Prova Final dElectrodina`mica: ProblemesPrimavera 2012-2013

Contesteu cada problema en un full diferent. Cada full ha de tenir: noms, cognoms, DNI i el vostre grup.

P.1) Una partcula amb ca`rrega q es mou amb velocitat constant v respecte un sistemade refere`ncia inercial. Els camps ele`ctric i magne`tic corresponents son

~E(~r, t) =q ~R

R31 2

(1 2 sin2 )3/2

~B(~r, t) = ~ ~Eon ~R = ~r ~vt i es langle entre la direccio de vol de la partcula i ~R.(a) Comproveu que el camp ele`ctric obeeix la llei de Gauss en forma integral.

(ajuda: dx

(1+ax2)3/2= x

1+ax2+ C).

(b) Calculeu el vector de Poynting corresponent a aquests camps.

(c) Quant val el flux denergia que travessa una esfera de radi d centrada a la posicioactual de la partcula?

P.2) A una regio de lespai tenim camps Ey = Bz constants i uniformes. Sigui unapartcula puntual carregada inicialment en repo`s.

(a) Escriviu les equacions de moviment de la partcula.

(Ajuda: pot ser util definir T mcqEy

).

(b) Trobeu dues integrals del moviment. En particular, demostreu que el movimentde la partcula te lloc a un pla.

(c) Feu servir els resultats dels apartats anteriors per demostrar que quan t,(t) atb

per certes constants a, b. Trobeu quant valen aquestes constants.

(Ajuda:dx x

x1 =23(x+ 2)

x 1 + C).

(d) Calculeu la pote`ncia radiada per la partcula.

Transformacions de coordenades i de velocitats en C.E.

ct = (ct vcx) u = uv

(1 ~u~v

c2

)x = (x v

cct) ux

= u

xv1ux v

c2

y = y uy

= uy

(1ux vc2

)

z = z uz

= uz

(1ux vc2

)

= 112 =

2 1

Interval s2 = c2(t)2 (x)2 (y)2 (z)2

Efecte Doppler R = (1 ~n ~)E Aberracio sin = sin(1 cos)Quadrimoments U = (c, ~v) P = mU P 2 = m2c2 E = cP 0

Tensor de Faraday F = A A A = (, ~A)Ei = F 0i F ij = ijkBk

4-corrent J = (c,~)

Equacions de Maxwell F = 4pi

cJ F = 0

Forca de Lorentz dP

d= q

cF U

dEdt

= q ~E ~v d~Pdt

= q( ~E + ~ ~B)

Invariants ~E2 ~B2 ~E ~B

Transformacions dels camps ~E, ~B en C.E.

E x = Ex Bx = Bx

E y = (Ey Bz) By = (By + Ez)

E z = = (Ez + By) Bz = (Bz Ey)

Pote`ncia radiada P = 2q23c3

dU

ddUd

P.1) (a) Per verificar que sobeeix el teorema de Gauss, integrem el camp ele`ctric sobreuna esfera centrada a la posicio actual de la partcula,

~E d(2)~s = q(1 2) 2pi0

d pi0d

sin

(1 2 sin2 )3/2

Per a avaluar la darrera integral, fem el canvi x = cos , pi0d

sin

(1 2 sin2 )3/2 = 11

dx

(1 2 + 2x2)3/2 =2

1 2

amb el que ~E d(2)~s = q(1 2)2pi 2

1 2 = 4piq

(b) El vector de Poynting es

~S =c

4pi~E ~B = c

4pi

(~E2~ ( ~E ~) ~E

)

~S =c

4pi

q2(1 2)2R4(1 2 sin2 )3

[~ (~ R)R

]on R = ~R/R.

(c) Esperem que una partcula carregada que es mou a velocitat constant no emetiun flux net denergia. Anem a argumentar-ho en detall: per calcular el fluxdenergia, hem dintegrar el vector de Poynting sobre una esfera centrada a laposicio actual de la partcula. A mes, per definicio, el vector de Poynting esperpendicular a ~E.

En aquest cas particular duna partcula amb velocitat constant, lenunciat ensdiu que ~E es parallel a ~R, i per tant al vector normal a la superfcie dintegracio,d~s. Aleshores, tenim que ~S d~s = 0, i el flux net denergia es zero.

P.2) (a) Definim T mc/qEy. Escrivim lequacio de la forca de Lorentz en componentsd

dt=yT

d(x)

dt=yT

d(y)

dt=

1 xT

d(z)

dt= 0

(b) Per trobar integrals del moviment, cerquem quantitats tals que la seva derivadarespecte t sigui zero. De la primera menys la segona equacio, i de la quartaequacio tenim que

d((1 x))dt

= 0d(z)

dt= 0

Ara fem servir les condicions inicials per concloure que

(1 x) = 1 z = 0

En particular, com que z = 0, el moviment de la partcula te lloc al pla x-y.

(c) Volem trobar una equacio del moviment per . La primera component delequacio de la forca de Lorentz, a lapartat (a) involucra tambe y. Faremservir la primera integral de moviment que hem trobat a lapartat (b) per es-criure y en termes de .

(1x) = 1 (1x)2 = (12x2y) 2y = 2x(1x) y =

2

1

Lequacio per queda

d 1 =

2

Tdt 2

3( + 2)

1 =

2

Tt

Daquest resultat podem concloure que

limt (t) =

(3t2T

)2/3

(d) En general, la pote`ncia radiada la podem escriure com

P =2q22

3m2c3

[(q ~E ~)2 + q2( ~E + ~ ~B)2

]Aquesta expressio es general. Ara podem aprofitar el fet que en prese`ncia decamps constants i uniformes, la pote`ncia radiada es constant. Aleshores, lapodem calcular a qualsevol instant, e.g. a linstant inicial quan ~v = 0 i = 1,

P =2q4E2

3m2c3