fin.mat1.pdf

7/27/2019 fin.mat1.pdf

1/152

Poglavlje 1

BUDUCA VRIJEDNOST

Jedan od najosnovnijih koncepata u financijskoj analizi je vremenskaovisnost novca. Novac ima vremensku vrijednost jer postoji mogucnostulaganja novca uz neku kamatnu stopu. U prvom dijelu knjige razumjetcemo tri osnovna koncepta povezana uz vrememensku ovisnost novca.U ovom prvom poglavlju objasnjavamo kako odrediti buducu vrijed-nost ulaganja. U iducem poglavlju objasnjavamo postupak odredivanjakoliko novca treba uloziti danas (to zovemo sadasnja vrijednost) dabismo dobili odredeni iznos u buducnosti. Trece poglavlje pokazujekako izracunati prinos kod nekog ulaganja.

BUDUCA VRIJEDNOST ULAGANJA

Uzmimo da investitor polozi $1,000 u banku i banka mu zagarantiraisplatu 7% kamata godisnje. Na kraju prve godine iznos ce biti $1,070,tj. $1,000 glavnice plus $70 od kamata.

Uzmimo da investitor odluci ostaviti tih $1,070 u banci jos godinudana i da mu banka nastavlja placati 7% kamata godisnje. Iznos ubanci nakon druge godine bit ce $1,144.90 jer imamo

glavnica na pocetku druge godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,070.00

gamata za drugu godinu($1,070.07) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.90gznos na racunu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,144.90

Izmedu polaznog ulaganja od $1,000 i konacne vrijednosti $1,144.90,

1


2/152

2 Poglavlje 1.

mozemo prepoznati sljedece iznose

glavnica na pocetku prve godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,000.00kamata za prvu godinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.00kamata za drugu godinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.00kamata na kamatu za prvu godinu ($70.07) . . . . . . . . . . . . . . . 4.90u k u p n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $ 1 , 1 4 4 . 9 0 .

Kamate od $4.90 u drugoj godini zaradene na kamatama od $70 kojesu zaradene na glavnici od $1,000 zovu se kamate na kamatu.

Nakon 8 godina, na inicijalno ulaganje od $1,000, ako pretpostavimoda je godisnja kamata od 7% neoporeziva, investitor ce zaraditi

glavnica na pocetku prve godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,000.00na kraju prve godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,070.00na kraju druge godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,144.90na kraju trece godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,225.04na kraju cetvrte godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,310.79na kraju pete godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,402.55na kraju seste godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,500.73na kraju sedme godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,605.78na kraju osme godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,718.19

Dakle, nakon 8 godina $1,000 narast ce na $1,718.19, ako pretpostavimoneoporezivu godisnju kamatu od 7%. Iznos $1,718.19 zovemo buducavrijednost od $1,00 na kraju osme godine. Primijetimo da je ukupniiznos kamata na kraju osme godine $718.19. Ukupne kamate pred-stavljaju $560 (=$708) kamata zaradenih na osnovici plus $158.19zaradenih na ponovnom ulaganju novca od kamata.

Racunanje buduce vrijednosti investicije

Da bismo izracunali iznos na koji ce $1,000 narasti na kraju osme go-dine, ako je godisnja kamata 7%, mozemo $1,000 mnoziti osam puta s1.07:

1, 000(1.07)(1.07)(1.07)(1.07)(1.07)(1.07)(1.07)(1.07) = $1, 718.19 .


3/152

Buduca vrijednost 3

Skraceni zapis za ovaj racun je

1, 000 1.078 = $1, 718.19 .

Da bismo poopcili formulu, pretpostavimo da je $1,000 investirano naN godina s godisnjom kamatnom stopom i (zapisanom decimalno).Tada se buduca vrijednost nakon N godina moze prikazati kao

$1, 000 (1 + i)N .

Npr., ako je $1,000 investirano na 4 godine s godisnjom kamatnomstopom od 10% (i = 0.10), tada ce buduca vrijednost biti $1,464.10,

$1, 000 (1.10)4 = $1, 000 (1.4641) = $1, 464.10 .

Izraz (1 + i)N je iznos na koji ce narasti $1 na kraju N-te godine akoje godisnja kamatna stopa i. Ovaj se izraz zove buduca vrijednostod $1. Buduca vrijednost od $1 pomnozena s glavnicom daje buducuvrijednost glavnice.

Na primjer, upravo smo pokazali da ce buduca vrijednost $1,000

ulozenih na 4 godine uz godisnju kamatnu stopu od 10% biti $1,464.10.Buduca vrijednost od $1 je $1.4641. Medutim, ako umjesto $1,000ulozimo $50,000, buduca vrijednost ce biti:

$50, 000 (1.4641) = $73, 205 .

Mozemo poopciti formulu za buducu vrijednost,

BV = G(1 + i)N .

gdje je

BV = buduca vrijednost (u $)G = glavnica (u $)i = kamatna stopa (u decimalnom zapisu)N = broj godina

Sljedecih 5 primjera pokazuju primjenu formule za buducu vrijednost.


4/152

4 Poglavlje 1.

Primjer 1.1 Upravitelj mirovinskog fonda ulozi $10 milijuna u finan-cijski instrument koji obecava platiti 8.7% godisnjih kamata kroz 5godina. Buduca vrijednost ulaganja od $10 milijuna je $15,175,665 jer

G=$10,000,000i=0.087N=5

BV = $10, 000, 000 (1.0875)= $10, 000, 000 (1.5175665)= $15, 175, 665 .

Primjer 1.2 Osiguravajuce drustvo primi premiju od $10 milijuna

koju ulozi na 5 godina. Ulaganje obecava isplatu po godisnjoj stopiod 9.25%. Buduca vrijednost od $10 milijuna na kraju pete godine je$15,563,500 jer

G=$10,000,000i=0.0925N=5

BV = $10, 000, 000 (1.09255)= $10, 000, 000 (1.5563500)= $15, 563, 500 .

Primjer 1.3 Uzmimo da osiguravajuce drustvo garantira placanje $14milijuna mirovinskom fondu za 4 godine. Uzmimo da je osiguravajuce

drustvo upravo primilo premiju od $11 milijuna i moze cijelu premijuinvestirati na 4 godine uz godisnju kamatnu stopu od 6.5%. Da li ceta investicija moci pokriti obvezu od $14 milijuna prema mirovinskomfondu za 4 godine?

Buduca vrijednost investicije od $11 nilijuna na kraju cetvrte godineje $14,151,130 kao sto je pokazano,

G=$11,000,000i =0.065N=4

BV = $11, 000, 000 (1.0654)= $11, 000, 000 (1.2864664)= $14, 151, 130 .

Jer je ocekivana buduca vrijednost $14,151,130, osiguravajuce drustvoce imati dovoljno novca da namiri obvezu od $14 milijuna prema miro-vinskom fondu.

Primjer 1.4 Upravitelj portfelja fonda koji ne podlijeze poreznoj ob-vezi razmatra mogucnost ulaganja $400,000 u financijski instrumentkoji obecava godisnju kamatnu stopu od 5.7% kroz 4 godine. Na kraju


5/152

Buduca vrijednost 5

cetvrte godine upravitelj portfelja planira dobiveno ponovo uloziti najos 3 godine i ocekuje da ce kroz te 3 godine dobiti godisnju stopu od7.2%. Buduca vrijednost ovog cijelog ulaganja je $615,098 kao sto jepokazano,

G=$400,000i =0.057N=4

BV = $400, 000 (1.0574)= $400, 000 (1.248245)= $499, 298 .

Buduca vrijednost od $499,298 ulozenih na 3 godine uz 7.2%,

G=$499,298i =0.072N=3

BV = $499, 298 (1.0723)= $499, 298 (1.231925)= $615, 098 .

Primjer 1.5 Uzmimo da upravitelj portfelja iz prethodnog primjeraima priliku investirati $400,000 na 7 godina u financijski instrumentkoji obecava placanje godisnje kamane stope od 6.15%. Da li je ovamogucnost privlacnija za ulaganje od one analizirane u prethodnom

primjeru?Buduca vrijednost od $400,000 ulozenih na 7 godina uz 6.15% je

$607,435 jer

G=$400,000i =0.0615N=7

BV = $400, 000 (1.06157)= $400, 000 (1.518588)= $607, 435 .

Uz pretpostavku da su oba ulaganja jednako rizicna, ulaganje iz pr-vog primjera imat ce vecu buducu vrijednost na kraju sedme godine akose ocekivanja upravitelja portfelja obistine (uzimajuci u obzir godisnju

stopu uz koju se dobiveni iznosi mogu reinvestirati).

Razlomljeni periodi

U dosadasnjim primjerima racunali smo buducu vrijednost kroz cijelibroj godina. Formula za buducu vrijednost ulaganja je ista i ako brojgodina za ulaganja nije cijeli.


6/152

6 Poglavlje 1.

Na primjer, uzmimo da je $100,000 ulozeno na 7 godina i 3 mjeseca.Jer su 3 mjeseca 0.25 godine, u formuli za buducu vrijednost je sadaN =7.25. Pretpostavimo da je godisnja kamatna stopa 5%. Buducavrijednost od $100,000 ulozenih na 7 godina i 3 mjeseca iznosi $142,437jer je

G=$100,000i =0.05N=7.25

BV = $100, 000 (1.057.25)= $100, 000 (1.424369)= $142, 437 .

Cesce obracunavanje kamate

Investicija moze ubirati kamate cesce nego jedamput godisnje. Na pri-mjer, kamate se mogu isplacivati polugodisnje, tromjesecno, mjesecnotjedno, ili dnevno. Formula za buducu vrijednost kad se kamate is-placuju vise nego jedamput godisnje je adekvatno modificirana. Ka-matna stopa podesena je tako da se godisnja stopa podijeli s brojemperioda (razdoblja) u godini kroz koje se isplacuje kamata. Eksponentje podesen tako da predstavlja ukupni broj obracunavanja kamata. For-

mulu ima dakle oblikBV = G (1 + i)n

gdje je:

i = godisnja kamatna stopa podijeljena s mn = broj isplata kamata ( = N m)m = frekvencija placanja u jednoj godini.

Primjer 1.6 Uzmimo da upravitelj portfelja investira $1 milijun u ula-ganje koje obecava godisnju kamatnu stopu od 6.4% kroz 6 godina.

Kamate se isplacuju polugodisnje. Buduca vrijednost je $1,459,340 jerG=$1,000,000i = 0.032 (= 0.064/2)N = 6m=2n = 12 (= 6 2)

BV = $1, 000, 000 (1.03212)= $1, 000, 000 (1.459340)= $1, 459, 340 .

Da su se kamate isplacivale samo jedamput godisnje buduca vrijednost


7/152

Buduca vrijednost 7

bi bila $1,450,941 umjesto $1,459,340. Veca buduca vrijednost odrazavacinjenicu da se moze cesce ponovno ulagati dobivenu kamatu.

Primjer 1.7 Uzmimo da se u prethodnom primjeru kamate isplacujutromjesecno umjesto polugodisnje. Buduca vrijednost je $1,463,690 kaosto je pokazano,

G = $1,000,000i = 0.016 (= 0.064/4)

N = 6m = 4n=24 (= 6 4)

BV = $1, 000, 000

(1.01624)

= $1, 000, 000 (1.463690)= $1, 463, 690 .

Vidimo da je buduca vrijednost veca nego kada se kamate isplacujupolugodisnje.

Buduca vrijednost obicne rente

Uzmimo da investitor dobiva $10,000 godisnje od nekog ulaganja zasvaku od sljedecih 5 godina, pocevsi jednu godinu od danas. Svaki put

kada investitor primi $10,000 on ih planira dalje uloziti. Pretpostavimoda investitor moze dobiti godisnju kamatnu stopu od 6% svaki put kadulozi $10,000. Koliko ce investitor imati na kraju pete godine?

Formula za buducu vrijednost po jednostavljuje racunanje buducihvrijednosti od svakog ulaganja od po $10,000. Racun je prikazan unastavku i graficki u ilustraciji 1.1.

Za buducu vrijednost prvih $10,000, primljenih 1 godinu od danas,imamo

G = $10,000

i = 0.06N = 4

BV od prvih $10, 000 = $10, 000

(1.064)

= $10, 000 (1.262470)= $12, 624.70 .

Primijetimo da je N = 4 jer ce se isplata od $10,000 uloziti na pocetkudruge godine (ili na kraju prve godine) do kraja pete godine.

