TRABAJO COLABORATIVO 2UNIDAD 2. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Presentado por:

ESGRENDY KAYHERINE FRANCO PREZ CD.: 1.117.508.629 ROSIRI MUOZ NARVEZ CD.: 1.123.209.351LIZETH FERNANDA REY PEA CD.: 1.122.128.499LUIS ALFREDO SALAS TORO CD.: 1.128.063.751

Grupo: 100402 -54

Presentado a:DBER ALBEIRO VQUIRO PLAZAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)PROBABILIDAD2014

INTRODUCCIN

En este trabajo abarcaremos y profundizaremos en los siguientes temas: Variable aleatoria discreta y continua, valor esperado y varianza, distribucin binomial, distribucin binomial negativa y geomtrica, distribucin de Poisson, distribucin hipergeometrica, distribucin uniforme discreta y uniforme continua, distribucin normal, distribucin chi cuadrado y t de student

Con lo anterior desarrollar ejercicios propuestos para la comprensin de esta unidad 2 del mdulo de probabilidad, adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden presentar a lo largo de nuestra vida as como en las carreras profesionales que nos ofrece la UNAD.

OBJETIVOS

GENERAL

Desarrollar las actividades establecidas en la gua, de igual manera realizando ejercicios para poner en prctica lo estudiado en esta unidad.

ESPECFICOS

Resolver las preguntas planteadas en cada ejercicio. Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de ellos.

ACTIVIDAD A DESARROLLAR

RESUMEN UNIDAD DOS

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

CAPITULO 4: VARIABLES ALEATORIAS

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIAUna variable aleatoria es una variable estadstica cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.En un experimento aleatorio lo que ms interesa es conocer el nmero total de veces que se obtiene un mismo resultado en un determinado nmero de ejecuciones (es decir, cuantificar) y no en cul ejecucin se obtiene un determinado resultado.VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el nmero de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).Por ejemplo, el nmero de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 5 6 individuos pero nunca 5,75 5,87. Otros ejemplos de variable discreta seran el nmero de pollos de gorrin que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos.La densidad discreta a la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome un valor numrico determinado (x). Se representa:f(x) = P[X=x]La suma de todas las densidades ser igual a 1

VARIABLE ALEATORIA CONTINUASe dice que una variable aleatoria X es continua si el nmero de valores que puede tomar estn contenidos en un intervalo (finito o infinito) de nmeros reales.Ejemplos: Resultado de un generador de nmeros aleatorios entre 0 y 1. Estatura de una persona elegida al azar en una poblacin.

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

El valor esperado (media o esperanza matemtica) de una variable aleatoria discreta X es una medida de posicin para la distribucin de X.

Se simboliza con y

La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersin de la distribucin de probabilidad de sta.

TEOREMA DE CHBYSHEV

La desigualdad de Chbyshev determina los lmites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad.

CAPITULO 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

DISTRIBUCIN UNIFORME DISCRETA

La variable aleatoria discreta ms sencilla es aquella que toma slo un nmero finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad.

DISTRIBUCIN BINOMIAL

Sus dos resultados posibles son denotados por xito y fracaso y se define por p la probabilidad de un xito y 1-p la probabilidad de un fracaso.

DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMTRICA

Distribucin Binomial Negativa

En la distribucin geomtrica, la variable aleatoria estaba definida como el nmero de ensayos Bernoulli necesarios para obtener el primer xito.

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Sea N el nmero de elementos de un conjunto de los cuales k son determinados como xitos y N k como fallas, se trata ahora de determinar la probabilidad de x xitos en n ensayos de los N elementos del conjunto donde k N y n N.

DISTRIBUCIN POISSON

Un proceso Poisson constituye un mecanismo fsico aleatorio en el cual los eventos ocurren al azar en una escala de tiempo.

CAPITULO 6: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA

DISTRIBUCIN UNIFORME

Se dice que una variable X posee una distribucin uniforme en el intervalo [a, b].

DISTRIBUCIN NORMAL Y USO DE LA DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

Esta distribucin de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribucin

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL Y CHI CUADRADO

Existe la variable aleatoria la cual es definida como el tiempo que ocurre entre un instante dado hasta que ocurre el primer suceso.

CHI CUADRADO.

Es una distribucin cuadrtica de la probabilidad que utiliza bsicamente variables aleatorias continuas. La Distribucin Chi Cuadrado de la probabilidad se denota mediante la letra griega minscula ji elevada al cuadrado (2), y consiste en establecer un espacio continuo delimitado por la suma de los cuadrados de n variables aleatorias que son independientes entre s, espacio dentro del cual la variable X puede asumir cualquiera de los infinitos valores que lo conforman, y por tanto para establecer el valor aproximado de una variable X dentro de ese espacio se procede a incluir una estimacin de sus posibles lmites que estn dados por los distintos Grados de Libertad que pueden existir entre las variables aleatorias analizadas que dan origen al referido espacio. En otras palabras, la Distribucin Chi Cuadrado en un delimitado espacio conjuga un determinado nmero de variables aleatorias independientes entre s, con unos valores de probabilidad ubicados entre 1 y 0 que son atribuibles a esas variables, y con unos lmites de la probabilidad para el verdadero valor de X delimitados por los Grados de Libertad atribuibles a las variables aleatorias analizadas.

DISTRIBUCIN t- STUDENT

La distribucin de t- Student tiene propiedades parecidas a:

Es de media cero, y simtrica con respecto a la misma; Es algo ms dispersa que la normal, pero la varianza decrece hasta 1 cuando el nmero de grados de libertad aumenta

EJERCICIOS

CAPTULO 4.

