à différentes échelles

I Filtres passe-bande localisés



Filtre séparable

Définition

I Rappelons les propriétés suivantes (vraies en continu et en discret) :

• Commutativité : (f ? g)(n) = (g ? f )(n)• Distributivité : (f ? (g + h))(n) = (f ? g)(n) + (f ? h)(n)• Associativité : ((f ? g) ? h))(n) = (f ? (g ? h))(n)• L’opérateur ? est bilinéaire.

I Lorsque h(i , j) = hx(i)× hy (i) (filtre de taille N ×M) laconvolution 2D correspond à une composition de convolutions 1D :

(f ? h)(i , j) =

N/2∑n=−N/2

M/2∑m=−M/2

f (i − n, j −m)h(n,m)

=∑m

(∑n

f (i − n, j −m)hx(n)

)hy (m)

= (f ? hx ? hy )(i , j)



Filtre séparable (suite)

I Les filtres moyenneur, gaussien, binomiale, ... sont séparables.

I Moyenneur 3× 3 : hx = 13

(1 1 1

), hy = 1

3

111

I Gaussien : exp(− i2+j2

2σ2 ) = exp(− i2

2σ2 ) exp(− j2

2σ2 )

I Voir TD 4

• Permet de diminuer la complexité du filrage• Permet d’implémenter les fitres de manière récursive



Filtrage des images en couleurs

Filtrage linéaire

I Le filtrage spatial d’une image f en couleur par un filtre h s’effectuede la manière suivante :

f ′(i , j) = (f ? h)(i , j) =N∑

n=1

M∑m=1

f (i , j)h(n − i ,m − j)

I Pour le cas d’une image couleur, on a deux solutions :

1 h est une matrice diagonale : le filtrage se fait plan par plan ;2 h n’est pas une matrice diagonale : il y a des termes croisés

(dépendances entre composantes).

I Attention au choix des espaces de représentation des couleurs ! (voircours intro)



Filtrage linéaire des images en couleurs

I Approche marginale : traiter chaque composante puis fusion⇒ hypothèse d’indépendance des composantes, souvent violée

I Approche vectorielle : la couleur est vue comme un vecteur 3D



Filtrage des images en couleurs : illustration

Filtre moyenneur

I Trois moyenneurs scalaires

I Possibilité d’utiliser des masques différents sur chaque composante.

I Risque d’engendrer des phénomènes de fausses couleurs.



Filtrage fréquentiel

DéfinitionsI On suppose que le signal dont on dispose a été discrétisé

I Garder/supprimer des fréquences du signal à l’aide d’un filtre

I Deux manières de procéder :

• dans le domaine spatial : produit de convolution entre le signal et lefiltre ;

• dans le domaine fréquentiel : produit entre les spectres du signal etdu filtre.

I Trois familles :

• filtrage passe-bas ;• filtrage passe-haut ;• filtrage passe-bande (et aussi coupe-bande).

I Filtre idéal : coefficients égaux à 0 ou 1.




Principe général du filtrage fréquentiel

1 Calculer la tranformée de Fourier X (f , g) du signal x(n,m) à filtrer

2 Calculer la transformée de Fourier Discrète H(f , g) du filtre h(n,m)

3 Multiplier les spectres Xfiltré(f , g) = X (f , g) · H(f , g)

4 Calculer la transformée de Fourier inverse du spectre obtenu pourobtenir le signal filtré xfiltré(n,m)




Principe du filtrage fréquentiel 2D



Filtrage passe-bas : illustration en 1D



Caractéristiques fréquentielles du bruit

Le bruit est une haute fréquence



Filtre passe-bas 2D : bande passante

DéfinitionI Un filtre passe-bas idéal est un système linéaire ne modifiant pas ou

peu les basses fréquences de l’image d’entrée

I La taille du voisinage caractérise la bande passante du filtre

I Basses fréquences et fréquence fondamentale conservées↪→ L’information d’intensité est restituée lors de la reconstruction del’image (IDFT)

I Hautes fréquences éliminées : les changements brusques d’intensité(bruit, frontières, ...) sont atténués voire éliminés↪→ étalement des frontières



