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Robotica Probabilistica Filtri Bayesiani Filtri discreti e Particle filters Filtri discreti e Particle filters

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Robotica Probabilistica

Filtri BayesianiFiltri discreti e Particle filtersFiltri discreti e Particle filters

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Filtri ad Istogrammi e Filtri Discreti

- Decompongono lo spazio in regioni e rappresentano il post cumulativo di ogni regione con un valore di post cumulativo di ogni regione con un valore di probabilità

Se applicati a spazio finito sono detti Filtri Discreti: Xt- Se applicati a spazio finito sono detti Filtri Discreti: Xtprende valori in un insieme finito (es. occupancy grid Xij

ha 2 valori)

- Filtro Discreto molto comune: forward pass di un HMM

2

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Filtro Discreto: Algoritmo

3

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Filtro ad Istogramma

- Se spazio continuo Filtri ad Istogramma (Xt prende valori in spazio continuo)valori in spazio continuo)

- Spazio diviso in regioni finite e convesse (bins) che partizionano lo stato: X = x v v xpartizionano lo stato: Xt = x1,t v … v xn,t

- Per ogni regione è associata la probabilità pk,t quindi p(x ) = pk t / | xk t|p(xt) = pk,t / | xk,t|

4

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Filtro ad Istogramma

Costante a tratti

5

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ImplementazioneStatica: partizione statica dello spazio

Dinamica pa ti ione dello spa io Dinamica: partizione dello spazio dipendente dal contesto

Rappresentazionecostante: costante: occupancy grid

6

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Rappresentazione Statica

Utili quando lo stato è binario

Problemi:Problemi:-Per update e normalizzazione occorre lo scan di tutta la grigliala griglia

- Se le credenze sono concentrate si vorrebbe evitare

Si ò f l’ d t d ll tt i li “ tti ” - Si può fare l’update della sottogriglia “attiva”, ma non gestisce la delocalizzazione

7

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Localizzazione Grid-based

G id i l i 15 15 2LRF b d lGridmap risoluzione 15 cm, 15 g, 2LRF, beam model

Posizione dopo 3 scan

8

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Localizzazione Grid-based

9

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Decomposizione Dinamica

Density Tree: decomposizione ricorsiva adatta ll l d lalla risoluzione del post

Meno è probabile una regione, minore è la Meno è probabile una regione, minore è la risoluzione

Più precisa ed efficiente (ordini di grandezza)Più precisa ed efficiente (ordini di grandezza)

Quadtree o Octree

10

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Particle Filters

Filtri ad Istogrammi:- Discretizzazione dello spazio (statica o dinamica)Discretizzazione dello spazio (statica o dinamica)

- Problemi di risoluzione ed efficienza

Alternativa più efficiente: Particle Filtersp

Approssimano il post con un numero finito di parametri, ma tecnica diversa:p ,

- Insiemi di ipotesi (particles) rappresentano il post

- Sopravvivono le migliori- Sopravvivono le migliori

11

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Localizazione basata su Campioni (sonar)

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Particle Filters

Rappresenta i belief con campioni randomStima di non-Gaussiane, processi nonlineari

Monte Carlo filter, Survival of the fittest, Condensation, Bootstrap filter, Particle filterCondensation, Bootstrap filter, Particle filterAdattivi: numero di campioni dipendenti dalle risorse e dalla complessità del taske dalla complessità del task.

Filtering: [R bi 88] [G d t l 93] [Kit 96]Filtering: [Rubin, 88], [Gordon et al., 93], [Kitagawa 96]

Computer vision: [Isard and Blake 96, 98]

Dynamic Bayesian Networks: [Kanazawa et al., 95]d

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Particle Filter

1. Lo stato al tempo t è rappresentato da un insieme di campioni (particles):campioni (particles):

Xt = xt,1, xt,2, … , xtM

2. Ogni xt,i è una istanza dello stato al tempo t, M e’ il g , p ,numero delle particles

3. Ogni particle e’ una ipotesi sullo stato

4. Prob di “xt,m appartenente ad Xt “ approssima b l( ) ( | )

14

bel(xt,m): xt,m ~ p(xt | z1:t,u1:t)

