filtros digitales

FILTROS DIGITALES Mario Vargas Ramírez

17 DE OCTUBRE DE 2013

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Filtrado y Modulación Ingeniería Mecánica Eléctrica 2014 - I

~ 1 ~

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ............................................................................. 2

FILTROS RECURSIVOS Y NO RECURSIVOS. ........................................ 5

MODELO MATEMÁTICO DE LOS FILTROS FIR E IIR .............................. 6

DISEÑO DE FILTROS FIR E IIR ......................................................... 8

FILTROS FIR ................................................................................ 8

DISEÑO POR VENTANAS............................................................. 9

DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA .................................. 15

DISEÑO POR RIZADO CONSTANTE (EQUIRIPPLE). ....................... 19

FILTROS IIR ................................................................................. 20

INDIRECTA ............................................................................... 21

DISEÑO POR IMPULSO INVARIANTE .......................................... 22

DISEÑO POR ANALOGÍA O APROXIMACIÓN DE DERIVADAS .......... 25

DISEÑO POR TRANSFORMACIÓN BILINEAL ................................. 28

DIRECTA ................................................................................... 30

DISEÑO POR LA APROXIMACIÓN DE PADÉ .................................. 30

DISEÑO POR APROXIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS. ............ 31

APLICACIONES DE LOS FILTROS FIR E IIR....................................... 32

FIR VS IIR ................................................................................... 35

CONCLUSIONES ........................................................................... 37

BIBLIOGRAFIA ............................................................................. 38


~ 2 ~

INTRODUCCIÓN

El procesamiento de señales trata de la representación, transformación y

manipulación de señales y de la información que contienen. Por ejemplo,

podríamos desear separar dos o más señales que se han combinado de

alguna forma, o podríamos querer realzar alguna componente de la señal

o algún parámetro de un modelo de señal. Este procesamiento se puede

realizar mediante tecnología analógica en tiempo continuo, o como se ha

ido difundiendo cada vez más mediante procesamiento en tiempo discreto

mediante programas y procesadores.

Si las señales a tratar son analógicas, deberán ser convertidas en una

secuencia de muestras, a fin de ser procesadas mediante algún algoritmo.

Luego, de ser necesario serán vueltas a convertir en señales analógicas.

Un ejemplo de esto es el filtrado de señales de audio. Es común que se

denomine a esta forma de procesamiento, indistintamente, como

procesamiento digital de señales o procesamiento de señales en tiempo

discreto. Una buena parte del procesamiento de señales involucra el

proceso de una señal para obtener otra señal: es el caso del filtrado

digital.

Un filtro digital emplea un procesador digital que efectúa operaciones

matemáticas en valores muestreados de la señal. El procesador puede ser

de propósito general, tal como cualquier ordenador personal, un chip DSP

(Procesador Digital de Señales) especializado o una FPGA programable.


~ 3 ~

Un filtro digital puede ser representado por el siguiente diagrama de

bloques:

x(nT) es la secuencia de entrada -la excitación del filtro- e y(nT) es la

respuesta del filtro ante la excitación x(nT).

El análisis de un filtro digital es el proceso de determinar la respuesta de

un filtro ante una dada excitación. El diseño de un filtro digital es el

proceso de sintetizar e implementar un filtro digital de tal manera que

cumpla con las especificaciones prescriptas.

Otra buena parte del procesamiento de señales comprende la

interpretación de señales. En este caso no se intenta obtener una señal

de salida, sino una caracterización de la señal de entrada. Un ejemplo de

este tipo de procesamiento es el reconocimiento de voz.

La señal de entrada analógica debe ser muestreada y digitalizada usando

un ADC (conversor analógico-digital). El resultado son números binarios

que representan los valores sucesivos muestreados. Estos son

transferidos al procesador, el cual efectúa operaciones matemáticas en

ellos.

Las operaciones pueden ser desde filtros de promediado de la muestra

actual con alguna de las anteriores hasta multiplicaciones por constantes

de los valores de entrada o de instantes anteriores almacenados en

memoria, para posteriormente sumar estos resultados de la multiplicación

y dar una salida.

FILTRO

DIGITAL

y(nT)=R x(nT)

y(nT) x(nT)


~ 4 ~

Es decir, operaciones propias de teoría sistemas lineales: convoluciones

en el dominio temporal (multiplicación en el dominio de la frecuencia) con

otras señales prefijadas que consisten en una cadena de coeficientes. Para

diseñar estos filtros suele usarse un impulso y desplazarlo sucesivas veces

multiplicado por alguna constante, es decir, usando la transformada z.

Si es necesario, los resultados de estos cálculos, que están representando

valores muestreados de la señal filtrada, son enviados a través de un PAC

(conversor digital-analógico) para devolver la señal a una forma

analógica. Por tanto, en un filtro digital la señal está siempre representada

por una secuencia de números, en vez de un voltaje o una corriente.

El siguiente diagrama muestra el esquema básico de uno de estos

sistemas:

Los filtros digitales son clasificados en dos principales categorías los filtros

de respuesta finita al impulso (FIR) y los filtros de respuesta infinita al

impulso (IIR).


