ESPOCH. Riobamba. Filtros FIR e IIR

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Filtros Digitales FIR e IIR (conceptos de funcionamiento y diseño por ventanas)

Javier NarváezDarwin Gamboa

Amanda LaraVíctor Tapia

Darwin Parreño

RESUMEN: En la presente investigación trataremos de dar a conocer los filtros digitales basándonos especialmente en los filtros IIR y los filtros FIR.Además realizaremos la investigación de los diferentes métodos de diseño de filtros tomando en cuenta el más común de estos métodos como es el de ventanas. Tomando en cuenta que un filtro digital realiza una operación a una señal digitalizada, el mejor filtro será el que nos de cómo resultado la señal deseada y elimine la señal que no se quiere tener o es indeseable para nosotros.

Palabras Clave: Filtro digital.- Un filtro digital es un

sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales de entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre dicha señal.

Señal.- Una señal es un símbolo, un gesto u otro tipo que informa o avisa de algo. La señal sustituye por lo tanto a la palabra escrita o al lenguaje.

Procesador.- un circuito integrado que contiene todos los elementos de la CPU.

Digitalizar.-  Acción de convertir en digital información analógica. En otras palabras, es convertir cualquier señal de entrada continua (analógica) en una serie de valores numéricos.

1.- INTRODUCCION

Un filtro digital emplea un procesador digital que efectúa operaciones matemáticas en valores muestreados de la señal. El procesador puede ser de propósito general, tal como cualquier ordenador personal, un chip DSP (procesador digital de señales) especializado.La señal de entrada analógica debe ser muestreada y digitalizada usando un ADC(conversor analógico digital). El resultado son números binarios que representan los valores sucesivos muestreados. Estos son transferidos al procesador, el cual efectúa operaciones matemáticas en ellos .Las operaciones pueden ser desde filtros de promediado de la muestra actual con alguna de las anteriores hasta multiplicaciones por constantes de los valores de entrada o de instantes anteriores almacenados en memoria.

2 OBJETIVOS

2.2 OBJETIVO GENERAL

Realizar la investigación acerca de los dos tipos de filtros con sus respectivas características y los diferentes métodos de diseño.

2.3 OBJETIVOS ESPECIFICOS

investigar los diferentes métodos de diseño de filtros y descubrir el más común y utilizado.

Definir el porqué de la clasificación de los filtros digitales en IIR y FIR.

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Realizar la simulación de los dos tipos de filtros que estudiaremos en un programa simulador, en este caso Matlab.

3 MARCO TEORICO

Filtros IIR y FIR

1.-FILTROS FIR

Los filtros FIR (Finite Impulse Response), llamados así porque su respuesta al impulso se da en un numero finito de muestras, son filtros del tipo no recursivo, por tal motivo estos filtros al no tener retroalimentación no tienen polos, y por lo tanto siempre son estables. Estos filtros son muy utilizados en problemas de filtrado donde hay un requerimiento de característica de fase lineal en la banda de paso del filtro. Su requerimiento en cuanto a recursos es mayor y dada la mayor cantidad de operaciones estos filtros son más sensibles a errores. Estos filtros no tienen una contraparte analógica.

El filtro FIR es un tipo de filtro digital que si su entrada es un impulso, la salida será un número limitado de términos no nulos. Para obtener la salida solo se emplean valores de las entradas actuales y anteriores.

Su expresión en el dominio discreto es:

El orden del filtro esta dado por N , es decir ,el numero de coeficientes. También la salida puede ser expresada como la convolucion de una señal de entrada x[n] como un filtro h[n].

La estructura de un filtro FIR por tanto es la siguiente:

Fig#2

La cual puede ser reflejada en la aplicación de la transformada Z:

Se puede ver la misma entrada retardada cada vez más en el tiempo , multiplicada por diversos coeficientes y finalmente sumada al final. Hay muchas variaciones de esta estructura. Si tenemos una respuesta de frecuencia como objetivo, conseguiremos que la respuesta del filtro se asemeje mas a ella cuanto más largo sea o numero de coeficientes tenga.

Los filtros FIR son estables puesto que solo tienen polos , es decir , elementos en el numerador en su función de transferencia .Tienen además la ventaja que pueden diseñarse para ser de fase lineal , es decir , no introducen desfases en la señal, a diferencia de los IIR o los filtros analógicos, por este motivo tienen interés en audio.

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Sin embargo tienen el inconveniente de ser más largos al tener más coeficientes que los filtros IIR capaces de cumplir similares características. Esto requiere un mayor tiempo de cálculo que pueden dar problemas en aplicaciones de tiempo real, como estudios de grabación o conciertos en vivo.

