VI[A TEHNI^KA [KOLA - S U B O T I C A

Dr. FIRSTNER STEVAN dipl.ing.

OOOTTTPPPOOORRRNNNOOOSSSTTT MMMAAATTTEEERRRIIIJJJAAALLLAAA (SKRIPTA)

SUBOTICA 2000.g.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

1

PREDGOVOR

Iz oblasti otpornosti materijala studentima stoje na raspolaganju izvanredno napisane knjige ipriru~nici (jedan deo je dat u spisku kori{tene literature). Na`alost, pomenute knjige nisu uvekdostupne, ili im se obim i nivo bitno razlikuju od programa predvi|enog za Vi{e tehni~ke{kole.

Ovaj podsetnik (skripta) preporu~ujem studentima Vise tehni~ke {kole, po{to sadr`aj upotpunosti odgovara planu i programu [kole.

Trudio sam se da kori{ten metemati~ki aparat ne prevazilazi znanja ste~ena na kursevimamatematike na Vi{oj {koli. Izuzetno, ali samo u cilju jednostavnije deskripcije, koristio sammatri~ni i tenzorski ra~un.

Redosled obra|enog gradiva je tako postavljen da omogu}ava kontinualno pra}enje.Razumevanje gradiva podrazumeva poznavanje MATEMATI^KE ANALIZE i STATIKE navisoko{kolskom nivou.

Raspored gradiva po poglavljima je slede}i:

UVOD kratak istorijski pregled, predmet, hipoteze i osnovne zadatke otpornosti materijala.

1. POGLAVLJE karakteristike ravnih preseka

2. 3. i 4. POGLAVLJE naponska stanja, deformacije, veze napona i deformacija.

5. POGLAVLJE naponsko stanje greda

6. POGLAVLJE deformacije greda, metode deformacionog rada, teorija elasti~nih linija.

7. POGLAVLJE izvijanje greda

8. POGLAVLJE obrada stati~ki neodre|enih slu~ajeva

9. POGLAVLJE dimenzionisanje i hipoteze o slomu materijala.

Izlo`eno gradivo se odnosi samo na elemente i sisteme u stanju stati~ke ili dinami~keravnote`e, odnosno na ravne sisteme (prave grede, krive grede i grede sa izlomljenim osama -ramovi).

Uz svako poglavlje, kao ilustracija dat je po jedan numeri~ki primer.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

2

SADR@AJ

PREDGOVOR..........................................................................1

KORI[TENE OZNAKE..............................................................9

UVOD.. ....................................................................................13

- Istorijski pregled ..................................................................................................14

- Predmet otpornosti materijala ..............................................................................18

- Hipoteze otpornosti materijala.............................................................................20

- Zadaci otpornosti materijala ................................................................................21

1. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH POVR[INA.. ......23

1.1. Generalisana geometrijska karakteristika .......................................................23

1.1.1. Povr{ina ..............................................................................................24

1.1.2. Stati~ki moment povr{ine ...................................................................25

1.1.3. Te`i{te i te`i{ni koordinatni sistem ....................................................25

1.1.4. Aksijalni momenti inercije .................................................................26

1.1.5. Centrifugalni momenti inercije ..........................................................27

1.1.6. Polarni moment inercije .....................................................................27

1.1.7. Otporni momenti ................................................................................27

1.1.8. Geometrijske karakteristike slo`enih povr{ina ..................................28

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

3

1.2. Promena vrednosti geometrijskih karakteristika ravnih povr{ina usled

translatornog pomeranja koordinatnog sistema.(Steinerova teorema) ............29

1.3. Promena vrednosti aksialnih momenata inercije ravnih povr{ina

usled rotacije te`i{nog koordinatnog sistema ................................................31

1.3.1. Glavni momenti inercije, glavne ose ..................................................33

1.3.2. Invarijante momenata inercije ...........................................................36

1.4. Geometrijska interpretacija momenata inercije (elipsa inercije) ...................36

2. NAPONSKA STANJA ..........................................................................50

2.1. Pojam napona .................................................................................................50

2.1.1. Pojam glavnih napona ........................................................................52

2.1.2. Teorema o konjugovanosti tangentnih napona ..................................53

2.2. Op{te prostorno naponsko stanje ....................................................................55

2.2.1. Izra~unavanje vrednosti normalnog napona .......................................58

2.2.2. Izra~unavanje vrednosti tangentnog napona ......................................58

2.2.3. Glavnih naponi i polo`aj glavnih ravni .............................................59

2.2.4. Izra~unavanje vrednosti napona u referentnoj

ravni pomo}u glavnih napona ............................................................62

2.3. Ravno naponsko stanje ...................................................................................63

2.4. Linearno naponsko stanje ...............................................................................66

2.5. Grafi~ka interpretacija napona ........................................................................69

2.5.1. MOHR-ovi krugovi ............................................................................69

2.5.1.1. Pozitivne vrednosti glavnih napona ......................................70

2.5.1.2. Vrednost jednog od glavnih napona je nula ..........................71

2.5.1.3. Vrednosti glavnih napona se po znaku razlikuju ...................71

2.5.2. A CULMAN-ov elipsoid ....................................................................73

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

4

3. DEFORMACIJE .. ..........................................................................82

3.1. Pojam deformacije ..........................................................................................82

3.1.1. Vektor deformacije .............................................................................85

3.1.2. Dilatacija ............................................................................................85

3.1.3. Ugao klizanja (ugaono pomeranje) ....................................................86

3.2. Prostorne deformacije .....................................................................................86

3.2.1. Deformacije pri prostornom naponskom stanju .................................91

3.2.2. Deformacije pri ravnom naponskom stanju .......................................92

3.2.3. Deformacije pri linearnom naponskom stanju ...................................92

3.2. Zapreminska dilatacija ....................................................................................93

4. VEZE IZME\U NAPONA I DEFORMACIJA .........................96

4.1. POISSON-ov koeficijent ................................................................................96

4.2. Generalisani HOOKE-ov zakon .....................................................................98

4.3. Veza izme|u modula elasti~nosti (E) i modula klizanja (G) ........................100

5. NAPONSKA STANJA RAVNIH GREDNIH NOSA^A . ...............103

- Op{te naponsko stanje ....................................................................104

- SAINT-VENANT-ov problem .......................................................106

5.1. Naponska stanja pravih greda .......................................................................108

5.1.1. Istezanje-pritisak...............................................................................108

5.1.1.1. Koncentracija napona ..........................................................113

5.1.1.2. Kontaktni naponi (HERTZ-ov napon) .................................114

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

5

5.1.1.3. Cevi i rezervoari ...................................................................120

- Debelozide cevi ........................................................................121

- Tankozide cevi .........................................................................126

- Rezervoari ................................................................................127

5.1.2. Smicanje ...........................................................................................130

5.1.3. Uvijanje ............................................................................................134

5.1.3.1. Uvijanje okruglih profila ....................................................134

- Uvijanje tankozidih cevi ...........................................................142

5.1.3.2. Uvijanje neokruglih profila .................................................143

- Uvijanje pravougaonih profila ..................................................144

- Uvijanje tankih pravougaonih profila .......................................145

- Uvijanje L profila ................................................................145

- Uvijanje U i I profila .....................................................146

5.1.4. Savijanje ...........................................................................................147

5.1.4.1. Odre|ivanje normalnog napona (~isto savijanje) ................150

5.1.4.2. Odre|ivanje tangentnog napona ..........................................153

5.1.4.3. Odre|ivanje glavnih napona ................................................156

5.1.5. Asimetri~no (koso) savijanje ............................................................163

5.1.5.1. Raspodela normalnog napona ..............................................163

5.1.5.2. Raspodela tangentnog napona..............................................167

5.1.6. Savijanje tankozidih plo~a ...............................................................171

5.2. Savijanje krivih greda ...................................................................................174

5.2.1. Odre|ivanje normalnog napona .......................................................175

5.2.2. Pomeranje neutralne ravni (ose) .......................................................179

5.3. Slo`ena naprezanja .......................................................................................183

5.3.1. Ekscentri~ni pritisak (istezanje) .......................................................183

5.3.1.1. Odre|ivanje jezgra preseka .................................................190

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

6

6. DEFORMACIJE GREDA ..............................................................................194

6.1. Teorija deformacionog rada ..........................................................................194

6.1.1. Definicija rada .................................................................................195

6.1.1.1. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija

kod (istezanja-pritiska) ........................................................198

6.1.1.2. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija

kod (smicanja-uvijanja) .......................................................200

6.1.1.3. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija

kod savijanja ........................................................................203

6.1.1.4. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija

kod op{teg prostornog naponskog stanja ............................204

- Specifi~na energija elasti~nih deformacija ...........................205

- Specifi~na energija na promeni zapremine ...........................206

- Specifi~na energija na promeni oblika .................................208

6.1.2. BETTI i MAXWELL ovi stavovi o zamenljivosti optere}enja .......208

6.1.3. CASTIGLIANO-va teorema ............................................................211

6.1.3.1. Odre|ivanje deformacija pri elasti~nim osloncima .............214

6.1.3.2. Odre|ivanje deformacija pri fiktivnim optere}enjima ........214

6.2. Jedna~ina elasti~ne linije ..............................................................................218

6.2.1. Konvencije o oznakama ...................................................................218

6.2.2. Op{ta diferencijalna jedna~ina elasti~ne linije .................................219

6.2.2.1. Relativni uticaj transverzalne sile.........................................222

- Kratke grede .........................................................................222

- Duga~ke grede ......................................................................223

6.2.3. Pribli`na diferencijalna jedna~ina elasti~ne linije ...........................223

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

7

- Izra~unavanje uglovnog pomeranja (nagib) .........................223

- Izra~unavanje vertikalnog pomeranja (ugib) ........................223

6.2.4. Odre|ivanje jedna~ine elasti~ne linije

u slu~aju slo`enih optere}enja (CLEBSCH-ov metod) ...................230

6.2.4.1. Oblici momentnih jedna~ina

za razne slu~ajeve optere}enja .............................................234

6.2.5. Deformacije greda sa stalnim i promenljivim presekom .................240

6.2.5.1. Grede sa stalnim presekom ..................................................240

6.2.5.2. Grede sa promenljivim presekom ........................................240

6.2.6. Deformacije greda sa izlomljenom

geometrijskom osom (ramovi) ..........................................................243

