25
7 CAPITOLUL 1 NUMERE NATURALE 1.1. Scrierea çi citirea numerelor naturale, çirul numerelor naturale 1. ScrieÆi, folosind cifre (arabe), numerele: a) çase sute nouå; b) douå mii nouå sute çapte; c) çaptezeci çi çapte de mii; d) trei sute douåzeci çi patru de mii trei sute douåzeci çi cinci; e) un milion cinzeci de mii o sutå cinci; f) un miliard cinci sute unu milioane o sutå douåzeci de mii. 2. La bancå, pentru a depune o sumå de bani, trebuie så completaÆi un formular în care veÆi trece suma respectivå çi în litere. Ce trebuie så scrieÆi, dacå suma depuså este: a) 1500; b) 22450; c) 10225; d) 2560782. 3. Fie numårul 2340156987. a = PrecizaÆi ordinul çi clasa urmåtoarelor cifre ale numårului a : a) 2; b) 4; c) 1; d) 9. 4. Un cod format din cinci cifre are cifra miilor 5, cea a sutelor 3 çi cea a zecilor 4. AflaÆi codul, çtiind suma dintre cifra zecilor de mii çi cifra unitåÆilor este 1. 5. Se considerå numerele: 1246; 3874; 4683; 4874; 8462. Care dintre aceste numere are urmåtoarele proprietåÆi: este format din cifre diferite, cifra sutelor este dublul cifrei unitåÆilor, cifra zecilor este mai mare decât cifra miilor çi cifra unitåÆilor este parå ? 6. CalculaÆi , a b c + + çtiind cå 17 3. a bc = 7. Cinci numere sunt scrise pe 5 carduri ca în figura urmåtoare. Care este cel mai mic çi care este cel mai mare numår care îl puteÆi obÆine alåturând cardurile? 8. Care este cel mai mare numår abcd ale cårui cifre au proprietatea: a b c d a ? 9. DeterminaÆi: a) cel mai mare numår de cinci cifre cu cifra miilor 2 çi cifra sutelor 5; b) cel mai mic numår de çase cifre cu cifra sutelor de mii 4 çi cifra unitåÆilor 5; c) numårul cu toate cifrele egale cuprins între un milion çi douå milioane. 10. AflaÆi toate numerele ( ) 123 0 x y x care au suma cifrelor egalå cu 8. 11. AflaÆi toate numerele de forma ( ) 0, xyz x çtiind cå 7 . z x y = + 12. Câte numere de trei cifre au forma: a) 72; a b) 2 ; xy c) 3zz ? 208 53 9 4 61

Fisa Numere Naturale

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Fisa Numere Naturale

7

CAPITOLUL 1 — NUMERE NATURALE

1.1. Scrierea çi citirea numerelor naturale, çirul numerelor naturale

1. ScrieÆi, folosind cifre (arabe), numerele: a) çase sute nouå; b) douå mii nouå sute çapte; c) çaptezeci çi çapte de mii;

d) trei sute douåzeci çi patru de mii trei sute douåzeci çi cinci; e) un milion cinzeci de mii o sutå cinci; f) un miliard cinci sute unu milioane o sutå douåzeci de mii.

2. La bancå, pentru a depune o sumå de bani, trebuie så completaÆi un formular în care veÆi trece suma respectivå çi în litere. Ce trebuie så scrieÆi, dacå suma depuså este:

a) 1500; b) 22450; c) 10225; d) 2560782.

3. Fie numårul 2340156987.a = PrecizaÆi ordinul çi clasa urmåtoarelor cifre ale numårului a :

a) 2; b) 4 ; c) 1; d) 9.

4. Un cod format din cinci cifre are cifra miilor 5, cea a sutelor 3 çi cea a zecilor 4 . AflaÆi codul, çtiind cå suma dintre cifra zecilor de mii çi cifra unitåÆilor este

1.

5. Se considerå numerele: 1246; 3874; 4683; 4874; 8462. Care dintre aceste numere are urmåtoarele proprietåÆi: este format din cifre diferite, cifra sutelor este dublul cifrei unitåÆilor, cifra zecilor este mai mare decât cifra miilor çi cifra unitåÆilor este parå ?

6. CalculaÆi ,a b c+ + çtiind cå 1 7 3 .a b c=

7. Cinci numere sunt scrise pe 5 carduri ca în figura urmåtoare. Care este cel mai mic çi care este cel mai mare numår care îl puteÆi obÆine alåturând cardurile?

8. Care este cel mai mare numår abcd ale cårui cifre au proprietatea:

a b c d a≠ ≠ ≠ ≠ ?

9. DeterminaÆi: a) cel mai mare numår de cinci cifre cu cifra miilor 2 çi cifra sutelor 5; b) cel mai mic numår de çase cifre cu cifra sutelor de mii 4 çi cifra

unitåÆilor 5; c) numårul cu toate cifrele egale cuprins între un milion çi douå milioane.

10. AflaÆi toate numerele ( )123 0x y x ≠ care au suma cifrelor egalå cu 8.

11. AflaÆi toate numerele de forma ( )0 ,xyz x ≠ çtiind cå 7 .z x y= ⋅ +

12. Câte numere de trei cifre au forma: a) 72;a b) 2 ;x y c) 3zz ?

208

53

9

4 61

Page 2: Fisa Numere Naturale

8

13. a) Câte numere de patru cifre formate numai cu 1 çi 2 existå? b) Câte numere de patru cifre se pot forma cu 0 çi 1?

14. Câte numere naturale de trei cifre existå?

15. Câte numere naturale sunt formate din patru cifre distincte?

16. ScrieÆi cel mai mic çi cel mai mare numår de zece cifre care conÆine exact opt cifre de 1.

17. Un numår se numeçte palindronic dacã este egal cu råsturnatul såu (de exemplu 52725 ). Care este diferenÆa dintre cel mai mare numår palindronic de 6 cifre çi cel mai mic numår palindronic de cinci cifre?

18. StabiliÆi valoarea de adevår a urmåtoarelor propoziÆii: a) çirul numerelor naturale este infinit; b) existå un numår n∈N astfel încât toate numerele din çirul numerelor

naturale sunt mai mici ca n ; c) suma oricåror douå numere consecutive din çirul numerelor naturale

este un numår impar.

19. Un copil a scris pe tablå toate numerele naturale de la 1 la 100: 123456789101112 … 99100. a) Câte cifre a folosit copilul? b) Care este cifra de pe locul 53?

20. Fie çirul: 1, 3, 7 , 13, 21, 31, ... . DeterminaÆi urmåtorii doi termeni ai çirului.

1.2. Reprezentarea numerelor naturale pe axå. Compararea, aproximarea çi

ordonarea numerelor naturale. Probleme de estimare

1. ReprezentaÆi pe axa numerelor punctele: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 , 3 , 1 , 2 , 0 .A B C D O

2. Câte numere impare sunt pe axa numerelor între punctele ( )4A çi ( )24 ?B

3. Fie punctele ( )3A çi ( )15 .B DeterminaÆi ,x ∈N çtiind cå ( )C x este

mijlocul segmentului .AB

4. Pe axa numerelor, consideråm unitatea de måsurå 1 cm çi reprezentåm urmåtoarele puncte ( ) ( )8 , 15A B çi ( )24 .C DeterminaÆi distanÆa dintre punctele:

a) A çi ;B b) B çi ;C c) A çi .C

5. Care numår este mai mare: a) 360 sau 410 ? c) 1002300 sau 956004 ? b) 5024 sau 4205 ? d) 20301 sau 103021 ?

6. a) OrdonaÆi crescåtor numerele: 1001; 293; 9597; 10000; 9600. b) OrdonaÆi descrescåtor numerele: 3470; 3740; 457; 14 407; 3045.

Page 3: Fisa Numere Naturale

9

7. Fie a çi b douå cifre nenule astfel încât .a b< OrdonaÆi descrescåtor numerele: , , , .aaaa abab bbbb baba

8. DeterminaÆi: a) cel mai mare numår par format din patru cifre; b) cel mai mare numår par format din patru cifre distincte; c) cel mai mic numår format din trei cifre consecutive; d) cel mai mic numår impar de cinci cifre.

