FILTROS PASIVOSSe define filtro a un sistema de n puertos, que permite el paso de cierto intervalo de frecuencias para el cual fue diseado. As pues, los filtros se pueden clasificar como pasa altas, pasa bajas, pasa bandas, pasatodo y rechazatodo. Al intervalo de frecuencias que permiten pasar se le conoce como banda de paso y al intervalo de frecuencias que no permiten pasar como banda de rechazo [13]. Un filtro ideal es aquel que rechaza totalmente a las seales cuyas frecuencias no estn en el intervalo para el cual fue diseado, desafortunadamente no existen tales tipos de filtros por las limitaciones fsicas que tienen los componentes con que son fabricados. La respuesta de un filtro ideal se puede aproximar por medio de funciones matemticas, entre los cuales estn los Butterworth, Chebyshev y Helpticos. Con estas funciones matemticas se pueden construir los filtros con inductores y capacitores debido a que con estos elementos fsicos se pueden modelar estas funciones, debido a que presentan variaciones que son funcin de la frecuencia.Analisis de los filtrosLos tipos de filtro ms importantes en funcin de Q, para altavoces y audio son los siguientes:Butterworth: Produce la respuesta en frecuencia ms plana posible.Tchebychev: Produce la cada ms brusca de todas, a pesar de tener un pico de respuesta cerca de la frecuencia de corte. Este es el motivo por el que no se use demasiado.Bessel: No decae tan rpido como los anteriores, pero produce los menores errores de fase de todos.Linkwitz-Riley: El punto de corte no se produce a -3dB, sino a -6dB. Se construye a partir de dos filtros butterworth de orden menor. Como ventajas tiene que la respuesta es plana y sobre todo:en todo momento la reproduccin de ambos drivers est en fase. Es una idea diferente a los filtros convencionales y es exclusiva del audio.Filtro ButterworthElfiltro de Butterworthes uno de losfiltroselectrnicos ms bsicos, diseado para producir la respuesta ms plana que sea posible hasta lafrecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de corte, luego disminuye a razn de 20ndBpor dcada ( ~6ndB por octava), dondenes el nmero de polos del filtro.Fue descrito por primera vez por elingenierobritnicoS. Butterworth, (quien rehus expresamente publicar su primer nombre; se piensa que es Stephen) en su libro"On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer(tambin llamadoExperimental Wireless and the Radio Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536-541.El filtro Butterworth ms bsico es el tpico filtro pasa bajo de primer orden, el cual puede ser modificado a un filtro pasa alto o aadir en serie otros formando un filtro pasa banda o elimina banda y filtros de mayores rdenesSegn lo mencionado antes, la respuesta en frecuencia del filtro es extremadamente plana (con mnimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto en undiagrama de Bodecon escalalogartmica, la respuesta decae linealmente desde la frecuencia de corte hacia menos infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por dcada (aprox. -6dB por octava).El filtro de Butterworth es el nico filtro que mantiene su forma para rdenes mayores (slo con una cada de ms pendiente a partir de la frecuencia de corte). Este tipo de filtros necesita un mayor orden para los mismos requerimientos en comparacin con otros, como

Si llamamos H a la respuesta en frecuencia, se debe cumplir que las 2N-1 primeras derivadas desean cero para y. nicamente posee polos y la funcin de transferencia es:

donde N es el orden del filtro,es la frecuencia de corte (en la que la respuesta cae 3 dB por debajo de la banda pasante) yes la frecuencia analgica compleja ( =j w).El diseo es independiente de la implementacin, que puede ser por ejemplo medianteclulas de Sallen-Keyo Rauch, componentes discretos, etc.Caracterizando un Filtro Butterworth Mediante Anlisis de CA en MultisimEn esta ocasin se va a caracterizar un filtro Butterworth pasa bajas de cuarto orden utilizandoAnlisis de CAen Multisim. En la figura siguiente podemos ver el filtro a caracterizar:

Este circuito est basado en tres amplificadores operacionales LM124AE, tiene una frecuencia de corte de 500 Hz y una ganancia de 10 (20 db). Este circuito fue tomando del libro Electric Circuits, Seventh Edition, Nilsson/Riedel.Una vez que tenemos el circuito se ejecuta la simulacin y abre el panel frontal delOsciloscopio. Podemos ver que con una fuente de entrada de 1 Vp a 250 Hz tenemos una salida amplificada de 10 Vp:

Experimentemos cambiando la frecuencia de la fuente de CA a 600 Hz:

