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Universidad Tecnolgica De Panam
Facultad De Ingeniera Mecnica
Introduccin a la Mecatrnica
Investigacin Semestral
Filtros Digitales
Profesor:
Dr. Humberto Rodrguez
Eduardo de Mena
8-818-1987
1IM-241
Viernes 13 de Diciembre de 2013
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Tabla de Contenidos INTRODUCCIN
..................................................................................................................................
1
I. TIPOS DE FILTROS
............................................................................................................
2
1. Filtros Digitales Invariantes con el Tiempo
......................................................................
3
2. Filtros de Respuesta al Impulso Finito (FIR)
.....................................................................
4
3. Filtros de Respuesta al Impulso Infinito (IIR)
...................................................................
4
4. Filtros Pasa-Alto (High-Pass)
............................................................................................
6
5. Filtros Pasa-Bajo (Low-Pass)
............................................................................................
7
6. Filtros Acepta-Banda (Band-Pass)
..................................................................................
10
7. Filtros Rechaza-Banda (Notch, Band-Stop)
....................................................................
11
8. Filtros Butterworth
........................................................................................................
11
9. Filtros Chebyshev
...........................................................................................................
12
Filtros de Chebyshev Tipo I
...............................................................................
12
Filtros de Chebyshev Tipo II
..............................................................................
13
10. Filtros Bessel
..................................................................................................................
14
II. DISEO DE FILTROS DIGITALES
.....................................................................................
16
II.1 MTODOS TRADICIONALES
.................................................................................................
16
1. Filtros Simples y Diseo por Argumentos del Dominio Z
............................................... 16
2. Diseos de Filtros FIR Basados en Funciones de Ventana
............................................. 17
3. Diseos de Filtros IIR
......................................................................................................
20
II.2 MTODOS ACTUALES (MATLAB -
SIMULINK)......................................................................
22
III. FILTROS ANALGICOS SALLEN-KEY
..............................................................................
25
1. Topologa Genrica
........................................................................................................
25
2. Aplicacin: Configuracin
Pasa-Bajo..............................................................................
26
CONCLUSIONES
.................................................................................................................................
27
BIBLIOGRAFA
...................................................................................................................................
30
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1
INTRODUCCIN
Se define como filtro digital a aquel sistema que realiza
operaciones matemticas sobre la muestra
de una seal en tiempo discreto para reducir o aumentar ciertos
aspectos de la citada seal. A
diferencia del otro tipo de filtro, el analgico, el cual trabaja
con seales en tiempo continuo.
El sistema de un filtro digital se compone, usualmente, de un
convertidor anlogo-digital para
realizar el proceso de muestreo, seguido por un microprocesador
y algunos componentes
perifricos como una memoria para almacenar informacin,
terminando con un convertidor digital-
anlogo.
Comparados con los filtros anlogos, los filtros digitales son ms
costosos debido a su mayor
complejidad, pero llevan a cabo funciones que no seran posibles
de realizar con filtros anlogos, si
bien aaden ciertas complejidades que no se tendran con un filtro
anlogo como el fenmeno de
aliasing o la latencicidad debido al tiempo que consumen los
convertidores AD y DA.
En este informe se presenta una breve investigacin sobre los
distintos tipos de filtros digitales. Se
comenzar con la clasificacin de los filtros digitales a partir
de la ecuacin representativa del filtro
y de la estructura de su implementacin. Dentro de estos, se
ampliar en los filtros Respuesta al
Impulso Finito (FIR, por sus siglas en ingls) y se los comparar
con los filtros de Respuesta al Impulso
Infinito (IIR, por sus siglas en ingls), dentro de los cuales se
mencionan dos tipos de filtros IIR muy
importantes: los filtros Chebyshev y los filtros Butterworth.
Estos filtros se explican ms adelante
dentro de la presente seccin. Se mencionan y explican tambin los
filtros Pasa-Alto (HPF), Filtros
Pasa-Bajo, Filtros Acepta-Banda, Rechaza-Banda y Bessel. A
medida que se menciona cada tipo de
filtro, se van haciendo comentarios sobre las caractersticas de
los filtros respecto a su velocidad de
cada en la Zona de Atenuacin (Roll-Off) y su Estabilidad.
Luego, se tratar sobre el diseo de los filtros digitales: cmo se
ha procedido a disearlos
tradicionalmente, y cmo se los disea en la actualidad con el
paquete de software MATLAB.
Se culminar con los filtros analgicos Sallen & Key y su
importancia actual a pesar de la proliferacin
de los filtros digitales.
Puede que en el cuerpo del trabajo se encuentren comparaciones
entre un tipo de filtro y otro, pero
en trminos generales, la mayor parte de las comparaciones se
plasman en las Conclusiones de la
Investigacin, as como ciertas consideraciones adicionales a
tener en cuenta a la hora de decidir
sobre el tipo de filtro que deber de seleccionarse, o cmo debern
de ser las tomas de decisiones
a la hora de disearlos a partir de los parmetros deseados, como
el tipo de respuesta (pasa-altos,
pasa-bajos), la frecuencia de corte, el orden, la presencia o
ausencia de rizos (ripples) y de haberlos
si se encuentran en la banda pasante o en la banda de rechazo,
entre otros.
En la Bibliografa se hace referencia a las fuentes de donde se
extrajo la informacin. Si bien no es
un acto muy formar a la hora de entregar documentos de esta
ndole, se procedi a colocar la
direccin de pginas web directamente para facilitarle el proceso
de bsqueda a quien le interese
ahondar en los temas aqu tratados brevemente.
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2
I. TIPOS DE FILTROS
Los filtros son ampliamente empleados en el procesamiento de
seales y en los sistemas de
comunicaciones y en aplicaciones como ecualizacin de canal,
reduccin de ruido, radares,
procesamiento de audio, procesamiento de video, procesamiento de
seales biomdicas y
anlisis de data econmica y financiera. Por ejemplo, en un
receptor de radio hay filtros pasa
banda, los conocidos tunners, los cuales son utilizados para
extraer las seales de un canal del
radio. En un sistema ecualizador de audio grfico, la seal de
entrada es filtrada dentro de un
nmero de seales de sub-banda y la ganancia para cada sub-banda
puede ser variada
manualmente con una serie de controles para cambiar la percepcin
del audio que se escucha.
En los sistemas Dolby, el pre-filtrado y el post-filtrado son
utilizados para minimizar el efecto
del ruido. En sistemas de audio de alta definicin un filtro de
compensacin es incluido en el
preamplificador para compensar la respuesta a la frecuencia no
ideal de las bocinas. Los filtros
son tambin utilizados para crear efectos perceptibles
audio-visuales para msica, pelculas y
estudios de transmisin.
Las funciones primordiales de los filtros son las
siguientes:
(a) Confinar la seal en una banda de frecuencia prescrita como
en los filtros pasa-bajo, pasa-
alto y pasa-banda.