9. Se considerå numårul 3412597. ÇtergeÆi douå cifre astfel încât numårul råmas så fie: a) cel mai mic; b) cel mai mare.

10. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) 5;x < b) 3;x ≤ c) 5 12;x< ≤ d) 112x > çi 118.x <

11. Câte numere abc au proprietåÆile 100 200abc< < çi 3b c= + ?

12. Câte numere de trei cifre au suma cifrelor mai mare sau egalå cu 25?

13. Care este cel mai mic numår natural cu suma cifrelor egalå cu 102 ?

14. GåsiÆi cel mai mic numår, açezat pe axa numerelor la dreapta lui 2008 , cu suma cifrelor 10 .

15. AflaÆi numårul bancnotelor de 10 lei necesare pentru a cumpåra o carte cu preÆul de:

a) 27 lei; b) 59 lei; c) 112 lei.

16. DeterminaÆi numårul bancnotelor de 100 lei necesare pentru a cumpåra un calculator care costå:

a) 1230 lei; b) 2250 lei; c) 4199 lei.

17. Çirul numerelor naturale nenule se împarte în grupe astfel: ( ) ( )1 , 2, 3 ,

( ) ( )4 , 5, 6 , 7 , 8, 9 , 10 , ... . Care este primul numãr din a cincizeci çi una grupã ?

1.3. Adunarea

1. CalculaÆi: a) 45 603 55 397;+ + + c) ( )17 1017 966 ;+ +

b) ( ) ( )25 12 18 45 ;+ + + d) ( )37 39 424.+ +

2. Fie 25,a = 102,b = 1028.c = CalculaÆi: a) ;a b+ b) ;b c+ c) 5 .a b c+ + +

3. CalculaÆi 10 ,a b+ + çtiind cå: a) 12, 78;a b= = b) 1543, 47.a b= =

4. Doi fraÆi gemeni împlinesc anul acesta 13 ani. AflaÆi suma vârstelor celor doi fraÆi peste 10 ani.

5. Mihai ar vrea så primeascå de ziua lui o minge de baschet çi o bicicletå. CâÆi bani trebuie så plåteascå pårinÆii lui, dacå mingea costå 60 lei, iar bicicleta cu 220 lei mai mult decât mingea?

Page 4: Fisa Numere Naturale

10

9 2

3

6

1

1

2

35

8

13

6. DeterminaÆi suma a cinci numere consecutive, çtiind cå numårul din mijloc este 50.

7. Se considerå sumele: 1 2 3 ... 99 100A = + + + + + çi 100 99 98 ...B = + + + ... 2 1.+ +

a) CalculaÆi ;A B+ b) Utilizând, eventual, rezultatul de la a) çi faptul cå ,A B= aflaÆi

valoarea sumei .A

8. AråtaÆi cå, pentru orice numår natural nenul ,n are loc egalitatea: ( )1 2 3 ... 1 : 2n n n+ + + + = + (PuteÆi folosi metoda de la problema 7).

9. CalculaÆi urmåtoarele sume: a) 1 2 3 ... 50;+ + + + c) 2 4 6 ... 100;+ + + + b) 51 52 53 ... 100;+ + + + d) 3 6 9 ... 300.+ + + +

10. CompletaÆi urmåtorul tabel, çtiind cå suma de pe fiecare linie çi de pe fiecare coloanå este 15.

11. AflaÆi valoarea lui ,x çtiind cå urmåtoarele perechi de numere au o

proprietate comunå: 12. AflaÆi regula dupå care sunt alese numerele din

figurå çi determinaÆi numårul care lipseçte. 13. DeterminaÆi ,a ,b ,c d astfel încât suma numerelor

din oricare trei cåsuÆe vecine ale tabelului de mai jos så fie 6.

1 a b c d 3

14. AflaÆi valoarea lui ( ) ,x x ∈N çtiind cå:

a) 345 723;x + = c) 2 43 53;x x+ = +

b) 63 58;x> + d) 2 9 35.x + =

15. DeterminaÆi toate numerele ab ( )0 ,a ≠ çtiind cå 7.a b+ =

16. DeterminaÆi cifrele ,x ,y z astfel încât 9 1 3 28x y z+ = .

17. AflaÆi toate numerele de douå cifre nenule ab cu proprietatea 44.ab ba+ =

18. CalculaÆi suma ,abc cab bca+ + çtiind cå 7.a b c+ + =

14 86 75 25 43 57 21 x =?

Page 5: Fisa Numere Naturale

11

19. Fie ,a ,b ,c ,d e∈N astfel încât 0 a b c d e≤ ≤ ≤ ≤ ≤ çi a b c d e+ + + + = 1001.= DeterminaÆi cea mai mare valoare posibilå a sumei .a c e+ +

20. PuteÆi împårÆi numerele 1, 2, 3,...,9 , 10 în douå grupe astfel încât sumele numerelor din cele douå grupe så fie egale?

1.4. Scåderea

1. CalculaÆi: a) 1001 832;− d) ( )147 25 102 ;− +

b) 453 437;− e) ( )114 20 22 16 ;− − −⎡ ⎤⎣ ⎦

c) 629 134 105;− − f) ( ) ( )114 20 22 16 .− − −

2. CalculaÆi:

a) ( ){ }9 16 25 36 26 ;− − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

b) ( ) ( )40 26 12 53 39 ;− − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

c) ( ) ( ){ }70 8 12 60 80 70 ;− − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦

d) ( ) ( )25 90 67 41 23 17 .− − − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3. Fie numerele ( )125 60 15a = − − çi 125 60 15.b = − − DeterminaÆi

diferenÆa .a b−

4. OrdonaÆi crescåtor numerele ( )50 15 10 5 ,a= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )50 15 10 5b= − − +

çi ( ) ( )50 15 10 5 .c = − − −

5. CalculaÆi: a) ( ) ( )2 4 6 ... 100 1 3 5 ... 99 ;x = + + + + − + + + +

b) ( ) ( )3 7 11 ... 103 1 5 9 ... 101 .y = + + + + − + + + +

6. DeterminaÆi valoarea lui x astfel încât: a) 432 127;x− = c) ( )162 3 42;x− + =

b) 53 1027;x − = d) 43 98.xx+ =

7. Capitolul II din primul volum Harry Potter începe la pagina 56 çi se terminå la pagina 127. Câte pagini are acest capitol?

8. AflaÆi douå numere naturale, çtiind cå suma lor este 78, iar diferenÆa lor este 12.

9. Care este diferenÆa dintre cel mai mic numår impar de patru cifre çi cel mai mare numår de trei cifre?

10. DeterminaÆi toate numerele naturale abc cu proprietatea 3.a b b c− = − =

11. Fie a çi b douå numere pare, astfel încât 100 ,a b+ = 0.b ≠ Care este cea mai mare valoare posibilå a diferenÆei a b− ?

Page 6: Fisa Numere Naturale

12

12

84

7

189

9 21

264

6 x

12. DiferenÆa a douå numere naturale este 908 , iar unul dintre ele este

1012. AflaÆi celålalt numår (analizaÆi cele douå cazuri). 13. Bordul unei maçini aratå 10901 km. Peste câÆi kilometri bordul maçinii

va aråta, prima datå, un numår egal cu råsturnatul såu?

14. Un ceas digital aratå 22 : 06. Care este timpul minim necesar pentru ca pe ecranul ceasului så aparå din nou aceste patru cifre?

15. Fie ,a ,b ,c d∈N astfel încât 64a b+ = çi 36.c d+ = CalculaÆi:

a) ;a c b d+ + + b) .a c b d− + −

16. AflaÆi numårul abc çtiind cå 1 5 3 42.a b c− =

17. Fie abc ( )0a ≠ çi xy ( )0x ≠ douå numere cu proprietatea abc xy− =

989.= CalculaÆi .abc xy+

18. Câte numere naturale abc ( )0, 0a c≠ ≠ au proprietatea 0abc cba− = ?

19. DeterminaÆi suma cifrelor numårului 10 cifre

9 99 999 ... 99...9.x = + + + +

20. Câte numere de forma ,abc { }4 , 5, 6a∈ au proprietatea cå diferenÆa

dintre oricare douå cifre consecutive este 2 ?

1.5. ÎnmulÆirea

1. CalculaÆi: a) 16 75;⋅ c) 134 11;⋅ e) 999 14;⋅

b) 36 175;⋅ d) 1001 232;⋅ f) 102 409.⋅

2. CalculaÆi: a) 2 13 4 15 2 7;⋅ + ⋅ + ⋅

b) ( ) ( )12 4 6 6 8 12 ;⋅ + − ⋅ +

c) ( )250 5 40 2 4 ;− ⋅ + ⋅

d) ( ) ( )2 3 5 173 20 2 4 3 .+ ⋅ + ⋅ + − ⋅

3. ComparaÆi numerele: 2 3 6 7 10 11 14 15a = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ çi 1 4 5 8b = ⋅ + ⋅ + 9 12 13 16.+ ⋅ + ⋅

4. AflaÆi numårul x :

Page 7: Fisa Numere Naturale

13

5. Circuitul de Formula I de la Monaco are lungimea 3340 m çi trebuie

parcurs de 78 de ori. CâÆi metri parcurge un pilot care terminå cursa?

