NOTAS DE CLASE SOBRE FUNDAMENTOS DE

OSCILACIONES

Diego Luis Aristizábal Ramírez y Roberto Restrepo Aguilar

Octubre 6 de 2008

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Aclaración 1 Estas notas son usadas como uno de los recursos didácticos en el curso de Física III (Física deOscilaciones Ondas y Óptica) que la Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia sede Medellín,imparte a los estudiantes de ingeniería. Estas no pretenden reemplazar los excelentes textos de física general quese encuentran en el mercado.

Aclaración 2 Estas notas sólo son una aproximación muy simple hacia un estudio de las oscilaciones. Eltratamiento riguroso de éstas corresponde a un curso sobre teoría de la elasticidad.

Aclaración 3 Las notas fueron diseñadas para "optimizar la toma de apuntes" de los estudiantes. Es decir, enella no se realizan con el debido detalle gran parte de los cálculos, ni se realizan discusiones de manera minuciosa,ni se dan las ayudas para la solución de las tareas (ejercicios); estas serán actividades ha desarrollar en la clasepresencial .

Aclaración 4 En el transcurso de estas notas se encuentra la forma de acceder a simulaciones y videos quesirven para a�anzar más los conceptos tratados. Para lograr el uso de estos recursos multimediales, es necesarioestar conectado a la Internet: hacer CLIC sobre los respectivos LINKS en el documento PDF desplegado en lapantalla del computador.

Aclaración 5 Los autores no se hacen responsables del uso que se pueda hacer con la información suministradaen estas notas.

Copyright 2008 Universidad Nacional de Colombia, Medellín

Índice general

1. CINEMÁTICA DEL M.A.S. 71.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. De�niciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. M.C.U vs M.A.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. DINÁMICA DEL M.A.S. 132.1. Fuerza Recuperadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Ecuación diferencial del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. El péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. ENERGÍA EN EL M.A.S. 233.1. Trabajo W y energía potencial U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Energía cinética K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo . . . . . . . . . . . 263.4. Energía mecánica E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. SUPERPOSICIÓN DE M.A.S 294.1. Superposición en la misma dirección de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1. Con igual frecuencia (Interferencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2. Con frecuencias diferentes (Pulsaciones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Superposición en direcciones de vibración ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.1. Con igual frecuencia (Polarización) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2. Con diferente frecuencia (Figuras de Lissajous) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3. Análisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. OSCILACIONES FORZADAS 375.1. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.1. Estudio de situaciones especiales en el estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2. Una discusión interesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6. OSCILACIONES ELÉCTRICAS 476.1. Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2. Circuitos RLC: Oscilaciones eléctricas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3. Oscilaciones eléctricas forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4. Antenas: radio y televisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5. Analogía mecano-electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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4 ÍNDICE GENERAL

Índice de �guras

1.1. Clases de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Rede�nición de constantes de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Estados del sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Diagramas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Resortes en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7. Barra soportada en dos cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Desplazando la masa que está sujeta a un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Interpretación grá�ca del trabajo realizado por el agente externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4. Figura del ejercicio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1. Vectores rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2. Interferencia: constructiva y destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3. Estados de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4. Señal cuadrada como una combinación de funciones seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1. Sistema masa-resorte sumergido en un �uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2. Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un �uido . . . . . . 385.3. Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4. Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5. Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.1. Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3. RLC forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4. Antena dipolo emisora (radiando) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5. Antena dipolo receptora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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6 ÍNDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1CINEMÁTICA DEL M.A.S.

El estudio de las oscilaciones o vibraciones es una par-te fundamental de la física debido a que prácticamentetodos los sistemas físicos tienen capacidad de oscilar al-rededor de un punto de equilibrio.Cualquier magnitud puede estar sujeta a oscilaciones. Enla vida habitual las oscilaciones más obvias son aquellasque conciernen a la oscilación de la posición (viracionesen cuerdas, olas en el agua, péndulos, resortes), sin em-bargo, cualquier magnitud puede oscilar: la presión deun líquido o un gas, su temperatura, el campo magnéti-co, el campo eléctrico entre otras.Es muy importante conocer el Movimiento ArmónicoSimple, ya que el teorema de Fourier establece que cual-quier clase de oscilación periódica puede considerarse co-

mo la superposición de movimientos armónicos simplesEn la �gura se ilustra el denominado péndulo de Foucault y es usado como un instrumento que permite constatarla rotación de la Tierra: si se coloca un péndulo suspendido en el centro de una barra colocada entre dos colum-nas en el Polo Norte de la Tierra, conforme la Tierra gira el péndulo que siempre oscila en la misma direcciónrespecto de los astros, recorrerá distintos sitios de la super�cie. Puesto que a la Tierra le toma 24 horas completarun giro, el péndulo parecerá completar un giro en sentido contrario durante ese lapso. En latitudes cercanas alEcuador, como las de México, los péndulos de Foucault "giran"muy lentamente, menos de una vuelta completaen 24 horas, por consiguiente le cuesta mucho trabajo al observador entender de qué modo este instrumentomuestra la rotación de la Tierra. El primero en realizar el experimento (que lo hizo en París en 1851) fue elnotable físico francés Jean Bernard Leon Foucault, que suspendió una bala de cañón de la cúpula del Panteónde París mediante un cable de unos 75 metros de longitud.

1.1. Fundamentos

La posición de equilibrio de un cuerpo puede ser de tres tipos: estable, inestable e indiferente. En la �gura1.1 se ilustran los tres casos.

Los equilibrios estable e inestable corresponden respectivamente a estados de mínima y máxima energíapotencial.

Cuando el cuerpo es separado de la posición de equilibrio por la acción de un agente externo, oscilará solosi su posición de equilibrio era estable. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento oscilatorio ovibratorio. El estudio de este tipo de movimientos es de suma importancia en la física, ya que es la base para lacomprensión, entre otros, de fenómenos como el sonido y la luz.

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8 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DEL M.A.S.

Figura 1.1: Clases de equilibrio

Figura 1.2: Elongación

1.2. De�niciones básicas

En el movimiento oscilatorio se utiliza como sistema de coordenadas, a un sistema cuyo origen es la posiciónde equilibrio del oscilador, �gura 1.2. A continuación se de�nirán algunos conceptos básicos.

Elongación (−→x ) Es el vector posición del oscilador medido respecto a la posición de equilibrio. En la �gura1.2 será la variable x. Tiene unidades de longitud.

Amplitud (A) Corresponde a la magnitud de la máxima elongación. Tiene unidades de longitud.

Periodo (P ) Si el movimiento oscilatorio es un movimiento periódico, se le de�ne como periodo, al tiempoque se demora para hacer una oscilación completa (�un ir y venir�). Su unidad en el SI es el segundo.

Frecuencia (f) Como a todo movimiento periódico, al oscilador también se le de�ne una frecuencia. En estecaso, será el número de oscilaciones completas por cada unidad de tiempo. En el SI su unidad es el Hertz (1Hz=1 oscilacion/seg).

El periodo y la frecuencia son inversos multiplicativos, esto es,

f P = 1 (1.1)

Fase (ϕ) Un parámetro muy utilizado cuando se están analizando movimientos oscilatorios, es el que recibe elnombre de fase del oscilador . Recibe este nombre porque determina en que �fase� del movimiento de �ir y venir�se encuentra la partícula oscilante; por ejemplo, determina si el ocilador en un instante dado está en su posiciónde equilibrio, o en uno de los extremos de oscilación, o en otra posición. Este concepto es un poco abstracto,pero a continuación se dan algunos ejemplos que aclaran su interpretación física.

Cada que el oscilador hace una oscilación completa, se dice que su fase se ha incrementado en 360º (2πradianes). Así por ejemplo, un oscilador que se suelta desde un extremo, cuando su fase sea de 7π radianes,

1.3. CINEMÁTICA 9

Figura 1.3: Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando

estará ocupando la posición del extremo opuesto, y habrá transcurrido un tiempo equivalente a tres períodos ymedio, y además habrá completado tres oscilaciones y media. Ahora, si dos osciladores se sueltan simultáneamentede extremos opuestos, se dice que su diferencia de fase es de π radianes (osciladores en oposición). Y si se sueltanbajo las mismas condiciones desde la misma posición, se dice que están en fase.

Fase inicial (ϕ0) Corresponde a la fase del oscilador en el instante t = 0. La fase inicial que se le asigna a unoscilador dependerá de las condiciones iniciales (posición y velocidad iniciales).

Ejercicio 1.1 Una masa que pende de un resorte se desplaza de su posición de equilibrio hasta una posiciónigual a 2,50 cm y se suelta. Si oscila periódicamente con una frecuencia igual a 0,500 Hz, calcular: (a) su periodo,(b) el número de oscilaciones que hace en 20,0 s, (c) su desfase a los 3,50 s y a los 5,00 s después de iniciado sumovimiento, (d) su desplazamiento a los 1, 50 s y 4,00 s después de iniciado su movimiento.