6.2.7. Deformacije krivih greda .................................................................250

7. IZVIJANJE GREDA.. .........................................................................................256

7.1. Stabilnost pritisnutih greda ...........................................................................256

7.1.1. Vitkost greda ....................................................................................257

7.2. EULER-ov postupak ....................................................................................257

7.2.1. Odre|ivanje kriti~ne sile...................................................................257

7.2.2. Odre|ivanje kriti~nog normalnog napona ........................................260

7.3. TETMAJER-ov postupak .............................................................................261

7.4. (w)-postupak .................................................................................................262

7.5. Dimenzionisanje i provera ............................................................................263

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

8

8. STATI^KI NEODRE\ENI ZADACI ...................................................................270

8.1. Odre|ivanje dopunskih jedna~ina .................................................................271

8.1.1. CLAPEYRON-ova jedna~ina ..........................................................271

8.1.2. Tabli~ni metod ..................................................................................278

8.1.3. Re{avanje problema metodom deformacionog rada ........................281

9. DIMENZIONISANJE GREDA (HIPOTEZE O SLOMU)..................................288

9.1. Hipoteze o slomu materijala ........................................................................288

9.1.1. (I) - hipoteza o najve}em glavnom naponu ......................................291

9.1.2. (II) - hipoteza o najve}oj dilataciji ...................................................292

9.1.3. (III) - hipoteza o najve}em tangentnom naponu ..............................292

9.1.4. (IV) - hipoteza o najve}em specifi~nom radu na promeni oblika ....293

KORI[TENA LITERATURA. ...................................................................................298

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

9

KORI[TENE OZNAKE

)( - op{ti koordinatni sistem( )jk - koordinatni sistem paralelan sa )( op{tim koordinatnim sistemom( )xy - te`i{ni koordinatni sistem( )uv - te`i{ni koordinatni sistem zaokrenut u odnosu na ( )xy te`i{ni koordinatni sistem( )3,2,1 - glavni te`i{ni koordinatni sistem( ) ( )CCCC yx ,;, - koordinate te`i{ta (C) u )( i ( )xy koordinatnim sistemima( )zy - jedna~ina elasti~ne linije grede, vertikalno pomeranje

( )'zy - jedna~ina nagiba grede

yx

kj

SSSSSS

,,,,,

- stati~ki momenti povr{ine za ( xyjk ,, ) ose

rI - redukovani aksialni moment inercije

II , - aksialni momenti inercije za ( ) ose

kj II , - aksialni momenti inercije za ose ( jk ), koje su paralelne sa ( ) osama

vu II , - aksialni momenti inercije za (uv ) te`i{ne ose, koje su zaokrenute

u odnosu na ( )xy te`i{ni koordinatni sistemPII ,0 - polarni momenti inercije

2,1 II - glavni momenti inercije

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

10

2,1,,, IIII uvxy - centrifugalni momenti inercije za (xy, , uv , 1,2) ose.

0,, WWW yx - otporni momenti za (xy) ose, i za ta~ku (0)

a, b .,l, - ozna~avanje du`ina

e - pomeranje neutralne ose

f - pomeranje ta~ke

i - radius inercije

g - relativni dimenzioni odnos

k - broj jedna~ina ravnote`e

lr - redukovana du`ina

n - broj reakcija veza, broj okretaja

u - specifi~ni deformacioni rad

w - specifi~ni rad spoljnjih optere}enja, poseban faktor izvijanja

uv, uf - specifi~ni deformacioni rad na promeni zapremine i oblika

A - ravna povr{ina

A, B, C,. - ozna~avanje ta~aka

C - te`i{te povr{ine

C1, C2,..,D1, D2,. - integracione konstante

D - tenzor deformacija

E - modul elasti~nosti (JOUNG-ov modul)

F - sila

FN, FT - normalna i tangentna sila

G - modul klizanja

G, g - glavna zakrivljenja

H - tenzor elasti~nosti

J - op{ta geometrijska karakteristika povr{ine

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

11

K - koeficijent koncentracije napona

M - momenat

Mf, Mt - moment savijanja i moment uvijanja (torzioni moment)

P - snaga

R, - radiusi zakrivljenja

S - koeficient stati~ke neodre|enosti

U - energija na promeni oblika

W - rad spoljnjeg sistema optere}enja

T - tenzor napona, transverzalna sila

X, Y, Z - sile u pravcima (xyz) osa

- normalni napon

DM , - ja~ina materijala na kidanje, dozvoljeni normalni napon

rta ,, - aksialni, tangentni i radialni normalni naponi

2,1 - glavni naponi

zyx ,, - normalni naponi u pravcima (xyz) osa

- tangentni napon

DM , - ja~ina materijala na smicanje, dozvoljeni tangentni napon

zxyzxy ,, - tangentni naponi u ravnima upravnim na (xyz) ose i paralelni (yzx) osama

,..,,,, - ugaona pomeranja

zxyzxy ,, - ugaona pomeranja u ( zxyzxy ,, ) ravnima

- dilatacija (specifi~na promena du`ine)

3,2,1 - glavne dilatacije

zyx ,, - dilatacije u pravcima (xyz) osa

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

12

- vitkost {tapa

- POISSON-ov koeficijent

- koeficijent sigurnosti

- kontinualno optere}enje

n - jedini~ni vektor povr{ine(vektor normale)

p - vektor napona

t - elementarni vektor pomeranja

f - vektor promene oblika

{ }jK - sistem spoljnjih optere}enja{ }K - ekvivalentni sistem optere}enja{ }SR - (S) izabrane reakcije veza{ }R - ekvivalentni sistem reakcije veza

( ) - ozna~avanje vektora: ( ,...,, p )( ) zyx ,, - ozna~avanje komponenata vektora u pravcima (xyz) osa: ( ,...,, zyx p )

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

13

UVOD

Ako se u mislima vratimo hiljadama godina unazad, osta}emo zadivljeni pred grandiozno{}udela, koja su slu`ila odr`anju svakodnevnog `ivota (sistemi za navodnjavanje, borbenasredstva, alati za obradu materijala, itd), opstanku i {irenju pojedinih religija (piramide uEgiptu, svetili{ta Chichenitze, gotske katedrale, itd), ili dru{tvenom funkcionisanju naselja iodr`anju kvaliteta `ivljenja u njima (dvorci, odbranbeni sistemi, oru`ja, muzi~ki instrumenti,itd)

Sa stanovi{ta otpornosti materijala, a u posedu dana{njih znanja, znaju}i da do rimskog dobanisu postojala zna~ajnija pisana teoretska ili primenljiva stru~na dela (izuzetak ~inesporadi~ne pojave opisa), neka pitanja se sama po sebi name}u:

- Sa kakvim su teoretskim znanjem raspolagali projektanti i graditelji?

- Da li su postojali sistematizovani podaci (na kom su nivou bili) o karakteristikamakori{tenih materijala?

- Kako su se postoje}a i novoste~ena znanja skupljala i prenosila na budu}a pokolenja?

Ako se sa pouzdano{}u jo{ ne mo`e odgovoriti na sva postavljena pitanja, ipak se mo`e re}ida su projektanti i graditelji vladali potrebnim i dovoljnim znanjima (istina ne u dana{njemsmislu re~i) pri ostvarenju, ~esto divljenja vrednih dela. I pre vi{e hiljada godina tehni~kiproblemi pri izradi i izgradnji morali su biti re{avani kao {to se to ~ini i danas, samo drugimsredstvima.

Na osnovu stru~nih re{enja koja su sa~uvana (zgrade, putevi, transportna sredstva, oru`ja,instrumenti, itd), da se zaklju~iti da se raspolagalo odre|enim znanjima o karakteristikamamaterijala (nosivost, trajnost, elasti~na svojstva, obradivost), da su postojali postupcidimenzionisanja, stajala su na raspolaganju osnovna znanja iz matematike i geometrije.

Postojala su upotrebljiva znanja o kori{tenju energetskih izvora (vetar, re~ni tokovi). Upostupku projektovanja zna~ajno mesto je zauzimala tradicija, kao i politi~ki odnosi vremenau kome su dela nastajala.

Mo`e se sa pouzdanos}u zaklju~iti da su se postoje}a znanja, u nedostatku pisanih formi,prenosila usmeno, sa generacije na generaciju, a svaka generacija je znanja oboga}ivalanovim iskustvima. Po{to teorijske osnove nisu postojale, upotrebljiva znanja su stvarana naosnovu vekovima sticanih uspeha i neuspeha. Na ovaj na~in ste~ena znanja su neretkodobijala formu tradicije, {tavi{e postajala su obele`ja pojedinih epoha (pojedine epohe gr~kearhitekture, gotika, geocentri~ni pogled na svet, brodogradnja, itd..)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

14

Razvijena dru{tva su stimulisana realnom potrebom-da nagomilana znanja sistematizuju, i daih u pisanoj formi o~uvaju za kori{tenje dolaze}im generacijama. Istovremeno sve ve}itehni~ki zahtevi (ve}e dimenzije, ve}a optere}enja i koli~ine, bolji faktori iskori{tenja, ve}iu~inci) doveli su do razvoja novih postupak, a sa time i novih op{tih znanja.

Mada je ve} u rimskom gra|evinarstvu postojala literatura koja se u dana{njem smislu re~imo`e okarakterisati kao stru~no-nau~na, ipak se kao vreme ra|anja odgovaraju}e literaturevezuje za period renesanse. Za taj istorijski period se vezuje ra|anje eksperimentalne fizike, istvaranje op{te pozitivne dru{tvene atmosfere za slobodniji razvoj ljudske misli. Velikimkoracima se razvijaju fundamentalni i primenjeni metodi (eksperimentalni metod, analiza-sinteza, indukcija-dedukcija). Srednjevekovna dru{tvena atmosfera, koja je kao ko~nicadelovala na razvoj civilizacije, u renesansi se (naro~ito u Engleskoj) korenito menja i mo`e seokarakterisati kao stimulativna za razvoj nauke. Ova konstatacija se naravno odnosi i nafiziku, a u okviru nje na teorijsku i na primenjenu mehaniku.

Krajem XIX veka, teoretska i prakti~na znanja koja danas ~ine predmet otpornosti materijala,izdvajaju se iz fizike, i prou~avaju kao posebna grana.

