Finale

Teorija plastinosti i viskoelastinosti imun Svilii

1

Sadraj:

Sadraj: ........................................................................................................................................ 1

1. Zadatak .................................................................................................................................... 3

1.1. Analiza konstrukcije u elastinom podruju 0 TF F ............................................. 4

1.2. Analiza konstrukcije u elasto-plastinom podruju T grF F F ................................ 7

1.3. Analiza pomaka C ............................................................................................................ 7

1.3.1. Elastino podruje 0 TF F .............................................................................. 8

1.3.2. Elasto-plastino podruje T grF F F ................................................................ 8

1.4. Rastereenje iz elasto-plastinog podruja ....................................................................... 9

1.4.1. Zaostala naprezanja ................................................................................................. 10

1.4.2. Zaostali pomak ........................................................................................................ 11

2. Zadatak .................................................................................................................................. 12

2.1. Elastino podruje .......................................................................................................... 14

2.2. Plastino podruje ........................................................................................................... 15

3. Zadatak .................................................................................................................................. 19

4. Prilog ..................................................................................................................................... 22


2

Popis slika:

Slika 1.1. tap osloboen veza i dijagrami unutarnjih sila ............................................................. 3 Slika 1.2. Elastino-idealno plastian materijal .............................................................................. 3 Slika 1.3.tap sa ucrtanim reakcijskim silama ................................................................................ 4 Slika 1.4. Metoda presjeka .............................................................................................................. 5 Slika 1.5 Dijagram normalnih sila .................................................................................................. 6

Slika 1.6.Ovisnost pomaka presjeka C o optereenju tapa ............................................................ 9 Slika 1.7 Rastereenje elasto-plastino deformiranog tapa ........................................................ 11 Slika 2.1. Prikaz optereenja ......................................................................................................... 12 Slika 2.2. Uvjeti ravnotee ............................................................................................................ 12 Slika 2.3. Prikaz momenata savijanja ............................................................................................ 13

Slika 2.4. Elastina linija nosaa u elastinome podruju ............................................................. 13 Slika 2.5. Varijanta 1 ..................................................................................................................... 15

Slika 2.6. Varijanta 2 ..................................................................................................................... 16

Slika 2.7. Varijanta 3 ..................................................................................................................... 16

Slika 2.8. Varijanta 4 ..................................................................................................................... 17

Slika 2.8. Varijanta 5 ..................................................................................................................... 18

Slika 3.1. Zadatak 3 ..................................................................................................................... 19


3

1. ZADATAK:

Izvriti analizu naprezanja i deformacija statiki neodreenog tapa prema slici.tap ima konstantnu povrinu poprenog presjeka A, dok je materijal tapa elastino-idealno plastian.Potrebno je takoer izvriti analizu pomaka toke C te analizirati proces rasteredenja deformiranog tapa iz elasto-plastinog stanja.

Zadano: : 0 F Fgr, l,A,E, T.

Slika 1.1. tap od elastino-idealno plastinog materijala optereen koncentriranim silama F i

2F

Slika 1.2 . Elastino-idealno plastian materijal

T

T


4

Fx =0

-RA RB +2F+F=0 (1)

Poto imamo jednu jednadbu a dvije nepoznanice zadatak je jedanput statiki neodreen.

Uvjet deformacije:

UB =0 , RA = 0

2

+

2

3

= 0 (2)

4

=

3

RB =

4

3 F RA =

5

3 F (3) - prvo de se plastificirati dio 1

1.1 Analiza u elastinom podruju (0 )

Slika 1.3. Ucrtane reakcijske sile


5

Prema slici 1.2. dobivamo jednadbe za raunanje unutarnjih sila koje glase

RA N1 = 0

Fx = 0 RA - N2 -2F = 0 (4)

RA -2F - F- N3 =0

Uvrtavanjem izraza sada lako moemo izraunati unutarnje sile koje iznose:

N1 = RA = 5

3 F

N2 = RA -2F = - 1

3 F (5)

N3 = RA -3F = - 4

3 F

Slika 1.4 Metoda presjeka


6

Uvjet teenja:

Uvjet teenja je i T i nakon uvrtavanja unutarnjih sila u izraz za raunanje naprezanja

aksijalno optereenog tapa dobivamo:

1 =5

3

1

=

2 =1

3

2

= (6)

3 =4

3

3

=

Iz izraza (6) vidljivo je najvee naprezanje u dijelu tapa A-C te da je 1TF najmanja sila kod koje

dolazi do granice teenja, odnosno da e se dio tapa A-C prvi plastificirati Sila TF iznosi:

FT1 =FT =

3

5 A (7)

Slika 1.5. Dijagram normalnih sila

,,N


7

1.2 Analiza konstrukcije u elasto-plastinom podruju

T grF F F

Nakon plastifikacije dijela tapa A-C sila u tom dijelu tapa ostaje konstantna i sustav postaje

statiki odreen, pa uvjet deformacije vie nije potreban kao dodatna jednadba.

Prvom sljedeom plastifikacijom nastaje kolaps konstrukcije pa se sila kod koje se to dogaa

zove grF , granina sila.

Kako je sila u plastificiranom dijelu tapu konstantna, moemo pisati

N1 =RA = T A (8)

Nakon uvrtavanja izraza (8) u izraz (9) , unutarnje sile u elasto-plastinom podruju iznose:

N1 = T A

N2 = T A -2F (9)

N3= T A -3F

I nakon uvrtavanja izraza (9) u uvjet teenja, za dio C-D i D-B

2 = 2

=

22

T = T (10)

3 = 3

=

33

T =

T

Vidljivo je da je 3 2

gr grF F to znai da e se sljedee plastificirati dio tapa D-B. Granina

sila iznosi

Fgr3

=Fgr = 2

3 T A (11)


8

1.3 Analiza pomaka presjeka C

1.3.1Elastino podruje 0 TF F

U elastinom podruju vrijedi izraz za raunanje pomaka aksijalno optereenog tapa koji

glasi:

uc = 1

=

5

3 (12)

Pri granici teenja, odnosno sili TF pomak poprima vrijednost

C T

lu

E (13)

1.3.2 Elasto-plastino podruje T grF F F

U elasto-plastinom podruju vie ne vrijedi linearna veza za dio tapa A-C pa se pomak

rauna po izrazu:

uc = -l2 -l3 = 2

3

(14)

uc =

(5 2 T A )

Pri graninoj sili Fgr pomak iznosi:

2C T

lu

E (15)


9

1.2 Rastereenje iz elasto-plastinog podruja

Rastereenje je elastian proces nakon kojeg nam kao rezultat ostaju zaostala naprezanja i

zaostali pomaci u tapu.

Rastereenje e se modelirati kao sile 'F suprotnog smjera od zadanih sila F koje rastu od 0

do vrijednosti *F , *T grF F F

Vrijednost *F uzimamo kao aritmetiku sredinu i ona iznosi

*F = +

2=

19

30 T A

F

uc 0 N

F

gr=

T

A

Slika 1.6 . Ovisnost pomaka presjeka C o optereenju tapa F

K

L

M S

F= Fgr =const.

Uc.gr =2 T

UcT = T

Uc =7

6 T

Uc.zaost. =1

9 T

F* =

0.6

33

T

A

0.6

Typ

e eq

uat

ion

her

e.

