Firstner Stevan - Otpornost Materijala

VI[A TEHNI^KA [KOLA - S U B O T I C A

Dr. FIRSTNER STEVAN dipl.ing.

OOOTTTPPPOOORRRNNNOOOSSSTTT MMMAAATTTEEERRRIIIJJJAAALLLAAA (SKRIPTA)

SUBOTICA 2000.g.

DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA

1

PREDGOVOR

Iz oblasti otpornosti materijala studentima stoje na raspolaganju izvanredno napisane knjige ipriru~nici (jedan deo je dat u spisku kori{tene literature). Naàlost, pomenute knjige nisu uvekdostupne, ili im se obim i nivo bitno razlikuju od programa predvi|enog za Vi{e tehni~ke{kole.

Ovaj podsetnik (skripta) preporu~ujem studentima Vise tehni~ke {kole, po{to sadràj upotpunosti odgovara planu i programu [kole.

Trudio sam se da kori{ten metemati~ki aparat ne prevazilazi znanja ste~ena na kursevimamatematike na Vi{oj {koli. Izuzetno, ali samo u cilju jednostavnije deskripcije, koristio sammatri~ni i tenzorski ra~un.

Redosled obra|enog gradiva je tako postavljen da omogu}ava kontinualno pra}enje.Razumevanje gradiva podrazumeva poznavanje MATEMATI^KE ANALIZE i STATIKE navisoko{kolskom nivou.

Raspored gradiva po poglavljima je slede}i:

UVOD kratak istorijski pregled, predmet, hipoteze i osnovne zadatke otpornosti materijala.

1. POGLAVLJE karakteristike ravnih preseka

2. 3. i 4. POGLAVLJE naponska stanja, deformacije, veze napona i deformacija.

5. POGLAVLJE naponsko stanje greda

6. POGLAVLJE deformacije greda, metode deformacionog rada, teorija elasti~nih linija.

7. POGLAVLJE izvijanje greda

8. POGLAVLJE obrada stati~ki neodre|enih slu~ajeva

9. POGLAVLJE dimenzionisanje i hipoteze o slomu materijala.

Izloèno gradivo se odnosi samo na elemente i sisteme u stanju stati~ke ili dinami~keravnoteè, odnosno na ravne sisteme (prave grede, krive grede i grede sa izlomljenim osama -ramovi).

Uz svako poglavlje, kao ilustracija dat je po jedan numeri~ki primer.


2

SADR@AJ

PREDGOVOR……………………………..........................................................................1

KORI[TENE OZNAKE…………………………..............................................................9

UVOD…………………………….. ....................................................................................13

- Istorijski pregled ..................................................................................................14

- Predmet otpornosti materijala ..............................................................................18

- Hipoteze otpornosti materijala.............................................................................20

- Zadaci otpornosti materijala ................................................................................21

1. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH POVR[INA…………….. ......23

1.1. Generalisana geometrijska karakteristika .......................................................23

1.1.1. Povr{ina ..............................................................................................24

1.1.2. Stati~ki moment povr{ine ...................................................................25

1.1.3. Teì{te i teì{ni koordinatni sistem ....................................................25

1.1.4. Aksijalni momenti inercije .................................................................26

1.1.5. Centrifugalni momenti inercije ..........................................................27

1.1.6. Polarni moment inercije .....................................................................27

1.1.7. Otporni momenti ................................................................................27

1.1.8. Geometrijske karakteristike sloènih povr{ina ..................................28


3

1.2. Promena vrednosti geometrijskih karakteristika ravnih povr{ina usled

translatornog pomeranja koordinatnog sistema.(Steinerova teorema) ............29

1.3. Promena vrednosti aksialnih momenata inercije ravnih povr{ina

usled rotacije teì{nog koordinatnog sistema ................................................31

1.3.1. Glavni momenti inercije, glavne ose ..................................................33

1.3.2. Invarijante momenata inercije ...........................................................36

1.4. Geometrijska interpretacija momenata inercije (elipsa inercije) ...................36

2. NAPONSKA STANJA ………………..........................................................................50

2.1. Pojam napona .................................................................................................50

2.1.1. Pojam glavnih napona ........................................................................52

2.1.2. Teorema o konjugovanosti tangentnih napona ..................................53

2.2. Op{te prostorno naponsko stanje ....................................................................55

2.2.1. Izra~unavanje vrednosti normalnog napona .......................................58

2.2.2. Izra~unavanje vrednosti tangentnog napona ......................................58

2.2.3. Glavnih naponi i poloàj glavnih ravni .............................................59

2.2.4. Izra~unavanje vrednosti napona u referentnoj

ravni pomo}u glavnih napona ............................................................62

2.3. Ravno naponsko stanje ...................................................................................63

2.4. Linearno naponsko stanje ...............................................................................66

2.5. Grafi~ka interpretacija napona ........................................................................69

2.5.1. MOHR-ovi krugovi ............................................................................69

2.5.1.1. Pozitivne vrednosti glavnih napona ......................................70

2.5.1.2. Vrednost jednog od glavnih napona je nula ..........................71

2.5.1.3. Vrednosti glavnih napona se po znaku razlikuju ...................71

2.5.2. A CULMAN-ov elipsoid ....................................................................73


4

3. DEFORMACIJE ………………….. ..........................................................................82

3.1. Pojam deformacije ..........................................................................................82

3.1.1. Vektor deformacije .............................................................................85

3.1.2. Dilatacija ............................................................................................85

3.1.3. Ugao klizanja (ugaono pomeranje) ....................................................86

3.2. Prostorne deformacije .....................................................................................86

3.2.1. Deformacije pri prostornom naponskom stanju .................................91

3.2.2. Deformacije pri ravnom naponskom stanju .......................................92

3.2.3. Deformacije pri linearnom naponskom stanju ...................................92

3.2. Zapreminska dilatacija ....................................................................................93

4. VEZE IZME\U NAPONA I DEFORMACIJA …………………… .........................96

4.1. POISSON-ov koeficijent ................................................................................96

4.2. Generalisani HOOKE-ov zakon .....................................................................98

4.3. Veza izme|u modula elasti~nosti (E) i modula klizanja (G) ........................100

5. NAPONSKA STANJA RAVNIH GREDNIH NOSAÂ ………………. ...............103

- Op{te naponsko stanje ....................................................................104

- SAINT-VENANT-ov problem .......................................................106

5.1. Naponska stanja pravih greda .......................................................................108

5.1.1. Istezanje-pritisak...............................................................................108

5.1.1.1. Koncentracija napona ..........................................................113

5.1.1.2. Kontaktni naponi (HERTZ-ov napon) .................................114


5

5.1.1.3. Cevi i rezervoari ...................................................................120

- Debelozide cevi ........................................................................121

- Tankozide cevi .........................................................................126

- Rezervoari ................................................................................127

5.1.2. Smicanje ...........................................................................................130

5.1.3. Uvijanje ............................................................................................134

5.1.3.1. Uvijanje okruglih profila ....................................................134

- Uvijanje tankozidih cevi ...........................................................142

5.1.3.2. Uvijanje neokruglih profila .................................................143

- Uvijanje pravougaonih profila ..................................................144

- Uvijanje tankih pravougaonih profila .......................................145

- Uvijanje ’’L’’ profila ................................................................145

- Uvijanje ’’U’’ i ’’I’’ profila .....................................................146

5.1.4. Savijanje ...........................................................................................147

5.1.4.1. Odre|ivanje normalnog napona (~isto savijanje) ................150

5.1.4.2. Odre|ivanje tangentnog napona ..........................................153

5.1.4.3. Odre|ivanje glavnih napona ................................................156

5.1.5. Asimetri~no (koso) savijanje ............................................................163

5.1.5.1. Raspodela normalnog napona ..............................................163

5.1.5.2. Raspodela tangentnog napona..............................................167

5.1.6. Savijanje tankozidih plo~a ...............................................................171

5.2. Savijanje krivih greda ...................................................................................174

5.2.1. Odre|ivanje normalnog napona .......................................................175

5.2.2. Pomeranje neutralne ravni (ose) .......................................................179

5.3. Sloèna naprezanja .......................................................................................183

5.3.1. Ekscentri~ni pritisak (istezanje) .......................................................183

5.3.1.1. Odre|ivanje jezgra preseka .................................................190


6

6. DEFORMACIJE GREDA ………..............................................................................194

6.1. Teorija deformacionog rada ..........................................................................194

6.1.1. Definicija rada .................................................................................195

6.1.1.1. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija

kod (istezanja-pritiska) ........................................................198


kod (smicanja-uvijanja) .......................................................200


kod savijanja ........................................................................203


kod op{teg prostornog naponskog stanja ............................204

- Specifi~na energija elasti~nih deformacija ...........................205

- Specifi~na energija na promeni zapremine ...........................206

- Specifi~na energija na promeni oblika .................................208

6.1.2. BETTI i MAXWELL ovi stavovi o zamenljivosti optere}enja .......208

6.1.3. CASTIGLIANO-va teorema ............................................................211

6.1.3.1. Odre|ivanje deformacija pri elasti~nim osloncima .............214

6.1.3.2. Odre|ivanje deformacija pri fiktivnim optere}enjima ........214

6.2. Jedna~ina elasti~ne linije ..............................................................................218

6.2.1. Konvencije o oznakama ...................................................................218

6.2.2. Op{ta diferencijalna jedna~ina elasti~ne linije .................................219

6.2.2.1. Relativni uticaj transverzalne sile.........................................222

- Kratke grede .........................................................................222

- Duga~ke grede ......................................................................223

6.2.3. Pribli`na diferencijalna jedna~ina elasti~ne linije ...........................223


7

- Izra~unavanje uglovnog pomeranja (nagib) .........................223

- Izra~unavanje vertikalnog pomeranja (ugib) ........................223

6.2.4. Odre|ivanje jedna~ine elasti~ne linije

u slu~aju sloènih optere}enja (CLEBSCH-ov metod) ...................230

6.2.4.1. Oblici momentnih jedna~ina

za razne slu~ajeve optere}enja .............................................234

6.2.5. Deformacije greda sa stalnim i promenljivim presekom .................240

6.2.5.1. Grede sa stalnim presekom ..................................................240

6.2.5.2. Grede sa promenljivim presekom ........................................240

6.2.6. Deformacije greda sa izlomljenom

geometrijskom osom (ramovi) ..........................................................243

6.2.7. Deformacije krivih greda .................................................................250

7. IZVIJANJE GREDA…..… .........................................................................................256

7.1. Stabilnost pritisnutih greda ...........................................................................256

7.1.1. Vitkost greda ....................................................................................257

7.2. EULER-ov postupak ....................................................................................257

7.2.1. Odre|ivanje kriti~ne sile...................................................................257

7.2.2. Odre|ivanje kriti~nog normalnog napona ........................................260

7.3. TETMAJER-ov postupak .............................................................................261

7.4. (w)-postupak .................................................................................................262

7.5. Dimenzionisanje i provera ............................................................................263


8

8. STATI^KI NEODRE\ENI ZADACI …...................................................................270

8.1. Odre|ivanje dopunskih jedna~ina .................................................................271

8.1.1. CLAPEYRON-ova jedna~ina ..........................................................271

8.1.2. Tabli~ni metod ..................................................................................278

8.1.3. Re{avanje problema metodom deformacionog rada ........................281

9. DIMENZIONISANJE GREDA (HIPOTEZE O SLOMU)…..................................288

9.1. Hipoteze o slomu materijala ........................................................................288

9.1.1. (I) - hipoteza o najve}em glavnom naponu ......................................291

9.1.2. (II) - hipoteza o najve}oj dilataciji ...................................................292

9.1.3. (III) - hipoteza o najve}em tangentnom naponu ..............................292

9.1.4. (IV) - hipoteza o najve}em specifi~nom radu na promeni oblika ....293

KORI[TENA LITERATURA…. ...................................................................................298


9

KORI[TENE OZNAKE

)(ξη - op{ti koordinatni sistem

( )jk - koordinatni sistem paralelan sa )(ξη op{tim koordinatnim sistemom

( )xy - teì{ni koordinatni sistem

( )uv - teì{ni koordinatni sistem zaokrenut u odnosu

na ( )xy teì{ni koordinatni sistem

( )3,2,1 - glavni teì{ni koordinatni sistem

( ) ( )CCCC yx ,;,ηξ - koordinate teì{ta (C) u )(ξη i ( )xy koordinatnim sistemima

( )zy - jedna~ina elasti~ne linije grede, vertikalno pomeranje

( )'zy - jedna~ina nagiba grede

yx

kj

SSSSSS

,,,,, ηξ

- stati~ki momenti povr{ine za ( xyjk ,,ξη ) ose

rI - redukovani aksialni moment inercije

ηξ II , - aksialni momenti inercije za (ξη ) ose

kj II , - aksialni momenti inercije za ose ( jk ), koje su paralelne sa (ξη ) osama

vu II , - aksialni momenti inercije za (uv ) teì{ne ose, koje su zaokrenute

u odnosu na ( )xy teì{ni koordinatni sistem

PII ,0 - polarni momenti inercije

2,1 II - glavni momenti inercije


10

2,1,,, IIII uvxy ξη - centrifugalni momenti inercije za (xy, ξη , uv , 1,2) ose.

0,, WWW yx - otporni momenti za (xy) ose, i za ta~ku (0)

a, b ….,l,… - ozna~avanje duìna

e - pomeranje neutralne ose

f - pomeranje ta~ke

i - radius inercije

g - relativni dimenzioni odnos

k - broj jedna~ina ravnoteè

lr - redukovana duìna

n - broj reakcija veza, broj okretaja

u - specifi~ni deformacioni rad

w - specifi~ni rad spoljnjih optere}enja, poseban faktor izvijanja

uv, uf - specifi~ni deformacioni rad na promeni zapremine i oblika

A - ravna povr{ina

A, B, C,. … - ozna~avanje ta~aka

C - teì{te povr{ine

C1, C2,..,D1, D2,. - integracione konstante

D - tenzor deformacija

E - modul elasti~nosti (JOUNG-ov modul)

F - sila

FN, FT - normalna i tangentna sila

G - modul klizanja

G, g - glavna zakrivljenja

H - tenzor elasti~nosti

J - op{ta geometrijska karakteristika povr{ine


11

K - koeficijent koncentracije napona

M - momenat

Mf, Mt - moment savijanja i moment uvijanja (torzioni moment)

P - snaga

R, δ - radiusi zakrivljenja

S - koeficient stati~ke neodre|enosti

U - energija na promeni oblika

W - rad spoljnjeg sistema optere}enja

T - tenzor napona, transverzalna sila

X, Y, Z - sile u pravcima (xyz) osa

σ - normalni napon

DM σσ , - ja~ina materijala na kidanje, dozvoljeni normalni napon

rta σσσ ,, - aksialni, tangentni i radialni normalni naponi

2,1σ - glavni naponi

zyx σσσ ,, - normalni naponi u pravcima (xyz) osa

τ - tangentni napon

DM ττ , - ja~ina materijala na smicanje, dozvoljeni tangentni napon

zxyzxy τττ ,, - tangentni naponi u ravnima upravnim na (xyz) ose i paralelni (yzx) osama

,..,,,, γψϕβα - ugaona pomeranja

zxyzxy γγγ ,, - ugaona pomeranja u ( zxyzxy ,, ) ravnima

ε - dilatacija (specifi~na promena duìne)

3,2,1ε - glavne dilatacije

zyx ,,ε - dilatacije u pravcima (xyz) osa


12

λ - vitkost {tapa

µ - POISSON-ov koeficijent

ν - koeficijent sigurnosti

δ - kontinualno optere}enje

n - jedini~ni vektor povr{ine(vektor normale)

p - vektor napona

t - elementarni vektor pomeranja

f - vektor promene oblika

{ }jK - sistem spoljnjih optere}enja

{ }K - ekvivalentni sistem optere}enja

{ }SR - (S) izabrane reakcije veza

{ }R - ekvivalentni sistem reakcije veza

( ) - ozna~avanje vektora: ( ,...,, pτσ )

( ) zyx ,, - ozna~avanje komponenata vektora u pravcima (xyz) osa: ( ,...,, zyx pτσ )


13

UVOD

Ako se u mislima vratimo hiljadama godina unazad, osta}emo zadivljeni pred grandiozno{}udela, koja su sluìla odrànju svakodnevnog ìvota (sistemi za navodnjavanje, borbenasredstva, alati za obradu materijala, itd…), opstanku i {irenju pojedinih religija (piramide uEgiptu, svetili{ta Chichenitze, gotske katedrale, itd…), ili dru{tvenom funkcionisanju naselja iodrànju kvaliteta ìvljenja u njima (dvorci, odbranbeni sistemi, oru`ja, muzi~ki instrumenti,itd…)

Sa stanovi{ta otpornosti materijala, a u posedu dana{njih znanja, znaju}i da do rimskog dobanisu postojala zna~ajnija pisana teoretska ili primenljiva stru~na dela (izuzetak ~inesporadi~ne pojave opisa), neka pitanja se sama po sebi name}u:

- Sa kakvim su teoretskim znanjem raspolagali projektanti i graditelji?

- Da li su postojali sistematizovani podaci (na kom su nivou bili) o karakteristikamakori{tenih materijala?

- Kako su se postoje}a i novoste~ena znanja skupljala i prenosila na budu}a pokolenja?

Ako se sa pouzdano{}u jo{ ne moè odgovoriti na sva postavljena pitanja, ipak se moè re}ida su projektanti i graditelji vladali potrebnim i dovoljnim znanjima (istina ne u dana{njemsmislu re~i) pri ostvarenju, ~esto divljenja vrednih dela. I pre vi{e hiljada godina tehni~kiproblemi pri izradi i izgradnji morali su biti re{avani kao {to se to ~ini i danas, samo drugimsredstvima.

Na osnovu stru~nih re{enja koja su sa~uvana (zgrade, putevi, transportna sredstva, oru`ja,instrumenti, itd…), da se zaklju~iti da se raspolagalo odre|enim znanjima o karakteristikamamaterijala (nosivost, trajnost, elasti~na svojstva, obradivost), da su postojali postupcidimenzionisanja, stajala su na raspolaganju osnovna znanja iz matematike i geometrije.

Postojala su upotrebljiva znanja o kori{tenju energetskih izvora (vetar, re~ni tokovi). Upostupku projektovanja zna~ajno mesto je zauzimala tradicija, kao i politi~ki odnosi vremenau kome su dela nastajala.

Moè se sa pouzdanos}u zaklju~iti da su se postoje}a znanja, u nedostatku pisanih formi,prenosila usmeno, sa generacije na generaciju, a svaka generacija je znanja oboga}ivalanovim iskustvima. Po{to teorijske osnove nisu postojale, upotrebljiva znanja su stvarana naosnovu vekovima sticanih uspeha i neuspeha. Na ovaj na~in ste~ena znanja su neretkodobijala formu tradicije, {tavi{e postajala su obele`ja pojedinih epoha (pojedine epohe gr~kearhitekture, gotika, geocentri~ni pogled na svet, brodogradnja, itd..)


14

Razvijena dru{tva su stimulisana realnom potrebom-da nagomilana znanja sistematizuju, i daih u pisanoj formi o~uvaju za kori{tenje dolaze}im generacijama. Istovremeno sve ve}itehni~ki zahtevi (ve}e dimenzije, ve}a optere}enja i koli~ine, bolji faktori iskori{tenja, ve}iu~inci) doveli su do razvoja novih postupak, a sa time i novih op{tih znanja.

Mada je ve} u rimskom gra|evinarstvu postojala literatura koja se u dana{njem smislu re~imoè okarakterisati kao stru~no-nau~na, ipak se kao vreme ra|anja odgovaraju}e literaturevezuje za period renesanse. Za taj istorijski period se vezuje ra|anje eksperimentalne fizike, istvaranje op{te pozitivne dru{tvene atmosfere za slobodniji razvoj ljudske misli. Velikimkoracima se razvijaju fundamentalni i primenjeni metodi (eksperimentalni metod, analiza-sinteza, indukcija-dedukcija). Srednjevekovna dru{tvena atmosfera, koja je kao ko~nicadelovala na razvoj civilizacije, u renesansi se (naro~ito u Engleskoj) korenito menja i moè seokarakterisati kao stimulativna za razvoj nauke. Ova konstatacija se naravno odnosi i nafiziku, a u okviru nje na teorijsku i na primenjenu mehaniku.

Krajem XIX veka, teoretska i prakti~na znanja koja danas ~ine predmet otpornosti materijala,izdvajaju se iz fizike, i prou~avaju kao posebna grana.

ISTORIJSKI PREGLED

Istoriju otpornosti materijala vremenski ograni~avaju svojim delima dva velikana nau~nemisli,, VITRUVIUS (I vek nove ere) i MAXWELL (1831-1869). U nazna~enom vremenskomperiodu stvorena je teoretska osnova, koja je polazna za primenjene discipline otpornostimaterijala. Ista sluì kao polazi{te za dalji razvoj nau~ne misli u ovoj oblasti.

Za razvoj teorije, kao i za prakti~nu primenu, zasluàn je veliki broj teoreti~ara i inènjeraprakti~ara, me|u koje se ubrajaju:

VITRUVIUS Pollio Marcus (I vek nove ere.)

U istoriji je zabeleèn kao izvanredan rimski graditelj, i kao pisac desetotomnog dela ("DEARCHITECTURA"). Pored stru~nog dela formulisaoje i op{ta znanja potrebna inènjeru({irok spektar stru~nih znanja, op{ta kultura, objektivno poimanje politi~kog trenutka, …).Dela su mu vr{ila jak uticaj na razvoj nau~ne misli u doba renesanse.

PAPPOSZ Alexandriai (IV vek nove ere.)

Bio je istaknuti gr~ki matemati~ar. Teoretski je obradio problem poluge, kose ravni,zavojnice, zup~anik i zup~aste spojeve.


15

ALBERTI Leon Battista (1404-1472).

Firentinski matemati~ar, arhitekta, humanista i filozof. Najva`nija su mu dela ("DELLAPITTURA" i "LUDI MATHEMATICA"). Dao je obja{njenja zakonitosti perspektive,teoretski je objasnio osnove stereoskopije, i dao zna~ajan prilog razvoju nacrtne geometrije. Usvom delu ("DE REAEDIFICATORIA") daje iskustvene podatke za dimenzionisanjemostova.

LEONARDO da Vinci (1452-1519).

Spada u najistaknutije li~nosti renesanse. Istakao se kao slikar, vajar, gra|evinar, ma{inac. Usvojim radovima koristi preliminarnu analizu. Za sobom je ostavio veliki opus pisanog icrtanog materijala. Vredno je spomenuti da je koristio eksperimente kao metod rada, {to se unjegovo doba grani~ilo sa jeresi. U stru~nom delu svog rada bavio se kinematikom, elasti~nimsistemima, talasnom mehanikom (hidraulikom), dimenzionisanjem greda, vojnom tehnikom.Istina samo u naznakama, inicirao je ideju o virtualnim pomeranjima. Teoretski je obradiozavojnicu, kotura~u, itd.

GALILEI Galileo (1564-1642).

Vrlo poznat i po{tovan italijanski astronom. Bio je veliki po{tovalac Kopernika, zbog ~ega jebio izloèn represijama. Rezultate svog rada je obuhvatio u svom delu ("DISCORSI EDIMONSTRATIONI MATEMATISCHE INTORNO A DUE NUOVE SCIENCE").Zanimao se za nosivost savijenih greda i analizu ravnih preseka. Kao prvi je ustanovio, danosivost grede optere}ene na savijanje zavisi od visine i od {irine preseka ( 2/2bh ). Kasnije jePARENT (1666-1716) ustanovio ta~an odnos ( 6/2bh ).

HOOKE Robert (1635-1703).

Kao istaknuti engleski fizi~ar istakao se svojim radovima u oblasti teorije elasti~nosti. Danasga pamtimo po tz. HOOKE - ovom zakonu, koji uspostavlja linearnu vezu izme|u napona idilatacije. Rezultate vezane za spomenuta istraìvanja je objavio u svom delu ("LECTURESde POTENTIA RESTITUTIVA OROF SPRING"). Vezano za njegova istraìvanja YOUNG(1773-1827) je na osnovu eksperimenata odredio (E) - modul elasti~nosti (YOUNG -ovmodul)

BERNOULLI Jacob (1654-1705).

Uveo je pojam elasti~ne linije, i time otvorio novu oblast u otpornosti materijala. U svimradovima koristio je najnovije tekovine matematike svog doba (diferencialni i integralnira~un)


16

BERNOULLI Johann (1667-1748).

Bio je najpo{tovaniji matemati~ar svog vremena. Postavio je osnove teorije virtualnihpomeranja, i time dao ogroman zamah razvoju klasi~ne mehanike i otpornosti materijala.

EULER Leonhárd (1707-1783).

Najzna~ajnija dela su mu vezana za mehaniku (varijacioni princip, pojam otpornogmomenta). Istaknute rezultate je postigao na polju analize optere}enja greda. Za njegovo imeje vezan i danas kori{ten metod za analizu izvijanje greda.

NAVIER (1785-1836).

Bavio se teorijskom i primenjenom mehanikom. Postavio je sistem izu~avanja statike u oblikuu kome se i danas koristi. Za njegovo ime vezan je metod postavljanja veze napona ideformacije greda optere}enih na savijanje.

POISSON Simeon Denis (1781-1840).

U oblasti otpornosti materijala definisao je veze napona i deformacija u prostornomnaponskom stanju.

CAUCHY Augustin Louis (1789-1857).

Uveo je pojam napona i grafi~ku interpretaciju napona. Zasnovao je op{tu teoriju prostornognaponskog stanja, i izveo je stav o konjugaciji tangentnih napona.

SAINT - VENANT Athemár Jean Claude Barre (1797-1886).

Za njegovo ime je vezano re{enje problema analize naponskih stanja grede. Zna~ajni su murezultati na polju teorije elasti~nosti.

STEINER Jacub (1798-1863).

U oblasti otpornosti materijala pamtimo ga po metodu za odre|ivanje karakteristika ravnihpovr{ina za me|usobno paralelne koordinatne sisteme.


17

CLAPEYRON Benoit Paul Emil (1799-1864).

Bio je francuski fizi~ar i inènjer. Zna~ajni su mu rezultati u oblasti prou~avanja greda sa vi{eoslonaca.

CULMAN Karl (1821-1881).

Kao profesor ciri{kog Univerziteta, postao je poznat u oblasti teorije i primene grafostatike.

CLEBSCH Alfréd (1833-1872).

Aktivno se bavio prou~avanjem elasti~nih sistema. Sa inènjerskog stanovi{ta najzna~ajniji sumu radovi u oblasti re{avanja problema greda sa sloènim sistemom optere}enja (univerzalnajedna~ina elasti~ne linije).

RITTER Wilhelm (1847-1906).

Zajedno sa Culmanom, smatra se tvorcem grafi~kih metoda u prou~avanju problema iz oblastiotpornosti materijala.

MOHR Otto (1835-1918).

Svoju aktivnost je obavljao na Univerzitetu u Drezdenu. Otpornost materijala je zaduìografi~kim metodom za interpretaciju napona (Mohr-ovi krugovi), te radovima u oblastihipoteza o slomu materijala.

BETTI(1823-1892)., MAXWELL James Clerk(1831-1879).

U oblasti otpornosti materijala, za imena ovih nau~nika vezani su op{ti i posebni stavovi ozamenljivosti optere}enja.

CASTIGLIANO Alberto (1847-1884).

Postavio je metod odre|ivanja deformacija tela na osnovu deformacionog rada. Na taj na~in jeznatno pojednostavio izra~unavanje deformacija greda u odnosu na metod elasti~nih linija.


18

TETMAYER Johann Ludwig von (1850-1905).

Dao je veliki doprinos dimenzionisanju i proveri greda optere}enih na izvijanje.

Nabrojani nau~nici dali su neposredni doprimos teoriji i praksi otpornosti materija, ali pre njihili uporedo sa njima veliki broj teoreti~ara i prakti~ara dali su nemerljivi doprinos razvojuovog dela nauke (idejama, matemati~kim osnovama, pogledom na svet, novim tehni~kimre{enjima,..). Njihovi radovi su otvarali nova pitanja ili inicirali nova re{enja, kao osnove zadalji teorijski i prakti~an rad. Sa du`nim po{tovanjem prema svima, ovde }e se spomenutisamo neka od velikih imena:

ARKHIMEDES (p.n.e. 287-217).

EUKLEIDES (p.n.e. 330-..).

NEWTON Isaac (1642-1727).

LEIBNIZ Wilhelm (1646-1716).

COULOMB C.A. (1736-1806).

WATT James (1736-1819).

OSTROGRADSKI M.V. (1801 - 1861).

HERTZ Heinrich Rudolf (1857 -1894.)

…………………………….

U oblasti otpornosti materijala, kao uostalom i u drugim oblastima nauke, nova tehni~kasredstva (ra~unarska tehnika, informatika, novi postupci merenja, novi pristupi analizimaterijala, novi materijali,…), kao i novi izazovi (svemirska istraìvanja, trìsni zahtevi, )stavljaju dana{nje i sutra{nje nau~nike i inènjere prakti~are pred nove izazove nauke iprakse.

PREDMET OTPORNOSTI MATERIJALA

Predmet otpornosti materijala je prou~avanje i uspostavljanje veza izme|u sistema spoljnjih iunutra{njih optere}enja, napona i deformacija u materijalu, te dimenzija optere}enihelemenata i sistema.

Sa ~isto teorijskog stanovi{ta tela se mogu svrstati u:


19

KRUTA TELA

Krutim telima se nazivaju takva (apstraktna) tela koja se pri delovanju spoljnjih, unutra{njih ireaktivnih sila ne deformi{u (relativne mere i poloàji i nakon prijema sistema optere}enjaostaju nepromenjeni). Ovakva tela i sistemi bili su predmet prou~avanja u predmetuSTATIKA.

DEFORMABILNA TELA

U stvarnosti, kao posledica sistema optere}enja telo se deformi{e. Pri deformaciji menjaju seme|umolekularna rastojanja, i javljaju se naponi u materijalu. U odnosu na nastale napone iodgovaraju}e deformacije, deformabilna tela se teorijski dele na:

ELASTI^NA TELA

Ovako nazivamo tela, koja po prestanku dejstva sistema optere}enja u potpunosti poprimajuoblik koji su imali pre prijema optere}enja.

PLASTI^NA TELA

Ovako nazivamo ona tela, koja se po prestanku dejstva sistema optere}enja ne vra}aju uprvobitni oblik koji su imali pre optere}enja, ve} trajno zadràvaju oblik koji su dobili kaoposledicu sistema optere}enja.

ELASTI^NO-PLASTI^NA TELA

Stvarni, ugra|eni materijali (~elik, aluminijum,..) se pona{aju dvojako. Do odre|ene veli~inenapona pona{aju se kao elasti~na tela, a po pove}anju napona se pona{aju kao plasti~na tela.Zbog velikog zna~aja elasti~no-plasti~nih osobina materijala proizvo|a~i materijala su du`nida pri isporukama priloè i dijagram veze napona i dilatacija ( εσ ⋅= E ), sa odgovaraju}imkvantifikacijama (tz. HOOKE-ov dijagram).

STVARNI SISTEMI

Po{to se svi ugra|eni materijali u neku konstrukciju pona{aju kao elasti~no-plasti~na tela, zao~ekivati je da }e nakon prestanka dejstva sistema optere}enja, telo, ili cela konstrukcijazadràti jedan deo deformacija (zaostale plasti~ne deformacije), koje su nastale prilikomdejstva optere}enja. Pojava zaostalih plasti~nih deformacija se ne moè izbe}i, ali se njeneveli~ine, metodama koji su predmet otpornosti materijala (na osnovu karakteristika materijalai odre|enih dimenzija elemenata ili konstrukcije u celini), mogu odrediti tako, da budu unutarunapred odre|enih, tj. dozvoljenih vrednosti.


20

HIPOTEZE OTPORNOSTI MATERIJALA

Kao {to je re~eno, u stvarnim konstrukcijama dolazi do promena medjumolekularnih poloàjakao posledica delovanja sistema optere}enja. Sa druge strane tako nastale dilatacije izazivajunapone u materijalu.

Gore pomenuti odnosi su sa stanovi{ta teorijske razrade kompleksna materija. Za potrebeprakti~nog prou~avanja, koje treba da da dovoljno jednostavne, ali istovremeno i pouzdane iza praksu primenljive metode, uveden je pojam IDEALNO ELESTI^NO TELO, ~ijeosobine sa velikom ta~no{}u oslikavaju STVARNE OSOBINE MATERIJALA. Osobine idealnoelasti~nog tela formiraju se na bazi pretpostavki vezanih samo za odre|ene fizi~ke osobine.To zna~i da su osobine tako formulisanog tela hipoteti~ke, odnosno zasnivaju se naHIPOTEZAMA.

Predmet prou~avanja ovog kursa }e biti samo idealno elasti~no telo.

Osnovne hipoteze vezane za formulaciju idealno elasti~nog tela su:

NEPREKIDNOST

Posmatrano telo nema fizi~kih prekida ili skokovitih promena dimenzija.

IZOTROPIJA

Karakteristike materijala su u svim pravcima istovetna.

HOMOGENOST

Struktura materijala je u svakoj ta~ci identi~na.


21

MALE DEFORMACIJE

Deformacije, kao posledice sistema optere}enja su male u odnosu na dimenzije elemenata ilikonstrukcije u celini, te ne uti~u evidentno na osnovnu geometriju. Ova hipoteza omogu}avasabiranje (superpoziciju) deformacija, kao i pojednostavljenje kori{tenog matemati~kogaparata.

ELASTI^NE DEFORMACIJE

Pretpostavlja se da se telo pona{a kao elasti~no, pa se pri prora~unima primenjuje HOOKE-ovzakon.

RAVNI PRESECI

Pretpostavlja se da se pri optere}enju ravni preseci ne deformi{u.

POSTEPENOST POSTAVLJANJA OPTERE]ENJA

Optere}enje (sistem optere}enja) se emituje postepeno od NULE do NAZIVNE VREDNOSTI,tako da ono nema za posledicu dinami~ke pojave kao {to su oscilacije. Prakti~no to zna~i da}e se sva dalja prou~avanja odnositi na tela optere}ena u trajnom stati~kom stanju ravnoteè(na ovaj na~in mogu se koristiti svi postulati STATIKE).

ZAMENLJIVOST SISTEMA OPTEREÊNJA

Sistem optere}enja koji deluje na maloj povr{ini moè se zameniti koncentrisanom silom, akose pri tome ne menja karakter deformacija.

ZADACI OTPORNOSTI MATERIJALA

Sa inènjerskog stanovi{ta, otpornost materijala re{ava dva osnovna problema i to:

DIMENZIONISANJE

Predstavlja niz radnji, pomo}u kojih se na osnovu unapred zadatih kriterijuma (optere}enje,vrsta materijala, veli~ina elesti}nih deformacija, faktori sigurnosti, itd.) ODRE\UJEDIMENZIJA ili dimenzije elemenata pojedine konstrukcije.


22

PROVERA

Predstavlja niz radnji pomo}u kojih se na osnovu utvrdjenih osobina neke konstrukcije(dimenzije, stepen o{te}enosti, vrsta materijala, stepen sigurnosti, itd.) moè utvrditiDOZVOLJENO OPTERE]ENJE ili DOZVOLJENA DEFORMACIJA.


23

1. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIHPOVR[INA

Na nosivost optere}enih elemenata, uti~u slede}i ~inioci:

- Mehani~ke osobine materija.

- Raspodela napona po preseku.

- Karakter redukovanog sistema optere}enja.

- Oblik preseka u odnosu na sistem optere}enja.

1.1. GENERALISANA GEOMETRIJSKA KARAKTERISTIKA

Proizvoljni ravni presek povr{ine (A) postavimo u proizvoljno odabrani pravougaonikoordinatni sistem (ξη ), (Sl. 1.01).

Sl. 1.01

C

1 2

i

d

I. kv.II. kv.

III. kv. IV. kv.

P

y

x

ξ

ξ

η

η

ηc

ξc

ρ

Θ

A A

A

AA

y max

x max

ξi ηi,( )


24

Na povr{ini (A) ozna~imo diferencijalno malu povr{inu (dA), sa koordinatama sopstvenogteì{ta (ξη ), i udaljenjem teì{ta od koordinatnog po~etka ( ρ ).

Uvedimo pojam GENERALISANA GEOMETRIJSKA KARAKTERISTIKA POVR[INE, u viduslede}e funkcije:

dAJ n

A

m ⋅⋅= ∫ ηξ (1.01)

Parametri (m, n) u jedna~ini (1.01) mogu imati slede}e vrednosti:

m = 0,1,2 ; n = 0,1,2 (1.02)

Izraz za diferencijalno malu povr{inu (dA) u koordinatnom sistemu ( ηξ ,, P ) je:

ηξ dddA ⋅= (1.03)

Ako vrednost za (dA) iz jedna~ine (1.03) uvrstimo u jedna~inu (1.01), tada dobijamo op{tioblik GENERALISANE GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POVR[INE, u vidu slede}egintegrala:

( ) ( )ηξξηξηηξηξηξ

η ηξξ ξη

ddddddJf

mn

f

nmnm ∫ ∫∫∫ ∫ ∫

=

==

==

(1.04)

Ponekad je celishodno koordinate teì{ta (ξη ), umesto u koordinatnom sistemu ( ηξ ,, P ),prikazati u polarnom koordinatnom sistemu ( θρ ,, P ).

Po{to parametri (m, n) mogu imati vrednosti nazna~ene vezama (1.02), generalisanageometrijska karakteristika povr{ine (J), definisana integralom (1.04), dobija forme, koje udaljem radu koristimo kao definicije, i to:

1.1.1. POVR[INA

(m=0 ; n=0)

⇓

=⋅= ∫A

AdAJ 00ηξ

[ ] 0;2 ⟩= ∫ AldAAA

(1.05)


25

1.1.2. STATI^KI MOMENTI POVR[INE

(m=0 ; n=1), ili (m=1 ; n=0)

⇓

=⋅⋅= ∫ ξηξ SdAJA

10

[ ]3ldASA∫ ⋅= ηξ (1.06)

0:...,

0:...,

≤

≥

ξ

ξ

SkvIVIIISkvIII

ηηξ SdAJA

=⋅⋅= ∫ 01

[ ]3ldASA∫ ⋅= ξη (1.07)

0:...,

0:...,

≤

≥

η

η

SkvIIIIISkvIVI

1.1.3. TE@I[TE I TE@I[NI KOORDINATNI SISTEM

Svakoj povr{ini (A) odgovara (moè se odrediti) skup pravougaonih koordinatnih sistema(x, C, y), za koje su stati~ki momenti povr{ine ( yx SS , ) jednaki nuli. Ugaoni poloàj

koordinatnog sistema (x, C, y) u odnosu na op{ti koordinatni sistem ( ηξ ,, P ) je invarijantan(nezavisan).

( )

( ) ∫

∫=⋅=

=⋅=

Ay

Ax

dAyS

dAyS

0

0

(1.08)


26

Za proizvoljno odabrani koordinatni sistem ( ηξ ,, P ) vaè relacije koje su izvedene u statici.(Sl. 1.01):

∑∑

∫∫

∑∑

∫∫

⋅==

⋅=

⋅==

⋅=

ii

iii

A

Ac

ii

iii

A

Ac

A

A

AS

dA

dA

A

A

AS

dA

dA

ηηη

ξξξ

ξ

η

(1.09)

Na ovaj na~in odre|ena ta~ka (C) se zove TE@I[TE POVR[INE, a koordinatni sistem(x, C, y) se zove TE@I[NI KOORDINATNI SISTEM.

1.1.4. AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

(m = 0 ; n = 2 ), ili (m =2 ; n = 0)

⇓

=⋅⋅= ∫ ξηξ IdAJA

20

[ ] 042 ldAIA

⋅= ∫ηξ (1.10)

⇓

=⋅⋅= ∫ ηηξ IdAJA

02

[ ] 042 ldAIA

⋅= ∫ξη (1.11)


27

1.1.5. CENTRIFUGALNI MOMENTI INERCIJE

(m = 1 ; n = 1 )

⇓

=⋅⋅= ∫ ξηηξ IdAJA

11

[ ]4ldAIA

⋅⋅= ∫ ηξξη (1.12)

0:...,

0:...,

≤

≥

ξη

ξη

IkvIVIIIkvIIII

(Ako je jedna, ili ako su obe ose teì{nog koordinatnog sistema ujedno i ose simetrijepovr{ine, tada je vrednost centrifugalnog momenta inercije jednak nuli)

1.1.6. POLARNI MOMENT INERCIJE

)( 222 ρηξ =+

⇓

=⋅+=⋅= ∫ ∫ PA A

IdAdAJ )( 222 ηξρ

0⟩+= ηξ IIIP (1.13)

1.1.7. OTPORNI MOMENTI

Otporne momente po definici dobijamo tako, da odgovaraju}e vrednosti aksijalnih momenatainercije podelimo sa najve}om udaljeno{}u od teì{ne ose, odnosno pola, za koju je aksijalnimoment inercije, odnosno polarni moment inercije odre|en (Sl. 1.01).

o

oo

yy

xx

IW

xI

WyI

Wρ

=== ;;maxmax

(1.14)


28

1.1.8. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE SLO@ENIH POVR[INA

Na osnovu znanja iz integralnog ra~una, poznato je, da se integral neke povr{ine moè izrazitikao zbir integrala svih sastavnih delova (komponente) iste povr{ine:

∫ ∫ ∫ ∫+⋅⋅⋅++=A A A Ai

dAdAdAdA1 2

(1.15)

U skladu sa jedna~inom (1.15), GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE SLO@ENIH RAVNIHPOVR[INA imaju oblik:

dAdAdA

dAJ

n

A A

mnmn

A

m

n

A

m

i

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

=⋅⋅=

∫ ∫∫

∫ηξηξηξ

ηξ

21

(1.16)

a jedna~ine (1.05, 1.06, 1.07, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13). se mogu napisati u slede}em obliku:

∑∑

∑∑∑∑

∑

=

=

==

==

=

ipp

i

ii

ii

ii

i

i

ii

ii

II

II

IIII

SSSS

AA

)(

;

;

ξηξη

ηξξξ

ηηξξ

(1.17)


29

1.2. PROMENA VREDNOSTI GEOMETRIJSKIHKARAKTERISTIKA RAVNIH POVR[INA USLEDTRANSLATORNOG POMERANJA KOORDINATNOGSISTEMA. (STEINEROVA TEOREMA)

Uvedimo koordinatni sistem (j, O, k), koji je paralelan sa op{tim koordinatnim sistemom( ηξ ,, P ). Predpostavimo da je teì{ni koordinatni sistem (x, C, y) tako|e paralelan sa op{timkoordinatnim sistemom ( ηξ ,, P ), (Sl. 1.02).

Sl. 1.02

Napi{imo koordinate poloàja diferencijalno male povr{ine (dA) u odnosu na koordinatnisistem (ξη ), pomo}u paralelnih udaljenja osa (a, b) i koordinata poloàja u odnosu nakoordinatni sistem ( jk ):

akbj+=+=

ηξ

(1.18)

Koriste}i jedna~ine (1.05, 1.06, 1.07, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13), kao i koordinate poloàja (1.18),moèmo odrediti karakteristike ravnih povr{ina u odnosu na koordinatni sistem (ξη ), kaofunkcije koordinata poloàja ( jk ) i paralelnih udaljenosti osa (a, b):

j

a

b

k

j

P

O

k

dA A

cx

y

cη

cξ

η

ηξ

ξ


30

POLAZNE VREDNOSTI SU: jkkjkj IIISS ,,,,

PARALELNA POMERANJA OSA SU: ),( ba (1.19)

NOVE VREDNOSTI SU: ξηηξηξ IIISS ,,,,

Na osnovu definicija, karakteristike povr{ina }e biti:

AbaSaSbIdAakbjdAI

AbSbIdAbbjjdAI

AaSaIdAaakkdAI

AbSdAbdAjdAbjdAS

AaSdAadAkdAakdAS

jkjkAA

kkAA

jjAA

kAAAA

jAAAA

⋅⋅+⋅+⋅+=⋅++=⋅⋅=

⋅+⋅⋅+=+⋅+=⋅=

⋅+⋅⋅+=+⋅+=⋅=

⋅+=⋅+⋅=+=⋅=

⋅+=⋅+⋅=+=⋅=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

))((

2)2(

2)2(

)(

)(

2222

2222

ηξ

ξ

η

ξ

η

ξη

η

ξ

η

ξ

(1.20)

U slu~aju da se koordinatni sistem (j, 0, k) poklopi sa teì{nim koordinatnim sistemom(x, C, y), tada su po definicij vrednosti stati~kih momenata povr{ine jednake nuli, a paralelnaudaljenja osa odgovaraju koordinatama teì{ta (Sl. 1.02),

( ) ( )

cc

ykxj

baSSξη ==

== ==

,

;0;0

a jedna~ine (1.20) dobijaju slede}e forme:

AIIAII

AII

AS

AS

ccxy

cy

cx

c

c

⋅⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅=

⋅=

ξηξ

η

ξ

η

ξη

η

ξ

η

ξ

2

2(1.21)

Na osnovu veza (1.21) se zaklju}uje, da je geometrijska karakteristika povr{ine zakoordinatne ose paralelne teì{nim koordinatnim osama, zbir teì{nih i (takozvanih)poloàjnih karakteristika iste povr{ine. Ovaj stav je poznat pod nazivom STEINEROVATEOREMA.


31

Po{to se u tablica iz otpornost materijala obi~no nalaze vrednosti teì{nih momenata inercije( xyyx III ,, ) za teì{ne ose (xy), relacije (1.21) su vrlo zna~ajne, jer se pomo}u njih mogu

odrediti momenti inercije ( ξηηξ III ,, ) za bilo koje paralelne ose (ξη ).

1.3. PROMENA VREDNOSTI AKSIJALNIH MOMENATAINERCIJE RAVNIH POVR[INA USLED ROTACIJETE@I[NOG KOORDINATNOG SISTEMA

Ako se shodno slici (Sl. 1.03) teì{ni koordinatni sistem (xy) zarotira za ugao (ϕ ) u novikoordinatni sistem (uv), tada }e do}i do promene postoje}ih vrednosti aksijalnih momenatainercije.

Sl. 1.03.a

POLAZNE VREDNOSTI SU: xyyx III ,,

UGAONO POMERANJE OSA JE: ϕ (1.22)

NOVE VREDNOSTI SU: uvvu III ,,

v

u

y

x

C

dA Ax

y

u

v

(1)(2)

(1)(2)

αϕ −ψ


32

Koordinate poloàja diferencijalno male povr{ine (dA) u odnosu na zarotirani koordinatnisistem (uv) (Sl. 1.03.b) su:

Sl. 1.03.b

ϕϕϕϕ

sincoscossin⋅−⋅=⋅+⋅=

xyvxyu

(1.23)

Na osnovu jedna~ina (1.10, 1.11, 1.12), i veza (1.23), vrednosti aksijalnih i centrifugalnihmomenata inercije za ose (uv) su:

( )

( )⇓

⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=

=⋅⋅−=⋅=

∫

∫∫dAxyxy

dAxydAvI

A

AAu

ϕϕϕϕ

ϕϕ

2222

22

sincossin2cos

sincos

ϕϕϕ 2sinsincos 22 ⋅−⋅+⋅= xyyxu IIII (1.24)

( )

⇓

⋅⋅+=⋅= ∫∫ dAxydAuIAA

v

22 cossin ϕϕ

ϕϕϕ 2sincossin 22 ⋅+⋅+⋅= xyyxv IIII (1.25)

C

dA

y

x

v

u

x sinϕ

y cosϕ

x cosϕ y sinϕ

ϕ

ϕ

x

y

u

v


33

( ) ( )

⇓

⋅−⋅⋅+=⋅⋅= ∫∫ ϕϕϕϕ sincoscossin xyxydAvuIAA

uv

ϕϕ 2cos2sin)(21

⋅+⋅−= xyyxuv IIII (1.26)

Znak centrifugalnog momenta inercije ( uvI ) je promenljiv (+, -) u zavisnosti od poloàja (ϕ ),odnosno jedna~ina (1.26) ima nulte vrednosti.

02cos2sin)(21

=⋅+⋅−= ϕϕ xyyxuv IIII (1.27)

Ako jedna~inu (1.27) re{imo po ( oϕϕ = ), tada se moè odrediti ugaoni poloàj, koji

odgovara vrednosti ( 0=uvI ):

( ),..1,0;2

221

0 =+

−

−== kkII

Iarctg

yx

xy πϕϕ (1.28)

1.3.1. GLAVNI MOMENTI INERCIJE, GLAVNE OSE

Jedna~ine (1.24, 1.25) su trigonometrijske funkcije. Ekstremi ovih funkcija se moguizra~unati. Po{to se funkcije (1.24, 1.25) razlikuju samo po fazi ( 2/π ), u daljem radu jedovoljno analizirati samo jednu od dve. Kao osnova za analizu uzima se jedna~ina (1.24).