(b) Descomponer una seal en dos o ms sub-bandas como en los
filtros-banco, ecualizadores
grficos, codificadores de sub-banda y multiplexadores de
frecuencia.
(c) Modificar el espectro de frecuencia de una seal como en la
ecualizacin de un canal de
telfono y en los ecualizadores grficos de audio.
(d) Modelar las relaciones de entrada-salida de un sistema como
los canales de
telecomunicacin y los ecualizadores grficos de audio.
Dependiendo de la forma de la ecuacin del filtro y de la
estructura de su implementacin, los
filtros pueden clasificarse de una manera generalizada de la
siguiente manera:
(a) Filtros lineales o filtros no lineales.
(b) Filtros invariantes con el tiempo o filtros variantes con el
tiempo.
(c) Filtros adaptativos o filtros no adaptativos.
(d) Filtros recursivos o filtros no recursivos.
(e) De forma directa, en cascada y paralelos.
En este informe, por simplicidad, nos enfocamos en los filtros
lineales invariantes con el tiempo
(LTI por sus siglas en ingls). Estos tipos de filtros presentan
una salida que no es ms que una
combinacin lineal de la entrada y cuyos coeficientes son
invariantes con el tiempo.
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3
1. Filtros Digitales Lineales Invariantes con el Tiempo
Los filtros LTI son una clase de filtros cuya salida es una
combinacin lineal de las muestras
de la seal de entrada y cuyos coeficientes no varan con el
tiempo. La propiedad de
linealidad conlleva que la respuesta del filtro a la sumatoria
ponderada de un nmero de
seales es la sumatoria ponderada de las respuestas del filtro a
cada seal individual. Este
es el principio de superposicin. El trmino invariante con el
tiempo implica que los
coeficientes del filtro y por ende su respuesta a la frecuencia
es fija y no vara con el tiempo.
En el dominio del tiempo la relacin entrada-salida de un filtro
lineal en tiempo discreto es
dad por la siguiente ecuacin:
[] = i[ ]
=0
+ i[ ]
=1
(1.1)
Donde bi y ai son los coeficientes del filtro, y[n] es la seal
de salida y no es ms que la
combinacin lineal de la salida N previa (y[n-1], , y[n-N]). Las
caractersticas de un filtro
son determinadas completamente por sus coeficientes ai y bi.
Para un filtro invariante con
el tiempo los coeficientes ai y bi son constantes calculadas
para obtener una respuesta en la
frecuencia especfica.
La funcin de transferencia de un filtro LTI se obtiene aplicando
la Transformada Z a la
ecuacin (1.1), con lo que se tiene lo siguiente:
[] = i=0
1 i=1=
i=01 i=1
(1.2)
Como a partir de la Transformada de Fourier una seal es una
combinacin ponderada de
un nmero de ondas senoidales, se sigue, a partir del principio
de superposicin, que en el
dominio de las frecuencias el filtrado lineal puede ser visto
como una combinacin linear de
los constituyentes de la frecuencia de entrada multiplicada por
la frecuencia de respuesta
de la seal.
En lo que respecta al orden de un filtro en tiempo discreto, el
mismo ser el mayor atraso
en tiempo continuo utilizado en la ecuacin de entrada-salida del
filtro. Por ejemplo, en las
ecuaciones 1.1 o 1.2 el orden ser el mayor de los valores N o M.
Para un filtro en tiempo
continuo, el orden el filtro es el orden del mayor trmino
diferencial utilizado en la ecuacin
de entrada-salida del mismo. Este concepto se aclarar ms
adelante con la introduccin de
los filtros de respuesta al impulso finita (FIR) y respuesta al
impulso infinita (IIR).
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4
2. Filtros de Respuesta al Impulso Finito (FIR)
Nos referimos a un filtro FIR cuando su respuesta al impulso es
de duracin finita, es decir,
tiende a cero en un tiempo finito. Estos filtros pueden
funcionar tanto en tiempo discreto
como en tiempo continuo, por lo que pueden ser tanto digitales
como anlogos. A
continuacin se presenta un diagrama de bloques que ilustra el
funcionamiento de un filtro
FIR:
La funcin que describe el funcionamiento de este filtro es la
que sigue:
[] = 0[] + 1[ 1] + + N[ ] = i[ ]
=0
(2.1)
Donde, x[n] es la seal de entrada, y[n] es la seal de salida, bi
son los coeficientes del filtro
y N es el orden del filtro (un filtro de orden N tiene N+1
trminos). Los trminos x[n-i] se
conocen como tomas de retardo.
Usualmente los filtros FIR requieren un alto poder de computacin
para poder ser tan
precisos bajo una misma tarea que los filtros IIR, pero poseen
ciertas caractersticas que los
hacen deseables como el hecho de que no requieren
retroalimentacin ya que se tiene el
mismo error relativo dentro de cada proceso. El hecho de que no
requieran
retroalimentacin los hace bastante estables, por lo que se los
puede disear para que su
respuesta sea una funcin lineal de la frecuencia sin mayor
dificultad.
Ampliando un poco ms dentro de la caracterstica de
no-retroalimentacin de los filtros
FIR, esto se hace evidente con la ecuacin (1.1), la cual es una
ecuacin de post-
alimentacin (feed-forward), es decir, no hay informacin sobre
sucesos ocurridos en el
pasado o que podran ocurrir en el futuro, slo valores de
entrada. As tambin, de acuerdo
al Anlisis del Lugar Geomtrico de las Races, todos los polos
estn localizados en el origen
del plano Z, lo que explica su estabilidad.
3. Filtros de Respuesta al Impulso Infinito (IIR)
Un filtro de respuesta al impulso infinito es aquel que, a
diferencia de la tendencia hacia
cero de los filtros FIR, continua respondiendo indefinidamente,
usualmente en un modo de
decaimiento. Asimismo, los filtros IIR cuentan con
retroalimentacin interna. A continuacin
se muestra un diagrama de bloques de un filtro IIR de orden
3:
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5
Donde la parte en violeta es la parte de post-alimentacin y la
parte en rosado es la parte
de retroalimentacin.
De este diagrama de bloques, a partir del sentido comn y la
intuicin, podemos partir del
hecho de que los filtros FIR son un caso especial de los filtros
IIR, donde la parte
retroalimentada es igual a cero. Esto nos da a entender que a la
ecuacin 1.1 le falta la
porcin retroalimentada, que de acuerdo al diagrama de bloques
presentado arriba, debe
de sumarse a la parte post-alimentada. As, la ecuacin general de
un filtro IIR (y que se
podra tomar como el caso general para todos los filtros) es la
siguiente:
[] = (0[] + 1[ 1] + + N[ ])
+ (1[ 1] + 2[ 2] + + N[ ])
= i[ ]
=0
+ i[ ]
=1
(2.1)
Donde, x[n] es la seal de entrada, y[n] es la seal de salida, bi
y ai son los coeficientes del
filtro y N y M es el orden del filtro (en este caso, el nmero de
trminos del filtro lo da
N+M+1). Los trminos x[n-i] siguen siendo las tomas de retardo.