~ 5 ~

FILTROS RECURSIVOS Y NO RECURSIVOS.

Un filtro no-recursivo es aquel cuya salida está calculada exclusivamente

a partir de valores de entrada (𝑌𝑛 = 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛−1 + 𝑋𝑛−2 …), mientras que uno

recursivo es aquel que además de los valores de entrada emplea valores

previos de salida (𝑌𝑛−1, 𝑌𝑛−2 …), los cuales se almacenan en la memoria del

procesador. La palabra recursivo significa literalmente "volver hacia atrás"

y se refiere al hecho de que valores de salida previamente calculados

vuelven de nuevo para calcular los nuevos valores de salida.

Explicándolo así, puede parecer que los filtros recursivos requieren más

cálculos para ser ejecutados. Pero la realidad es que un filtro recursivo

generalmente requiere mucho menos coeficientes para que evalúe el

procesador, es decir, que es de menor orden y es más corto, que un filtro

no-recursivo que persiga una característica en frecuencia dada.

Hay quien prefiere una terminología alternativa, por lo que los filtros no-

recursivos se conocen como filtro FIR (Respuesta al Impulso Finita) y los

recursivos como filtros IIR (Respuesta al Impulso Infinita).

Estos términos se refieren a las diferentes respuestas al impulso de ambos

tipos de filtros. La respuesta al impulso de un filtro digital es la secuencia

de salida cuando se aplica un impulso unidad a su entrada (un impulso

unidad es muy simple, tan solo una secuencia consistente en un valor 1

en el instante de tiempo t=0, seguido de ceros para todas las muestras

siguientes, lo que se llama también una Delta de Kronecker.

Un filtro FIR es uno cuya respuesta es de una duración finita. Uno IIR es

aquel cuya respuesta al impulso teóricamente continua para siempre

debido a la recursividad con valores previos de salida que constantemente

están siendo devueltos a la entrada. Pero realmente el término IIR no es

muy afortunado dado que casi todos los filtros IIR reducen virtualmente

su salida a cero a un tiempo dado, de hecho, antes que los FIR. De todas

formas ambos acrónimos son muy coloquiales y de uso frecuente.


~ 6 ~

En el siguiente diagrama de bloques se presentan los dos tipos de

filtros digitales: (a) FIR y (b) IIR.

(a) retardamos ligeramente una copia de la señal de entrada (de uno o

varios períodos de muestreo) y combinamos la señal de entrada retrasada

con la nueva señal de entrada. Los filtros digitales basados en este

funcionamiento se dice que son de respuesta respuesta finita al impulso

(FIR).

(b) retardamos una copia de la señal de salida, la cual combinamos con

la nueva señal de entrada. Los filtros digitales basados en este

funcionamiento se dice que son los filtros de respuesta infinita al impulso

(IIR).

MODELO MATEMÁTICO DE LOS FILTROS FIR E IIR

El modelo matemático de los filtros FIR también se fundamenta la

ecuación de diferencias.

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) + ∑ 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=0

Output

Delay

Input

(a)

Output

Delay

Input

(a)


~ 7 ~

Pero con la particularidad de que todos los coeficientes ak son iguales

a cero. Se tiene entonces que la ecuación que los describe es función del

conjunto de coeficientes bk y de la secuencia de entrada x(n).

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

Donde M+1 corresponde a la longitud del filtro. Este sistema considera

sólo las últimas M+1 muestras de la señal de entrada y las pondera

mediante los coeficientes bk. A este sistema se le denomina FIR, ya que

su respuesta al impulso unitario (dada por los coeficientes bk) es finita.

Para el modelo matemático de los filtros IIR retomaremos la ecuación de

diferencias lineal de coeficientes constantes.

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) + ∑ 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=0

Pero en este caso por lo menos uno de los coeficientes ak no es cero. Así,

se tiene que la transformada z de la respuesta al impulso unitario de la

función de transferencia es:

N

k

K

k

M

k

K

k

za

zb

zX

zYzH

0

0

1)(

)()(

Siendo x(n) la entrada, y(n) la salida h(n) la función de respuesta al

impulso y X(z), Y(z) y H(z) sus respectivas transformadas Z. La ecuación

anterior puede ser implementada de diferentes formas. Las más utilizadas

y estudiadas son la forma directa, la forma de cascada y la forma paralela.


~ 8 ~

DISEÑO DE FILTROS FIR E IIR

Existen diversos procedimientos para diseñar filtros digitales, ya sea

utilizando métodos directos, en los cuales se parte del diseño de un filtro

digital pasa-bajos prototipo y mediante transformaciones espectrales

adecuadas, se obtienen otras características pasa-bajos (LP), pasa-altos

(HP), pasa-banda (BP) o atenúa-banda (SB), o métodos indirectos, los

cuales involucran transformaciones en el dominio de las frecuencias para

obtener filtros digitales a partir de filtros analógicos (FA).