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Particle FilterGli insiemi di particles Xt approssimano una funzione di distribuzione

Prob di “xt,m appartenente ad Xt “ approssima bel(xt,m): xt,m ~ p(xt | z1:t,u1:t)

Più particle cadono in un intervallo più è probabile l’intervallo

15

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Campionamento per Rifiuto(rejection sampling)

Si assume f(x) < 1 per ogni xSi assume f(x) 1 per ogni x

Campionamento da distribuzione uniforme

Si campiona c da [0,1]

Se f(x) > c allora si mantiene il campioneSe f(x) > c allora si mantiene il campione

altrimenti si scarta

16

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Importance Sampling

Si vuole fare sampling dalla target(x) ma si può fare d l( )da proposal(x)

U l d l( ) i t Un sample da proposal(x) viene pesato con: w = target(x)/proposal(x)

Condizione: target(x) -> proposal(x)target(x) > proposal(x)

17

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Campioni da f(x), ma non possibile

Campioni da g(x)

Campioni pesati p pcon f(x)/g(x)

18

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Importance Sampling

Peso dei campioni: w = f / gPeso dei campioni: w = f / g

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Importance Sampling con Resampling:iEsempio

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DistribuzioniDistribuzioni

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DistribuzioniDistribuzioni

Wanted: samples distribuite secondop(x| z1, z2, z3)p( | 1, 2, 3)

22

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CampionamentoCampionamentoEstrarre campioni da p(x|zl)

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Importance Sampling con R liResampling

)()|( k xpxzp∏),...,,(

)()|(),...,,|( :fon distributiTarget

2121

n

kk

n zzzp

ppzzzxp

∏=

)()()|()|( :gon distributi Sampling

l

ll zp

xpxzpzxp =

)|()()|( kl xzpzp

zzzxpf ∏),...,,()|(

),...,,|(:w weightsImportance21

21

n

lk

l

n

zzzpzxpzzzxp

gf ≠==

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Importance Sampling con R liResampling

Campioni pesati Dopo il resamplingp p Dopo il resampling

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Importance SamplingCampionamento di g

Differenza tra g ed fDifferenza tra g ed f

Permette di ricostruire fPermette di ricostruire f

26

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Importance Sampling

Nel caso del filtro particellare:Nel caso del filtro particellare:

Target(x) = Bel(xt) Xt

Proposal(x) = p(x | u x ) Bel(x ) X’Proposal(x) = p(xt| ut, xt-1) Bel(xt-1) X t

w = p(zt | xt)

27

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Particle Filter

Come bel(xt) si aggiorna da bel(xt-1)

Così Xt si aggiorna da Xt-1

Le ipotesi sono pesate:

I campioni pesati usati per rappresentare il post:p p p pp p

28

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Particle Filter: AlgoritmoPrima crea X’t dal moto ut rappresenta bel’(t), quindi corregge con le osservazioni zt

I t GenerationImportance

factor

Resampling

29

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Particle Filter: Algoritmo

Si parte da Xt-1 che rapp Belt-1(x)Si parte da Xt 1 che rapp Belt 1(x)

Si applica il modello di moto p(xt,i | ut, xt-1,i) e si campiona X’t

Si i i i i P( | )Si pesano i campioni rispetto a P(z|x)

Si effettua il ricampionamento per avere Xt

30

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Particle Filter: Algoritmo

Target

Proposal

PesoPeso

Target

31

Target

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Particle FiltersParticle Filters

La posa iniziale sono particelle prese in p p pmodo random

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)()|()( xBelxzpxBel α← −

Informazione Sensori: Importance Sampling

)|()(

)()|()()|()(

xzpB l

xBelxzpw

xBelxzpxBel

ααα

=←

)|()(

pxBel

Bel’(x)( )

Likelihood sensore p(z|x) pesa i samplesp( | ) p p

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Robot Motion

∫←− 'd)'()'|()( , xxBelxuxpxBel

Ricampionamento e spostamento Bel’(x)

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)()|()( xBelxzpxBel α← −

Informazione Sensori: Importance Sampling

)|()(

)()|()()|()(

xzpB l

xBelxzpw

xBelxzpxBel

ααα

=←

)|()(

pxBel

Osservazione e peso

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Robot Motion

∫←− 'd)'()'|()( , xxBelxuxpxBel

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Algoritmo del Particle Filter

1. Algorithm particle_filter( St-1, ut-1 zt):

2.

