Fisica- Alonso 2

8/17/2019 Fisica- Alonso 2

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viii Prólogo a la edición en español

r eg iona l i smos ;

en

segundo lu gar , p o rque

ia

termmo.ogia ííska c a s t e l l a n a t o d a v í a

no

se ha

a s e n t a d o ,

en

p a r t e

por la

inf luencia

va-mbie que han

t e n i d o

las

t e r m i

nologías f rancesa

e

i t a l i a n a

y ia

terminología inglesa

y

en. parte

por el

insuficiente

desar ro l lo

de la

física er¡

¡os

países

de

hab la cas te üana . Oreemos habe r p rese n tad o

u n a

terminología de uso

bas tan te gen?ra< ;

no

d i s t a n t e ,

se

p u e d e

tomar como una

p r o p u e s t a p a r a

que sea

cons iderada den t ro

del

programa

de

n o r m a l i z a c ió n de

t e r m i n o l o g í a

que

t i e n e

el

C e n t r o L a t i n o a m e r i c a n o de F ís ica . Queremos ,

sin em

bargo , in s i s t i r

en, dos

casos ; hem os u sado

torque

p a r a

designa,'- el

m o m e n t o

de una

fuerza po rque

es la

p a l a b r a más simple p a r a reemplazar

ios

d i v e rs o s n o m b r e s

que

se har : usado para este concepto

y

poruue- contribuye

a

la in te rnac iona l izac ión

de

l a te rmino log ía . O t r a innovac ión

es

mominiuní:

ios

t r adu c to re s f r anceses

de

Newton

pretirieren

la

des ignac ión car tes iana

tic

c a n t i d a d de m o v i m i e n t o , q u e t a m b i é n t u v o

acep tac ión genera l

en

i ta l iano

y

en eas ie l lano .

Sin

e m b a r g o ,

su uso

r esu l tó incon

v e n i e n t e

por su

long i tud y p o r q u e

en

mu chos t r a t am ien tos teó r icos e l concep to no

es tá d i r ec tamen te r e lac ionado

con el

m o v i m i e n t o.

A fin de

s implif icar

y

con t r ibu i r

a

la

in te rnac iona l izac ión

de

'a leniiiuolouía hemos p re fe r ido momentum.

Estamos consc ien tes

de

h a b e r

lograd,,

una

iradueción a c e p t a b l e . E s t o lia sido

posib le gracias

a la

c o l a b o r a c i ó n de físic;,¿ de distintas p r o c e d e n c i a s

que

t r a b a j a n

en el

D e p a r t a m e n t o

de

Fís ica

de ia Universidad de

O r i e n t e ,

a la de

mu cho s f ísicos

de- d i f e r en tes par tes

de

L a t i n o a m é r i c a q u e hemos c o n s u l t a d o

y a la del Dr.

Marcelo

Alonso . Queremos tamb ién man i f es ta r nues t ro agradecimiento

a la

esposa

de uno

de nosotros (C.

A. H.) por su

a y u d a

en

i n n ú m e r a s t a r e a s s e c r e t a r i a l e s

y en la

r ev i

sión

de

t o d o

el

m a n u s c r i t o ,

lo

c u a l r e d u n d ó

en una

mejo r p r esen ta c ión

del

t e x t o ,

p r i n c i p a l m e n t e

por la

sup res ión

de

mu chos ang l ic i smos , ga l ic i smos

y

b a r b a r i s m o s .

Cumaná C A R L O S A L B E R T O H E R A S

(unió

de 1970

J O S é

A.

B A R R E T O

A R A U J O



Versión en español de:

CARLOS ALBERTO HERAS

Coordinador Científico

Universidad de Oriente, Venezuela

y

JOSÉ A. BARRETO ARAUJO

Departamento de Física

Universidad de Oriente, Venezuela

Con la colaboración de:

ROMULO E. BALLESTERO

Facultad de Ciencias y Letras

Universidad de C osta Rica



FÍSICA

VOLUMEN II: CAMPOS Y ONDAS



FÍSICA

VOLUMEN II: CAMPOS Y O NDAS

MARCELO ALONSO

Departamento de Física, Universidad de Georgetown

Washington, D. C.

Departamento de Asuntos Científicos, Organización de los Estados Am ericanos

EDWARD J.

FINN

Departamento de Física, Universidad de Georgetown

Washington, D. C.

F ONDO EDU C ATIVO INTER AMER IC ANO, S . A .

Bogotá - Caracas - México - Panamá - San Juan - Santiago - Sao Paj¡:>



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obra inglesa titulada

Fundamenta* ."".•••:• .••".•- ••/

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and Wi.mfs,

por • • :. Fii,;, edición de 1967,

fublic-.ica p'íi .-"¡dií's; Wesk; P¡;

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:

-:;¡ng Cornpany. Reading.

Mass . CE UU. Ettz odjci-:»n -a español

c?.

¡a única autorizada.

© 1970

por F ONDO EPUCATWO I N T E B A M E R I C A ^ O ,

S. A.

T o d o s

ios

de rechos han s ido re se rvados . Ni e s te l ib ro n i pa r te de é l pueden s e r

reproducidos

en fo rm a

algum

si n

ei

pcrtü iso escri to

de

su

editor.

P r i n t e d i n t h e

U n i t e d States o í

A n i c i c ñ .

Impreso cu los E.U.Á. Tarje a de l ca tá logo de l a B ib l io

t e c a

d ü

Congreso de

IOí: E E .

U U . : 7 4 - 1 2 3 ^ 1 9 .



PROLOGO A LA

EDICIÓN

EN ESPAÑOL

Uno de nosotros (J. A. B.), aprovechando la flexibilidad proporcionada po í el

carácter experimental de la Universidad de Oriente, había comenzado a reestruc

turar el programa de física general y a experimentar con él a fin de hacerlo más

moderno e interesante para los estudiantes . Este trabajo

fue

completado por ambos

traductores a principios de 1967 con la colaboración de algunos colegas. Se iba a

utilizar en cursos básicos comunes a todos los estudiantes de ingeniería y de ciencias

(incluyendo los del área biológica). La dificultad para ponerlo en práctica era la

falta de un texto apropiado, lo cual exigiría de los profesores del departamento

un esfuerzo de asimilación de textos tales como Th e

Feynman Lectures on

Physics.

Fue entonces cuando llegó a nuestras manos el volumen I y poco después el II

de esta serie de física fundam ental unive rsitaria. L a ado pta mo s como text o guía

del curso de física general, conscientes de los inconvenientes pedagógicos que implica

utilizar a este nivel un libro en otro idioma. Felizmente, el libro, particularmente

este volumen II, resultó incitante no sólo para los estudiantes sino también para

los profesores. El resultado fue un aumento sustancial en el rendimiento estudiantil,

tradicionalmente bajo, especialmente en el primer semestre del curso.

Una de las ventajas que hemos encontrado en esta serie es que su nivel no es

uniforme. Mediante una selección adecuada de temas, ejemplos y problemas, se

puede conseguir diversos niveles efectivos. Entendemos que esto será de suma

utilidad en la América latina, ya que se podrá adaptar el libro a los niveles de

enseñanza tan disímiles en la región.

El volumen II es particularmente revolucionario, tanto por el enfoque como

por el contenido: la reducción del espacio dedicado a los campos estáticos a sus

justas proporciones, la posposición del estudio de circuitos a problemas (lo que

realmente son), el tratamiento unificado de las ondas, que permite un estudio razo

nable de las ondas electromagnéticas (sobre las cuales se basa gran parte de lascomodidades que la civilización actual ha puesto a nuestro alrededor). La intro

ducción del concepto de fotón a esta altura nos parece sumamente útil, pues una

vez que el estudiante se convence de que los rayos gamma, los X, la luz y las ondas

de radio son de la misma naturaleza, la pregunta invariable es ¿por qué, entonces,

algunas de estas ondas pueden ser dañinas y otras ni las sentimos?

El trabajo de traducción ha sido a la vez un placer y un estímulo. Un placer

por la claridad y la concisión del lenguaje utilizado en el original — ap art e de los

hallazgos didácticos; sólo introdujimos algunos cambios menores respecto al ori

ginal cuando consideramos que ello redundaba en mayor precisión o claridad.

El lector sabrá disculpar los defectos idiomáticos que pueda hallar: consideramos

que poner al alcance de los lectores de habla castellana un texto de alta calidad

en la materia era más urgente que lograr un castellano perfecto. La traducción

fue además estimulante, en primer lugar, porque dada el área de difusión que

tendría la presente edición en castellano, debíamos evitar en lo posible el uso de



PROLOGO

La física es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las

otras ciencias. Por consiguiente, no sólo los estudiantes de física e ingeniería, sino

todo aquel que piense seguir una carrera científica (biología, química y matemática)

debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales .

El propósito primario de un curso de física general (y quizá la única razón para

que aparezca en el plan de estudios) es dar al estudiante una visión unificada de

la física. Se debería hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sólo, los

principios básicos, sus implicaciones y sus limitaciones. El estudiante aprenderá

aplicaciones específicas en cursos más avanzados. Así, este libro presenta las ideas

que creemos fundamentales y que constituyen el corazón de la-física de hoy. Hemos

tenido en cuenta cuidadosamente las recomendaciones de la

Comission

on

College

Physics (Comisión de Física para Universitarios) para escoger los temas y el método

de presentación.

Hasta no hace mucho tiempo, la física se venía enseñando como si fuera un

conglomerado de varias ciencias más o menos relacionadas, pero sin un punto de

vis ta realmente unitario. La divis ión tradicional (en "ciencias"): mecánica, calor ,

sonido, óptica, electromagnetismo y física moderna no se justifica al presente.

Nos hemos apartado de este enfoque tradicional. En su lugar seguimos una presen

tación lógica unificada, haciendo énfasis en las leyes de conservación, en los con

ceptos de campos y de ondas y en el punto de vista atómico de la materia. La teoría

de la relatividad especial se usa sistemáticamente en el texto como uno de los

principios guía que debe satisfacer cualquier teoría física.

El curso se ha dividido en cinco partes: (1) Mecánica, (2) Interacciones y Campos,

(3) Ondas, (4) Física cuántica y (5) Física estadística. Comenzamos por la mecánica

con el fin de establecer los principios fundamentales necesarios para descubrir los

movimientos que observamos a nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenó

menos naturales son el resultado de interacciones y éstas se analizan en función

de campos, en la parte (2) consideramos las clases de interacciones que compren

demos mejor: la gravitacional y la electromagnética, responsables de muchos de

los fenómenos macroscópicos que observamos. Estudiamos detalladamente el elec

tromagnetismo, concluyendo con la formulación de las ecuaciones de Maxwell.

En la parte (3) discutimos los fenómenos ondulatorios como consecuencia del con

cepto de campo. Es aquí donde incluimos gran parte del material que generalmente

aparece bajo los títulos de óptica y de acústica. Sin embargo, se ha puesto énfasis

en las ondas electromagnéticas como extensión lógica de las ecuaciones de Maxwell.

En la parte (4) analizamos la estructura de la m ateria — á tomos, moléculas , núcleos

y partículas fundamentales —, análisis que está precedido de las bases necesarias

de la mecánica cuántica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedades de

la materia en conjunto. Comenzamos presentando los principios de la mecánica

estadística y los aplicamos a algunos casos simples pero fund am enta les. E stud iam os



x Prólogo

l a te rmod inámica desde e l pun to de v is ta de la mecán ica es tad ís t ica y conc lu imos

con

un cap i tu lo sob re las p rop iedades té rmicas de

ía

m a t e r i a , d e m o s t r a n d o c ó m o

se aplican los p r inc ip io s de la mecán ica es tad ís t ica y de la t e r m o d i n á m i c a .

Este l ibro es novedoso no sólo en su enfoque s ino también en su contenido, ya

que hemos inc lu ido a lgunos tóp icos fundamen ta les que no se encuen t r an en la

mayor ía de lo s tex to s de f í s ica genera l y hemos de jado de lado o t ro s que son t r a

d icionales . La matemática u sada se puede encon t r a r en cua lqu ie r l ib ro de aná l i s i s

m a t e m á t i c o . S u p o n e m o s q u e l o s e s t u d i a n t e s p o s e e n c o n o c i m i e n t o s m í n i m o s d e a n á

l i s i s matemát ico y es tán , a la vez , tomando un cu r so sob re es te tema. Muchas

ap l icac iones de lo s p r inc ip io s fundamen ta les , as í como tamb ién a lgunos tóp icos un

poco más avanzados , aparecen en fo rma de e jemp los r esue l to s . Según la conve

niencia del profesor , és tos se pueden discutir o proponer conforme a cier ta selección,

lo cual perm ite un a ma yo r f lexib ilidad en la organización del curso .

Los p lanes de es tud ios de todas las c ienc ias es tán somet idos a p res iones para

que inco rpo ren nuevos tóp icos que es tán cob rando mayor impor tanc ia . Esperamos

que este l ibro r . l iv ie es tas presiones, elevando en el es tudiante el n ivel de compren

s ión de lo s concep tos f í s icos y la hab i l idad para man ipu la r las co r r espond ien tes

r e lac iones matemát icas . Es to permi t i r á e levar e l n ive l de muchos de lo s cu r sos

in termedios que se ofrecen en los p lanes de estudio de pregrado. Los cursos tradi

c iona les de p reg rado : mecán ica , e lec t romagnet i smo y f í s ica moderna , son lo s que

más se benef ician con esta alza de n ive l . As í . e l es tud ian te te rminará su car r e r a

con conocimientos super iores a los de

a n t e s ,

benef ic io muy impor tan te para aque l lo s

qu e f ina l icen sus es tud ios a es ta a l tu r a . Además , hab rá aho ra más opo r tun idad para

hacer cu r sos nuevos y

más

in te r esan tes en e l pos tg rado . Es ta misma tendenc ia se

e n c u e n t r a e n ¡os tex to s bás icos más r ec ien tes de oirás c ienc ias para lo s p r imeros

y segundos años un iver s i ta r io s .

E l tex to es tá conceb ido para un cu r so de t r es semes t r es . También se puede u sar

en aquellas escuelas en las que se enseña un curso de f ís ica

general

de dos semes t r es

segu ido de un semes t r e de f í s ica moderna , o f r ec iendo as í una p resen tac ión más

unif icada a lo largo de los tres semestres . Por conveniencia, el texto se ha d iv id ido

en t r es vo lúmenes co r r espond iendo cada uno , grosso modo, a un semes t r e . E l vo lu

me n í t r a ta de ia mecá n ica y la in te r acc ió n g rav i t ac io na l . E l vo lum en I I es tu d ia

ias in te r acc iones e lec t romagnét icas y las ondas , cub r iendo esenc ia lmen te lo s cu r sos

de e lec t romagnet i smo y óp t ica . La f í s ica cuán t ica y la f í s ica es tad ís t ica , inc luyendo

la te rmod inámica , se es tud ian en e l vo lumen I I I , Á pesar de que los tres volúmenes

están estrechamente r e lac ionados y forman un tex to ún ico , cada uno puede se r

cons iderado en s í mismo como un tex to in t roduc to r io . En par t icu la r io s vo lúme

nes I y II equivalen a un curso de física general de dos

semestres

que

cubre

la física

no cuán t ica .

Esperamos que es te tex to ayude a ios educado res p rog res i s tas , qu ienes cons tan

temen te se p reocupan po r mejo rar lo s cu r sos que d ic tan ; esperamos , tamb ién , que

e s t i m u l e

a

lo s es tud ian tes , qu ienes

mere.-en

u n a

presentación

de la f ís ica más ma

dura que la de los cursos tradicionales .

Queremos

exp resar nues t r a g ra t i tud a todos aque l lo s que po r su es t ímu lo y ayuda

h ic ie ron pos ib le ia cu lminac ión de es te t r aba jo . Nues t ro r econoc imien to a lo s d is

t ingu idos co legas , en particular, a lo s P ro feso res D . Lazarus y H . S . R ober t son ,

qu ienes leyeron e l manuscr i to o r ig ina l : su s comen tar io s y c r í t i cas permi t ie ron

co r r eg i r y mejo rar muchos aspec to s de l tex to . Agradecemos , además , la ap t i tud

y dedicación del personal de la editor ial

A d d i s o n - W e s l e y .

Po r ú l t imo , pero no con

menos ca lo r , damos s inceramen te las g r ac ias a nues t r as esposas , qu ienes nos han

a p o y a d o p a c i e n t e m e n t e .

M. A.

Washington, D. C. E. J . F .



ADVERTENCIA AL PRO FESO R

C o n e l f i n d e a y u d a r a l p r o f e s o r a o r g a n i z a r s u c u r s o , p r e s e n t a m o s u n a b r e v e r e s e ñ a

d e e s t e v o l u m e n y a l g u n a s s u g e r e n c i a s s o b r e l o s c o n c e p t o s i m p o r t a n t e s d e c a d a

cap í tu lo . Com o se d i jo en e l p ró logo , e s te curso de f í s i ca s e ha desa r ro l l ado en fo rm a

i n t e g r a d a d e m o d o q u e e l e s t u d i a n t e p u e d a r e c o n o c e r f á c i l m e n t e las p o c a s i d e a s

bás icas en que s e funda l a f í s i ca (por e jem plo , l a s l eyes de conse rvac ión y e l hecho

de

que e s pos ib le reduc i r los fenóm enos f í s icos a in te racc ion es en t r e pa r t í c u la s fun

d a m e n t a l e s ) . E l e s t u d i a n t e d e b e r í a d a r s e c u e n t a d e q u e p a r a l l e g a r a s e r f í s i c o o

i n g e n i e r o d e b e a l c a n z a r u n a c o m p r e n s i ó n c l a r a d e e s t a s i d e a s y d e s a r r o l l a r l a h a b i

l i d a d p a r a m a n e j a r l a s .

L o s t e m a s b á s i c o s c o n s t i t u y e n e l c u e r p o d e l t e x t o . M u c h o s e j e m p l o s h a n s i d o

i n c l u i d o s e n c a d a c a p í t u l o ; a l g u n o s s o n s i m p l e s a p l i c a c i o n e s n u m é r i c a s d e l a t e o r í a

q u e s e es t á d i s c u t i e n d o , m i e n t r a s q u e o t r o s s o n r e a l m e n t e e x t e n s i o n e s d e l a t e o r í a o ,

d e d u c c i o n e s m a t e m á t i c a s . S e r e c o m i e n d a a c o n s e j a r a l e s t u d i a n t e q u e e n l a p r i m e r a

l e c t u r a d e u n c a p í t u l o o m i t a

todos

l o s e j e m p l o s . L u e g o , e n u n a s e g u n d a l e c t u r a ,

q u e e x a m i n e l o s e j e m p l o s s u g e r i d o s p o r e l p r o f e s o r . D e e s t a m a n e r a e l e s t u d i a n t e

c o m p r e n d e r á s e p a r a d a m e n t e l a s i d e a s b á s i c a s y s u s a p l i c a c i o n e s o e x t e n s i o n e s .

Hay una s ecc ión de p rob lem as a l f ina l de cada cap í tu lo . Algunos son m ás d i f í c i l e s

q u e e l t é r m i n o m e d i o d e l o s p r o b l e m a s d e f í s i c a g e n e r a l y o t r o s s o n e x t r e m a d a m e n t e

s i m p l e s . E s t á n d i s p u e s t o s e n u n o r d e n q u e c o r r e s p o n d e a p r o x i m a d a m e n t e a l d e

la s s ecc iones de l cap í tu lo , hab iendo a lgunos p rob lem as m ás d i f í c i l e s a l f ina l . E l g ran

n ú m e r o y l a v a r i e d a d d e l o s p r o b l e m a s d a n a l i n s t r u c t o r m a y o r l i b e r t a d d e e l e c c i ó n

e n l a a d e c u a c i ó n d e l o s p r o b l e m a s a l a s a p t i t u d e s d e s u s e s t u d i a n t e s .

S uger im os a l p rofesor que e s tab lezca una b ib l io teca de re se rva basada en e l

m a te r i a l b ib l iográ f ico qu e se en um era a l f inal de cad a cap í tu lo y qu e inc i t e a l

e s tud ian te a usa r la pa ra desa r ro l l a r e l háb i to de ve r i f i ca r l a s fuen te s , con lo que

o b t e n d r á m á s d e u n a i n t e r p r e t a c i ó n d e u n t ó p i c o d a d o y a d q u i r i r á i n f o r m a c i ó n

h is tó r ica ace rca de l a f í s i ca .

E s t e v o l u m e n e s t á c o n c e b i d o p a r a c u b r i r e l s e g u n d o s e m e s t r e . C o m o g u í a h e m o s

suge r ido , sobre l a base de nues t ra p rop ia expe r ienc ia , e l núm ero de horas de c la se

q u e s e n e c e s i t a p a r a c u b r i r c ó m o d a m e n t e e l m a t e r i a l . E l t i e m p o i n d i c a d o ( 4 3 h o r a s

de c la se ) no inc luye e l des t inado a d i s cus iones , re so luc ión de p rob lem as y eva luac ión .

Hacemos

a c o n t i n u a c i ó n u n b r e v e c o m e n t a r i o s o b r e c a d a c a p í t u l o .

P A R T E 2 . I N T E R A C C I O N E S ¥ C AM P O S

L a P a r t e 2 s e o c u p a d e l a s i n t e r a c c i o n e s e l e c t r o m a g n é t i c a s , q u e s e d e s a r r o l l a n e n

los cap í tu los 14 a 17 (en e l cap í tu lo 13 de l vo lum en I s e p resen tó l a in te racc ión

t frav it ac ional ). Es tos cua t ro cap í tu los con s t i tu yen un a in t rod uc c ió n a l e lec t ro m a g

n e t i s m o , e x c l u y e n d o l a s o n d a s e l e c t r o m a g n é t i c a s y l a r a d i a c i ó n , q u e s e e s t u d i a n

e n l a P a r t e 3 . E n l o s c a p í t u l o s 1 4 y 1 5 s e i n t r o d u c e n a l g u n o s c o n c e p t o s c u á n t i c o s ,



tales como ¡a

cuantificación

de la energía y del

rnomentum

angu la r . En e l vo lu

m e n I I I e s t o s t ó p i c o s s e r á n d i s c u t i d o s m á s e x t e n s a m e n t e .

Capitulo 14 . Interacción eléctrico. (4 ho/as)

Este cap i tu lo se concnitva PU >a nv-•.••••: >• ••>

••>:;

pri-iku'a su je ta a la in te r acc ión

coulomb'ana

y considera

ía r^t-i"-?---.- • ••>

¡.r

••.-'•

tíe la

m a t e r i a .

Se puede omi t i r l a

seceso? I- 12 (que t-at:: de muHif ¡:. . ''ctrii o.s de ord en sup eri or) .

Ctpí'Ue

1 í .

í,-':;"-jcavn

magnífica

(4 hor as)

La ..¡mirra

par te de es te cap í tu lo in t roduce en fo rma d inámica e l concep to de

CJ- .J Jü magnético y es tud ia e l mov imien to de una par t ícu la ca rgada en un campo

magnét ico . E i pun to cu lminan te se a lcanza hac ia e l f ina l de l cap í tu lo

con

una d is

cus ión de ia t r ans fo rmación de Lorentz de l campo e lec t romagnét ico y una r ev is ión

del p r inc ip io de conservac ión de i momen tum. El p ro feso r deberá hacer h incap ié

en es ta par te de l cap i tu lo .

Capitu lo 16.

Campos electromagnéticos estáticos

(5 horas)

En es te cap í tu lo se in t roducen varios conceptos i m p o r t a n t e s p e r o h a y d o s o b j e t i v o s

p r inc ipa les que «1 profesor d<;be tener p r esen tes . Uno es comenzar un desar ro l lo

ele la teoría genera d e ' campo e lec t romagnét ico ( leyes de Gauss y do Ampére) y

F-i

o t ro es r e lac ion ar las p rop ie dades

electromagnéticas

de la mater ia en con jun to

con ia es t ruc tu ra a tómica de la misma. Se ha r e legado a un p lano secundar io den t ro

«'.el

tex to , t emas ta les como e l de capac i to res y c i r cu i to s

CC,

pero se les p r es ta mayor

a tenc ión en lo s p rob lemas de l f ina l de l cap í tu lo .

Capítu lo 17. Campo s electromagnéticos dependientes del tiempo (4 horas)

La fo rmu lac ión de las ecuac iones de Maxwel l es e l t ema p r inc ipa l de es te cap í tu lo .

E te m a de c i r cu i to s C A só lo se d iscu te de paso en e l t ex to , aun que h ay mu cho s

buenos e jemp los r esue l to s y p rob lemas a l f ina l de l cap í tu lo para ayudar a l es tu

d i a n t e a a d q u i r i r c i e r t a h a b i l i d a d p a r a m a n e j a r d i c h o s c i r c u i t o s . E s i m p o r t a n t e

que e l es tud ian te se dé cuen ta de que las ecuac iones de Maxwel l p roveen una des

c r ipc ión compacta de l campo e lec t romagnét ico y que i lu s t r an la es t r echa r e lac ión

q u e e x i s t e e n t r e l a s p a r t e s

£

y

T8

de es te cam po .

PA R T E 3 . ONDAS

L a P a r t e 1 d i o a l e s t u d i a n t e u n a d e s c r i p c i ó n " p a r t i c u l a t o r i a " d e l o s f e n ó m e n o s

n a t u r a l e s . A h o r a , p r e s e n t a m o s e n i a P a r t e 3 l a d e s c r i p c i ó n " o n d u l a t o r i a " c o m p l e me n ta r ia de, lo s mism os , basada en el concep to de cam po , ya in t rod uc ido .en la

Par te 2 . Las ideas que hab i tua lmen te se es tud ian ba jo lo s t í tu lo s de acús t ica y de

óp t ica es tán cons iderados aqu í en fo rma in teg rada .

Capitu lo 18. Movimiento ondulatorio (5 hor as)

E s t e c a p í t u l o c o n s i d e r a e l m o v i m i e n t o o n d u l a t o r i o e n g e n e r a l , d e t e r m i n a n d o e n c a d a

caso sus p rop iedades espec í f icas a par t i r de las ecuac iones de campo que descr iben una

s i tuac ión f í s ica de te rminada , de modo que no es necesar io r ecu r r i r a la imagen

mecán ica de mo lécu las mov iéndose hac ia a r r iba y hac ia aba jo . Dos ideas son fun

d a m e n t a l e s : u n a e s c o m p r e n d e r l a e c u a c i ó n d e o n d a ; l a o t r a e s e n t e n d e r q u e u n a

o n d a t r a n s p o r t a t a n t o e n e r g í a como m o m e n t u m .

Capítu lo

19 .

Ondas electromagnéticas (5 hora s)

Presentamos aqu í las ondas e lec t romagnét icas p red ichas po r las ecuac iones de

Maxwell , por io que el es tudiante debe entender a fondo las secciones 19.2 y 19.3 .



Advertencia al profesor xiii

E s t e c a p í t u l o t a m b i é n c o n s i d e r a lo s m e c a n i s m o s d e r a d i a c i ó n y a b s o r c i ó n . I n t r o d u c e

además e l concep to impor tan te de fo tón como r esu l tado na tu ra l r ie l hecho de que

l a s o n d a s e l e c t r o m a g n é t i c a s t r a n s p o r t a n e n e r g í a y momentum y de , que es tas p ro

p iedades f í s icas es tán r e lac ionadas po r la ecuac ión E — cp. T a m b i é n s e d i s c u t e

b r e v e m e n t e l a s t r a n s i c i o n e s r a d i a t i v a s e n t r e e s t a d o s e s t a c i o n a r i o s .

Capítu lo 20. Reflexión, refracción, polarización (4 ho ra s )

L o s t e x t o s e l e m e n t a l e s r e c u r r e n tradicionalmente a l p r i n c i p i o d e H u y g e n s p a r a

es tud ia r la r e f lex ión y la r e f r acc ión , aunque e l p r inc ip io que u san r ea lmen te es e l

teo rema de Malus . Lo novedoso de es te cap í tu lo es que encara es te hecho . Se puede

omi t i r l as secc iones 20 .8 a 20 .13 s in perder la con t inu idad de l desar ro l lo .

C ap í tu lo 21 . Geometría de las ondas (3 horas)

S e p u e d e o m i t i r t o t a l m e n t e e s t e c a p i t u l o q u e e n c i e r t o s e n t i d o s e o c u p a r e a l m e n t e

de la óp t ica geométr ica . De todos modos , e l p ro feso r debe hacer r esa l ta r que e l

mater ia l de es te cap í tu lo no só lo se ap l ica a ondas lumín icas s ino tamb ién a ondas

en genera l . La convenc ión de s ignos ad op tad a es la mi sm a que la de Optics, p o r

B orn y Wolf, Pergamon Press , 1965 .

Capítu lo 22 . Interferencia (3 hora s)

E n e s t e c a p í t u l o s e u s a s i s t e m á t i c a m e n t e e l m é t o d o d e l o s v e c t o r e s r o t a n t e s . P u e d e

resu l ta r p rovechoso que e l es tud ian te r e lea las secc iones 12 .7 , 12 .8 y 12 .9 de l vo

lumen I . E l concep to de gu ía de onda que aqu í se da es tan impor tan te que no se

debe omi t i r .

Capítulo

2 3 .

Difracción

(3 ho ras )

Es te cap í tu lo depende es t r echamen te de l an te r io r po r lo que e l p ro feso r debe con

s idera r lo s en con jun to . En es te cap í tu lo , como en e l an te r io r , hemos t r a tado de

separar lo s pasos a lgeb ra icos de l r es to de l mate r ia l para que e l in s t ruc to r pueda

omitir los s i as í lo desea.

Capítu lo 24 . Fenómeno s de transporte (3 hora s)

La impor tanc ia de lo s f enómenos de t r anspo r te es tá b ien r econoc ida , ya que lo s

mismos t ienen muchas ap l icac iones en f í s ica , qu ímica , b io log ía e ingen ie r ía . Es te

c a p í t u l o c o n s t i t u y e u n a i n t r o d u c c i ó n b r e v e y c o o r d i n a d a a e s t o s f e n ó m e n o s , d a n d o

tam bié n a l es t ud ia n te u na idea , sob re o t ro s t ipos de p ropag ac ió n de cam pos . S i e l

p ro feso r es tá p r es ionado po r e l t i empo , puede encarar es te cap í tu lo como ta r ea

so lamen te y omi t i r lo s e jemp los y p rob lemas .

E s t e e s e l m o m e n t o o p o r t u n o p a r a c o n c l u i r el s e g u n d o s e m e s t r e . A e s t a a l t u r a

e l es tud ian te deberá tener una comprens ión só l ida de la f í s ica no cuán t ica , y además

haber ap rehend ido las ideas de fo tón y de

cuantiflcación

de la energ ía y de l mo

men tum angu la r . E l te r cer semes t r e es ta r á ded icado a la f í s ica cuán t ica y a la

f í s ica es tad ís t ica , que se p resen ta r án como r e f inamien to de lo s concep tos f í s icos a l

n ive l de lo muy pequeño (o microscóp ico ) y a l n ive l de lo muy g rande (o macros

cópico) .

E l apénd ice matemát ico que se encuen t r a a l f ina l de l l ib ro sumin is t r a una r e f e

r enc ia r áp ida a las fó rmu las de uso má s f r ecuen tes en e l t ex to y a a lgun as in fo rm a

c iones ú t i les . Po r conven ienc ia , a lguna s fó rmu las r e lac ionad as con la t r an s fo rm a

c ión de Loren tz han s ido ag regadas . Las mismas fueron deduc idas en el v o l u m e n 1.





ADVERTENCIA AL ESTUDIANTE

Es este un libro sobre los fundamentos de la física para estudiantes que siguen

carreras científicas o ingeniería. Los conceptos e ideas que aprenda en él entrarán,

muy probablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar.

Cdanto mejor ios comprenda tanto más fácil le resultará el resto de su educación

superior.

En este

curso-

debe estar preparado para abordar numerosos problem as a rduos.

El aprender las leyes y técnicas de la física puede ser, & veces, un proceso lento

y doloroso. Antes de que entre en esas regiones de la física que excitan su imagi

nación, usted debe dominar otras menos llamativas pero muy fundamentales, sin

las

cuales

no puede utilizar o comprender la física en forma apropiada.

Ud. deberá mantener dos objetivos principales al tomar es te curso . P r imero:

familiarizarse completamente con el puñado de leyes y principios básicos que cons

tituyen la columna vertebral de la física. Segundo: desarrollar la habilidad de

manejar

estas ideas y aplicarlas a situaciones concretas; en otras palabras, la habi

lidad de pensar y actuar como físico. El primer objetivo lo puede alcanzar prin

cipalmente leyendo y releyendo aquellas secciones impresas en cuerpo grande.

Pura ayudarlo a alcanzar el segundo objetivo hay a ío largo del texto, en letra

pequeña, muchos ejemplos resueltos y están los problemas para resolver en casa

al final de cada capítulo. Recomendamos'encarecidamente que lea primero el texto

principal y una vez familiarizado con él, prosiga con los ejemplos y problemas

asignados por el profesor. En

algunos

casos los ejemplos ilustran una aplicación

de la teoría a una situación concreta, en otros amplían la teoría considerando nuevos

aspectos del problema en discusión; a veces suministran una justificación de la teoría.

Los problemas que están al final de cada capítulo tienen un grado variable de

uifienltad. Oscilan entre lo más simple y lo complejo. En general, es bueno tratar

de resolver un problema primero en forma simbólica o algebraica, introduciendo

al

.'¡nal

los valores numéricos. Si el problema que le han asignado no puede resol

verlo en un tiempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde. Para el

caso de aquellos pocos problemas

que

se resisten a ser resueltos, deberá procurar

ayuda. El libro How to Solve II (segunda edición), de G. Polya (Doubleday, Garden

City, N. Y., 1957) es una fuente de autoayuda que le enseñará el método de reso

lución de problemas.

La física es una ciencia cuantitativa que necesita de la matemática para la

expresión de sus ideas. Toda la matemática empleada en este libro se puede en

contrar en cualquier texto corriente de análisis matemático y deberá consultarlo

toda vez que no comprenda una deducción matemática. No deberá, de manera

alguna, sentirse desalentado ante una dificultad matemática; en caso de dificul

tades matemáticas , consulte a su profesor o a un estudiante más avanzado. Para

eí científico y el ingeniero la matemática es una herramienta y tiene importancia

secundaria en la comprensión de los conceptos físicos. Para su comodidad, se



xvi Advertencia al estudiante

enumera en un apéndice al f inal r iel l ibro alguna- ;

.;-.

la s

relaciones

m a t e m á t i c a s

más ú t i les .

Todos los cálcalos de la física se deben nevar ?.

cab; ,

utilizando un siste-ms com

pa t ib le de un idades . En es te l ib ro se emp lea

r shretna

M K S G .

Como dififre

un

poco de l s i s tema p rác t ico , pod rá encon t r a r lo ex t r año a l p r inc ip io . No obs tan te , se

r equ ie re un mínimo esfuerzo para familiar izarse con él . Además, es el s is tema

of ic ia lmen te ap robado para e l t r aba jo

científico

y

en

lo s Es tados Un idos

lo

usa

a ú n el National Bureau o/ Standards en s u s p u b l i c a c io n e s . S e a e x t r e m a d a m e n t e

cu idadoso en ver i f ica r la compat ib i l idad de las un idades en todos sus cálculos .

Es además una buena idea u t i l i za r la r eg la de cá lcu lo desde e l comienzo ; la p r e

cis ión a tres cif ras s ignif icativas de la más s imple de las reglas de cálculo le aho

r r a r á muchas ho ras de t r aba jo numér ico . S in embargo , en a lgunos casos , puede

que la regla de cálculo no le dé la precis ión necesar ia.

Al f inal de cada capítu lo se da una l is ta b ib liográf ica seleccionada. Consúltela

tan a menudo como sea pos ib le . A lgunos t r aba jo s ayudarán a en tender la idea

de la f ís ica como una ciencia en evolución, mientras que o tros ampliarán el mater ial

de t ex to . En par t icu la r encon t r a r á que e l l ib ro de Holton y R o l le r , Foundations

of

Modern Physics ( A d d i s o n - W e s l e y ,

R ead ing , Mass . , 1958 ) es par t icu la rmen te ú t i l

por la información que trae sobre la evolución de ideas en la f ís ica.



AGRADECIMIENTOS

Queremos e x p r e s a r n u e s t r o r e c o n o c i m i e n t o a l a s s i g u i e n t e s p e r s o n a s y o r g a n i z a

c i o n e s p o r s u a m a b i l i d a d a l p e r m i t i r n o s p u b l i c a r m a t e r i a l i l u s t r a t i v o d e s u p e r t e

n e n c i a : B r o o k h a v e n N a t i o n a l L a b o r a t o r y ( f i g u r a 1 5 - 6 ) ; G e n e r a l E l e c t r i c C o m p a n y

(f igura 17-5b) ; P rofesor Harvey

Fletcher

( fi g u ra 1 8 - 2 3 ) ; E d u c a t i o n a l S e r v i c e s ,

í n c o r p o r a t e d ( f i g u r a 1 8 - 3 7 a ) ; U . S . N a v a l O r d n a n c e L a b o r a t o r y , W h i t e O a k ,

Si lver Spring, Md. (f igura 18-37b);

Víbration an d

Sound, por P h i l ip M. Morse ,

McGraw-Hi l l Book Co . , 1948 ( f igura 22-26) ;

Ripple Tank

Studies

of

Waue

Motion,

con au tor izac ión de \V. L lowarch , The C la rendon P res s , Oxford , Ing la te r ra ( f i

gura 23-2) ; Principies of Optics, p o r H a r d y y P e r r i n , M c G r a w - H i l l B o o k C o . , 1 9 3 2

( f iguras 23-12 y 23-14b) ; y P rofesor B . E . Warren , de l

M . I . T ,

( f igura 23-42) . De

b e m o s e s p e c i a l a g r a d e c i m i e n t o a E d u c a t i o n a l S e r v i c e s ,

íncorporated

y a l P hys ica l

S c ience S tudy Com m it tee , de cuyo l ib ro

PSSC Physics,

D. C . H ea th and Co . , 1960 ,

hem os to m a do la s s igu ien te s f iguras: 9 -13a , 18-22 , 18-281), 20-6 b , 20-10 b ,

2 0 - l l b ,

20-16d y

e,

22-1 y 22-15.





ÍNDICE

Contratapas delanteras

Tabla periódica de los elementos ; constantes fundam entales

Contratapas traseras

Unidades y simbolos ; factores de conversión

Capítulo 14 Interac ción eléctrica

Introducción 457. Carga eléctrica 458. Ley de Coulomb 460. Cam

po eléctrico 462. La cuantización de la carga eléctrica 468. Estruc

tura eléctr ica de la ma teria 471. Estru ctura atómica 473. Poten cial

eléctrico 480. Relaciones energéticas en un campo eléctrico 484.

Corriente eléctrica 489. Dipolo eléctrico 491. Multipolos eléctricos

de orden superior 498.

Capítulo 15 Interacción magné tica

Introducción 512. Fuerza magnética sobre una carga en movi

miento 513. Movimiento de una carga en un campo magnético

516. Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo

magnético 523. Fuerza magnética sobre una corriente eléctr ica

530.

Torque magnético sobre una corriente eléctrica 532. Campo

magnético producido por una corriente cerrada 538. Campo magné

tico de una corriente rectilínea 539. Fuerzas entre corrientes 541.

Campo magnético de una corriente circular 544. Campo magnéticode una carga en movimiento (no relativis ta) 549. Electromagnetismo

y el principio de relatividad 551. Campo electromagnético de una

carga en movimiento 555. Interacción electromagnética entre dos

cargas en movimiento 560.

Capítulo 16 Campos electroma gnéticos estáticos

Introducción 577. Flujo de un campo vectorial 577. Ley de Gauss

para el campo eléctrico 579. Ley de Gauss en forma diferencial 584.

Polarización de la materia 587. Desplazamiento eléctrico 591.

Cálculo de la susceptibilidad eléctrica 593. Capacitancia ; capacito

res 600. Energía del campo eléctrico 603. Conductividad eléc

trica ; ley de

Ohm

606. Fuerza electromotriz 612. Ley de Ampére

para el campo magnético 616. Ley de Ampére en forma diferen-



xx índice

cial 621. Flujo magnético 623. Magnetización de la materia 623.

Campo magnetizante 625. Cálculo de

ia

susceptibilidad magnética

628. Resumen de las leyes de los campos estáticos 633.

Capítulo 17 Campos electromagnéticos dependientes del tiempo

Introducción 645. Ley de Faraday-Henry 645. El betatrón 648.

Inducción electromagnética debida al movimiento relativo de unconductor y un campo magnético 651. La inducción electromagné

tica y el principio de relatividad 654. Potencial eléctrico e inducción

electromagnética 655. Ley de Faraday-Henry en forma diferencial

655. Autoinducción 657. Energía del campo magnético 661. Osci

laciones eléctricas 664. Circuitos acoplados 670. Principio de con

servación de la carga 674. Ley de Ampére-Maxwell 675. Ley de

Ampére-Maxwell en forma diferencial 678. Ecuaciones de Max

well 680.

PAKTE 3

Capítulo 18

ONDAS

Molimiento

ondulatorio

Introducción 694. Descripción matemática de la propagación 695.

Análisis de Fourier del movimiento ondulatorio 699. Ecuación

diferencial del movimiento ondulatorio

701.

Ondas elásticas en una

barra 703. Ondas de presión en una columna de gas 707. Ondas

transversales en una cuerda 712. Ondas superficiales en un líquido

716.

¿Qué se propaga en un movimiento ondulatorio? 719. Ondas en

dos y tres dimensiones 722. Ondas esféricas en un fluido 727. Veloci

dad de. grupo 729. El efecto Do ppler 731. Sonido ; acús tica 7 35.

Capítulo 19 Ondas electrom agnéticas

Introducción 744. Ondas electromagnéticas planas 744. Energía y

momentum de una onda electromagnética 748. Radiación por un

dipolo eléctrico oscilante 752. Radiación por un dipolo magnético

oscilante 757. Radiación por multipolos oscilantes de orden supe

rior 761. Radiación por una carga acelerada 761. Absorción de

la radiación electromagnética 769. Difusión de ondas electromag

néticas por electrones ligados 770. Difusión de la radiación electro

ma gnética por un electrón libre ; eí efecto Com pton 772. Fotones

776.

Más sobre ¡os fotones : el efecto fotoeléctrico 780. Propaga

ción de ondas electroma gnéticas en la ma teria ; dispersión 782.

Efecto Doppler en las ondas electromagnéticas 786. Espectro de

la radiación electromagnética 791.

Capítulo 20 Reflexión, refracción, polarización

Introducción 802. Principio de Huygens 802. Teorema de Malus

804.

Reflexión

y refracción de ondas planas 806. Reflexión y refrac

ción de ondas esféricas 810. Más acerca de las leyes de la reflexión

y de la refracción 812. Reflexión y refracción de ondas electro

magnéticas 817. Propagación de ondas electromagnéticas en un

medio anisótropo 820, Dicroísmo 826, Doble refracción 827. Acti

vidad óptica 833. Reflexión y refracción en superficies metálicas

837. Propagación en un medio no homogéneo 838.



índice xxi

Capítulo 21 Geom etría de las ondas

Introducción 846. Reflexión en una superficie esférica 847. Refrac

ción en una superficie esférica 854. Lentes 858. Instrumentos ópt i

cos 863. El prisma 867. Dispersión de un medio 869. Aberración

cromática 872. Principio de Ferrnat del tiempo estacionario 875.

Capítulo 22 Interfere ncia

Introducción 887. Interferencia de ondas producidas por dos fuentes

sincrónicas 887. Interferencia de ondas producidas por varias fuen

tes sincrónicas 893. Ondas estacionarias en una dimensión 899.

Ondas estacionarias y la ecuación de onda 902. Ondas electro

magnéticas estacionarias 907. Ondas estacionarias en dos dimen

siones 910. Ondas estacionarias en tres dimensiones ; cavidades re

sonantes 915. Guías de onda 918.

Capítulo 23 Difracción

Introducción 932. Difracción de Fraunhofer por una rendija rectan

gular 933. Difracción de Fraunhofer por una abertura circular 939.

Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas iguales 941.

Redes de difracción 943. Difracción de Fresnel 947. Difusión de

ondas 954. Difusión de rayos X por cristales 954.

Capítulo 24 Fenómeno s de transporte

Introducción 967. Difusión molecular ; ley de Fick 967. Conducción

térmica ; ley de Fourier 974. Transporte con producción y absorción

982.

Viscosidad 984. Camino libre medio, frecuencia de colisión y

sección eficaz de colisión 988. Teoría molecular de los fenómenos

de transporte 992. Conclusión 995.

Apéndiee : Relaciones matem áticas ; Tablas A-3

Respuestas a los problemas con número impar A-17

índice alfabético A-29





PARTE 2

INTERACCIONES Y

CAMPOS

B.

Electromagnetismo



454

Una vez entendidas

las

reglas generales que gobiernan el movimiento,

el

paso

siguiente es investigar las interacciones responsables de dichos movimientos.

Hay varios tipos de interacciones. Una es la interacción

gravitacional

que se

manifiesta en el movimiento planetario y en el de la materia en conjunto. La

gravitación, a pesar de ser la más débil de todas las interacciones conocidas,

es la primera interacción estudiada cuidadosamente, debido al interés que el

hombre ha tenido desde la antigüedad en la astronomía y porque la gravitación

es responsable de muchos fenómenos que afectan directamente nuestra vida.

Otra es la interacción electromagnética, la mejor co mprendida y posiblemente la

más importante desde el punto de vis ta de

la

vida diaria. La mayoría de los

fenómenos que observamos a nuestro alrededor, incluyendo los procesos químicos

y biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticas entre átomos y

moléculas. Un tercer tipo es la interacción fuerte o nuclear, que es responsable

de que los protones y los neutrones (conocidos como nucleones) se mantengan

dentro del núcleo atómico, y de otros fenómenos relacionados. A pesar de la

investigación intensiva realizada, nuestro conocimiento de esta interacción es

aún incompleto. Un cuarto t ipo es

la

interacción débil, responsable de ciertos

procesos entre partículas fundamentales , tal como la desintegración beta. Nuestro

conocimiento de esta interacción es aún muy escaso. La intensidad relativa de

las interacciones nombradas es: fuerte, tomada como 1; electromagnética — 10~

2

;

débil ~

10 ~

5

;

gravitacional ~

10

-3 8

.

Uno de los problemas no resueltos de la

física es por qué parece haber sólo cuatro interacciones y por qué hay una dife

rencia tan grande en sus intensidades.

Es interesante ver lo que Isaac Newton decía hace 200 años acerca de las

interacciones:

¿No tienen acaso las pequeñas Partículas de los Cuerpos ciertos Poderes, o Fuerzas,

por medio de los cuales actúan...unas sobre otras para producir gran Parte de los

Fenómenos de la Naturaleza? Porque bien se sabe que los Cuerpos actúan unos

sobre otros por medio de las Atracciones de la Gravedad, Magnetismo, y Electri

cidad;...y

no lo tengáis por improbable sino que puede haber más Poderes atractivos

que éstos.... De cómo estas atracciones pueden ser realizadas, no lo considero aquí....

Las Atracciones de la Gravedad, del Magnetismo, y de la Electricidad, alcanzan

distancias muy apreciables,...y puede que haya otras que alcancen distancias tan

pequeñas que hasta ahora escapen a la observación;....

(Opiicks,

Libro III , Inda

gación 31)

Para describir es tas interacciones introducimos el concepto de campo. En ten

demos por campo una propiedad física extendida en una región del espacio y

descrita por medio de una función de la posición y el tiempo. Suponemos que

para cada interacción una partícula produce a su alrededor un campo corres

pondiente. Este campo actúa a su vez sobre una segunda partícula para producir

la interacción necesaria. La segunda

particula

produce su propio campo, el cual

actúa sobre la primera dando como resultado una interacción mutua.

Aunque se puede describir las interacciones por medio de campos, no todos

los campos corresponden a interacciones, hecho que está implícito en la defi

nición de campo. Por ejemplo, un meteorólogo puede expresar la presión y la

temperatura atmosféricas en función de la latitud y la longitud en la superficie

terrestre y

.ie

la altura sobre ésta.

"leñemos

entonces dos campos escalares: el



4óó

campo de presiones y el campo de temperaturas . En el movimiento de un f luido

su velocidad en cada punto constituye un campo vectorial . El concepto de campo

es entonces de gran utilidad general en la física.

En el capítulo 13 del volumen I se estudió la interacción grav itacio nal y el camp o

gravitacional. En los capítulos 14 a 17 de este volumen, consideraremos las inter

acciones electromagnéticas . Hablaremos del resto de las interacciones en el vo

lumen I I I .



14

INTERACCIÓN ELÉCTRICA

14.1

Introducción

14.2 Carga eléctrica

14.3 L ey de Coulomb

14.4 Campo eléctrico

14.5 La cuantización de la carga eléctrica

14.6 Estructura eléctrica de la materia

14.7 Estructura atómica

14.8 Potencial eléctrico

14.9 Relaciones energéticas en un campo eléctrico

14.10 Corriente eléctrica

14.11 Dipolo eléctrico

14.12 Muítipolos eléctricos de orden superior



14.1)

14.1 Introducción

Introducción

457

Consideremos un exper imento muy s imple . Supongamos que después de peinar

nuestro cabello un día muy seco a cercamos el peine a pedacitos l igeros de pape l :

observamos

que el

peine

los

atra e. Fenóm eno similar ocurre

si

f ro tamos

una

varilla

de

vidrio

con un

paño

de

seda

o una

varilla

de

á m b a r

con un

pedazo

de

piel. Podemos concluir

que,

como resultado

del

frotam iento, es tos mate riales

adquieren

una

nueva propiedad

que

l lamamos

electricidad (del

griego

elektron,

que significa ámbar), y que esta propiedad eléctrica da lugar a una in teracción

más fuerte que la gravitación. Hay, adem ás, varias otras diferencias fund am en

tales entre las interacciones eléctrica y gravitacional.

En primer lugar,

hay

so lamente

una

clase

de

in teracción gravi tac ional ,

que

da como resultado

una

atracción universal entr e

dos

masas cualesquiera ;

por el

contrario,

hay dos

clases

de

interacciones eléctr icas . Supon gam os

que

acercamos

una varil la de vidrio electr izada a una pequeña esfera de corcho suspendida de

un hilo. Vemos que la varil la atrae la esfera. Si repet imos el exper imento con

una varilla de ám bar electr izada, observam os el mismo efecto de a t racción . Sin

embargo , si ambas varil las se acercan a la es fera s imul táneamente , en lugar de

una mayor atracción, observamos una fuerza de a t racción menor o aún n inguna

atracción

de la

esfera (fig. 14-1). Estos experimentos s imples indican

que,

a u n q u e

ambas varil las electr izadas,

la de

vidrio

y la de

ámbar , a t r aen

la

bola

de

corcho,

lo hacen debido

a

procesos f ís icos opuestos . Cuando ambas varil las actúan s imul

t áneamen te ,

sus

acciones

se

contrar res tan produciendo

un

efecto menor

o

nulo .

Concluimos, entonces, que hay dos clases de estados de electr ización: uno que se

manifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el á m b a r . Al pr imero le l l amamos posi

tivo y al otro negativo.

V////////4//////////.

V///////W/////////,

^ '

Vidr io

00 (b) (c)

Fig. 14-1. Experime ntos con varillas de vidrio y ámbar electrizadas.

Supongamos , ahora , que tocamos dos esferas de corcho con una varilla de

vidrio electr izada. Podemos suponer que a m b a s se electr izan po sitivam ente.

Si las acercamos, observamos que se repelen (fig. 14-2a). El mismo resu l tado

se obtiene cuando tocamos las esferas con la varilla de ámbar e lec t r izada, de

modo

que

ambas

se

electricen neg ativ am ent e (fig. 14-2b). Sin embargo ,

si

tocamos



458

Interacción eléctrica

(14.2

una de ellas con la varilla de vidrio y la otra con ia de ámbar, de modo que una

adquiera electr icidad posit iva y la otra negativa, observamos que se atraen

(fig.

14-2c).

^m^^//f////////f///^m.

(a) (b) (c)

Fig.

14-2.

Interacciones eléctricas entre cargas de igual y de diferente signo.

Por consiguiente, mientras que la interacción gravitacional es siempre atrac

t iva, ia interacción eléctr ica puede ser atractiva o repulsiva.

Dos cuerpos con la misma clase de electrización (positiva o negativa)

se repelen, pero si tienen diferentes clases de electrización (una po

sitiva y la otra negativa), se atraen.

Este enunciado se i lustra esquemáticamente en la f ig. 14-3. Si la interacción

eléctr ica hubiera sido sólo repulsiva o sólo atractiva, probablemente nunca hu

biéramos observado la existencia de la gravitación porque la interacción eléctr ica

es más fuer te . Sin embargo, la mayoría de los cuerpos están compuestos de can

t idades iguales de electr icidad posit iva y negativa, de modo que la interacción

eléctr ica entre dos cuerpos macroscópicos es muy pequeña o cero. De este modo,

como

resultado del efecto acumulativo de las masas, la interacción que aparece

macroscópicamente como dominante, es la interacción gravitacional , aunque

mucho más débil .

v

r

__y

V

,

QU....

Fig. 14-3. Fuerzas entre cargas de igual y de diferente signo.

14.2 Carga eléctrica

Bel mismo modo que caracter izarnos la intensidad

de

la interacción gravitacional

asignando a cada cuerpo una masa gravitacional , caracter izamos el estado de

electrización de un cuerpo definiendo una

auna

eléctrica, m ás

comúnmente

lla

mada atpjü. eléctrica, representada por e

;

sii-.oolo q. Así, cualquier porción de

mater ia , o cualquier par t ícula, eM.ó cñraet*:riz.a(ía por dos propiedades indepen

dientes fundamentales: masa v carga.



14.2) Carga eléctrica 459

Así como hay dos clases de electr ización, hay también dos clases de carga

eléctr ica: positiva y negativa. Un cuerpo que presenta electr ización positiva

tiene una carga eléctr ica positiva, y uno con electr ización negativa t iene una

carga eléctr ica negativa. La carga eléctr ica neta de un cuerpo es la suma alge

braica de sus cargas positivas y negativas. Un cuerpo que tiene cantidades iguales

de electr icidad positiva y negativa (esto es , carga neta cero) se dice eléctr icamente

neutro. Por otra parte, un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se l lama

a menudo

ion.

Como la materia en conjunto no presenta fuerzas eléctr icas apre-

ciables , debemos suponer que está compuesta de cantidades iguales de cargas

positivas y negativas.

Cuerpo Cuerpo

de re ferenc i a

de

re fe renc i a

Fig. 14-4. Com paración de las cargas eléctricas q y q' , mediante

sus interacciones eléctricas con una tercera carga Q.

Para definir operacionalmente la carga de un cuerpo electr izado adoptamos

el s iguiente procedimiento. Tomamos un cuerpo cargado arbitrario

Q

(fig. 14-4)

y, a una dis tancia d de él, colocamos la carga q. Entonces medimos la fuerza F

ejercida sobre q. Seguidamente, colocamos otra carga q' a la misma dis tancia d

de Q y medimos la fuerza F'. Definimos los valores de las cargas q y q' como

proporcionales a las fuerzas F y F'. Esto es

qlq'

=

F¡F'.

(14.1)

Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q' , tenemos un medio

de obtener el valor de la carga q. Es te método de comparación de cargas es muy

similar al usado en la sección 13.3 para comparar las masas de dos cuerpos. Nues

tra definición de carga implica qu e, siendo iguales tod os Los factore s ge om étric os,

la fuerza de la interacción eléctrica es proporcional a las cargas de las partículas.

Se ha encontrado que, en todos los procesos observados en la naturaleza, la

carga neta de un s is tema ais lado permanece constante. En otras palabras ,

en

cualquier

proceso que ocurra en un sistema aislado, la carga total

o neta no cambia.

No se ha hallado excepción a esta regla, conocida como el principio de conser

vación de la carga. Tendrem os ocasión de discutir es te principio má s ad ela nte ,

cuando tratemos los procesos que involucran partículas fundamentales . El estu

diante recordará que ya hemos aplicado este principio en el ejemplo

11.11,

donde

la reacción p * -f p* -> p* -f p * +

p

+

+ p ~ fue discutida. A la izquierda la carga

to ta l

es

dos veces la carga del protón y a la derecha los tres protones contribuyen

tres veces la carga del protón, mientras que el antiprotón contribuye la carga

del. protón negativa. De este modo se obtiene una carga neta igual a dos veces

la carga del protón.



460


14.3 L ey de Coulomb

Consideremos la interacción eléctrica entre dos partículas cargadas, en reposo,

en el sistema inercíal de referencia del observador o, cuando más, moviéndose

a una velocidad muy pequeña; el resultado de tal interacción constituye la elec

trostática. La interacción electrostática entre dos partículas cargadas esta dada

por la ley de Coulomb, llamada así en honor del ingeniero francés Charles A. de

Coulomb (1736-1806) quien fue el primero en enunciarla, como sigue:

La interacción electrostática entre dos partículas cargadas es'

pro

porcional a sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia entre ellas y su dirección es según la recta que

las une.

Esto puede expresarse matemáticamente por

K

e

r

2

(14.2)

donde r es la distancia entre las dos cargas q y q', F es Ja fuerza que actúa sobre

cada carga y

K

e

es una constante a determinar de acuerdo con nuestra elección

de unidades. Esta ley es muy semejante a la ley de interacción gravitacional.

Por consiguiente, podemos aplicar aquí muchos resultados matemáticos que de

mostramos en el capítulo 13 s implemente reemplazando ymm' por

K

e

qq'.

Podemos experimentalmente verif icar la ley de la proporcionalidad inversa

del cuadrado de la distancia midiendo las fuerzas entre dos cargas dadas colo

cadas a dis tancias dis tintas . Una posible disposición experimental se ha indicado

en la fig. 14-5 parecida a la balanza de torsión de Cavendish de la figura 13-3.

La fuerza F entre la carga en B y la carga en D se encuentra midiendo el án

gulo 6 según el cual la fibra OC rota para re stablec er el equilibrio .

La cons tan te K

e

en la

ec .

(14.2) es semejante

a la constante y en la ec. (13.1). Pero en el capí

tulo 13 las unida des de masa, dista ncia y fuerza

estaban ya definidas y el valor de y se determinó

experimentalmente. En el presente caso, s in em

bargo, aunque las unidades de fuerza y dis tancia

han sido ya definidas, la unidad de carga no se

ha definido todavía (la definición dada en la

~*~j?--/+)

/W

sección 2.3 fue sólo preli min ar). Si hace mo s una

~~

'^ proposición definida acerca de la unid ad de car

ga, entonces podemos determinar K

e

exper imen

talmente. Sin embargo, procederemos en sentido

inverso v asignando a K

e

un valor conveniente,

Fig.

14-5.

Balanza de tor-

f l j a m o s

j

e

e

¿

t e m o d 0 i ] a u n i d a d d e c a r g a

.

A d o p

.

sion

de Cavendish para vcrr

.