FILTROS FIR

Existen tres grandes bloques de métodos de diseño de filtros FIR con fase

lineal:

• Método de las ventanas

• Muestreo en frecuencia

• Rizado constante (equiripple).

El método de las ventanas se basa en acotar la respuesta impulso infinita

de un filtro ideal, el método del muestreo en frecuencia propone que se

fijen una serie de puntos de la respuesta en frecuencia del sistema y, a

partir de la DFT (Transformada de Fourier Discreta) inversa, obtener los

coeficientes del filtro. Por último existe una familia de métodos que se

basan en definir la respuesta en frecuencia ideal del filtro y, fijado un

orden, obtener los coeficientes que generen la respuesta más

aproximada, en particular, los más comunes se basan en la aproximación

de chebyshev.


~ 9 ~

DISEÑO POR VENTANAS.

Podemos ver una ventana como aquel elemento encargado de truncar la

señal que se desea procesar. Existen diversas ventanas y dependiendo de

la escogida muchos de los parámetros de los filtros, ancho de banda de

transición, números de coeficientes, rizado en la banda de rechazo, etc.,

pueden variar de gran manera.

Desde un punto de vista electrónico, las ventanas nos sirven para suavizar

el paso entre los primeros coeficientes del filtro (ambos extremos) y cero,

como sabemos cualquier paso abrupto crea distorsiones armónicas.

Matemáticamente hablando las ventanas nos sirven para convolucionar el

espectro del filtro con el espectro de una señal mejor que la del sin(x)/(x)

(espectro de ventana rectangular).


~ 10 ~

Nombre Del Filtro Coeficientes Del Filtro

Filtro Pasa Bajos

ℎ𝑑(𝑛) =sin(𝑛𝜔𝑐)

𝑛𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0

ℎ𝑑(0) =𝜔𝑐

𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0

Filtro Pasa Altos

ℎ𝑑(𝑛) = −sin(𝑛𝜔𝑐)


ℎ𝑑(0) = 1 −𝜔𝑐


Filtro Pasa Banda

ℎ𝑑(𝑛) =sin(𝑛𝜔𝑐2) − sin(𝑛𝜔𝑐1)


ℎ𝑑(0) =𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐1


Filtro Rechaza Banda

ℎ𝑑(𝑛) = −sin(𝑛𝜔𝑐2) − sin(𝑛𝜔𝑐1)


ℎ𝑑(0) = 1 −𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐1


Diferenciador

ℎ𝑑(𝑛) =cos(𝑛𝜋)

𝑛−

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)

𝜋𝑘2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0

ℎ𝑑(0) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0

Transformada Hilbert

ℎ𝑑(𝑛) =1 − cos(𝑛𝜋)


ℎ𝑑(0) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0


~ 11 ~

Coeficientes de la respuesta al impulso unitario de filtros ideales

Las ventanas restringen a un número finito las respuestas en el tiempo

del filtro, de forma que:

𝑑(𝑘) = ∫ 𝐷(𝑤)𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑑𝜔

2𝜋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝑀 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀

𝜋

−𝜋

El número total de coeficientes por lo tanto es un número impar igual a N

= 2M + 1, pudiendo ser los coeficientes positivos o negativos.

Recordemos que la convolución de Hd(ω) con W(ω) es equivalente a la

multiplicación de Hd(n) con w(n) por tanto, el conocer el valor de los

coeficientes de la ventana es de vital importancia para obtener nuestro

filtro FIR. En la siguiente tabla observamos los valores de los coeficientes

de ventanas comunes usadas para el diseño de sistemas FIR.

Nombre de la ventana Función Muestreada

Rectangular 𝑤(𝑛) = 1

Hanning 𝑤(𝑛) = 0.5 + 0.5 cos (2𝜋𝑛

𝑁)

Hamming 𝑤(𝑛) = 0.54 + 0.46 cos (2𝜋𝑛

𝑁)

Blackman 𝑤(𝑛) = 0.42 + 0.5 cos (

2𝜋𝑛

𝑁)

+ 0.08𝑐𝑜𝑠 (4𝜋𝑛

𝑁)

Generalmente la ventana rectangular es utilizada como elemento

didáctico para iniciar en el estudio de diseño de filtros FIR por medio de

ventanas; sin embargo, aunque está presente una estrecha banda de

transición; diversos efectos como el fenómeno Gibbs (comportamiento

oscilatorio en el límite de la banda de paso) y su baja atenuación, la hacen

poco práctica para distintas aplicaciones. Por tal motivo se hacen uso de


~ 12 ~

otros tipos de ventanas. La siguiente figura nos muestra las formas de las

funciones de ventana mencionadas en la tabla.

Formas de varias funciones utilizadas como ventanas (N=65)

A continuación se muestra un cuadro comparativo de las diversas

características del filtro utilizando los tipos de ventanas listados en la

siguiente tabla, de esta manera podemos escoger la ventana que mejor

se aplique a las condiciones requeridas por el sistema.