6. Un colecÆionar are un dulap cu 7 sertare çi în fiecare sertar are 5 cutii în care a pus câte 10 monede vechi.

a) Câte monede vechi are colecÆionarul? b) Câte sertare trebuie så deschidå pentru a putea scoate 165 de monede?

7. Iepurele tråieçte la fel de mult ca pisica, de cinci ori mai puÆin decât ursul, de trei ori mai puÆin decât bizonul çi jumåtate din cât tråieçte vulpea. CâÆi ani tråieçte pisica, dacå suma tuturor vârstelor este 144?

8. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) 3 141;x = c) 60 : 15;x = e) 25;x x⋅ = b) ( )2 5 204;x⋅ + = d) : 6 32;x = f) 3 2 23.x+ =

9. DeterminaÆi toate numerele abc cu proprietatea 6.a b c⋅ ⋅ =

10. CalculaÆi 8 4 3 ,a b c+ + çtiind cå 2 19a b+ = çi 2 33.a c+ =

11. DeterminaÆi ultimele patru cifre ale produsului 1 2 3 ... 24.p = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

12. Suma a çase numere naturale consecutive este 15. DeterminaÆi produsul lor.

13. DeterminaÆi numerele , , ,a b c d∈N astfel încât 8a b c d a b c d+ + + = ⋅ ⋅ ⋅ = çi .a b c d≤ ≤ ≤

14. Fie , ,a b c∈N astfel încât 20.a b c⋅ ⋅ = DeterminaÆi ( )min .a b c+ +

15. La dreapta unui numår de douå cifre scriem acelaçi numår. De câte ori este mai mare numårul astfel obÆinut faÆå de numårul iniÆial?

16. a) AråtaÆi cå produsul a douå numere naturale consecutive se poate termina numai în 0, 2 sau 6.

b) DemonstraÆi cå nu existå ,a b∈N astfel încât ( )1 5 3.a a b⋅ + = +

17. În tabelul alåturat produsul numerelor de pe fiecare linie, coloanå çi diagonalå este acelaçi (diferit de zero). DeterminaÆi b çi .e

1.6. ÎmpårÆirea cu rest a numerelor naturale

1. EfectuaÆi împårÆirile: a) 143 : 11; c) 74 418 : 314; e) 30142 : 2153;

b) 1632 : 12; d) 26125 : 209; f) 267600 : 2230.

5 a b

4 10 c

d e f

Page 8: Fisa Numere Naturale

14

2. CalculaÆi: a)1440 : 12 : 4; c) ( )8000 : 80 : 4 : 5 ; e) ( )6250 : 250 : 50 : 25 ;⎡ ⎤⎣ ⎦

b) ( )1440 : 12 : 4 ; d) ( ) ( )960 : 3 : 60 : 3 ; f) ( )450 : 9 25 .⋅

3. AflaÆi câtul çi restul împårÆirii lui d la ,i în fiecare din urmåtoarele cazuri:

a) 13, 17;d i= = c) 720 , 155;d i= = e) 1008, 12;d i= =

b) 35, 35;d i= = d) 339, 17;d i= = f) 3254 , 103.d i= =

4. Mihai rezolvå câte 7 probleme pe zi, iar Radu câte 3 probleme pe zi. În câte zile rezolvå Radu acelaçi numår de probleme pe care le rezolvå Mihai în 9 zile?

5. Fiecare din cei 7 lei ai unei grådini zoologice a mâncat într-o zi acelaçi

numår de sandwich-uri. Dacå numårul total de sandwich-uri mâncate este 8 ,x determinaÆi valoarea lui .x

6. Care este numårul de 10 ori mai mare decât jumåtate dintr-o jumåtate dintr-o zecime dintr-un sfert din jumåtate din 1600?

7. AflaÆi numerele naturale ,a b ( )0 ,b ≠ çtiind cå 31a b+ = çi a împårÆit

la b då câtul 2 çi restul 1.

8. Fie *,a b∈N cu proprietatea cå a împårÆit la b då câtul 7 çi restul 2.

DeterminaÆi numerele a çi ,b çtiind cå 44.a b− =

9. Fie ,a b∈N astfel încât 4 3.a b= + AflaÆi câtul çi restul împårÆirii lui a la 4.

10. Fie ,a b∈N astfel încât 5 7.a b= + AflaÆi câtul çi restul împårÆirii lui a la 5.

11. Fie n∈N astfel încât n împårÆit la 48 så dea restul 36. Ce rest obÆinem dacå îl împårÆim pe n la 16?

12. Fie 4 1 .x ab aba a b= + + AflaÆi restul împårÆirii lui x la 7.

13. Fie 11 5,x a= − * .a∈N DeterminaÆi restul împårÆirii lui x la 11.

14. AflaÆi câtul çi restul împårÆirii numårului 1 2 3 4 5 6 7 39a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + la 120.

15. DeterminaÆi restul împårÆirii numårului 1 2 3 ... 9 10 2a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − la 14.

16. Dacå a împårÆit la b ( )0b ≠ då câtul c çi restul ,r aflaÆi câtul çi restul

împårÆirii lui 10a la 10 .b

17. a) AråtaÆi cå în orice grup de trei numere naturale existå douå numere care dau acelaçi rest la împårÆirea cu 2.

b) AråtaÆi cå în orice grup de patru numere naturale existå douå numere care dau acelaçi rest la împårÆirea cu 3.

Page 9: Fisa Numere Naturale

15

18. DeterminaÆi toate numerele naturale care împårÆite la 3 dau câtul 10.

19. DeterminaÆi toate numerele naturale care împårÆite la 4 dau câtul egal cu restul.

20. AflaÆi toate numerele naturale nenule care împårÆite la 7 dau câtul de douå ori mai mic decât restul.

21. AflaÆi suma tuturor numerelor naturale care împårÆite la 10 dau câtul 2.

22. AflaÆi restul împårÆirii la 3 a sumei a trei numere consecutive.

23. AflaÆi toate numerele naturale care împårÆite la ab ( )0a ≠ dau câtul 10

çi restul 97.

24. DeterminaÆi cel mai mic çi cel mai mare numår de douå cifre care împårÆit la 6 då restul 5.

25. Câte numere de trei cifre împårÆite la 20 dau restul 6?

26. CalculaÆi suma tuturor numerelor de trei cifre care împårÆite la 50 dau restul 7.

27. AråtaÆi cå nu existå nici un numår natural care împårÆit la 6 så dea restul 3 çi împårÆit la 4 så dea restul 2.

28. AflaÆi toate numerele naturale nenule care împårÆite la 6 dau câtul a çi restul ,b iar împårÆite la 17 dau câtul b çi restul .a

29. Fie c çi r câtul, respectiv restul împårÆirii lui d la .i DeterminaÆi ,d ,i

,c ,r çtiind cå 4d r− = çi 2.r ≥

1.7. Ordinea efectuårii operaÆiilor. Factor comun

1. CalculaÆi: a) 5 5 3;+ ⋅ c) ( )10 2 2 4 ;⋅ + ⋅ e) ( )40 20 10 16 : 2 ;− ⋅ −

b) 20 30 : 2;− d) ( )1 2 3 3 : 3 ;+ ⋅ + f) ( ) ( )4 6 12 2 : 100.+ ⋅ −

2. EfectuaÆi calculele: a) ( )5 10 10 6 2 4 ;⋅ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

b) ( )198 2 45 2 400 398 ;− ⋅ + ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦

c) ( )10 : 2 15 3 2 3 4 15 2 3 ;+ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

d) ( )2 3 4 4 245 : 1477.+ ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

3. EfectuaÆi calculele: a) ( )62 8 24 24 : 4 3 : 5;+ ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

b) ( )25 : 19 2 3 4 ;− ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦

c) ( ) ( )400 : 8 3 4 42 : 2 : 1 2 ;− + ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦

d) ( )120 : 5 15 : 3 265 30 20 : 25 65 .+ ⋅ − + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