Representación del diagrama en bloques de un filtro FIR para un total de 12 coeficientes

Fig#3

Ventajas de los filtros FIR son:

Facilidad de diseño para filtros de fase lineal

Realización eficiente en forma tanto recursiva como no recursiva

Los filtros FIR no recursivos, son siempre estables.

El ruido de redondeo puede hacerse fácilmente pequeño con realizaciones no recursivas.

Desventajas de los filtros FIR son:

Se requiere un número de puntos N alto para aproximar filtros de transición brusca.

El retardo de fase puede no ser entero.

2.-FILTROS IIR

Los filtros IIR (Infinite Impulse Response), llamados así porque su respuesta al impulso se da en un número infinito de muestras, son los

filtros que si tienen retroalimentación, es decir si tienen polos, por lo que sí hay que cuidarse de donde estén para evitar que nuestro sistema pueda volverse inestable. Estos filtros si tienen contraparte analógica, por lo tanto son un cuanto más naturales a nosotros. Como una regla general, un filtro IIR tiene lóbulos laterales más pequeños en la banda de rechazo que un FIR con el mismo número de parámetros, debido a esto, si la distorsión en fase es pequeña o no tan importante, es preferible utilizar un filtro IIR, y esto es porque su implementación requiere menos parámetros, menos memoria y menor complejidad computacional. La mayoría de las veces están diseñados extendiendo antiguos métodos para el diseño de filtros analógicos. Usualmente son diseñados en tres pasos: Primero se diseña un pasa bajos analógico que cumpla con la banda de paso, los más comunes son el butterworth, chebyshev y elípticos. El siguiente paso es transformar el filtro analógico a digital, usando por ejemplo los métodos de impulso invariante o transformación bilineal.

2.1.-Estructura del filtro IIR

Hay numerosas formas de implementar los filtros IIR. La estructura afecta a las características finales que presentará el filtro como la estabilidad. Otros parámetros a tener en cuenta a la hora de elegir una estructura es el gasto computacional que presenta.

Estructura del filtro IIR

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Fig#4

2.2.-Polos y ceros

Este tipo de filtros presenta polos y ceros que determinan la estabilidad y la causalidad del sistema. Cuando todos los ceros y polos están en el interior de la circunferencia unida se dice que es fase mínima y el sistema es estable y causal. Si todos los ceros están en el exterior es fase máxima. Si algún polo está fuera de la circunferencia unida el sistema es inestable.

2.3.-Diferencias con los filtros FIR

Las principales diferencias respecto a los filtros FIR es que los IIR puede cumplir las mismas exigencias que los anteriores pero con menos orden de filtro. Esto es importante a la hora de implementar el filtro, pues presenta una menor carga computacional.

Este tipo de filtros puede ser inestables, aún cuando se diseñen para ser estables.

En principio no pueden diseñarse para tener fase lineal pero se pueden aplicar algunas técnicas como el filtrado bidireccional para lograrlo.

3.-Ventajas y desventajas de filtros IIR y FIR.

Los filtros FIR pueden tienen una respuesta lineal en fase (no se introduce distorsión por fase en la señal), los filtros IIR tienen respuesta no lineal.

Los filtros FIR que son realizados sin recursividad son siempre estables porque no tienen polos. En los IIR esto no siempre se puede garantizar. Cuando se diseñan filtros IIR con polos cerca del círculo unitario se debe hacer con cuidado porque no es raro que al

implementar el filtro, resulte que el polo caiga fuera del círculo haciéndolo inestable.

Los filtros IIR requieren menos coeficientes, menos cálculos y son más eficientes, Los FIR requieren más procesamiento y memoria.

Los filtros analógicos pueden ser transformados en su equivalente IIR, los FIR no tienen equivalente analógico.

Los filtros FIR son más difíciles de sintetizar, en los IIR se logra más fácil la respuesta arbitraria en frecuencia.

4.-Diseño De Filtros Digitales Fir

Aunque los filtros IIR presentan características atractivas, tienen algunos inconvenientes como por ejemplo el no poder aprovechar las ventajas de la FFT en la implementación, ya que para esto es necesario un número de puntos finito.

4.1.-Técnicas de Diseño de Filtros FIR.

Hay tres métodos de diseño de filtros FIR:

Método de las Series de Fourier. Método del Muestreo en

Frecuencia. Métodos Iterativos basados en

condiciones óptimas de diseño.

4.2.-DISEÑO DE FILTROS USANDO VENTANAS

Las ventanas son funciones matemáticas usadas con frecuencia en el análisis y el procesamiento de señales para evitar las discontinuidades al principio y al final de los bloques analizados.