Ejercicio 1.2 ¾Puede el desplazamiento de una partícula oscilando entre el instante t = 0 y un instanteposterior t, ser igual a la posición (elongación) en el tiempo t ? Explicar.

1.3. Cinemática

Elongación En general toda partícula oscilante cuya elongación se exprese mediante una relación senosoidalo cosenosoidal del tiempo, se dice que oscila armónicamente. A este movimiento se le denomina MoviminentoArmónico Simple (M.A.S.) y a la partícula se le denomina oscilador armónico. En la �gura 1.3 se ilustra unsistema masa resorte oscilando: mediante el desplazamiento de una cinta de papel se puede recoger su cronograma(representación de su elongación y vs tienpo t),

y = A sin (w t+ ϕ0) (1.2)

en donde A es la amplitud, w = 2πf = 2π/P es la frecuencia angular medida en rad/s, f es la frecuenciamedida en Hz, P es el periodo medido en s, t es el tiempo en s, ϕ0 es la fase inicial medida en radianes yϕ = wt+ ϕ0 la fase medida en radianes.

10 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DEL M.A.S.

Simulación 1.1 Cronograma en un M.A.S.

Velocidad Derivando respecto al tiempo la elongación, ecuación 1.2, se obtiene la velocidad,

Vy = wA cos (wt+ ϕ0) (1.3)

Aceleración Derivando respecto al tiempo la velocidad, ecuación 1.3, se obtiene,

ay = −w2A sin (wt+ ϕ0) (1.4)

De las ecuaciones 1.2 y 1.4 se obtiene,

ay = −w2y (1.5)

esta última ecuación signi�ca que la elongación y la aceleración en un M.A.S. siempre son opuestas. Esto esdebido, como se tratará más adelante, a que la fuerza generadora del M.A.S. es lineal respecto a la elongacióny además recuperadora.

Ejercicio 1.3 En qué posiciones de la trayectoria de un oscilador armónico son máximas: (a) la magnitud (elmódulo) de la elongación, (b) la rapidez, (c) la magnitud de la aceleración.

Ejercicio 1.4 Un oscilador armónico oscila con una frecuencia igual a 2,00 Hz y una amplitud igual a 5,00cm, calcular: (a) su máxima elongación, (b) su máxima rapidez, (c) el máximo valor de la aceleración.

1.4. M.C.U vs M.A.S.

La proyección sobre una línea recta, de una partícula que se mueve con M.C.U (Movimiento Circular Uni-forme), oscila con M.A.S (Movimiento Armónico Simple).

Elongación Si se proyecta en el eje y, �gura 1.4, se obtiene :

y = A sinϕ (t)

donde la fase ϕ (t) es igual a la posición angular en el M.C.U, es decir:

ϕ (t) = wt+ ϕ0

siendo ϕ0 la posición angular inicial de la partícula en M.C.U. y que correspondería a la fase inicial para lapartícula en M.A.S. Por lo tanto la elongación será,

y = A sin (wt+ ϕ0)

que corresponde a la ecuación 1.2.Se debe aclarar que la magnitud de la velocidad angular del M.C.U., w, es igual a la frecuencia angular del

M.A.S.

1.4. M.C.U VS M.A.S. 11

Figura 1.4: Elongación

Figura 1.5: Velocidad

12 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DEL M.A.S.

Figura 1.6: Aceleración

Velocidad Es la proyección de la velocidad del M.C.U (cuya rapidez es V = wA).Al proyectar en el eje y la velocidad lineal del del MCU (componente rectangular en y), �gura 1.5, se obtiene:

Vy = V cosϕ (t)

y por tanto,

Vy = wA cos (wt+ ϕ0)

que corresponde a la ecuación 1.3.

Aceleración Es la proyección de la aceleración centrípeta del M.C.U (cuya magnitud es an = w2A ).Al proyectar en el eje y la aceleración centrípeta del M.C.U. (componente rectangular en y), �gura 1.6, se

obtiene:

ay = −an sinϕ (t)

y por tanto,

ay = −w2A sin (wt+ ϕ0)

que corresponde a la ecuación 1.4.

Simulación 1.2 La proyección de una partícula que se mueve con M.C.U oscila armónicamente.

Capıtulo 2DINÁMICA DEL M.A.S.

2.1. Fuerza Recuperadora

Una partícula de masa m que oscila con M.A.S cumple la ecuación 1.5 y por tanto, la fuerza neta que actúasobre ella es,

−→Fy = m−→ay = −mw2−→y

−→Fy = −k−→y (2.1)

siendo k = mw2 la denominada constante del M.A.S. Por tanto, se conluye que:

Una partícula oscila con MAS si y solo si la fuerza neta que actúa sobre ella cumple que:

sea lineal con la elongación.

sea recuperadora (se oponga en todo instante a la elongación). Esto es, apunte en todo instante haciala posición de equilibrio de la partícula.

La fuerza es variable. En la posición de equilibrio es nula y va aumentando en magnitud cuando el osciladoravanza hacia los extremos del movimiento hasta alcanzar su valor máximo en estos ( Fy = mw2A) . Por tanto,las oscilaciones se dan por un compromiso entre la inercia y la fuerza restauradora, ya que aunque en ese instantela partícula no está sometida a una fuerza neta (en la dirección del movimiento), logra atravesar la posición deequilibrio; esto es consecuencia de la inercia.

Como k = mw2, el período y la frecuencia del movimiento armónico se pueden escribir como:

P = 2π√m

k(2.2)

f =1

2π

√k

m(2.3)

Ejemplos que se analizarán más adelante (péndulo y sistema masa-resorte), llevarán a concluir que, la fe-cuencia, el período, la frecuencia angular y la constante del M.A.S. son constantes impuestas por la naturalezaal sistema (son �huellas digitales�). A la frecuencia se le denomina frecuencia natural o propia del oscilador.

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14 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DEL M.A.S.

2.2. Ecuación diferencial del oscilador armónico

La segunda ley de Newton aplicada al oscilador armónico, siendo Fy la fuerza neta que actúa sobre él, es,

Fy = may = −ky

d2y

dt2+k

my = 0 (2.4)

d2y

dt2+ w2y = 0 (2.5)

o en notación comprimida,

..y + w2y = 0 (2.6)

que corresponde a la denominada ecuación diferencial del oscilador armónico. Ella, es una ecuación diferenciallineal, de orden 2 y homogénea. Según la teoría de ecuaciones diferenciales, su solución corresponde a la siguientecombinación lineal de seno y coseno,

y = c1 sinwt+ c2 coswt (2.7)

Rede�niendo constantes, �gura 2.1, se obtiene,

y = A sin (wt+ ϕ0) (2.8)

La interpretación de cada una de las variables y constantes es la que se ha venido señalando. En particular, laamplitud A y la fase inicial ϕ0 representan las constantes de integración y sus valores dependen de las condicionesiniciales.

Ejercicio 2.1 Demostrar que si y0 y V0y son los valores iniciales de la posición y la velocidad de un osciladorarmónico, se cumple que,

ϕ0 = arctan(wy0V0y

)(2.9)

A =

√y20 +

V 20y

w2(2.10)

Ejercicio 2.2 Una partícula sujeta a un resorte vertical se hala hacia abajo una distancia de 4,00 cm a partirde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. La aceleración inicial hacia arriba de la partícula es0,300 m/s2. (a) ¾Cuál es el período P de las subsecuentes oscilaciones? (b) ¾A qué velocidad pasa la partículapor la posición de equilibrio? (c) ¾Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo para la partícula?(Escoger la dirección positiva hacia arriba)

2.3. Sistema masa-resorte

En la �gura 2.2 se ilustra los estados en los que se puede encontrar el sitema masa-resorte: longitud naturaldel resorte (izquierda), masa acoplada y en equilibrio (centro) y masa desplazada del equilibrio (izquierda). Enal �gura 2.3 se ilustran los diagramas de fuerza de la masa m en la situación de equilibrio y en la situación deno equilibrio.

2.3. SISTEMA MASA-RESORTE 15

Figura 2.1: Rede�nición de constantes de integración

Figura 2.2: Estados del sistema masa-resorte

16 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DEL M.A.S.

Figura 2.3: Diagramas de fuerzas

Simulación 2.1 Diagrama de fuerzas en el sistema masa-resorte.

