Finanças Empresariais

Traando sua Situao Patrimonial

Finanas EmpresariaisProfa. Ms. Renata Ferreira

Traando sua Situao Patrimonial 2 Universidade Anhembi Morumbi


1. Introduo

Bem vindo ao curso de Finanas Empresariais!! O objetivo deste curso aprofundar os

conceitos de gesto em finanas, fornecendo ferramentas para as duas principais questes

que um administrador financeiro se depara no longo prazo: que investimentos a empresa

deve fazer? e quais recursos sero utilizados para os investimentos escolhidos?, ou seja,

discutiremos temas ligados s decises de investimento e financiamento de longo prazo.

Estas decises so relevantes porque afetam diretamente a dinmica de crescimento da

empresa e sua rentabilidade.

Para analisarmos as diversas opes de financiamento disponveis para gerar os recursos

necessrios para os investimentos de uma empresa, utilizaremos algumas tcnicas da

Matemtica Financeira.

Com isso, o objetivo desta primeira aula percorrer alguns conceitos e aplicaes da

Matemtica Financeira, visto que o clculo financeiro uma ferramenta essencial no

processo decisrio e na gesto financeira das empresas e das pessoas. Decises erradas

geralmente levam a perdas financeiras e por isso o conhecimento do instrumental bsico

para clculos financeiros extremamente relevante.

Vamos l?

3 Universidade Anhembi Morumbi

2. Conceitos Bsicos

Para que as operaes financeiras sejam executadas, so necessrios clculos adequados

a cada situao e o estudo desses clculos o objeto de estudo da Matemtica Financeira.

Antes, porm, de iniciar esse estudo importante que se fixem alguns conceitos bsicos.

2.1. Capital (C) ou Valor Presente (VP) [ou Present Value (PV)]: o recurso financeiro transacionado no perodo inicial (na data focal zero) em uma

determinada operao financeira. Tambm chamado de Principal ou Investimento Inicial.

2.2. Juros (J):Com o desenvolvimento das sociedades surgiu a especializao e a troca de mercadorias

para solucionar o problema de satisfao das necessidades e minimizar a questo da

escassez. Com isso a moeda passou a ser um intermedirio das trocas e as pessoas

perceberam que ela era um meio de acumular valor e constituir riqueza (o estoque de bens

poderia ser usado para gerar novos bens e riquezas).

A maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e no no futuro. As pessoas

que acumulam riqueza querem portanto uma recompensa pela abstinncia de no consumir

hoje, deixando para o futuro. Este prmio chamado de juro. Dessa forma, so os juros

que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formao de poupanas

e de novos investimentos na economia (ASSAF NETO, 2008).

Assim, podemos classificar o juro como a remunerao do capital empregado. Para o

investidor ou emprestador os juros recebidos devem ser suficientes para cobrir as despesas

(operacionais, de formalizao do emprstimo, taxas, etc) e o risco da operao, alm de

proporcionar um certo lucro.



Do ponto de vista do tomador do emprstimo o juro pode ser considerado como o custo do

capital. Se o tomador pretende utilizar o capital emprestado em um negcio qualquer, os

juros pagos pelo emprstimo devem ser menores do que a receita prevista com o negcio.

2.3. Taxa de juros (i):A taxa de juros o parmetro de clculo dos juros, representa o coeficiente obtido da

relao dos juros recebidos (J) e o capital inicialmente aplicado (PV). indicada por i

(interest = juros).

Exemplo: Um investimento em CDB de R$ 30.000,00 proporcionou aps

180 dias um juros de R$ 8.750,00. Qual a taxa do perodo?

i = J/PV

i = 8.750,00/30.000,00

i = 0,2917 = 29,17% para 180 dias

As taxas de juros geralmente so expressas em percentual que sempre se refere a uma

unidade de tempo

Exemplos: 12% ao ano = 12% a.a. 6% ao semestre = 6% a.s.

5% ao trimestre = 5% a.t. 10% ao ms = 10% a.m.

Os juros so obtidos atravs da multiplicao da taxa de juros pelo valor aplicado.

J = PV.i



Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 16,75% a.a.,

no final de um ano proporciona qual rendimento?

J = 1.000,00 x 0,1675

J = R$ 167,50 Repare que o clculo feito com a taxa

unitria (em decimal), que obtida pela

diviso da taxa percentual por 100.