El trmino a0 se asume que
es 1.
A diferencia del filtro FIR, en el filtro IIR el Anlisis del
Lugar Geomtrico de las Races
establece que los polos no necesariamente estn en el origen del
plano Z, lo que explica por
qu un filtro IIR puede llegar a ser inestable.
As, la mayor diferencia entre un filtro IIR y un filtro FIR es
que el filtro IIR es ms compacto
en que puede conseguir usualmente una respuesta a la frecuencia
prescrita con un menor
nmero de coeficientes que un filtro FIR. Un menor nmero de
coeficientes implica un
menor requerimiento de memoria y una mayor velocidad de
computacin y rendimiento.
As, en general los filtros IIR son ms eficientes en lo que
respecta a la memoria y aspectos
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6
computacionales que los filtros FIR. Sin embargo, debe de
notarse que un filtro FIR siempre
ser estable, mientras que un filtro IIR puede volverse inestable
y debe de tenerse especial
cuidado al momento de disear filtros IIR para garantizar
estabilidad.
Dentro de los filtros IIR destacan dos tipos particulares de
filtros, los filtros Chebyshev y los
filtros Butterworth, los cuales se especifican en los puntos 8 y
9 de la presente Parte.
4. Filtros Pasa-Alto (High-Pass)
Un filtro Pasa-Alto (HPF por sus siglas en ingls) es un filtro
electrnico que pasa seales en
alta frecuencia pero atena (reduce la amplitud de) seales con
frecuencias menores que la
frecuencia de corte. El filtro pasa-alto tiene muchas
utilidades, como bloquear la corriente
directa de un circuito sensible a voltajes promedio distintos a
cero.
A modo explicativo, se presenta la implementacin de un filtro
HPF en tiempo continuo en
su forma ms sencilla:
El filtro a la derecha muestra un diagrama de un filtro
HPF sencillo con un Voltaje de entrada (Vin) a lo largo
de la combinacin en serie de un Capacitor (C) y un
Resistor (R), utilizando el voltaje a lo largo del Resistor
como el Voltaje de salida (Vout). El producto de la
resistancia con la capacitancia no es ms que a la
constante de tiempo (), la cual es inversamente
proporcional a la frecuencia de corte:
c =1
2=
1
2
Donde c est en hertz (Hz), est en segundos (s), R est en ohms ()
y C est en farads
(F).
Ahora se mostrar una implementacin electrnicamente activa de un
filtro HPF de primer
orden utilizando un amplificador operacional:
En este caso, el filtro tiene una ganancia pasa-banda de R2/R1 y
tiene una frecuencia de
corte como se muestra a continuacin:
c =1
2=
1
21
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7
Debido a que el filtro es activo, es posible que no tenga una
ganancia pasa-banda unitaria.
Esto quiere decir que las frecuencias de la seal estn invertidas
y amplificadas por R2/R1.
5. Filtros Pasa-Bajo (Low-Pass)
Un filtro pasa-bajo es un filtro que permite el paso de bajas
frecuencias y atena (reduce la
amplitud de) las seales con frecuencias ms altas que la
frecuencia de corte. La cantidad
real de atenuacin para cada frecuencia vara dependiendo del
diseo especfico del filtro.
Como se puede apreciar, un filtro pasa-bajo es exactamente lo
opuesto a un filtro pasa-alto.
El conjunto de un filtro pasa-bajo con un filtro pasa-alto
conforma un filtro pasa-banda.
Los filtros pasa-bajo existen en formas diferentes, incluyendo
circuitos electrnicos, filtros
anti-aliasing para seales condicionales previas a la conversin
analgica-digital, filtros
digitales para suavizar series de datos, barreras acsticas,
imgenes borrosas, entre otras.
Los filtros pasa-bajo presentan una forma ms suave de la seal,
removiendo las
fluctuaciones a corto plazo y dejando la tendencia a largo
plazo.
Un filtro pasa-bajo ideal elimina por completo todas las
frecuencias por encima de la
frecuencia de corte mientras permite el paso de las frecuencias
por debajo de dicha
frecuencia de corte sin alterarlas. Su respuesta a la frecuencia
es una funcin rectangular
como se muestra a continuacin:
La regin de transicin presente en filtros prcticos se encuentra
ausente en los filtros
ideales. Un filtro pasa-bajo ideal puede ser concebido
matemticamente (tericamente) al
multiplicar una seal por la funcin rectangular descrita en el
dominio de las frecuencias, o,
equivalentemente, convolucin con su respuesta al impulso, una
funcin sinc, en el dominio
temporal.
Funcin Sinc
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8
Sin embargo, el filtro ideal es imposible de llevar a cabo sin
tener tambin seales de
extensin infinita en el tiempo, y por lo general necesitan ser
aproximadas por seales
reales sobre la marcha, debido a que la regin de soporte de la
funcin sinc se extiende
tanto para el tiempo pasado como para el tiempo futuro. El
filtro podra, entonces, necesitar
un retraso infinito, o conocimiento del tiempo pasado infinito y
del tiempo futuro infinito
para poder llevar a cabo la convolucin. Esto de hecho es
realizable en seales digitales pre-
grabadas al asumir extensiones de cero hacia el pasado y el
futuro, o ms tpicamente, al
hacer la seal repetitiva haciendo uso de las Series de
Fourier.
Los filtros reales no hacen ms que aproximar al filtro ideal
truncando y utilizando la funcin
ventana en el impulso de respuesta infinita para hacer el
impulso de respuesta finita. La
aplicacin de este filtro real requiere el retraso de la seal por
un periodo moderado de
tiempo, permitiendo a la computadora ver un poco hacia el
futuro. Este retraso es
manifestado como un cambio del ngulo de fase. Por ende, una
mayor precisin en la
aproximacin requiere un retraso mayor.
Un filtro pasa-bajo ideal resulta en artefactos de anillo. Estos
pueden reducirse o
acrecentarse al momento de seleccionar la funcin de ventana, por
lo que el diseo y
seleccin de filtros reales involucra el entendimiento y la
minimizacin de dichos artefactos.
Por ejemplo, el truncamiento de la funcin sinc provoca severos
artefactos de anillo, los
cuales son atenuados si se utiliza en su lugar una funcin
ventana.
Hay muchos tipos de circuitos de filtros pasa-bajo, con
diferentes respuestas a la frecuencia.