Como podemos ver la salida del circuito empieza a atenuarse, lo cual es esperado dado la frecuencia de corte de 500 Hz.Ahora vamos a configurar un Anlisis de CA en Multisim para conocer la respuesta en frecuencia del filtro Butterworth. En mi edicin deMultisimvoy a ir al menSimular>>Anlisis>>Anlisis de CASe abre la ventana de configuracin del Anlisis de CA. En la pestaaParmetros de frecuenciavamos a seleccionar los siguientes datos:

Bsicamente estamos configurando un barrido de frecuencia de 1 Hz hasta 10 kHz. Ntese que podemos seleccionar distintos tipos de barrido, el nmero de puntos del barrido y la escala vertical.Ahora vamos a la pestaaSaliday seleccionemosV(vout)como la variable seleccionada para el anlisis. Para agregarV(vout)a esta lista solo tenemos que buscarla y seleccionarla en la columnaVariables en circuitoy darle clic al botnAgregar:

En la ventanaAnlisis de CAtenemos dos pestaas ms:Opciones de anlisisyResumen. La pestaaOpciones de anlisiscontiene los ajustes predeterminados de Multisim para realizar la simulacin de SPICE, por ejemplo: tolerancias de error, temperatura de operacin, etc. Se recomienda dejar los ajustes predeterminados pues ellos funcionan adecuadamente para la mayor cantidad de simulaciones que realicemos. Por ltimo, en la pestaaResumenencontramos una lista de cmo hemos configurado el Analisis de CA en Multisim.Ejecutemos el Anlisis de CA dando clic al botnSimular. LaVista de Graficadorse abre y muestra laMagnitudy laFasede nuestro filtro Butterworth pasa bajas de cuarto orden:

De la figura podemos ver que tal como se esperaba, aproximadamente en 500 Hz la Magnitud empieza a decaer. utilizando los cursores podemos tomar mediciones ms precisas como se muestra a continuacin:

El Anlisis de CA es una herramienta muy potente cuando deseamos calcular la respuesta en frecuencia de un circuito.APLICACIONES

Filtros paso bajo

Filtro de Butterworth de orden N Cae al 50% de su mximo en la frecuencia de corte (D(u,v)=D0)

Las transiciones a la frecuencia de corte Do no son bruscas

En diversas aplicaciones de los filtros pasa bajas se necesita que la ganancia en lazo cerrado se aproxime lo ms posible a la unidad dentro de la banda de paso.Para este tipo de aplicacin lo mejor es el filtro Butterworth.

A este tipo de filtro tambin se le conoce como filtro, mximamente plano o planoplano.

En la figura 11.3se muestra la respuesta a la frecuencia ideal (lnea continua) y la respuesta a la frecuencia real (lneas punteadas) de tres tipos de filtros Butterworth.

Conforme las atenuaciones se van volviendo ms pronunciadas, podemos ver que se aproximan ms al filtro ideal. Sin embargo, ste no es el diseo ms econmico, ya que para ello se necesitan dos amplificadores operacionales. Se puede construir un filtro Butterworth utilizando s1o un amplificador operacional y cmo obtener as una atenuacin de 40 dB/dcada. Los filtros Butterworth no se disean para mantener un ngulo de fase constante en la frecuencia de corte. EI filtro pasa bajas bsico de 20 dB/dcada tiene un ngulo de fase de 45' en la frecuencia wc. EI filtro Butterworth de 40 dB/dcada tiene un ngulo de fase de 90' en cl valor wc y el filtro de 60 dB/dcada tiene un ngulo de fase de 135' en wc. Por lo tanto, por cada aumento de 20 dB/dcada, el ngulo de fase aumenta en 45' en cl valor wc.

FILTRO PASA BAJO DE SEGUNDO ORDEN

DESCRIPCIN Y ANLISISEste tipo de filtros en realidad a lo que se dedica es a eliminar ruidos externos, ayudan a evitar la contaminacin de la red por causa de algunos ruidosEl filtro de Butterworth ms bsico es el tpico filtro pasa bajo de primer orden, el cual puede ser modificado a un filtro pasa alto o aadir en serie otros formando un filtro pasa banda o elimina banda y filtros de mayores rdenes.