Za buducu vrijednost drugih $10,000 primljenih 2 godine od danas,imamo


8/152

8 Poglavlje 1.

G = $10,000i = 0.06N = 3

BV drugih $10, 000 = $10, 000 (1.063)= $10, 000 (1.191060)= $11, 910.60 .

Za buducu vrijednost trecih $10,000, primljenih 3 godine od danas,

G = $10,000i = 0.06N = 2

BV trecih $10, 000 = $10, 000 (1.062)= $10, 000

(1.123600)

= $11, 236, 00 .

Za cetvrtu investiciju ulozenu 4 godine od danas, imamo

G = $10,000i = 0.06N = 1

BV cetvrtih $10, 000 = $10, 000 (1.061)= $10, 000 (1.06)= $10, 600.00 .

Za buducu vrijednost posljednjih $10,000 imamo imamo

G = $10,000

i = 0.06N = 0

BV petih $10, 000 = $10, 000 (1.060

)= $10, 000 (1.00)= $10, 000.00 .

Primijetimo da je zadnja isplata primljena na kraju pete godine i da onanece biti ulozena. Stoga ce njena buduca vrijednost biti jednostavno$10,000.

Ako zbrojimo sve buduce vrijednosti, dobivamo,

Buduca vrijednost prvih $10,000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $12,624.70Buduca vrijednost drugih $10,000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $11,910.60Buduca vrijednost trecih $10,000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $11,236.00Buduca vrijednost cetvrtih $10,000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $10,600.00Buduca vrijednost petih $10,000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $10,000.00

Ukupna buduca vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $56,371.30

Ukupna buduca vrijednost od $56,371.30 sastavljena je od 5 isplatapo $10,000 ili $50,000 plus $6,371.30 kamata zaradenih ulaganjem svakegodine po $10,000.


9/152

Buduca vrijednost 9

-

-

-

-

-

?

c

c

c

c

0 1 2 3 4 5

$10,000

$10,000

$10,000

$10,000

Ukupna buduca vrijednost = $56,371.30

$10,000 (1.064)

=$12,624.70

$10,000 (1.063)

=$11,910.60

$10,000 (1.062)

=$11,236.00

$10,000 (1.061)

=$10,600.00

$10,000 (1.060)

=$10,000.00

Novcani tokovi kod obicne rente

Ilustracija 1.1

Kada se isti iznos novca prima (ili isplacuje) periodicki, to se zoverenta. Kada se prvo primanje (ili isplacivanje) dogada 1 vremenskiperiod od sada, govorimo o obicnoj (ili postnumerando) renti.

Racunanje buduce vrijednosti rente

Kasnije cemo cesce izracunavati buducu vrijednost obicne rente. Pos-tupak koji smo upravo proveli (gdje smo racunali buducu vrijednostsvakog ulaganja) moze se koristiti, ali srecom postoji formula koja semoze koristiti da bismo ubrzali racunanje.


10/152

10 Poglavlje 1.

Neka je A iznos rente (anuiteta) u dolarima, i godisnja kamatnastopa i N broj godina primanja/placanja rente. Tada je

BV = A + A (1 + i) + A (1 + i)2 + + A(1 + i)N1= A

1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)N1

= A(1 + i)N 1(1 + i) 1

= A (1 + i)N 1

i .

Izraz u zagradama je buduca vrijednost obicne rente od $1 po godini.Mnozeci taj izraz s godisnjom rentom dobivamo buducu vrijednostobicne rente.

Koristeci prethodni primjer u kojem se $10,000 ulaze svake godineu iducih 5 godina, pocevsi jednu godinu od sada, dobit cemo

A = $10,000i = 0.06

N = 5

BV = $10, 000

1.065 1

0.060

= $10, 000 1.3382256 1

0.060

= $10, 000(5.63710)

= $56, 371

sto se slaze s nasim prijasnjim racunom.

Primjer 1.8 Pretpostavimo da upravitelj portfelja kupi obveznicu no-minalne vrijednosti $5 milijuna s trajanjem 10 godina, koja obecavaisplatu godisnje1 kamate od 8% . Kamate isplacuje izdavatelj jedamputgodisnje, a prva isplata kamata je jednu godinu od danas. Koliko ceupravitelj portfelja imati ako: (i) drzi obveznicu dok ne prode 10 godina

od danas i (ii) ako moze reinvestirati dobivenu godisnju kamatu uzgodisnju kamatnu stopu od 6.7% ?

Iznos koji ce upravitelj portfelja imati na kra ju desete godine moze-mo podijeliti na sljedece sastavnice

1. $5 milijuna kod dospijeca obveznice1Na primjer eurodolar obveznice isplacuju kuponske kamate jedamput godisnje


11/152

Buduca vrijednost 11

2. 10 godisnjih isplata kamata od $400,000 ( = 0.08x$5,000,000 )

3. kamate zaradene reinvestiranjem godisnjih kamata.

Primijenjujuci formulu za buducu vrijednost obicne rente mozemo o-drediti sumu iznosa naznacenih u 2. i 3. stavci. U ovom primjeru, rentaje $400,000 godisnje, pa imamo

A = $400,000i = 0.067N = 10

BV = $400, 000

1.06710 1

0.067

= $400, 000

1.912688 10.067

= $10, 000 (13.62221)

= $5, 448, 884.

Buduca vrijednost obicne rente od $400,000 godisnje kroz 10 godinaulozenih uz godisnju kamatnu stopu od 6.7% iznosi $5,448,884. Jerod ove buduce vrijednosti $4,000,000 predstavlja ukupnu godisnju is-platu od strane izdavatelja koju upravitelj portfelja odmah ulaze, tada$1,448,884 moraju biti kamate zaradene reinvestiranjem isplacenih go-

disnjih kamata. Dakle, ukupni iznos koji ce upravitelj portfelja imatina kraju desete godine, ulazuci svaku isplacenu kamatu, bit ce

vrijednost po dospijecu $5,000,000isplacene kamata 4,000,000kamate od reinvestiranja kamata 1,488,884

ukupno $10,448,884 .

Vidjet cemo da za razumijevanje ponasanja cijene obveznice kroz cijelovremensko razdoblje dok ona postoji, moramo utvrditi ukupni buduciiznos na kraju investicijskog razdoblja.

Buduca vrijednost obicne rente kada se isplate vrsecesce nego jedamput godisnje

Da bismo u razmatranje ukljucili situacije u kojima se isplata vrsi visenego jedamput godisnje, moramo poopciti formulu za buducu vrijed-nost obicne rente.


12/152

12 Poglavlje 1.

Na primjer, umjesto pretpostavke da investitor primi i ulozi $10,000godisnje kroz 5 godina, pocevsi jednu godinu od danas, uzmimo da onprimi $5,000 svakih 6 mjeseci, pocevsi 6 mjeseci od danas. Opca formulaza buducu vrijednost obicne rente kada se isplate vrse m puta godisnjeje

BV = A

(1 + i)n 1

i

gdje je

A = iznos rente (u $)i = godisnja kamatna stopa podijeljena s m (u decimalnom zapisu)n = N mVrijednost u zagradama je buduca vrijednost obicne rente od $1 krozdano razdoblje. Ako n nije visekratnik broj godina N, tada se ne koristiformula n = N m, vec je n broj razdoblja (svaki vremenske duljineN/m godina).

Primjer 1.9 Razradimo ponovo analizu za obveznicu iz primjera 1.8uz pretpostavku da se kamate isplacuju svakih 6 mjeseci i da je prvaisplata primljena i ulozena 6 mjeseci od danas. Isplata kamata svakih

6 mjeseci je $200,000. Buduca vrijednost od 20 polugodisnjih isplatakamata od $200,000 plus kamate zaradene ulaganjem isplacenih kamatadobiva se ovako,

A = $200,000m = 2i = 0.0335 ( = 0.067/2)n = 20 (= 10 2)

BV = $200, 000

1.033520 1

0.0335

= $200, 000

1.932901 10.0335

= $200, 000(27.84779)

= $$5, 569, 558.Jer je iznos sume svih isplacenih kamata $4,000,000, kamate zaradenereinvestiranjem isplacenih kamata se dobiju oduzimanjem $5,569,558 -$4,000,000 = $1,569,558. Zbog cesceg reinvestiranja, kamate od kamatasu sada vece nego prije (prije su iznosile $1,448,884, vidi primjer 1.8).

Ukupni iznos kojim ce na kraju 10. godine raspolagati upraviteljportfelja dobit cemo ovako,


13/152

Buduca vrijednost 13

vrijednost po dospijecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $5,000,000isplate kamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $4,000,000kamate na kamate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,569,558

ukupno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $10,569,558 .

SAZETAK

U ovom poglavlju smo objasnili kako izracunati buducu vrijednost ula-

ganja. Ovdje su skupljene formule koje smo dosad upoznali.

Formule za izracunavanje buduce vrijednosti.

1. Buduca vrijednost ulaganja na N godina

BV = G(1 + i)N

gdje je

BV = buduca vrijednost (u $)G = glavnica (u $)i = kamatna stopa (u decimalnom zapisu)

N = broj godina

2. Buduca vrijednost ulaganja na n razdoblja

BV = G(1 + i)n

gdje je

BV = buduca vrijednost (u $)G = glavnica (u $)i = godisnja kamatna stopa podijeljena s mm = broj isplata u godini

n = broj razdoblja ( = N m ako je n dijeljivo sa N)

3. Buduca vrijednost obicne rente kroz N godina

BV = A

(1 + i)N 1

i

gdje je


14/152

14 Poglavlje 1.

A = iznos rente (anuiteta u $)i = godisnja kamatna stopa (u decimalnom obliku).

4. Buduca vrijednost obicne rente kroz n razdoblja

BV = A

(1 + i)n 1

i

gdje je

A = iznos rente (u $)i = godisnja kamatna stopa podijeljena s m (u decimalnom zapisu)n = N m (ako je n dijeljivo sa N)m = broj isplata u godini


15/152

Poglavlje 2

SADASNJA VRIJEDNOST

U prethodnom poglavlju, pokazali smo kako izracunati buducu vrijed-nost ulaganja. U ovom poglavlju, pokazujemo kako okrenuti postupakunatrag, tj. kako iz dane buduce vrijednosti odrediti iznos novca kojimora biti investirati danas da bi se realizirala dana buduca vrijednost.Iznos novca koji treba investirati danas zove se sadasnja vrijednost.

Pojam sadasnje vrijednosti je vrlo vazan jer se cijena bilo kojegfinancijskog instrumenta odreduje kao sadasnja vrijednost njegovih oce-

kivanih tokova novca.

Sadasnja vrijednost jednostrukog iznosa

Sjetimo se iz prethodnog poglavlja da se buduca vrijednost iznosa novcaG ulozenog na N godina moze izraziti kao

BV = G(1 + i)N ,

gdje je

BV = buduca vrijednost (u $)G = glavnica (u $)i = kamatna stopa (u decimalnom zapisu)N = broj godina(1 + i)N = buduca vrijednost od $1 ulozenog na N godina uz stopu i.

Kako izracunati iznos novca koji moramo investirati danas da bi uz ka-matnu stopu i kroz N godina producirao odredenu buducu vrijednost?

15


16/152

16 Poglavlje 2.

To se postize rjesavajuci jednadzbu za buducu vrijednost promatrajuciG kao nepoznanicu

G = BV

1

(1 + i)N

Umjesto koristenja G u formuli, preimenovat cemo ga u sadasnju vri-jednost, tj. SV. Stoga, formula za sadasnju vrijednost poprima oblik

SV = BV (1 + i)N

Izraz u uglatim zagradama jednak je sadasnjoj vrijednosti od $1. Onapokazuje koliko treba investirati danas da bi uz kamatnu stopu i, krozN godina dobili vrijednost od $1.

Postupak izracunavanja sadasnje vrijednosti se naziva diskontiranje.Stoga se sadasnja vrijednost ponekad naziva diskontna (ili diskontirana)vrijednost, a pripadna kamatna stopa diskontna stopa.

Sljedeca 4 primjera pokazuju kako izracunati sadasnju vrijednost.

Primjer 2.1 Upravitelj mirovinskog fonda treba imati $9 milijuna na

raspolaganju nakon 6 godina. Pretpostavimo da se za bilo koju sumuinvestiranu danas, moze postici godisnja kamatna stopa od 7.5%. Ko-liko novca mora upravitelj mirovinskog fonda uloziti danas da bi nakon6 godina na raspolaganju imao $9 milijuna?

