Firstner Stevan - Otpornost Materijala

VI[A TEHNI^KA [KOLA - S U B O T I C A

Dr. FIRSTNER STEVAN dipl.ing.

OOOTTTPPPOOORRRNNNOOOSSSTTT MMMAAATTTEEERRRIIIJJJAAALLLAAA (SKRIPTA)

SUBOTICA 2000.g.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

1

PREDGOVOR

Iz oblasti otpornosti materijala studentima stoje na raspolaganju izvanredno napisane knjige ipriru~nici (jedan deo je dat u spisku kori{tene literature). Na`alost, pomenute knjige nisu uvekdostupne, ili im se obim i nivo bitno razlikuju od programa predvi|enog za Vi{e tehni~ke{kole.

Ovaj podsetnik (skripta) preporu~ujem studentima Vise tehni~ke {kole, po{to sadr`aj upotpunosti odgovara planu i programu [kole.

Trudio sam se da kori{ten metemati~ki aparat ne prevazilazi znanja ste~ena na kursevimamatematike na Vi{oj {koli. Izuzetno, ali samo u cilju jednostavnije deskripcije, koristio sammatri~ni i tenzorski ra~un.

Redosled obra|enog gradiva je tako postavljen da omogu}ava kontinualno pra}enje.Razumevanje gradiva podrazumeva poznavanje MATEMATI^KE ANALIZE i STATIKE navisoko{kolskom nivou.

Raspored gradiva po poglavljima je slede}i:

UVOD kratak istorijski pregled, predmet, hipoteze i osnovne zadatke otpornosti materijala.

1. POGLAVLJE karakteristike ravnih preseka

2. 3. i 4. POGLAVLJE naponska stanja, deformacije, veze napona i deformacija.

5. POGLAVLJE naponsko stanje greda

6. POGLAVLJE deformacije greda, metode deformacionog rada, teorija elasti~nih linija.

7. POGLAVLJE izvijanje greda

8. POGLAVLJE obrada stati~ki neodre|enih slu~ajeva

9. POGLAVLJE dimenzionisanje i hipoteze o slomu materijala.

Izlo`eno gradivo se odnosi samo na elemente i sisteme u stanju stati~ke ili dinami~keravnote`e, odnosno na ravne sisteme (prave grede, krive grede i grede sa izlomljenim osama -ramovi).

Uz svako poglavlje, kao ilustracija dat je po jedan numeri~ki primer.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

2

[email protected]

PREDGOVOR..........................................................................1

KORI[TENE OZNAKE..............................................................9

UVOD.. ....................................................................................13

- Istorijski pregled ..................................................................................................14

- Predmet otpornosti materijala ..............................................................................18

- Hipoteze otpornosti materijala.............................................................................20

- Zadaci otpornosti materijala ................................................................................21

1. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH POVR[INA.. ......23

1.1. Generalisana geometrijska karakteristika .......................................................23

1.1.1. Povr{ina ..............................................................................................24

1.1.2. Stati~ki moment povr{ine ...................................................................25

1.1.3. Te`i{te i te`i{ni koordinatni sistem ....................................................25

1.1.4. Aksijalni momenti inercije .................................................................26

1.1.5. Centrifugalni momenti inercije ..........................................................27

1.1.6. Polarni moment inercije .....................................................................27

1.1.7. Otporni momenti ................................................................................27

1.1.8. Geometrijske karakteristike slo`enih povr{ina ..................................28

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

3

1.2. Promena vrednosti geometrijskih karakteristika ravnih povr{ina usled

translatornog pomeranja koordinatnog sistema.(Steinerova teorema) ............29

1.3. Promena vrednosti aksialnih momenata inercije ravnih povr{ina

usled rotacije te`i{nog koordinatnog sistema ................................................31

1.3.1. Glavni momenti inercije, glavne ose ..................................................33

1.3.2. Invarijante momenata inercije ...........................................................36

1.4. Geometrijska interpretacija momenata inercije (elipsa inercije) ...................36

2. NAPONSKA STANJA ..........................................................................50

2.1. Pojam napona .................................................................................................50

2.1.1. Pojam glavnih napona ........................................................................52

2.1.2. Teorema o konjugovanosti tangentnih napona ..................................53

2.2. Op{te prostorno naponsko stanje ....................................................................55

2.2.1. Izra~unavanje vrednosti normalnog napona .......................................58

2.2.2. Izra~unavanje vrednosti tangentnog napona ......................................58

2.2.3. Glavnih naponi i polo`aj glavnih ravni .............................................59

2.2.4. Izra~unavanje vrednosti napona u referentnoj

ravni pomo}u glavnih napona ............................................................62

2.3. Ravno naponsko stanje ...................................................................................63

2.4. Linearno naponsko stanje ...............................................................................66

2.5. Grafi~ka interpretacija napona ........................................................................69

2.5.1. MOHR-ovi krugovi ............................................................................69

2.5.1.1. Pozitivne vrednosti glavnih napona ......................................70

2.5.1.2. Vrednost jednog od glavnih napona je nula ..........................71

2.5.1.3. Vrednosti glavnih napona se po znaku razlikuju ...................71

2.5.2. A CULMAN-ov elipsoid ....................................................................73

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

4

3. DEFORMACIJE .. ..........................................................................82

3.1. Pojam deformacije ..........................................................................................82

3.1.1. Vektor deformacije .............................................................................85

3.1.2. Dilatacija ............................................................................................85

3.1.3. Ugao klizanja (ugaono pomeranje) ....................................................86

3.2. Prostorne deformacije .....................................................................................86

3.2.1. Deformacije pri prostornom naponskom stanju .................................91

3.2.2. Deformacije pri ravnom naponskom stanju .......................................92

3.2.3. Deformacije pri linearnom naponskom stanju ...................................92

3.2. Zapreminska dilatacija ....................................................................................93

4. VEZE IZME\U NAPONA I DEFORMACIJA .........................96

4.1. POISSON-ov koeficijent ................................................................................96

4.2. Generalisani HOOKE-ov zakon .....................................................................98

4.3. Veza izme|u modula elasti~nosti (E) i modula klizanja (G) ........................100

5. NAPONSKA STANJA RAVNIH GREDNIH NOSA^A . ...............103

- Op{te naponsko stanje ....................................................................104

- SAINT-VENANT-ov problem .......................................................106

5.1. Naponska stanja pravih greda .......................................................................108

5.1.1. Istezanje-pritisak...............................................................................108

5.1.1.1. Koncentracija napona ..........................................................113

5.1.1.2. Kontaktni naponi (HERTZ-ov napon) .................................114

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

5

5.1.1.3. Cevi i rezervoari ...................................................................120

- Debelozide cevi ........................................................................121

- Tankozide cevi .........................................................................126

- Rezervoari ................................................................................127

5.1.2. Smicanje ...........................................................................................130

5.1.3. Uvijanje ...........................................