La respuesta a la frecuencia de estos filtros es representada
usualmente por medio del
Diagrama de Bode, y el filtro se caracteriza por su frecuencia
de corte y su razn de roll-off
a la frecuencia. En todos los casos, a la frecuencia de corte el
filtro atena la potencia de
entrada por medio o 3 decibeles (dB). As, el orden de un filtro
determina la cantidad de
atenuacin adicional para frecuencias mayores que la frecuencia
de corte:
Un filtro de primer orden, como el que se ilustra a continuacin,
reduce la amplitud
de la seal a la mitad (as, el poder se reduce por un factor de
4) o 6 dB, cada vez
que la frecuencia se dobla (aumenta una octava). Ms
precisamente, el poder del
roll-off alcanza los 20 dB por dcada en el lmite de la alta
frecuencia.
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9
La grfica de la magnitud en el Diagrama de Bode para un filtro
de primer orden aparece
como una lnea horizontal por debajo de la frecuencia de corte, y
como una lnea diagonal
por encima de dicha frecuencia. Tambin se aprecia una curva en
forma de rodilla en la
frontera conformada por la frecuencia de corte y la magnitud, la
cual sobrepasa una
transicin suave entre la regin conformada por las los lneas.
Un filtro de segundo orden atena las altas frecuencias ms
precipitadamente. El
Diagrama de Bode para este tipo de filtro se asemeja a aquel de
primer orden,
excepto de que el de segundo orden cae ms rpidamente. Por
ejemplo, un filtro
Butterworth reduce la amplitud de la seal a un cuarto su nivel
original cada vez
que la frecuencia es doblada (el poder decrece 12 dB por octava,
40 dB por dcada).
Un filtro de tercer orden y de orden superior son definidos de
manera similar a
como lo hemos venido haciendo. En general, la razn final del
roll-off de poder par
un filtro de n-orden es de 6n por octava, o 20n por dcada.
Procediendo ahora a explicar, de manera similar que en
la seccin anterior, la implementacin de un filtro pasa-
bajo en tiempo continuo sencillo:
Un filtro pasa-bajo sencillo consiste en un Resistor (R)
en serie con una carga (Vout) y un Capacitor (C) en
paralelo con la carga. El capacitor ejerce reactancia, y
bloquea las seales de baja frecuencia, forzndolas as
hacia la carga. A altas frecuencias la reactancia cae y el
capacitor funciona efectivamente como un corto
circuito. La combinacin de la resistancia y la capacitancia da
como resultando la constante
de tiempo , al igual que en el caso anterior. As, la frecuencia
de corte se calcula de igual
manera que en el caso anterior:
c =1
2=
1
2
Explicando un poco ms el funcionamiento de este circuito, si nos
enfocamos en la
reactancia del capacitor, podemos decir que debido a que la
corriente directa no puede fluir
a lo largo del capacitor, la entrada DC debe de fluir hacia Vout
(lo mismo que significara
remover el capacitor). Asimismo, la corriente alterna fluye muy
bien por el capacitor, casi
tan bien como fluye por el alambre conductor, por lo que una
entrada AC fluye hacia el
capacitor, haciendo corto circuito con la tierra (lo mismo que
reemplazar el capacitor con
un simple alambre).
Ahora se muestra la implementacin activa del filtro
pasa-bajo:
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10
La frecuencia de corte en el amplificador operacional, para este
caso, es muy similar al caso
del filtro pasa-alto:
c =1
2=
1
22
Con lo que la ganancia en el pasa-banda es, al igual que en el
caso anterior, de R2/R1.
En esta seccin se introdujo el concepto de Roll-Off, el cual es
un trmino utilizado para
describir que tanto se precipita una funcin de transferencia con
la frecuencia. En filtros,
representa la transicin entre el paso de banda y el rechazo de
banda. Usualmente se mide
en decibeles por dcadas (dB/dcadas), donde una dcada es un
incremento de unas 10
veces en frecuencia, o en decibeles por octavas (dB/8ve), donde
una octava es un
incremento del doble en frecuencia.
6. Filtros Acepta-Banda (Band-Pass)
Un filtro acepta-banda o pasa-banda es un dispositivo que pasa
frecuencias dentro de cierto
rango y rechaza (atena) frecuencias fuera de dicho rango.
Acepta-banda es un adjetivo que
describe un tipo de filtro o proceso de filtrado, y no debe de
confundirse con el trmino
pasabanda (tambin conocida como banda de paso o banda pasante),
la cual se refiere a
una porcin del espectro que est siendo afectada. As, se puede
decir que un filtro acepta-
banda dual tiene dos pasabandas. Una seal pasabanda es una seal
que contiene una
banda de frecuencias lejos de la frecuencia cero, justo como una
seal preveniente de un
filtro acepta-banda.
Un ejemplo simple de filtro pasa-banda analgico es el filtro RLC
(Resistivo-Inductivo-
Capacitivo). Como se mencion con anterioridad, este filtro
tambin puede construirse a
partir de la unin de un filtro pasa-bajo y un filtro
pasa-alto.
Un filtro acepta-banda ideal debera tener una pasabanda
completamente plana (es decir,
sin ganancia/atenuacin de principio a fin), y debera atenuar
completamente toda las
frecuencias fuera de la pasabanda. Adicionalmente, la transicin
desde la pasabanda
debera de ser instantnea en la frecuencia. En la prctica, ningn
filtro pasa-banda es ideal.
El filtro no atena todas las frecuencias fuera del rango de
frecuencias deseado
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11
completamente. En particular, existe una regin justo fuera de la
pasabanda deseada donde
las frecuencias son atenuadas, pero no son rechazadas. Esto es
conocido como el roll-off del
filtro, mencionado en la seccin anterior.
Un filtro acepta-banda se caracteriza por su factor Q. EL factor
Q es el inverso del ancho de
banda. Un filtro con un elevado factor Q tendr un estrecho paso
de banda y un filtro con
un bajo factor Q tendr un ancho paso de banda. Estos ltimos son
conocidos,
respectivamente, como filtros de banda estrecha o reducida y
filtros de banda ancha.
7. Filtros Rechaza-Banda (Notch, Band-Stop)
Un filtro rechaza-banda o detiene-banda (o simplemente filtro
Notch), es un filtro que
pasa la mayora de las frecuencias sin alterarlas, pero atena
aquellas dentro de un rango
especfico a muy bajos niveles. Es opuesto al filtro
acepta-banda. Un filtro Notch es un filtro
rechaza-banda con un rechazabanda (stopband) muy estrecho (alto
factor Q). Este tipo de
filtro es el que se utiliza en los amplificadores de los
instrumentos musicales.
Tpicamente, el ancho de banda de un stopband es de 1 a 2 dcadas
(es decir, la ms alta
frecuencia atenuada es de 10 a 100 veces la ms baja frecuencia
atenuanda).
8. Filtros Butterworth
El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrnicos ms
bsicos, diseado para
producir la respuesta ms plana que sea posible hasta la
frecuencia de corte. En otras
palabras, la salida se mantiene constante casi hasta la
frecuencia de corte, luego disminuye
a razn de 20n dB por dcada (o 6n dB por octava), donde n es el
nmero de polos del filtro.
