Finansiella ekonomi - sammanfattning

Jacob Stedman 19566 HT 2003 1

Innehållsförteckning: Portföljteori och CAPM .........................................................................................................2

1. Begrepp...........................................................................................................................2 2. Kapitalallokering: fördelning mellan P (riskfyllt) och F (riskfritt) ................................2 3. Tillgångsallokering: fördelning mellan olika typer av tillgångar...................................3 4. Val av värdepapper och diversifiering ...........................................................................5 CAPM – Capital Asset Pricing Model ...............................................................................6 Nuvärden och sånt ..............................................................................................................8

Ränte- och valutamarknaden: obligationer mm .....................................................................9 Nollkupongare ....................................................................................................................9 Kupongobligationer..........................................................................................................11 Priskänslighet, risker och inflation ...................................................................................11 Räntederivat: ränteterminer och ränteswappar .................................................................13 Valutamarknaden..............................................................................................................14

Optioner (och terminskontrakt) ............................................................................................15 Allmänt och begrepp ........................................................................................................15 Put-call paritet och dess tillämpningar .............................................................................15 Optionsvärdering ..............................................................................................................17 Terminsvärdering .............................................................................................................19

Corporate Finance: utdelningspolitik, skuldpolitik och värdering ......................................20 Värdering..........................................................................................................................20 Utdelningspolitik (dividend policy) .................................................................................20 Några rader om företagets kapitalkostnad........................................................................21 Skuldpolitik (debt policy).................................................................................................22 APV-metoden och subventionerade lån ...........................................................................24


Portföljteori och CAPM Låt oss börja med den normativa teorin som säger hur vi ska hantera en investering:

1. Vi har en viss summa pengar, W0. Vi måste också definiera vissa andra begrepp. 2. Kapitalallokering: hur mycket pengar ska vi lägga på en P, portfölj (riskfyllda

tillgångar) och hur mycket ska vi satsa på F (riskfritt, t ex statsskuldväxlar)? Det här beror på investerarens riskmedvetenhet.

3. Tillgångsallokering: hur fördelar vi mellan t ex aktier, obligationer och fastigheter? Här finns det ett ”bästa” svar.

4. Val av värdepapper och diversifiering. Vilka enskilda aktier ska vi köpa? Hur mycket bidrar en enskild akties risk till portföljen (ß)?

Det kan nämnas att man i den här modellen förutsätter att investerare bara utvärderar en period i taget, att de är omättliga men riskaverta, att tillgångar kan delas upp i små delar, att det råder perfekt konkurrens (alla är pristagare, ingen kan driva kurserna) och att det finns en riskfri ränta som man kan både låna och låna ut till.

1. Begrepp Räkna ut förväntad avkastning E(ri) för en viss tillgång baserat på de vägda sannolikheterna för olika utfall: E(ri) = ΣPr(s)ri(s) där ri är avkastning för tillgång i, Pr(s) är sannolikheten för scenario s och ri(s) är avkastningen i det scenariot. Räkna ut förväntad varians på motsvarande sätt: σ2 = ΣPr(s)(ri(s)-E(ri(s))2. Enklast räknar man för varje scenario ut skillnaden mellan räntan (=avkastningen) i det scenariot och den förväntade räntan (=medelräntan). Sen kvadrerar man dessa värden och summerar dem viktade efter hur sannolikt det är att scenariot inträffar. På motsvarande sätt kan man också räkna ut kovariansen mellan tillgång i och tillgång j. Det är väl rätt osäkert om vi behöver kunna det, oftast utnyttjar man sambandet att kovariansen σij är produkten av korrelationskoefficienten ρ och standardavvikelserna: σij = ρσiσj. Vill man räkna ut kovarianserna utan att använda ρ är det samma summaformel som för en varians, men istället för att kvadrera differensen (mellan tillgångens avkastning och medelavkastningen) så multiplicerar man, för varje scenario, den ena tillgångens differens med den andras.

2. Kapitalallokering: fördelning mellan P (riskfyllt) och F (riskfritt) Här bestämmer man ett y, som är andelen pengar som man vill investera i riskfyllda tillgångar. Är y<1 så får man pengar över och kan investera i riskfria tillgångar (=lånar ut). Är y>1 så tvingas man låna för att kunna investera. Det förväntade värdet av kombinationen C blir E(rc) = yE(rp) + (1-y)rf, alltså det viktade medelvärdet av den förväntade avkastningen för portföljen rp och den säkra riskfria räntan rf. Standardavvikelsen σc för kombinationen blir större ju högre andel marknadsportfölj vi har, eftersom riskfria investeringar inte har någon standardavvikelse: σc = yσp. Är y>1 så blir (1-y)rf negativt, eftersom det är en negativ investering – det är ju ett lån. Vi kan också se E(rc) som summan av en riskfri avkastning och en riskpremie som beror på exponeringsgraden y: E(rc) = rf + y[E(rp)-rf]. Uttrycket inom hakparentesen är alltså riskpremien, den avkastningen vi förväntas oss att få ut utöver den riskfria räntan eftersom vi ju faktiskt tar en risk. Eftersom σc = yσp så är y = σc/σp. Det gör att E(rc) istället kan skrivas


som E(rc) = rf + ([E(rp)-rf]/ σp) * σc. Om man ritar upp en graf y = kx + m där E(rc) är y kan σc vara x. Lutningen k blir då [E(rp)-rf]/σp vilket alltså kan ses som riskpremie per enhet risk, alltså priset på risk. Den förväntade avkastningen är alltså en funktion av ens investerings standardavvikelse (=risk), givet att man håller portföljavkastningen och portföljrisken konstant (=en och samma portfölj). Alla tänkbara x-värden (σc) är vettiga investeringar, det beror helt på hur mycket risk (σc) investeraren vill ta, dvs i slutändan y: hur ska vi investera i riskfria tillgångar och hur mycket i riskfyllda. Den här linjen investeringens avkastning = riskfria räntan + (riskpremie / portföljens risknivå) * investeringens risknivå kallas kapitalallokeringslinje, CAL (Capital Allocation Line). Graf från Clas Bergströms föreläsningsanteckningar:

Man kan uppnå olika lutningar på linjen (varierande portföljavkastning E(rp) och portföljrisk σp) beroende på vad man stoppar i portföljen, och det blir nästa steg. Vissa riktningskoefficienter (=portföljsammansättningar) är objektivt sett bättre än andra. Men när man har hittat en/den bästa CAL kan man alltså röra sig längs linjen och välja x (kombinationsrisken σc) eftersom alla har egna preferenser vad gäller risk.

3. Tillgångsallokering: fördelning mellan olika typer av tillgångar Låt oss tänka oss att vi har aktier S (=stock) och obligationer B (=bonds). Vi kan skapa en portfölj med en lämplig blandning av dessa: E(rp) = wSE(rS) + (1-wS)E(rB). Vissa w ger högre E(rp) än andra. Rent allmänt är portföljens förväntade värde ett vägt medelvärde av de förväntade värdena på de tillgångar som ingår. Vi måste först räkna ut portföljens varians σ2

p. Har man många tillgångar i portföljen ritar man en kovariansmatris där varje tillgång får varsin rad och varsin kolumn. Har man N tillgångar blir matrisen N2 celler, varav N innehåller varianser (diagonalen, där rad i = kolumn j) och resterande kovarianser. Eftersom matrisen är spegelvänd (cell i,j = cell j,i) behövs bara N(N-1)/2 värden. Sen räknar man ut kovariansen för varje enskild cell: i cell (i, j) så räknar man ut kovariansen mellan tillgång i och tillgång j. Undantag är för diagonalen (där i = j), då blir det istället variansen för tillgången i. Portföljens varians är helt enkelt summan av alla cellerna. Ifall man inte har lika mycket av varje tillgång måste man också vikta summan. Så är till exempel fallet om man har två tillgångstyper (S och B) och experimenterar med olika wS. Istället för att bara addera cell11 + cell12 + cell21 + cell22 så adderar man (w1w1cell11 +


w1w2cell12 + w2w1cell21 + w2w2cell22) där w1 kan tänkas motsvarar wS och w2 motsvarar (1-wS). Tänk här på att cell11 och cell22 alltså är celler med variansen för tillgång 1 resp 2 och innehåller alltså inte kovarianser. Man kan experimentera med olika wS och räkna ut vilken E(rp) och σ2

p man får i de olika fallen. Sedan kan man plotta in de i samma typ av diagram som ovan, med E(rp) på y-axeln och σ på x-axeln. σ här är alltså portföljrisken, inte risken för kombinationen C. Ju fler möjliga portföljmixar (olika wS) man beräknar, desto fler punkter får man och till slut blir det en linje. Linjen kallas portföljmöjlighetsmängd, portfolio opportunity set, se Bergströms graf nedan. Det blir olika linjer för olika värden på ρ. Varje linje visar vilka avkastningar som kan uppnås genom att variera risken, vilken varieras genom att blandningen av tillgångar påverkas (wS). I vissa fall kan samma risk uppnås genom olika wS. Men de olika portföljmixarna har då ändå alltid olika förväntad avkastning. Det finns ingen anledning att välja annat än den högsta möjliga förväntade avkastning för en viss risknivå. Därmed är linjesegmentet under ”kröken” (när linjen är som närmast y-axeln, lägst x, ”minimivarians-portföljen”) ointressant. Övriga portföljer kallas ”effektiva”, men alla är inte optimala. Här förutsätter vi att korrelationskoefficienten ρ hålls konstant för en viss linje. Om våra aktier hade andra kopplingar till varandra skulle vi få ett annat ρ och därmed andra kovarianser (se grafen). Låga ρ innebär högre avkastning givet en viss risk jämfört med högre nivåer på ρ, i alla fall på lägre risknivåer.