Page 10: Fisa Numere Naturale

16

4. CalculaÆi: ( ){ }2008 2008 2008 2008 2007 .− − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

5. EfectuaÆi: ( ){ } ( )9 8 7 6 5 4 3 2 1 : 9 8 ... 2 1 .⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

6. CalculaÆi ,abc bca cab− − çtiind cå ( )5 7 40 : 8 3 42 14 : 8 ,a = ⋅ − + ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦

15 27b b+ = − çi 3 .c b=

7. Dacå , ,a b∈N atunci 2.a b a b= + + CalculaÆi ( )2 0 0 5.⎡ ⎤⎣ ⎦

8. CalculaÆi: a) 57 63 57 37;⋅ + ⋅ b) 112 101 101 56 32 101;⋅ + ⋅ + ⋅

c) 69 1014 14 69;⋅ − ⋅ d) 15 43 37 43 43 52.⋅ + ⋅ − ⋅

9. CalculaÆi: a) 92 93 92 94 91;+ ⋅ − ⋅ b) 96 95 95 94 2 94;⋅ − ⋅ − ⋅

c) 12 857 13 857 25 856.⋅ + ⋅ − ⋅

10. CalculaÆi: ( ) ( )3 8 16 24 ... 296 : 6 12 18 ... 222 .⋅ + + + + + + + +

11. DeterminaÆi suma tuturor numerelor naturale care împårÆite la 7 dau câtul 17.

12. AflaÆi valoarea lui ,x çtiind cå 325ax bx cx+ + = çi 13.a b c+ + =

13. CalculaÆi: ( ) ( ): ,aa bb cc a b c+ + + + unde ,a ,b c sunt cifre nenule.

14. Dacå 3a = çi 18,b c+ = calculaÆi ( ) : 27 2.ab ac+ −⎡ ⎤⎣ ⎦

15. a) CalculaÆi ,a b+ çtiind cå 2 215a b+ = çi 2 127.a b+ = b) Dacå 2 3 560a b c+ + = çi 2 3 240,a b c+ + = aflaÆi valoarea sumei

.a b c+ +

16. CalculaÆi 3 ,xz yz+ çtiind cå 15 5 8 161x y z+ + = çi 3 29.x y+ =

17. DeterminaÆi numerele naturale nenule ,a ,b ,c çtiind cå 5 10a b+ = çi 5 10 100.ac bc c+ + =

18. DemonstraÆi cå egalitatea ( ) ( )397 43 397 41 713 7 7 316 :x⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

( ): 2 7 397x + = este verificatå pentru orice valoare naturalå a lui .x

1.8. Divizor. Multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5

1. DeterminaÆi toÆi divizorii numerelor: a) 1; b) 2; c) 4; d) 12.

2. AflaÆi suma divizorilor numerelor: a) 5; b) 6; c) 16; d) 20.

Page 11: Fisa Numere Naturale

17

3. a) ScrieÆi toÆi divizorii proprii ai numerelor 12 çi 27. b) ScrieÆi toÆi divizorii improprii ai numerelor 12 çi 27.

4. a) ScrieÆi toÆi multiplii lui 2, care sunt mai mici decât 15. b) ScrieÆi toÆi multiplii lui 5, care sunt mai mici decât 32.

5. DeterminaÆi toate valorile lui x ∈N în fiecare din urmåtoarele cazuri: a) 2| ,x 10;x ≤ c) 15| ,x 30 120;x< ≤

b) 25| ,x 100;x < d) 5,x 3 27.x< <

6. StabiliÆi valoarea de adevår a urmåtoarelor propoziÆii: a) 3|321; c) 2|53; e) 12|64;

b) 7|490; d) 5|1004; f) 203|609.

7. a) DeterminaÆi cel mai mic numår natural care are exact doi divizori. b) AflaÆi cel mai mic numår natural care are exact trei divizori.

8. DeterminaÆi toate numerele naturale mai mici decât 20 care au exact doi divizori.

9. a) CâÆi multipli de 2 sunt mai mici decât 1001? b) CâÆi multipli de 5 sunt mai mici decât 1001?

10. Câte numere naturale de douå cifre sunt multipli de 5, dar nu sunt multipli de 2?

11. a) Care este cel mai mare numår natural de 4 cifre care se divide cu 5? b) Care este cel mai mare numår natural format din 5 cifre distincte care

se divide cu 2?

12. DeterminaÆi toate valorile lui x astfel încât:

a) 2|14 ;x c) 10|47 ;x e) 5|1 0;x

b) 5|235 ;x d) ( )2| 0 ;xx x ≠ f) 10|2 3.x

13. a) AråtaÆi cå produsul a douå numere consecutive se divide cu 2. b) AråtaÆi cå produsul a trei numere consecutive se divide cu 3.

14. a) AråtaÆi cå 2 divide numårul 4 12n a b= + ( ), .a b∈N

b) AråtaÆi cå 5 divide numårul 10 5 35m x y z= − + ( ), , .x y z∈N

15. AråtaÆi cå 11 divide numårul .ab ba+

16. DemonstraÆi cå 7 , 11 çi 13 divid numårul .n xyzxyz=

17. DemonstraÆi cå 7 divide numårul 5 5 .ab a b− −

18. DemonstraÆi cå 51| ,n unde 51 2 .n ab ab= + ⋅

19. DemonstraÆi cå numårul 1 2 3 ... 100 5a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + se divide cu 5, dar nu se divide cu 10.

Page 12: Fisa Numere Naturale

18

20. AråtaÆi cå 143 divide numårul 303 27 .n ab ab= +

21. Fie n abcd= astfel încât 3 .ab cd= DemonstraÆi cå 7| .n

22. Dacå 37| ,abc atunci aråtaÆi cå ( )37| 11bc a− çi ( )37| 26 .bc a+

23. Fie numerele 4a x y= + çi 6 7 ,b x y= + unde ,x .y ∈N

a) CalculaÆi 11 ;a b+ b) AråtaÆi cå 17|11 ;a b+

c) Dacå 17| ,a atunci demonstraÆi cå 17| .b

24. Fie 2x a b= + çi 2 ,y a b= + unde ,a .b∈N a) CalculaÆi ;x y+ b) DemonstraÆi cå 3| x dacå çi numai dacå 3| .y

25. Într-o cutie sunt 120 de napolitane. Putem face pachete de câte 3 napolitane, astfel încât så epuizåm stocul? Dar de câte 7?

26. a) DeterminaÆi valoarea lui x astfel încât 17|45 .x b) AflaÆi ,x çtiind cå 19|32 7.x

27. Capacitatea maximå a unui microbuz este de 25 locuri. La capåtul traseului, în microbuzul gol se urcå mai mulÆi cålåtori. La prima staÆie coboarå o jumåtate dintre ei, iar la a doua o çeptime din numårul îniÆial. CâÆi oameni au urcat la început?

28. Fie çapte numere naturale cu proprietatea cå suma oricåror çase dintre ele se divide cu 5. AråtaÆi cå oricare dintre ele se divide cu 5.

29. Elevii care au participat la un concurs de matematicå au fost repartizaÆi în mod egal în 18 såli de claså, astfel încât numårul elevilor så fie mai mare decât 11 çi mai mic decât 17. AflaÆi numårul concurenÆilor, çtiind cå båieÆii au fost de patru ori mai puÆini decât fetele.

1.9. Numere pare. Numere impare

1. CalculaÆi suma tuturor numerelor pare mai mici decât 21.

2. ScrieÆi numårul 2008 ca suma a douå numere impare consecutive.

3. În câte moduri se poate scrie 12 ca suma a douå numere pare nenule? Dar ca suma a douå numere impare? (nu luåm în considerare ordinea termenilor sumei)

4. a) Câte numere impare sunt mai mici decât 100? b) Câte numere impare sunt cuprinse între 100 çi 300?

5. DeterminaÆi trei numere pare consecutive, çtiind cå suma lor este 36.

6. CalculaÆi suma primelor zece numere impare consecutive.

7. Fie numerele: 2 1, 6 4 , 2 6 8, 21 12 , 10 4 19,a a a b a a b− + − + + + − unde , .a b∈N Care dintre ele sunt numere pare çi care sunt impare?

Page 13: Fisa Numere Naturale

19

8. StabiliÆi paritatea urmåtoarelor numere: a) ( )1 ,x x + ;x ∈N b) ( )1 ,x x − * ;x ∈N c) 3 5,x + .x ∈N

9. StabiliÆi paritatea numårului ,n dacå: a) n este suma a 1001 de numere impare; b) n este suma a 24 de numere impare; c) n este produsul a 12 numere impare.