. , , , •

ficar la lev de la interacción tare m os este segund o

método

y, usando el siste-

eléctrica

entre

dos cargas.

ma MKSC

establecemos el valor numérico de K

e



.'4.---I Ley de Coulomb 461

_ u a a 10""' c

2

= 8,9874 x 10

9

, don de (como an ter io rm ente ) c es la velocidad de la

.-.;.: en

-.1 vacio.* En la práctica , pod em os

tomar

para K

e

el valor 9 x 10

9

. E n -

: neos, cuando la distancia se mide en metros y la fuerza en newtons, la ec.

'.4.2) se escribe

F

=

9 x 10

9

-

9

4~ . (14.3)

1 na ve z que hemos decidido sobre el valor de K

e

, la un ida d de carga está fijada.

i:s

f

a

unidad se l lama un

coulomb,

y se designa por el símbolo C. De aquí que

odamos establecer la siguiente definición: el coulomb es la carga que, colocada

. un metro de otra carga igual en el vacío, la repele con una fuerza de 8,9874 x 10

9

r.miions. La fórmula (14.3) es válida solamente para dos par t ículas cargadas en

•: vacío; o sea, para dos par t ículas cargadas en ausencia de toda otra carga o

1

ater ía (ver sección 16.6) . Obsérvese que, d e acuerd o con la ec. (14.2), exp re

samos

K

e

en N m

2

O

2

ó m

3

kg s"

z

C~

2

.

Por razones prácticas y de cálculo numérico es más conveniente expresar K

e

en la forma

K

e

= ~

]

—, (14.4)

4n e

0

donde la nueva constante

e

0

se llama permitividad del vacío. De acuerdo con el

valor asignado a

K

e

,

su valor es

10

7

A

,

= 8,854 x 10 "

12

N "

1

m"

2

C

2

ó

rr T

3

k g "

1

s

2

C

2

.

4 T C

2

Por lo tanto escr ibiremos la ec. (14.3) en la forma

(14.5)

F

=

- ¡ ~ . (14.6)

4Ke

0

r

2

Cuando usemos la ec. (14.6) debemos incluir los signos de las cargas q y q'.

Un valor negativo para F corresponde a atracción y un valor positivo corres

ponde a repulsión.

EJEMPLO

14.1.

Da da la disposición de cargas de la fig. 14-6, do nd e

q

t

—

+ 1 ,5 x1CT

3

C, q

2

= — 0,50 x 10~

3

C, q

3

= 0,20 x 10~

3

C, y AC = 1,2 m, BC = 0,50 m,

hallar la fuerza resultante sobre la carga q

3

.

Solución: La fuerza

F

1

entre q

í

y q

3

es de repulsión, mientras que la fuerza F

s

entre

?2 >" ?3 es de atracción. Sus respectivos valores, usando la ec. (14.6), son

p

=

-Mi

=

1,9 >< lo»

N

F .

= - M a - = - 3 , 6 x 10

3

N .

4n-e

0

r* 4ne<fl

Luego la fuerza resultante es

F =

] / F\

+ F¡ = 4,06 x 10

3

N .

• La elección de este valor particular para

K ,

se explicará en la sección 15.9.



14.-Í)

Campo

eléctrica

463

Escribamos la

ec,

(14.6)

en la forma F = q^q/áne^

3

) . Es to da la fuerza p r o

ducida por a carga q sobre la carga q' colocada a una dis tancia r de q. Podr íamos

también decir , usando la

ec .

(14.7), que el campo eléctrico

<?

en el punto donde

está colocada q' es tal que F —

q'¿.

Por consiguiente, com paran do las dos expre

siones de F, concluimos que el campo eléctrico a la distancia r de una carga pun

tual q es

(f

= 7/4?r€

0

r

2

, o en forma vectorial

u

r

, (14.8)

4rc€

0

r

2

donde

u

r

es el versor en la dirección radial, alejándose de la carga q, ya que F

está según esta dirección. La expresión (14.8) es válida para cargas positivas

y negativas, con el sentido de

£

respecto a u

T

dado por el signo de q. De es te

modo

£

está dir igido alejándose de una carga positiva y hacia una carga nega

tiva. En la fórmula correspondiente para el campo gravitacional (ec. 13.15), el

s igno negativo se escribió explícitamente porque la interacción gravitacional es

siempre de atracción. La f ig. 14-9(a) representa el campo eléctr ico en las vecin

dades de una carga positiva y la fig. 14-9(b) muestra el campo eléctr ico en las

cercanías de una carga negativa.

/

\

/ /

\ / /

/

I

*~*- y I

i

(a) W

Fig. 14-9. Campo eléctrico producido por a) una carga positiva y b) por un a

negativa.

Igual que en el caso del campo gravitacional, un campo eléctr ico puede repre

sentarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo

en cada uno de sus puntos. Las líneas de fuerza en la fig. 14-10(a) representan

el campo eléctrico de una carga positiva, y las de la fig.

14-10(b)

mues tran e l

campo eléctr ico de una carga negativa. Estas l íneas son rectas que pasan por

la carga.

Cuando varias cargas están presentes, como en la fig. 14-7, el campo eléctrico

•ísultante es la suma vectorial de los campos eléctr icos producidos por cada

carga. O sea,



462


liB

V r

;~7¡

/ . ¡

A

IzC F,

Flg. 14-6. Fuerza eléctrica resultante Fíg. 14-7. C ampo eléctrico res ultan te

sobre <j

3

debida a q¡ y a ¡?

2

. en el pun to P, producido por varias

cargas.

14.4 Campo eléctrico

Cualquier región del espacio eu donde una carga eléctrica experimenta una fuerza

se llama un campo eléctrico. La fuerza se debe a la presencia de otra s carga s en

aquella región. Por ejemplo, una carga

q

colocada en una región donde hayan

otras cargas q

v

q,

¿

, q

3

, etc . (flg,

14-7)

experimenta una fuerza F — F

1

+

F

2

+ F

3

-f

. . . ,

y

decimos

que está en un campo eléctrico producido por las cargas q

v

q

z

, q

3

, . . .

(la carga

q,

por supuesto, también ejerce fuerzas sobre

q

lt

q

t

, q

3

,...

pero por

ahora no las tomaremos en cuenta). Como la fuerza que cada carga q

v

q

2

, q

3

, . . .

ejerce sobre la carga q es proporcional a q, la fuerza resultante F es proporcio

nal a q. Asi, la fuerza sobre una partícula cargada, colocada en un campo eléc

trico,

es proporcional a la carga de la partícula.

La intensidad de un campo eléctrico en un punto es igual a la fuerza por unidad

de carga colocada en ese punto. El símbolo es £*. Por lo tanto

e

q

F =

9

¿ \

(14.7)

La intensidad de campo eléctrico ¿ ' se expresa en newton/coulomb o N C"

1

, o,

usando ias unidades fundamentales , m kg s~

2

C~

l

.

Obsérvese que, atendiendo a la definición (14.7), si q es positiva, la fuerza F

que actúa sobre la carga tiene la misma dirección del campo

€

pero si

q

es nega

tiva, la fuerza F tiene la dirección opuesta a

f

(iig, 14-8). Por lo tanto, s i apli

camos un campo eléctrico en una región donde haya iones positivos y negativos,

el campo tenderá a mover ios cuerpos cargados positivamente y negativamente

en direcciones opuestas, lo cual da como resultado una separación de cargas,

efecto éste llamado algunas veces polarización.

Campo e l éc t r i co

Carga posi t iva

Carga

riega..,va

•

F = qZ

( + >

/'

=n£

Fig. 14-8.. Sentido de la fuerza produ

cida .per un campo eléctrico sobre una

carga positiva y sobre una negativa.



464 Interacción eléctrica (14.4

(a)

Fig. 14-10 . Líne as de fuerza y superficies equip otenc iales del cam po eléctrico de

una carga positiva y de una negativa.

Flg.

14-11.

Líneas de fuerza y superficies equipo tenciale s deí cam po eléctrico de

dos cargas iguales y opuestas.



14.4)

Camp o eléctrico 465

Fig. 14-12. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales del campo eléctrico de

dos cargas idénticas.

ó

=

¿

1 +

¿:

2

+

¿ 3 + . . . = 2 . ^

= ^ ^ ^ - ^ .

La fig.

14-11

indica cómo obtener el campo eléctr ico resultante en un punto P

en el caso de dos cargas, una positiva y otra negativa de la misma magnitud,

como es el caso de un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno. La f ig. 14-12

muestra las líneas de fuerza para dos cargas positivas iguales, tal como los dos

protones en una molécula de hidrógeno. En ambas f iguras también se han repre

sentado las l íneas de fuerza del campo eléctr ico resultante producido por las

dos cargas.

Distribución

volumétrica

de carga

•• •

F =

q&

<¡

,

Fig. 14-13. Cálculo del campo eléctrico Fig. 14-14. Campo eléctrico uniforme ,

de una distribución continua de carga.

Si tenemos una distribución continua de carga (fig. 14-13), la dividimos en

elementos diferenciales de carga

dq

y reemplazam os la suma por una integral,




resultando

£

= — í—

f

— u

La integral debe extenderse a todo el espació ocupado por las cargas.

Un campo eléctrico

uniforme

t iene la misma intensidad y dirección en todos

sus puntos. Un campo uniforme está representado, evidentemente, por l íneas de

fuerza paralelas y equidistantes (fig. 14-14). El mejor modo de producir un campo

eléctr ico uniforme es cargando, con cargas iguales y opuestas , dos placas metá

licas paralelas. La s imetría indica que el campo es uniforme; más adelante, en

la sección 16.3, verif icaremos matemáticamente esta aserción. (Recordar el ejem

plo 13.8 donde aparece un problema semejante relacionado con la interacción

gravitacional) .

EJEMí'í.O 14.2.

Determ inar el campo eléctrico producido por las cargas q, y g,

en el punto C de la ftg. 14-6; dichas carga.- se han definido en el ejemplo 14.1.

Solución: Tenemos dos soluciones a escoger.

Como

hemos hallado en el ejemplo 14.1

la fuerza

F

sobre la carga g

3

colocada en el punto C, tenemos, usando la

ec.

(14.7), que

<5 = — = 2,03 x 10'' N (T

1

,

Otro procedimiento es calcular primero el campo eléctrico producido en C (fig. 14-15)

por cada una de las cargas, usando la ec. (14.8). Esto da

9í£ ¿i =

- T

3

^ -

=

9

'

3 7 x 10

°

N C_1

7\

y

'

\ <% = - = 18,0 x 10« N C"

1

.

? i

c

y

. i

4n€or

*

A

Í3 e

' Por consiguiente, el campo eléctrico resulta nte es

Fig. 14-15 . Campo eléctrico C

=

Y £\ +

Cl

= 2,03 x

10 '

N C~

u

resul tante en C producido por

aya.

Los dos resultados son, evidentemente, idénticos.

EJEMPLO 14.3. Discusión del mov imiento de una carga eléctrica en un cam po

uniforme.

Solución:

La ecuación de movimiento de una carga eléctrica en un campo eléctrico

uniforme está dada por la ecuación

ma — qC ó a = —*- C.

m

La aceleración que adquiere un cuerpo en un campo eléctrico depende, por lo tanto,

de la razón q/m. Como esta razón es en general diferente para diferentes partículas

cargadas o iones, sus aceleraciones en un campo eléctrico serán también diferentes;

es decir, que hay una clara distinción entre la aceleración de un cuerpo cargado

que se mueve en un campo eléctrico, y 3a aceleración en un campo gravitacional,

que

es la misma para todos los cuerpos. Si el campo

<T

es uniforme, la aceleración

a

es constante

y

la trayectoria descrita por la carga eléctrica en su movimiento es

una parábola, como se explicó en la sección 5.7.



14.4)

Cam po eléctrico 467

Flg. 14-16. Desviación de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme.

Un caso interesante es el de una partícula cargada moviéndose a través de un

campo eléctrico que ocupa una región limitada del espacio (flg. 14-16). Suponga

mos,

para simplificar, que la velocidad inicial

v

a

de la partícula cuando entra al

campo eléctrico sea perpendicular a la dirección del campo eléctrico. Hemos colo

cado el eje X paralelo a la velocidad inicial de la partícula y el eje Y paralelo al

campo. La trayectoria AB descrita por la partícula al moverse a través del campo

es una parábola. Después de cruzar el campo la partícula readquiere el movimiento

rectilíneo, pero con una velocidad v diferente en módulo y dirección. Decimos en

tonces que el campo eléctrico ha producido una desviación medida por el ángulo

a.

Usando los resultados de la sección 5.7, encontramos que las coordenadas de la

partícula mientras se mueve a través del campo con una aceleración

(q/m)£,

es tán

dadas por

x =

w

0

f,

y = i(q/m)£t\

Eliminando el t iempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria,

lo cual verifica que es una parábola. Obtenemos la desviación a calculando la pen

diente dg/dx de la trayectoria para x = a. El resultado es

tg a =

(dy/dx)x=a

= q£almo*

0

.

Si colocamos una pantalla S a la distancia

L,

la partícula con un

qjm

dado y velo

cidad v

0

, llegará a la pantalla en el punto C. Observando que tg

a

es aproximada

mente igual a

d¡L,

ya que el desplazamiento vertical B D es pequeño com parado

con d si L es grande, tenemos

qCa

mv

d_

L

(14.9)

Midiendo d, L, a y

6

obtenemos la velocidad v

0

(o la energía cinética) si conocemos

la razón

qjm;

o recíprocamente, podemos obtener q¡ m si conocemos v

0

. Por lo tanto,

cuando un haz de partículas con la misma relación q/m, pasa a través de un campo

eléctrico, las mismas se deflectan de acuerdo con sus velocidades o energías.

Un aparato tal como el ilustrado en la fig. 14-16 puede usarse como un anali

zador de energía,

el cual separa las partículas cargadas idénticas que se mueven

con energías diferentes. Por ejemplo, los rayos p son electrones emitidos por algu

nos materiales radioactivos; si colocamos un emisor de rayos p en O, todos los

electrones se concentrarán en el mismo punto de la pantalla si tienen la misma



468


(14.5

energía. Pero si son emitidos con diférenos energías se dispersarán en una región

de la pantalla. Es esta segunda posibilidad la que se encuentra

experimentalmente,

resultado de mucha importancia desde el punto de vista de la estructura nuclear.

Usando dos juegos de placas paralelas cargadas, podemos producir dos campos

mutuamente perpendiculares, uno horizontal según HH' y otro vertical según VV,

como se muestra en la flg, 14-17. Apastando la intensidad relativa de los dos cam

pos,

podemos obtener una desviación arbitraria del haz de electrones respecto a

cualquier punto de referencia en la pantalla. Si los dos campos son variables, elpun to luminoso de referencia sobre a pantalla describirá una cierta curva. A pli

caciones prácticas de este efecto se presentan en los tubos de televisión y en los

osciloscopios. En particular, si los campos eléctricos varían en intensidad co n m o

vimiento armónico simple, se obtendrán las figuras de Lissajous (sección 12.9).

Ánodo

P l acas para

de enfoque

desv i ac ión hor i zont a l

Rej i l la \ Ánodo

de contro l \ \ aceler ador

\

Placas para

desviación

nl

'vertical ^r~-

-

Calefactor

Cátodo

Cañón elect rónico

(o fuente elect rónica)

Haz de e l ec t rones

R e v e s t i m i e n t o

Pig. 14-17. Movimiento de una carga bajo la acción de campos eléctricos cruzados.

Los electrones son emitidos por el cátodo y acelerados por un campo eléctrico

intenso. Una ranura en el ánodo acelerador, permite a los electrones salir del cañón

electrónico y pasar entre dos sistemas de placas deflectoras. El revestimiento me

tálico del interior del tubo, mantiene el extremo derecho libre de campos eléctricos,

producidos por fuentes externas y permitiendo el movimiento libre a los electrones

del haz.

14.5 Cuantización de la carga eléctrica

Un aspecto impor tan te que debemos dilucidar antes de proseguir, es el hecho de

que la carga eléctrica aparece no en cualquier cantidad, sino en múltiplos de una

unidad fundamental o cuanto.

De los muchos experimentos realizados para determinar esto, es clásico el del

físico norteamericano Robert A. Millikan (1869-1953), quien, por varios años

durante la primera parte de este siglo, llevó a efecto el experimento conocido

hoy como el experimento de la gota de aceite. Millikan estableció, en tre dos pla cas

horizontales y paralelas A y B (ftg. 14-18), un campo eléctrico vertical £ que

podía ser eliminado o restablecido por medio de un interruptor. La placa superior

tenía en su centro unas pocas perforaciones pequeñas a través de las cuales podían

pasar gotas de aceite producidas por un atomizador. La mayoría de estas gotas

se cargaban por fricción al pasar por la boquilla del atomizador.

Analicemos primero este experimento desde un punto de vis ta teórico. Llama

r em o s m a l a m a sa y r al radio de la gota de aceite. Para esta gota, la ecuación

J



14.5) Cuantización de la carga eléctrica 469

Fiar. 14-18.

Experimento

de

Millikan.

El movimiento de la gota de aceite car

gada

q

se observa a través del microscopio

M .

del movimiento de caída libre sin el campo eléctrico <f es, usando la ec. (7.20)

con

K

dado por la ec. (7.19),

ma

=

mg

—

Gx^rv.

La velocidad final

v,

de la gota,

cuando

a =

0, es

v,

=

mg

ñnr¡r

9T¡

(14.10)

donde

p

representa la densidad del aceite y hemos usado la relación

m

= (^ r

3

)/).

(Con el fin de ser precisos debemos también tomar en cuenta el empuje del aire

escribiendo

p

—

p

a

en lugar de

p,

siendo

p

a

la densidad del aire).

Suponiendo que la gota t iene carga posit iva

q,

cuando apl icamos e l campo

eléctrico, la ecuación del movimiento en dirección vertical hacia arriba es

ma = q£ - mg

—

6v;-r¡ru,

y la velocidad final v

%

de la gota, cuando a = 0, es

qf — mg

v

0

=

&nr¡r

Despejando

q, y

usando la ec. (14.10) para eliminar

mg,

t e ne mos

=

-

(14.11)

Podemos hallar el radio de la gota midiendo

u

x

y des pejan do r de la ec. (14.10).

Midiendo

v

2

,

obtenemos la carga

q

aplicando la ec.

(14.11).

Si la carga es negativa,

el movimiento hacia arr iba se produce aplicando el campo eléctr ico hacia abajo.

En la práctica se sigue un procedimiento diferente. El movimiento hacia arr iba

y hacia abajo de la gota se observa varias veces, aplicando y suprimiendo el campo

eléctrico sucesivamente. La velocidad

u

y

permanece invariable, pero

la

velocidad

v

2



47 0 Interacción eléctrica

{14.5

ocasionalmente cambia sugiriendo ras cambio en H carga ele la gota. Estos cam

bios son debidos a la ionización ocasional del aire ambien'e. por rayos cósmicos.

La gota puede tomar algunos de estes iones mientras se mueve a través del aire.

Los cambios en la carga pueden inducirse también colocando cerca de las placas

una fuente de rayos X o y, loa cuales au m ent an 3a. ionización del aire.

De acuerdo con la ec . (14.11), ios cambios kq

y

\v.¡, de la carga y de la velo

cidad hacia arriba están relacionados por

A<7

ñxr.r

Ai>„

(14.12)

Algunas veces Ag es positiva y otras veces negativ a, según la natu rale za de la

modificación de la carga. Repitiendo el experimento de la gota de aceite muchas

veces con diferentes gotas, los fisicos han concluido que los cambios Ag son siem

pre múltiplos de la carga fundamental e (esto es, A« — ne), cuyo valor es

1,6021 x i ( r

w

c .

(14.13)

La cant idad

e

se llama

carga elemental. Todas ¡as cargas que se observan en la

na

turaleza son iguales

a,

o múltiplos de, la carga elemental e; hasta ahora no se han

observado excepciones a esta regla. Parece ser , entonces, una ley fundamental

de la naturaleza que la carga eléctrica esta cua ntizad a. Ha sta el presente, no

se ha encontrado explicación a

este

hecho a partir de conceptos más fundamentales .

Un segundo aspecto importante de la carga eléctrica es que la carga elemental

está siempre asociada con alguna masa determinada, dando lugar a lo que lla

mamos

una

partícula fundamental.

[En

el próximo capítulo (sección 15.4), expli

caremos algunos métodos para medir la proporción q ¡m, de modo que si se co

noce q, pueda obtenerse m; de esta manera se han identif icado varias partículas

fundamentales .] Por el momento, podemos indicar que en la estructura del átomo

entran tres partículas fundamentales: el electrón, el protón

y

el neutrón. Sus carac

terísticas se indican cu el siguiente cuadro.

P a r t í c u l a

e lec t rón

p r o t ó n

n e u t r ó n

Masa

m

e

-=

9,1091 x 10"

M

kg

m

P

=

1,6725 x ACr

27

k g

/íin =

1,6748 x l(r

27

kg

C arga

— c

+ e

0

Obsérvese que el neutrón no tiene carga eléctrica; sin embargo posee otras

propiedades eléctricas, que serán discutidas en el capítulo 15. El hecho de que la

masa del protón sea cerca de 1840 veces mayor que la masa del electrón tiene

gran influencia en muchos fenómenos físicos.

Retornemos ahora a la definición preliminar del coulomb dada en la sección 2.3,

y verifiquemos que el número de electrones y protones necesarios para alcanzar

una carga positiva o negativa igual a un coulomb es

1/1,6021

X 10"

19

=6,2418x 10

18

que es el número que aparece allí.



14.6) Estructura eléctrica de la materia 471

14.6 Estructura eléctrica de la materia

Hemos recordado al es tudiante el hecho frecuentemente observado de que ciertos

cuerpos pueden electr izarse frotándolos con tela o piel . Muchos otros experimen

tos de laboratorio señalan el hecho de que los constituyentes básicos de todos los

átom os son par tícu las cargad as. Por ejemplo, cuan do se calien ta un filamento,

éste emite, electrones, tal como se evaporan las moléculas de un líquido al calen

tarse. Este fenómeno se llama emisión

termoiónica.

Ánodo

Fig. 14-19. Electró lisis. Los iones se

mueven bajo la acción del campo eléc

trico producido por los electrodos

cargados.

C á t o d o

Otro fenómeno interesante es el de la electrólisis. Supongamos que se establece

un campo eléctrico

£

(fig. 14-19) en una sal fundida (tal como KHF^) o en una

solución que contiene un ácido (tal como HC1), una base (tal como NaOH), o

una sal (NaCL). Producimos este campo sumergiendo en la solución dos barras

o p lacas opues tamente cargadas l lamadas electrodos. Observa mos que las c arga s

eléctricas fluyen y que ciertas clases de átomos cargados se mueven hacia el

electrodo positivo o ánodo, v otras se mueven hacia el electrodo negativo o cátodo.

Este fenómeno sugiere que las moléculas de la sustancia disuelta se han separado

(o disociado) en dos partes diferentemente cargadas, o iones. Algunas están car

gadas positivamente y se mueven en la dirección del campo eléctr ico; otras están

cargadas negativamente y se mueven en dirección opuesta a la del campo eléc

trico. Por ejemplo, en el caso del NaCl, los átomos de Na se mueven hacia el

cátodo y en consecuencia son iones positivos, llamados cationes, mientras que los

á tomos de Cl van al ánodo y son iones negativos, l lamados aniones. La disocia

ción puede escribirse en la forma

NaCl

->

Na* + Cl".

Como las moléculas normales de NaCl no tienen carga eléctr ica, suponemos

que están formadas de cantidades iguales de cargas positivas y negativas. Cuando

las moléculas de NaCl se disocian, las cargas no se separan uniformemente. Una

parte de las moléculas transporta un exceso de electr icidad negativa y la otra

un exceso de electr icidad positiva. Cada una de estas partes es , por lo tanto,

un ion. Hemos dicho que todas las cargas son múltiplos de la unidad fund am ental




de carga e. Supongamos que los iones positivos transportan la carga -+- ve, y los

iones negativos u na carga — ve donde v es un nú mero entero que determinaremos

más adelante. Cuando los iones l legan a cada electrodo, se neutralizan, intercam

biando sus cargas con las cargas disponibles en los electrodos. Generalmente

sigue una serie de reacciones químicas que no nos interesan ahora, pero que

sirven para identificar la naturaleza de los iones que se mueven hacia cada

electrodo.

Después de un cierto tiempo

/,

un número N de átomos ha ido a cada electrodo.

La carga total Q transfe rida a cada electrodo es entonces, en valo r abso luto,

Q = jyve. Suponiendo que m sea la masa de cada molécula, la masa to ta l M

depositada en ambos electrodos es M = Nm. Dividiendo la primera relación

por la segunda, tenemos

Q¡M = ve/m. (14.14)

Si N A es la constante de Avogadro (el número de moléculas en un mol de cualquier

sustancia), la masa de un mol de la sustancia es M

A

= N\m. En consecuencia,

la ec . (14.14) puede

escribirse

en la forma

A

=

J±

=

J^L

= _£l_.

( 1 4

. 1 5 )

M m N

A

m- M

A

'

La cantidad

F =N

A

e (14.16)

es una constante universal l lamada constante de Faraday. Esta representa la carga

de un mol de iones que tiene v = 1. Su valor expe rime ntal es

F = 9,6487 x

10*

C mol"

1

. (14.17)

De este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constante

de Avogadro

N

A

= 6,0225 x

10

23

mol"

1

, (14.18)

de acuerdo con otros cálculos de esta constante.

La ec. (14.15) ha sido verificada exp erim enta lme nte y se ha halla do qu e v es

igual a la valencia química del ion correspo ndien te. El hecho de que v sea la va

lencia química sugiere que cuando dos átomos se unen para formar una molécula,

intercambian la carga ve, convirtiéndose uno en un ion positivo y el otro en un

ion negativo. La interacción eléctrica entre los dos iones los mantiene unidos.

Podemos también suponer, con bastante confianza, que las partículas intercam

biadas son los electrones, ya que se mueven más fácilmente por ser más ligeros

que los protones. Esta imagen del enlace químico, llamado enlace iónico, debe

considerarse sólo como una descripción preliminar sujeta a revisión y crítica

ulteriores.

En ¡a sección 13.9 indicamos que las fuerzas gravitacionales no eran suficien

temente fuertes como para producir la atracción necesaria para mantener unidos

dos átomos y formar una molécula, o dos moléculas y formar una porción de



i4.¡) Estructura atómica 473

materia, y que son

ICF

35

veces menos intensa s de lo necesario. Comp aremos ahora

el orden de magnitud de las fuerzas eléctr icas y de las gravitacionales . Supo

niendo que la distancia sea la

niisma,

la intensidad de la interacción eléctr ica

esta

determinada por

ia

cons tan te de acoplamiento q^qj^^ô,

Y '

a t ie

*

a

in ter

acción gravitacional por ym,m

2

. Por lo tanto

interacción eléctrica

</j</

2

interacción gravitacional

A-ne^ym^^

Para ob tener el o rden d e m a g n i t u d , h a g a m o s q

1

= q

2

— e y m

1

= m

2

= m

p

, d e

m o d o q u e p a r a d o s p r o t o n es o dos iones d e h id rógeno ,

in ter acc ión e léc t r ica e

2

,

_ ,

„ „ .

= 1,5 x

10

3 6

.

in ter acc ión g rav i tac ional

4ue

0

Ym¡;

E s t e e s , a p r o x i m a d a m e n te , el f ac to r qu e l e f a l ta r ía a la fuerza g rav i tac iona l p ara

p r o d u c i r la in ter acc ión r eq uer ida . Pa ra la in ter acc ión en t r e u n p r o t ó n y u n e lec

t rón (rn

1

= m

p

,

m

2

= m

e

), la r e lac ión an te r io r r esu l ta toda v ía ma yo r : 2 ,8 x

10

40

.

Por cons igu ien te conclu imos que

la interacción eléctrica es del orden de magnitud requerido para pro

ducir

el

enlace entre átomos para formar moléculas, o el enlace entre

electrones

y

protones para formar átomos.

La conclusión es, entonces, obvia: los procesos químicos (en general el com

portamiento de la materia en su totalidad) se deben a las interacciones eléctr icas

entre átomos y moléculas . Una comprensión completa de la estructura eléctr ica

de los átomos y moléculas es, pues, esencial para explicar los procesos químicos

y, en

general,

para explicar todos los fenómenos que observamos corrientemente

a nuestro alrededor, tanto en la materia inerte como en la viviente. El objetivo

de la física es, como vimos en el capitulo 1, capacitarnos para comprender la

estructura de los constituyentes fundamentales de la materia y explicar , en fun

ción de sus interacciones, el comportamiento de la materia como un todo. Para

cumplir con este programa debemos

comprender

previamente las interacciones

eléctr icas . Por esta razón muchos de los capítulos s iguientes estarán dedicados

a los fenómenos eléctricos.

Dondequiera que haya cuerpos cargados eléctr icamente, las fuerzas gravita

cionales son despreciables . Estas fuerzas son importantes sólo cuando estudiamos

cuerpos de gran masa sin carga eléctrica, o cuando las cargas son pequeñas en

comparación con sus masas. Este es el caso del movimiento planetario o del mo

vimiento de cuerpos en la superficie terrestre.

14.7 Estructura atómica

Por lo dicho en la sección anterior , el es tudiante se habrá dado cuenta que com

prender la estructura atómica es uno de los problemas básicos de la f ís ica. Expon

gamos, por lo tanto, algunas ideas preliminares y desarrollemos un modelo satis

factorio del átomo. Sabemos que los átomos son eléctr icamente neutros en su




estado norm al, ya que en a ma teria en conjunto no se manifiestan fuerzas eléc

tr icas grandes. Por consiguiente, los átomos deben contener cantidades iguales

de electricidad positiva y negativa o, en otras palabras, igual número de protones

y de electrones. El número igual de protones y electrones se llama número atómico y

se designa por Z. El átom o consta entonc es de una carga positiva + Z e debid a

a los protones y de una carga negativa de igual magnitud debida a los electrones.

Acuden a nuestra mente dos posibles modelos para el átomo. En uno de ellos

podemos suponer que los protones, como tienen mayor masa que los electrones,

están agrupados alrededor del centro de masa del átomo, formando una especie

de

núcleo

y los electrones giran a su alrededor, como en nuestro sistema pla net ario .

En el otro modelo los protones podrían estar esparcidos en todo el volumen del

átomo, con los electrones moviéndose entre ellos y formando algo así como una

mezcla de gases con cargas positivas y negativas llamada plasma. El primer

modelo es más llamativo dada nuestra familiaridad con el sistema solar. Sin em

bargo, entre las dificultades a que debemos hacer frente en este modelo, está la

de explicar cómo los protones se mantienen unidos entre sí, en el núcleo, a pesar de

la fuerte repulsión eléctrica entre ellos. Esta complicación requiere la existencia

de otras interacciones, además de la interacción eléctrica.

Para dilucidar el problema de la distribución de electrones y protones en un

átomo, debemos investigar el interior del átomo experimentalmente, lanzando

un haz de partículas rápidas cargadas tales como iones de hidrógeno (es decir

protones) o iones de helio (llamados partículas alfa), contra el átomo, y observar

las interacciones producidas. Este es un experimento de dispersión, cuyo funda

mento matemático se ha dado ya en el capítulo 7. La simetría sugiere que pode

mos considerar los átomos como esferas con un radio del orden de 10

_1

° m, como

se ha indicado previamente. Debido a que la interacción eléctrica sigue la ley 1/r

2

,

los resultados demostrados en la sección 13.7 para el campo gravitacional, son

válidos también para el campo eléctrico. Sólo es necesario reemplazar

ymm'

por

qq'[4:Tte

0

. Por lo tanto, una esfera de radio

a

cargada con la carga

Q

uniforme

mente dis tr ibuida en su volumen, produce en todos los puntos externos (r > á)

un campo eléctrico dado por

^ = - 4 ^ '

f > a

'

( 1 4 1 9 )

y un campo eléctrico en todos los puntos interiores (r < a) dado por

<*'

=

- r ^ - r >

r

<

a

- (

1 4

-

2

° )

4 n €

0

a

3

Este campo está representado en la fig. 14-20.

En el modelo de plasma, el radio a es el mismo que el radio del átomo y la

carga efectiva Q es m uy peque ña porque las cargas pos itivas de los proto nes

y las cargas negativas de ¡os electrones están mezcladas uniformemente. La des

viación experimentada por la partícula de carga q al aproximarse al átomo, pero



1

4

7 )

Estructura atúm ica

- 0 -

1 0

m

W

. A %.:: -

:§p ..*"' ^ N ú c l e o . .

V

í % : •..¿ÍSv

''•''"?&&£•.:•

;

•.-••<£*•••

hlectrones ••?>•'

• •M

(carga

Ze)

Fig. 14-20. Campo eléctrico de una es

fera de. radio

a cargada.

Fig.

14-21.

Distribución de electrones

en un átomo.

sin pasar a través de él, se calcula usando la

ec .

(7.42) con A- = Qq 4ne

0

; resulta

eotg # = J

1

" » " " *

b.

TP

Qq

(14.21)

En este caso el parámetro de impacto b debe ser mayor que el radio del átomo

a ~

10~

10

m. Suponien do q ue la energía de las pa rtíc ula s es del orden de 1.6 x

10

_1 3

J ,

o un MeV (que es el rango de energías proporcionado por los laboratorios en

esta clase de experimentos), y que Q y q son del orden de

e,

encon t r amos que

<j>

es menor que 30" de arco. Es decir que prácticamente no hay desviación. Para

valores menores de b, si la partícula incidente tiene energía suficiente para pe

netrar al interior del átomo, inmediatamente actúa sobre ella un campo decre

ciente y la ec. (14.21) ya no es aplicable. Pero entonces, la desviación, en lugar

de ser mayor, es de nuevo muy pequeña porque el campo es menor. En otras

palabras , el modelo de plasma no puede explicar grandes desviaciones de las

partículas que bombardean un átomo. Sin embargo, se ha encontrado experi-

mentalmente que muchas partículas se desvían en ángulos grandes, en algunos

casos hasta 180°. Por consiguiente debemos desechar el modelo de plasma basán

donos en este experimento s imple pero concluyente.

Consideremos ahora el modelo nuclear, en el cual los protones están agrupados

en una pequeña región al centro del átomo (fig. 14-21). Entonces la ec. (14.21)

se mantiene para valores de b mucho menores que el radio atómico, y son posi

bles desviaciones mayores. Aquí nos damos cuenta que los electrones en rápido

movimiento forman una "pantalla" entre la carga nuclear positiva y cualquier

partícula cargada que esté más allá del radio del átomo, reduciendo de este modo

la carga efectiva del núcleo. El resultado es que, para valores de b mayores que

10

-1 0

m del centro, el átomo nuclear y el átomo plasma son esencialmente lo

mismo. Para pequeños valores de b, s in embargo, pueden ocurrir mayores des

viaciones en el modelo nuclear, haciéndolo completamente diferente del modelo

de plasma. Por ejemplo, para

b

~ 10~

14

m y

Q

~ lOe, usando el mismo valor de



47 6

Interacción

eléctrica (14.7

energía que antes, obtenemos cotg

\<j>

~ i ó

<j>

~ 90°. En el modelo nuclear,

Q — Ze, y poniendo q — ve para la partícula que bombardea (v = 1 para pro

tones, v = 2 para pa rtícu las alfa), obtenem os de a

ec .

(14.21),

h

r

cotg

# .

47re

0

mi;o

En los experimentos se dirigen varias partículas contra una delgadísima lámina

y se observan las deflecciones. Como b no puede controlarse porque es imposible

apuntar a un átomo en particular , debemos hacer un anális is es tadís tico para

interpretar los resultados experimentales .

Supongamos que tenemos una delgada lámina metálica de espesor /, que tiene

n átomos por unidad de volumen. Si N partículas por unidad de área inciden

en la lámina, algunas pasarán cerca de un átomo de la misma (parámetro de

impacto pequeño), experimentando entonces una gran desviación; algunas pa

sarán a dis tancias relativamente grandes de Jos átomos de la lámina (parámetro

de impacto grande) y experimentarán una pequeña desviación. El resultado

del

análisis estadístico (ver ejemplo 14.4) muestra que el número de partículas dN

desviadas dentro del ángulo sólido

dil

(correspondiente a los ángulos de disper

sión <f> y <f> + d<f> respecto a la dirección de incidencia) está dado por

= —p cosec*

hf>.

(14.22)

dü 2(47T£

0

)

2

m

2

£/* w v )

El signo negativo se debe a que dN representa las partículas sacadas del haz

incidente como consecuencia de la dispersión, y esto corresponde a una dismi

nución de N.

El resultado que predice la ec. (14.22) es que las partículas dispersadas por

unidad de ángulo sólido, deben distribuirse estadísticamente según la ley

cosec

4

\$ .

Al verificar esta predicción para todos los ángulos, se prueba, indi

rectamente, que todas las cargas positivas se concentran cerca del centro del

átomo. Esta prueba se obtuvo mediante experimentos ejecutados por primera

vez durante el período 1911-1913 por H. Geiger y E. Marsden, bajo la dirección

del físico británico Ernest

Rutherford

(1871-1937). Estos experimentos constitu

yeron el fundamento del modelo nuclear del átomo, que ha sido aceptado desde

entonces como el correcto.

Para cada valor del parámetro de impacto b, exis te una dis tancia de máximo

acercamiento para la cual la partícula que bombardea está lo más cerca posible

del centro. La distancia mínima ocurre para b

~

0. El cálculo de esta distancia

para diferentes condiciones experimentales , empleando métodos dinámicos (ver

ejemplo 14.5) indica que esta distancia es

dd

orden de

10~

14

m para energías

del orden de 10~

13

J (o un MeV ). Esta dista ncia da un límite supe rior para el

radio

del

núcleo atómico. Por consiguiente concluimos que los protones se con

centran en una región cuyas dimensiones son del orden de 10~

14

m. Cuando con

sideramos el hecho de que el radio del átomo es del orden de

10~

lC

m, nos damos

cuenta que la mayor parte dei volumen del átomo está ocupado por Jos elec

trones en movimiento, y está en realidad vacío.



14.7) Estructura atómica 477

Para pequeños valores del parámetro de impacto y altas energías , cuando la

partícula incidente llega muy cerca del núcleo, observamos que la ley cosec

4

%$>

no se cumple. Esto indica la presencia de otras interacciones, las fuerzas nucleares.

Analizando las discrepancias con respecto a la dispersión puramente culombiana

dada por la

ec .

(14.22), obtenemos información valiosa acerca de las fuerzas

nucleares.

Los más s imples y l ivianos de todos los átomos son los átomos de hidrógeno.

Su masa es igual a la de un protón más la de un electrón. Por consiguiente con

cluimos que un átomo de hidrógeno está compuesto de un electrón girando alre

dedor de un solo protón. Entonces, Z = 1, y el núcleo de un átomo de hidrógeno

es precisamente un protón (esto podría tomarse también como definición de

protón). Como el electrón está sujeto a la fuerza de atracción 1/r

2

, deber íamos

esperar , por las mismas razones dadas en el capítulo 13 para el movimiento pla

netario, que las órbitas fueran elipses con el protón en uno de los focos. Las

órbitas electrónicas , s in embargo, requieren que dispongamos de técnicas espe

ciales antes de poder discutir las , porque ellas poseen caracterís ticas propias que

las hacen diferentes de las órbitas planetarias . Estas técnicas corresponden a la

mecánica cuántica. Sin embargo, podemos adelantar dos de los más importantes

resultados de la mecánica cuántica.

(1)

La energía del movimiento electrónico está cuantizada.

Es to significa qu e

la energía de los electrones puede tomar sólo ciertos valores

E

v

E

2

, E

3

,

...,

E

n

,

...

Los estados correspondientes a estas energías se l laman estados estacionarios. E l

estado con la más baja energía posible es el estado fundamental. Determinar las

energías de los estados estacionarios es una de las tareas de la mecánica cuántica.

Como la energía (en un sentido clásico) determina el " tamaño" de la órbita,

solamente ciertas regiones del espacio son posibles para el movimiento electrónico.

Esto está indicado esquemáticamente por la región sombreada de la f ig. 14-21.

(2) El mom entum angular del movimiento electrónico está cuantizado tanto en

magnitud como en dirección. Esto s ignif ica que el m om ent um a ngula r de un

electrón puede tener sólo valores discretos y que, como el momentum angular

es un vector, puede orientarse sólo en ciertas direcciones. A esta última pro

piedad nos referimos cuando hablamos de cuantización espacial. Para usar ter

minología clásica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad como

implicando que las órbitas del electrón sólo pueden tener ciertas "formas".

Para átomos más pesados que el hidrógeno, la masa es mayor que la masa

de los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atr ibuida a la

presencia de neutrones en el núcleo. El número total de partículas en un núcleo

se llama el número músico, y se designa por A. Por lo tan to , un á tomo t iene Z

electrones, Z protones y A — Z neutro nes. Los neutron es son necesarios , a pa

rentemente, para estabilizar el núcleo. Sí los protones estuvieran solamente

sometidos a su propia interacción eléctr ica, se repelerían entre s í , por estar car

gados positivamente. El hecho de que pueden permanecer unidos en un núcleo

indica que, además de las interacciones eléctr icas , hay otras interacciones muy

fuertes , correspondientes a las l lamadas fuerzas nucleares, las cuales contrarrestan

la repulsión eléctrica. Los neutrones contribuyen a crear las fuerzas nucleares

sin añadir repulsión eléctrica, produciendo de este modo un efecto estabilizador.




En este punto debemos decir que nuestro conocimiento de las fuerzas nucleares

no es tan completo como lo es el de las fuerzas eléctricas.

El comportamiento químico de un átomo, s iendo un efecto eléctr ico, es tá

determinado por el número atómico Z. Sin embargo, para un valor de Z puede

haber varios valores del número másico A, En otras palabras , a un número dado

de protones en el núcleo puede corresponder diferente número de neutrones.

Los átomos que tienen el mismo número atómico, pero diferente número másico,

se llaman isótopos. Todos ellos corresponden al mismo elemento químico. Los

diferentes isótopos de un elem ento quím ico se. designan por el símbolo del ele

mento químico (que también identifica el número atómico) con un índice colocado

en la parte superior a la izquierda indicando el número másico. Por ejemplo,

hidrógeno (Z = 1) tiene tres isótopos:

*H ,

2

H o deuterio, y

3

H o t r i t io . Análo

gamente, dos de los más importantes isótopos del carbono (Z = 6) son

12

C y

14

C.

El isótopo

12

C es el que se usa para definir la unidad de masa atómica.

EJEMPLO 14.4. Ob tener la ecuación (14.22) par a la dispersión culo mb iana .

Solución:

Sea

n

el número de átomos por unidad de volumen del dispersor. Enton

ces ni será el número de átomos dispersados por una lámina delgada de espesor t

y área unidad. El número de átomos en un anillo de radio

b

y ancho

db

y por lotanto de área

2nb db)

será

(nt)(2nb db),

como se muestra en la flg. 14-22. Si JV par

tículas inciden sobre la unidad de área de la lámina, el número de átomos cuyo

parámetro de impacto está entre b y b + db es dN = N(nt) (2-nb db). Diferenciando

la expresión del parámetro de impacto dado anteriormente, se obtiene:

dN

=

~

í S S í

4 cotg

#

cosec2

** -

(i4

-

23)

Flg. 14-22. Desviación de un ion positivo de- Figu ra

14-23

bido a la repulsión coulombiana del núcleo.

Para átomos livianos, debemos reemplazar la masa

m

de la partícula por la masa

reducida del sistema de partículas.

Si trazamos dos conos de ángulos

<j>

y

<f> + d<¡>

alrededor del átomo (fig. 14-23)

todas las partículas dadas por la

ec.

(14.23) serán desviadas a través del ángulo

sólido entre las dos superficies cónicas. El &n¿ sombreada es

(2irr sen

<f>) (r dsp) —

2rrr> s en <> d<¡>. Por consiguiente, en vista de la definición

(2.7),

el ángulo sólido es

dCl ~

2TT

sen

<¡> d<j>

=-

Ar.

sen

$<f>

eos

\<¡>

d<f>,

donde hemos usado la relación sen^ =

2 sen

i<j> eos

i<f>. La distribución angular está dada por el número de partículas



14 J)

Estructura

atom

dispersadas por unidad de ángulo sólido, Entonces

J*í

v

_

~

_

Mtv**Z*eH

dá

~

2(4v.e

ü

)

i

m*vi

cosec

4

\<¡>,

que es la ec . (14.22),

Algunas veces los resultados de los experimentos de dispersión se expresan mejor

usando el concepto de

sección eficaz.

La sección eficaz para un proceso está definida

por

o(0)

dN

da

(14.24)

Las barras verticales están para indicar que

usamos

el valor absoluto de

dNjdíl.

La cantidad o(<f>) representa la probabilidad de que una partícula incidente se desvie

un ánguio entre. tf>

y

¡f>

+

dé>. Se expresa en unidades de área (m

2

), ya que n es una

densidad (m~

3

) y / es una distancia (m); (obsérvese que las unidades de JV se can

celan). Por lo tanto, sustituyendo la.ee. (14.22) en la ec. (14.24), obtenemos la sec

ción eficaz diferencial para ia dispersión culombiana,

< 4 > )

y 'ZV

2(47íe

g

)*i7i*p¡

cosec* \<$>.

(14.25)

EJEMPLO 14.5.

Obtener la distancia de máx imo acercam iento de un a part ícula

de carga ve dirigida con velocidad

o

0

contra un átomo de número atómico

Z.

Solución:

La flg. 14-24 muestra la geometría del

problema. De acuerdo con la discusión hecha en

la sección 13.5, la partícula describe una rama

de hipérbola con el núcleo

+Ze

en el foco más

distante F'. La distancia de máximo acerca

miento es

R

=

F'A.

Sea

b

=

F'D

el parámetro

de impacto. Demostraremos pr imero que

b

es

igual al eje vertical

OB

de la hipérbola. El án

gulo

<£

=

POQ,

entre las dos asíntotas, es el án

gulo de desviación de la partícula debido a la

repulsión coulombiana del núcleo. La distancia

OA = OA'

=

a

se mide en el eje horizontal, y

de

las

propiedades de la hipérbola tenemos que

OF' — OC.

Por lo tanto, los tr iángulos

OF'D

y OCA'

son iguales, de modo que

b

=

F'D =

— C A'

=

OB .

En la geometría de la figura ve

mos que

OF' = b

cosec a y

O A

=

a = b

cotg a.

Por consiguiente R =

F'A

= b (cosec a + cotg a).

Pero 2a 4- (f> = it, de modo que a = in — %cj>.

Por lo tan to Figura 14-24

r>

u,

si , » , ii

b(\

+ cosec %é)

R

= ¿(sec

ty +

tg hf>) = -~

V".

cotg t<¡>

Usando el resultado (14.21), con

Q

=

Ze

y

q

vZe*

ve, obtenemos

R =

4ne

0

(mvl)

(1 + cosec £<£),

que

da la distancia de máximo acercamiento en función de la energía inicial de la

part ícula,

imv*,

y

del ángulo de dispersión

<f>.

Para un choque de frente, la partícula

http://la.ee/

http://la.ee/




rebota de modo que se dispersa en un ángulo

igua

a

re ,

resultando cosec i<¡> = 1 y

vZe

3

R =

4rr€

0

(¿mü§)

Por ejemplo, sustitu yen do valores numéricos con v = 1, Z — 6 (correspon diente

al carbono) y E = imvl = 1,6 x 10~

13

J ó 1

MeV,

obtenemos R ~ 10"

14

m,

que

es el orden de magnitud señalado antes para las dimensiones nucleares.

14.8 Potencial eléctrico

Una carga eléctrica colocada en un campo eléctrico tiene energía potencial debido

a su interacción con el campo. El potencial eléctrico en un pu nto se define como

la energía potencial por unidad de carga colocada en dicho punto. Designando

el potencial eléctrico por V y la energía potencial de una carga q po r

E

p

,

tenemos

V = - ^ £ - ó

E

P

= ? V .

(14.26)

El potencial eléctrico se mide en joule/coulomb o

.1 (T

1

,

unidad que recibe el

nombre de

volt,

abreviado V, en honor del científico italiano Alejandro

Volta

(1745-1827). En función de las unidades fundamentales, V =

m

2

kg s

- 2

C

-1

.

Observemos que las

definiciones

de campo eléctrico y de potencial eléctrico

son análogas a las de campo y de potencial

gravitacional .

Ellas se relacionan

del mismo modo que en la ec. (13.21).

O

sea, las componentes cartesianas del

campo eléctrico <f están dadas por

En general , la componente según la dirección correspondiente a un desplaza

miento ds es

<f. = - - r - . (14.28)

os

Esto puede escribirse en la forma compacta

£

= —

grad V, (14.29)

como se ha mostrado antes en los capítulos 8 y 13. Las ecuaciones (14.27) o (14.28)

se usan para encontrar el potencial eléctrico V cuando se conoce el campo eléc

trico

<f,

y recíprocamente.

Consideremos el caso simple de un campo eléctrico uniforme (fig. 14-25). La

primera de las ecuaciones (14.27) da, para un campo paralelo al eje X,

<*'=—

dV/dx.

Como £ es constante y suponemos

V

— 0 p ara x ~

0,

tenemos, por integración,

j

dV = —\ Cdx

=

—

c

c

j

dx

ó V

=

—

6x .

(14.30)

Jo Jo

Jo



14.S)

Potencial eléctrico 481

O*

v = o

s

0

V

6 = const

\ V

= - G.c

Flg. 14-25. Campo eléctrico uniform e.

Fig. 14-26. Variaciones

d e í y

V en un

campo eléctrico uniforme.

Esta relación muy útil ha s ido representada gráficamente en la fig. 14-26. Obser

vemos que, debido al signo negativo en la

ec .

(14.29) o en la

ec .

(14.30), el campo

eléctrico se orienta hacia los potenciales decrecientes. Cuando consideramos dos

puntos Xj y x

2

, la ec. (14.30) da V

x

= — (x

1

y V

2

= — £x

2

. R es tando , t enemos

V

2

—

V

a

= — (

c

(x

2

—-Xj); o, haciendo d = x

2

—

x

v

obtenemos

f

V,

^ - V ,

(14.31)

Aunque esta relación es válida solamente para campos eléctr icos uniformes, puede

usarse para estimar el campo eléctr ico entre dos puntos separados por una dis

tancia d, cuando se conoce la diferencia de potencial V

1

— V

2

entre ellos. Si la

diferencia de potencial V

±

— V

2

es positiva el campo está dirigido de

x

1

a x*

2

,

y si es negativa, está dirigido en sentido opuesto. La ecuación (14.31) [o de hecho

también la ec. (14.27) o la ec. (14.28)] indica que el campo eléctrico se puede

expresar también en vol t /metro , un idad equivalen te a newton/coulomb dada

anteriormente. Esto puede verse del s iguiente modo:

volt

metro

joule

coulomb-metro

newton-metro

coulomb-metro

newton

coulomb

En la práctica se prefiere u sar el términ o vo lt/me tro, abrev iado V m

*

e n

lugaJ

de N C"

1

.

Para obtener el potencial eléctr ico debido a una carga puntual, usamos la

ec .

(14.28), reemplazando s por la dis tancia r , ya que el campo eléctr ico produ

cido yace seg ún el ra di o; esto e s, <* = — dV¡8r. Recordando la ec. (14.8), podemos

escribir

1 a dV

4rce

n r

2

dr



48 2

Interacción

eléctrica (14.8

Integrando, suponiendo V = 0 para r = oo, como en el caso gravitacional , ob

tenemos

V = — i — - . (14.32)

47T€

0

r

Esta expresión podría haberse obtenido también reemplazando en la ec. (13.18)

—

ym

por

ql4ne

0

.

El potencial eléctr ico V es posit ivo o negativo depen diendo

del signo de la carga

q

que lo produce.

Si tenemos varias cargas

q

v

q

2

, q

3

, ...

, el poten cial eléctrico en un pun to

P

(fig. 14-7) es la suma escalar de sus potenciales individuales. O sea,

i/ _

?i

_ + _ J ? _

+

_%__

+

. . .

=

_ J _

E

. 5L , (14.33)

47ce

0

r

í

4rt

€o

f

2

4-Ktfa 4 7 r e

0

r ¡

En general es más fácil , por lo tanto, calcular el potencial resultante debido

a una distr ibución de cargas y luego obtener el campo resultante, que proceder

en el orden inverso. Para calcular el potencial debido a una distribución continua

de cargas, dividimos ésta en cargas elementales

dq

y susti tuimos la suma de

la ec. (14.33) por la integral (recordar la fig. 14-13), obteniendo

4ir«

0

J r

(14.34)

donde la integral se extiende a todo el espacio ocupado por las cargas.

Las superf icies que t ienen el mismo potencial eléctr ico en todos sus puntos

— o sea, V = con stante — se l laman

superficies equipotenciales.

La dirección

del campo eléctrico es perpendicular a la superficie equipotencial en cada uno

de sus puntos. (La justificación de esto se dio en la sección 13.6). Para un campo

uniforme, deducimos de la ec. (14.30) que V = const. implica

x =

const . , y que

por lo tanto las superficies equipotenciales son planas, como se indica con las

lineas de trazos en la fig. 14-25. La ec . (14.32) indica que para una carga puntual ,

las superficies equ ipotenc iales son esferas r = const, seña ladas p or las línea s

de trazos en la fig.

14-10(a)

y (b). Para varias cargas las superficies equipoten

ciales están dadas por S¡(g¡/r,) = const, de acuerdo con la ec. (14.33). Las su

perficies equipotenciales para dos cargas se han indicado con líneas de trazos

en las figs.

14-11

y 14-12.

EJEMPLO 14.6.

Calcular la energía pote ncia l eléctrica de

la

carga

q

3

del ejemplo

14.1.

Solución: Reflrámonos a la fig. 14-6 y usemos la ec. (14.32). Los potenciales eléc

tricos producidos en

C

por las cargas

q

t

y

q

2

si tuadas en

A

y

B ,

respectivamente, son

V'

= — & — = 11,25 x

10

6

V,

Vj = —Í2—

= — 9 x

10»

V.

4 «

0

ri 4rce

0

r

Luego, el potencial eléctrico en el punto

C

es

V

=

V,

+

V

2

= 2,25 x

10"

V .

J



14.8)

Potencial eléctrico

483

La ene rg ía po tenc ia l de l a ca rga

q

3

e s en tonces

E

p

=

q

3

V = (0,2 x 1CT

3

C) (2,25 x 10

6

V)

=

4,5 x 10

2

J .

S i com param os e s te e jem plo con e l 14 .2 , vem os la d i fe renc ia en t re t raba ja r con e l

cam po e léc t r i co y con e l po tenc ia l e léc t r i co ,

EJEMPLO 14.7.

Ca lcu la r el cam po e léc t r i co y el po ten c ia i

eléctrico

p r o d u c i d o s

por un f i l am ento m uy la rgo que po r ta l a ca rga X por un idad de long i tud .

Solución:

Div idam os e l f i l am ento en peq ueñ as porc iones de long i tud

ds (flg.

14.27).

La ca rga de cada una de e s ta s porc iones e s

dq =

X

ds .

L a m a g n i t u d d e l c a m p o

eléctrico

q u e c a d a e l e m e n t o p r o d u c e e n

P

es

di

>

ds

47tí„r

2

'

dirigido según la l ínea

AP .

P e r o , deb ido a l a

s i m e t r í a d e l p r o b l e m a , a c a d a e l e m e n t o

ds ,

a la

d i s t a n c i a

s

por enc im a de O, cor re sponde o t ro

e lem ento a l a m ism a d i s tanc ia por deba jo de

O.

P o r l o t a n t o , d e b e m o s c o n s i d e r a r s o l a m e n t e l a s

c o m p o n e n t e s p a r a l e l a s a

OP ,

d a d a s p o r

d<t eos

a,

y e l cam po e léc t r i co re su l t an te s egún OP es

£ d£

eos

a

X

47T e,

J

r

2

COS a.

De la f igura se deduce que

r — R

sec a y

s =

R

tg a , luego,

ds = R

sec

2

a da . Ha c ien do

e s t a s s u s t i t u c i o n e s , i n t e g r a n d o d e s d e a = 0 a

x

=

TC/2 , y m ul t ip l i can do por dos (y a que l a s dos

m i t ade s de l f il am ento d an la m i sm a con t r ibu

ción),

o b t e n e m o s

F íg . 14-27 . Cam po e léc t r i co p ro

duc ido por un f ilamento ca rg ad o.

2* f /2

J o

eos

a da =

4xe

g

R J o 2TT6

0

fí

De modo que e l campo eléctr ico del f i lamento varia como R"

1

. E n f o r m a v e c t o r i a l ,

X

£

=

UK.

2rce

0

i?

P ara ha l l a r e l po tenc ia l e léc t r i co usam os l a re lac ión

¿

= — d V / B R , lo cual nos da

dV

X__

dR ~

2-n:e

0

R

'

L a i n t e g r a c i ó n p r o d u c e

X

V = —•

27t€„

ln

R +

C.

S e acos tum bra en e s te caso a s igna r e l va lo r ce ro a l po tenc ia l en e l pun to donde

R —

1, lo cual d a C = 0. Lue go el po ten cia l e léctr ic o es

V =

2*€„

ln

R.

S u g e r i m o s a l e s t u d i a n t e r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a i n v i r t i e n d o e l o r d e n , h a l l a n d o p r i m ero e l po tenc ia l y después e l cam po.




14.9 Relaciones energéticas en un campo eléctrico

La energía total de una partícula cargada o de un ion de masa m y carga q m o

viéndose en un campo eléctrico es

E

=

E

k

+

E

p

=

\m v

¿

+ qV. ' (14.35)

Cuando el ion se mueve de la posición

P

1

(donde el potencial eléctrico es Vj) a la

posición

P

2

(donde el potencial es V

2

), a

ec .

(14.35) combinada con el principio

de conservación de la energía, da

\mu\

+ qV

1

=

imvl

+ qV

2

. (14.36)

O, recordando que según la

ec.

(8.11) W =

%mü\

—

\mu\

es el trab ajo hecho

sobre la partícula cargada al moverse desde P

x

a P

2

, tenemos

W

= \mv\ — \mv\ = q(\\ — V

2

). (14.37)

Esta última ecuación nos permite dar una definición precisa del volt: es la dife

rencia de potencial a través de la cual la carga de un coulomb debe moverse,

para ganar una cantidad de energía igual a un joule.

Obsérvese que según la ec. (14.37), una partícula cargada positivamente (q > 0)

gana energía cinética cuando se mueve, desde puntos de mayor potencial, a pun

tos de menor potencial (V

2

> V

2

), mientras que una partícula cargada negati

vamen te

(q <

0) , para ganar energía, debe moverse desde pun tos de m enor

potencial, a puntos de mayor potencial (Vj <

V

2

).

Si escogemos el valor cero para el potencial eléctrico en

P

2

(V

2

= 0) y dis

ponemos nuestro experimento de modo que en

P

x

los iones tengan velocidad

cero (Vj = 0), la ec. (14.36) se convierte (quitando los subíndices) en

\m v

2

=qV, (14.38)

expresión que da la energía cinética adquirida por una partícula cuando se mueve

a través de una diferencia de potencial V. Este es, por ejemplo, el principio apli

cado en los aceleradores electrostáticos.