Hur ska vi då finna den optimala portföljen? Om vi ser ρ som givet kan man ändå tänka sig ett stort antal möjliga effektiva portföljer längs portföljmöjlighetsmängden, som vi sett ovan, med olika sammansättningar. Men alla de punkterna är ju portföljer som bara innehåller riskfyllda tillgångar, alltså y=1. Man kan ju också tänka sig att man kombinerar de riskfyllda tillgångar med riskfria för att få ner risken. Det innebär att man för varje punkt i portföljmöjlighetsmängden kan rita en CAL som går från y-axeln (interceptet är den riskfria räntan) och passerar vår portfölj. Alla de kombinerade portföljerna längs en viss CAL:n har samma wS som just den enskilda portföljen som ligger både på CAL (ett fast wS, säg 0,3) och i produktmöjlighetsmängden (y=1). Men det är inte säkert just denna portfölj med y=1 behöver vara den bästa för alla investerare, den är ju ganska riskfylld.


Vi vill egentligen inte hitta en optimal portfölj, en sådan finns inte i sig, men det optimala CAL (=optimalt wS; alltså optimal riktningskoefficient = optimal riskpremie per enhet risk = optimalt ”pris” på risk). För att göra det måste vi börja med att hitta en portfölj P som ligger på det CAL:t vi letar efter. Portföljen vi letar efter måste ligga i portföljmöjlighetsmängden (annars är den ju inte effektiv) men samtidigt ska den ha en så brant CAL så möjligt. För ju brantare CAL, dvs ju högre riktningskoefficient, desto högre avkastning (y) för varje möjlig risk (x). P är därför den punkt på portföljmöjlighetsmängden där en CAL tangerar. När vi funnit P kan vi dra en CAL från interceptet till P (och också fortsätta förbi P, y kan ju vara större än 1). Se återigen Claes Bergströms graf:

Återigen, P är inte i sig den optimala portföljen, det är bara den optimala portföljen för just y=1, dvs bara riskfyllda tillgångar. Däremot har P en optimal wS, alltså blandning av olika riskfyllda tillgångar. Men det finns andra portföljer med också riskfria tillgångar som passar andra investerare, helt beroende på deras vilja att ta risk. Man kan nå alla dem längs den CAL vi har hittat genom att röra oss i x-led (och därmed använda olika y).

4. Val av värdepapper och diversifiering Riskspridning är bra. Man kan visa att när antalet tillgångar i en portfölj går mot oändligheten så går portföljens varians mot tillgångarnas genomsnittliga kovarians dem emellan (och om korrelationskoefficienten ρ=0 och alla tillgångar har kovarians 0 mot varandra så är portföljen helt riskfri, fast det är bara teoretiskt). Men redan vid 20 aktier är portföljens varians ganska nära det beloppet. En enskild tillgångs varians påverkar då alltså inte portföljrisken. Det sistnämnda kallar man unik/företagssspecifik risk och eftersom man antas kunna diversifiera bort det får en investerare inget extra betalt för att ta på sig sådan risk. Risken som inte går att diversifiera bort kallas marknadsrisk och beror alltså på en tillgångs kovarians med marknaden i förhållande till marknadens varians. Man benämner detta beta och räknar ut det βIM=σIM / Q2

M. Betavärdet är alltså för en tillgång relativt något annat, t ex en portfölj eller en marknad. Man kan se det som att det visar hur en tillgång rör sig relativt marknaden. Ett värdepapper med β=2 relativt marknaden rör sig dubbelt så mycket som marknaden. Det viktade medelvärdet (efter tyngd i portföljen) av alla


tillgångars β är 1. Apropå β: om man får välja på flera verksamheters β så ska man ta β för den verksamhet som ligger närmaste det projektet man ska undersöka. Rent allmänt kan man observera att investerare klassiskt sett bryr sig om två saker i synnerhet: 1) en så hög förväntad avkastning som möjligt för en viss risk 2) den risk som inte kan diversifieras bort. Tillgången i:s kovarians med en portfölj/marknaden σIM räknas ut som summan av cellerna på rad i i en kovariansmatris enligt ovan, vägda efter hur varje kolumns vikter (respektive tillgångs andel av portföljen). Däremot ska inte radens viktning (den här tillgångens andel av portföljen) påverka tillgångens kovarians. Men om man talar om hur mycket en tillgång påverkar portföljen så är det radens viktning * β. Apropå diversifiering är tanken att man kan överlåta detta till investerare. Företagens ledning ska inte diversifiera internt i sina bolag, utan bara sikta på att genomföra projekt med positivt nuvärde.

CAPM – Capital Asset Pricing Model CAPM säger vad en tillgångs förväntade avkastning blir baserat på tillgångens β, givet att den riskfria räntan och marknadens förväntade avkastning är konstant: rA - rf = βAM*(rM – rf) eller rA = rf + βAM*(rM – rf). Man kan se det som att en tillgångs överavkastning är lika med marknadens överkastning gånger risken. Det är alltså en modell för att värdera tillgångar/företag utifrån dess bidrag till marknadsrisken. Den förväntade avkastningen är linjärt proportionerligt till tillgångens β. Återigen: det är alltså bara β (kovariansen med marknaden/marknadens varians) som påverkar den beräknade avkastningen i CAPM, tillgångens egen unika risk påverkar inte. Utöver antaganden ovan om perfekt konkurrens etc så antar vi också att alla investerare har tillgång till samma investeringsobjekt, samma information och samma riskfria ränta. Vi antar vidare att alla har samma investeringshorisont på en period och att alla har samma värderingar (ex: rosa är en fin färg på skjortor). Det här innebär att alla följer vår metod ovan och kommer fram till samma P, alltså samma kombination av riskfyllda tillgångar (”separationsteoremet”). Marknadsportföljen är summan av alla investerares portföljer. Eftersom alla blandar riskfyllda tillgångar i identisk utsträckning kommer också marknadsportföljen att ha samma proportioner som en enskild investerares portfölj (hej indexfonder! =en fond som speglar marknadsportföljen). Vi får följaktligen fram en kapitalmarknadslinje, Capital Market Line (CML), som är samma som vår kapitalallokeringslinje (CAL) fast på marknadsnivå. Precis som innan är riktningskoefficienten riskpremie per enhet risk, alltså marknadspriset på risk för alla effektiva portföljer. Här kan man också använda Sharpe-kvoten SP = (rP-rf)/ σP, alltså överavkastningen/stdavvikelse, dvs egentligen bara riktningskoefficienten (!). Vill man jämföra flera olika bolag skulle man kunna jämföra deras riktningsko … ehh … Sharpe-kvotar. Högst är bäst. Kan vara bra för att jämföra med liknande tillgångar eller med sig själv över tiden, men tar inte hänsyn till känslighet mot marknaden. Dumt på t ex Rysslandsfonder, där rP < rf…


Teorierna säger att ett värdepappers riskpremium bestäms av hur mycket det bidrar till en investerares portföljrisk, dvs värdepapprets β. Utifrån detta kan man rita upp en värdepappersmarknadslinje, Security Market Line (SML). Dess ekvation blir E(rA) = rf + βA[E(rM)-rf], alltså att en tillgångs förväntade avkastning är den riskfria räntan plus risknivån gånger riskpremien. CAPM kan alltså säga om en tillgång är över- eller undervärderad jämfört med ett E(rA) som vi har fått på något annat sätt. Se Bergströms graf:

Även här har riktningskoefficienten (rP-rf)/βP ett namn, i alla fall om man tittar på enskilda bolag och inte marknaden i sin helhet: Treynor-kvot. Den här kvoten kan vara bra för att jämföra olika fonder eller enskilda aktier. Den som har högst riskpremie per beta är mest prisvärd. Man kan modifiera CAPM för att hänsyn till skatter, flera perioder, skillnad på riskfri in- och utlåning etc. CAPM har funkat förhållandevis bra, men åtminstone på kort sikt har den inte alltid stämt med empiri. Man har även observerat att småbolag varit lönsammare än storföretag och att bolag med högre bokfört värde/marknadsvärde (alltså inte tillväxtföretag) haft högre avkastning än andra. Därför har man också tagit fram ett alternativ till den här CAPM-varianten, där man istället för marknadsbeta tittar på konsumtionsbeta. Men det verkar inte användas så mycket, i alla fal inte än. Det finns också helt andra teorier, t ex Arbitrage Pricing Theory (APT). Den säger att förväntad avkastning på tillgången i beror på tillgångens förväntade avkastning ai och ett antal makrofaktorer, såsom BNP-tillväxt, inflation, räntor och oljepriser: ri = ai + bi1(rfactor1) + bi2(rfactor2) + bi3(rfactor3) + noisei där bij är tillgången i:s känslighet för påverkan av makrofaktor j och rfactorj är faktorförändring för faktor j. Tillgången i:s riskpremium, alltså den förväntade avkastningen över rf, skulle då vara summan av de olika faktorernas påverkan på tillgången gånger varje faktors riskpremium: E(ri) – rf = bi1(rfactor1– rf) + bi2(rfactor2– rf) + bi3(rfactor3– rf). Bruset (noise) diversifieras iväg. Om ovanstånde håller för alla diversifierade portföljer så håller det också för individuella tillgångar. Forskarna Fama och French har föreslagit en trefaktorsmodell där faktorerna är marknad (marknadens riskpremie), företagsstorlek (skillnaden med små och stora bolags avkastning) samt kvoten bokfört värde/marknadsvärde (book-to-market; skillnaden i avkastningen mellan bolag med hög kvot och de med låg kvot).