Ako odredimo ono ugaono pomeranje (ϕ α= ), za koje aksijalni moment inercije ( ( )ϕfIu = )

ima ekstremne vrednosti, tada takve vrednosti zovemo GLAVNI MOMENTI INERCIJE, i udaljem radu ih obeleàvamo sa (I1, I2). Odgovaraju}i koordinatni sistem se zove GLAVNITE@I[NI KOORDINATNI SISTEM. Ose glavnog teì{nog koordinatnog sistema seobeleàvaju sa ( ) ( )[ ]2,1 , i zovu se GLAVNE TE@I[NE OSE.

min2max1 ; IIII == (1.29)

Unapred se ne moè odrediti kojoj od glavnih osa pripada najve}a, odnosno najmanjavrednost glavnih momenata inercije. Za odre|ivanje se koristi poznati pristup iz matemati~keanalize. Po tom pristupu se treba izra~unati drugi izvod funkcije aksijalnog momenta inercije


34

(1.24), pa se na osnovu znaka drugog izvoda odre|uju pripadaju}e vrednosti ekstrema.

Postupak odre|ivanja vrednosti glavnih momenata inercije, poloàji glavnih osa i njihovkarakter odre|uju se slede}im redosledom:

Poloàje glavnih osa (ϕ α= ), odre|ujemo tako, da nalazimo prvi izvod jedna~ine (1.24), i istiizvod izjedna~avamo sa nulom:

[ ]

⇓

=⋅+

−

−==

⇓

=⋅−⋅⋅+⋅⋅−=

1,0;2

22

02cos2cossin2cossin2

kkII

Iarctg

IIIddI

yx

xy

xyyxu

παϕ

ϕϕϕϕϕϕ

[ ]1,0;2

221

=⋅+

−

−== kkII

Iarctg

yx

xy παϕ (1.30)

Ako koristimo trigonometrijske transformacije

αα

ααα

2112cos;

2122sin

22 tgtgtg

+=

+=

a vrednosti uglova ( αϕ = ) iz jedna~ine (1.30) uvrstimo u polaznu jedna~inu (1.24), dobijamovrednosti glavnih momenata inercije u funkciji teì{nih momenata inercije.

( ) ( )

( ) ( ) 222

221

421

21

421

21

xyyxyx

xyyxyx

IIIIII

IIIIII

+−−+=

+−++=(1.31)

U jedna~ini (1.28), odredili smo poloàj koji odgovara nultoj vrednosti centrifugalnogmomenta inercije ( uvI ). Izra~unat ugao se poklapa sa vredno{}u ugla koji karakteri{e poloàjeglavnih teì{nih osa (1.30). Na osnovu toga se zaklju~uje da je vrednost glavnogcentrifugalnog momenata inercije jednak nuli.

02,1 =I (1.32)


35

Karaklter glavnih teì{nih osa ( ) ( )[ ]2,1 odre|uje se na osnovu znaka drugog izvoda funkcije(1.24).

Drugi izvod funkcije (1.24) je:

( ) ααϕ αϕ

2sin22cos2

2

⋅+⋅−−=

=xyyx

u IIId

Id (1.33)

U odnosu na znak funkcije (1.33), mogu}a su dva slu~aja:

)1()2

()2()(2

2

2)2

()1()(2

2

;0

;0

IIIId

Id

IIIId

Id

uuu

uuu

==⇒

==⇒

+==

+==

παϕαϕ

παϕαϕ

ϕ

ϕ(1.34)

Ako teì{ni koordinatni sistem (x, C, .y) odaberemo tako da se poklopi sa glavnim teì{nimkoordinatnim sistemom ( ) ( )[ ]2,1 == yx , tada su:

02,1

2

1

==

==

IIIIII

xy

y

x

(1.35)

Ako u jedna~ine (1.24, 1.25, 1.26) uvrstimo vrednosti veza (1.35), a ugao izme|u glavneteì{ne (1), i neke proizvolje teì{ne ose (u) obeleìmo sa (ψ ), pa zatim primenimotrigonometrijske transformacije,

( ) ( )ϕϕϕϕ 2cos121cos;2cos1

21sin 22 +=−=

dobijamo slede}e oblike aksijalnih momenata inercije za teì{ni koordinatni sistem (uv):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ψ

ψψψ

ψψψ

2sin21

cossin2cos21

21

sincos2cos21

21

21

22

212121

22

212121

⋅−=

⋅+⋅=⋅−++=

⋅+⋅=⋅−++=

III

IIIIIII

IIIIIII

uv

v

u

(1.36)


36

U tablicama iz otpornosti momenata, ~esto nalazimo samo glavne momente inercije. Zaodre|ivanje aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije za proizvoljno izabrane teì{ne ose(uv) sluè veze (1.36), {to iste ~ini izvanredno va`nim.

1.3.2. INVARIJANTE MOMENATA INERCIJE

Zbog jednostavnosti matemati~kih dokaza, samo se navode slede}i odnosi, koji se nazivajuinvarijante (nepromenljivosti) odnosa aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije:

Prva invarijanta:

constIIIIII yxvu =+=+=+ 21 (1.37)

Druga invarijanta:

constIIIIIIII xyyxuvvu =−⋅=−⋅=−⋅ 221

2 0 (1.38)

1.4. GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA MOMENATA INERCIJE(ELIPSA INERCIJE)

Defini{imo koordinatni sistem (Sl. 1.04), }ije se ose poklapaju sa glavnim pravcima( )[ ]))2(;1 ba == . Poznavaju}im pojam radiusa inercije,

AIi

AIi

AIi n

n === ;; 22

11 (1.39)

defini{imo jedan skup ta~aka (N), }iji radius vektori imaju slede}u strukturu:

nn i

iir 21 ⋅=!(1.40)

Komponente vektora (1.40) u pravcima osa (a, b) su:


37

21

21

sinsin

coscos

iibi

rb

iiai

ra

nn

nn

⋅⋅

=⇒⋅=

⋅⋅

=⇒⋅=

ψψ

ψψ(1.41)

Sl. 1.04

Prvu od jedna~ina (1.36) podelima sa (A), i upotrebimo ozna~avanje (n=u):

( )

ψψ

ψψ

222

221

2

22

21

sincos

:sincos

⋅+⋅=

⇓

⋅+⋅=

iii

AIII

n

n

(1.42)

Ako u jedna~inu (1.42) uvrstimo funkcije ugla (1.41), te tako dobiveniu jedna~inu sredimo,dobijamo jednu centralnu jedna~inu elipse:

121

2

22

2

=+ib

ia

(1.43)

Ako na osnovu dobivene jedna~ine (1.43) nacrtamo odgovaraju~u elipsu, tada se pomo}u nje,za jednu proizvoljno izabranu osu (u=n), koja sa glavnom osom (1) zaklapa ugao (ψ ), moèodrediti vrednost aksijalnog momenta inercije, kori{tenjem veze (1.39).

(2)=b

(1)=aC

n

n

i1

i2

rn

Α

in

ψ


38

AiI

AIi

nn

nn

2=

⇓

=

(1.44)

PRIMER 1.1.

Odrediti geometrijske karakteristike povr{ine pravouglog trougla, prikazanog na slici (Sl. 1.1).

SL. 1.1

Ose proizvoljnog koordinatnog sistema ( ηξ ,,P ) poklapaju se sa katetama (g, h), a paralelna rastojanja (a, b) teì{nih osai osa proizvoljnog koordinatnog sistema, podudaraju se sa koordinatama teì{ta ( CC ηξ , ).

ab CC == ηξ ; (P.1.01)

Jedna~ina hipotenuze u koordinatnom sistemu ( ηξ ,,P ) je:

ghh ξη −= (P.1.02)

Geometrijske karakteristike povr{ine odre|ujemo na osnovu jedna~ine (1.04). Shodno tome, vrednost diferencijano malepovr{ine (dA) odre|ujemo pomo}u veze (1.03).

ξ

η

ξ hg

h

gP

C

dξ

dη

x

y

dA

η

ξ

η c=a

ξc=b

η=h-


39

ODRE\IVANJE VREDNOSTI U ODNOSU NA OSE ( ηξ , )

POVR[INA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.05, P.1.02).

⇓

⋅

−=⋅

⋅= ∫∫∫

−=

ξξξηηξξη

dghhddA

gghh

g

00

0

0

0

ghA21

= (P.1.03)

STATI^KI MOMENTI POVR[INE


⇓

⋅

−=⋅

⋅= ∫∫∫

−=

ξξξηηξξη

ξ dghhddS

gghh

g 2

00

1

0

0

21

2

61 ghS =ξ (P.1.04)

iIdenti~nim postupkom se odre|uje vrednost u odnosu na osu (η ).

hgS 2

61

=η (P.1.05)


40

KOORDINATE TE@I[TA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.09, P.1.03, P.1.04, P.1.05).

⇓

==gh

gh

AS

C

2161 2

ξξ

hC 31

=ξ (P.1.06)

⇓

==gh

hg

AS

C

21

61 2

ηη

gC 31

=η (P.1.07)

AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.10, 1.11, P.1.02)

⇓

⋅

−=⋅

⋅= ∫∫∫−=

ξξξηηξξη

ξ dghhddI

gghh

g 3

00

2

0

0

31

3

121 ghI =ξ (P.1.08)

iIdenti~nim postupkom se odre|uje vrednost u odnosu na osu (η ).

hgI 3

121

=η (P.1.09)


41

CENTRIFUGALNI MOMENT INERCIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.12, P.1.02)

⇓

⋅

−=⋅

⋅= ∫∫∫−=

ξξξξηηξξη

ξη dghhddI

gghh

g 2

00

1

0

1

21

22

241 hgI =ξη (P.1.10)

POLARNI MOMENT INERCIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.13, P.1.08, P.1.09)

⇓

+=+= 33

121

121 hgghIII P ηξ

( )22

121 hgghI P += (P.1.11)

VREDNOSTI RAÛNATE NA TE@I[NE OSE ( yx, )


STATI^KI MOMENTI INERCIJE

0;0 == yx SS (P.1.12)

AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

⇓

−=⋅−=

232

31

21

121 hghghAII Cx ηξ


42

3

361 ghI x = (P.1.13)

⇓

−=⋅−=

232

31

21

121 gghhgAII Cy ξη

3

361 hgI y = (P.1.14)

⇓

⋅−=−= ghhghgAII CCxy 2

131

31

241 22ξηξη

22

721 hgI xy −= (P.1.15)

OTPORNI MOMENTI

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.14, P.1.13, P.1.14.).

⇓

==

3236

3

max h

gh

yI

W xx

2

241 ghWx = (P.1.16)

3236

3

max g

hg

xI

W yy ==


43

2

241 hgWy = (P.1.17)

PRIMER 1.2.

Odrediti momente inercije za kru`ni presek prikazan na slici (Sl. 1.2).

Celishodno je, prvo na osnovu jedna~ine (1.13) odrediti vrednost polarnog momenta inercije (IP).

Izrazimo vrednost diferencijalno male povr{ine (dA) pomo}u polarnih koordinata:

ρθρ dddA ⋅⋅= (P.1.18)

Sl. 1.2

Koriste}i jedna~inu (1.13), i vezu (P.1.18), izra~unava se vrednost polarnog momenta inercije (IP):

⇓

=⋅=

=

=⋅⋅⋅==

∫∫∫

∫ ∫∫

...20

32

00

3

22

ρπρρθρ

ρθρρρ

π

ρ θ

ddd

dddAI

rr

AP

4

2rIP

π= (P.1.19)

x

y

C

ρdρ

Θ

dΘ

dA


44

Tako|e je, na osnovu jedna~ine (1.13):

yxP III +=

Po{to su teì{ne ose (xy) ujedno i ose simetrije kruga, vrednosti aksijalnih momenata inercije su:

⇓

==⇒= yxPyx IIIII 22

4

4rII yx

π== (P.1.20)

PRIMER 1.3.

Odrediti momente inercije za teì{ne ose (xy), za standarni valjani profil (65 x 100 x 9), po standardu (JUS C.B.111). Poloàjiugradnje, kao i usmerenosti teì{nih osa prikazane su na slikama (Sl.1.3.a i SL.1.3.b).

1.3.a. ábra 1.3.b. ábra

Tabli~ne vrednosti za kori{ten profil su slede}e:

( )

42

41

0

2.27160

5.22415.0

cmIcmI

arctg

=

=

=⇒= ψψ(P.1.21)

x

y

(1)

(2)

Ψ=(−α)x

y

(1)

(2)

Ψ=(90−α)


45

Vrednost aksijalnih momenata inercije za teì{ne ose (xy) pri ugradbenom obliku (Sl. 1.07.a), odre|ujemo na osnovujedna~ina (1.36). Vodimo ra~una da je vrednost ugla (ψ ) u odnosu na usmerenost osa negativna.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

⇓

⋅−=−=

−⋅+−⋅=⋅+⋅=

−⋅+−⋅=⋅+⋅=

5.222sin2.27160212sin

21

5.22cos2.275.22sin160cossin

5.22sin2.275.22cos160sincos

21

020222

21

020222

21

ψ

ψψψψ

III

IIIIII

xy

y

x

4

4

4

95.46

20.46

12.151

cmI

cmIcmI

xy

y

x

−=

=

=

(P.1.22)

Ugradbeni oblik (Sl. 1.07.b) se u odnosu na ugradbeni oblik (Sl.1.07.a), razlikuje po usmerenosti teì{nih osa i po vrednostiugla (ψ ) koja je sada pozitivna. Za ovakav ugradbeni oblik, vrednosti aksijalnih momenata inercije su:

4

4

4

95.46

12.151

20.46

cmI

cmIcmI

xy

y

x

=

=

=

(P.1.23)

PRIMER 1.4.

Ugradnja dva standardna profila prikazana je na slici (Sl. 1.4). Na slici su ozna~ene te~i{ne ose ( 2211 ,;, yxyx ), kao i

tabli~ne vrednosti pojedinih mera profila.

Potrebno je odrediti teì{ne aksijalne momente inercije, centrifugalni teì{ni moment inercije, glavne momente inercije,glavne pravce, i nacrtati elipsu inercije.


46

(Ako se vrednosti centrifugalnih momenata inercije za komponentne profile ne mogu tabli~no odrediti, tada se njihovoizra~unavanje obavlja na osnovu jedna~ine 1.36 ).

Redosled re{avanja zadatka je slede}i:

TABLI^NE VREDNOSTI

[ ] ( ) ( )[ ]

0.1712.32.........................1.120.191.46107...........................................

1.290.33..

1.295.92........................................

77.103.943.197.24.11..............................)86060(101.3.)119060(11.3......................................

.2.1

2,21,1

2221

1211

21

1

4

212

2

−=−=====

==

==

======⋅⋅−⋅⋅−

yxyx

yy

xx

yxyx

IILNICENTRIFUGAIIIIGLAVNIII

IIAKSIALNIcmINERCIJEMOMENTI

eeAeeAcmPOVRŠINEBCJUSBCJUSSTANDARDI

PROFILPROFIL

(P.1.24)

ODRE\IVANJE TE@I[TA (C) SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (1.09).

⇓

+⋅+⋅==

+⋅+⋅==

∑∑∑∑

03.94.1103.923.44.1197.8

03.94.1103.923.44.1149.1

ii

ii

i

C

ii

ii

i

C

A

A

A

A

ηη

ξξ

cmcm

C

C

87.670.2

==

ηξ

(P.1.25)


47

ODRE\IVANJE TE@I[NIH MOMENATA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.16 i 1.21)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )⇓

⋅−+−−⋅+−=⋅⋅++⋅⋅+=

++−+=⋅++⋅+=

−+++=⋅++⋅+=

=−=−==

53.164.203.91721.11.24.1112.3253.103.91.291.24.1133

64.203.91.291.24.115.92

53.121.164.21.2

2222,21111,1

222222

2111

222222

2111

21

21

baAIbaAIIbAIbAII

aAIaAII

cmbcmbcmacma

yxyxxy

yyy

xxx

4

4

4

55.114

93.99

48.234

cmI

cmIcmI

xy

y

x

−=

=

=

(P.1.26)

ODRE\IVANJE GLAVNIH TE@I[NIH MOMENATA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.31, i P.1.26).

( ) ( )

( ) ( )

⇓

⋅+−±+=

=+−±+=

22

222,1

55.114493.998.2342193.998.234

21

421

21

xyyxyx IIIIII

42

41

44.34

28.300

cmIcmI

=

=(P.1.27)

ODRE\IVANJE GLAVNIH PRAVACA (GLAVNIH OSA) SLO@ENE POVR[INE


( )

⇓

−−⋅−=

−⋅

−=93.998.234

55.1142212

21 arctg

III

arctgyx

xyα

)01(:2175.29 0 =⋅+= kkπα (P.1.28)


48

ODRE\IVANJE KARAKTERA GLAVNIH PRAVACA (GLAVNIH OSA) SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.33 i 1.34).

( )( ) ( ) 05.59sin55.11425.59cos93.998.234

2sin22cos00 ⟨−+−−=

=+−− αα xyyx III

Na osnovu kriterijuma (1.34), karakteri glavnih osa su slede}i:

02

01

75.11975.29

=

=

αα

(P.1.29)

Sl. 1.4

C2

x2

y2

C1

y1

x1

Pξ

η

4.23

4.23

C x

y

(1)

(2)

η c=6.8

7

ξc=2.7

i 1

i 2

8.97

1.53

-2.6

42.

16

-1.21

α =29.750

1


49

ODRE\IVANJE RADIUSA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.39).

⇓

==

==

43.2044.3443.2028.300

22

11

AIi

AIi

cmicmi

29.183.3

2

1

==

(P.1.30)


50

2. NAPONSKA STANJA

2.1. POJAM NAPONA

Kao posledeica sistema optere}enja (aktivna i reaktivna optere}enja) u materijalu se javljajuunutra{nje sile.

Sl. 2.01

Analizirajmo jedno proizvoljno izabrano telo (Sl. 2.01), koje je vezano za pravouglikoordinatni sistem (xyz). Pretpostavimo, da na telo deluje sistem optere}enja:

[ ]knn FFFF!!!!

,,.........,,........, 11 + (2.01)

∆

τ

σA

dA

p

∆

F

F

F

F

Fn ∆F

A

2

n+1

k

A

α

n

n

x

y

z

O

1


51

koji obezbe|uje ravnote`no stanje. Presecimo telo (u mislima) sa jednom ravni (α ), i desnideo sa pripadaju}im podsistemom optere}enja

[ ]kn FF!!

,,.........1+ (2.02)

odstranimo. Leva strana tela }e i dalje biti u stanju ravnoteè ako na povr{ini (A) prese~neravni (α ) bude delovao unutra{nji sistem optere}enja, koji }e zameniti odstranjeni sistemoptere}enja (2.02).

Na povr{ini (A) odaberimo ta~ku (N), i u njenoj okolini ozna~imo elementarnu povr{inu( A∆ ), koju karakteri{e vektor normale ( n! ) (jedini~ni vektor). Unutra{nje sile (optere}enja)koje deluju na povr{ini ( A∆ ), mogu se redukovati na teì{te elementarne povr{ine ( A∆ ) uvidu unutra{nje glavne sile ( F

!∆ ) i unutra{njeg glavnog momenta ( M

!∆ ).

Na osnovu odnosa glavnih unutra{njih optere}enja ( F!

∆ , M!

∆ ) i povr{ine ( A∆ ), uvode seslede}e konvencije:

0lim =∆∆

AM!

(2.03)

pdAFd

AF

A

!!!

==

∆∆

→∆ 0

lim (2.04)

Grani~nu vrednost odnosa (2.04) nazivamo VEKTOR NAPONA.

Dimenzija vektora napona je (Paskal):

[ ] [ ]PaskalPadAFd

mN

dAFdp

!!! == 2 (2.05

Zbir svih redukovanih unutra{njih glavnih sila ( F!

∆ ), na celokupnom preseku (A), mora bitijednaka aktivnom sistemu optere}enja

[ ]nFF!!

,........,1 (2.06)

koji deluje na levoj strani tela, odnosno:

∫∑∑ ⋅=∆==

= AA

ni

ii dApFF !!!

1

(2.07)


52

Rastavimo vektor napona ( p! ) tako, da jedna komponenta bude paralelna sa pravcem normale( n! ) na ravan ( A∆ ), a druga da bude paralelna sa elementarnom povr{inom ( A∆ ).

Komponenta vektora napona ( p! ) u pravcu normale ( n! ) zove se NORMALNI NAPON, iozna~ava se sa (σ! ).

Skalarna vrednost normalnog napona (σ! ) dobija se kao skalarni proizvod vektora napona( p! ) i vektora normale ( n! ).

np !! •=σ (2.08)

Komponenta vektora napona ( p! ), koja je paralelna sa elementarnom povr{inom ( A∆ ), {toistovremeno zna~i da tangira povr{inu, zove se TANGENTNI NAPON (tangencionalni,smi~u}i), i ozna~ava se sa (τ! ).

Veza izme|u vektora napona ( p! ), vektora normale ( n! ), i tangentnog napona (τ! ) je u oblikuvektorskog proizvoda:

. ( )npn !!!! ××=τ (2.09)

Po{to se kroz odabranu ta~ku (N) moè postaviti beskona~ano veliki broj prese~nih ravni (α ),to istovremeno zna~i da je i broj razli~itih vektora napona ( p! ) beskona~no veliki. Skupvektora napona nazivamo: NAPONSKO STANJE ta~ke (N).

U zavisnosti od odabranog koordinatnog sistema, vektor napona ( p! ) se moè predstavitipomo}u svojih komponenata u pravcima osa, naprimer u pravcima (normale i tangente) naelementarnu povr{inu (ravan) ( A∆ ), i u pravcima koordinatnog sistema (xyz):

zyx pppp !!!!!! ++=+= τσ (2.10)

Skalarna vrednost vektora napona ( p! ) se tako moè izraziti kao:

22222zyx pppp ++±=+±= τσ (2.11)

2.1.1. POJAM GLAVNIH NAPONA

Ako prese~nu ravan (α ) odaberemo tako da se pravac normale ( n! ) poklopi sa pravcem


53

vektora napona ( p! ), tada }e vrednost vektora normalnog napona (σ! ) biti maksimalna, avrednost tangentnog napona (τ! ) }e biti jednaka nuli.

Opisano naponsko stanje se zove GLAVNO NAPONSKO STANJE, a odgovaraju}i normalninapon se naziva GLAVNI NAPON.

( ) ( ) 0;3,2,1max ==== τσσσ !!!!gp (2.12)

Sa oznakom (g=1, 2, 3) ukazujemo na to, da postoji vi{e glavnih naponskih stanja, {to }e se unastavku izlaganja i pokazati.

Geometrijske kategorije vezane za glavno naponsko stanje su slede}e:

GLAVNE RAVNI

Ravni u kojima deluju glavni naponi.

GLAVNI PRAVCI

Pravci u kojima deluju glavni naponi.

GLAVNI KOORDINATNI SISTEM

Koordinatni sistem ~ije se ose poklapaju sa glavnim pravcima.

GLAVNE OSE

Ose glavnog koordinatnog sistema.

2.1.2. TEOREMA O KONJUGOVANOSTI TANGENTNIH NAPONA

Izdvojmo iz tela koje je optere}eno ravnote`nim sistemom optere}enja jedan elementarniparalelopiped dimenzija (dx, dy, dz). Ivice paralelopipeda su ujedno i ose koordinatnogsistema (xyz).

Pretpostavimo da su na stranicama koje odgovaraju osama (yz), vektori napona jednaki nuli(Sl. 2.02).


54

Na stranicama tetraedra u kojima postoji vektor napona ( p! ) nazna~ene su odgovaraju}enormalne i tangentne komponente napona. Na suprotnim stranicama zbog diferencijalnomalih udaljenosti (dy, dz), vladaju}i naponi se razlikuju za diferencijalno male vrednosti( τσ !! dd , ).

U daljem radu }e se koristiti slede}i na~in obeleàvanja tangentnih napona:

Po{to je elementarni paralelopiped u ravnote`nom stanju, mogu}e je postaviti stati~kejedna~ine ravnoteè. U ovom slu~aju koristit }e se momentna jedna~ina ravnoteè u odnosuna prese~nu ta~ku velikih dijagonala (A) paralelopipeda.

Sl. 2.02

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⇓

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅−=∑dzdxdyddzdxdy

dydzdxddydzdxM

zyzyzy

yzyzyzA

21

21

21

21

τττ

τττ

yzzy ττ = (2.13)

A

x

y

Z

o

dz

dydx

σy

σz

τzy

τyz

τ τzyzy+d

τ τyz yz+d

σ σz z+d

σ σy y+ d


55

Obrazac (2.13) predstavlja teoremu o KONJUGOVANOSTI TANGENTNIH NAPONA:

(NA UZAJAMNO UPRAVNIM RAVNIMA, TANGENTNI NAPONI SU PO INTENZITETUJEDNAKI, A USMERENI SU, ILI PREMA, ILI OD PRESE^NE LINIJE TIH RAVNI).

2.2. OP[TE PROSTORNO NAPONSKO STANJE

Iz proizvoljno odabranog tela, iz okoline ta~ke (N) izdvoji se elementarni tetraedar sadiferencialno kratkim stranicama (dx, dy, dz), i isti se prese~e sa proizvoiljno postavljenomravni (dA), kako je to prikazano na slici (Sl. 2.03). Telo, pa i elementarni tetraedar nalaze se ustanju stati~ke ravnoteè. Ivice tetraedra se poklapaju sa osama koordinatnog sistema (xyz).

Sl. 2.03

y

z

x


56

Svakoj od ~etiri ravni pripadaju odgovaraju}e komponente totalnih napona (normalne itangentne komponente). Na me|usobno upravnim ravnima, ozna~ene su normalne i tangentnekomponente, dok je na proizvoljno postavljenoj prese~noj ravni (dA), ozna~en totalni vektornapona ( p! ) sa svojim komponentama ( τσ ; )

Prese~noj ravni (dA) korespondira jedan normalni vektor ( n! ), koji sa koordinatnim sistemom(xyz) zaklapa uglove (α α αx y z; ; ):

nml zyx === ααα cos;cos;cos (2.14)

Uvedimo vektor kolonu:

nml

n

z

y

x

==ααα

coscoscos

!(2.15)

Razloìmo vektor napona ( p! ) koji deluje na prese~noj ravni (dA), na pravce osakoordinatnog sistema (xyz), a zatim na pravac normalan tj. tangentan na prese~nu ravan.

τσ !!!!!! +=++= zyx pppp (2.16)

Skalarna vrednost vektora napona ( p! ) je tada:

22222zyx pppp ++±=+±= τσ (2.17)

Ozna~ene komponente napona na stranicama, pomnoène sa povr{inom stranica na kojimadeluju, daju sistem sila, koji tetraedar drì u stati~kom stanju ravnoteè, pa za takav sistemvaè odgovaraju}e jedna~ine ravnoteè u skalarnom obliku.

0coscoscos0coscoscos0coscoscos

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅=Σ

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅=Σ

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅=Σ

xxzyyzzzzi

zzyxxyyyyi

zzxyyxxxxi

dAdAdAdApZdAdAdAdApYdAdAdAdApX

ατατασατατασατατασ

(2.18)

Podelimo jedna~ine (2.18) sa (dA) i izvr{imo sre|ivanje na slede}i na~in:


57

zzyyzxxzz

zzyyyxxyy

zzxyyxxxx

ppp

ασατατατασατατατασ

coscoscoscoscoscoscoscoscos

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

(2.19)

Jedna~ine (2.19) predstavljaju CAUCHY-jeve jedna~ine. Iste jedna~ine moèmo predstaviti i umatri~noj formi:

⋅=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

pααα

στττστττσ

coscoscos

!(2.20)

odnosno:

nTp !! ⋅= (2.21)

Tenzor (T) naziva se TENZOR NAPONA.

Shodno stavu o konjugovanosti tangentnih napona, slede jednakosti slede}ih tangentnihnapona:

zyyzzxxzyxxy ττττττ === ;; (2.22)

Na osnovu jednakosti (2.22) sledi, da je tenzor napona (T) simetri~an i sadrì u op{temslu~aju {est napona.

Iz matri~nog oblika jedna~ine (2.20) moè se zaklju~iti: u svakoj ta~ci (N), i pripadaju}empreseku (dA) koji je karakterisan vektorom normale ( )n! , mogu se odrediti vektori napona( )p! , kao funkcije normalnih i tangentnih napona koji deluju u ravnima (xy, yz, zx), a koji suobuhva}eni tenzorom napona (T).

U daljem radu }e se pretpostaviti, da se poznaje tenzor napona (T), tj. vladaju}i normalni itangentni naponi u pravcima (xyz). Zadatak }e se svoditi na odre|ivanje tj. izra~unavanjevrednosti vektora totalnog napona ( )p! i njegovih komponenti ( τσ !!, ) u proizvoljno odabranojreferentnoj ravni (dA) definisanoj sa vektorom normale ( )n! .


58

2.2.1. IZRAÛNAVANJE VREDNOSTI NORMALNOG NAPONA

Vektor normalnog napona predstavlja projekciju vektora napona ( )p! na pravac vektoranormale ( )n! , pa se isti odre|uje na osnovu skalarnog proizvoda vektora napona ( )p! i vektoranormale ( )n! , kako je to pokazano u jedna~ini (2.08):

z

y

x

z

y

x

ppp

npααα

σcoscoscos

⋅=•=!!

(2.23)

Napi{imo jedna~inu (2.23) u skalarnom obliku, koriste}i veze (2.19):

( )( )( ) +⋅⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅+⋅=

zzzyyzxxz

yzzyyyxxy

xzzxyyxxx

αασαταταατασαταατατασσ

coscoscoscos

coscoscoscos

coscoscoscos

(2.24)

Na osvovu veza (2.22) koje su dobivene na osnovu konjugovanosti tangentnih napona, udaljem radu }emo koristiti kao oznake tangentnih napona ( zxyzxy τττ ;; ). Na taj na~in op{ti

oblik jedna~ine za normalni napon ima formu:

( )xzzxzyyzyxxy

zzyyxx

αατααταατασασασσ

coscoscoscoscoscos2coscoscos 222

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+

+⋅+⋅+⋅=(2.25)

2.2.2. IZRAÛNAVANJE VREDNOSTI TANGENTNOG NAPONA

Vrednost vektora tangentnog napona (τ ) se moè odrediti na osnovu jedna~ine (2.09), askalarna vrednost na osnovu jedna~ine (2.11).

22222zyx pppp ++±=+±= τσ

Iz predhodne jednakosti izraàvamo skalarnu vrednost tangentnog napona:

2222 στ −++±= zyx ppp (2.26)


59

U svakom konkretnom slu~aju se preporu~uje u prvom koraku izra~unavanje vrednosti( zyx ppp ,, ) na osnovu jedna~ina (2.19), a zatim na osnovu jedna~ine (2.25) odre|ivanje

vrednosti normalnog napona (σ ). U poslednjem koraku se na osnovu jedna~ine (2.26)

odre|uje vrednost tangentnog napona )(τ .

2.2.3. GLAVNI NAPONI I POLO@AJ GLAVNIH RAVNI

U glavnom naponskom stanju, kako je to vezom (2.12) prikazano, vektor napona ( )p! i vektornormalnog napona ( ( )gσσ !! = ) (GLAVNI NAPON) se po intenzitetu i pravcu podudaraju, dok

je vrednost tangentnog napona (τ! ) jednaka nuli.

( ) 0;max === τσσ !!!!gp (2.27)

Ovom naponskom stanju odgovara jedan normalni vektor, ~ije komponente treba odrediti, saciljem da se defini{u glavni pravci:

( )

( )

( )

( ) g

g

g

zg

yg

xg

g

nml

nn ===ααα

coscoscos

!!(2.28)

Projekcije glavnih napona ( ( )gσ ) u pravcima koordinatnih osa (xyz) moèmo napisati u

matri~nom obliku:

( )

( )

( )

( )

( )g

g

g

g

g

g

g

g nnml

⋅=⋅= σσ

σσ

σ00

0000

(2.29)

Izraz za vektor napona ( )p! , koji odgovara glavnom naponskom stanju, moè se napisati naosnovu jedna~ine (2.21):

( )gnTp ⋅= (2.30)


60

Jednakost (2.27) moèmo napisati koriste}i veze (2.29 i 2.30):

( )

⇓= gp σ

( ) ( )gg nnT ⋅=⋅ σ (2.31)

Iz relacije (2.31) da se zaklju~iti, da su projekcije vektora napona ( )p! i vektora glavnihnapona ( ( )gσ ) na pravce koordinatnih osa (xyz) po pravcu i intenzitetu podudarne. Napi{imo

sada matri~nu jedna~inu (2.31) u skalarnom obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zggzgzygyzxgxz

yggzgzyygyxgxy

xggzgzxygyxxgx

ασασατατ

ασατασατ

ασατατασ

coscoscoscos

coscoscoscos

coscoscoscos

=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅

(2.32)

Skalarni sistem jedna~ina (2.32) sredimo na slede}i na~in:

( )( )( )

( ) 0)(0)(

0

=⋅−+⋅+⋅

=⋅+⋅−+⋅

=⋅+⋅+−

ggzgyzgxz

gzyggygxy

gzxgyxggx

nmlnml

nml

σστττσστ

ττσσ(2.33)

Sistem (2.33) predstavlja tri linearne algebarske jedna~ine sa ~etiri nepoznate ( ( ) gggg nml ,,,σ ).

Ako nepoznatu ( ( )gσ ) tretiramo kao parametar, tada re{enje sistema (2.23) postoji samo ako

je karakteristi~na determinanta sistema jednaka nuli:

( )( )( )

( )

0)(

)( =−

−−

gzyzxz

zygyxy

xzyxgx

σστττσστττσσ

(2.34)

Determinanta (2.34) se jo{ naziva i DETERMINANTA NAPONA.

Razvijanjem naponske determinante dobija se kubna jedna~ina, koja se zoveKARAKTERISTI^NA JEDNAÎNA sistema.


61

[]

0)

2()(

)()(

222

222

23

=⋅−⋅−⋅−

−⋅⋅+⋅⋅−⋅++−

−⋅+⋅+⋅+⋅++−

xyzzxyyzx

zxyzxyzyxgzxyzxy

xzzyyxgzyxg

τστστσ

τττσσσστττ

σσσσσσσσσσσ

(2.35)

Jednostavniji oblik karakteristi~ne jedna~ine sistema je:

0322

13 =−⋅+⋅− TTT ggg σσσ (2.36)

Koeficijenti ( 321 ,, TTT ) se nazivaju INVARIJANTE NAPONA (ne zavise od poloàja prese~neravni).

222

3

2222

1

2)(

xyzzxyyzx

zxyzxyzyx

zxyzxyxzzyyx

zyx

TT

T

τστστσ

τττσσστττσσσσσσ

σσσ

⋅−⋅−⋅−

−⋅⋅+⋅⋅=

++−⋅+⋅+⋅=

++=

(2.37)

Karakteristi~na jedna~ina sistema (2.35) ima tri re{enja ( 3,2,1=g ), odnosno op{temprostornom naponskom stanju odgovara tri glavna napona. Moè se dokazati da su pravcinormalnih napona me|usobno upravni.

321 σσσ ≥≥ (2.38)

Nakon izra~unavanja vrednosti glavnih napona ( )321 ,, σσσ , iste treba jedan po jedan uvrstiti ujedna~ine (2.33). Na taj na~in se dobija tri sistema linearnih algebarskih jedna~ina sa po trinepoznate ( ( ) ( ) ( )ggg nml ,, ). Re{avanjem tako dobivenih sistema odre|uju se, za svaki od

glavnih napona, komponente normalnih vektora glavnih ravni ( ( ) ( ) ( )ggg nml ,, ).

( ) ( ) ( )

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1 ;;nml

nnll

nnml

n === !!!(2.39)


62

2.2.4. IZRAÛNAVANJE VREDNOSTI NAPONA U REFERENTNOJ RAVNIPOMO]U GLAVNIH NAPONA

Odaberimo referentni koordinatni sistem tako da se podudari sa glavnim koordinatnimsistemom:

( ) ( ) ( )[ ]3;2;1 ≡≡≡ zyx . (2.40)

Po{to u glavnim ravnima (odgovaraju glavnim pravcima) ne deluju tangentni naponi, tenzornapona (T) }e imati slede}i oblik:

3

2

1

000000

σσ

σ=T (2.41)

U ovom slu~aju, vrednost normalnog napona dobijamo na osnovu jedna~ine (2.25), koriste}ipodatke obuhva}ene tenzorom napona (2.41). U cilju razlikovanja, uglove vektora normalnog

napona ( n ) u odnosu na glavne ose beleìmo sa ( 3,2,1ψ ).

( ) ( ) ( )32

322

212

1 coscoscos ψσψσψσσ ⋅+⋅+⋅= (2.42)

Odgovaraju}u skalarnu vrednost tangentnog napona (τ ) odre|ujemo na osnovu jedna~ine(2.26), tako {to u istu uvr{tavamo vrednosti komponenti vektora napona (2.19) i vrednostnormalnog napona (2.42). Pri uvr{tavanju vrednosti vodimo ra~una o oznakama (2.40) i ovrednostima obuhva}enim tenzorom napona (2.41).

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )12

322

13

32

222

32

22

122

21

coscos

coscos

coscos)(

ψψσσ

ψψσσ

ψψσσ

τ

⋅⋅−+

+⋅⋅−+

+⋅⋅−

= (2.43)

U specijalnom slu~aju, ako normalni vektor ( )n! sa glavnim osama zaklapa identi~ne uglove

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1coscoscos 32

22

12

321 =++⇒== ψψψψψψ (2.44)

tada su izrazi za normalni i za tangentni napon na osnovu jedna~ina (2.42, 2.43, 2.44) slede}i:

)(31

321 σσσσ ++= (2.45)

( ) ( ) ( )213

232

221 σσσσσστ −+−+−±= (2.46)


63

2.3. RAVNO NAPONSKO STANJE

Ravno naponsko stanje je specijalan slu~aj prostornog naponskog stanja, kada u jednom odpravaca koordinatnih osa ne deluju naponi (Sl. 2.04 i Sl. 2.05), odnosno svi naponi deluju ujednoj ravni.

Ovo naponsko stanje je karakterisano sa:

!90;0;0

0;0;0

0;0;0

=≠≠

≠==

=≠≠

zyx

yxzxyz

zyx

ααα

τττσσσ

(2.47)

Sl. 2.04

Slika (Sl. 2.05) predstavlja projekciju u ravni (xy):


64

Sl. 2.05

Sa slike (Sl. 2.05) se vide slede}e veze:

yxxy

yx

τταα

=

−= !90(2.48)

Izra~unavanje normalnih i tangentnih napona kod ravnog naponskog stanja obavlja sepomo}u jedna~ina izvedenih kod prostornog naponskog stanja, koriste}i specifi~nostiobuhva}ene vezama (2.47 i 2.48).

TENZOR NAPONA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (2.20, 2.21).

00000

yyx

xyx

T σττσ

= (2.49)

DETERMINANTA NAPONA


( )( )

( )0

0000

=−

−−

g

gyyx

xygx

σσστ

τσσ(2.50)


65

KARAKTERISTI^NA JEDNAÎNA SISTEMA


( ) 0)( 22 =−⋅++⋅− xyyxyxgg τσσσσσσ (2.51)

Jedna~ina (2.51) ima dva re{enja, {to zna~i da ravnom naponskom stanju odgovaraju dvaglavna napona.

IZRAZ ZA NORMALNI NAPON


xxyxx ατασασσ 2sinsincos 22 ⋅−⋅+⋅= (2.52)

IZRAZ ZA TANGENTNI NAPON

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (2.19, 2.25, 2.26).

xxyxyx ατα

σστ 2cos2sin

2⋅+⋅

−= (2.53)

IZRAZI ZA GLAVNE NAPONE


222,1 4)(

21

2 xyyxyx τσσ

σσσ +−±

+= (2.54)

POLO@AJ GLAVNIH RAVNI

Poloàj glavnih ravni (ugao normalnog vektora u odnosu na ose koordinatnog sistema)dobijamo izjedna~avaju}i prvi izvod funkcije (2.52) sa nulom (poloàj ekstrema funkcije).

( ) ( ) ( )

⇓

=⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

=⇒⇒=

02cos2cossin2cossin2

;0 2,1

xxyxxyxxxx

gxgx

dddd

αταασαασασ

ααααασ

(2.55)

1,0;212

21

2,1 =⋅+

−−= kkarctg

yx

xy πσσ

τα (2.56)


66

2.4. LINEARNO NAPONSKO STANJE

Linearno naponsko stanje je specijalan slu~aj prostornog naponskog stanja, kada samo ujednom od pravaca koordinatnih osa deluju naponi (Sl. 2.06).

Ovo naponsko stanje je karakterisano sa:

0;0;00

0;0;0

=≠≠

===

==≠

zyx

zxyzxy

zyx

ααατττ

σσσ(2.57)

Sl. 2.06

Sa slike (Sl. 2.06) se vidi slede}a geometrijska veza:

yx αα −= !90 (2.58)

Izra~unavanje normalnih i tangentnih napona kod ravnog naponskog stanja, obavlja sepomo}u jedna~ina izvedenih kod prostornog naponskog stanja, koriste}i specifi~nostiobuhva}ene vezama (2.57 i 2.58).


67

TENZOR NAPONA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (2.20, 2.21).

00000000x

Tσ

= (2.59)

DETERMINANTA NAPONA


:

( )0

000000

=−

−−

g

g

gx

σσ

σσ(2.60)

KARAKTERISTI^NA JEDNAÎNA SISTEMA


( ) 02 =⋅− ggx σσσ (2.61)

Jedna~ina (2.61) ima jedno re{enje, {to zna~i da linearnom naponskom stanju odgovara jedanglavni napon.

IZRAZ ZA NORMALNI NAPON


xx ασσ 2cos⋅= (2.62)

IZRAZ ZA TANGENTNI NAPON

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (2.19, 2.25, 2.26).

xx αστ 2sin21 ⋅= (2.63)


68

IZRAZI ZA GLAVNE NAPONE


xσσ =1 (2.64)

POLO@AJ GLAVNIH RAVNI

Poloàj glavnih ravni (ugao normalnog vektora u odnosu na ose koordinatnog sistema)dobijamo izjedna~avaju}i prvi izvod funkcije (2.62) sa nulom (poloàj ekstrema funkcije).

( ) ( )

⇓

=⋅⋅⋅−=

=⇒⇒=

0cossin2

;0 ,1

xxxx

gxg

dddd

αασασ

ααααασ

01 =α (2.65)

Prostim zaklju~ivanjem moè se odrediti i maksimalna vrednost tangentnog napona, kao inagib preseka u kome on deluje.

o

x

454

2max

±=±=

=

πα

στ(2.66)


69

2.5. GRAFI^KA INTERPRETACIJA NAPONA

2.5.1. MOHR-OVI KRUGOVI

U cilju prikazivanja odaberimo jedan ravan pravougli koordinatni sistem sa osama ( τσ , ), {tozna~i da }e se na osu (σ ) nanositi i vrednosti glavnih napona ( 21 ,σσ ). Za polaznikoordinatni sistem odaberimo glavni teì{ni koordinatni sistem ( ) ( )[ ]2,1 . Ugao izme|u

normalnog vektora ( n ) i glavne ose (1) obeleìmo sa ( 1ψ ).

Po{to se radi o ravnom naponskom stanju, za odre|ivanje normalnog i tangentnog naponakoristimo relacije (2.52 i 2.53), vode}i ra~una o tome da se pravci polaznih osa poklapaju saglavnim pravcima ( ) ( )[ ]2;1 ≡≡ yx , i da je za glavne teì{ne ose centrifugalni momentjednak nuli.

12

212

1 sincos ψσψσσ ⋅+⋅=

121 2sin

2ψ

σστ ⋅

−=

Transformi{imo prvu jedna~inu koriste}i slede}e trigonometrijske veze:

( ) ( )112

112 2cos1

21cos;2cos1

21sin ψψψψ +=−=

Nakon obavljene transformacije i sre|ivanja, jedna~ine za normalni i tangentni napon dobijajuoblike:

12121 2cos

22ψσσσσσ ⋅−=+− (2.67)

121 2sin

2ψ

σστ ⋅

−−= (2.68)

Ako jedna~ine (2.67 i 2.68) dignemo na kvadrat pa ih saberemo, dobijamo slede}u jedna~inu:

2212

221

22

−

=+

+

−σστσσσ (2.69)


70

Jedna~ina (2.69) po strukturi predstavlja jedna~inu kruga / ( ) 222 )( rbyax =−+− /. Naosnovu toga se moè izvesti zaklju~ak da se u jednoj ta~ci (N), veza izme|u normalnog,tangentnog i glavnih napona, a uz poznavanje poloàja prese~ne ravni ( 121 ,,,, ψσστσ ), moègrafi~ki predstaviti pomo}u kruga ~ije su ose ( τσ , ) (MOHR-ov krug napona).

Prikaza}emo slede}e karakteristi~ne slu~ajeve odnosa vrednosti glavnih napona ( 21 ,σσ ):

2.5.1.1. POZITIVNE VREDNOSTI GLAVNIH NAPONA ( )0;0 21 ⟩⟩ σσ

Ovaj slu~aj odgovara ravnom naponskom stanju (Sl. 2.07).

Sl. 2.07

σ

τ

σ1

σ2σ

σ1σ2

+2

τ

Np

0 σ σ1 2-2

ψψ 11 2


71

2.5.1.2. VREDNOST JEDNOG OD GLAVNIH NAPONA JE NULA ( )0;0 21 =⟩ σσ

Ovaj slu~aj odgovara linearnom naponskom stanju (Sl. 2.08).

Sl. 2.08

2.5.1.3. VREDNOSTI GLAVNIH NAPONA SE PO ZNAKU RAZLIKUJU( )0;0....()0;0 2121 ⟩⟨⟨⟩ σσσσ

Ovaj slu~aj odgovara ravnom naponskom stanju (Sl. 2.09).

Sl. 2.09

σ

τ

σ1σ2

N

0 σ1

σ2

2−

(-)

τT

σ1σ2

2-

ϕ= T1ψ 2ϕ= T12ψ

σ

τ

σ

τ

Np

0

σ12 =σ2

σ1=σ σ=x

σ 1-0

2

ψ ψ1 12


72

Sa slike (Sl. 2.09) se vidi, da se moè odrediti jedan ugao preseka ( Tϕψ =1 ) u kome egzistirasamo tangentni napon, dok je vrednost normalnog napona jednak nuli. Ovakvo naponskostanje se zove ÎSTO NAPONSKO STANJE. Tako|e se sa iste slike mogu o~itati vrednosti zanormalni i tangentni napon pri ~istom naponskom stanju.

( ) 01

== Tϕψσ (2.70)

( ) 211σστ ϕψ −±== T (2.71)

Ugao preseka ( Tϕψ =1 ) u kome nalazimo ~isto naponsko stanje je vidljivo sa slike (Sl. 2.09):

2

21

σσσ

ϕ⋅−

±= arctgT (2.72)

I u ovom slu~aju odnosa glavnih napona (kao i u predhodna dva) maksimalna vrednosttangentnog napona je:

)(21

21max σστ −±= (2.73)

Ako se maksimalna vrednost tangentnog napona èli izraziti u koordinatnom sistemu (xy),tada se glavni naponi u jedna~ini (2.73) trebaju zameniti izrazima (2.54):

xyyx τσστ 4)(21 2

max +−±= (2.74)

Prikazana analiza se odnosila na ravan (xy). Naravno, na identi~ni na~in se mogu izrazitiodgovaraju}e veze za ravni (yz) i (zx):

2212

221

22

−=+

+− σστσσσ (2.75)

2322

232

22

−=+

+− σστσσσ (2.76)

2132

213

22

−=+

+− σστσσσ (2.77)


73

Jedna~ine (2.75, 2.76, 2.77) se mogu prikazati jednom zajedni~kom slikom (Sl. 2.10)

Sl. 2.10

Slika (Sl. 2.10) predstavlja ustvari grafi~ku interpretaciju prostornog naponskog stanja.

Vidljivo je, da je maksimalna vrednost tangentnog napona jednaka polovini razlike najve}e inajmanje vrednost glavnih napona.