10. De Cråciun, fiecare elev al unei clase då câte o felicitare tuturor colegilor çi primeçte câte o felicitare de la fiecare coleg. Miçu a spus cå s-au folosit 381 de felicitåri. Este adevårat?

11. De-a lungul unui gard sunt opt tufe cu zmeurå. Numårul fructelor de pe douå tufe vecine diferå cu 1. Numårul fructelor de pe toate tufele poate fi 117?

12. Dacå suma a douå numere naturale este numår impar, care este paritatea produsului lor?

13. Dacå ,x ,y z sunt numere impare consecutive, în aceastå ordine, iar 28y z+ = calculaÆi .xy yz+

14. Fie 3x a b= + çi 3 5 7 ,y a b= + + unde , .a b∈N StabiliÆi paritatea numerelor x y+ çi .x y⋅

15. AråtaÆi cå numårul ( )( )3 2 5 1 ,x n n= + + n∈N , este impar.

16. AråtaÆi cå a b+ çi a b− au aceeaçi paritate, oricare ar fi numerele , ,a b∈N .a b>

17. Fie numerele 1,x a b= + + 3,y b c= + + 5,z c a= + + unde ,a ,b .c∈N AråtaÆi cå ,x y çi z nu pot fi toate pare.

18. Consideråm trei numere naturale ,a ,b ,c a cåror produs este un numår

impar çi .a b c> + AråtaÆi cå 0.a b c− − ≠

19. Fie ,a ,b c trei numere naturale impare. a) AråtaÆi cå ( ) : 2 .a b+ ∈N

b) DemonstraÆi cå printre numerele ( ) : 2,a b+ ( ) : 2b c+ çi ( ) : 2c a+

existå cel puÆin un numår impar.

1.10. Rezolvarea de probleme prin metoda figurativå, probleme de organizare a datelor în tabele çi probleme care se rezolvå prin încercåri

1. Luiza çi Gabi au împreunå 15 acadele, iar Luiza are cu 3 mai puÆine decât Gabi. Câte acadele are Gabi?

2. Mihai çi Victor au cumpårat o minge de fotbal de 100 lei. CâÆi lei a plåtit fiecare, dacå Mihai a avut cu 10 lei mai mult decât Victor?

3. Fie a çi b douå numere naturale a cåror sumå este 60. AflaÆi diferenÆa lor, çtiind cå unul dintre ele este de trei ori mai mare decât celålalt.

Page 14: Fisa Numere Naturale

20

4. Maria a adus la picnic douå coçuri cu câte 20 de plåcinte. Mihai a luat din primul coç câteva plåcinte, iar IonuÆ a luat din al doilea coç atâtea plåcinte câte au råmas în primul. Cu câte plåcinte a råmas Maria?

5. Numårul a are cifra unitåÆilor 0. Dacå çtergem ultima cifrå a lui a çi notåm numårul astfel obÆinut cu ,b atunci 308.a b+ = AflaÆi numerele a çi .b

6. Andrei urcå o scarå cu 121 de trepte. La un moment dat, oprindu-se så se odihneascå pe o treaptå, constatå cå mai are de urcat de douå ori mai multe trepte decât cele råmase în urmå. Pe a câta treaptå s-a oprit Andrei?

7. Suma a douå numere este 52. Dacå împårÆim unul dintre numere la celålalt obÆinem câtul 2 çi restul 1. Care sunt cele douå numere?

8. AflaÆi trei numere consecutive, çtiind cå suma lor este 93.

9. Intr-o zi, o antilopå bea cu 2 l mai puÆinå apå decât o zebrå çi de çase ori mai puÆinå apå decât un elefant. AflaÆi câÆi litri de apå bea fiecare într-o zi, çtiind cå ei au nevoie împreunå de 18 litri.

10. Douå veveriÆe çi trei bursuci månâncå împreunå, într-o zi, 48 de alune. Dacå un bursuc månâncå de douå ori mai multe alune decât o veveriÆå, câte alune vor mânca într-o zi cinci veveriÆe çi doi bursuci?

11. Fiecare numår înscris într-un påtrat din figura alåturatå este egal cu suma numerelor din påtratele pe care se sprijinå. AflaÆi numerele ,a b çi .c

12. Doi fraÆi au împreunå 43 de ani. Când primul avea 16 ani, al doilea avea

11 ani. CâÆi ani are fratele mai mare?

13. DeterminaÆi numerele naturale ,a ,b ,c ,d çtiind cå 60a b c d+ + + = çi

: : : 3.a d b d c d= = =

14. DeterminaÆi ,a ,b ,c ,d∈N astfel încât 60a b c d+ + + = çi : :d a d b= =

: 3.d c= =

15. Suma a patru numere este 1800. Dacå pe primul îl mårim cu 5, pe al doilea îl micçoråm cu 5, pe al treilea îl înmulÆim cu 5 çi pe al patrulea îl împårÆim la 5, obÆinem numere egale. Care este diferenÆa dintre cel mai mare çi cel mai mic dintre aceste numere?

16. Patru elevi au împreunå 138 de dischete. Dacå primul ar primi de la

ceilalÆi câte douå dischete, atunci numårul dischetelor pe care le-ar avea cei patru copii ar fi patru numere naturale consecutive. Câte dischete are fiecare elev?

21

c

3 a 8

b

Page 15: Fisa Numere Naturale

21

17. O echipå de muncitori a executat o lucrare plåtitå cu suma de 2880 lei. Fiecare membru al echipei primeçte aceeaçi sumå de bani, iar numårul zilelor lucrate corespunde datelor din urmåtorul tabel:

Nume muncitor Anton Barbu Carp Numår zile 13 6 11

Care este suma încasatå de fiecare din cei trei muncitori? 18. Elevii unei clase au obÆinut la un test notele prezentate în tabelul alåtu-

rat: Nota 10 9 8 7 6 5 4 Numår elevi 2 2 6 4 8 1 2

a) CâÆi elevi sunt în claså? b) CâÆi elevi au luat note mai mari ca 7? c) Care este media clasei? 19. Temperaturile înregistrate în çase zile din luna septembrie sunt

prezentate în tabelul alåturat:

23°24°25°26°27°28°

15 16 17 18 19 20Ziua

Tem

pera

tura

°C

Care este temperatura medie a celor çase zile? 20. GåsiÆi un numår de cinci cifre în care prima cifrå este jumåtate din a doua

çi cu 3 mai micå decât a treia, iar a patra çi a cincea cifrå (în aceastå ordine), formeazå un numår egal cu suma dintre prima çi a treia cifrå.

21. DeterminaÆi numerele ,m ,a ,r ,i ,u s çtiind cå 16 ,a r i+ + = 18,r i⋅ =

81 : ,i u r+ = 4 ,s i= 38 : 19i = çi 34.m a r i u s+ + + + + =

22. AflaÆi toate numerele ( )0 ,ab a ≠ cu proprietatea 4 30.a b+ =

23. AflaÆi perechile de numere naturale ( ),x y care verificå egalitatea

3 7 45.x y+ = 24. Un croitor foloseçte pentru confecÆionarea unui sacou 3 m de stofå, iar

pentru o rochie 2 m de stofå. Câte sacouri çi câte rochii poate obÆine din 20 m de stofå (fårå så-i råmânå material nefolosit)?

Page 16: Fisa Numere Naturale

22

1.11. Ridicarea la putere a unui numår natural

1. ScrieÆi numerele: a) 1, 2, 4 , 8, 16 , 32, 64 , 128, 256 ca puteri cu baza 2; b) 1, 3, 9 , 27 , 81, 243 ca puteri cu baza 3;

c) 1, 5, 25, 125, 625 ca puteri cu baza 5; d) 1, 10, 100, 1000, 10000 ca puteri cu baza 10.