Nuvärden och sånt Nuvärdet är framtida kassaflöden som diskonterats till nutid (t=0), t ex PV=Ct/(1+r)t om PV är nuvärde (present value), Ct är en framtida inbetalning från projektet vid tiden t och r är diskonteringsräntan (=alternativkostnaden för kapital). Alternativkostnaden för kapital ges av den bästa alternativa investeringar på aktiemarknaden som har samma risk. Nettonuvärde NPV är C0 + PV där C0 är investeringen (negativ term). Man bör – enligt vårens lärdomar – enbart köra projekt med positivt NPV. Man kan också titta på avkastningen (=vinst/investering) och försöka hitta projektet med högst avkastning. Om man vill diskontera flera framtida kassaflöden till t=0 får man summera ihop varje års diskonterade värden för sig: PV = C1/(1+r1) + C2/(1+r2)2 + … + CN/(1+rN)N. Om räntan ri och utbetalningarna Ci är konstanta under N år gäller att PV = C/r*[1 – 1/(1+r)t]. Vi antar här att första utbetalningen sker efter ett år. Om räntor och utbetalningar är konstanta i oändlig tid blir det ännu enklare: PV = C/r. Vill man minnas formeln för konstanta utbetalningar under en begränsad tid på N år kan man se det som evig betalningsström som börjar vid t=0 minus en annan evig betalningsström som börjar vid x=N+1, diskonterat tillbaka till t=0. Alltså: PV = C/r + (-C/r)/(1+r)x, vilket kan användas för att härleda ovanstående formel. Om C växer med en konstant faktor g varje år blir formlerna PV = C/(r-g) * [1 – 1/(1+r-g)t] respektive PV = C/(r-g). Man byter alltså helt enkelt ut r mot r-g. Det rA som man ta fram med CAPM är företagets kapitalkostnad, och det kan man använda för att diskontera framtida kassaflöden med. Det är viktigt att skilja på en enkel årsränta som betalas ut en gång om året och ränta som betalas ut vid flera tillfällen. Om vi under en viss tid t (mätt i år) betalar ut en ränta m gånger per år så blir räntan för varje period lika med (1+r/m)tm. Betalas räntan ut oändligt ofta kan den ses som kontinuerlig istället för diskret. Från den diskreta årsräntan rdisk till den kontinuerliga räntan rkont använder man den naturliga logartimen: rkont = ln (rdisk+1). Har man den kontinuerliga räntan r så blir motsvarande diskreta årsränta ert-1. Så investerar man 1,00 kr till den kontinuerliga räntan 20 % så får man 1,22 kr vid årets slut; vilket alltså motsvarar en enkel årsränta på 22 % (=e0,2). Det ska också sägas att räntan delas upp i en nominell och en reell del (hej igen, eas!): (1+rnom) = (1+rreell)*(1+inflation).


Ränte- och valutamarknaden: obligationer mm I motsats till aktier pratar man om fixed income som tydligen översätts med räntemarknaden på svenska, alltså där man kan räkna med en tydlig och förutbestämd avkastning. På räntemarknaden handlas obligationer (bonds), korta papper såsom statsskuldväxlar samt deposits och repor som är ännu kortsiktigare. Det finns också en handel med räntederivat: terminer, optioner och swappar. Här ska vi – i enlighet med föreläsningsanteckningarna – mest titta på obligationer, som är värdepapper som oftast har mer än ett års löptid. Citat Paolo: ”en obligation är ett finansiellt instrument som tvingar utgivaren (låntagaren) att återbetala investeraren (långivaren) den lånade summan plus ränta över en specifik tidsperiod”. Vi talar här oftast om säkra papper, men om man köper företagsobligationer finns risk att de går i konkurrens. Risken är förstås ännu högre om man köper obligationer från företag med dålig kreditrating, skräpobligationer (junk bonds). Det finns ett antal olika räntor som man måste hålla isär:

• Den enkla årsräntan, vilket är räntan som utbetalas varje år. En lite arkaisk kvarleva från en svunnen miniräknarlös tid. Kan skrivas som r.

• Periodiska räntan, vilket är avkastningen över en period, t ex 3 mån. Den periodiska räntan för ett fjärdedels år är en fjärdedel av den enkla årsräntan. Kan skrivas som R.

• Den effektiva årsräntan är den avkastning man skulle få på ett år om den periodiska räntan utbetalades varje period. Det är alltså ränta-på-ränta med den periodiska räntan: (1+Periodisk ränta)antal perioder – 1. Kan skrivas som reff.

• När det gäller optioner kommer vi att behöva kontinuerlig ränta, men det är inte än. Men det innebär att man har oändligt många men korta perioder och att räntan betalas ut hela tiden: om antal perioder går mot oändligheten (och den periodiska räntan därför mot 0) så går (1+Periodisk ränta)antal perioder mot er.

Nollkupongare Nollkupongare (zero coupon bonds) har ett pris P0, ett nominellt värde (face value/principal) N, en löptid (time to maturity) D och en enkel årsränta r. Investeraren betalar P0 och får efter tiden D tillbaka N. Pris och nuvärde är samma sak. Avkastningen är r. Följaktligen är N = P0* (1+Period. ränta). Ofta är löptiden på nollkupongare mindre än ett år, så egentligen är de väl oftast inte obligationer utan snarare t ex stadsskuldväxlar (t-bills). I den här kursen kan vi för övrigt göra antagandet att varje månad har 30 dgr och att året har 360 dgr. Visst är det härligt med antaganden, never mind reality :) Det finns två priser för nollkupongare: det handlarna köper för och det handlarna säljer för. Eftersom handlarna ska tjäna pengar är köppriset alltid lägre än säljpriset. Av historiska skäl anges ofta inte priset P för en nollkupongare, utan man anger istället avkastningen på årsbasis (=den enkla årsräntan) r, som också kallas nollkupongsränta eller spot rate (=objektiv ränta? avistaränta?). Man kan då diskontera N med räntan omvandlat till en periodisk ränta för att få P. Ju högre ränta (=diskonteringsfaktor), desto lägre P. Räntan som ger köppriset kallas bid rate, och räntan för säljpriset kallas ask rate. Så eftersom köppriset är lägre än säljpriset, innebär det att bid rate är högre än ask rate. Fundamentalsambandet är väl fundamentalt och bra. Det säger helt enkelt att om man har tidsperioderna d1 och d2 som tillsammans utgör d3, då är räntan över d3 lika med räntan för d1 gånger räntan för d2: (1+R3) = (1+R1)(1+R2). R här är alltså periodens ränta, men när man handlar prata man ju alltid om enkla årsräntor r, så en konvertering är på sin plats. Så r3 är alltså priset på en obligation med löptiden d3 om man köper den vid t=0. Om man vill sälja


den efter d1 måste vi hitta den relevanta räntan (r2). Det är helt enkelt marknadsräntan för en obligation med den kvarvarande löptiden d2. Utifrån räntan r2 kan vi beräkna P* som är det nya priset för den obligationen med den kvarvarande löptiden. Utifrån detta kan vi då räkna ut den faktiska avkastningen för d1, nämligen r1. r1 kan räknas ut antingen från fundamentalsambandet eller genom att periodens ränta R1 är (P*-P0)/P0.

Avkastningskurvan (yield curve) skildrar den enkla årsräntan rt (=spot raten) för en nollkupongare med löptiden t som en funktion av t: rt är på y-axeln och t på x-axeln. Det kallas att den visar term structure (se ovanstående graf från Paolo). I vissa sammanhang gör man sedan antagande att avkastningskurvan är platt, dvs att den enkla årsräntan är lika för alla obligationer oavsett löptid. Detta är sällan sant, eftersom likviditetspremiehypotesen (liquidity premium/preference hypothesis) säger att papper med lång löptid är mer känsliga för räntesvängningar och därför oftast har högre spoträntor. Det finns också en habitat and market segmentation hypothesis som säger att vissa löptider är mer populära än andra för stora investerare föredrar de för att köpa dem för att matcha framtida utbetalningar. Man kan rida på avkastningskurvan (ride the yield curve, låter i mina öron lite som join the joyride) genom att köpa ett värdepapper med en viss ask rate. Sen säljer man den – och förutsätter att avkastningskurvan är oförändrad – till då gällande bid rate för den kvarvarande löptiden. Eftersom den räntan är lite lägre (kort löptid kvar) är den realiserade avkastningen första perioden förhållandevis hög. De pengarna kan man spara (=låna ut) och istället sälja ett till papper (som man inte äger; alltså blankning) med samma kvarvarande löptid. Det innebär i princip att man lånar pengar, men till en lägre ränta, eftersom den kvarvarande löptiden som sagt är ganska kort. Eftersom man lånar billigare än man lånar ut har man tjänat pengar – återigen under förutsättning att avkastningskurvan inte ändras. Det är också viktigt att veta (?) att avkastningskurvan inte får vara för avtagande, alltså att längre löptider skulle ha lägre räntor. Då skulle man ju kunna låna (sälja) billigt i papper med lite längre löptid och under tiden använda pengarna för att spara/låna ut (köpa) kortfristiga papper som ger högre avkastning.