16,75% = 16,75 = 0,1675

100Nas frmulas de Matemtica Financeira todos os clculos so feitos com a taxa unitria (em decimal), porm as respostas finais de taxas de juros so apresentadas na forma percentual.

2.4. Montante (M) ou Valor Futuro (VF) [ou Future Value (FV)]: a quantidade monetria acumulada resultante de uma operao financeira aps um

determinado perodo de tempo, ou seja, a soma do juros com o capital inicial.

2.5. Prazo ou perodo (n): o tempo em que um certo capital (C) aplicado a uma taxa (i) necessita para

produzir um montante (M), ou em outras palavras, o perodo aps o qual o juro

cobrvel

2.6. Regras bsicas:Algumas regras so fundamentais para as questes que envolvem Matemtica

Financeira. Destacamos uma: As periodicidades da taxa de juros e do prazo da operao devem estar na mesma unidade de tempo.



Por exemplo, se uma situao apresentar taxa de juros anual e o perodo da operao

for em meses, a periodicidade no est coincidente e portanto temos que utilizar frmulas

financeiras para transformar a taxa de juros em mensal. Somente aps a definio do prazo

e da taxa de juros na mesma unidade de tempo que podemos aplicar as demais frmulas

da Matemtica financeira.

Os critrios de transformao da taxa e do prazo dependero do regime de capitalizao da

operao (se juros simples ou composto).

3. Juros Simples

3. 1. Conceito e Frmulas

No regime de juros simples os juros de cada perodo so sempre calculados em funo do

capital inicial (principal) aplicado. Os juros no so somados ao principal para clculo de

novos juros nos perodos seguintes (os juros no so capitalizados e por isso no rendem

juros).Exemplo

Um investidor aplicou R$ 1.500,00

pelo prazo de cinco anos, com uma

taxa de juros de 10% ao ano, no

regime de juros simples. Determine

o valor do saldo a ser resgatado no

final de cada um dos cinco perodos.



Os juros de cada perodo so obtidos pela multiplicao da taxa de juros pelo

principal.

Juros de um perodo: J = PV. i

No nosso exemplo: J = 1500 x 0,10

J = 150

Os juros de n perodos so resultado da multiplicao do juro de um perodo pelo

nmero de perodos considerado

Juros de n perodos:

No nosso exemplo, os juros do 5 perodo:

J = 1.500 x 0,10 x 5 = 150 x 5

J = 750

O total da operao ser:

FV = PV + J

FV = 1.500 + 750

FV = 2.250

Podemos encontrar uma frmula para o Montante ou valor futuro:

FV = Principal + Juros =

FV = PV + PV.i.n

tirando o PV em evidncia, temos:



Exemplo: Qual o valor de resgate de uma aplicao no valor de R$ 84.975,59,

por trs meses a uma taxa de juros simples de 1,45% ao ms?

J = PV.i.n FV = PV( 1+ i.n)

J = 84.975,59 x 0,0145 x 3 FV = 84.975,59 (1 + 0,0145x3)

J = 3.696,44 FV = 84.975,59 (1 + 0,0435)

FV = PV + J FV = 84.975,59 (1,0435)

FV = 84.975,59 + 3.696,44 FV = 88.672,03

FV = 88.672,03

OU

Obs.: na frmula, usar a taxa de juros (i) sempre em decimal

Os juros simples tm aplicaes bastante restritas. So raras as operaes financeiras e

comerciais que utilizam este regime de capitalizao. A utilizao mais comum para os juros

simples refere-se ao clculo dos juros por atraso de pagamentos (boletos em atraso).

3.2. Perodos no inteiros (taxas proporcionais):

Podem ocorrem situaes em que o prazo de aplicao no um nmero inteiro de

perodos a que se refere a taxa dada. Tambm podemos encontrar situaes em que a

periodicidade da taxa e do perodo no esto na mesma unidade de tempo.

Nestes casos necessrio calcular a taxa proporcional.

Duas ou mais taxas so proporcionais se, quando aplicadas sobre o mesmo principal

durante o mesmo perodo, produzem o mesmo montante.