2. DeterminaÆi ,x ∈N çtiind cå: a) 2 16;x = c) 3 81;x = e) 5 125;x =

b) 2 128;x = d) 4 64;x = f) 15 225.x =

3. CalculaÆi: a) 3 22 3 ;+ c) 4 00 4 ;+ e) 30 11 30 ;+

b) 0 1 2 32 2 2 2 ;+ + + d) 2 5 5 05 0 2 5 ;− + − f) 2 2 2 216 15 14 13 .− + −

4. CalculaÆi: a) 60 50 41 0 3 ;+ + c) 10 01024 : 2 437 ;+ e) ( )6 3 02 3 : 37 37 ;− −

b) 0 2 32 3 03 0 2 ;+ + d) ( )52 60 4 : 2;− + f) ( )3 2 25 5 3 2 10 .− ⋅ ⋅ −

5. CalculaÆi:

a) ( )4102 2 32 5 2 3 : 81;⎡ ⎤− − ⋅

⎣ ⎦ c) ( )2 101 2 3 : 36 1 ;+ + −

b) ( )2 22 3 625 : 5 ;+ − d) ( ) ( )86 5 82 2 : 16 2 : 1 1 .− + +

6. CalculaÆi: a) ( ) ( )22 2108 : 2 3 3 5 : 225;⋅ + ⋅ d) ( )72 2 712 5 : 119 ;−

b) ( ) ( )3 203 2 3 2 ;+ − − e) ( )102 2 2 101 2 3 : 14 ;+ +

c) ( )3 3 6310 125 2 5 ;− ⋅ ⋅ f) ( )23 27 : 9 2 3 .+ + ⋅

7. CalculaÆi: a) 3 22 2 ;⋅ d) 37 46 802 2 : 2 ;⋅

b) 3 17 195 5 : 5 ;⋅ e) ( )51 58 97 : 7 : 7 ;

c) ( )2 3 63 3 3 : 3 ;⋅ ⋅ f) ( )20 30 49: ,a a a⋅ unde *.a∈N

8. CalculaÆi: a) 5 3 82 2 2 ;⋅ − c) 2 70 69 25 5 : 5 5 ;⋅ − e) 20 12 62 : 2 : 2 ;

b) 7 2 43 3 3 3 ;− ⋅ ⋅ d) 2 3 3 32 2 3 3 4 ;⋅ + ⋅ − f) ( )30 20 82 : 2 2 .⋅

9. CalculaÆi: a) 11 39 22 282 2 2 2 ;⋅ − ⋅ c) ( )23 2144 : 2 2 ;+ e) ( )103 8 1152 2 2 : 2 ;⋅ ⋅

b) ( )23 22 3 : 289;+ d) ( )53 2 105 5 : 10 ;− f) ( ) ( )40 162 43 : 3 3 .⋅

Page 17: Fisa Numere Naturale

23

10. CalculaÆi: a) ( )3 25 5 : 5 ,n n n+ ⋅ ;n∈N d) ( )21 2 13 : 3 ,n n+ + ;n∈N

b) 14 : 4 ,n n− * ;n∈N e) ( ) ( )5 1012 3 3 5: ,a a a a a⋅ ⋅ ⋅

c) 2: ,n na a+ ,a ,n∈N 0;a ≠ f) ( )121 117 : 7 : 7 .n n+

11. DeterminaÆi x ∈N astfel încât:

a) 10 152 2 2 ;x ⋅ = c) ( )5 1002 2 ;x=

b) 14 82 : 2 2 ;x = d) ( )2 11 512 2 2 .x ⋅ =

12. CalculaÆi: a) 4 4105 : 35 ; c) ( )15 15 152 3 : 6 ;⋅

b) 3 385 : 17 ; d) ( )10 10 10 1042 : 2 3 7 .⋅ ⋅

13. CalculaÆi:

a) ( ) ( )7 7 62 3 : 2 3 ;⋅ ⋅ d) ( ) ( )5 1010 4 5 22 3 : 2 3 ;⋅ ⋅

b) ( ) ( )43 2 12 83 5 : 3 5 ;⋅ ⋅ e) ( ) ( )1513 12 2 142 7 : 14 2 3 : 12 ;⋅ + ⋅

c) ( ) ( )37 9 21 272 3 5 : 2 5 ;⋅ ⋅ ⋅ f) ( ) ( )109 4 89 392 3 : 2 3 .⋅ ⋅

14. CalculaÆi: a) 10 308 : 2 ; c) 20 6064 : 4 ; e) 50 10 15 60 11 662 : 32 16 : 2 64 : 2 ;+ +

b) 11 53 : 9 ; d) 12 35125 : 5 ; f) 3 6 6 3 3 6 6 336 : 6 7 : 49 121 : 11 12 : 144 .− + −

15. Mama a citit o carte într-o såptåmânå (7 zile) astfel: în prima zi o paginå, a doua zi de douå ori mai mult decât în prima zi, a treia zi de douå ori mai mult decât în ziua a doua çi aça mai departe. Câte pagini are cartea?

16. La ce putere trebuie ridicat 44 pentru a obÆine 88 ?

17. DeterminaÆi ,a b+ çtiind cå 2 5 8000.a b⋅ =

18. DeterminaÆi x ∈N astfel încât ( ) ( ) 71 2 3 .x x x+ + + + =

19. În câte moduri pot fi colorate påtratele unei table de çah folosind douå culori?

20. DeterminaÆi ,x ∈N dacå: a) 12 2 48;x x++ = b) 23 3 270;x x+ + = c) 1 25 5 5 155.x x x+ ++ + =

21. Dacå 2 ,x a= calculaÆi, în funcÆie de :a 12 ,x+ 22 ,x− 22 ,x 3 12 ,x+ 2 32 ,x− ,x ∈N 2.x ≥

22. AflaÆi restul împårÆirii la 3 a numårului 12 2 ,n nx += + unde .n∈N

Page 18: Fisa Numere Naturale

24

23. AflaÆi suma cifrelor numårului: 13 14 11 102 5 2 5 1,a = ⋅ + ⋅ − * .n∈N 24. Fie 5 6 242 3 5 ,a = ⋅ ⋅ 30 11 92 5 7 .b = ⋅ ⋅ Cu câte zerouri se terminå numårul

a b⋅ ?

25. CalculaÆi ,b aa b+ çtiind cå ( )2 4 33 2 2 1 : 3a = ⋅ + − çi ( )14 208 : 2 4 .b = ⋅

26. CalculaÆi ( ) ( ) ( )2 100... ,S a b a b a b= − + − + + − çtiind cå 5 532 16 32 5a= ⋅ − +

çi 4 481 19 57 4.b = ⋅ − +

27. CalculaÆi produsul tuturor diferenÆelor ,y xx y− unde ,x { }2, 3, 4 , 5 ,y ∈

x y≠ çi .y xx y≥

28. Fie 2 91 2 2 ... 2 .S = + + + +

a) AråtaÆi cå 2 3 102 2 2 2 ... 2 .S = + + + +

b) AråtaÆi cå 102 1.S = −

c) DeterminaÆi cea mai mare valoare a lui *n∈N astfel încât 22 2+ + 32 ... 2 2044.n+ + + <

29. Fie 21 2 2 ... 2 ,na= + + + + .n∈N ScrieÆi numårul 1a + ca o putere a lui 2.

30. DeterminaÆi ultima cifrå a numerelor: a) 612 ; b) 1233 ; c) 827 ; d) 519 .

31. Fie 5 3 83 25 11a = ⋅ ⋅ çi 10 11 74 3 11 .b = ⋅ ⋅ DemonstraÆi cå 610 | .a b⋅

32. AråtaÆi cå 3| ,a unde 2 1 25 2 5 25 ,n n na += + ⋅ − .n∈N

33. Fie 3 32 5 2a = ⋅ + çi 4 42 5 1.b = ⋅ − AråtaÆi cå 3 divide numerele a çi .b

34. Fie 1 25 2 5 5 ,n n nx + += + ⋅ + .n∈N a) AråtaÆi cå 36| .x b) DeterminaÆi n çtiind cå x nu se divide cu 180.

35. DemonstraÆi cå 41 612 3x = + se divide cu 5.

36. AråtaÆi cå numårul 2 3 4n n nx = + + nu se divide cu 2 pentru nici o valoare a lui .n∈N

37. a) AråtaÆi cå 31| ,a unde 2 305 5 ... 5 .a = + + +

b) DemonstraÆi cå 15| ,b unde 2 311 2 2 ... 2 .b = + + + +

1.12. Påtratul çi cubul unui numår natural

1. Care dintre urmåtoarele numere este påtrat perfect: 0 , 8, 9 , 16 , 27 , 36 , 72, 81, 100, 144 , 200 ?

Page 19: Fisa Numere Naturale

25

2. Care dintre urmåtoarele numere este påtrat perfect: 802 , 613 , 30 122 3 ,⋅ 3 11 715 3 5 ,⋅ ⋅ 5 83 7⋅ ?

3. CalculaÆi diferenÆa dintre cel mai mare çi cel mai mic påtrat perfect de

douå cifre.

4. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) 2 49;x = b) 2 1;x = c) 2 225;x = d) 2 400.x =

5. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) 2 647 ;x = b) 2 10 123 5 ;x = ⋅ c) 5 29 ;x= d) 4 1003 .x =

6. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) ( )22 63 1 ;n n< < + b) 2102 140.n< <

7. AråtaÆi cå urmåtoarele numere sunt påtrate perfecte: a) 123 124 123;a = ⋅ − c) 21 202 2 ;c = −

b) 2576 576 575;b = − − d) 202 201 2003 3 6 3 .d = − − ⋅

8. ScrieÆi fiecare dintre urmåtoarele numere ca suma a douå påtrate perfecte nenule:

a) 8; b) 10; c) 25; d) 100.

9. AråtaÆi cå suma primelor 7 numere impare consecutive este påtrat perfect.

10. a) CalculaÆi påtratele numerelor 0 , 1, 2,...,8, 9. Care sunt valorile care le poate lua ultima cifrå a unuia dintre påtratele precedente?

b) AråtaÆi cå urmåtoarele numere nu sunt påtrate perfecte: 1272; 503; 19917; 488; 1002.

11. AråtaÆi cå 197 2438 5971 407a = ⋅ + ⋅ nu este påtrat perfect.

12. AråtaÆi cå 42 812 3n = + nu este påtrat perfect.

13. AråtaÆi cå numerele 5 2a n= + çi 5 7b n= + ( )n∈N nu sunt påtrate

perfecte.

14. DemonstraÆi cå 1 2 3 ... 9 2n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + nu este påtrat perfect. 15. a) AråtaÆi cå 2007 2008⋅ nu este påtrat perfect. b) AråtaÆi cå ( )1 2 3 ... 20 211+ + + + ⋅ nu este påtrat perfect.

16. DemonstraÆi cå urmåtoarele numere nu sunt påtrate perfecte: 4 2,n +

25 5,n + 100 10,n + 9 3,n + unde .n∈N

17. AråtaÆi cå numårul 36 24 18n a b= + + ( ),a b∈N nu este påtrat perfect.

Page 20: Fisa Numere Naturale

26

18. AråtaÆi cå urmåtoarele numere nu sunt påtrate perfecte: a) 20 222 2 ;a = + b) 101 99 983 3 3 .b = − − 19. DeterminaÆi * ,x ∈N 50,x ≤ astfel încât urmåtoarele numere så fie

påtrate perfecte: a) 2 ;x⋅ c) 13 53 7 ;x⋅ ⋅

b) 4 32 5 ;x⋅ ⋅ d) 5 4 36 2 3 .x⋅ ⋅ ⋅

20. DeterminaÆi toate numerele ab ( ), 0 ,a b ≠ çtiind cå ab ba+ este påtrat

perfect.

21. DemonstraÆi cå numårul 12 5n n+⋅ ( )n∈N se poate scrie ca suma a douå

påtrate perfecte.

22. Ce numår urmeazå: 61, 52, 63, 94 , 46 ,... ?

23. ScrieÆi toate cuburile perfecte mai mici decât 300.

24. ScrieÆi pe 26 ca suma a trei cuburi nenule.

25. Care este cel mai mic numår natural n cu proprietåÆile 2n > çi n este påtrat çi cub perfect?

26. AråtaÆi cå 32 303 3a = − este cub perfect.

27. AråtaÆi cå urmåtoarele numere sunt cuburi perfecte: a) 152 ;a = c) 10 2 56 2 3 ;c = ⋅ ⋅

b) 18 242 3 ;b = ⋅ d) 3 67 ,nd += .n∈N

28. AråtaÆi cå numårul 3 3 311 22 ... 99n = + + + este impar. 29. DeterminaÆi ,x ∈N 100,x ≤ çtiind cå: a) 3x este cub perfect; b) 25 x este cub perfect.

1.13. Compararea çi ordonarea puterilor

1. ComparaÆi numerele: a) 07 ,a = 01 ;b = c) 08 ,a = 70 ;b = e) 52 ,a = 25 ;b = b) 80 ,a = 100 ;b = d) 34 ,a = 43 ;b = f) 34 ,a = 62 ;b =

2. ComparaÆi numerele: a) 2na = çi 3 ,nb = ;n∈N

b) 2a n= çi 3 ,b n= .n∈N

Page 21: Fisa Numere Naturale

27

3. OrdonaÆi crescåtor numerele: a) ( )2122 ,x = 392 ,y = 15 252 2 ;z = ⋅

b) 3 5 73 3 3 ,a = ⋅ ⋅ 29 153 : 3 ,b = ( )443 .c =

4. ComparaÆi numerele: a) 504 ,a = 1002 ;b = c) 1125 ,a = 7125 ;b = e) 1081 ,a = 1427 ;b = b) 613 ,a = 309 ;b = d) 2449 ,a = 497 ;b = f) 1064 ,a = 1332 .b =

5. OrdonaÆi descrescåtor numerele: 1516 ,a = 672 ,b = 218 ,c = 238 .d =

6. OrdonaÆi crescåtor numerele: 89 ,a = 527 ,b = 143 ,c = 381 .d =

7. DeterminaÆi n∈N astfel încât: a) 2 100;n< c) 50 2 300;n< <

b) 3 50;n< d) 30 5 300.n< <

8. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) 12 40 2 ;x x+< < b) 25 50 5 .x x+ > >

9. ComparaÆi numerele: a) 302 ,a = 203 ;b = c) 1011 ,a = 352 ;b = b) 333 ,a = 225 ;b = d) 523 ,a = 2610 .b =

10. ComparaÆi numerele 1002 ,x = 3010y = çi 503 .z =

11. OrdonaÆi crescåtor numerele: 432 ,a =

243 ,b =324 .c =

12. a) AråtaÆi cå 9 30 1010 2 10 .< < b) Câte cifre are numårul obÆinut prin ridicarea la puterea 30 a lui 2?

13. Câte numere sunt între 92 çi 102 ?

14. AflaÆi numerele ,x ,y ∈N x y< astfel încât 2 2 96.x y+ =

15. ComparaÆi numerele: 22 224 : 2 ,a = ( )119 11 93 3 : 9 6 ,b = ⋅ − ( 5 3 45 5 5c ⎡= ⋅ − ⋅⎣

) 1143 : 5 .⎤⋅ ⎦

16. ComparaÆi numerele: 99 1002 5a = ⋅ çi 101 992 5 .b = ⋅

17. ComparaÆi numerele: ( )82 5 323 3 3 : 3a = ⋅ ⋅ çi 47 472 2 .b = +

18. ComparaÆi numerele: 383 ,a = 59 58 572 2 2 .b = − −

19. ComparaÆi numerele: 522a = çi 35 173 9 .b = −

Page 22: Fisa Numere Naturale

28

20. ComparaÆi numerele: 35 312 16a = − çi ( )

255 53 : 3 .b =

21. ComparaÆi numerele: 27 265 5 ,a = − 41 40 392 3 5 3 3 .b = ⋅ − ⋅ +

22. Fie 1417a = çi 1131 .b = a) AråtaÆi cå 1416a > çi 1132 .b < b) ComparaÆi numerele 1416 çi 1132 . c) ComparaÆi numerele a çi .b

23. a) AråtaÆi cå 63 6363 64< çi 54 54128 129 .<

b) ComparaÆi 6364 cu 54128 .

c) ComparaÆi numerele ( )630 21 15 10 72 8 :16 6 27 :81a= + + ⋅ çi ( )5 2 542 52 :2 1 .b= +

24. a) ComparaÆi 322 cu 332 çi 233 cu 223 . b) ComparaÆi 332 cu 223 . c) ComparaÆi 322 cu 233 .

25. Fie ( )( )89 942 1 2 1a = + + çi ( )( )90 932 1 2 1 .b = + + AråtaÆi cå .a b>

26. OrdonaÆi crescåtor urmåtoarele numere: a)

11 11 1111, 11 , 1 , 1 ; c) 33 33 3333, 33 , 3 , 3 ;

b) 22 22 2222, 22 , 2 , 2 ; d)

44 44 4444 , 44 , 4 , 4 .