Kupongobligationer Kupongobligationer innebär att man regelbundet betalar ut kupongutbetalning som en slags ränta till långivaren, utöver att denne får tillbaka det nominella värdet i slutet. Man kan se dessa kupongobligationer som ett antal nollkupongare, där varje utbetalning (både kupongerna och den sista utbetalningen) motsvaras av en nollkupongare. Varje nollkupongare kan då prissättas utifrån respektive spot rate från avkastningskurvan, beroende på sin löptid. Kupongobligationens pris är summan av priset för alla nollkupongarna. Man måste alltså känna till obligationens term structure för att kunna beräkna dess pris. Om man räknar ut den genomsnittliga räntan för kupongobligationen kallas det effektiv ränta eller yield-to-maturity. I den här kursen (311:an) är alla spoträntorna oftast/alltid (?) samma och därmed lika med yield-to-maturity. Nollkupongare finns ofta inte för obligationer med löptid på mer än ett år. Men i vissa fall kan man ändå göra motsatsen till vad vi precis gjorde, dvs konstruera nollkupongare utifrån kupongobligationer. Det kan vara bra om man vill hitta en spot rate för en viss löptid för att kunna härleda en avkastningskurva. Det gäller då att hitta en kombination av kupongobligationer som har samma kassaflöde som en nollkupongare, dvs att kupongutbetalningarna tar ut varandra. Priset på nollkupongaren baseras på vilka kupongobligationer den konstrueras från. Utifrån pris och löptid kan man sedan räkna ut diskonteringsräntan, alltså spot raten. Observation: om kupongräntan > yield-to-maturity så blir också priset > nominellt belopp, och vice versa. En hög kupongränta och ett lågt yield-to-maturity driver upp priset relativt det nominella beloppet.

Priskänslighet, risker och inflation Duration D mäter en kupongobligations priskänslighet för förändringar i räntesatsen. Durationen är ett slags vägt medelvärde av en obligations kassaflöde och kan också ses som den genomsnittliga tiden de tar att få tillbaka pengarna man investerat (för en nollkupongare är durationen alltid lika med löptiden). Durationen räknas ut som 1/ P0 gånger summan av följande: alla diskonterade kassaflöden kommande år multiplicerat med året just det kassaflödet infaller. Den modifierade durationen MD, D/(1+r), uttrycker den procentuella priskänsligheten för förändringar i räntesatsen. Så om MD är 4 % innebär det att priset sjunker 4 % om räntan stiger en procentenhet. Utifrån detta kan man då räkna ut prisminskningen i kronor för en ränteökning på 1 % genom att ta P0 * MD. Att approximera det nya priset på det här sättet ger ett aningen lägre pris än om man räknar ut priset på nytt utifrån den nya yield-to-maturity. I praktiken gör använder man tydligen inte duration för att approximera priser, utan man använder det som ett mått på känslighet. Man räknar enklast ut durationen för en portfölj genom att räkna ut portföljens årliga kassaflöden och sedan räkna ut durationen baserat på dem. Om avkastningskurvan är platt (samma spot rates för alla löptider) kan man också se en portföljs duration som de ingående obligationernas viktade medelduration (viktning efter pris). Köpregel: om räntorna förväntas sjunka kommer priserna att stiga, så köp obligationer med hög duration (inte löptid!), då kommer priskänsligheten att göra att priset går upp mycket i förhållande till ränteminskningen. Om räntorna förväntas öka så ska man enligt samma resonemang köpa obligationer med låg duration/priskänslighet, eftersom man inte vill att priset på ens obligationer ska sjunka för mycket.


Risker med att investera i obligationer: • Räntenivårisk: om räntan stiger sjunker priset på obligationer, om man t ex måste sälja

eftersom man behöver pengar vid en viss tid • Återinvesteringsrisk: om räntan sjunker så placeras kupongutbetalningar med sämre

avkastning • Konkursrisk: den som ställer ut en obligation kan alltid gå i konkurs (default) • Växelkursrisk: om en obligation är i utländsk valuta påverkas värdet i den egna

valutan räknat också av växelkurssvängningar • Inflationsrisk: kupongutbetalningar och det nominella värdet är i … öhh … nominella

tal, så inflation innebär att realavkastningen blir lägre • Likviditetsrisk: beror på hur svårt det är att sälja eller köpa obligationer till dess

”rätta” värde (bid-ask spread) Föreläsningsanteckningarna talar om ett tillgångar-skulder-problem (asset-liability) som illustrerar kombinationen av ränterisk och återinvesteringsrisk. Organisationer köper obligationer för att veta att de får tillbaka sina lånade pengar när de har framtida utbetalningar. Om man behöver täcka en framtida utbetalning är ju en nollkupongare smidigt (varken ränterisk eller återinvesteringsrisk), men de finns ju oftast inte för lång tid. Men kan förstås köpa en kupongobligation och låta den sista utbetalningen täcka det behovet av cash man har, fast då får man en massa kupongutbetalningar som inte används. Det är i så fall bättre att räkna med att man återinvesterar dem tills det är dags för den stora utbetalningen i slutet. Men då har man ju en återinvesteringsrisk, eftersom spot rates kan ju sjunka. Fast om spot rates sjunker så stiger ju priset, vilket är bra när man ska sälja obligationen (förutsatt att den har längre löptid än skulden man har, dvs man måste sälja den för att kunna betala sin skuld). Det visar sig att om man köper en obligation med samma duration som skulden man har, och med ett nuvärde (pris) som är lika med skuldens nuvärde så kan man uppnå immunisering, att man vet att man får in de pengar som behövs (produkten duration*pris måste vara identiskt, enligt en gammal tentafråga). Detta är alltså en slags hedegposition: man balanserar en risk med en annan (se Paolos graf). Här balanseras lägre avkastning på återinvestering vid lägre räntor vid att priset blir högre vid försäljningen när skulden ska betalas (förutsätter alltså löptid som är längre än skuldens). Då förutsätter man också att avkastningskurvan dels är horisontell, dels att den fortsätter vara det även om den rör sig.

Det finns en princip som kallas köpkraftsparitet, purchasing power parity, som innebär att priserna på ett ställe är samma som priserna på ett annat ställe omvandlade i landets valuta


med tillägg för transport- och lagerkostnader. För om så inte var fallet skulle man kunna köpa varor på ett ställe, frakta dem till hemlandet, sälja dem och tjäna pengar…. (men är det inte det importindustrin gör?) Det verkar som det empiriska stödet för det är rätt svagt. Men man kan se det som att om det inte är köpkraftsparitet så beror det på att någon av valutorna är felvärderad, eftersom köpkraftsparitet borde finnas. Detta kan t ex mätas av Big Mac-index. Om man investerar i obligationer borde reell avkastning vara intressantare än nominell. Reell avkastning bör vara samma i olika länder, och oberoende av inflationen. Det innebär att den nominella avkastning i två länder ska förhålla sig till varandra på samma sätt som ländernas inflation (nominell avkastning är ju reell avkastning gånger inflationen). Det här stämmer bara till en viss del i verkligheten, till en snubbe som heter Fishers stora besvikelse.

Räntederivat: ränteterminer och ränteswappar Futures (terminer) innebär att man gör upp om priset för en framtida affär, t ex ett köp av obligationer, nu. Terminer är ett slags hedging, att man tar på sig en ytterligare risk för att neutralisera en risk man hade tidigare. Leveransen sker alltså i framtiden, men köpesumman (terminsräntan f2) bestäms nu, baserat på dagens spoträntan för motsvarande löptid. Den explicita terminsräntan f2 är den räntan som man vid t=0 bestämmer kommer att användas vid den framtida affären. Förväntningshypotesen (expectation hypothesis) säger att den explicita terminsräntan ska vara samma som framtida förväntade spoträntor på samma period. (1+r2)2 = (1+r1)(1+f2) om r1 är räntan på ett år, r2 räntan på två år. Om man inte tror att räntan kommer att ändras är förstår r1 = r2 = f2. Men om man tror på högre räntor är r2 och därmed f2 högre än r1. Om spoträntan ändras kommer någon av parterna att förlora på affären och den andra att vinna. Men terminsaffärer kan var som en slags försäkring, i och med att man i förväg vet köpesumman och slipper riskera att förlora oväntade pengar. Man kan enkelt räkna ut terminspris som spot price * (1+r)t. Tänk på ett terminspris inte ska diskonteras till nutid. Terminer är alltså ett derivat, på samma sätt som swappar och optioner, och bygger följaktligen på en underliggande tillgång. Det finns inte bara obligationsterminer, utan de vanligaste terminerna kallas forward rate agreements, där man låser räntan för ett lån genom att köpa en räntetermin med en deposit som underliggande tillgång. Det finns också terminspriser för stapelvaror, commodities. Man kan köpa en stapelvara för det aktuella spotpriset för omedelbar leverans eller på ett terminskontrakt för framtida leverans. Det diskonterade terminspriset är lika med spotpriset, plus nuvärdet av de lagringskostnader man slipper, minus nuvärdet av nackdelen att man inte kan utnyttja varan på ett tag. Swaps är ett räntederivat som innebär att man byter ett kassaflöde mot ett annat. Det finns ränteswaps (interest rate swaps) och valutaswaps (currency swaps). Om man lånar från ett håll till fast ränta och investerar på ett annat håll till rörlig ränta så byter man egentligen det ena kassaflödet mot det andra. Istället för att behöva pilla med ett lån kan man köpa en swap från en swap dealar, vilket innebär att man betalar/får mellanskillnaden mellan de två lånen. Ofta är det ena lånet till fast ränta och det andra följer ex LIBOR (London Interbank Offered Rate), så om man köper en LIBOR-swap får man mellanskillnaden mellan LIBOR och lånet till fast ränta.