ISTORIJSKI PREGLED

Istoriju otpornosti materijala vremenski ograni~avaju svojim delima dva velikana nau~nemisli,, VITRUVIUS (I vek nove ere) i MAXWELL (1831-1869). U nazna~enom vremenskomperiodu stvorena je teoretska osnova, koja je polazna za primenjene discipline otpornostimaterijala. Ista slu`i kao polazi{te za dalji razvoj nau~ne misli u ovoj oblasti.

Za razvoj teorije, kao i za prakti~nu primenu, zaslu`an je veliki broj teoreti~ara i in`enjeraprakti~ara, me|u koje se ubrajaju:

VITRUVIUS Pollio Marcus (I vek nove ere.)

U istoriji je zabele`en kao izvanredan rimski graditelj, i kao pisac desetotomnog dela ("DEARCHITECTURA"). Pored stru~nog dela formulisaoje i op{ta znanja potrebna in`enjeru({irok spektar stru~nih znanja, op{ta kultura, objektivno poimanje politi~kog trenutka, ).Dela su mu vr{ila jak uticaj na razvoj nau~ne misli u doba renesanse.

PAPPOSZ Alexandriai (IV vek nove ere.)

Bio je istaknuti gr~ki matemati~ar. Teoretski je obradio problem poluge, kose ravni,zavojnice, zup~anik i zup~aste spojeve.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

15

ALBERTI Leon Battista (1404-1472).

Firentinski matemati~ar, arhitekta, humanista i filozof. Najva`nija su mu dela ("DELLAPITTURA" i "LUDI MATHEMATICA"). Dao je obja{njenja zakonitosti perspektive,teoretski je objasnio osnove stereoskopije, i dao zna~ajan prilog razvoju nacrtne geometrije. Usvom delu ("DE REAEDIFICATORIA") daje iskustvene podatke za dimenzionisanjemostova.

LEONARDO da Vinci (1452-1519).

Spada u najistaknutije li~nosti renesanse. Istakao se kao slikar, vajar, gra|evinar, ma{inac. Usvojim radovima koristi preliminarnu analizu. Za sobom je ostavio veliki opus pisanog icrtanog materijala. Vredno je spomenuti da je koristio eksperimente kao metod rada, {to se unjegovo doba grani~ilo sa jeresi. U stru~nom delu svog rada bavio se kinematikom, elasti~nimsistemima, talasnom mehanikom (hidraulikom), dimenzionisanjem greda, vojnom tehnikom.Istina samo u naznakama, inicirao je ideju o virtualnim pomeranjima. Teoretski je obradiozavojnicu, kotura~u, itd.

GALILEI Galileo (1564-1642).

Vrlo poznat i po{tovan italijanski astronom. Bio je veliki po{tovalac Kopernika, zbog ~ega jebio izlo`en represijama. Rezultate svog rada je obuhvatio u svom delu ("DISCORSI EDIMONSTRATIONI MATEMATISCHE INTORNO A DUE NUOVE SCIENCE").Zanimao se za nosivost savijenih greda i analizu ravnih preseka. Kao prvi je ustanovio, danosivost grede optere}ene na savijanje zavisi od visine i od {irine preseka ( 2/2bh ). Kasnije jePARENT (1666-1716) ustanovio ta~an odnos ( 6/2bh ).

HOOKE Robert (1635-1703).

Kao istaknuti engleski fizi~ar istakao se svojim radovima u oblasti teorije elasti~nosti. Danasga pamtimo po tz. HOOKE - ovom zakonu, koji uspostavlja linearnu vezu izme|u napona idilatacije. Rezultate vezane za spomenuta istra`ivanja je objavio u svom delu ("LECTURESde POTENTIA RESTITUTIVA OROF SPRING"). Vezano za njegova istra`ivanja YOUNG(1773-1827) je na osnovu eksperimenata odredio (E) - modul elasti~nosti (YOUNG -ovmodul)

BERNOULLI Jacob (1654-1705).

Uveo je pojam elasti~ne linije, i time otvorio novu oblast u otpornosti materijala. U svimradovima koristio je najnovije tekovine matematike svog doba (diferencialni i integralnira~un)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

16

BERNOULLI Johann (1667-1748).

Bio je najpo{tovaniji matemati~ar svog vremena. Postavio je osnove teorije virtualnihpomeranja, i time dao ogroman zamah razvoju klasi~ne mehanike i otpornosti materijala.

EULER Leonhrd (1707-1783).

Najzna~ajnija dela su mu vezana za mehaniku (varijacioni princip, pojam otpornogmomenta). Istaknute rezultate je postigao na polju analize optere}enja greda. Za njegovo imeje vezan i danas kori{ten metod za analizu izvijanje greda.

NAVIER (1785-1836).

Bavio se teorijskom i primenjenom mehanikom. Postavio je sistem izu~avanja statike u oblikuu kome se i danas koristi. Za njegovo ime vezan je metod postavljanja veze napona ideformacije greda optere}enih na savijanje.

POISSON Simeon Denis (1781-1840).

U oblasti otpornosti materijala definisao je veze napona i deformacija u prostornomnaponskom stanju.

CAUCHY Augustin Louis (1789-1857).

Uveo je pojam napona i grafi~ku interpretaciju napona. Zasnovao je op{tu teoriju prostornognaponskog stanja, i izveo je stav o konjugaciji tangentnih napona.

SAINT - VENANT Athemr Jean Claude Barre (1797-1886).

Za njegovo ime je vezano re{enje problema analize naponskih stanja grede. Zna~ajni su murezultati na polju teorije elasti~nosti.

STEINER Jacub (1798-1863).

U oblasti otpornosti materijala pamtimo ga po metodu za odre|ivanje karakteristika ravnihpovr{ina za me|usobno paralelne koordinatne sisteme.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

17

CLAPEYRON Benoit Paul Emil (1799-1864).

Bio je francuski fizi~ar i in`enjer. Zna~ajni su mu rezultati u oblasti prou~avanja greda sa vi{eoslonaca.

CULMAN Karl (1821-1881).

Kao profesor ciri{kog Univerziteta, postao je poznat u oblasti teorije i primene grafostatike.

CLEBSCH Alfrd (1833-1872).

Aktivno se bavio prou~avanjem elasti~nih sistema. Sa in`enjerskog stanovi{ta najzna~ajniji sumu radovi u oblasti re{avanja problema greda sa slo`enim sistemom optere}enja (univerzalnajedna~ina elasti~ne linije).

RITTER Wilhelm (1847-1906).

Zajedno sa Culmanom, smatra se tvorcem grafi~kih metoda u prou~avanju problema iz oblastiotpornosti materijala.

MOHR Otto (1835-1918).

Svoju aktivnost je obavljao na Univerzitetu u Drezdenu. Otpornost materijala je zadu`iografi~kim metodom za interpretaciju napona (Mohr-ovi krugovi), te radovima u oblastihipoteza o slomu materijala.

BETTI(1823-1892)., MAXWELL James Clerk(1831-1879).

U oblasti otpornosti materijala, za imena ovih nau~nika vezani su op{ti i posebni stavovi ozamenljivosti optere}enja.

CASTIGLIANO Alberto (1847-1884).

Postavio je metod odre|ivanja deformacija tela na osnovu deformacionog rada. Na taj na~in jeznatno pojednostavio izra~unavanje deformacija greda u odnosu na metod elasti~nih linija.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

18

TETMAYER Johann Ludwig von (1850-1905).

Dao je veliki doprinos dimenzionisanju i proveri greda optere}enih na izvijanje.

Nabrojani nau~nici dali su neposredni doprimos teoriji i praksi otpornosti materija, ali pre njihili uporedo sa njima veliki broj teoreti~ara i prakti~ara dali su nemerljivi doprinos razvojuovog dela nauke (idejama, matemati~kim osnovama, pogledom na svet, novim tehni~kimre{enjima,..). Njihovi radovi su otvarali nova pitanja ili inicirali nova re{enja, kao osnove zadalji teorijski i prakti~an rad. Sa du`nim po{tovanjem prema svima, ovde }e se spomenutisamo neka od velikih imena:

ARKHIMEDES (p.n.e. 287-217).

EUKLEIDES (p.n.e. 330-..).

NEWTON Isaac (1642-1727).

LEIBNIZ Wilhelm (1646-1716).

COULOMB C.A. (1736-1806).

WATT James (1736-1819).

OSTROGRADSKI M.V. (1801 - 1861).

HERTZ Heinrich Rudolf (1857 -1894.)

.

U oblasti otpornosti materijala, kao uostalom i u drugim oblastima nauke, nova tehni~kasredstva (ra~unarska tehnika, informatika, novi postupci merenja, novi pristupi analizimaterijala, novi materijali,), kao i novi izazovi (svemirska istra`ivanja, tr`isni zahtevi, )stavljaju dana{nje i sutra{nje nau~nike i in`enjere prakti~are pred nove izazove nauke iprakse.

PREDMET OTPORNOSTI MATERIJALA

Predmet otpornosti materijala je prou~avanje i uspostavljanje veza izme|u sistema spoljnjih iunutra{njih optere}enja, napona i deformacija u materijalu, te dimenzija optere}enihelemenata i sistema.

Sa ~isto teorijskog stanovi{ta tela se mogu svrstati u:

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

19

KRUTA TELA

Krutim telima se nazivaju takva (apstraktna) tela koja se pri delovanju spoljnjih, unutra{njih ireaktivnih sila ne deformi{u (relativne mere i polo`aji i nakon prijema sistema optere}enjaostaju nepromenjeni). Ovakva tela i sistemi bili su predmet prou~avanja u predmetuSTATIKA.

DEFORMABILNA TELA

U stvarnosti, kao posledica sistema optere}enja telo se deformi{e. Pri deformaciji menjaju seme|umolekularna rastojanja, i javljaju se naponi u materijalu. U odnosu na nastale napone iodgovaraju}e deformacije, deformabilna tela se teorijski dele na:

ELASTI^NA TELA

Ovako nazivamo tela, koja po prestanku dejstva sistema optere}enja u potpunosti poprimajuoblik koji su imali pre prijema optere}enja.

PLASTI^NA TELA

Ovako nazivamo ona tela, koja se po prestanku dejstva sistema optere}enja ne vra}aju uprvobitni oblik koji su imali pre optere}enja, ve} trajno zadr`avaju oblik koji su dobili kaoposledicu sistema optere}enja.