Un acelerador típico (fig. 14-28) consiste en un tubo al vacío a través del cual

se aplica una diferencia de potencial entre sus extremos. En uno de sus extremos

está una fuente de iones inyectando partículas cargadas dentro del tubo. Las

partículas llegan al otro extremo con una energía dada por la ec. (14.38). Estos

iones rápidos golpean un blanco T, construido de un material escogido según

la naturaleza del experimento a ejecutar. El resultado de estas colisiones es algún

tipo de reacción nuclear. La energía producida por el choque de los iones se trans

fiere al blanco, por lo cual éste debe ser constantemente enfriado, ya que de otro

modo se fundiría o vaporizaría.

Hay varios t ipos de aceleradores electrostáticos (Cockroft-Walton, Van de

Graaff, etc .). Cada uno de ellos produ ce la diferencia de potencial V por diferentes

métodos. En cualquier caso, la energía de los aceleradores electrostáticos está

limitada por la diferencia de potencial máxima que se les puede aplicar sin que

salten chispas entre los materiales usados. Esta diferencia de potencial no excede

de unos pocos millones de volts.



•±.;/1

Esfera cargad

positivament

Relaciones energéticas en un campo eléctrico

Recip i en t e a p res ión

F u e n t e d e i o n e s ,

S

485

Colector

Sumini s t ro de carga

Resistores para la distribución

del voltaje

Anil los ais ladores

P a r t í c u l a s aceleradas-—o

^—Entrada de gas a alta presión

—Tubo acelerador al vacio e

B l a n c o , T

Fie. 14-28. Sección transversal simplificada de un acelerador electrostático de

Van de Graaff. Un motor de alta velocidad transporta sobre dos poleas una correa

hecha de un material aislador. La correa toma en su extremo inferior la carga eléc

trica

proveniente de una fuente de voltaje y la transporta hacia arriba. Un colector

rrtira la carga y la coloca en la esfera metálica situada en la parte superior, la que

Adquiere un alto potencial eléctrico. En este extremo de alto \ol ta je se producen

: nes positivos que son acelerados hacia abajo por la diferencia de potencial entre

.a esfera cargada y el potencial de tierra al otro extremo.

Considerando que las par t ículas

lunaamentales

y los núcleos t ienen una carga

i-ue es igual a , o es un múltiplo de la carga fun dam ental e , la ec. (14.37) sugiere que

iefinamos una nueva unidad de energía, l lamada electronvolt, abreviad o eV,

:ue

se introdujo por primera vez en la sección 8.5. Un electronvolt es la energía

adquir ida po r una par t ícula de carga e al mov erse a trav és de una diferencia

ce potencial de un volt. Así, usando el valor de e de la ec. (14.13) , tenemos

eV = (1,6021 X 10"

19

C)(l V) = 1,6021 x lO"

19

J ,

cue

es ¡a equivalencia dada en la sección 8.5. Una partícula de carga ve

mov ién -

iose a través de una diferencia de potencial AV gana la energía vAV eV. Múl-

http://oltaje/

http://oltaje/




t ip los conven ien tes de l e lec t ronvo l t son e l kiloeledronvolt (keV ) y el megaelec-

tronvolt (MeV) .

E s m u y ú t i l e x p r e s a r l a m a s a e n r e p o s o d e l a s p a r t í c u l a s f u n d a m e n t a l e s e n

es ta un idad . Los r esu l tados son :

E

e

= m

e

c

2

= 8,1867

x

10"

11

J = 0 ,5110 MeV ,

E

p

=

/TipC

2

=

1,5032

x

10 ~

10

J = 938,26 MeV,

E

a

= m

n

c

2

= 1,5053 x 10"

10

J = 939,55 MeV.

EJEMPLO 14.8. Supon ien do que e l mov imie n to de un e iec t rón en un á tomo pue da

ser descr i to po r las leyes de la mecán ica newton iana , d i scu t i r l as ó rb i tas pos ib les

de un e lec t rón ún ico a l r ededo r de una carga nuc lear Ze . El caso Z = 1 corresponde

a l á tomo de h id rógeno , Z = 2 a un átomo de helio ionizado H e" (es decir , un átomo

de helio que ha perdido un electrón) , Z = 3 a un á tomo de l i t io dob lemen te ion i

zado L P * (es decir , un átomo de l i t io que ha perdido dos electrones) y así sucesi

v a m e n t e .

Solución: La in te r acc ión e léc t r ica inve r sam en te p ropo rc iona l a i cuad rado de la

d is tanc ia , invo lucrada en e l mov imien to de un e lec t rón a l r ededo r de un núc leo ,

es d inámicamen te idén t ica a la in te r acc ión g rav i tac iona l invo lucrada en e l mov i

mien to de un p lane ta a l r ededo r de l so l , y po r lo tan to lo s r esu l tados ob ten idos en

e l cap í tu lo 13 son ap l icab les d i r ec tamen te s i , en las exp res iones co r r espond ien tes ,

r e e m p l a z a m o s

ymm'

p o r Ze*¡4n€

6

. Po r ejempl o , las órbitas será n el ipses (o circu n

ferencias) con el núcleo en uno de ios focos. Sin embargo, para mayor clar idad,

r epe t i r emos a lgunos de lo s pasos .

C ons ideremos dos cargas , q, y q

2

, s e p a r a d a s a u n a d i s t a n c i a r y mov iéndose con

ve loc idades i>, y u¡ . La energ ía po tenc ia l e léc t r ica de l s i s tema es E

P

= g^dine^,

y la energ ía to ta l es

E = im,»» + imX -f

- M í - .

47t€

0

r

En e l caso de var ias par t ícu las ca rgadas , como en un á tomo o en una mo lécu la ,

la energía to ta ] es

tod as l as todo s los -*^

t

o' u

p ar t í cu l a s p a re s

Como se explicó en el ejemplo 9 .9 , la energía, en e caso de dos par t ículas refer idas

a su cen t ro de masa , puede

escribirse

de la forma

E = i(xy

2

-f

- M í - ,

(14 .39)

d o n d e ¡x es la mas a red uci da del sistema de dos par t ícu las

¡ec.

(9 .17) ] y v su velo

c idad r e la t iva .

En e l caso de un e lec t rón mov iéndose a l r ededo r de un núc leo , q

t

= — e y q

z

= Ze.

Además , como la masa de l núc leo es mayor que la masa de l e lec t rón , podemos

reemplazar la masa r educ ida de l s i s tema e lec t rón -núc leo po r ¡ a masa de l e lec t rón

m

c

.

So lamen te en lo s á tomos muy l igeros ta les como lo s de h id rógeno y he l io , puede

comprobar se e l e f ec to de la masa r educ ida . C on es ta ap rox imación tenemos para

la energ ía to ta l del á t o m o ,

E

=

imeo

2

^-—.

47TÍ0T



74.9)

Relaciones energéticas en un campo eléctrico 487

Suponiendo que la órbita sea circular, la ecuación del movimiento del electrón es,

según la

ec .

(7.28), m

t

o'lr =

FN,

ó

metf

8

Ze

2

de donde, m

e

u*

—

Ze

2

/4ite

0

r. Substituyendo este valor en ¡a expresión previa de

•a energía total, se obtiene

E = —

A

*'

N

= — 9 x 10» ~ , (14.40)

4*:e

0

(2r) 2r

v

'

¿onde

la constante eléctrica está expresada en el sistema

MKSC

de unidades. Con

;-te valor, E se expresa en J cuando r está en m y e en C. Esta ecuación está de

a-uerdo

con la ec. (13.6) para el caso gravitacional si reemplazamos

fmm'

por

La expresión (14.40) para la energía del sistema electrón-núcleo, será revisada

-:ás adelante para tomar en consideración los efectos relativista y magnético (ejem-

;

'.os

14.10 y 15.15). Para el átomo de hidrógeno (Z = 1), E representa la energía

- querida para separar el electrón del protón; o sea, la energía de ionización del

:omo

de hidrógeno. El valor experimental para esta energía de ionización es

..i77 x

10~

18

J ó 13,6 eV; con este valor encontramos que el radio de la órbita

:; i electrón es r = 0,53 x

10~

10

m. El hecho de que este radio sea del mismo orden

:

mag nitud que el estimado para las dimensiones atóm icas, nos proporc iona u na

: uena verificación de nuestro modelo del átomo.

En la sección 14.7 indicamos que la energía del movimiento electrónico en un

a*.orno está cuantizada. En el caso de átomos con un solo electrón, las energías

:

sibles

de los estados estacionarios están dadas, según la mecánica cuántica, por

'.i. expresión

mee'Z*

Un =

8«S/J

a

n

j

'

::nde n es un número en tero que puede tomar los valores 1 , 2 , 3 , . . . yA =

2TC/J

=

-.6256

=

10

-3

*

J s es la constante de Planck, que se introdujo en el ejemplo 7.15

ir. relación con el momentum angular del electrón en el átomo de hidrógeno. Intro

duciendo valores numéricos, tenemos que

_ 2,177 x

Í O -

1 8

^

T

13.598Z» . .

En = ; J = —i eV.

n

2

n*

El estado fundamental corresponde a

n

= 1, ya que ésta es la mínima energía

- osible par a el átom o. Compa rando la expresión anterio r de En con la ec. (14.40),

.enemos una estimación del tamaño de las correspondientes órbitas electrónicas

:«rmitidas. Este resultado es

nWe,,

n

3

a

0

nZe*m

e

Z

donde

a

0

= /i'eo/Tre'/ne = 5,292 x

10"

11

m

se llama radio de JBohr. Corresponde al radio del átomo de hidrógeno en su estado

fundamental. Hemos indicado previamente que el movimiento electrónico no co

rresponde a órbitas electrónicas bien definidas, como en el caso de los planetas.

Por consiguiente, el valor de r no debe tomarse al pie de la letra. Antes bien, sirve

sólo para dar una idea del orden de magnitud de la región en la cual es muy pro

bable que se encuentre el electrón.



488 Interacción eléctrica {14.9

EJEMPLO 14.9. Us and o el pr inc ip io de conse rvació n de la ener gía, calcular la

d is tanc ia mín ima de ap rox imación de una par t ícu la ca rgada que choca de f r en te

con t r a un núc leo a tómico .

Solución: Si la carga del núcleo es Ze

y

la del proyecti l es ve, que corresponden

a

9i y 1i ê *

a e c

-

(14-39),

la energía to tal del s is tema del proyecti l más núcleo es

s iendo

y.

la mas a reduc ida del s is te ma . Si la m asa del núcleo es mucho m a y o r q u e

la de l p royec t i l , o s i e l núc leo es tá a lo jado en un c r i s ta l , podemos r eemplazar

¡i

por la masa de l p royec t i l m, r e s u l t a n d o

h = im v

2

-f — .

Pero s i , po r e jem p lo , d i r ig imos p ro ton es con t r a p ro ton es (v = Z = 1 ) , debemos

usar la masa r educ ida , que es ¡J.

--•= \m

P

( r eco rdar

e

e jemplo 9 .3 ) . C uando la par t ícu la

es tá muy d is tan te , toda su energía es cinética e igual a \mvl. L l a m a m o s y a su

ve loc idad en e l pun to A de máx imo acercamien to ( f lg . 14 -24 ) cuando r = R. L a

conservac ión de la energ ía r equ ie r e que

4TT€

0

R

E n e l p u n t o A d e m á x i m a a p r o x i m a c i ó n , l a v e l o c i d a d e s t o t a l m e n t e t r a n s v e r s a l ,

y po r lo tan to e l momentum angu la r es L =

mRo.

C o m o L es una cons tan te de l

mov imien to , podemos u sar es ta r e lac ión para e l iminar la ve loc idad v e n e l p u n t o A,

o b t e n i e n d o

+ — =r = \mv\.

2m R

2

Ecuac ión de segundo g rado en

1/.R

q u e p e r m i t e o b t e n e r R en función de la energía

y de l momen tum angu la r de la par t ícu la . Para una co l i s ión de f r en te , L = 0 y

R

,_

vZ«*

4Tte

0

(|mü§)

lo cua l es tá de acuerdo con e l r esu l tado p rev iamen te ob ten ido en e l e jemp lo 14 .5 .

Obsérvese que para una co l i s ión de f r en te ,

v

= 0 e n e l p u n t o d e m á x i m a a p r o x i

mación y toda la energ ía c iné t ica se ha t r ans fo rmado en po tenc ia l .

EJEMPLO 14.10. Es t im ar e l o rden de ma gn i tud de la co r r ecc ión deb i da a lo s

efec to s r e la t iv i s tas que hay que hacer a la energ ía de un e lec t rón en un á tomo .

Solución: E n e l cap í tu lo 13 y en es te cap í tu lo , s iempre que hemo s t r a t ad o e l mo

v imien to r eg ido po r la ley de p ropo rc iona l idad inver sa de l cuad rado de la d i s tanc ia ,

como se h izo en e l e jemp lo 14 .8 , hemos u sado la mecán ica newton iana desp rec iando

los e f ec to s r e la t iv i s tas . E l p roced imien to es co r r ec to para e l mov imien to p lane ta r io ,

pero cuando se t r a ta de l mov imien to de e lec t rones en un á tomo no s iempre se ju s

t i f ica . En un á tomo , lo s e lec t rones se mueven con ve loc idades su f ic ien temen te

g r a n d e s d e m o d o q u e l a c o r r e c c i ó n r e l a t i v i s t a p u e d e m e d i r s e e x p e r i m e n t a l m e n t e .

Es t imemos e l o rden de magn i tud de es te e f ec to .

Usando la ec . ( 11 .18 ) , encon t r amos que la energ ía to ta l de un e lec t rón que se

mueve con g ran ve loc idad en un á tomo ( r es tando su energ ía en r eposo ) es

c Vmk* + p

2

+ (—

eV)-

meC



14.10) Corriente eléctrica 489

Suponiendo que el

momentum

p es menor que iriec, podemos desarrollar el radical

hasta términos de segundo orden, con lo que se obtiene

E = —-— p

2

— p* + . . . + (— eV ) =

1

P

M <_« v ) l _ _ - L _ p «

+

.. .

2me ' 8mlc

s

Los dos términos encerrados dentro del corchete dan la energía sin tomar en cuenta

el efecto relativista, el cual, para órbitas circulares, está dado por la

ec .

(14.40).

Por lo tanto, el último término es la corrección relativista de la energía total del

electrón, con aproximación hasta del primer orden, que designaremos por

&Er.

Luego

Ai ? =

L _

D

4

=

L _

( P

a

\

( P

3

\

8mtc»

H

2mec

a

V 2m

e

) \

2 m

e

/ '

Los dos términos encerrados en el paréntesis corresponden a la energía cinética

no relativista del electrón. Entonces podemos escribir (con razonable aproximación)

para el primero, usando el resultado del ejemplo 14.8,

*- = E - E, - ^ - + - ^ - =

Ze

' - - * .

2m

e

4ire

0

(2r) 47r£„r 47te

((

(2r)

El segundo puede escribirse p

2

/2 m

e

==

\tneV*.

Por consiguiente

Luego, la corrección relativista es del orden de

(v¡c)

%

veces la energía del

electrón.

En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, (ü/C) es del orden de

10"*

y por lo tanto

A£r ~

10"*

E, o cerca de 0,001 % de E, una cantidad que puede ser fácilmente

medida en el laboratorio con técnicas experimentales ahora en uso.

14.10 Corriente eléctrica

E3

ejemplo del acelerador electrostático con partícula s cargad as aceleradas según

la dirección del eje del tubo, dado en la sección 14.9, sugiere que introduzcamos

ahora e l concepto muy impor tan te de corriente eléctrica. Una corriente eléctr ica

consiste en un chorro de partículas cargadas o iones. Esta definición es aplicable a

los iones en un acelerador de cualqu ier clase, a los de un a solución electr olítica ,

a los de un gas ionizado o plasma, o a los electrones en un conductor metálico.

A fin de que se produzca una corriente eléctr ica, debe aplicarse un campo eléc

tr ico para mover las partículas cargadas en una dirección determinada.

La intensidad de una corriente eléctrica se define como la carga eléctrica que

pasa por unidad de tiempo a través de una sección de la región donde ésta fluye,

como, por ejemplo, la sección del tubo de un acelerador o de un alambre metá l ico .

En consecuencia, si en el tiempo /, pasan N partículas , cada una con carga q,

a través de una sección del medio conductor, la carga total Q que ha pasado

es Q — Nq, y la intensidad de la corriente es

I = Nq¡t = Q/t. (14.41)

http://tnev%2A/

http://tnev%2A/



490

Interacción eléctrica (14.10

En realidad, la expresión anterior da la corriente media en el tiempo

t;

la corrie nte

instantánea es

/

=

dQlát.

(14.42)

La corriente eléctrica se expresa en coulomb/segundo o s"

1

C, unidad llamada

ampere

(abreviado A) en honor del físico francés André M. Ampére (1775-1836).

Un ampere es la intensidad de una corriente eléctrica que corresponde al paso

de un coulomb a través de una sección del material en un segundo.

La dirección de una corriente eléctrica se supone que es la del movimiento

de las partículas cargadas positivamente. Es la misma dirección del campo eléc

trico aplicado o de la diferencia de potencial que produce el movimiento de las

partículas cargadas (fig. 14-29a). De ahí que, si una corriente se debe al moví-

0^0-^

0-

/

-Ql^-0

0 ^ -/-O0)

^0

(a) Cargas positivas

(b) Cargas negativas

(c) Cargas positivas

y negativas

Fig. 14-29. Corriente eléctrica I resultante del movimiento de iones positivos y

negativos producido por un campo eléctrico.

miento de partículas cargadas negativamente, tal como los electrones, el sentido

de la corriente es opuesto al del movimiento real de los mismos (fig. 14-29b).

Mantener una corriente eléctrica requiere energía porque los iones son acele

rados por el campo eléctrico. Supongamos que en el tiempo t

haya

N iones, cada

uno con carga q,

moviéndose

a través de una diferencia de potencial V. Cada

ion adquiere la energía

q

V, y la energía total adquirida es NqV — QV. La energía

por unidad de t iempo, o la potencia ' requerida para m ante ner la corriente, es

entonces

P = QVjt = VI. (14.43)

Esta expresión da, por ejemplo, la potencia requerida para hacer funcionar el

acelerador estudiado en la sección anterior. También da la rapidez con que se

transfiere energía al blanco del acelerador, y por lo tanto la rapidez con la cual

el sistema de enfriamiento del blanco debe sacar energía. Vemos así, que la ex

presión (14.43) tiene validez general y da la potencia necesaria para mantener

una corriente eléctrica / a tra vés de una diferencia d e poten cial V aplicad a a

dos puntos de cualquier medio conductor. Nótese que, según la

ec .

(14.43),



'-f.il)

Dipolo eléctrico 491

l±

joule coulomb joule

volt X ampere = x = —

-~

w a t t

coulomb segundo segundo

ie

modo que las unidades son compatibles .

Figura 14-30

14.11 Dipolo eléctrico

L'na disposición interesante de cargas es el dipolo eléctrico. Este consiste en dos

:argas opuestas , + q y —

< ¡ ,

separadas por una dis tancia

muy pequeña (fig. 14-30).

El momento dipolar eléctr ico p* se define por

p

= qa ,

(14.44)

:onde a es el vector desplazamiento orientado de la carga negativa a a posit iva.

El potencial eléctrico en el punto P debido al dipolo eléctrico es, usando la

,:.

(14.33),

1

y (

f

2 —

r

i )

^2

>: la distancia a es muy pequeña comparada con r, podemos poner

r

2

— r

x

= a

eos

6 y r =

r

2

,

-rs altando

V=

( ? f l C 0 S 9

ó V

=

P C

°

S 6

.

(14.45)

4 ^ 6 ^ ^-rce,,/

-2

• ; : sérvese que

el símbolo convencional de momentum

es

el mismo que el de momento dipolar

: í:*.rico.

http://%27-f.il/

http://%27-f.il/



492 Interacción eléctrica

(14.11

Podemos expresar ¡a

ec .

(14.45) en coordenadas rectangulares y usar la

ec .

(14.29)

para obtener la intensidad del campo eléctrico (recordar el ejemplo 13.7). De

jamos esto como ejercicio al es tudiante. En su lugar determinaremos las compo

nentes de ¿' en coordenadas polares, usando la ec. (14.28). Para obtener la com

ponente radial £

T

, observemos que oís =

dr,

entonces

6-

=

8V

~dr~

2p

eos 8

^ V

3

(14.46)

Para la componente transversal

f

9

,

usamos ds — r

d9,

con lo cual se obtiene

1 8V p sen 8

< f « =

é>8

47T6

0

r

3

(14.47)

Figura 14-31

Estas dos componentes se i lustran en la

figura

14-31.

Las líneas de fuerzas están in

dicadas en la

fig. 14-32.

Aunque en un

di

polo eléctrico, por ser las dos cargas iguales

y opuestas, la carga neta es cero, el ligero

desplazamiento que hay entre ellas es sufi

ciente para producir un campo eléctr ico di

ferente de cero.

En general, s i tenemos varias cargas q

v

q

2

, q

s

, . . . en los puntos P

v

P

2

, P

3

el

momento dipolar eléctr ico de la dis tr ibu

ción de cargas es

V = <7l*-l + ?«»« + fe»» + • • • = 2

9¡

r

i-

[Esta definición coincide con la ec. (14.44), porque, siendo dos cargas iguales

y opuestas , el momento es p = qr

1

— qr

z

= q(r

1

—•

r^ = qa.] Tomando el eje Z

en la dirección de

p,

la expresión anterior para el momento dipolar eléctr ico de

varias cargas es, en módulo

p =

^ W

~

2 *

W'

cos 9¡

'

(14.48)

siendo r la distancia de cada carga al origen,

8¡

el ángulo que

r¡

forma con el

eje 2 y z¡ = r¡ cos 8¡.

En los átomos, el centro de masa de los electrones coincide con el núcleo, y

por consiguiente, el promedio del momento dipolar eléctrico del átomo es cero

(fig. 14-33a). Pero si se aplica un campo externo, el movimiento electrónico se

perturba, lo que ocasiona que el centro de masa de los electrones se desplace

una distancia

z

con respecto al núcleo (fig. 14-33b). Se dice que el átomo se ha

polarizado convirtiéndose en un dipolo eléctrico de momento

p.

Es te momento

es proporcional al campo eléctrico externo

<T.



14.11)


Fig . 14 -32 . L ínea s de fuerza de l cam po e léc t r ico de un d ipo lo e léc t r ico .

Electrones ,"",

:)

./v¿¡f

Núcleo

(")

Campo externo nulo (b) Campo externo

Fig .

14 -33 .

Po la r izac ión de un á tomo ba jo la acc ión de un camp o e léc t r ico ex t e rno .

P o r o t r a p a r t e , a l g u n a s m o l é c u l a s p u e d e n t e n e r u n m o m e n t o d i p o l a r e l é c t r i c o

p e r m a n e n t e . T a l e s m o l é c u l a s s e l laman polares. P o r e j e m p l o , -en l a m o l é c u l a

de HC 1 ( fig. 14 -34 ), e l e lec t ró n de l á t om o de H ta rd a m ás t ie m po en su m ov i

m i e n t o a l r e d e d o r d e l á t o m o d e C l, q u e a l r e d e d o r d e l á t o m o d e H . E n c o n s e

cuenc ia , e l cen t ro de las ca rgas nega t ivas no co inc ide con e l de las ca rgas pos i t ivas ,




•

-© ©-

< ° >

p p

Fig. 14-34. Moléculas diatóm icas polares.

y la molécula presenta un momento dipolar dir igido del átomo de Cl al átomo

de H. O sea que podemos escribir

H

+

C1~.

El momento dipolar eléctr ico de la

molécula de HC1 es p — 3.43 x 10 "

30

C m. En la molécula de CO, la distribución

de cargas es l igeramente asimétrica y el momento dipolar eléctr ico es relativa

mente pequeño, aproximadamente igual a 0.4 x

1Q""

30

C m, estando el átomo de

carbono en el extremo positivo de la molécula y el de oxígeno en el negativo.

105°

+

© ©

®

Pi P 2

Fig.

14-35.

lécula H

2

0 .

Dipolo eléctrico de la mo- Flg. 14-36. La m olécula de C 0

2

no

tiene dipolo eléctrico.

En una molécula tal como H

2

0, donde los enlaces H—O forman un ángulo

un poco mayor de 90° (fig.

14-35),

los electrones tratan de concentrarse alrededor

del átomo de oxígeno, por

lo

cual éste parece l igeramente negativo respecto a

los átomos de H. Cada enlace H—O contribuye de este modo al momento dipolar

eléctrico resultante, el cual, debido a la simetría, yace según el eje de la molécula

y tiene un valor igual a 6,2 x

10

-3 0

C m. Pero en la molécula de C 0

2

, todos los

átomos están en línea recta'(fig. 14-36), y el momento dipolar eléctrico resultante

es igual a cero por s imetría. Por lo tanto los momentos dipolares eléctr icos sumi

nistran información útil acerca de la estructura de las moléculas. En la tabla 14-1

se dan valores de p para varias moléculas polares .

Cuando un dipolo eléctrico se coloca en un campo eléctrico, se produce una

fuerza sobre cada carga del dipolo (fig. 14-37). La resultante de estas fuerzas es

F

qC — qC

=

q(¿

—

C).

Consideremos el caso especial en que el campo

eléctrico

está dirigido según el

eje X y el dipolo está orientado paralelamente al campo. Entonces, considerando

sólo los módulos, £ — C = (d (

c

¡dx)a, y por lo tanto

F — p(d<

c

/dx).

Este resultado

prueba que un dipolo eléctrico paralelo al campo eléctrico tiende a moverse en la



UJ1)


TABLA 14-1 Momentos

dipolares

eléctricos

de aigunas moíéeulas seleccionadas*

Molécula

HG1

H B r

H í

CO

H

2

0

H

2

S

S 0

2

N H ,

C

2

H

5

OH

P, ir. C

3,43 x

l o

- 3 0

2,60 x 10"

3 0

1,26 x 10~

3

»

0,40 x 10"

30

6,2 x 1 0 '

3 0

5,3 x 1 0

- 3 0

5,3 x 10"

30

5,0 x 10"

30

3,66 x

10 -

3 0

* Entre las moléculas con momento dipolar

eléctrico igual a cero están:

C 0

2

,

H

2

, CH

4

(metano),

Q H ,

(etano) y

CC1

4

(tetracloruro

de carbono).

Pig. 14-37.

Dipolo eléctrico en un

campo eléctrico externo.

dirección en que el campo crece. Se obtiene un resultado contrario s i el dipolo se

orienta antiparalelamente al campo. El estudiante observará que s i el campo

eléctrico es uniforme, la fuerza resultante sobre el dipolo eléctrico es cero.

La energía potencial del dipolo es

/ V— V" \

E

p

= qV-qV' = q(V-V) = -qa[ j

y usando la

ec .

(14.31), encontramos que si

6

es el ángulo entre el dipolo y el campo

eléctrico, el último factor es la componente £

a

= <*

eos

6 del campo

£"

para le lo

a

a.

Por lo cual

E

p

= — qaCa

ó

¿?

p

=

p<?

eos 8 = — jp • ¿

'.

(14.49)

La energía potencial t iene un valor mínimo cuando 9 = 0 , lo que indica que

el dipolo está en equilibrio cuando se orienta paralelamente al campo.

Si despre

ciamos la pequeña diferencia entre f y f las fuerzas

q£

y —

qC

sobre las cargas

que componen el dipolo forman un par cuyo torque, de acuerdo con la ec. (4.13), es

T = o x

(q£)

=

(qa)

x ¿ = p

x

£.

(14.50)

De la expresión anterior, así como de la fig. 14-37, deducimos que el torque del

campo eléctrico tiende a alinear el dipolo paralelam ente al campo. El módulo del

torque es T =

p£

sen 8 y su dirección e stán indica dos en la fig. 14-37. Si usam os

la ec (8,26), T

Z

= —

dEp/BO,

podemos usar la ec. (14.49) para obtener

z

z

= —

pf

sen 8. La diferencia de signo para T se debe al hecho que T da el módulo del

torque, mientras que x

z

da la componente del torque según la dirección Z, per

pendicular al plano en el cual se mide el ángulo 8, y orientada en el sentido en

que avanza un tornillo de rosca derecha, que rota en el sentido en que 9 crece.



14.11)


Solución: En el ejemp lo 14.tt o b t u v i m o s el c a m p o eléctrico p r o d u c i d o p o r un d ipo lo

a la d i s tanc ia r . L lamando p

x

su momen to d ipo la r e léc t r ico , podemos escr ib i r

3u,(u

r

'P,)—í>i

4Tre

0

r

3

D e s i g n a n d o p o r

p

2

e l momen to de l segundo d ipo lo , y u sando la

ec .

(14 .49 ) encon

trarnos que la energía de in teracción entre los dos d ipolos es

^ p . i 2 — '

Pz

" i —

3("r

•

p

t

) («r

'

P

2

) Pi Pt

4TT€

0

r

3

(14 .51)

Impor tan tes conc lus iones pueden der ivar se de es te r esu l tado . Una de e l las es que

la energ ía de in te r acc ión

Ep ,

a

es simétrica en lo s dos d ipo los po r que s i in t e r c am

b i a m o s

p

x

y

p

2

todo permanece igua l . Es te r esu l tado e r a de esperar se . O t r a es que

la in teracción entre los dos d ipolos no es central p o r q u e d e p e n d e d e l o s á n g u l o s

que el vector de posición r o el versor i*r form a con p , y p

3

. C omo consecuenc ia , en

e l mov imien to deb ido a la in te r acc ión d ipo lo -d ipo lo , e l momentum a n g u l a r o r b i t a l

de los d ipolos no se conserva. Otra consecuencia es que la fuerza entre los dos

d i-

polos

no yace según la l ínea que lo s une ( excep to para c ie r tas pos ic iones espec í

ficas). Una conc lus ión ad ic iona l es que , como la energ ía po tenc ia l en t r e dos d ipo los

e léc t r icos var ía con la d i s tanc ia de acuerdo a r~

3

, la fuerza , q ue es e l g r ad ien te de

la energ ía po tenc ia l , d i sminuye según r~*, y po r lo tan to la in te r acc ión en t r e dos

d ipo los e léc t r icos d isminuye con la d i s tanc ia más r áp idamen te que la in te r acc ión

en t r e las ca rgas .

/'-'

-I

P i P¡

(b)

P l

(c)

P¿

Ur \

|

r

1

I

I

(a) (I)) (c)

(d)

F g , 14 -89 . In te r acc ión en t r e dos d ipo los e léc t r icos .

La geometr ía co r r espond ien te a la ec . ( 14 .51 ) se i lu s t r a en la

fig.

14 -39 , donde ( a )

co r r esponde a l caso genera l . En (b ) lo s dos d ipo los es tán a l ineados según la r ec ta

que lo s une . De es te modo p^P j = P iP

2

, «r 'Pi — Pi y "T'P

2

=

p

z

,

luego

Ep.u —

2PiPa

47te

0

r

>

'

r esu l tando una a t r acc ión en t r e lo s d ipo los ya que e l s igno es nega t ivo . En ( c ) tene

m os PJ^Pü =

PIPü,

pero

ur-pj

= 0 y

u

r

-p

3

= 0 , de modo que

J

P.12

+

PiPa

47te

0

r

3

C omo es te va lo r es pos i t ivo , ind ica una r epu ls ión en t r e lo s dos d ipo los . F ina lmen te ,

en (d ) tenemos

p¡'P

2

=

—p

x

p

%

y en tonces

¿?P,12

PiPz

4ize„r

3



496 Interacción eléctrica {14.11

•f'

F lg .

14-88. Efec tos de polar iz ación de un ion en solución.

El s igno nega t ivo de t

z

con f i rma qup el torque t iende a d isminu i r e l ángu lo 8 .

E s t a s p r o p i e d a d e s d e u n d i p o l o c o l o c a d o e n u n c a m p o

eléctrico

t i e n e n i m p o r

t a n t e s a p l i c a c i o n e s . P o r e j e m p l o ,

;;.omo

mencionamos en la d i scus ión de la

ñ g . 14.19

c u a n d o h a b l a m o s a c e r c a d e ia e^drc'isis,

r

-i campo e léc t r ico de un ion en so lu

c ión , po la r iza las mo lécu las de solveme que rodea al ion , y en tonces se o r ien tan

en ia forma indicada en ia

flg.

14-38. Estas m o l é c u l a s o r i e n t a d a s s e l i g a n m á s o

m e n o s a i o n . a u m e n t a n d o s u m a s a efectiva y d isminuyendo su carga e f ec t iva ,

la cua l queda parc ia lmen te s in in f iuenc ia ex te rna , po r la pan ta l la que fo rman

las mo lécu las . E l e f ec to ne to es que la mov i l idad de l ion en e l campo ex te rno

d i s m i n u y e . T a m b i é n , c u a n d o u n g a s o u n l i q u i d o c u y a s m o l é c u l a s f o r m a n d i p o l o s

permanen tes , se co loca en un lugar donde ex is ta un campo e léc t r ico , l as mo lécu

l a s , c o m o r e s u l t a d o d e l o s m o m e n t o s d e b i d o s a l c a m p o e l é c t r i c o , t i e n d e n a a l i

near se con sus d ipo los para le lo s a l campo . En es te caso dec imos que la su s tanc ia

ha s ido polarizada (ve r la sección 16,5) .

EJEMPLO 14.11. Ex pre sar e l cam po e léc t rico de un d ipo lo en fo rma vec to r ia l .

Solución: E n la f ig . 14-31 obs erva mo s que

c" = ttrí'r + wec"9 = — (u

T

2p eos 8 -+- u ep sen

6).

4x€

Q

r

3

De la misma f igu ra ob tenemos

p = p(u

r

eos 6

—

ue

sen 6).

Usando es ta r e lac ión para e l iminar p sen 0 en la expresión de C o b t e n e m o s

1

¿ = (3«rP COS 0 p).

47re

0

r

3 v

r

A d e m á s ,

p eos

6 = ur-p. Po r cons igu ien te

.. _ 3llr{Ur'p) p

4ne

0

r>

que da el campo del d ipolo eléctr ico en forma vector ial .

EJEMPLO 14.12, Ob te ner la energ ía de in •*••• ae-ji n entre dos d ipolos eléctr icos.

Usar e l r esu l tado ob ten ido para es t imar la

¿.oc-i.

;

:'r.

,:"? in te r acc ión en t r e dos mo lécu

las de agua. Discutir además los efectos de orientación r e la t iva .



498


(14.12

que significa que hay atracción de ios dipoios. Estos resultados están evidentemente

de acuerdo con ia imagen física del problema.

La interacción entre dos dipolos eléctricos es de gran importancia porque las

fuerzas moleculares se deben, en gran parte, a este tipo de interacción. Considere

mos dos moléculas de agua en la posición relativa de la flg. 14-39b a distancia normal

en la fase líquida de 3.1 x

10~'°

m. Su mom ento dipo lar eléctrico es 6.1 x 1(T

30

C m.

Por lo tanto, la energía potencial de interacción es

-kP'12 ~

10» x 2 x (6,1 x l(>-

3

°)*

(3,1 x

ic r

10

)

3

-

2,22 x 10 -

20

J.

Este resultado es diez veces mayor que la energía de interacción mencionada en

la sección 13.9, que se estimó usando el valor del calor de vaporización. El estu

diante comprenderá, sin embargo, que el presente resultado corresponde a la energía

de interacción instantánea entre dos moléculas de agua en la posición relativa de

la fig. 14-39b. Pero como las moléculas de agua están en continuo movimiento,

su orientación relativa cambia continuamente. Por consiguiente, para obtener la

energía E

P

,

V2

debem os prom ediar los valores dados por ¡a ec. (14.51) en tod as las

orientaciones relativas posibles. Así obtenemos resultados más concordantes.

Sugerimos que el estudiante compare el resultado anterior para la energía de

interacción eléctrica E

t

,

í2

, entre dos moléculas de agua, con la correspondiente

interacción gravitacional para la misma posición relativa.

14.12 Mu ltipolos eléctricos de orden superior

Es posible definir momentos multipolares eléctricos de orden superior al segundo.

Por ejemplo, una distribución de cargas como la indicada en la

fig.

14-40 cons

ti tuye un cuadrupolo eléctrico. Obsérvese qu e su carga t ota l es cero y que su

momento dipolar eléctrico es también cero, en virtud de la ec. (14.48). No es

fácil dar aquí una definición general del momento cuadrupolar eléctrico, de un

modo elemental. Sin embargo, podemos decir , que el momento cuadrupolar

eléctrico de una distribución de cargas respecto a un eje de simetría, tal como

el eje Z, se define por

0 = ^ ^ ( 3 ^ 6 , - 1 ) ,

(14.52)

~1

i

i

0

7

+ '7

'+'/

~<l

Pig.

14-40. Cuadrup olo eléctrico. Figura 14-41



Multipolos ek.~:;icc? ds orden superior

499

'¿-•-° ê« ^|% s

(a) (b)

(c)

Fig . 14 -42 . Cuadrupolo e léc t r ico de d is t r ibuc iones e l ip so ida les de carga .

donde r ¡ es la d i s tanc ia desde la ca rga i a l cen t ro , y 6¡ es e l ángu lo que r ¡ f o r m a

con el eje ( f ig . 14-41) . Observamos que z; = r¡ eos 6¡ . E n t o n c e s p o d e m o s e s c r i b i r

la ec . (14 .52) como

0= i£>(3 *? - i f ) .

(14 .53 )

E l m o m e n t o cuadrupolar e léc t r ico es ce ro para una d is t r ibuc ión es f é r ica de car

gas , p o s i t i v o p a r a u n a d i s t r i b u c i ó n d e c a r g a s a l a r g a d a , y n e g a t i v o p a r a u n a d i s

t r i b u c i ó n d e c a r g a s a c h a t a d a ( f i g .

14-42) .

P o r c o n s i g u i e n t e e l m o m e n t o c u a d r u

p o l a r e l é c t r i c o d a e l g r a d o e n q u e u n a d i s t r i b u c i ó n d e c a r g a s s e a p a r t a d e l a f o r m a

es fé r ica . Po r e jemp lo , en la secc ión 14 .7 suger imos que lo s núc leos a tómicos e r an

e s f é r i c o s . S i n e m b a r g o , m e d i c i o n e s c u i d a d o s a s i n d i c a n q u e c i e r t o s n ú c l e o s t i e n e n

m o m e n t o s c u a d r u p o l a r e s r e l a t i v a m e n t e g r a n d e s , l o q u e s e h a i n t e r p r e t a d o c o m o

i n d i c a c i ó n d e q u e t a l e s n ú c l e o s e s t á n m u y d e f o r m a d o s y e n c o n s e c u e n c i a e l c a m p o

eléc t r ico que e l lo s p roducen d i f ie r e de l de una carga pun tua l . Es to a su vez a f ec ta

a la energ ía de l mov imien to e lec t rón ico .

D e b e m o s o b s e r v a r q u e e l p o t e n c i a l d e u n a c a r g a p u n t u a l d i s m i n u y e c o m o r

_1

y e l c a m p o c o m o r~

2

. A n á l o g a m e n t e h e m o s v i s t o ( s ec c i ón 1 4 .1 1 ) q u e p a r a u n

d ipo lo e léc t r ico e l po tenc ia l d i sminuye como

r

- 2

y e l c a m p o c o m o r~

3

. D e u n

modo s i m i l a r p u e d e p r o b a r s e q u e e l p o t e n c i a l d e u n c u a d r u p o l o e l é c t r i c o v a r í a

c o m o r~

3

y e l campo como r~

4

. R e s u l t a d o s s i m i l a r e s s e o b t i e n e n p a r a m u l t i p o l o s

d e o r d e n s u p e r i o r . C o n c l u i m o s e n t o n c e s q u e c u a n t o m á s a l t o s e a e l o r d e n d e

m u l t i p o l o , m e n o r e s e l a l c a n c e d e n t r o d e l c u a l el c a m p o e l é c t r i c o t i e n e e f e c t o s

o b s e r v a b l e s .

KJEMPLO

14.13, C alcu la r e l po tenc ia l e léc t r ico pa ra la d i s t r ibu c ión de cargas de

la

fig.

(14 .13 ) , l l amada cuad rupo lo e léc t r ico l inea l .

Solución: La carga to ta l de l s i s tema es ce ro . Ta mb ién e l mo me n to dipolar e léc t r ico

es cero porque, usando la ec. (14 .48) , tenemos p = + q(+ a) — 2g(0) + q(—a) = 0 .

S in embargo , e l campo e léc t r ico no es idén t icamen te nu lo . E l po tenc ia l e léc t r ico

'.-n ci

p u n t o l' es

—

Í

X

r,

) * _ ( . _ A

+

J L ) .

/

47:e

0

\ r, r

r

2

)

(14 .54)



50 0

Interacción

eléctrica

(14.12

De la f igura deducimos que

r

x

= (r

2

—

2a r

eos 9 + a

8

)

1

'

2

.

S u p o n i e n d o q u e a e s m u y p e q u e ñ o c o m p a r a d o c o n

r,

podem os e sc r ib i r

í, 2a eos 6

,

a

2

V'

2

y

I

x

d _

2ti

C

? L

0

' - £ i V

1 / 2

(14.55)

U sando e l desa r ro l lo de b inom io dado por l a

- J C .

(M. 22) has ta e l t e rce r t é rm ino

con

n

= — i, ob tene rnos (1 4- a :)

-1

" = 1 — \x f fx

2

+ . . . En e l p re se n te caso ,

tenemos x

= —

la eos

6/ r -t-

a

2

/r

2

.

Luego

1

1

1

_»

T

_.

+

¿

+

| ( .

2a cos_9

r

a

2

V

"i TI

r* /

F i g u r a

14-43

Desa r ro l l and o e l corche te y de jand o só lo los t é r

m inos has ta e l o rden

r

3

e n e l d e n o m i n a d o r , o b

t e n e m o s

1 1 , a eos 9 , a

2

.„ , . . . ,

— = (3 cos

s

8 — 1) + . . .

T

X

r

r

2

2r

3 ;

(14.56)

X

A n á l o g a m e n t e , r¡, = (r

2

+

2ar eos 6 +

a

2

)

1

'

2

; por

cons igu ien te

1 1

a eos

6 , a

2

.

— =

—

— +

— T

(3

eos

2

6

— 1) + . , .

r

2

r

r

2

2 r

3

(14.57)

S us t i tuyendo los re su l t ados (14 .56) y (14 .57) en l a

e c

(14 .54) y s im pl i f i cando , ob te

nem os pa ra e l po tenc ia l

o tenc ia l

V - ?

qa

(3

eos

2

e — 1)_

4ire

0

r

3

Apl icando la ec . (14 .52) , encon t ram os que e l m om ento cuadrupola r e léc t r i co de

la dis tr ibución de carga es

P or o t an to

carga es

Q

=

*{?(3a

2

—

a*)

—

2?(0)

+

9

[ 3 ( — a )

2

—a*]}

=

2

9

a

2

.

V = Q(3 cos

2

9 —1)

2(47rc

0

)r» *

(14.58)

que da e l po tenc ia e léc t r i co de

an

cuadrup lo e léc t r i co l inea l . P odem os ob tene r e l

cam po e léc t r i co ap l i cando la ec . (14 .28) , com o h ic im os pa ra e l d ipo lo e léc t r i co .



Bibliografía 501

Bibliografía

1.

" R e s o u r c e L e t t e r

ECAN-1 o n t h e

E l e c t r o n i c C h a r g e a n d A v o g a d r o ' s

Number,"

D . L . A n d e r s o n ,

Am. J. Phgs.

34, 2 (1966)

2. "Nonuniform E l e c t r i c F i e l d s " , H . P o n í ;

Sci.

Am., d i c i e m b r e 1 9 6 0 , p á g . 1 0 6

3 . "Rober t

A n d r e w s M i l l i k a n " , E .

W a t s o n ; The Physics Teacher

2, 7 (1964)

4 .

"Rutherford

a n d H i s

a-Particles",

T . Osgoód y

H .

H i r s t ;

Am. J. Phys.

82 ,

681 (1964)

5 .

" T h e B i r t h o f t h e N u c l e a r

A t o m " ,

E . D a C . A n d r a d e ; Sci.

Am.,

n o v i e m b r e

1965 , pág . 93

6 . " D i s c o v e r y o f t h e E l e c t r o n " , G . T h o m s o n ;

Physics Today,

ago s to 1956 , pá g . 19

7 . " E l e c t r o n T h e o r y : D e s c r i p t i o n a n d A n a l o g y " , J . Oppenheimer;

Physics Today,

jul io 1957, pág. 12

8 . " C l a s si c a l D e s c r i p t i o n o f C h a r g e d P a r t i c l e s " , F . R o h r l i c h ;

Physics Today,

m arzo 1962 , pág . 19

9 . " T h e L i n e a r A c c e l e r a t o r " ,

W. P a n o f s k y ; Sci.

Am., o c t u b r e 1 9 5 4 , p á g . 4 0

10 .

" T h e Two-Mile E l e c t r o n A c c e l e r a t o r " , E . G i n x t o n y W . Kirk;

Sci.

Am., n o

v iem bre 1 961 , pág . 49

1 1 .

The Developmenl of

Ihe

Concept of Electric Charge,

D . R o l l e r y D .

H .

D .

Roller.

H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s . , 1 9 5 4

12 .

The Discovery of Ihe Electron,

D . A n d e r s o n . M o m e n t u m B o o k s , D . V a n N o s t r a n d ,

P r i n c e t o n ,

N. J . , 1964

13 .

Foundations of Electromagneüc Theory, J . R . Re i tz y F . J .

Milford.

A d d i s o n -

Wesley, Reading, Mass . , 1960, secs . 2 .1 a 2.5, 2 .8, 2 .9, y 7.1

14 .

Great Experimenls in Physics, M orris Shamos, editor.

H o J t , R i n e h a r t

a nd Wins t on ,

N e w Y o r k , 1 9 5 9 ; c a p . 5 , C . C o u l o m b ; c a p . 1 0 , M . F a r a d a y ; c a p . 1 4 , J . J . T h o m

s o n ; c a p .

18, R.

A . Millikan

15 . The Feynman Lectures on Physics, vol. II, R. Feynman,

R .

Leighton y M.

S a n d s .

A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M a s s . , 1 9 6 3 , caps . 4 , 6 , 7 y 8

16 .

Source Book in Physics,

W . F . M a g i e . H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e

M a s s ., 1 9 6 3 , p á g . 9 7 , C o u l o m b ; p á g . 3 8 7 , G i l b e r t ; p á g . 4 0 8 , C o u l o m b ; p á g . 4 2 o

G a l v a n i ; p á g . 4 6 5 ,

O h m ;

p á g . 5 8 3 , T h o m s o n

17 .

Foundations of Modern Physical Science,

G . H o l t o n y

1)

H. I> Koller. A d d i s o n -

Wes ley , Read ing Mass . , 1958 , caps . 26 , 27 , 28 y 34



502


Problemas

14.1 En co nt ra r la fuerza eléctr ica

de

r epu ls ión en t r e dos p ro tones en una mo

lécu la de h id rógeno , s iendo la separac ión

entre ellos de 0,74 x 1CT

10

m. C o m p a

ra r la con la fuerza de a t r acc ión g rav i -

tac iona l co r r espond ien te .

14 .2 En co n t r a r la fuerza de a t r acc ión

eléctr ica entre el protón y el electrón

de un á tomo de h id rógeno , supon iendo

que el electrón descr iba

un a

ó rb i ta c i r cu

lar de 0,53 x 10 ~

10

m de r ad io . C ompa

ra r la con su a t r acc ión g rav i tac iona l .

14 .3 C om para r la r epu ls ión e lec t ro s tá

t ica en t r e dos e lec t rones , con su a t r ac

c ión g rav i tac iona l a la misma d is tanc ia .

R epe t i r para dos p ro tones .

14 .4 Dos esferas idén ticas de corcho de

m a s a m

y

c a r g a q (fig. 14.44), están sus

pend idas de l mismo pun to po r med io de

dos cuerdas de long i tud l. E n c o n t r a r e l

áng ulo 8 que las cue rdas form an con la

ver t ica l , una vez log rado e l equ i l ib r io .

w///////w^//////////<.

Figura 14-44

14.7 Entre ias p lacas de defleecion de

un

oscilóse

opio de ray os cat ódic os, ex is te

un campo eléctr ico de 30.000 N C~\

¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón

colocado en esta región? (b) ¿Qué ace

le r ac ión adqu ie re e l e lec t rón deb ido a

es ta fuerza? C omparar la con la ace le r a

c ión de la g r avedad .

14.8

U na carga de 2 ,5 x

1 0

- 8

C se co

loca en un campo eléctr ico uniforme de

in tens idad 5 ,0 x 10

4

N C

_1

d i r ig ido ha

cia ar r iba. ¿Cuál es el t rabajo que la

fuerza eléctr ica efectúa sobre la carga

cuando ésta se mueve (a) 45 cm hac ia

la derecha? (b ) 80 cm hac ia aba jo?

(c) 260 cm a un ángulo de 45° por en

c ima de ia ho r izon ta l?

14 .9 En t r e dos p lacas p lanas y para

lelas cargadas con cargas iguales y de

signos opues to s ex is te un campo e léc

t r ico un i fo rme. Se l ibera un e lec t rón de

la superf icie de la p laca negativa y

choca en la superf icie de la p laca opuesta,

d is tan te 2 ,0 cm de la p r imera , en un

int erv alo de 1 ,5 x 1 0

- 8

segundos , ( a )

C alcu la r e l campo e léc t r ico ; (b ) ca lcu la r

la velocidad del electrón al chocar con

la p laca.

14 .5 R e pe t i r el p rob le ma 14 .4 , supo

n iendo que las cuerdas es tán un idas a

pun tos s i tuados a la d i s tanc ia d (fig.

14-45).

¿C ómo se pod r ía u sar es ta d i spo

s ic ión par a ver i fica r exp er im en ta lm en te

la ley de la p ropo rc iona l idad inver sa de l

cuad rado de la d i s tanc ia , var iando la d i s

t a n c i a d y observando e l ángu lo 8?

Figura 14-45

14.6 ¿Cuál debe ser la carg a de u n a

par t ícu la de ma sa 2 g par a que p erm a

nezca en reposo en el laborator io al

colocarse donde el campo eléctr ico está

dir ig ido hacia abajo y es de in tensidad

igual a 500 N C"

1

?

"o

2cm

=>J_

O -

-12 c m -

4 cm

Figu ra 14-46

14.10 E n la f igura 14-46 Se lan za u n

e lec t rón con una ve loc idad in ic ia l de

2 x 10' m

s~

l

en la d irección de un eje

equ id is tan te de las p lacas de un tubo de

rayos ca tód icos . E l campo e léc t r ico un i

fo rme en t r e las p lacas , t i ene una in ten

sidad de 20.000 N C

- 1

y está d ir ig ido

hac ia a r r iba , ( a ) ¿Qué d is tanc ia perpen

dicular al eje ha recorr ido el electrón

cuando pasa po r e l ex t r emo de las p la

cas? (b) ¿Qué ángulo con el eje forma

su ve loc idad cuando abandona las p lacas?

(c) ¿A qué d is tancia por debajo del eje

choca con la pan ta l la f luo rescen te

SI



Problemas

503

14.11 Se lanz a un

electrón

e n u n c a m p o

e léc t r i co un i fo rm e de in tens idad 5000 N

C

-1

d i r i g i d o v e r t i c a l m e n t e h a c i a a b a j o .

La velocidad inic ia l del e lectrón es de

10

7

m

s

- 1

y fo rm a un án gulo de 30° por

enc im a de l a

h o r i z o n t a l ,

(a) Calcular e l

t i em po reque r ido pa ra que e l e l ec t rón

a lcance su a l tu ra

m á x i m a ,

(b) Calcularl a e levac ión m áxim a que a lcanza a pa r

t i r de su pos ic ión inic ia l , (c) ¿Qué dis

t anc ia hor izon ta l recor re e l e l ec t rón pa ra

a lcanza r su n ive l in ic ia l? (d ) Dibu ja r l a

t rayec tor ia de l e lec t rón .

14 .12 U na go ta de ace i t e de m asa

3,0 x 1 0

-1 4

kg y de radio 2,0 x 1 0

- 6

m

t ranspor ta 10 e lec t rones en exceso .

¿Cuál es su velocidad f inal (a) cuando

cae en una reg ión donde no hay cam po

e léc t r i co? (b ) cuando cae en un cam po

e léc t r i co de in tens idad 3 , 0 x 10

5

N

C

-1

di r ig ido hac ia aba jo? La v i s cos idad de l

aire es 1,8 x

10~

5

N s m~

2

. D e s p r e c i a r

e l empuje del a ire .

14 .13 En un apa ra t o de Mi l l ikan se

obse rva que una go ta de ace i t e ca rgada

cae

a t ravés de una d i s tanc ia de 1

mm

en 27 , 4 s eg , en ausenc ia de un cam po

e léc t r i co ex te rno . La m ism a go ta pe r

m anece e s tac iona r ia en un cam po de

2,37 x 10

4

N C

-1

. ¿Cuántos e lec t rones en

exceso ha adqui r ido l a go ta? La v i s cos i

dad del a ire es de 1,80 x 1 0

- 5

N s m"

2

.

La dens idad de l ace i t e e s 800 kg m~» y

la dens idad del a ire es 1,30 k g m~

s

.

14 .14 U n a go t a de ace i t e ca rg ada cae

en e l a ire 4,00 mm en 16,0 seg a velocidad

cons tan te , en ausenc ia de un cam po e léc

t r i co . La dens idad de l ace i t e e s 800 kg

m""

3

,

la del a ire es 1,30 kg

m~

3

y el coe

ficiente d e vis co sid ad del aire 1,80 x

10 "

6

N s

n T

2

.

(a) Calcular e l radio y la masa

de la g o t a , (b ) S i l a go ta l l eva una un idad

fundam enta l de ca rga y e s tá en un cam po

eléctr ico de 2,00 x 10

5

N C"

1

, ¿cuál es el

cociente entre la fuerza e léctr ica sobre la

go ta y su peso?

14 .15 Cua ndo la go ta de ace i t e de l p ro

b lem a 14 .14 s e encuen t ra en un cam po

e léc t r i co cons tan te de 2 , 00 x 10

5

N C

_1

,

se obse rva ron va r ios t i em pos d i fe ren te s

en que ¡a go ta a sc iende l a d i s t anc ia de

4 , 00 m m . Los

tiempos

m edidos fue ron

4 0 , 6 5 ;

2 5 , 4 6 ; 1 8 , 5 3 ; 12,00 y 7,85 seg.

Calcular (a) la velocidad de caída l ibre ,(b) la velocidad

de

ascens ión en cada

caso, y (c) la suma de la velocidad en la

p a r t e ( a ) y c a d a u n a d e l a s v e l o c i d a d e s

en l a pa r te (b ) . (d ) Ver i f i ca r que l a s su

m as en l a pa r te (c ) son m úl t ip los en te ros

d e a l g ú n n ú m e r o , e i n t e r p r e t a r e s t e r e

su l t ado , (e ) Ca lcu la r e l va lo r de l a ca rga

f u n d a m e n t a l a p a r t i r d e e s t o s d a t o s .

1 4 . 16 S e t i e n e n d o s c a r g a s p u n t u a l e s ,

5(iC

y — 10(xC, dis tantes 1

m.

( a ) E n

con t ra r e l m ódulo y l a d i recc ión de l

c a m p o e l é c t r i c o e n u n p u n t o s i t u a d o a

0,6

m de l a p r im era ca rga y a 0 , 8 m de

la

s e g u n d a ,

( b ) H a l l a r e l p u n t o d o n d e

e l cam po e léc t r i co de e s ta s dos ca rgas

es cero.

1 4 . 1 7 E n u n a p a r a t o p a r a m e d i r l a

c a r g a e l é c t r i c a

e

p o r e l m é t o d o d e

Mi l l ikan s e requ ie re un cam po e léc t r i co

de in te ns i dad 6 , 34 x 10

4

V m'

1

p a r a

m a n t e n e r e n r e p o s o u n a g o t a d e a c e i t e

ca rg ada . S i l a d i s t a nc ia en t re p laca s e s

1,50

c m ,

¿cuá l e s l a d i fe renc ia de po

tenc ia l en t re e l l a s?

14 .18 T res ca rg as pos i t iva s de 2 x 10

- 7

C, 1 x 1 0 " ' C y 3 x 10 - ' C e s tá n en l í

nea rec ta , con l a s egunda ca rga en e l

c e n t r o , d e m o d o q u e l a s e p a r a c i ó n e n t r e

dos ca rgas adyacen tes e s 0 , 1 m . Ca lcu

la r (a ) l a fue rza re su l t an te sobre cada

ca rga deb ida a l a s o t ra s , (b ) l a ene rg ía

po tenc ia l de cada ca rga deb ida a l a s

o t ra s , (c ) l a ene rg ía po tenc ia l in te rna

d e l s i s t e m a . C o m p a r a r ( c ) c o n l a s u m a

de los re su l t ados ob ten idos en (b ) y

exp l ica r .

1 4 .1 9 R e s o l v e r el p r o b l e m a p r e c e d e n t e

en e l ca so de que l a s egunda ca rga s ea

n e g a t i v a .

14 .20 E n un a f is ión de un núc leo d e

uran io , los dos f ragm entos son

»

5

Y

y

1 4 1

1 , c o n m a s a s p r á c t i c a m e n t e i g u a l e s a

9 5 u r n a y 1 4 1 u r n a , r e s p e c t i v a m e n t e .

S us rad ios pueden ca lcu la rse por m edio

de l a expres ión

R

= 1,2 x 1 0

- 1 6

A

1

'

3

m ,

d o n d e

A

e s e l n ú m e r o m á s i c o . S u p o

n iendo que los f ragm entos e s tán in ic ia l -

m e n t e e n r e p o s o y t a n g e n t e s u n o a l o t r o ,

encont ra r (a ) l a fue rza y l a ene rg ía po

tenc ia l in ic ia le s , (b ) su ve loc idad re la

t iva f inal , (c) la velocidad f inal de cada

f ragm ento con re spec to a l cen t ro de

m a s a .

14 .21 Cua ndo un núc leo de u ra n io s e

d e s i n t e g r a e m i t i e n d o u n a p a r t í c u l a a l f a

(o sea un núcleo de hel io,

Z —

2) , el



504 Interacción eléctrica

núc leo re su l t an te e s e l to r io

(Z

•-- 90 ).

S uponiendo que l a pa r t í cu la a l fa e s tá

in ic ia lm ente en reposo , a una

distancia

de 8,5 x 10~

15

m del centro

del

núcleo

de uranio, calcular (a) la aceleración

inic ia l y la energía de la part ícula ,

(b) la energía y la velocidad de

la

pa r

t í cu la cuando se encuen t ra a g ran d i s

t anc ia de núc leo .