El filtro Butterworth ms bsico es el tpico filtro pasa bajo de
primer orden, el cual puede
ser modificado a un filtro pasa alto o aadir en serie otros
formando un filtro pasa banda o
elimina banda y filtros de mayores rdenes.
Segn lo mencionado antes, la respuesta en frecuencia del filtro
es extremadamente plana
(con mnimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto en un
diagrama de Bode con escala
logartmica, la respuesta decae linealmente desde la frecuencia
de corte hacia menos
infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por dcada
(aprox. -6dB por octava).
El filtro de Butterworth es el nico filtro que mantiene su forma
para rdenes mayores (slo
con una cada de ms pendiente a partir de la frecuencia de
corte). Esto se aprecia mejor en
la siguiente grfica:
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12
Este tipo de filtros necesita un mayor orden para los mismos
requerimientos en
comparacin con otros, como los de Chebyshev o el elptico.
Butterworth fue un ingeniero y fsico ingls que demostr que un
filtro pasa-bajo podra ser
diseado, cuya frecuencia de corte fuese normada a 1 radian por
segundo y cuya respuesta
a la frecuencia (ganancia) fuese:
() = 1
1 + 2
Donde es la frecuencia angular en radianes y n es el nmero de
polos en el filtro.
9. Filtros Chebyshev
Los filtros Chebyshev son filtros tanto analgicos como digitales
que tienen un roll-off ms
pronunciado y un rizo pasabanda (tipo I) o rechazabanda (tipo
II) que los filtros Butterworth.
Los filtros Chebyshev tienen la propiedad de que minimizan el
error entre la caracterstica
idealizada y la caracterstica real del filtro, pero con rizos en
la banda de paso. A
continuacin se especifican los filtros de Chebyshev tipo I y
tipo II:
Filtros de Chebyshev tipo I
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13
Dentro de los filtros de Chebyshev estos son los ms comunes.
Estos filtros tienen
nicamente polos y presentan un rizado constante en la banda
pasante y presentan una
cada montona en la banda de rechazo. La respuesta a la
frecuencia es como sigue:
n() = [n()] =1
1 + 2n2 (o
)
Donde o es la frecuencia de corte y Tn es el polinomio de
Chebyshev de orden n. el
coeficiente es el factor de rizo. En el paso de banda, el
polinomio de Chebyshev oscila
entre -1 y 1, por lo que la ganancia del filtro alternar entre
el mximo (G=1) y el mnimo
( =1
1+2). En la frecuencia de corte en o la ganancia tiene el valor
de
1
1+2 pero
continua bajando hacia la banda de rechazo a medida que la
frecuencia aumenta. A
continuacin se ilustra el comportamiento de un filtro Chebyshev
tipo I:
El rizo de un filtro est dado por la siguiente expresin:
= 20 log10 1 + 2
El filtro Chebyshev tipo I es la base de otro tipo de filtro
conocido como Elptico o de
Cauer, el cual no es ms que un filtro de Chebyshev tipo I con un
roll-off ms precipitado
debido a que se le permite tener ahora ceros en el eje j del
plano complejo,
permitiendo as la existencia de rizos en la banda de rechazo.
Esto, de hecho, provoca
la supresin de dicha zona de rechazo.
Filtros de Chebyshev tipo II
Conocidos tambin como el filtro inverso de Chebyshev, este tipo
es menos comn
debido a que no experimenta un roll-off tan veloz como el tipo
I, y requiere ms
componentes. No posee rizos en la pasabanda, pero s los tiene en
la rechazabanda. La
ganancia es como sigue:
n(, o) =1
1 +1
2n2 (o
)
-
14
Siguiendo el mismo anlisis que en el caso anterior, el polinomio
de Chebyshev
oscilar entre -1 y 1, por lo que la ganancia oscilar entre cero
y 1
1+1
2
y la frecuencia
ms pequea a la que se llegar a este mximo es cuando la
frecuencia de corte sea
o.
Para este caso, el parmetro es calculado de la siguiente
manera:
=1
100.1 1
Donde es la atenuacin de la banda de rechazo. A continuacin se
presenta un
grfico que ilustra el comportamiento de los filtros Chebyshev
tipo II:
10. Filtros Bessel
Tipo de filtro lineal con un grupo de retraso plano maximizado
(respuesta de fase lineal
maximizada). Los filtros de Bessel son usados comnmente en
sistemas de audio cruzado,
donde reciben el nombre de filtro de cruce. Los filtros de
Bessel Anlogos son caracterizados
por un grupo de retardo cuasi constante a lo largo de toda la
pasabanda, preservando as la
forma de la onda de la seal filtrada en la pasabanda.
La funcin de transferencia del filtro Bessel posee la siguiente
funcin de transferencia:
() =n(0)
n (
o)
=1
i =0 (10.1)
Donde n(s) es un polinomio de Bessel inverso del cual el filtro
recibe su nombre y o es una
frecuencia elegida para conseguir la frecuencia de corte
deseada. El filtro posee un grupo
de baja frecuencia en retardo de 1/o. En el denominador de la
segunda igualdad se tiene
que N es el orden del filtro y los coeficientes del polinomio de
Bessel son:
i =(2 )!
2 ! ( )!
-
15
Los filtros de Bessel slo tienen polos, y estn diseados para
tener una fase lineal en las
bandas pasantes, por lo que no distorsionan las seales; por el
contrario tienen una mayor
zona de transicin (roll-off) entre las bandas pasantes y no
pasantes (rechazabanda).
Cuando estos filtros se transforman a digital pierden su
propiedad de fase lineal.
A continuacin se aade una imagen que ilustra el comportamiento
de un filtro Bessel, el
cual a su vez ilustra a la relacin (10.1):
Donde Gain = Ganancia y Delay = Retardo.
-
16
II. DISEO DE FILTROS DIGITALES
II.1 Mtodos Tradicionales
1. Filtros Simples y Diseo por Argumentos del Dominio Z
Hay dos mtodos para suavizar una secuencia de nmeros para
aproximar un filtro pasa-bajo:
el ajuste polinomial y el movimiento promedio. En el primer
caso, la aproximacin a una
Potencia de Baja Frecuencia (LPF, por sus siglas en ingls) puede
ser mejorada al utilizar un
polinomio de orden superior: por ejemplo, en lugar de utilizar
una funcin cuadrtica como en
el ejemplo que se presenta ms abajo, podramos haber introducido
un mnimo cuadrado a la
data ruidosa original. El efecto de utilizar un polinomio de
orden superior es el de proporcionar
un mayor grado de tangencia a = 0 y una frecuencia de corte ms
fina en la respuesta a la
amplitud.