ELASTI^NO-PLASTI^NA TELA

Stvarni, ugra|eni materijali (~elik, aluminijum,..) se pona{aju dvojako. Do odre|ene veli~inenapona pona{aju se kao elasti~na tela, a po pove}anju napona se pona{aju kao plasti~na tela.Zbog velikog zna~aja elasti~no-plasti~nih osobina materijala proizvo|a~i materijala su du`nida pri isporukama prilo`e i dijagram veze napona i dilatacija ( = E ), sa odgovaraju}imkvantifikacijama (tz. HOOKE-ov dijagram).

STVARNI SISTEMI

Po{to se svi ugra|eni materijali u neku konstrukciju pona{aju kao elasti~no-plasti~na tela, zao~ekivati je da }e nakon prestanka dejstva sistema optere}enja, telo, ili cela konstrukcijazadr`ati jedan deo deformacija (zaostale plasti~ne deformacije), koje su nastale prilikomdejstva optere}enja. Pojava zaostalih plasti~nih deformacija se ne mo`e izbe}i, ali se njeneveli~ine, metodama koji su predmet otpornosti materijala (na osnovu karakteristika materijalai odre|enih dimenzija elemenata ili konstrukcije u celini), mogu odrediti tako, da budu unutarunapred odre|enih, tj. dozvoljenih vrednosti.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

20

HIPOTEZE OTPORNOSTI MATERIJALA

Kao {to je re~eno, u stvarnim konstrukcijama dolazi do promena medjumolekularnih polo`ajakao posledica delovanja sistema optere}enja. Sa druge strane tako nastale dilatacije izazivajunapone u materijalu.

Gore pomenuti odnosi su sa stanovi{ta teorijske razrade kompleksna materija. Za potrebeprakti~nog prou~avanja, koje treba da da dovoljno jednostavne, ali istovremeno i pouzdane iza praksu primenljive metode, uveden je pojam IDEALNO ELESTI^NO TELO, ~ijeosobine sa velikom ta~no{}u oslikavaju STVARNE OSOBINE MATERIJALA. Osobine idealnoelasti~nog tela formiraju se na bazi pretpostavki vezanih samo za odre|ene fizi~ke osobine.To zna~i da su osobine tako formulisanog tela hipoteti~ke, odnosno zasnivaju se naHIPOTEZAMA.

Predmet prou~avanja ovog kursa }e biti samo idealno elasti~no telo.

Osnovne hipoteze vezane za formulaciju idealno elasti~nog tela su:

NEPREKIDNOST

Posmatrano telo nema fizi~kih prekida ili skokovitih promena dimenzija.

IZOTROPIJA

Karakteristike materijala su u svim pravcima istovetna.

HOMOGENOST

Struktura materijala je u svakoj ta~ci identi~na.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

21

MALE DEFORMACIJE

Deformacije, kao posledice sistema optere}enja su male u odnosu na dimenzije elemenata ilikonstrukcije u celini, te ne uti~u evidentno na osnovnu geometriju. Ova hipoteza omogu}avasabiranje (superpoziciju) deformacija, kao i pojednostavljenje kori{tenog matemati~kogaparata.

ELASTI^NE DEFORMACIJE

Pretpostavlja se da se telo pona{a kao elasti~no, pa se pri prora~unima primenjuje HOOKE-ovzakon.

RAVNI PRESECI

Pretpostavlja se da se pri optere}enju ravni preseci ne deformi{u.

POSTEPENOST POSTAVLJANJA OPTERE]ENJA

Optere}enje (sistem optere}enja) se emituje postepeno od NULE do NAZIVNE VREDNOSTI,tako da ono nema za posledicu dinami~ke pojave kao {to su oscilacije. Prakti~no to zna~i da}e se sva dalja prou~avanja odnositi na tela optere}ena u trajnom stati~kom stanju ravnote`e(na ovaj na~in mogu se koristiti svi postulati STATIKE).

ZAMENLJIVOST SISTEMA OPTERE^ENJA

Sistem optere}enja koji deluje na maloj povr{ini mo`e se zameniti koncentrisanom silom, akose pri tome ne menja karakter deformacija.

ZADACI OTPORNOSTI MATERIJALA

Sa in`enjerskog stanovi{ta, otpornost materijala re{ava dva osnovna problema i to:

DIMENZIONISANJE

Predstavlja niz radnji, pomo}u kojih se na osnovu unapred zadatih kriterijuma (optere}enje,vrsta materijala, veli~ina elesti}nih deformacija, faktori sigurnosti, itd.) ODRE\UJEDIMENZIJA ili dimenzije elemenata pojedine konstrukcije.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

22

PROVERA

Predstavlja niz radnji pomo}u kojih se na osnovu utvrdjenih osobina neke konstrukcije(dimenzije, stepen o{te}enosti, vrsta materijala, stepen sigurnosti, itd.) mo`e utvrditiDOZVOLJENO OPTERE]ENJE ili DOZVOLJENA DEFORMACIJA.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

23

1. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIHPOVR[INA

Na nosivost optere}enih elemenata, uti~u slede}i ~inioci:

- Mehani~ke osobine materija.

- Raspodela napona po preseku.

- Karakter redukovanog sistema optere}enja.

- Oblik preseka u odnosu na sistem optere}enja.

1.1. GENERALISANA GEOMETRIJSKA KARAKTERISTIKA

Proizvoljni ravni presek povr{ine (A) postavimo u proizvoljno odabrani pravougaonikoordinatni sistem ( ), (Sl. 1.01).

Sl. 1.01

C

1 2

i

d

I. kv.II. kv.

III. kv. IV. kv.

P

y

x

c

c

A A

A

AA

y max

x max

i i,( )

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

24

Na povr{ini (A) ozna~imo diferencijalno malu povr{inu (dA), sa koordinatama sopstvenogte`i{ta ( ), i udaljenjem te`i{ta od koordinatnog po~etka ( ).Uvedimo pojam GENERALISANA GEOMETRIJSKA KARAKTERISTIKA POVR[INE, u viduslede}e funkcije:

dAJ nA

m= (1.01)

Parametri (m, n) u jedna~ini (1.01) mogu imati slede}e vrednosti:

m = 0,1,2 ; n = 0,1,2 (1.02)

Izraz za diferencijalno malu povr{inu (dA) u koordinatnom sistemu ( ,,P ) je: dddA = (1.03)

Ako vrednost za (dA) iz jedna~ine (1.03) uvrstimo u jedna~inu (1.01), tada dobijamo op{tioblik GENERALISANE GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POVR[INE, u vidu slede}egintegrala:

( ) ( )

ddddddJ

f

mn

f

nmnm

=

==

==

(1.04)

Ponekad je celishodno koordinate te`i{ta ( ), umesto u koordinatnom sistemu ( ,,P ),prikazati u polarnom koordinatnom sistemu ( ,,P ).

Po{to parametri (m, n) mogu imati vrednosti nazna~ene vezama (1.02), generalisanageometrijska karakteristika povr{ine (J), definisana integralom (1.04), dobija forme, koje udaljem radu koristimo kao definicije, i to:

1.1.1. POVR[INA

(m=0 ; n=0)

== A

AdAJ 00

[ ] 0;2 = AldAAA

(1.05)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

25

1.1.2. STATI^KI MOMENTI POVR[INE

(m=0 ; n=1), ili (m=1 ; n=0)

== SdAJA

10

[ ]3ldASA = (1.06)

0:...,

0:...,

SkvIVIII

SkvIII

SdAJA

== 01

[ ]3ldASA = (1.07)

0:...,

0:...,

SkvIIIIISkvIVI

1.1.3. TE@I[TE I TE@I[NI KOORDINATNI SISTEM

Svakoj povr{ini (A) odgovara (mo`e se odrediti) skup pravougaonih koordinatnih sistema(x, C, y), za koje su stati~ki momenti povr{ine ( yx SS , ) jednaki nuli. Ugaoni polo`ajkoordinatnog sistema (x, C, y) u odnosu na op{ti koordinatni sistem ( ,,P ) je invarijantan(nezavisan).

( )

( )

==

==

Ay

Ax

dAyS

dAyS

0

0

(1.08)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

26

Za proizvoljno odabrani koordinatni sistem ( ,,P ) va`e relacije koje su izvedene u statici.(Sl. 1.01):

==

=

==

=

ii

iii

A

Ac

ii

iii

A

Ac

A

A

AS

dA

dA

A

A

AS

dA

dA

(1.09)

Na ovaj na~in odre|ena ta~ka (C) se zove TE@I[TE POVR[INE, a koordinatni sistem(x, C, y) se zove TE@I[NI KOORDINATNI SISTEM.

1.1.4. AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

(m = 0 ; n = 2 ), ili (m =2 ; n = 0)

== IdAJA

20

[ ] 042 ldAIA

= (1.10)

== IdAJA

02

[ ] 042 ldAIA

= (1.11)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

27

1.1.5. CENTRIFUGALNI MOMENTI INERCIJE

(m = 1 ; n = 1 )

== IdAJA

11

[ ]4ldAIA

= (1.12)

0:...,

0:...,

IkvIVIIIkvIIII

(Ako je jedna, ili ako su obe ose te`i{nog koordinatnog sistema ujedno i ose simetrijepovr{ine, tada je vrednost centrifugalnog momenta inercije jednak nuli)

1.1.6. POLARNI MOMENT INERCIJE

)( 222 =+

=+== PA A

IdAdAJ )( 222

0+= IIIP (1.13)

1.1.7. OTPORNI MOMENTI

Otporne momente po definici dobijamo tako, da odgovaraju}e vrednosti aksijalnih momenatainercije podelimo sa najve}om udaljeno{}u od te`i{ne ose, odnosno pola, za koju je aksijalnimoment inercije, odnosno polarni moment inercije odre|en (Sl. 1.01).

o

oo

yy

xx

IW

xI

WyI

W

=== ;;maxmax

(1.14)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

28

1.1.8. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE SLO@ENIH POVR[INA

Na osnovu znanja iz integralnog ra~una, poznato je, da se integral neke povr{ine mo`e izrazitikao zbir integrala svih sastavnih delova (komponente) iste povr{ine:

+++=A A A Ai

dAdAdAdA1 2

(1.15)

U skladu sa jedna~inom (1.15), GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE SLO@ENIH RAVNIHPOVR[INA imaju oblik:

dAdAdA

dAJ

n

A A

mnmn

A

m

n

A

m

i

+++=

==

21

(1.16)

a jedna~ine (1.05, 1.06, 1.07, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13). se mogu napisati u slede}em obliku:

=

=

==

==

=

ipp

i

ii

ii

ii

i

i

ii

ii

II

II

IIII

SSSS

AA

)(

;

;

(1.17)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

29

1.2. PROMENA VREDNOSTI GEOMETRIJSKIHKARAKTERISTIKA RAVNIH POVR[INA USLEDTRANSLATORNOG POMERANJA KOORDINATNOGSISTEMA. (STEINEROVA TEOREMA)

Uvedimo koordinatni sistem (j, O, k), koji je paralelan sa op{tim koordinatnim sistemom( ,,P ). Predpostavimo da je te`i{ni koordinatni sistem (x, C, y) tako|e paralelan sa op{timkoordinatnim sistemom ( ,,P ), (Sl. 1.02).