Filtre passe-bas 2D idéal

Définition

I La fonction de transfert H(u, v) du filtre passe-bas idéal defréquence de coupure D0 est donnée par :

H(u, v) =

{1 si

√u2 + v2 ≤ D0

0 si√u2 + v2 > D0

I Ce filtre supprime les composantes fréquentielles ayant unefréquence radiale

√u2 + v2 supérieure à D0







Interprétations

I Les hautes fréquences sont supprimées

I Les basses fréquences, dont la fréquence fondamentale, sontconservées

I L’image reconstruite présente du flou sur le contour




Interprétations

H(f , g) h(n,m) h(n,m)

I Filtre passe-bas 2D idéal : convolution par une fonction de besseld’ordre 1

I Phénomène d’oscillations (rebonds), visuellement potentiellementgênants

• H(f , g) non dérivable à la fréquence de coupure (cf phénomèneGibbs)

• ∼ fonction porte Rect(f , g) de TF inverse sinus cardinal



Filtre passe-bas 2D : un exemple réel



Filtre passe-bas 2D de Butterworth d’ordre n

DéfinitionI Le filtre passe-bas de Butterworth d’ordre n est défini par :

H(u, v) =1

1 +(√

u2+v2

D0

)2n



Filtre passe-bas 2D de Butterworth d’ordre n

Caractéristiques

I Les composantes fréquentielles sont d’autant plus atténuées que lecouple (u, v) est loin de l’origine

I Plus n est grand, plus l’atténuation des hautes fréquences estimportante

I Moins de flou (contours moins lissés) qu’avec un filtre passe-basidéal



Filtrage anti-aliasing

Aliasing : interprétation fréquentielle (rappel)

I Image bien échantillonnée, i.e. fe ≥ 2fmax (Shannon)TF continue TF échantillonée TFD=TF continue

TFD=TF continue pas d’aliasing71 / 99

Bases du traitement des images


Aliasing : interprétation fréquentielle (rappel)

Image bien échantillonnée, limite fe = 2fmax (Shannon)

TF continue TF échantillonée TFD=TF continue

TFD=TF continue pas d’aliasing



Aliasing : interprétation fréquentielle

Image mal échantillonnée, fe < 2fmax

TF continue TF échantillonée TFD 6= TF continue

TFD 6= TF continue Effets d’aliasing



Filtrage anti-aliasing numérique

Principe

I Contexte : une image numérique de taille NxM échantillonée enrespectant Shannon

I Sous-échantillonage : va nécessairement introduire des effetsd’aliasing

I Filtrage anti-aliasing : effectuer un filtrage passe-bas préalablementau sous-échantilonnage

En TME !



Filtrage passe-haut 1D

Principe

I Garder les hautes fréquences du spectre de Fourier du signal

I Le signal est reconstruit par DFT inverse sans ses basses fréquences,donc sans sa fréquence fondamentale



Filtrage passe-haut 1D : un exemple



Filtre passe-haut 2D

DéfinitionI Un filtre passe-haut est un système linéaire ne modifiant pas ou peu

les hautes fréquences de l’image d’entrée

I Basses fréquences et fréquence fondamentale éliminées↪→ L’information d’intensité est enlevée lors de la reconstruction del’image (IDFT)

I Hautes fréquences préservées↪→ Les changements brusques d’intensité (bruit, frontières, ...) sontmis en évidence



Filtre passe-haut 2D idéal

Définition

I La fonction de transfert H(u, v) du filtre passe-haut de fréquence decoupour D0 idéal est donnée par :

H(u, v) =

{1 si

√u2 + v2 ≥ D0

0 si√u2 + v2 < D0

I Ce filtre supprime les composantes fréquentielles ayant unefréquence radiale

√u2 + v2 inférieure à D0







Interprétations

I Les hautes fréquences sont conservées

I Les basses fréquences, dont la fréquence fondamentale, sontéliminées

I L’image reconstruite n’a plus ses couleurs, mais le contour est net



Filtre passe-haut 2D de Butterworth d’ordren

DéfinitionI Le filtre passe-haut de Butterworth d’ordre n est défini par :