T

A

F T=0

.6

T A

rasteredenje

Uc =19

18 T


10

Uvrtavajui F=F' u izraze (5) za raunanje unutarnje sile u elastinom podruju, dobivamo

izraze za unutarnje sile zbog djelovanja F' :

N1' =

5

3 F

'

N2' =

1

3 F

' (17)

N1' =

4

3 F

'

Pri konanoj vrijednosti ' *F F poprimaju vrijednosti:

N1' (F

* ) =

19

18 T A

N2' (F

* ) =

19

90 T A (18)

N3' (F

* ) =

38

45 T A

1.4.1 Zaostala naprezanja

Zaostala naprezanja, odnosno zaostale unutarnje sile dobivamo iz izraza

Ni,zaostalo =Ni + N'i rastereenja pri emu N

'i rastereenja dobivamo uvrtavanjem *F F u (5)

N1,zaostalo = T A 19

18 T A =

1

18 T A

N2,zaostalo = (T A 19

15 T A ) +

19

90 T A =

1

18 T A (19)

N3,zaostalo = (T A 19

10 T A )+

38

45 T A =

1

18 T A


11

1.4.2 Zaostali pomak

Elastini pomak pri sili F' =F* dobivamo uvrtavanjem izraza za unutarnje sile pri sili

F' =F

* (18) uizraz za pomak u elastinom podruju (12)

uc ' (F

*) =

5

3 =

19

18 T

(20)

Pomak u elasto-plastinom stanju pri sili *F F dobivamo iz izraza (14)

uc (F*) =

7

6 T

(21)

Zaostali pomak dobivamo superpozicijom gore izraunatih pomaka

uc ,zaostali = uc (F*) + uc

' (F

*) =

1

9 T

(22)

Slika 1.7. Rastereenje elasto-plastino deformiranog tapa


12

2. ZADATAK:

Za okvirni nosa zadan i optereden prema slici 9., potrebno je: a) skicirati i kotirati dijagram momenata savijanja i elastinu liniju u elastinom stanju, b) Izvriti analizu ponaanja konstrukcije u graninom plastinom stanju te odrediti

granino opteredenje konstrukcije.

Zadano: : 0 F Fgr, a, EI=konst.,T.

Slika 2.1. Prikaz optereenja

Slika 2.2. Uvjeti ravnotee

2

2F Mx2

Mx1

Mx3

Mx4


13

Slika 2.3 .Dijagram momenata savijanja

Slika 2.4. Prikaz elastine linije


14

2.1 Analiza u elastinom podruju Prema uvjetima ravnotee na slici 10.:

Fx 0 F Ax Bx 0 (1)

Fy 0 A y By 2F 0 (2) M A 0 M A M B 2Fa 2F 3a 6a By 0 (3)

Primjena teorema o minimumu energije deformiranja:

= 0

= 0

= 0 (4)

U 1

2 ( M x1

2 dx1 M x 2

2 dx2 M x 3

2 dx3 M x 4

2dx4 ) (5)

M x1 Ax x1 M A M x 2 Ax 2a Ay x2 M A (6) M x 3 Ax 2a Ay (3a x3 ) M A 2F x3 M x 4 Ax (2a x4 ) Ay 6a M A F x4 2F 3a

Nakon provedenih integracija i sreivanja dobivaju se sljedede jednadbe:

1.8325Ax a + 3 Ay a MA = 1.79125 Fa Ax = -0.46382 F

1.6 Ax a + 4.8 Ay a MA = 3.5 Fa A y = 0.888 F (10)

-1.23 Ax a - 2.307Ay a + MA + 1.4615Fa= 0 Ma = 0.0258 Fa

(10) primijeniti u (1), (2), i (3):

Bx = 1.46382 Fa

By = 1,11 Fa

MB = 1.307 Fa


15

2.2 Analiza u plastinom podruju

Okvirni nosa je tri puta statiki neodreen, dakle, treba postojati 3+1=4 plastina

zgloba da bi prela u mehanizam. Plastini zglobovi mogu se pojaviti u presjecima u kojima moment savijanja ima ekstremnu vrijednost. 1.varijanta: plastini zglob u A, B, C i D

Slika 2.5. Varijanta 1

prema teoremu virtualnih radova:

W(e) = Fgr uc = Fgr 2a

j

U(i) = -Mgr (++0+0++)= -4 Mgr

k

W(e) + U(i) = 0

j k

Fgr 2a -4 Mgr = 0

Fgr = 2 Mgr

2

Kinematika veza:

2a + 6a - 2a = 6a / :2a

=


16

2.varijanta: plastini zglob u A, B, D i E

Slika 2.6 . Varijanta 2

prema teoremu virtualnih radova:

We Fgr uc 2 Fgr wc Fgr 2 a Fgr Fgr a

U i M gr ( ++) = -6 Mgr

3.varijanta: plastini zglob u A, B, C i E


2

Fgr=6

8Mgr

2


17

T.V.R. We Fgr 2a 3Fgr 3a 7Fgr a

ta varijanta nije moguda jer je virtualni rad vansjkih sila negativan

4.varijanta: Ponekad moe dodi do poputanja konstrukcije i pri manjem broju plastinih zglobova od minimalno potrebnih (n+1)


We =3 Fgr Fgr

U i 4M gr

2

Fgr =4

9


18

5.varijanta: plastini zglobovi u A, B, C i E


We = - Fgr +2 Fgr Fgr

U i 6M gr

Do sloma okvirnoga nosaa dodi de po varijanti 4. jer ona daje najniu vrijednost graninog

opteredenja.

2

Fgr =6

5


19

3.Zadatak:

Na tap od viskoelastinog materijala narinuta je tijekom vremena t rastua deformacija

prema izrazu = = 0 + 10ln(10 + 1).

Odredite promjenu naprezanja u tapu tijekom vremena = (), ako je modul relaksacije

viskoelastinog materijala od kojeg je izraen tap dan sljedeim izrazom

= 0 +

2

=1

Zadano: 0, 0, 1, 2, 1, 2 .

Slika 3.1. optereeni viskoelastini tap

= 0 +

2

=1

= 0 + 1

1 + 2

2 (1)


20

Nasljedni integrali,formula 10.132, str 575. (Aflirevi: Uvod u tenzore i mehaniku

kontinuuma):

= 0 + ( )

0

= (0) +

(2)

0

= 0 + 10 ln 10 + 1 (3)

= 0 + 10 ln 10 + 1 (4)

E(0) = E0 + E1 + E2 (4*)

=

0 + 1

( )1 + 2

( )

2

( )

=

1

( )1

1

2

( )2

2 (5)

Jednadbe (5), (4),(4*) i (3) uvrtavamo u nasljedni integral (2):

= (0 + 10 ln 10 + 1 ) 0

+ 0 + 10ln(10 + 1 )

1

( )1

1

2

( )2

2

0

Pojednostavljenjem u programu Mathcad dobivamo sljedei izraz:

= (0 + 10 ln 10 + 1 ) (E0 + E1 + E2) + 0

10 ln 10 + 1 2 + 2 1

1 2

2 (6)


21

Uvrtavanjem izraza (1) u (6) dobivamo:

= 0 + 10 ln 10 + 1 0 + 1 + 2 10 ln 10 + 1 (2 + 2 1

1 2

2 )


22

Prilog 2.zadatak -jednadbe napisane u MathCad-u

f x( ) A x M M g x( )Af x( )

d

dx

0

2a

xf x( ) g x( )

d8 A a

3

32 M a

2

f1 x( ) A 2 a B x M M

g2 x( )Af1 x( )

d

d2 ax

0

3a

xf1 x( ) g2 x( )

d 3 a2

4 A a 2 M 3 B a( )

f2 x( ) A 2 a B 3a x( ) M 2F x M

g3 x( )Af2 x( )

d

d2 ax

0

3a

xf2 x( ) g3 x( )

d 12A a3

27 B a3

18 F a3

6 M a2

f3 x( ) A 2a x( ) B6 a M F x 6Fa M

g4 x( )Af3 x( )

d

d2 a xx

0

2a

xf3 x( ) g4 x( )

d2 a

2 4 A a 3 M 18 Fa 18 B a 2 F a( )

3

1)