Segn lo mencionado antes, la respuesta en frecuencia del filtro es mximamente plana (con las mnimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto en undiagrama de Bodecon escalalogartmica, la respuesta decae linealmente desde la frecuencia de corte hacia menos infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por dcada (aprox. -6dB por octava).El filtro de Butterworth es el nico filtro que mantiene su forma para rdenes mayores (slo con una cada de ms pendiente a partir de la frecuencia de corte).DISEO

Los filtros Butterworth no se disean para mantener un ngulo de fase constante en la frecuencia de corte. Para un filtro pasa bajos bsico de -20dB/dcada tiene un ngulo de fase de -45 en la frecuencia Wc. El filtro butterworth de -40dB/dcada tiene un ngulo de fase de -90 en el valor Wc y el filtro de -60db/dcada tiene un ngulo de fase de -135 en Wc. Por lo tanto, por cada aumento de -20dB/dcada, el ngulo de fase aumenta en -45 en el valor de Wc.

EL FILTRO BUTTERWORTH DE -20DB/dcada (PASA BAJOS)

El circuito de la fig 1.8 es un filtro activo pasa bajos muy utilizado. El Filtro se realiza en el circuito RC y el amplificador operacional se utiliza como el amplificador de ganancia unitaria.El valor de la resistencia Rf es igual a R y se incluye para el desvo de cd.El voltaje diferencial entre las terminales 2 y 3 es esencialmente 0 V. Por lo tanto, el voltaje que corre por el capacitor C es igual al voltaje de salida, Vo, debido a que este circuito es un seguidor de voltaje. Ei se divide entre R y C.El voltaje del capacitor es igual a Vo y se expresa de la siguiente manera:

En la que W es la velocidad angular de Ei en radianes por segundo (W=6.283f) y j es igual a La ganancia de voltaje en lazo cerrado, Acl, es:

La fig 1.9 es un grfica de |Acl| en funcin de W y muestra que para frecuencias mayores a la frecuencia de corte, Wc, |Acl| disminuye con una pendiente de 20 dB/dcada. Esto equivale a decir que la ganancia de voltajes se divide entre 10 cuando la frecuencia de W aumenta 10 veces.

FUNCION DE TRANSFERENCIAnicamente posee polos y la funcin de transferencia es:

donde N es el orden del filtro,ces la frecuencia de corte (en la que la respuesta cae 3 dB por debajo de la banda pasante) yes la frecuencia analgica compleja (=j w).El diseo es independiente de la implementacin, que puede ser por ejemplo mediant Clulas de Sallen-Keyo Rauch, componentes discretos, etc.

FILTROS CHEBYSHEVLosfiltros de Chebyshevson un tipo defiltro electrnico, puede ser tantoanalgicocomodigital. Nombrados en honor aPafnuti Chebyshev, debido a que la funcin matemtica de su respuesta en frecuencia utiliza los denominadospolinomios de Chebyshev.Con los filtros de Chebyshev se consigue una cada de la respuesta en frecuencia ms pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten rizado en alguna de sus bandas (paso o rechazo). A diferencia delFiltro de Butterworthdonde los polos se distribuyen sobre una circunferencia, los polos del filtro Chebyshev lo hacen sobre una elipse; sus ceros se encuentran en el eje imaginario.Se conocen dos tipos de filtros Chebyshev, dependiendo del rizado en alguna banda determinada:Filtros de Chebyshev de tipo I Son filtros que nicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante y presentan una cada montona en la banda de rechazo.la respuesta en frecuencia es: paradonde N es el orden del filtro,es lafrecuencia de corte,es la frecuencia analgica compleja ( =j w) yes el polinomio de Chebyshev de orden N, que se define como:Tn+1 (x)= 2.x.Tn(x)-Tn-1(x) con To(x)=1 y T1(x)=xEn estos filtros la frecuencia de corte no depende de N y el mdulo de su respuesta en frecuencia oscila (rizado) entre 1 y