14 .22 En los vé r t i ces de un c uad rado

de lado 2 x 10 "

9

m

se colocan cuatro

pro tones . Ot ro p ro tón e s tá in ic ia lm ente

sobre l a pe rpendicu la r a l cuadrado por

su cen t ro , a una d i s tanc ia de 2 x 1 0

- 9

m

del

mismo. Calcular (a) la velocidad ini

c ia l m ín im a que e s te ú l t im o pro tón ne

ces i t a pa ra l l ega r a l cen t ro de l cuadrado ,

(b) sus aceleraciones inicial y final.

(c) Hacer un gráfico de la energía po

tencia l del protón en función de su

d i s tanc ia a l cen t ro de l cuadrado . Des

c r ib i r su m ovim ien to en e l ca so de que

la energía inic ia l sea menor o mayor que

ia

encont rada en (a ) .

14 .23 E l po ten c ia l a una c ie r t a d i s t a n

cia de una carga puntual es 600 V y e l

cam po eléctr ico es 200 N G

_1

. ¿Cuál es

la d i s t anc ia a l a ca rga pun tua l? (b ) ¿Cuá l

es l a m agni tud de l a ca rga?

1 4 .2 4 L a m á x i m a c a r g a q u e p u e d e r e

tener uno de los terminales esféricos de

un gene rador de Van de Graaff es cerca

de 1 0

- 3

C . S upóngase una ca rga pos i t iva

d e e s t a m a g n i t u d , d i s t r i b u i d a u n i f o r m e

mente sobre la superfic ie de una esfera

s i tuada en e l vacío, (a) Calcular e l mó

du lo de l a in tens idad de l cam po e léc t r i co

en un punto fuera de la esfera , a 5 m de

su centro, (b) S i se l iberara un e lectrón

en es te punto, ¿cuál sería e l módulo y la

dirección de su aceleración inic ia l? ¿cuál

sería su velocidad a l l legar a la esfera?

14.25 Una pequeña esfera de 0,2 g

cue lga por m edio de una cue rda en t re dos

p lacas pa ra le la s s epa radas 5

c m .

La ca rga

sobre la esfera es de 6 x

10~°

C. ¿Cu ál

es la diferencia de potencia l entre las

placas s i e l hi lo forma un ángulo de 10°

con l a ve r t i ca l?

14 .26 Dos cargas pun tua le s de 2 x 1 0

-

'

C y 3 x 10" ' C es tán s epa rada s por u na

d i s tanc ia de 0 , 1 m . Ca lcu la r e l cam po y

e l po tenc ia l e léc t r i co re su l t an te s (a ) en

e l pun to m edio de l a d i s t anc ia en t re

e l l a s , (b ) en un pun to s i tuado a 0 , 04 m

de la

pr i i tu ;ra,

sobre l a rec ta que pasa

por e l las , poro fuera del segmento que

la s une ,

(d)

en un pun to s i tuado a

0,1

m de cada

carga ,

(e ) ¿En qué pun to

e l cam po

eléctrico

es cero?

14.27

R e s o l v e r el p r o b l e m a a n t e r i o r

p a r a el caso en que la segunda carga sea

nega t iva .

14 .28 Ref i r i éndonos de nuev o a l p ro

b lem a 14 .26 , ca lcu la r e l t raba jo reque

r ido pa ra m over u na ca rg a de 4 x 10""' C

desde e l pun to ind icado en (c ) a l pun to

ind icado en (d ) . ¿Es necesa r io e spec i

f i ca r l a t rayec to r ia?

14 .29 Dos ca rgas pos i t iv as pu n tu a le s ,

c a d a u n a d e m a g n i t u d

q,

es tán f i jas sobre

e

eje Y en los pu nt os

y = + a, y=— a.

( a ) T r a z a r u n d i a g r a m a m o s t r a n d o l a s

pos ic iones de las

c a r g a s ,

(b) ¿Cuál es el

po tenc ia en e l o r igen? (c ) P roba r que

e l po tenc ia l en cua lqu ie r pun to sobre e l

ej e

X

es

V =

2q/4K£

0

V a* + x*-

(d ) Hace r un g rá f ico de l po tenc ia l sobre

el eje

X

en función de x en e l intervalo

—

5a ,

+ 5a . (e ) ¿P a ra qué va lo r de

x

e l po tenc ia l t i ene l a m i tad de su va lo r

en e l o r igen? A pa r t i r de (c ) ob tene r e l

campo eléctr ico sobre e l e je X.

14 .30 Con re fe renc ia a l p ro b lem a an te

r i o r , s u p o n g a m o s q u e u n a p a r t í c u l a d e

c a r g a

-f q

y m a s a

m

s e s epa ra l ige ra

mente del origen en la dirección del e je

X,

y en tonces s e

s u e l t a ,

(a) ¿Cuál es su

ve loc idad a d i s t anc ia in f in i t a? (b ) Hace r

un grá f ico de l a ve loc idad de l a pa r t í cu la

en función de x. (c) S i la part ícula se

lanza hac ia l a i zqu ie rda s egún e l e je

X

desde un pun to s i tuado a g ran d i s tanc ia

a l a de recha de l o r igen con l a m i tad de

la ve loc idad adqui r ida en l a pa r te (a ) ,

¿a qué d i s tanc ia de l o r igen queda en

reposo? (d ) S i una pa r t í cu la ca rgada ne

g a t i v a m e n t e f u e r a l i b e r a d a a p a r t i r d e l

reposo sobre e l e je

X,

a g ran

distancia

a la izquierda del origen, ¿cuál sería su

ve loc idad a l pasa r por e l o r igen?

14 .31 Ref i r i éndose de nue vo a l a s ca r

gas desc r i t a s en e l p rob lem a 14 .29 , hace r

un grá f ico de l a va r iac ión de l po tenc ia l

según el e je

Y.

Com para r con e l g rá f i co

de l a pa r te (d ) de l p rob lem a 14 .29 . ¿Es

e l po tenc ia l m ín im o en e l o r igen?



Problemas 505

14 .32 Un a vez má s cons ide ra r las ca r

gas de l p rob lema 14 ,29 . ( a ) Supongamos

que se co loca una par t ícu la de carga + q '

•

en el or igen, y se la deja l ibre. ¿Qué su

cede? (b ) ¿Qué sucederia si la carga a

que nos refer imos en la par te (a) se se

parara de l o r igen l igeramen te en la d i

rección del eje Y? (c) ¿Qué suceder ía

si se separara del or igen en la dirección

del eje XI

14 .33 En un s i s tema de coo rdenadas

rec tangu la res una carga de 25 x 10~* C

se coloca en el or igen y o t ra ca rga de

— 25 x lO""" C se coloca en el p un to

x = 6 m , y = 0 . ¿Cuál es el cam po

eléctr ico (a) en x = 3 m, y --= 0?, (b) en

x — 3 m , y = 4 m?

14.34 Ca rgas eléct r icas igu ales a 1 C

cada una se colocan en los vér t ices de

un t r iángu lo equ i lá te ro de 10 cm de lado.

Calcular (a) la fuerza sobre cada carga

y la energ ía po tenc ia l de cada una de

e l las como r esu l tado de las in te r acc iones

con las o tras , (b) el campo y el potencial

e léc t r ico r esu l tan tes en e l cen t ro de l

t r iángu lo , ( c ) la energ ía po tenc ia l in

te rna de l s i s tema.

14 .35 R ef i r iéndose a l p rob lem a an te

r ior , d ibujar las l íneas de fuerza del

campo e léc t r ico p roduc ido po r las t r es

cargas . D ibu ja r tamb ién las super f ic ies

e q u i p o t e n c i a l e s .

14 .36 De mo s t r a r que las com pone n tes

car tes ianas de l campo e léc t r ico p rodu

c ido po r una carga q a la d i s tanc ia r son

Ex — qxjAne^,

e tc .

14 .37 E n un á tom o de h id róge no en

su es tado de menor energ ía ( tamb ién

l l a m a d o e s t a d o f u n d a m e n t a l ) e l e l e c t r ó n

se mueve a l r ededo r de l p ro tón en lo que

se puede cons idera r una ó rb i ta c i r cu la r

de radio 0 ,53 x 1 0

- 1 0

m. Calcular (a)

la energ ía po tenc ia l , ( b ) la energ ía c iné

t ica, (c) la energía to tal , (d) la f recuencia

d e l m o v i m i e n t o . ( A m o d o d e c o m p a r a

c ión , la f r ecuenc ia de r ad iac ión emi t ida

por el átomo de h idrógeno es del orden

de 10

15

Hz) .

14 .38 Usa ndo el t eo re ma

virial

p a r a

una par t ícu la , de te rminar la energ ía de

un e lec t rón ( carga — e) que g ira alre

dedor de un núcleo de carga

+Z e

a una

d i s t a n c i a r. Ap l icar lo s a l á tomo de h i

drógeno ( r ~ 0 ,53 x 10"

10

m ) y c o m p a

ra r e l r esu l tado con e l ob ten ido

en

(c)

de prob lema 14 .37 .

14 .39 Esc r ib ir la exp resi ón que da la

energ ía po tenc ia l e léc t r ica in te rna to ta l

(a) de un átomo de helio , (b) de una

molécu la de h id rógeno .

14 .40 ¿Qué energ ía c iné t ica , en jou le s ,

y qué ve loc idad , en

m

s

_1

, t i e n e u n n ú

c leo de carbono ( carga +6e) después de

haber s ido ace le r ado po r una d i f e r enc ia

de po tenc ia l de

10

7

V ?

1 4 . 4 1 E s t a b l e c e r u n a r e l a c i ó n n u m é

r ica que dé ¡a velocidad (en m s

_1

) de

un electrón y un protón en función de la

d i f e r enc ia de po tenc ia l ( en vo l t s ) a t r a

vés de la cua l se mueven , supon iendo

q u e e s t a b a n i n i c i a l m e n t e e n r e p o s o .

14 .42 (a) ¿Cuál es la d iferen cia de po

tenc ia l máx ima a t r avés de la cua l un

e lec t rón puede se r ace le r ado s i su masa

no d ebe ex cede r en m ás del 1 % a su

masa en r eposo? (b ) ¿Cuál es la veloci

dad de ta l e lec t rón , exp resada como f r ac

ción de la velocidad de la luz c? (c) Hacer

lo s mismos cá lcu lo s para un p ro tón .

14 .43 C alcu la r , u san do la r e l a t i v id ad ,

la d i f e r enc ia de po tenc ia l r equer ida ( a )

para que un e lec t rón a lcance la ve loc idad

de 0 ,4c a par t ir del reposo (b) para

aumen tar su ve loc idad de 0 ,4c has ta

0 ,8c y ( c ) para aumen tar su ve loc idad

desde 0 ,8c hasta 0 ,95c. Repetir los

cá lcu lo s para un p ro tón .

14 .44 Un a c ie r ta má qu ina de a l t a ener

g ía ace le r a e lec t rones a t r avés de una

difere ncia de pot enc ial de 6,5 x 10» V.

(a) ¿Cuál es la relación entre la masa

m

del e lec t rón y su masa m

0

en r eposo ,

cuando sa le de l ace le r ado r? (b ) ¿C uál es

el cociente entre su velocidad y la de la

luz? (c) ¿Cuál ser ía la velocidad calcu

lada con lo s p r inc ip io s de la mecán ica

c lás ica?

14.45 ¿Cuál es la velo cida d f inal de un

e lec t rón ace le r ado a t r a vé s de una d i f e

rencia de potencial de 12 .000 volts s i

t i ene una ve loc idad in ic ia l de 10

7

m

s

_1

?

14 .46 En un c ie r to tu bo de r ayo s X se

ace le r a un e lec t rón in ic ia lmen te en r e

poso al pasar desde el cátodo al ánodo a

t r avés de una d i f e r enc ia de po tenc ia lde 180.000 V. Al l legar al ánodo, ¿cuál



506


Fuente

de iones. ^

Figura 14-47

Conexión Electrodos

eléctrica

tubulares Tanque

' de aceleración

a

' vacio

X

Blanco

es (a) su energía cinética en eV, (b) su

masa, (e) su velocidad.

14.47 En un acelerador l ineal , como el

i lu s t r ado en la

tig.

14-47, las secciones

alternas del tubo se conectan entre s í y

se aplica una d iferencia de potencial os

c i lan te

entre

los dos conjuntos , (a) De

mostrar que , a íin de que un ion este en

fase con el potencial oscilante cuando

cruza desde un tubo al o tro (s iendo las

energ ías no r e la t iv i s tas ) , l as long i tudes

de los tubos sucesivos debe ser L, \ n,

d o n d e /, , es la longitud del primer

t u b o ,

(b ) Hal la r L , s i el voltaje acelerador es

V

0

y su frecuencia es v. (c) Calcular la

energía del ion que emerge del enésimo

t u b o ,

(d) ¿Cuáles deben ser las longitudes

de los tubos sucesivos después que el ion

a lcanza energ ías r e la t iv i s tas?

14.48 Su pon gam os que la d iferencia de

potencial entre el terminal esfér ico de un

generador de Van de Graaff y el punto

en el cual las cargas son esparcidas sobre

la co r r ea en su mov imien to hac ia a r r iba

sea de 2 x 10

6

V. Si ¡a correa entrega

carga negativa a la esfera a razón de

2 x 10 ~

3

C s"

1

y toma c arga pos i t iva

con la misma r ap idez , ¿qué po tenc ia se

neces i ta para mover la co r r ea con t r a

las fuerzas eléctr icas?

14.49 La separación inedia entre los

p ro tones en un núc leo a tómico es de

o rden de 10~

15

m . E s t i m a r e n J

>

en

MeV el orden de magnitud de la energía

po tenc ia l e léc t r ica en t r e dos p ro tones

del núcleo .

14 .50 Supon ien do que lo s p ro to nes en

un núc leo a tómico de r ad io R es tén un i

fo rmemen te d is t r ibu idos , l a energ ía po

tenc ia l e léc t r ica in te rna puede ca lcu la r se

con la exp res ión

\Z(Z—X)e

i

jAv:€

i)

R

(ver

el problema 14.80 y el ejemplo 16.13) .

El radío nuclear se puede a su vez calcu

lar por

R

= 1,2 x

10 "

15

A

1

'

3

m.

E s c r i

b ir las expresiones que dan la energía

potencial eléctr ica nuclear en J y en

MeV en función de Z y A.

14 . 5

Usando lo s r esu l tados de l p ro

b l e m a

14.50,

ca lcu la r la energ ía po ten

cia) eléctr ica to tal y la energía por

p r o t ó n p a r a

los

s igu ien tes núc leos :

" O (Z =='*),

40

Ca (Z --^20).

9J

Zr(2 ^

40),

U4

Nd (Z =-- tíü),

20

"Hg (Z = 80) y

23S

U

(Z --- 92) . ¿.Qué le d icen sus resultados

acerca del efecto de la in teracción eléc

t r i c a entre p ro tones sob re la es tab i l idad

de l núcleo? Usando sus da to s , haga e l

gráfico de la

energía

potencial en función

de l número mús ico .

14 .52 Un p ro tó n p rodu c ido en un ace

lera dor de Van de Graaff de 1 MeV se

hace inc id i r sob re una lámina de o ro .

C alcu la r la d i s tanc ia de máx ima ap ro

x imación ( a ) para un choque de f r en te ,

(b ) para choques con parámet ros de im

pac to de 10~

15

m y 10 "

14

m. ¿Cuál es la

def lección del protón en cada caso?

14 .53 Un a par t ícu l a a l fa con una ener

g ía cinética de 4 MeV se lanza en l ínea

rec ta hac ía e l núc leo de un á tomo de

m e r c u r i o . E l n ú m e r o a t ó m i c o d e l m e r

curio es 80, y por

lo

tan to e l núc leo

tiene una carga posit iva igual a 80 cargas

e lec t rón icas , ( a ) Hal la r la d i s tanc ia de

máxima

ap rox imación de la par t ícu la

alfa al núcleo , (b) C omparar e l r esu l tado

con el radio nuclear , ~ 10""

14

ni.

14 .54 Pro to nes ace le r ados po r un vo l

taje de 8 x 10

5

V inc iden sob re una lá

mina de oro (Z — 79) . Calcular la sección

ef icaz d iferencial para d ispersión coulom-

b iana en in te rva lo s de 20° para

(j>

c o m

p rend ido en t r e 20° y 180° . Hacer un

g ráf ico , u t i l i zando coo rdenadas po la r es ,

de a(tf>). [Observación: la ec. (14.25) se

hace in f in i ta para <j> = 0 . Esto se debe

a que hemos supues to que e l núc leo d is

perso

-

es una carga pun tua l . C uando se

tom a en cons iderac ión e l t a ma ño f in ito

de l núc leo es ta anomal ía desaparece . ]



Problemas 507

14.55 La d i f e r enc ia de po tenc ia l en t r e

las dos p lacas paralelas de la f ig , 14 .48

es de 100 V, la separación entre el las es

de 1 cm, y su longitud es 2 eir¡. Se

ianza

un e lec t rón con una ve loc idad de 10

7

rn

s"

1

en d i recc ión perpend icu la r a l cam po .

( a ) Hal la r su desv iac ión t r ansver sa l y su

ve loc idad t r ansver sa l cuando emerge de

las

p l a c a s ,

(b) Si se coloca una pantallaa 0,50 m a la derecha del extremo de las

p l a c a s , ¿a qué pos ic ión sob re la pan ta l la

l lega el electrón?

14.56 Se esta blece una d iferencia de

po tenc ia l de 1600 V en t r e dos p lacas

para le las separadas 4 cm. Un e lec t rón

se l ibera de la p laca negativa en el

mismo in s tan te en que un p ro tón se

libera de la p laca posit iva.

ía)

¿A qué

d is tanc ia de la p laca pos i t iva se c ruzan?

(b ) C omparar su s ve loc idades cuando in

ciden sobre las p lacas opuestas , (c) Com

parar sus energías al incid ir sobre las

p lacas .

O

T

1 cm

Figura

14-48

-2 cm -

14 .57 Un t r iodo cons is te fund am en ta l

mente

en lo s s igu ien tes e lemen tos : una

superf icie p lana (el cátodo) que emite

e lec t rones con ve loc idades in ic ia les des

p rec iab les ; para le la a l cá todo y a 3 mm

de d is tanc ia es tá la r e j i l l a de a lambre

f ino y a una d iferencia de potencial de

13 V con r espec to a l cá todo . La es t ruc

tura de la rej i l la es tal que permite que

lo s e lec t rones pasen l ib r emen te . Una

segunda superf icie p lana

(el

ánodo) es tá

12 mm más al lá de la gr i l la y a un po

tencial de 15 V con respecto al cátodo.

Supongamos que e l campo e léc t r ico en t r e

el cátodo y la rej i l la , y entre la rej i l la

y el ánodo, sea

un i fo rme,

( a ) T r a z a r

un

diagrama del potencial en función de la

dis tancia, a lo largo de la l ínea entre el

cátodo y el

á n o d o ,

(b) ¿Con qué veloci

dad

c ruzan la r e j i l l a lo s e lec t rones?

:'i ¿Con qué velocidad l legan al ánodo?

Determinar e l módu lo y la d i r ecc ión

- i campo eléctr ico entre el cátodo y la

: j i l la , y entre l a rej i l la y el á nod o.

(e) Calcular el módulo y la d irección

de la ace le r ac ión de l e lec t rón en cada

región.

14 .58 Un ace le r a do r l inea l con un vo l

taje de 800 kV p r o d u c e u n h a z d e p r o

tones equ iva len te a una . co r r ien te de

1 mA. C alcu la r ( a ) e l número de p ro to

nes po r segundo que inc iden en e l b lanco ,

(b ) la po tenc ia r equer ida para ace le r a r

los protones, (c) la velocidad de los pro

t o n e s al incid ir sobre el

b l a n c o ,

(d) Su

pon iendo que lo s p ro tones p ie rdan e l

8 0 % de su energ ía en e l b lanco , ca lcu la r

l a r a p i d e z , e x p r e s a d a e n c a l s

_1

, con la

cua l se debe r emover energ ía de l b lanco .

14.59

Un

e lec t rón , después de haber

s ido ace le r ado po r una d i f e r enc ia de

p o t e n c i a l d e 5 6 5 V , e n t r a a u n c a m p o

eléc t r ico un i fo rme de 3500 V

m

- 1

a un

ángulo de 60° con ¡a d irección del campo.

Después de 5 x

1 0

- 8

s, ¿cuá les son ( a )

l a s c o m p o n e n t e s d e s u v e l o c i d a d p a r a

le la y perpend icu la r a l campo , (b ) la

magn i tud y d i r ecc ión de su ve loc idad ,

( c ) su s coo rdenadas r espec to al p u n t o d e

e n t r a d a ? ( d ) ¿ C u á l e s s u e n e r g í a t o t a l ?

14 .60 Dos p lacas me tá l ic as g ran des y

p l a n a s , m o n t a d a s v e r t i c a l m e n t e y s e p a

r a d a s 4 c m , e s t á n c a r g a d a s a u n a d i f e

r enc ia de po tenc ia l de 200 V . ( a ) ¿C on

qué ve loc idad debe lanzar se un e lec t rón

h o r i z o n t a l m e n t e d e s d e l a p l a c a p o s i t i v a

para que l legue a la p laca nega t iva con

la ve loc idad de 10

7

m s

_1

? (b) ¿Con qué

ve loc idad debe lanzar se desde la p laca

pos i t iva a un ángu lo de 37° po r enc ima

de la ho r izon ta l para que , cuando l legue

a la p l a c a n e g a t i v a , l a c o m p o n e n t e h o

r izon ta l de su ve loc idad sea 10

7

m

s"

-1

?

( c ) ¿C uál es la magn i tud de la compo

nen te ver t ica l de la ve loc idad cuando e l

e lec t rón l lega a la p laca nega t iva? (d )

¿C uán to ta rda e l e lec t rón en i r de una

p laca a la o t r a en cada caso? ( e ) ¿C on

qué ve loc idad l legará e l e lec t rón a la

p l a c a n e g a t i v a s i s e l a n z a h o r i z o n t a l -

men te desde la p laca pos i t iva con la

ve loc idad de 10

8

m

s"

1

?

14 .61 Un e lec t rón se enc uen t r a en t r e

dos p lacas separadas 2 cm y cargadas a

una d i f e r enc ia de po tenc ia l de 2000 V.

C omparar la fuerza e léc t r ica que se

ejerce sobre el electrón con la fuerza

g rav i tac iona l sob re e l mismo . R epe t i r

para un p ro tón . ¿Jus t i f ican es to s r esu l -



508


t ados e l haber igno rado io s e f ec to s g ra -

v i tac iona les en este capítulo?

14 .62 Ad ap ta r e l r esu l tado d e ' e j e m

plo 13 .8 al caso de un p lano con una

dens idad de carga o p a r a p r o b a r q u e

el camoo y el potencial eléctr icos sor .

C = a/2e

0

y V =•-- — az/2f„.

14.63 Una carga —

q

d e m a s a

m

se

co loca a una d is tanc ia z de un p iano

c a r g a d o p o s i t i v a m e n t e c o n u n a d e n s i d a d

de carga uniforme a. La carga se l ibera.

Calcular su aceleración, ia velocidad con

la cual incid irá en el p lano y el t iempo

necesario para l legar a él .

14 .64 Sup onie ndo que a la car ga del

pro ble ma 14.6 .1 se le dé una veloc idad

inkial i/f,

p a r a l e l a a l p l a n o . D e t e r m i n a r

(3) la t r ayec to r ia que s igue , (b ) e l t i empo

que t r anscu r r e has ta que inc ide , eü c>

p i a n o ,

(c )

la

d is tanc ia que

recorre

p a r a

le lamen te a l p lano an tes de r eg resar a i

m i s m o .

14.65 R ef i r iéndonos de nuevo a p ro

b l e m a

14 . 63 ,

suponer que la ca rga sea

inicialmente

en z

=

0 y que sea

lan

zada a una ve loc idad D

0

a un ángulo a

con el

p l a n o .

D e t e r m i n a r ( a ) l a t r a y e c

to r ia que

s igue ,

(b ) su separac ión má

x ima de l p lano , ( c ) la d i s tanc ia que

reco r r e para le lamen te a l p lano an tes de

reg resar a l mismo .

14 .66 Se d isponen en fo rma a l te rna da

un in f in i to número de cargas pos i t ivas

y nega t ivas ± q sob re una l ínea r ec ta .

La separac ión en t r e las ca rgas adyacen

tes es la misma e igua l , r (fig. 14-49).

Demos t r a r que la energ ía po tenc ia ] de

una carga es

(—

q'

¿

2ne

r

/)

ln 2.

[Suge

rencia: usar la ec . (M. 24) . ]

e 0 © e © e e

o © © © e © e

© 0 © © © 0 ©

V,'' vu

O

© ©, 0 © ©

© © © © ©

0

©

© © © ©

0

© ©

© © © 0 © 9 ©

F i g u r a

14-50

una carga / / . Calcular el potencial y el

c a m p o eléctricos en p u n t o s s i t u a d o s s o

bre e l e je perpend icu la r a i p lano de l

anulo .

14 .69 Hal la r el po tenc ia l y e l cam po

eléc t r ico en pun tos s i tuados sob re el eje

de un d isco de radio R que con t iene una

c a r g a

a

po r un id ad de á r ea .

[Sugerencia:

d iv id i r ei d isco en anil los y sumar las

con t r ibuc iones de todos e l lo s . ]

14 .70 R ef ir iéndose al pro ble ma 14.69

ob tener e l campo y e l po tenc ia l e léc t r ico

de una d is t r ibuc ión de cargas sob re un

p lano que t iene la misma dens idad de

carga que ei d isco . [Sugerencia: H a c e r

/>' m u y g r a n d e y m a n t e n e r s ó lo el té r

m i n o p r e d o m i n a n t e . ]

14.71 Se tiene u n a l a m b r e d e l o n g i t u d

L con un a den s idad l inea l de carg a X

(f ig . 14-51) (a) Probar que el campo

P

,f-7

/

l-

T

¡

© 0 © 9 © © © © ©

í

Figura 14-49

TiOEEE

14.67 U na disposición p la na regu lar de

cargas de igua i magn i tud , pos i t ivas y

nega t ivas a l te rnadas , se ob t iene co lo

c a n d o las cargas en los centros de cua

drados de iado a

( u g .

14 -50 ) . Encon t r a r

la energ ía po tenc ia de una caí ¿a tal

como la A.

14.68 Un anillo de r ad io a t r a n s p o r t a

F igu ra 14 -51

e léc t r ico en un pun to a una d is tanc ia R

del Alambre está dado por

f i = (>,/4r.€

0

i?)(sen 0

2

— s e n

&,)

•

y

c";| -•- •—

(A/47tc

0

fi)(cos 0„

—

eos

6

X

),



Problemas

509

d o n d e

<í.L

y

£\\

son l a s com po nen tes de

c"

perpendicu la r y pa ra le la a l a l am bre y

6,

y

6

2

son los ángulos que fo rm an la s

l íneas t razadas desde e l pun to a los ex

t rem os de l a lam bre con l a pe rpendicu la r

desde e l pun to a l a l am bre , (b ) Ha l la r e l

c a m p o e n u n p u n t o e q u i d i s t a n t e d e l o s

ex t rem os . (Los s ignos de los ángulos

6,

y

6

2

se ind ica n en la figura).

14 .72 Con un a lam bre de ca rga X por

un idad de long i tud s e fo rm a un cuadrado

de l ado

L.

Ca lcu la r e l cam po y e l po ten

c ia l e l éc t r i cos en pun tos s i tuados sobre

l a p e r p e n d i c u l a r a l c u a d r a d o p o r s u

cen t ro .

14 .73 Ob tene r l a s expres io nes pa ra el

cam po y e l po tenc ia l e léc t r i cos p rodu

c idos por un p lano con una d i s t r ibuc ión

uni fo rm e de ca rga

n

por un idad de á rea ,

suponiendo que e l p lano e s tá fo rm ado

por una serie de f i lamentos de longitud

infini ta y de ancho

dx.

14 .74 ¿Qué m a sa de cobre (b iva len te )

depos i t a sobre un e lec t rodo una cor r i en te

d e 2 A d u r a n t e u n a h o r a ? ¿ C u á n t o s

á t o m o s s e h a n d e p o s i t a d o ?

14 .75 Es t im ar e l p rom edio de l a s fue r

zas e léc t r i cas de a t racc ión en t re dos

moléculas de agua en la fase gaseosa en

condic iones norm a les , deb idas a sus m o

m entos d ipo la re s . Cons ide ra r va r ia s o r ien

tac iones pos ib le s de sus d ipo los e léc t r i

c o s . C o m p a r a r c o n s u a t r a c c i ó n g r a v i t a -

c ional .

14 .76 A da pta r los re su l t a dos del p ro

b lem a 13 .81 a l ca so de l a d i s t r ibuc ión

de cargas e léctr icas que definen los mo-

+9

+ 9

mentos

d i p o i a r y c u a d r u p o i a r p a r a l a s

d i r e c c i o n e s c o n s i d e r a d a s .

14 .77 Ha l la r los m o m e nto s d ipo ia r y

c u a d r u p o i a r c o n r e s p e c t o a l e j e

Z

de la

d i s t r i b u c i ó n d e c a r g a s m o s t r a d a e n l a

fig. 14-52. Hallar e l potencia l y e l campo

en los puntos del e je

Z,

s u p o n i e n d o q u e

z

e s m u y g r a n d e c o m p a r a d o c o n a. R e

p e t i r

los

c á l c u l o s p a r a

los

p u n t o s d e l

eje V.

í±>

»o_

O

- Ó

F igura 14-53

Figura 14-52

14 .78 Re pe t i r e l p ro b le m a 14 .77 , su

p o n i e n d o q u e t o d a s l a s c a r g a s s o n p o s i

t i v a s .

1 4 .7 9 U n p r o t ó n m u y r á p i d o c o n v e

l o c i d a d i>„ p a s a a l a d i s t a n c i a

a

de un

e lec t rón in ic ia lm ente en reposo ( f lg . 14-

5 3 ) . S u p o n i e n d o q u e e l m o v i m i e n t o d e l

p r o t ó n n o s e p e r t u r b a d e b i d o a s u g r a n

m a s a r e s p e c t o a l a d e l p r o t ó n , ( a ) h a c e r

el gráfico en función de

x

d e l a c o m p o

n e n t e d e l a f u e r z a p e r p e n d i c u l a r a

v

0

que e l p ro tón e je rce sobre e l e lec t rón ,

( b ) D e m o s t r a r q u e e l

momentum

t r a n s

ferido a l e lectrón es

(eV4n*.)(2/i>

0

a)

en d i recc ión pe rpendicu la r a i»

0

. ( c ) E s

t im ar l a desv iac ión de l p ro tón en func ión

de su ve loc idad . Es te e jem plo s i rve de

b a s e p a r a a n a l i z a r e l m o v i m i e n t o d e p a r

t í c u l a s c a r g a d a s q u e p a s a n a t r a v é s d e

l a m a t e r i a .

[Sugerencia:

S u p o n i e n d o q u e

e l e l e c t r ó n p e r m a n e c e p r á c t i c a m e n t e e n

su pos ic ión in ic ia l m ien t ra s e l p ro tón

p a s a , e l m o m e n t u m t r a n s f e r i d o a l e l e c

t r ó n e s t á d a d o p o r

Ap —

¡

F dt

y so la

m e n t e

la

c o m p o n e n t e p e r p e n d i c u l a r a

v

0

t i ene que s e r ca lcu lada . En v i s ta de l a

s im e t r í a de l a fuerza , e n l u g a r d e i n t e

g r a r

desde—oo

a + oo , i n t e g r a r d e s d e

o a

oo

y m u l t i p l i c a r p o r

2.)

1 4 .8 0 D e m o s t r a r q u e l a e n e r g í a p o t e n

c ia l e l éc t r i ca in te rna de un s i s t em a de

ca rgas puede e sc r ib i r s e en cua le squ ie ra



51 0 Interacción eléctrica

de las fo rmas :

ttáos

^w n'

(a) E

P

= V ™

todi

los pares

(b )

E

P

=

i

¿" (/¡Vi,

t o d as

las cargas

d o n d e Vi es e l po tenc ia l p roduc ido en <ji

por las otras cargas, (c) Usando el resul

tado hallado en (b) , probar que la energía

e léc t r ica de una d is t r ibuc ión con t inua de

cargas de dens idad

p

es

E

P

=-•

\ <

pV'rfr.

(d) Usar es ta expresión para demostrar

que

la energía de un conductor esfér ico

con una carga Q d is t r ibu ida un i fo rme

men te sob re su vo lumen es $Q

2

l4-£.jR.

(e) Apiicar el ú í t imo resultado ai caso de

un núc leo de número a tómico Z .

14.81 Pr ob ar que las ecuacion es d ife

renciales para las l íneas de fuerza son

dxjí-x

—

dy¡Cy

—

dz¡C"z,

d o n d e dx, dy

y

dz

co r r esponden a la separac ión en t r e

dos puntos muy cercanos de la l ínea de

fuerza. Aplicar es tas ecuaciones para

obtener la ecuación de las l íneas de

fuerza de un d ipolo eléctr ico . ¡Sugeren

cia: Obsérvese que, como en este caso

las l íneas de fuerza son curvas p lanas,

la c o m p o n e n t e i , es nu la . Exp resar c'j

y

(

v

de un d ipolo eléctr ico en coorde

n a d a s r e c t a n g u l a r e s . ]

14 .82 Pro bar que en coo rd enad as po la

res la ecuación d iferencial de ¡as l íneas

de fuerza es dr/f

r

= r dQ/C'e. Usa r es te

r esu l tado para ob tener la ecuac ión de las

l íneas de fuerza de un d ipolo eléctr ico

en coordenadas polares . Ver if icar con el

r esu l tado de l p rob lema 14.81.

14 .83 El s ta t cou lom b (s tC ) es una un i

dad de carga que se def ine como la carga

q u e ,

colocada a 1 cm de o tra carga igual

en el vacío , la repele con una fuerza de

1 d ina , ( a ) P robar que un s ta tcou lomb

es -,Vc C (donde c es la velocidad de la

luz ) ,

o a p r o x i m a d a m e n t e

i

x 10~* C.

(b ) Expresar la ca rga e lemen ta l e en

s ta tcou lomb . ( c ) C a lcu la r e l va lo r de la

c o n s t a n t e K

€

y

€

0

cuando la ca rga se

exp resa en s ta tcou lombs , la fuerza en

d i n a s ,

y la d i s tanc ia en cen t ímet ro s .

(d ) Hal la r la r e lac ión en t r e las un idades

dina/statcoulomb

y

N

C

-1

para med i r e l

campo e léc t r ico .

14 .84 ¿C uá n tos e lec t rones equ iva len a

u n s t a t c o u l o m b ?

14 .85 El abco u lom b es una un ida d de

carga equ iva len te a 10 C . Hal la r e l va lo r

de las cons tan tes K

t

y e

0

cuando la

carga se exp resa en abcou lombs , la fuerza

en d inas y ia d i s t a n c i a e n c e n t í m e t r o s .

¿Cuál es la relación entre el abcoulomb

y ei s t a t c o u l o m b ?

14.8G

El s ta tvo lt ( s tV ) es la d iferencia

de po tenc ia l que debe ex is t i r en t r e dos

pun tos para que a l mover una carga de

un

statcouiomn

de un punto al o tro se

efectúe el t rabajo de un erg . (a) Probar

que un s tatvolt es igual a c/10

6

ó ap ro

x imadamen te 300 V . (b ) Hal la r la r e la

ción entre el stV cm "

1

y el Y

m

_1

como

un idades para med i r e l campo e léc t r ico .

C omparar con e l r esu l tado (d ) de l p ro

b l e m a

14.83.

14.87 Esc r ib ir la exp resió n pa ra el po

tenc ia l c r eado po r una carga q a la dis

t a n c i a r cuando e l po tenc ia l se mide en

stV, la carga en s tC, y la d is tancia en cm.

R epet i r para un campo e léc t r ico med ido

en s tV

c m

- 1

.

14 .88 Se ac os t um bra escrib i r l a exp re

s ión para la energ ía de l es tado es tac io

nar io de los

aromos

con un electrón en

la forma E

n

= — HZh*c/n

s

, d o n d e fí es

l a l l a m a d a constante de Ihjdbery. U s a n d o

la expresión dada en el ejemplo 14 .8 para

En p r o b a r q u e R es igual a 1,0974 x 10 '

m'\

14.89 Calcu lar la energí a de los cu at ro

p r imeros es tados es tac ionar io s de l H y

de l H e " . Hallar , en cada caso , la energía

r equer ida para e levar e l s i s tema, desde

e l es tado fundamen ta l , a l p r imer es tado

exc i tado . R ep resen ta r las energ ías sob re

una esca la po r med io de l íneas ho r izon

t a l e s a d e c u a d a m e n t e e s p a c i a d a s . O b s é r

vese que a lgunas energ ías co inc iden . ¿Es

pos ib le deduc i r una r eg la genera l?

14 .90 Usando e l r esu l tado de l p ro

b l e m a 14 .37 , es t imar la ve loc idad de l

e lec t rón en un á tomo de h id rógeno en

su es tado fundamen ta l y ver i f ica r lo s

cálculos hechos al f inal del ejemplo 14 .10.



15

INTERACCIÓN MAGNÉTICA

15.1 Introducción

15.2 Fuerza magn ética sobre una carga en movim iento

15.3 Movimiento de una carga en un campo magnético

15.4 Ejemplos de movim iento de partículas cargadas

en un campo magnético

15.5 Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica

15.6 Torque m agnético sobre una corriente eléctrica

15.7 Cam po mag nético producido por una corriente cerrada

15.8 Cam po mag nético de una corriente rectilínea

15.9 Fuerzas entre corrientes

15.10 Cam po mag nético de una corriente circular

15.11

Campo m agnético de una carga en movimiento

(no relativista)

15.12 Electromagnetismo y el principio de relatividad

15.13 Cam po electromagnético de una carga en movim iento

15.14

Interacción electromagnética entre dos cargas en movim iento



512 Interacción magnética

15.1 Introducción

(15.1

L a

interacción magnética

es otro t ipo de interacción que se observa en la natura

leza. Varios siglos antes de Cristo, el hombre observó que ciertos minerales de

hierro, como la piedra imán (var iedad de la magneti ta) , tenían la propiedad de

atraer pequeños trozos de hierro. La misma propiedad t ienen el hierro, el cobalto

y el manganeso en su estado na tura , y muchos compuestos de estos metales.

Esta propiedad, aparentemente específica, no está relacionada con la gravitación

puesto que no sólo no la t ienen naturalmente

todos

los cuerpos, sino que aparece

concentrada en cier tos lugares del mineral de hierro. Aparentemente, tampoco

está relacionada con la interacción eléctrica porque estos minerales no atraen

bolitas de corcho o pedazos de papel. En consecuencia, se le dio a esta propiedad

física un nuevo nombre:

magnetismo*.

Las regiones de un cuerpo en las cuales

el magnetismo aparece concentrado se denominan

polos magnéticos.

Un cuerpo

magnetizado se denomina imán.

(a)

Flg. 16-1.

Interacción entre dos barras

magnetizadas,

(a) Los polos de distinto

nombre se atraen, (b) Los polos del mismo nombre se repelen.

La t ierra misma es un inmenso imán. Por ejemplo, si suspendemos una var i l la

magnetizada en cualquier punto de la superf icie terrestre y la dejamos mover

libremente alrededor de la ver t ical , la var i l la se or ienta de modo que siempre

el mismo extremo apunta hacia el polo norte geográf ico. Este resultado demuestra

que la tierra ejerce una fuerza adicional sobre la varilla magnetizada, fuerza que

no experimentan var i l las no magnetizadas.

Este experimento sugiere también que hay dos clases de polos magnéticos que

podemos designar con los signos + y —, o por las letras N y S correspondientes,

respectivamente, a los polos que apuntan hacia el norte y hacia el sur . Si toma

mos dos varillas magnetizadas y las colocamos como se muestra en la fig. 15-1,

las mismas se repelen o se atraen según enfrentemos polos del mismo o de dife

rente nombre. Concluimos entonces de nuestro experimento que

la interacción entre polos magnéticos del mismo nombre es repulsiva

y la interacción entre polos de distinto nombre es atractiva.

* El nombre magnetismo proviene de una antigua ciudad del Asia Menor llamada Magnesia,

donde, de acuerdo con la tradición, se observó por primera vez el fenómeno.



15.2) Fuerza magnética sobre una carga en movimiento 513

A continuación, podríamos intentar medir la intensidad de un polo magnético

definiendo una carga o masa magnética, e investigar cómo depende la interacción

magnética de la dis tancia entre los polos. Esto es perfectamente posible, y de

hecho, antes que los f ís icos comprendieran claramente la naturaleza del magne

tismo, aquél fue eí método de es tudio adoptado . S in embargo , cuando se in ten

taron estas mediciones, apareció una dif icultad fundamental: aunque ha s ido

posible ais lar cargas eléctr icas positivas y negativas y asociar una carga eléctr ica

definida con las partículas fundamentales que constituyen todos los átomos, no

ha s ido posible ais lar un polo magnético o identificar una pa rtícula fun dam enta l

que tenga solamente una clase de magnetismo, sea el N o el S. Los cuerpos mag

netizados s iempre presentan pares de polos iguales y opuestos . Por otra parte,

se ha encontrado que las nociones de polo magnético y masa magnética no son

necesarias para describir el magnetismo. Las interacciones eléctr ica y magnética

están íntimamente relacionadas, s iendo en realidad sólo dos aspectos diferentes

de una propiedad de la materia: su carga eléctr ica; el magnetismo es un efecto

del movimiento de las cargas eléctricas. Las interacciones eléctrica y mag nética de

ben considerarse conjuntamente bajo la designación más general de interacción

electromagnética.

15.2 Fuerza magnética sobre una carga en movimiento

Puesto que observamos interacciones entre cuerpos magnetizados, podemos decir ,

por analogía con los

casos

gravitacional y eléctr ico, que un cuerpo magnetizado

produce un campo magnético en el espacio que lo rodea. Cuando

colocamos

una

carga eléctrica en reposo en un campo m agnético , no se observa la mism a fuerza

o interacción especial alguna; pero cuando una carga eléctr ica se mueve en una

región donde hay un campo magnético, se observa una nueva fuerza sobre la carga

además de las debidas a sus interacciones gravitacional y eléctr ica.

Midiendo en el mismo punto de un campo magnético, la fuerza que experi

mentan diferentes cargas moviéndose de diferentes maneras , podemos obtener

una relación e ntre la fuerza, la carga y su velocidad. De este modo enco ntram os que

la fuerza ejercida por un campo m agnético sobre una carga en movi

miento es proporcional a la carga eléctrica y a su velocidad, y la

dirección de la fuerza es perpendicular a la velocidad de la carga.

Podemos avanzar un paso más y, recordando la definición de producto vectorial ,

escribir tentativamente la fuerza F sobre una carga q que se mueve con velo

cidad v en un campo magnético, en la forma

F = qv x

}) ,

(15.1)

la cual satisface los requis itos experimentales mencionados más arr iba. En esta

ecuación,

73 es un vector q ue se determ ina en cada punto comp aran do el valor

observado de F en ese punto con los valores de q y v. Es te modo de proceder

ha demostrado tener éxito. El vector

73

puede v ariar de pun to a pu nto en un



51 4 Interacción magnética

{15.2

campo magnético, pero en cada punto se tucut•••'.r.\ experinir-ntalmente que es

el mismo para todas las cargas y velocidades. Por i o tanto descr ibe una propiedad

que es característica

del campo

magnético y podemos l lamarla

intensidad de

campo magnético;

ot ro nombre ,

impuesto por e

uso, es

inducción magnética.

En este texto usaremos solamente la pr imera designación.

Cuando ¡a partícula se mueve en una región donde hay un campo eléctrico

y uno magnético, la fuerza total es la sama de la fuerza eléctrica

q£

y la fuerza

magnética qv * 93 , es decir,

F « q(C + v* 93). (15.2)

Esta expresión se denomina

fuerza de

Lorentz.

La ec . (15.1) da, por la definición de

producto vectorial, una fuerza no sólo

perpendicular a la velocidad

v,

como se

indicó anter iormente, sino también al

campo magnético 9J- La ec. (15.1) impli

ca también que cuando

v

es paralela a 93,

la fuerza

F

es cero; de hecho, se observa

que en cada punto de todo campo mag

nético hay una cierta dirección de movi

miento para la cual no se ejerce fuerza

alguna sobre la carga en movimiento. Es

ta dirección define la dirección del campo

magnético en el punto. En la f ig. 15-2

se ha i lustrado la relación entre los tres

vectores

v,

93 y

F,

tanto para una car

ga posit iva como para una negativa. La

figura muestra la regla para determinar el sentido de la fuerza; esta regla usa la

mano derecha.

Si a es el ángulo entre

v

y 93, el módulo de

F

es

F(q negativa)

Fig. 15-2. Relación vectorial entre la

fuerza magnética, el campo magnético

y la velocidad de la carga. La fuerza es

perpendicular al plano que contiene

a -Tí y a

«.

F = qv

B

sen a. (15.3)

El máximo de intensidad de la fuerza ocurre cuando a = TT/2 O sea cuando

v

es perpendicular a 93, resultando

?»9J.

(15.4)

El mínimo de la fuerza, cero, ocurre cuando

a

= 0 o sea cuando

V

es paralela

a 93, como se dijo antes.

A partir de la ec. (15.1), podemos definir la unidad de campo magnético como

N/C m s

-1

o sea kg s"

1

C"

1

. Esta unidad se denomina lesla en honor del ingeniero

norteamericano nacido en Yugoeslavia Nicholas Tesla (1856-1943). Se abrevia T,

por lo que T

=

kg s

-1

C"

1

. Un tesla corresponde a campo magn ético que pro

duce una fuerza de un newton sobre una carga de un coulomb que se mueve

perpendieularmente al campo a razón de un metro por segundo.



15,2)

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento 515

Com o la

fuerza

m a g n é t i c a

F

=

qv

*

13 es p e r p e n d i c u l a r a la v e l o c i d a d , s u

t r a b a j o e s c e r o y p o r l o t a n t o n o p r o d u c e c a m b i o a l g u n o e n l a e n e r g í a c i n é t i c a

d e l a p a r t í c u l a , d e f i n i d a p o r l a e c . ( S . i l ) . A u n q u e l a f u e r z a m a g n é t i c a n o e s c o n

s e r v a t i v a e n e l s e n t i d o d e f i n i d o e n e l c a p í t u l o 8 , c u a n d o u n a p a r t í c u l a s e m u e v e

e n c a m p o s m a g n é t i c o y e l é c t r i c o s u p e r p u e s t o s , s u e n e r g í a t o t a l p e r m a n e c e c o n s

t a n t e . ( P o r e n e r g í a t o t a l e n t e n d e m o s l a e n e r g í a c i n é t i c a m á s l a e n e r g í a p o t e n c i a l

de l a s d i fe ren te s in te racc iones ) .

EJEMPLO

15,1, U n pro tó n de los rayo s cósm icos en t ra con un a ve lo c idad de

1 0 ' m s"

1

en e i cam po m a gné t ico de l a t i e r r a , en d i recc ión pe r pen dic u la r a l m ism o.

E s t i m a r la fuerza que se ejerce sobre e l p ro tón .

Solución:

La in ten s idad de l cam po m agn é t ico ce rca de l a supe r f i c ie t e r r e s t r e en

e l ecuador e s de a l rededor de

•)}

= 1,3 x 10~

7

T . La ca rga e léc t r i ca d e p r o t ón

es

q ~

' +

e

= 1,6 x 10

_1

* C . P o r l o t a n t o , u s a n d o l a ec . (15.4), la fuerza sobre e l

p ro tón e s

F = qv

c

fí

=

2,08 x

lO '

1 9

N ,

que es cerca de

d\cz

m i l lones de veces m ayor que l a fue rza deb ida a l a g ravedad

m

r

,g =

1,6 x

10~

26

N . S iendo m

P

=

1,7 x

10~

27

kg , l a ace le rac ión d eb id a a e s ta

fuerza es

a

= F//n

p

= 1,2 x 10

s

in

s~

2

; l a a c e le r a c i ó n d e l p r o t ó n e s p u e s m u y

grande com parada con l a ace le rac ión de l a g ravedad .

EJEMPLO

15.2. Discus ión de l

efecto

Hall. En 1879 el f í s i co nor team er icano E . C .

H a l l ( 1 8 5 5 - 1 9 2 9 ) d e s c u b r i ó q u e c u a n d o u n a p l a c a m e t á l i c a p o r l a q u e p a s a u n a

c o r r i e n t e

I

s e co loca en un cam po m agné t ico pe rpendicu la r a e l l a , apa rece una

d i fe renc ia de po tenc ia l en t re pun tos opues tos en los bordes de l a p laca . Es te fenó

m eno se denom ina e fec to Ha l l .

Solución:

S e t r a t a d e u n a a p l i c a c ió n t í p i c a d e l a e c . ( 1 5 . 1 ) . S u p o n g a m o s p r i m e r o

que los por tadores de cor r i en te e léc t r i ca en l a p laca m e tá l i ca son e lec t rones , los

c u a l e s t i e n e n u n a c a r g a n e g a t i v a

q

= — c. Cons ide rando la f ig . (15-3(a ) , donde

se ha dibujado e l e je

Z

pa ra le lo a l a cor r i en te / , vem os que e l m ovim ien to de l a s

cargas es en e l sent ido de —

Z

con ve loc idad v-. C u a n d o s e a p l i c a el c a m p o m a g -

Portadores

(

a

) negativos

Portadores

(? =

_ e

) (

b

) positivos

F ig . 15-3 . E l e fec to H a l l .

(? = +«)



516 Interacción magnética (15.3

nético D perpendicularmente a la p laca, en el sentido del eje X, los electrones están

sujetos a una fuerza F — (— e)v- * tí. E l p rod uc to vec to r ia l » - *

c

tí t iene el sen

t ido de —Y, pero como es tá

multiplicado

por — e, el resultado es un vector F

en el sentido de - |- Y. En consecuenc ia , 'os e lec t rones derivan hacia el lado derecho

de la p laca , l a cua l se ca rga nega t ivamen te . E l lado izqu ie rdo se carga pos i t iva

men te po rque t iene una def ic ienc ia en

el

número no rmal de e lec t rones .

Como

r esu l

t a d o , aparece un campo e léc t r ico £ paralelo ai eje -f Y. La fuerza sobre los elec

t r o n e s debiaa a es te campo eléctr ico es p —í)C " ; como es tá d i r ig ida hac ia la izqu ie rda

llega un momento en que contrarresto ia fuerza hac ia la derecha deb ida a l campo

m a g n é t i c o B, p r o d u c i é n d o s e el equil ibr io . Esto a su vez da or igen a una d iferencia

de p o t e n c i a l t r a n s v e r s a e n t r e los bo rdes opues to s de l conduc to r , siendo el Jado

i~í¿;; ;Tdc el que esta a po tenc ia l más

a l i o ,

el valor de la d iferencia de potencial

es p ropo rc iona l a l cam po magné t ico Es te es e l e f ec to Hal l no rm al o "n eg a t iv o"

que p resen tan ia mayor ía de lo s meta les , como e l o ro , l a p la ta , e l p la t ino , e l co

m e , etc. Sin embargo en c ie r to s meta les — co m o e l coba l to , el zinc y el hierro y

oíros materiales

como lo s semiconducto res , se p roduce un

efecto

Hal l opues to o

" ' p o ^ l i v o - ,

í'a.a explica;

-

ei efecto

Hall

p o s i t i v o ,

ap o n g am o s

que lo s po r tado res de co r r ien te ,

••vi '•"/. ae se

v

lo.-:

'iectr oucs car y ai

o?,

tupatr, a m e n t é , s on partículas de carga posi-

HY.; ••• •= •; c.

'-•<>'

i-.- •auto deben

m<-- ¡-se

en n mismo sentido que ia corr iente,

;l-,

:,H.:'O -ii:¡'

r;

v i 'ocdad

v,

•.-=:

á r-.;.-..,:: si .-?;'.- -

>. .'orno en Ir r p . íb-'J(b).

La fuerza

mae" ;••• •'.'» '••'::>:._• hr. carga- * n r .-K'mie'i''--.-- ••:

?"•'—•(-

;•):•,. x }j y está d ir ig id a

s;, '. el eje ¡- ": : con.o las cargar rm OO: ; -V;ü , e l bo r le -.ierecho de la p laca se

ca.r..a

r

>-müvamente y el izquierda ne;-:au\" á m e n l e , p r o d u c i e n d o u n c a m p o

e léc-

;.:•'.'• . '¡-aViSve-'-iJ en e) sentido de - V Por io tanto ia d iferencia de potencial es

o p u e s t a a la eme aparece en el caso de p o r t a d o r e s n e g a t i v o s , resultando un efecto

Ha h

pos i t ivo .

C u a n d o se recubrieron ¡os dos tinos de efecto Hall , los f ís icos quedaron muy

iririt.ados po rque en aque l la época se c r e ía que lo s ún icos po r tado res de co r r ien te

eléctr ica en

un

conduc to r só l ido e r an io s e lec t rones cargados nega t ivamen te . S in

embaí g e , en c ie r tas circunstancias podemos decir que los po r tado res de co r r ien te

eléctrica en un só l ido son par t ícu las con carga pos i t iva . En es to s mater ia les hay

lugares en clor.de no rmalmen te deb ie r a haber un e lec t rón , pero deb ido a a lgún

defec to en la es t ruc tu ra de l

sól ido, falta

e l e lec t rón ; dec imos que hay un

hueco

electrónico. C uando po r a lguna r azón un e lec t rón cercano se mueve para l lenar

e l hueco , de ja ev iden temen te un hueco en e i lugar donde es taba . Po r lo tan to lo s

huecos e lec t rón icos se mueven en sen t ido exac tamen te opues to a l de lo s e lec t rones

nega t ivos ba jo la acc ión de un campo e léc t r ico ap l icado . Podemos dec i r que lo s

huecos e lec t rón icos se compor tan como s i f ueran par t ícu las pos i t ivas . Po r lo tan to ,

e l e f ec to Hal l cons t i tuye un método muy ú t i l para de te rminar e l s igno de las ca rgas

de lo s po r tado res de co r r ien te e léc t r ica en un conduc to r .

15.3 Movimiento de una carga en un campo

magnético

C o n s i d e r e m o s

primeramente

e l m o v i m i e n t o d e u n a p a r t í c u l a c a r g a d a e n u n c a m p o

m a g n é t i c o u n i f o r m e , e s d e c i r , u n c a m p o m a g n é t i c o q u e t i e n e l a m i s m a i n t e n s i d a d

y d i r ecc ión en todos sus pun tos . Para s imp l i f ica r , cons idera remos p r imero e l

c a s o d e u n a p a r t í c u l a q u e s e m u e v e perpendicularmente a l c a m p o m a g n é t i c o

(f ig . 15-4) ; la fuerza está dada entonces por la

ec . (15.4).

C omo la fuerza es per

pend icu la r a la ve loc idad , su e f ec to es cambiar la d i r ecc ión de la ve loc idad s in

c a m b i a r

s¡ ;

m ó d u l o , r e s u l t a n d o u n m o v i m i e n t o c i r c u l a r u n i f o r m e . L a a c e l e r a c i ó n

e s p o r l o t a n t o c e n t r í p e t a y u s a n d o l a e c u a c i ó n d e m o v i m i e n t o ( 7 . 2 8 ) , t e n e m o s

http://clor.de/

http://clor.de/



15.3)

Movimiento de una carga en un campo magnético 517

F

— mv^/r, donde

F

está dada por la ec . (15.4) . Escr ibimos por lo tanto

mi?

o sea

= qif)3

mv

w

(15.5)

a cual da el radio de la circunferencia descrita por la partícula. Por ejemplo,

usando los datos del ejemplo 15.1, vemo s que los protones descr ibir ían u na cir

cunferencia de radio 8 X 10

5

m si el cam

po fuera uniforme. Escribiendo

v

= ur,

donde &> es la velocidad ang ular,

tene

rnos entonces

= - ^ 9 5 .

m

(15.6)

Por lo tanto la velocidad angular es

independiente de la velocidad l ineal

v

y

depende solamente del cociente

qfm

y

del campo 93. La expresión (15.6) da el

módulo de to pero no su dirección. En la

ec. (5.58) indicamos que la aceleración

en un movimiento circular uniforme se

puede escribir en forma vectorial como

a = o x v.

Por lo tanto, la ecuación de

movimiento

F

= ma es

mea x

v

=

qv

* 93

Flg.

15-4. Un a carga que se mue ve

perpendicularmente a un campo mag

nético uniforme sigue una trayectoria

circular.

o, invir t iendo el producto vector ial en el pr imer miembro y dividiendo

po r m,

(o

x

v

= —

(q/m)

9 3 *

v,

lo cual implica que

a>= —

(qlm)13,

(15.7)

la cual da m tanto en módulo como en dirección y sentido.* El signo menos in

dica que

cu

t iene dirección opuesta a la de 93 para una carga posit iva y la misma

dirección para una carga negativa. Llamaremos a oí

frecuencia ciclotrónica

por

razones que se explicarán en la sección 15.4(c) cuando tratemos el ciclotrón.

Es costumbre representar un campo perpendicular al papel por un punto (•)

si está dirigido hacia el lector y por una cruz (x) si está dirigido hacia la página.

* En rigor, tendríamos que haber escrito (O = — (g/m)T8 + Xv , donde X es una constante arbi

traria; sin ombargo la ec. (15.6) indica que debemos poner

X =

0.




(15.3

q posi

Uva ;

(B

hac i a

arriba

co hac i a aba jo

(a)

7 negativa ; (B y tu hacia arriba

(b)

Fig. 15-5.

Trayectorias

circula

res positivas y negativas en un

campo magnético uniforme.

Fig. 15-6. Fotografía, tom ada en una cá

mara de niebla, de trayectorias de partículas

cargadas en un campo magnético uniforme

dirigido hacia la página. ¿Puede el estudiante

identificar cuáles son las cargas positivas y

cuáles las negativas?

La fig. 15-5 representa la trayectoria de una carga positiva (a) y una negativa (b)

moviéndose perpendicularmente a un campo perpendicular a la página. En (a)

o> está dirigida hacia la página y en (b) hacia el lector.

La curvatura de la trayectoria de un ion en un campo magnético constituye

un método para determinar si su carga es negativa o positiva, si sabemos cuál

es el sentido de su movimiento. La fig. 15-6 muestra las trayectorias de varias

partículas cargadas que se han hecho vis ibles mediante una cámara de niebla*

colocada en un campo magnético. El campo magnético aplicado es varias veces

más intenso que el de la tierra, de modo que el radio de la trayectoria es del orden

de las dimensiones de la cámara de niebla. Nótese que las trayectorias se curvan

* La cámara de niebla es un disposi t ivo que cont iene una mezcla de gas y vapor en la cual la

t rayec tor i a de una par t í cu l a cargada se hace v i s i b l e -condensando el vapor sobre iones del gas.

Los i ones son producidos por l a i n t e racc ión en t re l as par t í cu l as cargadas y l as molécul as de l

gas . La condensac ión se l ogra enfriando l a mezc l a median t e una expans ión ráp ida (ad i abá t i ca) .

La mezcl a puede ser a i re y vapor de agua .