Upravitelj mora uloziti $5,831,654 jer imamo,

BV=$9,000,000i=0.075N=6

SV = $9, 000, 000

1

1.0756

= $9, 000, 000

1

1.543302

= $9, 000, 000 (0.647961)= $5, 831, 654 .

Primjer 2.2 Pretpostavimo sada da upravitelj mirovinskog fonda izprethodnog primjera moze dobiti 8.3% umjesto 7.5%. Koliko bi tadatrebao investirati?


17/152

Sadasnja vrijednost 17

BV=$9,000,000i=0.083N=6

SV = $9, 000, 000

1

1.0836

= $9, 000, 000

1

1.613507

= $9, 000, 000 (0.619768)= $5, 577, 912 .

Primjer 2.3 Pretpostavimo da upravitelj novcem (money manager)

ima priliku kupiti financijski instrument koji obecava platiti $800,000nakon 4 godine. Cijena financijskog instrumenta je $572,000. Treba liupravitelj novcem uloziti u taj instrument ako zeli ostvariti godisnjukamatnu stopu od 7.8%?

Da bi odgovorili na to pitanje, moramo odrediti sadasnju vrijednostod iznosa $800,000 koji ce biti dostupan za 4 godine uz godisnju ka-matnu stopu od 7.8%. Ta sadasnja vrijednost je $592,400, jer imamo

BV=$800,000

i=0.078N=4

SV = $800, 000

1

1.0784

= $800, 000 1

1.350439

= $800, 000 (0.740500)= $592, 400 .

S obzirom da je cijena financijskog instrumenta $572,000, upraviteljnovcem ce ulaganjem u taj instrument vise postici nego ulaganjem uzgodisnju kamatnu stopu od 7.8%

Drugi nacin rjesavanja ovog problema je pitati na koliki iznos ce$572,000 narasti nakon 4 godine uz godisnju kamatnu stopu od 7.8%.S obzirom da je

G=$572,000i=0.078N=4

BV = $572, 000 1.0784= $572, 000 (1.350439)= $772, 541 .

Dakle, $572,00 kroz ulaganje uz 7.8% naraste za 4 godine na $772,451,dok kroz isto vrijeme koristenjem financijskog instrumenta naraste na$800,000.


18/152

18 Poglavlje 2.

Primjer 2.4 Umjesto da obecava $800,000 kroz 4 godine, pretpostavi-mo da financijski instrument iz prethodnog primjera obecava isplatu$800,000 nakon 5 godina. Ako upravitelj novcem jos uvijek moze ula-ganjem postici godisnju kamatnu stopu od 7.8%, hoce li mu se i sadaisplatiti kupnja financijskog instrumenta za $572,000?

BV=$800,000i=0.078

N=5

SV = $800, 000

1

1.0785

= $800, 000

1

1.455733

= $800, 000 (0.686920)= $549, 536 .

U ovom slucaju je sadasnja vrijednost od $800,000 manja od cijene fi-nancijskog instrumenta, a to znaci da financijski instrument nudi manjugodisnju kamatnu stopu od 7.8%. Dakle, nece mu se isplatiti kupnjatog financijskog instrumenta.

Sadasnja vrijednost za bilo koje razdoblje

Ako se buduca vrijednost prima ili placa nakon vremenskog razdobljakoji ne odgovara cijelom broju godina, broj godina u formuli se pri-kladno prilagodi. Na primjer, ako se $1,000 primi nakon 9 godina i 3mjeseca od sada uz godisnju kamatnu stopu od 7%, sadasnja vrijednostse odreduje ovako,

BV=$1,000i=0.07N=9.25 (3 mjeseca = 0.25 godina)

SV = $1, 000

1

1.079.25

= $1, 000

1

1.86982

= $1, 000

(0.53481)

= $534.81 .

Svojstva sadasnje vrijednosti

Postoje dva svojstva sadasnje vrijednosti koja treba prepoznati.Prvo, za danu buducu vrijednost u odredenom trenutku u buducno-

sti, veca kamatna (ili diskontna) stopa daje manju sadasnju vrijednost.


19/152


To je zato jer je 1/(1+i)N padajuca funkcija od i. Pogleda jmo sadasnjevrijednosti u primjerima 2.1 i 2.2. Kada se kamatna stopa povecala od7.5% na 8.3%, sadasnja vrijednost (od BV = $9, 000, 000 uz N = 6)se smanjila sa $5,831,654 na $5,577,912. Sto je veca kamatna stopauz koju se moze uloziti danas, to manje treba uloziti da bismo otvariliodredenu buducu vrijednost.

Drugo svojstvo sadasnje vrijednosti je da u slucaju fiksne kamatne(diskontne) stope i fiksne buduce vrijednosti, sto je vremensko razdoblje(npr. broj godina) vece, to ce sadasnja vrijednost biti manja. To se

moze vidjeti iz primjera 2.3 i 2.4. Ako se $800,000 zeli primiti nakon4 godine, danas se mora investirati $592,000. Ako se $800,000 zeliprimiti za 5 godina, danas treba investirati $549,536. Razlog je u tomesto veca vremenska udaljenost omogucava dulju akumulaciju kamata,pa ce iznos biti veci. Matematicki, to slijedi iz toga sto je 1/(1 + i)N

pada juca funkcija od N.

Sadasnja vrijednost niza buducih vrijednosti

U mnogim primjenama upravljanja investicijama, te upravljanja sred-

stvima i dugovima, financijski instrument ce ponuditi niz buducih vri-jednosti ili ce npr. financijska kuca imati visestruka dugovanja (ob-veze) u buducnosti. Da bismo odredili ukupnu sadasnju vrijednost nizabuducih iznosa, mora se prvo izracunati sadasnja vrijednost od svakogbuduceg iznosa. Tada se zbroje sve dobivene sadasnje vrijednosti. Pos-tupak je prikazan kroz sljedeca tri primjera.

Primjer 2.5 Upravitalj mirovinskog fonda zna da se moraju zado-voljiti sljedece obveze:

godina od danas obveze1 $200,0002 340,0003 500,0004 580,000

Pretpostavimo da upravitalj mirovinskog fonda zeli uloziti sumu novcakoja ce zadovoljiti sve nabrojane obveze. Pretpostavimo da se danas


20/152

20 Poglavlje 2.

bilo koji iznos novca moze uloziti uz godisnju kamatnu stopu od 8.5%.Koliko mora uloziti da bi se zadovoljila skala obveza?

Odgovor lezi u sumi sadasnjih vrijednosti danog niza obveza. Dakle,mora se izracunati sadasnja vrijednost svake obveze i onda ih zbrojiti,

godina buduca vri- sadasnja sadasnjaod jednost dugo- vrijednost vrijednost

danas vanja (u $) od $1 uz 8.5% duga1 $200,000 0.921659 $184,3322 340,000 0.849455 288,815

3 500,000 0.782908 391,4544 580,000 0.721574 418,513

ukupna sadasnja vrijednost = $1,283,114

Cetvrti stupac je dobiven mnozenjem vrijednosti iz 2. i 3. stupca.Sadasnja vrijednost $1,283,114 je dostatna da podmiri sve buduce

obveze. Da bi se u to uvjerili, pogledajmo sto bi se dogodilo kada bise $1,283,114 investiralo uz godisnju kamatnu stopu od 8.5%. Pret-postavimo da je iznos polozen na bankovni racun i da je na kraju svakegodine povuceno onoliko novca koliko je potrebno da se zadovolji do-

spjevajuca obveza. Tako dobivamo tabelu,(1) (2) (3) (4) (5)

godina iznos na kamata iznos povucen iznosod pocetku uz 8% za podmirenje na kra ju

danas godine godisnje obveze godine0.85(2) (2)+(3)-(4)

1 $1,283,114 $109,065 $200,000 $1,192,1792 1,192,179 101,335 340,000 953,5143 953,514 81,049 500,000 534,563

4 534,563 45,437 580,000 0

Racun pokazuje da ce ulog od $1,283,114 osigurati dovoljno novca dase rijese sve obveze. Na kraju cetvrte godine (kad ce posljednja obvezabiti placena) na racunu nece ostati nista novca.

Primjer 2.6 Investitor razmatra kupnju financijskog instrumenta kojiobecava sljedece isplate,


21/152


godina od danas obveze1 $1002 1003 1004 1005 1,100

Financijski instrument se prodaje za $1,243.83. Pretpostavimo da in-vestitor zeli (trazi, zahtijeva) godisnje kamate od 6.25% za to ulaganje.

Treba li investitor kupiti taj instrument?Da bi odgovorili na to pitanje, treba prvo izracunati sadasnju vri-

jednost svih buducih iznosa koje investitor ocekuje primiti,

godina buduca sadasnja sadasnjaod vrijednost vrijednost vrijednost

sada placanja od $1 uz 6.25% placanja1 $100 $0,9412 $94.122 100 0.8858 88.583 100 0.8337 83.37

4 100 0.7847 78.475 1,100 0.7385 812.35

ukupna sadasnja vrijednost = $1,156.89

Ukupna sadasnja vrijednost buducih novcanih tokova obecanih od stra-ne izdavatelja instrumenta manja je od cijene koja je $1,243.83, pa ceinvestitor dobiti godisnju kamatnu stopu manju od 6.25%. Prema tome,financijski instrument mu nije privlacan za kupnju.

Sadasnja vrijednost obicne rentePonovimo, kada se isti iznos novca prima ili placa svake godine, ondase taj niz placanja naziva renta. Kada se prvo placanje dogada jednugodinu od sada, govori se o obicnoj ili neposrednoj postnumerando renti(engl. ordinary annuity). Kada se prvo placanje dogada odmah, govorise o prenumerando renti (engl. annuity due). Mi cemo gotovo uvijeksusretati obicnu rentu.


22/152

22 Poglavlje 2.

Jedan nacin racunanja sadasnje vrijednosti obicne rente je pracenjepostupka objasnjenog u prethodnom odjeljku; racunati sadasnju vrijed-nost svakog buduceg toka novca i zatim zbrojiti te sadasnje vrijednosti.Srecom, postoji formula za sumu tih sadasnjih vrijednosti

SV = A1

1 + i+ A

1

(1 + i)2+ + A 1

(1 + i)N

= A(1 + i)1 + (1 + i)2 + + (1 + i)(N1)+

= A(1 + i)1 1

(1 + i)N

1 (1 + i)1 = A1

(1 + i)N

i

= A

1 1(1+i)N

i

.

Pritom je A godisnji iznos (anuitet). Clan u uglatim zagradama jesadasnja vrijednost obicne rente od $1 kroz N godina.

Sljedeca dva primjera pokazuju kako se primjenjuje ova formula.

Primjer 2.7 Investitor ima mogucnost kupiti financijski instrument

koji obecava isplatu $500 godisnje u sljedecih 20 godina, pocevsi jednugodinu od danas. Financijski instrument je ponuden po cijeni od $5,300.Investitor zeli ostvariti godisnju kamatnu stopu od 5.5% za to ulaganje.Treba li investitor kupiti taj financijski instrument?

Jer prva isplata treba biti primljena jednu godinu od danas, finan-cijski instrument nudi 20-godisnju rentu od $500 godisnje. Sadasnjavrijednost ove obicne rente racuna se ovako

A = $500i = 0.055N = 20

SV = $500

1 11.05520

0.055

= $500 1 1

2.9177570.055

= $500

1 0.342729

0.055

= $500 (11.950382)= $5, 975.19 .

Jer sadasnja vrijednost obicne rente od $500 godisnje, kad se diskontira


23/152


po stopi od 5.5%, prelazi cijenu financijskog instrumenta ($5,300), ovajfinancijski instrument nudi godisnju kamatnu stopu koja prelazi 5.5%.Dakle, to je ulaganje isplativo za investitora.

Primjer 2.8 U primjeru 2.6 racunali smo sadasnju vrijednost finan-cijskog instrumenta koji nudi $100 godisnje kroz 4 godine i $1,100 nakraju pete godine. Ovaj niz isplata jednak je obicnoj renti od $100godisnje kroz 5 godina plus placanje (buduce vrijednosti od) $1,000nakon 5 godina. Gledajuci na financijski instrument na taj nacin, lako

se izracuna njegova sadasnja vrijednost.Sadasnja vrijednost obicne rente od $100 godisnje kroz 5 godina uzgodisnju kamatnu stopu od 6.25% je

A = $100i = 0.0625N = 5

SV = $100

1 11.06255

0.0625

= $100

1 11.354081

0.0625

= $100

1 0.7385080.0625

= $100 (4.1838)= $418.38 .