Sl. 1.02

Napi{imo koordinate polo`aja diferencijalno male povr{ine (dA) u odnosu na koordinatnisistem ( ), pomo}u paralelnih udaljenja osa (a, b) i koordinata polo`aja u odnosu nakoordinatni sistem ( jk ):

akbj

+=

+=

(1.18)

Koriste}i jedna~ine (1.05, 1.06, 1.07, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13), kao i koordinate polo`aja (1.18),mo`emo odrediti karakteristike ravnih povr{ina u odnosu na koordinatni sistem ( ), kaofunkcije koordinata polo`aja ( jk ) i paralelnih udaljenosti osa (a, b):

j

a

b

k

j

P

O

k

dA A

cx

y

c

c

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

30

POLAZNE VREDNOSTI SU: jkkjkj IIISS ,,,,

PARALELNA POMERANJA OSA SU: ),( ba (1.19)

NOVE VREDNOSTI SU: IIISS ,,,,

Na osnovu definicija, karakteristike povr{ina }e biti:

AbaSaSbIdAakbjdAI

AbSbIdAbbjjdAI

AaSaIdAaakkdAI

AbSdAbdAjdAbjdAS

AaSdAadAkdAakdAS

jkjkAA

kkAA

jjAA

kAAAA

jAAAA

+++=++==

++=++==

++=++==

+=+=+==

+=+=+==

))((

2)2(

2)2(

)(

)(

2222

2222

(1.20)

U slu~aju da se koordinatni sistem (j, 0, k) poklopi sa te`i{nim koordinatnim sistemom(x, C, y), tada su po definicij vrednosti stati~kih momenata povr{ine jednake nuli, a paralelnaudaljenja osa odgovaraju koordinatama te`i{ta (Sl. 1.02),

( ) ( )cc

ykxj

baSS ==

====

,

;0;0

a jedna~ine (1.20) dobijaju slede}e forme:

AIIAII

AII

AS

AS

ccxy

cy

cx

c

c

+=

+=

+=

=

=

2

2(1.21)

Na osnovu veza (1.21) se zaklju}uje, da je geometrijska karakteristika povr{ine zakoordinatne ose paralelne te`i{nim koordinatnim osama, zbir te`i{nih i (takozvanih)polo`ajnih karakteristika iste povr{ine. Ovaj stav je poznat pod nazivom STEINEROVATEOREMA.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

31

Po{to se u tablica iz otpornost materijala obi~no nalaze vrednosti te`i{nih momenata inercije( xyyx III ,, ) za te`i{ne ose (xy), relacije (1.21) su vrlo zna~ajne, jer se pomo}u njih moguodrediti momenti inercije ( III ,, ) za bilo koje paralelne ose ( ).

1.3. PROMENA VREDNOSTI AKSIJALNIH MOMENATAINERCIJE RAVNIH POVR[INA USLED ROTACIJETE@I[NOG KOORDINATNOG SISTEMA

Ako se shodno slici (Sl. 1.03) te`i{ni koordinatni sistem (xy) zarotira za ugao ( ) u novikoordinatni sistem (uv), tada }e do}i do promene postoje}ih vrednosti aksijalnih momenatainercije.

Sl. 1.03.a

POLAZNE VREDNOSTI SU: xyyx III ,,

UGAONO POMERANJE OSA JE: (1.22)

NOVE VREDNOSTI SU: uvvu III ,,

v

u

y

x

C

dA Ax

y

u

v

(1)(2)

(1)(2)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

32

Koordinate polo`aja diferencijalno male povr{ine (dA) u odnosu na zarotirani koordinatnisistem (uv) (Sl. 1.03.b) su:

Sl. 1.03.b

sincoscossin=

+=

xyvxyu

(1.23)

Na osnovu jedna~ina (1.10, 1.11, 1.12), i veza (1.23), vrednosti aksijalnih i centrifugalnihmomenata inercije za ose (uv) su:

( )( )

+=

===

dAxyxy

dAxydAvI

A

AAu

2222

22

sincossin2cos

sincos

2sinsincos 22 += xyyxu IIII (1.24)

( )

+== dAxydAuIAA

v

22 cossin

2sincossin 22 ++= xyyxv IIII (1.25)

C

dA

y

x

v

u

x sin

y cos

x cos y sin

x

y

u

v

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

33

( ) ( )

+== sincoscossin xyxydAvuIAA

uv

2cos2sin)(21

+= xyyxuv IIII (1.26)

Znak centrifugalnog momenta inercije ( uvI ) je promenljiv (+, -) u zavisnosti od polo`aja ( ),odnosno jedna~ina (1.26) ima nulte vrednosti.

02cos2sin)(21

=+= xyyxuv IIII (1.27)

Ako jedna~inu (1.27) re{imo po ( o = ), tada se mo`e odrediti ugaoni polo`aj, kojiodgovara vrednosti ( 0=uvI ):

( ),..1,0;2

221

0 =+

== kkII

Iarctg

yx

xy (1.28)

1.3.1. GLAVNI MOMENTI INERCIJE, GLAVNE OSE

Jedna~ine (1.24, 1.25) su trigonometrijske funkcije. Ekstremi ovih funkcija se moguizra~unati. Po{to se funkcije (1.24, 1.25) razlikuju samo po fazi ( 2/ ), u daljem radu jedovoljno analizirati samo jednu od dve. Kao osnova za analizu uzima se jedna~ina (1.24).

Ako odredimo ono ugaono pomeranje ( = ), za koje aksijalni moment inercije ( ( )fIu = )ima ekstremne vrednosti, tada takve vrednosti zovemo GLAVNI MOMENTI INERCIJE, i udaljem radu ih obele`avamo sa (I1, I2). Odgovaraju}i koordinatni sistem se zove GLAVNITE@I[NI KOORDINATNI SISTEM. Ose glavnog te`i{nog koordinatnog sistema seobele`avaju sa ( ) ( )[ ]2,1 , i zovu se GLAVNE TE@I[NE OSE.

min2max1 ; IIII == (1.29)

Unapred se ne mo`e odrediti kojoj od glavnih osa pripada najve}a, odnosno najmanjavrednost glavnih momenata inercije. Za odre|ivanje se koristi poznati pristup iz matemati~keanalize. Po tom pristupu se treba izra~unati drugi izvod funkcije aksijalnog momenta inercije

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

34

(1.24), pa se na osnovu znaka drugog izvoda odre|uju pripadaju}e vrednosti ekstrema.

Postupak odre|ivanja vrednosti glavnih momenata inercije, polo`aji glavnih osa i njihovkarakter odre|uju se slede}im redosledom:

Polo`aje glavnih osa ( = ), odre|ujemo tako, da nalazimo prvi izvod jedna~ine (1.24), i istiizvod izjedna~avamo sa nulom:

[ ]

=+

==

=+=

1,0;2

22

02cos2cossin2cossin2

kkII

Iarctg

IIIddI

yx

xy

xyyxu

[ ]1,0;2

221

=+

== kkII

Iarctg

yx

xy (1.30)

Ako koristimo trigonometrijske transformacije

2112cos;

2122sin

22 tgtgtg

+=

+=

a vrednosti uglova ( = ) iz jedna~ine (1.30) uvrstimo u polaznu jedna~inu (1.24), dobijamovrednosti glavnih momenata inercije u funkciji te`i{nih momenata inercije.

( ) ( )( ) ( ) 222

221

421

21

421

21

xyyxyx

xyyxyx

IIIIII

IIIIII

++=

+++=

(1.31)

U jedna~ini (1.28), odredili smo polo`aj koji odgovara nultoj vrednosti centrifugalnogmomenta inercije ( uvI ). Izra~unat ugao se poklapa sa vredno{}u ugla koji karakteri{e polo`ajeglavnih te`i{nih osa (1.30). Na osnovu toga se zaklju~uje da je vrednost glavnogcentrifugalnog momenata inercije jednak nuli.

02,1 =I (1.32)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

35

Karaklter glavnih te`i{nih osa ( ) ( )[ ]2,1 odre|uje se na osnovu znaka drugog izvoda funkcije(1.24).

Drugi izvod funkcije (1.24) je:

( )

2sin22cos22

+=

=

xyyxu III

dId

(1.33)

U odnosu na znak funkcije (1.33), mogu}a su dva slu~aja:

)1()2

()2()(2

2

2)2

()1()(2

2

;0

;0

IIIIdId

IIIIdId

uuu

uuu

==

==

+==

+==

(1.34)

Ako te`i{ni koordinatni sistem (x, C, .y) odaberemo tako da se poklopi sa glavnim te`i{nimkoordinatnim sistemom ( ) ( )[ ]2,1 == yx , tada su:

02,12

1

==

=

=

IIIIII

xy

y

x

(1.35)

Ako u jedna~ine (1.24, 1.25, 1.26) uvrstimo vrednosti veza (1.35), a ugao izme|u glavnete`i{ne (1), i neke proizvolje te`i{ne ose (u) obele`imo sa ( ), pa zatim primenimotrigonometrijske transformacije,

( ) ( ) 2cos121cos;2cos1

21sin 22 +==

dobijamo slede}e oblike aksijalnih momenata inercije za te`i{ni koordinatni sistem (uv):

( ) ( )( ) ( )( )

2sin21

cossin2cos21

21

sincos2cos21

21

21

22

212121

22

212121

=

+=++=

+=++=

III

IIIIIII

IIIIIII

uv

v

u

(1.36)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

36

U tablicama iz otpornosti momenata, ~esto nalazimo samo glavne momente inercije. Zaodre|ivanje aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije za proizvoljno izabrane te`i{ne ose(uv) slu`e veze (1.36), {to iste ~ini izvanredno va`nim.