Se como ejemplo el siguiente filtro expresado por la ecuacin a
continuacin:
[] =1
4([] + 2[ 1] + [ 2]) (. 1.1)
Este filtro produce una salida que se ajusta a escala al
promedio de tres entradas sucesivas, con
el punto central de las tres ponderado en dos ocasiones.
Aplicndole la Transformada Z a la ecuacin (II.1.1), tenemos
que:
() =1
4(1 + 21 + 2)
La cual tiene dos ceros en 2 + 2 + 1 = ( + 1)2 = 0, i.e., = 1.
Recordar que esto
corresponde a una doble amortiguacin en la frecuencia de
Nyquist. Esto atenuar a las altas
frecuencias, lo que es lo mismo que el efecto LPF.
Alternativamente se podra discutir sobre
colocar un polo en DC, alguna fraccin 0 < < 1 en la
direccin del eje real. Esto da:
() =1
=
1
1 1
Por consiguiente,
()(1 1) = 1()
Y en trminos de diferencias en el dominio temporal, tenemos:
[] = [ 1] + [ 1]
Lo cual nos da un filtro recurrente LPF, conocido ms comnmente
como un filtro de Respuesta
Infinita a la Frecuencia, o IIR. En general, se pude utilizar
para el diseo de filtros las
manipulaciones Laplacianas a las ecuaciones de transferencia
para contrastar con el diseo en
el dominio Z. Esto es simple para filtros de orden inferior
(como arriba), pero puede ser muy
tedioso en rdenes superiores. Para estos casos, se aplican otros
mtodos que se explican a
continuacin.
-
17
2. Diseos de filtros FIR basados en funciones de ventana
Los filtros FIR pueden ser tambin diseados a partir de una
especificacin de la respuesta en
frecuencias. La respuesta impulso equivalente muestreada, la
cual determina los coeficientes
del filtro FIR, pueden entonces ser obtenidos por la
Transformada Inversa de Fourier.
A modo explicativo, considere un filtro pasa-bajo ideal, con una
ganancia G(j) con una
frecuencia de corte fc = /4T, donde T es el periodo de muestreo.
La respuesta al impulso
continua g(t) est dada por:
() =1
2 () =
c
(
sin ct
ct)
A la izquierda se tiene la respuesta al impulso de la funcin en
tiempo continuo, y a la derecha
en tiempo discreto.
La respuesta al impulso muestreada g[k] (la cual se obtiene
tomando la Transformada Discreta
de Fourier Inversa) es la versin muestreada de la funcin
continua sin
. No es posible
implementar el correspondiente diseo del filtro pasa-bajo
porque:
Un nmero infinito de coeficientes seran necesarios.
La respuesta al impulso es la de un sistema no causal (g[k]
existe entre k = - y k =
0).
Una solucin sera truncar la expresin para g[k] en algn valor
razonable de k, por ejemplo 10,
y cambiar todos los coeficientes por el mismo nmero. Nuestra
funcin quedara como sigue:
-
18
Ajustando nuestra ecuacin de diferencias, nos queda que:
[] = i[ ]
20
=0
Se obtiene as la funcin de transferencia para el filtro:
() = i120
=0
Como ocurri con anterioridad, se puede obtener la respuesta a la
frecuencia real del filtro al
evaluar G(z) en el crculo unitario (i.e. ()). Esto es mostrado
en la siguiente figura:
La grfica a la izquierda es la respuesta lineal a 21
coeficientes. La grfica a la derecha es la
respuesta logartmica para 11 coeficientes.
Hay todava una mejor solucin, ya que truncar la respuesta al
impulso es equivalente a
multiplicarla por una funcin rectangular o ventana como se vio
en la seccin I.5. Esto conduce
a un sobresalto y a un rizo antes y despus de la discontinuidad
en la respuesta a la frecuencia,
un fenmeno conocido como el Fenmeno de Gibbs. La amplitud del
sobresalo no decrece si se
van incluyendo cada vez ms y ms coeficientes en el filtro
digital.
Una manera ms satisfactoria de disear un filtro FIR es el
utilizar la secuencia ponderada finita
w[k]. Hay toda una serie de dichas secuencias, como por ejemplo
a secuencia Hamming,
Hanning o Kaiser. A estas secuencias se les conoce como
Ventanas.
Donde si = 0.54 se trata de una Ventana Hamming, si = 0.5 se
trata de una Ventana Hanning
o del Coseno Desplazado. La siguiente figura muestra la Ventana
de Hamming de 11 puntos:
-
19
La Transformada de Fourier de dichas ventanas consiste en lbulos
centrales que contiene la
mayora de la energa y lbulos laterales que decaen
rpidamente.
El uso de dichas ventanas para reducir los coeficientes de
Fourier para los trminos de las altas
frecuencias lleva a una reduccin en la amplitud de los rizos, a
expensas de una pendiente de la
frecuencia de corte ligeramente peor que sin ellas. La respuesta
a la frecuencia del filtro FIR de
21 coeficientes mostrado con anterioridad se presenta a
continuacin una vez se le ha aplicado
el efecto de ventana de Hamming:
-
20
3. Diseo de Filtros IIR
Como ya hemos visto en la seccin I, la gran mayora de los
filtros recursivos tiene respuesta al
impulso infinita, debido a la retroalimentacin de seales de
salida previas. Filtros de Respuesta
Infinita a la Frecuencia (IIR) prcticos son usualmente basados
en equivalentes anlogos (filtros
Butterworth, Chebyshev, etc.), usando una transformacin conocida
como transformacin
bilinear la cual mapea los polos del plano s y los ceros del
filtro analgico en el plano Z. Sin
embargo, es posible disear un filtro IIR sin ninguna referencia
a diseos anlogos, como por
ejemplo al seleccionar las locaciones apropiadas para los polos
y los ceros en el crculo unitario
(recordar que () = 0 siempre que haya un cero en el crculo
unitario, es decir, una
completa atenuacin de dicha frecuencia; de otra manera, ()
cuando haya un polo
cerca del crculo unitario, es decir, alta ganancia a dicha
frecuencia.
La tcnica de digitalizar un diseo analgico es la tcnica de diseo
de filtros IIR ms popular de
entre las tcnicas convencionales, debido a que hay una enorme
cantidad de teora en filtros
anlogos disponible. La transformada Z bilinear es una
transformacin matemtica desde el
dominio s hacia el dominio Z, el cual preserva las
caractersticas de la frecuencia y est definida
por:
=2
1 1
1 + 1
Donde T es el periodo de muestreo.
Bajo este mapeo, el eje j en su totalidad en el plano s es
mapeado en el crculo unitario del
plano Z, la mitad izquierda del plano s es mapeado dentro del
crculo unitario y la mitad derecha
del plano s es mapeado fuera del crculo unitario.