Sadasnja vrijednost od $1,000 koji ce biti primljeni na kraju pete godineje $738.51, jer je

BV = $1,000i = 0.0625N = 5

SV = $1, 000

1

1.06255

= $1, 000

1

1.354081

= $1, 000

1 0.738508

0.0625

= $1, 000 (0.738508)= $738.51 .

Sadasnja vrijednost niza placanja koje nudi ovaj financijski instrumentse sastoji od:

sadasnje vrijednosti obicne rente od $100 godisnjekroz 5 godina uz 6.25% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $418.38


24/152

24 Poglavlje 2.

sadasnje vrijednosti od $1,000 nakon 5 godina uz 6.25% . . . . . . . 738.51

ukupna sadasnja vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1,156.89

To se slaze s racunom u primjeru 2.6.

Beskonacna renta: specijalni slucaj

Do sada smo pokazali kako izracunati sadasnju vrijednost obicne rentekroz odredeni vremenski period. Pretpostavimo sada da renta trajevjecno. Tada se ona zove vjecna (postnumerando) renta. Formula zasadasnju vrijednost vjecne (ili beskonacne) rente se dobiva pusta juciN ,

SV = limN

A

1 1(1+i)N

i

= A

limN 1 1(1+i)Ni

=A

i.

Primjer 2.9 Investitor moze za $1,000 kupiti financijski instrumentkoji obecava placanje $80 godisnje zauvijek. Investitor ocekuje natrzistu godisnju kamatnu stopu od 10%. Da li je to ulaganje isplativo?

Sadasnja vrijednost od beskonacne rente od po $80 jednaka je $800,jer je

A = $80i = 0.10

SV =$80

0.10

= $800 .

Jer je cijena od $1,000 za financijski instrument veca od sadasnje vrijed-nosti vjecne rente ($800), ulaganje nudi godisnju kamatnu stopu manjuod 10%; dakle, to nije isplativo ulaganje.


25/152


Sadasnja vrijednost kada je frekvencija placanjaveca nego jedamput godisnje

U racunanju sadasnje vrijednosti, dosad smo pretpostavljali da se budu-ca vrijednost prima ili placa jedamput godisnje. U praksi, buduca vri-jednost moze biti primljena ili isplacena cesce nego jedamput godisnje.Stoga se formula za sadasnju vrijednost koju smo koristili mora modifi-cirati na dva mjesta. Prvo, godisnja kamatna stopa dijeli se s frekvenci-jom po godini. Na primjer, ako se buduca vrijednost prima ili isplacuje

polugodisnje (tromjescno, mjesecno) godisnja kamatna stopa se dijeli

1

s 2 (4, 12). Drugo, broj razdoblja u kojima ce se buduca vrijednostprimati ili placati mora se prilagoditi, npr. mnozenjem broja godina sfrekvencijom.

Opca formula za sadasnju vrijednost buduceg iznosa novca je

SV = BV

1

(1 + i)n

gdje je

i = periodicka kamatna stopa u decimalnom obliku (godisnja kamatna

stopa podijeljena s m)n = broj razdoblja (npr. broj godina N puta m)m = frekvencija placanja buduce vrijednosti u jedno j godini

Primjer 2.10 Investitor razmatra kupnju financijskog instrumenta ko-ji obecava sljedece isplate svaka 3 mjeseca (tj. tromjesecno ili kvartalno)

razdoblje (3 mjeseca) obecano placanje1 $1,0002 1,2003 1,500

4 1,7005 1,8006 2,000

1Tehnicki, ovo nije pravi nacin podesavanja periodicke prema godisnjoj kamatnojstopi. Npr., godisnja kamatna stopa od 8% nije jednaka tromjesecnoj kamatnojstopi od 2%. Medutim, kod racunanja prinosa od obveznice, trziste je prihvatilokonvenciju koja se bazira na ovom pristupu. To ce biti objasnjeno u sljedeca 2poglavlja


26/152

26 Poglavlje 2.

Ako investitor zeli ostvariti godisnju kamatnu stopu od 12% od ovogulaganja, koji je najveci iznos koji investitor mora platiti za njega?

Najveci iznos koji investitor treba platiti da bi zaradio godisnjukamatnu stopu od 12% je sadasnja vrijednost obecane buduce vrijed-nosti racunata uz godisnju diskontnu stopu od 12%. Ta vrijednost je$8,212.79, jer imamo

broj buduca sadasnja sadasnjarazdoblja vrijednost vrijednost vrijednostod sada placanja od $1 uz 3% placanja

1 $1,000 0.97087 $970.872 1,200 0.94260 1,131.123 1,500 0.91514 1,372.714 1,700 0.88849 1,510.435 1,800 0.86261 1,552.706 2,000 0.83748 1,674.96


Kada se trazi sadasnja vrijednost obicne rente, opca formula je

SV = A

1 1(1+i)n

i

gdje je

A = iznos rente (u $ po razdoblju)n = broj razdoblja.

Primjer 2.11 U primjeru 2.6 izracunali smo sadasnju vrijednost slje-deceg niza buducih iznosa, pretpostavljajuci da je godisnja kamatnastopa 6.25%:

godina od placanje obecanodanas od izdavatelja

1 $1002 1003 1004 1005 1,100


27/152


Umjesto godisnjih, pretpostavimo da su placanja obecana polugodisnje,na sljedeci nacin

6-mjesecno razdoblje placanje obecanood sada od izdavatelja

1 $50

2 503 504 505 506 507 508 509 50

10 10 50

Ovaj financijski instrument je ekvivalentan obicnoj renti od $50 kroz10 polugodisnjih razdoblja i $1,000 koji ce biti isplaceni nakon 10 polu-godisnjih razdoblja. Pritom cemo $1,000 diskontirati na osnovu istihvremenskih perioda kao i kod rente. Dakle, imamo

A = $50m = 2 (placanje svakih 6 mjeseci)

i = 0.03125n = 10 (5 2)

SV = $50

1 11.0312510

0.03125

= $50

1 1

1.360315

0.03125

= $50

1 0.7351240.03125

= $50 (8.4760)= $423.80 .

Sadasnja vrijednost od $1,000 koji ce biti primljeni nakon 10 polu-godisnjih razdoblja, se izracunava ovako


28/152

28 Poglavlje 2.

BV = $1,000m = 2 (placanje svakih 6 mjeseci)i = 0.03125n = 10

SV = $1, 000

1

1.0312510

= $1, 000

1

1.360315

= $1, 000 (0.735124)= $735.12 .

Sadasnja vrijednost niza buducih iznosa koje nudi financujski instru-ment odredi se ovako,

Sadasnja vrijednost obicne rente od $50kroz 10 polugodisnjih razdoblja uz 3.125% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $423.80

Sadasnja vrijednost od $1,000nakon 10 polugodisnjih razdoblja uz 3.125% . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.12

Ukupna sadasnja vrijednost $1,158.92

Primijetimo da se zbog cesce frekvencije placanja, sadasnja vrijednostpovecala sa $1,156.89 na $1,158.92.

Primjer 2.12 Uzmimo da banka odobri privatnoj osobi stambeni za-jam za kupnju kuce od $100,000 na 30 godina. U uvjetima zajma stojida ce mjesecne otplatne rate biti jednake. Banka zaracunava godisnjukamatnu stopu od 12% za taj zajam. Kolika treba biti mjesecna ratada bi banka ostvarila godisnju kamatnu stopu od 12%?

Mozemo koristiti formulu za sadasnju vrijednost obicne rente. Ban-ka zeli primati fiksne mjesecne iznose (renta) tako da ukupna sadasnjavrijednost te rente bude uz 12% kroz 30 godina $100,000. Ukupni brojplacanja je 1230=360, kamatna stopa po periodu je 12/12=1%, paimamo

$100, 000 = A 1 1

1.01360

0.01

.

Nepoznanica A je mjesecna renta ili mjesecna otplata zajma. Rijesimojednadzbu po A,

$100, 000 = A

1 135.949641

0.01


29/152


= A

1 0.02781670.01

= A (97.21833)

pa je

A =$100, 000

97.21833= $1, 028.61

Dakle, fiksna mjesecna rata mora biti $1,028.61.

Nejednaka diskontna stopa

Dosad smo kod izracunavanja sadasnje vrijednosti svakog placanja pret-postavljali istu diskontnu kamatnu stopu ili zahtijevani prinos Ova pret-postavka ne mora biti garantirana. Kasnije cemo vidjeti da postojirazlog zasto svako placanje treba biti diskontirano po odredeno j jedin-stvenoj stopi. Sadasnja vrijednost niza placanja je tada zbroj sadasnjihvrijednosti svih placanja pri cemu se svako placanje diskontira po svojojjedinstvenoj stopi.

Primjer 2.13 Razmotrimo primjer 2.6 gdje financijski instrument cini5 placanja: $100 kroz 4 godine i $1,100 na kraju pete godine. Kadse svako placanje diskontira po godisnjoj kamatnoj stopi od 6.25%,ukupna sadasnja vrijednost je $1,156.89. Pretpostavimo da se ka-matna stopa (prinos) na trzistu mijenjala za svaku godinu, kao stoje naznaceno u slijedecoj tabeli

godina obecano placanje prinos naod sada od izdavatelja trzistu

1 $100 4.80%2 100 5.25%3 100 5.50%4 100 6.00%5 1,100 6.25%


Sadasnja vrijednost svakog placanja je prikazana u sljedecoj tabeli.Svako placanje je diskontirano prema stopi koja je na trzistu.


30/152

30 Poglavlje 2.

godina obecano kamatna sto- sadasnja vri- sadasnjaod sada placanje pa na trzistu jednost od $1 vrijednost

1 $100 4.80% 0.954198 $95.41982 100 5.25% 0.902726 90.27263 100 5.50% 0.851614 85.16134 100 6.00% 0.792094 79.20935 1,100 6.25% 0.738508 812.3590


Ukupna sadasnja vrijednost tokova novca je $1,162.42.

Odredivanje cijene financijskog instrumenta

Cijena bilo kojeg financijskog instrumenta jednaka je sadasnjoj vrijed-nosti ocekivanih tokova novca koje nudi financijski instrument. Odredi-vanje cijene, stoga, trazi sljedece podatke:

1. iznose ocekivanih tokova novca

2. odredivanje kamatne ili diskontne stope kako bi se sadasnja vri-

jednost mogla izracunati.

Tok novca u bilo kojem periodu je jednostavno razlika izmedu ulaznognovca i izlaznog novca koji dolaze od investicije u financijski instrument.Za neke financijske instrumente je odredivanje ocekivanih tokova novcajednostavno za izracunati, dok je za neke tokove novca taj problemslozen.

Utvrdivanje kamatne ili diskontne stope odrazava zahtijevani prinosza financijski instrument uz stanoviti rizik.

SAZETAKU ovom poglavlju smo objasnili kako izracunati sadasnju vrijednostiznosa koji ce biti primljen ili placen u buducnosti. Ovdje se nalazipregled formula za racunanje sadasnje vrijednosti, koje smo koristili uovom poglavlju.

1. Sadasnja vrijednost buduceg iznosa N godina od sada


31/152


SV = BV

1

(1 + i)N

BV = buduca vrijednost (u $)SV = sadasnja vrijednost (u $)i = kamatna stopa (u decimalnom zapisu)N = broj godina(1 + i)N = buduca vrijednost od $1

ulozenog uz i na N godina.

2. Sadasnja vrijednost buduceg iznosa n vremenskih razdoblja od sada

SV = BV

1

(1 + i)n

BV = buduca vrijednost (u $)SV = sadasnja vrijednost (u $)

i = periodicka kamatna stopa (u decimal-nom zapisu)m = frekvencija placanja u godinin = broj razdoblja ( npr. N m).

3. Sadasnja vrijednost obicne rente kroz N godina

SV = A

1 1(1+i)N

i

A = iznos rente (u $)SV = sadasnja vrijednost (u $)i = godisnja kamatna stopa (u decimal-nom zapisu)N = broj godina.

4. Sadasnja vrijednost obicne rente kroz n perioda

SV = A

1 1(1+i)n

i

A = iznos rente (u $)SV = sadasnja vrijednost (u $)i = periodicka kamatna stopa (u decimal-nom zapisu)

godisnja kamatna stopa/mm = frekvencija placanja u godinin = broj razdoblja ( npr. N m).