En la situación de equilibrio se aplica la primera ley de Newton,

+ ↓∑

Fy = 0

mg − kξ = 0 (2.11)

En la situación de no equilibrio se aplica la segunda ley de Newton,

+ ↓∑

Fy = m..y

mg − k (ξ + y) = m..y (2.12)

De estas ecuaciones, 2.11 y 2.12 se obtiene,

..y +

k

my = 0 (2.13)

que es la ecuación diferencial del oscilador armónico, donde, k corresponde a la constante de rigidez delresorte. La frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,

w =

√k

m

y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,

2.4. EL PÉNDULO SIMPLE 17

Figura 2.4: Resortes en serie y en paralelo

f =1

2π

√k

m(2.14)

P = 2π√m

k(2.15)

Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia con que oscila, o lo que es lo mismo, más se demoraen hacer una oscilación completa.

Video 2.1 Variando la masa en el sistema masa-resorte.

Video 2.2 Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en paralelo.

Video 2.3 Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en serie.

Ejercicio 2.3 Una partícula que se cuelga de un resorte ideal tiene una frecuencia angular de 2,00 rad/s. Elresorte se cuelga del techo de un elevador, y cuelga sin movimiento (respecto al elevador) conforme el elevadordesciende con una rapidez constante de 1,50 m/s. El elevador se para repentinamente. (a) ¾Con qué amplitudoscilará la partícula? (b) ¾Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo para la partícula? (Escogerla dirección positiva hacia abajo).

Ejercicio 2.4

Encontrar la frecuencia natural de oscilación de los dos sistemas ilustrados en la �gura 2.4. Aquí, k1 y k2

corresponden a las constantes de rigidez de los resortes individuales, m corresponde a la masa del cuerpo queesta sujeto al sistema de resortes.

2.4. El péndulo simple

Se de�ne el péndulo simple como una masa puntual que pende de un hilo inextensible. En la �gura 2.5 seilustra una posición general de un péndulo simple oscilando. En la misma �gura se representa las fuerzas queactúan sobre la masa pendular.

18 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DEL M.A.S.

Figura 2.5: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple

Simulación 2.2 Diagrama de fuerzas en el sistema péndulo simple.

La simetría de la situación física exige utilizar un sistema de coordenadas cuyos ejes tengan las direccionesde la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta de la masa. Aplicando la segunda ley de Newton, seobtiene,

+ ↑∑

Fnormal = man ⇒ T −mg cos θ = m( .θ)2

l (2.16)

+→∑

Ftangencial = mat ⇒ −mg sin θ = m..

θl (2.17)

en estas ecuaciones T corresponde a la tensión en la cuerda, g es la aceleración de la gravedad, m es la masapendular, θ es la posición (elongación) angular,

.

θ es la velocidad angular,..

θ es la aceleración angular y l es lalongitud pendular.

De la ecuación 2.17 se concluye,

..

θ +g

lsin θ = 0 (2.18)

Esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo simple no oscila con M.A.S. Sin embargopara pequeñas oscilaciones (amplitudes del orden de los 10º), sin θ w θ , por tanto,

..

θ +g

lθ = 0 (2.19)

es decir, para pequeñas amplitudes (pequeñas oscilaciones) el movimiento pendular es armónico. La frecuenciaangular propia de oscilación de este sistema es,

w =√g

l(2.20)

y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,

2.5. EL PÉNDULO COMPUESTO 19

f =1

2π

√g

l(2.21)

P = 2π

√l

g(2.22)

Video 2.4 Independencia del período de oscilación de un péndulo simple de la masa pendular.

Video 2.5 Dependencia del período de oscilación de un péndulo simple de la longitud del hilo.

La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),

θ = θ0 sin (w t+ ϕ0) (2.23)

.

θ = w θ0 cos (w t+ ϕ0) (2.24)

..

θ = −w2θ0 sin (w t+ ϕ0) = −w2θ (2.25)

Ejercicio 2.5 Un péndulo simple tiene una masa de 0,250 kg y una longitud de 1,00 m. Se desplaza un ángulode 15,0º y se suelta. Calcular: (a) su rapidez máxima, (b) la aceleración angular máxima, (c) la máxima fuerzade restitución? Rp: (a) 0,820 m/s (b) 2,57 rad/s2 (c) 0,641 N

Ejercicio 2.6 ¾Qué pasa con el período de oscilación de un péndulo simple si se duplica su longitud? ¾Qué pasacon el período de oscilación de un sistema masa-resorte si se duplica la masa? (Asumir pequeñas oscilaciones).

Ejercicio 2.7 Suponer que cuando la masa de un sistema masa-resorte está en la posición de equilibrio elresorte se ha alargado en una longitud h. Demostrar que este sistema oscila con una frecuencia igual a la de unpéndulo simple de longitud h.

2.5. El péndulo compuesto

Un péndulo compuesto (o péndulo físico) es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un ejehorizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. En la �gura 2.6 se ilustra una posición general de un péndulocompuesto oscilando. En la misma �gura se representa las fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido.

La distancia desde el punto de apoyo O hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. Si el momento deinercia repecto a un eje que pasa por O del cuerpo rígido es Io, la segunda ley de Newton de rotación da comoresultado,

+ ∑

τoz = Io..

θ

−mgb sin θ = Io..

θ

..

θ +mgb

Iosin θ = 0 (2.26)

20 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DEL M.A.S.

Figura 2.6: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto

Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hace torque,por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuación diferencial no eslineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con M.A.S. Sin embargo, para pequeñas oscilaciones (amplitudesdel orden de los 10º), sin θ w θ, por tanto,

..

θ +mgb

Ioθ = 0 (2.27)

es decir, para pequeñas amplitudes el movimiento pendular es armónico. La frecuencia angular propia es,

w =√mgb

Io(2.28)

y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,

f =1

2π

√mgb

Io(2.29)

P = 2π

√Iomgb

(2.30)

La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),

θ = θ0 sin (w t+ ϕ0) (2.31)

2.5. EL PÉNDULO COMPUESTO 21

.

θ = w θ0 cos (w t+ ϕ0) (2.32)

..

θ = −w2θ0 sin (w t+ ϕ0) = −w2θ (2.33)

Ejercicio 2.8 Demostrar que el periodo de oscilación de un péndulo �sico se puede calcular mediante lasiguiente expresión,

P = 2π

√R2cm + b2

gb(2.34)

en donde Rc.m corresponde al radio de giro del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por su centtro demasa y b corresponde a la distancia que hay entre el punto de suspensión del péndulo y su centro de masa.

Simulación 2.3 Una regla oscilando.

Ejercicio 2.9 Un aro circular de radio R se cuelga sobre el �lo de un cuchillo. Demostrar que su período deoscilación es el mismo que el de un péndulo simple de longitud 2R.

Ejercicio 2.10 Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud L = 1, 60 m. Uno de los extremos dela varilla se sujeta en un pivote �jo y la varilla oscila alrededor del pivote con oscilaciones pequeñas. Encontrarla frecuencia de estas oscilaciones. Si se apoya una partícula de masa M al extremo �nal de la varilla, ¾en quéfactor cambiará el período?

Ejercicio 2.11 ¾Cuál debe ser la longitud L de un péndulo simple para que oscile con la misma frecuenciaque un péndulo físico de masa M , radio de giro respecto a su centro de masa Rc.m, y distancia del centro demasa al punto de apoyo igual a b? Nota: a esta longitud se le denomina longitud de péndulo simple equivalente.

Rp. L = R2c.m+b2

b

Ejercicio 2.12 Un bloque se encuentra sobre un émbolo que se mueve verticalmente con M.A.S. (a) ¾A quéamplitud del movimiento se separan el bloque y el émbolo, si la frecuencia angular del M.A.S es 1,18 rad/s? (b)Si el émbolo tiene una amplitud de 5,12 cm en su movimiento, hallar la frecuencia máxima a la cual estarán encontacto el bloque y el émbolo continuamente.

Ejercicio 2.13 Un líquido dentro de un tubo en U oscila libremente. Si el líquido ocupa una longitud l deltubo, calcular la frecuencia angular angular de oscilación del líquido, despreciando los efectos de fricción. Rp.

w =√

2gl

Ejercicio 2.14 Un bloque de madera cuya densidad relativa respecto al agua es ρ tiene dimensiones a, b, c.Mientras está �otando en el agua con el lado a vertical, se le empuja hacia abajo y se le suelta. Hallar el períodode las oscilaciones resultantes ¾Es armónico el movimiento? P = 2π

√agρ

22 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DEL M.A.S.

Figura 2.7: Barra soportada en dos cilindros

Ejercicio 2.15 La �gura 2.7 muestra una barra uniforme que se apoya sobre dos cilindros que giran en sentidoscontrarios. El coe�ciente de fricción deslizante entre la barra y los cilindros es µ. Mostrar que el efecto neto delas fuerzas de fricción es una fuerza restauradora lineal y que la frecuencia angular natural con que oscila elcentro de masa de la barra será igual a:

w =

√2µga

Capıtulo 3ENERGÍA EN EL M.A.S.