231

maxσστ −= (2.78)

2.5.2. CULMANOV ELIPSOID

Analizirajmo prostorno naponsko stanje pomo}u jednog koordinatnog sistema, ~ije se osepoklapaju sa glavnim pravcima ( ) ( ) ( )[ ]3,2,1 (Sl. 2.11). Presek u proizvoljno odabranoj ta~ci

(N) definisan je normalnim vektorom ( n ):

3

2

1

coscoscos

ψψψ

=n (2.79)

τ

σ

σ1σ2

σ3

o

N τmax


74

U ovom slu~aju vektor napona ima oblik:

3

2

1

3

2

1

coscoscos

000000

ψψψ

σσ

σ⋅=p" (2.80)

Napi{imo predhodnu matri~nu jedna~inu (2.80) pomo}u skalarnih jedna~ina, i uredimo ihprema funkciji uglova:

33

22

11

cos

cos

cos

σψ

σψ

σψ

z

y

x

p

p

p

=

=

=

(2.81)

Koriste}i vezu

1coscoscos 32

22

12 =++ ψψψ

dignimo jedna~ine (2.81) na kvadrat, pa ih saberimo:

12

3

2

2

2

2

=

+

+

σσσ

zyx ppp(2.82)

Dobivena jedna~ina (2.82) predstavlja jedna~inu elipsoida, i zove se CULMANOV ELIPSOIDNAPONA.


75

Sl. 2.11

Na osnovu jedna~ine elipsoida (2.82) mogu se napisati tri jedna~ine elipse koje odgovarajupojedinim glavnim ravnima:

1

1

1

2

1

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

=

+

=

+

=

+

σσ

σσ

σσ

xz

zy

yx

pp

pp

pp

(2.83)

Analizirajmo prvu od tri predhodne skalarne jedna~ine, koja predstavlja jedna~inu elipse.

Projekcije ( yx pp , ) vektora napona ( p ) u ta~ci (N), odre|uju se iz prve dve jedna~ine

sistema jedna~ina (2.81).

Na elipsi (Sl. 2.12), prikazan je vektor napona ( p ) pomo}u komponentnih vektora ( yx pp , ).

Ugao izme|u vektora napona ( p ) i komponente ( xp ) ozna~en je sa (ϕ ).

11

22

coscos

ψσψσϕ ==

x

y

pp

tg

Po{to je [ ]12 90 ψψ −= , oblik predhodne veze }e biti:

11

2 ψσσϕ tgtg = (2.84)

(1)

(2)

(3)

σ

σσ

1

2

3

c


76

Sl. 2.12

Na (Sl. 2.12) je prikazano i razlaganje vektora napona ( p ) koji deluje u ta~ci (N), na

normalni napon (σ ) i tangentni napon (τ ). Ozna~en je pravac normalnog napona ( n ) uodnosu na glavni pravac (1) uglom ( 1ψ ), kao i vrednosti glavnih napona ( 21 ,σσ ).

Na prikazan na~in se, pomo}u CULMAN-ove elipse (elipsa) mogu grafi~kim metodomodrediti vrednosti normalnog i tangentnog napona (σ ,τ ) u bilo kojoj ta~ci (N), u funkcijiglavnih napona ( 21 ,σσ ) i ugla ( 1ψ ) u odnosu na glavni pravac (1).

PRIMER 2.1.

Vrednosti napona koji deluju u ta~ci (N), prikazane su slede}im tenzorom napona (T):

00002020020100

=T (P.2.01)

(1)

(2)

N

ϕp

σ τ

n

σ

σ1

2

1ψ

1ψ

1σ

xp = cos

2ψ

2σ

yp = sin


77

Uglovi prese~ne ravni u ta~ci (N), odre|eni su komponentama normalnog vektora ( n ):

060cos30cos

0

0

=n (P.2.02)

Odnosno:

00 60;30

2020

100

==

==

==

yx

yxxy

y

x

MPaMPaMPa

αα

ττσσ

(P.2.03)

Naponsko stanje je prikazano slikom (Sl. 2.1)

Sl. 2.1

Potrebno je izra~unati vrednosti normalnog i tangentnog napona (σ , τ ), vrednosti glavnih napona ( 21,σσ ), kao i poloàj

glavne ravni ( 1α ). Naponsko stanje je potrebno prikazati pomo}u MOHR-ovog kruga napona.

Tenzor napona (P.2.01) odgovara ravnom naponskom stanju.


78

ODRE\IVANJE NORMALNOG NAPONA


⇓⋅⋅−⋅+⋅=

=⋅−⋅+⋅=00202

22

302sin2030sin2030cos100

2sinsincos xxyxx ατασασσ

MPa68.62=σ (P.2.04)

ODRE\IVANJE TANGENTNOG NAPONA


⇓

⋅+−=

=⋅+⋅−

=

00 60cos2060sin2

20100

2cos2sin2 xxyx

yx ατασσ

τ

MPa6.44=τ (P.2.05)

ODRE\IVANJE GLAVNIH NAPONA


( )

( )

⇓

⋅++±+=

=+−±+

=

22

222,1

2042010021

220100

421

2 xyyxyx τσσ

σσσ

s MPaMP

30.1572.104

2

1

==

σσ

(P.2.06)


79

ODRE\IVANJE POLO@AJA GLAVNIH RAVNI


⇓

==+

−⋅−=

=+

−

−=

0...21

20100202

21

212

21

2,1

kkarctg

karctgyx

xy

π

πσσ

τα

01 2.13−=α (P.2.07)

PREDSTAVLJANJE MOHR-ovog KRUGA

Predstavljanje vr{imo u skladu sa slikom (2.07).

Izra~unate (odre|ene) vrednosti napona (P.2.04, P.2.05, P.2.06) prikazane su MOHR-ovim krugom (Sl. 2.2.).

Sl. 2.2

σ

τ

o

τ=44.6

σ=62.68σ=15.282

σ =104.721

[MPa]

[MPa]


80

PRIMER 2.2.

Na osnovu podataka iz primera (2.1), potrebno je odrediti vrednosti normalnog i tangentnog napona (σ , τ ) u ta~ci (N) i

ravni preseka ~iji vektor normale ( n ) zaklapa ugao ( 045=xα ) u odnosu prema osi (x), kori{tenjem CULMAN-ove elipse.

U primeru (2.1), izra~unate su vrednosti glavnih napona ( 21,σσ ):

MPaMPa

30.157.104

2

1

==

σσ

kao i ugaoni poloàj glavne ravni:

01 2.13−=α

Prikaìmo ugaone odnose na slici (Sl.2.3):

Sl. 2.3

011 2.58=+= xααψ (P.2.08)

Komponenta vektora napona ( p ) na pravac ose (x) je ( xp ), ~iju vrednost odre|ujemo pomo}u prve od jedna~ina (2.81).

⇓

⋅== 011 2.58cos72.104cosψσxp

MPapx 14.55= (P.2.09)

Na osnovu izra~unatih vrednosti glavnih napona ( 21,σσ ), moè se nacrtatu CULMAN-ova elipsa. Koriste}i vrednost

komponentnog napona ( xp ) u pravcu ose (x), koja je izra~unata jedna~inom (P.2.09), odre|ujemo vektor napona ( p ). U

daljem postupku koristimo ugao ( 1ψ ), te o~itavamo vrednosti normalnog i tangentnog napona ( τσ , ).

x

y

o(1)

(2) n

ψ1

αx

α1


81

Na osnovu usvojene razmere, sa slike (Sl. 2.4), o~itavamo slede}e vrednosti normalnog i tangentnog napona ( τσ , ):

MPaMPa

2949

≈≈

τσ

(P.2.10)

Sl. 2.4

(1)

(2)

o

τσσ=15.28

2

σ =104.721

p2

p

1p

1ψ

n

50 MPa


82

3. DEFORMACIJE

3.1. POJAM DEFORMACIJE

Posmatrajmo jedno telo proizvoljnog oblika, i proizvoljne zapremine (Vo), koje je vezano zapravougli koordinatni sistem (xyz) (Sl. 3.01). Odaberimo unutar tela jednu ta~ku (N), i veìmoza ta~ku pravougli koordinatni sistem (nm), ~ije se ose poklapaju sa stranicama (l, b)elementarnog pravougaonika (NMJK).

Sl. 3.01

Ako telo opteretimo sistemom optere}enja

[ ]kFFF!!!

........,.,........, 21 (3.01)

ono }e promeniti oblik i zapreminu. Promena oblika i zapremine tela naziva seDEFORMACIJA. Kao {to je to na slici (Sl. 3.01) prikazano, tokom deformacije ta~ka (N)dospeva u novi poloàj (ND), a elementarni se pravougaonik (NMJK) deformi{e (menja svojedimenzije i oblik) u povr{inu (ND, MD, JD, KD). Ukupnu deformaciju moèmo razloìti(prikazati u vi{e faza) pomo}u komponentnih deformacija. U skladu sa hipotezom osuperpoziciji deformacija, fazne deformacije moèmo sabrati, i dobiti ukupnu deformaciju(Sl. 3.02).

y

m

n

N

MJ

Kl

lb

b

F

F F

F3

2 kx

z

O

VVo

m

n

N

M

J

K

l

l

b

b

D

D

D

D

D

D

D

D D

D

1

NEOPTERE]ENO OPTERE]ENO


83

1. Faza: Koordinatni sistem (n, m) se translatorno pomeri u novi poloàj (n1, m1), a pri tomese oblik elementarnog pravougaonika ne menja.

2. Faza: Koordinatni sistem (n1, m1) se zarotira u poloàj (n2, m2), a pri tome se oblikelementarnog pravougaonika ne menja.

3. Faza: Pravi ugao koordinatnog sistem (n2, m2) se menja (deformi}e), i dobija vrednost(90o-γ ), dok koordinatne ose zauzimaju poloàje (nD, mD).

4. Faza: U pravcu osa (nD, mD) dolazi do promene duìna stranica pravougaonika( DD bbll →→ , ).

Prve dve faze deformacija predstavljaju relativnu promenu poloàja ta~ke (N) i elementarnogpravougaonika (MNJK), dok poslednje dve faze predstavljaju deformaciju elementarnogpravougaonika (NMJK).

Sl. 3.02

Na osnovu stava o konjugaciji tangentnih napona, na stranicama (l, b) elementarnogpravougaonika (MNJK) deluju tangentni naponi istog intenziteta, a usmereni su od, ili kakoordinatnom po~etku, pa su i ugaone deformacije koje su posledica dejstva tangentnihnapona iste, i imaju vrednosti ( γ2/1 ).

[ ] [ ] γαα21

22 =→=→ DD mmnn (3.02)

π2

m

n

MM

M

J

K

l

b

b

D

D2

1

D

D

D

DD

lD

D

2γ

2γ

π2 -γ

m

n

N

M

J

Kll

b

b

m

n

N

1

1

D

m

n2

2

y

x

z

O


84

Ukupna ugaona deformacija elementarnog pravougaonika (MNJK) je:

( ) ( ) ( )DDDD mnmmnn →−=+=→+→=22

121

22πγγααγ (3.03)

Analizirajmo detaljnije trouglove (ND, MD, M2) i (M2, M3, MD) (Sl. 3.03), a stranice trougla(M2, M3, MD) posmatrajmo kao vektore.

Sl. 3.03

U koordinatnom sistemu (xyz) deformaciju elementarnog pravougaonika (MNJK) moèmo

opisati pomeranjem ( DMM 2 ), koje }emo obeleìti vektorom ( t ).

Vektor ( t ) se naziva ELEMENTARNI VEKTOR POMERANJA.

Razloìmo elementarni vektor pomeranja ( t ) na dve komponente, i to u pravcu koji jeupravan na osu (nD) i na pravac koji je paralelan sa osom (nD):

lat ∆+= (3.04)

N

MM

D

2 MD

3

t

l

l

l D

γ2

n

l∆

a

y

x

z

O

nD


85

Podelimo vektorsku jedna~inu (3.04) sa (l), i izra~unajmo grani~nu vrednost:

⇓

∆+=→0

liml

ll

la

lt

000

limlimlim→→→

∆+

=

lllll

la

lt

(3.05)

Na osnovu ~lanova jedna~ine (3.05,) uvedimo slede}e definicije (pojmove):

3.1.1. VEKTOR DEFORMACIJE

fdltd

lt

l

==

→0

lim (3.06)

Grani~na vrednost jedna~ine (3.06) se obeleàva sa vektorom ( f ), a naziva se VEKTORDEFORMACIJE.

Vektor deformacije ( f ) je vezan za ta~ku (N). Za ta~ku (N) se moè vezati beskona~no veliki

broj koordinatnih sistema (nm), {to navodi na zaklju~ak da je i broj vektora deformacije ( f ) u

jednoj ta~ci (N) beskona~no veliki. Skup svih vektora deformacije ( f ) u ta~ci (N) naziva seSTANJE DEFORMACIJE.

Vektor deformacije ( f ) je bezdimenziona veli~ina.

3.1.2. DILATACIJA

ε=∆=

∆

→dldl

ll

l 0

lim (3.07)

Grani~na vrednost jedna~ine (3.07) se po definiciji zove DILATACIJA (relativna promenaduìne).


86

Ako osi (n) odgovara jedan jedini~ni vektor ( n ), tada se intenzitet dilatacije (ε ) izra~unava

kao skalarni proizvod vektora deformacije ( f ) i jedini~nog vektora ( n ).

nf •=ε (3.08)

3.1.3. UGAO KLIZANJA (UGAONO POMERANJE)

2lim

0

γ=

→lla

(3.09)

Grani~na vrednost jedna~ine (3.09) se po definiciji zove UGAO KLIZANJA (ugaonopomeranje)

Dilatacije (ε ) i uglovi klizanja (γ ) se po konvenciji zovu ]INIOCI DEFORMACIJE.

3.2. PROSTORNE DEFORMACIJE

Izdvojmo iz deformisanog tela, iz okoline ta~ke (N) jedan diferencijalno mali paralelopiped,,~ije su stranice dimenzija (dx, dy, dz) (Sl. 3.04). Velika dijagonala diferencijalnogparalelopipeda je (dl). Ivice paralelopipeda se podudaraju sa osama koordinatnog sistema

(xyz). Paralelno sa dijagonalom postavimo jedini~ni vektor ( n ). Jedini~ni vektor ( n ) zaklapaistovetne uglove sa koordinatm osama (xyz) koje smo koristili kod analize naponskih stanja(jedna~ina 2.15).

nml

n

z

y

x

zyx

==ααα

ααα

coscoscos

cos,cos,cos

(3.10)

Opteretimo difeferecijalno mali paralelopiped. Kao posledica optere}enja javljaju se prostornedeformacije. Prostorne deformacije se o~ituju promenom duìne i poloàja dijagonale (dl),

odnosno diferencijalnim vektorom pomeranja ( td ) ta~ke (M). Izraz "diferencijalni" jeodgovaraju}i diferencijalnim dimenzijama paralelopipeda.


87

Sl. 3.04

Veze izme|u duìna stranica paralelopipeda, i duìne velike dijagola su slede}e:

ndlmdlldl

dzdydx

⋅⋅⋅

===

(3.11)

Odredimo komponentu diferencijalnog vektora pomeranja ( td ) u pravcu ose (x).

( ) xx dtdt = (3.12)

Vektor pomeranja u pravcu ose (x) je posledica deformacija u ravnima (xy) i (zx). Shodnostavu o superpoziciji deformacija, ukupno pomeranje u pravcu ose (x) razloìt }emo na vi{efaza, a zatim }emo komponentna pomeranja sabrati, i tako dobiti ukupan iznos pomeranja.(Sl. 3.05):

1. Faza: pomeranja u pravcima osa (xy) u ravni (xy) - (M, M1)

2. Faza: ugaona pomeranja u ravni (xy) - M1, M2).

3. Faza: pomeranja u pravcima osa (zx) u ravni (zx) - (M2, M3)

4. Faza: ugaona pomeranja u ravni (zx) - (M3, MD)

y

x

z

Ndx

dz

dydl

dt

αx

αy

α z

M

nMD


88

Superpozicija (zbir) pomeranja u pravcu ose (x) je:

( ) ( ) ( ) ( )4321 xxxxx dtdtdtdtdt +++= (3.13)

Sl. 3.05

MD

MD

ND

ND

y

x

x

z

M

M

M1

M1 M2

M2 =M3

M3

a

bγ2zx

γ2

xz

γ2

xy

γ2

yx

dy

dy∆

dx∆

dz∆

dx

dz

dtx

,

, ,,

,

,,,,

,,,,,,


89

Sa slike (Sl. 3.05) se mogu odrediti komponente pomeranja ozna~ene u jedna~ini (3.13).

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] 021

21

21

0

021

21

21

21

4

3

2

1

≅+=

−∆+=

=

≅∆+=

−∆+=

=∆=

zxyxxzx

zxx

x

xyxy

yxx

xx

dkdkb

bdzdzdt

dt

dxdxa

adydydt

dxdxdt

γγ

γ

γγ

γ

ε

(3.14)

Uvrstimo vrednosti iz jedna~ina (3.14) u jedna~inu (3.13), stim da diferencijalne veli~inedrugog reda zanemarimo.

dzdydxdt zxyxxx γγε21

21 ++= (3.15)

Ako predhodnu jedna~inu podelimo sa (dl) i vodimo ra~una o relacijama (3.06, 3.07, 3.09,3.10), tada se dobija komponenta vektora deformacije u pracu ose (x).

nmlf zxyxxx γγε21

21 ++= (3.16)

Na identi~an na~in se mogu odrediti i komponente vektora deformacije i u pravcima osa (yz).Kao rezultat, prikazuju se tri skalarne jedna~ine, koje u stvari predstavljaju komponente

vektora deformacije ( f ) u pravcima osa (xyz)

nmlf

nmlf

nmlf

zyzxzz

zyyxyy

zxyxxx

εγγ

γεγ

γγε

++=

++=

++=

21

21

21

21

21

21

(3.17)


90

Predstavimo predhodni sistem jedna~ina u matri~noj formi:

nml

fff

f

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

εγγ

γεγ

γγε

21

21

21

21

21

21

== (3.18)

ili jednostavnije

nDf ⋅= (3.19)

U jedna~ini (3.19), tenzor (D) se zove TENZOR DEFORMACIJA.

Pri analizi naponskih stanja do{lo se do matri~nog oblika (2.21) vektora napona ( p ), koji jesadràvao sve podatke vezane za naponsko stanje.

Matemati~ka struktura vektora napona ( p ) ODGOVARA matemati~koj strukturi vektora

deformacija ( f ) (matemati~ki strukturni identitet).

fp ≡ (3.20)

Ova ~injenica nam omogu}ava, da u jednoj ta~ci (N), uz definisani pravac pomo}u jedini~nog

vektora ( n ), odredimo sve ~inioce deformacije ( γε , ), koriste}i obrasce uspostavljene kodnaponskih stanja, stim da se u obrascima treba izvr{iti zamena oznaka shodno matemati~komstrukturnom identitu (3.20).

Matemati~ki strukturni identitet (3.20) }emo prikazati matri~nom formom matemati~kogstrukturnog identiteta tenzora napona i tenzora deformacija, po{to obe strane jedna~ineidentiteta (3.20) sadrè identi~ne jedini~ne vektore:

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nDnT

εγγ

γεγ

γγε

στττστττσ

21

21

21

21

21

21

≡

⇓

≡(3.21)


91

Shodno opisanom matemati~kom strukturnom identitetu, koristi}emo odgovaraju}aobeleàvanja:

γτ

εσεσ

21

3,2,13,2,1

≡

≡≡

(3.22)

3.2.1. DEFORMACIJE PRI PROSTORNOM NAPONSKOM STANJU

3.2.1.1. DILATACIJA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu veza (2.25 i 3.22).

( )nlmnlmnml zxyzxyzyx γγγεεεε +++++= 222 (3.23)

3.2.1.2. UGAO KLIZANJA


22222 εγ −++±= zyx fff (3.24)

3.2.1.3. DILATACIJA U FUNKCIJI GLAVNIH DILATACIJA


23

22

21 nml εεεε ++= (3.25)

3.2.1.4. UGAO KLIZANJA U FUNKCIJI GLAVNIH DILATACIJA


( ) ( ) ( ) 22213

22232

222212 lnnmml εεεεεεγ −+−+−= (3.26)


92

3.2.2. DEFORMACIJE PRI RAVNOM NAPONSKOM STANJU

3.2.2.1. DILATACIJA


lmml xyyx γεεε ++= 22 (3.27)



( ) ( )222 mllm xyyx −+−= γεεγ (3.28)

3.2.2.3. GLAVNE DILATACIJE I GLAVNE RAVNI DILATACIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu veza (2.54, 2.56 i 3.22).

( )

πεε

γα

γεεεε

ε

karctgyx

xy

xyyxyx

21

21

21

2

2,1

222,1

+

−

−=

+−±+

=

(3.29)

3.2.3. DEFORMACIJE PRI LINEARNOM NAPONSKOM STANJU

3.2.3.1. DILATACIJA


2lxεε = (3.30)


93


Odre|ivanje vr{imo na osnovu veza (2.63 és 3.22).

lmxεγ 2= (3.31)

3.2.3.3. GLAVNA DILATACIJA I GLAVNA RAVANDILATACIJE

Odre|ivanje vr{imo na osnovu veza (2.64, 2.65 i 3.22).

01

1

==

αεε x

(3.32)

înioci deformacije se grafi~ki mogu interpretirati istim metodama kao i naponska stanja(Mohr-vi krugovi, Culman-ov elipsoid).

3.3. ZAPREMINSKA DILATACIJA

Nedeformisana zapremina diferencialno malog paralelopipeda (Sl. 3.04) je:

dzdydxdV ⋅⋅=0 (3.33)

Pri deformaciji, menjaju se duìne stranica, pa se shodno tome menja i zapremina.Deformisana zapremina je:

( ) ( ) ( )dzdzdydydxdxdV ∆+⋅∆+⋅∆+= (3.34)

Na osnovu definicije (3.07), moèmo napisati vrednosti komponenti dilatacije (ε ) u pravcimakoordinatnih osa (xzy):

z

zx

y

yx

x

xx d

ddd

dd ∆=

∆=∆= εεε ;; (3.35)

Koriste}i veze (3.35), jedna~inu (3.34) moèmo napisati u slede}em obliku:

( )( )( )dxdydzdV zyx εεε −−−= 111 (3.36)


94

Zapreminska dilataja je po definiciji:

0

0

dVdVdV

V−=ε (3.37)

Ako u jedna~inu (3.37) uvrstimo vrednosti (3.33) i (3.36), dobijamo potpuni oblikzapreminske dilatacije kao funkciju linearnih dilatacija:

( )( )( )

zyxxzzyyxzyxV

o

ozyx

o

oV dV

dVdV

dVdV

εεεεεεεεεεεεε

εεεε

⋅⋅+⋅+⋅+⋅+++=⇓

−⋅+++

=−= 1111

(3.38)

Ako u jedna~ini (3.38) diferencijalne veli~ine vi{eg reda zanemarimo, dobijamo pribli`nu(prakti~no kori{tenu) vrednost zapreminske dilatacije, kao algebarski zbir dilatacija upravcima koordinatnih osa (xyz).

zyxV εεεε ++≈ (3.39)

PRIMER 3.1.

Elementi tenzora deformacija (f) u ta~ci (N) odre|eni su merenjima. Konkretne vrednosti su prikazane u tenzoru deformacija(P.3.01).

000010410010105

21

21

21

21

21

21

44

44

−−

−−

⋅−⋅

==

zyzxz

zyyxy

zxyxx

A

εγγ

γεγ

γγε

(P.3.01)

Potrebno je odrediti glavnu dilataciju ( 1ε ) i ugaoni poloàj glavne ravni dilatacije ( 1α ).

Na osnovu tenzora deformacija (P.3.01) se zaklju~uje da se radi o dilataciji pri ravnom naponskom stanju.


95

ODRE\IVANJE VREDNOSTI GLAVNE DILATACIJE


( )

( )⇓

+⋅−⋅±⋅+⋅=

=+−±+

=

−−−−−

424444

222,1

1010410521

2104105

21

2xyyx

yx γεεεε

ε

41 1055,9 −⋅=ε (P.3.02)

ODRE\IVANJE UGAONOG POLO@AJA GLAVNE RAVNI DILATACIJE


⇓

⋅+

⋅−⋅

−=

=+

−

−=

−−

−

π

πεε

γα

021

10410510

21

21

21

44

4

2,1

arctg

karctgyx

xy

01 17,3=α (P.3.03)


99

4. VEZE IZME\U NAPONA I DEFORMACIJA

Osnovnu vezu predstavlja HOOKE-ov zakon, koji ima oblik:

γτεσ

⋅=⋅=

GE

(4.01)

Gde su:

[ ]Paσ ……….mormalni napon

[ ]Paτ ……….tangentni napon

[ ]PaE ……….YOUNG-ov modul elasti~nosti

[ ]PaG ……….modul klizanja

[ ]/ε ………….dilatacija

[ ][ ]rad/γ …….ugao klizanja

Veze (4.01) su HOOKE i YOUNG dobili na osnovu eksperimenata, i one predstavljaju osnovuza prou~avanje elasti~nih tela i sistema.

4.1. POISSONOV KOEFICIJENT

POISSON je utvrdio, da se u slu~aju pojave dilatacije u pravcu jedne od koordinatnih osa,uvek pojavljuju i dilatacije u pravcima druge dve ose. Utvr|eno je da je veza izme|udilatacija linearna.

Kao osnovu za utvr|ivanje funkcije veza izme|u dilatacija, uzima se diferencijalno malakocka dimenzija (dx=dy=dz) (Sl. 4.01). Ista je optere}ena samo u pravcu ose (x), odnosnoegzistira samo normalni napon ( xσ ) (linearno naponsko stanje). U takvom slu~aju dilatacija u

pravcu ose (x), kao posledica normalnog napona ( xσ ) je slede}a:


100

Edxdx x

xx

σεσ

=

∆= (4.02)

Kao posledica izduènja u pravcu (x) do}i }e do promene (smanjenja) duìna u pravcima (y) i(z) osa, tako|e kao posledica delovanja normalnog napona ( xσ ). Odgovaraju}e dilatacijeozna~avamo na slede}i na~in:

( )

( ) qz

qy

x

x

x

x

dzdz

dydy

εε

εε

σσ

σσ

−=

∆=

−=

∆=

(4.03)

Sl. 4.01

Poslednje dve dilatacije su zbog istih osnovnih duìna jednake.

( ) ( ) qzy xxεεε σσ

−== (4.04)

POISSON je utvrdio, da izme|u dilatacija (4.02 i 4.03) postoji linearna veza slede}eg oblika:

xq εµε ⋅−= (4.05)

Koeficijent ( µ ), koji karakteri{e veze dilatacija u me|usobno upravnim pravcima, se zovePOISSONOV KOEFECIJENT. Vrednosti Poissonovog koeficijenta ( µ ) se kre}u u granicama(0,2 do 0,5)

y

x

z

dxdz

dy

σx

σxdx∆( )

σxdz∆(

)

σxdy∆( )V

Vo


101

4.2. GENERALISANI HOOKE-OV ZAKON

Na osnovu HOOKE-ovg zakona (4.01) i POISSON-ovih funkcija (4.05), mogu}e jeuspostaviti vezu izme|u napona ( τσ , ) i deformacija ( γε , ), u bilo kojoj ta~ci (N)koordinatnog sistema (xyz).

Naprimer, za slu~aj prostornog naponskog stanja, dilatacija u pravcu ose (x) sastoja}e se oddilatacije kao posledice delovanja normalnog napona ( xσ ) u pravcu ose (x), dilatacije kao

posledice delovanja normalnog napona ( yσ ) koji deluje u pravcu ose (y) i dilatacije kao

posledice delovanja normalnog napona ( zσ ) koji deluje u pravcu ose (z).

EEEzyx

xσµ

σµσε ⋅−⋅−= (4.06)

Na identi~an na~in se mogu utvrditi i odgovaraju}e dilatacije u pravcima osa (yz). Takodobivenim jedna~inama priklju}ujemo i vrednosti ugaonih pomeranja (uglovi klizanja) uravnima (xy, yz, zx). Na taj na~in se dobija slede}i sistem linearnih jedna~ina:

zxzx

yzyz

xyxy

xyzz

zxyy

zyxx

G

G

G

EEE

EEE

EEE

τγ

τγ

τγ

σµσ

µσε

σµσµσ

ε

σµσ

µσε

1

1

1

=

=

=

⋅−⋅−=

⋅−⋅−=

⋅−⋅−=

(4.07)


102

Predhodni sistem linearnih jedna~ina prikaìmo u matri~noj formi.

⇓

⋅−−

−−

−−

=

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

τττσσσ

µµ

µµ

µµ

γγγεεε

100000

010000

001000

000111

000111

000111

σε !!⋅= H (4.08)

Tenzor (H) u vektorskoj jedna~ini (4.08) naziva se HOOKE-OV TENZOR ELASTI^NOSTI.

Ako postoji potreba da se na osnovu merenjem utvr|enih dilatacija i uglova klizanja utvrdevladaju}i naponi, tada je potrebno matri~nu jedna~inu (4.08) re{iti po naponima:

⇓

⋅= − εσ !! 1H

)21)(1(

000000000000000000)1(000)1(000)1(

µµ

γγγεεε

µµµµµµµµµ

τττσσσ

−+=

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−

=

EK

GG

GKKK

KKKKKK

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

(4.09)


103

4.3. VEZA IZME\U MODULA ELASTI^NOSTI (E)I MODULA KLIZANJA (G)

Analizirajmo ravno naponasko stanje jednog diferencijalno malog paralelopipeda ~ije sudimenzije (dx, dy, dz). Predpostavimo da na stranama paralelopipeda deluju samo tangentninaponi, {to odgovara ~istom naponskom stanju (Sl. 4.02).

Sl. 4.02

Ovom naponskom stanju odgovara slede}i tenzor napona:

0000000

xy

yx

T ττ

= (4.10)

U skladu sa jedna~inama (3.29 i 2.54) za ovo naponsko stanje se mogu utvrditi:

- vrednosti glavnih dilatacija ( 2,1ε )

γγγε21

21

21

2,1 ±=±=±= yxxy (4.11)

odnosno samo najve}a vrednost glavne dilatacije:

γε21

1 = (4.12)

x

y

o

yxτ

yxτ

xyτ xyτ

σ2

σ2

σ1

σ1


104

- vrednosti glavnih napona ( 2,1σ ):

τττσ ±=±=±= yxxy2,1

τσσ

τστσ

=−=⇓

−==

21

21 ;(4.13)

Ako kao polazni koordinatni sistem koristimo glavni koordinatni sistem, tada jedna~ina(4.06). dobija oblik:

EE21

1σµσε −= (4.14)

Ako iskoristimo veze (4.12 i 4.13), dobijamo slede}u vrednost ugaonog pomeranja:

( )

⇓

+= µσε 111 E

( )µτγ += 121

E(4.15)

Ako na osnovu HOOKE-ovog zakona (4.01) izrazimo vrednost za tangentni napon i uvrstimou jedna~inu (4.15) dobijamo slede}u vezu:

( )

⇓

+⋅= µγγ 121

EG

( )µ+⋅=

12EG (4.16)

Jedna~ina (4.16) predstavlja traènu vezu izme|u modula klizanja (G) i YOUNG-ovogmodula elasti~nosti (E).

PRIMER 4.1.

Pre~nik potisnog cilindra alata prikazanog na slici (Sl. 4.1) iznosi (D=50 mm). POISSON-ov koeficijent gumenog umetka je( 45,0=µ ). Sila koja tereti potisni cilindar iznosi (F=4500 N).

Potrebno je odrediti radijalni pritisak (p) koji gumeni umetak vr{i na zidove alata.Predpostavljamo da su zidovi alata kruti.


105

ODRE\IVANJE NORMALNOG NAPONA U PRAVCU OSE (z) JE:

MPaD

FAF aa

z 29,250

45004422 =⋅===ππ

σ (P.4.01)

S obzirom na simetri~nost alata, naponi u pravcima (xy) su po intenzitetu identi~ni.

ryx p==σσ (P.4.02)

Sl. 4.1

Pomeranja u aksialnim pravcima, s obzirom na krutost sidova alata su jednaka nuli ( 0== yx εε )..

ODRE\IVANJE RADIJALNOG PRITISKA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu prve od sistema jedna~ina (4.07).

( )

⇓

−−=−−= zrzyx p

EEEµσµσµ

σµσ 10

⇓−

⋅=−

=45.01

29.245.01 µµσ z

rp

MPapr 87,1= (P.4.03)

GUMA

x

y

z

Fa

yσzσxσ


103

5. NAPONSKA STANJA RAVNIH GREDNIH NOSAÂ

Ve}ina kori{tenih konstriktivnih elemenata (nosa~a) je izvedena tako, da im je jedna mera(duìna) znatno ve}a od dimenzija popre~nog preseka. Ovakvi prizmati~ni elementi zovu seGREDNI NOSAÎ.

U okviru ovog kursa prou~avaju se gredni nosa~i koji se nalaze u jednoj ravni, i njihnazivamo RAVNI GREDNI NOSAÎ. Uz dato obja{njenje, a u cilju jednostavnosti, za ravnegredne nosa~e koristi}emo odoma}eni naziv: GREDE.

U prou~avanju greda, koriste se slede}e geometrijske karakteristike:

- NORMALNI PRESEK

Ovako zovemo sve popre~ne preseke greda koji su upravni (normalni) na podu`nu osu.

- GEOMETRIJSKA OSA

Geometrijsku osu ~ini geometrijsko mesto teìsta svih povr{ina normalnih preseka grede. Uzavisnosti od oblika geometrijske ose, grede razvrstavamo u slede}e grupe:

- prave grede

- krive grede

- grede sa izlomljenom pravom osom (ramovi)

- REDUKOVAN SISTEM OPTERE]ENJA

Redukovanim sistemom optere}enja zovemo glavnu silu i glavni momenat u teì{tuodabranog normalnog preseka.

- RAVNI OPTERE]ENJA

Celokupni sistem optere}enja grede moè se redukovati na dve me|usobno upravne ravni, a uspecijalnom slu~aju i na samo jednu ravan (ako sve sile i momenti deluju u jednoj ravni).Ovako definisane ravni zovu se ravni optere}enja. Ravni optere}enja je iz prakti~nih razlogadobro odabrati tako, da barem jedna od njih predstavlja ravan simetrije grede. Na taj na~in


104

prese~na linija ravni optere}enja (koja je ujedno ravan simetrije) sa normalnim presekompredstavlja ujedno i glavnu teì{nu osu povr{ine normalnog preseka.

- NEUTRALNA RAVAN

To je jedna od ravni koja sadrì geometrijsku osu grede, a ne deformi{e se prilikomnaprezanja (sa stanovi{ta deformacija je neutralna).

- NEUTRALNA OSA (LINIJA)

Neutralna osa je jedna od skupa linija koje pripadaju neutralnoj ravni. U daljem radu }e sepokazati, da se (izuzev kod deformacija krivih greda) neutralna poklapa sa geometrijskomosom grede.

- OP[TE NAPONSKO STANJE

Odaberimo jednu gredu (konzola), koja je svojim levim krajem uklje{tena (Sl. 5.01).

Neka je greda optere}ena proizvoljnim sistemom optere}enja:

[ ]knn FFFF!!!!

,,.........,,........, 11 + (5.01)

Sl. 5.01

x

y

z

dA

F2

Fn

Fk

F1

TxTy

Mx My

MzFz

N(x,y,z)dA

dAσz

dAzx

dAzy

x

yzdz

τ

ττ ρ


105

Kao {to je iz statike poznato, sistem optere}enja (5.01), zajedno sa reakcijama vezapredstavlja ravnote`ni sistem.

Postavimo jedan pravougli koordinatni sistem (xyz) tako, da se osa (z) podudari sageometrijskom osom grede. Osu (y) odaberimo tako, da ona istovremeno predstavlja i glavnuteì{nu osu normalnih preseka. Na taj na~in su ose (xy) ujedno i glavne teì{ne ose.

Presecimo gredu (u mislima) na (z) udaljenju od uklje{tenja sa jednim normalnim presekompovr{ine (A), a deo grede desno od normalnog preseka uklonimo zajedno sa pripadaju}impodsistemom optere}enja

[ ]kn FF!!

,,.........1+ (5.02)

Podsistem optere}enja (5.02) redukujmo na teì{te normalnog preseka (A) u vidu vektorskogpara (glavna sila i glavni moment).

RR

k

nii MFF +=∑

+= 1

(5.03)

Razloìmo vektore (5.03) na pravce koordinatnih osa (xyz).

zyxR

zyxR

MMMM

FTTF

++=

++=(5.04)

Kao posledica dejstva redukovanog sistema optere}enja (5.03), na svakoj diferencijalno malojpovr{ini (dA) koja pripada povr{ini normalnog preseka (A), deluje vektor napona, koji semoè razloìti na normalnu i tangentne komponente (normalni napon i tangentne napone). upravcima koordinatnih osa (xyz). Teìte diferencijalno male povr{ine (dA) je u ta}ci (N), ~ijesu koordinate poloàja (xyz).

zyzxzp ττστσ ++=+= (5.05)

Komponente vektora napona (5.05) mnoène sa vredno{}u diferencijalne povr{ine (dA) dajuza rezultat diferencijalno male sile:

dAdAdAFd zyzxz ττσ ++= (5.06)


106

Na slici (Sl. 5.01) prikazane su komponente (5.04, 5.05, 5.06). Po{to prikazan sistempredstavlja ravnote`ni sistem, za njega vaè jedna~ine ravnoteè prostornog sistemaoptere}enja.

. ∑ ∫ ⋅+==A

zxxi dATX τ0 (1)

∑ ∫ ⋅−==A

zyyi dATY τ0 (2)

∑ ∫ ⋅−==A

zzi dAFZ σ0 (3) (5.07)

∑ ∫ ⋅⋅+==A

zxxi dAyMM σ0 (4)

∑ ∫ ⋅⋅−==A

zyyi dAxMM σ0 (5)

∑ ∫ ⋅⋅++==A

zzi dAyxMM τ220 (6)

Kao {to je to u uvodu nazna~eno, glavni zadaci otpornosti materijala su dimenzionisanje iprovera. To zna~i da je potrebno ispitati i na}i veze izme|u glavnih napona, glavnih ~iniocadeformacije, sistema optere}enja i geometrijske karakteristike ravnog preseka.

( ){ }[ ] 0,,, 111 =−+ JFf knεσ (5.08)

Ukoliko se uspostavi veza (5.08), mogu}e je na osnovu poznavanja mehani~kih karakteristikamaterijala od koga se greda izra|uje, odrediti mere normalnog preseka.

- SAINT- VENANT OV PROBLEM

Nalaènje veze ili veza (5.08) treba da se obavi nizom teoretskih postupaka, koji su sastanovi{ta prakti~ne primene prihvatljivo jednostavni. Svako pojednostavljenje nosi sa sobomizvesnu meru apstrakcije. Prihva}en nivo apstrakcije treba da omogu}i sa jedne stranejednostavnost u kori{tenju, ali istovremeno da osigura i pouzdanost.

Prilikom analize naponskih stanja, deformacija, kao i njihovih veza, uspostavljene sutakozvane CAUCHY-jeve jedna~ine i op{ti HOOKE-ov zakon u vidu relacija (2.20, 3.18,4.09,. 4.09). Pomo}u tih jedna~ina potpuno je opisana veza napona i deformacija. Za neku


107

konkretnu ta~ku (N) u pripadaju}oj ravni preseka, koja je karaklterisana sa jedini~nim

(normalnim) vektorom ( n ), te veze se uspostavljaju sistemom od devet deferencijalnihjedna~ina.

Eksplicitno re{enje pomenutog sistema diferencijalnih jedna~ina moè biti veoma sloèno.Zbog ove ~injenice su razvijeni postupci, koji uz odre|ene apstrakcije daju za praksuprimenljive, i (eksperimentalno potvr|ene) pouzdane rezultate.

Jedan od postupaka koji je praksa verifikovala, predloìo je SAINT-VENANT, i metod nosinaziv SAINT-VENANT-ov SEMISIMETRI^NI METOD.

Medod se zasniva na slede}im apstrakcijama:

a. Predpostavlja se da je jednan ili vi{e napona jednako nuli (na taj na~in se grani~nevrednosti kod re{avanja CAUCHY-jevih diferencijalnih jedna~ina lako odre|uju). Sa ovimse prakti~no uvodi pojam osnovnog naprezanja (istezanje-pritisak, smicanje, savijanje,uvijanje), kao i pojam sloènog naprezanja (pritisak-savijanje, savijanje-uvijanje,…).

b. Primenjuje se JACOB BERNOULLI -jev deformacioni model, koji predpostavlja, da sedeo grede koji se nalazi izme|u me|usobno vrlo bliski normalnih preseka deformi{e samou smeru delovanja napona. Ova apstrakcija je zna~ajna, jer je suprotna teoriji zasnovanojna POISSON-ovim ispitivanjima.

c. Predpostavlja se, da je raspodela napona po povr{ini normalnog preseka ravnomerna. Ovapredpostavka odgovara stvarnosti, samo ako je ta~ka dejstva spoljnjeg optere}enjadovoljno udaljeno od normalnog preseka.


108

5.1. NAPONSKA STANJA PRAVIH GREDA

5.1.1. ISTEZANJE-PRITISAK

U slu~aju da je greda optere}ena samo komponentom glavne sile ( zF ), tada, u zavisnosti odusmerenosti sile razlikujemo slede}e slu~ajeve (Sl. 5.02):

0⟩zF - pritisnuta greda (PRITISAK)

0⟨zF - istegnuta greda (ISTEZANJE)

Sl. 5.02

Od sistema jedna~ina ravnoteè (5.07), ovom slu~aju odgovara jedna~ina (3).

∑ ∫ ⋅+−==A

zzi dAFZ σ0 (5.09)

Ako predpostavimo, da aktivna spoljnja sila deluje dovoljno udaljeno od teì{ta normalnogpreseka (A), tada }e polje sila biti homogeno, a raspodela napona po preseku }e bitiravnomerna.

( ) .constAFzf z

z ==≠σ (5.10)

O

x

y

z

A

dA

N(x,y,z)

x

yzdz

Fz

dAσz

ρ

α

σ

τ

σz0


109

Ovo naponsko stanje (Sl. 5.02) odgovara linearnom naponskom stanju, stim da je pravacdelovanja normalnog napona usmeren u po pravcu ose (z). Odgovaraju}i vektori napona ideformacioje imaju slede}e oblike:

Vektor napona:

zz

pασ cos

00

00000000

= (5.11)

Vektor deformacije:

zz

fαε cos

00

00000000

= (5.12)

Sa stanovi{ta prakse, merodavni su najve}i glavni napon i najve}a glavna dilatacija.

Glavni napon se odre|uje na osnovu veza (2.64 i 5.10):

AFz

z == σσ1 (5.13)

Jedna~ina (5.13) pretstavlja vezu unutra{njeg normalnog napona, karakteristike ravnogpreseka (povr{ina), i spoljnje aktivne sile.

Po{to se radi o linearnom naponskom stanju, vrednost glavne dilatacije se odre|uje na osnovuveze (3.32), stim da prilikom ra~unanja koristimo oznaku ( xz ≡ ).

zεε =1 (5.14)

Komponenta vektora deformacije u pravcu (z) se odre|uje na osnovu veze (5.12):

zzzf αε cos⋅= (5.15)

Na osnovu veza za linearno naponsko stanje (2.65, 3.32), pravci glavnog napona i glavnedilatacije se podudaraju, pa je nagib glavne ravni u odnosu na osu (z) slede}i:

01 =α (5.16)

U ovom slu~aju je objik jednakosti (5.15) slede}i:

zzf ε= (5.17)


110

Vrednost dilatacije u pravcu (z) je na osnovu jedna~ine (3.07), uz oznaku (l=z), slede}a:

dzdz

dzdz

z

z

⋅=∆⇓

∆=

ε

ε

(5.18)

Obavimo li integraciju predhodne jedna~ine,

∫ ∫ ⋅=∆z z

z dzdz0 0

ε

dobijamo ukupno izduènje u pravcu (z):

zz z ⋅=∆ ε (5.19)

Po HOOKE-ovom zakonu (4.01), egzistira veza:

zz E εσ ⋅= (5.20)

Desne strane jedna~ina (5.13) i vrednost dilatacije iz jedna~ine (5.19) uvrstimo u jedna~inu(5.20).

⇓

∆=zzE

AFz

AEzFz z

⋅⋅=∆ (5.21)

Jedna~ina (5.21) predstavlja vezu izme|u spoljnje aktivne sile (Fz), karakteristike normalnogpreseka (A) (povr{ina), duìne grede (z), modula elasti~nosti (E) (mehani~ka karakteristikamaterijala), i ukupnog iduènja ( z∆ ).


111

PRIMER 5.1.

Sl. 5.1.1.1

Greda optere}ena na istezanje prema slici (Sl. 5.1.1.1) ima duìnu (l=4000 mm) i pre~nik (D=20 mm). Aksialno optere}enjeje (F=500 kN). Materijal grede je (^.0245), sa zateznom ~vrsto}oma ( [ ]MPaM 400=σ ), modulom elasti~nosti

( [ ]MPaE 5102,2 ⋅= ), i POISSON-ovim koefijentom ( 3,0=µ ).

Potrebno je odrediti:

- 1σ - (najve}u) vrednost glavnog napona

- z∆ - ukupno uzdu`no izduènje

- q∆ - ukupno poprer~no suènje

IZRAÛNAVANJE GLAVNOG NAPONA

Izra~unavanje se obavlja na osnovu jedna~ine (5.13).

⇓⋅

⋅=⋅⋅===

ππσσ 221 20

4000.5004DF

AF

z

MPa23,1591 =⇓

σ(P.5.01)

l Dφ

F

z


112

IZRAÛNAVANJE UZDU@NE DILATACIJE


⇓⋅

=== 51

10223,159

EEZ

Zσσε

41096,7 −⋅=Zε (P.5.02)

IZRAÛNAVANJE POPRE^NE DILATACIJE

Izra~unavanje se obavlja na osnovu jedna~ine (4.05). Kori{tena oznaka je ( Dq ≡ ).

⇓

⋅⋅−=⋅−= −41096,73,0zD εµε

41039,2 −⋅−=Dε (P.5.03)

IZRAÛNAVANJE UKUPNOG UZDU@NOG IZDU@ENJA


⇓

⋅⋅=⋅=∆ − 40001096,7 4zz zε

mmz 18,3=∆ (P.5.04)

IZRAÛNAVANJE UKUPNOG POPRE^NOG SU@ENJA

Izra~unavanje se obavlja na osnovu jedna~ine (5.19). Kori{tene oznake su ( DzDq ≡≡ , ).

⇓

⋅⋅−=⋅=∆ − 201039,2 4DD Dqε

mmD 4108,47 −⋅−=∆ (P.5.05)


113

5.1.1.1. KONCENTRACIJA NAPONA

Sl. 5.03

Ako se ta~ka dejstva spoljnje aktivne sile (Fz) nalazi blizu teì{ta normalnog preseka, ili sepresek grede skokovito menja (`ljeb za Segerov prsten, popre~ni otvor isl.), tada su polja sile inapona NEHOMOGENA. Zbog navedene nehomogenosti raspodela normalnog napona ponormalnom preseku nije ravnomerna, i kre}e se u slede}im granicama (Sl. 5.03):

maxmin zzz σσσ ≤≤ (5.22)

Za potrebe prakse merodavna je najve}a vrednost normalnog napona u preseku (A):

zz K σσ ⋅=max (5.23)

Kojevficijent (K) naziva se KOJEFECIJENT KONCENTRACIJE NAPONA. Vrednostiikpojeficijenata koncentracije napona (K) se odre|uju eksperimentalno, i mogu se na}i uodgovaraju}im tablicama..

A

σmin

σmax

Fz

σz

z


114

5.1.1.2. KONTAKTNI NAPONI (HERTZ-OV NAPON)

Metodologiju odre|ivanja kontaktnih napona je razvio HERTZ, pa i postupak nosi njegovoime.

Ako se dva tela ~ije su povr{ine neravne dodiruju u ta~ci (N), i ako se veza izme|u njihodràva silom (F), tada }e u okolini ta~ke dodira (N) do}i do deformacija.

Po{to su vrednosti deformacija u odnosu na mere oba tela vrlo mala, moèmo ih smatratidiferencijalnim. Odgovaraju}e vrednosti napona u ta~ci dodira su relativno velike, a njihovaraspodela je neravnomerna. Maksimalna vrednost normalnog napona u ta~ci dodira (N) nazivase HERTZOV NAPON.

Na slici (Sl. 5.04) prikazan je op{ti slu~aj kontakta dva tela. Materijali tela su karakterisana samodulima elasti~nosti i Poissonovim koeficijentima ( 2121 ,,, µµEE ). Gornje telo (F) dodirujedolnje telo (A) u ta~ci dodira (N). Me|usobna sila u ta~ci dodira je (F). Svako od dva telaposebno, prese~emo sa po jednom ravni. Prese~na linija prese~nih ravni se podudara sakoordinatnom osom (z) pravouglog koordinatnog sistema (xyz).