5. Sadasnja vrijednost vjecne rente

SV =A

i


32/152

32 Poglavlje 2.


33/152

Poglavlje 3

Prinos iliinterna stopa povrata

U proslom poglavlju smo pokazali kako koristiti sadasnju vrijednost dabismo odredili osigurava li fimancijski instrument minimalnu godisnjukamatnu stopu koju zahtijeva investitor. Neka je na primjer $1,039.57sadasnja vrijednost od buducih obecanih placanja financijskog instru-menta, kad se diskontiraju uz 9% i i neka je cijena financijskog instru-menta $944.14. Tada investicija nudi godisnju kamatnu stopu vecu od9%. Postavlja se pitanje koliko vecu? Koju kamatnu stopu, odnosnoprinos ce investitor ostvariti kupujuci financijski instrument za $944.14?Svrha ovog poglavlja je pokazati kako izracunati prinos od bilo koje in-vesticije.

Racunanje prinosa investicije

Prinos investicije je ona kamatna stopa koja ce producirati od njenihbuducih tokova novca onu ukupnu sadasnju vrijednost, koja je jednaka

njenoj cijeni. Prinos y zadovoljava jednadzbu oblika

p =c1

1 + y+

c2(1 + y)2

+c3

(1 + y)3+ + cN

(1 + y)N

gdje je

p = cijena

33


34/152

34 Poglavlje 3.

ct = tok novca u godini tN = broj godina

Clan ct/(1 + y)t je sadasnja vrijednost toka novca u godini t. Prinos

izracunat iz gornje jednadzbe se takoder zove interna stopa povrata.Koristeci znak sumiranja gornja jednadzba se moze zapisati kao

p =Nt=1

ct(1 + y)t

.

Rjesavanje nelinearne jednadzbe po y zahtjeva opcenito beskonacnokoraka, ali za prakticne potrebe rjesava se numericki npr. metodomiteracije. Najprimitvniji nacin je metoda pokusaja i popravaka kojaima tri koraka:

korak 1. odaberi jednu kamatnu stopu

korak 2. izracuna j sadasnju vrijednost svakog toka novca koristeci stopuizabranu u koraku 1.

korak 3. zbroji sadasnje vrijednosti izracunate u koraku 2.

korak 4. usporedi sadasnju vrijednost s, izracunatu u koraku 3. sa vri-jednoscu p. Tada,ako je s = p, s je trazeni prinosako je s > p vrati se na korak 1. izabiruci vecu kamatnu stopuako je s < p vrati se na korak 1. izabiruci manju kamatnu stopu.

Sljedeca dva primjera ilustriraju kako ova metoda funkcionira.

Primjer 3.1 Financijski instrument nudi sljedeca godisnja placanja

godina obecano godisnje placanjeod sada (tok novca prema investitoru)

1 $2,0002 2,0003 2,5004 4,000


35/152

Prinos investicije 35

Pretpostavimo da je cijena financijskog instumenta $7,704. Koji prinosili internu stopu povrata nudi financijski instrument?

Primijenimo metodu pokusaja i popravaka. Pokusajmo sa godis-njom kamatnom stopom od 10%

godina obecano godisnje sadasnja vrijednostod sada placanje toka novca uz 10%

1 $2,000 $1,8182 2,000 1,6523 2,500 1,878

4 4,000 2,732ukupna sadasnja vrijednost $8,080

Sadasnja vrijednost financijskog instrumenta uz godisnju kamatnu sto-pu od 10% premasuje cijenu $7,704 pa se mora pokusati sa vecom ka-matnom stopom. Pokusaj sa 14% daje


1 $2,000 $1,7542 2,000 1,638

3 2,500 1,6884 4,000 2,368

ukupna sadasnja vrijednost $7,348

Uz 14% sadasnja vrijednost tokova novca je manja od $7,704 sto je ci-jena financijskog instrumenta, stoga treba pokusati sa nizom kamatnomstopom. Sadasnja vrijednost uz kamatnu stopu od 12% je izracunata usljedecoj tabeli


1 $2,000 $1,7862 2,000 1,5943 2,500 1,7804 4,000 2,544

ukupna sadasnja vrijednost $7,704

Sadasnja vrijednost tokova novca je sada jednaka cijeni financijskoginstrumenta. Stoga je prinos 12%


36/152

36 Poglavlje 3.

Formula za prinos bazirana je na godisnjim tokovima novca. Ona sejednostavno moze generalizirati za bilo koji broj periodickih placanja.Tada ona glasi:

p =c1

1 + y+

c2(1 + y)2

+c3

(1 + y)3+ + cn

(1 + y)n

gdje je

p = cijena

ct = tok novca u razdoblju tn = broj razdoblja.

Krace se formula zapisuje kao

p =n

t=1

ct(1 + y)t

.

Uocimo da je prinos izracunat pomocu ove formule prinos za razdoblje.To znaci npr. ako su tokovi novca polugodisnji da je i prinos polu-godisnji. Ako su tokovi novca mjesecni i prinos je mjesecni. Godisnja

kamatna stopa se izracuna mnozenjem prinosa za razdoblje sa odgo-varajucom frekvencijom.

Primjer 3.2 Kao u primjeru 2.11 iz prethodnog poglavlja, pretposta-vimo da investitor kupuje financijski instrument koji obecava sljedecepolugodisnje tokove novca:

10 placanja od po $50 svakih 6 mjeseci

$1,000 nakon 10 6-mjescnih perioda.

Pretpostavimo da je cijena financijskog instrumenta $1,243.88. Uzgodisnju kamatnu stopu od 6.5% koju zeli investitor, sadasnja vrijed-nost tokova novca jednaka je $1,158.92, pa financijski instrument necebiti atraktivan investitoru. Koji prinos zapravo nudi ovaj financijskiinstrument?

Prinos cemo izracunati metodom pokusaja i promasaja, kako jeprikazano u tabeli


37/152


godisnja polugod. sad. vrijednost sad. vrijednost od ukupnakamatna kamatna od 10 6-mj. $1,000 nakon 10 sadasnja

stopa stopa placanja po $50 6-mj. razdoblja vrijednost6.000% 3.00% $426.51 $744.09 $1,160.605.500 2.750 432.00 762.40 1,194.405.000 2.500 437.60 781.20 1,218.804.500 2.250 443.31 800.51 1,243.83

Kako se vidi iz racuna, kada se koristi polugodisnja kamatna stopa2.250%, dobiva se ukupna sadasnja vrijednost, koja je jednaka cijeni$1,243.83. Stoga je 2.250% 6-mjesecni prinos. Udvostrucujuci ga do-bivamo godisnji prinos od 4.5%. To se slaze sa nasim prehodnim za-kljuckom: financijski instrument nije atraktivan jer nudi prinos koji jemanji od 6.5%, kojeg zahtijeva investitor.

Primjer 3.3 Pretpostavimo da se financijski instrument iz prethodnogprimjera prodaje po $944.14 umjesto po $1,243.83. Koji prinos nudifinancijski instrument s tom nizom cijenom?

Sljedeca tabela daje prikaz racunanja prinosa

godisnja polugod. sad. vrijednost sad. vrijednost od ukupnakamatna kamatna od 10 6-mj. $1,000 nakon 10 sadasnja

stopa stopa placanja po $50 6-mj. razdoblja vrijednost9.000% 4.500% $395.64 $643.93 $1,039.579.500 4.750 390.82 628.72 1,019.54

10.000 5.000 386.09 613.91 1,000.0010.500 5.250 381.44 599.49 980.9311.000 5.500 376.88 585.43 962.3111.500 5.750 372.40 571.74 944.14

Vidimo da uz polugodisnju kamatnu stopu od 5.75% ukupna sadasnja

vrijednost svih tokova novca iznosi $944.14 sto je ujedno i cijena fi-nancijskog instrumenta. Stoga je 5.75% 6-mjesecni prinos, a 11.50%godisnji prinos tog instrumenta.

Primjer 3.4 Pretpostavimo da je danas pokrenut 30-godisnji hipote-karni kredit od $50,000. Kredit zahtijeva da vlasnik kuce (posuditelj)placa $349.60 svaki mjesec, dakle 360 puta. Upravitelj portfeljom


38/152

38 Poglavlje 3.

hipoteka ima priliku kupiti danas tu hipoteku za $43,449. Koji je prinosod niza mjesecnih placanja po tom kreditu?

Iz tabele

godisnja mjesecna sadasnja vrijednost

kamatna kamatna od 360 mjesecnih placanja

stopa stopa od po $349.60

7.50% 0.6250% $50,0008.00 0.6667 47,6438.50 0.7083 45,469

9.00 0.7500 43,449Vidimo da je mjesecni prinos 0.75%, pa je godisnji prinos 9.0%.

Primjer 3.5 Izdavatelji financijskih instrumenata moraju odrediti tro-skove fondova koje stvore. Troskovi fondova (tzv. all-in-cost of funds)su one kamatne stope koje izjednacuju sadasnju vrijednost buducihgotovinskih placanja (koje izdavatelj placa vlasnicima vrijednosnica)sa neto iznosima primljenim u momentu izdavanja. To znaci da sutroskovi fondova zapravo interne stope povrata.

Pretpostavimo da izdavatelj treba izvrsiti sljedeca placanja vlas-nicima vrijednosnica svakih sest mjeseci:

30 placanja od po $1 milijun svakih 6 mjeseci $20 milijuna nakon 30 6-mjesecnih razdoblja od sada.

U momentu izdavanja, izdavatelj prima neto dotok od $19,696,024.Trosak fonda za ovo izdanje je 5.10% polugodisnje, kao sto se vidi izsljedece tabele

godisnja polugod. sad. vrijednost sad. vrij. od $20 ukupnakamatna kamatna od 30 6-mj. pla- mil. nakon 30 sadasnja

stopa stopa canja po $1 mil. 6-mj. razdoblja vrijednost

10.000% 5.000% $15,372,41 $4,627,549 $20,000,00010.100 5.050 15,285,221 4,561,927 19,847,14810.200 5.100 15,198,759 4,492,265 19,696,024

Treci stupac se dobije da se $1 milijun pomnozi sa sadasnjom vrijednstiobicne rente od $1 za 30 perioda. Cetvrti stupac se dobije da se $20milijuna pomnozi pomnozi sa sadasnjom vrijednoscu od $1, 30 periodaod sada.


39/152


Izracunavanje prinosa za samo jedan tok novca

Postoji specijalan slucaj kada nije potrebno prolaziti kroz procedurupogresaka i popravaka koja zahtijeva dosta racunskih operacija. To jeslucaj kada postoji samo jedan tok novca od investicije.

Primjer 3.6 Financijski instrument koji se moze kupiti za $6,805.82obecava platiti $10,000 za 5 godina. Prinos je kamatna stopa koja ceosigurati da $6,805.82 naraste za 5 godina na $10,000. Stoga trazimoonu vrijednost y koja zadovoljava jednadzbu

$10, 000 = $6, 805.82 (1 + y)5.

Dijeljenjem sa 6, 805.82 dobivamo

(1 + y)5 =$10, 000

$6, 805.82= 1.46933 .

Nakon korjenovanja, imamo

1 + y =5

1.46933 = 1.0800 ,

pa jey = 1.0800 1 = 0.08 .

Dakle je prinos od te investicije 8% .

Iz zadnjeg primjera vidimo da je prinos y dobiven iz formule

y = (buduca vrijednost po investiranom dolaru)1n 1

gdje je

n = broj razdoblja nakon kojih ce tok novca biti primljen (placen)

buduca vrijednost po investiranom dolaru =tok novca od investicije

iznos investiran (cijena).

Primjer 3.7 Jedna investicija nudi placanje $84,957 dvadeset godinaod danas. Cijena je $20,000 . Prinos po toj investiciji je 7.50%, jer jen = 20,


40/152

40 Poglavlje 3.

buduca vrijednost po investiranom dolaru = $84,957/$20,00 = 4.24785i

y = (4.24785)120 = 1.07499 1 = 0.07499 .