3. For Generate new samples0, =∅= ηtS

ni K1=

4. Sample index j(i) from the discrete distribution given by wt-1

5 Sample from using andix )|( uxxp )(ijx u5. Sample from using and

6. Compute importance weighti

tx ),|( 11 −− ttt uxxp )(1

jtx − 1−tu

)|( itt

it xzpw =

7. Update normalization factor

8. Insert},{ ><∪= it

ittt wxSS

itw+=ηη

9. For

10 Normalize weightsni K1=

η/ii ww =10. Normalize weightsη/tt ww =

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Algoritmo Particle Filter

1111 )()|()|()( ∫= dxxBeluxxpxzpxBel η

Algoritmo Particle Filter

d i f B l( )

1111 )(),|()|()( −−−−∫ tttttttt dxxBeluxxpxzpxBel η

draw xit−1 from Bel(xt−1)

draw xit from p(xt | xi

t−1,ut−1)

Importance factor for xit:

ondistributitarget i

)(),|()|(ondistributi proposal

g

111 tttttt

it

xBeluxxpxzp

w

=

=

−−−ηSampling da Bel’

)|()(),|( 111

tt

tttt

xzpxBeluxxp

∝−−−Peso da P(z|x)

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ResamplingResampling

• Dato: Insieme S di campioni pesati.p p

• Desiderata : Campione Random dove la • Desiderata : Campione Random, dove la prob di estrarre xi è proporzionale a wi.

• Fatto n volte con rimpiazzamento per generare il nuovo insieme di campioni S’.g p

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Resampling

w2

w1wn

Resampling

ww1wn

2

w3

Wn-1w2

w3

Wn-1

• Roulette wheel

• Stochastic universal sampling

• Systematic resampling• Roulette wheel

• Binary search, n log n

• Systematic resampling

• Linear time complexity

• Easy to implement low variance• Easy to implement, low variance

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Resampling1. Algorithm systematic_resampling(S,n):

2 1'S ∅2.3. For Generate cdf4

11,' wcS =∅=

ni K2=i

ii wcc += 14.5. Initialize threshold

ii wcc +−1

1],,0]~ 11 =− inUu

6. For Draw samples …7. While ( ) Skip until next threshold reached8

nj K1=ij cu >

1ii8.9. Insert10 I t th h ld1−+ nuu

{ }><∪= −1,'' nxSS i

1+= ii

10. Increment threshold

11 Return S’

1+ += nuu jj

11. Return S

Also called stochastic universal sampling

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Modello di Moto

StartStart

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Proximity Sensor Model

L Sonar sensorLaser sensor Sonar sensor

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Localizzazione Sample-based (sonar)

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Initial DistributionInitial Distribution

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After Incorporating Ten Ultrasound ScansUltrasound Scans

65

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After Incorporating 65 Ultrasound ScansUltrasound Scans

66

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Percorso stimatoPercorso stimato

67

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Mappe dei Soffitti per la Mappe dei Soffitti per la Localizazione Vision-based

Mappa di likelihood

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Localizzazione Vision-basedLocalizzazione Vision basedModello del sensore mappa posa a immagine

P(z|x)

h(x)z

Misura luminosità

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Sotto una luceSotto una luce

Measurement z: P(z|x):Mappa di likelihood per

luminosità intensaMeasurement z: P(z|x): luminosità intensa

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Vicino ad una luceVicino ad una luce

Measurement z: P(z|x):Mappa di likelihood per luminosità meno intensaMeasurement z: P(z|x): luminosità meno intensa

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Non sotto una luceNon sotto una luce

Measurement z: P(z|x): Mappa di likelihood per poca luminositàMeasurement z: P(z|x): poca luminosità

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Localizzazione Globale

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Robots in Action: AlbertRobots in Action: Albert

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Application: Rhino and Albert Synchronized in Munich and Synchronized in Munich and Bonn

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