1.14. Ordinea efectuårii operaÆiilor (cu puteri)

1. CalculaÆi: a) ( ) ( )15 20 15 201 2 3 : 1 2 3 ;+ + + +

b) ( ) ( )20 30 10 103 2 : 9 8 ;+ +

c) ( ) ( )125 30 151 2 : 2 : 1 4 ;⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

d) ( ) ( )53 40 50 100 12 24 132 : 2 9 : 3 25 : 1 5 2 .+ + + +

2. CalculaÆi: a) ( )3 0 5 30 10 82 4 0 1 : 2 2 : 2 ;+ + + −

b) ( ){ }0 7 2 2 23 8 4 5 1 9 : 3 2 ;⎡ ⎤⋅ + ⋅ + − +⎣ ⎦

c) ( ) ( )4 2 3 2 2 23 3 : 9 5 5 : 5 : 2 1;⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦

d) ( ) ( )1003 4 3 29 2 2 2 : 2 2 1.⎡ ⎤− + − ⋅ −⎣ ⎦

3. CalculaÆi: a) ( ) ( )135000 13500 1350 : 13500 1350 135 ;+ + + +

b) ( ) ( )10 11 12 9 10 112 2 2 : 2 2 2 .+ + + +

Page 23: Fisa Numere Naturale

29

4. CalculaÆi: a) ( )10 11 12 102 2 2 : 2 ;+ + c) ( )20 21 21 20 202 3 2 3 : 6 ;⋅ + ⋅

b) ( )9 10 1124 3 3 3 ;⋅ + = d) ( )8 16 1852 25 : 5 5 .⋅ +

5. CalculaÆi: ( ) ( ) ( ){ }5 33 3 5 5 2 200 1992 2 2 3 81 : 3 301 10 24 2 : 2 3 .⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − ⋅ − ⋅ + ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦

6. CalculaÆi: ( ) ( ){ }0 5 173 15 2 2 7 2 20075 : 15 2 3 3 : 3 : 1 2 .⎡ ⎤+ ⋅ ⋅ +⎣ ⎦

7. CalculaÆi: ( ) ( )12 15 : 4 5 .n n n n+ +

8. CalculaÆi: ( ) ( ) ( )32 42 2 2 2 5 2 243 : 3 9 : 81 2 : 16 4 : 8 .

nn n n+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

9. CalculaÆi: ( ) ( ){ }2 12 3 2 36 : 2 3 : 2 3.nn n ++ ⎡ ⎤⋅ −

⎣ ⎦

10. CalculaÆi: ( )1003 ,x − çtiind cå ( )9 9 6 1720 : 5 8 : 2 .x = +

11. Fie numerele: ( ) ( ) ( )2 3 11 63 2 2 20 3 5 17 303 : 3 3 : 3 3 2 : 3 2x = + − ⋅ ⋅ çi (3 5 2y = ⋅ + ⋅

)3 2430 : 405 .⋅ − CalculaÆi : ,y x 7: 9yx çi 2 2.x y+

12. Fie ( )3 4 2 8 1 : 9 ,a = ⋅ + ⋅ − ( )2 313 16 2 3 3 2 ,b ⎡ ⎤= − − ⋅ + −⎣ ⎦ { 29 10 8c ⎡= ⋅ + ⋅⎣

( ) }1002 2 210 7 10 6 10 : 50 1618 .⎤⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −⎦ CalculaÆi .b c aa b c+ +

13. DeterminaÆi :a b çtiind cå 4 5 135 625 125 5a= ⋅ − + çi 7 4 115 25 5 125 5 .b= ⋅ − ⋅ +

14. DeterminaÆi ,a b+ ,a b⋅ ba çi ,ab çtiind cå: ( )2040 10 102 2 4a ⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦

çi

505b = − 49 484 5 4 5 ... 4 5 4.⋅ − ⋅ − − ⋅ − \

15. Fie ,x ,y *z ∈N astfel încât 2 17x y+ = çi 2 2 2 .x xy xz yz+ = + CalculaÆi suma 5 14 2 .x y z+ +

16. CalculaÆi 2 3 51 ,x xy y+ + çtiind cå 3 17.x y+ =

17. DemonstraÆi cå restul împårÆirii lui 1 2 12 5 2 5 10n n n n na + + += ⋅ + ⋅ − ( )n∈N la

21 este zero.

18. Fie numårul ( ) ( ) ( )22 10 8 5 7 12 6 4 42 25 : 3 : 3 2 2 : 2 110 5 : 5 2 18.a ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ + ⋅ − +⎣ ⎦

AflaÆi valoarea lui n pentru care 12 2 .n na +< <

19. AflaÆi suma cifrelor numårului ( ) ( )15 2520 2 5 50 010 : 10 10 10 10 10 .n = ⋅ ⋅ + −

20. DeterminaÆi * ,n∈N astfel încât 3 95 27 4 3 3 .n⋅ + ⋅ =

21. Fie 2 1 112 2 3 4 3 ,n n n n na + += + ⋅ + ⋅ .n∈N DemonstraÆi cå ,x ∈N çtiind cå 12 .na x= ⋅

22. DeterminaÆi ,x ∈N astfel incât: 1 2 3 10 132 2 2 ... 2 16 7 2 .x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅

Page 24: Fisa Numere Naturale

30

1.15. Baze de numeraÆie

1. DescompuneÆi urmåtoarele numere dupå modelul de la punctul a): a) 35035 5 10 3 10 5;= ⋅ + ⋅ + b) 623; c) 10701; d) 2008.

2. ScrieÆi rezultatele urmåtoarelor sume în forma standard din sistemul zecimal:

a) 3 22 10 3 10 2 10 1;⋅ + ⋅ + ⋅ +

b) 4 25 10 6 10 7;⋅ + ⋅ +

c) 5 4 21 10 4 10 2 10 ;⋅ + ⋅ + ⋅

d) 4 310 10 ,a b c⋅ + ⋅ + unde ,a ,b c sunt cifre nenule (din sistemul zecimal).

3. TransformaÆi urmåtoarele numere din baza 2 în baza 10: a) ( )2101 ; b) ( )21111 ; c) ( )2110010 ; d) ( )21001111 . 4. TransformaÆi din baza 10 în baza 2 urmåtoarele numere: a) 3; b) 8; c) 79; d) 325.

5. ScrieÆi în baza 10 rezultatele urmåtoarelor calcule: a) ( ) ( )2 2101 1101 ;+ b) ( ) ( )2 21110 1011 ;−

c) ( ) ( )2 211 101 ;⋅ d) ( ) ( )2 21001 : 11 .

6. DeterminaÆi ,x çtiind cå: a) ( ) ( )10 24 101101 ;x = b) ( ) ( )10 21 11111 .x =

7. DeterminaÆi numårul y astfel încât: a) ( ) ( )3 10120 ;y= b) ( ) ( )4 101032 .y=

8. ComparaÆi numerele: a) ( )211101 ,a = ( )1024 ;b = b) ( )21001111 ;a = ( )1080 .b =

9. Câte numere x din baza 10 verificå relaÆia: ( ) ( )2 21011 111011 ?x< <

10. RezolvaÆi ecuaÆiile: a) ( ) ( )1023 13 ;x = b) ( ) ( ) ( )1042 31 66 .x x+ =

11. Câte numere de cinci cifre se pot scrie în baza 2? 12. AflaÆi valoarea lui x ( )0x ≠ astfel încât 2 2x x+ så fie påtrat perfect.

13. DeterminaÆi toate numerele ab ( ), 0a b ≠ cu proprietatea cå 9 .ab ba= +

14. DemonstraÆi cå 9 divide numårul 0n abc cba= − ( ), 0 .a c ≠

Page 25: Fisa Numere Naturale

31

15. DeterminaÆi numårul ,abcd çtiind cå 1 5 47438.abcd abcd+ =

16. AflaÆi câte numere de forma abc ( ), 0a c ≠ au proprietåÆile abc cba= çi .a b<

17. O bunicå are doi nepoÆi. Vârsta bunicii este un numår de douå cifre cu proprietatea cå prima cifrå reprezintå vârsta unui nepot, iar a doua cifrå aratå vârsta celuilalt nepot. Ce vârstå are bunica çi nepoÆii, dacå suma vârstelor celor trei este 89?

18. Fie n un numår natural cu cifra unitåÆilor 7 çi m numårul obÆinut prin eliminarea ultimei cifre a lui .n AflaÆi numårul ,n çtiind cå 689.m n+ =

19. DeterminaÆi ab astfel încât numårul 0 1 2 6n ab ab ab= + + ⋅ så fie cub perfect.