Exemplo: Um investidor aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de 12% ao

semestre, qual valor a ser resgatado no final de 5 anos e 9 meses?

n = 5 anos e 9 meses = 69 meses

taxa de juros = 12% ao semestre

A periodicidade da taxa (semestre) no coincidente com a periodicidade do prazo (meses),

precisamos encontrar a taxa proporcional em meses.

12% ao semestre = 12% = 2% ao ms

6

Aps o ajuste, podemos calcular os juros pela frmula:

J = PV . i. n

J = 1.000,00 x 0,02 x 69

J = 1.380,00

FV = 1.000,00 + 1.380,00

FV = 2.380,00

Exemplo de taxas proporcionais:

a) 5% ao ms = 30% ao semestre = 60% ao ano

b) 18% ao ano = 9% ao semestre = 6% ao quadrimestre = 1,5% ao ms

Para ajustar a taxa

podemos nos basear na

seguinte tabela:



Assim, se tivermos uma taxa de 2% ao ms e quisermos pass-la para ano (em juros

simples), devemos aplicar a frmula:

Taxa anual = taxa mensal x 12 = 2% x 12 = 24% ao ano

4. Juros Compostos

4. 1. Conceito e Frmulas

No regime de juros compostos os juros de cada perodo so incorporados ao principal

para o clculo dos juros do perodo seguinte; dizemos ento que os juros so capitalizados.

O regime de juros compostos o mais comum no sistema financeiro e no clculo

econmico e, portanto, o mais til para clculos de problemas do cotidiano.

A tabela abaixo mostra a diferena de clculo entre os dois regimes, para um emprstimo

de R$ 1.000,00 por um perodo de 4 meses taxa de juros de 20% ao ms.



Podemos observar que no regime de juros simples o valor dos juros constante enquanto

que no regime de juros compostos o valor dos juros cresce em funo do tempo. Isto faz

com que o dinheiro cresa mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples.

No juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente (em progresso geomtrica) e no

juros simples ele cresce linearmente (em progresso aritmtica). Assim, matematicamente o

clculo dos juros compostos conhecido por clculo exponencial de juros.

Considere a seguinte nomenclatura genrica:

PV = Capital inicial ou principal ou valor presente

FV = montante ou valor futuro

i = taxa de juros de cada perodo

n = nmero de perodos

J = Juros

A frmula para clculos em juros compostos :

Exemplos:

1. Clculo do Montante (FV):

Uma loja financia uma geladeira de R$ 1.500,00 sem entrada para pagamento em uma

nica parcela no final de 6 meses taxa de 3% ao ms. Quanto a loja receber pela

geladeira?

PV = 1.500 FV = 1500 (1+0,03)6

i = 3% a.m. = 0,03 FV = 1500 (1,1941)

n = 6 meses FV =1.791,08



Podemos utilizar as calculadoras financeiras para realizar os clculos de juros compostos. O

modelo mais tradicional a HP12C:

As funes financeiras encontram-se na primeira linha da calculadora:

Saiba Mais

Voc encontra na internet vrios

emuladores da HP12C para instalar

em seu computador. Uma sugesto de

site que contm este e outros modelos

de calculadoras cientficas e financeiras

para download grtis :

http://www.livrariamaconica.com.br/

calculadoras/calculadoras.htm

Retomando o nosso exemplo, agora na Calculadora HP-12C:



Tambm podemos efetuar estes clculos utilizando o Excel.

Considerando a verso 2007:

Clicar na barra de ferramentas em Frmulas

Depois clicar em Financeira

Procurar na lista de frmulas a que trate

do valor futuro (VF):



Aparecer a seguinte caixa:

Voc pode preencher os campos com os valores ou

indicar as clulas que contm os respectivos valores.

No nosso exemplo:

Depois basta clicar em ok. O resultado ser os R$ 1.791,08.



4.2. Taxas equivalentes

Em juros compostos, quando a periodicidade da taxa no coincide com a periodicidade do

prazo, precisamos encontrar a taxa equivalente.

Duas ou mais taxas so equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, por um

perodo de tempo equivalente, geram o mesmo rendimento.

Pelo critrio de juros compostos utilizamos a relao:iq = taxa que eu quero

it = taxa que eu tenho (taxa conhecida)

q = quanto eu quero

t = quanto eu tenho

Exemplos:

1) Qual a taxa mensal equivalente taxa de 12% ao ano?