1.3.2. INVARIJANTE MOMENATA INERCIJE

Zbog jednostavnosti matemati~kih dokaza, samo se navode slede}i odnosi, koji se nazivajuinvarijante (nepromenljivosti) odnosa aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije:

Prva invarijanta:

constIIIIII yxvu =+=+=+ 21 (1.37)

Druga invarijanta:

constIIIIIIII xyyxuvvu ===2

212 0 (1.38)

1.4. GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA MOMENATA INERCIJE(ELIPSA INERCIJE)

Defini{imo koordinatni sistem (Sl. 1.04), }ije se ose poklapaju sa glavnim pravcima( )[ ]))2(;1 ba == . Poznavaju}im pojam radiusa inercije,

AIi

AIi

AIi nn === ;; 2211 (1.39)

defini{imo jedan skup ta~aka (N), }iji radius vektori imaju slede}u strukturu:

nn i

iir 21 =! (1.40)

Komponente vektora (1.40) u pravcima osa (a, b) su:

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

37

21

21

sinsin

coscos

iibi

rb

iiai

ra

nn

nn

==

==

(1.41)

Sl. 1.04

Prvu od jedna~ina (1.36) podelima sa (A), i upotrebimo ozna~avanje (n=u):

( )

222

221

2

22

21

sincos

:sincos

+=

+=

iii

AIII

n

n

(1.42)

Ako u jedna~inu (1.42) uvrstimo funkcije ugla (1.41), te tako dobiveniu jedna~inu sredimo,dobijamo jednu centralnu jedna~inu elipse:

121

2

22

2

=+ib

ia

(1.43)

Ako na osnovu dobivene jedna~ine (1.43) nacrtamo odgovaraju~u elipsu, tada se pomo}u nje,za jednu proizvoljno izabranu osu (u=n), koja sa glavnom osom (1) zaklapa ugao ( ), mo`eodrediti vrednost aksijalnog momenta inercije, kori{tenjem veze (1.39).

(2)=b

(1)=aC

n

n

i1

i2

rn

in

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

38

AiI

AIi

nn

nn

2=

=

(1.44)

PRIMER 1.1.

Odrediti geometrijske karakteristike povr{ine pravouglog trougla, prikazanog na slici (Sl. 1.1).

SL. 1.1

Ose proizvoljnog koordinatnog sistema ( ,,P ) poklapaju se sa katetama (g, h), a paralelna rastojanja (a, b) te`i{nih osai osa proizvoljnog koordinatnog sistema, podudaraju se sa koordinatama te`i{ta ( CC , ).

ab CC == ; (P.1.01)

Jedna~ina hipotenuze u koordinatnom sistemu ( ,,P ) je:

ghh = (P.1.02)

Geometrijske karakteristike povr{ine odre|ujemo na osnovu jedna~ine (1.04). Shodno tome, vrednost diferencijano malepovr{ine (dA) odre|ujemo pomo}u veze (1.03).

hgh

gP

C

d

d

x

y

dA

c=a

c=b

=h-

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

39

ODRE\IVANJE VREDNOSTI U ODNOSU NA OSE ( , )

POVR[INA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.05, P.1.02).

=

=

=

dghhddA

gghh

g

00

0

0

0

ghA21

= (P.1.03)

STATI^KI MOMENTI POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.06, 1.07, P.1.02).

=

=

=

dghhddS

gghh

g 2

00

1

0

0

21

2

61 ghS = (P.1.04)

iIdenti~nim postupkom se odre|uje vrednost u odnosu na osu ( ).

hgS 261

= (P.1.05)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

40

KOORDINATE TE@I[TA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.09, P.1.03, P.1.04, P.1.05).

==

gh

gh

AS

C

2161 2

hC 31

= (P.1.06)

==

gh

hg

AS

C

21

61 2

gC 31

= (P.1.07)

AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.10, 1.11, P.1.02)

=

=

=

dghhddI

gghh

g 3

00

2

0

0

31

3

121 ghI = (P.1.08)

iIdenti~nim postupkom se odre|uje vrednost u odnosu na osu ( ).

hgI 3121

= (P.1.09)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

41

CENTRIFUGALNI MOMENT INERCIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.12, P.1.02)

=

=

=

dghhddI

gghh

g 2

00

1

0

1

21

22

241 hgI = (P.1.10)

POLARNI MOMENT INERCIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.13, P.1.08, P.1.09)

+=+= 33

121

121 hgghIII P

( )22121 hgghI P += (P.1.11)

VREDNOSTI RA^UNATE NA TE@I[NE OSE ( yx, )

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.08, 1.21, P.1.01).

STATI^KI MOMENTI INERCIJE

0;0 == yx SS (P.1.12)

AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

==

232

31

21

121 hghghAII Cx

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

42

3

361 ghI x = (P.1.13)

==

232

31

21

121 gghhgAII Cy

3

361 hgI y = (P.1.14)

== ghhghgAII CCxy 2

131

31

241 22

22

721 hgI xy = (P.1.15)

OTPORNI MOMENTI

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.14, P.1.13, P.1.14.).

==

3236

3

max h

gh

yI

W xx

2

241 ghWx = (P.1.16)

3236

3

max g

hg

xI

W yy ==

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

43

2

241 hgWy = (P.1.17)

PRIMER 1.2.

Odrediti momente inercije za kru`ni presek prikazan na slici (Sl. 1.2).

Celishodno je, prvo na osnovu jedna~ine (1.13) odrediti vrednost polarnog momenta inercije (IP).

Izrazimo vrednost diferencijalno male povr{ine (dA) pomo}u polarnih koordinata:

dddA = (P.1.18)

Sl. 1.2

Koriste}i jedna~inu (1.13), i vezu (P.1.18), izra~unava se vrednost polarnog momenta inercije (IP):

==

=

===

...20

32

00

3

22

ddd

dddAI

rr

AP

4

2rIP

= (P.1.19)

x

y

C

d

d

dA

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

44

Tako|e je, na osnovu jedna~ine (1.13):

yxP III +=

Po{to su te`i{ne ose (xy) ujedno i ose simetrije kruga, vrednosti aksijalnih momenata inercije su:

=== yxPyx IIIII 22

4

4rII yx

== (P.1.20)

PRIMER 1.3.

Odrediti momente inercije za te`i{ne ose (xy), za standarni valjani profil (65 x 100 x 9), po standardu (JUS C.B.111). Polo`ajiugradnje, kao i usmerenosti te`i{nih osa prikazane su na slikama (Sl.1.3.a i SL.1.3.b).

1.3.a. bra 1.3.b. bra

Tabli~ne vrednosti za kori{ten profil su slede}e:

( )4

2

41

0

2.27160

5.22415.0

cmIcmI

arctg

=

=

== (P.1.21)

x

y

(1)

(2)

=()x

y

(1)

(2)

=(90)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

45

Vrednost aksijalnih momenata inercije za te`i{ne ose (xy) pri ugradbenom obliku (Sl. 1.07.a), odre|ujemo na osnovujedna~ina (1.36). Vodimo ra~una da je vrednost ugla ( ) u odnosu na usmerenost osa negativna.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

==

+=+=

+=+=

5.222sin2.27160212sin

21

5.22cos2.275.22sin160cossin

5.22sin2.275.22cos160sincos

21

020222

21

020222

21

III

IIIIII

xy

y

x

4

4

4

95.46

20.46

12.151

cmI

cmIcmI

xy

y

x

=

=

=

(P.1.22)

Ugradbeni oblik (Sl. 1.07.b) se u odnosu na ugradbeni oblik (Sl.1.07.a), razlikuje po usmerenosti te`i{nih osa i po vrednostiugla ( ) koja je sada pozitivna. Za ovakav ugradbeni oblik, vrednosti aksijalnih momenata inercije su:

4

4

4

95.46

12.151

20.46

cmI

cmIcmI

xy

y

x

=

=

=

(P.1.23)

PRIMER 1.4.

Ugradnja dva standardna profila prikazana je na slici (Sl. 1.4). Na slici su ozna~ene te~i{ne ose ( 2211 ,;, yxyx ), kao itabli~ne vrednosti pojedinih mera profila.

Potrebno je odrediti te`i{ne aksijalne momente inercije, centrifugalni te`i{ni moment inercije, glavne momente inercije,glavne pravce, i nacrtati elipsu inercije.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

46

(Ako se vrednosti centrifugalnih momenata inercije za komponentne profile ne mogu tabli~no odrediti, tada se njihovoizra~unavanje obavlja na osnovu jedna~ine 1.36 ).

Redosled re{avanja zadatka je slede}i:

TABLI^NE VREDNOSTI

[ ] ( ) ( )[ ]

0.1712.32.........................1.120.191.46107...........................................

1.290.33..

1.295.92........................................

77.103.943.197.24.11..............................)86060(101.3.)119060(11.3......................................

.2.1

2,21,1

2221

1211

21

1

4

212

2

==

==

==

==

==

======

yxyx

yy

xx

yxyx

IILNICENTRIFUGAIIIIGLAVNIII

IIAKSIALNIcmINERCIJEMOMENTI

eeAeeAcmPOVRINEBCJUSBCJUSSTANDARDI

PROFILPROFIL

(P.1.24)

ODRE\IVANJE TE@I[TA (C) SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (1.09).

+

+==

+

+==

03.94.1103.923.44.1197.8

03.94.1103.923.44.1149.1

ii

ii

i

C

ii

ii

i

C

A

A

A

A

cmcm

C

C

87.670.2

=

=

(P.1.25)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

47

ODRE\IVANJE TE@I[NIH MOMENATA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.16 i 1.21)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

++=+++=

+++=+++=

+++=+++=

==

==

53.164.203.91721.11.24.1112.3253.103.91.291.24.1133

64.203.91.291.24.115.92

53.121.164.21.2

2222,21111,1

222222

2111

222222

2111

21

21

baAIbaAIIbAIbAII

aAIaAII

cmbcmbcmacma

yxyxxy

yyy

xxx

4

4

4

55.114

93.99

48.234

cmI

cmIcmI

xy

y

x

=

=

=

(P.1.26)

ODRE\IVANJE GLAVNIH TE@I[NIH MOMENATA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.31, i P.1.26).