Valutamarknaden Det finns en nära koppling mellan räntemarknaden och valutamarknaden. I föreläsningsanteckningar påpekas att om 1 USD (US dollar) motsvarar 10 kr så motsvarar 1 kr USD 1/10, vilket ju kan verka rimligt.. Dock ska man tänka på att om man köper en dollar och sedan säljer den kommer avrundningen av kurserna ske så att man förlorar på affären – annars hade det funnits arbitragemöjligheter, och som alla vet finns ju inga fria luncher utanför Handels studentkår. Det finns också offentliga terminspriser, så man kan köpa ett terminskontrakt där man binder sig att köpa en viss valuta vid ett framtida tillfälle, men till ett pris som sätts nu. Att köpa valuta idag och investera till det landets ränta ska ge samma summa i utländska valuta vid dagen D som att behålla sina pengar i egen valuta och köpa ett terminskontrakt med den löptiden. Det här kallas ränteparitet (interest rate parity). En effekt blir att forwardpriset på ex USD är högre än gällande dollarkurs med samma procentsats som den svenska räntan (köp forward, investera här) är högre än den amerikanska (köp dollar nu, investera där). Sen kan tilläggas att det i praktiken finns en köp-sälj-spread på valuta för att handlarna ska kunna tjäna lite pengar. Terminsräntor på valuta innehåller förväntningar på framtida växelkurs. Man kan säga att priset på ett terminskontrakt att köpa dollar om 90 dagar är dollarns förväntade kurs om 90 dagar. Men terminspriser innehåller också en riskpremie, eftersom det är säkrare att låsa kursen i förväg. Det finns också valutaswaps.


Optioner (och terminskontrakt)

Allmänt och begrepp Saker att komma ihåg:

• Det finns olika typer av derivat av underliggande tillgångar. Optioner är en sådan typ av derivat. De underliggande tillgångarna kan till exempel vara aktier (vanligast i den här kursen) eller obligationer.

• Köpoptioner (calls) är en rätt – men ingen skyldighet – att köpa en underliggande

tillgång för lösenpriset (exercise price, strike price, ”X”). Motparten, den som sålt köpoptionen, är däremot tvingad att sälja den underliggande tillgången (t ex en aktie) om det behövs. Säljoptioner (puts) är motsatsen, alltså en rätt att få sälja exempelvis en aktie för lösenpriset. Man kan också ha optioner på valutor, obligationer, aktieindex och annat.

• Amerikanska optioner kan utnyttjas när som helst. Fast det finns ingen poäng att utnyttja en amerikansk köpoption utan utdelning innan det är dags. Europeiska optioner kan bara utnyttjas på inlösendagen.

• In the money betyder att man tjänar på att lösa in optioner, t ex en köpoption där lösenpriset är lägre än dagens aktiepris. At the money innebär att lösenpris är lika med aktiepriset, så det spelar ingen roll om man löser in eller inte. Out of the money innebär att man inte vill lösa in optionen just nu.

• Terminskontrakt (forward contracts) är liksom optioner en typ av derivat, men det är alltså inte optioner. Terminskontrakt är en ovillkorlig förpliktelse att köpa den underliggande tillgången vid en viss punkt i framtiden.

• Positionsdiagram visar på payoff, alltså vad man kan tjäna på sin option i framtiden. Räknar man dock in att man har betalat en slant för optionen i sig så har man ett profitdiagram istället.

• En option har ett faktiskt värde. Detta består av det inre värde (intrinsic value) som är värdet om man ville och kunde lösa in optioner omedelbart, samt förväntningsvärde (time value) som är den del av värdet som ligger i framtida förväntningar. Vid ett lågt aktiepris kan en säljoption ha ett negativt förväntningsvärde.

Put-call paritet och dess tillämpningar Genom att köpa en aktie (S) och en säljoption (P) kan man garantera sig mot kursras, ”protective put”. Om aktien sjunker under optionens lösenpris använder man sin option och säljer aktien. På så sätt får man i alla fall lösenpriset. På samma sätt kan man köpa en köpoption (C) och sätta undan tillräckligt mycket för att man ska ha råd att utnyttja köpoptionen (=nuvärdet av lösenpriset, PV(X)). De här pengarna investeras till den riskfria räntan, t ex genom att man köper statsobligationer eller sätter in dem på banken. När optionen går ut tar man ut pengarna, och använder sin optionsrätt ifall aktien har stigit förbi lösenpriset. Då vet man att man i slutändan alltid kommer att ha antingen motsvarande lösenpriset eller en aktie, beroende på vilket som är värt mest. Detta är precis samma resultat som med en aktie och en säljoption. Eftersom bägge kombinationer ger samma värde i


framtiden har de också samma värde idag. Följaktligen är S + P = C + PV (X). Detta kallas put-call parity. Observera att det bygger både att den underliggande aktien inte ger några utdelningar och att lösenpris och kvarvarande löptid är samma för köp- och säljoptionerna. Det här är väldigt bra om man vill räkna ut något av värdena från de andra. Ifall P eller C inte skulle vara marknadsmässigt prissatt kan det också finnas arbitragemöjligheter. Då kan man sätta formler i stil med S + P – C – PV(X) > 0 som säger att man får pengar över om man säljer en aktie (kort, man äger alltså inte aktien utan måste senare köpa tillbaka den; inbetalning S), sedan säljer en säljoption (inbetalning P), köper en köpoption (utbetalning C) och sedan sparar man (=lånar ut) pengar för att täcka lösenpriset i framtiden (utbetalning PV(X)). Går aktien ner under lösenpriset kommer personen som köpt säljoptionen att utnyttja den och man köper tillbaka den för lösenpriset, vilket ju precis är de pengar man har haft undanstoppade. Man får också en aktie, vilket ju behövs eftersom man sålt den utan att ha ägt den. Går aktien istället upp använder man sin egen köpoption och köper en aktie för de pengar man sparat. Även här får man tillbaka den aktie man så väl behöver. Summa summarum är att man under alla omständigheter kan köpa en aktie för precis de pengar man sparat, och kan behålla det överskott som uppstod från början (=arbitrage = gratis lunch = mums!). Man kan också använda det här tänket på ett företags balansräkning. Man kan se det som att aktieägarna har sålt tillgångarna (=företaget) till låntagarna, men de har en köpoption att köpa tillbaka den. Lösenpriset blir skuldernas storlek (D). Aktieägarnas del, dvs det egna kapitalet (E), motsvarar då köpoptionens värde. Skuldernas värde blir följaktligen lika med tillgångarna (A, underliggande värde) minus optionens värde (D=A-E): Tillgångar A Eget kapital E (=köpoptionens värde C) Skulder D (=tillgångar A–köpoptionens värde C) Om A > D (underliggande värde > lösenpris) är E>0 och optionen har ett värde. Då använder aktieägarna den och köper tillbaka företaget genom att betala lösenpriset (=D). Aktieägarna behåller då alltså A-D, dvs E. Om A < D utnyttjar man inte sin köprätt, utan låntagarna betala företaget (=låter det gå i konkurs). Man kan också tänka annorlunda och se det som att aktieägarna kan ha köpt en säljoption av låntagarna, med samma lösenpris, dvs skuldernas värde. Om A < D så använder aktieägarna sin säljoption (eftersom E<0) och säljer företaget till låntagarna för skuldernas värde. De slipper alltså betala dem, men å andra sidan får låntagarna företaget, dvs som ovan. Den här situationen kan härledas ut put-call parity: C+PV(skuld)=A+P => A–C=PV(skuld)–P. Bägge leden i den sistnämnda ekvationen blir då lika med skulderna, D. Tillgångar A Eget kapital E Skulder D (=PV(skuld)-säljoptionens värde P)


Optionsvärdering Följande faktorer påverkar värdet på en option:

• Aktiepriset (S) (vi förutsätter här att en aktie är den underliggande tillgången) • Lösenpriset (X) • Löptid (T-t), där T=inlösendatum och T=nu • Den riskfria kontinuerliga räntan r. Om det inte står explicit att den är kontinuerlig,

antag det! • Aktiens avkastnings volatilitet (σ). Volatiliteten är lika med standardavvikelsen på

årsbasis, dvs gånger √250 (=antalet tradingdagar/år), alternativt √(250*variansen). Man normerar alltså standardavvikelsen till att gälla ett år

Utdelningen påverkar också värdet. En köpoptions pris är alltid någonstans mellan det värde man får ut om man utnyttjar den och den underliggande aktiens pris. En option kan inte värderas med hjälp av den vanliga metoden att diskontera framtida kassaflöden, eftersom alternativkostnaden för kapital (rA) förändras varje gång den underliggande aktien ändras För optioner används kontinuerliga räntor. Står det bara r så antas det var en kontinuerlig ränta, alltså en ränta som betalas ut hela tiden och där ränta läggs på ränta. Den diskreta räntan kallas här ρ. Om man har ett belopp som förräntas i n år får man samma utveckling oavsett om man multiplicerar grundinsatsen med (1+ρ)n eller ern. Men har man en diskret ränta ρ ska man använda den första formeln och har man en kontinuerlig ränta r använder man den andra. På samma sätt blir diskonteringsfaktorerna 1/(1+ρ)n respektive 1/ern, vilket ofta skrivs som e-

rn. Ofta skriver man T-t istället för n, och då blir det e-r(T-t). Man kan förstås också konvertera mellan de olika typerna av räntor: (1+ρ)=er ρ = er-1 r = ln (1+ρ). I vissa sammanhang måste man stega sig igenom binominalträd för att få reda på aktiens värde. Vid varje steg/förgrening i trädet räknar man med att den underliggande aktien kan hoppa antingen upp eller ner. Upphoppsfaktorn u som man multiplicerar aktiepriset med skrivs ofta som u=eσ√h. h är (T-t)/antal perioder, dvs antalet dagar en period (”ett hopp”) varar. Man kan se det som att man justerar variansen (σ är ju √(250*variansen)) till det antal dagar perioden faktiskt gäller. I symmetrins namn blir nedhoppsfaktorn d lika med 1/u. Volatiliteten är alltså inbyggd i upp- och nedhoppsfaktorerna. Det innebär också att man kan gå från en upphoppsfaktor u till volatiliteten σ ifall man också känner h. Att räkna ut aktiens värde efter varje förgrening är enkelt: om aktien stiger är det förra periodens värde*u, om aktien sjunker är det förra periodens värde*d. Det här gäller alla noder, både mitt i trädet och för sista perioden. När det sedan gäller att räkna ut optionens värde börjar man baklänges, alltså med den sista perioden. En köpoptions värde i en viss nod i sista perioden är max (aktievärde-lösenpris; 0). Det första fallet gäller om vi utnyttjar optionen och det andra gäller om vi väljer att inte göra det. En säljoptions värde i sista perioden är istället max (lösenpris-aktievärde; 0). Se Jennergrens bild om köpoption:


När man jobbar sig längre tillbaka i trädet så räknar man lite annorlunda. På samma sätt som i beslutsträd är värdet av optionen i en viss mellanliggande nod lika med nästa periods viktade och diskonterade värden. Värdena viktas efter sannolikheten att aktien stiger resp sjunker. Sannolikheten p för att aktien stiger är p = (erh–d) / (u–d). Plugga in detta! Sannolikheten att aktien sjunker är alltså (1-p). Observera att h är antal dagar varje hopp pågår. Sannolikheten för ett upphopp påverkas alltså av hur många hopp man delar in den studerade tidsperioden i. Men har man bara med rätt h så är det samma p för alla noder i binominalträdet. Värdet av en köpoption vid tiden t (inte sista perioden) blir lika med e-r(T-t)(pfu + (1-p)fd) där fu syftar på värdet i nästa period vid ett upphopp och fd är värdet i nästa period vid ett nedhopp. Man tar alltså optionens förväntade värde i en ”riskfri värld” vid sin utgång och diskonterar den till den riskfria räntan r. Observera att man använder diskonteringsfaktorn e-r(T-t) om man diskonterar över hela den studerade tidsperioden (ifall man bara har ett hopp eller ifall man plockar in fuu, fud och fdd direkt i ovanstående ekvation och diskonterar dem direkt till t=0), men t ex e-r(T-t)/2 om man hoppar nod för nod och diskonterar ett värde i ett tvåhoppsträd som redan tidigare blivit diskonterat med samma faktor. Att ta hopp för hopp är klarare och nödvändigt för större träd eller för amerikanska säljoptioner (se nedan), men ibland kan man spara lite tid om man bakar in två hopp i samma ekvation. Principen är samma oavsett antalet hopp. Black-Scholes formel (följer på tentan) är egentligen bara en extrapolering av det här hoppandet. Black-Scholes formel är för att räkna ut värdet på europeiska köpoptioner. Men värdet på europeiska säljoptioner får man ju lätt fram via put-call parity. Och så länge man antar att aktien inte har några utdelningar är det ingen skillnad på amerikanska och europeiska köpoptioner. Det är nämligen alltid värdemaximerande att behålla dem till inlösendagen. Däremot gäller inte det alltid amerikanska säljoptioner. Ifall den underliggande aktien blir värdelös kan man lika gärna utnyttja sin säljoption (om det går=amerikansk dito) tidigare och investera pengarna på annat håll. Det innebär att man vid varje mellannod måste överväga alternativet ”inlösen nu”, vilket är värt (precis som i sista perioden) lösenpris-aktievärde. Man utökar helt enkelt formeln ovan till max[e-rh(pfu + (1-p)fd);X-S]. Här kan man inte direkt diskontera flera steg till nuvärde (hela perioden T-t) utan man måste ta det hopp för hopp (h=(T-t)/antal hopp). Om man har en europeisk köpoption där den underliggande aktien har en utdelning (eller andra fördelar som aktieägarna får, t ex hyresintäkter om man har option på mark) är det rätt lätt att hantera det. Men justerar bara aktiepriset S genom att subtrahera med nuvärdet av den utdelning som väntas komma i perioden. Om U ska delas ut om en månad är nuvärdet e-

r*(1/12)*U. Framöver använder man det justerade aktiepriset i t ex B-S. Amerikanska


köpoptioner med utdelning kan man ibland vilja lösa in i förtid och därför har vi ingen nytta av B-S här. Säljoptioner med utdelning har ingen ens vågats andas om hur det funkar. Det finns också två andra metoder för optionsvärdering som kan nämnas. Den ena går ut på att man bygger en replikerande portfölj med samma värde och risk som optionen. På en effektiv marknad ska den replikerande portföljen ha samma värde som optionen. Även här ritar man binominalträd. Man lånar pengar och köper ett visst antal aktier som får samma värde i en mellannod som motsvarande optioner, oavsett om det går ner eller upp. Låt oss anta att vi har ett binomalträd med bara ett steg där Su och Sd är värden på aktierna vid upp- resp nedgång, och fu och fd är motsvarande för optionerna. Antalet aktier som behöver köpas styrs av ”hedgeparametern” Δ som är optionsspread/aktiespread, dvs Δ = (fu-fd)/(Su-Sd). Vi behöver ha cash som motsvarar nuvärdet av optionsvärdet minus aktiernas värde, vilket ju blir negativt eftersom aktierna alltid är värda mer. Vi behöver alltså låna nuvärdet av den summan som aktiernas värde överstiger optionsvärdet. Optionsvärdet måste vi dock själva lägga ut. Om vi kallar den totala summan pengar w blir det w=e-r(T-t)(fu-ΔSu). Man kan också använda options- och aktievärdena för nerhopp. Den replikerande portföljen följer optionens värde både vid uppgång (ΔSu + er(T-t)w = ΔSu + fu – ΔSu = fu) och nedgång. Så vid tiden t blir värdet på den replikerande portföljen (och därmed optionen) f = ΔS + w = ΔS + e-r(T-t)(fu-ΔSu), dvs värdet av Δ antal aktier minus vårt banklån (-w). Men den här metoden verkar krånglig att använda om binominalträdet består av ett steg (vid varje nod behövs ett nytt Δ?!). Så den finns väl mest med för ”pedagogiska” skäl, jag tror inte den fyller någon större annan funktion… Den andra metoden går ut på put-call parity. Det här gäller för europeiska optioner, och som sagt är C + PV (X) = P + S. Så har t ex C, PV(X) och S kan man enkelt räkna ut värdet på motsvarande säljoption P.

Terminsvärdering Man använder ungefär samma terminologi för terminskontrakt som för optioner, fast lösenpriset X kallas visst delivery price. Ett terminskontrakt värde är initialt alltid 0, eftersom dess värde baseras på de aktuella priserna och räntorna. På samma sätt som för optioner kan man inte diskontera framtida kassaflöden för att få fram terminers värde. Istället jobbar man med replikerande portföljer. Ett terminskontrakt att köpa en aktie en viss dag är värt aktiens pris den dagens minus lösenpriset: ST-X. Samma framtida värde fås om man köper den aktien idag och drar på sig skulder motsvarande lösenpriset (”buy-and-hold”). Nuvärdet av lösenpriset är e-r(T-t)X, om man diskonterar med den kontinuerliga riskfria räntan r, liksom man gör vid optionsvärdering. Så värdet av den replikerande aktieportföljen idag (tiden t) är S – e-r(T-t)X. Detta är också nuvärdet av motsvarande terminskontrakt. Vill man simulera utvecklingen av ett terminskontrakt i ett binominalträd gör man som för optioner, dvs stegar sig från sista perioden och tillbaka i tiden. I slutändan kommer man fram till att värdet är S – e-r(T-t)X, vilket är precis vad vi precis sett.