1 ano = 12 meses im = (1+0,12)1/12 1

im = (1,12)0,0833333 - 1

im = 0,009489 = 0,949% ao ms

2) Os cartes de crdito cobram em mdia uma taxa mensal de 13% ao ms para

refinanciamento (para quem no paga a fatura por completo), quanto isso representa em

termos anuais?

1 ano = 12 meses ia = (1 + 0,13)12/1 - 1

ia = 4,3345 1

ia = 3,3345 = 333,45% ao ano.



5. Sries Uniformes

Uma Srie, tambm chamada de Renda, uma seqncia de pagamentos ou recebimentos

efetuados a determinado intervalo de tempo. Os vencimentos dos termos de uma Srie

podem ocorrer no final de cada perodo (termos vencidos ou postecipados) ou no incio

(termos antecipados). Pode ocorrer, tambm, da Srie contar com um perodo de carncia

(termos diferidos).

As Sries podem ser uniformes (quando os pagamentos ou recebimentos so iguais) ou

variveis (quando os pagamentos ou recebimentos so crescentes, decrescentes ou at

desproporcionais).

Vamos tratar das sries uniformes.

Nas calculadoras financeiras o pagamento peridico identificado pela funo

(periodic payment).

5.1. Sries postecipadas

So aquelas em que o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre no final do primeiro

perodo, ou seja, quando o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre no momento 1

(um), como por exemplo, emprstimos bancrios e vendas a prazo sem entrada - do tipo

(0+n). Antes de fazer a conta na calculadora financeira, preciso ajustar o plano para

postecipado, modo END, apertando as teclas:



Na HP-12c

No caso de compras ou emprstimos com o primeiro pagamento no perodo 1

(postecipado), casos em que temos o valor presente (valor da compra ou valor do

emprstimo), a frmula usada :

Exemplo:

Um computador vendido vista por R$ 3.000,00 ou financiado em 24 parcelas mensais

iguais, sem entrada. Sabendo que a loja cobra taxa de juros de 2,99% ao ms, calcule o

valor de cada parcela

PV = 3.000 3000 = PMT (1,0299)24 - 1 .

n = 24 (1,0299)24. 0,0299

i = 2,99%

PMT = ? 3.000 = PMT . 1,028063

0,060639

3.000 = PMT . 16,9538

PMT = 3.000

16,9538

PMT = 176,95



Na calculadora HP12C:

No Excel:

Clicar na barra de ferramentas em Frmulas

Depois clicar em Financeira

Procurar na lista de frmulas a que trate das prestaes (PGTO)

Abrir a caixa para preenchimento dos valores ou das clulas que contenham os

valores.



Uma observao importante que o ajuste do plano de pagamento feito aqui. Para pagamentos no final do perodo, ou seja, postecipados, o tipo deve ser 0 (zero) ou ficar em branco e, para pagamentos antecipados, no incio do perodo, o tipo deve ser 1 (um)

Quando nos deparamos com situaes em que so realizados pagamentos para acumular

um valor no futuro, geralmente em situaes de poupana, usamos a seguinte frmula:



Exemplo:

Joo est programando suas frias e resolveu juntar dinheiro. Para tanto, aplicar, a partir

do prximo ms, R$ 200,00 por ms durante seis meses consecutivos a uma taxa de 5% ao

ms. Quanto resgatou no final do perodo?

PMT = 200,00 FV = 200. (1,05)6- 1

i = 5% 0,05

n = 6

FV = ? FV = 200 (6,8019)

FV = 1.360,38

5.1. Sries antecipadas

So aquelas em que o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre no incio do primeiro

perodo, ou simplesmente, quando o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre na data

zero. Exemplo: compras a prazo do tipo (1+n), cuja primeira parcela no ato da compra

Na calculadora HP 12C preciso ajustar o plano de pagamentos, apertando as teclas

Aparecer a palavra BEGIN no visor da calculadora.



Aps o ajuste do plano de pagamentos, o procedimento para a realizao do clculo o

mesmo do plano postecipado.

No Excel, o procedimento tambm idntico ao realizado no plano postecipado, apenas

ateno ao preenchimento do Tipo, preciso colocar o nmero 1 (um) que equivale ao

plano antecipado.