15,3) Movim iento de una carga en un campo magnético 519

Flg- 15-7, Fotografía de la traye ctoria

de un positrón (electrón positivo) en un

campo magnético dirigido hacia la pá

gina, tomada por Anderson en una cá

mara de niebla. Esta fotografía consti

tuyó la primera (1932) evidencia expe

rimental de la existencia de los positro

nes,

que habían sido predichos teórica

mente por Dirac.

' ^ I ü

en sentidos opuestos , lo cual indica que algunas partículas son positivas y otras

negativas. Puede observarse que algunas de las partículas describen una espiral

de radio decreciente; es to indica que la partícula está s iendo frenada por coli

siones con las moléculas del gas. Esta disminución de la velocidad ocasiona,

según la

ec .

(15.5), una disminución del radio de la órbita.

La ec. (15.5) nos dice también que la curvatura de la trayectoria de una par

tícula cargada en un campo magnético depende de la energía de la partícula;

cuanto mayor es la energía (o el momentum p = mu), mayor es el radio de la tra

yectoria y menor la curvatura. La aplicación de este principio condujo en 1932

al descubrimiento del positrón en los rayos cósmicos. El positrón es una partícula

fundamental que tiene la misma masa m

e

que el electrón pero una carga positiva

+ e; su descubrimiento fue fruto de los trabajos del físico norteamericano Cari

D .

Anderson (1905- ) .* Fue Ande rson el que obtuvo en una cáma ra de niebla

la fotografía de la

fig.

15-7. La banda horizontal que se ve en la figura es una

plancha de plomo de 0,6

cm

de espesor que se ha colocado dentro de la cámara

de niebla y a través de la cual ha pasado la partícula. La parte inferior de la

trayectoria de la partícula está menos curvada que la superior , lo cual indica

que por encima de la plancha la partícula t iene menor velocidad y energía que

por debajo; en consecuencia la partícula se mueve hacia arr iba ya que debe perder

energía al pasar a través de la plancha. La curvatura de la trayectoria de la

partícula y el sentido del movimiento con respecto al campo magnético indican

que la partícula es positiva. La trayectoria se parece mucho a la de un electrón

— pero de un electrón positivo. Usando la ec. (15.5) podemos escribir

p=mv=q

c

)dr;

por lo tanto, si en la fotografía medimos r y suponemos que q

=

i,

podemos

calcular p ; el resultado de este cálculo es que p t iene un orden de magnitud co-

rrespo:idit:nte a una partícula que tiene la misma masa que el electrón. Un aná-

* Sin embargo, la existencia de esta partícula habla sido predicha unos años antes de su descubrimiento, por el físico británico Paul A. M. Dirac (1902- ).




lisis más detallado nos permite encontrar la velocidad de la partícula y por lo

tanto determinar su masa, obteniendo un acuerdo total con la masa del electrón.

Si una partícula cargada se

mueve inicialmente

en

una

dirección que no es

perpendicular al campo magnético, podemos descomponer la velocidad en sus

componentes paralela y perpendicular al campo magnético. La componente pa

ralela permanece constante y la perpendicular cambia continuamente de direc

ción pero no de magnitud. El movimiento es entonces el resultante de un movi

miento uniforme en la dirección

de

campo y un movimiento circular alrededor

del

campo con velocidad angular dada

per

la ec. (15.6), La t rayector ia es una

hélice, corno se muestra en la fig. 15-8 para el caso de un ion positivo.

Olro hecho más que se deduce de la ec, (15.5) es que cuanto mayor es el campo

.•magnético,

menor

es el radio de

la

trayectoria de la partícula cargada. Por lo

rruito SJ eJ campo magnético no es uniforme, la trayectoria no es circular. La

•

;

3. 'i>-

(

' muestra un ;:anipe mag^cico dirigido de izquierda a derecha con su

'.••:•.:..

;

i'

:

)f'

a\n:oen1a::do en

;

:

:

-:ú~'• •>?>• . í ; -eccLn,

por

r> raido ur¡a

partícula inyec-

'.•:•••• por •• •..••. r en >.., >;•".•,..•'••.""' •'•'¡ -voipo, d^scril-

1

i.HS '¡'dice

c;'.yo

radio Oecxece

-.-.i'.

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LA

-., el ;•'. >;í>io vi:

c-.:c

-"¡cee la intensidad L.

;arav

;¡ se anoia, siempre que el camp

r

>

' la partícula t_s forzada a volver o sea a

uigi¡ét

:

co. Por

)(.

tanto, a medida que un

ia d

comienza

a actuar como reflector de

comi...mne>;(.c,

como un

espejo

magnético.

Este efecto se usa ampliamente para contener gases ionizados o plasmas.

En la fig. 15-10 se ha representado otra situación, en la que un campo mag

nético perpendicular a la página aumenta de intensidad de derecha a izquierda.

También se ha indicado la trayectoria de un ion positivo inyectado perpendicu-

larmente al campo; esta trayectoria está más curvada a la izquierda, donde el

campo es más fuerte, que a la derecha, donde es más débil. La trayectoria no es

cerrada y la partícula avanza a través del campo perpendicularmente a la direc

ción en que éste aumenta.

Un ejemplo interesante del movimiento de iones en un campo magnético es

el caso de las partículas cargadas que inciden sobre la tierTa prevenientes del

espacio exterior, las cuales constituyen parte de lo que se denomina rayos cósmi

cos. La fig. 15-11 mue stra las líneas de fuerza del cam po m agné tico te rres tre.*

Las partículas que inciden según el eje magnético de la tierra no sufren desvia

ción alguna y l legan a la t ierra aunque tengan energía muy pequeña. Las par

tículas que caen oblicuamente con respecto al eje magnético de la tierra, describen

una trayectoria.helicoidal, que puede ser tan curvada s i las partículas se mueven

muy lentamente, que las mismas no llegan a la superficie terrestre. Las que llegan

; :

'

; í

' l

. . ¡ O - ' .

carn ;

pa r t¡

¡o .

t:.-"eiilUüir¡'U;n'U' .a "»ela;

íctico s: a

b u i i n e n t e r o m L e .

¡

::

rsf.

rj i'¡par¿ ;:.iajuv'r,íe ai ,¡a

•o

magnético aumenta u¡

¡i

culas

c a r g a d a s o ,

como

se

>C-

r

íl

'"'t

•Xi

d.

* E n realidad, el campo magnét i co que roñea 5a t i e r ra presen t a var i as anomal í as l oca l es y «na

distorsión

(ôbai

en di rección opuesta al sol , las cuales no se ven en la representación esque

mát ica de la í ig.

15-11.



15.3)

Movimiento de una carga en un campo magnético 521

Fig. 15-8. Tray ecto ria helicoidal de

un ion posit ivo que se mueve oblicua

mente respecto a un campo magnético

uniforme.

Fig. 15-9. Trayec toria de un

ion positivo en un campo

magnético no uniforme.

(B

i n t enso

Arras t re de l as par t í cu l as

Fig. 15-10. Mov imiento plan o de un

ion arrastrado por un campo magnético

no uniforme.




Energ í a ba j a ,

a p r o x i m a d a m e n t e p o t a r

Energ í a a l t a ,

a p r o x i m a d a m e n t e p o l a r

Sa l i en t e

Inc ident e (o en t ran t e)

Eje magnét i co

Fig.

15-11.

Movimiento de partícu las cargada s de los rayos cósmicos en el campo

magnético terrestre.

sobre el ecuador magnético experimentan la mayor desviación porque se mueven

en un plano perpendicular al campo magnético; en consecuencia sólo las par

tículas que tienen mayor energía pueden alcanzar la superficie terrestre. En otras

palabras: la energía mínima que una partícula cósmica cargada debe tener para

llegar a la superficie de la tierra, aumenta a medida que se va del eje magnético

terrestre a ecuador magnético.

Otro efecto debido al campo magnético terrestre es la asimetría este-oeste de la

radiación cósmica. No se conoce con certeza si las partículas cósmicas cargadas

son preponderantemente positivas o negativas; s in embargo sabemos, s í , que las

partículas de cargas opuestas son desviadas en sentidos opuestos por el campo

magnético terrestre. Si en los rayos cósmicos el número de partículas positivas

que llegan a la t ierra es diferente del de partículas negativas , debemos observar

que los rayos cósmicos que llegan a un lugar dado de la superficie terrestre en

dirección este del cénit, tienen una intensidad diferente a la de los que llegan

en dirección oeste del cénit. Los resultados experimentales están ampliamente a

favor de una mayoría de partículas cargadas positivamente.

J



ló.á)

Ejemplos de movim iento de partículas 523

Los ánturones de radiación de Van Alien son otro ejemplo de la interacción

de partículas cósmicas cargadas, con el campo magnético terrestre. Estos cintu-

rones están compuestos de partículas cargadas rápidas, principalmente electrones

y protones, atrapados en el campo magnético terrestre. El primer cinturón se

extiende aproximadamente entre los 800 y los 4000 km de la superficie de la

tierra, mientras que el segundo se extiende a unos 60.000 km de la t ierra.* Fueron

descubiertos en 1958 por medio de aparatos que llevaba un satéli te norteameri

cano Explorer e investigados por la sonda lunar Pioneer III . Para comprender

mejor cómo las partículas cargadas son atrapadas en los cinturones de Van Alien,

consideremos, por ejemplo, un electrón libre producido por la colisión entre un

átomo y una partícula cósmica a muchos kilómetros de la superficie terrestre;

la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético terrestre hace

que el electrón viaje, en una trayectoria curvada. Sin embargo, la intensidad del

campo es mayor más cerca de la t ierra. El resultado es un movimiento s imilar

al mostrado en la fig. 15-10, desviándose el electrón hacia el este debido a su

carga negativa (para cargas positivas la desviación es hacia el oeste). La compo

nente de la velocidad paralela al campo magnético terrestre da lugar a un efecto

adicional, que hace que las partículas avancen en espiral hacia uno de los polos

siguiendo las líneas de fuerza magnéticas, en forma similar a la mostrada en

la fig. 15-8. Debido al aumento de la intensidad del campo magnético hacia el

norte o hacia el sur , el radio de giro se hace cada vez menor, disminuyendo al

mismo tiempo la componente paralela de la velocidad, como se explicó en rela

ción con el efecto de espejo magnético de la fig. 15-9. Cada electrón alcanza una

lati tud norte o sur determinada para la cual se anula la componente para le la

de la velocidad; lati tud que depende de la velocidad inicial de inyección. El elec

trón retrocede entonces hacia el polo opuesto. El movimiento resultante es por

lo tanto un cambio de longitud hacia el es te y una oscilación norte-sur en lati tud.

El movimiento se rep i te cont inuamente , qu izás duran te var ias semanas , h as ta

que el electrón es expulsado del cinturón de Van Alien por una colisión que ter

mina con su condición de pris ionero. Con los protones atrapados ocurre una

situación similar.

15.4 Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo

magnético

En esta sección ilustraremos varias s ituaciones concretas en las cuales un ion

se mueve en un campo magnético.

(a ) Espectrómetro de masas. Considerem os el dispositivo ilustra do en la fig. 15.12.

Allí I es una fuente de iones (para electrones pued e ser sim plem ente un filamento

* Hay bas t an t e ev idenc i a de que e l c i n turón i n t e rno es t á compues to por pro tones y e l ec t rones

proveni en t es de l a des in t egrac ión de neut rones que han s ido producidos por l a i n t e racc ión de l os

rayos cósmicos con l a a tmósfera t e r res t re . E l c in turón ex t erno cons i s t e p r i nc ipa lmente en par

t í cu l as cargadas emi t i das por e l so l . La ac t i v idad so l a r es t á asoc i ada con un aumento de es t as

par t í cu l as , y su

desaparición

de l c in turó n de rad i ac ión es l a causa de la ac t i v id ad auro ra l y de l

enmudecimiento

de l as rad io t ransmis iones .




y

S

1

y S

2

son dos rendijas estrechas a través de las cuales pasan los

iones siendo acelerados por la diferencia de potencial V aplica da e ntre a m ba s.

iones

sf

calcula

a

partir de la ec. (14.38), la cual da

caliente)

iones siei

La velocidad de salida de

(i)

V.

(15.8)

En ía región que está por debajo de las rendijas hay un campo magnético

uniforme dirigido hacia el lector. E.' ion describirá entonces una órbita circular,

curvada en un sentido o en otro según sea el signo de su carga q. Después de

describir una semicircunferencia

los

iones inciden sobre una placa fotográfica P,

dejando una marca. El radio r de la órbita está dado por la ec. (15.5), de la cual,

PlíU-u

fotográfica ¡

Fig. 15-12. Espe ctróm etro de ma

sas de Dempster. / es una fuente de

iones. Las rendijas S

1

y

S

2

sirven de

colimadores del haz de iones.

V

esla diferencia de potencial acelera

dora aplicada entre S, y S

2

. P es

una placa fotográfica que registra

la llegada de los iones.

despejando la velocidad v, obtenemos

%r.

m

Combinando las

ees.

(15.8) y (15.9) para eliminar v, obtenemos

X

m

2V

(15.9)

(15.10)

que da la razón q¡ m en función de tres can tidad es (V, 9 3, y r) que pueden medirse

fácilmente. Podemos aplicar esta técnica a electrones, protones y cualquier otra

partícula, átomo o molécula cargada. Midiendo la carga q independientemente ,

podemos obtener la masa de la partícula. Estos son los métodos que se men

cionaron anteriormente en la sección 14.5.

El dispositivo de la fig. 15-12 constituye un espectrómetro de masas, porque

separa los iones que tienen la misma carga q pero diferente masa m ya que de

acuerdo con la ec. (15.10), el radio de la trayectoria de cada ion cambia según

el valor de

q¡m

del mismo. Este espectrómetro particular se denomina espectró

metro de masas de Dempster, Se han desarrollado otros tipos de espectrómetros

de masas, todos basados en el mismo principio. Los científicos que usaban esta

técnica, descubrieron en la década de 20 que átomos del mismo elemento químico



15.4)

Ejemplos de movimiento de partículas 525

no tienen necesariamente la misma masa. Como se indicó en la sección 14.7, las

diferentes variedades de átomos de un elemento químico, variedades que difieren

en la masa, se denominan isótopos.

El dispositivo experimental de la fig. 15-12 puede usarse también para obtener

el cociente q¡m par a una p artícu la qu e se mu eve con velocidades diferentes. Se

ha encontrado que q/m depende de v como si q permaneciera constante y m

va

riara con la velocidad en la forma indicada en la ec . (11.7), es decir, m=m

0

/

]/

1 — v

2

jc

2

. Por lo tanto concluimos que

la carga eléctrica es un invariante, siendo la misma para todos

los observadores en movimiento relativo uniforme.

(b ) Los experimentos de Thomson. Du ran te la últ ima parte del s iglo diecinueve,

hubo una gran cantidad de trabajos experimentales sobre descargas eléctr icas .

Estos experimentos consis tían en producir una descarga eléctr ica a través de un

gas a baja presión co locando dent ro del mismo do s electrodos' y a plicánd oles

una elevada diferencia de potencial. Se observaron varios efectos luminosos

según fuera la presión del gas dentro del tubo. Cuando se mantenía el gas dentro

del tubo a una presión menor que un milésimo de atmósfera, dejaban de obser

varse efectos visibles dentro del tubo, pero se observaba una mancha luminosa

en la pared del mismo en el punto O directamente opuesto al cátodo C (fig. 15-13).

Por lo tanto se hizo la hipótesis de que alguna radiación era emitida por el cátodo,

la cual se movía en línea recta hacia O; de acuerdo con esto la radiación fue lla

m a d a rayos catódicos.

Fig. 15-13. Experimen to de Thomson para medir q/m. Los rayos catódicos (elec

trones) emitidos por C y colimados por A y A' llegan a la pantalla S después de

atravesar una región en donde se aplica un campo eléctrico y uno magnético.

Los experimentadores añadieron dos placas paralelas P y P' dentro del tubo y

aplicaron una diferencia de potencial, produciéndose un campo eléctrico

<f

diri

gido de P a P'. El resultado de aplicar este campo eléctrico fue que la mancha

luminosa se movió de O a O ', o sea en el sentido c orrespo ndiente a una carga

eléctrica negativa. Esto sugirió que los rayos catódicos son simplemente una




corriente de partícula s cargadas nega tivam ente. Si q es la carga de cada partí

cula y v su velocidad, la desviación d = 00 ' puede calcularse aplicando ¡a

ec .

(14.9):

qCajmv*

= d¡L.

La fuerza eléctrica sobre la partícula es

q¿

y está dirigida hacia arriba. Supon

gamos que a continuación aplicamos, en la misma región donde está

<f,

un campo

magnético dirigido hacia el papel. La fuerza magnética es, según la ec. (15.4),

qvPfó y está dirigida hacia abajo porque

q

es una carga negativa. Ajustando ^

en forma apropiada, podemos hacer que Ja fuerza magnética sea igual a la eléc

tr ica; es to da una resultante aula y U¡ manc ha luminosa vuelve de O' a O, es

decir que no hay desviación de los rayos catódicos. Entonces

qf — quijo

v =

<f/93.

Esto permite medir la velocidad de la partícula cargada. Sustituyendo este valor

de v en la ec. (14.9), obtenemos ia razón

q'm

de las partículas que constituyen

¡os rayos catódicos,

q m

=

cdfff-La.

Este fue uno de los primeros experimentos dignos de confianza para medir

qjm

y proporcionó indirectamente una prueba de que los rayos catódicos consis ten

en partículas cargadas negativamente, l lamadas electrones desde entonces.

Estos y otros experimentos similares fueron publicados en 1897 por el físico

británico Sir J. J. Thomson (1856-1940), que invirtió muchos esfuerzos y tiempo

tratando de descubrir la naturaleza de los rayos catódicos. Hoy en día sabemos

que los electrones libres presentes en el metal que constituye el cátodo C son

arrancados o evaporados del cátodo como resultado del fuerte campo eléctr ico

aplicado entre C y A, y son acelerados a lo largo del tubo por el mismo campo.

(c) El ciclotrón. El hecho de que la trayec toria de una partícula cargada en

un campo magnético sea circular, ha permitido el diseño de aceleradores de par

tículas que funcionan cíclicamente. Una dificultad con los aceleradores electros

táticos (descritos en la sección 14.9) es que la aceleración depende de la dife

rencia total de potencial V. Como el campo eléctrico dentro del acelerador es

(f =

Vjd,

si V es muy grande, la longitud d del tubo del acelerador también debe

ser muy grande para impedir la formación de campos eléctricos intensos que

producirían el salto de chispas entre los materiales del tubo de aceleración. Un

tubo de aceleración muy largo presenta, además, varias dificultades técnicas.

Por el contrario, en un acelerador cíclico una carga eléctrica puede recibir una

serie de aceleraciones pasando muchas veces a través de una diferencia de poten

cial relativamente pequeña. El primer instrumento que trabajó según este prin

cipio fue el ciclotrón, diseñad o por el físico norte am erica no E. O. Law rence . El

primer ciclotrón práctico comenzó a funcionar en 1932. Desde entonces nume

rosos ciclotrones han s ido construidos en todo el mundo, teniendo sucesivamente

cada uno mayor energía y mejor diseño.

Un ciclotrón (fig. 15-14) consiste esencialmente en una cavidad cilindrica divi

dida en dos mitades D

t

y D

2

(cada una llamada "de" por su forma), la cual se

coloca en un campo magnético uniforme, paralelo a su eje.

Las

dos cavidades

están aisladas eléctricamente una de otra, En el centro del espacio entre las "des"

se coioca una fuente de iones S y se aplica entre las mismas una diferencia de



15.4)


potencial alterna del orden de

10

4

V. Cuando los iones son positivos, son acele

rados hacia la "de" negativa. Una vez que el ion penetra en una "de", no expe

rimenta fuerza eléctr ica alguna, porque el campo eléctr ico es nulo en el interior

de un conductor. Sin embargo, el campo magnético obliga a los iones a describir

una órbita circular con un radio dado por la ec¡ (15.5), r = mu/a^j, y una velo

cidad angular igual a la frecuencia ciclotrónica de las partículas , dada por la

ec . (15.6), (o =

<f)3¡m.

La diferencia de potencial ent re las "d es " oscila con una

frecuencia igual a

a.

De esta manera la diferencia de potencial entre las "des"

está en resonancia con el movimiento circular de los iones.

i i i 11

j-w

n 11 i

i i i i i i i i i i«i i i

05

1

f

' l

' ^-~ TI/"—-- '

Fig. 16-14. Componentes básicos de

un ciclotrón, La línea de trazos

muestra la trayectoria de un ion.

V„

se n ml-~y

f t t

De /

Después que la partícula ha descrito media revolución, se invierte

la

polar idad

de las "des" y cuando el ion cruza el espacio entre ellas, recibe otra pequeña

aceleración. La semicircunferencia que describe a continuación tiene entonces un

radio mayor, pero la misma velocidad angular . El proceso se repite varias veces

hasta que el radio alcanza el valor máximo R que es prácticamente igual al radio

de las "des" . El campo magnético disminuye abruptamente en el borde de las

" d e s " y la partícula se mueve tangencialmente, escapando a través de una aber

tura conveniente. La máxima velocidad

i>

ma x

está relacionada con el radio R

por la ec. (15.5), es decir,

R =

La energía cinética de las partículas que emergen de A es entonces

E*=M,áx=*í

( -^w*

8

.

(15.11)




y e s t á d e t e r m i n a d a p o r i a s c a r a c t e r í s t i c a s

de ia p a r t i r l a ,

¡ a i n t e n s i d a d

dci

c a m p o

m agné t ico y e l rad io de l c ic lo t rón , pe ro es i n d e p e n d i e n t e del p o t e n c i a l a c e l e r a d o r .

C u a n d o l a d i f e r e n c i a d e p o t e n z a

>:S

p e q u e ñ a , ia parlicuia t i e n e q u e d a r m u c h a s

v u e l t a s h a s t a a d q u i r i r l a e n e r g í a f i n a ; c u a n d o

es

g r a n d e s ó l o s e r e q u i e r e n u n a s

p o c a s v u e l t a s p a r a a d q u i r i r i a misma ene rg ía .

L a i n t e n s i d a d d e l c a m p o magnetice e s t á l i m i t a d a p o r f a c t o r e s t e c n o l ó g i c o s ,

t a le s com o la d i spon ib i l idad de materiales c o n i a s p r o p i e d a d e s r e q u e r i d a s , p e r o

e n p r i n c i p i o , p o d e m o s a c e l e r a r l a p a r t í c u l a h a s t a c u a l q u i e r e n e r g í a , c o n s t r u y e n d o

i m a n e s d e r a d i o s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e . S in e m b a r g o , c u a n t o m a y o r e s e l i m á n ,

m a y o r e s e l p e s o y e l c o s t o . A d e m á s , a m e d i d a q u e l a e n e r g í a a u m e n t a , t a m b i é n

aum enta ¡a ve loc idad de l ion , con lo que cam bia l a m asa de acue rdo con l a

e c .

(11 .7 ) , rn = mjy 1—v

2

jc

2

. C u a n d o i a e n e r g í a e s m u y g r a n d e , l a v a r i a c i ó n

d e masa e s su f ic ien te com o pa ra que cambie apreciablemente l a f recuenc ia c ic lo -

t r ó n i c a del ion . En consecuenc ia , a no s e r que s e cam bie l a f recuenc ia de l po tenc ia l

e léc t r i co , l a ó rb i t a de l a pa r t í cu la ya

no

e s t a r á e n

fase

con e l po tenc ia l osc i l an te

y no s e rá ace le rada . Es por e s to que en ei c ic lo t rón l a ene rg ía e s tá l im i tada por

e l e fec to re la t iv i s t a sobre l a m asa .

EJEMPLO 15.3.

E l c ic lo t rón de i a U nive rs id ad de Mich igan t i ene p iezas po la re s

con un d iám e t ro de 2 , 1 m y un rad io de ex t racc ión de 0 , 92

m.

E l c a m p o m a g n é t i c om á x i m o e s ti = 1 ,5 T y l a m áx im a f recuenc ia a lcanz ab le po r e l po ten c ia l ace le

rador osci lante es 15 x 10

6

Hz . Ca lcu la r l a energia de los p ro tones y de l a s pa r

t í cu la s a que s e p roducen , y l a f recuenc ia ciclotrónica de l a s m ism as . Ten iendo

en cuen ta l a va r iac ión re la t iv i s t a de l a m asa , ¿cuá l e s l a d i fe renc ia porcen tua l en t re

la s f recuenc ia s ciclotrónicas en e l cen t ro y en e l borde?

Solución:

U san do la ec. (15 .11) con los va lo res de la ca rga y de l a m asa cor re spon

d ien te s a los p ro tones y a l a s pa r t í cu la s a l fa , encon t ram os que l a s ene rg ía s c iné t i cas

d e a m b o s e s t á n d a d a s p o r

Eic = 1,46 x 10 "

11

J = 91 MeV .

La f recuenc ia c ic lo t rón ica de l a pa r t í cu la a l fa e s c>o = 7,2 x 1 0 '

s"

1

,

que cor re s

ponde a una f recuenc ia

v

a

= w

a

/27T = 11,5 x

10

6

Hz , que e s tá de n t ro de l a lcance

de l a f recuenc ia m áxim a de l a m áquina . P a ra los p ro tones encont ram os e l dob le

de e s ta f recuenc ia : 22 x 10

6

Hz . Es ta e s l a f recuenc ia con que e l po tenc ia l ap l i cado

a l a s " d es " debe va r ia r ; pe ro com o la m á xi m a f recuenc ia de l c ic lo t rón e s , por cons

trucción, 15 x 10

6

Hz , e s ta m á qu ina no pue de ace le ra r p ro ton es has ta la e ne rg ía

teór ica de 91 MeV. Tom ando la m áxim a f recuenc ia osc i l a to r ia , t enem os que

(o

P

= 9,4 x 10 ' s

-1

. E l cam po m agné t ico cor re spondien te a l a re sonanc ia c ic lo t ró

n ica e s 0 , 98 T y encont ram os que l a ene rg ía c iné t i ca de los p ro tones e s tá l im i tada

por la frecuencia a

Et

= imu* = imm*R

2

=

0,63 x 10

-1 1

J = 39 MeV.

A una ene rg ía

E

= m

0

c

2

+ En , l a m asa de l a pa r t í cu la e s

m

=

E/c*

= m

0

+

E

k

¡c\

de m odo que

¿?*/c

2

es la variación de masa. De la ec . (15.6) deducimos que la fre

cuenc ia c ic lo t rón ica e s inve rsam ente p roporc iona l a l a m asa , por lo que , s i

w

y

w ,

son l a s f recuenc ia s cor re spondien te s a l a s m asas

m

y m

0

d e l a m i s m a p a r t í c u l a ,

podemos escribir w/<o

0

=

mjm,

ó

<>

— a

0

__

m

—

m

0

Eicjc* Eic

c o

0

7 7 i

m0

+ J?t/c

2

m^ c

2

+ Ek '



15.4)


El p r imer miembro da e l cambio po rcen tua l de la f r ecuenc ia c ic lo t rón ica y e l se

gundo e l de la masa . Para energ ías r e la t ivamen te ba jas podemos desp rec ia r en e l

denominador la energ ía c iné t ica

E*

f rente a

m

0

c

2

;

p o n i e n d o

Ao

=

a>

—

to

0

,

o b t e n e m o s

Acó

m

0

c

2

P o r l o t a n t o , m i e n t r a s l a e n e r g í a c i n é t i c a d e l a s p a r t í c u l a s s e a p e q u e ñ a c o m p a r a d a

con su energ ía en r eposo , la var iac ión de f r ecuenc ia se r á muy pequeña . En nues t ro

c a s o t e n e m o s : p a r a p a r t í c u l a s a l f a , Aco/o> = —0 , 0 2 4 = 2 , 4 % , y p a r a p r o t o n e s ,

Aco/w = — 0 , 0 4 2 = 4 , 2 % .

L o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s e n e s t e e j e m p l o i n d i c a n t a m b i é n q u e , c o m o l o s e l e c t r o

nes t ienen una masa en r eposo a l r ededo r de 1/1840 la de l p ro tón ( secc ión 14 .5 ) ,

la energ ía c iné t ica has ta la cua l se pueden ace le r a r ( s in apar ta r se ap rec iab lemen te

de su f r ecuenc ia c ic lo t rón ica) es tamb ién 1/1840 la de lo s p ro tones . Es po r es ta

r azón que no se u san c ic lo t rones para ace le r a r e lec t rones .

E l e f ec to r e la t iv i s ta sob re la masa puede co r r eg i r se , sea cambiando e l campo

magnét ico de modo que a cada r ad io e l va lo r de <¿ p e r m a n e z c a c o n s t a n t e a p e s a r

de la var iac ión de l a m a s a , o c a m b i a n d o l a f r e c u e n c i a d e l p o t e n c i a l a p l i c a d o a las

" d e s "

y m a n t e n i e n d o e l c a m p o m a g n é t i c o c o n s t a n t e m i e n t r a s l a p a r t í c u l a g i r a e n

e s p i r a l , d e m o d o q u e e n c a d a i n s t a n t e h a y a r e s o n a n c i a e n t r e e l m o v i m i e n t o d e l a

par t ícu la y e l po tenc ia l ap l icado . E l p r imer d iseño se denomina sincrotrón y el

s e g u n d o sincrociclotrón. U n s i n c r o t ró n p u e d e f u n c i o n a r c o n t i n u a m e n t e , m i e n t r a s

que un s incroc ic lo t rón func iona a cho r ros po r la neces idad de a ju s ta r la f r ecuenc ia .

Algunas veces , como en e l

sincrotrón protónico,

se var ían tan to la f r ecuenc ia c om o e l

c a m p o m a g n é t i c o p a r a m a n t e n e r c o n s t a n t e e l r a d i o d e l a ó r b i t a .

EJEMPLO 15.4. E s t u d i a r e l m o v i m i e n t o d e u n a p a r t í c u l a c a rg a da en c a mp os

magnét ico y e léc t r ico c ruzados .

Solución:

En lo s e jemp los dados an te r io rmen te en es te cap i tu lo ,

h e m o s

c o n s i d e r a d o

s o l a m e n t e e l m o v i m i e n t o d e u n a p a r t í c u l a e n u n c a m p o m a g n é t i c o . E x a m i n a r e m o s

ahora e l caso de que haya tamb ién un cam

po eléctr ico , por lo que debe usarse la

ec.

(15.2). C ons idera remos s in embargo una s i

tuac ión espec ia l : cuando lo s campos e léc t r ico

y ma gnét i co son perpen d icu la r es , como se

muestra en la f ig . 15-15. La ecuación de

mov imien to de la par t ícu la es

dv

~dT

q(C + v x 03).

H a g a m o s u n a t r a n s f o r m a c i ó n d e G a l i l e o

de l s i s tema

XYZ

a o t ro s i s tem a X'Y'Z' que

se mueve con r espec to a l an te r io r con ve lo

c idad r e la t iva

T3

2

03'

Figura 15-15

Luego, s i v' es la ve loc idad de la par t ícu la r espec to a X'Y'Z', p o d e m o s e s c r i b i r

v =

» ' + «

0

y

dv/dt

=

dv'/dt.

Po r lo tan to la ecuac ión de mov im ien to pue de esc r i

b irse como

dv'

m — —

=

q(C + v' x 1)

~

v

0

x <73).dt

^




(15.5

Pero v

0

x 7j = (tí

r

(f/-ü)

x

u/H = — u

v

£ = — c". Entonces, el primero y el último de

la ecuación precedente se cancelan y la ecuación de movimiento en el sistema

X'Y'Z' es

dv'

m

= cu

di

H

1).

Vemos entonces que, con respecto a X'Y'Z', el mo vim iento es como si no hubiera

campo eléctrico. Si la partícula se mueve

inicialmente

en el plano

A'Y,

su movi

miento en el sistema

X'Y'Z'

es un a circunferencia de radio

r

=

mo'/q'B,

descrita

con velocidad angular

o>

= — q'Vjjm. Con respecto a X YZ, esta circunferencia

avanza según el eje X con velocidad v

0l

resultando

alguna

de las trayectorias que

se muestran en la fíg.

15-16.

El proceso se repite en una distancia

v

0

P

=

2n v

0

tu>.

Si

2nv

0

¡íx¡

= 2 w , o sea si r = vju>, la trayectoria es la cicloide norm al, señ alada (1).

Pero si

2r,v

0

l(x>

S

2r.r,

o sea si r 5

y„/o¿,

se obtienen las trayectorias (2) o (3) correspon

dientes a cicloides largas o cortas. Si la partícula cargada tiene inicialmente una

componente de la velocidad paralela al eje Z,

las

trayectorias representadas en la

íig.

15-l(i se alejan del piano

XY

a velocidad consta nte.

Fig. 15-lfi. Tra yec toria s cicloidales

de una

partícula respecto

al observador O. (1) r --

¡V"? '.•-')

r

< v<¡><», (3) r <

i>

0

/u.

Este ejemplo revela un aspecto interesante:

mientras

que el observador que usa

el sistema X YZ observa tanto un campo eléctrico como uno magnético, el obser

vador que usa el sistema X'Y'Z' que se mueve respecto a XYZ, observa el movi

miento de la partícula cargada correspondiente a un campo magnético solo. Esto

sugiere que los campos eléctrico y magnético dependen del movimiento relativo

del observador. Es esta una cuestión muy importante que se considerará con mayor

detalle en la sección 15.12.

15.5 Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica

Como se explicó en la sección 14.10, una corriente eléctrica es un chorro de cargas

eléctr icas que se mueven en el vacío o a través de un medio conductor. La inten

sidad de la corriente eléctrica se ha definido como la carga que pasa por unidad

de tiempo a través de una sección del conductor. Consideremos una sección trans

versal de un conductor a través de la cual se están moviendo partículas con

carga q y velocidad v. Si hay n partículas por unidad de volumen, el número

total de partículas que pasan por la unidad de área en la unidad de t iempo es

nv , y la densidad de corriente, definida como la carga que pasa a través de la

unidad de área en la unidad de tiempo, es el vector

3 =

nqv.

(15.12)



15.5)

Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica 531

Si

S

es el área de la sección del conductor perpendicular a

j ,

la corriente es el

escalar

I

=jS

=nqvS.

(15.13)

Supongamos ahora que el conductor está en un campo magnético. La fuerza

sobre cada carga está dada por la

ec.

(15.1) y, como hay

n

par t ículas por unidad

de volumen,

la fuerza

/

por unidad de volumen es

f

=

nq v

x 9 3 = ¿ x 9 3 .

(15.14)

La fuerza total sobre un pequeño volumen

dV

del medio esdF —

fdV =j

* 93

dV,

y la fuerza total sobre un volumen f inito se obtiene integrando esta expresión

sobre todo ese volumen; es decir

F

j

x 93

dV.

' Vol

(15.15)

Consideremos ahora el caso de una co

rriente en un alambre o filamento. El

e lemento de volumen

dV

es (fig. 15-17)

S

di

por lo que la ec. (15.15) da

JF í :

j

x 93S di.

Fi lamento

"

s%

,

•

s

^

**^\ ±=^s3

^<¿^^s

" t t t

i

i

a

^

j

*

U j .

, .

Ahora bien,

j = jur,

donde

u

T

es el vec

tor tangente al eje del filamento. Se tiene

entonces

Figura 15-17

F

=

j

(Ju

T

) x <73S di

= j

(JS)

u

T

x 93 di. (15.16)

Pero

jS

= / , y la intensidad de corr iente / en e l a lambre es la misma en todos

sus puntos por la ley de conservación de la carga eléctr ica. Por lo tanto la fuerza

magnética sobre un conductor por el que circula una corr iente es

F = I j u

T

x 93 di.

(15.17)

Como ejemplo, consideremos el caso de un conductor recti l íneo colocado en un

campo magnético uniforme 93 (f ig. 15-18) . Como tanto Mr como 95 son constantes ,

podemos escr ibir

F

= Iu

r

x 93

j

di,

o sea, si

L — di

es la longitud del conductor recti l íneo,

F =

ILUT x 95.

El conductor está sujeto a una fuerza perpendicular a él y al campo magnético.

Este es el pr incipio sobre el que se basa el funcionamiento de los motores eléc-




Fiír. 15-18. Relación vectorial entre

la fuerza magnética sobre un conduc

tor por el que circula una corriente,

el campo magnético y la corriente.

La fuerza es perpendicular al plano

que contiene

«r

y W.

Fig. 15-19. Torque magnético sobre un

circuito eléctrico rectangular colocado en un

campo magnético. El torque es cero cuando

el plano del circuito es perpendicular al

campo magnético.

trieos.

Si 8 es el ángulo en tre e con ducto r y el cam po m agné tico,

e

módulo de

la fuerza F es

F =

ILli

sen ü.

(15.18)

La fuerza es cero si el conductor es paralelo al campo (0 = 0) y máxima si es

perpendicular a él

(6

= K ¡ 2 ) . El sentido de la fuerza se enc uen tra ap licand o la

regla de la mano derecha, como se muestra en la fig. 15.18.

15.6 Torque magnético sobre una corriente eléctrica

Podemos aplicar la

ce .

(15.18) para calcular el torque debido a la fuerza que un

campo magnético ejerce sobre un circuito eléctrico. Para simplificar, considere

mos en primer lugar un circuito rectangular con una corriente 7, colocado de

modo que la normal u,\ al plano que lo

contiene

(orientada en el sentido que

avanza un tornillo derecho rotando en el sentido de la corriente), forma un án

gulo 6 con el campo 73 , y dos lados del circuito son perpendic ulares a cam po

(fig. 15-19). Las fuerzas F' que actúan sobre los lados L' son de igual módulo

pero direcciones opuestas; tienden a deformar el circuito pero no dan lugar a

un torque. Las fuerzas F sobre los lados L t ienen módulo F =

I1)L

y constituyen

un p ar cuyo brazo es L' sen 9. Prod uce n pues sobre el circuito un to rqu e d e



15.6)

Torque magnético sobre una corriente eléctrica 533

módulo

T = (HjL)(L' sen 0).

Siendo LL '

=

S, donde S es el área del circuito, se tiene T =

(IS)

:

)1

sen 6. La

dirección del torque, siendo perpendicular al plano del par, es según la recta PQ.

Si definimos un vector

M

=

ISu

N

(15.19)

normal al plano del circuito, podemos escribir el torque

x

en la forma

T =

M73

sen

6,

(15.20)

o, en forma vectorial,

M * Q 3 .

(15.21)

Este resultado es matemáticamente s imilar a la ec. (14.50), que da el torque

sobre un dipolo eléctrico, debido a un campo eléctrico externo. Por ello, la can

tidad M definida en la ec. (15.9), que es equivalente a p definido en la ec. (15.49),

se denomina momento dipolar magnético

de la corriente. Notemos que según la ec.

(15.19), el sentido de M es el de avance de

un tornillo derecho que gira en el mismo

sentido de la corriente, o sea el sentido que

da la regla de la mano derecha como se

muestra en la fig. 15-19.

Para obtener la energía de una corrien

te en un campo magnético, aplicamos el

razonamiento inverso al usado en la sección

14.11 para pasar de la ec. (14.49) a la

(14.50), encontrando que la energia poten

cial de la corriente colocada en el campo

magnét ico 93 es

E

p

= — MT3 eos 6 = —

M - 9 3 .

(15.22)

Fig. 15-20. Relación ent re el mo

mento dipolar magnético de una co

rriente eléctrica y el sentido de la

misma.

Aunque las

ees.

(15.21) y (15.22) se han

obtenido para un circuito rectangular con

una orientación particular en un campo

magnético uniforme, una discusión mate

mática más elaborada demuestra que son de validez general. Supongamos,

por ejemplo, que tenemos un circuito

pequeño

de

cualquier

forma, cuya área es S

(fig. 15-20). El momento dipolar magnético M del circuito está aún dado por

la ec. (15.19), y el torque y la energía potencial cuando se coloca el circuito en

un campo magnético están dados por las

ees.

(15.21) y (15.22).

Usando la ec. (15.22), la unidad de momento magnético se expresa normal

mente en joules/tesla ó J T"

1

. En función de las unidades fundamentales es

m

2

s

-1

C, de ac uer do con la definición (15.19).



534 Interacción magnética {15.6

R e s o r t e

(b)

F ig . 15 -21 . ( a ) C o m p o n e n t e s b á s i co s d e u n g a l v a n ó m e t r o d e b o b i n a

m ó v i l ,

(b ) Vis ta

superior

d e l g a l v a n ó m e t r o m o s t r a d o e n ( a ) .

EJEMPLO 15.5.

Discus ión de ios ins t rum ent os de m edic ió n de cor r i en te t a le s com o

lo s

galvanómetros.

E n la f ig. 15-21 se i lus tra un diseñ o s imple . La corriente , a m ed ir

p a s a p o r u n a b o b i n a s u s p e n d i d a e n t r e l o s p o l o s d e u n i m á n . E n a l g u n o s c a s o s l a

bob ina s e enro l l a sobre un c i l indro de h ie r ro C . E l cam po m agné t ico p roduce un

torque sobre l a bob ina ro tándola un c ie r to ángulo . Es tab lece r l a re lac ión en t re

es te ángulo y l a cor r i en te qu e pas a por a bob in a .

Solución:

S ea

S

e l á rea e fec t iva de l a bob ina (núm ero de vue l t a s x s ecc ión de l a

bob ina ) . E l to rque p roduc ido por e l cam po m agné t ico , ec . (15 .21) , t i ende a co loca r

l a b o b i n a p e r p e n d i c u l a r m e n t e a l c a m p o , r e t o r c i e n d o e l r e s o r t e Q. L a b o b i n a a d o p t a

un a

pos ic ión de equ i l ib r io ro tada un ángulo

a

c u a n d o e l t o r q u e m a g n é t i c o e s c o m

pensado por e l to rque e lá s t i co

ka .

de l re sor te , donde

k

e s l a cons tan te e lá s t i ca de

és te . Una aguja f i ja a la bobina indica

el

ángulo a . Las p iezas po la re s t i enen l a fo rm a

que se i lus tra en la f igura , para que e l campo magnét ico entre e l las y e l c i l indro

de h ie r ro C sea rad ia l , com o se m ues t ra en l a v i s t a supe r io r de l ins t rum ento , f ig .

15-21b . De e s te m odo e l cam po

15

e s tá s i e m p re en e l p lan o de l c i rcu i to y en l a

ec . (15.20) 6 es rc/2 o sea sen

6

= 1 . E l to rque e s en tonces

x =

JS93, y a q u e

M = IS.

En e l equ i l ib r io , cuando e l to rque deb ido a l cam po m agné t ico e s com pensado por

e l to rque deb ido a l re sor te , s e t i ene

7SQ3

=

Aa,

d e d o n d e 1 = ka/SD. S i se con ocen

k, S

y

13 ,

e s ta ecuac ión da

el

va lo r de

la

cor r i en te en func ión de l ángu lo a . Norm al

m ente l a e sca la s e ca l ib ra de m odo que pueda l ee rse

I

e n a l g u n a u n i d a d c o n v e n i e n t e .

EJEMPLO 15.6.

M o m e n t o m a g n é t i c o c o r r e s p o n d i e n t e a l m o v i m i e n t o o r b i t a l d e u n a

pa r t í cu la ca rgada , t a l com o un e lec t rón g i rando a l rededor de un núc leo a tóm ico .

S o luc ión ; Cons ide rem os una ca rga

q

que desc r ibe una ó rb i t a ce r rada l a cua l , pa ra

s im pl i f i ca r , podem os sup oner c i rcu la r . S i v =

co/27r

es la frecue ncia de su m ov i

m i e n t o , l a c o r r i e n t e e n c a d a p u n t o d e s u t r a y e c t o r i a

es I — q\,

pues to que s iendo

v e l nú m e ro d e veces por s egund o qu e l a ca rga

q

p a s a p o r e l m i s m o p u n t o ,

<?v

es la

ca rga to ta l que pasa por e l pun to en l a un idad de t i em po. La cor r i en te t i ene e l

m ism o sen t ido de l a ve loc idad o e l opues to , s egún

q

s ea pos i t iva o nega t iva . Apl i

cando en tonces l a ec . (15 .19) , encon t ram os que e l m om ento m agné t ico o rb i t a l de

la carga es

(15.23)

= (fv)

(*»•»)

=

( - g - )

(7tr«) -= igcor».

J



15.6)

Torque magnético sobre una corriente eléctrica 535

De acuerdo con la r eg la dada an te r io rmen te , su d i r ecc ión , que depende de l s igno

d e

q,

es la que se indica en la f ig . 15-22. Por o tro lado, s i

m

es la masa de la par

t ícu la , su momen tum angu la r o rb i ta l es , según la ec . (7 .33) ,

L =

mvr

—

m<or

¡

.

C o m p a r a n d o l a s ees . (15 .23 ) y (15 .24 ) , encon t r amos que

(15.24)

M

=

2m

O, en fo rma vec to r ia l ,

(15 .25)

M =

1m

(15.26)

E n c o n s e c u e n c i a M y l t iene n el mis mo sen t ido o sen t ido s opue s to s , según qu e la

c a r g a q sea pos i t iva o nega t iva . Un e lec t rón t iene q = — e y m = nu , r e s u l t a n d o

M

c

2/77e

(15.27)

U n p r o t ó n t i e n e q = + e y m = m

P

, por lo que

Mr,

=

2/Hp

(15.28)

M

q positiva q negativa

S i suponemos que la ca rga e léc t r ica es tá g i

r an do sob re s í mi sm a a l r ededo r de un d iám et ro

de l mismo modo que la t i e r r a g i r a a l r ededo r

d e s u e j e , t i e n e , a d e m á s d e s u m o m e n t u m

a n g u l a r o r b i t a l

L,

u n m o m e n t u m a n g u l a r i n

t e r n o S , l l a m a d o

espín.

D e b e h a b e r u n m o

men to magnét ico asoc iado con e l esp ín S , ya

que cad a e leme n to de vo lu me n de la c a rga

q u e g i r a s e c o m p o r t a d e l a m i s m a m a n e r a

que la ca rga q en la f ig . 15-22. Sin embargo,

la r e lac ión en t r e e l momento magnét ico y e l

espín no es la misma que la relación (15.26) ,

po rq ue e l coef ic ien te po r e l que hay q ue mu l t ip l ica r e l m om en tu m ang u la r de

e s p í n S p a r a o b t e n e r e l m o m e n t o m a g n é t i c o c o r r e s p o n d i e n t e d e p e n d e d e l a e s t r u c tu ra in te rna de la par t ícu la . Es ú t i l e sc r ib i r e l momen to magnét ico deb ido a l es

p ín en la forma

F i g .

1 5 - 2 2 . R e l a c i ó n v e c t o r i a l e n

t r e el m o m e n t o d i p o l a r m a g n é t i c o

y el m o m e n t u m a n g u l a r d e u n a

c a r g a d e s c r i b i e n d o u n a ó r b i t a c e

r r a d a .

Ms =

Y

^ T

s

'

(15.29)

donde el coef iciente y , l lamado

factor giromagnético,

depe nde de la es t ruc tu r a de la

par t ícu la y de l s igno de su carga . C ombinando las ees . (15.26) y (15.29) , obtenemos

e l m o m e n t o m a g n é t i c o t o t a l d e u n a p a r t í c u l a d e c a r g a ± e que r eco r r e una ó rb i ta

y g i r a sob re s í misma,

M

2m

(±L+

yS).

(15.30)

El s igno más (menos) de lan te de L c o r re s p o n d e a u n a p a r t í c u l a c a r g a d a p o s i t i v a

m e n t e ( n e g a t i v a m e n t e ) . A u n q u e e l n e u t r ó n n o t i e n e c a r g a e l é c t r i c a y p o r l o t a n t o

n o o r i g i n a u n m o m e n t o m a g n é t i c o orbital de acuerdo con la ec. (15 .26) , t iene un




momento m a g n é t i c o d e

esptn

que es

da e i valor de y para e l

e lec t rón , el

p;

(15.6

taDia que s igue se

.ernerto

m.agn¡j

;.2 Vt E l <-alor

: V

or nuso ae

M¿ ¡

A n á l o g a m e n t e , e l hee

diea aue la estrucíur

>t(V

"->•

i a

ee .

( 15 ,30 )

s in o p o r

'••e.

un a <-s t "ucl) i ra in te rn a

O í

s e a

diferente a la del

itérente

a la

del e lec t rón .

/

«

Ui,

1

<? positiva

P p . 15 -28 . E l torque m a g n é t i c o r

ô-

5re u n a partícula ca rgada en m ovi

miento es perpendicular al morrentum

íjnyular

i,

de l a pa r t í cu la y a i cam po

m a g n é t i c o

¡i.

Fie , 15-24, Prec es ión del momentum

a n g u l a r tie u n a p a r t í c u l a c a r g a d a

alre

dedor de l cam po m agné t ico .

EJEMPLO 15.1. Torq ue y ene rg ía de una parííeula ca rg ada que s e m u eve en un a

reg ión donde hay un cam pe .m agne t ic / i .

Solución: S u p o n g a m o s q u e s e colore a pa r t í cu la de l ejemplo a n t e r i o r e n u n c a m p o

m agné t ico un i fo rm e ( f íg . 15-23) . Em pleando ¡a s

ees.

(15 .21) y (15 .26) encont ram os

que e l torque e jeruido sobre la part ícula es

2m

h

x

-I-

13

x

2m

(15.31)

en d i recc ión pe rpendicu la r a í, y í¡

ti

Esíe torque t i e n d e a c a m b i a r e l m o m e n t u m

angula r o rb i t a l

L

de la part ícula de a •i-'»rde coi. la ec . (7 .33) .

dhlát

—

T.

Def in iendo

ít

--•• —

(o¡2m)

fí> que es la mit ad ce ' '; .•"-.roercla nclotródiiea dada por la ec , (15.7),

tenemos pa ra e l torque d a d o p o r

:

;; c:. (15.31),

T

=

ü

*

L.

(15.32)



15.6)

Torque

magnético sobre una corriente eléctrica 537

Es ta ecuac ión e s s im i la r a l a ec . (10 .29) cor re spondien te a l m ovim ien to de l g i ros

cop io , por lo que en e s te caso s e t i ene e l m ism o t ipo de p reces ión a l l í e s tud iado .

En el capí tulo 10 la preces ión se debía a

1

t o r q u e p r o d u c i d o p o r l a i n t e r a c c i ó n g r a -

v i t a c i o n a l ; a q u í s e d e b e a l t o r q u e p r o d u c i d o p o r l a i n t e r a c c i ó n m a g n é t i c a . L a p r e

ces ión de

L

a l r e d e d o r d é

V

p roduce una ro tac ión de l a ó rb i t a de l a pa r t í cu la . En

la f lg. 15-24 se ha indicado la dirección de

Q y

e l s en t ido de p reces ión pa ra una

c a r g a p o s i t i v a y p a r a u n a n e g a t i v a .

La expres ión (15 .32) e s vá l ida so lam ente pa ra una pa r t í cu la s in e sp ín . S i l a pa r

t í cu la t i ene e sp ín , e l aná l i s i s e s a lgo m ás com pl icado , por lo que lo om i t i rem os .

P o d e m o s o b t e n e r l a e n e r g í a d e u n a p a r t í c u l a q u e s e m u e v e

en

u n a ó r b i t a d e n t r o

de un cam po m agné t ico com binando la s ees . (15 .22) y (15 .26) ; re su l t a

L-"ñ = íi-L. (15 .33)

y,m

S i l a pa r t í cu la t i ene e sp ín , usam os paia e l m om ento m agné t ico l a ec . (15 .30) , ob

t e n i e n d o

E

P

= — -£— (

±L +

y

S) • •».

(15 .34)

2m

E s t o s r e s u l t a d o s s o n m u y i m p o r t a n t e s p a r a a y u d a r a c o m p r e n d e r e l c o m p o r t a

m i e n t o d e u n á t o m o o d e u n a m o l é c u l a e n u n c a m p o m a g n é t i c o e x t e r n o , t e m a

de in te ré s t an to desde

el

p u n t o d e v i s t a t e ó r i c o c o m o d e l e x p e r i m e n t a l . P o r e j e m

p l o , c u a n d o s e c o l o c a u n á t o m o e n u n c a m p o m a g n é t i c o e x t e r n o , s e p e r t u r b a e l

m ovim ien to de los e lec t rones y l a ene rg ía va r ía de acue rdo con l a ec . (15 .34) .

Cuando se com para e s te va lo r t eór ico de

E

P

c o n l o s r e s u l t a d o s e x p e r i m e n t a l e s , s e

e n c u e n t r a q u e l a s c o m p o n e n t e s

Z

de los m om en ta ang ula re s o rb i t a l y de e sp ín

e s t á n c u a n t i z a d o s ; e s d e c i r , L

z

y

Sz

pueden tom ar só lo c ie r tos va lo res que s e

expresan en l a fo rm a

Lz

= miH, S¡ = rruh,

d o n d e l a c o n s t a n t e

h = h¡2n

= 1,05 x 1C

-3 4

J s . E s t a c o n s t a n t e f u e i n t r o d u c i d a

en l a s ecc ión 14 .9 a l d i s cu t i r e l m ovim ien to o rb i t a l de los e lec t rones , y

h

e s l a cons

tan te de P lanck . Los va lo res pos ib le s de

mi

so n 0 , ± 1 , ± 2 ,

±

3 , . . . , m i e n t r a s

q u e

m,

p u e d e t o m a r s o l a m e n t e d o s v a l o r e s , + i ó — i. E l n ú m e r o mi s e d e n o m i n a

número cuántico magnético

d e l e l e c t r ó n , m i e n t r a s q u e

m¡

es el

número cuántico de

espín. P a ra los neu t rone s y los p ro to nes s e ob t i en e un re su l t ad o aná log o . P or e sa

razón se dice que

el electrón, el protón y el neutrón tienen espín \.

P o r o t r o l a d o ,

el momentum angular orbital L también está cuantizado,

p u d i e n d o

tomar

so lam ente los va lo res dados por

L

=

V K l

+ 1)

h ,

d o n d e l = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . e s un núm ero na tu ra l que s e d eno m in a número cuántico

del momentum angular.

C o m o

Lz

n o p u e d e s e r m a y o r q u e

L ,

conc lu im os que los

va lores de

mi

n o p u e d e n p a s a r d e

/,

es decir

mi =

0, ± 1,

±

2 , . . . ,

±

(l— 1 ) ,

±

l.

P o r lo t a n t o , p a r a l

—

0 sólo es posible m¡

—

0 . P a ra l

—

1 , p o d e m o s t e n e r mi

—

0 ,

± 1 , y a s í suces ivam ente . P or o t ra pa r te , com o e l núm ero cuán t ico de e sp ín t i ene

s o l a m e n t e u n v a l o r , h a y u n ú n i c o v a l o r p a r a e l m o m e n t u m a n g u l a r d e e s p í n

s =

Y m + i) h =

(V 3/2) h .

El hecho de que pa ra un va lo r dado de

L

sólo c iertos valores de L

z

son pos ib le s

im pl ica que L puede t ene r so lam ente c ie r t a s d i recc iones en e l e spac io ( f lg . 15-25a ) .

En l a s ecc ión 14 .7 e s to s e deno m in ó cuan t izac ió n e spac ia l . E n e l ca so de l e sp ín ,

c o m o

77¡j

t ien e sólo dos valore s pos ibles ( ±

i),

c o n c l u i m o s q u e S p u e d e ú n i c a m e n t e




z

(15.7

(a)

S, = -tf

(10

Fig. 15-25. Posibles orientaciones (a) del

mornentum

angular correspondiente a

l = 1, L = f2h, y (b) del espín s = i, S = <K 3/2)/i.

estar en dos direcciones respecto al eje Z, que generalmente se denominan hacia

arriba ( t ) y hacia abajo ( | ) . En la fig. 15-25b se muestran las orientaciones per

mitidas del espín.

15.7 Campo magnético producido por una corriente cerrada

Hasta ahora hemos dicho que nos damos cuenta de la presencia de un campo

magnético por la fuerza que produce en una carga en movimiento. También

hemos nombrado cier tas sustancias que en su estado natural , producen un campo

magnético. Examinemos ahora con mayor detal le cómo se produce un campo mag

nético. En 1820, el físico danés Hans C. Oersted (1777-1851), notando la des

viación de la aguja de una brújula colocada cerca de un conductor por el que

pasaba una corriente, fue el primero en observar que una corriente eléctrica pro

duce un campo magnético en el espacio que la rodea.

Después de muchos experimentos que var ios f ísicos hicieron a través de los

años usando circuitos de formas diferentes, se ha obtenido una expresión general

para calcular el campo magnético producido por una corr iente cerrada de cual

quier forma. Esta expresión, l lamada ley de Ampére-Laplace, es

13=K

m

lj

UT * Ur

di,

(15.35)

donde el significado de todos los símbolos está indicado en la fig. 15-26, y la

integral se extiende a todo el circuito cerrado (es por eso que se usa el símbolo <£).

En la expresión anter ior ,

K

m

es una constante que depende de las unidades que



15.8)

Campo magnético de una corriente rectilínea 539

se el i jan. En el sistema MKSC se ha acordado (ver nota después de la sección 15,9)

que K

m

= 10~

7

T m/A ó m kg C

_z

. Debemos nota r que la integral de la ec. (15.35)

se expresa en m

- 1

cuando r y I están en metro s. E n consecuencia

l

» = 1 0 - ' / §

UT X

U

r

di.

(15.36)

Es costumbre escr ibir

K

m

=

v^¡4iz,

donde

^

es una nueva constante l lamada

permeabilidad magnética del vacío. La expre

sión (15.35) de la ley de Ampére-Laplace se

escr ibe entonces

4rr

« X

X

U

r

di,

(15.37)

y en el sistema MKSC de unidades

H

= 4 * X 10-

7

m kg C"

2

=

=

1,3566

x 1(T

6

m

kg C~

2

.

Fig. 15-26. Campo magn ético

producido en un punto P por

una corr iente eléctr ica.

(15.38)

Como una corr iente eléctr ica es simplemente un chorro de par t ículas cargadas

que se mueven en la misma dirección, l legamos a la siguiente importante conclu

sión que sigue:

el campo magnético, y por lo tanto la interacción magnética, es pro

ducido por cargas eléctricas en movimiento.

Para i lustrar el empleo de la ec. (15.37) , la aplicaremos al cálculo del campo

magnético producido por corr ientes de formas simples.

15.8

Campo magnético de una corriente rectilínea

Consideremos una corr iente recti l ínea muy larga y delgada, como en la f ig. 15-27.

Para cua lquie r punto

P

y cualquier elemento de corr iente

di ,

e l vec tor Mr x

Ur

es perpendicular al plano determinado por P y la corr iente, por lo que es para

lelo al versor

u

e

.

E l campo magnét ico produc ido por di en P es entonces tangente

a la circunferencia de radio R que pasa por P, t iene su centro en la corr iente y

está en un plano perpendicular a la corr iente. Por lo tanto, cuando realizamos

la integración indicada en la ec. (15.37) , todas las contr ibuciones del integral

t ienen la misma dirección que Ue y e l campo magnét ico resul tan te es tam bién

tangente

a la circunferencia. Se necesita entonces solamente calcular el módulo

de 93 . E l módulo de UT

X u

r

es sen 6 por ser u r y u , versores . En resume n, p ara

una corriente rectilínea podemos escribir el módulo de la ec. (15.37) en la forma

93 = -*L/ í~ UE * , .