=


23

g x( )Bf x( )

d

d0

f x( ) A x M M

0

2a

xf x( ) g x( )

d 0

f1 x( ) A 2 a B x M a

g2 x( )Bf1 x( )

d

dx

0

3a

xf1 x( ) g2 x( )

d9 a

2 2 A a M 2 B a( )

2

f2 x( ) A 2 a B 3a x( ) M 2F x a

g3 x( )Bf2 x( )

d

d3 a xx

0

3a

xf2 x( ) g3 x( )

d 27A a3

63 B a3

45 F a3

27M a

2

2

f3 x( ) A 2a x( ) B6 a M F x 6Fa a

g4 x( )Bf3 x( )

d

d6 ax

2)

=


24

f x( ) A x M M g x( )Mf x( )

d

d1

0

2a

xf x( ) g x( )

d 2 a M A a( )

f1 x( ) A 2 a B x M a

g2 x( )Mf1 x( )

d

d1

0

3a

xf1 x( ) g2 x( )

d 3 M a9 B a

2

2 6 A a

2

f2 x( ) A 2 a B 3a x( ) M 2F x a

g3 x( )Mf2 x( )

d

d1

0

3a

xf2 x( ) g3 x( )

d3 a 2 M 4 A a 9 B a 6 F a( )

2

f3 x( ) A 2a x( ) B6 a M F x 6Fa a

0

2a

xf3 x( ) g4 x( )

d 2 a A a M 6 Fa 6 B a F a( )

g4 x( )Mf3 x( )

d

d1

)

=


25

Slika . Dijagrami porepnih sila

Slika . Elastina linija nosaa u elastinome podruju


26

Slika. Dijagram momenata savijanja


27

Dokaz jednakosti kuteva pomou kinematikih relacija

Uz pretpostavku o malim pomacima, vrijedit de:

0 pa prema tome: 1, , = 1, 2, 3,4.

1.Varijanta

2.Varijanta i analogna varijanta 5

2

Kinematika veza:

x-os nosa se giba kao kruto tijelo

2a + 6a - 2a 1= 6a / :2a ili wc = wd

= 1 2a = 2a 1

1

1

2

1

2

3

4

4


28

Kinematika veza:

x-os z-os

2a 1+ 3acos2 + 3acos 3 - 2a 4 = 6a 2acos 1+ 3a2 - 3a3 + 2acos4 = 4a

2a 1+ 3a + 3a - 2a 4 = 6a 2a + 3a 2 + 3a 3 - 2a = 4a

1 = 4 2 = 3

Nosa se giba kao kruto tijelo te zbog pravoga kuta pretpostavljamo:

1 = 2 te iz toga slijedi 1 = 2 =3 = 4 =

3.Varijanta

2

1

2

3

4

Prema slici trokuta vidimo da se toka D vri samo horizontalni pomak jer pretpostavljamo male pomake.

Po x-osi Po z-osi ili jednostavnije pomak toke E

2a 1+ 3acos2 +3acos3 - 2a 4 = 6a 3 2 =3a3

2a 1+ 3a + 3a - 2a 4 = 6a

1 = 4 2 = 3

Pomak krutog tijela 3 = 4

1 = 2 = 3 = 4 =


29

4.Varijanta

Jednakost kuteva mogla se pretpostaviti iz simetrije nosaa iako nosa nije strogo

simetrian zbog djelovanja sile samo na lijevoj strani.

1

2

2

z-os ili pomak toke E

3a 1 - 3a 2 = 0

1 = 2 =


30

Literatura:

1. prof.dr.sc D.Pustaic, I. Cukor. Teorija plasticnosti i viskoelasticnosti - Saetak predavanja. Zagreb : an., 2009.

2. I.Alfirevic, prof.dr.sc.: Uvod u tenzore i mehaniku kontinuuma. Zagreb, 2009.

4. Kraut, Bojan. Strojarski prirucnik. 1967.

5.PTC: Mathcad Prime 14

6. Multiframe4D.

7. Solidworks

Documents

Finale