Tipo de ventana

Transición (Hz)

Rizo (db)

Relación (db)

Atenuación (db)

Rectangular 0.9/N 0.7416 13 21

Hanning 3.1/N 0.0546 31 44

Hamming 3.3/N 0.0194 41 53

Blackman 5.5/N 0.0017 57 74


~ 13 ~

Por tanto el problema de diseño de los filtros FIR queda reducido a escoger

el tipo de ventana a utilizar en el proceso de truncamiento y la cantidad

de coeficientes que el filtro va a tener. Es de tomar en cuenta que diversas

ventanas vistas proporcionan un mayor suavizado en la convolución que

la ventana rectangular, sin embargo agrandan la banda de transición para

una misma cantidad de coeficientes.

Ejemplos:

Diseño utilizando ventana rectangular (N=31).


~ 14 ~

Diseño utilizando ventana Hanning (N=65).


~ 15 ~

Diseño utilizando ventana Hamming (N=65).

Diseño utilizando ventana Blackman (N=97).

DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA

Vamos a definir la respuesta en frecuencia de un filtro a partir de fijar N

puntos de H(ω). Supongamos que los puntos escogidos están

uniformemente distribuidos por todo el espectro digital. Podemos obtener

h(n) a partir de la Transformada de Fourier inversa de H(k), versión

muestreada de la H(ω).

En las siguientes funciones cuando la longitud del filtro sea par o impar y

la simetría de los coeficientes sea par o impar, tendremos cuatro tipos de

filtros, con 4 expresiones de la relación entre h(n) y A(ω), (A(ω) es la

amplitud, que puede ser positiva o negativa pero siempre es una

magnitud real) que presentan unas relaciones de simetría interesantes.


~ 16 ~

Tipo Longitu

d Coeficientes Simetría en ω=0 Simetría en ω=𝝅

Period

o

I Impar Simétricos Par 𝐴(𝜔) = 𝐴(−𝜔) Par 𝐴(𝜋 + 𝜔) = 𝐴(𝜋 −

𝜔) 2 𝜋

II Par Simétricos Par 𝐴(𝜔) = 𝐴(−𝜔) Impar 𝐴(𝜋 + 𝜔) =

−𝐴(𝜋 − 𝜔) 4 𝜋

III Impar antisimétricos Impar 𝐴(𝜔) =

−𝐴(−𝜔) Impar 𝐴(𝜋 + 𝜔) =

−𝐴(𝜋 − 𝜔) 2 𝜋

IV Par antisimétricos Impar 𝐴(𝜔) =

−𝐴(−𝜔) Par 𝐴(𝜋 + 𝜔) = 𝐴(𝜋 −

𝜔) 4 𝜋

Veamos con detalle el diseño de un filtro de tipo I.

1

0

1

0

2

122

)(1

)(1

)()(N

k

N

k

Nn

N

kj

N

kj

ekAN

ekHN

kHIDFTnh

2

1

1

1

2

1

2

12

2

12

)()()0(1

N

k

N

Nk

Nn

N

kj

Nn

N

kj

ekAekAAN


~ 17 ~

Haciendo el cambio en el índice del segundo sumatorio con k’=N-k,

obtenemos:

2

1

1

2

1

1'

2

12

2

1'2

2

12

)'()()0(1

N

k

N

k

Nnj

Nn

N

kj

Nn

N

kj

eekNAekAAN

hn

Como A(k) es simétrico respecto al punto medio (ω= 𝜋):

2

1

1

2

1

1'

2

1'2

2

12

)'()()0(1

N

k

N

k

Nn

N

kj

Nn

N

kj

ekAekAAN

hn

2

1

1

2

12

2

12

)()0(1

N

k

Nn

N

kj

Nn

N

kj

eekAAN

Con lo que:

2

1

1 2

12cos)(2)0(

1)(

N

k

Nn

N

kkAA

Nnh


~ 18 ~

Para el resto de tipos, obtenemos expresiones similares (muestras

igualmente espaciadas y la primera en ω=0):

Tipo

I

Longitud:

Impar Simetría:

Par

2

1

1 2

12cos)(2)0(

1)(

N

k

nN

N

kkAA

Nnh

Tipo

II

Longitud:

Par Simetría:

Par

2

1

1 2

12cos)(2)0(

1)(

N

k

nN

N

kkAA

Nnh

Tipo III

Longitud: Impar

(N es par) Simetría:

Impar

2

1

0 2

12)(2

1)(

N

k

nN

N

ksenkA

Nnh

Tipo IV

Longitud: Par

(N es par) Simetría:

Impar

2

1

0 2

1

22

12)(2

1)(

N

k

nN

senN

AnN

N

ksenkA

Nnh

En las siguientes gráficas mostramos un ejemplo de diseño de filtros FIR

de fase lineal, por el método del muestreo en frecuencia, para cada uno

de los cuatro tipos posibles.


~ 19 ~

Tipo 1 Tipo 2

Tipo 3 Tipo 2

DISEÑO POR RIZADO CONSTANTE (EQUIRIPPLE).

Los métodos anteriores son sencillos de implementar pero tienen

desventajas, ya que no se pueden especificar ωp y ωs de forma precisa.