Odredimo GLAVNE PRESE^NE RAVNI ( rRrR AAFF ,,, ). Osobine glavnih prese~nih ravni sutakve, da su njihovi radiusi zaobljenja u ta~ci (N) maksimalni ( 21, RR ), odnosno minimalni( 21,rr ). Glavne prese~ne ravni su me|usobno normalne. Ugao izme|u glavnih prese~nih ravnijednog i drugod tela iznosi ugao (ϕ ).

Zakrivljenosti radiusa ( 21, RR , 21,rr ) se zovu GLAVNA ZAKRIVLJENJA.

22

22

11

11

1;1

1;1

rg

RG

rg

RG

==

==(5.24)

Na osnovu HERTZ-ovih istraìvanja maksimalna vrednost kontaktnog napona se zoveHERCOV KONTAKTNI NAPON, i iznosi:

πσ

⋅⋅=

baF5.1max (5.25)

Dodirna povr{ina u okolini ta~ke dodira (N) ima pribliàn oblik elipse sa poluosama (a, b).


115

Izrazi za poluose elipse su:

3

3

5.1

5.1

∑

∑=

=

gnb

gna

b

a

η

η

(5.26)

Sl. 5.04

αNx

y

ϕ

R2

r2

r1

R1

Fr

Ar

FR

ARF

F

90

90

0

0

x

z

Na

bσmax

σmax

z


116

gde su:

( ) ( )2211

2

22

1

21 11

gGgGgEE

+++=

−+−=

∑

µµη(5.27)

Parametri ( ba nn , ) se odre|uju iz odgovaraju}e tabele. Parametri ( 21, µµ ) su Poissonovikojeficijenti tela u kontaktu.

Uvrstimo vrednosti (5.26) u jedna~inu (5.25).

3

2

max 5.111

= ∑

ηπσ

gF

nn ba

(5.28)

Prakti~no kori{ten oblik HERCOV-kontaktnog napona je slede}i:

3

2

max 5.11;

== ∑

ηπσ

gFB

nnB

ba(5.29)

Zbog deformacija u okolini ta~ke kontakta (N), dolazi do PRIBLI@AVANJE TELA u pravcuose (z). Vrednost pribliàvanja tela iznosi:

( )3 25.121; ∑⋅=⋅= gFCCne ηε (5.30)

Numeri~ke vrednosti ( eba nnn ,, ) se tabli~no odre|uju u funkciji parametra (ψ ), koji seodre|uje pomo}u slede}eg obrasca:

( ) ( ) ( )( ) ϕψ 2cos212211

222

211 gGgGgGgG

g−−+−+−=

∑(5.31)

Jedna~ine (5.29, 5.30) imaju jednostavnije oblike za standardne oblike tela u kontaktu, kaonaprimer:


117

-. LOPTA + LOPTA

2222

1111

gGrRgGrR

=⇒==⇒=

(5.32)

- LOPTA + RAVAN

0; 2222

1111

==⇒=∝=∝=⇒=

gGrRgGrR

(5.33)

- VALJAK + VALJAK

00

22

11

=⇒=∝=⇒=∝

grgr

(5.34)

- VALJAK + RAVAN

0;0;0

2222

11

==⇒=∝=∝=⇒=∝

gGrRgr

(5.35)

PRIMER…5.2.

Na slici (Sl. 5.1.1.2.) je prikazan jedan loptasti oslonac. Radiusi zaobljenja povr{ina u kontaktu su (R=100 mm, r=50 mm).Optere}enje u osloncu iznosi (F=10 kN). Svi elementi u kontaktu su istog materijala, sa modulom elasti~nosti i Poassonovimkoeficijentom ( [ ] 3,0,101.2 5 =⋅= µMaE ).

Potrebno je odrediti HERTZ-ov kontaktni napon u ra~kama dodira (A, B), kao i ukupno pribliàvanje elemenata oslonaca.


118

Sl. 5.1.1.2

ODRE\IVANJE GLAVNIH KRIVINA I GLAVNIH ZAKRIVLJENJA

Odre|ivanje se vr{i na osnovu jedna~ine (5.24).

- Vrednosti u odnosu na kuglu su:

mmR

gGmmrR 102,0501150

11111 ====⇒== (P.5.06)

- Vrednosti u odnosu na gornji oslonac su:

mmRgGmmrR 10,011

22222 =

∝===⇒=∝= (P.5.07)

- Vrednosti u odnosu na dolnji oslonac su:

mmR

gGmmrR 101,010011100

33333 −=

−===⇒−==

(P.5.08)

ZBIR ZAKRIVLJENJA


- Vrednost u ta~ci (A):

( )( ) mmgGgGg 104,00002,002,02211

21=+++=+++=∑ (P.5.09)

F

(1)

(2)

(3)rR

A

B


119

- Vrednost u ta~ci (B):

( )( ) mm

gGgGg 102,001,001,002,002,0331131

=−−+=+++=∑ (P.5.10)

ODRE\IVANJE PARAMETRA (ψ )



( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 00002,002,004,011 222

222

11

21

=−+−=−+−=∑

gGgGgAψ (P.5.11)


( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 001,001,002,002,004,011 222

332

11

31

=+−+−=−+−=∑

gGgGgBψ

(P.5.12)

NALA@ENJE PARAMETARA ( ba nn , )

Nalaènje se obavlja iz tablice ( 1;10 ===⇒= eba nnnψ ):

Na osnovu prethodnih tabli~nih vrednosti:

11 =⋅ ba nn

ODRE\IVANJE PARAMETRA (η )


MPaEE1106,8

101,23,01211 6

5

2

2

22

1

21 −⋅=

⋅−=−+−= ηηη (P.5.13)

ODRE\IVANJE HERTZ-ovog KONTAKTNOG NAPONA



120


( )( )

⇓

⋅⋅=

⋅= −

∑3

2

63

2

21max 106,8

04,0100005,115,11πηπ

σg

FA

MPaA 2188max =σ (P.5.14)


( )( )

⇓

⋅⋅=

⋅= −

∑3

2

63

2

31max 106,8

02,0100005,115,11πηπ

σg

FB

MPaB 1378max =σ (P.5.15)

PRIBLI@AVANJE TELA


( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )⇓

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=+=

−− ∑

∑∑∑3 263 26

331

2321

23121

02,0106,8100005,12104,0106,8100005,1

21

5,1215,1

21 gFgF ηηεεε

∑ = mm15,0ε (P.5.16)

5.1.1.3. CEVI I REZERVOARI

Cevi i rezervoari su grede specifi~nog oblika i namene. Pored redukovanog sistemaoptere}enja (5.04), cevi i rezervoari su optere}eni i pritiskom (vakumom) na unutra{njimpovr{inama. Ukupna spoljnja optere}enja stoga rezultiraju prostornim naponskim stanjem.


121

Vrednosti i raspodsela napona zavise od poloàja ( ρ ) u odnosu na osu cevi ili rezervoara, oddebljine (S), spoljnjeg polupre~nika (R), i unutra{njeg polupre~nika (r).

Ako je razlika vrednosti napona spoljnjeg i unutra{njeg zida posude (cev, rezervoar) ve}a od( %5=g ), tada se govori o DEBELOZIDIM POSUDAMA (naj~e{}e se radi o cevima), uostalim slu}ajevima se radi o TANKOZIDIM POSUDAMA (cevi i ve}ina rezervoara).

- DEBELOZIDE CEVI

Sl. 5.05

Isecimo iz cevi diferencijalno mali deo (Sl. 5.05), koga ograni~ava centralni ugao zahvata( ϕd ), centralno udaljenje ( ρ ), i debljina ( ρd ). Duìna dela moè biti proizvoljna, ali jeuputno koristiti jedini~nu duìnu (z=1). Za cev se vezuje pravougli koordunatni sistem (xyz),dok je diferencijalni element radijalno simetri~an.

U unutra{njosti cevi vlada pritisak (vakum) (p), ~ije su posledice naponi na stranicamadiferencijalnog dela. Vladaju}i naponi su prikazani na slici (Sl. 5.05). U zavisnosti od

ϕd

f

f+df

z

ρ

dρ

ϕd

σr

σt

σt

σa

σa

σr+ σrdz=1

y

zx

pρ r

R

-p

σr

σt

σ1


122

usmerenja, vladaju}i naponi su slede}i:

- tσ - tangiraju}i normalni napon

- aσ - aksialni normalni napon

- rσ - radijalni normalni napon

Centralnom udaljenju ( ρ ) odgovara radijalni normalni napon ( rσ ), a centralnom udaljenju( ρρ d+ ) radijalni normalni napon ( rr dσσ + ).

Po{to se radi o diferencijalnoj vrednosti ugla zahvata, u daljem radu }e se koristiti slede}eveze:

ϕϕϕϕ dddd ≈≈ sin;22

sin (5.36)

Diferencijalno mali deo se nalazi u stanju ravnoteè, pa se za radijalni pravac moè napisatislede}a jedna~ina ravnoteè:

( )( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅++ zddzdzddd trrr ϕρσϕρσϕρρσσ (5.37)

Podelimo jedna~inu (5.37) sa ~lanom ( zdd ⋅⋅ ϕρ ):

( )( ) 0=−−++

ttrr

ddd σ

ρσρρσσ

(5.38)

Predhodna jedna~ina se moè napisati i u slede}em obliku:

( ) 0=−⋅ trdd σρσρ

(5.39)

Relacija (5.39) predstavlja diferencijalnu jedna~inu debelozide cevi.

Diferencijalna jedna~ina debelozide cevi (5.39) sadrì dve nepoznate ( tr σσ , ), pa se njenare{enja u ovakvoj formi ne mogu na}i. U cilju nalaènja re{enja, potrebno je postaviti jednudopunsku jedna~ina (na osnovu poznavanja grani~nih uslova, ko {to su poznati naponi ilideformacije).


123

Ako predpostavimo da su linearne deformacije u radijalnom pravcu ( dfff +, ), tada se mogunapisati izrazi za dilatacije u radijalnom i tangentnom pravcu (Sl. 5.05).

( )

( )ρρπ

ρππρε

ρρε

ffddf

dfdff

t

r

=−+=

=−+=

222

(5.40)

Koriste}i POISSON-ove jedna~ine (4.06), napi{imo izraze za dilatacije u radijalnom iaksiajalnom pravcu, kao funkcije radijalnih i tangiraju}ih normalnih napona i Poissonovogkojeficijenta.

EE

EErt

t

trr

σµσε

σµσε

−=

−=(5.41)

Desne strane jedna~ina (5.40, 5.41) su jednake.

EEf

EEddf

rt

tr

σµσρ

σµσ

ρ

−=

−=(5.42)

Iz predhodnog sistema jedna~ina moèmo odrediti izraze za tangiraju}i i radijalni normalninapon.

+

−=

+

−=

ρη

ρµσ

ρη

ρµσ

fddfE

ddffE

r

t

2

2

1

1(5.43)

Uvrstimo izraze za normalne napone (5.43) u diferencijalnu jedna~inu debelozide cevi (5.39),i dobiven izraz sredimo na slede}i na~in:

0122

2

=−⋅+ρρρρf

ddf

dfd

(5.44)


124

Op{te re{enje predhodne diferencijalne jedna~ine je

22

12

1 ρρρρ CC

ddfCCf −=⇒+= (5.45)

Uvrstimo u jedna~inu (5.43) izraze (5.45).

( ) ( )

( ) ( )

−−+

−=

−++

−=

µρ

µµ

σ

µρ

µµ

σ

111

111

22

12

22

12

CCE

CCE

t

t

(5.46)

Vrednosti integracionih konstanti (C1, C2) odre|ujemo iz slede}ih grani~nih uslova:

0=⇒=−=⇒=

r

r

Rpr

σρσρ

(5.47)

Na osnovu grani~nih uslova (5.47), iz jedna~ina (5.46) odre|ujemo izraze za integracijonekonstante (C1, C2):

22

22

2

22

2

1

1

1

rRrR

EpC

rRr

EpC

−+=

−−=

µ

µ

(5.48)

Uv{tavaju}i vrednosti integracionih konstanti (5.48) u jedna~ine (5.46), dobijamo izraze zatangiraju}i i radijalni normalni napon

2

22

22

2

2

22

22

2

ρρσ

ρρσ

RrR

rp

RrR

rp

r

t

−−

=

+−

=

(5.49)

Na unutra{njoj povr{ini cevi vladaju slede}e vrednosti normalnih napona:

prRrRpr rt −=

−+=⇒= σσρ ;22

22

(5.50)


125

Na spolja{njoj povr{ini cevi vladaju slede}e vrednosti normalnih napona:

0;222

2

=−

=⇒= rt rRrpR σσρ (5.51)

Izraz za aksijalni normalni napon dobijamo iz izraza (5.13), koji je izveden kod analizeistezanja, stim da se koristi ozna~avanje ( az ≡ ):

( ) 22

2

22

2

rRrp

rRrp

a −⋅=

⋅−⋅⋅=

ππσ (5.52)

Ako dobivene izraze za normalne napone pore|amo po veli~ini, isti predstavljaju i glavnenapone. U kona~nom obliku jedna~ina, koristimo vrednosti pre~nika umesto vrednostipolupre~nike (d=2r , D=2R ):

pdD

dp

dDdDp

a

t

−=−

==

−+==

3

22

2

2

22

22

1

σ

σσ

σσ

(5.53)

Uvedimo u razmatranje slede}i kojeficijent:

⇓

⋅−= %100max

minmax

t

ttgσ

σσ

%10022

22

⋅+−=

dDdDg (5.54)

Na osnovu vrednosti kojeficijenta (g), cevi razvrstavamo na ranije spomenute dve grupe:

- DEBELOZIDE CEVI ……. %5≥g

TANKOZIDE CEVI … …. %5≤g


126

PRIMER 5.3.

U unutra{njosti cevi vlada pritisak (p=100 MPa). Spoljknji pre~nik cevi je (D=60 mm), a unutra{nji pre~nik cevi je(d=30 mm).

Potrebno je odrediti najve}u vrednost dozvoljenog napona u materiojalu cevi.

ODRE\IVANJE KARAKTERA CEVI

Odre|ivanje vr{imo na osnovu veze (5.54).

%6010030603060

22

22

22

22

=⋅+−=

+−=

dDdDg (P.5.17)

Po{to je vrednost ( %5⟩g ), radi se o debelozidoj cevi.

ODRE\IVANJE GLAVNOG NAPONA

Odre|ivanje vr{imo na osnovu veze (5.53).

MPadDdDp 66,116

30603060100 22

22

22

22

1 =−+⋅=

−+⋅=σ (P.5.18)

Dozvoljena vrednost normalnog napona materijala od koje je cev izra|ena mora biti ve}a ili jednaka vrednosti glavnognapona:

MPaD 66,1661 =≥ σσ

- TANKOZIDE CEVI

Po{to sa stanovi{ta matemati~ke analize tankozide i debelozide cevi imaju istu strukturuglavnih napona, potrebno je samo izvr{iti adaptaciju jedna~iona (5.53) tako, da se koristegeometrijske veze (R=r+S , D=2R , d=2r). Po{to je vrednost debljina sida (S) u odnosu naostale vrednosti mala veli~ina, vrednost (S2) se smatra malom veli~inom drugog reda, i moèse zanemariti. Uz ove napomene izrazi za glavne napone tankozidiv cevi su slede}i:

pSdp

Sdp

r

a

t

−==

==

==

σσ

σσ

σσ

3

2

1

4

2

(5.55)


127

Gornji redosled je vaè}i samo ako je ( Sd ⟩4

).

- REZERVOARI

Rezervoari su tankozide posude loptastog ili cilindri~nog oblika. Krajevi cilindri~nihrezervoara su izpup~ene povr{ine (retko ravne).

Analizirajmo optere}enje diferencijalno malog elementa (Sl. 5.06). Odabrani element jeodre|en svojim poloàjem teì{ta u odnoso na centre radiusa zaobljenja (O1,O2), i vektorom

normale na povr{inu ( n ). Pravac vektora normale ( n ) se poklapa sa pravcem ose (y)usvojenog pravouglog koordinatnog sistema (xyz). Centar (O1) nalazi se u ravni (xy), a centar(O2) pripada ravni (yz). Oblik i dimenzije diferencijalno malog elementa su opisane radiusimazaobljenja ( 21, ρρ ), uglovima zahvata ( 21, αα dd ), i debljinom zida rezervoara (S). Uunutra{njosti rezervoara vlada pritisak (p).

Usled pritiska (p), na stranicama povr{ine se javljaju normalni naponi koje obeleàvamo sa( pyx ,,σσ ). Ovi naponi, pomnoèni sa vrednostima povr{ina na kojima deluju, daju sistem

sila koji diferencijalno mali element rezervoara drè u stanju ravnoteè.

Sl. 5.06

αd 2

αd 1

ρ1

ρ2

z

x

y

αd 22αd 2

2

αd 12

αd 12

O1O

2

s

αd 2 xρ2 σs

αd 2 xρ2 σs

αd 1 zρ1 σsαd 1 zρ

1 σs

n

p


128

Napi{imo jedna~inu ravnoteè u pravcu ose (y).

( )

2211

122

211

122

2112211

2sin

2sin

02

sin2

sin2

αραρ

ασαρασαρ

ασαρασαραραρ

dd

dSddSdSp

dSddSdddpY

xz

xz

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

⇓

=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=∑

(5.56)

Po{to se radi o diferencijalno malim vrednostima, koristi}emo slede}e trigonometrijske veze:

ϕϕϕϕ dddd ≈≈ sin;22

sin

Koriste}i predhodne veze, jedna~ina (5.56) posle sre|ivanja ima slede}i oblik:

21 ρσ

ρσ zx

Sp += (5.57)

Jedna~iona (5.57) sadrì dve nepoznate ( yx σσ , ). Re{enje jedna~ine je mogu}e samo ako se

jedan od normalnih napona ( yx σσ , ) izra~una na neki drugi na~in.

PRIMER 5.4.

Unutra{nji pre~nik cilindri~nog rezervoara je (d=1200 mm). Debljina zida rezervoara je (S=12 mm), a anutra{nji pritisakiznosi (p=2 MPa).

Potrebno je izra~unati vrednosti normalnih napona u zidu cevi.

IZRAÛNAVANJE AKSIJALNOG NORMALNOG NAPONA

Izra~unavanje vr{imo na osnovu druge jedna~ine iz sistema (5.55).

⇓⋅

⋅=⋅

⋅==124

120024 Sdpaz σσ

MPaz 50=σ (P.5.19)


129

I

ZRAÛNAVANJE TANGENCIJALNOG NORMALNOG NAPONA

Izra~unavanje vr{imo na osnovu jedna~ine (5.57).

21 ρσ

ρσ zx

Sp +=

Po{to su dimenzije rezervoara poznate, a vrednost aksijalnog normalnog napona izra~unata,

Txmmd σσρρ ==∝== ;;6002 21

iiz predhodne jedna~ine moèmo odrediti vrednost tangencionalnog normalnog napona.

⇓

⋅=⋅=1260021

SpT

ρσ

MPaT 100=σ (P.5.20)


130

5.1.2. SMICANJE

U slu~aju da je greda optere}ena sa silom ( xT ) ili silom ( yT ) iz skupa komponenataredukovanog sistema optere}enja (5.04), tad takav slu~aj optere}enja zovemo smicanje(tehni~ko smicanje) (Sl. 5.07.a).

Sl. 5.07.a

Sl. 5.07b

Od sistema jedna~ina ravnoteè (5.07), ovom slu~aju odgovara jedna~ina (1 ili 2).

O

x

y

z

A

dAN (x ,y ,z )

x

yzdz

Ty

dAτzy

ρ

oτz y τy z=

τzy

τzy

τyz

τyz

z

y

N(xyz)

σ1

σ1

σ2

σ2γα1

zd

dy


131

Analizirajmo drugu jedna~inu, kada deluje samo redukovana sila (Ty).

∑ ∫ =−=A

zyy dATy 0τ (5.58)

Ako predpostavimo, da aktivna spoljnja sila deluje dovoljno udaljeno od teì{ta normalnogpreseka (A), tada }e polje sila biti homogeno, a raspodela napona po preseku }e bitiravnomerna.

( ) .constAT

zf yyz ==≠τ (5.59)

Ovaj slu~aj odgovara ~istom naponskom stanju, koje je detaljno anlizirano u delu (4.3).

Isecimo iz okoline ta~ke (N) jedan diferencijalno mali paralelopiped (Sl. 5.07.b), ~ije straniceimaju dimenzije (dx, dy, dz). U skladu sa SAINT-VENANT-ovim pristupom, paralelopiped }ese po prijemu optere}enja deformisati (ugaona pomeranja) u smeru delovanja napona(optere}enja) (Sl.5.07.b).

Na osnovu stava o konjugovanosti tangentnih napona (2.22), uspostavlja se slede}a jednakosttangentnih napona:

.yzzy ττ =

Ovom naponskom stanju odgovaraju:

Vektor napona

z

y

yz

zypαα

ττ

coscos

0

0000

000= (5.60)

Vektor deformacija

z

y

yz

zyfαα

γ

γcoscos

0

0210

2100

000= (5.61)


132

Sa stanovi{ta prakse, merodavni su glavni napon ( 1σ ) i glavna dilatacija ( 1ε ).

Glavni napon se odre|uje na osnovu veza (2.54, 5.59) i vrednosti koje sadrì tenzor napona ujedna~ini (5.60).

ATy

yzzy =±=±= ττσ1 (5.62)

Izrazi za glavnu dilataciju i glavnu ravan dilatacije, dobija se iz relacija (3.29), i vrednostikoje sadrì tenzor napona u jedna~ini (5.60.

oyzzy 45;

21

21

11 =±=±= αγγε (5.63)

Na osnovu HOOKE-ovog zakona (4.01) dobija se veza ugla klizanja i tangentnog napona.

GGyz

yzzy

zy

τγ

τγ == ; (5.64)

U praksi se koriste pojednostavljena obeleàvanja, i to:

γγγ

τττ

==

==

yzzy

yzzy (5.65)

Koriste~i ozna~avanja (5.65), jedna~ine (5.62, 5.64) moèmo napisati u slede}em obliku:

⇓=

=

γτ

τ

GATy

γγ

ATy= (5.66)


133

PRIMER 5.5.

Potrebno je odrediti najve}i pre~nik (D) koji se moè ise}i iz materijala debljine (S=4 mm) (Sl. 5.1.2.1), ~ija je ja~ina nasmicanje ( MPaM 400=τ ). Isecanje se obavlja na presi, ~ija je najve}a sila (F=500 kN).

Sl. 5.1.2.1

Izra~unavanje obavljamo na osnovu obrasca (5.62). Maksimalna sila prese mora da bude ve}a od potrebne sile za se~enje(smicanje).

⇓

⟩⋅⋅

==== My

yzzy SDF

AF

AT

τπ

ττ

mmD 52,99⟨ (P.5.22)

F=Ty

D S

y


134

5.1.3. UVIJANJE

U slu~aju da je greda optere}ena sa momentom ( zM ) iz skupa komponenata redukovanogsistema optere}enja (5.04), tad takav slu~aj optere}enja zovemo uvijanjem (Sl. 5.08). U

daljem radu moment ( zM ) }e se zvati momemt uvijanja (torzioni moment) i obeleàva}e sekao ( TM ).

Tz MM = (5.67)

Sl. 5.08

5.1.3.1. UVIJANJE OKRUGLIH PROFILA

Ovaj vid optere}enja se naj~e{}e javlja pri prenosu obrtnih momenata sa jednoga na drugipogon, i izra~unava se na osnovu obrasca dobivenog u prou~avanju dinamike

NmnPMT ⋅≅ 9550 (5.68)

O

x

y

z

A

dA

N

x

yz

dz

dAτρ

Mz= MT


135

Gde su:

P KW - snaga

n min-1 - broj obrtaja

Od sistema jedna~ina ravnoteè (5.07), ovom slu~aju odgovara jedna~ina (6).

( )∫

∫

⋅⋅=

⇓

⋅⋅++=

AT

Az

dAM

dAyxM

ρτ

τ

ρ

220

(5.69)

Ako predpostavimo, da torzioni moment ( TM ) deluje dovoljno udaljeno od teì{ta normalnogpreseka (A), tada }e polje momenata biti homogeno, a raspodela napona po normalnimpresekcima (A), po celoj duìni (z) posmatrane grede, }e biti ravnomerna.

( ) .constzfMT =≠ (5.70)

U skladu sa SAINT-VENANT-ovim pristupom i BERNOULLI-evom deformacionom modelu,deformacije }e se javiti samo u pravcima delovanja napona, i ispolji}e se kao relativnopomeranje izme|u bliskih normalnih preseka.

Merenja potvr|uju da ta~ka (N) koja se nalazi na normalnom preseku (A), u slu~ajudiferencijalno malih deformacija menja svoj poloàj po kru`nom luku. Ako se ta~ka (N) odmesta uklje{tenja nalazi na udaljenosti (z), tada }e vrednost vektora pomeranja ( ( )Pk ) biti

proporcionalna funkciji poloàja (z) i udaljenju od teì{ta normalnog preseka ( ρ ).

( ) ρρ ⋅⋅= zCk (5.71)

Iz posmatrane grede duìne (z), sa njenog desnog kraja isecimo diferencijalno kratak elementduìne (dz) (Sl. 5.09).

Strane posmatranog elementa se me|usobno relativno pomeraju (ugaono pomeranje)..Definisanje veli~ine ugaonog pomeranja (ugla klizanja), vr{i se tako, da se levi krajposmatranog elementa smatra uklje{tenim. Presecimo posmatrani element sa jednomcentralnom ravni. Dobiveni presek ozna~imo kao (O, A, B, O1). Unutar ove povr{ine nacentralnom udaljenju ( ρ ) obeleìmo du` (CN).


136

Ako desni (slobodni) kraj elementa opteretimo momentom torzije (MT), desni normalni presek}e se u odnosu na levo uklje{tenje zaokrenuti u pravcu dejstva momenta za diferencijalnomali ugao ( ρd ). Na taj na~in se ta~ke (B, N) pomeraju u nove poloàje ( ,, ; NNBB →→ ).Ta~ka (B) se pomera po luku (r), a ta~ka (N) po luku ( ρ ). Du` (AB) obavlja ugaonopomeranje ( maxγ ), a du` (CN) ugaono pomeranje (γ ).

Na osnovu pomeranja ta~ke (N), u okolini ta~ke }e se javiti samo tangentni napon. Nastalitangentni napon je vezan za ta~ku (N), a pravac mu se podudara sa pravcem tangente u istojta~ci na luku polupre~nika ( ρ ), dok je smer identi~an smeru pomeranja ta~ke.

U skladu sa stavom o konjugaciji tangentnih napona, tangentni naponi koji deluju unormalnom preseku (A) i tangentni naponi koji deluju u ravni (O, A, B, O1) u okolini ta~ke (N)imaju isti intenzitet.

Ovakvo naponsko stanje odgovara ~istom ravnom naponskom stanju kpoje je analizirano udelu (4.3).

Sl. 5.09

O Z

A

dAdz

dAτρ

Mz =MT

r

B

N

N,B

,

A

C

O1

max.γ

γ

dϕ

ρτr

σ1 = maxτ

σ1 = maxτB

N

A

dA

o1τ

τ ττ

DEJSTVO TANDENTNIH NAPONA


137

Ovom naponskom stanju odgovara:

Vektor napona

z

ypαα

ττ

coscos

0

0000

000⋅= (5.72)

Vektor deformacija

z

yfαα

γ

γcoscos

0

0210

2100000

⋅= (5.73)

Sa stanovi{ta prakse, merodavne su vrednosti glavnog napona ( 1σ ) i poloàj glavne ravni( 1α ), ~ije se vrednosti odre|uju na osnovu obrazaca (2.53, 2.54) i podataka obuhva}enihtenzorom napona u jedna~ini (5.72):

o45; 1max1 == ατσ (5.74)

Ta~ke (B) i (N) vr{e lu~ne pomake, kako je to prikazano na slici (Sl. 5.09).

( ) ρϕγϕγ

ρ ⋅=⋅=

⋅=⋅=

ddzNNrddzBB

'max

'

(5.75)

Ako jedna~ine (5.75) me|usobno podelimo, sledi:

( ) ργγ

ρ

r=max (5.76)

Podelimo levu stranu jedna~ine (5.76) sa modulom klizanja (G) i primenimo HOOKE-ovzakon (4.01).


138

( ) ( )

( ) r

rGG

ρττ

ρττ

γγ

ρ

ρρ

max

maxmax

=

⇓

==⋅

(5.77)

Uvrstimo izraz za tangentni napon ( ( )ρτ ) u jedna~inu ravnoteè (5.69).

dAr

MA

T ⋅⋅= ∫ ρρτ max (5.78)

Po{to su vrednosti ( r,maxτ ) konstantne,

⇓

=⋅= ∫ oA

T Ir

dAr

M max2max τρτ

o

T

o

T

WMr

IM ==maxτ (5.79)

Predhodna jedna~ina predstavlja vezu momenta torzije (MT), karakteristike normalnogpreseka (polarni otporni moment) (Wo), i maksimalne vrednosti tangentnog napona ( maxτ ).

Ugaono pomeranje (ugao klizanja) normalnog preseka odr|ujemo polaze}i od jedna~ine(5.75).

rdzd

rddz

max

max

γϕ

ϕγ

=

⇓

⋅=⋅

(5.80)

Pomnoìmo i podelimo desnu stranu predhodne jedna~ine sa modulom klizanja (G), iprimenimo HOOKE-ov zakon (4.01):

rGGG

rdzd maxmax τγϕ == (5.81)


139

Vrednost ( maxτ ) je odre|ena u jedna~ini (5.79).

GIM

rG

rI

M

dzd

o

To

T

==ϕ(5.82)

Razdvojmo diferencijale, i obavimo odgovaraju}e integracije:

dzGI

Mdz

z o

T∫ ∫=2

1

2

1

ϕ

ϕ

ϕ (5.83)

Po{to su slede}e vrednosti konstantne,

constGconstIconstM oT === ;.;.

kao rezultat integracije dobija se slede}a veza:

( ) ( )1212 zzGI

M

o

T −=−ϕϕ (5.84)

Za slu~aj da su

lzzz ==⇒==⇒=

21

21

00 ϕϕϕ

na osnovu jedna~ine (5.84), dobija se veza za odre|ivanje ukupnog uglovnog pomeranjagrede pri uvijanju:

lGI

M

o

T=ϕ (5.85)

U cilju analize, celishodno je posmatrati tangencijalne napone i deformacije na spoljnjojpovr{ini grede. Ako na povr{ini obeleìmo (iscrtamo) elementarne povr{ine (Sl. 5.10.), tada}e se po prijemu optere}enja uo~iti odgovaraju}e deformacije (uglovi klizanja).


140

Sl. 5.10

Nacrtajmo na povr{ini redosledno pravce glavnih napona ( 1σ ). Kao rezultat se dobija jednakriva oblika zavojnice. Sli~na zavojnica se dobija kori{tenjem glavnog napona ( 2σ ). Dve

zavojnice se seku pod uglom od ( o90 ). Na ovaj na~in se dobija dva skupa linija, koje se uvelikoj meri podudaraju sa linijama prekida (kidanja) materijala. Prekid (kidanje) nastaje poskupu linija koje su normalne na glavne napone koji su ve}i od nule (isteù materijal).

PRIMER 5.6.

Za prenos snage od (P=40 kW) koristi se vratilo duìne (l=100 mm), uz broj obrtaja (n=1400 min-1). Materijal vratila je(^.0461). Materijal ima dozvoljenu vrednost tangentnog napona ( MPaD 150=τ ), a modul klizanja iznosi ( MPaG 4108 ⋅= ).

Potrebno je odrediti pre~nik prenosnog vratila u odnosu na dozvoljen tangentni napon ( Dτ ), kao i u odnosu na maksimalnu

vrednost ukupne ugaone deformacije ( 01=ϕ ).

IZRAÛNAVANJE TORZIONOG MOMENTA

Izra~unavanje se vr{i na osnovu obrasca (5.68).

NmmNmM

nPM

T

T

51073,273,2

14004095509550

⋅==

⇓

⋅=⋅≈

(P.5.23)

Z

Z

σ1

γmax

maxτmaxτ

maxτ

maxτ

σ1 σ2

σ2

4 5ο

9 0o


141

IZRAÛNAVANJE PRE^NIKA VRATILA U ODNOSU NA DOZVOLJEN TANGENTNI NAPON ( Dτ )


⇓

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

≥⇒≤⋅

⇓

≤=

35

3'

3'

0max

15016107,21616

16πτπ

τπ

ττ

D

TD

T

DT

MDD

M

WM

mmD 21' ≥ (P.5.24)

IZRAÛNAVANJE PRE^NIKA VRATILA U ODNOSU NA MAKSIMALNU VREDNOST UKUPNE UGAONEDEFORMACIJE

Ugaono zaokretanje se izraàva u radijanima:

1801

18018000 ππϕπϕ =⋅=⋅= (P.5.25)


mmD

DGDlM

GIlM TT

8,29

180108

32

100107,216

32

1801

180180

''

44''

5

4''0

00

≥

⇓

≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

=⋅=⋅=

πππ

ϕ

ππϕπϕ

(P.5.26)

IZBOR MERODAVNOG PRE^NIKA

Merodavnim pre~nikom podrazumevamo onaj standardni pre~nik vratila, koji zadovoljava oba postavljena kriterijuma, tj.onaj koji je ve}i od obe izra~unate vrednosti ( ''' , DD ).

( )⇓

≥≥ 8,29; ''' DDD

mmD 30= (P.5.27)


142

- UVIJANJE TANKOZIDIH CEVI

Posmatrajmo jedan normalni presek, sa odgovaraju}im merama, prikazan na slici (Sl. 5.11).

Sl. 5.11

Na osnovu mera datih na slici (Sl. 5.11), uspostavljamo slede}e geometrijske veze:

( ) srIrArRSrRr KsroKK K⋅⋅≈⋅≈−=+= 3

,2 2;;;

2ππ (5.86)

Defini{imo slede}i (kr) parametar:

%100max

minmax ⋅−=τ

ττrk (5.87)

Ako u parametarskoj jedna~ini (5.87) koristimo obrasce (5.79) i veze (5.86), dobijamo slede}ioblik parametra (kr):

( )( ) [ ]%1003

44

⋅

⋅

+−=

srRrRkr (5.88)

Ako je vrednost parametra (kr) manja od (5%), tada govorimo o TANKOZIDIM CEVIMA.

s

R

r

rk

τmax


143

Na osnovu jedna~ine (5.79) i geometrijskih veza (5.86), tangentni napon pri uvijanjutankozidih cevi iznosi:

( )

⇓

⋅⋅=≈= r

srMr

IMr

IM

K

T

sr

T

o

T

K

3,0

max 2πτ

( ) sAMT

srmaz K ⋅=

2,τ (5.89)

Odgovaraju}a ukupona ugaono pomeranje se izra~unava na osnovu izvedene jedna~ine (5.85),i iznosi:

( )

⇓

⋅⋅⋅=

⋅≈ l

GsrMl

GIM

K

T

sro

T

K

3, 2π

ϕ

lsGrA

M

K

T ⋅⋅⋅⋅

=2

ϕ (5.90)

5.1.3.2. UVIJANJE NEOKRUGLIH PROFILA

Ugaona pomeranja (uglovi klizanja), kao i glavni naponi okruglih preseka odgovaraju JACOBBERNOULLI-jevom deformacionom modelu, pa se iste sa matemati~kog stanovi{ta napokazan na~in relativno lako odre|uju.

U slu~aju kada normalni presek nije okrugao (valjani ugaoni profili, sloèni profili), tokomdeformacija normalni presek ne ostaje ravan (deformi{e se i u pravcu koji me odgovarapravcu delovanja napona), pa se shodno tome u prora~unima ne moè koristiti JACOBBERNOULLI-jev deformacioni model.

U opisanom slu~aju izra~unavanje vrednosti glavnih napona i ugaonih deformacija iziskujematemati~ki aparat koji prevazilazi nivo ovog kursa (NAVIJER-ove jedna~ine, cikli~niintegrali,..). Zbog toga }e se samo dati odgovaraju}i obrasci za izra~unavanja maksimalnevrednosti tangentnog napona ( maxτ ), poloàja delovanja maksimalnog tangentnog napona, ivredenosti ukupne ugaonog pomeranja (ϕ ), samo za nekoliko karakteristi~nih primera.


144

- UVIJANJE PRAVOUGAONIH PROFILA

Sl. 5.12

Maksimalna vrednost tangentnog napona je:

hbhb

MT >⋅= ;2max ατ (5.91)

Vrednosti tangentnih napona je nula u }o{kovima profila, dok je maksimalna vrednost napolovini ve}e stranice.

Ugaono pomeranje profila je:

lGhb

MT ⋅⋅

⋅= 3βϕ (5.92)

Kojeficijenti ( βα , ) se nalaze iz odgovaraju}ih tablica u funkciji dimenzija profila:

( )

=

bhfβα , (5.93)

Naprimer za:

⇓

==⇒== 7,4;8,4 βαabh

lGa

MaM TT ⋅

⋅⋅≈⋅≈ 43max 7.4;8.4 ϕτ (5.94)

a

h


145

- UVIJANJE TANKIH PRAVOUGAONIH PROFILA

Ovakvi slu~ajevi odgovaraju slu~aju pravougaonih profila, ~ije su proporcije mera:

⇓

≈∝bh

lGa

MaM TT ⋅

⋅⋅≈⋅≈ 43max 3;3 ϕτ (5.95)

- UVIJANJE ’’L’’ PROFILA

Sl. 5.13


( ) 2max

231 bba

MT

⋅−≈τ (5.96)

Mesto delovanja maksimalnih tangentnih napona je na najve}oj udaljenosti od }o{kovaprofila.

Vrednost ugaonog pomeranja je:

( )l

Gbba

MT ⋅⋅⋅−

≈32

31ϕ (5.97)

a

a

b


146

- UVIJANJE ’’U’’ i ’’I’’ PROFILA

Sl. 5.14


( )322

311

max

231 bhbh

MT

+≈τ (5.98)

Mesto delovanja maksimalnih tangentnih napona je na najve}oj udaljenosti od }o{kovaprofila.

Vrednost ugaonog pomeranja je:

( )l

Gbhbh

MT ⋅⋅+

≈322

311 2

31ϕ (5.99)

U slu~aju sloènijih preseka, preporu~uje se utvr|ivanje maksimalne vrednosti tangentnognapona i ugaonog pomeranje merenjima.

h2 h2

b1 b1

b2 b2

h1 h1


147

5.1.4. SAVIJANJE

U slu~aju da je greda optere}ena sa redukovanim parom optere}enja ( xyyx TMiliTM ,, ), iz

skupa komponenata redukovanog sistema optere}enja (5.04), tad takav slu~aj optere}enjazovemo savijanjem (Sl. 5.15).

Sl. 5.15

Tokom analize koja sledi, prou~ava}e se savijene grede koje zadovoljavaju slede}e uslove:

- Svi normalni preseci su simetri~ni u odnosu na ravan (yz).

- Sistem spoljnjih optere}enja deluje u ravni (yz) (ravan optere}enja).

- Ose (xy) su ujedno i teì{ne ose normalnog preseka.

- U teì{tu normalnog preseka (A) deluje redukovani par opotere}enja ( yx TM , ).

O

x

y

z

A

dA

N

xy

zdz

ρ dA(σz=σ)

Mx = M

τ τ=zy

T Ty=


148

U cilju pojedenostavljenja, u nastavku }emo koristiti slede}i na~in ozna~avanja:

( ) ( )( )( )

ττ

σσσσ

=

====

==

=

z

yyzz

xzxz

zyzx

IIAA

TTMM

.max.max;;

;

(5.100)

Isecimo iz posmatrane grede jedan diferencijalno kratak element duìne (dz), ~ija se desnastranica poklapa sa normalnim presekom (A) (Sl. 5.15). Normalni presek (A) se nalasi naudaljenju (z) od uklje{tenja grede, i optere}en je parom redukovanih optere}enja (M, T).Redukovana optere}enja su funkcije poloàja (z) normalnog preseka:

( ) ( )zfTzfM == ; (5.101)

Po{to se stranice elemanta nalaze na diferencijalno malom me|usobnom udaljenju, i po{to suoptere}enja funkcije poloàja (5.101), na stranicama elementa }e delovati optere}enja koja seme|usobno diferencijalno razlikuju (Sl. 5.16).

Sl. 5.16

Po{to se element nalazi stanju ravnoteè, moè se napisati odgovaraju}a momentna jedna~inaravnoteè za ta~ku (01).

( )

⇓=−

⇓

=⋅−−=∑

0

0'1

TdzdM

dzTMMMO

Tdz

dM = (5.102)

T

T 'MM '

O1

z

dz

z


149

Jedna~ina (5.102) predstavlja poznatu vezu izme|u momenta savijanja i transverzalne sile.

Redukovani par optere}enja (M, T) u normalnom preseku deluju zajedno.

Sl. 5.17

Sl. 5.18

MM

O1

z

dz

z

zq

F

F

z

M

T

(M,T=O)ÎSTO SAVIJANJE

(M,T)

0

0

dz

y

M=const.

dMdz

=O


150

Slu~aj, kada je u jednoj ta~ci, ili u jednom opsegu grede vrednost redukovane transverzalnesile jednaka nuli, naziva se ÎSTO SAVIJANJE (Sl. 5.17). Tada je:

0

0

=

⇓

=

dzdM

T(5.103)

Ovakvo stanje je karakteristi~no za mesta gde je redukovani momenat savijanja u ekstremu,ili ima konstantnu vrednost. Jedan primer optere}ene grede je prikazan na slici (Sl. 5.18).

Po{to je normalni presek (A) optere}en parom optere}enja (M, T) (Sl. 5.15), da se zaklju~iti da}e u preseku vladati (σ ) normalni i (τ ) tangentni naponi.

5.1.4.1. ODRE\IVANJE NORMALNOG NAPONA (ÎSTO SAVIJANJE)

Na slici (Sl. 5.16) se vidi, da redukovana transverzalna sila (T) ima za posledicu tangentnenapone (τ ), a normalni napon (σ ) se javlja kao posledica redukovanog momenta savijanja.Vrednost normalnog napona (σ ) je celishodno odrediti u preseku u kojem vlada samoredukovani moment savijanja, a u kojem je vrednost redukovane transverzalne sile (T)jednaka nuli (~isto savijanje) (Sl. 5.17).

Presecimo element grede sa ravni simetrije (yz) (Sl. 5.19). Oblik dobivenog preseka je(A, B, C, D). Na dobivenom preseku ozna~imo na centralnom udaljenju (y) du` (E, F).

Kao posledica redukovanog momenta savijanja, do}i }e do deformacije elementa ravanogpreseka (A, B, C, D), i isti }e poprimiti oblik (A', B', C', D'). Du` (C, D) }e se izduìti, dok }ese du` (A, B) smanjiti. Izme|u ove dve duì postoji jedna, koja se ne deformi{e (neutralna je).Du` koja se ne deformi{e zove se NEUTRALNA DU@, a posmatrano po celoj duìni gredezove se NEUTRALNA OSA (linija). Ravan koja ima identi~ne karakteristike u odnosu nadeformacije zove se NEUTRALNA RAVAN.

U skladu sa JACOB BERNOULLI-jevim deformacionim modelom, deformacije }e nastatisamo u pravcima vladaju}eg napona (normalni napon kao posledica delovanja redukovanogmomenta savijanja), odnosno stranice elementa }e se me|usobno zaokrenuti za diferencijalnomali ugao ( ϕd ).

''

''

CBBC

DAAD

=

=(5.104)


151

Na osnovu opisane deformacije, dilatacija duì (E, F) }e biti:

( ) ( )( )

( )

⇓

−+=−=ϕρ

ϕρϕρεd

ddyEF

EFFE ''

ρε y= (5.105)

Sl. 5.19

Ovom stanju optere}enja, iz sistema jedna~ina ravnoteè (5.07) odgovara jedna~ina (4), kojauz kori{tenje oznaka (5.100) ima oblik:

∫ =⋅⋅−A

dAyM 0σ (5.106)

Po{to su vrednosti redukovanog momenta i normalnog napona razli~iti od nule, vrednostjedna~ine (5.106) je jednaka nuli samo ako je vrednost slede}eg integrala jednaka nuli.

∫ =⋅A

dAy 0 (5.107)

y

O

A B

CD

C,

D,

A, B

,

dz

MM

y +

-maxσ

maxσ

ρ

dϕ

E

E'

F

F'

NEUTRALNA DU@ (OSA)


152

Jedna~ina (5.107) po definiciji predstavlja stati~ki moment povr{ine normalnog preseka (A).Po{to su ose (xy) istovremeno i teì{ne ose (vrednosti stati~kih momenata povr{ine za teì{neose jednake su nuli), pa je i vrednost integrala jednaka nuli.

Na ovaj na~in se pokazalo, da je u slu~aju ~istog savijanja u ravni, teì{na osa normalnogpreseka (x) ujedno i neutralna linija preseka. Ova linija sarì i teì{te povr{ine koje se nalazina geometrijskoj osi (z), {to opet zna~i da je geometrijsko mesto teì{ta svih normalnihpreseka grede ustvari neutralna linija grede koja se podudara sa osom (z).

Uvrstimo izraz iz jedna~ine (5.105) u jedna~inu (5.106), koriste}i pri tome HOOKE-ov zakon(4.01).

0

0

0

0

2

=−

⇓

=−

⇓

=⋅⋅⋅−

⇓

=⋅⋅⋅−

∫

∫

∫

x

A

A

A

IEM

dAyEM

dAyEyM

dAEyM

ρ

ρ

ρ

ε

(5.108)

Preuredimo predhodnu jedna~inu, te pomnoìmo i podelimo njenu desnu stranu sa (y).

yyE

IM

x

⋅=ρ

(5.109)

Uvrstimo izraz iz jedna~ine (5.105) u jedna~inu (5.109), koriste}i pri tome HOOKE-ov zakon(4.01).

⇓

=⇒⋅=⇒⋅=yI

MyE

IM

yyE

IM

xxx

σερ

yIM

x

=σ (5.110)


153

U slu~aju da je (y=ymax.), izraz za normalni napon moè da se napi{e na slede}i na~in:

⇓

=

.max

.max

yIM

xσ

xWM=.maxσ (5.111)

Jedna~ina (5.111) predstavlja vezu redukovanog momenta (M) u posmatranom normalnompreseku, karakteristike povr{ine normalnog preseka (otporni moment) (Wx), i maksimalnevrednosti normalnog napona ( .maxσ ).

5.1.4.2. ODRE\IVANJE TANGENTNOG NAPONA

Raspodela tangentnog napona po normalnom preseku (A) nije ravnomera, ve} je funkcijapoloàja (y). Zbog toga se u jedna~ini ravnoteè (5.07-2) mora koristi izraz za tangentninapon u obliku:

( )yfzy =τ (5.112)

Metod za odre|ivanje vrednosti tangentnog napona je predloìo ZSUKOVSKI, i netod nosinjegovo ime.

U skladu sa predloènim metodom, smatra se, da tangentni naponi deluju paralelno saneutralnom ravni (xz) u pravcu (z), i na osnovu stava o konjugaciji tangentnih napona upravcu ose (y).

Presecimo element grede (Sl. 5.16) sa ravni na centralnom rastojanju (y) koja je paralelna saneutralnom ravni (xz). Obeleìmo {irinu vlakna koje je paralelno, i bajbliè neutralnoj ravni(xz), sa (ξ ),(Sl. 5.20).

Napi{imo jedna~inu ravnoteè po pravcu (z), stim da vrednost stati~kog momenta presekaiznad linije (ξ ) obeleàvamo sa ( ↑xS ), a vrednost odgovaraju}e povr{ine sa ( ↑A ).


154

( )

∫

∫

∑ ∫ ∫

↑

↑

↑ ↑

⋅⋅=⋅

⇓

⋅⋅=−

⇓

=⋅⋅−⋅−⋅=

A

A

A A

dzdAd

dzdA

dzdAdAz

ξτσ

ξτσσ

ξτσσ

'

' 0

(5.113)

Sl. 5.20

Ako diferencijal normalnog napona u predhodnoj jedna~ini odredimo iz jedna~ine (5.110),sledi:

∫↑

⋅⋅=⋅A x

dzdAyI

dM ξτ (5.114)

Po{to moment nije funkcija poloàja (y),

( )yfM ≠ (5.115)

O

xy

z

A

dA

N(xyz)

x

y

dz

σ

ξ

A

τ

ττσ,

τ

τmax


155

oblik jedna~ine (5.114) }e biti:

dzSI

dM

dzdAyI

dM

xx

Ax

⋅⋅=

⇓

⋅⋅=⋅

↑

↑∫

ξτ

ξτ

(5.116)

odnosno

↑

⋅⋅=

x

x

SI

dzdM ξτ

(5.117)

Koriste}i vezu (5.102), predhodna relacija dobija oblik:

⇓

⋅⋅=

↑x

x

SI

Tξτ

ξτ

⋅⋅

= ↑

x

x

IST

(5.118)

Jedna~ina (5.118) predstavlja vezu redukovane transverzalne sile (T), stati~kog momentapovr{ine ( ↑xS ), aksjialnog momenta inercije ( xI ), {irine posmatranog preseka (ξ ), itangentnog napona u posmatranom preseku.