3.1. Trabajo W y energía potencial U

Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,

−→Fy = −k−→y (3.1)

siendo −→y la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica.Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar la

relación para la energía potencial elástica, �gura 3.1. En la �gura 3.1 A el resorte posee su longitud original, porlo que su deformacion es nula. En esta situación el sistema masa resorte no tendrá energía potencial elástica (nohay energía almacenada). En la �gura 3.1 B un agente externo lo ha elongado en una cantidad igual a y1. Paralograr esto, el agente externo realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte), cediéndole energía lacual queda almacenada en forma de energía potencial elástica. En la �gura 3.1 C el agente externo realiza aúnmás trabajo, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.

En la �gura 3.2 se ilustra el diagrama de cuerpo libre de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). En estediagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta Tierra(peso),Fext es la fuerza ejercida por el agente externo, y Fres la fuerza ejercida por el resorte: se ha despreciadola fuerza de rozamiento. Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera ley de Newton,se concluye que en todo instante Fext y Fres son iguales en magnitud. Es decir,

−−→Fres = −k−→y (3.2)

−−→Fext = k−→y (3.3)

El trabajo realizado por el agente externo, Wext, para elongar el resorte desde −→y1 hasta −→y2 es,

Wext =ˆ y2

y1

−−→Fext • d−→r =

ˆ y2

y1

[k−→y ] • d−→r =ˆ y2

y1

ky dy =12ky2

2 −12ky2

1 (3.4)

En la �gura 3.3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo:

Wext =[Base mayor +Base menor

2

]× altura

Wext =[ky2 + ky1

2

]× [y2 − y1]

Wext =12ky2

2 −12ky2

1

Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres será el negativo de Wext:

23

24 CAPÍTULO 3. ENERGÍA EN EL M.A.S.

Figura 3.1: Desplazando la masa que está sujeta a un resorte

Figura 3.2: Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte

3.1. TRABAJO W Y ENERGÍA POTENCIAL U 25

Figura 3.3: Interpretación grá�ca del trabajo realizado por el agente externo

26 CAPÍTULO 3. ENERGÍA EN EL M.A.S.

Wres =12ky2

1 −12ky2

2 (3.5)

La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres se puede expresar en términosde los valores de una magnitud escalar de la forma 1

2ky2 evaluada al inicio (en y1) y al �nal (en y2) de la elongación.

Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía potencial del osciladorarmónico (partícula en M.A.S.):

U =12ky2 (3.6)

donde y es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial , se puede concluirque la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:

Wres = −∆U (3.7)

3.2. Energía cinética K

Aplicando la de�nición de energía cinética al oscilador, se obtiene,

K =12mV 2

y (3.8)

3.3. Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función

del tiempo

Si la elongación y la velocidad del oscilador armónico están dados por,

y = A sin (wt+ ϕ0)

Vy = wA cos (wt+ ϕ0)

las energías cinética y potencial del oscilador armónico toman la siguiente forma en función del tiempo,

K =12mw2A2 cos2 (wt+ ϕ0) (3.9)

U =12mw2A2 sin2 (wt+ ϕ0) (3.10)

3.4. Energía mecánica E

Con base en las ecuaciones 3.9 y 3.10, se concluye que la energía mecánica E del oscilador armónico seráigual,

3.4. ENERGÍA MECÁNICA E 27

Figura 3.4: Figura del ejercicio 3.2

E =12mw2A2 (3.11)

y por tanto,

E =12kA2 (3.12)

siendo k la constante de fuerza del oscilador armónico.

Simulación 3.1 Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en función

del tiempo.

La energía cinética se puede calcular así,

K =12k(A2 − y2

)(3.13)

Simulación 3.2 Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en función

de la posición (elongación).

Ejercicio 3.1 Un sistema masa-resorte efectúa un M.A.S con una amplitud A: ¾Cambiaría la energía totalsi se duplica la masa pero no se cambia la amplitud? ¾depende de la masa la energía cinética y la potencial?Explique.

Ejercicio 3.2 La polea de radio r y masaM puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por su centro.La masa m está unida a un resorte de constante k a través de una cuerda de masa despreciable pasando porla polea sin deslizarse, �gura 3.4. Determinar la frecuencia natural de oscilación del disco. Resuelva el ejercicio,primero empleando las leyes de Newton y segundo empleando métodos energéticos. Rp. w =

√k

12M+m

Ejercicio 3.3 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a través dela aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

28 CAPÍTULO 3. ENERGÍA EN EL M.A.S.

Ejercicio 3.4 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple a travésde la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Ejercicio 3.5 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a través dela aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Capıtulo 4SUPERPOSICIÓN DE M.A.S

4.1. Superposición en la misma dirección de vibración

En esta sección se estudiará la composición de dos M.A.S. cuya dirección de vibración es la misma, porejemplo y. Primero se analizará el caso de oscilaciones con la misma frecuencia y luego con diferente frecuencia.

4.1.1. Con igual frecuencia (Interferencia)

Sean dos oscilaciones armónicas expresadas así,

y1 = A1 sin (wt+ ϕ01) (4.1)

y2 = A2 sin (wt+ ϕ02) (4.2)

en donde A1,A2 corresponden a las amplitudes de las oscilaciones y ϕ01,ϕ02 corresponden a sus respectivasfases iniciales. El movimiento resultante es,

y = y1 + y2 = A1 sin (wt+ ϕ01) +A1 sin (wt+ ϕ01)

Para realizar la simpli�cación de esta última expresión se expondrán tres formas: método de vectores rotantes(o fasores), método trigonométrico y método de la variable compleja. Esto se hará con el �n de ilustrar a unestudiante de ingeniería, sin embargo, el lector elegirá el que comprenda mejor.

Método de vectores rotantes En este caso, cada M.A.S se representa por un vector posición de magnitud(módulo) igual a su amplitud y girando con velocidad angular constante igual a su frecuencia angular w. Suproyección (o componente, por ejemplo en dirección y) corresponderá a la elongación del M.A.S. De esta formael cálculo de la superposición se reducirá a una suma de vectores, �gura 4.1.

El resultado es otra oscilación armónica (M.A.S.) también de frecuencia angular w, con elongación y,amplitud A y fase inicial ϕ0,

y = A sin (wt+ ϕ0) (4.3)

tal que,

A2 = A21 +A2

2 + 2A1A2 cos δ (4.4)

tanϕ0 =A1 sinϕ01 +A2 sinϕ02

A1 cosϕ01 +A2 cosϕ02(4.5)

29

30 CAPÍTULO 4. SUPERPOSICIÓN DE M.A.S

Figura 4.1: Vectores rotantes

en donde δ = ϕ1 − ϕ2 = ϕ01 − ϕ02 corresponde a la diferencia de fase inicial entre las oscilacionesarmónicas que se superponen.

Método trigonométrico Las ecuaciones 4.1 y 4.2 se transforman en,

y1 = A1 sinwt cosϕ01 +A1 coswt sinϕ01 (4.6)

y2 = A2 sinwt cosϕ02 +A2 coswt sinϕ02 (4.7)

y por tanto,

y = y1 + y2 = (A1 cosϕ01 +A2 cosϕ02) sinwt+ (A1 sinϕ01 +A2 sinϕ02) coswt (4.8)

De�niendo,

A sinϕ0 ≡ (A1 sinϕ01 +A2 sinϕ02) (4.9)

A cosϕ0 ≡ (A1 cosϕ01 +A2 cosϕ02) (4.10)

y reemplazando las ecuaciones 4.9 y 4.10 en la ecuación 4.8 se obtiene las mismas ecuaciones 4.3, 4.4 y 4.5.

Método de la variable compleja Las ecuaciones de las oscilaciones a superponer se pueden escribir así,

y1 = A1 sin (wt+ ϕ01) = Im{A1e

i(wt+ϕ01)}

= Re {y1} (4.11)

y2 = A2 sin (wt+ ϕ02) = Im{A2e

i(wt+ϕ02)}

= Re {y2} (4.12)

en donde y1 y y2 corresponden a las variables complejas en donde y1 y y2 son su parte imaginaria de acuerdoa la maravillosa fórmula de Euler, eiθ = cos θ + i sin θ.

4.1. SUPERPOSICIÓN EN LA MISMA DIRECCIÓN DE VIBRACIÓN 31

Al sumar las ecuaciones 4.11 y 4.12 se obtiene,

y = Im {y} = Im{Aei(wt+ϕ0)

}= Im {y1 + y2} = Im

{[A1e

iϕ01 +A2eiϕ02

]eiwt

}(4.13)

en donde se de�ne la amplitud compleja, A, como,

A ≡ Aeiϕ0 ≡ A1eiϕ01 +A2e

iϕ02 (4.14)

y = Aeiwt (4.15)

y por lo tanto su módulo cuadrado es,

A2 =(A)(

A)?