I

(15.39)



540

(15.8

FIg. 15-27. Campo mag nético produ- Tig. 15-28. Líneas de fuerza m agnéti-

cido en un punto P por una corriente cas alrededor de una corriente rectilínea,

rectilínea.

De la figura se deduce que

r —R

cosec 9 y

l —

—f í cotg 9, de donde

di =R

cosec

2

9

rf9. Sustituyendo en la

ec .

(15.39) resulta

73

4TT J

0

-

S e n 6

(R

cosec

2

6

de)

= J V

ñ

2

cosec

2

9 4

*R Jo

donde / = — oo corresponde a f i = 0 y / = + o o a 9 = it. Luego,

tí =

^ L .

2nR

o, en forma vectorial,

sen

6

<Z9,

(15.40)

(15.41)

El campo magnético es inversamente proporcional a la dis tancia R y las lineas

de fuerza son circunferencias con centro en la corriente y perpendiculares a la

misma, como se muestra en la fig. 15.28. En esta figura se indica también la

regla de la mano derecha para determinar el sentido del campo magnético con

respecto a la corriente. El resultado (15.41) se denomina fórmula de Biot-Savart.

En el caso de una corriente rectil ínea circulando por un alambre observamos

el campo magnético pero ningún campo eléctr ico; es to se debe a que, además

de los electrones en movimiento que producen el campo magnético, es tán los

iones positivos del metal, que no contribuyen al campo magnético porque están

en reposo con respecto al observador, pero que producen un campo eléctrico

igua y opuesto al de los electrones. Es por ello que el campo eléctrico total es

nulo. Por el contrario, para iones moviéndose según el eje de un acelerador lineal,



15.9)

Fuerzas entre corrientes 541

e e ©

© © - © ©

0 0 ©

3 0 0 0 ©

(a)? positiva

(b)

q

negativa

Fig. 15-29. Relación entre los campos eléctr ico y magnético p roduc idos po r u na

corriente de iones positivos (negativos) que se mueven en línea recta.

tenemos un campo magnético y un campo eléctr ico. El campo eléctr ico corres

pon de al valo r dado en el ejemplo 14.7 par a el cam po eléctrico de un filamento

cargado, £ — M

r

/27r€„ñ. Comparando este valor con la ec. (15.41) , vemos que

los dos campos están relacionados por

C

B

H

€

o

J

U

T

x £.

(15.42)

15.9 Fuerzas entre corrientes

Apliquemos ahora las

ees.

(15.41) y (15.16) conjuntamente para obtener la inter

acción entre dos corr ientes eléctr icas. Para simplif icar , consideremos en pr imer

lugar dos corr ientes paralelas

leí'

(fig. 15-30) , en el mism o sentid o y sep ara da s

una distancia R. En cua lquie r punto de I' e l campo magnét ico 93 debido a / es tá

dado por la ec. (15.41) y tiene la dirección indicada. La fuerza

F'

sobre i ' e s ,

Wl

**• ^ '

^—^

] l

\

^*>

Fig. 15-30. Interacción magnética entre dos corrientes rectilíneas .




usando la ec . (15.17),

F' = / ' J

u'

T

x ,}

di'.

Ahora bien,

u'

T

x

}j

= —

M/?7J,

donde

M/¡ es

el versor de

J

a

/ ' .

Por lo tanto

usando la expresión (15.41) para tí, tenemos

di'

—UR

2T.R

(15.43)

Este resul tado indica que la corriente / atrae a la corriente

/ ' .

Un cálculo análogo

de la fuerza que / ' ejerce sobre / da el mismo resultado pero con signo más, de

modo que está dirigida según Vn y también representa una atracción. En resu

m e n : dos corrientes paralelas en el mismo sentido se atraen con fuerzas iguales como

resul tado de su interacción magnética. Dejamos al estudiante la tarea de verificar

que si corrientes paralelas tienen sentidos opuestos, se repelen.

Flg. 16-31. A íracd<5n y repulsión entre des corrientes.

Este resul tado puede extenderse

a

corrientes de cualquier forma.

Eí

es tudiante

puede verificar que las corrientes de la

flg.

15-31 (a) se atraen , m ientras que las

de la fig. 15-31(b) se repelen. Estas interacciones entre corrientes son de gran

importancia práctica en los motores eléctricos y otras aplicaciones tecnológicas.

Nota sobre unidades: Al discutir las unidades fundamentales en la sección 2.3,

indicamos que el sistema de unidades aprobado internacionalmente es el sistema

MKSA y no el sistema MKSC, aunque en la práctica no hay diferencia entre ambos.

Tenemos dos leyes para elegir la cuarta unidad básica a incorporar además de las

de longitud, masa y tiempo. Ellas son: la ley de Coulomb para la interacción elec

trostática entre dos cargas, dada por la ec.

(14.2),

F =

K. -&-.

J



15.9)

Fuerzas entre corrientes 543

y ia ley de interacc ión entre dos corrientes rect i l íneas , dada por la ec . (15.43) con

ia constante m a g n é t i c a Km en vez de \¡.JAn,

Aunque tenemos

do ;

c o n s t a n t e s , K, y K „

K

correspondientes a las fuerzas eléctrica

y

n;'i<ír élica,

hay

sók;

un g rado de l iber tad po rque hay solamente una n u e v a c a n

t idad t ís ica,

¡a ca>ga

«--¡eeínea, es tando ia

coivicnte

r e lac ionada a e l la po r la ecuac ión

secuenc ia ,

c o a c :

O.'.

ixrcriC:

va lor

arOiíraii

£1

>e

driiv

-

:,)• y encoger

el

ar r

:

:e*c

cuino

• n i - lo < órnente que . c i r cu lando

v

d o ; Cü.idiiCiorts r>ar.¡icios

s e p a r a d o s

una

d i s t a n c i a

de

n a

metí

o ,

prciacc sobre

da co'víuctar ana futría; de 2 x 10~'

;

N ,«ov meiro de longitud d e c o d a c o u d n c -

. ;d.i 3"y. l'aa »e/ o; ; ¡n

:

dc el araperc de cs-.a m a n e r a , el coulomb es ia cantidad,

: caiga que

pasa a traces de cualquier sección de

u n

c o n d u c t o r

en

u n s e g a n d o

lando la corriente ••:-: de un a mp ere .

Fíg . 15-3 2, Aparato pai-a def inir el Fig . 15-3 3. Balan za de corrientes para

ampere experim entalrnente. medir una corriente en función de la

fuerza magnét ica entre dos conductores

paralelos .

En la f ig . 15-33 se muestra una dispos ic ión experimental para medir la fuerza

entre

dos

conductores paralelos . Const ituye una balanza de corrientes. La mis ma

corriente pasa por Sos dos conductores, de modo que F = 2 x W^PL'/R. Pr imero

se equil ibra la balanza cuando no hay corrientes en el c ircuito. Cuando por és te

circula corr iente, es necesario agregar pesas en el platillo izquierdo para equilibrar

nuevamente la balanza. Usando los valores conocidos de F,

U

y R, p o d e m o s e n

contrar el valor de 7. En la práct ica se usan dos bob inas c irculares paralelas .La expres ión

de

la fuerza entre bobinas es diferente.




C omo en func ión de las cons tan tes aux i l ia r es

*•„

y

¡J.

0

,

t e n e m o s K, = í/4ire

0

y

K

m

= \XJ4TV. se deduc e que el cociente en tre es ta s dos consta nte s es

Ke i.

__

2

Km

e

o t

L

0

donde c = 1/Kí

0

LI

0

. Esta constante es igual a la velocidad de la luz (o de cualquier

seña l e lec t romagnét ica) en e

v a c í o , como

se

demostrará

en e cap í tu lo 19 . La cons

tan te c ha s ido med ida experimentaimente con gran precis ión . En función de el la

tenemos que K

t

= K

m

c

l

= 10'~--

, que es el valor de K

t

dado en la sección 14 .3 .

Es to exp l ica nues t r a e lecc ión an te r io r para K

Cf

e lecc ión que en tonces pudo parecer

a lgo a rb i t r a r ia .

Una de las razones por ' as cuales la Undécima C-m?o

r

encia r ecomendó e l u so

de l amperc como la cuar ta un idad fnm. :,m".mia] -"s q-o: es más f ác i l p r eparar un

pairen de

co r r ien te y med i r

is. fuerza

e n t r e

..'os

co r r ien tes , que cons t ru i r un p a t ró n

de carga y medir la fuerza entre dos

c a r g a s .

S i" e m b a r g o , desde el punto de v is ta

físico, t ' concepto de carga es más Pim

u;>

-

:' :

i

:r -me el Ce co r r ien te . De todos modos ,

t a n t o C ü

ei

aspec to p rác t ico

como

en ei ¡...-.órico,

los

s i s t e m e s

MKSC

y

MKSA

son

e q u i v a l e n t e s .

15.10 Camp o magnético de una corriente circular

C o n s i d e r e m o s a h o r a u n a c o r r i e n t e c i r c u l a r d e r a d i o a ( f ig . 15-34) . El cálculo del

c a m p o m a g n é t i c o e n u n p u n t o a r b i t r a r i o e s u n p r o b l e m a m a t e m á t i c o a l g o c o m

p l icado ; pero en pun tos sob re e l e je de la co r r ien te , d icho cá lcu lo es una ta r ea

b a s t a n t e f á c i l . V e a m o s p r i m e r o q u e l a

e c .

( 1 5 . 3 7 ) p u e d e i n t e r p r e t a r s e m a t e m á t i -

Flg.

15 -34 . C á lcu lo de l ca m po mag né

t ico a lo largo del eje de una corr iente

circular .

c a m e n t e d i c i e n d o q u e e l c a m p o m a g n é t i c o r e s a l t a n t e

Jí

p r o d u c i d o p o r l a c o r r i e n t e

e n P e s l a s u m a d e u n g r a n n ú m e r o d e c o n t r i b u c i o n e s e l e m e n t a l e s d

c

)3 d e c a d a

u n o d e l o s e l e m e n t o s d e l o n g i t u d di q u e c o m p o n e n e l . c i r c u i t o . C a d a c o n t r i b u c i ó n

e l e m e n t a l e s

fjj

=-*-I-2^±-di.

4n r

2

Sin embargo , es ta ecuac ión debe cons idera r se só lo en r e lac ión con la ec . ( 15 .37 )

y n o c o m o u n e n u n c i a d o i n d e p e n d i e n t e .

En e l caso de una corriente c i r c u l a r , e l p r o d u c t o v e c t o r i a l u

T

x w

r

de la fig, 15-34

e s p e r p e n d i c u l a r a l p l a n o PÁA' y t i e n e m ó d u l o u n i d a d p o r q u e l o s d o s versores

son perpend icu la r es . Po r lo t a n t o , e l c a m p o d'í3 p r o d u c i d o p o r e l e l e m e n t o d e

http://xj4tv/

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1.5 JO)

Campo magnético de una corriente circular 545

longitud di en P t iene el módulo

H ¡ d[

4TT

y es perpendicular al plano PAA', siendo entonces oblicuo respe cto al eje Z.

Descomponiendo

d 3

en una componente

d93| |

para lela al eje y otra

d7 3

±

pe r pe n

dicular a él , vemos que, cuando integramos a lo largo de la circunferencia, para

cada dí3

±

hay otro en sentido contrar io prov enien te del eleme nto de longitud

di rec tamente opuesto a

di ;

la resultante de todos los vectores

d

L

73

x

es entonces

nula. La resultante 93 será la suma de todos los

rf93||,

s iendo en consecuenc ia para

lela al eje. Ahora bien, como

eos a =

a¡r,

d%, = (<F«) eos a = - tfíj = — v di.

r

41er

3

La distancia r permanece constante cuando integramos a lo largo de la circun

ferencia. Luego, siendo <§)dl =

2

na, obtenemos para e l módulo

de l

c a m p o m a g

nético resultante

93 = <fd93

1

=-^<U = J ^ .

J " 47tr

3

J 2 1

A

Teniendo en cuenta que r = (a

2

+

i?

2

)

1

'

2

, podemos escr ibir

el campo magnético

en los puntos que están sobre el eje de una corr iente circular en la forma

93 =

y.

0

Ia

2

(15.44)

2(a

2

+

fl

2

)

3

'

2

'

E l momento dipola r magnét ico de l c i rcui to es , usando la

definición (15.19),

íg. 15-35. Líneas de fuerza magnét i -

as debidas s una corriente circular.

Pig. 15-36. C ampo mag nético produ

cido en el punto P por una corriente

dipolar magnética.




{15.10

M = I (na

2

); luego

1 3 =

-

VaM

2< a

2

+ i?

2

)

3

(15.45)

En la fig. 15-35 se ha representado el campo magnético de una corriente circular .

Ocurre un caso muy interesante cuando el circuito es tan pequeño que el radio a

puede despreciarse frente a la distancia

R.

La ec . (15.45) se reduce entonces a

93 =

lioM _

H

{2M)

2 n / í

3

\r.W

(15.46)

Cuando comparamos la ec. (15.46) con la

ec .

(14.46) con 8 = 0, es decir,

<f

r

=

(l/47te

0

)(2p/r

3

), vemos que el módulo del campo magnético a lo largo del eje de la

pequeña corriente es idéntico al campo eléctrico a lo largo del eje de un dipolo

eléctrico si hacemos corresponder

(y.

0

jÍK)M

a p¡4ne

0

. Por esa razón el circuito

se denomina dipolo magnético, En consecuencia, podemos aplicar a un dipolo

magnético las

ees.

(14.46) y (14,47) correspondientes a un dipolo eléctrico, resul

tando para el campo magnético fuera del eje (fig, 15-36),

°6r

¡íQ 2M eos e

%

=

(x

0

M sen 6

4 *

r

3

(15.47)

En el capítulo 14 vimos que las líneas de fuerza de un campo eléctrico van de

las cargas negativas a las positivas o, en algunos casos, desde o hacia el infinito.

Por el contrario, podemos ver en las figs. 15-28 y 15-35 que las líneas de fuerza

de un campo magnético son cerradas enlazando la corriente. La razón de esto

es que el campo magnético no se origina en polos magnéticos. Un campo de este

t ipo,

que no tiene fuentes puntuales , se denomina solenoidal.

EJEMPLO 15.8. Estudiar el galvanómetro de tangentes.

Solución: Un galvanómetro de tangentes consiste en una bobina circular (fig. 15-37)

que tiene N vueltas y por la cual-circula una corriente I. Se coloca en una región

donde hay un campo magnético

li

de manera

que un diámetro de la bobina sea paralelo aZ

}) .

La comen te

I

produce en el centro de la

bobina, un campo magnético dado por la ec.

J— (15.44) con R — 0; es decir,

^„7/2a.

Y por tener

N

vueltas ,

el campo magnético total producido

en el centro

es'')j

c

= y.

0

ÍN/2a. Por consiguiente

ei campo magnético resultante

IV

en el centro

de la bobina forma con el eje. de la bobina un

ángulo 6 dado por

t.g

6> =-

lyiic = 2cr'W/(i

0

JA

T

.

Si se coloca una pequeña aguja

magnética en.

ei centro de 3a bobina, girará y quedará en equi

librio ícrnitmáo un ángulo

d

co n ei eje. Esto nos

pf rmite

medir e campo externo

c

O si conocemos

k¡

a.

rrieníc

I

o, inversamente, medir la corrien

te / si conocemos el campo

03.

Normalmente ,

Fig.

15-3"

gentes. /anómelro de tan-

J



15.20) Cam po magnético de una corriente circular 547

¡J es el campo magn ético terrestre . Para mediciones de precisión debe corregirse la

fórmula para tener en cuenta la longitud finita de la aguja, ya que el campo que

actúa sobre el la no es exactamente el campo en el centro. El nombre "galvanómetro

de

tangentes" se deriva de la función trigonométrica que aparece arriba.

EJEMPLO 15.9.

Estudiar el campo magnético de una corr iente solenoidal .

Solución:

Una corriente solenoidal, o simplemente un solenoide, es una corriente

compuesta de varias espiras circulares coaxiales y del mismo radio, todas con la

Flg. 15-38. Líneas de fuerza m agnéticas debidas a una corriente solen oidal.

misma corriente (flg. 15-38). Obtenemos su campo magnético sumando los de cada

una de las corrientes circulares correspondientes. En la figura se ha indicado el

campo por medio de

líneas

de fuerza, suprimiendo algunas fluctuaciones en el espa

cio entre espiras. Calcularemos el campo del solenoide únicamente en puntos que

están sobre su eje.

En 3a flg. 15-39 tenemos un corte longitudinal del solenoide. Si

L

es la longitud

y

N

e¡ número de espiras, el número de espiras por unidad de longitud es N/L y

el número de espiras en una sección de longitud

dR

es

(N/L)dR.

Pod em os calcular el

campo de cada espira en un punto

P

del eje usando la ec . (15.44); el campo debido

Fig-. 16-39. Cálculo del camp o magn ético en un pu nt o

P

situado sobre el eje de

una corriente solenoidal.




(15.10

a las e s p i r a s c o n t e n i d a s en la sección dH p u e d e

cui .¡liarse vn ía

s igu ien te fo rm a :

'

y.

a

Ia

2

i

.V

, „

Hali-' '

c-dR

d-11 =

, JI

dR

._._

* ° i * :

2 (a

2

+

ií

2

)

3

'

2

í L 2L

(a

(15.48)

D e

la

f igura inferimos

que

R

—

a ci.g

;3,

rlr -~

cosec

2

3.

S u s t i t u y e n d o

en la

ce .

(1.5,48),

tenemos

W)

3:2

a

cosec

2

13 (¿¡i,

y

a

J

+

i í

s

=

a

2

d'li

= (— sen 3

á'¿).

P a r a o b t e n e r

el

c am p o r e s u l t a n t e , debemos i n t e g r a r d e s d e

un

e x t r e m o

del

sole-

noid.; h a s t a

el

o t r o .

E s

dec i r , ca lcu lam os

ei

campo

r e s u l t a n t e c o m o s i g u e :

1

=

2Í

r i > > 7

\T

se n ¡3 d¡3 •=

-~-~

(eos

¡3

2

— eos & ). (15.49)

Si

el

so leno ide

es muy

l a rgo

con

r e s p e c t o

al

r a d i o , t e n e m o s p a r a p u n t o s c e r c a

del

c e n t r o

que

^ «

T. y

(i

?

»

0, de

d o n d e

•tí

L

(15.50)

P a r a

un

p u n t o

en uno de sus

ex t rem os , ¡3,

=

TC/2

y

8

2

«

0, ó p,

»

-K

y p

2

=

TC/2.

E n c u a l q u i e r a

de los dos

casos

•»

2L

(15.51)

o

sea la

m i t a d

del

v a l o r

en el

c e n t r o .

Los

so leno ides l a rgos

se

u s a n p a r a p r o d u c i r

c a m p o s m a g n é t i c o s b a s t a n t e u n i f o r m e s

en

r e g i o n e s l i m i t a d a s c e r c a

del

c e n t r o .

EJEMPLO 15.10.

E s t u d i a r

el

c a m p o m a g n é t i c o

del

s i s t e m a c u a d r u p o l a r

de co

r r i e n t e s i l u s t r a d o

en la flg.

15-40.

Solución: El

s i s t e m a

de

c o r r i e n t e s

de la fig. 15-40

e s t á c o m p u e s t o

por dos pe

queñ os c i rcu i tos igua le s s epa r ado s un a d i s tanc ia 2a,

por

los que c i rcu lan cor r i en te s

igua le s

I

p e r o de s en t id os opu es to s . Cada c i r

c u i t o

es

e n t o n c e s

un

d i p o l o m a g n é t i c o ; p e r o

c o m o

las

cor r i en te s c i rcu lan

en

s e n t i d o s o p u e s

t o s ,

los m o m e n t o s

dipoiares

son o p u e s t o s , d a n

do

un

m o m e n t o dipolar m a g n é t i c o t o t a l n u l o .

S i n e m b a r g o ,

el

c a m p o m a g n é t i c o r e s u l t a n t e

no

es ce ro deb ido a la s e p a r a c i ó n de los c i rcu i

to s

y el

s i s t e m a c o n s t i t u y e

por lo

t a n t o

un

c u a -

d r u p o l o m a g n é t i c o . D e b e n o t a r s e q u e

la

s i t u a c i ó n

e s m a t e m á t i c a m e n t e m u y s i m il a r

a la del

e j e m

p lo 14 .13.

T e n i e n d o

en

c u e n t a

la

a n a l o g í a e n t r e

la

ec.

(15 .47) pa ra un d ipo lo m agné t ico

y

l as ees. (14.46)

y (14 .47) pa ra

un

d ipo lo e léc t r i co ,

podemos

de

f in i r un po tenc ia l ' " m agné t ico"

Vm

a soc iado

con

e l c a m p o m a g n é t i c o

de un

di p o l o m a g n é t i c o

dado por la

ec.

(14.45) con U.

C

W/4JT en vez de

?> 4r.e

c

'. Se t

..ene

Flg. í6-4f>. Cuadrupolo m a g n é

t ico.

4rrr-

4rcr

3



15.11) Campo magnético de una carga en movimiento 549

L u e g o , el p o t e n c i a l " m a g n é t i c o " ' r e s u l t a n t e e n P e s , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e

M

í

= — JW

S

=

M,

V

m

=

4wf,

4TT

\ r ? r\)'

nr\

En la f lg . 15-40 observamos que r

= — o

+ r y r , = « + r, por lo que

r*

=

r

s

-f- a

2

— 2 a r eos 6,

r|

=

r

1

+

a

2

+

2a r

eos 0.

Usando e l desar ro l lo b inomia l has ta e l p r imer o rden en a/r, t e n e m o s

1 1

/ , la eos 0

,

a

2

\ -

3

'

2

1

T 3a eos 6 \

7[

=

^ \

1

¡r

+

7*7

=

7 S l

1 +

r

+

- ) '

y a n á l o g a m e n t e ,

P o r l o t a n t o

1 1 / 3a eos 6 \

7 F

=

7 ^ l

1

7

+

- - - J

r¡,

—re + r

/„

3a

eos

6

e + r I 3a co

r

3

V r

+ r / 3a eos 9 \ _

' 2

a + r f 3a eos 0 \ —2o , Qra eos 6

Sus t i tuyendo es te va lo r en la exp res ión de V

m

, o b t e n e m o s

2^0 /

M

3M -r a eos 0 \

V

m

=

í —

M - a

4nr

3

\ r )

P e r o M • a = Ma y M • r = Mr eos 8; luego

_

¡¿

0

M(2a)

(3

eos» 6

— 1)

m

~ 4 ^ '

cuya dependenc ia angu la r y r ad ia l es s imi la r a la de la ec . ( 14 .58 ) , con f i rmando

el hecho de que es tamos t r a tando con un cuadrupolo m a g n é t i c o . E l m o m e n t o c u a -

d r u p o l a r m a g n é t i c o e s M(2a). E l c a m p o m a g n é t i c o d el c u a d r u p o l o m a g n é t i c o t i e n e

las s igu ien tes componen tes r ad ia l y tangenc ia l

0

, 8V

m

3( i

0

M(2a) ( 3 e os

2

6 — 1)

8r

4nr*

'

„ 1 8Vm 6fx

0

M(2a) sen 9 eos 6

° ~ T 36 4nr*

A d v e r t i m o s a l e s t u d i a n t e q u e e l p o t e n c i a l " m a g n é t i c o " q u e h e m o s i n t r o d u c i d o

es s imp lemen te un a r t i f ic io matemát ico para ca lcu la r e l campo magnét ico , y que

no es tá r e lac ionado con una energ ía po tenc ia l en la misma fo rma que lo es tá e l

po tenc ia l e léc t r ico .

15.11 Campo magnético de una carga en movimiento

(no relativista)

El hecho de que una co r r ien te e léc t r ica ( es dec i r , un cho r ro de cargas en mov i

m i e n t o p r o d u c e u n c a m p o m a g n é t i c o , s u g i e re q u e u n a s o l a c a r g a e n m o v i m i e n t o

d e b e p r o d u c i r t a m b i é n u n c a m p o m a g n é t i c o . T r a t a r e m o s d e d e t e r m i n a r e s t e



55 0 Intc-'aeciér-

' (-(rnelír:,

lia.11

cirnpo m-<£: >e

T

u n a

ce n

¡e-i^-

segün

la ex. (i

magnésico ü¿

í ' i i r n i . i T Í w í ,U

I

l lJ.

il

L.

di

^ l'

]

j ll±lJÍ ^

P e r o r e c o r d a n d o l a s ees .

(15.12)

y

(15.13)

y e l hecho de que dV ~ S di,

tenemos

j — juy y j

—

nqr,

lo cual da

P o r

io

t a n t o

d/ Uj- =

(_/S> di u y

=

j dV — nqv dV.

4TT J r

2

(15.52)

Corno

;¡

dV es d número de particular, e n e i v o l u m e n

dV ,

podemos

interpretar

el

resultado

a n t e r i o r d i c i e n d o q u e

enda

p a r t í c u l a

£

ca r ga da p ro du ce en e l pu n to .4 ( i ig . 15-41) un

/ " '

5>--""*

campo nijonétie o

d a d o

o¡,r

-

/i—

/

1

~h

4 ~ -

r 2

- - - .

(15.53)

*'¡p Í&-4U

Cam po s e léc t r ico

y

rna¿p;ético producidos por una

C:iitíii

en

i i i ' iv imienli .

El

r,ió¿-:úi;

de }¿ es

: v ¡

__ ¡¿o 7¡ ;sen 6

\

s;;

li'reecióa e¡: perpendicular a r y ü

t\

l as

IIXICíS v"i3¿íjít

i

.;c3?;

de

íwf-rz;;

sor, eníences e r -x ' in -

...

-p

^ . - . p i

u.

:

î"A

r

i

s•.•:" •,-

i-'¡ p l a n o p e r -

ic.n covisecuen':;;» pedemos ce

(••'••. t io.;ie'

;

ornu

:

r

5.54.)

1

;>

,.;,

r

i.)-' * cléctri

•i nenio



15.12) Electromagnetismo y el principio de relatividad 551

que , como señalamos anteriormente y demostraremos más adelante, es la velo

cidad de la luz o de cualquier señal electromagnética en el vacío. En números

redond os, c = 3,0 X

10

a

m s

_1

.

En conclusión: aunque una carga en reposo produce únicamente un campo

eléctr ico, uno carga en movimiento produce tanto un campo eléctr ico como uno

magnético, relacionados por la ec. (15.54). Los campos eléctrico y magnético

son entonces s implemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la

materia, s iendo más apropiado emplear el término campo electromagnético para

describir la situación física que involucra cargas en movimiento.

Debemos

señalar aquí que el pasaje de

la

ec. (15.52) a la ec. (15.53) no cons

ti tuye un procedimiento matemático único ya que, s i agregamos por ejemplo

a la ec. (15.53) un término cuya integral a lo largo de un camino cerrado sea

cero,

la ec. (15.52) no cambia. En realidad, la ec. (15.53) no es completamente

correcta. Se ha encontrado experimentalmente que da resultados aceptables

sólo cuando la velocidad de la partícula es pequeña con respecto a c. En la sec

ción 15.13 deduciremos la expresión correcta de }í que será válida para todas

las velocidades. Por otra parte la ec. (15.52) es válida para todas las velocidades.

EJEMPLO 15.11, Verificar que el resultado (15.42) para el campo magnético de

una corriente rectilínea es compatible con la ec. (15.54).

Solución: El campo magnético producido por una corriente rectilínea es

el

resultante

de los campos individuales producidos por todas las cargas que se mueven a lo largo

del conductor. De acuerdo con la ec. (15.13), si S es la sección transversal

de

con

ductor,

/ =

nqSv, donde v es la velocidad de las cargas. Pero nq es la carga por

unidad de volumen y por lo tanto la carga por unidad de longitud en un conductor

de sección S es nqS — X; de do nde / = ~kv . Haciendo sustituciones en la ec. (15.42)

y teniendo en cuenta que

v = VUT,

tenemos

ÍX

0

€

0

(1V) > . / • _ , , - „ „ / •

1} = UT x C = ( Ao

€

O

t

' C>

que es precisamente la ec. (15.54).

15.12

Electrom agnetism o y el principio de relatividad

En el capitulo 11 establecimos como principio general el requisito de que todas

las leyes de la naturaleza deben ser idénticas para todos los observadores iner-

ciales. En consecuencia, debemos ahora obtener la relación entre los campos

eléctr icos y magnéticos medidos por dos observadores en movimiento relativo

uniforme, de modo que se satisfaga el principio de relatividad.

Supongamos que tenemos dos observadores O y

O'

(fig. 15-42) en m ovi m ien to

relativo con velocidad v, y que hay dos cargas q y Q en reposo respecto a

O';

las dos cargas están por lo tanto en movimiento con respecto a

O.

Los valores

de ambas cargas son los mismos para los dos observadores

O

y

O',

como ya se

señaló en la sección 15.4. Para el observador

O'

hay solame nte una interacción

eléctrica entre Q y q y la fuerza que mide sobre q es F ' —

qC,

donde

<f

es el campo

eléctrico producido por

Q

en

q

de acuerdo con lo que mide

O'.



552 Interacción ¡nu.o;ieiif.-j

(15.12

Por otro lado, O ve la

ecrgp

Q

"n mnv

eléctrico £ y un campo magnético /)';

movimiento ron velocidad r .

la. íue?75s

F

= ¡ ^ -\-

v

x

;

73).

.•*"

"X. -V'

to , y -ih,s;-r.

:

R <;¡e produce un campo

•:• O obsrr--z yue también 9 está en

dda p>a (2 d

ue

O mide sobre <? es

Fig. 15-42. Comparación de las me

didas electromagnéticas hechas por

dos observadores en movimiento re

lativo.

Eligiendo el sistema de coordenadas tal

q.:e

los ejes X y X' coincidan con la

dirección de la velocidad relativ a ce los obse rvado res, tenem os que

v

-=

u

x

v

y

que

V

x "ñ

=

—ii

s

v

:

l5z + u

z

v ¡j

g

; por lo tanto las componentes de

F

en el sis

t e ma

XYZ

son

F

x

=

q€

x>

F

g

-= qífy — ¡Ñ3

X

) , F

x

= ^cy- + i>%). (15.56)

Las componentes de F' en el sistema X'Y'Z' son

F

x

=

fî. F¿ - 9 ^ . .

F ;

=

?f;. (15.57)

Como

q

está en reposo respecto a C, la relación entre las componentes de

F

y

de

F'

está dada por las

ees.

(11.32),

(11.33)

y (11.34); es decir,

r ~ — J.

i

\/ ) .-_.

; ,2 . ' , .2

,

F:

F

2

> / 1 -----Í/2/C

2

Reemplazando ios valores de las componcmes por los dados en las ees. (15.56)

y (15.57), v cancelando el

íaríor común q, obtenemos

V h__

t

, __

( z - f " / í y

t — y

)/

1

—

í ;

2

/ C

2

(15.58)

Estas expresione:

el camno eléctrico

SiStí

iicuevdo

cor

la

teoría de la relatividad especial,

bserv:;di>r \Y con los campos eléctrico y mag-

'.. .;s i * ••• ":

:

: •:" nación es inmersas de

l as e.c«.

(í

5.58)

i.•'•

"

;

c L", • ••t.a-mdo "1 simio de

v,

vi '

¡me el

-i

nser-



15.12) Electromagnetismo y el principio de relatividad 553

vador O' mide un campo eléctrico <" y un campo magnético >}', el campo eléctrico

que mide O está dado por

(«w; . c

v

=

%^Mk.

e,=-Z=£L. (15.59)

y

i — v

2

ic*

y

i —

y

a

/c

2

Si la carga

(),

e n v e z

de

estar en reposo con respecto a

O',

está también en

movimiento respecto a él , el observador O' observa un campo magnético 73' ade

más del campo eléctrico <T'. Un cálculo similar pero más trabajoso* da en ese caso

K =

7¿,

>r

y

= - ^ - ± J £ £ .

K

=

J E ^ * J £ .

(15

.60)

/ 1 —

£>

2

/c

2

| / 1 — í ,

2

/ c

2

Aquí también, como lo hicimos en la

ec .

(15.58), podemos obtenerla t r an s fo rma

ción inversa de la (15.60) intercambiando los campos y reemplazando

o

por

— v ;

resulta

& = •}%, v

g

= - ^ S £

,

,

)z =

^ + j ^ £ L .

( 1 5

.

61)

( / 1 — v

2

¡ c

2

y i — ü

2

/ C

2

Las

ees.

(15.58) y (15.60), o sus inversas, las

ees.

(15.59) y (15.61), constituyen

la transformación de Lorentz para el campo electromagnético. Estas ecuaciones

demuestran una vez más que los campos eléctrico y magnético no son entes se

parados, sino que forman un único ente físico llamado el campo electromagnético.

La separación de un campo electromagnético en sus componentes eléctr ico y

magnético no es un procedimiento absoluto s ino que depende del movimiento

de las cargas respecto al observador. En consecuencia repetimos que no debemos

hablar de las interacciones eléctrica y magnética como procesos separados, sino

como de dos aspectos de la interacción electromagnética.

EJEMPLO 15.12. Reco nsiderar la situación discu tida en el ejemplo 15.4 usa nd o

la transformación de Lorentz para el campo electromagnético, para relacionar los

campos medidos por ambos observadores.

Solución:

Recordemos que en el ejemplo 15.4 había un campo

eléctrico

según el

eje V y un cam po magn ético según el eje Z Haciendo una transformación cine

mática a un sistema de ejes

X'Y'Z'

movién dose en la dirección

X

con velocidad

v = C/-T3, redujimos el movimiento al de una partícula en un campo magnético

solo. Vayamos un paso más adelante en este análisis y veamos las implicaciones

de este ejemplo dentro del marco de la teoría de

la

relatividad. En el sistema XYZ

tenemos t'.

x

= 0,

c~

y

= c" y t\ - - 0 para el campo eléctrico, y fíx = H» = 0, 'H

t

= M

para el campo magnético. Luego, usando las ees. (15.58) y (15.60), encontramos

que los campos que se observan en el sistema de referencia X'Y'Z' son

t

x

= 0 ,

íy

= — ^ T = , <-

z

= 0 ,

V 1 —

i.'

2

/c

2

V 1 —

1>

2

/C

2

* Por e j emplo , s i e l es tud i an t e desea ob t ener l a segunda y t e rcera ecuac iones en ec . (15 .60) ,

sugerimos que use la ec. (15.58) para el iminar

c*¿

y

< i

de l a t ransf orma ción i nversa (15 .59) ,

y luego despeje

'Y/y

y

li¿.




(15.12

P o n i e n d o

v — t¡ tí,

conc lu imos que

í'¡, -~

0 p or lo

qi

0 , mien t r as que

r/ := HÍ ~ Vi —

1)*¡C

2

».

Por lo tan to la teo r ía de la r e la t iv idad p red ice que un observado r O' m o v i é n d o s e

con velocidad v =

<f

tí con r espec to a o t ro observ ado r 0, no med i r á campo e léc t r ico

a lguno y med i r á un campo magnét ico menor que e que

mide

O, aun que en ia m isma

dirección.

EJEMPLO 15,15. Ob tene r e l campo magnético de una corr iente recti l ínea usando

ía t r ans fo rmación r e la t iv i s ta de l campo - e lec t romagnét ico .

Solución: Conside remos una fi la inf in ita de carga s igua lme nte espa ciad as que se

mueven según el eje X con ve locid ad :;• resp ect o al obser vad or O (fig. 15-43) y que

consti tuyen por lo tsnto una c orr iente eléctr ic a recti l ín ea. Si A es la carg a eléctr ica

r .or unidad de longitud , la corr iente eléctr ica

que

mide

O

es

/

= Xu . C ons ideremos

;;hora un observado r O ' que se mueve següíi el eje X con ve loc idad

o.

Las cargas

están en reposo respecto ü O' y éste mide solamente un campo eléctr ico . Por el

con t r a r io ,

O

r eg is t r a un cam po e léc tr ico y un cam po m agné t ico .

Fig .

15-43,

C ampo e lec t rom agnét ic o p roduc id o po r un cho r ro de cargas que se

mu even según ei eje A' tal

como

lo observan dos observado res en mov imien to r e la t ivo .

La carga med ida po r O en un seg men to dx es dq -• '/.dx. E l observado r O ' mide

la mis ma carga pero debido a la contrac ción de Lor entz , el segm ento parec e tener

una long i tud dx ' tal que da: = ]' i —

v*ic

2

d x . Po r lo tan to O mide una carga po r

un ida d de long i tud A ' d i f e r en te , da da po r

X '

=

dx'

dx

íx

7

--= n

v^/c*

X.

El campo e léc t r ico med ido po r O ' es t r ansver sa l . En un pun to P está dado por

el resultado del ejemplo 14 .7 , es decir , por c" = y¡2xe

0

R' . Colo cand o el eje Y p a r a

lelo a la l ínea PQ y ten iendo en cuen ta que R

~

R' po rque es una long i tud t r ans

ver sa l , podemos escr ib i r

fi

= 0 ,

X'

2r.e

a

R

'

0.

Luego, usando las ees. (15.59) con 1) ' = 0 , podem os escr ib i r l as compon en tes del



15.13) Cam po electromagnético de una carga en movimiento 555

campo eléctrico con respecto a

O

en la forma

c ~

x

=

c

z

=

o ,

K1

—

y

2

/c

2

27te

0

/í V 1 — ¿Ve*

2

*

e

o#

A n á l o g a m e n t e , l a s

ees .

(15 .61 ) dan las s igu ien tes componen tes de l campo magnét ico

respec to a O:

ñx

=

)¡v =

o,

,., _

_í£«/£ _

_

XW V .

K 1 — e;

a

/c« 2Tre

u

i? K 1 — »Vc* 2TTíí

donde hemos u sado la r e lac ión e

0

[¿

0

= 1/c

2

. En consecuenc ia , no só lo ob tenemos

co r r ec tamen te e l campo e léc t r ico en e l s i s tema X YZ de un a d is t r ib uc ió n r ec t i l íne a

de.

carga , s ino que tamb ién , u sando la

ec .

(15.37)

como

p u n t o d e p a r t i d a , h e m o s

encon t r ado la exp res ión co r r ec ta para e l campo magnét ico p roduc ido po r una co

r r ien te r ec t i l ínea , que hab ía s ido ob ten ido p rev iamen te | ec . ( 15 .41 ) ] . Podemos

conf ia r en tonces en que la ley de Ampére-Lap lace (15 .37 ) es compat ib le con lo s

r equ is i to s de l p r inc ip io de r e la t iv idad y que da po r lo tan to e l campo magnét ico

co r r ec to asoc iado con una co r r ien te e léc t r ica cerrada.

15.13

Campo electromagnético de una carga en movimiento

En el capítulo 14 vimos que una carga en reposo produce un campo eléctrico

¿; = (ql4ne

0

r

2

)u

r

, y en la sección 15.11 señalam os que cua ndo una carga está

en movimiento, produce, además, un campo magnético cuya expresión sugerimos

que sería

)5

—

(y.J4n)qv

x

u

r

¡r

2

.

Sin emba rgo, de acu erdo con la sección pre ce

dente, los campos

<T

y

)j

deben estar relacionados por las ees. (15.58) y (15.60).

En consecuencia debemos empezar, desde el principio, con un cálculo relativis ta

para obtener las expresiones correctas de

¿

y

93

para una carga en movimiento .

Consideremos una carga q en reposo con respecto al sistema de referencia

X'Y'Z', y que se está moviend o con respec to a XY Z con velocidad v paralela

al eje X común. El observador O' no mide cam po m agnético algu no, s ino s im

plemente un campo eléctr ico, como se señaló anteriormente; por lo tanto

'tí'x ='13y =1S'

Z

= 0, o sea ) j ' = 0 . L uego, las transformacio nes (15.59) para

el campo eléctrico dan

(

c

x=(f;,

C

9

= - = h = , (z

= _ _ í (15.62)

j /

1 _ ^/

c

2

]/

1 — y2/

c

2

L as ees. (15.62) indican que cuando los observadores

O,

que ve moverse la carga, y

O',

que la ve en reposo, com paran sus me didas del cam po eléctr ico de la carga,

obtienen la misma componente del campo paralela a la dirección del movimiento,

pero

O

obtiene una m ayor com ponente pe rpendicular a la dirección del mov i

miento. Análogamente, las transformaciones (15.61) para el campo magnético

dan, s i usamos las

ees.

(15.62) para escribir las componentes del campo eléctrico

respecto a

O,

•)

3x

= 0,

&,

= -

-

V

4

L

> & = —"-. (15-63)




las cuales son equivalentes a 13 =

r

x Cjc

2

. Esta relación es idéntica a la

ec .

(15.54)

que ,

como se señaló anteriormente, es la relación entre los campos eléctrico y

magnético de una carga moviéndose con velocidad constante v, relación que es

válida para todas las velocidades.

()•'

/

P'

K i

V

i

. ( '

/

1

í

„ 1

Fig. 15-44. Transformación relativista de ias comp onentes del campo eléctrico

producido por una carga q en reposo respecto a O' y situada en O'.

Las observaciones de 0 y" de

O'

se comparan en la fig. 15-44. Si la carga está

en O', el observador O' mide en P' (sobre el plano X'Y') un campo eléctr ico

dado por

9 9

C =

4 7C

€„/•••"

Mr

4 7 te

0

r'

3

V.

El observador

O

ve el mismo punto en el piano XY pero, debido a la contracció n

de Lorentz, la coordenada X del punto parece acortada en el factor

)/

1 —• í^/C

2

,

mientras que la coordenada Y permanece igual. Es decir, x = x' |/ 1 — i>

2

/c

2

,

i/

=

y' .

Luego, el ángulo 8 que

OP

forma con

OX

es diferente del ángulo

6'

que

O'P' forma con OX' (fig. 15-44). Empleando las

ees.

(15.62), vemos que el campo

£

que

O mide

en P tiene una componente X igual a la medida por O', pero la

componente Y es mayor en un factor

\¡\

\ — i^/c

2

. El resultado es que £ forma

con el eje X el mism o ángulo 8 que r. Por io tanto, respecto al observador

O,

el campo eléctrico yace también en la dirección radial. Sin embargo, el campo

ya no es esféricamente simétrico con respecto a O. Lin cálculo simple y directo

(ver el ejemplo 15.14) muestra que.

1

u

2

/c

2

4ê

0

r

2

[(1 — í'

2

/o

2

) se n

2

8 ]

3

'

2

u

T

.

(15.64)

El factor que con tiene sen en 0 hace que el camp o eléctrico depe nda de la dirección

del vector de posición

r.

Así, a distancia s iguales de a carga, el cam po eléctrico

es más fuerte en el plano ecuatorial (8 =

TC/2),

perpendicular a la dirección del



15,13)

Camp o electromagnético de una carga en movimiento 557

movimiento , que

jegún

la dirección

del'mismo

(8 = 0 ) . E s to con tras ta con e l cam

po eléctrico producido por una carga en reposo, el cual es esféricamente simétrico.

Esta situación se ha ilustrado en la fig. 15-45(a) y (b), donde el espaciamiento

de las líneas indica la intensidad del campo.

Usando la relación ?j = v x

¿"/'c

2

que, según

hemos

demostrado, t iene validez

general, y empleando la ec. (15.64) para C, encon tramos que el camp o m agnétic o

de una carga en movimiento es

'B

=

^

1

£^/ c

2

4

TC

r

2

[1

—

(i^/c

2

)

s e n

2

6f/

2

v x u

r

.

(15.65)

Esta expresión se reduce a la no relativista, ec. (15.53), cuando

i>

es muy pequeña

con respecto a c. Se debe tener en cuenta que las

ees.

(15.64) y (15.65) son válidas

solamente para una carga en movimiento uniforme. Si la carga está acelerada,

el campo eléctrico tiene una forma similar a la mostrada en la fig.

15-45(c)

y las

expresiones matemáticas son más complejas .

(a) Carga en reposo

o con velocidad

muy ba j a

(b) Carga en movimiento

con ve loc idad a l t a

(c ) Carga ace l e rada

Fig. 15-45. Líneas de fuerza eléctricas de una carga en reposo y en m ovim iento .

El hecho de que la ec. (15.65) sea diferente de la ec. (15.53), que se derivó de

la ley de Ampere-Laplace (15.37), puede hacer pensar al estudiante que la ec. (15.37)

es a su vez una aproximación no relativis ta a una ley más general. Sin embargo,

esta impresión es errónea ya que, como se señaló en la sección

15.11,

la ec. (15.37)

tiene validez general. La dificultad aparente se debe a que el camino seguido

para ir de la ec. (15.37) a la ec. (15.55) usando la ec. (15.52), no es único. Esto

se debe al hecho de que una sola carga en movimiento no constituye una corriente

cerrada, mientras que la ec. (15.37) es aplicable sólo a corrientes cerradas. Por

ejemplo, si usamos la expresión (15.65) en la ec. (15.52) correspondiente a un

chorro de partículas cargadas moviéndose en línea recta, obtenemos la expresión

(15.41) para el campo de una corriente rectil ínea. Este cálculo, que omitimos,

muestra la compatibilidad de la

teoría.

EJEMPLO 15.14.

Deduc ir la ec. (15.64) para el camp o eléctrico de un a carg a en

m o v i m i e n t o u n i f o r m e .




(15.13

Solución: No ta nd o en la f ig . 15 .44(a) que c"' forma un án gulo 6 ' con O'X' y que

eos 8' = x'jr', sen 9' = y'/r', tenemos que las componen tes de C son

c~ í =

C

e o s 6 ' — —'-

4-e„

x

r

3

s e n

6 '

1

V

4Tre

0

r '

3

(15.66)

Ten iendo en cuen ta la ec . (15-62) y

q u e .

según la t r ans fo rmación de Loren tz ,

x = x' V 1 — y

2

/ c

2

e y = y', podemos escr ib i r l as componen tes de l campo ¿ obser

vado po r

O

en la forma

n T

C\r

—

' ' i

4TTS

0

y I—

0

I /

C

8 r '

3

í 9 y

f 1 —- y

2

/c

2

Es dec i r , en fo rma vec to r ia l ,

qr

4ê„ Y 1 —

v

í

¡c

1

r '

3

í"

(15.67)

4TT€

0

K 1

— y

2

/c

2

r '

3

l a cua l mues t r a que e l campo c

7

es radia l en el s is tem a de referen cia

X YZ.

Ahora b ien

x

2

. „ r

2

— {v*¡c*)y*

r '

2

= x'

2

+ y'

2

= ,

y a d e m á s y

2

= r

s

se n

2

8 . Por lo tanto

, _ r[ l — (t>'/c

2

) sen

2

6 j

1 / 2

+ y

3

i>

2

/e

2

Kl

—

y

3

/c

J

Usa ndo esta relación para el im inar r ' en la eo . (15 .67) , obte nem os f inalmente

£ =

(1

—

v* e*)r

£>

a

/c

2

4r:€

0

r '

[1 —

(v*/c*)

s e n

8

O]

3

'

2

4 ^ ^ [1 —

(v*c*)

s e n

2

6 ]

3

'

2

que es p rec isamen te e l r esu l tado ob ten ido an te r io rmen te .

EJEMPLO 15,13. Discu t i r l a pos ib le in te r acc ión magnét ica en t r e un e lec t rón

orbital y tí núcleo de un átomo.

So luc ión ; Consideremos ( f ig .

15-46;

un electrón cuya carga es

airerieoor de un

Fig. 15-46. In terac ción espín-órbiia

de un electrón que se mueve alrededor de un núcleo posit ivo .

Su írayeel

la ourv;

;

* mis

es

<•

g i r a n d o con

•ors respecto al

5 que , para s implif icar ,

na c i r cun ferenc ia . Pero'si

r e f e r imos lo s mov imien tos a

nn

s i s tema de

coo rden ada s f ijo ai elec trón, és te es ta rá en

reposo y el núcleo parecerá estar descr ib ien

do la trayectoria de t r azos , t amb ién una c i r

cun ferenc ia , con ve loc idad —

t i.

D e s p r e c i a n d o

la aceleración r iel electrón (el es tudiante de

ber ía ser capaz de calcular la y juzgar lo

r azonab le que es es ta supos ic ión ) , podemos

cons idera r que es te nuevo s i s tema es inerc ia l .

E l núc leo p roduce , pues , con r espec to a l e lec

t r ó n ,

un campo e léc t r ico cuya exp res ión no

re la t iv i s ta es í = (Ze/4r:e (/*)«,• y un cam po

magnét ico r e lac ionado con

£

por la ec. (15 .54)

J



ll\13) Campo electromagnético de una carga en movimiento 559

con — v m vez de v. Es decir ,

1 1

Ze

ü = (

V )

X ¿ ' = £ *

V

= Mr

x

».

P ero e l m om entum angula r de l e lec t rón re spec to a l núc leo e s

L = mr «

r =

mnir x c.

D e s p e j a n d o «r

x

e y r e e m p l a z a n d o e n l a e x p r e s i ó n d e TS y L, o b t e n e m o s

1 8 =

Ze

•

Ane^mr*

E n c o n s e c u e n c i a e l c a m p o m a g n é t i c o p r o d u c i d o p o r e l m o v i m i e n t o r e l a t i v o d e l

núc leo e s p roporc iona l y pa ra le lo a l m om entum angula r de l e lec t rón , com o se ind ica

en la figura.

Com o

D

e s un cam po m agné t ico re fe r ido a un s i s t em a en e l cua l e l e l ec t rón e s tá

en reposo , no da o r igen a n inguna in te racc ión con e l m ovim ien to o rb i t a l de l e lec

t r ó n . P e r o e l e l e c t r ó n t i e n e u n m o m e n t o m a g n é t i c o Ms deb ido a su e sp ln , de m odo

que l a in te racc ión m agné t ica de l e lec t rón con e l cam po m agné t ico nuc lea r e s , em

p l e a n d o l a s

ees .

(15.22) y (15.29),

E

P

= — M

S

• 13 = — (

Y

-

£

— « ) • í — A = —

V

2/n /

\47tí

0

c«mr

s

/

- I™

S-L.

87cc

0

c»m

2

r»

E l a s p e c t o m á s i m p o r t a n t e d e e s t e r e s u l t a d o e s q u e la i n t e r a c c i ó n m a g n é t i c a d e p e n d e

d e l a o r i e n t a c i ó n r e l a t i v a d e l e s p í n S y e l m o m e n t u m a n g u l a r o r b i t a l

L

de l e lec t rón .

Es por e sa razón que s e denom ina

interacción

esptn-órbita

y

s e d e s i g n a a m e n u d o

p o r E

P

, S L . U n cá lcu lo re la t iv i s t a m ás de ta l l ado ind ica que e l va lo r de

E

P

,SL

es la

m i tad de l va lo r ob ten ido m ás a r r iba .

E s t i m a r e m o s a c o n t i n u a c i ó n s u o r d e n d e m a g n i t u d . R e c o r d e m o s q u e s e g ú n l a

tab la de l e jem plo 15 .6 s e t i ene que pa ra e l e l ec t rón ,

y

e s a p r o x i m a d a m e n t e — 2 .

Adem ás , s egún l a e c . (14.40), la energía del e lectrón en una órbi ta c ircular es , en

la aprox im ac ión de o rden ce ro , E — — 2e

s

/47te

0

(2 r ) . P or lo t an to , después de cor re

gir E

V

,SL con e l fac to r un m ed io m e nc io nad o an te s , pod em o s e sc r ib i r

EP.SL

* ,

E

— S• L.

P ero e l m ódulo de L es mrv y podem os suponer que e l de S e s de l m ism o orden de

m a g n i t u d . L u e g o , S - L e s a p r o x i m a d a m e n t e

(mrv)

1

.

H a c i e n d o l a s u s t i t u c i ó n , o b t e

nemos

E

V

,

SL

»^-\E\.

c

a

Com parado e s te va lo r con e l re su l t ado de l e jem plo 14 .10 , conc lu im os que l a in te r

acc ión e sp in-órb i t a de un e lec t rón o rb i t a l e s de l m is m o ord en de m ag ni tu d q ue l a

cor recc ión re la t iv i s t a a su ene rg ía . S in em bargo , l a in te racc ión

espín-órbita

t iene la

pa r t i cu la r idad de que p rese n ta un e fec to d i recc iona l n í t ido a c ausa de l fac to r S • L,

que depende de l a o r ien tac ión re la t iva de

L

y S.

U n aná l i s i s cu idadoso de los n ive le s de ene rg ía de un e lec t rón en un á tom o m ues t ra

que S puede t ene r só lo dos o r ien tac iones re spec to a

L,

pa ra le lo o an t ipa ra le lo , lo

cual esta

de acue rdo con ¡a d i s cus ión que h ic im os a l f ina l de l e jem plo 15 .7 . En con-

s t e u e n c i a ,

la

interacción

e sp ín-órb i t a desdobla cada n ive l de ene rg ía de un e lec t rón

en pa res (o dob le te s ) de n ive le s m uy ce rcanos .




15.14 Interacción electromagnética

entre

dos cargas en movi

miento

Podemos notar a esta altura que en nuestro estudio de las interacciones magné

ticas nos hemos apartado del procedimiento seguido en los capítulos 13 y 14 para

las interacciones gravitacional y eléctr ica. En aquellos capítulos comenzamos

estudiando la interacción entre dos partículas , introduciendo luego el concepto

de campo. En este capítulo, en cambio, introdujimos primero el concepto de campo

magnético en forma operacional, hablando de la fuerza (15.1) que se ejerce sobre

una carga en movimiento. Luego calculamos los campos magnéticos producidos

por corrientes cerradas. Hicimos esto por medio de la

ec .

(15.37), de la cual [si

usamos también la ec. (15.1)] podemos obtener la fuerza magnética que una

corriente eléctrica produce sobre otra o sobre una carga en movimiento. Pero

hasta ahora no hemos dado ninguna expresión para la interacción electromag

nética entre dos cargas en movi mie nto. U na de las razones de esta diferencia

de procedimiento es la s iguiente: las interacciones gravitacional y eléctr ica estu

diadas en los capítulos 13 y 14,

respect ivamente ,

dependen exclusivamente de

la dis tancia entre las dos partículas que interactúan; es decir , son fuerzas estáticas.

La interacción puede existir entre partículas en reposo y la situación física se

puede entonces discutir en condiciones estacionarias o

independientes del tiempo.

Por

el

contrario, la interacción magnética depende del movimiento de las par

tículas en interacción, o sea que es una fuerza dependiente de la velocidad. E n

un punto dado, el campo magnético de una carga que se mueve respecto al obser

vador depende de la velocidad de la carga además de depender de la distancia

entre la misma y el observador. Pero la dis tancia está cambiando, puesto que

la carga se mueve, y en consecuencia el campo magnético (así como el campo

eléctr ico) en un punto dado está variando en el t iempo; es decir , respecto al

observador, el campo magnético de la carga en movimiento es dependiente del

tiempo.

Un nuevo elemento entra entonces en la imagen f ís ica: la velocidad de propa

gación de una interacción. Un modo posible de encarar el problema es suponer

-1(0

i" v(t~n

p

(¿0 (o

Fig. 15-47. Efecto de reta rdo debido

a la velocidad finita de propagación

de los

campos electromagnéticos.

Fig. 15-48. Interacción electroma gné

tica entre dos cargas en movimiento.



1-5.M''- Interacción dcJr'.irrwjnétieu entre dv<¡ cargas en mooimiento 561

que ¡as partículas

intei

actúan,

a

distancia; es decir, si la carga q (íig. 15.47) se

mueve con velocidad v, el campo electromagnético que q produce en

A

a l t iempo t

"5

el resultado de

Ja

situación

fínica

en

el

espacio circundante debida a la pre

sencia de la carga en la posicicn P a tiempo i, simultáneamente con la observa

ción en A. En otras palabras,, podemos suponer que la interacción electromagné

tica se propaga instantáneamente o con velocidad infinita.

Otra suposición razonable es que la interacción electromagnética es el resultado

de ciertas "señales" intercambiadas por las partículas interactuantes , y que la

"seña " se propaga co n velocidad finita c, lo cual requiere un cierto t iempo para

alcanzar un punto dado en el espacio. Si la carga está en reposo, la velocidad

finita de propagación de la "señal" no tiene importancia ya que las circunstancias

físicas no están variando en el tiempo. Pero para una carga en movimiento la

situación es diferente y eí campo que se observa en el punto A a l t iempo / no

corresponde a la posición simultánea de la carga en P, s ino a una posición ante

rior, o retardada, P' al t iempo

/',

tal que t —

/'

es el t iempo que tarda la señal

en ir de P' a A con velocidad c. Ev iden temen te P'P = v( t — / ' ) .

Como veremos en el capítulo 19 y lo mencionamos ya en varias ocasiones,

las

interacciones electromagnéticas se propagan con la velocidad finita e dada

por la

ec .

(15.55). Esto elimina la acción a distancia, por lo que el análisis del

campo electromagnético producido por una carga en movimiento requiere el

segundo de los enfoques dados más arr iba. Como c t iene un valor ta n gran de,

el efecto de retardo es despreciable a no ser que la partícula se mueva muy rápi

damente. Es por esta razón que no se consideró el retardo cuando en el capítulo 14

estudiamos el movimiento de partículas cargadas. Se supuso que las cargas se

movían muy lentamente, de modo que PP' fuera muy pequeño comparado con

PA . Un efecto s imilar de retardo debiera exis tir para la interacción gravita ciona l

entre masas en movimiento relativo; s in embargo, aún no se ha determinado la

velocidad de propagación de señales gravitacionales.

Al escribir la ec. (15.35) no tuvimos en cuenta los efectos de retardo porque

una corriente eléctr ica cerrada produce un campo magnético estacionario o inde

pendiente del t iempo. La razón de esto es que una corriente constante y cerrada

es un chorro de partículas cargadas, y s i és tas están espaciadas uniformemente

y se mueven con la misma velocidad, la situación física que se observa es in

dependiente del tiempo. Por otro lado, se puede verificar que las expresiones

relativistas (15.58) y (15.60) para los campos eléctrico y magnético de una carga

en movimiento, ya incluyen el efecto de retardo.

Consideremos ahora dos cargas q

x

y q

2

que se mueven con velocidades v

1

y v

2

respecto a un observador inercia

O

(fig. 15.48). La fuerza que la carga q

x

ejerce

sobre q

2

es, de acuerdo con lo que

O

mide,

F

2

= q

2

(í\ + V, x -J3A, donde

¿\

y 73]

son los campos eléctrico y magnético debidos a

q

l

que

O

mide en la posición ocu

pada por q

2

. Por otra parte, la fuerza que la carga q

2

ejerce sobre q

i

es, según

las medidas de

O,

F

1

=

q

x

(£

2

+ v

l

x 73*). Comparemos pr imeramen te las pa r tes

magnét icas de

F

1

y

F

2

.