En procesamiento de señales, una ventana se utiliza cuando nos interesa una señal de longitud voluntariamente limitada. En efecto, una señal real tiene que ser

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de tiempo finito; además, un cálculo sólo es posible a partir de un número finito de puntos. Para observar una señal en un tiempo finito, la multiplicamos por una función ventana.

En la elección de la ventana rectangular, hay que llegar a una solución de compromiso entre dos requisitos antagónicos como son:

Elegir M de forma que W(ejw) sea lo más estrecho posible.

Elegir M de forma que la duración de w(n) se lo más corta posible.

Otra solución alternativa consiste en usar ventanas menos abruptas en sus características en el dominio temporal.

Todas estas funciones ventanas tienen lóbulos laterales más bajos comparados con la ventana rectangular, sin embrago para un mismo valor de M el ancho del lóbulo principal es también más amplio, por lo que la región de transición del filtro será más amplia. Para reducir este ancho, podemos simplemente incrementar la longitud de la ventana.

4.3.-Tipos de Ventanas :

Rectangular Hann,

Blackman ,Blackman-Harris Hamming Blackman-Nuttall Flat top Gauss Triangular Bartlett Bartlett-Hann Kaiser

La más simple es la ventana rectangular, que se define como:

Ventana Hann Blackman Blackman-Harris

La ventana rectangular

El (cero central) ventana rectangular puede ser definido por

donde   es la longitud de la ventana en las muestras (que se supone extraño por ahora). Un gráfico de la ventana rectangular aparece en la figura de longitud   . A veces es conveniente definir las ventanas para que su corriente continua es una ganancia, en cuyo caso tendría que multiplicar la anterior definición por:

Fig #6

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Para ver lo que sucede en el dominio de la frecuencia , tenemos que mirar en la TF en tiempo discreto de la ventana:

4.4.-Método del Muestreo Frecuencial

Se trata de reconstruir el espectro continuo X(F) de una señal discreta a partir de los muestreos de la función X(F). El espectro reconstruido XN(F) será igual a X(F) sólo en las frecuencias de muestreo.

Se puede considerar el DFT de la señal hN[n] de longitud N como N muestreos de su DTFT (H(F)) en F=k/N, k=0,1,...,N-1.

La respuesta a impulso hN[n] se calcula con el IDFT.

Proceso de diseño

Los muestreos deben hacerse en un periodo (0,1) de la extensión periódica de H(F).

La fase de H(F) es lineal y por tanto cada uno de los muestreos tiene una fase dada por f(k)=-pk(N-1)/N, k=1,...,N.

5.-Diseño de filtros IIR

Los filtros IIR pueden tener polos (debido a la retroalimentación) y ceros, y las técnicas de diseño difieren enteramente de las técnicas para diseño de filtros FIR. Los métodos directos de diseño se llevan a cabo en el plano complejo discreto , y los métodos indirectos empiezan en el plano análogo o continuo , para ser transformados después al plano- . Las técnicas son indirectas son las más utilizadas y por lo general entregan mejores resultados.

Entre las técnicas directas se encuentran el posicionamiento ad-hoc de polos y ceros con el subsiguiente análisis de frecuencia, análisis en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

Un filtro ideal H(Z)en su respuesta al impulso y se resuelve un sistema de ecuaciones de coeficientes de manera de minimizar el error cuadrático medio. En el dominio de la frecuencia, le objetivo es mapear una respuesta de frecuencia ideal hacia una estructura IIR.

Las técnicas indirectas implican el diseño de un filtro analógico apropiado en el plano

y luego mapear desde éste al plano discreto , usando las siguientes transformaciones:

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El logaritmo natural presenta un problema cuando se trata de mapear desde el plano

al . Una solución muy utilizada es expandir como una serie y truncar el primer elemento. Una vez hecho esto, hay dos técnicas que permiten generar la transformada : la transformada bilineal y la diferencia hacia atrás (backward difference), de la cual la más utilizada es la transformada bilineal.

Las formas habituales de diseñar este tipo de filtros son:

Indirecta (a partir de prototipos analógicos) Impulso invariante Aproximación de derivadas Transformación bilineal

Directa Aproximación de Padé Aproximación de mínimos

cuadrados

Aplicaciones de los filtros FIR e IIR

Bibliografía:

http://www.alegsa.com.ar/Dic/digitalizar.php

http://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/ingenieria-electronica/respuestas/2251319/funcionamiento-filtro-iir

http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/11375/fichero/MEMORIA%252FEstudio+filtro+iir.pdf

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