Los valores de δ1 y δ2 no se pueden elegir independientemente. (En el

método de las ventanas δ1=δ2, y en el método del muestreo en

frecuencia en el mejor de los casos existen métodos para optimizar

respecto de δ2), además el rizado no se distribuye uniformemente en las

bandas. Si el error se distribuye uniformemente podemos diseñar filtros

que verifican las especificaciones con menor orden. El método que lleva a

cabo esta distribución del error se denomina Método de diseño de filtros

óptimos de rizado constante.


~ 20 ~

Se plantea el diseño del filtro como un problema de aproximación de

chebyshev, para ello se propone un criterio de diseño óptimo, en el

sentido de que el error de aproximación entre la respuesta en frecuencia

ideal y la real se reparten uniformemente en cada banda, pasante y

atenuada (de ahí el apelativo de equiripple), minimizando el error máximo

en cada una de ellas. El filtro resultante presenta, pues, rizado en ambas

bandas.

Para su diseño consideramos 5 características:

N el orden del filtro

ωp límite superior de la banda pasante

ωs límite inferior de la banda atenuada

δ1 máximo rizado de la banda pasante

δ2 mínima atenuación de la banda atenuada.

El problema se plantea como la minimización de una función de error

definida como:

)]()()[()( HHWE D

)(DH : Respuesta del filtro ideal.

)(W : Función de pesos para especificar el error permitido en cada

banda.

Dada esta función de error el objetivo es hallar los coeficientes h(n) que

minimizan el valor de E(ω) en toda la banda, permitiendo un valor

máximo del error específico dado por δ1 y δ2.

1)(maxmin

Eescoeficient

FILTROS IIR

Son sistemas cuya salida depende además de salidas anteriores y que,

estando en reposo, al ser estimulados con una entrada impulso su salida

no vuelve al reposo, de ahí el calificativo de filtros de respuesta impulso

infinito (IIR). La ecuación en diferencias general es de la forma:


~ 21 ~

𝑦(𝑛) = 𝑏0𝑥(𝑛) + 𝑏1𝑥(𝑛 − 1) + ⋯ + 𝑏𝑀𝑥(𝑛 − 𝑀) − 𝑎1𝑦(𝑛 − 1) − 𝑎2𝑦(𝑛 − 2) − ⋯

− 𝑎𝑁𝑦(𝑛 − 𝑁) = ∑ 𝑏𝑘 ∙ 𝑥(𝑛 − 𝑘) −

𝑀

𝑘=0

∑ 𝑎𝑘 ∙ 𝑦(𝑛 − 𝑘)

𝑛

𝑘=1

Donde el orden es igual al máximo de M y N. La función de transferencia

en Z del filtro es:

N

k

K

k

M

k

K

k

za

zb

zH

0

0

1

)(

No todo sistema que tenga esta forma es IIR.

Existen dos tipos de diseño de filtros IIR.

Indirecta.

Directa.

INDIRECTA

Se basa en aplicar a filtros analógicos diseñados previamente,

transformaciones que los conviertan en digitales con las mismas

características. Hay tres métodos fundamentales:

• Diseño por impulso invariante

• Diseño por analogía o aproximación de derivadas

• Diseño por transformación bilineal


~ 22 ~

DISEÑO POR IMPULSO INVARIANTE

El método del impulso invariante consiste en diseñar un filtro digital cuya

respuesta impulso h[h] sea lo más parecida posible a la del filtro

analógico.

La parte (a) muestra la respuesta al impulso h(t) y la correspondiente

respuesta en frecuencia H(s) de un filtro analógico pasa bajas.

La parte (b) la respuesta al impulso de un filtro digital. H1[n] es una

versión muestreada de h(t) con un periodo de muestreo T1 ; h1[n] =


~ 23 ~

h(nT1). Debemos recordar que el muestreo de una señal analógica

origina la repetición de su espectro en múltiplos de la frecuencia de

muestreo.

La parte (c) muestra los efectos de reducir la frecuencia de muestreo y la

aparición del fenómeno de aliasing h2[n] = h(nT2).

Recordar que la frecuencia digital Ω es equivalente a Tω, donde T es el

periodo de muestreo y por lo tanto Ω = 𝜋 corresponde a ω = 𝜋 /T1 en (a)

y a ω= 𝜋 /T2 en (b).

La efectividad de este método depende de elegir una adecuada frecuencia

de muestreo, y un buen filtro analógico de referencia de banda limitada.

El desarrollo del método consta de dos partes:

1. Se presenta un método directo para hacer coincidir ambas

respuestas impulso. Desde un punto de vista operativo el método

es difícil.

2. A partir de los resultados anteriores se desarrolla una técnica de

aproximación que es más práctica

ℎ(𝑡) → 𝑇𝑠𝑒𝑔 ↔ 𝐻[𝑛] 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ℎ[𝑛] = ℎ(𝑛𝑇)

La primera dificultad consiste en que los coeficientes hn obtenidos

directamente darían lugar a un filtro no recursivo.