=[A1e

iϕ01 +A2eiϕ02

] [A1e

iϕ01 +A2eiϕ02

]?A2 =

[A1e

iϕ01 +A2eiϕ02

] [A1e

−iϕ01 +A2e−iϕ02

]A2 = A2

1 +A22 +A1A2

[ei(ϕ01−ϕ02) + e−i(ϕ01−ϕ02)

]A2 = A2

1 +A22 + 2A1A2 cos (ϕ01 − ϕ02)

que corresponde a la ecuación 4.4.

En la ecuación 4.4 al término 2A1A2 cos δ se le denomina término de interferencia. Como puede dedu-cirse de ese término, la amplitud del M.A.S. resultante varía dependiendo de la diferencia de fase inicial,obteniendo su máximo valor cuando δ = 0 (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se superponenestán en fase, en cuyo caso se denomina a este fenómeno interferencia constructiva y A = A1 +A2. Cuandola diferencia de fase es δ = π (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se superponen están enoposición, se obtiene la denominada interferencia destructiva, y A = |A1 −A2|. Ver �gura 4.2.

4.1.2. Con frecuencias diferentes (Pulsaciones)

Sean las siguientes dos oscilaciones armónicas,

y1 = A1 sin (w1t+ ϕ01) (4.16)

y2 = A2 sin (w2t+ ϕ02) (4.17)

por simplicidad se supondrá que, ϕ01 = ϕ02 = 0 y que A1 = A2 = A. Empleando el método trigonométricose obtiene,

y = y1 + y2 = 2A cos[(

w1 − w2

2

)t

]sin[(

w1 + w2

2

)t

]

Resultando,

y = Am sin (w) t (4.18)

en donde Am = 2A cos (wmt) se denomina amplitud modulada, wm es la frecuencia angular de modulaciónde la amplitud,

32 CAPÍTULO 4. SUPERPOSICIÓN DE M.A.S

Figura 4.2: Interferencia: constructiva y destructiva

wm =|w1 − w2|

2(4.19)

y w corresponde al promedio de la frecuencia angular ,

w =w1 + w2

2(4.20)

La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía de unoscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con una frecuenciaque es el doble (la función cosx tiene doble frecuencia que la función cos2 x): es decir, la energía �uctúa con unafrecuencia en Hz igual al doble de la frecuencia con que �uctúa la amplitud, o sea el doble de la frecuencia demodulación de la amplitud,

fp = |f1 − f2| (4.21)

en donde fp se conoce con el nombre de frecuecnia de pulsación o de palpitación.Si las frecuencias di�eren poco entre sí, es decir, wm << w1 y w ' w1 se obtiene para la elongación,

y = 2A cos (wmt) sin (w1t) (4.22)

es decir, el movimiento resultante es una oscilación cuya frecuencia es prácticamente igual a la de las osci-laciones individuales, con su amplitud variando periódicamente con la frecuencia fm y con la energía pulsandocon la frecuencia fp.

Dos diapasones que generan oscilaciones de frecuencias ligeramente diferentes, generan un sonido que perió-dicamente crece y decrece. Para una diferencia muy pequeña se pueden contar las "pulsaciones". Por ejemplosi un diapasón oscila a 330 Hz y el otro a 325 Hz, el sonido resultante que se detectará es de 5 pulsaciones porsegundo.

Video 4.1 Pulsaciones en péndulos acoplados.

4.2. SUPERPOSICIÓN EN DIRECCIONES DE VIBRACIÓN ORTOGONALES 33

Video 4.2 Pulsaciones en péndulos acoplados.

Video 4.3 Pulsaciones entre oscilaciones eléctricas.

Video 4.4 Pulsaciones sonoras.

Simulación 4.2 Pulsaciones de dos osciladores débilmente acoplados.

Ejercicio 4.1 Encontrar la ecuación del movimiento resultante de la superposición de dos movimientos armó-nicos simples cuyas ecuaciones son x1 = 6 sin (2t) y x2 = 8 sin (2t+ ϕ0) y decir si hay interferencia constructivao destructiva, si: (a) ϕ0 = 0, (b) ϕ0 = π

2 , (c) ϕ0 = π.

4.2. Superposición en direcciones de vibración ortogonales

En este caso las oscilaciones armónicas a superponer están en líneas perpendiculares; por ejemplo una endirección x y la otra en dirección y .

Aquí se puede utilizar la independencia lineal de los movimientos ortogonales. Es decir estudiarlos por sepa-rado y luego componerlos vectorialmente.

Se estudiará primero el caso donde las frecuencias son iguales y luego el caso de frecuencias diferentes.

4.2.1. Con igual frecuencia (Polarización)

Los M.A.S a superponer son,

x = Ax sin (wt+ ϕ0x) (4.23)

y = Ay sin (wt+ ϕ0y) (4.24)

Eliminando el parámetro tiempo se obtiene la trayectoria seguida por la partícula que está simultaneamentebajo los dos movimientos descritos por esas dos ecuaciones. Estas últimas se pueden transformar así,

x

Ax= sinwt cosϕ0x + coswt sinϕ0x (4.25)

y

Ay= sinwt cosϕ0y + coswt sinϕ0y (4.26)

Combinándolas: , (4.25)× sinϕ0y− (4.26)× sinϕ0x se obtiene,

x

Axsinϕ0y −

y

Aysinϕ0x = sinwt sin (ϕ0y − ϕ0x) (4.27)

Combinándolas: , (4.25)× cosϕ0y− (4.26)× cosϕ0x se obtiene,

x

Axcosϕ0y −

y

Aycosϕ0x = − coswt sin (ϕ0y − ϕ0x) (4.28)

Combinando las dos últimas ecuaciones, (4.27)2+(4.28)2, se obtiene,

x2

A2x

+y2

A2y

− 2xyAxAy

cos (ϕ0x − ϕ0y) = sin2 (ϕ0x − ϕ0y)

x2

A2x

+y2

A2y

− 2xyAxAy

cos δ = sin2 δ (4.29)

en donde δ = ϕ0x − ϕ0y corresponde a la diferencia de fase. Esta es la ecuación de una elipse que en generalestará rotada respecto a los ejes xy.

34 CAPÍTULO 4. SUPERPOSICIÓN DE M.A.S

Figura 4.3: Estados de polarización

En de�nitiva la trayectoria seguida por la partícula bajo la acción de dos fuerzas ortogonales,−→Fx = −kx−→x

y−→Fy = −ky−→y , es una elipse o un caso particular de ella como una circunferencia o una recta. Esto dependerá

de la diferencia de fase δ, �gura 4.3 (en esta �gura se debe tener en cuenta que δ = ϕ0x − ϕ0y y que el ejez sale ortogonalmente de la hoja). La elipse puede ser recorrida por la partícula en el sentido de las agujasdel reloj o en el sentido contrario. Esto se puede probar en la simulación que se presenta más adelante.Si es recorrida en el sentido en que la velocidad angular señale la parte positiva del eje z, se dirá que haypolarización elíptica (o circular si es del caso) levógira. En caso contrario será dextrógira.

A este fenómeno se le conoce con el nombre de polarizacón. Hay entonces: polarización elíptica dextrógira ylevógira, polarización circular dextrógira y levógira. La trayectoria de la partícula también puede resultarrectilínea (caso particular de la elipse), en cuyo caso se dice que la polarización es lineal . Para de�nircompletamente el estado de polarización elíptico o circular, es necesario de�nir en que sentido gira lapartícula. Así mismo, para de�nir completamente el estado de polarización lineal, es necesario de�nir elángulo de inclinación de esta trayectoria. Estos conceptos son fundamentales para estudiar la polarizaciónde la luz y en general la polarización de las ondas electromagnéticas, fenómeno que tiene gran aplicaciónen la tecnología moderna de comunicaciones, entre muchas otras.

Ejercicio 4.2 Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dosmovimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4 sin (πt)y y = 3 sin (πt+ ϕ0) cuando:(a) ϕ0 = 0, (b) ϕ0 = π

2 , (c) ϕ0 = π, (d) ϕ0 = 3π2 . Hacer un grá�co de la trayectoria de la partícula para cada

caso y señalar el sentido en cual se desplaza la partícula.

4.2.2. Con diferente frecuencia (Figuras de Lissajous)

Las oscilaciones a superponer son las siguientes,

x = Ax sin (wxt+ ϕ0x) (4.30)

4.3. ANÁLISIS DE FOURIER 35

Figura 4.4: Señal cuadrada como una combinación de funciones seno

y = Ay sin (wyt+ ϕ0y) (4.31)

En este caso si la relación entre las frecuencias wy

wxes un número racional, la trayectoria seguida por la

partícula corresponderá a las denominadas �guras de Lissajous.

Video 4.5 Lissajous con oscilaciones eléctricas.

Video 4.6 Lissajous con luz láser modulada con espejos vibrando ortogonalmente.