Maksimalna vrednost tangentnog napona (τ ) nalazi se u teì{tu normalnog preseka, i moè sedokazati da njegova vrednost iznosi:

ATατ =.max (5.119)

Konstanta (α ) zavisi od oblika normalnog preseka (A).


156

5.1.4.3. ODRE\IVANJE GLAVNIH NAPONA

Po{to u normalnom preseku grede istovremeno (izuzev kod ~istog savijanja) deluju normalninapon (σ ) i tangentni napon (τ ), da se zaklju~iti da naponsko stanje grede optere}ene nasavijanje odgovara ravnom naponskom stanju.

Ovom naponskom stanju odgovara slede}i tenzor napona:

zyz

zyTσττ

000

000= (5.120)

Po{to se radi o ravnom naponskom stanju, vrednosti glavnih napona i poloàje glavnih ravniodre|ujemo na osnovu obrazaca (2.54, 2.56), koriste}i pri tome na~in ozna~avanja (5.100) iravan optere}enja (zx).

−=

+±=

στα

τσσσ

221

421

2

1

222,1

arctg(5.121)

Maksimalna vrednost tangentnog napona se odre|uje na osnovu jedna~ine (2.74).

22.max 4

21 τστ +±= (5.122)

Sa stanovi{ta prakse, merodavna je najve}a vrednost glavnog napona ( 1σ ):

221 4

21

2τσσσ ++= (5.123)

U slu~aju ~istog savijanja (vrednost tangentnog napona je nula), pa iz veze (5.123) sledi da je:

σστ =⇒=⇒= 100T (5.124)

Ako za primer analiziramo konzolu pravougaonog preseka, ~iji desni kraj tereti koncentrisanaradijalna sila (F) (Sl. 5.21), raspodela normalnih napona (σ ) po povr{ini normalnog preseka


157

(A) }e biti linearna funkcija centralnog poloàja (y), dok }e vrednost tangentnog napona (τ )zavisiti od centralnog odstojanja (y), i od stati~kog momenta povr{ine ( ↑xS ), kao i {irinevlakna (ξ ):

( ) ( )ξτσ ,,; ↑== xSyfyf

Shodno tome, vrednost najve}eg glavnog napona }e biti funkcija slede}e strukture:

( )ξσ ,,1 ↑= xSyf (5.125)

Po{to duìna vlakna (ξ ) nije uvek funkcija poloàja (y), ve} zavisi od oblika normalnogpreseka, vrednosti za tangentne napone je potrebno odre|ivati za pojedine karakteristi~nepoloàje vlakana.

Glavni naponi ( 1σ ) se zbog opisanog karaktera tangentnih napona, tako|e orde|uju za svakokarakteristi~no vlakno posebno. Na kraju postupka se utvr|uje koji je od glavni napona sanajve}om vredno{}u, te se isti smatra merofdavnim za eventualno dalje kori{tenje.

U posmatranom slu~aju je vrednost glavnog napona:

U spoljnjem vlaknu grede:

0; 1.max2,1 =±= ασσ (5.126)

U vlaknu na teì{noj liniji grede:

o45; 1.max2,1 =±= ατσ (5.127)

U proizvoljno odabranom poloàju grede, na osnovu obrasca (5.121):

221 4

21

2τσσσ ++= (5.128)


158

Na (Sl. 5.21), linije po kojima se materijal cepa, obeleène su punom linijom. Ove linije se uvelikoj meri podudaraju sa pravcima normalnim na glavne napone ( 21, σσ ili ) (koji uzrokujuistezanje-pozitivne vrednosti).

Sl. 5.21

PRIMER 5.7.

Konzola prikazana na slici (Sl. 5.1.4.1) diga~ka je (l=1000 mm), a optere}ena je koncentrisanom silom ( NF 3105,2 ⋅= ) i

spregom ( mmNM B ⋅= 510 ). Materijal konzole je (^.0300), a presek odgovara standerdu (JUS C.B3.101). Karakteristike

materijala su ( MPaMPaE M 320,102,2 5 =⋅= σ ). Koeficijen sigurnosti konstrukcije je ( 2=Mγ ). Optere}enja (F, M)

deluju u jednoj ravni optere}enja.

Sl. 5.1.4.1

A B C

FF

MBM

A

A

l0,5 l

F

90o

σ1,2

σ1τmax=

σσ1 max=

>0( )

GLAVNA RAVAN (ISTEZANJE)

LINIJA KIDANJA


159

Potrebno je odrediti maksimalnu vrednost glavnog napona ( max1σ ), i ustanoviti dali konstrukcija zadovoljava zahtev

postavljen sa faktorom sigurnosti ( Mγ ).

MAKSIMALNA OPTERE]ENJA

- Maksimalna transverzalna sila je:

⇓

== TFF AT max

NT 3105,2 ⋅= (P.5.28)

- Maksimalni moment savijanja je:

⇓

== MMM Amax

NmmM 6106,2 ⋅= (P.5.29)

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNOG PRESEKA PROFILA I KARAKTERISTI]NA VLAKNA

Vrednost glavnog napona ( 1σ ) zavisi od vrednosti normalnog i tangentnog napona ( τσ , )-veza (5.123). Vrednost tangentnog

napona (τ ) je funkcija poloàja (y) i duìne vlakna (ξ )-veza (5.118). Zbog navedenog se odre|uju oni karakteristi~ni

poloàji (y), u kojima duìna vlakna (ξ ) skokovito menja vrednost ili ima ekstremne vrednosti Sl. 5.1.4.2), te se za tepoloàje izra~unavaju vrednosti za (σ ) normalne napone i (τ ) tangentne napone, da bi se na osnovu istih izra~unalevrednosti glavnih napona i najve}i glavni napon.

- Geometrijske karakteristike ravnog preseka nalaze se u tablici za orpornost naterijala:

4

44

2

55,51

105,871510

mmI

mmIImmA

xy

yx

=

⋅==

=(P.5.30)


160

Povr{inu normalnog preseka (A) je uputno podeliti na tri povr{ine (A1, A2, A3). Stati~ke momente povr{ina i aksijalnemomente inercije odre|ujemo pribli`no, tako da zanemarujemo zakrivljenja.

VREDNOSTI NORMALNIH NAPONA ZA KARAKTERISTI^NA VLAKNA

Izra~unavnje vr{imo na osnovu jedna~ine (5.111).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) MPayIMsík

MPayIMsík

MPayIMsík

MPayIMsík

MPayIMsík

x

x

x

x

x

2,1686,56105,87106,2:.5

00105,87106,2:.4

8,394,13105,87106,2:.3

8,394,13105,87106,2:.2

5,694,23105,87106,2:.1

4

6

55

4

6

44

4

6

33

4

6

22

4

6

11

−=−⋅⋅⋅=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅=

σ

σ

σ

σ

σ

(P.5.31)

Sl. 5.1.4.2

x

y

A2

A3

A1 ψ

56,6

23,4

13,4

10

80

10

28,3

6,718

,4

80

(1)(2)(3)

(4)

(5)


161

DU@INE KARAKTERISTI^NIH VLAKANA, I STATI^KI MOMENTI POVR[INA IZNADKARAKTERISTI^NOG VLAKNA

Izra~unavnje vr{imo na osnovu jedna~ine (1.21-1) i slike (Sl. 5.1.4.1).

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

355

344

3233

322

311

0;10:.5

156184,135,04,13104,181080;10:.4

14720;10:.3

147204,181080;80:.2

0;80:.1

mmSmmsík

mmSmmsík

mmSSmmsík

mmSmmsík

mmSmmsík

x

x

xx

x

x

==

=⋅⋅⋅+⋅⋅==

===

=⋅⋅==

==

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

(P.5.32)

TANGENTNI NAPONI


( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) MPa

IST

ravan

MPaI

STravan

MPaI

STravan

MPaI

STravan

MPaI

STravan

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

00105,87

0105,2:.5

5,410105,87

15618105,2:.4

2,410105,87

14720105,2:.3

5,080105,87

14720105,2:.2

080105,870105,2:.1

4

3

5

55

4

3

4

44

4

3

3

33

4

3

2

22

4

3

1

11

=⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

=

=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

=

=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

=

=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

=

=⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

=

ξτ

ξτ

ξτ

ξτ

ξτ

(P.5.33)


162

GLAVNI NAPONI


( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) MParavan

MParavan

MParavan

MParavan

MParavan

2,168042,16821

22,1684

21

2:.5

5,45,44021

204

21

2:.4

3,402,448,3921

28,394

21

2:.3

9,395,048,3921

28,394

21

2:.2

5,69045,6921

25,694

21

2:.1

2225

25

551

2224

24

441

2223

23

331

2222

22

221

2221

21

111

−=⋅+−−=⋅++=

=⋅++=⋅++=

=⋅++=⋅++=

=⋅++=⋅++=

=⋅++=⋅++=

τσσ

σ

τσσ

σ

τσσ

σ

τσσ

σ

τσσ

σ

(P.5.34)

MAKSIMALNA VREDNOST GLAVNOG NAPONA

Od svih glavnih napona (P.5.34), maksimalna vrednost pripada vlaknu (5):

( ) MPa2,16551max1 −==σσ

Dozvoljena vrednost normalnog napona je odnos ja~ine materijala na kidanje i kojeficijenta sigurnosti.

MPaM

MD 200

2400 ±===

γσσ (P.5.35)

Po{to je maksimalna vrednost glavnog napona ( 1σ ) manja od dozvoljene vrednosti normalnog nalpona ( Dσ ), konstrukcija

zadovoljava uslov postavljen kojeficijentom sigurnosti ( 2=Mγ ).

Dσσ ⟨1 (P.5.36)


163

5.1.5. ASIMETRI^NO (KOSO) SAVIJANJE

Slu~aj kada redukovani par optere}enja (M, T) deluje u ravni optere}enja (R-R) koja u op{temslu~aju nije istovremeno i ravan simetrije povr{ine normalnog preseka (A), a sa ravni (yz)zaklapa ugao ( )ϕ , zove se ASIMETRI^NO (KOSO) SAVIJANJE (Sl. 5.22)

Sl. 5.22

5.1.5.1. RASPODELA NORMALNOG NAPONA

Raspodelu normalnog napona }e se odrediti na bazi istih uslova koje smo koristili i kododre|ivanja raspodele normalnog napona pri ~istom savijanju, na mestu gde je vrednostredukovane transverzalne sile (T) jednaka nuli.

y

z

dA

o

R

R

N

N

M

N(xyz)

xy

A

+

-

maxσ

dAzσ

maxσ

ϕ

ϕ

ψ

M ϕcos

M ϕsinx

y

T


164

Ako vektor redukovanog momenta savijanja ( M ) razloìmo na komponente u pravcima osa(xy), tada se mogu napisati slede}e jedna~ine ravnoteè:

0cos

0sin

=−⋅−=

=+⋅=

∑ ∫

∑ ∫ϕσ

ϕσ

MxdAM

MydAM

Ay

Ax

(5.129)

Ispitivanja su dokazala, da je vrednost normalnog napona u ta~ci (N) koja pripada normalnompreseku (A), linearna funkcija koordinata poloàja ta~ke (xy).

yCxB ⋅+⋅=σ (5.130)

Koriste}i predpostavku (5.130), jedna~ine ravnoteè (5.129) mogu se napisati na slede}ina~in:

∫ ∫

∫ ∫⋅−=⋅⋅+⋅

⋅−=⋅+⋅⋅

A A

A A

MdAyxCdAxB

MdAyCdAyxB

ϕ

ϕ

cos

sin

2

2

(5.131)

Iz predhodnog sistema jedna~ina se odre|uju izrazi za parametre (B, C).

2

2

cossin

sincos

xyyx

xyx

xyyx

xyx

IIIII

MC

IIIII

MB

−⋅

⋅−⋅⋅−=

−⋅

⋅−⋅⋅−=

ϕϕ

ϕϕ

(5.132)

Ako vrednosti parametara (5.132) uvrstimo u jedna~inu (5.130), dobijamo op{tu jedna~inu zaraspodelu normalnog napona pri asimetri~nom (kosom) savijanju:

( ) ( )[ ]yIIxIIIII

Mxyyxyx

xyyx

⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅−⋅

−= ϕϕϕϕσ cossinsincos2 (5.133)

Zbog predpostavljene asimetri~nosti, neutralna osa i ravan ne}e zaklapati prav ugao sa ravnioptere}enja (R-R), pa se poloàj neutralne ravni mora posebno odrediti. Odre|ivanje uglovnogpoloàja (ψ ) neutralne ravni u odnosu na osu (x) nalazi se iz uslova, da je u neutralnoj ravnivrednost normalnog napona ( )0=σ :


165

( ) ( )

xytg

yIIxII xyyxyx

=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅

ψ

ψψψψ 0cossinsincos(5.134)

Iz uslovne jedna~ine (5.134) se dobija izraz za uglovni poloàj neutralne ravni (ψ ) u odnosuna osu (x).

ϕϕϕϕ

ψcossinsincos⋅−⋅⋅−⋅

−=xyy

xyx

IIII

tg (5.135)

Ako su ose (xy) ujedno glavne teì{ne ose, tada su vrednosti centrifugalnih momenata inercijejednake nuli, pa se izrazi za raspodelu normalnih napona (5.133), i zraz za odre|ivanjepoloàja neutralne ravni (5.135) pojednostavljuju, i imaju oblike:

⋅+⋅−= y

Ix

IM

12

sincos ϕϕσ (5.136)

ϕψ ctgIItg ⋅−=

2

1 (5.137)

Iz jedna~ine (5.136) se vidi, da }e normalni napon (σ ) imati maksimalnu vrednost u unojta~ci (N) normalnog preseka (A) za koje su vrednosti koordinata poloàja (xy) najve}e(x=xmax i y=ymax). Ako na mestu maksimalnih vrednosti koordinata nema aktivne povr{ine,kao {to je slu~aj sa (L) profilom, tada se moraju izra~unati vrednosti za normalne napone unajudaljenijim ta~kama od teì{ta povr{ine, te maksimalnu vrednost koristi kao merodavnu.

Ako aktivna povr{ina postoji u ta~i sa koordinatama (x=xmax i y=ymax), tada se jedna~ina(5.136) transformi{e, i izraàva pomo}u otpornih momenata za glavne ose:

+−=

12max

sincosWW

M ϕϕσ (5.138)


166

PRIMER 5.8.

Na osnovu podataka iz primera (5.7), potrebno je odrediti maksimalnu vrednost normalnog napona ( maxσ ),i ugaoni poloàj

(ψ ) neutralne ravni (N-N), u slu~aju da ravan optere}enja sa ravni (yz) zaklapa ugao ( 060=ϕ ) (Sl. 5.1.4.3).

MAKSIMALNA VREDNOST NORMALNOG NAPONA

Izra~unavanje vr{imo na osnovu jedna~ine (5.132). Po{to u poloàju (x=xmax i y=ymax) nema aktivne povr{ine, izra~unavanjenormalnog napona }emo obaviti za dva najudaljenija }o{ka profila (D, E):

( )( )6,56;4,23

4,23;6,56ED

- Vrednost normalng napona koji odgovara ta~ci (D) je:

( )[( ) ]

( ) ( )[( ) ]

⇓⋅⋅⋅−⋅⋅+=

+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅−−=

=⋅−+=

+⋅−−⋅

−=

4,2360cos1055,5160sin105,87

6,5660sin1055,5160cos105,871055,51105,87105,87

106,2

cossin

sincos

0404

04042444

6

2

yII

xIIIII

M

xyy

xyxxyyx

D

ϕϕ

ϕϕσ

MPD 8,11=σ

- Vrednost normalng napona koji odgovara ta~ci (E) je:

MPaD 56,146−=σ

( )[( ) ]

( ) ( ) ( )[( ) ( ) ]

⇓−⋅⋅⋅−⋅⋅+=

+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅−−=

=⋅−+=

+⋅−−⋅

−=

6,5660cos1055,5160sin105,87

4,2360sin1055,5160cos105,871055,51105,87105,87

106,2

cossin

sincos

0404

04042444

6

2

yII

xIIIII

M

xyy

xyxxyyx

E

ϕϕ

ϕϕσ


167

Sl. 5.1.4.3

- Maksimalna vrednost normalnog napona je (pritisak) u ta~ci (E).

MPaE 56,146max −==σσ (P.5.37)

UGAONI POLO@AJ NEUTRALNE RAVI

Izra~unavanje vr{imo na osnovu jedna~ine (5.134).

⇓

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=

−−

−= 0404

0404

60cos1055,5160sin105,8760sin1055,5160cos105,87

cossinsincosϕϕϕϕ

ψxyy

xyx

IIII

tg

003,1−=ψ (P.5.38)

5.1.5.2. RASPODELA TANGENTNOG NAPONA

U slu~aju simetri~nog normalnog preseka kada je ravan simetrije (yz) bila i ravan optere}enja,raspodela tangentnih napona je tako|e bila simetri~na.

x

y

NN

R

R

ψ

ϕ=600

D(56,6 ; 23,4)

E(-23,4 ; -56,6)


168

U slu~aju da je ravan normalnog preseka (A) nesimetri~na, ili ako se radi o asimetri~nom(kosom) savijanju, raspodela tangentnih napona ne}e biti simetri~na. Opisano naponsko stanjegrede se zove ASIMETRI^NO TANGENTNO NAPONSKO STANJE. Nesimetri~na raspodelatangentnog napona dovodi do uvijanja (torzije) normalnog preseka. U ovakvom slu~aju nemoè da se primeni metoda @ukovskog za odre|ivanje raspodele tangentnih napona, odnosnomora se ra~unati i sa delovanjem tangentnih napona koji su normalni na ravan optere}enja(R-R) (Sl. 5.21). Pomenuto uvijanje se obavlja oko jedne ta~ke koja se zove CENTARUVIJANJA.

Sl. 5.23

Pojava uvijanja profila se elimini{e na taj na~in, da se ravan optere}enja (R-R) saredukovanom transverzalnom silom (T) translatorno pomeri za vrednost (t) tako, da novipoloàj ravni optere}enja prolazi kroz centar uvijanja. Na taj na~in se postiè da je rezultuju}iredukovani moment uvijanja na gredu jednak nuli:

( )⇓

=⋅−⋅−⋅=∑ ∫ 00 tTdAxyMA

zyzx ττ

( )T

dAxyt A

zyzx∫ ⋅−⋅=

ττ(5.139)

ox

y

τzy

τ zx

t

T

R

R


169

PRIMER 5.9.

Predpostavimo da je standarni profil kori{ten u primeru (5.7) optere}en koncentrisanom silom (T) u ravni optere}enja (yz).Potrebno je odrediti za koju vrednost (t) treba translatorno pomeriti ravan otere}enja u cilju eliminacije pojave uvijanjaprofila.

Sl. 5.1.4.4

U pravcu optere}enja ne postoji ravan simetrije, iz ~ega se zaklju~uje da }e u slu~aju da redukovana transverzalna sila (T)deluje u teì{tu normalnog predseka, do}i do uvijanja profila. Eliminacija uvijanja se obavlja tako da se dejstvo redukovanetransverzalne sile (T) izmesti paralelno za vrednost (t) tako, da ukupan moment uvijanja usled delovanja transverzalne sile (T)i sila kao posledice tangentnih napona budu jednaki nuli. Korisno je osu (y) postaviti po sredini vertikalnog rebra profila, aosu (x) usmeriti na levo (Sl. 5.1.4.4). Tangentni naponi ( zyzx ττ , ) deluju uzdu` rebara profila. Delovanje tangentnih napona

popre~no na rebra mogu se zanemariti, po{to im je vrednost relativno mala (blizina ivica). Momentnu jedna~inu ravnoteètreba postaviti za ta~ku (A), po{to kroz tu ta~ku prolaze sile kao poledice dejstva tangentnih napona u vertikalnom rebru( zyτ ). Iste sile nemaju krak u odnosu na ta~ku (A), pa im je tako vrednost momenta nula.

Na udaljenju (x) od desne ivice profila deluje tangentni napon ( xzτ ). Na osnovu stava o konjugaciji tangentnih napona u

horizontalnom rebru deluje tangentni napon ( zxτ ). Ova dva tangentna napona su po intezitetu ista:

zxxz ττ = (P.5.39)

U diferencijalno bliskim presecima (xS), normalnim na pravac (z), deluju normalni naponi ( σσσ d+, ). Vladaju}i naponi na

odgovaraju}im povr{inama rezultiraju ravnote`nim sistemom sila..

x

y

b

dxs

z

σ

τzy

τxz

τzx

σσ+dl

t

T

A

O

x

dz


170

Napi{imo jedna~inu ravnoteè na pravac (z):

( ) ( ) ( ) 0=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+ dzSSxSxd xzτσσσ (P.5.40)

Iskoristimo jednakost (P.5.39) i sredimo jedna~inu ravnoteè (P.5.40) na slede}i oblik:

xdzd

zx ⋅= στ (P.5.41)

Na osnovu jedna~ine (5.110), vrednost normalnog napona na rastojanju (y=l) od teì{ta iznosi (od x-ose):

lIMy

IM

xx

⋅=⋅=σ (P.5.42)

Diferencirajmo predhodnu jedna~inu po (z):

dzdM

Il

dzd

x

⋅=σ(P.5.43)

Koriste}i vezu (5.102), predhodna jedna~ina dobija oblik:

TIl

dzd

x

⋅=σ(P.5.44)

Ako vrednost jedna~ine (P.5.44) uvrstimo u jedna~inu (P.5.41), dobijamo izraz za tangentni napon ( zxτ ) u funkciji

poloàja (x).

xTIl

xzx ⋅⋅=τ (P.5.45)

Tangentne napone koji deluju u vertikalnom rebru ( zyτ ), odre|ujemo iz jedna~ine (5.118), ali po{to isti prolaze kroz ta~ku

(A), nemaju uticaj na stvaranje momenta oko iste ta~ke, tako da u daljem radu uticaj ovog napona u jedna~ini (5.139) zaodre|ivanje vrednosti (t) ne uzimamo u obzir. Na ovaj na~in se jedna~ina (5.139) pojednostavljava i ima oblik:

T

dAyt A

zx∫ ⋅⋅=

τ(P.5.46)


171

Uvrstimo izraz za tangentni napon (P.5.45) u jedna~inu (P.5.46), i tako dobiven izraz sredimo, znaju}i da je (y=l).

⇓

⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅

=

⋅⋅⋅

⋅⋅

=

∫∫

∫

b

x

b

x

A x

dxxI

SlT

dxslxTIl

t

T

dxslxTIl

t

0

20

(P.5.47)

xISblt

⋅⋅⋅=

2

22

(P.5.48)

Kona~no u jedna~inu (P.5.48) uvr{tavamo konkretne numeri~ke podatke, i odre|ujemo translatorni pomak ravni optere}enjau cilju eliminacije uvijanja profila:

⇓⋅⋅⋅⋅= 4

22

105,87210804,18t

mmt 15,0= (P.5.49)

5.1.6. SAVIJANJE TANKOZIDIH PLOÂ

Nosa~i (grede) ~ija je visina u odnosu na ostale dimenzije relativno mala, a oslonci su linijski(delimi~no ili potpuno zatvorene konture), predstavljaju TANKOZIDE RAVNE PLOÊ.

Od mno{tva slu~ajeva, razmotri}emo slu~aj prikazan na slici (Sl. 5.24). U razmatranomslu~aju radi se o tankozidoj plo~i pre~nika (2R) i debljine (h). Plo~a se po celom obimuslobodno naslanja na oslonac kru`nog oblika, a optere}ena je kontinualnim optere}enjem (g).

Metod za izra~unavanje vrednosti normalnih napona (σ ) je predloìo BACH, pa se i metodazove BACHOVA PRIBLI@NA METODA.


172

Sl. 5.24

Merenjima je utvr|eno, da je vrednost normalnog napona maksimalna u sredini plo~e. Stoga,a shodno predloènom metodu predpostavljamo da je plo~a po ravni simetrije uklje{tena, a daje stvarni oslonac uklonjen. Na ovaj na~in se mogu izra~unati redukovane sile odkontinualnog optere}enja na teì{te polukru`ne povr{ine ( gF ), kao i rezultuju}a reaktivna sila

(dobija se kao zamena za uklonjen stvarni polukru`ni oslonac) ( tF ). Te dve sile su pointenzitetu jednake:

2

2

;2 m

NggRFF gt ⋅== π(5.140)

Udaljenja dejstva sila ( tF ) i ( gF ) od uklje{tenja su slede}a:

ππ 34;2 RlRl gt == (5.141)

z

yx

x

y

R

2R

h

g

Fg

Ftl t

lg


173

Napi{imo momentnu jedna~inu ravnoteè za poloàj uklje{tenja.

0=⋅−⋅=∑ ttggx lFlFM (5.142)

U predhodnu jedna~inu uvrstimo izraze (5.140, 5.141.):

3

234

2

3

2

gRM

MRRgR

⋅=

⇓

=

−⋅⋅

πππ

(5.143)

Ako iskoristimo jedna~inu za izra~unavanje normalnog napona (5.111), te u nju uvrstimovrednost momenta iz jedna~ine (5.143), i izraz za otporni moment preseka u uklje{tenju,dobijamo izraz za odre|ivanje normalnog napona tankozide plo~e.

⇓

⋅==

62

32

3

hR

gR

WMσ

2

2

hRg ⋅=σ (5.144)

Detaljnija istraìvanja su pokazala, da je maksimalna vrednost normalnog napona ne{to ve}a iiznosi:

2

2

.max 24.1hRg ⋅⋅=σ (5.145)

Ova vrednost normalnog napona je identi~na u svim pravcima paralelnim sa ravni plo~e, paujedno predstavlja i glavne napone:

0; 321.max ===== σσσσσσ zx (5.146)

Osim prikazanog slu~aja, u praksi postoji veliki broj razli~itih konstruktivnih izvedbi oblika,uklje{tenja i na~ina optere}enja. Za mnoge slu~ajeve su u vidu tablica dati empirijski izrazi zaodre|ivanje vrednosti glavni napona, kao i izrazi za odre|ivanje poloàja u kome glavninaponi deluju.


174

5.2. SAVIJANJE KRIVIH GREDA

Sa stanovi{ta sistema optere}enja, te redukovanja optere}enja na teì{te normalnog preseka,krive grede se ne razlikuju od pravih greda. Me|utim, raspodela normalnih napona i poloàjneutralne ravni (ose) je razli~ito u odnosu na prave grede.

U daljem radu analizira}e se kriva greda koja zadovoljava slede}e uslove:

- Svi normalni ravni preseci su simetri~ni u odnosu na ravan koja sadrì geometrijsku osugrede (ravan simetrije grede).

- Ravan simetrije je ujedno i ravan optere}enja. Iz poloàja ravni optere}enja proizlazi, daod op{teg redukovanog sistema optere}enja deluju transverzalnene sile i momentisavijanja (moment torzije ne deluje).

- Geometrijska osa krive grede se prikazuje u polarnim koordinatama ( )αδ , dok senormalni presek (A) defini{e u pravouglom koordinatnom sistemu (xyz) (Sl. 5.25).

Sl. 5.25

Vrednost tangentnih napona (τ ), koje su posledica delovanja redukovane transverzalne sile(T), odre|ujemo na osnovu ranije izvedenog obrasca (5.118).

Redukovan moment savijanja (M) i redukovana normalna sila (FN ) deluju zajedno, i kaorezultat njihovog dejstva se javljaju normalni naponi (σ ) napovr{ini normalnog preseka (A).Raspopdela normalnog napona (σ ) je takva, da neutralna ravan ne sadrì geometrijsku osugrede, odnosno dolazi do pomeranja neutralne ravni (ose) za neki iznos (e), koji }e se tokomanalize utvrditi (Sl. 5.26).

Isecimo iz krive grede diferencijalno kratki element }ije stranice (normalni preseci) zahvataju

FN

TM

dϕR

αΟρ ΟR

EF

y

x xo

δ(α)

z

F2

F1

Fi


175

diferencijalno mali ugao ( ϕd ) (Sl. 5.26). Zakrivljenost geometrijske ose koja sadrì i teì{te(O) normalnog preseka (A) iznosi (R). Na centralnom udaljenju (y) od teì{ta normalnogpreseka (A) ozna~imo diferencijalni luk (EF).

Redukovana optere}enja (M, FN) dovode do pojave normalnih napona (σ ) na povr{inamasranica elementa, i shodno BERNOULLI-jevom modelu deformacije, do deformacije elementau pravcu pojave napona (momenta) za elementarni deo diferencijalnog zahvatnog ugla( ϕd∆ ).

Sl. 5.26

5.2.1. ODRE\IVANJE NORMALNOG NAPONA

Promena zahvatnog ugla, kao posledica delovanja redukovanog momenta savijanja je:

( )ϕϕ dd ∆+ (5.147)

Promenom zahvatnog ugla, menja se i zakrivljenost, te poprima vrednost )(ρ . Neutralnaravan (N-N) istovremeno zauzima poloàj na udaljenju (e) od teì{ne ose normlalnog preseka.

Zadatak analize koja sledi je, da utvrdi raspodelu normalnog napoa po povr{ini normalnogpreseka ( ))( yσσ = , i pomeranje neutralne ravni (ose) (e).

O

N N

+

-

A

dA

R

e

M My

T

T

FN

FN

maxσ

σ

dϕ

dϕ∆

dϕ∆dϕ1+

ρ

y y

zx

OR

OR'

EF


176

Odre|ivanje raspodele normalnog napona ( ))( yσσ = , i pomeranja neutralne ravni (ose)

(e ) vr{i se na slede}i na~in:

Duìna luka (EF), koja se nalazi na centralnom udaljenju (y) pre optere}enja iznosi:t

( ) ϕdyRds ⋅+= (5.148)

Po prijemu optere}enja dolazi do deformacija. Mera deformacije je pored ugaone promene idilatacija luka (EF):

( )( ) ( )( ) EdyR

dyRddy σϕ

ϕϕϕρε =+

⋅+−∆++= (5.149)

Uvedimo vezu:

ϕϕψ

dd∆= (5.150)

Uvrstimo vezu (5.150) u jedna~inu za dilataciju (5.149), te tako dobivenu jedna~inu svedimona sledi}i oblik:

( ) ( )yRE

yR +=⋅+−+ σψψρ 1 (5.151)

U poloàju (y=0), vrednost normalnog napona }e se ozna~iti kao (σ σ= o ). Za ovaj(centralni) poloàj, obrazac (5.151) ima oblik:

( ) RE

R oσψρ =−+1 (5.152)

Eliminacijom radiusa ( )ρ iz predhodne dve jedna~ine, dobija se jedna~ina za raspodelunormalnog napona u slede}em (ne kona~nom) obliku:

( )yR

yE oo +−+= σψσσ (5.153)

Iz poslednje jedna~ine se vidi da raspodela normalnog napona (σ ) po povr{ini normalnogpreseka nije linearna funkcija centralnog udaljenja (y) (kod savijanja pravih greda veza je bilalinearna).

Ravnote`no stanje normalnog preseka moèmo opisati sa slede}im jedna~inama ravnoteè: (uodnosu na osu’’z’’ i za ta~ku "O").


177

∫∫ ⋅⋅==AA

N dAyMdAF σσ ; (5.154)

Vrednost normalnog napona ( )σ iz jedna~ine (5.153) uvrstimo u jedna~ine ravnoteè (5.154).

( )

( ) dAyyR

RR

EydAM

dAyR

yEdAF

Ao

Ao

Ao

AoN

⋅⋅+

−+=

⋅+

−+=

∫∫

∫∫21σψσ

σψσ(5.155)

Uvedimo definiciju (pojam) REDUKOVANI MOMENT INERCIJE, i vrednost ozna~imo sa( rI ).

∫ ⋅+

=A

r dAyyR

RI 2 (5.156)

Izvedimo algebarsku transformaciju jedna~ine (5.156) na slede}i na~in:

⇓

+−=

+−=

=+−+=

+=

+=

∫ ∫ ∫

∫∫ ∫

A A A

AA Ar

dAyR

yRydAyR

RRydAR

ydAyR

RRyRydAyR

yRdAyR

yRI

2

0

2

∫ +−=

Ar dA

yRyRI 2 (5.157)

Ako je vrednost radiusa (R) beskona~no velika, tada kriva greda poprima oblik prave grede, aredukovani moment inercije postaje identi~an sa teì{nim aksijalnim momentom inercije.

xIada →→∝ rItRAko (5.158)

Ako vrednost integrala u jedna~ini (5.157) ozna~imo kao

∫ ⋅+

=⋅−A

dAyR

yAη (5.159)


178

tada redukovani moment inercije ( rI ) iz jedna~ine (5.157) dobija svoju tabli~nu formu:

η⋅⋅= ARIr2 (5.160)

Na osnovu jedna~ina (1.05, 1.08), poznate su slede}e veze:

∫∫ =⋅=AA

dAyAdA 0; (5.161)

Ako u jedna~ine (5.155) uvrstimo vrednosti iz relacija (5.156, 5.157, 5.161), dobijaju seslede}e veze:

( )

( ) ( )r

or

o

NrooN

IRME

RIEM

ARM

AF

RIEAF

⋅=−⇒⋅−=

⋅+=⇒

−⋅−+=

σψσψ

σσψσ 02

(5.162)

Ako dobivene veze (5.162) iskoristimo u jedna~ini (5.153), dobijamo vezu normalnog napona(σ ), redukovanih optere}enja (M, FN), redukovanog momenta inercije ( rI ), i centralnogpoloàja (y).

yRRy

IM

ARM

AF

r

N

+⋅⋅+

⋅+=σ (5.163)

Jedna~ina (5.163) predstavlja jedna~inu raspodele normalnog napona na povr{ini normalnogpreseka. Va`no je uo~iti, da u teì{tu povr{ine normalnog preseka (A) vrednost normalnognapona (σ ) nije jednaka nuli.

Raspodela normalnog napona (σ ) prema jedna~ini (5.163) je hiperboli~na. Najve}a teoretskavrednost se nalazi u centru zakrivljenja grede gde je (y=-R). Poslednji slu~aj nije realanoostvariv, ali ukazuje na to da se maksimalna vrednost normalnog napona pove}avasmanjivanjem zakrivljenosti grede.


179

5.2.2. POMERANJE NEUTRALNE RAVNI (OSE)

Poloà neutralne ravni (ose) (e) odre|uje se iz uslova da je u neutralnoj ravni vrednostnormalnog napona jednaka nuli:

ey =⇒= 0σ (5.164)

Iskoristimo jedna~inu za normalni napon (5.163) i uslov (5.164).

0=+

⋅⋅+⋅

+eR

ReIM

ARM

AF

r

N (5.165)

Iz poslednje jedna~ine uslova, moè se eksplicitno izraziti vrednost pomeranja neutralne ravni(ose).

Ako predpostavimo da je uticajt redukovane normalne sile (FN) na pomak neutralne ravni(ose) (e) u odnosu na uticaj redukovanog momenta savijanja (M) relativno mali, tada sekomponenta koja sadrì redukovanu normalnu silu u jedna~ini (5.165) moè zanemariti. Iztako pojednostavljene jedna~ine (5.165) dobijamo izraz za pribli`nu vrednost pomeranjaneutralne ravni (ose) (e).

ARIRIe

r

r

⋅+⋅−= 2 (5.166)

Uo~ljivo je, da sa porastom radiusa zakrivljenosti grede (R), opada vrednost pomeranjaneutralne ravni (ose) (e), i za beskona~nu vrednost radiusa zakrivljenosti ima vrednost nula.

0tadaRAko →→∝ e (5.167)

PRIMER 5.10.

Na slici (Sl. 5.2.1) prikazana je kriva konzolna greda sa zakrivljeno{}u (R=100 mm). Normalni presek grede odgovara

standardnoj cevi dimenzija ( mmdmmD 5,105,108 == ). Mehani~ke karakteristike materijala grede su

( MPaEMPaM5102,2,400 ⋅==σ ). Kojeficijent sigurnosti konstrukcije je ( Mγ ).

Potrebno je odrediti maksimalnu dozvoljenu vrednost sile (F) na kraju (B) krive grede, i pomak neutralne ravni (ose) (e).


180

Sl. 5.2.1

DOZVOLJENA VREDNOST NORMALNOG NAPONA

Odre|uje se kao odnos zatezne ~vsto}e i kojeficijenta sigurnosti konstrukcije.

⇓

==2

400

M

MD γ

σσ

MPaD 200=σ (P.5.50)

REDUKOVANA OPTERE]ENJA

Maksimalne vrednosti redukovanih optere}enja }e se javiti u uklje{tenju grede (A), i iznose:

NmmRFMFT

NFN

⋅=== 0

(P.5.51)

FN

T=F

M

R

Ο

y

F

A

B


181

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POVR[INE NORMALNOG PRESEKA GREDE

- Povr{ina:

⇓

⋅−=⋅−= ππ4

5,1001084

2222 dDA

21228 mmA = (P.5.52

- Redukovani moment inercije

Iz odgovaraju}e tablice za otpornost materijala, na osnovu vrednosti (D, d, R), odre|uje se vrednost parametra (η ):

00068,0≅η

Vrednost redukovanog momenta inercije ( rI ) odre|ujemo na osnovu jedna~ine (5.160), povr{ine normalnog preseka i

predhodno utvr|enog parametra.

⇓

⋅⋅=⋅⋅= 00068,01228100022 ηARIr

4835040 mmIr = (P.5.53)

DOZVOLJEN NORMALNI NAPON

Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (5.163, P.5.50).

Dr

N

yRRy

IM

ARM

AF σσ ≤

+⋅⋅+

⋅+=

Uvrstimo u predhodnu jedna~inu uslova, vrednosti redukovanih optere}enja (P.5.51).

⇓

≤+

⋅⋅⋅+⋅⋅

Dr yR

RyI

RFARRF σ

yRy

IR

A

F

r

D

+⋅+

⋅±≤ 211σ (P.5.54)


182

Maksimalno centralno udaljenje (y) moè imati vrednosti ( mm54± ). Zbog hiperboli~kog karaktera jedna~ine (P.5.5.4),

vrednost sile (F) treba da se odredi za obe vrednosti centralnog odstojanja (y).

NFNF

y

y

9,29607,3217

54

54

=

=

−=

=

Dozvoljeno maksimalno optere}enje mora biti manje ili jednako manjoj od dve predhodno izra~unate vrednosti, odnosno:

NFF y 9,296054 =≤ −= (P.5.55)

POMERANJE NEUTRALNE RAVNI (OSE)


⇓

⋅+⋅−=

⋅+⋅−=

122810008350401000835040

22 ARIRIe

r

r

mme 67,0−= (P.5.56)


183

5.3. SLO@ENA NAPREZANJA

Ako u teì{tu normalnog preseka deluje vi{e osnovnih sistem redukovanih optere}enja, ili akose jedno osnovno redukovano optere}enje sastoji iz vi{e komponenti, tada se odgovaraju}enaponsko stanje zove SLO@ENO NAPONSKO STANJE.

U zavisnosti od toga kakva optere}enja sadrè pojedini redukovani sistemi optere}enja,,nastaju naponaska stanja koje moèmo razvrstati u slede}e grupe:

- LINEARNO SLO@ENO NAPONSKO STANJE. Ovako nazivamo sloèna naponska stanjakada su komponentni naponi istorodni (mogu se linearno sabirati) i deluju u jednompravcu (istezanje + ~isto savijanje, uvijanje + smicanje,…).

- RAVNO SLO@ENO NAPONSKO STANJE. Ovako nazivamo sloèna naponska stanja kadasu komponentni naponi u jednoj ravni (smicanje + savijanje, uvijanje + pritisak,…).

- PROSTORNO SLO@ENO NAPONSKO STANJE. Ovako nazivamo sloèna naponskastanja kada su komponentni naponi prostorno raspore|eni (smicanj + savijanje +uvijanje,..).

U slu~aju sloènih naponskih stanja, primenjuje se hipoteza o superpoziciji (sabiranju)napona. Na osnovu te hipoteze, istorodni naponi koji su posledice razli~itih redukovanihsistema optere}enja, mogu se sabirati i tako formirati u op{tem slu~aju prostorno naponskostanje. U daljem postupku, odre|uju se vrednosti glavnih napona koji je opisan u delu (2.2).

Kod analize savijanja, sreli smo se sa jednim primerom sloènog naponskog stanja (normalninapon + tangentni napon). Udaljem postupku }e se analizirati jedan drugi, (~esto kori{teni)pojavni oblik sloènog naprezanja.

5.3.1. EKSCENTRI^NI PRITISAK (ISTEZANJE)

Ako aktivna sila (F=Fz) deluje na samom normalnom preseku (A), ali ne u teì{tu presekanego van njega u ta~ci D(u,v) (van centra-ekscentri~no), tada se takav slu~aj optere}enja iodgovaraju}e naponsko stanje zove EKSCENTRI^NI PRITISAK (ISTEZANJE) (Sl. 5.27).


184

Ako silu koja deluje u ta~ci (D) redukujemo na teì{te (C) povr}ine (A), dobijamo redukovanipar optere}enja (silu i momenat)-(F, M). Momenat (M) kao vektorsku veli~inu razloìmo napravce teì{nih osa (xy). Na opisan na~in, u teì{tu popvr{ine }e delovati jedan sloèniredukovani sistem optere}enja (Mx, My, F), koji }e rezultirati sloènim linearnim naponskimstanjem (dva ~ista savijanja + pritisak).

Sl. 5.27

Prikaìmo redom komponentne napone sloènog linearnog naponskog stanja za jednuproizvoljno odabranu ta~ku N(xy).

PRITISAK

AF−='σ (5.168)

C

F=Fz

D(u,v)

D (u,v)

N(x,y)x

y u

v

My

Mxa

b

ψ

+

++

−

−−

−

C

σ,

σ,,

σ,,,

σ= σ σσ,+

,, ,,,+

σmax=(

max)

σ σσ, +

,,,,,

+

y

x

x

zyM

F


185

ÎSTO SAVIJANJE OKO OSE (x):

xIuFx

IM

yy

y ⋅⋅−=⋅−="σ (5.169)

ÎSTO SAVIJANJE OKO OSE (y):

yIFy

IM

xx

x ⋅⋅−=⋅−= υσ "' (5.170)

Superponirana (zbirna ) vrednost normalnog napona je:

'""' σσσσ ++= (5.171)

Uvrstimo u poslednju jedna~inu vrednosti napona (5.168, 5.169, 5.170).

⋅+⋅+−= y

Ivx

Iu

AF

xy

1σ (5.172)

Maksimalna vrednost normalnog napona se moè odrediti ako se mesto dejstva sile (D) ipoloàj ( maxmax , yx ) ta~ke (N) nalaze u istom kvadrantu.

⋅+⋅+−= maxmaxmax

1 yIvx

Iu

AF

xy

σ (5.173)

U svi ostalim slu~ajevima se trebaju odrediti vrednosti normalnih napona za najudaljenijeta~ke preseka od teì{nih osa, i maksimalnu apsolutnu vrednost koristiti kao merodavnu udaljem radu.

Poloàj neutralne ravni (ose) odre|ujemo na osnovu uslova, da je u neutralnoj ravni (osi)vrednost normalnog napona nula.

0101 =⋅+⋅+⇒=⋅+⋅+ y

AIvx

AIuy

Ivx

Iu

A xyxy

(5.174)


186

Uvedimo pojam RADIUS INERCIJE.

AI

iAIi y

yx

x == 22 ; (5.175)

Preuredimo jedna~inu (5.174) uz kori{tenje radiusa inercije:

122 =−

+− v

iy

uix

xy

(5.176)

Uvedimo slede}e ozna~avanje:

viby

ui

ax

xx

yy

2

)0(

2

)0(

−==

−==

=

=

(5.177)

Neutralna ravan se~e koordinatne ose (xy) na otse~cima (a, b), i zaklapa slede}i ugao sa osom(x):

⋅−=

−=

y

x

II

vuarctg

abarctgψ (5.178)

PRIMER 5.11.

Spiralna opruga prikazana na slici (Sl. 5.3.1.a) optere}ena je na pritisak silom (F). Mehani~ke osobine materijala su datedozvoljenim naponom na uvijanje (dozvoljen tangentni napon) ( Dτ ) i modulom klizanja (G).

Potrebno je odrediti pre~nik opru`ne ìce (d) i krutost opruge (C).


187

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE OPRUGE

zásahosszváltorányúmerőerőlegrugóafulásszögelfordszármazóarodásbólcsaa

hosszaszálánakrugóalarszámacsarugóan

Ahol

DfnDltnH

−−−−

⋅=⋅⋅=⋅=

υϕ

υ

ϕπ

:2

;;

(P.5.57)

Polaze}i od konstruktivnih karakteristika opruge, na bilo koji normalni presek se moè redukovati sila (F) u obliku para

optere}enja (F, MT) (Sl. 5.3.1.b). Sila (F) }e rezultirati tangentne napone (,τ ) a momenat torzije (MT) tangentne napone

(,,τ ). Raspodela tangentnih napona je prikazana na slici (Sl. 5.3.1.b). Oba tangentna napona ( ,τ , ,,τ ) deluju u jednoj ravni.

Maksimalni vektorski zbir napona se nalazi u mestu gde oba napona imaju isti pravac i smer. Taj poloàj odgovara linearnomsloènom naponskom stanju.

Sl. 5.3.1.a Sl. 5.3.1.b

F

A

A

f t

D

d

H

F MT

d

D

τ

τ,,

τ,


188

ZBIRNI TANGENTNI NAPON

,,, τττ += (P.5.58)

TANGENTNI NAPON KAO POLEDICA SILE (F)


πτ 2

, 4dF

AF ⋅== (P.5.59)

TANGENTNI NAPON KAO POLEDICA MOMENTA UVIJANJA (MT)


ππτ 33

0

,, 8

16

2dDF

d

DF

WMT ⋅⋅=

⋅== (P.5.60)

Uvrstimo vrednosti (P.5.59, P.5.60) u jedna~inu (P.5.58).

⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅=

Dd

dDF

dDF

dF 21884

332 πππτ (P.5.61)

U poslednjoj je jedna~ini vrednost ~lana (Dd⋅2

) srazmerno mala, pa se moè zanemariti, odnosno:

πτ 3

8d

DF ⋅⋅= (P.5.62)

PROMENA DU@INE OPRUGE

2Df ⋅= ϕ (P.5.63)

Na osnovu jedna~ine (5.85), koriste}i podatke (P.5.57), odre|uje se vrednost (izraz) za ugaonu deformaciju opru`ne ìce:

ndGDF

dG

nDDF

IGlMT ⋅

⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅= 4

2

40

16

32

2π

πϕ (P.5.64)


189

Ako vrednost ugaone deformacije (P.5.64) uvrstimo u jedna~inu (P.5.63), dobijamo izraz za promenu duìne opruge:

ndGDFf ⋅

⋅⋅⋅= 4

38(P.5.65)

ODRE\IVANJE PRE^NIKA OPRU@NE @ICE

Pre~nik opru`ne ìce se odre|uje u odnosu na dozvoljenu vrednost tangentnog napona, i u odnosu na potrebnu promenuduìne opruge.

Pre~nik u odnosu na dozvoljenu vrednost tangentnog napona se odre|uje na osnovu obrasca (P.5.62). Stvarna vrednosttangentnog napona (τ ) mora biti manja od dozvoljene vrednosti ( Dτ ).

⇓

≤⋅⋅= DdDF τ

πτ 3

8

38

πτ ⋅⋅⋅≥

D

DFd (P.5.66)

Pde~nik u odnosu na potrebnu promenu duìne opruge se odre|uje na osnovu obrasca (P.5.65).

4

38 nfGDFd ⋅

⋅⋅⋅≥ (P.5.67)

KRUTOST OPRUGE

Dobija se po definiciji iz jedna~ine (P.5.65).

3

4

8 Dd

nG

fFC ⋅

⋅== (P.5.68)


190

5.3.1.1. ODRE\IVANJE JEZGRA PRESEKA

U jedna~inama (5.177) se vidi, da neutralna ravan (N-N) se~e teì{ne koordinatne ose (xy) pootse~cima (a, b). Ti otse~ci su funkcije koordinata ta~ke D(u, v) u kojij deluje sila (F). Naosnovu predhode konstatacije, mogu}e je definisati skup ta~aka (D) kojima odgovarajuneutralne ravni (N-N), koje se nalaze van konture povr{ine (A), ili tangiraju povr{inu. Naovakav na~in se obezbe|uje da na povr{ini (A) deluje samo jednorodni napon (pritisak iliistezanje). Dobiveno geometrijsko mesto ta~aka (D) koje odgovara opisanom kriterijumuzove se JEZGRO PRESEKA (Sl. 5.28). Odre|ivanje jezgra preseka je va`no na onim mestimagde se traì jednorodna vrednost napona, kao {to su temelji ma{ina (sme postojati samopritisak).