La transformacin bilineal da una relacin no lineal entre
frecuencia analgica a y frecuencia
digital d. Partiendo del hecho de que la respuesta a la
frecuencia de un filtro digital es evaluada
fijando a = :
La forma de esta expresin se muestra a continuacin para el caso
de T = 2:
-
21
Para pequeos valores de d, el mapeo es casi lineal como se
aprecia en la lnea punteada. Para
la gran mayora de la escala de la frecuencia, sin embargo, el
mapeo es altamente no lineal.
Las frecuencias de corte de un filtro digital sern entonces
sesgadas tangencialmente en
comparacin con aquellas del filtro digital del cual parti el
diseo. En orden para compensar
este efecto indeseado, es necesario pre-sesgar las frecuencias
de corte requeridas antes de
disear el filtro analgico. As:
El rango deseado de frecuencias de corte del filtro digital es
determinado primero. As,
si se tienen cuatro frecuencias de corte d1, d2, d3, d4,
utilizando la relacin de sesgo
de frecuencia derivada con anterioridad tenemos que las
frecuencias de corte son
convertidas a cuatro nuevas frecuencias anlogas de corte a1, a2,
a3, a4.
Al disearse un filtro analgico con la frecuencia de corte
sesgada apropiadamente.
Aplicando la transformacin bilinear a este filtro analgico, se
obtiene un filtro digital
con las frecuencias de corte deseadas.
-
22
II.2 Mtodos Actuales
En la actualidad, el diseo de filtros se ha simplificado mucho
con el uso de paquetes de software
especializados en el tema como MATLAB y Simulink, y SciLab y
XCOS. Aqu se tratar el diseo de
filtros con el entorno de Simulink.
Se pueden disear en Simulink filtros pasa-bajo, pasa-alto,
pasa-banda, rechaza-banda utilizando
tanto el block de Digital Filter Design o el block de Filter
Realization Wizard. Estos bloques son
capaces de calcular los coeficientes de los filtros para varias
estructuras de filtros. A modo de
ejemplo, tomamos el block Digital Filter Design. Se abre una
caja de herramientas especializada para
el tratamiento de seales que ya trae MATLAB llamada DSP System
Toolbox. La misma es llamada
en el command prompt de MATLAB escribiendo dsplib. A continuacin
se muestra una toma de
pantalla de un bloque ejemplo que presenta la pgina oficial de
MATLAB:
Abajo a la derecha se ve el bloque Digital Filter Design. Al
hacer doble click en el mismo, aparecen
los siguientes parmetros:
Response Type =
Design Method =
Filter Order =
Scale Passband =
Window =
Units =
wc =
-
23
Para el ejemplo de la pgina de MATLAB se consider lo
siguiente:
As, se tiene que se disear un filtro Pasa-Bajo FIR con 32
coeficientes y una frecuencia de corte de
0.5 (wc = frecuencia de corte). Se har por medio de la Ventana
de Hamming (el tipo de ventana se
selecciona en un men desplegable dentro del entorno).
Una vez se tiene todo listo, se presiona Design Filter en el
cuadro de dilogo, con lo que aparece
lo siguiente:
-
24
Con esto ya se ha diseado el filtro pasa-bajo. Ahora se procede
a aadir el filtro en mi modelo como
se muestra a continuacin:
Una vez tengo el filtro conectado al modelo, procedo a correr el
modelo, con lo que obtengo los
siguientes grficos en el Scope:
Este es un comportamiento similar al ruido que experimentan los
micrfonos de las cabinas de los
aviones. Una vez se ha aadido el ruido, se pueden experimentar
mtodos para eliminarlo.
-
25
III. FILTROS ANALGICOS SALLEN-KEY
Los filtros de Sallen-Key o (clulas de Sallen-Key) son un tipo
de filtro electrnico implementado
en filtros activos de segundo orden, particularmente valioso por
su simplicidad. Un filtro Sallen-
Key utiliza un amplificador de ganancia unitaria (un
amplificador buffer puro de 0 dB de
ganancia). Estos filtros son relativamente flexibles con la
tolerancia de los componentes, aunque
para obtener un factor Q alto se requieren componentes de
valores extremos.
1. Topologa Genrica
Suponiendo que el amplificador operacional es ideal, partimos
que debido a que el mismo se
encuentra en una configuracin de retroalimentacin negativa, sus
entradas V+ y V- deben
equipararse (es decir, V+ = V-). Sin embargo, la entrada
invertida V- est conectada
directamente a la salida Vout, por lo que:
+= = (. 1)
Por medio de la Ley de la Corriente de Kirchhoff (KCL) aplicada
al nodo Vx, tenemos que:
1=
3+
-
2 (. 2)
Aplicando la ecuacin (III.1) a (III.2):
2=
4
Lo que significa que,
= (2
4+ 1) (. 3)
Combinando las ecuaciones (III.2) y (III.3):
(24 + 1)
1=
(24 + 1)
3+
(24 + 1)
2
Arreglando esta ecuacin nos queda que:
-
26
=
34
12 + 3(1 + 2) + 34
Ecuacin que describe un arreglo tpico lineal invariante en el
tiempo de segundo orden. Si la
componente Z3 estuviese conectada a tierra, el filtro no sera ms
que un divisor de voltaje
compuesto por las componentes Z1 y Z3 en cascada con otro
divisor de voltaje compuesto por
las componentes Z2 y Z4. El buffer del circuito aplica parte de
la seal de la componente Z3 a su
misma seal de salida alterando la impedancia del amplificador,
lo que resulta en una mejora
respecto al caso del simple divisor de voltaje. Es por esto que
usualmente los operadores Sallen-
Key usualmente son dibujados con el amplificador operacional con
su entrada no invertida por
debajo de su entrada invertida, enfatizando la similaridad entre
a salida y la tierra.
2. Aplicacin: Configuracin pasa-bajo
En la siguiente figura se observa un filtro formado por dos
clulas de Sallen-Key en cascada. Esta es
una prctica habitual para aumentar el orden de un filtro. Tambin
se usan amplificadores
operacionales.
Para frecuencias muy altas los condensadores funcionarn como
cortocircuitos, por lo tanto el
terminal positivo del amplificador operacional estar a tierra.
Al tener realimentacin negativa, el
terminal negativo, y por tanto la salida, tendrn la misma tensin
que el terminal positivo. Por el
contrario, a bajas frecuencias o tensin continua, los
condensadores sern como un circuito abierto,
por tanto las dos resistencias estarn en serie y, al no circular
corriente por ellas, la tensin de
entrada tambin estar presente en el terminal positivo del
operacional y a su salida. Por lo que la
tensin de salida a muy altas frecuencias ser cero y a
frecuencias muy bajas la tensin de salida
ser igual que la entrada.
Para variar la ganancia del filtro se suele poner un divisor de
tensin en el lazo de realimentacin.