Simulación 4.3 Figuras de Lissajous.

4.3. Análisis de Fourier

Gracias al teorema de Fourier , desarrollado por el matemático francés Fourier (1807-1822) y completadopor el matemático alemán Dirichlet (1829), es posible demostrar que toda función periódica continua, con unnúmero �nito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse como una combinación de senosy cosenos (armónicos).

Desde el punto de vista de la física, signi�ca, que una oscilación que no es armónica se puede representarcomo una combinación de oscilaciones armónicas. Cada armónico (oscilación armónica presente) tendrá su propiaamplitud, frecuencia y fase. El armónico fundamental es el de frecuencia más baja. Las frecuencias de los demásarmónicos serán múltiplos de esta. Además la periodicidad de la oscilación estará dada por el período delarmónico fundamental.

Un ejemplo es una oscilación cuyo cronograma es una señal cuadrada. La representación de ella como unacombinación de armónicos es la siguiente (�gura 4.4):

y = sin [2π (f ) t] +13

sin [2π (3 f ) t] +15

sin [2π (5 f ) t] + · · ·

Simulación 4.4 Análisis de Fourier.

36 CAPÍTULO 4. SUPERPOSICIÓN DE M.A.S

Capıtulo 5OSCILACIONES FORZADAS

5.1. Oscilaciones amortiguadas

Las oscilaciones consideradas en los capítulos anteriores son de amplitud constante y se denominan os-cilaciones no amortiguadas. La constancia en la amplitud signi�ca constancia en la energía; en la oscilaciónalternativamente la energía cinética se transforma en energía potencial y viceversa.

Cualquier fuerza de rozamiento es disipativa, es decir su trabajo disipa energía en forma de calor, o lo quees lo mismo, se consume energía mecánica. Si esta pérdida no se compensa aportando energía desde el exterior,la amplitud se reduce constantemente: la oscilación es amortiguada .

Las fuerzas de rozamiento en medios �uidos se oponen a la velocidad, y a valores no muy altos de ésta, sonproporcionales a ella, es decir,

−→fr = −b

−→V . Aquí b es la constante de proporcionalidad y depende de la viscosidad

del �uido y de la geometría del cuerpo: en el caso de una esfera, b = 6πRη siendo η la viscosidad del medio�uido y R el radio (esta es conocida como la ley de Stockes).

Supóngase por ejemplo, el sistema masa-resorte sumergido en un medio viscoso (aire, aceite, ...). En la �gura5.1 se ilustra este sistema sumergido en un �uido de baja viscosidad, de tal forma que logre oscilar. En la �gura5.1 A se ilustra el resorte con su longitud original; en la �gura 5.1 B el sistema con la masa acoplada y ensituación de equilibrio dentro del medio viscoso; en la �gura 5.1 C la masa se ha retirado de la posición deequilibrio.

En la �gura 5.2 se ilustran los diagramas de fuerzas para la masa, en las situaciones B (equilibrio) y C (no

equilibrio):−→E corresponde a la fuerza Arquimediana, kξ y k (ξ + y) corresponden a la fuerza Hookeana y fr

corresponde a la fuerza de rozamiento.Aplicando la primera ley de Newton, en la situación de equilibrio (B), se obtiene,

+ ↓∑

Fy = 0⇒ mg − E − kξ = 0 (5.1)

si se de�ne como peso aparente, Pa = mg − E, la ecuación anterior toma la forma,

Pa = kξ (5.2)

Aplicando la segunda ley de Newton, en la situación de no equilibrio (C), se obtiene,

+ ↓∑

Fy = my

Pa − k (ξ + y)− fr = my (5.3)

como Pa = kξ y fr = by la ecuación se reescribe así,

37

38 CAPÍTULO 5. OSCILACIONES FORZADAS

Figura 5.1: Sistema masa-resorte sumergido en un �uido

Figura 5.2: Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un �uido

5.2. OSCILACIONES FORZADAS 39

Figura 5.3: Oscilador forzado

y +b

my +

k

my = 0 (5.4)

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. En ella se de�ne como

constante de amortiguamiento a γ = b2m . Además w =

√km es la frecuencia angular propia con la cual

oscilaría el sistema sin amortiguamiento. Con base en esto la ecuación se puede escribir así,

y + 2γy + w2y = 0 (5.5)

Sólo, en el caso en que γ < w, habrá oscilación. La oscilación en este caso, es tal que su amplitud decreceexponencialmente, y aunque el movimiento ya no es periódico, si es aproximadamente isocrónico. Cada oscilaciónse hace en el mismo tiempo, pero con menos amplitud y con una frecuencia angular, w′ =

√w2 − γ2, donde

w′ < w. A estas oscilaciones se les denomina subamortiguadas, y la solución de la ecuación diferencial es,

y = Ae−γt sin (w′t+ ϕ0) (5.6)

Simulación 5.1 Oscilaciones amortiguadas.

5.2. Oscilaciones forzadas

En la oscilaciones amortiguadas, se observó que para bajos rozamientos, el sistema oscilante se amortiguabaexponencialmente.

Si se desea que la partícula mantenga la oscilación se le debe entregar energia. La mejor forma de hacerloes mediante una fuerza externa oscilante (imaginarse "columpiando" a un niño). En la �gura 5.3 se ilustra unsistema físico que puede oscilar forzadamente. Lo componen un amortiguador, un resorte y una masa.

El diagrama de fuerzas de la masa está ilustrado en la �gura 5.4.Si se supone que la fuerza externa tiene la forma, f (t) = f0 sin (wf t+ ϕ0) , y que la fuerza de rozamiento

(viscosa) tiene la forma, fr = −bx , se obtiene aplicando la segunda ley de Newton,

+→∑

Fx = mx

x+ 2γx+ w2x =f0m

sin (wf t+ ϕ0) (5.7)

40 CAPÍTULO 5. OSCILACIONES FORZADAS

Figura 5.4: Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado

en donde wf corresponde a la frecuencia angular del la fuerza oscilante externa, f0 la amplitud de dicha

fuerza, γ = b2m la constante de amortiguamiento y w =

√km la frecuencia propia del oscilador (recordar que

la constante del oscilador armónico es , k = mw2).

La solución corresponde a una superposición de la solución a la ecuación diferencial homogénea (xh), conuna solución particular (xp) :

x = xh + xp (5.8)

La solución de la homogénea corresponde a la del oscilador amortiguado,

xh = Ae−γt sin (w′t+ β0) (5.9)

donde w′ =√w2 − γ2 y donde la amplitud A y la fase inicial β0 dependen de las condiciones iniciales de la

oscilación.La solución de la homogénea se denomina transitoria ya que a medida que avanza el tiempo va decayendo

en forma exponencial hasta anularse. En de�nitiva permanece la solución xp, a la cual se denomina soluciónestacionaria.

La solución particular, que se asumirá oscilante es,

x = xp = Ap sin (wf t+ ϕ0 − δ) (5.10)

con,

Ap =F0

m

√(w2 − w2

f

)2

+ 4γ2w2f

(5.11)

tan δ =2γwf

w2 − w2f

(5.12)

donde la amplitud Ap y la fase δ no dependen de las condiciones iniciales sino de que tan cerca se encuentrenlas frecuencias w y wf . Se observa además que δ corresponde a la diferencia de fase entre la elongación y lafuerza externa oscilante.

5.2.1. Estudio de situaciones especiales en el estado estacionario

De lo explicado en el párrafo anterior se deduce que el sistema siempre termina oscilando con la frecuenciadel agente externo, wf . Es decir la respuesta del sistema que permanece es simplemente la particular,

5.2. OSCILACIONES FORZADAS 41

Figura 5.5: Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa

x = Ap sin (wf t+ ϕ0 − δ) (5.13)

Resonancia en la amplitud Surge la siguiente pregunta: ¾Para qué valores de la frecuencia externa seobtiene el máximo valor en la amplitud? A esta situación se le conoce con el nombre de resonancia en laamplitud . Para responder a esta pregunta se debe calcular los puntos críticos de la ecuación 5.11,

dApdwf

= 0

wf =√w2 − 2γ2 (5.14)

Evaluando la segunda derivada en este punto crítico se obtiene,

d2Apdw2

f

∣∣∣wf =√w2−2γ2 < 0

Es decir, en wf =√w2 − 2γ2, hay máxima amplitud Ap, que es:

(Ap)mx =

(F0m

)2γ√

1 + w2f

(5.15)

En el caso ideal de que no existiese la fuerza de amortiguamiento, γ = 0, la amplitud de la oscilación forzadase haría muy grande, tendería a in�nito, y la frecuencia wf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia propiadel oscilador w

En la �gura 5.5, se muestra la amplitud vs la frecuencia de la fuerza externa, en estado estacionario.Como se observa en la grá�ca, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye

rápidamente cuando la frecuencia wf de la fuerza oscilante externa se hace mayor que la frecuencia propia de lafuerza recuperadora del oscilador w.