Sl. 5.28

PRIMER 5.12.

Standardni valjani profil (JUS CB.141) prikazan na slici (Sl. 5.32), optere}en je u ta~ci (D) ~ije su koordinate (0, 134) sakoncentrisanom silom (F=50 KN).

Potrebno je odrediti maksimalnu vrednost normalnog napona i jezgro preseka.

MAG

A

C

NNN

N1

N1

N2

N2

N3

N3

Ni

Ni

D1D2

D3 Di

x

y


191

Sl. 5.3.2

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE PROFILA

44

44

2

10495

1080305880

mmImmI

mmA

y

x

⋅=

⋅=

=(P.5.69)

MAKSIMALNA VREDNOST NORMALNOG NAPONA

Po{to postiji ta~ka (N) ~ije su koordinate maksimalne, a istovremeno se nalazi u istom kvadrantu kao ta~ka dejstva sile (D),odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (5.173).

⇓

⋅

⋅+⋅

⋅+−=

=

⋅+⋅+−=

150108030

1347310495

05880

150000

1

44

maxmaxmax yIvx

Iu

AF

xy

σ

MPa21max =σ (P.5.70)

Ν(73, 150)

D(0, 134)

y

x

ymax

xmax

C

300

100


192

ODRE\IVANJE JEZGRA PRESEKA (Sl. 5.3.3)

Odre|ivanje vr{imo na osnovu izra~unavanja otse~aka prema jedna~inama (5.177).

Vrednosti radiusa inercije se odre|uju na osnovu jedna~ina (5.175).

8415880

10495

136565880

108030

42

42

=⋅==

=⋅==

AI

i

AIi

yy

xx

(P.5.71)

- Tangentnoj neutralnoj ravni ( 11 NN − ) odgovara ta~ka dejstva sile (D1) ~ije su koordinate ( 11, vu ).

)91,0(

15013656;0841150;

1

2

1

2

1

−⇓

−=−==∝

−=−=⇒==∝

D

biv

ai

uba xy

(P.5.72)

- Tangentnoj neutralnoj ravni ( 22 NN − ) odgovara ta~ka dejstva sile (D2) ~ije su koordinate ( 22 , vu ).

)91,0(

15013656;841150;

2

2

1

2

1

D

biv

ai

uba xy

⇓

−=−=∝

−=−=⇒==∝

(P.5.73)

- Tangentnoj neutralnoj ravni ( 33 NN − ) odgovara ta~ka dejstva sile (D3) ~ije su koordinate ( 33 , vu ).

)0,11(

13656;73841;73

3

2

1

2

1

−⇓

∝−=−=−=−=⇒=∝=

D

biv

ai

uba xy

(P.5.74)

- Tangentnoj neutralnoj ravni ( 44 NN − ) odgovara ta~ka dejstva sile (D4)) ~ije su koordinate ( 44 , vu ).

)0,31(

13656;27

841;27

4

2

1

2

1

D

biv

ai

uba xy

⇓∝

−=−=−

−=−=⇒=∝−=

(P.5.75)


193

Sl. 5.3.3

y

xC

300

100

-2773

D4D3

D2

D1

4N

3N

3N

2N 2N

1N 1N

4N


194

6. DEFORMACIJE GREDA

Za odre|ivanje deformacija konstrukcija i njenih elemenata (greda), na raspolaganju namstoje dva teorijska metoda (postupka), i to:

- Metod na bazi teorije deformacionog rada.

- Metod na bazi jedna~ina elasti~ne linije.

Na osnovu dva navedena metoda, deformacije se mogu jednozna~no odrediti, ali re{enja ~estoiziskuju angaòvanje obimnog rada, pa su zbog toga na raspolaganju tablice, koje sadrèobrasce za odre|ivanje vrednosti deformacija ve}ine osnovnih nosa~a i osnovnih sistemaoptere}enja. Ako je predmetna greda (nosa~) optere}en sloènim sistemom optere}enja, tadase vrednost deformacija prvo odre|uju za komponente opotere}enja (komponentnedeformacije), a zatim se komponentne deformacije u skladu sa hipotezom o superpzicijisabiraju.

6.1. TEORIJA DEFORMACIONOG RADA

Na osnovu zakona o odrànju energije poznato je, da ukupna koli~ina energije ukonzervativnom sistemu ima konstantnu vrednost, ona se ne moè ni pove~ati ni smanjiti, alimoè da menja svoj pojavni oblik.

Ako neku konsrukciju, ili jedan njen element opteretimo spoljnjim sistemom optere}enja, kaoposledice opter}enja javljaju se deformacije (linearna pomeranja i ugaona pomeranja), paelementi spoljnjeg sistema optere}enja (sile i momenti) na odgovaraju}im pomeranjima vr{erad koji se zove RAD SPOLJNJIEG SISTEMA OPTERE]ENJA (W). Rad spoljnjeg sistemaoptere}enja se pretvara u unutra{nju energiju elasti~nih deformacija (U), kineti~ku energiju(Uk), termi~ku energiju (UT) itd.

!!+++= TK UUUW (6.01)

Ako u skladu sa hipotezom o postepenom nano{enju optere}enja, kompletan sisten spoljnjihopotere}enja nanesemo tako, da kao posledicu dobijemo stati~ki ravnote`ni sistem, tada semoè smatrati, da je pribliàn zbir slede}ih unutra}njih vidova energije jednak nuli:

0≈++ !!TK UU (6.02)


195

To zna}i da, se rad spoljnjeg sistema optere}enja (W) moè izjedna~iti sa unutra{njomenergijom elasti~nih deformacija (U).

UW ≅ (6.03)

Karakteristi~ne veli~ine, vezane za rad spoljnjeg sistema optere}enja (W) i za energijuelasti~nih deformacija (U) su slede}e:

dV……….diferencijalna zapremina (volumen)

W………..rad spoljnjeg sistema optere}enja (rad)

dW………diferencijalni rad spoljnjeg sistema optere}enja (diferencijalni rad)

U…………energija elasti~nih deformacija (energija-ukupna energija)

dU……….diferencijalna energija elasti~nih deformacija

(diferencijalna energija)

u=dU/dV specifi~na energija

f………….linearno pomeranje

γ …………ugaono pomeranje

6.1.1. DEFINICIJA RADA

Komponente spoljnjeg sistema optere}enja su:

Fi……nova sila

FiR…..postoje}a sila (u trenutka nono{enja nove sile ve}

deluje punim intezitetom-ve} je naneta)

Mi…...novi moment

MiR….postoje}i moment (u trenutka nono{enja novog momneta ve}

deluje punim intezitetom-ve} je nanet)


196

U daljoj analizi }emo predpostaviti da u trenutku nano{enja novih opter}enja ( ii MF , ),

postoje}a optere}enja ( iRiR MF , ) ve} deluju punom intezitetom. U takvom slu~ju je vrednostrada spoljnjeg sistema optere}enja (rad) (W) slede}a:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

⇓

+++=

=+++=

∑∑∑ ∑

iRiR

iRiR

MMiFFi

MFMiFi

WWWW

WWWWW

MF WWW += (6.04)

Analizirajmo rad ( FW ) para optere}enja ( iRi FF , ), ~ije su komponente, vrednost rada nove sile

( FiW ) i rad postoje}e sile ( FiRW ). Obe sile, i odgovaraju}a pomeranja (deformacije) prikazane

su na slici (Sl. 6.01).

Predpostavimo, da se vrednost nove sile ( iF ) promeni za diferencijalnu veli~inu ( idF ).Diferencijalna promena vrednosti nove sile prouzrokova}e diferencijalno pomeranje(deformaciju) u pravcu delovanja sile ( idf ). Diferencijalna promena sile ( idF ) na

diferencijalnom pomeranju ( idf ) vr{i diferencijni rad:

( ) ( )

( ) iiFi

iiiiFi

dfFdW

dfdFdfFdW

⋅=⇓

⋅+⋅= →021

(6.05)

Kod elasti~nih sistema (tela) postoji linearna veza izme|u sile i pomeranja u obliku:

ii fcF ⋅= (6.06)

Gde je:

mNc - krutost elasti~nog sistema (tela)

Istovremeno sa diferencijalnim pomeranjem ( idf ), pomera se i postoje}a sila ( iRF ), tako da iona vr{i diferencijalni rad (diferencijalni rad postoje}e sile).

( ) iiRF dfFdWiR

⋅= (6.07)


197

Sl. 6.01

Zbir diferencijalnih radova (6.05) i (6.07) iznosi:

( ) ( )iRi FFF dWdWdW += (6.08)

Uvrstimo u jedna~inu (6.08) vrednosti iz jedna~ina (6.05, 6.O7), uz upotrebu veze (6.06).

iiRiiF

iiRiF

iiRiiF

fFfFW

fFcfW

dfFdfcfW

+=

⇓

+=

⇓

⋅+⋅= ∫ ∫

21

21 2

0 0

λ λ

(6.09)

f

F

O

WF

iRF

iR

Fi

WF

i

NOVI RAD

RAD POSTOJE]E SILE

dFi

df if i


198

Na identi~an na~in se odre|uje i rad momenata:

iiRiiM MMW γγ +=21

(6.10)

Ako u jedna~inu (6.04) uvrstimo vrednosti (6.09 i 6.10), dobijamo izraz za ukupan radspoljnjeg sistema optere}enja.

( ) ( )∑ ∑ +++=i i

iiRiiRiiii MfFMfFW γγ21

(6.11)

6.1.1.1. ODRE\IVANJE ENERGIJE ELASTI^NIH DEFORMACIJA KOD(ISTEZANJA PRITISKA)

Izdvojmo iz grede optere}ene na istezanje (pritisak) difererencijalno mali paralelopiped, ~ijesu dimenzije (dx, dy, dz) (Sl. 6.02). Kao posledica delovanja normalnog napona ( zσ ) do}i }edo izduènja stranice paralelopipeda (dz) za veli~inu ( dz∆ ) (Prema Jacob Bernoullijevomdeformacionom modelu, ostale duìne paralelopipeda se ne menjaju).

Iskoristimo veze (5.18, 5.20):

dzdzE zzz

∆=⋅= εεσ ; (6.12)

Sl. 6.02

A'A

dx

dy

dz

F σzAF=

x y

z

dz∆

o


199

Karakteristi~ne veli~ine energije (U) su slede}e:

- Diferencijalna energija je:

( )( )

⇓

=⋅==E

dVdzdxdyFdfdU zzz

)()()( 2

121

21 σ

σεσ

dVE

dU z2

)(

21 σ

= (6.13)

- Specifi~na energija je:

εσσ

)(

2)(

21

21

zz

EdVdUu === (6.14)

- Energija elasti~nih deformacija (ukupna energija) je:

dVE

UV

z∫= 2)(2

1 σ (6.15)

U slu~aju da povr{ina normalanog preseka grede (A), i aksijalna sila (Fz) nisu konstante, ve}su funkcije poloàja (z) (Sl. 6.03),

( ) ( )zfFzfA zz == ; (6.16)

tada se vrednost ukupne energije (U) iz jedna~ine (6.15) izra~unava tako, da se uvsteodgovaraju}e vrednosti za ( dVz ,σ ).

dzAdVA

F

AF

zz

ii

z

zz )(

)()(

)()( ; ===

∑σ (6.17)


200

Nakon sre|ivanja, jedna~ina (6.15) dobija kona~nu formu izraza za ukupnu energujuelasti~nih deformacije kod istezanja-pritiska (energija istezanja-pritiska).

dzAF

EU

l

z

z∫=0 )(

2)(

21

(6.18)

Sl. 6.03

6.1.1.2. ODRE\IVANJE ENERGIJE ELASTI^NIH DEFORMACIJA KOD(SMICANJA-UVIJANJA)

Ako paralelopiped, koji se koristio u delu (6.1.1) opteretimo tangentnim optere}enjem(τ ), do}i }e do ugaone deformacije (γ ), {to ima za posledicu linearno pomeranje ( dy⋅γ )(Sl. 6.04).

Na osnovu jedna~ine (5.66) i slike (Sl. 6.04),.moèmo napisati slede}e veze

λγγτ == dyGz ;)( (6.19)

dz

lz

zF

zF

i

A,E


201

Sl. 6.04

Karakteristi~ne veli~ine energije (U) su slede}e:

- Diferencijalna energija je:

( )( )

⇓

===G

dVdydxdzFfdU zzz

)()()( 2

121

21 τ

τγτ

dVG

dU z2

)(

21 τ

= (6.20)

- Specifi~na energija je:

γττ

)(

2)(

21

21

zz

GdVdWu === (6.21)

- Energija elasti~nih deformacija kod smicanja i uvijanja (ukupna energija uvijanja-smivanja)je:

dVG

UV

z∫= 2)(2

1 τ (6.22)

x y

z

dz

dx

dy


202

Ako je greda optere}ena na uvijanje, i ako su povr{ina normalnog preseka (A), i torzionimoment funkcije poloàja (z) (Sl. 6.05),

( ) ( )zfMzfA zTz == ; (6.23)

Sl. 6.05

tada se izraz za ukupnu energiju elasti~nih deformacija (U) odre|uje na slede}i na~in:

Izraz za tangentni napon ( zτ ) odre|en je jedna~inom (5.79), a vrednost diferencijalnezapremine (dV) odre|ujemo prema slici (Sl. 6.05).

( ) dzddVI

M

z

zTz ρπρρτ 2;

)(0

)()( == (6.24)

Prethodne izraze uvrstimo u jedna~inu (6.22).

( ) ( ))(0

0

2

02

)(0

2)(

0 0

22

)(0

2)( 2

212

21

zI

l r

z

zTl r

z

zT ddzI

MG

dzdI

MG

U⇒

∫ ∫∫ ∫

== ρρπρρπρρ (6.25)

Sre|ivanjem jedna~ine (6.25), dobija se izraz za ukupnu vrednost energije elasti~nihdeformacija kod uvijanja (energija uvijanja):

dzI

MG

Ul

z

zT∫=0 )(0

2)(

21

(6.26)

ldz

z

z

MM Tz

AzG,

r

dρρ


203

6.1.1.3. ODRE\IVANJE ENERGIJE ELASTI^NIH DEFORMACIJA KODSAVIJANJA

U slu~aju optere}enja savijanjem, u teì{tu normalnog preseka grede (A) deluje redukovanipar optere}enja (M, T). Odgovaraju}e naponsko stane je ravno naponsko stanje, {to zna~i dana preseku deluju normalni naponi (σ ) i tangentni naponi (τ ). Kao posledice dejstvavladaju}ih napona ukupna energija elasti~nih deformacija (energija) bi}e zbir, energije kaoposledice normalnog napona ( σU ) i energije kao posledice tangentnog napona ( τU ).

( ) ( )τσ UUU += (6.27)

Uvrstimo dobivene izraze (6.15) i (6.22) u jedna~inu (6.27):

∫ ∫+=V V

zz dVG

dVE

U 2)(

2)( 2

121 τσ (6.28)

Uvrstimo vrednosti za napone ( zz τσ , ), na osnovu jedna~ina (5.110 i 5.118),

ξτσ

x

czz

x

zz I

STy

IM )()(

)()(

)( ; == (6.29)

u energetsku jedna~inu (6.28), uz kori{tenje slede}e smene

dzdAdV ⋅= (6.30)

Kao rezultat uvr{tavanja (6.29, 6.30) dobija se slede}i sloèni izraz:

dzIS

dzTG

dAydzI

ME

dzdAI

STG

dzdAyI

ME

U

lAKA x

cz

l IAx

z

l A x

cz

l A x

z

x

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

+=

=+=

""

22

2)(2

)(2

2

2)(

22

2)(

2)(2

2

2)(

21

21

21

21

ξ

ξ(6.31)


204

Sre|ivanjem predhodne jedna~ine dobija se kona~an oblik izraza za odre|ivanje ukupneenergije elasti~nih deformacija kod savijanja (energija savijanja).

∫∫ +=l

z

l

x

z dzTGAKdz

IM

EU

0

2)(

0

2)(

221

(6.32)

U slu~aju duga~kih greda, energetski doprinos drugog ~lana energetske jedna~ine (6.32) jesrazmerno mali u odnosu na celokupan iznos energije, pa se kod konnkretnih prora~una moèzanemariti.

6.1.1.4. ODRE\IVANJE ENERGIJE ELASTI^NIH DEFORMACIJA KODOP[TEG PROSTORNOG NAPONSKOG STANJA

Energija elasti~nih deformacija (energija) (U), koja karakteri{e prostorno naponsko stanje,moè se razloìti na dve komponente:

fV UUU += (6.33)

Gde su:

UV….energija na promeni zapremine

Uf …energija na promeni oblika

Na osnovu jedna~ine (6.33) mogu se napisati izrazi za:

Diferencijalnu energiju,

fV dUdUdU += (6.34)

i specifi~nu energiju:

fV uuu += (6.35)

Tokom rada koji sledi, analizira}e se specifi~na energija (6.35) i njene komponente.


205

- SPECIFI^NA ENERGIJA ELASTI^NIH DEFORMACIJA (u)

Op{te prostorno naponsko stanje je opisano matri~nom jedna~inom (2.20), iz koje je vidljivo,da je naponsko stanje opisano skupon normalnih napona (σ ), i tangentnih napona (τ ). Naosnovu vladaju}ih napona (σ ,τ ) i odgovaraju}ih dilatacija, odre|uje se specifi~na energija(u). Prilikom definisanja izraza za specifi~nu energiju koristi}emo izvedene relacije (6.14,6.21).

( )zxzxyzyzxyxyzzyyxx

fV uuuuu

γτγτγτεσεσεσ

τγσετσ

+++++=

=+=+=+= ∑∑

21

21

21

(6.36)

Dilatacije i ugaona pomeranja zamenimo izrazima (4.07), i tako dobivenu jedna~inu sredimo.Dobijena jedana~ina predstavlja izraz za specifi~nu energiju elasti~nih deformacija pri op{temprostornom naponskom stanju

( )[ ] ( )222222

212

21

xzyzxyxzzyyxzyx GEu τττσσσσσσµσσσ +++++−++= (6.37)

Ako se za polazni izabere glavni koordinatni sistem

( 0;;; ....321 =→→→ τσσσσσσ zyx ),

tada jedna~ina (6.37) dobija oblik:

( )[ ]13322123

22

21 2

21 σσσσσσµσσσ ++−++=E

u (6.38)

U posebnom slu~aju kada su:

σσσσ === 321 (6.39)

jedna~ina (6.38) dobija upro{tenu formu:

( )µσ 2123 2

−=E

u (6.40)


206

- SPECIFI^NA ENERGIJA NA PROMENI ZAPREMINE (uV)

Isecimo iz tela koje je u prostornom naponskom stanju, iz okoline ta~ke (N) elementarniparalelopiped tako, da mu se stranice poklope sa glavnim ravnima. U tom slu~aju nastranicama elementa }e delovati samo glavni napopni ( 321 ,, σσσ ), koji }e za posledicu imati

specifi~ni energiju elasti~nih deformacija (specifi~na energija) (u) (Sl. 6.06)

Sl. 6.06

Razloìmo glavne napone na po dve linearne komponente

'33

'22

'11

σσσσσσ

+=

+=

+=

ppp

(6.41)

tako da je vrednost komponente (p) slede}a:

3321 σσσ ++

=p (6.42)

Ako vrednost komponente (p) uvrstimo u jedna~ine (6.41), i tako dobivene izraze saberemo,dobijamo da je:

( ) 0'3

'2

'1 =++ σσσ (6.43)

Karakteri komponentnih napopna (p) i ( )'3

'2

'1 σσσ ++ su i dalje identi~ni glavnim naponima

(linearne komponente). Po{to se radi o prostornom naponskom stanju, zapreminska dilatacijase odre|uje shodno jedna~ini (3.39). Vrednost zapreminske dilatacije koja nastaje zbogkomponentnih napona (6.43) je:

'3

'2

'1

' εεεε ++=V (6.44)

σ3

σ1

σ2 = +

p

p

p σ'1 σ1-p=

σ'2 σ2-p=

σ'3 σ3-p=


207

Koriste}i odgovaraju}e oznake i POISSON-ove jedna~ine (4.06),

( )

( )

( )'2

'1

'3

'3

'1

'3

'2

'2

'3

'2

'1

'1

1

1

1

µσµσσε

µσµσσε

µσµσσε

−−=

−−=

−−=

E

E

E

(6.45)

jedna~ina (6.44) dobija oblik:

( ) 021 '3

'2

'1

'3

'2

'1

' =++−=++= σσσµεεεεEV (6.46)

Ako u predhodnoj jedna~uni koristimo zbir komponentnih napona (6.43), tada je za istevrednost zapreminske dilatacije jednaka nuli. Po{to je vrednost zapreminske dilatacijejednaka nuli, i vrednost specifi~ne energije na promeni zapremine koja je prouzrokovanakomponentnim naponima (6.43) je jednaka nuli.

Na osnovu predhodne ~injenice, moè se zaklju~iti, da na deformaciju (promenu) zapremineuti~e samo komponentni napon (p). Po{to komponentnim napon (p) ima karakter glavnognapona (linearna komponenta glavnog napona), izraz za specifi~nu energiju na promenizapremine (uV) se moè odrediti na osnovu jedna~ine (6.40):

( )µ2123 2

−=EpuV (6.47)

Uvrstimo u predhodnu jedna~inu izraz (6.42:

( )µ

σσσ

213

23

2321

−

++

=E

uV(6.48)

Nakon sre|ivanja, dobija se kona~na forma izraza za specifi~nu energiju na promenizapremine.

( ) ( )µσσσ21

6

2321 −

++=

EuV (6.49)


208

- SPECIFI^NA ENERGIJA NA PROMENI OBLIKA (uf)

Iz izraza (6.35) sledi da je:

Vf

fV

uuu

uuu

−=⇓

+=

(6.50)

Uvstimo u predhodnu jedna~inu izraze (6.38, 6.49).

( )[ ] ( )µσσσ

σσσσσσµσσσ 21132

3221 2

321133221

23

22

21 −

++

−++−++=EE

u f

Ako predhodnu jedna~inu preuredimo, dobijamo kona~ni oblik izraza za specifi~nu energijuna promeni oblika:

( ) ( ) ( )[ ]213

232

2216

1 σσσσσσµ −+−+−+=E

u f (6.51)

U posebnom slu~aju, kada su vrednosti glavnih napona jednake ( σσσσ === 321 ), vrednost

specifi~ne energije na promeni oblika je jednaka nuli ( 0=fu ).

6.1.2. BETTI I MAXWELL-OVI STAVOVI O ZAMENLJIVOSTIOPTERE]ENJA

Stav o zamenjljivosti, pokaza}emo na primeru proste, stati~ki odre|ene grede na dva osloncaoptere}ene sistemom koncentri~nih sila (F1, F2) (Sl. 6.07). Rezultati koji }e se dobiti, mogu seuop{titi na proizvoljan sistem optere}enja.

U op{tem slu~aju, nano{enje elemenata sistema optere}enja se vr{i odre|enim redosledom.

Koncentrisane sile }e dovesti do vertikalnih pomeranja, koje }emo obeleàvati na slede}ina~in:

( ) XXsilebrojXsiledelovanjamestoX ff =)( (6.52)


209

Sile (F1, F2) nanosi}emo na gredu po dva razli~ita redosleda

I SLUÂJ a) nano{enje sile (F1) b) nano{enje sile (F2).

II SLUÂJ a) nano{enje sile (F2). b) nano{enje sile (F1).

Sl. 6.07

Odredimo radove sistema spoljnjih optere}enja (radove) za oba redosleda nano{enjaoptere}enja.

I SLUÂJ

( )

( ) ( )12222121222

21111111

,21

,)(21

ffpomeranjauzrokujeFsilafFfF

ffpomeranjauzrokujeFsilafFWI

⇒++

⇒+=

(6.53)

Za vreme nano{enja sile (F2), postoje}a sila (F1), vr{i rad postoje}e sile (bez oznake 1/2).

Zbirno, rad prvog slu}aja nano{enja optere}enja je:

121222111 21

21 fFfFfFWI += (6.54)

A

y

FB

z

FF

A

A

y

z

B

F1 F2

f1

f2f22f12

f21f11

1 2


210

II SLUÂJ

( )

( ) ( )21111212111

12222222

,21

,)(21

ffpomeranjauzrokujeFsilafFfF

ffpomeranjauzrokujeFsilafFWII

⇒++

⇒+=(6.55)

Za vreme nano{enja sile (F1), postoje}a sila (F2) vr{i rad postoje}e sile (bez oznake 1/2).

Zbirno, rad drugog slu}aja nano{enja optere}enja je:

121222111 21

21 fFfFfFWI += (6.56)

Po{to ukupan rad sistema optere}enja ne zavisi od redosleda nano{enja elemenata sistemaoptere}enja, moè se napisati da je:

WWW III == (6.57)

Ako u jedna~ine (6.57) uvrstimo izraze (6.54, 6.56), dobijamo BETTI-jev stav ozamenljivosti.

212121 fFfF = (6.58)

Ako su optere}enja jedini~na (F1=F2=1), dobija se MAXWEL-ov stav o zamenljivostioptere}enja.

2112 ff = (6.59)

Prema stavu (6.58), rad jedne postoje}e sile (sistema optere}enja) na mestu dejstva druge sile(sistema optere}enja) je isti, kao rad druge postoje}e sile (sistema optere}enja) na mestudejstva prve sile (sistema optere}enja).

Podelimo jedna~inu (6.58) sa dva (2).

22212121 fFfF

= (6.60)


211

Levu stranu jedna~ine (6.58) moèmo napisati kao:

22121121

121fFfFfF += (6.61)

Poslednji ~lan predhodne jedna~ine zamenimimo u skladu sa stavom o zamenljivosti (6.58).

2222212121121121

121fFfFfFfFfF +=+= (6.62)

Poslednji ~lan jedna~ine (6.54), zamenimo sa (6.62), i iskoristimo jednakost (6.57):

( ) ( ) 22112122212111 21

21

21

21 fFfFffFffFWWW III +=+++=== (6.63)

Prikazan postupak utvr|ivanja izraza za rad se moè izvesti na identi~an na~in za slu~ajdelovanja momenata kao optere}enja. Matemati~ka struktura za oba tipa optere}enja jeidenti~na. Kao {to je re~eno postupak je primenljiv za proizvoljni sistem optere}enja:

{ } ( )∑ +=ki

kkiiki MfFW,

, 21 γ (6.64)

6.1.3. CASTIGLIANO-VA TEOREMA

Osnova za Catiglianovu teoremu je Bettije stav o zamenljivosti. Ova teorema ima {irokuprimenu pri odre|ivanju deformacija tela.

Analizirajmo jednu stati~ki odre|enu konstrukciju prikazanu na slici (Sl. 6.08), kojuoptere}uje proizvoljan spoljnji sistem optere}enja (6.65):

{ } { }kijij MMMFFFFK ,,,,,,,,,, 121 !!!!= (6.65)


212

Sl. 6.08.a Sl. 6.08.b

Tokom rada jedan od elemenata sistema optere}nja, naprimer sila (Fi), menja svoju vrednostza diferencijalno mali iznos ( idF ). Ovaj iznos moè u op{tem slu~aju biti i pozitivan inegativan, pa promena sistema optere}enja iznosi:

{ }0,,,,0,0 !! idF (6.66)

Ako se sistem optere}enja (6.65), i promena sistema optere}enja (6.66) nanose redosledno(jedan nakon drugog), ali razli~itim redosledom, tada }e optere}enja ( ii dFodnosnoF ) u

ta~ci dejstva sile (i) dovesti do pomeranja ( ii dff , ), koja imaju isti pravac i smer kao ioptere}enja.

ODRE\IVANJE UKUPNOG RADA

{ } { } { } { }jiij KdFdFK WWWWW +=+= (6.67)

Ukupan sistem optere}enja { }ij dFK + bi}e nanet po dva redosleda nano{enja.

I REDOSLED NANO[ENJA II REDOSLED NANO[ENJA

a. { }jK b. { }idF a. { }idF b. { }jK (6.68)

a ab


213

VREDNOSTI RADOVA PO REDOSLEDU NANO[ENJA

NA OSNOVU MATEMATIKE NA OSNOVU PODATAKA SA SLIKE

a. { } ( )jK KWWj

= a. { } iidF dfdFWi 2

1= (Sl. 6.08.a) (6.69)

b. { }( )

ii

jdF dF

FKW

Wi ∂

∂= b. { } ( ) iijK dfdFKWW

j+= (Sl. 6.08.b) (6.70)

UKUPAN RAD PO OBE OSNOVE

{ } { } ( ) ( )i

i

jjdFK dF

FKW

KWWWWij ∂

∂+=+= ( ) iijii dfdFKWdfdFW ++=

21

(6.71)

Ukupan rad (W ) je prema vezi (6.67) nezavisan od redosleda nano{enja optere}enja, ili odmetoda po kome se utvr|uje, pa se moè napisati slede}a jednakost:

( ) ( ) ( ) iijiiii

jj dfdFKWdfdFdF

FKW

KW ++=∂

∂+

21

(6.72)

Ako u poslednjoj jedna~ini zanemarimo male veli~ine drugog reda, dobijamo jedna~inu zaodre|ivanje pomeranja u pracu i smeru dejstva sile (Fi):

( )i

ji F

KWf

∂∂

= (6.73)

Prethodna jedna~ina ukazuje na to, da se pomeranje ( if ) u ta~i dejstva sile (i) moè odrediti

kao parcijalni izvod rada ( ( )jKW ), koji je posledica dejstva sistema optere}enja { }jK , po sili

(Fi) koja deluje u ta~ci.


214

Ugaono pomeranje se odre|uje na identi~an na~in, i ima oblik:

( )i

ji M

KW∂

∂=γ (6.74)

6.1.3.1. ODRE\IVANJE DEFORMACIJA PRI ELASTI^NIM OSLONCIMA

Ako oslonci grede nisu kruti, ve} su elesti~ni, tada sistem optere}enja pored aktivni sardrì ielasti~ne sile oslonaca:

{ }eR (6.75)

U ovakvom slu~aju je oblik funkcije rada slede}i:

( )ej RKWW ,= (6.76)

Ili uz prikaz elemenata optere}enja:

( )eikiji RRRMMMFFFWW ,,,,,,,,,,,,,, 111 !!!!!!= (6.77)

Na osnovu Castiglianove teoreme, deformacije su slede}e:

Pomeranje u pravcu i smeru dejstva sile (Fi), u ta~ci (i):

i

e

eiii F

RRW

FR

RW

FWf

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂= ,,1

1

! (6.78)

Ugono pomeranje u smeru dejstva momenta (Mi), u ta~ci (i):

i

e

eiii M

RRW

MR

RW

MW

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂= ,,1

1

!γ (6.79)

6.1.3.2. ODRE\IVANJE DEFORMACIJA PRI FIKTIVNIM OPTERE]ENJIMA

Na osnovu Castiglianove teoreme, deformacije se mogu odrediti samo na mestima dejstvaoptere}enja.


215

Na onim nestima (f), gde ne postoji element sistema optere}enja, a deformacije se trebajuodrediti, uvode se takozvana FIKTIVNA OPTERE]ENJA. (Ff -FIKTIVNA SILA,Mf -FIKTIVNI MOMENAT). Na ovaj na~in funkcija rada }e se izraàvati u zavisnosti odaktivnog i fiktivnog sistema optere}enja-FIKTIVNA FUNKCIJA RADA.

( )ffjf MFKWW ,,= (6.80)

U daljem postupku, deformacije se izra~unavaju prema izrazima (6.73, 6.74), stim da se ukrajnjoj formi obrazaca fiktivna optere}enja izjedna~uju sa nulom

( )0=fF ( )0=fM (6.81)

- Kona~ne forme deformacija u ta~ci (f) pri fiktivnim optere}enjima su:

0

0

=

=

∂=

∂=

f

f

Mf

ff

Ff

ff

MW

FW

f

γ(6.82)

Ako se analizira slu~aj, kada na konstrukciju (gredu) deluje aktivni i fiktivni sistemoptere}enja, a postoji potreba da se odrede deformacije na mestima delovanja aktivnihoptere}enja, tada se mogu koristiti obrasci za fiktivni rad (6.80), ali se fiktivna optere}enja uobrascu za fiktivni rad trebaju izjedna~iti sa nulom. ( )0=fF ,. ( )0=fM .

0

0

=

=

∂=

∂=

f

f

Mi

fi

Fi

fi

MW

FW

f

γ(6.83)

PRIMER 6.1.

Konzola prikazana na slici (Sl. 6.1.1), optere}ena je koncentrisanom silom (F) na svom desnom kraju. Presek konzole jekonstantan ( .constIx = ), a modul elasti~nosti je (E).


216

Potrebno je odrediti ugib (vertikalno pomeranje) u ta~ci (B) ( Bf ), i nagib (ugaono pomeranje) ( Cα ) u ta~ci (C).

Sl. 6.1.1

Prema Castiglianovoj teoremi, u ta~kama gde se trebaju odrediti deformacije, a ne postoje aktivna optere}enja, uvode sefiktivna optere}enja.

Po{to u ta~ci (C) ne postoji aktivni moment, a treba da se odredi nagib ( Cα ), uvodi se fiktivni moment ( 0=fM ).

Fiktivni rad ( fW ) }e na osnovu veze (6.32) biti funkcija sile (F) i fiktivnog momenta ( 0=fM ).

( )ff MFWW ,= (P.6.01)

Po{to se radi o gredi koja je opter}ena na savijanje, izraz za rad se odre|uje prema jedna~ini (6.32). Prema vezi (6.03)moèmo da koristimo jednakost rada i energije (W=U):

dzI

ME

WWl

x

zf ⋅== ∫

0

2

21

(P.6.02)

ODRE\IVANJE FUNKCIJE MOMENATA

Konzolu }emo podeliti u dva intervala:

( )11 −INTERVAL ……. 02

≥≥ zl ( )22 −INTERVAL ……. 0

2≥≥ zl

( ) FzM −=−11 ( ) fMFzlM −

+−=− 222 (P.6.03)

A z

y

l/2

l

fB

α(C)

B

B'

C

C'

=0

Ix E,

z z1

12

2

F

Mf


217

UKUPAN RAD

Izra~unava se kao zbir radova u pojedinim intervalioma:

( ) ( )( ) ( ) dz

IM

Edz

IM

EWWWW

l

x

l

xf ∫∫ −−

−− +=+==2

0

222

2

0

211

2211 21

21

(P.6.04)

VERTIKALNO POMERANJE TA^KE (B)


( )( )

( )( )

( )( )

⇓

−−

−

+−+−−=

=

∂∂

+∂

∂=

∂

∂=

=

=

−−

−−

=

∫∫

∫∫

0

2

0

2

0

0

2

0

2222

2

0

1111

0

221

222

1

f

f

f

M

l

f

l

x

M

ll

xM

fB

dzzlMFzldzzFzEI

dzF

MMdz

FM

MEIF

Wf

xB EI

Flf3

3

= (P.6.05)

NAGIB U TA^CI (C)


( )( )

( )( )

( ) ( )

⇓

−

−

+−+−=

=

∂∂

+∂

∂=

∂∂

==

=

=

−−

−−

=

∫∫

∫∫

0

2

0

2

0

0

2

0

2222

2

0

1111

0

12

01

222

1

f

f

f

M

l

f

l

x

M

l

f

l

fxMf

fCC

dzMFzldzFzEI

dzM

MMdz

MM

MEIM

Wαγ

xC EI

Fl 2

83=α (P.6.06)


218

6.2. JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE

6.2.1. KONVENCIJE O OZNAKAMA

Tokom analize koja sledi, koristi}emo konvenciju o ozna~avanju. Konvencija se odnosi nadefiniciju znaka transverzalne sile (T), momenta savijanja (M), linearno pomeranje(pomeranje-ugib) (y) ili (f), i ugaono popmeranje (nagib) (γ ). Sve veli~ine vezuju se zapravougli koordinatni sistem (xyz) definisan po pravcima kako je to prikazano na slici(Sl. 6.09).

Sl. 6.09

T'

T

T >0

dz

dzdz

dz

T

T'

T <0

z

z z

z

M>0 M<0M

M

M'

M'

o

y

zγ>0

γ<0


219

6.2.2. OP[TA DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE

Mada se metod odnosi na proizvoljan sistem optere}enja, ipak, u cilju jednostavnosti, prikaz,}emo obaviti kori{tenjem stati~ki odre|ene grede sa dva oslonca (Sl. 6.10).

Sl. 6.10

U neoptere}enom stanju, neutralna ravan (osa) grede se poklapa sa koordinatnom osom (z).Po prijemu optere}enja, neutralna ravan (osa) se elasti~no deformi{e i zauzima poloàj kojiodgovara jednoj kontinualnoj liniji u ravni optere}enja (yz):

( ) ( )zfy z = (6.84)

Elasti~no deformisana neutralna osa se zove ELASTI^NA LINIJA, a odgovaraju}a jedna~ina(6.84) se naziva JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE.

Geometrijske karakteristike normalnog preseka (K-K), koji se nalazi na udaljenju (z) od levogoslonca grede (koordinatnog po~etka), su slede}e:

z

P

N

K

K

M(z)

(z)T

Py,=γ

=f

P


220

z……..…udaljenje normalnog preseka od koordinatnog po~etka

A….……povr{ina normalnog preseka

Ix…….….aksijalni moment inercije povr{ine normalnog preseka

y(z) =f …...vertikalno pomeranje teìsta normalnog preseka

( )zγ )……..ugaono pomeranje (nagib)

( )zρ ……...radius zakrivljenja

M(z)……....redukovani moment savijanja na teì{te normalnog preseka

T(z)……..…redukovana transverzalna sila na teì{te normalnog preseka

Izraz za zakrivljenost (obra|eno u matemati~koj analizi) funkcije (6.84) je:

( )[ ] 32

2')(

'')(

1

1

z

z

y

y

+=

+−

ρ(6.85)

Ako se u predhodnoj jedna~ini zanemare male veli~ine drugog reda, dobija seDEFERENCIJALNA JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE.

'')(

)(

1z

z

y±=ρ

(6.86)

Vertikalno pomeranje teì{ta (ugib) normalnog preseka (K-K) se odre|uje na osnovu hipotezeo superpoziciji, kao slede}i zbir:

)()()( zTzMz yyy += (6.87)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )zzM

zzM

z

TsilepoprecnezbogzpravcuupomeranjeyMsavijanjamomentazbogzpravcuupomeranjey

zpravcuupomeranjeukupnoysuGde

,

,

:

−

−

−

Ako se izvr{i uzastopno dva puta derivacija jedna~ine elasti~ne linije (6.87), dobijaju sejedna~ine za:


221

Nagib elasti~ne linije:

)('

)('

)('

zTzMz yyy += (6.88)

Zakrivljenost elasti~ne linije:

)(''

)(''

)(''

zTzMz yyy += (6.89)

Prvi ~lan jedna~ine (6.89) predstavlja zakrivljenost prouzrokovanu momentom savijanja (M).Vrednost zakrivljenosti odre|ujemo kori{tenjem jedna~ina (5.105, 5.109), uz primenuHOOKE-ovog zakona (4.01).

( )'')()(

zx

z yEyyEEyI

M±====

ρεσ (6.90)

Kori{tenjem jednakosti podvu~enih ~lanova u jedna~ini (6.90), sledi veza

( )'')()(

zx

z yEI

M±= (6.91)

Znak momenta savijanja (M) se odre|uje prema konvenciji (6.21).

Nakon utvr|ivanja znaka momenta savijanja, iz jedna~ine (6.91) se eksplicitno izraàvazakrivljenost, kao posledica momenta savijanja (M), modula elasti~nosti (E), i aksijalnogmomenta inercije (Ix).

x

zz

IEM

y )()(

'' −≈ (6.92)

Drugi ~lan jedna~ine (6.89) predstavlja zakrivljenost prouzrokovanu transverzalnom silom(Tz).

Posmatrajmo diferencijalno kratak interval neutralne linije duìne (dz), koji je optere}entransverzalnom silom (Tz) (Sl. 6.11). Kao posledica delovanja transverzalne sile, dolazi dougaonog pomeranja (ugla klizanja-nagiba) (

( )zTγ ) i vertikalnog pomeranja (ugiba) (dyT(z)).

Sl. 6.11

P

T(z)

T(z)

z dz

γΤ(z)

T(z)dy


222

Na osnovu slike (Sl. 6.11) moè se napisatiti da je:

')(

)(zT

zT ydz

dy=≅γ (6.93)

Kori{tenjem jedna~ina (5.116, 5.117, 6.93) i HOOKE-ovog zakona (4.01), mogu seuspostaviti slede}e relacije:

AT

yGG zzT

)(')(max αγτ === (6.94)

Ako iskoristimo poslednja dva ~lana predhodne jednakosti, i na|emo prvi izvod tako dobijenejednakosti, tada se moè eksplicitno izraziti vrednost obrasca za zakrivljenost, kao posledicudelovanja transverzalne sile (T), modula klizanja (G), povr{ine normalnog preseka (A), ikojeficijenta (α ).

AGTy z

zT)(

'''

)( α= (6.95)

Ako se u jedna~inu (6.89) uvrste izrazi (6.92, 6.95), dobija se OP[TA DIFERENCIJALNAJEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE.

AGT

IEM

y z

x

zz

')()(

)('' α

+−= (6.96)

6.2.2.1. RELATIVNI UTICAJ TRANVERZALNE SILE

Relativni uticaj transverzalne sile na elasti~ne deformacije odre|ujemo na osnovu vrednostikojeficijenta relativnog uticaja transverzalne sile (k).

%100)()(

)(

zTzM

zT

yyy

k+

= (6.97)

U zavisnosti od vrednosti kojeficijenta (k), grede delimo u dve grupe, ito:

- KRATKE GREDE

Ukoliko je vrednost kojeficijenta (k) ve}a od (5%), tada se govori o kratkim gredama, i udaljoj analizi se treba koristi op{ta diferencijalna jedna~ine elasti~ne linije (6.94) ukompletnom obliku.


223

- DUGA^KE GREDE

Ukoliko je vrednost kojeficijenta (k) manja od (5%), tada se uticaj transverzalne sile moèzanemariti, pa se shodno tome i op{ta diferencijalna jedna~ine elasti~ne linije (6.94) koristibez drugog ~lana. Duga~ke grede su naj~e{}i pojavni oblik greda u ma{instvu, pa }e se stogau daljoj analizi predpostavljati da se radi o ovakvim gredama.

6.2.3. PRIBLI@NA DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE

U daljem radu, analizir}e se duga~ke grede kod kojih je relativni utcaj transverzalne sile nadeformacije ispod (k=5%). U tom slu~aju se drugi ~lan op{te diferencijalne jedna~ineelasti~ne linije (6.96) zanemaruje (ne koristi se), pa se dobiven oblik jedna~ine zovePRIBLI@NA DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE ili samoDIFERENCIJALNA JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE, i ima oblik:

x

zz

IEM

y )()(

'' −≅ (6.98)

- IZRAÛNAVANJE UGLOVNOG POMERANJA (NAGIB)

Integracijom diferencijalne jedna~ine (6.98), dobija se izraz za uglovno pomeranje (nagib) upoloàju (z) normalnog preseka grede:

( ) 1)(

)(' Cdz

IEM

yx

zzz +−== ∫γ (6.99)

- IZRAÛNAVANJE VERTIKALNOG POMERANJA (UGIB)

Integracijom jedna~ine (6.99), dobija se izraz za vertikalno pomeranje (ugib) u poloàju (z)normalnog preseka grede:

21)(

)()( CdzCdzIE

Mfy

x

zzz +

+−=≅ ∫ ∫ (6.100)


224

Integracione konstante (C1, C2) se odre|uju na osnovu grani~nih uslova (poznatih ili zadatihvrednosti ugiba i nagiba grede).

PRIMER 6.2.

Konzola (A-B) prikazana na slici (Sl. 6.2.1), optere}ena je na desnom kraju (B) spregom (M). Presek grede je ravnomeran( .constIx = ), a modul elasti~nosti materijala grede je (E).

Potrebno je odrediti izraze za nagib ( ( )Bα ) i ugib ( ( )Bf ) u ta~ci (B).

MOMENT SAVIJANJA U NORMALNOM PRESEKU NA UDALJENJU (z)

MM z −=)( (P.6.07)

Sl. 6.2.1

DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE


( ) MMyIE zzx =−='')( (P.6.08)

M

A z

y

( z )

l

f( B

α( B )

B

B '


225

OBAVLJANJE INTEGRACIJA

212

)(

1'

)(

21 CzCzMyIE

CMzyIE

zx

zx

++=

+=(P.6.09)

ODRE\IVANJE INTEGRACIONIH KONSTANTI

Odre|ivanje vr{imo u konkretnom slu~aju, na osnovu poznatih ugiba i nagiba:

00,000,0:

2)0(

1'

)0(

=⇒==

=⇒==

=

=

CyjezCyjezZa

z

z(P.6.10)

Ako vrednosti integracionih konstanti (P.6.10) uvrstimo (vratimo) u jedna~ine (P.6.09), dobijamo izraze za nagib ( ( )'zy ) i ugib

( ( )zy ) u funkciji poloàja (z) normalnog preseka.

222

)(

')(

22

==

==

lz

IElMz

IEMy

lz

IElMz

IEMy

xxz

xxz

(P.6.11)

DEFORMACIJE U TA^CI (B)

- Nagib ( ( )Bα ) u ta~ci (B), koja je na udaljenju (z=l):

( )

⇓

=== Bx

lz IElMy α'

)(

xB IE

lM=)(α (P.6.12)

- Ugib ( ( )Bf ) u ta~ci (B), koja je na udaljenju (z=l):

⇓

=== )(

2

)( 2 Bx

lz fIElMy

xB IE

lMf2

2

)( = (P.6.13)


226

PRIMER 6.3.

Desni kraj (B) konzole (A-B-C), koja je prikazana na slici (Sl. 6.2.2), tereti koncentrisana sila (F). Presek grede je konstantan( .constIx = ), a modul elasti~nosti materijala grede je (E). Interval grede (B-C) je bez optere}enja.

Potrebno je odrediti izraz za nagib ( ( )Cα ) i ugib ( ( )Cf ) u ta~ci (C).

Sl. 6.2.2


( ) ( ) azazaFM z ≤≤−−= (P.6.14)



( )zaFMyIE zzx −=−= )(''

)( (P.6.15)


( ) 12

)( 21' CzaFyIE zx +−−=

( ) 213

)( 61 CzCzaFyIE zx ++−= (P.6.16)

A z

y

(z)f(B)

f'(B)

f'(C)

α(B)

B

B'

C

C'

F

a b


227

ODRE\IVANJE INTEGRACIONIH KONSTANTI


32)0(

21

')0(

610,0

210,0:

aFCyjez

aFCyjezZa

z

z

⋅−=⇒==

⋅=⇒==

=

=

(P.6.17)

Ako vrednosti integracionih konstanti (P.6.17) uvrstimo (vratimo) u jedna~ine (P.6.16). dobijamo izraze za nagib ( ( )'zy ) i ugib

( ( )zy ) u funkciji poloàja (z) normalnog preseka:

−

=

22'

)( 221

az

azFaEIy xz

−

=

323

)( 361

az

azFaEIy xz (P.6.18)


- Nagib ( ( )Bα ) u ta~ci (B), koja je na udaljenju (z=l):

⇓

=== )(

2'

)( 21

Bx

az IEaFy α

xB IE

aF 2

)( 21=α (P.6.19)

- Ugib ( ( )Bf ' ) u ta~ci (B), koja je na udaljenju (z=l):

⇓

=== )('

3

)( 31

B

xaz f

IEaFy

x

BIEaFf

3

)('

31= (P.6.20)


228

- Nagib ( ( )Cα ) u ta~ci (C):

( ) ( )x

BC IEaF 2

21== αα (P.6.21)

- Ugib ( ( )Bf ) u ta~ci (C) dobijamo na osnovu izraza (P.6.20) i geometrijskih odnosa sa slike (Sl. 6.2.2):

⇓

+=+= bffff BBCBC )('

)('

)('

)()( α

⇓

+= bIEaF

IEaFf

xxC

23

)( 21

31

+=

ab

IEaFf

xC 32

61 3

)( (P.6.22)

PRIMER 6.4.

Konzola (A-B) prikazana na slici (Sl. 6.2.3), optere}ena je po celom rasponu kontinualnim optere}enjem ( δ ), a na svomdesnom kraju u ta~ci (B) koncentrisanom (F). Presek grede je konstantan ( .constIx = ), a modul elasti~nosti materijala grede

je (E).