H(u, v) =1

1 +(

D0√u2+v2

)2n



Filtre passe-haut 2D de Butterworth d’ordren

Caractéristiques

I Les composantes fréquentielles sont d’autant plus atténuées que lecouple (u, v) est proche de l’origine

I n fixe la pente de transition entre les hautes et les basses fréquences

I Le filtrage passe-haut a un effet dérivateur



Filtre passe-haut 2D : un exemple réel



Filtrage passe-bande 1D

Principe

I Garder une bande de fréquences du spectre de Fourier du signal

I Le signal est reconstruit par DFT inverse sans cette bande defréquences



Filtrage passe-bande 1D : un exemple



Filtre passe-bande 2D

DéfinitionI Un filtre passe-bande est complémentaire d’un filtre passe-bas et

d’un filtre passe-haut

I Un filtre passe-bande est un système linéaire qui préserve une plagede fréquences

I L’image reconstruite est une combinaison d’un nombre réduitd’images de base (sinusoïdes)



Filtre passe-bande 2D idéal



Plan





Le filtre médian

Définition

I Soit une séquence discrète a1, a2, . . . , aN (N impair). ai est la valeurmédiane de la séquence si :

• Il existe N−12 éléments de valeur inférieure

• Il existe N−12 éléments de valeur supérieure

I Très adapté au bruit type "poivre et sel" (faux "blanc" et "noir"dans l’image)

I Préserve les contours

I Réduit le bruit additif uniforme ou gaussien (lissage de l’image)

I Si le bruit est supérieur à la moitié de la taille du filtre, alors le filtreest inefficace



Le filtre médian

DéfinitionI Déplacer une fenêtre de taille impaire sur le support image

I Remplacer le pixel central (sur lequel est positionnée la fenêtre) parla valeur médiane des pixels inclus dans la fenêtre



Le filtre médian



Le filtre médian contre filtre gaussien









Plus loin avec le médian

Image originale




Median 15× 15




Median 31× 31




Median 3× 3 itéré 15 fois




Median 7× 7 itéré 5 fois



Filtre Médian

Question/Exercice

I Pourquoi le filtre médian est-il non linéaire ?



Autres filtres non linéaire : filtres de rang

Définition (filtre maximum)

I Filtre supprimant le bruit “poivre”

I Pour chaque pixel (i , j) :

• fmax(x , y) = max(i,j)∈voisins(x,y) f (i , j)

Définition (filtre minimum)

I Filtre supprimant le bruit “sel”

I Pour chaque pixel (i , j) :

• fmin(x , y) = min(i,j)∈voisins(x,y) f (i , j)

I Médian, min et max sont appelés filtres de rang.



Filtrage de Nagao

DéfinitionI Fenêtre 5× 5 centrée sur chaque pixel, 9 domaines définis

I On calcule pour chaque domaine Di la moyenne µi et la variance σ2i

I Le pixel est remplacé par la moyenne du domaine de plus faiblevariance



Gaussien orienté

ProblèmeI Choisir une fonction gaussienne 2D ayant des écart-types de valeurs

différentes en fonction de la direction.

I La gaussienne exp(− x2+y2

2σ2 ) a un axe de symétrie en l’origine

I Généralisation, considérer le noyau

gΣ(x , y) =1

det(Σ)πexp

(−(x y

)Σ−1

(xy

))

I A la manière du détecteur de Harris, on peut choisir Σ de façon àavoir une direction de lissage qui soit alignée (par exemple) le longdes contours



Gaussien orienté

Filtre orienté le long d’un contour contre filtre non orienté



Gaussien orienté

Lissage selon une orientation

I Pour cela il suffit de considèrer :

Σ =

(I 2x Ix IuIx Iy I 2y

)où Ix est la moyenne de la dérivé par rapport à x de l’image sur unpetit voisinage autour de (x , y) et idem en y pour Iy

I Pourquoi ? on sort du cadre de ce cours : voir techniques avancéesen M2.

I Pourquoi ce filtre n’est pas linéaire ? (pourtant, c’est de laconvolution ?)


Documents

Filtrage non linéaire