Corporate Finance: utdelningspolitik, skuldpolitik och värdering

Värdering Låt P0 vara aktiepriset idag, P1 aktiepriset som ett år, DIV1 utdelning (dividend) och r marknadens krav på avkastning på eget kapital (=rE). P0 blir (DIV1+P1)/(1+r), alltså årets aktiepris är lika med det diskonterade värdet av nästa års aktiepris och utdelning. Fortsätter man så här får man att aktien är värd för förväntande utdelningar fram till ett bestämt år H (DIV1/(1+r) + DIV2/(1+r)2 + … + DIVH/(1+r)H) och sedan ett restvärde/horisontvärde (PH/(1+r)H). Om H är oändligt blir P0 = DIV1/r, eller om utdelningen växer med takten g, P0 = DIV1/(r-g). Detta kallas ”Gordons formel”. r är alltså här marknadens krav på avkastning på EK, inte det faktiska ROE som företag uppvisar. g kan ses som avkastningen gånger den andel som återinvesteras (plowback ratio, b), dvs g = b*ROE. Man kan också tänka sig att g varierar mellan åren, men då får man manuellt räkna ut och diskontera framtida utdelningar och horisontvärdet PH. Men PH skulle då kunna vara en oändlig serie av inbetalningar framöver (DIVH+1/(r-gframtida)), som förstås måste diskonteras tillbaka till nutid (*1/(1+r)H). Om man sätter upp P0 = DIV1/(r-g) kan man skriva om det som P0 = EPS1/r + PVGO. EPS1 står för earnings per share, dvs vinst per aktie, i det här fallet för nästa år. PVGO är Present Value of Growth Opportunities, alltså nuvärdet av tillväxtmöjligheterna. PVGO kan räknas ut med en egen formel, men det känns krångligt, P0 - EPS1/r verkar mycket enklare. Utifrån de här begreppen kan man också se att PH kan skrivas som EPSH+1/r + PVGO. Men PVGO har blivit 0 här, eftersom konkurrenter får antas ha hunnit ifatt och det finns bättre ställen att investera i än vårt företag. Därför blir pH EPS/r för det år konkurrenterna ”hinner ikapp”. EPS-begreppet används också för att ta fram P/E-tal, dvs price per earnings, hur många årsvinster som aktiemarknaden tycker att ett företag är värt: P/E är helt enkelt P0/EPS1. Fast ett högt P/E kan bero på antingen högt PVGO (stora förhoppningar om framtida tillväxt) eller lågt r (låga krav på avkastning), så det säger inte så mycket. Apropå P/E-tal är det också möjlighet att se horisontvärde PH som branschens/konkurrenters P/E-tal * EPS för det år där man tror att ens bolag har mognat tillräckligt mycket för att vara representativt för branschen. Man kan också använda Gordons formel för uppskatta r (=rE), alltså de avkastningskrav på eget kapital som marknaden ställer på företaget. I och med att P0 = DIV1/(r-g) så är r = (DIV1/P0)+g. Detta kan vara ett alternativ till CAPM.

Utdelningspolitik (dividend policy) Utdelningar kan betalas ut i kontanter eller aktier (t ex ett dotterbolag delas ut till aktieägarna). Bolaget kan också köpa tillbaka sina aktier och på så sätt ökar de kvarvarande aktieägarna andel av vinsten. En viss Lintner har tyckt till om utdelningspolitik och menar att företag tänker så här:

• Man har långsiktiga mål för sina utdelningskvoter • Man fokuserar på ändringarna i utdelningen snarare än absoluta tal • Ändringar i utdelningar följer förändringar i långsiktiga, hållbar intjäningsförmåga • Företagsledningen vill inte öka utdelningen ifall ökningen inte blir bestående


Han menar att skillnaden i utdelningen två år kan ses som skillnaden mellan den långsiktigt önskvärda utdelningen (target ratio = 1-b) och den faktiska utdelningen förra året, multiplicerat med en justeringsandel: DIV1-DIV0 = (justeringsandel) * [(1-b)EPS1 – DIV0]. Justeringsandelen styr hur lång tid man vill att det ska ta att nå tid. Miller å Modigliani menar att utdelningspolitik inte spelar någon roll på en perfekt kapitalmarknad. Investeringar och lån är fasta, så utdelningspolitik handlar bara om ifall man ska dela ut kontakter eller köpa tillbaka sina aktier. Vilket man gör påverkar inte – på en perfekt kapitalmarknad – företagets värde, eller nya eller gamla aktieägares situation. Men här finns lite andra argument, till exempel de som menar att man ska dela ut så mycket som möjligt så att inte företagsledningen får mycket pengar ”över” och satsar på onödiga projekt. De menar att det är bättre att dela ut pengarna och sedan fråga aktieägarna om mer (nyemission) ifall företagsledningen har angelägna projekt. Fast det här bortser lite naivt från de (extrema) transaktionskostnader som en nyemission i stora bolag för med sig (fast det är klart, det betalar ju Goldmans flashiga kontor…) Andra menar/menade att man av skattetekniska skäl hellre skulle köpa tillbaka aktier än dela ut kontanter. Hur som helst så vill ledningen inte vara för ryckiga i sin utdelningspolitik, eftersom det sänder konstiga signaler.

Några rader om företagets kapitalkostnad Vi kan se ett företags kapitalkostnad (company cost of capital) som den förväntade avkastningen på företagets tillgångar (rA, return on assets). Om företaget består av både skulder (debts; D) och eget kapital (equity; E) så kan man se det som en viktad portfölj med dels skulder, dels eget kapital. På samma sätt som innan blir det totala avkastningskravet rA då det viktade medlet av de två komponenterna i portföljen. Ett viktigt antagande när man pratar om företagets kapitalkostnad är att det endast kan användas för projekt som har samma risknivå och som stöder en lika hög skuldsättning som företaget i stort, de ska vara ”karbonkopior”. Man kan använda CAPM eller APT för att räkna ut vilken avkastning på tillgångarna som aktieägarna förväntas kräva. Precis som innan behöver man för CAPM veta den riskfria räntan, företagets β i förhållande till marknaden och marknadens förväntade avkastning. Om vi har ett företag utan skulder och med bara eget kapital blir rA förstås lika med dess förväntade avkastning på det egna kapitalet (rE, return on equity). Egentligen har det egna kapitalet ett eget β, men i det här fallet blir det samma som företagets β. Ifall företaget har skulder så är rE inte lika med rA. Då väger man rE och rD (return on debt) utifrån skuldsättningsgraden (leverage) och får fram rA = (D/(D+E))*rD + (E/(D+E))*rE. Det ska vara marknadsvärden, men D kan ofta sättas lika med bokföra värden och rD kan ofta approximeras av låneräntan. Leverantörsskulder ska kvittas mot omsättningstillgångar, men övriga kortfristiga skulder ska tas med i D. Om man också väger in skatter får man WACC (weighted average cost of capital):. WACC = (D/(D+E))*rD* (1-Tc) + (E/(D+E))*rE där Tc är bolagsskattesatsen (se avsnittet om corporate finance och skattesköldar). Som Miller & Modigliani kom på så påverkar förändringar i kapitalstrukturen (E och D relativt varandra) inte företagets totala kapitalkostnad. rE ändras och rD ändras (eventuellt), men rA kvarstår. Om företagets skuldsättningsgrad ökar så minskar andelen eget kapital, men å andra sidan ökar avkastningskravet på det. Man kan se det som rE = rA + (D/E)*(rA – rD), vilket verkar påminna om hockeyklubbeformeln från EAS:n, kanske inte så konstigt eftersom


lever betyder hävstång… Här är rAinte WACC, utan en enkel viktning enligt andra raden i det här stycket. Ibland startar man ett projekt som inte har samma kapitalstruktur som företaget. Om proportionerna E och D inte är samma så påverkas bl a rE. Det kan därför vara bra att räkna ut WACC för nya projekt genom dessa tre steg:

1. Räkna ut rA – ”opportunity cost of capital” med företagets D/E 2. Räkna ut rE – ”cost of equity” med det rA och nya kapitalstrukturen 3. Räkna ut WACC med den kapitalstrukturen