( ) ( )( ) ( )

++=

=++=

22

222,1

55.114493.998.2342193.998.234

21

421

21

xyyxyx IIIIII

42

41

44.34

28.300

cmIcmI

=

=

(P.1.27)

ODRE\IVANJE GLAVNIH PRAVACA (GLAVNIH OSA) SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (1.30).

( )

=

=

93.998.23455.1142

212

21 arctg

III

arctgyx

xy

)01(:2175.29 0 =+= kk (P.1.28)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

48

ODRE\IVANJE KARAKTERA GLAVNIH PRAVACA (GLAVNIH OSA) SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.33 i 1.34).

( )( ) ( ) 05.59sin55.11425.59cos93.998.234

2sin22cos00 +=

=+ xyyx III

Na osnovu kriterijuma (1.34), karakteri glavnih osa su slede}i:

02

01

75.11975.29

=

=

(P.1.29)

Sl. 1.4

C2

x2

y2

C1

y1

x1

P

4.23

4.23

C x

y

(1)

(2)

c=6.

87

c=2.7

i 1

i 2

8.97

1.53

-2.6

42.

16

-1.21

=29.75

0

1

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

49

ODRE\IVANJE RADIUSA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.39).

==

==

43.2044.3443.2028.300

22

11

AIi

AIi

cmicmi

29.183.3

2

1

=

=

(P.1.30)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

50

2. NAPONSKA STANJA

2.1. POJAM NAPONA

Kao posledeica sistema optere}enja (aktivna i reaktivna optere}enja) u materijalu se javljajuunutra{nje sile.

Sl. 2.01

Analizirajmo jedno proizvoljno izabrano telo (Sl. 2.01), koje je vezano za pravouglikoordinatni sistem (xyz). Pretpostavimo, da na telo deluje sistem optere}enja:[ ]knn FFFF !!!! ,,.........,,........, 11 + (2.01)

A

dA

p

F

F

F

F

Fn F

A

2

n+1

k

A

n

n

x

y

z

O

1

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

51

koji obezbe|uje ravnote`no stanje. Presecimo telo (u mislima) sa jednom ravni ( ), i desnideo sa pripadaju}im podsistemom optere}enja

[ ]kn FF !! ,,.........1+ (2.02)odstranimo. Leva strana tela }e i dalje biti u stanju ravnote`e ako na povr{ini (A) prese~neravni ( ) bude delovao unutra{nji sistem optere}enja, koji }e zameniti odstranjeni sistemoptere}enja (2.02).

Na povr{ini (A) odaberimo ta~ku (N), i u njenoj okolini ozna~imo elementarnu povr{inu( A ), koju karakteri{e vektor normale ( n! ) (jedini~ni vektor). Unutra{nje sile (optere}enja)koje deluju na povr{ini ( A ), mogu se redukovati na te`i{te elementarne povr{ine ( A ) uvidu unutra{nje glavne sile ( F

! ) i unutra{njeg glavnog momenta ( M

! ).

Na osnovu odnosa glavnih unutra{njih optere}enja ( F!

, M!

) i povr{ine ( A ), uvode seslede}e konvencije:

0lim =AM!

(2.03)

pdAFd

AF

A

!!!

==

0

lim (2.04)

Grani~nu vrednost odnosa (2.04) nazivamo VEKTOR NAPONA.

Dimenzija vektora napona je (Paskal):

[ ] [ ]PaskalPadAFd

mN

dAFdp

!!!

== 2 (2.05

Zbir svih redukovanih unutra{njih glavnih sila ( F!

), na celokupnom preseku (A), mora bitijednaka aktivnom sistemu optere}enja

[ ]nFF !! ,........,1 (2.06)koji deluje na levoj strani tela, odnosno:

==== AA

ni

ii dApFF

!!!

1

(2.07)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

52

Rastavimo vektor napona ( p! ) tako, da jedna komponenta bude paralelna sa pravcem normale(n! ) na ravan ( A ), a druga da bude paralelna sa elementarnom povr{inom ( A ).

Komponenta vektora napona ( p! ) u pravcu normale ( n! ) zove se NORMALNI NAPON, iozna~ava se sa (

!).

Skalarna vrednost normalnog napona (!

) dobija se kao skalarni proizvod vektora napona( p! ) i vektora normale ( n! ).

np !! = (2.08)

Komponenta vektora napona ( p! ), koja je paralelna sa elementarnom povr{inom ( A ), {toistovremeno zna~i da tangira povr{inu, zove se TANGENTNI NAPON (tangencionalni,smi~u}i), i ozna~ava se sa (

!).

Veza izme|u vektora napona ( p! ), vektora normale ( n! ), i tangentnog napona (! ) je u oblikuvektorskog proizvoda:

. ( )npn !!!! = (2.09)

Po{to se kroz odabranu ta~ku (N) mo`e postaviti beskona~ano veliki broj prese~nih ravni ( ),to istovremeno zna~i da je i broj razli~itih vektora napona ( p! ) beskona~no veliki. Skupvektora napona nazivamo: NAPONSKO STANJE ta~ke (N).

U zavisnosti od odabranog koordinatnog sistema, vektor napona ( p! ) se mo`e predstavitipomo}u svojih komponenata u pravcima osa, naprimer u pravcima (normale i tangente) naelementarnu povr{inu (ravan) ( A ), i u pravcima koordinatnog sistema (xyz):

zyx pppp!!!!!!

++=+= (2.10)

Skalarna vrednost vektora napona ( p! ) se tako mo`e izraziti kao:

22222zyx pppp ++=+= (2.11)

2.1.1. POJAM GLAVNIH NAPONA

Ako prese~nu ravan ( ) odaberemo tako da se pravac normale ( n! ) poklopi sa pravcem

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

53

vektora napona ( p! ), tada }e vrednost vektora normalnog napona (! ) biti maksimalna, avrednost tangentnog napona (

!) }e biti jednaka nuli.

Opisano naponsko stanje se zove GLAVNO NAPONSKO STANJE, a odgovaraju}i normalninapon se naziva GLAVNI NAPON.

( ) ( ) 0;3,2,1max ==== !!!!

gp (2.12)

Sa oznakom (g=1, 2, 3) ukazujemo na to, da postoji vi{e glavnih naponskih stanja, {to }e se unastavku izlaganja i pokazati.

Geometrijske kategorije vezane za glavno naponsko stanje su slede}e:

GLAVNE RAVNI

Ravni u kojima deluju glavni naponi.

GLAVNI PRAVCI

Pravci u kojima deluju glavni naponi.

GLAVNI KOORDINATNI SISTEM

Koordinatni sistem ~ije se ose poklapaju sa glavnim pravcima.

GLAVNE OSE

Ose glavnog koordinatnog sistema.

2.1.2. TEOREMA O KONJUGOVANOSTI TANGENTNIH NAPONA

Izdvojmo iz tela koje je optere}eno ravnote`nim sistemom optere}enja jedan elementarniparalelopiped dimenzija (dx, dy, dz). Ivice paralelopipeda su ujedno i ose koordinatnogsistema (xyz).

Pretpostavimo da su na stranicama koje odgovaraju osama (yz), vektori napona jednaki nuli(Sl. 2.02).

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

54

Na stranicama tetraedra u kojima postoji vektor napona ( p! ) nazna~ene su odgovaraju}enormalne i tangentne komponente napona. Na suprotnim stranicama zbog diferencijalnomalih udaljenosti (dy, dz), vladaju}i naponi se razlikuju za diferencijalno male vrednosti(

!! dd , ).

U daljem radu }e se koristiti slede}i na~in obele`avanja tangentnih napona:

Po{to je elementarni paralelopiped u ravnote`nom stanju, mogu}e je postaviti stati~kejedna~ine ravnote`e. U ovom slu~aju koristit }e se momentna jedna~ina ravnote`e u odnosuna prese~nu ta~ku velikih dijagonala (A) paralelopipeda.

Sl. 2.02

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+++

++=dzdxdyddzdxdy

dydzdxddydzdxM

zyzyzy

yzyzyzA

21

21

21

21

yzzy = (2.13)

A

x

y

Z

o

dz

dydx

y

z

zy

yz

zyzy+d

yz yz+d

z z+d

y y+ d

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

55

Obrazac (2.13) predstavlja teoremu o KONJUGOVANOSTI TANGENTNIH NAPONA:

(NA UZAJAMNO UPRAVNIM RAVNIMA, TANGENTNI NAPONI SU PO INTENZITETUJEDNAKI, A USMERENI SU, ILI PREMA, ILI OD PRESE^NE LINIJE TIH RAVNI).

2.2. OP[TE PROSTORNO NAPONSKO STANJE

Iz proizvoljno odabranog tela, iz okoline ta~ke (N) izdvoji se elementarni tetraedar sadiferencialno kratkim stranicama (dx, dy, dz), i isti se prese~e sa proizvoiljno postavljenomravni (dA), kako je to prikazano na slici (Sl. 2.03). Telo, pa i elementarni tetraedar nalaze se ustanju stati~ke ravnote`e. Ivice tetraedra se poklapaju sa osama koordinatnog sistema (xyz).

Sl. 2.03

y

z

x

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

56

Svakoj od ~etiri ravni pripadaju odgovaraju}e komponente totalnih napona (normalne itangentne komponente). Na me|usobno upravnim ravnima, ozna~ene su normalne i tangentnekomponente, dok je na proizvoljno postavljenoj prese~noj ravni (dA), ozna~en totalni vektornapona ( p! ) sa svojim komponentama ( ; )

Prese~noj ravni (dA) korespondira jedan normalni vektor ( n! ), koji sa koordinatnim sistemom(xyz) zaklapa uglove ( x y z; ; ):

nml zyx === cos;cos;cos (2.14)

Uvedimo vektor kolonu:

nml

n

z

y

x

==

coscoscos

!(2.15)

Razlo`imo vektor napona ( p! ) koji deluje na prese~noj ravni (dA), na pravce osakoordinatnog sistema (xyz), a zatim na pravac normalan tj. tangentan na prese~nu ravan.

!!!!!!