Primjer 3.8 U primjeru 2.8 izracunali smo koliko dolara ce biti naraspolaganju upravitelju portfelja ako investira $5, milijuna (al pari)u vrijednosnicu koja dospijeva za 10 godina i obecava platiti godisnju

kamatnu stopu od 8%. Kamate se isplacuju jednom godisnje i nji-hovi iznosi se odmah reinvestiraju po godisnjoj kamatnoj stopi od6%. Izracunali smo da ce nakon 10 godina upravitelj portfelja imati$10,448,884 od cega je $5 milijuna glavnica, $4 milijuna isplacene ka-mate i $1,448,884 zarada od reinvestiranih kamata.

Prinos od te investicije, baziran na ocekivanjima upravitelja port-felja moze se izracunati trazeci onaj prinos koji ce od $5 milijuna stvoritikroz 10 godina $10,448,884. S obzirom da smo problem reducirali nainvesticiju s jednim tokom novca, lako dobivamo

n = 10 (= N),

buduca vrijednost po investiranom dolaru=$10, 448, 884

$5, 000, 000= 2.08978,

y = (2.08978)110 1 = 1.07649 1

= 0.07649 ili 7.65% .

Svadanje na godisnji prinosDosad smo svadali periodicke kamatne stope na godisnju kamatnu sto-pu jednostavno mnozeci ih sa frekvencijom (u jednoj godini). Rezulti-rajucu stopu smo zvali godisnja kamatna stopa. Npr. ako smo izracunalipolugodisnji prinos, svadali smo ga na godisnji prinos mnozenjem s dva.Alternativno, ako smo imali godisnju kamatnu stopu, a zeljeli smo ko-ristiti polugodisnju stopu dijelili smo ju s dva.


41/152


Ova jednostavna procedura za racunanje godisnje kamatne stopeako je dana periodicka stopa (tjedna, mjesecna, kvartalna, polugodi-snja) nije matematicki korektna. Da bismo vidjeli zasto, pretpostavimoda je $100 investirano na godinu dana uz godisnju kamatnu stopu od8%. Na kraju godine, kamata je $8.

Pretpostavimo da je $100 investirano na jednu godinu, ali tako dase kamata koja dolazi od polugodisnje kamatne stope od 4% pripisujepolugodisnje. Kamata na kraju godine se odredi racuna juci buducuvrijednost od $100 nakon jedne godine

$100 (1.04)2 = $100 (1.0816) = $108.16 .

Dakle, kamate na $100 jednake su $8.16, pa je kamatna stopa ili prinosna investiciju od $100 zapravo 8.16% . Ova kamatna stopa se zoveefektivni godisnji prinos (effective annual yield).

Investitori koji su upoznati sa depozitnim certifikatima koje nudebanke trebali bi razumjeti razliku izmedu godisnje kamatne stope (an-nual interest yield) i efektivnog godisnjeg prinosa. Tipicno, obje odovih stopa se spominju na depozitnom certifikatu, a veci je efektivnigodisnji prinos.

Da bi dobili efektivni godisnji prinos pridruzen periodickoj kamat-noj stopi, moze se koristiti formula

efektivni godisnji prinos = (1 + periodicka kamatna stopa)m 1

gdje je

m = frekvencija placanja u jednoj godini.Npr. za prethodni primjer, periodicki prinos je 4%, a frekvencija

placanja dvaput godisnje. Stoga je

efektivni godisnji prinos = (1.04)2

1 = 1.0816

1

= 0.0816 ili 8.16% .

Ako se kamate placaju kvartlano i ako je periodicka kamatna stopa 2%(8%/4), tada je efektivni godisnji prinos 8.24% jer je

efektivni godisnji prinos = (1.02)4 1 = 1.0824 1= 0.0824 ili 8.24% .


42/152

42 Poglavlje 3.

Obratno, moguce je izracunati periodicku kamatnu stopu koja ce pro-ducirati danu godisnju kamatnu stopu. Npr. pretpostavimo da zelimoznati kvartalnu kamatnu stopu, koja ce producirati efektivni godisnjiprinos od 12% . mozemo koristiti sljedecu formulu

periodicka kamatna stopa = (1 + efektivni godisnji prinos)1m 1.

Primjenjujuci tu formulu da bi odredili kvartalnu kamatnu stopu kojaproducira efektivni godisnji prinos od 12%, nalazimo

periodicka kamatna stopa = (1.12)14 1 = 1.0287 1

= 0.0287 ili 2.87% .

Zakljucak

U ovom poglavlju je objasnjeno kako izracunati prinos od investicijeako su dani ocekivani tokovi novca i cijena. Prinos je kamatna stopakoja producira ukupnu sadasnju vrijednost tokova novca koje je jednakacijeni financijskog instrumenta. Prinos racunat na taj nacin jos se zove

interna stopa povrata. Takoder je pokazano kako izracunati efektivnigodisnji prinos. Slijedi pregled formula koje smo uveli u ovom poglavlju.

1. Prinos (interna stopa povrata) od investicije kod koje se tokovi novcaprimaju godisnje je ona kamatna stopa koja za koju vrijedi jednadzba.

p =c1

(1 + y)1+

c2(1 + y)2

+c3

(1 + y)3+ + cN

(1 + y)N,

ili

p =N

t=1

ct

(1 + y)t,

gdje je

p = cijenact = tok novca u godini tN = broj godinay = prinos.


43/152


2. Prinos (interna stopa povrata) od investicije kod koje se tokovi novcaprimaju periodicki, je ona kamatna stopa y za koju vrijedi

p =c1

(1 + y)1+

c2(1 + y)2

+c3

(1 + y)3+ + cn

(1 + y)n

ili

p =n

t=1

ct(1 + y)t

gdje je

p = cijenact = tok novca u razdoblju tn = broj razdobljay = prinos.

3. Prinos (interna stopa povrata) od investicije kod koje postoji samojedan tok novca koji ce biti placen ili primljen n vremenskih razdobljaod danas je

y = (buduca vrijednost po investiranom dolaru)1n 1

gdje jen = bro j razdoblja nakon kojih ce tok novca biti primljen

buduca vrijenost po investiranom dolaru =tok novca od investicije

investirani iznos (cijena)

4. Efektivni godisnji prinos pridruzen periodickoj kamatnoj stopi

efektivni godisnji prinos = (1 + periodicka kamatna stopa)m 1gdje je

m = frekvencija placanja u jednoj godini.

5. Periodicka kamatna stopa konzistentna s godisnjim prinosom

periodicka kamatna stopa = (1 + efektivni godisnji prinos)1m 1

gdje je

m = frekvencija placanja po godini.


44/152

44 Poglavlje 3.


45/152

Poglavlje 4

Vrednovanje vrijednosnihpapira bez opcije

U trecem poglavlju smo objasnili da je cijena financijskog instrumentajednaka sadasnjoj vrijednosti od ocekivanih tokova novca. Kamatna ilidiskontna stopa koja se koristi za racunanje sadasnje vrijednosti ovisi oprinosima koji se nude na usporedivim vrijednosnim papirima (vrijed-nosnicama) na trzistu. U ovom poglavlju objasnjavamo kako izracunaticijenu vrijednosnice bez opcije. Opcije i vrednovanje vrijednosnica saugradenim opcijama se diskutiraju kasnije. Promatrat cemo samo vri-jednosnice sa fiksnim prihodom kod kojih su poznati svi buduci tokovinovca.

Obveznica je vrijednosnica koju izdaje vlada neke zemlje. S obziromda je analiza za opce vrijednosnice ista kao i za obveznice, kroz primjere,a i tekst uglavnom uglavnom cemo spominjati (americke) obveznice.

Odredivanje tokova novca

Prvi korak pri odredivanju cijene vrijednosnice je definiranje njenihtokova novca. Tokovi novca vrijednosnice s fiksnim prihodom sastojese od

1. periodickih kamata zvanih kuponi (ili kuponske kamate) koje in-vestitor dobiva sve do datuma otkupa vrijednosnice (od straneizdavatelja)

45


46/152

46 Poglavlje 4.

2. placanja u momentu dospijeca kada izdavatelj otkupljuje vrijed-nosnicu po cijeni nominalnog iznosa.

Periodicke kuponske kamate se mogu isplacivati kakoje naznaceno: tje-dno, mjesecno, kvartalno, polugodisnje ili godisnje. Vrijednosnice kojese izdaju u Americi, zovu se bonds i one imaju najcesce polugodisnjekuponske kamate. Takvu vrijednosnicu cemo stoga krace zvati bond.U nasim primjerima pretpostavljamo da se kuponska kamata isplacujepolugodisnje. Da bi pojednostavili analizu, dodatno cemo pretpostaviti

da se sljedeca kuponska kamata isplacuje tocno 6 mjeseci od sada. Ka-snije cemo promotriti slucaj kad se sljedeca kuponska kamata isplacujeza manje od 6 mjeseci.

Tokovi novca vrijednosnice s fiksnom kamatom sastoji se od rente(fiksne kuponske kamate svakih 6 mjeseci) i nominalne vrijednosti koddospijeca. Npr. 20godisnji bond s 9% kuponskom stopom (dakle 4.5%svakih 6 mjeseci) i nominalnom vrijednoscu $ 1,000 sadrzi sljedecetokove novca:

polugodisnja kuponska kamata = $1,0000.045 = $45vrijednost kod dospijeca = $1,000.

Postoji dakle 40 polugodisnjih tokova novca od po $45 i jedan tok novcaod $1,000 nakon 40 polugodisnjih razdoblja od sada.

Uocimo da se vrijednost kod dospijeca (ili pri dospijecu) tretira nabazi razdoblja kuponskih placanja, koji su polugodisnji.

Odredivanje zahtijevanog prinosa

Kamatna ili diskontna stopa koju investitor zeli od investiranja u vri-jednosnicu zove se zahtijevani (trazeni, zeljeni) prinos (engl. requiredyield). Zahtijevani prinos se odreduje ispitivanjem prinosa usporedivih

vrijednosnica na trzistu. Pod usporedivim mislimo na vrijednosnice saistom kreditnom kvalitetom i istim dospijecem.

Zahtijevani prinos se tipicno specificira kao godisnja kamatna stopa.Kad su tokovi novca polugodisnji, po konvenciji se polovica zahtije-vanog prinosa uzima kao periodicka kamatna stopa s kojom se diskon-tiraju tokovi novca. Kako je objasnjeno na kraju prethodnog poglavlja,periodicka kamatna stopa koja je polovica godisnjeg prinosa produci-


47/152

Vrednovanje vrijednosnica 47

rat ce efektivni godisnji prinos koji je veci od polazne godisnje kamatnestope.

Vrednovanje vrijednosnica s fiksnim prihodom

Ako su nam poznati tokovi novca za vrijednosnicu s fiksnim prihodomi zahtijevani prinos, mozemo izracunati cijenu. Npr. cijena bonda jesadasnja vrijednost tokova novca pa se dobiva zbrajanjem

1. sadasnje vrijednosti polugodisnjih kuponskih kamata i

2. sadasnje vrijednosti iznosa kod dospijeca.

Opcenito je cijena bonda odredena formulom

p =c

(1 + i)1+

c

(1 + i)2+ + c

(1 + i)n+

M

(1 + i)n=

=c

1 + i

1 1(1+i)n

1 11+i

+M

(1 + i)n=

= c1

1(1+i)n i +

M

(1 + i)n

gdje je:

p = cijena (u $)c = polugodisnje kuponsko placanjei = periodicka kamatna stopa (zahtijevani prinos/2) u decimalnom

oblikun = broj razdoblja (broj godina 2)M = vrijednost pri dospijecu

Primjer 4.1 Izracunajte cijenu 9% kuponskog bonda s dospijecem od20 godina i iznosom kod dospijeca $1,000, ako je zahtijevani prinos 12%.

Tokovi novca za bond su sljedeci:

1. 40 polugodisnjih placanja od $45

2. $1,000 nakon 40 6mjesecnih razdoblja racunajuci od sada.


48/152

48 Poglavlje 4.

Polugodisnja (ili periodicka) kamatna stopa je 6%. Imamo:

c = $45n = 40i = 0.06M = $1,000

p = $45

1 1

1.0640

0.06

+ $1, 000

1

1.0640

= $451 1

10.28572

0.06+ $1, 000

1

10.28572= $45(15.04630) + $1, 000(0.097222)

= $677.08 + $97.22

= $774.30 .

Ovdje je sadasnja vrijednost od kuponskih placanja $ 677.08, a sadasnjavrijednost od nominalnog iznosa (nakon 40 6mjesecnih razdoblja) je$ 97.22.

Primjer 4.2 Izracunajte cijenu bonda iz primjera 4.1 ako je zahtije-vani prinos 7%.