La segunda dificultad está en que pocos filtros analógicos se expresan

en términos de su respuesta impulso. La mayoría se suelen modelar en

términos de su función de transferencia H(s) o el mapa de polos y ceros.

Por lo tanto es necesario encontrar una metodología que sea operativa en

relacionar H(s) con los polos y ceros de su homóloga H(z). La técnica

más utilizada consiste en descomponer en bloques en paralelo la función

de transferencia del filtro analógico H(s):

)()()()()()(

)()()(

)(

)()(

3

3

2

2

1

1

21

21

ps

A

ps

A

ps

A

pspsps

zszszsK

sX

sYsH

M

N

La respuesta impulso de cada bloque analógico )( i

i

ps

A

es:


~ 24 ~

0 t 0

0 ][

tAth nTiei

De donde se deduce que la respuesta impulso del correspondiente bloque

digital será:

0 t 0

0 ][

nAnh nTiei

Para el filtro completo se tendrá:

M

iTi

ez

zAzHzH

1

1 )()(

Como se puede observar en la siguiente figura.

El procedimiento de diseño lo podemos resumir en los siguientes pasos:

1.- Seleccionar un filtro analógico H(s) de acuerdo con las

especificaciones requeridas.

2.- Seleccionar el periodo de muestreo T de acuerdo con el teorema del

muestreo.

3.- Efectuar una descomposición en paralelo del filtro analógico H(s).


~ 25 ~

M

i

i

s

AsH

1

)(

4.- Aproximar la respuesta impulso de los bloques analógicos de polo

simple determinando filtros digitales cuyas respuestas impulsos son los

valores muestreados de la respuesta analógica.

Esto se hace transformando los polos en el plano S en polos en el plano

Z.

Cada bloque analógico se transforma por un bloque digital cuya

transformada z es:

T

ii

ez

AzH

)(

5.- Calcular la transformada z del filtro digital que aproxima al filtro

analógico:

M

iT

i

ez

AzH

1

)(

6.- Implementación de filtro digital escogiendo una forma (Paralelo,

Cascada, etc.) y calculamos los coeficientes del filtro.

DISEÑO POR ANALOGÍA O APROXIMACIÓN DE DERIVADAS

La idea es diseñar un filtro digital a partir de un filtro analógico, mediante

la discretización de la ecuación diferencial que representa al mismo. Si se

parte de una representación con una función transferencia racional del

filtro analógico, de la forma


~ 26 ~

N

k

k

k

M

k

k

k

a

s

s

sH

0

0)(

La ecuación diferencial que describe el comportamiento entrada-salida del

filtro resulta

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

tud

dt

tyd

00

)()(

A partir de esta ecuación diferencial puede obtenerse una ecuación en

diferencias equivalente realizando una discretización del tiempo de la

forma t = nT, siendo T el período de muestreo, y aproximando las

derivadas por diferencias finitas. Consideraremos aquí uno de los métodos

de aproximación más utilizados: el método de Euler.

La forma más elemental de aproximar la derivada es la denominada

aproximación de Euler de primer orden dada por

T

TnxnTx

dt

tdx

nTt

))1(()()(

Aproximación de Euler de primer orden

Como puede verse en la figura anterior, la aproximación de Euler de

primer orden es buena sólo para períodos de muestreo T muy pequeños.

Consideremos ahora un diferenciador analógico ideal con relación

entrada-salida.

dt

tdxty

)()(


~ 27 ~

La correspondiente función transferencia resulta Ha(s) = s.

Transformando Z la siguiente ecuación se obtiene la correspondiente

función transferencia discreta.

T

TnxnTx

dt

tdx

nTt

))1(()()(

En Transformada Z

T

zzH

11)(

Procediendo análogamente para las derivadas k-ésimas, se obtiene que

la función transferencia para el filtro digital IIR mediante la aproximación

de las derivadas usando diferencias finitas, resulta.

TzssHzH

/)1( 1)()(

Donde Ha(s) es la función transferencia del filtro analógico caracterizado

por la ecuación diferencial.

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

tud

dt

tyd

00

)()(

La transformación

T

zs

11

O equivalente

sTz

1

1

Corresponde a un mapeo del plano s en el plano z, como el representado

en la siguiente figura.


~ 28 ~

Mapeo del plano s en el plano z mediante la transformación z=1/(1-sT).

Reemplazando s = j Ω en la siguiente ecuación, resulta

2222 11

1

1

1

Tj

Tj

TjTjz

Que corresponde a la ecuación de una circunferencia con radio ½ y con

centro z = ½. Puede probarse que los puntos en el semiplano izquierdo

del plano s se mapean en el interior del círculo en el plano z. Esta

transformación tiene entonces la propiedad deseable de transformar

filtros analógicos estables en filtros digitales estables. Sin embargo, los

polos se ven confinados en una pequeña región (el interior del círculo de

radio ½) lo que corresponde a frecuencias relativamente pequeñas. Como

consecuencia, esta transformación sólo puede utilizarse para el diseño de

filtros pasabajo y pasabanda con frecuencias de corte relativamente

pequeñas.