Men när sedan WACC är uträknat så antar vi att företaget/projektet behåller sin kapitalstruktur! Bara för att peta in konceptet flow-to-equity någonstans: man kan ju som sagt diskontera framtida kassaflöden med WACC och få fram ett nuvärde för ett projekt. Utifrån ett företags skuldsättningsgrad (D/E) kan man då lätt räkna ut hur stor del av nuvärdet som blir projektets egna kapital och hur stor del som blir dess skulder. Man kan visa att nuvärdet av projektets egna kapital blir exakt samma ifall man tar kvarvarande kassaflöden efter att långivare och skattemyndigheter fått sitt (med kompensation både för återstoppade avskrivningar och taxsköldar) och diskonterar med rE. Det här kan vara ett smidigt sätt om man bara vill räkna ut värdet på aktierna. Eftersom risken är olika för låntagare och ägare har ett företags skulder sitt eget β (kallas βD) på samma sätt som det egna kapitalet har sitt (βE). βE och βD påverkas av att företagets kapitalstruktur ändras, men βA är oförändrat. Uppställningen ser ut precis som WACC-formeln: βA = (D/(D+E))* βD + (E/(D+E))*βE. Det här kan formas om till βE = (1+D/E)*BA – (D/E)*BD. Så ökar skuldsättningsgraden ökar βE. Även om inte bolagets risk/avkastningskrav ökar så ökar aktieägarnas avkastningskrav pga den ökade finansiella risken: man får en finansiell hävstångseffekt. Betat ökar linjärt i takt med att skuldsättningsgraden ökar, ändå tills väldigt höga skuldsättningsgrader då det plötsligt blir överhängande risk för konkurs, då avtar ökningen. Det kan vara bra att kunna unlever beta, det vill säga göra motsatsen till att lyfta något med en hävstång (engelskan känns ibland mer koncis än svenskan…) Det innebär att man går från ett observerat βE till ett βA, vilket inte är så svårt med ovanstående formel. På så sätt kan utifrån aktiens beta uppskatta företagets beta.

Skuldpolitik (debt policy) Miller & Modigliani I: ”Ett företags marknadsvärde är oberoende av dess kapitalstruktur”. Det vill säga, vilken skuldsättningsgrad man har (D/E) påverkar inte företagets förväntade avkastning på totalt kapital (expected return on assets; rA; även kapitalets alternativkostnad). Så oavsett om man använder sina pengar för att köpa aktier i ett företag med lån, eller om man tar ett privat lån och köper aktier i ett företag utan skulder, så får man samma avkastning. Men det här gäller inte i en värld med skatter, eller om privatpersoner inte kan låna till samma villkor som företag (iofs tveksamt, fast bolån är ju ungefär samma räntor). Miller & Modigliani II: ”Ett bolags förväntade rE ökar i takt med D/E (uttryckt i marknadsvärden”. Det här är alltså återigen ”hävstångsformeln”: rE = rA + (D/E)(rA-rD), dvs att ett bolags ökade skuldsättning ökar dess rE. Ökningen går snabbare om rD är lågt, relativt sett. Formeln kommer ur den välkända (?) rA = (D/(D+E))*rD + (E/(D+E))*rE. Kan förresten vara kul att veta att D/(D+E) heter skuldandel, men D/E kallas skuldsättningsgrad. Som vi har


sett tidigare ser de här formlerna exakt likadana ut när det står β istället för r, t ex: βE = βA + (D/E)(βA-βD). Så när förväntade avkastningen ökar, så ökar också risken. Om skuldsättningsgraden (D/E) ökar så växer alltså rE. Fast å andra sidan blir andelen eget kapital mindre, så skuldsidan får ändå större och större inflytande på rA. rD är konstant så länge som skulderna är mindre än eget kapital (D/E<1), men skuldandelen D/(D+E) ökar. Men rA är helt oförändrad (om det inte finns skatter, det fallet avspeglas i WACC). När D/E blir större än 1 börjar rD saknta öka eftersom långivarna bli mer oroliga och då avtar rE:s ökning i samma utsträckning. Se följande graf från Jennergrens föreläsningsanteckningar:

Men låt oss nu räkna med skatter. Eftersom räntan är en kostnad i verksamheten innebär det att vinsten sjunker med räntekostnaden. Det innebär då också att vinstskatten sjunker med vinstskattesatsen TC * räntekostnaden rDD. Det här kallas skattesköldar (tax shields). Om man ska räkna ut ett nuvärde kan man ofta diskonterade dem med låneräntan, eftersom de beror på lånet. Om man räknar med eviga skattesköldar blir ju nuvärdet av dem enligt C/r, dvs TC(rDD) / rD. Så ett företag som lånar ut en viss summa och sedan köper sina egna aktier för det ökar sitt värde med motsvarande skattesköld. Värdet av ett företag kan alltså ses som värdet om det enbart var finansierat med eget kapital plus nuvärdet av skatteskölden. Men varför är inte alla företag enbart finansierade med lån. Här finns två teorier:

• Trade-off-teorin säger att även om skattesköldar är positivt, så finns det andra kostnader som associeras med stor skuldsättning: cost of financial distress, t ex obeståndskostnader (inklusive att leverantören och kunder inte vill handla med en) och agency-kostnader (ledning frestas att spekulera med långivarnas pengar och satsar på NPV-negativa projekt eftersom de framtida inbetalningarna kommer ägarna tillgodo). Tidigare pratade man också om att belåning kunde vara negativt p g a av personliga skatter, men det är inte ett lika starkt argument längre. Förklarar varför tillväxtföretag lånar lite och varför företag med stora säkra tillgångar lånar mycket.

• Hackordningteorin (the pecking order of financing choices) bygger på att det finns asymmetrisk information som gör att det är svårt att emittera nya aktier. Eftersom ledning alltid har insideinformation kommer marknaden att tro att företaget har dåliga nyheter eftersom de vill emittera aktier. Enligt den här teorin finansierar företag sina projekt internt i första hand och sparar intjänade pengar i kassakistor som ledningen kommer åt. Först om dessa inte räcker lånar man, emitterar konvertibler eller – i sista


hand – nya aktier. Den här teorin förklarar varför väldigt lönsamma bolag lånar väldigt lite. Men den förklarar inte varför lönsamma bolag i olika branscher har olika skuldpolitik.

Jennergren påpekade på föreläsningarna att maximera företagets värde inte handlar bara om att minimera WACC. Investeringsbeslut beror inte bara på kassaflöde, utan också på ”mjuka” faktorer som de här modellerna har svårt att hantera. I den här kursen uttalar vi inte oss om vilken kapitalstruktur som är bäst, det är för komplicerat, vi kommer att få D/E-tal givna.

APV-metoden och subventionerade lån APV står för Adjusted Present Value, alltså justerat nuvärde. Först räknar man ut ett nettonuvärde som vanligt. Det uppnås genom att man diskonterar framtida kassaflöden med rA=rE (=alternativkostnad för kapitalet), man antar alltså att det inte finns inga besvärliga lån som skapar skattesköldar finns eller WACC:ar, utan att företaget enbart finansieras med eget kapital. Men sen adderar man finansiella bieffekter till det grundläggande nettonuvärdet: skattesköldar, subventionerade lån och emissionskostnader. Skattesköldarna kan räknas ut genom att man diskonterar dem separat till rD, genom att se på vilka inbetalningar (=skatteutbetalningar som undviks) de ger upphov. Man kan också räkna in dem i de vanliga kassaflödesberäkningarna och diskontera till rA, men då måste man ”rebalansera” kassaflödet genom att lägga till de skatteutbetalningar som undviks. Detta ger exakt samma resultat som vanliga WACC, där man inte lägger till extra fiktiva inbetalningar utan istället anpassar räntan efter skatten. Ett annat speciell typ av värderingar är värdet av en lånesubvention. Här kan man antingen använda APV-metoden eller använda samma metoder som man använder för att värdera ett terminskontrakt på en aktie. Om man använder APV-metoden så gäller att subventionen motsvarar subventionen exkl skatter + nuvärdet av det subventionerade lånets skattesköld – nuvärde av skattesköldarna på det lån man inte längre behöver. Värdet på subventionen utan skatter kan man räkna ut som nettonuvärdet av kassaflödena kring lånet, diskonterat till marknadsmässig skuldränta. Om man diskuterar ett marknadsmässigt lån till marknadsmässig ränta blir ju nettonuvärdet 0. Det positiva nettonuvärdet är alltså en indikation på hur förmånliga villkoren är i förhållande till marknadsmässiga villkor. Nuvärdet av det subventionerade lånets skattesköld är de fiktiva inbetalningarna (skatteutbetalningar som undviks, baserat på den subventionerade låneräntan) diskonterade till marknadsmässig ränta. Nuvärdet på det lån som inte längre behövs räknas ut på samma sätt, fast här bygger skattesköldarna på den marknadsmässiga låneräntan istället. Den andra metoden går ut på att man räknar ut nettonuvärdet på kassaflödet som rör lånet, efter skatt (dvs man stoppar tillbaka den del av räntan som minskar skatten). Diskonteringsräntan blir rD efter skatt, dvs rD(1-Tc). Nettonuvärdet är det totala värdet på lånesubventionen, inkl skattesköldarna både det subventionerade lånet och det man avstår från. Det här blir dock inte riktigt samma som förra metoden, eftersom man gör lite olika antaganden om vilken typ av lån man ersätter. Man kan se det som att det lånet som ersätts, med den här metoden, är ett lån på ett lägre belopp, nämligen den subventionerade lånesumman minus värdet av subventionen. Den andra metoden påminner (tycker Jennergren) om hur man prissätter terminskontrakt på aktier genom att replikera framtida betalningskonsekvenser.

Documents

Finansiella ekonomi - sammanfattning