El término V

2

x 7\ es perpendicu lar al plano d eter mi nad o

po r r„ y

93j,

mientras que V

x

x

73

2

es perp endi cula r al plano de

v

x

y

73

2

-

En con

secuencia,

estos términos tienen en general dirección y módulo diferentes. En

vista de la ec . (15.64), las partes eléctricas de

F

1

y de

F ,

t ienen también diferente



56 2

Interacción

magnética (15.14

módulo y, si las cargas están aceleradas, direcciones diferentes. Concluimos por

lo tanto que

las fuerzas entre dos cargas en movimiento no son iguales en módulo

ni actúan en direcciones opuestas.

En otras palabras: la ley de acción y reacción no es válida en presencia de

interacciones magnéticas. Esto implica a sn vez ¡a conservación del momentum,

del momentum angular y de la energía no serían válidos para un sistema de dos

partículas en movimiento. Este fracaso aparente de leyes tan importantes se debe

a

hecho siguiente: cuando en el capítulo 7 escribimos la ley de conservación del

momentum en la forma p

x

- j -

p

2

= const., estába mo s considerando que

O

medía

simultáneamente p

x

y

p

2

; sin emb argo, en presencia de una interacción que se

propaga con velocidad finita, el efecto de retardo requiere que la rapidez con

que cambia el momentum de una partícula en un instante dado no esté relacio

nada con la del momentum de

la

otra partícula en el mismo instante, sino con

la correspondiente a un instante anterior, e inversamente. No podemos esperar ,

entonces, que p ^ - j - p

2

s e a

constante s i los mom enta se determinan al m ismo

tiempo.

El estudiante recordará que, según la sección 7.4, podemos describir el resul

tado de una interacción como un intercambio de momentum entre las dos par

tículas . Para restaurar la ley de conservación del momentum,

debemos incluir el momentum que se está intercambiando

entre las dos partículas y que, en un instante dado, está via

jando en tre ellas con una v elocidad finita. Esto es, ten em os qu e

tener en cuenta el momentum "en vuelo". Decimos que el cam

po electromagnético t ransp orta este mom entum y lo designa

mos con pcampo (fig- 15-49). Por lo tanto la ley de conserva

ción del momentum requiere que

Pi

+

P2

+

Pcampo

= const. (15.68)

Figura 15-49

Análogamente, debemos atr ibuir un cierto momentum angular

y una cierta energía al campo electromagnético a fin de res

taurar los dos principios de conservación correspondientes. Pospondremos hasta

el capítulo 19 la discusión de cómo se obtienen el momentum, el momentpm

angular y la energía asociados con el campo electromagnético.

El estudiante recordará que en la sección 7.7, cuando presentamos una apre

ciación crítica del concepto de fuerza, señalamos que la ec. (7.5) se debía consi

derar sólo como preliminar, sujeta a una consideración ulterior de la mecánica

de la interacción. Esta revisión se ha incorporado ahora en la ec. (15.68). Es por

esto que el concepto de fuerza adquiere importancia secundaria y es necesario

desarrollar técnicas especiales para analizar el movimiento de dos partículas en

interacción.

EJEMPLO

15.1G.

Comparar la interacción m agnética entre dos cargas con la

interacción eléctrica entre las mismas.



Bibliografía 563

Solución: Como quer emos só lo ó rdenes de magn i tud , s imp l i f ica r emos la esc r i tu r a

de las fó rmu las . Luego , dadas las ca rgas q y q' , podemos dec i r que la fuerza eléctrica

e je r c ida po r q' sob re q es

qC.

E l c a m p o m a g n é t i c o p r o d u c i d o p o r q' en q es , s i em

p leamos la

ec .

(15 .54 ) , de l o rden de magn i tud de

v'Cjc*.

La fuerza m agn ét ic a sob re

la ca rga q es , u sando la ec . ( 1 5 . t ) , de l o rden de magn i tud de qv{v'f¡c

i

) -- (vv'/c^qc?.

Por lo tan to

fuerza magnét ica

vv'

fuerza eléctr ic a c

2

Asi , s i l as ve loc idades son pequeñas r espec to a la ve loc idad c de la luz, la fuerza

magnét ica es desp rec iab le f r en te a la fuerza e léc t r ica y se puede igno rar en muchos

casos .

En c ie r to modo , podemos dec i r que e l magnet i smo es una consecuenc ia de

la ve loc idad f in i ta de p ropagac ión de las in te r acc iones e lec t romagnét icas . Po r e jem

plo ,

s i l as ca rgas t ienen una ve loc idad de l o rden de 10

8

m s

_l

, q u e c o r r e s p o n d e a

la ve loc idad o rb i ta l de lo s e lec t rones en lo s á tomos , tenemos que

f u e r z a m a g n é t i c a ^ __

4

fuerza eléctr ica

A pesar de su va lo r pequ eño r espec to a l de la fuerza e lé c t r ica , l a fuerza ma gné t ic a

es la que se u sa en lo s mo to res e léc t r icos y o t r as ap l icac iones tecno lóg icas , po r la

s igu ien te r azón . La mater ia es no rmalmen te neu t r a e léc t r icamen te po r lo que la fuerza

e léc t r ica ne ta en t r e dos cuerpos es ce ro . Po r e jemp lo , cuando se ponen dos a lambres

jun tos la fuerza e léc t r ica r esu l tan te en t r e e llo s es nu la . S i se mu eve n lo s a la mb res ,

las ca rgas pos i t ivas y nega t ivas se mueven en e l mismo sen t ido , po r lo que la co

r r ien te to ta l en cada uno es ce ro , s iendo en tonces cero la fuerza m a g n é t i c a r e s u l t a n t e

tamb ién . No hay po r lo tan to n inguna fuerza en t r e lo s a lambres . Pero s i se ap l ica

una d i f e r enc ia de po tenc ia l a lo s a lambres , lo cua l o r ig ina un mov imien to de las

cargas nega t ivas r espec to a las pos i t ivas , se p roduce una co r r ien te ne ta en cada

a l a m b r e q u e d a c o m o r e s u l t a d o u n c a m p o m a g n é t i c o . C o m o e l n ú m e r o d e e l e c t r o n e s

l ib r es en un conduc to r es muy g rande , su e f ec to acumulado p roduce , aunque sus

v e l o c i d a d e s s e a n p e q u e ñ a s , u n g r a n c a m p o m a g n é t i c o q u e d a c o m o r e s u l t a d o u n a

fuerza magnét ica ap rec iab le en t r e lo s a lambres .

Aunque la fuerza magnét ica es déb i l comparada con la e léc t r ica , es todav ía muy

fuer te comparada con la g r av i tac iona l . R eco rdando la d i scus ión que h ic imos en la

sección 14 .6 , podemos decir que

i n t e r a c c i ó n m a g n é t i c a

in te r acc ión g rav i tac iona l

10

3

Para ve loc idades comparab les a las de lo s e lec t rones o rb i ta les , es te coc ien te es de l

o rden de 10

32

.

Bibliografía

1.

" R a d i a t i o n Belts A r o u n d t h e E a r t h " , J . V a n A l i e n ; Sci. Am., m a r z o 1 9 5 9 ,

pág. 39

2.

" R a d i a t i o n B e l t s " , B . O ' B r i e n ; Sci.

Am.,

ma yo 1963 , pág . 84

3 . " T h e M a s s S p e c t r o m e t e r " , A . Níer; Sci. Am., ma rzo 1953 , pág . 68

4. " 2 0 0 Man-Years of L i f e ; The S to ry o í E . O . Lawrence" , D . W ilkes ; Th e Phgsics

Teacher

8,

247 (1965)

5.

" P a r t i c l e A c c e l e r a t o r s " , R . W i l s o n ; Sci. Am., ma rzo 1958 , pág . 64




7.

8.

9 .

10.

11.

12.

13.

14

15

16.

"Ear ly H i s t o r y of the C y c l o t r o n " , M . S . L i v i n g s t o n y A . E . M c M i l l a n ; Physics

Today,

oc t ubr e 1959 , pág . 18

" S t r o n g M a g n e t i c F i e l d s " , H . F u r t h , e t a l . ;

Sci. Am.,

febre ro 19 58 , pág . 28

" T h e Magnetism o f t h e S u n " , H . B a b c o c k ;

Sci.

Am., febre ro 1960 , pág . 52

" M a g n e t i c M o n o p o l e s " ,

R.

F o r d ;

Sci.

Am., d ic iem bre 1963 , pág . 122

"Resource L e t t e r FC-1 o n t h e Evolution of the Electromagnetlc Field C o n c e p t " ,

W . S c o t t ; Am. J. Phys. 81 , 819 (1963)

Th e

Discovery

of the Electron,

D . A n d e r s o n . V a n Nostrand, Momentum B o o k s ,

P r i n c e t o n , N . J . ,

1964

Foundations

of

Electromagnetic

Theory,

J . R . Re i tz y F . J . Milford. A d d i s o n -

Wesley, Reading Mass . , 1960, secs . 8 .1 a 8.4

Great Experiments in Physics,

M o r r i s S h a m o s , e d i t o r . Holt, R i n e h a r t a n d W i n s -

ton , New York , 1959 , cap . 5 , Coulom b; cap . 9 , Oers ted

Th e Feynman Lectures on Physics,

R . F e y n m a n , R . L e i g h t o n y M . S a n d s .

Addison-Wes ley , Read ing , Mass . , 1963 , vo l . I , cap . 39 ; vo l . I I , caps . 1 , 13 ,

26 , 27 y 29

Source Book in Physics,

W . F . M a g i e . H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e ,

M a s s . , 1 9 6 3 , p á g . 3 8 7 , G i l b e r t ; p á g . 4 0 8 , C o u l o m b ; p á g . 4 3 6 , O e r s t e d ; p á g . 5 4 1 ,

Ha l l

Foundations of Modern Physical Science, G.

H o l t o n y D . H . D . R o l l e r . A d d i s o n -

Wes ley , Read ing Mass . , 1958 , s ecs . 28 .4 a 28 .7

Problemas

15 .1 U n e lec t ró n con un a ve loc idad de

10

8

m

s"

1

e n t r a a u n a r e g i ó n d o n d e h a y

u n c a m p o m a g n é t i c o . E n c o n t r a r l a i n

t ens idad de l cam po m agné t ico s i e l e l ec

t r ó n d e s c r i b e u n a t r a y e c t o r i a d e r a d i o

0 , 1 m . E n c o n t r a r t a m b i é n l a v e l o c i d a d

a n g u l a r

del

e lec t rón .

15 .2 S e ace le ran p ro to nes a t rav és de

una d i fe renc ia de po tenc ia l de

1 0 '

V

par t i endo de l reposo . Luego se los in

yec ta en una reg ión donde hay un

cam po m agné t ico un i fo rm e de 2 T , con

la

trayectoria

p e r p e n d i c u l a r a l c a m p o .

¿Cuá l s e rá e l rad io de l a t rayec to r ia y la

v e l o c i d a d a n g u l a r d e l o s p r o t o n e s ?

15 .3 U n pro tón se m u eve en un c am po

m agné t ico a un ángulo de 30° re spec to

a l cam po. La ve loc idad e s 10

7

m

s

- 1

y

la in tens idad de l cam po es 1 , 5 T . Ca lcu

lar (a) e l radio de la hél ice descri ta ,

(b ) l a d i s t anc ia que avanza por revo lu

ción, o paso de la hél ice , y (c) la fre

cuenc ia de ro tac ión en e l cam po.

15 .4 U n deu te ró n ( i só topo de l h id r ó

geno de m asa m uy ce rcana a 2 u rna )

desc r ibe una ó rb i t a c i rcu la r de 40 cm d e

r a d i o e n u n c a m p o m a g n é t i c o d e 1 , 5 T .

(a ) Ca lcu la r l a ve loc idad de l deu te rón .

( b ) D e t e r m i n a r e l t i e m p o q u e t a r d a e n

d a r m e d i a r e v o l u c i ó n , (c ) ¿A t ravés de

qué d i fe renc ia de po tenc ia l s e debe r ía

a c e l e r a r e l d e u t e r ó n p a r a q u e a d q u i e r a

la ve loc idad de l a pa r te (a )?

1 5 .5 U n p r o t ó n q u e t i e n e u n a e n e r g í a

c iné t i ca de (a ) 30 MeV, (b ) 30 GeV se

m u e v e p e r p e n d i c u l a r m e n t e a u n c a m p o

m a g n é t i c o d e 1 , 5 T . D e t e r m i n a r e n c a d a

caso e l radio de la

trayectoria

y e l pe

r iodo de revo luc ió n . No ta r que en (a ) e l

p r o t ó n s e p u e d e t r a t a r c l á s i c a m e n t e y

en (b ) s e debe t ra ta r en fo rm a re la t i

v i s t a .

15 .6 ¿Cuá l e s e l cam po m agn é t ico qu e

s e r e q u i e r e p a r a q u e u n p r o t ó n d e

3 0 G e V d e s c r i b a u n a t r a y e c t o r i a d e

1 0 0 m d e r a d i o ? E n c o n t r a r t a m b i é n l a

v e l o c i d a d a n g u l a r . N o t a r q u e e l c á l c u l o

debe s e r re la t iv i s t a .

15.7

Lm

ion de

7

Li

c o n c a r g a

+ e

t i ene

una m asa de 1 , 2 x

1 0

- í

*

kg. Se lo ace

l e r a a t r a v é s d e u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n

c ia l de 500 V y en t ra luego en un cam po

J



Problemas

565

o

é

-10

era

Figura 15-50 Figura 15-51

Figura 15-52

m agné t ico de 0 , 40 T m oviéndose pe r -

pendicularmente

a l mismo. ¿Cuál es e l

rad io de su t rayec to r ia en e l cam po

m a g n é t i c o ?

15.8 Un electró n en e l pu nt o A de la

fig. 15-50 t iene una velocidad

v

0

de

1 0 '

m

s

_1

.

Ca lcu la r (a ) e m ódulo y l a

d i recc ión de l cam po m agné t ico que ha rá

que e l e lectrón s iga e l camino semi

c i rcu la r de

A

a

B ,

(b ) el t i em po que t a r da

e l e lec t rón en m overse de

A

a

B ,

15 .9 U n o de los p rocesos pa ra s e pa ra r

los i só topos

S3

*U y

í 8 8

U s e basa en la

d i fe renc ia en e l rad io de sus t rayec to r ia s

e n u n c a m p o m a g n é t i c o . S u p o n e r q u e

á t o m o s d e Ü s i m p l e m e n t e i o n i z a d o s p a r

t en de una fuen te com ún y s e m ueven

perpendicularmente a u n c a m p o m a g

n é t i c o u n i f o r m e . E n c o n t r a r l a m á x i m a

sepa rac ión de los haces cuando e l rad io

d e c u r v a t u r a d e l h a z d e

236

U

es 0,50

m

en un campo de 1,5 T, (a) s i las energías

son l a s m ism as ,

(b)

s i las velocidades son

las m ism as . E l supe r índ ice a l a i zqu ie rda

de l s ím bolo qu ím ico e s e l núm ero másico

que a los f ines de es te problema, se puede

iden t i f i ca r con l a m asa de l á tom o en

urna.

15 .10 U n a t i ra de lgada de cobre de

1,50 cm de ancho y 1,25 mm de espesor

se co loca pe rpendicu la rm ente a un cam po

m a g n é t i c o d e

1>75

T. A lo largo de la

t i ra hay una cor r i en te de 100 A. Encon

t ra r (a ) e l cam po

eléctrico

t r a n s v e r s a l

deb ido a i efecto Hall , (b) la velocidad de

arras tre de los e lectrones , (c) la fuerza

t ransve rsa l sobre los e lec t rones . S uponer

q u e c a d a á t o m o d e c o b r e c o n t r i b u y e

con un e lec t rón .

1 5 .1 1 U n c a m p o m a g n é t i c o u n i f o r m e

') )

e s tá en l a d i recc ión O

Y,

como se

m ues t ra en l a f ig .

1 5 -5 1 .

E n c o n t r a r e l

m ódulo y l a d i recc ión de l a fue rza que

e x p e r i m e n t a u n a c a r g a

q,

c u y a v e l o c i d a d

ins t an tán ea e s t>, pa ra c ada u na de l a s

d i recc iones que s e m ues t ran en l a f igura .

(La f igura es un cubo).

1 5 . 1 2 U n a p a r t í c u l a d e m a s a

m

y

c a r g a

q

s e m u e v e c o n v e l o c i d a d

u

0

p e r

p e n d i c u l a r m e n t e a u n c a m p o m a g n é t i c o

uni fo rm e . Expresa r , en func ión de l

t i e m p o , l a s c o m p o n e n t e s d e l a v e l o c i d a d

y l a s c o o r d e n a d a s d e l a p a r t í c u l a r e f e

r i d a s a l c e n t r o d e l a t r a y e c t o r i a . R e p e t i r

e l p r o b l e m a p a r a u n a p a r t í c u l a c u y a

ve loc idad fo rm a un ángulo a con e l

c a m p o m a g n é t i c o .

15 .13 U n a pa r t í cu la t i ene un a ca rga de

4 x 1 0

- 8

C . C u a n d o s e m u e v e c o n u n a

v e l o c i d a d v

1

de 3 x 10* m

s

_1

a 45° por

encima del e je

Y

en e l p lano

YZ ,

u n

c a m p o m a g n é t i c o u n i f o r m e e j e r c e u n a

fue rza F , según el e je

X.

C u a n d o l a

p a r t í c u l a s e m u e v e c o n u n a v e l o c i d a d

*>

2

de 2 x 10* m

s

_1

según el e je X, se

ejerce sobre e l la una fuerza

f

t

d e

4 x

1 0

- 5

N según el e je

Y.

¿Cuá les son

e l m ódulo y l a d i recc ión de l cam po

m agné t ico? (Ver f ig . 15-52 . )

1 5 .1 4 S e d i s p a r a n p a r t í c u l a s c a r g a d a s

d e n t r o d e u n a r e g i ó n d o n d e h a y u n

c a m p o e l é c t r i c o y u n o m a g n é t i c o c r u

zados . La ve loc idad de l a s pa r t í cu la s

inc iden tes e s norm a l a l p lano de los dos

c a m p o s y é s t o s s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n

t r e s í. L a i n t e n s i d a d d e l c a m p o m a g n é

t ico es 0,1 T. El campo eléctr ico es tá

gene ra do por un pa r de p lac as pa ra le la s



56 6

Interacción

magnética

iguales y de carga opuesta, colocadas a

2 cm una de o tra. Cuando la d iferencia

de po tenc ia l en t r e

¡as

p lacas es 300 V,

no hay desv iac ión de las par t ícu la s . ¿C uál

es la ve loc idad de las par t ícu las?

15.15 (a) ¿Cuál es la vel oci dad de un

haz de electrones cuando ia inf luencia

s imu l tánea de un campo e léc t r ico de

de un

m"

l.n

T

i n t e n s i d a d 3,4 x 10"

c a m p o m a g n é t i c o d e ¿,u i pcpen cueu

l a r -i él y ai haz, no produce deviación

alguna de ios

eieeiroües'?

íh )

Mostrar

es:

¡i¡\ d i a g r a m a

¡a orientación reía ¡Y:

1

de ios \ectores v,

t

r

y

75 .

(el ¿Cuál ¡s el

radio de ¡a órbita electrónica cuando se

s u p r i m e ci campo eléctr ico '?

ió.lfi Lita

par t ícu la do masa ó.Ox SO"*

kg

t iene una carga

de 2,5 >• ¡0 '*

C. Se

¡e

i m p r i m e

tma

ve loc idad

inicial

hor i

zontal de 6,0 x ÍO

4

m

s"

1

.

¿Cuáles son

el módulo y la d irección del campo mag

n é t i c o m í n i m o q u e m a n t e n d r á l a p a r

t ícu la mov iéndose en una d i r ecc ión ho

r izon ta l , equ i l ib r ando la fuerza g rav i ta -

cional

de la t i e r r a?

15 .17 En un espe c t róm et ro de ma sas

t a l como el que se i lustra en la

fig.

15-12,

una d iferencia de potencial de 1000 V

hace que iones de

a4

Mg

con carga + e

descr iban una t r ayec to r ia de r ad io

R.

(a) ¿Cuál será el radio de la trayector ia

descr i ta por los iones de

25

Mg

si se les

ace le r a a t r avés de l mismo po tenc ia l?

(b) ¿Qué diferencia de potencial har ía

que los iones de ^Mg descr ib ie r an una

t r a y e c t o r i a d e l m i s m o r a d i o / i? (Supo

ner q ue las ma sas so n, en urna, iguales

a l número rnás ico ind icado como super -

índice a la izquierda del s ímbolo quí

mico.)

15 .18 Un espec t róm et ro de ma sas t iene

un vo l ta je ace le r ado r de 5

kV

y un

c a m p o m a g n é t i c o d e 10~

2

T . E n c o n t r a r

la d is tancia entre los dos isó topos

S6

Zn

y

,0

Zn de l z inc . Po r d is tanc ia en tende

mos la separac ión de las dos manchas

que aparecen en la emulsión de la p laca

fotográf ica después que

los

iones de

6a

Zn

y

70

Zn

con carga f e son acelerados

pr imero y luego obligados a descr ib ir

una semicircunferencia. Ver f ig . 15-12.

[Sugerencia: no calc ular cada uno de

lo s radios'sino ob tener una ecuac ión que

dé d i r ec tamen te la separac ión , ( c ) C a lcu

lar la velocidad de los iones para ver s i

será necesar io hacer una corrección re

l a t i v i s t a . ]

15 .19 El espec t rómet ro de masas de

Demps te r , i lu s t r ado en la fig. 15-12,

emplea un campo magnét ico para sepa

rar iones que t ienen masas d iferentes

pero ia misma energía. E l espectrómetro

de masas de Bninbridge

(fig. 15-53) es

otro d isposit ivo posib le que separa iones

que

iienen

la misma velocidad. D e s p u é s

de travesar '¡as rendijas , los iones pasan

por un selector de velocidades com

pues to de m- campo eléctr ico f p r o d u

cido por las p iscas cargadas P y P' , y

iic u n c a m p o magnético )¡ perpendicular

ai

campe

eléctr ico .

Los

iones que pasan

i<

través de los campos cruzados s in des

viarse,

en t r an en una r eg ión donde hay

un segundo campo magnét ico IV descr i

b iendo ó rb i tas semic i r cu la r es . Una p laca

fotográfica F r eg is t r a su l legada .

De»-

m o s t r a r q u e qlm =

c~/r) >]'.

15.20 El cam po eléctr ico entr e las p la

cas del selector de velocidades de un

e s p e c t r ó m e t r o d e m a s a s d e B a i n b r i d g e

es 1,2 x 10

6

V

ir T

1

y a m b o s c a m p o s

magnéticos son de 0 ,60 T. Un haz de

iones de neón con carga -fe se mueve

Figura 15-53

en una trayector ia circular de 7 ,4 cm de

rad io en e l campo magnét ico . Dete rmi

nar la masa del isó topo de neón.

15.21 Supo ner que la in te nsi da d eléc

trica en t r e las p lacas P y P' de la

fig. 15-53 es 1,5 x 10

4

V rrr

1

y que

ambos campos magnét icos son de 0 ,50 T .

Si la fuente contiene los tres isó topos

http://ectores/

http://ectores/

http://ectores/



Problemas 567

?4

M g,

2}

Mg y

2S

Mg del magnesio y los

iones t ienen carga +e , encon t r a r la d i s

tanc ia en t r e las l ineas fo rmadas po r lo s

tres isó topos sobre la p laca fo tográf ica.

Suponer que las masas a tómicas de lo s

isótopos son, en urna, iguales a sus nú

m e r o s másicos ind icados a la izqu ie rda

de]

s ímbo lo qu ímico .

Campo

*

Saliendo

.del papel

Rendija

~t~^

c

W/y/wy/Mxr.

C\

Emulsión

F i g u r a

15-54

15 .22 En un espe c t róm et ro de masa s

tal como el que se muestra en la f lg .

15-54,

es d if íci l asegurar que todas las

p a r t í c u l a s l l e g a n p e r p e n d i c u l a r m e n t e a

la rendija. Si R es el radio de la t r a y e c

to r ia , demos t r a r que las par t ícu las que

l legan a la r end i ja fo rmando un pequeño

ángu lo 9 con la norma l l legará n a la

p laca fo tog ráf ica a una d is tanc ia p ( ap ro

x i m a d a m e n t e i g u a l a RO

1

) de las que

inc iden perpend icu la rmen te . ¿C uál es e l

va lo r de 6 par a e l cua l es ta separac ió n

e s m e n o r q u e 0 , 1 % d e

2R1

(La s i tuac ión

descr i ta en es te p rob lema se denomina

enfoque magnético.)

15 .23 En e l espec t róme t ro de ma sas de

la fig.

15-55, los iones acelerados por una

d i f e r enc ia de po tenc ia l en t r e S y A en

t r an en e l campo magnét ico que cub re

un sector de 60 y son env iado s a un a

emuls ión fo tog ráf ica . Demos t r a r que

q¡m

= yiVj'WD*. Es t ud i a r lo s camb ios

de posic ión de C par a pequ eña s desv ia

ciones de la d irección de incidencia.

15 .24 En de te rminado c ic lo t rón , lo s

p ro tones descr iben una

circunferencia

de 0 ,40 m de radio poco antes de emer

ger. La frecuencia de l po tenc ia l a l te rno

entre las des es 1 0 ' H z . D e s p r e c i a n d o

efectos relat iv is tas , calcular (a) el campomagnét ico , (b ) la ve loc idad de lo s p ro -

Figura 15-55

t o n e s ,

(c) la energía de los protones en

J y en MeV, (d ) e l número mín imo de

vue l tas comple tas de lo s p ro tones s i e l

v a l o r m á x i m o d e l p o t e n c i a l e n t r e l a s

des es 20 000 V.

1 5 .2 5 R e p e t i r e l p r o b l e m a p r e c e d e n t e

p a r a u n d e u t e r ó n y p a r a u n a p a r t í c u l a

alfa (núcleo de helio) . Sus masas son

2 ,014 u rna y 4 ,003 u rna , r espec t ivamen te .

15 .26 El cam po ma gné t ico de un c ic lo

t rón que ace le r a p ro tones es 1 ,5 T . ( a )

¿C uán tas veces po r segundo se debe

inver t i r e l po tenc ia l en t r e las des? (b )

El r ad io máx imo de l c ic lo t rón es

0,35

m .

¿C uál es la ve loc idad m áx im a de l p ro

tón? ( c ) ¿A t r avés de qué d i f e r enc ia de

po tenc ia l se tend r ía que ace le r a r e l p ro

t ó n p a r a i m p r i m i r l e l a v e l o c i d a d m á

x ima que da e l c ic lo t rón?

15 .27 En un c ic lo t rón , lo s deu te rone s

descr iben una c i r cun ferenc ia de 32 ,0 cm

d e r a d i o i n m e d i a t a m e n t e a n t e s d e e m e r

ger de las des . La f recuencia del voltaje

a l te rno ap l icado es 10 ' Hz . Hal la r , ( a ) e l

campo magnét ico , (b ) la energ ía y ve lo

c idad de lo s deu te rones a l em erge r . La

ma sa de un deu te rón es 2 ,014 u rna .

15 .28 Un tubo de r ay os ca tód ic os se

co loca en un campo magnét ico un i fo rme

t í de modo que e l e je de l tubo sea para

lelo a las

líneas

de fuerza. Si los electro

nes que emergen de l cañón con una ve

loc idad v fo rman un ángu lo 6 con el eje

cuando pasan po r e l origen O, de modo

que su t r ayec to r ia sea una hé l ice , de

m o s t r a r ( a ) q u e t o c a r á n n u e v a m e n t e e l

e je a l t i empo t = 2nmpiq, (b) que la

coo rdenada de l pun to de in te r secc ión es

x = 2nmv eos 6/

liq,

y ( c ) que p ar a pe

queño s va lo re* de 6 la co o rde nad a de l

punto de in tersección con el eje es inde

pend ien te de 6 . ( d ) E l d i spos i t ivo de es te



568

Interacción maonéíica

p r o b l e m a s e d e n o m i n a

Unte magnética:

¿ p o r q u é ? (e"> ¿E n q ué dif ieren ¡as t r a y e c

torias de los e lectrones que pa.a.n p o r <í

or igen fo rm ando un áng ulo 6 por

encima

del e je y las de los que pasan formando

e l m ism o ángulo por deba jo de eje?

15 .29 S e inye c tan p ro tone s

ae

3

Mev

de energía a un c ierto ángulo con

r e s

pec to a un cam po

magnético

uniforru?.

de 1 T . ¿A qué d i s tanc ia vo lve rán l a s

pa r t í cu la s a un pun to com ún de in te r

sección con el eje?

15 .30 U n a pa r t í cu la de ca rga q y ve lo

c i d a d D

0

(según el eje X) en t ra en una

reg ión donde h a y u n c a m p o m a g n é t i c o

(según el e je Y) . Mo-sírar que, si la

velo

c i d a d i'

0

e s su f ic ien tem ente g rande

como

para que e l cambio de dirección sea

desprec iab le y l a íueraa m a g n é t i c a *e

pueda cons ide ra r cons tan te y pa ra le la

al eje Z, l a ecuac ión de l a t rayec to r ia de

la part ícu la es z = (q

)3/2i>

0

m)a:

s

.

15.31

U n a p a r t í c u l a d e c a r g a

g

y

v e l o c i d a d

D

0

(según el eje

X)

en t ra en una

región (f lg. 15-56) donde hay un campo

e léc t r i co y uno m agné t ico un i fo rm es en

la misma dirección (según el e je Y) . D e

m os t ra r que s i l a ve loc idad

»

0

es suficien

t e m e n t e g r a n d e c o m o p a r a q u e e l c a m

bio en su dirección sea despreciable y la

Lentos

Y

Rápidos

Isótopo

pesado ^^^^t^n

X Isótopo

u

0

\ liviano

Figura 15-56

fue rza m ag né t i ca s e pu ed a cons id e ra r

cons tan te y pa ra le la a l e j e Z, (a) las

c o o r d e n a d a s a l t i e m p o t so n x —

v

a

t,

y

=

i(qClm)P y z = i(qv

0

13/m)P. (b ) E l i

m i n a n d o í y v

0

de e s ta s ecuac iones , ob te

ner la re lación z

2

/¡ / = iOf'K)(qjm)V.

El re su l t ado t i ene ap l i cac ión en uno de

los p r im eros e spec t rógra fos de m asas

que fue ron d i s eñados , porqu e s i pone

m o s uno. pantalla perpendicular a l e je -Y,

todas J a s pa r t í cu la s que t engan e l m ism o

cociente

a¡m

incidirán

a

lo

l a rgo de una

p a r á b o l a d a d a , i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e

su ve loc idad in ic ia i . P or lo t an to habrá

una pa rábo la pa ra cada i só topo presen te

en

el

haz inc iden te .

15 22 Una partícula de caiga q y m asa

;>? s e m u e v e entre dos p lacas pa ra le la s

ca rgadas y s epa radas a una d i s tanc ia

h.

S e ap l i ca un cam po

magnético

u n i f o r m e

paralelo a las placas y dir igido como se

indica en ia f tg. 15-57. Inic la lmente la

pa r t í cu la e s tá en reposo sobre l a p laca

inferior,

(a) Escribir las ecuaciones de

Figura 15-57

O

+ + + + + + +

m o v i m i e n t o d e l a p a r t í c u l a , ( b ) D e m o s

t ra r que a una d i s t anc ia y de l a p laca

inferior ,

v

x

—

{q¡m)1iy. ( c ) D e m o s t r a r

que e l m ó dulo d e l a ve loc idad e s tá da do

p o r v

2

=

2(q¡m)C~y.

(d) Con los do s r e

s u l t a d o s p r e c e d e n t e s m o s t r a r q u e

v, =

{qlmyi*l2£y —

( f / n O Q W * . y que

l a p a r t í c u l a p a s a r á r a s a n d o l a p l a c a s u

perior s i £ = i(9/m)T3

2

/i.

15 .33 En una reg ión donde hay un

cam po e léc t r i co y uno m agné t ico un i

formes y en la misma dirección, se in

yec ta una pa r t í cu la de ca rga

q

y m a s a

m

con una ve loc idad

i>

0

en d i recc ión pe r

pend icu la r a l a d i recc ión com ún de los

dos cam pos , (a ) Esc r ib i r l a ecuac ión de

m o v i m i e n t o e n c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s ,

(b ) Mos t ra r por sus t i tuc ión d i rec ta en l a

ecuac ión de m ovim ien to que l a s com

ponen tes de l a ve loc idad a l t i em po /

so n Vi =

v

0

eos (ql3¡m)t, v

u

= (q£lm)t y

Vz — s en (qiym)t. (c ) De l re su l t ado p r e

ceden te , ob tene r l a s coordenadas de l a

p a r t í c u l a a l t i e m p o t. (d ) Hace r un g rá

fico de la t rayectoria , (e) ¿Cuál sería e l

m ovim ien to de l a pa r t í cu la s i l a ve loc i

dad in ic ia i de l a m ism a fue ra pa ra le la a

los cam pos? [Sugerencia: P a r a l a s r e s

pues ta s dadas , e l e j e

X

e s tá en l a d i rec -



Problemas

569

ción de

u„

y el eje

Y

está en la dirección

común a los dos campos (flg. 15-58).]

15.34 En una cierta

región

hay un

campo eléctrico y uno magnético uni

formes y perpendiculares entre sí. Se

inyecta una partícula con velocidad y

0

paralela al campo magnético, (a) Es

cribir la ecuación de movimiento de la

partícula en coordenadas cartesianas.

Figura 15-58

(b) Mostrar, por sustitución directa, que

las componentes de la velocidad al

tiempo í son

v

x

=

v

0

Vv

=

(<f/ tí) sen (q r)/m)t,

y

o, = —

(<7

11)11

—

eos

(ql /m)t¡.

(c) Del resultado precedente, obtener las

coordenadas de la partícula al tiempo t.

(d) Hacer un gráfico de la trayectoria.

[Sugerencia: El campo magnético está

en la dirección del eje X y el eléctrico en

la del eje y.]

15.35 Resolver el prob lem a 15.34 pa ra

una partícula cuya velocidad inicial es

paralela al campo eléctrico. Veriñcar que

las componentes de la velocidad son

Vx

=

0 ,

v

y

— v

0

eos

{q

tí¡m)t

+ (¡7 tí) sen

(qiym)t,

v,

= — (t'7 ) ) + (i'V

)}

+ i>

0

) eos

{q

fíjm)t.

Demostrar que para que la partícula se

mueva a través del campo sin desviarse,

es necesario que

v

0

= — í 'fli. Comparar

el resultado con lo dicho en la sección 15.4

15.37 Con referencia al proble ma 15.34,

verificar que cuando la velocidad tiene

una dirección inicial arbitraria, las com

ponentes de la velocidad al tiempo

/

s o n

VT

= D J I ,

u„ =

(<?/lj

+ Vot

)

S

en

(q tí/m)í

+ v

m

eos (9

i)/m)t,

vt

= —

£¡ti

+ (<7tí +

Voz)

eos

(q'H/m)t

— v

ot

, sen (q~)ym)t.

Obtener (por integración) las coordena

das de la partícula y discutir la trayec

toria. Comparar con los resultados de los

problemas 15.35 y 15.36.

15.38 Con referencia al proble ma

15.33,

(a) demostrar que cuando

(qtí¡ni)t

<^ 1,

las coordenadas de la partícula se pueden

expresar en la forma x = v

a

t, y—(qC¡2m)t

i

y z = (v

0

q 11/2m)P, lo cual coincide con el

resultado del problema 15.31.

p , = — ( < T / M ) [ 1

eos

(q V/m)t]

— p

0

sen

{q

l\¡m)t.

15.36 Resolver el prob lem a 15.34 par a

una partícula cuya velocidad inicial es

perpendicular a ambos campos. Verificar

que las componentes de la velocidad son

v

x

=

0,

vv

=

(<7 t í + t)„) sen

(q

tí/m)í,

Figura 15-59

15.39 Encontrar la densidad de co

rriente (supuesta uniforme) que se re

quiere en un alambre horizontal de alu

minio para hacerlo "flotar" en el campo

magnético terrestre en el ecuador. La

densidad del Al es 2,7

x

10

a

kg m

-3

.

Suponer que el campo magnético terres

tre es de alrededor de 7 x 10~

6

T y que




e l a lam bre e s tá o r ien tado en l a d i recc ión

es te-oes te .

15 .40 En con t ra r l a fue rza sobre cada

uno de los segm ento s de. a la mb re que se

muestran en la fig, 15-59 si ei

campo

1¡

— 1,5 T es paralelo a 07 , c 1 ~- 2,0 A.

La aris ta del cubo mide

0,10

m

15.-11

3:,

p i a n o de una e sp i ra roo tari

guiar de a lambre de 5,0 cm x

S

:

0

cni es

pa ra le lo a un cam po magnético de.

0,15

' '.

(a) S i una corr iente de 0 A circula por

la espira» ¿qué tcrque ac túa sobre ellav

(b) ¿Cuál es el momento m agné t ico de l a

espira'? (c) ¿Cuál es el torque m á x i m o

que s e puede ob tene r con e sa corriente

c i rcu lando por l a m ism a long i tud de

a lam bre en e s te cam po m agné t ico?

F i g u r a 15-60

15.42 La espira rec tan gu lar de la f ig.

15.60 puede girar a lrededor del e je Y y

l leva una corriente de 10 A en e l sent ido

ind icado ,

(ul

Si

la

e sp i ra

está en u¡:

c a m p o m a g n é t i c o u n i f o r m e de 0,2 T pa

ralele al eje X, calcular ia fuer?.a en N

sobre cada lado de la espira \ el

tortur

en N m requerido para manten*"- ia

••

s-

pira en la pos ic ión que se muestra ,

ib) Lo m ism o que en (a ) , excep to que

la espira es tá en un campo parale lo a l

ej e Z, (c) ¿Qué torque se requerir ía s i la

e sp i ra pud ie ra g i ra r a l rededor de un e je

para le lo a l e je Y que pase por su cen tro ?

15 .43 La e sp i ra rec ta ngu la r de a lam

bre mostrada en la f ig. 15-61 t iene una

m asa de 0 , 1 g por cen t ím e t ro de long i tud

y puede girar s in roce a lrededor del lado

ÁB . P or el a l am bre c i rcu la un a cor r i en te

de 10 A en e l sent ido indicado, (a) Calcu

lar e l módulo y e l sent ido del campo

m agné t ico pa ra le lo a l e j e Y, que ha rá

que l a e sp i ra g i re has ta que su p lano

/" \

soy | /

F i g u r a 15-61 ''

forme un ángulo de 30° con e l plano YZ.

(b ) Hace r

el

es tudio para e l caso en que

ei campo es parale lo a l e je X,

15 .44 ¿Cuá l e s e l to r qu e m á xim o sobre

una bo bina de 5 cm x 12

cm

c o m p u e s t a

de 600 vue l t a s cuando l l eva una co

r r i en te de 1 0 '

5

A e n u n c a m p o u n i f o r m e

de

0,1

T ?

15 .45 La bob ina de un g a lva nóm et ro

de bob ina m óvi l t i ene 50 vue l t a s y en

cierra un área de 6 cm

2

. E l c a m p o m a g

nét ico en la región en la cual se mueve

la bobina es de 0,01 T y es radia l . La

cons tan te de to rs ión de l a suspens ión e s

k — 1 0

- 6

N m / g r a d o . E n c o n t r a r l a d e s

v iac ión angula r de l a bob ina pa ra una

cor r i en te de 1 m A,

15 .46 U n a e sp i ra de a lam bre en fo rm a

de cuadrado de 0 , 1

m

de l ado , yace sobre

el plano X Y, como se mue str a en la

fig.

15-62.

En l a e sp i ra hay una cor r i en te

de 10 A en e l sent ido indicado. S i se

ap l i ca un cam po m agné t ico pa ra le lo a l

ej e Z y de in tens idad

1i

= 0 , lx T (d onde

x

es tá en m), calcular (a) la fuerza re-



Problemas 571

sa l t an te sobre l a e sp i ra y (b ) e l to rque

r e s u l t a n t e r e s p e c t o a O.

15 .47 Rep e t i r e l p rob lem a prec eden te

cuando se ap l i ca e l cam po magnético

según el e je

X.

15 .48 U n a e sp i ra c i rcu la r de rad io

a

y

cor r i en te / e s tá cen t rada en e l e j e

Z

y es pe rpendicu la r a é l . S e p roduce un

cam po m agné t ico con s im e t r í a ax ia l a l

rededor de l e je Z que fo rm a un ángulo 6

con el eje

Z en

pun tos sobre l a e sp i ra

( í ig . 15-63) . (a ) Encont ra r , pa ra cada

uno de los sent idos pos ibles de la

co

r r i en te , e l m ódulo y l a d i recc ión de l a

Tuerza,

(bl

S uponer que e l c i rcu i to e s

tan peq ueñ o que s e pue de co ns ide ra r

com o un d ipo lo m agné t ico y que

e

c a m p o

magnético

sigue la ley de la

inve rsa de l cuad rad o do la d i s t an c ia

(¿i

=. kjr*). Dem os t ra r que l a fue rza so

bre e l circuito e s F

=-

-~ M(dl:i/dr),

d o n d e

M

e s s u m o m e n t o d i p o l a r m a g

né t i co que e s tá o r ien tado s egún e l e je

Z.

Es te re su l t ado e s gene ra l y m ues t ra que

un d ipo lo s e m overá en l a d i recc ión en

que e l cam po c rece cuando es tá o r ien

t a d o s e g ú n

el

cam po y en s en t ido con

t r a r i o

cuando

e s tá o r ien tado en s en t ido

opues to a l de l cam po. (Com para r con e l

r e s u l t a d o s i m i l a r e n c o n t r a d o p a r a u n

dipolo e léctr ico, sección 14.11.)

F igura 1S -63

15 .49 (a ) Ca lcu la r l a ve loc idad angu la r

de preces ión del espín de un e lectrón en

un cam po m agné t ico de 0 , 5 T . (b ) Ca lcu

l a r l a m i s m a c a n t i d a d p a r a u n p r o t ó n

en e l m ism o cam po, suponiendo que e l

espín de un protón es igual a l de un

e l e c t r ó n .

{Sugerencia:

U sa r los va lo res

de y que se. da n en la pág ina 53 6. ]

15 .50 Ca lcu la r e l m om ento d ipo la r

m a g n é t i c o d e u n e l e c t r ó n e n u n á t o m o

d e h i d r ó g e n o , s u p o n i e n d o q u e d e s c r i b e

una ó rb i t a c i rcu la r a una d i s tanc ia de

0.53 x 10

_1CI

m

dei

p r o t ó n . C a l c u l a r l a

ve loc idad angula r de p reces ión de l e lec

t r ó n s i e s t á e n u n c a m p o m a g n é t i c o d e

10~

6

T que fo rm a un ángulo de 30° con

el

momentum

a n g u l a r o r b i t a l .

15.51 Calc ular e l fac tor

giromagnético

y p a r a u n d i s c o r o t a n t e d e r a d i o

R

que

t i e n e u n a c a r g a q d i s t r i b u i d a u n i f o r m e

m ente sobre su supe r f i c ie .

15 .52 Re pe t i r e l p ro b le m a 15 .51 pa r a

u n a e s f e r a c a r g a d a u n i f o r m e m e n t e e n

t o d o s u v o l u m e n .

[Sugerencia:

D i v i d i r

l a e s fe ra en d i s cos pe rpendicu la re s a l e j e

d e r o t a c i ó n . ] D e l r e s u l t a d o d e e s t e p r o

b l e m a , ¿ q u é p u e d e Ud. c o n c l u i r a c e r c a

d e l a e s t r u c t u r a d e l e l e c t r ó n ?

15 .53 E l gauss e s u n a u n i d a d f r e c u e n t e

m e n t e u s a d a h a s t a h a c e p o c o p a r a m e d i r

e l cam po m agné t ico . La re lac ión en t re e l

gauss y e l

tesla

es 1 T = 10* gauss .

Mos t ra r que cuando se m ide l a fue rza

e n d i n a s , l a c a r g a e n s t C , e l c a m p o m a g

né t i co en gaus s y l a ve loc idad en

cm

s

-1

,

l a f u e rz a m a g n é t i c a e s t á d a d a p o r

F

=

$

x

lO'Mqv x >j.

15 .54 En co nt ra r l a fue rza sobre l a po r

c ión c ircular del conductor de la f ig. 15-64

si la corriente es / y e l c a m p o m a g n é t i c o

u n i f o r m e

ñ

e s tá d i r ig ido hac ia a r r ib a .

Dem os t ra r que e s l a m ism a que s i e l

c o n d u c t o r f u e r a r e c t o e n t r e

P y Q.

15 .55 De m o s t ra r que l a fue rza so bre

una porc ión

PQ

d e u n a l a m b r e c o n d u c

tor (f ig. 15-65) que ¡ leva una corriente

/

y e s t á c o l o c a d o e n u n c a m p o m a g n é t i c o

u n i f o r m e "ti, es I(PQ)

x

ti, s i endo por lo

t a n t o i n d e p e n d i e n t e d e l a f o r m a d e l

c o n d u c t o r . A p l i c a r a l p r o b l e m a p r e c e

den te . Conc lu i r de e s to que l a fue rza

s o b r e u n a c o r r i e n t e c e r r a d a c o l o c a d a e n

u n c a m p o m a g n é t i c o u n i f o r m e e s n u l a .

1 5 .5 6 C o n s i d e r a r u n a e s p i r a c u a d r a d a

d e a l a m b r e , d e 6 c m d e l a d o , c u a n d o

p o r e l l a c i r c u l a u n a c o r r i e n t e c o n s t a n t e

d e 0 , 1 A y e s t á e n u n c a m p o m a g n é t i c o

u n i f o r m e d e 10"

4

T. (a) S i e l plano de la

esp i ra e s tá ín ic ia lm ente pa ra le lo a l cam po

m a g n é t i c o , ¿ s e e j e r c e a l g ú n t o r q u e s o b r e

la e sp i ra? (b ) Contes ta r (a ) cuando la e s

p i r a e s t á í n i c i a l m e n t e p e r p e n d i c u l a r a l

c a m p o m a g n é t i c o , ( c ) E x p r e s a r e l t o r q u e




EE

P

ÍZE3-

Figura 15-64

Firs'ra 15-06

Figura 15-68

•en función del ángulo que la normal a ia

espira forma con

el campo

magnético.

Representar gráflcantent el * erque par;?

el ángulo variando entre 0 > 2~ . (d) Si

•''v¡

« poi-kbvi en que ei torque SO K<-

'-.

e-r-irii

•.•- n u l o , 'a espira iiere uus M:'-..-

<

:

icd

.-ngulcr, ,,qcé ocurre'"

¿5.57 Si la si»'memo es como eslá e;;

u

;>-

í rn ,VV> rp t •;

;

T

f

-blema prec^-'íf-T^ 1

e,

se hi^'is-ie •njiantónenm nto ei sen-

de ia corriente,

¿qcié

ocurre?

¿Como

1;

dad:-

:uabiaría üd.

el sentid'"'

de ki eorrien

en la nrí-

,De que

en

ia

P-rma que se

mención

tir.íra parte de ^sto problema?

utilidad serla este cambio?

;i..5e

Por un

alambre indnis tunen*

e

taiga circuís una corrieate eléctrica dt.

1 A: cílcuíar la intensidad

de -

campo

magnético

producido

a

una

distancia de

0,53 x t0 ~

l c

rn y a 1 m. Calcular tam

bién ei campo eléctrico en estos puntos.

15.59 Por un alam bre r ecto y largu

en eida una cómeme de 1,5 A. Un elec

trón viaja con una velocidad de 5

•/.

10*

m

s"

1

paralelamente al alambre y con el

mismo sentido de ia corriente, a 0.1 m

del alambre. ¿Qué fuerza ejerce el campo

magnético de Ja corriente sobre el e P o -

1.;ón

en molimientoV

15.60 Demostrar, usando la

ce .

0 5.55),

que ei campo magnético de

íITIA

corriente

rectilínea está dado por ia ec . (l.Vilp

15.61 Dem ost rar que el camp o magné

tico producido por una corriente recti

línea

I

de longitud finita es (U

0

I¡2TTR)

(sen a, — sen a,), donde

R

es la distancia

(perpendicular) del punto al alambre, y

a

x

y a

2

son los ángulos entre la perpen

dicular a la corriente y los segmentos que

unen

el punto con los extremos de la

misma (ver fig. 15-66). Aplicar este re

sultado para obtener el campo magnéticoen el centro de un circuito cuadrado de

lado

ángu

1

:es.

ío.'eJ

¡Fijarse en los signos de ios

y largo

or un alambre recto

circma une corriente de 10 \ en <d sen-

lulo del e<> V. Hay un campo magnético

unimrme P

Je intensidad 10"

f

T y diri

g i ó - s-:-gún el eje

X.

¿Cuál es el campo

cmípiéiiei. resultante en los siguientes

p a r d o ; : d¡)

x —

0, ,: -- 2, (b)

x ~

'i m,

: ü, (c ; a;

—

0, ;

•-

—- i'),5 rn?

155-5 Des largos alambres rectos y pa

ralelos

ebuui

separados por una distancia

2a.

Si por ios alamb res circulan corrient es

¡¡¿cales en sentidos opuestos, ¿cuál es el

campo

magnético

del plano de los alam

bres en un punto (a) equidistante de

ambos y (b) a una distancia a de uno

y ?.:; del otro? (c) Contestar (a) y (b)

cuamlo por los alambres circulan co

rrientes iguales en el mismo sentido.

15.64 Dos larpos alambres rectos y pá

raselos están a 100 cm uno de otro, como

se muestra en la fig. 15-67. Por el alam

bre superior circula una

corriente

J,

de

6 A hacia el plano del

papel,

(a) ¿Cuál

d:be

ser la intensidad y el sentido de la

emperne P para

que el campo resultante

e-i

P sea rudo 7 (b) ¿Cuál es entonces

el omnoo resultante en Q? (c) ¿Y en S?

15.Ü5 La fifi. 15.68 es una vista frontal

de dos lauros alambres paralelos perpen

diculares al plano

X

Y, por los que

circula la misma corriente / pero en

sentidos

opuestos,

(a) Mostrar con vec

t o r e s ,

el campo magnético de cada alam

bre y el campo resultante en el punto

P.

(b) Obtener la expresión del módulo de

')S en cualquier pun to del eje

X

en fun

ción de la coordenada i del punto.

(c) Hacer un gráfico del módulo de

>J

en cualquier punto de eje

X.

(d) ¿Para

qué valor de x es el valor de

U

máximo?

Repetir para los puntos del eje Y.



Problemas 573

i^&Aé

100 cm

80 cm

\

>

i

b

50 era

ÍP

60 cm

F igura 15-67

Tí

I

i

a

i

1

o

i „

) í

•< i

P

i

"1

F igura 15-68

F igura 15-69

15 .66 Re pe t i r e l p rob lem a 15 .65 cuan do

las cor r i en te s e s tán en e l m ism o sen t ido .

15.67 Un a corr iente de 2,5 A circula

p o r u n a b o b i n a d e v u e l t a s m u y j u n t a s

que t i ene un d iám e t ro de 0 , 4 m. ¿ C u á n t a s

vue l t a s debe t ene r pa ra que e l cam po

magnético en su centro sea 1,272 x 1 0

- 4

T ?

15.68 Un solenoide de 0,3 m de longi

tud e s tá cons t i tu ido por dos capas de

a lam bre . La capa in te rna t i ene 300 vue l

t a s y l a e x t e r n a 2 5 0 v u e l t a s . P o r a m b a s

capas c i rcu la una cor r i en te de 3 A en e l

m ism o sen t ido . ¿Cuá l e s e l cam po m ag

né t i co en un pun to ce rcano a l cen t ro de l

solenoide ?

1 5 .6 9 U n a l á m i n a c o n d u c t o r a de g r a n

l o n g i t u d y a n c h o w t i ene una dens idad

uni fo rm e de cor r i en te /' po r un id ad de

ancho; e s dec i r , /total = jw (fig. 15-69).

(a ) Ca lcu la r e l cam po m agné t ico en un

p u n t o

P

a un a d i s tanc ia (p e rpend icu la r )

d

por enc im a de l cen t ro de l a t i ra , com o

s e m u e s t r a .

[Sugerencia:

La expres ión

de l cam po deb ido a una t i ra rec ta y l a rga

d e a n c h o

dw

es la misma que la de un

a lam bre rec to y l a rgo . ] (b ) ¿Cuá l e s e l

cam po s i

d < w ,

es decir, si la tira se

hace un p lano in f in i to?

15.70 Dos corrien tes c ircu lares de la

m i s m a i n t e n s i d a d l y e l m ism o rad io

a

e s t á n s e p a r a d a s p o r u n a d i s t a n c i a

2b,

como se muestra en la f ig. 15.70. (a) Pro

ba r que e l cam po m agné t ico sobre e l

e je e s tá dado por

13 =

Vola

2

(a

2

+ i»

2

)

3

'

2

1 +

3 (4¿>

2

— a

2

)

2 (a

2

+ 6

2

)

2

+

15 (8¿>

4

— 12a

2

¿>

2

+ a

4

)

8

(a

2

+

6

2

)

4

d o n d e x se m i d e a p a r t i r d e l p u n t o m e d i o

en t re l a s dos cor r i en te s , (b ) Ver i f i ca r que

p a r a

a =

26, e l campo en e l centro es

i n d e p e n d i e n t e d e x h a s t a l a t e r c e r a p o

t e n c i a . ( E s t a d i s p o s i c i ó n s e d e n o m i n a

bobinas de Helmholtz

y s e usa m uc ho en

e l l a b o r a t o r i o p a r a p r o d u c i r u n c a m p o

m a g n é t i c o u n i f o r m e e n p e q u e ñ a s r e g i o

nes de l e spac io . ) (c ) S uponiendo que s e

sa t i s face l a cond ic ión s eña lada

en

(b ) ,

encont ra r e l va lo r de x (en func ión de

a)

para e l cual e l campo dif iere en 1 % del

c a m p o e n e l p u n t o m e d i o .

1 5 .7 1 U n a l a m b r e l a r g o h o r i z o n t a l

AB

(f ig. 15-71) reposa sobre la superfic ie de

u n a m e s a . O t r o a l a m b r e CD, s i t u a d o

d i r e c t a m e n t e e n c i m a d e l p r i m e r o , t i e n e

1 , 0 m de long i tud y s e puede des l i za r

hac ia a r r iba y hac ia aba jo por l a s gu ia s

m e tá l i cas ve r t i ca le s C y

D.

L o s d o s a l a m

bres e s tán conec tados m e dia n te los dos

con tac tos cor red izos y por e l los c i rcu la

una cor r i en te de 50 A. La dens idad l inea l

de l a lam bre CD es 5,0 x

10 ~

3

k g

m

- 1

.

¿A qué a l tu ra queda rá en equ i l ib r io e l

a l a m b r e

CD

a causa de l a fue rza m ag

né t i ca deb ida a l a cor r i en te que c i rcu la

por e l a l am bre AB1

15 .72 U n la rgo a lam bre rec to y un a

e s p i r a r e c t a n g u l a r d e a l a m b r e y a c e n

sobre una mesa (f ig. 15-72). El lado de

la e sp i ra pa ra le lo a l a l am bre t i ene 30 cm

d e l o n g i t u d y e l l a d o p e r p e n d i c u l a r

50 cm . Las cor r i en te s son

/ ,

= 10 A e

7

a

= 20 A. (a) ¿Cuál es la fuerza sobre

la e sp i ra? (b ) ¿Cuá l e s e l to rque sobre l a

esp i ra con re spec to a l a l am bre rec to?

¿Y con re spec to a l a l inea de t razos?

( c ) E n c o n t r a r e l t o r q u e d e s p u é s q u e l a




PipurR.

1 5 - 7 0

A

Figure

1"

o t a d o 4 5 ° a'redf-i'.-'.'

o

¿OS.

a lambras

¡ a r a c ; p r . n l '

lo

/

F i s u r a

l.i-ÍS

i carga

p e r p e n d i c u l a r a.

la

m a \ í m i r u t o . C o n s i d e r a r

i g u a l a

0 ; 0 , 1 ; 0 ,5 y 0 ,9 .

r e l /...Cí-iVe .-ntrf *.••< v i , -

: d r a m i o

.f.

l''"-r

ca¡

\9

COrrieaie

1

------

2 '

•V:

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0 , 4 0 III K

i:;

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sodre

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Ja corriflde ciue cir

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d e l p a p e l ,

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i

piar

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O'

n

¡JOS

eiecwones

s e m u e v e n

en

t r a

í a s r e c t i l í n e a s

para le las

s e p a r a d a s

; r.

(,¿,

id

;

.e mue ven ano

f r e n t e a

i an< -. ídneidp.d d e I 0

6

m

s"'

1

,

e n -

ir

l a s

-roería.-, eléctrica

y

magnét ica

• líos

q u e

maie un

o b s e r v a d o r l i j o

o r a t o r i o

^suponiendo qae

1 0

s

jii

s"

ede considerar

a n a v e l o c i d a d n o

' . as í a ) ,

(u)

¿ C u á l es l a f u e r z a s e g ú n

.•ver-

ador

q u e s e

rrioeve

c o n

ios

mes': ( e ; R e p e t i r l o a n t e r i o r p a r a

o

de

u n a v e l o c i d a d d e 2 , 4 x 1 0

?

q;a

e s

i-e'a'ivisía.

Un protón do

3 0 G e V d e e n e r g í a

u n a d i s t a n c i a d e 10"

v

ni

d e u n i o n .

ti

Di-oi. '-•." se

debe

c o n s i d e r a r e n

H í d W a [••: e n c o n t r a r r

ñ.n-

-

o ..-•¡a

-:•-

•••a

a;

-d

c a m p o

eléctrico

e¡;

a

d i s t

do s

^ ¿ . p c . j a v n m e ;

.e en

u n c o c a -

,,oe

pasa

p a r

;

.a carüa

p e r p e n d i c u l a r a a

d i r e c c i ó n ,

d e ' m o v i m i e n t o v s o b r e el eje

en i a

dircce-óii

d e l m o v i m i e n t o . C o n s i d e

ra r va lore . - - de v c i g u a l e s a 0 ; 0 . 1 ;

Od,

*- o

o

y > - ' > - « •

1 5 . 7 7 C a l c u l a r e' c o c i e n t e e n t r e l o s

va

'.--: '-' •: C^ced;

•:•.•

., fiií-Tza a qi.-.c

»:-ta

seno a

I-- «•• 'on y la

variación di)

¡ u n -

tue-c-n ta eons id r raudo

q u e e s e s e n c i a l

m e n t e e i r e s u l t a d o

dei

c a m p o d e n t r o d e l

anc ido e n c o n t r a d o e n

( a ) ,

(c ) R e p e t i r

c u a n d o i a p a r t í c u l a q u e p a s a e s u n e i e c -

t rón

d e íE. m i s m a e n e r g í a , e n

ve»,

d e u n

p r o t ó n .

¡Ver

flg. 15-73.)