Tokovi novca su nepromijenjeni, ali se periodicka kamatna stopa sman-jila na 3.5% ( =7%/2).

c = $ 45n = 40i = 0.035M = $ 1,000

p = $ 45

1 1

1.03540

0.035

+ $ 1, 000 11.03540

= $ 45

1 1

3.95926

0.035

+ $ 1, 000

1

3.95926

= $ 451 0.252572

0.035+ $ 1, 000(0.252572)

= $ 45(21.35509) + $ 252.57

= $ 960.98 + $ 252.57

= $ 1, 213.55 .

Primjer 4.3 Izracunajte cijenu bonda iz primjera 4.1 ako se broj go-dina do dospijeca smanji sa 20 na 16 godina. Neka zahtijevani prinos idalje bude 12%.

Tokovi novca su sljedeci:

1. 32 polugodisnjih kuponskih kamata od $ 45


49/152


2. $ 1,000 nakon 32 polugodisnja razdoblja.

Polugodisnja kamatna stopa je 6%. Imamo:

c = $ 45n = 32i = 0.06M = $ 1,000

p = $ 45

1 1

1.0632

0.06

+ $ 1, 000

1

1.0632

= $ 45

1 1

6.45339

0.06

+ $ 1, 000

1

6.45339

= $ 451 0.154957

0.06

+ $ 1, 000(0.154957)

= $ 45(14.08404) + $ 154.96

= $ 633.78 + $ 154.96

= $ 788.74 .

Primjer 4.4 Izracunajte vrijednost 14godisnjeg bonda s 9% kupon-skom stopom, ako je zahtijevani prinos 7%.

Tokovi novca su:

1. 28 polugodisnjih kuponskih placanja

2. $ 1,000 nakon 28 polugodisnjih razdoblja od sada.

Periodicka kamatna stopa je 3.5% . Imamo:

c = $ 45n = 28i = 0.035M = $ 1,000

p = $ 45

1 1

1.03528

0.035

+ $ 1, 000

1

1.03528

= $ 45

1 1

2.62017

0.035

+ $ 1, 000

1

2.62017

= $ 45(17.66700) + $ 1, 000(0.381654)

= $ 795.02 + $ 381.65

= $ 1, 176.67 .

Odnos izmedu zahtijevanog prinosa i cijene

Cijena bonda mijenja se u suprotnom smjeru od promjene zahtijevanogprinosa. To je zato jer je cijena bonda sadasnja vrijednost tokova novca.


50/152

50 Poglavlje 4.

zaht. sad. vrijednost od 40 sad. vrijednost od cijenaprinos kuponskih placanja nominalnog iznosa bonda

5% $ 1,129.62 $ 372.43 $ 1,502.056 1,040.16 306.56 1,346.727 960.98 252.57 1,213.558 890.67 208.29 1,098.969 828.07 171.93 1,000.00

10 772.16 142.05 914.2111 722.08 117.46 839.54

12 677.08 97.22 774.3013 636.55 80.54 717.0914 599.93 66.78 666.71

Tabela 4.1

Kad se zahtijevani prinos povecava, sadasnja vrijednost tokova novcase smanji, dakle cijena pada. Obrat takoder vrijedi: kad se zahtijevaniprinos smanji, sadasnja vrijednost tokova novca poraste pa zato raste icijena bonda.

To se lijepo vidi iz primjera 4.1 i 4.2 Kad se zahtijevani prinos

smanjio sa 12% na 7% cijena bonda je porasla sa $ 774.30 na $ 1,213.55.U sljedecoj tabeli prikazane su vrijednosti bonda iz primjera 4.1 kad sezahtijevani prinos mijenja od 5% do 14%.

Ako nacrtamo graf cijene kao funkciju zahtijevanog prinosa uvjeritcemo se da ima konveksni oblik (vidi ilustraciju 4.1). Konveksnostodnosa cijene i prinosa ima vazne implikacije za invensticijska svojstvabonda.

Odnos kuponske stope, zahtijevanog prinosa i cijene

Za vrijednosnicu s fiksiranim prihodom su kuponska stopa, nominalniiznos i vrijeme do dospijeca fiksirani. Kako se kamatne stope na trzistumijenjaju, jedina karakteristika obveznice koja se moze mijenjati kakobi kompenzirala nove prinose koji se zahtijevaju na trzistu je cijenaobveznice. Kako smo vidjeli u prosloj tocki, kad se zahtijevani prinospovecava (smanjuje), cijena obveznice pada (povecava se).

Opcenito ce kuponska stopa u momentu izdavanja obveznice biti


51/152


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

prvi stupacdrugi stupac

cijena

Ilustracija 4.1

stavljena na prinos koji se zahtijeva na trzistu. Izuzetak su posebna

izdanja obaveznica s velikim popustom kao npr, obveznice bez kupona.Cijena obveznice ce tada aproksimativno biti jednaka njezinoj nom-

inalnoj vrijednosti. Iz primjera 4.1 se vidi da kad je zahtijevani prinosjednak kuponskoj stopi, cijena obveznice je al pari (tj. jednaka je nom-inalu). Stoga vrijede sljedeca svojstva:

Kada je kuponska stopa jednaka zahtijevanom prinosu, tada jecijena obveznice jednaka nominalnoj vrijednosti. Kada je cijenaobveznice jednaka nominalnoj vrijednosti, tada je kuponska stopajednaka zahtijevanom prinosu.

Kada u nekom vremenskom trenutku prinosi na trzistu porastu iznadkuponske stope, cijena obveznice se mora prilagoditi kako bi investi-tor mogao realizirati dodatni dohodak od kamata. Ta prilagodba nas-taje ako cijena obveznice padne ispod nominalne vrijednosti. Razlikeizmedu nominalne vrijednosti i cijene je kapitalni dobitak (engl. capitalgain) i on predstavlja oblik dohotka od kamata koji investitoru kom-penzira gubitak koji dolazi od pada kuponske stope ispod zahtijevanog


52/152

52 Poglavlje 4.

prinosa.

Kad se obaveznica prodaje ispod nominalne vrijednosti, kaze se dase prodaje uz diskont. To se vidi iz primjera 4.1. Kada je zahtijevaniprinos veci od kuponske stope koja iznosi 9%, cijena obevznice je manjaod nominalne vrijednosti $ 1,000. Stoga vrijede sljedeca svojstva:

Kada je kuponska stopa manja od zahtijevanog prinosa, tada jecijena obveznice manja od nominalne vrijednosti. Kada je cijenaobveznice manja od nomnalne vrijednosti, tada je kuponska stopa

manja od zahtijevanog prinosa.

Konacno, kad je zahtijevani prinos na trzistu manji od kuponske stope,obveznica ce se prodavati iznad nominalne vrijednosti. To se dogada jerinvestitori koji bi imali priliku kupiti obveznicu po nominalnoj cijeni,dobivali bi kuponsku stopu iznad stope koju trziste zahtijeva. Jer jeprinos od obveznice atraktivan, investitori bi ponudama povisili cijenusve do cijene obveznice koja nudi prinos koji se zahtijeva na trzistu.Za obveznicu cija cijena je ispod nominalne vrijednosti kaze se da seprodaje uz premiju. Primjer 4.2 pokazuje da kad je zahtijevani prinosmanji od kuponske stope od 9%, cijena obveznice je veca od nominalnevrijednosti. Stoga vrijedi sljedece svojstvo:

Kada je kuponska stopa veca od zahtijevanog prinosa, tada jecijena obveznice veca od nominalnog iznosa. Kada je cijena ob-veznice veca od nominalnog iznosa, tada je kuponska stopa vecaod zahtijevanog prinosa.

Vremenska staza obveznice

Ako se prinos koji trziste zahtijeva ne mijenja od trenutka kad je ob-

veznica kupljena do trenutka dospijeca, sto ce se dogoditi sa cijenomobveznice?

Ako se obveznica prodaje po nominalnoj vrijednosti, tada je kupon-ska stopa jednaka zahtijevanom prinosu. Kako se vrijeme priblizavatrenutku dospijeca, obveznica ce se i dalje prodavati po nominalnojvrijednosti. Dakle, cijena obveznice koja se prodaje po nominalnoj vri-jednosti nece se mijenjati.


53/152


Cijena obveznice nece ostati konstantna ako se prodaje uz premijuili diskont. To se moze vidjeti na primjeru diskontiranog bonda izprimjera 4.1 i primjera 4.3. U oba primjera je kuponska stopa 9%, azahtijevani prinos 12%. U primjeru 4.1 vrijeme do dospijeca je 20 godi-na, a u primjeru 4.3, 16 godina. Sa 20 godina do dospijeca, cijena bondaje $ 774.30. Nakon 4 godine, kad ce preostati 16 godina do dospijeca,cijena bonda ce narasti na $ 788.74. Za sve obveznice s diskontnomcijenom vrijedi: kako se trajanje priblizava dospijecu cijena raste, uzpretpostavku da se zahtijevani prinos ne mijenja.

U tabeli 4.2 su prikazane cijene od 20godisnjeg bonda s 9% kupon-skom stopom u ovisnosti o vremenu do dospijeca. Cijena bonda jerastavljena na sadasnju vrijednost kuponskih placanja i sadasnju vri-jednost nominalnog iznosa. Uocimo, kako se bond vremenski priblizavaprema dospijecu, ima sve manje buducih kuponskih placanja, pa sada-snja vrijednost kuponskih placanja pada. S druge strane, kako sepriblizava datum dospijeca, sadasnja vrijednost od nominalnog iznosaraste. Ukupno je porast sadasnje vrijednosti od nominalnog iznosa veciod pada sadasnje vrijednosti kuponskih placanja.

preostale sad. vrijednost sad. vrijednost cijenagodine do kup. placanja nomin. iznosa bondadospijeca od $ 45 uz 6% uz 6%

20 $ 677.08 $ 97.22 $ 774.3018 657.94 122.74 780.6816 633.78 154.96 788.7414 603.28 195.63 998.9112 564.77 256.98 811.7510 516.15 311.80 827.958 454.77 393.65 848.426 377.27 496.97 874.42

4 279.44 627.41 906.852 155.93 792.08 948.021 82.50 890.00 972.500 0.00 1,000.00 1,000.00

Tabela 4.2

U ilustraciji 4.2. je prikazan graf ovisnosti cijene o vremenu do


54/152

54 Poglavlje 4.

dospijeca.

0

100

200

300

400500

600

700

800

900

1000

1100

01234567891011121314151617181920


cijenanom. iznos

Ilustracija 4.2Ovisnost cijene o vremenu do dospijeca

Za obveznicu koja se prodaje uz premiju, cijena pada kad se vrijemepriblizava trenutku dospijeca. Primjeri 4.2 i 4.4 pokazuju to svojstvo zabond uz 9% kuponsku stopu za koje je zahtijevani prinos 7%. Kada zabond predstoji jos 20 godina do dospijeca njegova cijena je $ 1,213.55.Sest godina kasnije, kad za bond preostaje 14 godina do dospijeca,cijena pada na $ 1,176.87.

Vremenska staza 20godisnjeg bonda s kuponskom kamatom 9%koji se prodaje uz premiju, kada je zahtijevani prinos 7% prikazana jeu tabeli 4.3.

Kako se vremenski trenutak priblizava dospijecu, sadasnja vrijed-

nost kuponskih placanja se smanjuje dok sadasnja vrijednost nomi-nalnog iznosa raste. Za razliku od bonda koji se prodaje uz diskont,rast sadasnje vrijednosti nominalnog iznosa nije dovoljan da nadjacapad sadasnje vrijednosti kuponskih kamata. Stoga cijena bonda pada,naravno uz pretpostavku da se zahtijevani prinos ne mijenja. Grafickiizraz ovog ponasanja nacrtan je u ilustraciji 4.3.

Sada cemo matematicki dokazati gornje tvrdnje. Uvedimo prvo


55/152


preostale sadasnja vrijednost sadasnja vrijednost cijenagodine do kuponskih placanja od nominalnog bondadospijeca od $ 45 uz 3.5% iznosa uz 3.5%

20 $ 960.98 $ 252.57 $ 1,213.5518 913.07 289.83 1,202.9016 858.10 332.59 1,190.6914 795.02 381.65 1,176.6712 722.63 437.96 1,160.5910 639.56 502.57 1,142.13

8 544.24 576.71 1,120.956 434.85 661.78 1,096.634 309.33 759.41 1,068.742 165.29 871.44 1,036.731 85.49 933.51 1,019.000 0.00 1,000.00 1,000.00

Tabela 4.3

oznake:

q = kuponska stopa

M = nominalni iznosi = zahtijevani prinosn = broj vremenskih perioda pri cemu na kraju svakog od njih

dolazi kuponsko placanjek = broj promatranog periodac = kuponsko placanje.