Ejercicio 5.1 Demostrar la ecuación 5.14.

Resonancia en la energía Otra pregunta que surge es la siguiente: ¾Para qué valores de la frecuenciaexterna wf se obtiene el máximo valor en la amplitud de velocidad? A esta situación se le conoce con el nombrede resonancia en la energía. Para responder a esta pregunta se debe tener en cuenta que la velocidad del osciladorforzado en el estado estacionario es,

42 CAPÍTULO 5. OSCILACIONES FORZADAS

Vx = wf Ap cos (wf t+ ϕ0 − δ) (5.16)

Por tanto la amplitud de la velocidad es igual,

V0 = wf Ap =wf f0

m

√(w2 − w2

f

)2

+ 4γ2w2f

En wf = w, hay un máxmo en la amplitud de velocidad, es decir también hay un máximo en la energíacinética, lo que se denomina resonancia en la energía cinética.

Ejercicio 5.2 Demostrar que si wf = w, V0 es máximo.

De la ecuación 5.12, se deduce que cuando hay resonancia en la energía cinética, δ = π2 , es decir en estado

estacionario, en resonancia en la energía, la velocidad y la fuerza externa f = f0 sin (wf t+ ϕ0) oscilante estánen fase:

Vx = wf Ap cos(wf t+ ϕ0 −

π

2

)= wf Ap sin (wf t+ ϕ0)

Cuando la constante de amortiguamiento es pequeña (γ w 0) y hay resonancia en la energía wf = w se dasimultáneamente la resonancia en la amplitud.

Simulación 5.2 Oscilaciones forzadas.

Algo más sobre el fenómeno de resonancia El fenómeno de resonancia es muy importante para explicarmuchos avances tecnológicos como: la televisión, la radio, los espectros de la luz, la construcción de edi�ciossismoresistentes, el laser, las cajas de resonancia en los instrumentos musicales, ...

Un ejemplo clara del fenómeno de resonancia es el desafortunado colapso del puente de Tacoma: en el año de1940 en un puente en Tacoma, EUA, unos meses después de haber sido completado, un temporal azotó la región,y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia justamente igual a una de las frecuenciascaracterísticas del puente (más exactamente fue debido a los efectos periódicos de la turbulencia del aire generadaen el puente). El puente entró en resonancia con el viento y empezó a oscilar con una amplitud muy grande quelo destruyó. Este hecho es general: si un sistema mecánico entra en resonancia puede ocurrir que se destruya.

Video 5.1 Caída del puente de Tacoma por el efecto de la resonancia (un famoso desastre de la ingeniería).

Video 5.2 Resonancia en un oscilador mecánico.

Video 5.3 Péndulos resonando.

Video 5.4 Resonancia en varillas en voladizo (cantilever).

Video 5.5 Haciendo cantar copas.

Video 5.6 Figuras de Cladni en placa circular

Video 5.7 Figuras de Cladni en placa rectangular

Video 5.8 Figuras de Cladni en placa rectangular

5.2. OSCILACIONES FORZADAS 43

Promedio de la potencia recibida en estado estacionario El sistema físico recibe energía de la fuerzaoscilante externa. La potencia recibida en estado estacionario es,

Precibida =(−→f)•(−→Vx

)= f Vx

Precibida = [f0 sin (wf t+ ϕ0)] [wfAp cos (wf t+ ϕ0 − δ)]

promediando en un período de oscilación P ,

P recibida =1P

ˆ P

0

(Precibida) dt =12f0wfAp sin δ

P recibida =12f0wf

f0

m

√(w2 − w2

f

)2

+ 4γ2w2f

2γwf√(

w2 − w2f

)2

+ 4γ2w2f

P recibida =f20 γw

2f

m

[(w2 − w2

f

)2

+ 4γ2w2f

] (5.17)

Promedio de la potencia disipada en estado estacionario El sistema físico disipa energía debido altrabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento,

Pdisipada =(−→fr

)•(−→Vx

)=(−b−→Vx

)•(−→Vx

)= −bV 2

x

Pdisipada = −bw2fA

2p cos2 (wf t+ ϕ0 − δ)

P disipada = −12

(2mγ)w2fA

2p

P disipada = −f20 γw

2f

m

[(w2 − w2

f

)2

+ 4γ2w2f

] (5.18)

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerzaexterna oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa desu interacción con el medio que le rodea. De esta forma se mantiene la energía del oscilador forzado constanteen valor medio.

En resonancia de energía la potencia obtiene su mayor valor promedio,

P recibida =12f0wfAp (5.19)

que corresponde al valor máximo de energía recibida por el oscilador. Es decir, en resonancia de energía(wf = w ), la fuerza oscilante externa realiza la máxima transferencia de potencia al sistema.

44 CAPÍTULO 5. OSCILACIONES FORZADAS

Caso 1 wf << w Ap wf0mw2 tan δ w +0⇒ δ w 0 x = f0

mw2 sin (wf t+ ϕ0)Caso 2 wf >> w Ap w

f0mw2

ftan δ w −0⇒ δ w π x = f0

mw2f

sin (wf t+ ϕ0 + π)

Caso 3 wf w w Ap wf0bw2

ftan δ →∞⇒ δ → π

2 x = f0bwf

sin(wf t+ ϕ0 + π

2

)Cuadro 5.1: Aproximaciones

Resumen Cuando un oscilador es forzado por una fuerza oscilante externa:

El oscilador termina oscilando con la frecuencia del agente externo (de la fuerza oscilante externa).

Al comienzo del forzamiento, el oscilador entra en un transiente. No "sabe" cómo acomodarse a la vibraciónque le están imponiendo, que generalmente es a una frecuencia que no es la propia.

Si la frecuencia de la fuerza oscilante externa es igual a la frecuencia propia del oscilador (o al menos estámuy cerca), éste adquiere oscilaciones de muy buena amplitud y a este estado se le denomina RESONAN-CIA.

En resonancia, la fuerza oscilante externa y la velocidad del oscilador quedan en fase, permitiendo máximatransferencia de energía en la unidad de tiempo (máxima potencia).

5.2.2. Una discusión interesante

En un parágrafo atrás, se ilustró que la solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico forzado es,

x = Ap sin (wf t+ ϕ0 − δ) (5.20)

con Ap y δ dadas por las ecuaciones 5.11 y 5.12.Se discutirá los siguientes casos especiales: wf << w, wf >> w y wf w w .Analizando la ecuación de la dinámica del oscilador forzado,

mx+ bx+ kx = f0 sin (wf t+ ϕ0) (5.21)

según la solución, se tiene para las derivadas,

x = wf Ap cos (wf t+ ϕ0 − δ) (5.22)

x = −w2fAp sin (wf t+ ϕ0 − δ) (5.23)

considerando que el orden de magnitud de las funciones seno y coseno es uno y que todos los términos dela ecuación 5.21 los contienen como factores. Por lo tanto, se puede decir que los ordenes de magnitud para lostérminos del miembro izquierdo de dicha ecuación son los siguientes,

Para la fuerza de inercia,mx w mw2

fAp (5.24)

Para la fuerza amortiguadora,bx ' bwfAp (5.25)

Para la fuerza recuperadora,kx ' kAp (5.26)

Estos tres términos deben compensar la fuerza externa oscilante cuyo orden de magnitud es f0. Con base en estose puede concluir:

5.2. OSCILACIONES FORZADAS 45

Caso 1 wf << w La fuerza de inercia y la fuerza amortiguadora son despreciables frente a la fuerza recupe-radora. En este caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza recuperadora. El sistema es estiradoy distendido por la fuerza exterior de forma �cuasiestática� , sin tener en cuenta la masa ni el rozamiento. Losefectos de inercia y rozamiento son pequeños por que las aceleraciones y velocidades son pequeñas. No existediferencia de fase entre la elongación y la fuerza oscilante, δ = 0. Esto corresponde a la solución,

x =f0k

sin (wf t+ ϕ0) (5.27)

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.En cuanto a la absorción de energía del sistema: la fuerza exterior solamente aporta energía al cuerpo cuando

se mueve en la misma dirección que la velocidad (potencia positiva). Por lo tanto el sistema absorbe energía enel primer y cuarto cuarto del periodo, mientras que en el segundo y tercero, donde la fuerza y velocidad sonantiparalelas, devuelve la misma cantidad. Es decir la recepción de potencia total por el sistema es nula en unperiodo.