DISEÑO POR TRANSFORMACIÓN BILINEAL

Definamos

dt

tdxty

)()(

Luego

t

dttx )()(


~ 29 ~

Realizando una discretización del tiempo de la forma t = nT, siendo T el

período de muestreo, puede escribirse

Tn

nT

Tn

nT

nT

dynTxdydyTnx

)1()1(

)()()()())1((

Aproximación con la regla trapezoidal.

La integral puede aproximarse por el área rayada en figura. Con esta

aproximación la ecuación resulta

)]())1(([2

)())1(( nTyTnyT

nTxTnx

Transformando Z, se obtiene para Y(z) la siguiente expresión

)()()(1

12)( zXzHzX

z

z

tzY

Considerando que Y(s) sX(s)=Ha(s)X(s), puede pensarse en un mapeo del

plano s en el plano z de la forma

1

12

z

z

Ts

Que permite obtener la función transferencia Z discreta H(z) a partir de

la función transferencia del sistema continuo Ha(s) según

1

12)(H(z)

Z

z

Tsa sH


~ 30 ~

A la transformación se la denomina Transformación Bilineal, y

permite obtener un filtro digital a partir de la función transferencia de un

filtro analógico. Puede verse que la Transformación Bilineal mapea el eje

imaginario del plano s en la circunferencia unitaria del plano z, y el

semiplano izquierdo del plano s en el interior de la circunferencia unitaria

del plano z. De esta forma, filtros analógicos estables se mapean en filtros

digitales estables. El mapeo del plano s en el plano z con la transformación

bilineal se representa en la figura siguiente:

DIRECTA

Se propone el diseño de filtros digitales imponiendo una serie de

condiciones a la respuesta para determinar los coeficientes. Nos

centraremos en dos métodos simples como son:

• Diseño por la aproximación de Padé

• Diseño por aproximación de mínimos cuadrados.

También podemos considerar como método directo aunque de uso

limitado el diseño por ubicación de ceros y polos.

DISEÑO POR LA APROXIMACIÓN DE PADÉ

Dado un sistema con función de transferencia:

0

1

0 ][

1

)(k

k

N

k

K

k

M

k

K

k

znh

za

zb

zH


~ 31 ~

Pretendemos obtener los L=M+N+1 coeficientes, ak y bk, a

partir de la minimización de algún criterio de error. Éste método se

plantea minimizar la suma de los errores cuadráticos entre la respuesta

impulso ideal (deseada) y la real:

U

n

d nhnh0

2)]()([

Donde hd(n) es la respuesta deseada del filtro y h(n) la real; U es un límite

superior seleccionado por el diseñador. En general, h(n) es una función

no lineal de ak y bk, sin embargo, si U=N+M, es posible hacer

coincidir perfectamente las respuestas real y deseada para 0≤n≤M+N. Si

hacemos hd(n)=h(n) 0≤n≤M+N, el error cometido será:

1

2)]()([MNn

d nhnh

El grado de fiabilidad de este método depende del número de coeficientes

seleccionado. Aproxima perfectamente cuando el sistema buscado

presenta una función de transferencia H(z) racional y sabemos el número

de ceros y polos (orden del numerador y denominador), lo que, en la

práctica resulta problemático.

DISEÑO POR APROXIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS.

Un método alternativo para diseñar filtros IIR es afrontar el problema de

la minimización de la diferencia al cuadrado entre la respuesta del filtro

ideal y la real, es decir, plantear el problema de la identificación de

sistemas. La figura siguiente muestra dicha estructura. La idea es

determinar los coeficientes del sistema H(z) de manera que colocado en

cascada con el sistema que queremos modelizar obtengamos como

resultado una señal (y(n)) que en el dominio temporal debería ser un

impulso, cuando la modelización es exacta. Si definimos como criterio de

error la suma de y2(n), una podemos obtener los coeficientes de

imponiendo de dicho error sea mínimo.


~ 32 ~

Supongamos el caso más simple de considerar un filtro con solo polos:

N

k

K

k za

bzH

1

0

1

)(

Consideremos un esquema de ecualización de sistemas:

Donde modificamos los coeficientes del filtro 1/H(z) para anular el efecto

de Hd(z), es decir, que la salida, y(n), sea lo más parecida posible a la

entrada, δ(n). (Idealmente𝐻𝑑(𝑧)

𝐻(𝑧)= 1𝑒 𝑦(𝑛) = δ(n))

La ecuación en diferencias del sistema inverso será:

N

k

dkd knhanhb

ny10

)()(1

)(

APLICACIONES DE LOS FILTROS FIR E IIR

Separación de señales que fueron combinadas desafortunadamente

(ruido, interferencias provenientes de otros sistemas)

Recuperación de señales distorsionadas de alguna forma (por

ejemplo, al ser trasmitidas)

Síntesis de sonido: creación o modificación de señales para moldear

espectros o formas de onda y lograr el efecto auditivo buscado.