1. Un inspector de aduanas decide revisar 2 de 6 embarques provenientes de Madrid por la va area. Si la seleccin es aleatoria y 3 de los embarques contienen contrabando; Encuentre la distribucin de probabilidad para Y, donde Y es la variable aleatoria que representa el nmero de embarques que el inspector podra encontrar con contrabando. Encuentre el valor esperado.

Solucin:

Numeramos los embarques del 1 al 6, sean el 1,2 y 3 los que tienen droga y 4,5 y 6 los que no tienen droga.

Las combinaciones posibles de inspeccin son:

Las que no tienen ningn embarque con droga son las combinaciones de 4,5 y 6.

Las que tienen dos embarques con droga son las de 1,2 y 3.

Las que tienen un embarque con droga las podemos calcular como el resto.

O podemos calcularlas como uno cualquiera de 1, 2,3 con otro de 4, 5,6, que sera

Luego la distribucin de probabilidad de Y es:

Y el valor esperado es:

3. En una lotera se venden 200 boletos, de los cuales uno gana $500.000, 2 son ganadores de $100.000, siete son ganadores de $50.000, cinco son ganadores de $20.000 y cincuenta de $5.000. Sea X la variable aleatoria que representa la ganancia del jugador, Determinar la funcin de probabilidad y el valor esperado del juego.

Solucin:

Funcin de probabilidad f(x)

P(X=500.000) = 1/200P(X=100.000) =2/200 = 1/100P(X=50.000) = 7/200P(X=20.000) = 5/200 = 1/40P(X=5.000) = 50/200 =

Valor esperado E(x)

F(X) = 1/200, X =500.000F(X) 1/100, X = 100.000F(X) 7/200, X = 50.000F(X) 1/40, X = 20.000F(X) 1/4 X = 5.000

5. Suponga que un comerciante de joyera antigua est interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una prdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cul es la ganancia esperada del comerciante?

Solucin:

La ganancia esperada por el comerciante debe ser:

El comerciante espera una ganancia de $70.

6. Una variable aleatoria X representa el nmero de arrestos que puede tener un adolescente que ha presentado problemas judiciales. Si la funcin de probabilidad de la variable aleatoria est representada en la siguiente tabla. Cul es el valor esperado de esta variable?

X123456

F(x)0.010.500.220.150.100.02

Solucin:

x = E (X) = (1*0.01) + (2*0.50) + (3*0.22) + (4*0.15) + (5*0.10) + (6*0.22) = 0.01 + 1 + 0.66 + 0.6 + 0.5 + 0.12 = 2.89

7. Alumnos es de 164 cm., cul es su varianza ?

Solucin:

Siendo 24 / 200 = 0'12 , sabemos que el 12% de los alumnos tienen estaturas inferiores a 150.Consultando las tablas de la distribucin normal tipificada, obtenemos el valor z que deja a su izquierda un rea 0'12.

Dicho valor es: z = -1'175

(Para z = -1'17 encontramos 0'12100 y para z = -1'18 encontramos 0'11900).

CAPTULO 5

1. En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegir un representante de grupo, para lo cual se usar el nmero de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con nmeros del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el nmero que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el nmero sea mayor que 3 pero menor que 7.

Solucin:

Ahora la probabilidad de que el nmero sea mayor que 3 pero menor que 7 es:

2. Segn datos de la secretaria de movilidad, el 23% de los conductores de buses urbanos manejan con imprudencia. Calcule la probabilidad de que cuatro de los prximos 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia.

Solucin:

Distribucin binomial p igual a 0,77 q igual a 0,23 n igual a 10

P (X igual a 4) = 0.0109

3. Al revisar un autobs de turistas, un agente de migracin sabe que el 80% de los ocupantes son extranjeros. Cul es la probabilidad de que el noveno turista al azar sea el sexto extranjero que entrevista?

Solucin:

5. Segn datos de la secretaria de movilidad, el 23% de los conductores de buses urbanos manejan con imprudencia. Calcule la probabilidad de que cuatro de los prximos 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia.

Solucin:

9. La gerencia de recursos humanos de un peridico sabe que al acudir a cierta escuela a reclutar editores tendr xito con una probabilidad de 0,15. Determine la probabilidad de que la primera contratacin ocurra en la quinta entrevista.

Solucin

P(X = x) =(0.85)x1(0.15)P(X = 5) =dgeom(5, prob = 0.15) = 0.0665558

10. Las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con medios 15 puntos. La puntuacin A ha sido superada por un 23% de los alumnos. La puntuacin B est situada a 5 puntos diferenciales por debajo de la media. Entre B y la media se encuentra el 30% de los alumnos. Calcular:

a) La desviacin tpica de las notas.b) Las puntuaciones directas de A y B.

Solucin:

a) La puntacin B=10, deja a su izquierda un rea 020. Consultando las tablas obtenemos un valor z = -084. De aqu:

b) La puntacin A, deja a su izquierda un rea 077 (1-023).Consultando las tablas obtenemos un valor z = 074. De aqu:

c) Observando la figura resulta un rea 057 (030+027); es decir, el 57%.

CAPTULO 6

1. La duracin de un tanque lleno de gasolina, para cierto automvil de modelo anticuado, tiene una distribucin normal con una media de 350.6 Km y una desviacin estndar de 15.9 km. Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure ms de 360 Km? Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure entre 355 y 365 Km?

Solucin: La variable es una N (350.6, 15.9). Para poder buscar las probabilidades en una tabla N (0,1) usaremos la variable

Z = (X-350.6) / 15.9P(X > 360) = 1 - P(X < 360) =1 P [Z < (360-350.6)/15.9] =1 P (Z < 0.5911949686) =Tabla (0.59) = 0.7224Tabla (0.60) = 0.7257Valor para (0.5911949686) = 0.7224 + 0.11949686 (0.7257-0.7224) = 0.72279433961 - 0.7227943396 = 0.2772056604P (355 < X < 365) =P(X