La respuesta a la frecuencia se
muestra en la grfica de al
lado:
-
27
CONCLUSIONES
De la presente investigacin se puede concluir lo siguiente:
1. A pesar de que los filtros FIR son ms poderosos que los
filtros IIR, los filtros IIR tienen la
gran ventaja de que cumplen las especificaciones dadas a un
orden mucho menor que los
filtros FIR. Asimismo, los filtros FIR requieren mucho ms poder
de computacin y son ms
difciles de cambiar sobre la marcha respecto a los IIR. Dicho de
una manera ms simple, los
filtros IIR sern la mejor opcin cuando la velocidad de respuesta
sea un factor importante
y la no-linealidad de la respuesta sea aceptable. Asimismo, los
filtros IIR son
computacionalmente ms eficientes debido a que requieren menos
coeficientes (ver
seccin I.1 a I.3). Para los casos donde los coeficientes del
filtro se desven demasiado de
sus valores reales, los filtros FIR sern la eleccin ms prudente,
ya que con valores de
coeficientes muy altos los filtros IIR se vuelven inestables
debido a que son
retroalimentados.
2. El trmino alto y bajo en un filtro, que se refiere a la
frecuencia a la que corta, depende
de las caractersticas del filtro. El trmino filtro pasa-bajo se
refiere nicamente a la forma
en la que el filtro responde; un filtro pasa-alto puede ser
construido para que corte a una
frecuencia ms baja que cualquier filtro pasa-bajo. Es en sus
respuestas que ve la diferencia
entre un filtro pasa-alto y uno pasa-bajo.
3. El Roll-Off puede ocurrir tanto con un decrecimiento en la
frecuencia como con un aumento
en la misma, dependiendo de la forma de la banda del filtro en
consideracin. Por ende, un
filtro pasa-bajo experimentar un roll-off con un incremento en
la frecuencia, pero un filtro
pasa-alto o un bajo rechaza-banda de un de un filtro pasa-banda
experimentarn roll-off
con un decremento en la frecuencia.
4. Generalmente, el diseo de un filtro busca que el roll-off sea
lo ms estrecho posible,
permitiendo as que el filtro funcione lo ms cercano posible a
como dicta su diseo.
Usualmente, esto se consigue a expensas del rizo pasabanda o
rechazabanda. Asimismo, los
filtros IIR son a veces preferidos por sobre los filtros FIR
debido a que los filtros IIR pueden
conseguir una transicin mucho ms fina en la regin de atenuacin
(roll-off) que los filtros
FIR de igual orden.
5. Debido a su inherente rizo de paso de banda, aquellos filtros
Chebyshev que tienen una
respuesta ms suave en el paso de banda junto con una respuesta
ms irregular en la banda
de rechazo son preferibles.
6. Los filtros Chebyshev son utilizados para separar bandas de
frecuencias (pasa-bajos, pasa-
altos, pasa-banda o rechaza-banda). Son filtros de tipo
recursivo, los cuales tienen su origen
en la imitacin de los filtros analgicos equivalentes. Estn
diseados para tener una cada
en la zona de atenuacin (roll-off) ms rpida a costa de permitir
rizos (ripples). Es aqu
donde reside su fuerte: dado el orden (cantidad de polos) y el
ripple permitido (parmetro
), se obtiene el roll-off ptimo. El rizo podr estar presente en
el paso de banda o en el
-
28
rechace de banda, pero no en ambos, por lo que involucra un
compromiso entre el roll-off
y el rizo. Cuando mayor es el rizo permitido, ms rpido es el
roll-off. Estos filtros dan origen
a otro tipo de filtro, el cual es una especie de caso especial:
el filtro Butterworth, que no es
ms que un filtro Chebyshev de rizo nulo.
7. De entre los filtros IIR, se comparan a continuacin las
cualidades roll-off de los filtros
Butterworth, Chebyshev tipo I, Chebyshev tipo II y Elptica de
quinto orden:
Como se aprecia, el filtro Butterworth presenta un roll-off
mucho ms lento alrededor de la
frecuencia de corte que los filtros Chebyshev o el Elptico, pero
tambin se observa que el
Butterworth no curenta con rizo (ripple).
8. Los filtros de Bessel son muy parecidos a los filtros
Butterworth grficamente, aunque para
un filtro del mismo orden, la cada en la zona de atenuacin
(roll-off) es mucho menor en
un filtro Bessel que en un filtro Butterworth.
9. El diseo de filtros digitales es un tema engaosamente
complejo. A pesar de que los filtros
se comprenden y son fciles de calcular, los retos prcticos que
implican su diseo e
implementacin son significativos, por lo que este es un tema de
mucha investigacin
avanzada.
10. Los filtros FIR se encuentran usualmente en aplicaciones
donde la distorsin de la onda
debido a no linealiades en la fase son dainas. Los filtros FIR
con una fase lineal exacta
pueden ser diseados, y los mismos deben tener una respuesta al
impulso ya sea simtrica
(i.e. coeficientes palindrmicos) o puramente asimtricos. Los
filtros FIR son usualmente
vistos como estructuras no recursivas, los cuales son sistemas
estables. Sin embargo, si una
-
29
frecuencia de corte fina es requerida por la respuesta, se
requiere un elevado nmero de
coeficientes para conseguirla (usualmente > 100).
11. Con filtros IIR recursivos, se puede generalmente conseguir
una frecuencia de respuesta
deseada con un filtro de menor orden que con un filtro no
recursivo. Un filtro recursivo
tiene tanto polos como ceros, los cuales pueden ser
seleccionados por el diseador, de aqu
que hay ms parmetros libres de diseo que para un filtro no
recursivo del mismo orden
(slo se pueden variar ceros). Sin embargo, cuando los polos de
un filtro IIR se acercan al
crculo unitario, es necesario especificarlos con mucha precisin
(tpicamente entre 3 y 6
espacios decimales) si se desea evitar la inestabilidad.
12. La topologa de Sallen-Key se vuelve importante cuando una
aplicacin demanda, al mismo
tiempo, precisin en la ganancia, utilizar un filtro de ganancia
unitaria y el par de ceros y
polos (Q) es bajo (por ejemplo, Q < 3). Bajo ganancias
unitarias, un filtro Sallen-Key tiene
excelente precisin en la ganancia. Esto se debe a que el
amplificador operacional es
utilizado como un buffer de ganancia unitaria.
-
30
BIBLIOGRAFA
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Finite impulse response,
Linear phase, High-pass filter, Low-pass filter, Rectangular
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Colorado Colorado Springs, Primavera del 2014. Disponibles en
www.eas.uccs.edu/wickert
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del Dr. Vaseghi: www.dea.brunel.ac.uk/cmsp/courses/ Lecture 5:
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[4] A. Antoniou, Digital Filters: Analysis, Design and
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[6] MathWorks Documentation Center para MATLAB & Simulink
R2013b. Disponible online en la web official
de la empresa MathWorks: www.mathworks.com/help/ DSP System
Toolbox.
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Sallen-Key Architecture; Mixed Signal Products, Julio
1999 Revisado Septiembre 2002.
