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Alf Melmac, 12/12/2014
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Alf Melmac, 12/12/2014
Problema 1
Se plantea el siguiente problema de condiciones de contornoy(x)
+ y(x) = 0y(0) = 1y(pi2 ) = 0
Discretizamos el intervaloI =
[0, pi2
] xn = n
pi2N
n {0, 1, . . . , N}Para discretizar a orden 2 utilizamos
y(xn) uny(xn) un+1 un12xy un1 2un + un+1x2x =
pi/2
N
Reemplazando en la ecuacin se obtiene
Sistema{ un1 2un + un+1
x2 + un = 0 n {1, 2, . . . , N}
C.C.{u0 = 1uN = 0
Pasox =pi/2
N
Se puede reescribir el sistema en forma matricial si se lo
reacomoda un poco{un1 + un
(x2 2)+ un+1 = 0 n {1, 2, . . . , N 1}
x2 2 1 0 0 . . .
1 x2 2 1 0 . . ....
......
... . . .0 0 0 0 . . . 1 x2 2
u1...uN1
=10...0
Realizando las cuentas se obtienen los resultados de las figuras
siguientes. Vemos que con mayor cantidad de nodosla solucin se
aproxima mejor a la verdadera solucin del sistema.
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Figura 1: Resolucin del ejercicio 1 utilizando 5 nodos (N =
4).
Figura 2: Solucin del ejercicio 1 utilizando 20 nodos (N =
19).
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Problema 2
Resolverdu
dt+ u2 = 0 u(0) = 1
utilizando
un+ 23 = un 23hf(un, tn)
un+1 = un h4[f(un, tn) + 3f(un+ 23 , tn +
23h)
]f
def= dudt
Entonces f = u2. Entoncesun+ 23 = un
23hu
2n
un+1 = un h4[u2n + 3u2n+ 23
] un+1 = un h4[u2n + 3
(u2n +
49h
2u4n 43hu
3n
)]
finalmenteun+1 = u4n
(h3
3
)+ u3n
(h2)
+ u2n (h) + un
Si esto es el ejercicio, me parece una ganzada... Esto igual me
hace dudar de que me est equivocando en algo.En las figuras
siguientes se observan los resultados obtenidos con cada paso
pedido en la consigna.
Figura 3: Resultado del ejercicio 2 con paso h = 0,1.
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Alf Melmac, 12/12/2014
Figura 4: Resultado del ejercicio 2 con paso h = 0,2.
Para determinar el orden de precisin del mtodo hacemos
p =ln(err2err1
)ln(h2h1
)entonces
p 2,11La extrapolacin de Richardson es
uRichardn = u(h1)n +u(h1)n u(qh1)nqp 1
donde h2 = qh1 por lo que q = 2. Lo que resta es hacer
cuentitas... Se obtiene{u(h=0,1)t=0,6 = 0,66907u(h=0,2)t=0,6 =
0,63658
por lo que {uRichardt=0,6 = 0,6799u(t = 0,6) = 0,625 Este es el
posta
Pareciera que Richardson empeor en este caso... Ni idea.
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