Potrebno je odrediti izraze za nagib ( ( )Bα ) i ugib ( ( )Bf ) u ta~ci (B

Sl. 6.2.3

Az

y

(z)

f(B)

B

B''

B'

F

f'(B)F

f'(B)g

δ

l

α(B)

F

α(B)

α(B)

g


229

Po{to je greda optere}ena sloènim sistemom optere}enja ( δ,F ), broblem se moè re{iti tako, da se odrede izrazi zadeformacije posebno kao funkcije koncentrisane sile (F) i posebno kao posledice kontinualnog optere}enja ( δ ), te sevrednosti, shodno hipotezi o superpoziciji deformacija saberu.

Valjanost hipoteze o superpoziciji }emo pokazati na taj na~in, {to}emo sprovesti postupak odre|ivanja deformacija odjednom za ceo sistem optere}enja. U cilju boljeg uo~avanja superponiranosti, uticajne delove pojedinih elemenata sistema

optere}enja razdvoji}emo sa simbolom (! ).


( ) ( ) ( ) lzlz

lzl

lzlFzlzlFM z ≤≤

+−⋅−

−⋅⋅−=−−−−= 0;21

211

21

2

222 δδ !!

(P.6.23)



+−⋅+

−= 2

22''

)( 21211

lz

lzl

lzFlyIE zx δ! (P.6.24)


12

322

2

)('

31

21

21 C

lz

lzzl

lzzFlyIE zx +

+−⋅+

−= δ!

212

4322

32

)( 121

31

21

21

61

21 CzC

lz

lzzl

lzzFlyIE zx ++

+−⋅+

−= δ! (P.6.25)

ODRE\IVANJE INEGRACIONIH KONSTANTI


00,000,0:

2)0(

1'

)0(

=⇒==

=⇒==

=

=

CyjezCyjezZa

z

z(P.6.26)

Ako vrednosti integracionih konstanti (P.6.26) uvrstimo (vratimo) u jedna~ine (P.6.24). dobijamo izraze za nagib ( ( )'zy ) i ugib

( ( )zy ) u funkciji poloàja (z) normalnog preseka:


230

+

−

⋅+

−

=

lz

lz

lz

EIl

lz

lz

EIFly

xxz

2322'

)( 33612

2δ

!

+

−

⋅+

−

=

4324323

)( 462413

6 lz

lz

lz

EIl

lz

lz

EIFly

xxz

δ! (P.6.27)


Nagib ( ( )Bα ) u ta~ci (B), koja je na udaljenju (z=l):

⇓

=+=+=⋅+= === )()()()('

)()(')(

32'

)( 61

21

BBFBlz

Flz

xxlz yy

EIl

IElFy αααδ δδ!

xxB EI

lIElF 32

)( 61

21 ⋅+= δα ! (P.6.28)

- Ugib ( ( )Bf ' ) u ta~ci (B), koja je na udaljenju (z=l):

⇓

=+=+=⋅+= === )()(

)()(

)()('

)()(

)(

43

)( 81

3 BBF

BlzF

lzxx

lz fffyyEI

lEIFly δδδ

!

xxB EI

lEIFlf

43

)( 81

3⋅+= δ

! (P.6.29)

6.2.4. ODRE\IVANJE JEDNAÎNE ELASTI^NE LINIJE U SLUÂJUSLO@ENIH OPTERE]ENJA (CLEBSCH-OV METOD)

Ukoliko je greda optere}ena sloènim sistemom optere}enja, tada se u cilju odre|ivanja izrazaza momente savijanja, greda mora podeliti na onoliko intervala, kojiko se promena


231

optere}enja registuje po duìni grede. To zna~i, da je u cilju odre|ivanja deformacija,potrebno postaviti isto toliki broj diferencijalnih jedna~ina elasti~nih linija i odrediti dvaputave}i broj integracionih konstanti. Re{avanje ovakvih sistema diferencijalnih jedna~ina je popravilu vrlo mukotrpan posao.

ALFRED CLEBSCH je predloìo metod za (jednostavnije) re{avanje problema odre|ivanjadeformacija greda optere}enih sloènim sistemom optere}enja. Metod nosi ime autor i zovese CLEBSCH-ov METOD.

Metod }e se prikazati na primeru stati~ki odre|ene proste grede sa dva oslonca, koja jeoptere}ena sloènim sistemom optere}enja (F1, F2), kako je to prikazano na slici (Sl. 6.12).

Sl. 6.12

Metod se zasniva na po{tovanju slede}e (uobi~ajene) procedure (redosleda radnji):

1. Greda se deli na broj intervala koji je jednak pojavi novih optere}enja na rasponu grede(posmatrano sleva na desno).

2. Intervale obeleàvamo arapskim brojevima (ra~unaju}i s leva na desno), a udaljenjadejstava optere}enja od (A) kraja grede sa malim slovima latinice.

3. Svaki moment savijanja u posmatranom inervalu mora sadràvati matemati~ku strukturupredhodnog intervala.

4. Nakon odre|ivanja integracione konstante (C) i njenog uvr{tavanja u prvi deo jedna~inaza odre|ivanje deformacija, deformacije se odre|uju kori{tenjem strukture do intervala ukome se deformacije traè.

5. Proizvoljni poloàj u svakom od intervala ozna~ava se istovetno sa (z), stim da se usvakom intervalu (z) koristi u granicama egzistencije intervala.

1 2 3

(z)(z)

(z)

ab

F1 F2Fz

FA

A

y

FB

Bz

l


232

U cilju jasnog prikazivanja postupka, obavljaju se sve predvi|ene matemati~ke radnje koje sukori{tene kod nalaènja deformacija kori{tenjem jedna~ina elasti~nih linija (postavljanjemomenta savijanja za svaki inerval posebno, integracije, odre|ivanje integracionih konstanti,odre|ivanja izraza za deformacije). Prikaz se vr{i pomop}u tabela.

Formiranje jedna~ina za momente savijanja po intervalima:

INTERVAL JEDNAÎNA MOMENTA SAVIJANJA OBLASTEGZISTENCIJE (z)

1 ( ) zFM Az =1 az ≤≤0

2 ( ) ( )azFzFM Az −−= 12 bza ≤≤

3 ( ) ( ) ( )bzFazFzFM Az −−−−= 213 lzb ≤≤

Formiranje diferencijalnih jedna~ina elasti~nih linija po intervalima:

INTERVAL ( )zx MyEI −=''( )∫−= dzMyEI zx

'

1 zFA− 12

21 CzFA +− s

2( )azFzFA −+− 1 ( ) 2

21

2

21

21 CazFzFA +−+−

3( ) ( bzFazFzFA −+−+− 21 ( ) ( ) 3

22

21

2

21

21 CbzFazFzFA +−+−+−

INTERVAL ( )dzdzMyEI zx ∫ ∫−= )(

1 113

61 DzCzFA ++−

2 ( ) 223

13

61

61 DzCazFzFA ++−+−

3 ( ) ( ) 333

23

13

61

61 DzCbzFazFzFA ++−+−+−


233

Uo~ljivo je, da je potrebno odrediti {est integracionih konstanti (C1, C2, C3, D1, D2, D3).Odre|ivanje obavljamo na osnovu poznatih ugiba i nagiba grede:

Za vrednosti:

( ) ( )[ ] CblFalFlFl

Cylz

DDyybzCCyybzDDyyazCCyyazoDyz

AB

A

=−−−−=⇒==

=⇒==

=⇒==

=⇒==

=⇒==

=⇒==

32

31

33

3232

32'3

'2

2121

21'2

'1

1

610

00

(6.101)

Na osnovu vrednosti konstanti (6.101), sledi:

CCCCDDD

======

321

321 0(6.102)

Iz relacija (6.102) se zaklju~uje, da je za sloèni sistem optere}anja (bez obzira na brojintervala) potrebno odrediti samo jednu integracionu (C). Integraciona konstanta (C). seodre|uje iz poslednje (kompletne) jedna~ine elasti~ne linije, pri uslovu poznatog ugiba nadesnom kraju grede.

0; == ylz (6.103)

Prema ovom metodu se uz postavljanje (formiranje) jedne diferencijalne jedna~ine za sloènisistem optere}enja, i odre|ivanje jedne integracione konstante, mogu odrediti deformacije ubilo kom intervalu grede, tako da se struktura jedna~ine za odre|ivanje deformacija koristi domesta na kom se trebaju odrediti deformacije (do duple crte).

Po{tuju}i predvi|enu proceduru obeleàvanja i nalaènja integracione konstate, sledejedna~ine za sloèni sistem optere}enja:


234

- UNIVERZALNA JEDNAÎNA MOMENTA SAVIJANJA

( ) ( ) ( ) 32211 bzFazFzFM Az −−−−= (6.104)

- UNIVERZALNA DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA

( ) ( ) ( ) 32211'' bzFazFzFyEI Azx −+−+−= (6.105)

- UNIVERZALNA JEDNAÎNA ZA ODRE\IVANJE NAGIBA

( ) ( ) ( )

−+−++−= 3

222

211

2'

21

21

211 bzFazFCzF

EIy A

xz (6.106)

- UNIVERZALNA JEDNAÎNA ZA ODRE\IVANJE UGIBA

( ) ( ) ( ) ""

−+−++−= 3

322

311

3

61

61

611 bzFazFCzzF

EIy A

xz (6.107)

- UNIVERZALNA JEDNAÎNA ZA ODRE\IVANJE INTEGRACIONEKONSTANTE

( ) ( )[ ]""2

22

12

61 blFalFlFl

C A −−−−= (6.108)

6.2.4.1. OBLICI UNIVERZALNIH JEDNAÎNA MOMENATA SAVIJANJA ZARAZNE SLUÂJEVE OPTEREÊNJA

U delu (6.2.4), u cilju analize i izvo|enju zaklju~aka, kori{tene su sile kao elementi sistemaoptere}enja. Ako na gredu deluju i drugi tipovi optere}enja (momenti, kontinualnaoptere}enja, spregovi), tada se momentne jedna~ine formiraju na na~in kako je to prikazanona slede}im primerima:


235

- DELOVANJE SPREGA (Sl. 6.13):

Sl. 6.13

Odgovaraju}a univerzalna jedna~ina savijanja sadrì ~lan (z-a)o, koji}e se kasnije izmatemati~kih raloga koristiti pri integraciji.

( ) ( ) 20

1 azMzFM Az −−= (6.109)

- KONTINUALNO OPTERE]ENJE (Sl. 6.14):

Sl. 6.14

U cilju strukturalne jednakosti momentnih jedna~ina, u intervalu ( al − ), gde ne postojikontinualno optere}enje (δ ), treba dodati i oduzeti kontinualno optere}enje ( δ± ), kao viddopunskih optere}enja. Na taj na~in se deformacije grede ne menjaju, a osigurava se potrebnastrukturalna jednakost sa predhodnim intervalom.

( ) ( ) 22

12

21

21 azzzFM Az −−−= ρρ (6.110)

1 2

(z)(z)

a

Fz

FA

A

y

FB

Bz

M

1 2

(z)(z)

a

Fz

FA

A

y

FB

Bz

δ δ

δ


236

- KONTINUALNO OPTERE]ENJE UNUTAR RASPONA (Sl. 6.15):

Sl. 6.15

Odgovaraju}a univerzalna jedna~ina za moment savijanja se odre|uje po{tuju}i pravilo datoza prethodni slu~aj.

( ) ( ) ( ) 32

22

1 21

21 bzazzFM Az −+−−= ρρ (6.111)

- SLO@EN SISTEM OPTERE]ENJA (Sl. 6.16)

Sl. 6.16

1 2 3

(z)(z)

(z)

aFz

FA

A

y

FB

Bz

δ δ

δ

b

1 2 3 4 5

(z)

(z)(z)

(z)(z)

ab

F

F1

F1

Fz

FA

A

y

FB

Bz

l

cd

δ M

m

(F1 m. )


237

Odgovaraju}a univerzalna jedna~ina momenta savijanja za gredu koja je optere}ena sloènimsistemom optere}enja, postavlja se uz kori{tenje pravila iz (6.109, 6.110, 6.111

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 50

42

32

20

10

11 21

210 dzMczbzazMzMzFzFM Az −−−−−−−−−−−= ρρ

(6.112)

PRIMER 6.5.

Prosta, stati~ki odre|ena greda sa dva oslonca prikazana na slici (Sl. 6.2.4), optere}ena je sloènim sistemom optere}enja( FM , ), koji se sastoji od koncentrisane sile (F) i sprega (M=0,5 F). Presek grede je konstantan ( .constIx = ), a modul

elasti~nosti materijala grede je (E).

Potrebno je odrediti nagib ( ( )Dβ ) u ta~ci (D).

1 2 3

(z)(z)

(z)

l1/4 l

1/2 l

FAz

FAy

AC D

y

F FDy

B z

M


238

REAKCIJE VEZA (otpori oslonaca)

- Odre|uju se na osnovu stati~kih jedna~ina ravnoteè.

-

( )( )

( )

⇓

=⋅+⋅⋅−−=

=−−=

==

∑∑∑

3...043

2..................0

1...................................0

lFlFMM

FFFY

FZ

DyA

DyAy

Az

( )

( )

( )l

MFF

Fl

MF

F

Ay

Dy

Az

−⋅=⇒

⋅+=⇒

=⇒

412

433

01

(P.6.30)

UNIVERZALNA JEDNAÎNA MOMENTA SAVIJANJA

Odre|uje se na osnovu relacije (6.117) i podataka sa slike (Sl. 6.16).

32

0

1 43

2

⋅−⋅−

−⋅+⋅= lzFlzMzFM Ay (P.6.31)

UNIVERZALNA DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA ELASTI^NE LINIJE

Odre|uje se na osnovu jedna~ine (6.105).

( )32

0

1''

43

2

⋅−⋅+

−⋅−⋅−=−=⋅⋅ lzFlzMzFMyIE Ayzx

(P.6.32)

UNIVERZALNA JEDNAÎNA ZA ODRE\IVANJE NAGIBA


( )

⋅−⋅⋅+

−⋅−+⋅⋅−

⋅=

3

2

21

2'

43

21

2211 lzFlzMCzF

IEy Ay

xz (P.6.33)


239

UNIVERZALNA JEDNAÎNA ZA ODRE\IVANJE UGIBA


( )

⋅−⋅⋅+

−⋅−⋅+⋅⋅−

⋅=

3

3

2

2

1

3

43

61

221

611 lzFlzMzCzF

IEy Ay

xz (P.6.34)

INTEGRACIONA KONSTANTA

Odre|uje se na osnovu jedna~ine (6.101, tako da se u jedna~ini (P.6.34) koristi grani~ni uslov ( ( ) 0==lzy ).

322

43

61

221

61

⋅−⋅

⋅⋅+

−

⋅⋅+⋅⋅= lz

zFlz

zMzFC Ay (P.6.35)

Uvrstimo sada u jedna~inu (P.6.35) zadate vrednosti za ( lzMFAy =,, ).

322

43

61

221

212

1

41

61

⋅−⋅

⋅⋅+

−

⋅⋅⋅+⋅

⋅−⋅⋅= lz

lFlz

llFl

l

lFFC

Sre|ivanjem predhodne jedna~ine, dobijamo izraz za integracionu konstantu (C):

2

3847 lC ⋅= (P.6.36)

NAGIB U TA^CI (D)

Odre|ivanje se vr{i na osnovu jedna~ine za nagib (P.6.33), tako da se u istu uvrsti vrednost koordinate ta~ke (C) (z=l) ivrednost integracione konstante (P.6.36).

( ) ( )x

zD IElFy

⋅⋅⋅−==

2'

38429β (P.6.37)


240

6.2.5. DEFORMACIJE GREDA SA STALNIM, I PROMENLJIVIM PRESEKOM

Deformacije greda odre|uju se na osnovu jedna~ina (6.99, 6.100. U navedenim jedna~inamamodul elasti~nosti (E) je konstantna veli~ina, dok su moment savijanja (M(z)) i aksialnimoment inercije (Ix) funkcije poloàja (z).

U zavisnosti od konstruktivne izvedbe, normalni preseci greda mogu biti stalni ili su funkcijepoloàja (z) (promenljivi).

6.2.5.1. GREDE SA STALNIM NORMALNIM PRESEKOM

Ovde se ubraja ve}ina valjanih standardnih profila, i pojedini inervali osovina i vratila.

Za stalne normalne preseke je i vrednost aksialnog momenta stalna-konstantna:

.constI x = (6.113)

Izimaju}i u obzir konstantnu vrednost aksialnog momenta inercij, jedna~ine za odre|ivanjedeformacija (6.99, 6.100) dobijaju slede}e forme:

Jedna~ina za odre|ivanje nagiba:

( ) ∫ +−== 1)()(' 1 CdzM

IEy z

xzz γ (6.114)

Jedna~ina za odre|ivanje ugiba:

( )( ) 21)()(1 CdzCdzMIE

fy zx

zz ++−=≅ ∫ ∫ (6.115)

6.2.5.2. GREDE SA PROMENLJIVIM NORMALNIM PRESEKOM

Ovde se ubrajaju stubni nosa~i posebne namene, lisnate opruge na vozilima, dalekovodi, itd.

Kod promenljivog preseka vrednost aksialnog momenta inercije je funkcija poloàja (z):

( ) ( )zxx IzfconstI ==≠ . (6.116)

Na osnovu toga {to je aksialni momenet inercije funkcija poloàja, kod odre|ivanjadeformacija, jedna~ine (6.99, 6.100) se koriste u izvormom obliku.


241

PRIMER 6.6.

Sl. 6.2.5

Desni kraj (B) konzole (A-B) (Sl. 6.2.5) optere}en je koncentrisanom silom (F). Modul elasti~nosti materijala grede je (E).Normali presek grede je promenljiv ( .constIx ≠ ). Primer treba obraditi kao duga~ku gredu.

Potrebno je odredititi nagib ( ( )Bα ) i ugib ( ( )Bf ) ta~ke (B).

Na slici (Sl. 6.2.5) se vidi da je {irina normalnog preseka promenljiva, i da je linearna funkcija poloàja (z).

( ) ( )zll

bbzl

bl

b oz

zo −=⇒−

= (P.6.38)

IZRAZ ZA AKSIALNI MOMENT INERCIJE U FUNKCIJI POLO@AJA (Z

( ) ( )

−===

lzlbhbhII zzxx 0

33

121

121

(P.6.39)

MOMENT SAVIJANJA U FUNKCIJI POLO@AJA (z)

( ) ( )zlFM z −−= (P.6.40)

A z

y

(z)

l

f(B)

α(B)

B

B'

Fx

y

h

b(z)

b(z)b(0)

0

N

N

PRESEK (N-N)


242



( )( )

( )

( )0

3

03

'' 12

121 bh

lF

lzlbh

zlFIM

yEzx

Zz ⋅

⋅⋅=

−⋅⋅⋅

−⋅=−=⋅ (P.6.41)

INTEGRACIJE

( ) 10

3' 12 Cz

bhFlEy z +=

( ) 212

03

6 CzCzbhFlEy z ++= (P.6.42)

ODRE\IVANJE INEGRACIONIH KONSTANTI

Odre|ivanje vr{imo prema poznatim grani~nim uslovima (u ovom slu~aju su to deformacije).

00,000,0:

2)0(

1'

)0(

=⇒==

=⇒==

=

=

CyjezCyjezZa

z

z(P.6.43)

Ako vrednosti izraza za integracione konstante (P.6.43) uvrstimo (vratimo) u jedna~inu (P.6.42), dobijamo izraze zaodre|ivanje nagiba ( ( )

'zy ) i ugiba ( ( )zy ) u funkciji koordinate poloàja (z) normalnog preseka.

( ) zbEh

Fly z0

3' 12=

( )2

03

6 zbEh

Fly z = (P.6.44)

DEFORMACIJE TA^KE (B)

- Nagib ( ( )Bα ) u ta~ci (B), na mestu (z=l):

( ) ( )

⇓

=== Blz bEhFly α

03

2' 12

( )0

3

212bEh

FlB =α (P.6.45)


243

- Ugib ( ( )Bf ) u ta~ci (B), na mestu (z=l):

( ) ( )

⇓

=== BLz fbEh

Fly0

3

36

( )0

3

36bEh

Flf B = (P.6.46)

6.2.6. DEFORMACIJE GREDA SA IZLOMLJENOM GEOMETRIJSKOMOSOM (RAMOVI)

Ramovi se po pitanju stati~kih uslova ravnoteè ne razlikuju od greda, ~ija je geometrijskaosa prava.

Odre|ivanje deformacija se obavlja na osnovu istih metoda koje su izvedene za slu~aj pravihgreda, samo se tokom rada moraju uzeti u obzir specifi~nosti koje proizlaze iz geometrijegradnje svakog rama ponaosob.

PRIMER 6.7.

Greda sa prelomljenom geometrijskom osom (ABC) (konzolni otvoreni ram) prikazan na slici (Sl. 6.2.6), optere}ena je nasvom kraju u ta~ci (C) koncentrisanom silom (F). Moment inercije normaslnog preseka vertikalnog dela grede (AB) je (I1), ahorizontalnog dela (BC) je (I2). Modul elasti~nosti materijala grede je (E).

Potrebno je odrediti vertikalna pomeranja ( ( )yCf ) i horizontalna pomeranja ( ( )zCf ) ta~ke (C.

Zadatak }emo re{iti koriste}i slede}a dva metoda za odre|ivanje deformacija

A. Tabli~ni metod.

B. Castiglianov metod.


244

Nezavisno od kori{tenog metoda, u prvom kporaku se trebaju odrediti (izra~unati) otpori oslonaca, na osnovu stati~kihjedna~ina ravnoteè.

( )( )( )

⇓

=−⋅+⋅=

=+−=

=+−=

∑∑∑

03

02

01

AfA

fAz

Ay

MhFlFM

FFZ

FFY

( )( )( ) hFlFM

FFFF

fA

fAz

Ay

⋅+⋅=⇒

=⇒

=⇒

3

21

(P.6.47)

A) KORI[TENJE TABLI^NOG METODA

Odre|ivanje deformacija (pomeranja) ta~ke (C) se obavlja tako, da se redom predpostavlja da su pojedini delovi gredeelasti~ni a ostali de su kruti. Na ovakav na~in se odre|uju deformacije (komponentne deformacije) kao posledice pojedinihelemenata sistema optere}enja. Dobivene vrednosti se u skladu sa hipotezom o suprepoziciji deformacija sabiraju, i takoodre|uju ukupne deformacije. Izraze za kompponentne deformacije nalazimo u tablicama za otpornost materijala. Kodtabli~nog metoda treba zanemariti postojanje fiktivne sile ( 0=fF ), po{te je njena vrednost jednaka nuli. Ona je na slici (Sl.

6.2.6) nazna~ena zbog kasnije primene metoda deformacionog rada.

l. 6.2.6

z

z

(1)

(2)

z

y

A

B C

C ''

l

hI2

I1

(C)zf

(C)zf

(C)yf

fC fC fC fC fC f


245

Sl. 6.2.6.a Sl. 6.2.6.b

- Ako se interval (h) smatra elasti~nim a interval (l) krutim (Sl. 6.2.6.a), tada su komponentne deformacije ta~ke (C)slede}e:

Vertikalno pomeranje:

( )( ) l

IEhlFf yhC ⋅

⋅⋅⋅=1

; (P.6.48)

Horizontalno pomeranje:

( )( )

1

2

; 21

IEhlFf zhC ⋅

⋅⋅⋅= (P.6.49)

- Ako se interval (l) smatra elasti~nim a interval (h) krutim (Sl. 6.2.6.b), tada su komponentne deformacije ta~ke (C)

slede}e:

Vertikalno pomeranje:

( )2

3

; 3 IElFf ylC ⋅⋅

⋅= (P.6.50)

Horizontalno pomeranje:

( ) 0; =zlCf (P.6.51)

z

y

A

B C

C'

(C)h;zf

(C)h;yf

z

y

A

B C

C'

(C)h;zf

(C)h;yf

z

y

A

B

z

y

A

B C

C''

ff(C)l;y


246

UKUPNO POMERANJE TA^KE (C)

Ukupno vertikalno pomeranje:

( ) ( ) ( )( )

⇓

⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅=+=

2

3

1;;; 3 IE

lFlIE

hlFfff ylCyhCyC

( )

⋅+

⋅⋅⋅=

21

3

; 311Il

hIE

lFf yC (P.6.52)

Ukupno horizontalno pomeranje:

( ) ( ) ( )( )

⇓

+⋅

⋅⋅⋅=+= 021

1

2

;;; IEhlFfff zhCzhCzC

( )( )

1

2

; 21

IEhlFf zC ⋅

⋅⋅⋅= (P.6.53)

B) KORI[TENJE CASTIGLIANOVE METODE

Po Kastiglianovoj metodi, deformacije u ta~kama gde ne postoje optere}enja odre|uju se tako, da se u pravcima traènihdeformacija postavljaju fiktivna optere}enja.

Po{to u pravcu horizontalnog pomeranja ( ( )zCf ) ta~ke (C) ne postoji aktivna sila, postavljamo fiktivnu silu ( 0=fF ).

Funkcija fiktivnog rada ( fW ) u skladu sa jedna~inom (6.32), ima}e strukturu koja sadrì aktivnu silu (F) i fiktivnu silu

( 0=fF ):

( )ff FFWW ,= (P.6.54)

Sude}i po sistemu optere}enja, radi se o savijanju, pa se jedna~ina za rad odre|uje prema izrazu (6.32). U radu koristimojednakost (6.03) prema kojoj je energija jednaka radu W=U:

dzI

ME

WWl

x

zf ⋅== ∫

0

2

21

(P.6.55)


247

MOMENTI SAVIJANJA PO INTERVALIMA

Ram delimo na dva inetrvala:

( )( ) 0:.2

0:.1

2

1

≥≥⋅−⋅−=≥≥⋅−=

zhzFlFMINTERVALzlzFMINTERVAL

f (P.6.56)

UKUPNA VREDNOST RADA

Dobija se kao zbir radova pojedinih intervala:

( ) ( )( ) ( ) dz

IM

Edz

IM

EWWW

l

x

l

x∫∫ +=+=2

0

22

2

0

21

21 21

21

(P.6.57)

POMERANJA TA^KE (C)

Odre|ivanje pomeranja se vr{i na osnovu jedna~ine (6.83).

Vertikalno pomeranje je:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

⇓

−

⋅−⋅−+−−=

=

∂

∂+

∂∂

=

∂

∂=

=

==

∫∫

∫∫

00 10 2

00

2

1

2

0

1

2

1

0;

1

2221

f

ff

F

hf

l

F

hl

F

fyc

dzlI

zFlFdzz

IFz

E

dzF

MI

Mdz

FM

IM

EFW

f

( )

⋅+

⋅⋅⋅=

21

3

; 311Il

hIE

lFf yC (P.6.58)

Horizontalno pomeranje je:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

⇓

−

⋅−⋅−+⋅⋅⋅−=

=

∂

∂+

∂∂

=

∂∂

=

=

==

∫∫

∫∫

00 10 2

00

2

1

2

0

1

2

1

0

;

01

2221

f

ff

F

hf

l

F

h

f

l

fFf

fzC

dzzI

zFlFdz

IzF

E

dzF

MI

Mdz

FM

IM

EFW

f

( )( )

1

2

; 21

IEhlFf zC ⋅

⋅⋅⋅= (P.6.59)


248

Moè se zapaziti da su ukupna pomeranja ta~ke (C) nezavisno od kori{tenog metoda ista.

PRIMER 6.8.

Ram (ABCD) koji je prikazan na slici (Sl. 6.2.7), optere}en je koncentrisanom silom (F) na sredini intervala (CD). Normalnipreseci svih intervala su stalni i imaju vrednost aksijalnog momenta inercije ( I ). Modul elasti~nosti materijala rama je (E).

Kori{tenjem Castiglianove metode, potrebno je izra~unati horizontalno pomeranje ta~ke (B.

ODRE\IVANJE OTPORA OSLONACA

Odre|ivanje se vr{i pomo}u jedna~ina ravnoteè.

( )( )

( )

⇓

=⋅+⋅−=

=−=

=+−=

∑∑∑

02

3

02

01

lFlFM

FFZ

FFFY

ByA

Azf

ByAy

( )

( )

( ) FF

FF

FF

Ay

By

fAz

211

213

2

=⇒

=⇒

=⇒

(P.6.60)

MOMENTI SAVIJANJA PO INTERVALIMA

Ram }e se podeliti na ~etiri intervala.

( )

( )

( )( ) 0:.4

021

21:.3

021

21:.2

0:.1

4

3

2

1

≥≥⋅=⋅=

≥≥⋅−⋅=⋅−⋅+⋅=

≥≥⋅+⋅=⋅+⋅=

≥≥⋅=

zhzFzFMINTERVAL

zlzFhFzFzFhFMINTERVAL

zlzFhFzFhFMINTERVAL

zhzFMINTERVAL

fAz

fByf

fByf

f

(P.6.61)


249

Sl. 6.2.7


Dobija se kao zbir radova pojedinih intervala:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dz

IM

Edz

IM

Edz

IM

Edz

IM

EWWWWW

h

x

l

x

l

x

h

xf ∫∫∫∫ +++=+++=

0

24

2

0

23

2

0

22

0

21

4321 21

21

21

21

(P.6.62)

A B B'

C C 'D D '

FAy

FAz Ff

FBy

f (B)y

l/2 l l/2 l

h I

l

(2)

(4)

(3)

(1)z

zzz

z

y


250

HORIZONTALNO POMERANJE TA^KE (B)


( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⇓

⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅−⋅+⋅+

+⋅⋅

⋅+⋅+⋅⋅⋅

⋅=

=

∂∂

+∂

∂+

+∂

∂+

∂∂

⋅=

∂∂

=

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

000

00

00

44

0

33

0

22

0

11

0

21

41

21

1

22

22

21

f

f

f

F

l

f

l

f

l

f

l

f

x

F

l

f

l

f

l

f

l

f

xFf

fyB

dzzzFdzhzFlFhF

dzhzFhFdzzzF

IE

dzF

MMdz

FM

M

dzF

MMdz

FM

M

IEFW

f

( )x

yB IEhlFf

⋅⋅⋅=

2

81

(P.6.63)

6.2.7. DEFORMACIJE KRIVIH GREDA

Deformacije krivih greda se odre|uju kori{tenjem teorijskih razmatranja iz dela koji se bavinaponskim stanjem krivih greda (5.2), i upotrebom Castiglianove metode za odre|ivanjedeformacija koja je prikazana u delu (6.1.3).

Kao geometrijsku osnovu koriti}emo sliku (Sl. 5.26), na kojoj su nazna~eni: redukovanisistem optere}enja teì{ta normalnog preseka krive grede (M, FN, T) i geometrijski pokazateljivezani za deformacije.

Elimini{imo ~lan (ψ ) iz jedna~ina (5.162).

( )

⇓

=−+

=−

RE

R

IMRE

r

0

0

1σ

ψρ

σψ

+=+

+

ERR

EIM

E r

00 11 σρσρ (6.117)


251

U predhodnoj jedna~ini je ~lan ( E/0σ ) relativno mala veli~ina, pa se u daljoj analizi moèzanemariti. Nakon sre|ivanja oblik jedna~ine (6.117) je slede}i:

rEIM

R=− 11

ρ(6.118)

Sl. 6.17

Odredimo izraz za energiju elasti~nih deformacija ( )[ ]dUd diferencijalnog slojadiferencijalnog elementa grede koja ima diferencijalnu povr{inu pereseka (dA), na centralnomrastojanju (y) od teì{ta normalnog preseka (Sl. 6.17). Ova energija je deo diferencijalneenergije elasti~nih deformacija (dU) cele diferencijalne zapremine (dV). Diferencijalnueneregiju elasti~nih deformacija (dU) odre|ujemo pomo}u jedna~ine (6.15).

( ) dVdUd ∆= 2

21 σ (6.119)

Diferencijalna zapremina sloja elementa grede je:

( ) ϕdyRdAdV +=∆ (6.120)

Po{to je

Rdsd =ϕ (6.121)

O

A

dA

R

M My

T

T

FN

FN

dϕ

y y

x

O


252

jedna~ina (6.120) dobija oblik:

( )dsR

yRdAdV +=∆ (6.122)

Zamenimo u jedna~inu (6.119) izraz (6.122).

( ) dsdAR

yRdAdUd ⋅⋅+⋅⋅= 2σ (6.123)

Ako vrednost (ds) smatramo kona~nom, i obavimo integraciju jedna~ine (6.123), dobijamoizraz za diferencijalnu energiju elasti~nih deformacija diferencijalnog elementa grede

( )dAyRERdsdU

A

+= ∫ 2

2σ (6.124)

Razdvojmo funkciju iz predhodne jedna~ine na dva integralna ~lana.

⋅+⋅= ∫∫ dAydAR

ERdsdU

AA

22

2σσ (6.125)

Drugi integralni ~lan jedna~ine (6.125) je jednak nuli, po{to je vrednost ( ∫ =⋅A

dAy 0 ), kao

stati~ki moment povr{ine normalnog preseka po definiciji jednak nuli.

Izraz za normalni napon (σ ) odre|en je jedna~inom (5.163). Ako izraz za normalni napon(σ ) uvrstimo u jedna~inu (6.125), a ~lan ( E/0σ ) kao relativno malu veli~inu zanemarimo,

dobijamo izraz za diferencijnu energiju elasti~nih deformacija elementa krive grede (dU).

( )dsMEI

dU sr

2

21≅ (6.126)

Ako se vrednost redukovanog aksijalnog momenta inercije smatra konstatnom ( .constIr = ),{to odgovara krivoj gredi konstantnog normalnog preseka, pa se obavi integracija, dobija seizraz za energiju elasti~nih deformacija krive grede (ENERGIJA KRIVE GREDE).

( )∫≅s

sr

dsMEI

U 2

21

(6.127)


253

Ako se moment savijanja (Ms) izrazi u funkciji centralnog ugla (ϕ ) i iskoristi veza (6.121),dobija se drugi oblik izraza za energiju elasti~nih deformacija krive grede (ENERGIJA KRIVEGREDE).

( )∫≅ϕ

ϕ ϕdMREI

Ur

2

21

(6.128)

U op{tem slu~ju moment savijanja ( ( )ϕM ) je funkcija redukovanog sistema optere}enja:

( ) ( )Tn FFMfM ,,0=ϕ (6.129)

Prema Castiljanovom metodu, deformacije se odre|uju na osnovu jedna~ina (6.73, 6.74,6.127):

- Pomeranje ta~ke (0) u pravcu ose (y):

( ) ( ) dsFUM

EIFUy

Tss

rT ∂∂=

∂∂= ∫

10 (6.130)

- - Pomeranje ta~ke (0) u pravcu ose (z):

( ) ( ) dsFUM

EIFUz

nss

rn ∂∂=

∂∂= ∫

10 (6.131)

- Ugaono zaokretanje normalnog preseka koji sadrì ta~ku (0):

( ) ( ) dsMUM

EIMU

ss

r 000

1∂∂=

∂∂= ∫γ (6.132)

Deformacije se naravno mogu odrediti i kori{tenjem jedna~ina (6.73, 6.74, 6.128).


254

PRIMER 6.9.

Kriva greda (AB) prikazana na slici (Sl. 6.2.7.1), optere}ena je koncentrisanom silom (F) na svom kraju u ta~ci (B). Normalnipreseci grede su stalni, a modul elasti~nosti materijala grede je (E).

Potrebno je odrediti izraze za horizontalno pomeranje ( ( )xBf ) ivertikalno pomeranje ( ( )yBf ) ta~ke (B).

Po{to u pravcu horizontalnog pomeranje ne postoji aktivna sila, uvodi se fiktivno optere}enje (Ff).

Sl. 6.2.7.1

MOMENT SAVIJANJA ZA TA^KU (K)

( ) yFxRFM f ⋅+−⋅= (P.6.64)

GEOMETRUJSKE VEZE

ϕϕϕ dRdsRyRx ⋅=⋅=⋅= ;sin;cos (P.6.65)

Ff

M

R

Ο

y

x

F

A

B

B'

(K)

f (B)y

f(B)x


255


dzMEI

WWh

xf ∫==

0

2

21

(P.6.66)

HORIZONTALNO POMERANJE TA^KE (B)

Odre|ivanje se vr{i na osnovu jedna~ine (6.83), stim da se koriste geometrijske veze (P.6.65).

- Horizontalno pomeranje je:

( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

⇓

⋅⋅⋅⋅⋅−⋅=

=

⋅⋅+−⋅=

∂∂⋅=

∂∂

=

∫

∫∫===

ϕϕϕ

π

dRRRRFEI

dsyyFxRFEI

dsFMM

EIFW

f

x

Fsf

xFs fxFf

fxB

fff

2

0

000

sincos1

11

( )x

xB IERFf

⋅⋅−=

3

23

(P.6.67)

- Vertikalno pomeranje je:

( ) ( )[ ] ( )( )

( )[ ] ( )

⇓

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=

=

−⋅⋅+−⋅=

∂∂⋅=

∂∂

=

∫

∫∫===

ϕϕϕ

π

dRRRRRFEI

dsxRyFxRFEI

dsFMM

EIFW

f

x

Fsf

xFsxF

fyB

fff

2

0

000

coscos1

11

( )x

yB IERFf

⋅⋅

−=

3

243π (P.6.68)


256

7. IZVIJANJE GREDA

Prilikom analize istezanja i pritiska u delu (5.1.1), izrazi za raspodelu normalnog napona (σ )i glavnog napona ( 1σ ), izvedeni su tako da ne zavise od duìne grede. Ako je duìnapritisnute grede (l) u odnosu na dimenzije normalnog preseka relativno velika, tada se priodre|ivanju dozvoljenih normalnih napona, duìna grede mora uzeti u obzir.

7.1. STABILNOST PRITISNUTIH GREDA

Ako se pritisnuta greda (dimenzionisana na pritisak) zbog nekog razloga izvede izravnote`nog poloàja (udarac, pritisak vetra, oscilacije,…), nakon prestanka dejstvaporeme}aja mogu}a su tri stanja:

STABILNO STANJE

Geometrijska osa pritisnute grede se nakon prestanka poreme}aja vra}a u stanje koje je imalapre delovanja poreme}aja (greda zauzima stabilan poloàj).

INDIFERENTNO STANJE

Geometrijska osa pritisnute grede se nakon prestanka poreme}aja zadràva u novom poloàju,koji je izazvan poreme}ajem.

LABILNO STANJE

Geometrijska osa pritisnute grede se nakon prestanka poreme}aja ne vra}a u po~etni poloàj,ve~ se deformacije grede naglo pove}avaju, i kona~no dolazi do loma konstrukcije.

Posledeca labilnog stanja pritisnutih greda se u otpornosti materijala zove IZVIJANJEGREDA.

Tokom analize koja sledi, poterbno je odrediti one KRITI^NE VELIÎNE ( KKK lF ,,σ ), prikojima pritisnuta greda postaje labilna.


257

7.1.1. VITKOST GREDA

Po konvenciji, vitko{}u greda se naziva ~inilac koji sadrì redukovanu duìnu grede (lr),povr{inu normalnog preseka (A), i vrednost minimalnog glavnog momenta inercije (I2).Minimalni glavni moment inercije (I2) je merodavan, po{to se izvijanje uvek doga|a okoglavne ose (2), za koju je aksijalni moment inercije najmanji (greda je najslabija).

AIlr

2

=λ (7.01)

7.2. EULER-OV POSTUPAK

Ovaj postupak je primenljiv za pritisnute grede ~iji je stvarni (vladaju}i) normalni napon ugranicama proporcionalnog dela dijagrama napona i dilatacija ( εσ , ) (HOOKE-ov dijagram)(Sl. 7.03).

pσσ ≤≤0 (7.02)

Gde su:

σ - Stvarni (vladaju}i) normalni napon

pσ - Normalni napon na gornjoj granici proporcionalnosti

7.2.1. ODRE\IVANJE KRITI^NE SILE

Izraz za kriti~nu silu (FK) odre|ujemo na primeru pritisnute grede duìne (l), modulaelasti~nosti (E), i minimalnog glavnog momenta inercije (I2), koja je prikazana na slici(Sl. 7.01). Kao posledica delovanja aksijalne sile (FK), pritisnuta greda se na udaljenju (z) odoslonca (A) deformi{e u pravcu normalnom na geometrijsku osu za vrednost (yz=y).

Moment savijanja u poloàju (z) je:

yFM kz =)( (7.03)


258

Sl. 7.01

Diferencijalna jedna~ina elasti~ne linije deformisane grede je:

yFMyEI kz −=−= )(''

2 (7.04)

ako se uvede smena:

2

2

EIFk k= (7.05)

jedna~ina (7.04) dobija slede}u formu:

02'' =+ yky (7.06)

Op{te re{enje diferencijalne jedna~ine (7.06) je:

kzCkzCy sincos 21 += (7.07)

Integracione kostante (C1, C2) odre|uju se na osnovu poznatih grani~nih uslova:

[ ],.......3,2,1;0sin0:0sin0

000:

2

2

1

==⇒=⇒≠=⇒==

=⇒==

nnklklCZaklCyjelz

CyjezZa

π(7.08)

Kod analize izvijanja grede posmatra se samo prvi talas sinusoide, odnosno (n=1),

2

221:

lk

lknza

lnk πππ =⇒=⇒== (7.09)


259

tako da je vrednost kriti~ne sile (FK) na osnovu jedna~ine (7.05) slede}a:

22

2

lEIFK

π= (7.10)

Ako u jedna~inu (7.07) uvrstimo vrednosti integracionih konstanti (7.08) i vrednost smene (k)iz jedna~ine (7.09), dobijamo jedna~inu elasti~ne linije izvijene grede.

zl

Cy

= πsin2 (7.11)

Duìna prve periode se dobija iz jedna~ine (7.11).

l

l

P 22 =

=ππ

(7.12)

Sl. 7.02

r=l

r=0.

7l

r=0.

5l

r=2l

l ll

ALAP TIPUS

(I) (II) (III) (IV)


260

Prikazan postupak se moè primeniti i za druge tipove uklje{tenja, stim da se kod re{avanjadiferencijalnih jedna~ina moraju odabirati grani~ni uslovi koji odgovaraju datomkonstruktivnom re{enju. Zbog navedenog, menjaju se i izrazi za odre|ivanje kriti~nih sila(FK). Sa matemati~ke ta~ke gledi{ta, ove promene nisu strukturne, i odnose se samo na duìnuperiode elasti~ne linije.

Na slici (Sl. 7.02) prikazano je nekoliko ~esto kori{tenih tipova uklje{tenja pritisnutih greda,sa odgovaraju}im oblicima elasti~nih linija i duìna perioda. Ako odgovaraju}e duìneperioda ozna~imo kao redukovane duìne (lr), tada se za svaki poseban slu~aj mogu odreditikriti~ne sile izvijanja, kao redukovani oblici jedna~ine (7.10), u obliku:

22

2

rK l

EIF π= (7.13)

7.2.2. ODRE\IVANJE KRITI^NOG NORMALNOG NAPONA

Za slu~aj naprezanja na pritisak, vaè}a je jedna~ina:

AFK

K =σ (7.14)

Koriste}i vezu (7.13), predhodna jedna~ina dobija oblik:

AlEI

AF

r

KK 2

22πσ == (7.15)

Ako u predhodnu jedna~inu uvrstimo izraz za vitkost ( λ ) iz jedna~ine (7.01), dobija se izrazza kriti~ni napon na izvijanje:

2

2

λπσ E

K = (7.16)

Izraz za odre|ivanje kriti~nog napona ( Kσ ) je hiperbola u funkciji vitkosti ( λ ), koja senaziva EULEROVA HIPERBOLA. Kao {to je re~eno, ovaj metod se moè primeniti zavrednosti kriti~nih napona ( Kσ ) koji ne prelaze vrednost normalnog napona na graniciproporcionalnosti ( Pσ ). Najmanja vrednost vitkosti ( λ ) koja odre|uje granicu kori{tenjametoda, odre|uje se iz jedna~ine (7.16), na osnovu uslova ( PPK λλσσ =≤ : ):


261

⇓

≥ 2

2

PP

Eλ

πσ

PP

Eσ

πλ ≥ (7.17)

7.3. TETMAJER-OV POSTUPAK

Pritisnute grede su u praksi optere}ene i sa naponima u oblasti nelinearnih elasti~nihdeformacija, ozna~enih na slici (Sl. 7.03) kao oblast (P-T). Za ovu oblast ne vaì HOOKE-ovzakon, pa se ni EULEROV metod koji je baziran na pomenutom zakonu ne moè koristiti.

Za odre|ivanje kriti~nog napona za oblast nelinearnih elasti~nih deformacija (P-T) koristi seTETMAJEROV EMPIRIJSKI METOD. Ovaj metod je razvio TETMAJER LAJOS, i baziran jena velikom broju iskustvenih podataka (merenih vrednosti), na osnovu kojih je odre|enempirijski izraz za odre|ivanje kriti~nog napona pri izvijanju:

PK ba λσ −= (7.18)

Kojeficijenti (a, b) u jedna~ini (7.18) tabli~ne su vrednosti, i zavise od osobina upotrebljenogmaterijala.

Po{to se zona nelinearnih elasti~nih deformacija nalazi izme|u gornje graniceproporcionalnosti ( Pσ ) i donje granice te~enja materijala ( Tσ ), grani~na vrednost vitkosti( λ ) odre|uje iz jedna~ine (7.18) iz uslova ( TTK λλσσ == ; ):

ba T

Tσλ −= (7.19)

U tablicama iz otpornosti materijala date su empirijske jedna~ine za odre|ivanje kriti~nognapona i grani~ne vrednosti vitkosti za ve}inu upotrebljavanih materijala, kao kompletpodataka ( PTK ba λλλσ ;;.−= )

Za istu oblast (P-T) postoje i drugi, re|e kori{teni metodi, kao {to je ENGESEROV METOD.Metod za osnovu koristi EULEROV METOD, stim da se vrednost modula elasti~nosti (ET)odre|uje za svaki slu~aj optere}enja (dilatacije) posebno.


262

2

2

λπσ T

KE= (7.20)

7.4. (W)-POSTUPAK

Zbog ~esto katastrofalnih posledica, koje mogu nastati pri izvijanju, svaka dràva u svomzakonodavstvu propisuje, da se pored teorijskih metoda, OBAVEZNO obavi i kontrolniprora~un pritisnutih konstrukcija. Naprimer, ova oblast je regulisana jugoslovenskimstandardom (JUS U.E7.087, JUS U.E7.088 ).

Od zakonom predvi|enih kontrolnih postupaka ~esto se koristi kontrolni metod, koji sezasniva na odre|ivanju dodatnog kojeficijenta sigurnosti pritisnute konstrukcije. Zbog nazivakojeficijenta sigurnosti, kontrolni postupak se naziva OMEGA POSTUPAK. Kojeficijent (w)je dat u tablicama kao funkcija vitkosti ( λ ) za svaku vrstu kori{tenog materijala zasebno.Prema ovom metodu (postupku) vrednost dozvoljenog kriti~nog napona na izvijanje iznosi:

ωσσ dC

dK = (7.21)

−dCjeGde σ: dozvoljeni normalni napon na pritisak (za kori{ten materijal).

Sl. 7.03

σ σ

σ

ε λ

σM

σE

σP σdc

σc

σT

λ T(PRITISAK)

M

T

EP

σdK σ

dK

σdK

σ σK T

= σK=

λa-b

σK= π Ε

λ2

2

(STVARNI NORMALNI NAPON)

(ÎSTPRITISAK)

(TETMAJEROVA BLAST)

(EULEROVA OBLAST)

λ <

P λ

P λ

λ P λλ T<<λ λ T0< <

o o


263

7.5. DIMENZIONISANJE I PROVERA

Dimenzionisanje i provera je tematika detaljnije analize u delu (9). Ovog kursa. Na ovommestu se zbog sloènosti postupaka i ve}eg broja metoda, u vidu blok dijagrama daje redosledradnji, sa kojima se relativno lako moè obaviti kako dimenzionisanje, tako i proverapritisnutih greda (izloènih opasnosti od izvijanja).

Posebno se treba ibratiti pa`nja, da se radi o pritisnutim gredama, pa je polazna osnova i pridimenzionisanju i pri proveri, stvarni (vladaju}i) napon na pritisak. Nakon odre|ivanjastvarnog (vladaju}eg) normalnog napona na pritisak, vr{i se provera na izvijanje. Nezavisnood metoda koji se koristi, OBAVEZNA je kontrola po OMEGA postupku. U slu~aju da seutvrdi, da dimenzije pritisnute grede ne odgovaraju zahtevima koji se predvi|aju pri izvijanju,potrebno je menjati geometrijske karakteristike preseka grede ( 2, IA ), ili koristiti materijalboljih mehani~kih svojstava.


