Determine el área de un triángulo en función solamente de sus lados, a ,by c .

La fórmula clásica para el área del triángulo nos dice que A= c .h2

, o lo que es lo mismo,

A=c .a . sen (β)

2.

Po otro lado el teorema del coseno nos asegura que b2=a2+c2−2a . c . cosβ.

El camino a seguir será despejar cos (β ) de la última ecuación y sustituir sen(β ) en la anterior.

Tenemos pues que cosβ=a2+c2−b2

2ac, y que sen2 β=1−cos2β entonces:

senβ=√1−(a2+c2−b2)2

4a2c2 O lo que es lo mismo senβ=√ 4a2c2−(a2+c2−b2)2

4a2 c2

Teniendo en cuenta que el numerador es una diferencia de cuadrados y el denominador un cuadrado, obtenemos que:

Senβ=√[2ac−(a2+c2−b2)] [2ac+(a2+c2−b2)]2ac

=√[b2−(a−c)2 ] [(a+c )2−b2 ]2ac

Sustituyendo ahora en la fórmula del área, tenemos que:

A=√[b2−(a−c)2 ] [(a+c)2−b2 ]4

Y utilizando de nuevo la descomposición de la diferencia de cuadrados como suma por diferencia, nos queda:

A=√(b+a−c )(b−a+c )(a+c+b)(a+c−b)4

Finalmente, introducimos el 4 dentro de la raíz quedando 16, y si observamos que b+a−c2

= s−c2

, y que b−a+c2

= s−a2

y así sucesivamente, llegamos a la formula final:

A=√s (s−a)(s−b)(s−c )

Hallar cuantas veces mayor será la aceleración normal de un punto que se encuentra en la llanta de una rueda que gira, cuando el vector aceleración total de este punto forma un angulo de 60o con su vector velocidad lineal.

Un arco de parábola PQ gira alrededor de su eje y. Hallar la coordenada RS del centro de gravedad del cuerpo de revolución así obtenido.