Odredimo cijenu obveznice nominalne vrijednosti M u ktom vremen-skom periodu, dan nakon kuponske isplate.

SV =c

1 + i +c

(1 + i)2 + +c

(1 + i)nk+1 +M

(1 + i)nk+1

= c

1 1(1+i)nk+1

i

+ M

(1 + i)nk+1.

S obzirom da je q kuponska stopa, vrijedi

c = Mq ,


56/152

56 Poglavlje 4.

0

100

200

300400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

01234567891011121314151617181920


cijenanominalni iznos

Ilustracija 4.3.

pa je

SV = M

q

i

1 1

(1 + i)nk+1

+

M

(1 + i)nk+1 .

sadasnja vrijednost sadasnja vrijednostkuponskih placanja nominalne vrijednosti

Ako je q = i, imamo

P V = M

1 1

(1 + i)nk+1

+

M

(1 + i)nk+1= M .

Kad k raste, tj. bond se priblizava prema dospijecu, sadasnja vrijednost

preostalih kamatnih placanja pada, a sadasnja vrijednost nominalnevrijednosti raste. Rast i pad su medutim jednakog intenziteta pa jecijena bonda konstantna.

Ako je q < i, bond se prodaje uz diskont. Sada je

P V = Mq

i

1 1

(1 + i)nk+1

+

M

(1 + i)nk+1


57/152


= M

q

i 1 +

1 q

i

1

(1 + i)nk+1

< M ,

jer je uglata zagrada konveksna kombinacija brojeva 1/(1 + i)nk+1

i 1. Jednakost se dostize samo za q = i, sto kod nas nije ispunjeno.Vidimo da kad k raste, Mq

i

1 1

(1+i)nk+1

pada, M/(1 + i)nk+1 raste,

a njihova suma

P V = Mq

i

1 +

i qq

1

(1 + i)nk+1

ukupno raste.Za k = 1 imamo

P V = Mq

i

1 +

i qq

1

(1 + i)n

Mq

i

dok je za k = n

P V = Mq

i

1 +

i qq

1

1 + i

= M

1 + q

1 + i M(1 + q i)

a za k = n + 1, tj. u vrijeme dospijeca

P V = M .

Konacno, ako je q > i, imamo

P V = M

1 +

q

i 1

1 1

(1 + i)nk+1

> M ,

dakle kad se bond prodaje uz premiju, njegova ce sadasnja vrijednost,

tj. trzisna cijena biti veca od nominalne vrijednosti za sve k.Kad k raste, sadasnja vrijednost preostalih kuponskih placanja pa-da, a sadasnja vrijednost od nominalnog iznosa raste. Vidimo da nji-hova suma ukupno pada. Pritom jeza k = 1

P V = M

q

i

q

i 1

1

(1 + i)nk+1

Mq

i


58/152

58 Poglavlje 4.

za k = n

P V = M

1 +q i1 + i

M(1 + q i)

a za k = n + 1P V = M

kao sto i treba biti.Mi smo promatrali samo jedan vremenski trenutak (tj. prvi dan) u

svakom razdoblju kad se placaju kamate. Za ostale trenutke se koristimodificirana formula za sadasnju vrijednost, ali zakljucci ce ostati isti.

Analiza promjene cijene obveznice

Upravitelj novcem ce sa velikom pozornoscu promatrati i istrazivati vre-mensko ponasanje cijena obveznica kojima upravlja, a posebnu paznjuce obratiti na smjer kretanja kamatnih stopa. Za to ce trebati znatianalizirati kako se cijena obveznice mijenja pod odredenim uvjetima.

Cijena obveznice se moze mijenjati zbog vise razloga. Evo na-jvaznijih.

1. Promjena zahtijevanog prinosa koja dolazi od promjene kreditne

kvalitete izdavatelja obveznice.

2. Promjena u dospijecu s obzirom da se vrijeme do dospijeca sman-juje (vremenski hod obveznice) bez promjene zahtijevanog pri-nosa.

3. Promjena zahtijevanog prinosa. Ona dolazi od promjena prinosausporedivih obveznica na trzistu (dakle, promjena prinosu koji sezahtijeva na trzistu).

Predvidanje promjene kreditne kvalitete u nekom izdanju obveznica,prije nego tu promjenu prizna trziste je jedan od izazova u poslu upra-

vljanja investicijama. Ipak, za ilustracije navedenih utjecaja, mi cemose u nasim primjerima koncentrirati na promjene spomenute pod to-ckom 2. i 3. Dakle pretpostavljamo da je kreditna kvaliteta izdavateljanepromijenjena.

Poucno je odvojiti utjeca j na promjenu cijene obveznice koji dolaziod vremenske staze obveznice od utjecaja koji dolazi od promjene za-htijevanog prinosa. Sljedeca dva primjera pokazuju kako se to radi.


59/152


Primjer 4.5 Pretpostavimo da upravitelj novcem kupi 20godisnjuobveznicu s 9% kuponskom kamatom po cijeni od $ 774.30 uz 12% pri-nos. Upravitelj novcem ocekuje da ce zadrzati obveznicu 4 godine i mislida ce u to vrijeme (nakon 4 godine) prinos na usporedivim 16godisnjimobveznicama biti 8%. Na bazi tih ocekivanja, mozemo ispitati sto ce sedogoditi sa cijenom obveznice nakon 4 godine.

Nakon 4 godine posjedovanja obveznice ona postaje obveznica sdospijecem od 16 godina. Ako ce zahtijevani prinos za 16godisnjuobveznicu biti 8%, cijena ce obveznice, 4 godine od sadasnjeg trenutka,

biti $ 1,089.37.Evo postupka. Prvo iz polaznih podataka i pretpostavke da je u

momentu kupnje obveznice, kuponska stopa bila jednaka zahtijevanomprinosu,

p = M

q

i q

i

q

(1 + i)40+

1

(1 + i)40

= M

q

i+

1 qi

1

(1 + i)40

dobivamo nominalni iznos M

774.30 = M

0.045

0.060+

1 0.0450.060

1

1.0640

= M

3

4+

1

4 1

1.0640

= M 0.774305

iliM = $ 1, 000 .

Zatim, gledajuci trenutak nakon 4 godine od sada, koristeci i = 0.04 i

n = 2 16 dobivamop = $1, 000

0.045

0.040

1 1

1.0432

+ $1, 000

1

1.0432

= $1, 000 98

(1 0.285058) + $1, 000 0.285058= $804.31 + $285.06

= $ 1, 089.37 .


60/152

60 Poglavlje 4.

Cijena obveznica ce porasti za $ 1,089.37 - $ 774.30 = $ 315.07. Prom-jena cijene nije dosla samo od pada zahtijevanog prinosa. Kad bi zahti-jevani prinos cak ostao nepromijenjen 12%, cijena obveznice bi nakon 4godine narasla na $ 788.74 dakle za $ 788.74-$ 774.30=$ 14.44. Najme,

p = $1, 000 0.0450.060

1 1

1.0632

+ $1, 000

1

1.0632

= $1, 000 34

(1 0.1549574) + $1, 000 0.1549574= 633.78 + 154.96

= $ 788.74 .

Stoga mozemo rastaviti ocekivanu promjenu cijene nakon 4 godine nasljedeci nacin:

promjena cijene uslijed vremenskog hoda $ 14.44promjena cijene uslijed promjene zahtijevanog prinosa $ 300.63

ukupna promjena cijene $ 315.07

Primjer 4.6 Pretpostavimo da osoba koja upravlja novcem razmatrakupnju 20-godisnje obveznice s 9% kuponskom stopom koji se prodajepo $ 1,213.55 uz prinos 7%. Ako kupi tu obveznicu ona ju misli zadrzati6 godina jer ocekuje da ce kroz to vrijeme zahtijevani prinos narasti na11%. Kako ce se mijenjati cijena obveznice ako se ocekivanja ostvare?

Cijena 14godisnje obveznice s 9% kuponskom stopom uz zahtije-vani prinos od 11% je $ 858.79. Zaista, iz

$1, 213.55 = M

0.0450.035

1 1

1.03540

+

11.03540

= M

9

7 2

7

1

1.03540

= M

9

7 2

7 0.25257247

= M 1.21355072


61/152


slijedi M =$1,000. Stoga je

p = M

9

11

1 1

1.05528

+

1

1.05528

= M

9

11+

2

11 1

1.05528

= M(0.8181818 + 0.04060396)

= $ 1, 000 0, 8587858= $ 858.79 .

Kad bi zahtijevani prinos ostao 7%, cijena 14godisnje obveznice s 9%kuponskom stopom bila bi

P = $ 1, 000

9

7 2

7 1

1.03528

= $ 1, 176.67 .

Promjena cijene moze se rastaviti na dva dijela:

promjena zbog vremenske staze $ 1,176.67-$ 1,213.55 = -$ 36.88promjena zbog promjene zahtijevanog prinosa -$ 317.88ukupna promjena cijene -$ 354.76

Cijena obveznice bez kupona

Dosad smo odredivali cijenu obveznice koja nosi kuponsku kamatu.Na trzistu medutim postoje obveznice koje ne nose nikakva kupon-ska placanja. Pritom investitor realizira kamatu koja je jednaka razliciizmedu vrijednosti po dospijecu i cijene po kojoj je obveznica kupljena.

Odredivanje cijene obveznice bez kupona ne razlikuje se od odre-divanja cijene obveznice s kuponima: cijena je sadasnja vrijednostocekivanih tokova novca. Kod obveznice bez kupona jedini tok novcaje vrijednost po dospijecu. Stoga se cijena obveznice bez kupona, kojadospijeva N godina od danas, racuna po formuli

P = M

1

(1 + i)n


62/152

62 Poglavlje 4.

gdje je:

P = cijenaM = vrijednost po dospijecui = periodicka kamtana stopa (godisnja kamatna stopa/2)n = 2 NN = broj godina.

Uocimo da se pri racunanju cijene koristi periodicka kamatna stopa.Iako jedno izdanje obveznica moze dospijevati tocno nakon N godina,broj 6mjesecnih perioda se koristi u formuli. Razlog je sto odredivanjecijene obveznice bez kupona mora biti sukladno odredivanju cijeneobveznice sa kuponom. Podsjetimo da se kod kuponske obveznice,sadasnja vrijednost od vrijednosti pri dospijecu racuna koristeci broj6mjesecnih perioda do dospijeca. Stoga se na isti nacin odreduje vri-jednost obveznice bez kupona.

Primjer 4.7 Izracunajte cijenu obveznice bez kupona koja dospijevanakon 10 godina od danas, ako je vrijednost pri dospijecu $ 1,000, azahtijevani prinos 8.6%.Cijena se odreduje na sljedeci nacin:

M = $1,000i = 0.043 ( = 0.086/2 )N = 10n = 20 ( = 2 10 )

p = $ 1, 000

1

(1.043)20

= $ 1, 000

1

2.321059

= $ 1, 000(0.43083)

= $ 430.83 .

Primjer 4.8 Izracuna jte cijenu 7 godisnje obveznice bez kupona s vri-jednoscu kod dospijeca $ 100,000 ako je zahtijevani prinos 9.8%.

Cijena je $ 51,185.06 jer je

M = $100,000i = 0.049 ( = 0.098/2 )N = 7n = 14 ( = 2 17 )

p = $ 100, 000

1

(1.049)14

= $ 100, 000(0.5118506)

= $ 51, 185.06 .


63/152


Kotiranje cijena

Izuzev u zadnjem primjeru, dosad smo pretpostavljali da je nominalniiznos ili al pari vrijednost $ 1,000. Obveznica moze imati vrijednost pridospijecu bilo kojeg iznosa. Stoga trgovci kotiraju cijene obveznica upostocima nominalne vrijednosti.

Obveznica koja se prodaje al pari, kotira se kao 100, a sadrzi 100%od nominalne (ili al pari) vrijednosti. Obveznica koja se prodaje uzdiskont prodavat ce se za manje od 100, a ona koja se prodaje uzpremiju, prodavat ce se za vise

Documents

fin.mat1.pdf