264

PROVERA DIMENZIONISANJESTART START

F, ,A,E,l I2 Mσ, ,,,, νKνM λT λP

,λKσ =a-bF, ,E,l

Mσ ,,,, νKνM λT λP,λKσ =a-b

MσνM

σdc

σdc

= MσνM

σdc=

σ=

r) ( )lr

σdcFA

FA

<

I2,Aλ rl

=I2

A

(ÎST PRITISAK)

(TETMAJER-OVA OBLAST)

(EULER-OVA OBLAST)

λ λ T0<

σdKσ

σ

<

<

<

λ P λλ T<<

(OMEGAPOSTUPAK)

= λa-bσdK ν(Κ)= π Ε

λ2σdK ν(Κ)

ω=f( )λ

σdcσdK ω=

ODGOVARA

KRAJ

DA

DA

DA

DA

NE

NE

NE

NE

POSTUPAK PROVERE I DIMENZIONISANJA

2


265

PRIMER 7.1.

Pritisnuta greda duìne (l=2000 mm) prikazana na slici (Sl. 7.1), izra|ena je od valjanog profila (U-10) prema standardu (JUSC.B3.141). Materijal grede je (^.0300), ~ija je zatezna ~vrsto}a ( MPaM 400=σ ), a modul elasti~nosti ( MPaE 5102,2 ⋅= ).

Faktori sigurnosti su, na pritisak ( 2=Mν ) a na izvijanje ( 2=Kν ). Greda je na prikazan na~in, optere}ena aksijalnom silom

(F=5 KN).

Potrebno je izvr{iti proveru grede na izvijanje.

POSTUPAK PROVERE

START

POLAZNI PODACI

MPa

MPaEMPa

mmAmmI

TABLICAIZPODACI

mmllmmlNF

K

P

T

M

KM

r

λσλλ

σ

νν

⋅−===

⋅=

==

⋅=

===⋅=

==

82,028910884

102,2400

1350

103,29

214007,0

20005000

5

2

442 (P.7.01)

DOZVOLJENI NORMALNI NAPON NA PRITISAK

MPaM

MdC 200

2400 ===

νσσ (P.7.02)

STVARNI (VLADAJU]I) NORMALNI NAPON

MPaAF 7,3

13505000 ===σ (P.7.03)


266

Sl. 7.1

VITKOST

85,94

13502930001400

2

===

AIlrλ (P.7.04)

ODRE\IVANJE OBLASTI FUNKCIONISANJA

OBLASTATETMAJEROV

pt

⇓

=⟨=⟨= 10885,9484 λλλ

(P.7.05)

DOZVOLJENI NAPON NA IZVIJANJE

MPaK

dK 6,1052

85,9482,028982,0289 =⋅−=⋅−=ν

λσ (P.7.06)

DOZVOLJENI NAPON NA IZVIJANJE PO (w) POSTUPKU

Sigurnosni faktor (w) se odre|uje iz tablice za kori{ten materijal u zavisnosti od vitkosti ( λ ).

( ) 73,1== λfw

MPawdC

dK 6,11573,1

200 === σσ (P.7.07)

l

A

B


267

KONA^NA PROVERA

Za upore|enje se koristi manja vrednost dozvoljenog napona na izvijanje ( mindKσ ), iz obrazaca (P.7.06, P.7.07).

MPaMPa dK 6,1057,3 min =⟨= σσ (P.7.08)

Po{to je vrednost stvarnog (vladaju}eg) normalnog napona (σ ) manja od najmanje dozvoljene vrednosti napona na izvijanje( mindKσ ), kori{ten profil (U-10) sa stanovi{ta izvijanja ODGOVARA.

PRIMER 7.2.

Pritisnuta greda duìne (l=1000 mm) prikazana na slici (Sl. 7.2), izra|ena je od valjanog profila (U) prema standardu (JUSC.B3.141). Materijal grede je (^.0300), ~ija je zatezna ~vrsto}a ( MPaM 400=σ ), a modul elasti~nosti ( MPaE 5102,2 ⋅= ).

Faktori sigurnosti su, na pritisak ( 2=Mν ) a na izvijanje ( 2=Kν ). Greda je na prikazan na~in optere}ena aksijalnom silom

(F=5 KN).

Potrebno je odrediti dimenziju najmanjeg standardnog profila koji odgovara zadatim zahtevima.

Sl. 7.2

l

A

B


268

POSTUPAK DIMENZIONISANJA

START

POLAZNI PODACI

MPa

MPaEMPa

TABLICEIZPODACI

mmllmml

NF

K

P

T

M

KM

r

λσλλ

σ

νν

⋅−===

⋅=

=

===⋅=

==

82,028910884

102,2400

220002

10005000

5

(P.7.09)

DOZVOLJENI NORMALNI NAPON NA PRITISAK

MPaM

MdC 200

2400 ===

νσσ (P.7.10)

DIMENZIJA PROFILA KOJA ODGOVARA NAPREZANJU NA PRITISAK

⇓

===⇒≥ 225200

5000 mmFAAF

dcdc σ

σ

8−UJEPROFILVECIPRVI (P.7.11)

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE PROFILA U-8

2

42

758

63000mmA

mmI

=

=(P.7.12)

STVARNI (VLADAJU]I) NORMALNI NAPON

MPaAF 59,6

7585000 ===σ (P.7.13)


269

VITKOST

219

758630002000

2

===

AIlrλ (P.7.14)

ODRE\IVANJE OBLASTI FUNKCIONISANJA

⇓

=⟩= 108219 Pλλ

OBLASTEULEROVA (P.7.15)

DOZVOLJENI NAPON NA IZVIJANJE

MPaE

KdK 85,22

2219102,2

2

52

2

2

=⋅⋅⋅=

⋅⋅= πνλ

πσ (P.7.16)

DOZVOLJENI NAPON NA IZVIJANJE PO (w) POSTUPKU.

Sigurnosni faktor (w) se odre|uje iz tablice za kori}ten materijal,u zavisnosti od vitkosti ( λ ).

( ) 82,8== λfw

MPawdC

dK 67,2282,8

200 ===σσ (P.7.17)

KRAJNJA PROVERA

Za upore|enje se koristi manja vrednost dozvoljenog napona na izvijanje ( mindKσ ), iz obrazaca (P.7.16, P.7.17).

MPaMPa dK 67,2259,6 min =⟨= σσ (P.7.18)

Po{to je vrednost stvarnog (vladaju}eg) normalnog napona (σ ) manja od najmanje dozvoljene vrednosti napona na izvijanje( mindKσ ), izabrani profil (U-8) sa stanovi{ta izvijanja ODGOVARA.


270

8. STATI^KI NEODRE\ENI ZADACI

Prema konvenciji, STEPENOM STATI^KE NEODRE\ENOSTI naziva se izraz:

knS −= (8.01)

u kome je:

n - broj nepoznatih reakcija veza

k - stepen slobode kretanja (mogu}i broj stati~kih jedna~ina ravnoteè)

- u prostoru: 6≤k

- u ravni: 3≤k

U zavisnosti od znaka stepena stati~ke neodre|enosti (S) , mogu}i su slede}i slu~ajevi:

a.

Ako je stepena stati~ke neodre|enosti manji od nule ( 0≤S ), broj stati~kih jedna~inaravnoteè (k) je ve}i ob broja nepoznatih reakcija (n), pa se tada radi o mahanizmima sa (S)stepeni slobode kretanja.

b.

Ako je stepena stati~ke neodre|enosti jednak nuli ( 0=S ), broj stati~kih jedna~ina ravnoteè(k) je jednak sa brojem nepoznatih reakcija veza (n). Ovakav slu~aj odgovara sistemu koji je urelativnom stanju mirovanja, i za njega se vrednosti reakcija veza mogu jednozna~no odrediti.

c.

Ako je stepena stati~ke neodre|enosti ve}i od nule ( 0⟩S ), broj stati~kih jedna~ina ravnoteè(k) je manji od broja nepoznatih reakcija veza (n), pa se vrednosti reakcija veza nemogujednozna~no odrediti. Ovakvi sistemi (zadaci) se nazivaju STATI^KI NEODRE\ENISISTEMI (ZADACI).

Stati~ki neodre|eni zadaci se mogu re{iti tako, da se postavi (S) DOPUNSKIH JEDNAÎNA.Dopunske jedna~ine se formiraju na osnovu poznatih deformacija grede (ugibi, nagibi).


271

8.1. ODRE\IVANJE DOPUNSKIH JEDNAÎNA

Kao {to je to u predhodnom ~lanu re~eno, dopunske jedna~ine se formiraju na osnovupoznatih deformacija grede (ugibi, nagibi).

8.1.1. CLAPEYRONOVA JEDNAÎNA

Ovaj metod je razvijen u cilju re{avanja kontinualnih greda sa vi{e oslonaca, i sloènimsistemom optere}enja.

U op{tem slu}aju je broj oslonaca (N). Metod se odnosi na grede, kod koji je jedan oslonacfiksan (zglobna veza), a ostali oslonci su pomi~ni (klizni) (Sl. 8.01).

y

z(Κ)β

α(Κ+1)(K-1)

(K)

(1) (K) (K+1)

(K+1)

(N)0

OSNOVNI SISTEM

y

z

(Κ)β

(K-1)

(K)

(K)

y

z

α(Κ+1)(K) (K+1)

(K+1)

EKVIVALENTNI SISTEM

Sl. 8.01

Sl. 8.02


272

Broj nepoznatih reakcija veza u osloncima (N) je slede}i:

1+= Nn (8.02)

Na osnovu veza (8.01, 8.02.) stepen stati~ke neodre|enosti je:

23 −=−= NnS (8.03)

Rezultat poslednje jedna~ine ujedno predstavlja i broj dopunskih jedna~ina koje trebapostaviti.

Sistem optere}enja, koji gredu sa (N) oslonaca (OSNOVNI SISTEM) drì u ravnoteì(Sl. 8.01), je slede}i:

- Skup nepoznatih reakcija veza:

{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1111 ,,,,, +−+−= KKKKzKKn MMFFFFR (8.04)

- Spoljnji (aktivni) sistem optere}enja koji deluje na intervalima (K-1, K) i (K, K+1):

{ } { } { } 1; += KiKij FFK (8.05)

Izdvojmo iz (cele grede) OSNOVNOG SISTEMA deo grede koji sadrì dva intervala sa trioslonca, koju }emo zvati OSNOVNA GREDA. Uklonimo (u mislima ) unutra{nje vezeosnovne grede. Dve dobivene ELEMENTARNE GREDE su u stanju stati~ke ravnoteè.Oslonce ozna~imo kao (K-1 , K , K+1), a raspone (duìne intervala) elementarneih gredaobeleìmo sa ( 1, +KK ll ) (Sl. 8.02).

Uklonjene veze osnovne grede zamenimo odgovaruji}im (ekvivalentnim) sistemom reakcijaveza (RS).

Reaktivne spregove (MK-1, MK, MK+1) na elementarnim gredama treba odrediti tako, dadeformacije (ugib, nagib) u osloncu (K) budu iste kao deformacije istog oslonca na osnovnojgredi. Ako se ovaj uslov ostvari, tada }e sa stanovi{ta deformacija, osnovna greda i elentarnegrede biti EKVIVALENTNE (ne}e se razlikovati), pa }e se i sistem od dve elementarne gredezvati EKVIVALENTNI SISTEM.

Ukupan sistem optere}enja koji ekvivalentni sistem drì u stanju stati~ke ravnoteè, naziva seEKVIVALENTNI SISTEM OPTERE]ENJA. Stuktura ekvivalentnog sistema optere}enja jeslede}a (Sl. 8.02):

- Skup utra{njih reakcija veza u ta~ci (K) (spregovi):

{ } ( ){ }KS MR = (8.06)


273

- Skup ekvivalentnih reakcije veza:

{ } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1111 ,,,,,, +−+−=+= KKKKKzKKSn MMMFFFFRRR (8.07)

- Ekvivalentni sistem aktivnih (spoljnjih) optere}enja:

{ } { } { } ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) ( )11111 ,,,,, +−++− =++= KKKKiKiKKSj MMMFFMMRKK (8.08)

Karakteri oslonaca (K-1, K, K+1) ostaju isti (zglob, klizni oslonac) i nakon rastavljanjaosnovne grede na dve elementarne grede. Na osnovu odrànja kontinuiteta (elasti~na linija jeneprekinuta), ekvivalentni sistem aktivnih (spoljnjih) optere}enja (8.08) osnovne grede, moraosigurati, da nagibi sa leve i desne strane oslonca (K) budu istit.

( ) ( )1+= KK αβ (8.09)

Komponente nagiba (8.09), se sastoje iz pojedinih nagiba koji su prouzrokovani delovanjemekvivalentnog sistema aktivnih (spoljnjih) optere}enja (8.08).

( )( )

( )[ ]( )

( )( )

( )( )

( )[ ]( )

( )

( )K

K

KiK

K

KKiK MFK

MMK

FK

MK 1

11

1

11 +

++

+

− ++=++ + αααβββ (8.10)

Izraze za komponentne nagibe (8.10), nalazimo u tablicama iz otpornosti materijala, ili ihodre|ujemo pomo}u jednog od metoda obra|enih u ovom kursu:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]( )1

63361111 +++=+−− +++− KiKi F

Kx

KK

x

KKFK

x

KK

x

KK

EIlM

EIlM

EIlM

EIlM

αβ (8.11)

Ako predhodnu jedna~inu sredimo tako, da svi spregovi budu na levoj strani, dobijamojedna~inu, koja se se zove CLAPEYRONOVA JEDNAÎNA.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )[ ]( )( )162 1111

+−=+++ +++−KiKi F

KFKxKKKKKKK EIlMllMlM αβ (8.12)

Clapeyronova jedna~ina sadrì tri nepoznate veli~ine (spregovi).

Pomo}u prostog primera, prikazanog na slici (Sl. 8.03), moè se odrediti broj osnovnih gredakoji se moè formirati (izdvojiti) iz osnovnog sistema:

2−= NQ (8.13)


274

To ujedno zna~i, da se moè postaviti (formirati) isti broj Clapeyronovih jedna~ina.

Broj (N-2), Clapeyronovih jedna~ina (8.13), koji se moè postaviti za osnovni sistem sa (N)oslonaca, jednak je stepenu stati~ke neodre|enosti definisan vezom (8.03).

Po{to se broj (N-2) Clapeyronovih jedna~ina poklapa sa brojem stepeni stati~keneodre|enosti, to se ove jedna~ine koriste kao dopunske jedna~ine pri odre|ivanju reakcijaveza osnovnog sistema.

Sl. 8.03

Prilikom kori{tenja ovog metoda, u prvom koraku se osnovni sistem sa (N) oslonaca trebapodeliti na (Q) ekvivalentnih sistema. U nastavku se za sve elentarne grede trebaju postavitijedna~ine ravnoteè, iz kojih se jednozna~no odre|uju vrednosti reakcije veza.

PRIMER 8.1.

Greda (ABC)-OSNOVNI SISTEM, koja je prikazana na slici (Sl. 8.1), optere}ena je kontinualnim optere}enjem ( δ ). Presekgrede je stalan ( xI ), a modul elasti~nosti materijala grede je (E).

Potrebno je odrediti reakcije veze koriste}i Clapeyronove jedna~ine.

ANALIZA OSNOVNOG SISTEMA

Osnovni sistem je prikazan na slici (Sl. 8.1).

Pri re{avanju zadatka koristi}e se slede}e oznake:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0;;0;;;,

11

11

======

====

+−

+−

CKBKAK

CyKBzKzByKAzAyK

MMMMMMMFFFFFFFFF

(P.8.01)

y

z1 2 3 4 5 6

1

2

3

4


275

- Skup nepoznatih reakcija veza je prema relaciji (8.04):

{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }{ }0,0,,,,

,,,,, 1111

CyByAzAy

KKKKzKKn

FFFFMMFFFFR

=

== +−+−(P.8.02)

- Skup aktivnih spoljnjih optere}enja je prema relaziji (8.05):

{ } { } { } { }δ== +1; KiKij FFK (P.8.03)

Sl. 8.1

Sl. 8.2

A

y

FBy FCy

B z

δFAy

F zA

C

(Α)β

α(Β)

A

y

F'By

B z

δFAy

F zA (Α)β

α(Β)

y

F''By FCy

Bz

δ

C

(Α)β

α(Β)M

M


276

- Broj oslonaca je:

N=3 (P.8.04)

- Broj jedna~ina ravnoteè je:

k=3 (P.8.05)

- Broj nepoznatih reakcoja veza je:

n=4 (P.8.06)

- Stepen stati~ke neodre|enosti je prema definiciji (8.01):

34 −=−= knS (P.8.07)

OSNOVNI SISTEM je stati~ki neodre|en, po{to je stepen stati~ke neodre|enosti (S=1). Prema Clapeyronovom metodu,osnovni sistem se treba podeliti na osnovne grede, a osnovna greda na elementarne grede, i tako formirati ekvivalentnesisteme. U predmetnom zadatku, osnovni sistem i osnovna greda (postoji samo jedna) se podudaraju.

ANALIZA EKVIVALENTNOG SISTEMA

Ekvivalentni sistem je prikazan na slici (Sl. 8.2).

- Spreg u osloncu (B=K) shodno ozna~avanju (8.06) je:

{ } ( ){ } MMR KS == (P.8.07)

- Skup ekvivalentnih reakcija veza je prema (8.07):

{ } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }{ }0,,0,,,,,

,,,,,,'''

1111

MFFFFF

MMMFFFFRRR

CzByByAzAy

KKKKKzKKSn

=

==+= +−+−(P.8.08)

- Ekvivalentni sistem optere}enja je prema vezi (8.08):

{ } { } { } ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) ( )

{ }0,,0,

,,,,, 11111

MMMMFFMMRKK KKKKiKiKKSj

δ==++= +−++−

(P.8.09)


Za levu elementarnui gredu se moè postaviti tri jedna~ine, a za desnu elementarnu gredu se moè postaviti samo dvejedna~ine (u desnom intervalu nema aktivnih optere}enja u horizontalnom pravcu, pa se ni odgovaraju}a jedna~ina ravnoteène moè iskoristiti). To zna~i, da je ukupan broj jedna~ina ravnoteè pet (5).


277

- Jedna~ine ravnoteè eklvivalentnog sistema su:

INTERVAL (AB).

( )( )

( ) ( ) 0213

02

01

2'

'

=−⋅−⋅=

==

=⋅+−−=

∑∑∑

MllFM

FZ

lFFY

BA

Az

BAy

δ

δ

(P.8.10)

………..INTERVAL (BC).

( )

( ) ∑∑

=⋅−+=

=⋅+−−=

0215

04

2

''

llFMM

lFFY

cB

CB

δ

δ(P.8.11)

- Dopunska Clapeyronova jedna~ina je prema jedna~ini (8.12), uz kori{tenje ozna~avanja (P.8.01):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )[ ]( )( )

⇓

−=+++ ++++−

1626 1111KiKi F

KFKxKKKKKKK EIlMllMlM αβ

( )( )

⋅−⋅−=⋅++−+⋅xx

x EIl

EIlEIlllMl

33

241

2416020 δδ

(P.8.12)

- Izra~unavanje reakcije veza, na osnovu jedna~ina ravnoteè ekvivalentnog sistema (P.8.10, P.8.11, P.8.12):

( )( )( )

( )

( )

( )

lFFF

lF

lF

lF

lF

F

lM

BBB

C

Ay

B

B

Az

⋅=+=

⋅=⇒

⋅=⇒

⋅=⇒

⋅=⇒

=⇒

⋅=⇒

δ

δ

δ

δ

δ

δ

4583.......5

83.......1

85.......4

85........3

0.......281.......6

'''

''

'

(P.8.13)


278

8.1.2. TABLI^NI METOD

Ako je stepen stati~ke neodre|enosti grede (osnovni sistem) sa vi{e oslonaca (S), onda se izskupa reakcija veza { }nR moè odrediti { }SR reakcija ~ije su odgovaraju}e deformacijepoznate.

Odabrane reakcije veza { }SR se (u mislima) uklone, i formira se jedan sistem koji je sa

stanovi{ta deformacija EKVIVALENTAN (ne razlikuje se od osnovnog sistema) saOSNOVNIM SISTEMOM. Vrednosti reakcija veza { }SR odre|ujemo tako, da oni zajedno sa

sistemom aktivnih opotere}enja osnovnog sistema { }jK , osiguravaju deformacije

ekvivalentnog sistema koji se podudaraju sa deformacijama osnovnog sistema. Izrazi zadeformacije se nalaze iz odgovaraju}ih tablica za otpornost materijala.

Karakteristike ekvivalentnog sistema su:

- Skuo reakcija veza ekvivalentnog sistema:

{ } { } { }Sn RRR += (8.14)

- Ekvivalentni sistem optere}enja je:

{ } { } { }Sj RKK += (8.15)

PRIMER 8.2.

Greda (ABC)-OSNOVNI SISTEM, koja je prikazana na slici (Sl. 8.2), optere}ena je kontinualnim optere}enjem ( δ ). Presekgrede je stalan ( xI ), a modul elasti~nosti materijala grede je (E).

Potrebno je odrediti reakcije veze koriste}i tablice iz otpornosti materijala.


279

ANALIZA OSNOVNOG SISTEMA (Sl. 8.3)

Sl. 8.3

Sl. 8.4

- Skup nepoznatih reakcija veza je:

{ } { }CyByAzAyn FFFFR ,,,= (P.8.14)

- Sistem optere}enja je:

{ } { }δ=jK (P.8.15)


k=3 (P.8.16)

- Broj nepoznatih reakcija veza je:

n=4 (P.8.17)

- Stepen stati~ke neodre|enosti je po defoiniciji (8.01):

34 −=−= knS (P.8.18)

A

y

FBy FCy

B z

δFAy

F zAC

A

y

FBy

FCy

Bz

δFAy

F zAC


280

Stepen stati~ke neodre|enosti grede (OSNOVNOG SISTEMA) je (S=1)., {to zna~i, da se (u mislima) treba ukloniti jedna veza( SR ). U konkretnom slu~aju ukloni}e se oslonac (B), a dejstvo veze }e se zameniti sa reakcijom veze (FBy) (Sl.8.4).

ANALIZA EKVIVALENTNOG SISTEMA (Sl. 8.4)

- Skup reakcija veza koje su uklonjene je:

{ } { }ByS FR = (P.8.19)

- Skup reakcije veza ekvivalentnog sistema su:

Stavljanjem reakcije veze (FBy) u malu zagradu isti~emo, da je sa stanovi{ta osnovnog sistema, ona i dalje nepoznata veli~ina,ali se u ekvivalentnom sistemu sa njom postupa kao sa aktivnom silom

{ } { } { } ( ){ },,,, CyByAzAySn FFFFRRR =+= (P.8.20)

- Ekvalentni sistem optere}enja je:

{ } { } { } { }BySj FRKK ,δ=+= (P.8.21)

- Uslov deformacije je:

Sa stanovi{ta ekvivalencije, vertikalno pomeranje ta~ke (B) u oba sistema mora biti jednako nuli:

0=Byf (P.8.22)

- Jedna~ine ravnoteè ekvivalentnog sistema su:

( )( )

( ) ( ) 02213

02

021

2 =+⋅−⋅=

==

=⋅+−−=

∑∑∑

CyByA

Az

ByAy

FllFM

FZ

lFFY

δ

δ

(P.8.23)

- Dopunska jedna}ina na osnovu uslova deformacije (P.8.22) je:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

02

4812

38454

34

=−⋅=+=x

By

x

FBBB EI

lFEI

lfff Bδδ

(P.8.24)


281

- Izra~unavanje vrednosti reakcija veza na osnovu jedna~ina (P.8.23, P.8.24):

( )( )( )

( ) lF

lF

F

lF

Ay

C

Az

B

δ

δ

δ

831

833

02454

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

(P.8.25)

8.1.3. RE[AVANJE PROBLEMA METODOM DEFORMACIONOG RADA

Ako je stepen stati~ke neodre|enosti grede (osnovni sistem) sa vi{e oslonaca (S), onda se izskupa reakcija veza { }nR moè odrediti { }SR reakcija ~ije su odgovaraju}e deformacijepoznate.

Odabrane reakcije veza { }SR se (u mislima) uklone, i u daljem se radu sa njima postupa kaosa PREDPOSTAVLJENIM AKTIVNIM OPTERE]ENJEM. Na ovaj na~in se dobijaPREDPOSTAVLJENI SISTEM OPTERE]ENJA koji se sastoji iz skupa aktivnih ipredpostavljenih optere}enja:

{ } { } { }Sj RKK += (8.16)

Rad predpostavljenog sistema optere}enja (8.16) ima slede}u strukturu:

( ) { } { }[ ] WRKfKW Sj =+= (8.17)

Reakcije veza { }SR ~ine sile i spregovi:

{ } { } 21;,.......,,,......, 2111 SSSMMFFR SSS +== (8.18)

Vrednost deformacija koje su posledice dejstva sistema optere}enja (8.16) je jednaka nuli(nema pomeranja).

Analiti~ki izrazi za deformacije date su Castiglianovim jedna~inama (6.73, 6.74).Matemati~ka i su{tinska struktura rada ( ( )KW ) predpostavljenog sistema optere}enja (8.17)se podudara sa strukturom izraza za rad ( ( )jKW ) kojim se koristi u Castiglianovim

jedna~inama (6.73, 6.74).


282

Po{to je vrednost deformacija u osloncima (vezama) jednaka nuli, parcijalni izvodi radapredpostavljenog sistema optere}enja (8.17) po reakcijama veza moraju biti jednaki nuli:

0........;;.........0;0

0........;;.........0;0

22

22

11

11

22

11

=∂∂==

∂∂==

∂∂=

=∂∂==

∂∂==

∂∂=

SS

SS

MW

MW

MW

FWf

FWf

FWf

γγγ(8.19)

Dobijen sistem jedna~ina (8.19) se sastoji iz (S) jedna~ina, koje sarè ukupno (S=S1+S2)nepoznatih reakcija veza { }SR . Re{enjem sistema jedna~ina (8.19) dobijaju se izrazi za

eksplicitno odre|ivanje reakcija veza ({ }SR ). Ostale reakcije veza se odre|uju iz stati~kihjedna~ina ravnoteè osnovnog sistema.

PRIMER 8.3.

Ram (ABC) (OSNOVNI SISTEM), prikazan na slici (Sl.8.5) optere}en je koncentrisanom silom (F). Normalni preseci rama sustalni ( xI ), a modul elasti~nosti materijala rama je (E).

Potrebno je odrediti vrednosti reakcija veza primenom metode deformacionog rada.

Sl. 8.5

z

y

A

BC

h

Ia b

l

I x


283

Sl. 8.6


- Skup nepoznatih reakcioja veza je:

{ } { }BzByAzAyn FFFFR ,,,= (P.8.26)

- Skup spoljnjih (aktivnih) optere}enja je:

{ } { }FK j = (P.8.27)


k=3 (P.8.28)

- Broj nepoznatih reakcija veza je:

n=4 (P.8.29)

- Stepen stati~ke neodre|enosti je prema definiciji (8.01):

34 −=−= knS (P.8.30)

Stepen stati~ke neodre|enosti OSNOVBNOG SISTEMA je (S=1), pa je zbog toga broj veza koje treba da se (u mislima)uklone ( SR =1). U konkretnom primeru }e se oslonac (A) zameniti kliznim osloncem (uklanja se veza u horizontalnom

pravcu), a dejstvo uklonjene veze se zamenjuje odgovaraju}om reakcijom (FAZ ). Na ovaj na~in dobiveni EKVIVALENTNISISTEM mora obezbediti da horizontalno pomeranje ta~ke (A) bude jednako nuli (Sl. 8.6), odnosno da odgovara pomeranjuiste ta~ke u osnovnom sistemu.

z

y

A

BC

h

I

a b

l

Ix

z

z

z

1

2 3


284

Ekvivalentni sistem }e se podeliti u tri intervala.


- Sistem uklonjenih reakcija veza je:

{ } { }AzS FR = (P.8.31)

- Ekvivalentni sistem reakcije veza je:

Stavljanjem reakcije veze (FAz) u malu zagradu isti~emo, da je sa stanovi{ta osnovnog sistema ona i dalje nepoznata veli~ina,ali se u ekvivalentnom sistemu sa njom postupa kao sa aktivnom silom

{ } { } { } ( ){ },,,, BzByAzAySn FFFFRRR =+= (P.8.32)

- Ekvivalentni sistem optere}enja je:

{ } { } { } { }AzSj FFRKK ,=+= (P.8.33)

- Uslov deformacije je:

Na osnovu obezbe|enja ekvivalencije sistema, horizontalno pomeranje ta~ke (A) mora biti jednako nuli:

0=Azf (P.8.34)

- Jedna~ine ravnoteè ekvivalentnog sistema su:

(P.8.35)

( )( )( ) 03

02

01

=−−=

=−=

=−−=

∑∑∑

hFlFFaM

FFZ

FFFY

BzByA

BzAz

ByAy

(P.8.36)

Iz jedna~ina (P.8.36) odre|ujemo izraze za ( BzByAy FFF ,, ) u funkciji od ( AzF ):

( )

( ) ( )

( ) ( )hFaFl

FF

hFaFl

F

FF

AzAy

AzBy

AzBz

⋅−⋅−=

⋅−⋅=

=

11

13

2

(P.8.37)


285

- Jedna~ine momenata savija po intervalima su:

( )

( ) zhFaFl

M

zhFaFl

FhFM

zFM

Az

AzAz

Az

⋅⋅−⋅=

⋅

⋅−⋅−+⋅−=

⋅−=

1

1

3

2

1

(P.8.38)

- Ukupna vrednost rada predpostavljenog sistema optere}enja za ekvivalentni sistem.

Dobija se kao zbir radova po pojedinim intervalima:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dz

IM

Edz

IM

Edz

IM

EWWWW

b

x

a

x

h

x∫∫∫ ++=++=0

23

0

22

0

21

321 21

21

21

(P.6.39)

Izraz za horizontalno pomeranje ta~ke (A) dobija se na osnovu obrasca (8.19), i uslova pomeranja (P.8.34). Dobivenajedna~ina predstavlja dopunsku jedna~inu.

( )( )

( )( )

( )( ) 0222

21

0

33

0

22

0

11 =

∂∂

+

∂∂

+∂∂

=

∂∂

= ∫∫∫ dzFM

MdzFM

MdzFM

MEIF

Wfb

Az

a

Az

h

AzxAz

KAz

(P.6.40)

Aku u dopunsku jedna~inu (P.6.40) uvrstimo vrednosti momenata savijanja (P.8.38) i obavimo nazna~ene matemati~keradnje, dobijamo jednu jedna~inu, iz koje moèmo odrediti vrednost za reakciju nepoznate veze (FAz), u funkcijigeometrijskih karakteristika rama i aktivne sile (F):

Fhlbl

lb

haFAz ⋅

++⋅

⋅

=

21

(P.6.41)

Uvr{tavanjem izraza (P.6.41) u jedna~ine (P.8.37), dobijamo izraze za preostale nepoznate reakcije veza:

( )

( )

( ) Fhlbl

lb

ha

laF

Fhlbl

lb

haF

Flh

hlbl

lb

ha

laF

By

Bz

Ay

⋅

++⋅

⋅

−

=⇒

⋅

++⋅

⋅

=⇒

⋅

⋅

++⋅

⋅

+

−=⇒

213

212

2111

(P.6.42)


286

8.1.4. ZATVORENI RAMOVI

Sl. 8.04

OSNOVNI SISTEM EKVIV. SISTEM ODLIKE

p

n=6S=3

g

g

g

kk

n=5S=2

k

n=4S=1


287

Odre|ivanje vrednosti reakcije veza kod zatvorenih ramova se ne razlikuje od metoda koji sekoriste kon greda, ali je odre|ivanje unutra~njih reakcija veza po konturu rama obi~no stati~kineodre|en problem.

Na slikama (Sl. 8.04) prikazano je tri primera, i ozna~eni su samo vektori reakcija veza. Prviprimer predstavlja zatvoren ram }ija je kontura zatvorena, drugi primer sadrì zglobnu vezupo konturi, a tre}i primer opredstavlja ram koji je po konturi u jednom smeru otvoren. Kaokarakteristi~ni podaci, nazna~eni su broj nepoznatih reakcija veza (n) i stepen stati~keneodre|enosti (S) za pojedine primere. [to se ti~e broja nepoznatih reakcija veza u osloncima,svaki prikazani ram je stati~ki odre|en, ali uzev{i u obzir i unutra{nje veze dobijaju se stati~kineodre|eni primeri. Re{avanje konkretnih problema se obavlja na jedan od metoda koji jeprikazan u analizi stati~ki neodre|enih primera.


288

9. DIMENZIONISANJE GREDA (HIPOTEZE O SLOMU)

Sve konstrukjcije i njihovi elementi, mora da zadovolje dva osnovna uslova, i to:

a. Treba da funkcioni{u kao elasti~ni sistemi.

b. Treba da zadovolje zahteve koji se postavljaju sa faktorima sigurnosti funkcionisanja.

Kod linearnog naponskog stanja, pomenuti uslovi se mogu relativno lako zadovoljiti, jer semehani~ke osobine materijala lako mogu ustanoviti merenjima, a teorijski modeli koji sebaziraju na Jacob Bernoullievom modelu deformacija, daju za praksu dovoljno ta~ne ipouzdane rezultate.

Kod nelinearnih naponskih stanja (ravna i prostorna) vrednosti ( TAMF ,,,,,τσ ) se moguteoretski odrediti, ali naàlost, raspoloìva teorija je korisna ve}im delom samo kaokvalitativna analiza. Vrednosti dobivene na stvarnim konstrukcija i pri stvarnim sistemimaoptere}enja, daju rezultate koji se ~esto zna~ajno razlikuju od teorijski predvi|enih.

Sa ciljem da se postoje}i jaz izme|u teorije i prakse premosti, razvijeno je niz empirijskihpostupaka za dimenzionisanje optere}enih elemenata, koje su zasnovane na izvesnimpredpostavkama (HIPOTEZAMA).

9.1. HIPOTEZE O SLOMU MATERIJALA

Sve hipoteze kao osnovu uzimaju mehani~ke osobine materija koje se odnose na linearnonaponsko stanje. Razlog za ovakvu orijentaciju leì u ~injenici, da se pri linearnomnaponskom stanju mogu vr{iti pouzdana i ta~na merenja osnovnih mehani~kih svojstavamaterijala, kao {to su:

Mσ - zatezna (pritisna) ~vrsto}a (maksimalni normalni napon pri kidanju)

Mε - maksimalnom dilatacija (pri kidanju)

Mτ - smicajna ~vrsto}a (maksimalni tangentni napon pri smicanju) (9.01)

fMu - maksimalni specifi~ni deformacioni rad na promeni oblika (pri kidanju).


289

Potrebno je spomenuti, da se kao osnovne, mogu koristiti i osobine materijal u ta~ci gornjegranice te~enja (T) ,umesto u ta~ci (M) gde nastaje kidanje.

Prvi uslov dimenzionisanja }e biti zadovoljen, ako se stvarni naponi konstrukcije ilielemenata konstrukcioje nalaze u zoni proporcionalnosto ( PP εσ ;0 − ) elasti~nih deformacija( ee εσ ;0 − ) (Sl. 9.01).

Sl. 9.01

Ovaj zahtev se zadovoljava tako, da se merodavne vrednost materijala (9.01) podele(koriguju) sa faktorom sigurnosti ( Mν ), i tako dobijaju DOZVOLJENE VREDNOSTI, koje seu ovom kursu indeksno ozna~avaju sa (D). Vrednost faktora sigurnosti zavisi od karaktera inamene konstrukcije, i ~esto sadrì vi{e elemenata. Vrednosti faktora sigurnosti se kre}u uzavisnosti od materijala i konstrukcije u granicama (1,5-12 i vi{e). Konkretne vrednosti seodre|uju na osnovu iskustva proizvo|a~a, i retko se nalaze kao preporu~ene tabli~nevrednosti.

σM

σE

σσ

d

σT

M

T

EP

o

σM

σE

σσ

d

σT

M

T

EP

o

σM

σE

σσ

d

σT

M

T

EP

o

σM

σE

σσ

σT

M

T

EP

o

σ

ε

σM

σE

σP σd

σT

M

T

EP

o εMεP


290

M

MD γ

σσ = dozvoljeni normalni napon.

M

MD γ

εε = dozvoljena dilatacija. (9.02)

M

MD γ

ττ = dozvoljen tangentni napon.

M

fMfD

uu

γ= dozvoljen specifi~ni deformacioni rad na promeni oblika.

Sve hipoteze pretpostavljaju, da je jedan od uticajnih foktora pri prostornom naponskomstanju DOMINANTAN (napon, dilatacija, specifi~ni rad), te da do kidanja (op{teg sloma)dolazi onda, ako taj dominantni faktor dostigne vrednost pri kome dolazi do kidanja (sloma)pri linearnom naponskom stanju, prema elementima (9.01). Ovaj uslov se naziva USLOVSLOMA.

DOMINANTNI faktori prostornog naponskog stanju su:

321 ,, σσσ glavni naponi

1ε glavne dilatacije

maxτ maksimalna vrednost tangentnog napona (9.03)

maxfu maksimalna vrednost spec. def. rada na promeni oblika

USLOVI SLOMA su na osnovu podataka (9.01, 9.03):

fMf

M

M

M

uu ==

==

max

max

1

1

ττεεσσ

(9.04)

Sa stanovi{ta svake hipoteze, konstrukcija ili njen deo zadovolja kriterijumediomenzionisanja, ako DOMINANTNE vrednosti (9.03) nisu ve}e od DOZVOLJENIHvrednosti (9.02). Ovaj uslov se naziva USLOV ^VRSTO]E. U daljem radu uslove, kao iodgovaraju}e hipoteze ozna~avamo rimskim brojevima.


291

M

fMfDf

M

MD

M

MD

M

MD

uuuIV

III

II

I

γ

γτ

ττ

γε

εε

γσ

σσ

=≤−

=≤−

=≤−

=≤−

max

max

1

1

(9.05)

Uslovi (9.05) se zovu OSNOVNE HIPOTEZE O SLOMU.

Sve hipoteze su izvedene tako, da uslovi (9.05) budu izraèni u funkciji dozvoljenih vrednosti(9.02), faktora sigurnosti i glavnih napona.

9.1.1. (I) - HIPOTEZA O NAJVE]EM GLAVNOM NAPONU

Ovu hipotezu je postavio GALILEI, pa se ista naziva GALILEJEVA HIPOTEZA.

USLOV SLOMA je na osnovu prve jedna~ine (9.04):

Mσσ =1 (9.06)

USLOV ^VSTO]E je na osnovu prve jedna~ine (9.05):

M

MD γ

σσσ =≤1 (9.07)

Predhodna jedna~ina je ujedno jedna~ina naponskog stanja karakteristi~na za ovu hipotezu.


292

9.1.2. (II) - HIPOTEZA O NAJVE]OJ DILATACIJI

Ovu je hipotezu postavio MARIOT (1620-1684) i ona nosi njegovo ime.

USLOV SLOMA je na osnovu druge jedna~ine (9.04):

Mεε =1 (9.08)

USLOV ^VSTO]E je na osnovu druge jedna~ine (9.05):

M

MD γ

εεε =≤1 (9.09)

Izraz za glavnu dilataciju ( 1ε ) je prema Poissonovoj jedna~ini (4.06) izraèno glavnimnaponima:

( )[ ]32111 σσµσε −−=E

(9.10)

Na osnovu HOOKE-ovog zakona (4.01), dozvoljena vrednost dilatacije je:

M

MDD EE γ

σσε == (9.11)

Ako izraze (9.10, 9.11) uvrstimo u jedna~inu (9.09), sledi jedna~ina naponskog stanjakarakteristi~na za ovu hipotezu

( )[ ]321 σσµσγσ −−≥

M

M (9.12)

9.1.3. (III) - HIPOTEZA O NAJVE]EM TANGENTNOM

Ovu hipotezu je postavio COLOMB (1736 - 1804) i ona nosi njegovo ime.

USLOV SLOMA je na osnovu tre}e jedna~ine (9.04):

Mττ =max (9.13)


293

USLOV ^VSTO]E je na osnovu tre}e jedna~ine (9.05):

M

MD γ

τττ =≤max (9.14)

Maksimalna vrednost tangentnog napona je na osnovu jedna~ine (2.78):

231

maxσστ −

= (9.15)

Ako izraz (9.15) uvrstimo u jedna~inu (9.14), dobijamo jedna~inu naponskog stanja koja jekarakteristi~na za ovu hipotezu.

2

31 σσγτ −

≥M

M (9.16)

9.1.4. (IV) - HIPOTEZA O NAJVE]EM SPECIFI^NOM RADU NA PROMENIOBLIKA

Osnove za ovu hipotezu postavili su HUBER, MISES i HENCKU, i ona stoga nosi njihovoime.

USLOV SLOMA je na osnovu ~etvrte jedna~ine (9.04):

fMf uu =max (9.17)

USLOV ^VSTO]E je na osnovu ~etvrte jedna~ine (9.05):

M

fMfDf

uuu

γ=≤max (9.18)

Izraz za maksimalni specifi~ni deformacioni rad na promenmi oblika ( maxfu ) je prema

jedna~ini (6.51):

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221max 6

1 σσσσσσµ −+−+−+=E

u f (9.19)


294

Izraz za maksimalni specifi~ni deformacioni rad na promenmi oblika pri linearnomnaponskom stanju ( fMu ), se dobija iz jedna~ine (9.19) za ( 0; 321 === σσσσ M ):

2

31

MfM Eu σµ+= (9.20)

Ako izraze (9.19, 9.20) uvrstimo u jedna~inu (9.18), dobijamo jedna~inu naponskog stanjakoja je karakteristi~na za ovu hipotezu:

( ) ( ) ( )[ ]213

232

2212

1 σσσσσσγσ

−+−+−≥M

M (9.21)

Pored prikazanih hipoteza o slomu, postoje i mnoge druge, kao {to su hipoteze (Balagina,Miroljubova, Yanga, Mohra,…), koje su svaka za sebe primenljive za pojedine grupeproblema, ali nisu prihva}ene kao op{te, pa se stoga u ovom kursu iz po{tovanja premaautorima, samo spominju imaena autora.

Iz strukture jedna~ina naponskih stanja kod svake prikazane hipoteze, DOMINANTNE ~inioce(9.03) odre|ujemo na osnovu teorijskih razmatranja, koja su prikazana u delu (5). ovog kursa.Iste se metode baziraju na JACOB BERNOULI-jevom deformacionom modelu i na SAINT-VENANT- ovom postupku. Kasrakteristike materijala (9.01) odre|ujemo za svaki materijalposebno iz odgovaraju}ih tablica iz otpornosti materijala ili iz proizvo|a~kih kataloga. Akonam podaci nisu na raspolaganju, osnovne kori{tene karakteristike utvr|ujemo ispitivanjem(merenjem) na osnovu standardnih metoda za ispitivanje materijala

PRIMER 9.1.

Nosa~ (ABC) prikazan na slici (Sl. 9.1), sastoji se iz dva me|usobno kruto vezana dela. Deo (AB) je izveden od okruglogmaterijala pre~nika (D), a drugi deo je izra|en od pljosnatog èljeza (50 x 50). U ta~ci (C) deluje koncentrisana sila(F=5 KN). Matrijal nosa~a je (^.0300), ~ija je zatezna ~vrsto}a ( MPaM 400=σ ), ~vrsto}a na smicanje ( MPaM 320=τ ), a

modul elasti~nosti ( MPaE 5102,2 ⋅= ). Duìne delova su (l=2000 mm, k=100 mm), a kojeficijent sigurnost konstrukcije

treba da je ( 2=Mν ).

Potrebno je odrediti dimenisiju (D) dela nosa~a (AB), koriste}i hipotezu o najve}em tangentnom naponu, i hipotezu onajve}em glavnom naponu.

Redukujmo optere}enje (F) na ta~ku (B). U normalnom preseku (A), ~ije teì{te odgovara ta~ki (B), vlada}e redukovanisistem optere}enja ( FMM tf ,, ), koji se satoji od momenta savijanja, momenta uvijanja, i transverzalne sile (F).


295

Po{to se radi o duga~koj gredi, uticaj transverzalne sile (F) na naponsko stanje moè da se zanemari, pa su stoga vrednostiuticajnih redukovanih optere}enja slede}e:

- Redukovani moment savijanja je:

mmNlFM f510255005000 ⋅=⋅=⋅= (P.9.01)

- Redukovani moment uvijanja (torzije) je:

mmNkFMt51051005000 ⋅=⋅=⋅= (P.9.02)

Sl. 9.1

Momenti ( tf MM , ) uzrokuju ravno naponsko stanje, ~ije su komponente ( τσ , ).

IZRAÛNAVANJE VLADAJU]IH NAPONA

- Normalni napon je posledica redukovanog momenta savijanjaje, i odre|uje se na osnovu jedna~ine (5.110):

MPaD

DD

DI

My

IM

x

f

x

f3

7

4

5

max105,2

264

10252

⋅=⋅⋅

⋅=⋅=⋅=π

σ (P.9.03)

- Tangentni napon je posledica dejstva redukovanog torzionog momenta, i dore|uje se na osnovu jedna~ine (5.79):

MPaD

DD

DI

MyIM

x

tt3

7

4

5

max0

1025,02

642

10522

⋅=⋅⋅⋅

⋅=⋅=⋅=π

τ (P.9.04)

A B C

F

l k

D


296

ODRE\IVANJE GLAVNIH NAPONA

Odre|ivanje se vr{i na osnovu jedna~ine (5.123):

( )

⇓

±⋅=

⋅⋅+

⋅±

⋅

=⋅+±= 55,225,1101025,04105,22

105,2

42 3

72

3

72

3

73

7

222,1 DDD

Dτσσσ

3

7

2

3

7

1

103,1

108,3

D

D⋅−=

⋅=

σ

σ(P.9.05)

DIMENZIONISANJE

PREMA HIPOTEZI O NAJVE]EM TANGENTNOM NAPONU:

- Jedna~ina naponskog stanja po ovoj hipotezi je data jedna~inom (9.16):

231 σσ

ντ −≥

M

M

Pri ravnom naponskom stanju je vrednost najmanjeg glavnog napona ( 23 σσ = ), pa predhodna jedna~ina dobija oblik:

221 σσ

ντ −

≥M

M (P.9.06)

Ako u jedna~inu (P.9.06) uvrstimo vrednosti glavnih napona (P.9.05) i vrednost kojeficijenta sigurnosti, dobijamo vrednostpre~nika u skladu sa ovom hipotezom:

⇓

⋅−−⋅

≥2

103,1108,3

2320 3

7

3

7

DD


297

mmDD 68320

21,5103

7' =⋅⋅≥== (P.9.07)

PREMA HIPOTEZI O NAJVE]EM GLAVNOM NAPONU

- Jedna~ina naponskog stanja po ovoj hipotezi data je jedna~inom (9.07):

M

M

νσσ ≤1 (P.9.08)

Ako u jedna~inu (P.9.08) uvrstimo vrednost najve}eg glavnoh napona (P.9.05) i vrednost kojeficijenta sigurnosti, dobijamopre~nik nosa~a koji odgovara ovoj hipotezi

⇓

≤⋅2

400108,33

7

D

mmDD 57400

108,323

7'' =⋅⋅≥= (P.9.09)

Za ugradnju se bira prvi ve}i standardni pre~nik (D), koji mora biti ve}i od pre~nika (''' , DD ), koji su izra~unati na osnovu

obe hipoteze:

( )⇓

≥ ''' , DDD

mmD 70= (P.9.10)


298

KORI[TENA LITERATURA

U kori{tenoj literaturi navedene su samo knjige, ud`benici i priru~nici koji su u neposrednojvezi sa izloènom materijom.

1. Dr. Bazjanac Davorin: NAUKA O ^VRSTO]I

Tehni~ka knjiga, Zagreb, 1973.

2. Dr. Br~i} Vlatko: OTPORNOST MATERIJALA

Gra|evinska knjiga, Beograd, 1975.

3. Dr. Király Béla: SZILÁRDSÁGTAN (I, II)

(egyetemi jegyzet), Tankönyvkiadó, Budapest, 1981.

4. Dr. Kósza Csaba: RUGALMAS RENDSZEREK MECHANIKÁJA (II)

(főiskolai jegyzet), Bánki Donát, Budapest, 1983.

5. In`.Mandi} Jovan OTPORNOST MATERIJALA

Ma{inski Fakultet Beograd,1967.

6. Dr. Rastko ûki}: OTPORNOST MATERIJALA

Ma{inski fakultet Beograd,1992.


299

7. Dr. Rastko ûki}

(sa grupom autora) PRIRU^NIK IZ OTPORNOSTI MATERIJALA

Ma{inski fakultet Beograd,1991.

8. Shanely F. R. MECHANICS OF MATERIALS

McGRAW - HILL Book Company, New York, 1967.

9. Timo{enko S. HISTORY OF STRENGTH OF MATERIALS

McGRAW - HILL Book Company, New York, 1953.

10. Timo{enko S STRENGTH OF MATERIALS (I)

D. VAN NOSTRAND Company, Princeton, 1958.

Documents

Firstner Stevan - Otpornost Materijala