Caso 2 wf >> w La fuerza amortiguadora y la fuerza recuperadora son despreciables frente a la fuerza deinercia. En este caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza de inercia. El sistema es "cuasilibre".La aceleración y la fuerza están en fase, δ = π . Esto corresponde a la solución,

x =f0mw2

f

sin (wf t+ ϕ0 + π) (5.28)

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.En cuanto a la absorción de energía del sistema: En el primer y cuarto cuarto del periodo, la fuerza y la

velocidad son antiparalelas y el sistema cede energía; en el segundo y tercer cuarto del periodo absorbe la mismacantidad. El efecto total en un periodo vuelve a ser nulo.

Caso 3 wf w w La fuerza de inercia se compensa con la fuerza recuperadora. Por tanto la fuerza externaoscilante se compensa con la fuerza amortiguadora. Esto corresponde a la solución,

x =f0bwf

sin(wf t+ ϕ0 +

π

2

)(5.29)

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.En cuanto a la absorción de energía del sistema, como la velocidad estará en fase con la fuerza oscilante,

el sistema absorberá potencia constantemente. Sin embargo como se demostró arriba, ecuación 5.19, el sistemadisipará esa misma cantidad de energía: hay equilibrio energético entre lo que entra de energía por unidad detiempo y lo que sale.

46 CAPÍTULO 5. OSCILACIONES FORZADAS

Capıtulo 6OSCILACIONES ELÉCTRICAS

6.1. Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas

El equivalente mecánico del circuito LC (L: Inductancia, C: Capacitancia) son las oscilaciones de un sistemamasa-resorte.

En primer lugar, se estudiará las oscilaciones que se producen en un circuito LC, �gura 6.1.La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es igual a,

Vc =q

C(6.1)

Para aplicar la ley de Kircho� de las mallas, es necesario adoptar una convención para el signo de estadiferencia de potencial. Para comprender esto, se debe pensar que es claro que transportar una carga positivadesde la terminal negativa a la terminal positiva debe representar un aumento en la energía potencial del circuito,es decir la diferencia de potencial es positiva. Recorrer el condensador en la dirección opuesta daría lugar a unadisminución de la energía potencial, es decir una diferencia de potencial negativa. En el caso de la situcióninstantánea de la �gura 6.1, debe deducirse que para el sentido de corriente ilustrado,

Vc = − qC

(6.2)

Para el caso de la diferencia de potencial en la bobina de inductancia L, se tiene que,

VL = −Ldidt

(6.3)

ya que la inductancia en la bobina es una medida de la inercia de éste; es decir a mayor inductancia, serámás complicado cambiar la corriente que circula en el circuito. Si la corriente va en aumento,

di

dt> 0 (6.4)

Figura 6.1: Circuito LC

47

48 CAPÍTULO 6. OSCILACIONES ELÉCTRICAS

y

VL, 0 (6.5)

lo que corresponde a una caída de potencial entre a y b a través del inductor. Por esta razón, el punto a tienemayor potencial que el punto b, como se ilustra en la �gura 6.1.

Aplicando la ley de las mallas de Kircho�,

Vc + VL = 0 (6.6)

se obtiene,

− q

C− Ldi

dt= 0 (6.7)

Como i = dq/dt , llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden,

d2q

dt2+

1LC

q = 0 (6.8)

Esta ecuación diferencial describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angularpropia o natural,

w =1√LC

(6.9)

La solución de la ecuación diferencial es,

q = Q sin (wt+ ϕ0) (6.10)

donde la amplitud Q y la fase inicial ϕ0 se determinan a partir de las condiciones iniciales: la carga delcondensador q y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito dq/dt en el instante inicial t = 0.

La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía almacenada en campo eléctrico en elcondensador más la energía almacenada en el campo magnético en la bobina,

E = Eelctrica + Emagntica =12q2

C+

12Li2 (6.11)

La energía almacenada en la bobina tiene "naturaleza" de energía cinética, y la almacenada en el conden-sador, tiene "naturaleza" de energía potencial. Esto se concebirá con mayor claridad un poco más adelante,donde se hará una analogía mecano-eléctromagnética entre un sistema masa-resorte y un circuito oscilanteLC.

Una breve descripción de este proceso cada cuarto de período, es la siguiente,

Inicialmente el condensador está completamente cargado con una cargaQ . Toda la energía está almacenadaen el campo eléctrico existente entre las placas del condensador.

El condensador se empieza a descargar, la corriente aumenta y en la bobina se produce una fem (fuerzaelectromotriz ) autoinducida que se opone al incremento de la corriente. Al cabo de un cuarto de periodo,se alcanza la corriente má xima,

imxima = Qw (6.12)

6.2. CIRCUITOS RLC: OSCILACIONES ELÉCTRICAS AMORTIGUADAS 49

Figura 6.2: Circuito RLC

La corriente empieza a disminuir y en la bobina se produce una fem que se opone a que la corrientedisminuya. El condensador se empieza a carga y, el campo entre las placas del condensador cambia desentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q , y lacorriente en la bobina se ha reducido a cero.

Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la corriente aumenta, el campo en la bobina cambiade sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la corriente alcanza su valor máximo.

La corriente decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico entre las placas del condensadorcambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial.

6.2. Circuitos RLC: Oscilaciones eléctricas amortiguadas

Las oscilaciones libres no se producen en un circuito habitual ya que todo circuito presenta una resistencia,�gura 6.2.

Aplicnado la ley de las mallas de Kircho�,

VR + Vc + VL = 0 (6.13)

como i = dqdt ,

d2q

dt2+R

L

dq

dt+

1LC

q = 0 (6.14)

que corresponde a la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas, cuya solución es,

q = Qe−γ t sin (w′t+ ϕ0) (6.15)

con, w′ =√w2 − γ2 y γ = R

2L . La amplitud Q y la fase inicial ϕ0 se determinan a partir de las condicionesiniciales: la carga del condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica dq/dt en el circuito en el instanteinicial t = 0.

En las oscilaciones amortiguadas la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga máximadel condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia porefecto Joule.

En el caso en que γ = w, o que γ > w, no habrá oscilaciones. Corresponden respectivamente al amortigua-mineto crítico y al sobreamortiguamiento.

6.3. Oscilaciones eléctricas forzadas

Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo. Para mantener la oscilación en el circuitoes necesario conectarlo a una fem alterna de frecuencia w, �gura 6.3.

La ecuación del circuito es,

VR + Vc + VL = V0 sin (wf t+ ϕ0)

50 CAPÍTULO 6. OSCILACIONES ELÉCTRICAS

Figura 6.3: RLC forzado

Figura 6.4: Antena dipolo emisora (radiando)

−Ri− q

C− Ldi

dt= V0 sin (wf t+ ϕ0)

Como i = −dq/dt, si la carga q disminuye con el tiempo, se obtiene la siguiente ecuación diferencial desegundo orden,

d2q

dt2+R

L

dq

dt+

1LC

q =V0

Lsin (wf t+ ϕ0) (6.16)

Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas en un sistema masa-resorte.

6.4. Antenas: radio y televisión

Formalmente una antena se de�ne como un dispositivo que sirve para transmitir y recibir ondas de radio.Convierte la onda guiada por la línea de transmisión (el cable o guía de onda) en ondas electromagnéticas que sepueden transmitir por el espacio libre. A su vez esta ondas pueden ser absorbidas por otro dispositvo de estos.

Las antenas están hechas de alambre ó tubos de metal, asi que tienen inductancia (L) y resistencia (R). Laantena tiene capacitancia (C), debido a la cercanía con la tierra y los objetos a sus alrededor, incluyendo lossoportes, como: la torre y la cama que la sustenta .

En la �gura 6.4se ilustra una antena dipolo radiando ondas electromagnéticas.En la �gura se ilustra el proceso de sintonización (resonancia) del radio o la televisión. Variando la capaci-

tancia del circuito RLC receptor (antena receptora), se logra variar su frecuencia de resonancia, permitiendosintonizar la emisora (onda) deseada. Las ondas de las emisoras se están transmtiendo por el espacio libre ygeneran oscilaciones forzadas de los electrones en la antena receptora. Es decir, estas ondas hacen el papel de lafuente de corriente alterna ilustrada en el parágrafo anterior.

6.5. ANALOGÍA MECANO-ELECTROMAGNÉTICA 51

Figura 6.5: Antena dipolo receptora

Sistema mecánico (Sistema masa-resorte) Sistema electromagnético (Circuito RLC)m: masa L: Inductancia

x: Elongación q: Carga eléctricaVx: Velocidad i: Corriente eléctrica

k: constante de rigidez 1C

Frecuencia angular propia: w =√

km Frecuencia angular propia: w = 1√

LC

Energía Cinética:K = 12mV

2x Energía Magnética:Emagn = 1

2Li2

Energía Potencial:U = 12kx

2 Energía Eléctrica:Eelect = 12

1C q

2

Cuadro 6.1: Analogía mecano-electromagnética

6.5. Analogía mecano-electromagnética

Ver la tabla 6.1.