Matematicamente, quando nos depararmos com situaes de compra ou de emprstimos

(situaes em que temos o Valor Presente) com pagamentos antecipados, usamos a seguinte

frmula:

Exemplo: Um emprstimo de R$ 30.000,00 concedido por uma instituio financeira

para ser liquidado em 12 parcelas iguais, mensais e consecutivas. Sabendo que a primeira

parcela dever ser paga no ato e que a taxa de juros de 4% ao ms, calcular o valor das

prestaes.

PV = 30.000 30.000 = PMT (1,04)12-1 (1+0,04) =

n = 12 (1,04)12.0,04

i = 4 30.000 = PMT (9,3851) (1,04)

PMT = 30.000/9,7605

PMT = 3.073,62



Para situaes em que so efetuados pagamentos ou depsitos consecutivos e iguais para

acumular valores em uma data futura, sendo que o primeiro destes pagamentos feito no

incio do contrato ( no ato), usamos a seguinte frmula:

Exemplo: Manoel quer iniciar uma poupana. Para tanto, aplicar R$ 150,00 mensais,

sendo que o primeiro depsito ocorre na abertura da conta poupana (ou seja,

antecipadamente). Considerando uma taxa de 0,8% ao ms, quanto conseguir juntar aps

um ano de aplicao?

PMT = 200,00 FV = 150.(1,008)12- 1 .(1,008)

i = 5% 0,008

n = 6

FV = ? FV = 150 (12,542337).(1,008)

(modo Begin)

FV = 1.896,40



Na srie de pagamentos/recebimentos iguais com termos postecipados comum a

ocorrncia de um valor a ttulo de entrada, valor este diferente do valor das prestaes.

Quando isto acontece, deve-se deduzir o valor desta entrada do Valor Presente, ou seja,

neste caso o PV igual ao valor total menos o valor da entrada. Isto significa, obviamente,

que o valor da entrada no ser onerado com juros. Apenas o restante do Valor Presente,

que ser efetivamente financiado, ser encarecido com juros.

Ex. Financiamento de R$ 3.000,00 sem entrada: PV= 3.000,00

Financiamento de R$ 3.000,00 com entrada de R$ 500,00:

PV= 3.000 - 500 ------> PV= 2.500,00

Na srie antecipada, o valor presente integralmente financiado. A parcela dada como

entrada possui valor idntico ao das demais parcelas. Neste caso, o PV igual ao valor

total.

Ex. Financiamento de R$ 3.000,00 com vencimento antecipado das parcelas o PV ser os

R$ 3.000,00



5.3. Sries Diferidas

So aquelas em que existe um perodo de carncia entre a concesso do financiamento e

o incio dos pagamentos, ou seja, o primeiro pagamento ocorre em datas superiores a um

perodo. Este tipo de plano muito comum no comrcio, em que as promoes usam o

jargo compre hoje e s comece a pagar em...

Exemplo: Silva contraiu um emprstimo de R$ 4.200,00 a uma taxa de 2,5% a.m. O

pagamento ser efetuado em 4 prestaes mensais e ter uma carncia de trs meses para

o primeiro pagamento. Determinar o valor das prestaes.

Ao invs de usarmos uma frmula especfica para sries com carncia, podemos calcular as

prestaes usando os conceitos j aprendidos. Temos duas formas de calcular este tipo de

prestao.


25 Universidade Anhembi MorumbiTraando sua Situao Patrimonial

26 Universidade Anhembi MorumbiTraando sua Situao Patrimonial


Bibliografia

ASSAF NETO, Alexandre. Matemtica Financeira e suas aplicaes. 10.ed. So Paulo:

Atlas, 2008.

MATHIAS, Washington Franco & GOMES, Jos Maria. Matemtica Financeira. 6.ed. So

Paulo: Atlas, 2009.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica Financeira objetiva e aplicada. 7.ed. So

Paulo: Saraiva, 2008.

SAMANEZ, Carlos Patrcio. Matemtica Financeira: aplicao anlise de

investimentos. 4.ed. So Paulo: Pearson - Prentice Hall, 2007

VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Matemtica Financeira. 7.ed. So Paulo: Atlas, 2000.


Este documento de uso exclusivo da UniversidadeAnhembi Morumbi, est protegido pelas leis de

Direito Autoral e no deve ser copiado, divulgado ou utilizado para outros ns que no os pretendidos

pelo autor ou por ele expressamente autorizados.

Documents

Finanças Empresariais