Efectos de audio: chorus, flanger, phaser, reverb


~ 33 ~

Separación de señales que fueron combinadas desafortunadamente (ruido,

interferencias provenientes de otros sistemas)

Recuperación de señales distorsionadas de alguna forma (por ejemplo, al

ser trasmitidas)

Ejemplo: Filtro peine


~ 34 ~

Síntesis de sonido: síntesis de cuerda pulsada a partir de un filtro peine.

Desempeño óptimo para eliminación de ruido blanco.


~ 35 ~

FIR VS IIR

La elección entre una implementación FIR e IIR depende de las ventajas

relativas de cada uno de estos dos tipos de filtros.

1. Los filtros FIR se pueden diseñar para tener una respuesta de fase

estrictamente lineal (distorsión de fase nula), lo que es importante en

muchas aplicaciones, como transmisión de datos, audio digital y

procesamiento de imágenes. La respuesta de fase de filtros IIR no es

lineal, en especial en cercanías de la zona de transición.

2. Los filtros FIR implementados de forma no recursiva, son

inherentemente estables. En cambio, la estabilidad de los filtros IIR

siempre debe comprobarse, ya que son sistemas realimentados.

3. Los efectos causados por la implementación con aritmética de punto

fijo, tales como los errores de cuantización de los coeficientes y los errores

por redondeo en las operaciones aritméticas, son mucho más severos en

los filtros IIR que en los FIR.

4. Para satisfacer unas especificaciones dadas los filtros FIR necesitan un

mayor número de coeficientes que los filtros IIR, sobre todo si las bandas

de transición son estrechas. En consecuencia, los requerimientos de

memoria, el número de operaciones y los tiempos de procesamiento son

mayores para los FIR que para los IIR. Sin embargo, la posibilidad de

implementar los FIR mediante la técnica de convolución rápida usando


~ 36 ~

FFT y también el empleo de técnicas multirate |permite aumentar

significativamente la eficiencia de las implementaciones.

5. Un filtro analógico convencional puede convertirse en un filtro digital

IIR equivalente que satisfaga las especificaciones de diseño de manera

sencilla. Esto no es posible con filtros FIR pues no tienen una contraparte

analógica. Sin embargo es más sencillo sintetizar filtros con respuestas

en frecuencia arbitrarias utilizando filtros FIR.

De las características detalladas arriba puede esbozarse una guía

tentativa para elegir entre una implementación FIR o IIR:

Si los únicos requerimientos importantes son bandas de transición

estrechas (filtros con cortes muy abruptos) y eficiencia de cómputo, se

prefieren filtros IIR pues necesitan un número de coeficientes mucho

menor que un filtro FIR equivalente (especialmente si se eligen

características frecuenciales elípticas o de Cauer).

Si el número de coeficientes del filtro no es muy elevado (por ejemplo, si

las bandas de transición no son muy abruptas), y en particular, si se desea

muy poca o ninguna distorsión de fase, se suele elegir filtros FIR. Los

procesadores digitales modernos (DSP) están optimizados para

implementar este tipo de filtros, y algunos se han diseñado

específicamente con esa finalidad (por ejemplo, el DSP56200 de Motorola,

o el INMOS A100). Sin embargo, en un campo tan dinámico como éste la

capacidad y el desempeño de los componentes varía rápidamente.


~ 37 ~

CONCLUSIONES

La presente investigación dio conocer diferentes sistemas basados en la

implementación de técnicas de procesamiento digital de señales cada día

toman mayor fuerza en el mercado de desarrollo de aplicaciones; dejando

al tratamiento análogo de la señal como una opción sólo para algunas

aplicaciones.

Lo mejor de este tipo de filtros es que es muy económico, como todo filtro

cumple solo funciones específicas, sin lugar a duda, la aplicación más

conocida de los sistemas que implementan DSP. En estos encontramos la

versatilidad de ser diseñados bajo ciertos preceptos ya estructurados. De

esta forma, el desarrollo de nuevos sistemas digitales tienen una base ya

bien formada.

Existen dos posibles opciones al diseñar filtros digitales, los sistemas FIR

y los IIR. La implementación de uno u otro dependerá de la necesidad

que la aplicación requiera. Por ejemplo, si se requiere para cierta

aplicación garantizar al 100% la estabilidad del sistema en condiciones

dinámicas, se preferirá a los filtros FIR, ya que sólo están constituidos por

ceros.


~ 38 ~

Los sistemas compensadores de frecuencia o lo que hemos conocido

como ecualizadores, resultan un elemento apropiado para demostrar la

eficiencia de los filtros digitales; además, de que debidamente

implementados son una aplicación atractiva para la comercialización del

producto.

BIBLIOGRAFIA

Introducción a las señales y los sistemas,

Douglas k. Lindner

Introducción a los Filtros Digitales,

Jesús Barrios Romano

Introducción a los filtros digitales,

Universidad de Valencia

The Scientist & Engineer's Guide to Digital Signal Processing,

Smith, S.W.

Introducción a los filtros digitales, con aplicación en audio.

Smith Julius

Digital Filters and Signal Processing.

Jackson, L. B.

Digital Filter Design,

T.W. Parks and C.S. Burrus

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