Filtros de Chebyshev de tipo IIEstos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su rizado es constante en la banda de rechazo y adems presentan una cada monotnica en la banda pasante.Su respuesta en frecuencia es: para En un diagrama de circunferencia unidad, los polos estaran en una elipse y los ceros sobre el eje imaginario.Los filtros Butterworth y Chebyshev presentan diferentes retardos para las seales de frecuencias distintas La variacin del retardo sobre la banda de paso se denomine distorsin de retardo. Esta distorsin aumenta con los filtros de orden superior y los rizos mayores. Si la seal de entrada consiste en formas de onda de frecuencias mltiples, tales como pulsos o modulacin, la seal de salida se distorsionar puesto que los diferentes componentes de frecuencia tienen distintos desplazamientos en el tiempo. La familia de filtros pasa baja de retardo mximamente plano tienen un retardo constante sobre la banda de paso: sin embargo, la pendiente de la atenuacin en la regln cercana al corte es muy pobre en comparacin con la respuesta de-Butterworth o Chebyshev. Incluso una o dos octavas ms all del corte, la atenuacin es un poco menor que en el caso de otros tipos. Por consiguiente, estos filtros son tiles, sobre todo cuando la fidelidad de la reproduccin de la seal es ms importante que las caractersticas de atenuacin. Las propiedades de retardo constante no se conservan cuando el filtro pasa baja se transforma en la configuracin para altas de pasa banda o rechazo de banda. Los filtros Chebyshev son filtros cuya caracterstica es que en la banda de paso presenta mximos y mnimos en lugar de una respuesta plana pero en la banda de rechazo no presenta oscilaciones sino una respuesta plana. El nmero de mximos depende del orden del filtro, siendo el orden del filtro 2 veces la cantidad de mximos que presente; as, un filtro Chebyshev de tercer orden presentar un mximo y medio. Un orden mayor tambin representa una atenuacin mas rpida. La atenuacin que presentan los mnimos se le conoce como rizo y es igual a la atenuacin a la frecuencia de corte. La figura 1.4 muestra la respuesta en magnitud con respecto a la frecuencia de un filtro Chebyshev de quinto orden porque presenta dos mximos y medio. Como se observa en la figura 1.1, los valores ng corresponden a los elementos inductivos y capacitivos para la construccin de un filtro Chebyshev de orden impar. La tabla 1.1 muestra los valores de los n g para la construccin de filtros pasivos Chebyshev pasa bajas de orden impar, a una frecuencia de corte de 1 rad/seg, Amax de 1 dB y resistor de carga y de entrada de 1 . Cada valor de n g corresponde a los elementos en el mismo orden en el que se encuentran dispuestos, es decir, 0 g corresponde a la resistencia de entrada y 1 +ng corresponde a la resistencia de salida. Los valores n ggg ,... 12 corresponden a los inductores y capacitores.

Supngase que se desea construir un filtro Chebyshev pasa bajas de tercer orden con frecuencia de 1 rad/seg, Amax de 1 dB (rizo de 1 dB) y resistor de carga y de entrada de 1 . De la tabla 1.1 los valores n g sern 2.0236, 0.9940 y 2.0236. La figura 1.5 muestra el circuito correspondiente al filtro pasa bajas con los valores para los inductores y capacitores.

Obsrvese de la figura 1.6 que se cumple lo siguiente: Es de tercer orden porque presenta un mximo y medio. Tiene una frecuencia de corte de 1 rad/seg (0.16 Hz). La atenuacin a la frecuencia de corte es de 1 dB (rizo de 1 dB). En la siguiente seccin se mostrar la forma de disear filtros pasa banda a partir de filtros pasa bajas. DISEO DE FILTROS PASA BANDA PASIVOSLos filtros pasa bajas con una frecuencia de corte de 1 rad/seg, no tienen sentido para las aplicaciones prcticas, sin embargo, sirven como base para que a partir de ah se puedan disear filtros con distinta frecuencia de corte y distinto tipo. Tambin se puede cambiar la atenuacin a la frecuencia de corte, sin embargo este anlisis resulta demasiado complejo, por lo cual, se recomienda utilizar tablas con los valores n g para distintas atenuaciones a la frecuencia de corte como la mostrada en la tabla 1.1, y a partir de estas realizar las transformaciones en frecuencia, resistencia y respuesta pasa banda [15][16]. A continuacin se mostrar como se realizan estas transformaciones. Diferencias de los filtro analgicos de Butterworth y Chebyshev Los filtros analgicos de Butterworth y Chebyshev ofrecen al diseador dos forma distintas de aproximacin de la respuesta ideal en frecuencia tal y como se ilustra en la Figura 6.21.:

Fig. 6.21.El filtro deButterworthefecta la aproximacin mediante el criterio de mxima uniformidad en la banda pasante. La ganancia disminuye gradualmente pasando por el punto de(-3 dB) a la frecuencia de cortewl. A medida que aumenta el orden del filtro se incrementan las pendiente de atenuacin. A continuacin se incluye una tabla con los coeficientes de los polinomios de Buterworth. La tabla est dada para filtros normalizados, es decir, la frecuencia de cortewl= 1 rd/sg.Para obtener el filtro a cualquier frecuencia deberemos multiplicar tanto el numerador como denominador por la frecuencia de corte elevada al grado del polinomio de denominador. Por ejemplo para un filtro de paso bajo de 5orden:H(s)= La aproximacin deChebyshevgenera un rizado en la banda pasante. La amplitud de dicho rizado vara entre1ydondeees el factor de rizado, parmetro controlado por el diseador. A medida que aumenta el orden del filtro se incrementa el rizado en la banda de paso. Para un mismo orden la atenuacin de un filtro de Chebyshev es superior al de Butterworth|H(w)| =Butterworth|H(w)| =Chebyshevdonden es el ordendel filtro ywles la frecuencia de corte. Cnson lospolinomios de Chebyshev de grado ndefinidos por :C0(x) = 1; C1(x) = x; C2(x) = 2 x2- 1; C3(x) = 4 x3- 3 x; .........CN(x) = 2 x CN -1(x) - CN -2(x) Estos polinomios tiene la siguiente propiedad descubierta por P.L. Chebyshev: De todos los polinomios de grado N con coeficientes igual a 1, el polinomio definido por :tiene el menor valor mximo de magnitud en el intervalo |x|1. Dicho valor es, de hecho,21 - N. En la grfica adjunta, Figura 6.22., se muestran ejemplos para N= 2 y 3.