+=++= zyx pppp (2.16)

Skalarna vrednost vektora napona ( p! ) je tada:

22222zyx pppp ++=+= (2.17)

Ozna~ene komponente napona na stranicama, pomno`ene sa povr{inom stranica na kojimadeluju, daju sistem sila, koji tetraedar dr`i u stati~kom stanju ravnote`e, pa za takav sistemva`e odgovaraju}e jedna~ine ravnote`e u skalarnom obliku.

0coscoscos0coscoscos0coscoscos

======

xxzyyzzzzi

zzyxxyyyyi

zzxyyxxxxi

dAdAdAdApZdAdAdAdApYdAdAdAdApX

(2.18)

Podelimo jedna~ine (2.18) sa (dA) i izvr{imo sre|ivanje na slede}i na~in:

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

57

zzyyzxxzz

zzyyyxxyy

zzxyyxxxx

ppp

coscoscoscoscoscoscoscoscos

++=

++=

++=

(2.19)

Jedna~ine (2.19) predstavljaju CAUCHY-jeve jedna~ine. Iste jedna~ine mo`emo predstaviti i umatri~noj formi:

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

p

coscoscos

!(2.20)

odnosno:

nTp !! = (2.21)

Tenzor (T) naziva se TENZOR NAPONA.

Shodno stavu o konjugovanosti tangentnih napona, slede jednakosti slede}ih tangentnihnapona:

zyyzzxxzyxxy === ;; (2.22)

Na osnovu jednakosti (2.22) sledi, da je tenzor napona (T) simetri~an i sadr`i u op{temslu~aju {est napona.

Iz matri~nog oblika jedna~ine (2.20) mo`e se zaklju~iti: u svakoj ta~ci (N), i pripadaju}empreseku (dA) koji je karakterisan vektorom normale ( )n! , mogu se odrediti vektori napona( )p! , kao funkcije normalnih i tangentnih napona koji deluju u ravnima (xy, yz, zx), a koji suobuhva}eni tenzorom napona (T).

U daljem radu }e se pretpostaviti, da se poznaje tenzor napona (T), tj. vladaju}i normalni itangentni naponi u pravcima (xyz). Zadatak }e se svoditi na odre|ivanje tj. izra~unavanjevrednosti vektora totalnog napona ( )p! i njegovih komponenti ( !!, ) u proizvoljno odabranojreferentnoj ravni (dA) definisanoj sa vektorom normale ( )n! .

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

58

2.2.1. IZRA^UNAVANJE VREDNOSTI NORMALNOG NAPONA

Vektor normalnog napona predstavlja projekciju vektora napona ( )p! na pravac vektoranormale ( )n! , pa se isti odre|uje na osnovu skalarnog proizvoda vektora napona ( )p! i vektoranormale ( )n! , kako je to pokazano u jedna~ini (2.08):

z

y

x

z

y

x

ppp

np

coscoscos==

!!(2.23)

Napi{imo jedna~inu (2.23) u skalarnom obliku, koriste}i veze (2.19):

( )( )( ) ++++

++++

+++=

zzzyyzxxz

yzzyyyxxy

xzzxyyxxx

coscoscoscos

coscoscoscos

coscoscoscos

(2.24)

Na osvovu veza (2.22) koje su dobivene na osnovu konjugovanosti tangentnih napona, udaljem radu }emo koristiti kao oznake tangentnih napona ( zxyzxy ;; ). Na taj na~in op{tioblik jedna~ine za normalni napon ima formu:

( )xzzxzyyzyxxyzzyyxx

coscoscoscoscoscos2coscoscos 222

+++

+++=(2.25)

2.2.2. IZRA^UNAVANJE VREDNOSTI TANGENTNOG NAPONA

Vrednost vektora tangentnog napona ( ) se mo`e odrediti na osnovu jedna~ine (2.09), askalarna vrednost na osnovu jedna~ine (2.11).

22222zyx pppp ++=+=

Iz predhodne jednakosti izra`avamo skalarnu vrednost tangentnog napona:

2222 ++= zyx ppp (2.26)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

59

U svakom konkretnom slu~aju se preporu~uje u prvom koraku izra~unavanje vrednosti( zyx ppp ,, ) na osnovu jedna~ina (2.19), a zatim na osnovu jedna~ine (2.25) odre|ivanjevrednosti normalnog napona ( ). U poslednjem koraku se na osnovu jedna~ine (2.26)

odre|uje vrednost tangentnog napona )( .

2.2.3. GLAVNI NAPONI I POLO@AJ GLAVNIH RAVNI

U glavnom naponskom stanju, kako je to vezom (2.12) prikazano, vektor napona ( )p! i vektornormalnog napona ( ( )g

!!= ) (GLAVNI NAPON) se po intenzitetu i pravcu podudaraju, dok

je vrednost tangentnog napona (!

) jednaka nuli.

( ) 0;max === !!!!

gp (2.27)

Ovom naponskom stanju odgovara jedan normalni vektor, ~ije komponente treba odrediti, saciljem da se defini{u glavni pravci:

( )( )( )( ) g

g

g

zg

yg

xg

g

nml

nn ===

coscoscos

!!(2.28)

Projekcije glavnih napona ( ( )g ) u pravcima koordinatnih osa (xyz) mo`emo napisati umatri~nom obliku:

( )( )

( )( )

( )g

g

g

g

g

g

g

g nnml

==

000000

(2.29)

Izraz za vektor napona ( )p! , koji odgovara glavnom naponskom stanju, mo`e se napisati naosnovu jedna~ine (2.21):

( )gnTp = (2.30)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

60

Jednakost (2.27) mo`emo napisati koriste}i veze (2.29 i 2.30):

( )= gp

( ) ( )gg nnT = (2.31)

Iz relacije (2.31) da se zaklju~iti, da su projekcije vektora napona ( )p! i vektora glavnihnapona ( ( )g ) na pravce koordinatnih osa (xyz) po pravcu i intenzitetu podudarne. Napi{imosada matri~nu jedna~inu (2.31) u skalarnom obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zggzgzygyzxgxz

yggzgzyygyxgxy

xggzgzxygyxxgx

coscoscoscos

coscoscoscos

coscoscoscos

=++

=++

=++

(2.32)

Skalarni sistem jedna~ina (2.32) sredimo na slede}i na~in:

( )( )( )

( ) 0)(0)(

0

=++

=++

=++

ggzgyzgxz

gzyggygxy

gzxgyxggx

nmlnml

nml

(2.33)

Sistem (2.33) predstavlja tri linearne algebarske jedna~ine sa ~etiri nepoznate ( ( ) gggg nml ,,, ).Ako nepoznatu ( ( )g ) tretiramo kao parametar, tada re{enje sistema (2.23) postoji samo akoje karakteristi~na determinanta sistema jednaka nuli:

( )( )( )

( )

0)(

)( =

gzyzxz

zygyxy

xzyxgx

(2.34)

Determinanta (2.34) se jo{ naziva i DETERMINANTA NAPONA.

Razvijanjem naponske determinante dobija se kubna jedna~ina, koja se zoveKARAKTERISTI^NA JEDNA^INA sistema.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

61

[]

0)

2()(

)()(

222

222

23

=

+++

+++++

xyzzxyyzx

zxyzxyzyxgzxyzxy

xzzyyxgzyxg

(2.35)

Jednostavniji oblik karakteristi~ne jedna~ine sistema je:

0322

13

=+ TTT ggg (2.36)

Koeficijenti ( 321 ,, TTT ) se nazivaju INVARIJANTE NAPONA (ne zavise od polo`aja prese~neravni).

222

3

2222

1

2)(

xyzzxyyzx

zxyzxyzyx

zxyzxyxzzyyx

zyx

TT

T

+=

++++=

++=

(2.37)

Karakteristi~na jedna~ina sistema (2.35) ima tri re{enja ( 3,2,1=g ), odnosno op{temprostornom naponskom stanju odgovara tri glavna napona. Mo`e se dokazati da su pravcinormalnih napona me|usobno upravni.

321 (2.38)

Nakon izra~unavanja vrednosti glavnih napona ( )321 ,, , iste treba jedan po jedan uvrstiti ujedna~ine (2.33). Na taj na~in se dobija tri sistema linearnih algebarskih jedna~ina sa po trinepoznate ( ( ) ( ) ( )ggg nml ,, ). Re{avanjem tako dobivenih sistema odre|uju se, za svaki odglavnih napona, komponente normalnih vektora glavnih ravni ( ( ) ( ) ( )ggg nml ,, ).

( ) ( ) ( )3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1 ;;nml

nnll

nnml

n === !!! (2.39)

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

62

2.2.4. IZRA^UNAVANJE VREDNOSTI NAPONA U REFERENTNOJ RAVNIPOMO]U GLAVNIH NAPONA

Odaberimo referentni koordinatni sistem tako da se podudari sa glavnim koordinatnimsistemom:

( ) ( ) ( )[ ]3;2;1 zyx . (2.40)Po{to u glavnim ravnima (odgovaraju glavnim pravcima) ne deluju tangentni naponi, tenzornapona (T) }e imati slede}i oblik:

3

2

1

000000

=T (2.41)

U ovom slu~aju, vrednost normalnog napona dobijamo na osnovu jedna~ine (2.25), koriste}ipodatke obuhva}ene tenzorom napona (2.41). U cilju razlikovanja, uglove vektora normalnog

napona ( n ) u odnosu na glavne ose bele`imo sa ( 3,2,1 ).

( ) ( ) ( )32

322

212

1 coscoscos ++= (2.42)

Odgovaraju}u skalarnu vrednost tangentnog napona ( ) odre|ujemo na osnovu jedna~ine(2.26), tako {to u istu uvr{tavamo vrednosti komponenti vektora napona (2.19) i vrednostnormalnog napona (2.42). Pri uvr{tavanju vrednosti vodimo ra~una o oznakama (2.40) i ovrednostima obuhva}enim tenzorom napona (2.41).

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1232213

32

222

32

22

122

21

coscos

coscos

coscos)(

+

++

+

= (2.43)

U specijalnom slu~aju, ako normalni vektor ( )n! sa glavnim osama zaklapa identi~ne uglove( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1coscoscos 3

22

21

2321 =++== (2.44)

tada su izrazi za normalni i za tangentni napon na osnovu jedna~ina (2.42, 2.43, 2.44) slede}i:

)(31

321 ++= (2.45)

( ) ( ) ( )213232221 ++= (2.46)

D