Fig. 6.22. Elnmero de oscilacionesen la banda de paso est determinado por el parmetrodmediante la expresin:

Existen diversas tcnicas para transformar un filtro de paso bajo con una frecuencia de corte normalizada de 1 rd/s en otro filtro de paso bajo (con distinta frecuencia de corte), paso alto , paso de banda o rechazo de banda. Un procedimiento sencillo es mediante las transformaciones que se indican a continuacin:

Las frecuencias analgicaswy digitalWestn relacionadas por T mediante la expresinW = w T As mismo en el campo digital las transformaciones de paso son:

Donde T es el periodo de muestreo ywula frecuencia de corte deseada, y en trminos de la frecuencia digital:W = w T

Donde T es el periodo de muestreo ywula frecuencia de corte deseada y en trminos de la frecuencia digital:W = w T

Donde T es el periodo de muestreo,w0es la frecuencia central de la banda de paso,wula frecuencia de corte superior ywlla frecuencia de corte inferior deseada.k = coty en trminos de la frecuencia digital:W = w Tk = cot

Donde T es el periodo de muestreo,w0es la frecuencia central de la banda de paso,wula frecuencia de corte superior ywlla frecuencia de corte inferior deseada.k = coty en trminos de la frecuencia digital:W = w Tk = cot

Factor QElfactor Q, tambin denominadofactor de calidadofactor de selectividad, es un parmetro que mide la relacin entre la energa reactiva que almacena y la energa que disipa durante un ciclo completo de la seal. Es un parmetro importante para los osciladores, filtros y otros circuitos sintonizados, pues proporciona una medida de lo aguda que es su resonancia.Los sistemas resonantes responden a una frecuencia determinada, llamadafrecuencia natural,frecuencia propiaofrecuencia de resonancia, mucho ms que al resto de frecuencias. El rango de frecuencias a las que el sistema responde significativamente es elancho de banda, y la frecuencia central es lafrecuencia de resonancia elctrica. Tambin se define el factor de calidad para componentes, en particular, para losvaractoresy cristales.El factor de calidad de circuitos pasivos formados conresistencias,bobinasycondensadoreses bajo, inferior a 100, por el efecto de la resistividad del hilo de las bobinas, principalmente, ya que para valores elevados de inductancia se necesitan grandes longitudes de hilo. El uso decircuitos activos, que funcionan como multiplicadores de inductancia o capacidad puede mejorar el Q. Los cristales, que son resonadorespiezoelctricos, llegan a valores de Q de varios miles.Enmicroondas, dependiendo de la frecuencia, lascavidades resonantespueden llegar a valores de Q extraordinariamente altos, debido a que las nicas partes disipativas son las paredes de la cavidad. Estas prdidas se minimizan recubriendo de plata la parte interior de la cavidad.

Ecuacin 1El factor Q se define como la frecuencia de resonancia (f0) dividida por el ancho de banda (f2-f1):

Ecuacin 2El factor Q aplicado a un solo componente sirve para caracterizar sus componentes no ideales. As para unabobinareal se tiene en cuenta laresistenciadel cable; un valor alto de Q significa una resistencia pequea y por tanto un comportamiento ms parecido a la bobina ideal.En uncircuito RLla expresin del factor Q es:

Ecuacin 3Para uncircuito RCla expresin es:

Ecuacin 4Enfiltrossirve para ver lo selectivos que son, es decir, para ver el ancho de banda. En principio, un filtro con menor ancho de banda (mayor Q), ser mejor que otro con ms ancho. Tambin, como se puede deducir de la ecuacin 2, es ms difcil hacer filtros de calidad (porque requieren una Q mayor) a alta frecuencia que a baja frecuencia.