1 5 . a - U s a n d o l a e x p r e s i ó n r e l a t i v i s t a

( ló . t - i )

p a r a e l

c a m p o

m a g n é t i c o d e u n a

l o r e s re la l iv i s ta y n o r e l a t i v i s t a d e i c a r g a e n m o v i m i e n t o , o b t e n e r l a e x p r e -

c a m p o

e l é c t r i c o p r o d u c i d o p o r u n a c a r g a

sión

p a ra , e l c a m p o m a g n é t i c o d e u n a

e n m o v i m i e n t o e n u n p u n t o

de l

p l a n o c o r r i e n t e r e c t i l í n e a .

http://pr.nl%27/

http://pr.nl%27/

http://pr.nl%27/



Problemas 575

15.82 Usa ndo la regla general para la

t r ans fo rm ación r e la t iv i s ta de una fuerza

(p rob lem a 11 .29) , ob tener las t r a ns fo rm a

c iones r e la t iv i s tas de l campo e lec t ro

m a g n é t i c o , ees . (15.58) y (15.60).

Figura 15-73

15.83 Us and o las

ees.

(15.58) y (15.60),

p robar que las can t idades

£• íi

y

c~

2

—93

a

son invar ian tes r espec to a la t r ans fo r

mación de Loren tz .

15 .84 Un a par t íc u la de carga q y m a s a

m se mueve en una r eg ión donde hay un

c a m p o e l é c t ri c o f y u n c a m p o m a g n é

t ico

)8.

D e m o s t r a r q u e s i e l m o v i m i e n t o

de la par t ícula se ref iere a un

sistema

de

coo rdenadas que ro ta con la f r ecuenc ia

de Larmor d e l a p a r t í c u l a , e>¿ =—

qTi¡2tn

[ver ec . (15 .7 ) ] , su ecuac ión de mov i

m i e n t o s e t r a n s f o r m a e n ma' = q[€ \-{m¡

q)u>L

*

( 0 ) L

x r ) j . E s t i m a r e l v a l o r d e

(DL para un e lec t rón y ver i f ica r que

él

ú l t i m o t é r m i n o e s d e s p r e c i a b l e . E n e s t a

a p r o x i m a c i ó n , l a e c u a c i ó n d e m o v i m i e n

t o d e l a p a r t í c u l a e n e l s i s t e m a r o t a n t e

de ejes es ma' = qf. L a c o m p a r a c i ó n d e

es te r esu l tado con e l e jemp lo 15 .4 nos

mues t r a cómo e l iminar e l e f ec to de un

c a m p o m a g n é t i c o . [Sugerencia

•

E m p l e a r

las fó rmu las de la secc ión 6 .4 para ex

p resar la ve loc idad y la ace le r ac ión de

l a p a r t í c u l a r e s p e c t o a l s i s t e m a r o t a n t e

de ejes . ]



1

\J

CAMPOS F.¡ R :'í

)U ^

' •'' \KTICOS

ESTÁTICOS

16.2

¡6.1 Introducción

Flujo de un campo vectorial

16.3 Ley de Gauss para el campo eléctrico

16.4

Ley

de Gauss en

forma diferencial

16.5 Polarización de la materia

16.6 Desplaza miento eléctrico

16.7 Cálculo de ¡a susceptibilidad eléctrica

16.8

Capacitancia; capacitores

16.9 Energía del campo eléctrico

16.10 Conductividad eléctrica; ley de O hm

¡6.11 Fuerza electromotriz

16.12 Ley de Ampére para el campo magnético

16.13 Ley de Ampére en forma diferencial

16.14 Flujo magnético

16.15 Magnetización de la materia

16.16 Campo magnetizante

16.17 Cálculo de la susceptibilidad mag nética

16.18 Resumen de las leyes de los camp os estáticos



Í6.2) Flujo de un campo vectorial 577

18.1 Introducción

En los dos capítulos precedentes-

estudiamos

las interacciones

electromagnéticas

y Iú movimiento de partículas cargadas corno consecuencia de estas interacciones.

Al analizar las interacciones electromagnéticas

;

r,trodujimos el concepto de campo

electromagnético. En este

capítulo

y en el próximo, estudiaremos

en

detalle las

caracterís ticas del campo electromagnético mismo, considerándolo como una

entidad independiente. En este capítulo examinaremos el campo electromagnético

estático o independiente del t iempo. En ei capítulo 17 consideramos el campo

electromagnético dependiente del t iempo.

ÍG,2

Flujo de un campo vectorial

flujo de vn campa vectorial. Este es un concepto de ¿rran

'

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aparecerá musitas

veces

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;

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•

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Dividamos Ja sopare: cíe c u p e q a e m r m a ,

" - ^ ¡ : •• •

;

••-•:•'•.••

'> si-p""^cies de .. = ."-- ;

tí

v

,

;/>".,, ilS.. .

Podemos vacar los

ve~-

-V- '

?í

í^ .

«..,

• . . P'-rr.endicuiaivs

a a»s sapería

a"s

^n uao Je

sus pantos. í

,o^

»

;

.

•s--.fr-

¡-»

orientar;

en el sentido ei qu e aviiua em tcrnillo de rosca nerecha

cuando rota en ei sentido en que hemos decidido orientar la periferia de la su

perna "

según

le

convención establecida en la sección 3.10. Sí la superficie es

•::ercada, los versores u,v apuntan hacia afuera. Sean

B

1(

0

2

, 6

3

, . . . los ángulos

entre los vectores normales

u

v

u

2

,

Ug, . . . y los vecto res de cam po

V

v

V

2

, F

3

,

. . .

en cada punto de la superficie. Entonces, por definición, el flujo í> del vector

V

a través de la superficie es

3> = Vj

dS

1

eos 8j + V

2

dS

2

eos 6

2

+

V

3

dS

3

eos 6

3

-t- . . .

=

P V " i

d

5

1

+ V

2

-u

2

dS

2

+ V

3

-u

3

dS

3

+ . . . .

* =-- j V eos QdS

= j

V-

u

N

dS ,

(16.1)

donde la integral se extiende a toda la superficie, lo cual se indica con el sub

índice S. Por esta razón una expresión como la ec. (16.1) se llama integral de

superficie. Debido a factor eos 0 en la ec. (16.1), el flujo a través de la superficie

e lementa l dS puede ser positivo o negativo, según 6 sea menor o mayor que TC/2.

Si el campo V es paralelo o tangente al elemento de dS , el ángulo 8 es TI/2 y

eos 6 = 0, resultando un flujo nulo a través de la superficie dS . El f lujo total

puede ser positivo, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina "saliente" , y s i

es negativo, "entrante". Si la superficie es cerrada como una esfera o un elipsoide,

se escribe un círculo sobre el signo integral; de este modo la ec. (16.1) se con

vierte en

«

= j V

eos 6

dS = £ V- u^

N

dS . (16.2)



578 Campo s electromagnéticos estáticos (16.2

F i£ .

Ifi-t. Flu jo de un campo vec-

F ig .

16 -2 . F lu jo de par t íc u las a t r av és de

tor ial a tra vé s de una superf icie. un área.

E¡ nombre de f lu jo dado a la in tegral de la ec . (16.1) se debe a su aplicación

al es tudio de los f lu idos. Supongamos que tenemos un c h o r r o d e p a r t í c u l a s , t o d a s

mov iéndose hac ia la derecha con ve loc idad v. A q u e l l a s p a r t í c u l a s q u e a t r a v i e s a n

la superf icie dS en e l t i empo i es ta r ían con ten idas en un c i l ind ro de base dS,

g e n e r a t r i z p a r a l e l a a

v

y long i tud

ut.

E s t e v o l u m e n e s

vt dS

eos 0 . S u p o n i e n d o

q u e h a y a n p a r t í c u l a s p o r u n i d a d d e v o l u m e n , e l n ú m e r o t o t a l d e p a r t í c u l a s q u e

pasa a través de la superf icie dS en e l t i empo / es nut dS eos 9 y e l nú me ro qu e

p a s a p o r u n i d a d d e t i e m p o , o

flujo de partículas,

es

no dS eos

G = nv-u

N

dS.

El f lu jo to tal de par t ículas a través de la superf icie S es

<$ = nv

UN dS.

J s

Es ta es una exp res ión s imi la r a la ec . ( 16 .1 ) , con e l vec to r de cam po I

7

igua l a

nv.

Se comprenderá , s in embargo , que e l nombre de .

" f i u j o "

dado a la ec. (16 .1) no

s ign i f ica , en genera l , mov imien to r ea l de a lgo a t r avés de la super f ic ie .

EJEMPLO 16.1. Ex pre sa r la corr ie nte eléctr ica a tra vé s de una superf icie com o

un f lu jo de densidad de corr iente.

Solución: Hem os v is to que nv-usdS exp resa e l núm ero de par t ícu las que pas a

a través de la superf icie

dS

po r un idad de t iempo . S i cada par t ícu la l leva una carga

q,

la carga que pasa a través de la superf icie dS por unidad de t iempo es

qn v • u.v dS = j • ux dS,

d o n d e

j

=

nq v

es la densidad de corr iente def in ida en la ec. (15 .12) . Por consiguiente,

la carga to tal que pasa a través de la superf icie S por unidad de t iempo (esto es ,

la corr iente eléctr ica a través de la superf icie) es

« í í dS.

En otras palabras , la corr iente eléctr ica a través de una superf icie es igual al f lu jo

de la densidad de corr iente a través de la superf icie. Si la densidad de corr iente

es uniforme y la superf icie es p lana, la ecuación se reduce a

/ = j'tij/S = jS eos 6.



16.3) Ley de

Gauss

para el campo eléctrico 579

Fig. 16-3. Flujo eléctrico de una carga

puntual a través de una esfera.

Fig. 16-4. El flujo e léctrico a tra vé s

de esferas concéntricas que rodean a la

misma carga es el mismo.

/ . EL CAMPO ELÉCTRICO

16.3 Ley de Gauss para el campo eléctrico

Consideremos ahora una carga puntual q (fig. 16-3) y calculemos el

flujo de

su

campo eléctrico ( a través de una superficie esférica con centro en la carga. Si r

es el radio de la esfera, el campo eléctrico producido por la carga en un punto

de la superficie esférica es

C

=

4"e

0

r

2

u

T

.

El versor normal a la esfera coincide con el versor u

r

según la dirección radial.

Luego el ángulo 0 entre el campo eléctrico € y el versor

u

r

es cero, y eos 6 = 1.

Obsérvese que el campo eléctr ico tiene la misma magnitud en todos

los

pun to s

de la superficie esférica y que el área de la esfera es

4nr

2

;

por lo tan to laec . (16 .2)

da para el flujo eléctrico

3>6 = | £ dS =±= ¿

¿ dS^éS

=

— ? —

(4w

8

) =

-*L.

Js JS 47te

0

r

a

e

„

Entonces, el flujo eléctrico a través de la esfera es proporcional a la carga e inde

pendiente del radio de la superficie. Por lo tanto s i trazamos varias superficies

concéntricas S

v

S

2

, S

A

, . . . (fig. 16-4) con cen tro en la carga q, el flujo eléctrico

a través de todas ellas es el mismo e igual a q¡ e

0

. Este resultado se debe a que

el campo depende de 1/r

2

, y se aplica también al campo gravitacional de una

masa dado por la

ec .

(13.15). El f lujo del campo gravitacional se encuentra reem

plazando <7,/4*:€

0

por ym , donde m es la masa encerrada por la superficie. Esta

sustitución da

Os =

inym.



580 Cam pos electromagnéticos estáticos

(16.3

Consideremos una carga q en el interior de una superficie arbitraria cerrada S

(fig. 16-5). El flujo tota l a travé s de S de camp o eléctrico producido por la carga q

está dado por

*s = <> ¿" eos 6 dS —

é

— - - - - - eos 6 dS

•' $ A Tí i

-i

dS eos

e

Pero

dS

eos

e//-

2

es el ángulo sólido subtendido por el elemento de superficie

dS

visto desde la carga q [recordar la

ec .

(2.8).] Como el ángulo sólido total alrededor

de

un punto es

4-*,

vemos

¡me

3>s —

47re„

da

= _ J _ (4.) = X

4rce

n

e

n

Este resultado es el mismo que el encontrado previamente para una superficie

esférica con centro en la carga, por lo cual es válido para cualquier superficie

cerrada, independientemente de la posición de la carga dentro de la superficie. Si

una carga tal como q' está fuera de la superficie cerrada, el flujo eléctrico es cero,

porque el flujo entrante es igual al saliente; luego, el flujo neto es nulo. Por ejem

plo, el flujo eléctrico de q' a través de dS' es igual en magnitud, pero de signo

opuesto, al flujo eléctrico a través de

dS",

y por consiguiente su suma es cero.

Carga

e x t e r n a

Fig. 16-5. El flujo eléctrico a trav és de una su

perficie cerrada que encierra una carga es indepen

diente de la forma de la superficie.

Fig. 16-6. El flujo eléctrico

a través de cualquier super

ficie cerrada es proporcional

a la carga neta contenida

dentro de la superficie.

Si hay varias cargas q

v

q.

2<

q

3

, . . . e n el interior de la superficie arbitraria S

(fig. 16-6), el flujo eléctrico total será la suma de los flujos producidos por cada

carga. Podemos pues establecer la ley de Gauss:

El flujo eléctrico a través de una sup erficie cerrada que encierra las

cargas q

v

q

2

, o

3

, . . . es

%

| .

í '

•

U N

dS =

-

(16.3)



16.3)

Ley de Gauss para el campo eléctrico 581

donde q =

g

x

+ q

2

+

?

3

+

• • •

es la carga total en el interior de la

superficie.

Si no hay cargas en el interior de la superficie cerrada, o si la carga neta es cero,

el flujo eléctrico total a través de ella es cero. Las cargas que están fuera de la

superficie cerrada no contribuyen al flujo total.

La ley de Gauss es par t icularmente úti l cuando queremos calcular el campo

eléctr ico producido por distr ibuciones de carga que presentan cier tas simetr ías,

como se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 16.2. Usando la ley de Gauss, hallar el cam po eléctrico pro du cido p or

(a) una carga distribuida uniformemente sobre un plano, (b) dos planos paralelos

con cargas iguales y opuestas.

Solución: (a) Supongamos que el plano de la fíg. 16-7 contiene una carga a por

unidad de área. De la simetría del problema se deduce que las líneas de fuerza son

perpendiculares al plano, orientadas como se indica en la figura si la carga es posi

tiva. Tomando como superficie cerrada el cilindro ilustrado en la figura, podemos

separar el flujo eléctrico Os en tres términos: el flujo a través de

S

1

que es

+C~S,

siendo S el área de la base del cilindro; el flujo a través de

S

2

,

que es también

+£S

Fig. 16-7. Campo eléctrico de una su

perficie plana cargada uniformemente.

Fig. 16-8. Campo eléctrico en el espacio

comprendido entre dos superficies planas

y paralelas que contienen cargas iguales

y opuestas.

ya que, por simetría, el campo eléctrico debe ser el mismo en módulo y dirección

pero de sentido opuesto en puntos si tuados a la misma distancia a ambos lados

del plano; y el flujo a través de la superficie lateral del cilindro, que es nulo porque

el cam po eléctrico es paralelo a la superficie. En consecu encia t en em os fl>£ = 2¿S.

La carga en el interior de la superficie es la correspondiente al área sombreada

y es igual a q = aS. Por consiguiente, aplicando la ley de Gauss, ec. (16.3), tenemos

2Í S = aS/eo ° sea

2e„

lo cual indica que el campo eléctrico es independiente de la distancia al plano y

es por lo tanto uniforme. El potencial eléctrico es, usando la relación

c"

= —

dV/dx



582 Campos electromagnéticos estáticos

(16.3

y s u p o n i e n d o

que

e l potencia l en e l plano es cero,

2e

0

Es tos re su l t ados son idén t icos a los de l

ejemplo 13.8

pa ra e l ca so g rav i t ac iona l

s i se reemplaza y por (47re

ü

)" ' (ver además e l

problema

14 .62) . E l e s tud ian te aprec ia rá

que l a t écn ica usada ahora e s m ás simple deb ido a l a s im e t r i a de l p rob lem a .

(b) La f ig. 16-8 muestra dos planos paraleles con ca rgas igua le s y opues ta s . Obse r

vamos que en la región fuera de los dos pianos hay cam pos e léc t r i cos igua le s en

módulo y d i recc ión pe ro de d i recc iones opues ta s , los cua le s dan un cam po re su l t an te

n u l o .

Pero en Ja región entre los planos , ios campos t ienen la misma dirección, y e l

cam po re su l t an te e s dos veces m ayor que e l de un so lo p lano , o s ea £ — <s/e

0

. P or

lo t an to , dos p lanos pa ra le los con ca rgas igua le s y opues ta s p roducen un cam po

uniforme en e l espacio

entre

ellos.

EJEMPLO 16.3.

U san do e l t eor em a de Gauss , ha l l a r e l ca m p o e léc t r i co c reado po r

una dis tr ibución esférica de carga.

Solución:

Es te p rob le m a ha s ido e s tud iado en l a s ección 13 .7 , aun qu e de un m o do

di fe ren te , pa ra e l cam po grav i t ac iona l p roduc ido por un cue rpo e s fé r i co . Cons ide re

mos una esfera de radio

a

y ca rga

Q

(f ig. 16-9). La s im etría del prob lem a sugie re

que e l cam po en cada pun to debe s e r rad ia l y

depender só lo de l a d i s t anc ia r de l pun to a l cen

t ro de l a e s fe ra . En tonces t racem os una supe r

ficie esférica de radio

r

concéntrica con la esfera

c a r g a d a . Encontramos que el flujo eléctrico a

través de e l la es

<p£ =

¿ £ dS

=

£ ¿ dS

= c'(47rr

2

).

J S J s

S u p o n g a m o s p r i m e r o r > a; e n c o n t r a m o s q u e

la carga en e l interior de la superfic ie

S

es la

ca rga to ta l

Q

de la esfera . Luego, apl icando la

ley de Gauss , ec . ( 1 6 . 3) , o b t e n e m o s <f(4w

2

)

Qco

ó

Q

AT.íJ-

2

Figura 16-9

Es te re su l t ado e s e l m ism o que e l ob ten ido pa ra

u n a c a r g a p u n t u a l . P o r c o n s i g u i e n t e

el campo

eléctrico producido por una esfera cargada en

puntos fuera de ella es igual al que produciría si toda su carga estuviera concentrada

en su centro.

C o n s i d e r e m o s a c o n t i n u a c i ó n ,

r <

a; t enem os dos pos ib i l idades . S i toda l a ca rga

es tá en la superfic ie de la esfera , la carga en e l interior de la superfic ie S' es cero,

y la ley de Gauss da ¿(4-rcr

2

) = 0, ó

£

= 0 . De e s te m odo ,

cuando la carga está dis

tribuida en la superficie de la esfera el campo eléctrico en los puntos internos de la esfera

es nulo. P e ro s i l a ca rga e s tá d i s t r ibu id a un i fo rm e m en te en todo su vo lu m en y e s Q'

la carga en e l interior de la superfic ie S; t e n e m o s

Q' =

Q

47ta

3

/3 (4*1-73) =

Qf

A



16.3)

Ley de

Gauss

para el campo eléctrico 583

El t eorem a de Gauss da en tonces

£(4r.r-)

=

Q'/e

0

—

Qr

3

/€

a

a

3

ó

Qr

{ =

4 7 T € „ a

3

d e m o s t r a n d o a s í q u e el campo eléctrico en los puntos internos de una esfera uniforme

mente cargada es directamente proporcional a la distancia del punto al centro de la misma.

Es tos re su l t ados e s tán conform e a los de l a s ecc ión 13 .7 pa ra e l ca so g rav í t ac iona l ,

s i s e reem plaza

ym

p o r

Q/4íte

0

.

EJEMPLO 16.4. U san do e l t eor em a de Gau ss , ha l l a r e l cam po e léc t r i co c re ado

por una d i s t r ibuc ión c i l indr ica de ca rga de long i tud in f in i t a .

Solución: C o n s i d e re m o s u n a l o n g i t u d L del c i l indro C, de rad io a (fig. 16-10). Si X

es l a ca rga por un idad de long i tud , l a ca rga to ta l en e sa porc ión de c i l indro

es 9

=

XL.

La s im e t r í a de l p rob lem a ind ica que e l cam po e léc t r i co en un pun to depende so la

m ente de su d i s tanc ia a l e j e de l c i l indro y e s tá d i r ig ido rad ia lm ente . Tom em os com o

super f i c ie ce r rada de in tegrac ión una supe r f i c ie c i l indr ica de rad io r, coax ia l con

la dis tr ibución de carga. Entonces e l f lujo e léctr ico a t ravés de la superfic ie t iene

t re s t é rm inos . Dos de e l los represen tan e l f lu jo a t ravés de cada base ; é s tos son

nulos por que e l cam po e léc t r i co e s t an gen te a ca da supe r f ic ie basa . P o r lo qual

só lo queda el f lujo a t ravés de la superfic ie la tera l . Es te es c~(2nrL). O sea ,

Os = 2nrL<.

c

.

C o n s i d e r a n d o r > a, la carga tota l dentro de la superfic ie c i l indrica S es q =

XL,

y la ley de Gauss , ec . (16.3), da 2nrLc~ = \L/e

0

6

C

=

2ne¿r

El re su l t ado de l e jem plo 14 .7 pa ra e l cam po e léc t r i co de un f i l am ento ca rgado

es tá de acue rdo con é s te . P or cons igu ien te , el campo eléctrico en puntos externos

a una distribución cilindrica de carga de longitud infinita es el mismo que si toda

la carga estuviera distribuida a lo largo de su eje.

P a r a r < a, t enem os de nuevo dos pos ib i l idades . S i l a ca rga e s tá d i s t r ibu ida

en la superfic ie del c i l indro, no hay carga en e l interior de la superfic ie S ' , y por

— 1.

F igura 16-10

F ig . 1 6 -1 1 . E l e m e n t o d e v o l u m e n p a r a

es tablecer la ley de Gauss en forma dife

renc ia l .



584 Cam pos electromagnéticos estáticos (16.4

la ley de Gauss se obtiene

2-KCLí

= 0, ó

£

= 0. En consecuencia,

cuando la carga

está distribuida sobre la superficie de un cilindro, el campo eléctrico en sus puntos

interiores es nulo. P e r o

si la

carga es tá d i s t r ibu ida un i fo r meme n te sob re todo

el

vo lu

men del ci l indro C, encontramos que

l a

carga den t ro

de la

superficie S' es q '

=

XLr^/a

1

,

y l a l ey de G a u s s d a 2 T W L £ = q' ó

27re

0

a

a

De este modo

eí

campo eléctrico en un punto interior a un cilindro cargado de longitud

infinita

es

proporcional

a la

distancia

de l

punto

al eje.

16.4 Ley de Gauss en.forma diferencial

Hemos visto que la ley de Gauss puede aplicarse a superficies de cualquier forma.

Vamos a aplicarla a la superficie que rodea a un volumen inf initesimal de aristas

paralelas a los ejes

XYZ,

como se ilus tra en la fig. 16-11. Los lados del elemento

de volumen elemental son dx,

dy

y

dz .

El área de la superficie

ABCD

es

dy dz,

y el flujo eléctrico a través de ella es

£

dS

eos 8 = (£ eos 6) dy

dz

=

<f

x

dy dz,

ya que <fx = <? eos 6. El flujo a través de la cara

A'B'C'D'

t iene una expresión

similar pero es negativo porque el campo está dirigido hacia el interior del volu

men, o sea — <f'

x

dy dz.

El flujo total a través de estas dos superficies es la suma

(f

dy dz +

( — C

x

dy dz)

=

(<f

— <f;)

d y

dz.

Pero como la distancia A'A

= dx

entre las dos superf icies es muy pequeña,

la cantidad <f

x

—• C

x

es también muy pequeña y podemos escr ibi r

£x — €'x

=

d£

x

=

—^- dx,

dx

lo cual permite expresar el flujo total en la dirección X como

8£

x

, , , d£

x

dx

du dz

= dv.

dx

y

8x

La cantidad

dv

=

dx dy dz

es el volumen de la caja. Como se obtienen resultados

análogos para el flujo a través de las cuatro caras restantes del volumen elemental ,

el

flujo total

a través del mismo es

d<5

x

, 8é

g

, , 86

z

, / df

x

,

86„

d€

z

\

.

a>

6

= — — d v H *~dv -\

-dv

= I — - ~\

v

—

-] — j dv.

dx dy dz \ dx dy dz

/

Si dq es la carga eléctrica dentro del elemento de volumen, la ley de Gauss da

/ «o

a

¿ *

+

_£¿y_

+

Í £ i \ ,,„ _

dq

dx dy dz



16.4) Ley de Gauss en forma diferencial 585

Escribiendo dq = p dv en la expresión anterior , donde p es la densidad de carga

eléctr ica (o carga por unidad de volumen), y cancelando el factor común dv,

obtenemos

^

+

i^+iÉ _

=

JL-.

(16

.4)

8x 8y 8z

Esta es la ley de Gauss expresada en forma diferencial. La expresión en el primer

miembro de la

ec .

(16.4) se llama la divergencia de

<f,

abreviado div C, de modo

que la ley de Gauss se puede escribir en la forma compacta

div

C

= — . ( 16 .5 )

«o

El significado físico de la ley de Gauss en su forma diferencial es que relaciona

el campo eléctrico

€

en un punto del espacio con la dis tr ibución de carga, expre

sada por p, en el mismo punto; o sea que expresa una relación local entredós

cantidades físicas. De este modo podemos decir que las cargas eléctricas son las

fuentes del campo eléctr ico, y que su dis tr ibución y magnitud determinan el

campo eléctrico en cada punto del espacio.

EJEMPLO 16.5. Exp resar la ley de Gauss en función del potencial eléctrico.

Solución: Recordando que las componentes del campo eléctrico c~ se expresan en

función del potencial eléctrico

V

por C

x

= —

dV/dx

y con expresiones similares

para (

y

y

<f*

(ver ec. 14.27), podemos escribir

d c ~

x

8 ( 8V\ 8*V

\ 8x)

x dx \ 8x ) 3x

2

con resultados análogos para

t

y

y (',. Haciendo la sustitución en la ec. (16.4) obte

nemos otra expresión para la ley de Gauss:

8*V 8

2

V 8*V o

—- +

-^- - + JLL = E_ (16.6 )

8x

2

^

8y * 8z*

€

0

'

K ;

expresión llamada ecuación de Poisson. Podemos usar la ec. (16.6) para obtener

el potencial eléctrico cuando conocemos la distribución de cargas, y recíprocamente,

siempre que la distribución de cargas sea independiente del tiempo. En el espacio

libre, donde no hay c argas (p = 0), la ec. (16.5) se convierte en div c~ = 0 y la ec. (16.6)

nos da

8

í

V 8

1

V d

2

V x

—-

+ 4r- + Ar~ = 0 • (

16

-

7 )

dx

2

8y

2

8z

2

Esta ecuación se llama ecuación de

Laplace.

Es una de las ecuaciones más im portan tes

de la física matemática, y aparece en muchos problemas no incluidos en la teoría

del campo electromagnético, tales como en el movimiento de fluidos y en la elas

ticidad.

La expresión que aparece a la izquierda de las ees. (16.6) y (16.7) recibe el nombre

de laplaciano de V.



586 Campo s electromagnéticos estáticos

(16.4

EJEMPLO 16.6.

Ver if icar que el pote ncia l de una ca rga sat isface la ecua ción de

Laplace, ec. (16 .7) , en todos los puntos excepto en el or igen donde la carga está

s i t u a d a .

Solución: E l po tenc ia l de una carga pun tua l es V = q/A-xej-, según la ec. (14 .32) .

P e r o

r

a

= x

2

+ y

2

+ z

2

, d e modo que der ivando r espec to a x, t e n e m o s

2r 8r/8x = 2x ó Br/'dx = x/r.

Por cons igu ien te

d / 1 \ _ 1 8r jr_

8x \r) r

2

dx ~ r

3

y

8

2

í l \ 8 í x \ _ 1 3x

dx

2

\ r) ~ " 8x

V

r* ) r>

r

4

E n t o n c e s

• I V ( -

1

)

+

TVí

1

+

IV

1

---i

dx

2

\rj 8y

l

\r 1

dz

2

\ r I r

3

8r _ 1 3x

2

8x

~~ r>

r

5

3( x

2

+ y* + z

2

)

= 0.

Multip licando el resultado anter ior por <7/47ie

0)

ob tenemos la ec . ( 16 .7 ) . Nues t ro

m é t o d o m a t e m á t i c o n o e s v á l i d o p a r a r — 0 porq ue la función \jr t iende a in f in i to

c u a n d o r t iende a ce ro . En consecue nc ia ,

el or igen debe exclu irse de los cálculos .

v

y , Ad em ás, la ec. (16 .7) no es apli cab le a pu n

to s ocupados po r ca rgas .

V

2

EJEMPLO 16.7. Usand o la ecuac ión de

Lap lace , ob tener e l po tenc ia l e léc t r ico

y el ca mp o e léctr ico en la región vac ía

com pren d ida en t r e dos p lano s para le lo s ,

cargados a lo s po tenc ia les

V

y

F

2

.

Solución: La s ime t r ía de l p rob lem a sug ie

r e que e l campo debe depender só lo de

la coordenada x(f ig . 16-12) . Por consiguien

t e , como no hay cargas en e l espac io en t r e

lo s p lanos , debem os ap l ica r la ecuac ión de

Laplace, ec. (16 .7) , la cual da

d

2

V/dx

2

= 0.

Obsérvese que no usamos los s ímbolos de

der ivac ión parc ia l po rque só lo hay una

v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , x . I n t e g r a n d o ,

t e n e m o s dV ¡dx = cons t . Pero e l c am po

eléctrico es c~ —~ — dV/dx. C onclu imos

en tonces que e l campo e léc t r ico en t r e lo s

exp res ión

i' =

—

d V/dx,

t e n i e n d o p r e s e n t e

Fisrura 16-12

p lanos es cons tan te . I n teg rando la

que ¿ ' e s cons tan te , ob tenemos la s igu ien te ecuac ión

rv

rz tx

dV =-- — C dx = — c dx,

de la cual resulta V —

V\

= —

c~

(x — x,) ó V —

\\

—

c"(x

—

x^).

E s t o d e m u e s t r a

que e l po tenc ia l e léc t r ico varía l inea lmen te con la d i s tanc ia x. H a c i e n d o x = x

%

,

t e n e m o s V = \\. Po r lo ta n to

V,



16.5)

Polarización de la m ateria

587

d o n d e

d = x

%

— •

x

x

. Es tos re su l t ados e s tán de acue rdo con nues t ra d i s cus ión hecha

en la sección 14.8, que condujo a ia ec . (14.31),

EJEMPLO 16.8.

Reso lve r e l m ism o pro b lem a del e jem plo 16 .7 , supo niend o que hay a

una d i s t r ibu c ión un i fo rm e de ca rga en t re los p lan os . Es ta s i tuac ió n pue de en con

t ra rs e , por e jem plo , en t re l a s p lacas de un tubo e lec t rón ico .

Solución:

Ah ora debe m os ap l i ca r la ecuac ión de P o i s son , ec . (16 .6 ) . Debi do a l a

s i m e t r í a d el p r o b l e m a , e l p o t e n c i a l d e p e n d e s o l a m e n t e d e la c o o r d e n a d a x , y p o d e m o s

escribir d

2

V/dx

2

= —

p/e„,

con

p

= c o n s t. I n t e g r a n d o , t e n e m o s

lo cual

dV

dx

o sea

dV

d a

/

dV

{ dx

— £

J

- ) .

x

x

d x

2

= 1 ,

--?-(r

s, v

( X —

Xj)

dx

• * i ) ,

(16.8)

d o n d e

¿\

= — (dV/dx)x=x

t

e s e l cam po

eléctr ico en e l pun to x =

x

x

.

C o m o

£'

=

•—• d V/dx,

e l cam po en t re los p lanos e s

£

c\

+

~

(x —

i , )

,

Figura 16-13

lo cua l dem ues t ra que e l cam po e léc t r i co va r ía l inea lm ente con

x,

com o se i lus t ra

en la fig. 16-13. In tegrando de nuevo la ec . 16 .8 ,

el potencia l eléctrico en función

de x es

rv rx

px

dV = — c fjdx — — ( x — x

x

)

J V,

J x,

€

» J x,

dx

o sea (16.9)

V , — £

1

(x — x,) •

2e

0

( s — Z i )

1

,

Ahora e l po tenc ia l e léc t r i co va r ía con e l cuadrado de x , com o se m ues t ra en l a f i

g u r a 16-13. L a c a n t i d a d

c",

p u e d e d e t e r m i n a r s e h a c i e n d o x = x

2

; se t iene

V

2

=

V ,

—

í ,

(x

2

-

de donde s e despe ja

£

v

•*i )

—

( p / 2 e

0

) ( x

2

—

x ^

2

,

16.5 Po larización de la materia

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a d i s c u t i r e l e f e c t o q u e u n c a m p o e l é c t r i c o p r o d u c e s o b r e

u n a p o r c i ó n d e m a t e r i a . R e c o r d e m o s q u e l o s á t o m o s n o t i e n e n m o m e n t o s d i p o -

lares

e l é c t r i c o s p e r m a n e n t e s d e b i d o a s u s i m e t r í a e s f é r i c a , p e r o c u a n d o s e c o l o c a n



588 Cam pos electromagnéticos estático (16,5

en un campo eléctrico se polarizan, adquiriendo momentos dipolares eléctricos

inducidos en la dirección de campo. Fisto es una consecuencia de la perturbación

del movimiento de los electrones producida por el

campo

eléctrico aplicado (ver

sección 14.11).

Por otra parte, muchas moléculas presentan momentos dipolares eléctr icos

permanentes. Cuando una molécula t iene un momento

diputar

eléctr ico permanente,

tiende a orientarse paralelamente, al campo aplicado, porque sobre ella se ejerce

un torque (dado por la

ec .

14.50). Corso consecuencia de estos dos efectos, una

porción de material colocada en un campo eléctrico se

polariza.

Es decir, sus

Fig. 16-14. Polarización de la ma teria por un campo eléctrico.

moléculas o átomos se convierten en dipolos eléctricos orientados en la dirección

del campo eléctrico local (fig. 16-14), sea debido a la distorsión del movimiento

electrónico, sea a la orientación de sus dipoios permanentes. Un medio que puede

polarizarse en un campo eléctrico se llama dielécfrico. La polarización da luga r

a una carga neta positiva sobre un lado de la porción de materia y a una carga

neta negativa sobre el lado opuesto. De este modo la porción de materia se con

vierte en un gran dipolo eléctrico que tiende a moverse en la dirección en que

el campo aumenta, como se estudió en la sección

14.11.

Esto explica el fenómeno

descrito en la sección 14.1 por el cual una varilla de vidrio electrizada o un peine

atraen pequeños pedazos de papel o esferitas de corcho.

La polarización 'J> de un m ateria l se define como el mo me nto dipo lar eléctrico

del medio por unidad de volumen. Por lo tanto, s i p es el momento dipolar indu

cido en cada átomo o molécula y n es el número de átomos o moléculas por uni

dad de volumen, la polarización es P — np. En general,

r

J>

es proporcional al



16.5)

Polarización de la materia

589

campo eléctrico aplicado

f.

Como .7* se mide en (C m) m~

3

= C m

-2

, o carga por

unidad de área, y de la ec. (14.8), e

0

¿' se mide también en C m~

2

, es costumbre

escribir

•P = Xe«o<

í

'-

(16.10)

La cant idad *

e

se llama susceptibilidad eléctrica del ma terial . E ste es un núm ero

pur o . Para la mayoría de las sustancias , es ta cantidad es positiva.

Consideremos ahora una porción de material de espesor l y superficie S colocada

perpendicularmente a un campo uniforme (fig. 16-15). La polarización

r

P,

siendo

paralela a ¿*, es también perpendicular a S. El volumen de la rebanada es IS,

y por consiguiente su momento dipolar eléctrico es

r

.P(lS)

=

(CPS) .

Pero

/

es pre

cisamente la separación entre las cargas positivas y negativas que aparecen sobre

Fig. 16-15.

rizado.

Porción de material pola-

Fig. 16-16. El campo eléctrico dentro

de un conductor es nulo.

las dos superficies. Como por definición el momento dipolar eléctrico es igual a

la carga multiplicada por la distancia, concluimos que la carga eléctrica que apa

rece sobre cada superficie es J>S y por consiguiente, la carga por unidad de área

era» sobre las caras del material polarizado es

r

J

>

, ó <r<? =

7> .

Aunque es te resu l tado

se ha obtenido para una disposición geométrica particular , t iene validez general, y

la carga por unidad de área sobre la superficie de una porción de

materia polarizada es igual a la componente de la polarización

r

.P

en la dirección de la normal a la superficie del cuerpo.

Así, en la fig. 16-14, la carga por unidad de área sobre la superficie en A es

•j>

N

=

:¡> eos

o.

Algunos materiales , como la mayoría de los metales , contienen partículas

cargadas que pueden moverse más o menos libremente a través del medio. Estos

materiales reciben el nombre de conductores. En presencia de un cam po eléctrico



590 Camp os electromagnéticos estáticos

(16.5

é s t o s t a m b i é n se po la r izan , pero de un modo que d i f ie r e esenc ia lmen te de lo s

d ie léc t r icos . A menos que se saquen en fo rma ap rop iada , l as ca rgas móv i les en

u n c o n d u c t o r s e a c u m u l a n s o b r e l a s u p e r f i c i e h a s t a q u e e l c a m p o q u e p r o d u c e n

i g u a l a c o m p l e t a m e n t e a l c a m p o e x t e r n o a p l i c a d o dentro d e l c o n d u c t o r , p r o d u

c iendo po r lo tan to equ i l ib r io ( t ig . 16 -16 ) . C onc lu imos , en tonces , que en el interior

de un conductor que está en equilibrio eléctrico,

el

campo eléctrico es nulo. Por la

m i s m a r a z ó n ,

el campo eléctrico en la superficie debe ser normal,

y a q u e s i t u v i e r a

un a componen te para le la , l as ca rgas se mover ían sob re la super f ic ie de l con

d u c t o r . A d e m á s , d e b i d o a q u e el c a m p o e n ei in te r io r de l conduc to r es ce ro ,

iodos los puntos de un conductor en equilibrio eléctrico deben estar al mismo potencial.

Vacío

s=o

Adentro

E =

Capa

superficial

E =

Afuera

F i g .

16-17. El cam po eléctr ico en la

superf icie de un conductor es normal

a la superficie.

F lg .

16 -18 . Var iac ión de l cam po e léc

tr ico al cruzar la superf icie de un con

duc to r .

S i e l cam po e léc t r ico en e l in te r io r de un co ndu c to r es nu lo , t enem os ta m b i én

que d iv

¿'

=- 0 , y por lo ta nt o la ley de Gaus s en su forma difere ncia l , ec. (16 .5)

da

p =

0 ; en consecuenc ia la dens idad de carga en e l vo lumen de l conduc to r es

ce ro .

Es to s ign i f ica que toda

la carga eléctrica de un conductor en equilibrio está

sobre su superficie. C on es ta p ropos ic ió n quere mo s s ign i f ica r que la ca rga ne t a es tá

d is t r ibu ida sob re una super f ic ie con un espeso r de var ias capas a tómicas , no

sob re una super f ic ie geométr ica .

EJEMPLO 16.9. Re laci ona r el ca mp o eléctr ico en un pu nt o de la superf icie de un

conducto r con la ca rga eléctrica en la superficie.

Solución: C ons ideremos un conduc to r de fo rma a rb i t r a r i a , como e l de la f ig . 16-17 .

Para ha l la r e l campo e léc t r ico en un pun to inmed ia tamen te fuera de la super f ic ie

de l conduc to r , cons t ru imos una super f ic ie c i l ind r ica p lana semejan te a una ca ja

de p i ldo ras , con una base inmed ia tamen te fuera de la super f ic ie y la o t r a a una p ro

fundidad tal que toda la carga de la superf icie quede dentro del ci l indro y podamos

decir que el campo eléctr ico en un punto de esa base es cero . El f lu jo eléctr ico a

través de la superf icie consta de tres términos. El f lu jo a través de la base que está

dentro del conductor es cero porque el campo es cero . El f lu jo a través de la superf icie

la te r a l es nu lo po rque e l campo es tangen te a es ta super f ic ie . En consecuenc ia r es ta



16.6)

Desplazamiento eléctrico 591

sólo el flujo a través de la base externa. Si S es el área de esa base, tenemos Os =

¿S.

Por otra parte, si

a

es la densidad de carga dei conductor, la carga dentro del cilindro

es q = oS. Por consiguiente, aplicando la ley de Gauss, c~S — aS/e

0

o

£ = o/«

0

. (16.11)

Esto da el campo

eléctrico

en un punto inmediatamente fuera de la superficie de

un conductor cargado, mientras que el campo eléctrico en el interior es nulo. Por

lo tanto, al atravesar la superficie de un conductor cargado, el campo eléctrico varía

del modo ilustrado en la fig. 16-18.

EJEMPLO 16.10. Ha llar la fuerza por unid ad de área ejercida sobre las cargas

de la superficie de un conductor.

Solución: Las cargas en la superficie de un conductor están sometidas a una fuerza

repulsiva debido a las otras cargas. La fuerza por unidad de área o esfuerzo eléctrico,

puede calcularse multiplicando el valor promedio del campo eléctrico por la carga

por unidad de área. El campo promedio es, según la fig. 16-18, ? = <r/2e

0

. Luego

el esfuerzo eléctrico es

F. =

a?

= a72e

0

cantidad siempre positiva, ya que depende de

a*

y por lo tanto corresponde a un a

fuerza que impulsa a las cargas fuera del conductor.

16.6 Desplazamiento eléctrico

En la sección precedente vimos que un dieléctr ico polarizado tiene ciertas cargas

sobre su superficie (y también, a menos que su polarización sea uniforme, en

todo su volumen). Estas cargas de polarización, s in embargo, están "congeladas"

en el sentido que están ligadas a átomos o moléculas determinadas y no son

libres de moverse a través del dieléctr ico. En otros materiales tales como un

metal o un gas ionizado, puede haber cargas eléctr icas capaces de moverse a

través del material , por lo cual las l lamaremos cargas libres. En muchas c i rcuns

tancias , como en esta sección, tendremos que dis tinguir claramente entre cargas

libres y cargas de polarización.

Fig. 16-19. Dieléctrico colocado entre

placas con cargas opuestas. Las cargas

de las plac as son c argas libres y las car

gas de la superficie del dieléctrico soncargas de polarización.



59 2

Campos

electromagnéticos estáticos (16.6

Consideremos de nuevo una porción de un material dieléctrico colocado entre

dos placas conductoras paralelas (fig. 16-19), conteniendo cargas libres iguales

y opuestas. La densidad de carga superficial sobre la placa izquierda es -f-

ojibre

y

sobre la placa de la derecha es — ^jibre- Estas cargas producen un campo eléctrico

que polariza el material de modo que aparecen cargas de polarización sobre cada

superficie del mismo. Estas cargas de polarización tienen signos opuestos a los

de las cargas sobre las placas. Por consiguiente las cargas de polarización sobre

las caras del dieléctrico equilibran parcialmente a las cargas libres de las placas

conductoras . Siendo

J>

el módulo de la polarización en el material, la densidad

superficial de carga sobre la cara izquierda del mismo es —'j>, mientras que

sobre la cara de la derecha es 4-

5-

1

.

La densidad de carga superficial efectiva o

neta a la izquierda es <r == ffübre—'.?, con un resultado igual y opuesto a la de

recha. Estas cargas superficiales netas dan lugar a un campo eléctr ico uniforme

que ,

en conformidad con la

ec .

(16.11), está dado por ¿ = cr/e

0

. De este modo,

usando el valor efectivo de a, tenemos

£ = («Tlibre — I?) Ó CTjibre = «o ¿ + '?'

expresión que da las cargas libres sobre la superficie de un conductor rodeado

por un dieléctrico en función del campo eléctrico en el dieléctrico y de la polari

zación del mismo. Cuando observamos que, en el caso que estamos estudiando,

£ y

.P

son vectores en la mism a d irección, los resu ltad os an terio res sugieren la

conveniencia de introducir un nuevo vector, l lamado

desplazamiento eléctrico,

definido por

I) = e

0

C + J>.

(16.12)

Obviamente, 7) se expresa en C m~

2

, ya que éstas son las unidades de las canti

dades que aparecen en el segundo miembro de la ec. (16.12). Para el caso especial

que estamos considerando, encontramos que <7ubre = '7 ) ; o sea que las cargas

libres por unidad de área en la superficie del conductor son iguales al despla

zamiento

eléctrico

en el dieléctr ico. Este resultado tiene validez general y puede

extenderse a conductores de cualquier forma. Por consiguiente

la componente de

r

Z) según la normal a la superficie de un c onductor sume rgido en un dieléctrico da

la densidad de carga superficial en el conductor. Esto es

<T)ibre = D • M.V.

mientras que la componente normal de í

0

£ da la carga efectiva o neta, tomando

en consideración la compensación debida a las cargas en la superficie del die

léctr ico; o sea:

a

—

e

a

£-UN.

La carga libre total en el conductor es entonces

?libre

= y

5

ff

libre

dS

=

j 7> -

U

N

dS =

í > ^ .

(16.13)

Un anális is más detallado, que omitiremos, indica que

el flujo de

1)

a través de

cualquier superficie cerrada es igual a la carga total "libre" en el interior de la su-



ífí.7) Cálculo de la susceptibilidad eléctrica 593

perficie, excluyendo todas las cargas debidas a la polarización del medio. Por lo

tanto la ec. (16.13) es válida

en

general para cualquier superficie cerrada.

Para casos en

ios

cuales la ec. (16.10) es válida, podemos escribir

D

=

€

0

¿:

+

€

oZ

,¿ :

= (i +

xe)c

n

c = e¿ \

(16.14)

donde el coeficiente

€ - —

- =( l +X f ) eo (16.15)

c

se llama permitividad

del

medio, y se expresa en las mismas unidades que e

0

;

esto es, m~

3

k g

- 1

s

2

C

2

. La permitividad relativa se define como

€r

=

e

/ í

0

= 1 +

Xe

. (16.16)

y es un número puro, independiente del s is tema de unidades. La permitividad

relativa se l lama

constante dieléctrica.

Para la mayoría de las sustancias es mayor

que la unidad.

Cuando la relación <3) =

tC

vale para un medio, podem os escribir la ec. (16.13)

como <7Hbre =

$s

«¿ ' • « N dS y, si el medio es homogéneo de modo que e sea cons

tan te ,

$

s

= <>

£-U

N

dS

= 9Kbre/e. (16.17)

Comparando la ec. (16.17) con la ec. (16.3) vemos que

el efecto del dieléctrico

sobre el campo eléctrico

C

es reemplazar e

0

por

e

si sólo se

consideran

las

cargas

libres. Por consiguiente el campo y el potencial eléctricos

producidos por una

carga puntual inmersa en un dieléctrico son

C

=

- ^ Y

«r y V =

- i - .

(16.18)

4v:f.r

¿

47rer

El

módulo

de la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales inmersas

en un dieléctrico es entonces

F

=

_ M ? _ .

(16.19)

4-rcer

2

Como e es en general mayor que

e

0

,

la presencia del dieléctrico produce una

reducción efectiva de la interacción porque la polarización de las moléculas del

dieléctrico hace de pantalla.

16.7 Cálculo de la susceptibilidad eléctrica

La susceptibilidad eléctrica xe , que describe la respuesta de un

medio a

la acción

de un campo eléctr ico externo, es tá evidentemente relacionada con las propie

dades de los átomos y moléculas del medio. En esta sección describiremos bre-



594 Camp os electromagnéticos estáticos (16.7

vemente

cómo esta cantidad, de carácter macroscópico, es tá relacionada con

las propiedades atómicas del medio.

Hemos explicado previamente que un átomo colocado en un campo eléctr ico

se polariza debido al desplazamiento relativo de las cargas positivas y negativas.

Si p es el momento dipolar eléctrico inducido en el átomo por un campo externo

<f,

podemos suponer que p es proporciona a c', resultado confirmado por expe

rimentos, y escribir

p =

« „ £ ' ,

(16.20)

donde « es una constante caracterís tica de cada átomo, l lamada

polarizabilidüd;

se expresa en m

3

. La constante e

0

se escribe en la ecuación explícitamente por

conveniencia. Si hay n átomos o moléculas por unidad de volumen, la polariza

ción

de '

medio es .fi — np ~-

nxe

n

(\

Esta ecuación, com parada con la

ec .

(18.10),

da para susceptibilida d eléctrica

de

mater ia l* x? = na.

De este modo el cálculo de la susceptibilidad eléctrica se reduce al cálculo de

Ja

pularizabilidad

de los átomos (o moléculas) de la sustancia. Esto conduce a

determinar el efecto de un campo externo

sobre

el movimiento de los electrones

en el áto mo . Pero eso a su vez requiere que teng am os información deta llad a

acerca del movimiento electrónico en un átomo. Este movimiento s igue las leyes

de la mecánica cuántica y el cálculo del efecto perturbador del campo eléctrico

externo está fuera del objeto de este libro. Por ello presentaremos solamente los

resultados más importantes , dis tinguiendo el efecto sobre las sustancias no polares

de

de las sustancias polares.

(a) E¡ecto de distorsión. Cuando las moléculas de una sustancia no tienen mo

mento dipolar eléctr ico permanente, la polar 'zacíón proviene enteramente del

efecto de distorsión producido por el campo eléctrico sobre las órbitas electró

nicas. Podemos describir este efecto corno un desplazamiento del centro de la

distribución de cargas electrónicas con respecto al núcleo. Esto da como resultado

un dipolo eléctrico inducido que, en átomos y en muchas moléculas, es paralelo

al campo eléctrico aplicado.

Cada átomo o molécula tiene una serie de frecuencias características w,, w

2

, o>

3

,. . .

que corresponden a las frecuencias de la radiación electromagnética que la

sus

tancia puede absorber o emitir . Estas frecuencias constituyen el espectro electro

magnético de la sustancia. Cuando el campo eléctrico es constante, la polariza-

bilidad atómica se llama polarizabilidüd estática

y

está dada por la expresión

24- 0

6

- 2 1 )

ef/Ue

O í ;

* Rigurosamente habl ando , cuando se escr ibe l a ec , (16 .20) para un á tomo o molécula que está

inmerso en un medio mater i a y no a i s l ado , e) c a m p o eléctrico que aparece en e l segundo miem

bro de ia ecuación debe ser el campo eléct rico resul tante en el medio menos el campo eléct rico

producido por e l mi smo á tomo. Cuando se i nc luye es t a correcc ión , la re l ac ión en t re y_

e

y a se

convier t e

c-

/

e

= na/(l — na/3) . Sin emb argo , para l a may or í a de los mater i a l es (pr inc ip a lmen te

gases), la relación y

e

— na es una buen a ap roxim ación .



16.7)

Cálculo de la susceptibilidad eléctrica 59¿

donde w representa cualquier frecuencia del espectro electromagnético y la suma

se extiende a todas las frecuencias . Las cantidades s imbolizadas por

f<

se l laman

intensidades de oscilación de la sustancia. Todas ellas son positivas y menores

que uno, y representan la proporción relativa con que cada una de las frecuencias

del espectro contribuye a la polarizabilidad del átomo. Ellas satisfacen la relación

Zifi — 1. Las otras cantid ades de la

ec .

(16.21) tienen sus significados usuales.

Puede constituir un enigma para el es tudiante el hecho de que una frecuencia

co¡ esté asociada con un efecto producido por un cam po est ático . Su presencia

puede, s in embargo, justif icarse usando un modelo fenomenológico muy simple,

como se indica en el ejemplo

16.11.

Usando la relación Xe —

no£

>

encontramos que la susceptibilidad eléctr ica es

tática es

ne<

X e

«o "

1

*

2

n

n

3,19

x K P n V - í i -

(16.22)

Esta expresión relaciona una propiedad macroscópica, xe , con las propiedades

atómicas n, co¡ y f¡ , de la sustancia. Veamos hasta dónde nuestros resultados

están de acuerdo con los experimentos. Si la radiación del átomo está en la re

gión visible, las frecuencias <o{ son del orden de 5 x

10

15

s

-1

, de modo que la

sumatoria que aparece en la ec. (16.22) es del orden de 4 x 10"

32

. Además , n

es del orden de 10

28

átomos por metro cúbico para la mayoría de los sólidos y

líquidos y cerca de

10

25

á tomos /m

3

para gases en condiciones normales . Por con

siguiente la ec. (16.22) muestra que la susceptibilidad eléctrica estática x« de

materiales no polares que radian en la región visible es del orden de 10° (o uno)

para sólidos y

10

-3

para gases . Como nuestras estimaciones no han s ido cuidado

sas,

no podemos esperar una reproducción precisa de los resultados experimentales .

Sin embargo, la comparación con los valores experimentales de la susceptibilidad

eléctr ica para unos pocos materiales , como los dados en la tabla 16-1, muestra

conformidad en cuanto al orden de magnitud.

TABLA 16-1 Susceptibilidades eléctricas a temperatura ambiente

S u s t a n c i a

Sólidos

m i c a

porce lana

v id r io

b a q u e l i t a

Líquidos

aceite

t r e m e n t i n a

benceno

alcohol (et í l ico)

a g u a

x*

5

6

8

4,7

1,1

1,2

1,84

24

78

S u s t a n c i a

Gases*

h id rógeno

helio

n i t rógeno

ox ígeno

argón

óx ido de carbono

vapor de agua

aire

a i r e (100 atm)

X«

5,0 x 10-*

0,6 x

lO "

4

5,5 x 10"*

5,0 x 10"«

5,2 x

10- '

9,2 x 10-*

7,0 x

10 "

3

5,4 x 10-*

5,5 x

lO -

2

•A 1 atm y 20°C




(16.7

La discusión previa tiene valor sólo para campos estacionarios. Si un campo

depende del tiempo, debemos esperar un resultado diferente para la polarizabi

lidad atómica, llamada en este caso polarizabilidad dinámica, porque la distorsión

del movimiento electrónico bajo un campo dependiente del tiempo será obvia

mente diferente de la producida por campos estacionarios. Supongamos que el

campo oscila con una frecuencia definida Oí. Este campo

oscilatorio

superpondrá

una perturbación oscilatoria al movimiento natural de los electrones que es aná

loga a la oscilación forzada estudiada en la sección 12.13. Cuando no se toma en

cuenta el amortiguamiento, el resultado del cálculo, usando las técnicas de la

mecánica c uántic a, da. para la susceptibilidad dinám ica

ne

X.e

e

0

;n

c

^

fi

(16.23)

donde todas las cantidades tienen el significado ya establecido. Una justificación

íenomenológica simple de este resultado se da en el ejemplo

16.11.

Obsérvese

que el resultado dinámico (16.23), se reduce al caso estacionario,

ec .

(16.22),

si

o

= 0.

La constante dieléctrica o permitividad relativa del medio es, usando la ec. (16.23)

para el caso dinámico,

«r = 1 + & = 1 +

ne'

V"e

2

i

fi

(16.24)

Si hiciéramos el

gráfico

de

e

r

en función de

u,

hallaríamos que

e

r

es infinita para

o>

igual a c ada una de las frecuencias

características

oi¡, en contradicción con lo

que se observa. Este resultado no es físico y se origina en el hecho de que hemos

excluido el amortiguamiento al hacer los cálculos de la susceptibilidad dinámica.

Fig. 16-20. Variación de la perm itivida d relati va en función de la frecuencia

del campo eléctrico.



¿6.7) Cálculo de la. susceptibilidad eléctrica 597

Este amortiguamiento no se debe al movimiento del electrón en un fluido viscoso,

sino que tiene un origen diferente. Corresponde a la energía que el electrón pierde

por radiación como consecuencia de las oscilaciones forzadas. (Esto se explicará

en la sección 19.4).

La variación observada de e> en función de « se ilustra en la fig. 16-20. El dia

grama se

repite

para las frecuencias caracterís ticas

a

v

&>

2

, o>

3

, . . . de cada sus

tancia. Esta variación tiene gran influencia en el comportamiento óptico y eléctr ico

de la sustancia,

(b ) Moléculas con momento dipolar permanente. Las polarizabilidades obte nida s

con las ees. (16.22) y (16.23) son " inducidas" porque resultan de la dis tors ión

del movimiento electrónico por un campo externo. Sin embargo, cuando exis te

un dipolo eléctr ico permanente, entra en juego otro efecto. Consideremos un gas

polar cuyas moléculas t ienen un momento dipolar permanente p

0

. En ausencia

'SU

W -

(a )

Cam]

7/

po nulo

^

(b) Cam po e l éc t r i co

s in i n t e racc iones

molecul ares

(c) Campo eléctrico

con interacciones

moleculares

Fig.

16-21.

Orientación de los dipolos eléctricos en un campo eléctrico.

de un campo eléctr ico externo, es tos momentos dipolares se orientan al azar y

no se observa un momento dipolar colectivo o macroscópico (fig. 16-21). Pero

cuando se aplica un campo eléctr ico estacionario, és te t iende a orientar todos los

dipolos eléctricos en la dirección del campo. Este alineamiento sería perfecto en

ausencia de las interacciones moleculares (fig. 16.21b); pero las colisiones entre

las moléculas t ienden a desordenar los dipolos eléctr icos. El desorden no es com

pleto porque el campo eléctr ico aplicado hace que los dipolos t iendan a orientarse

predominantemente en la dirección del campo (fig. 16.21c). Como resultado, el

valor medio de la componente paralela al campo eléctr ico del momento dipolar

de una molécula está dado por

- -

P o

<

c

,

(16.25)

3/cT

donde k es la constante de Boltzmann, definida por la

ec .

(9.60), y T es la tempe

ratura absoluta del gas . Obsérvese que p d isminuye cuando la temperatura

aumenta. Esta dependencia de la temperatura se debe a que la agitación mo

lecular aumenta con la temperatura ; cuanto más ráp ido se mueven las moléculas




más efectivamente vencen el efecto de alineamiento del campo eléctrico aplicado.

Esto ocasiona una disminución en el promedio del momento dipolar según la

dirección del campo.

Comparando la

ec.

(16,25) con la

ec .

(16.20), obtenemos el promedio o pola-

rizabilidad efectiva de una molécula como a = pl¡3e

0

kT y. si hay n moléculas

por unidad de volumen, la susceptibilidad efectiva xe =

n

* es

Xe

= - ^ V >

(16-26)

-

e

0

A

€

n

kT

resultado conocido como fórmula de Langeinn. Los mementos dipolares eléctricos

de las moléculas son del orden de mag nitu d de ia carga electrónica (1,6 x l(r

1 9

C)

multiplicada por la dimensión de la molécula

Í10""

10

m) o cerca de 1CT

30

C m

(re

cordar la tabla 14-1). Introduciendo ios valores de las otras constantes en la

ec .

(16.26). tenemos que, a temperatura ambiente (T — 298

C

K ), la susceptibi

lidad eléctrica de una sustancia compuesta de moléculas polares es también del

'¡rcien ele 0° (o uno) para los sólidos v M.r

s

para ios gases, lo cual está en c.on-

¿onnídad con los valores de muchos

Sfi^n-

polares.

Debemos

observar que ia

s'iseeptíbDidid eléctrica

debida a la orientación de

nioJécnlas con momentos dipolares peimanenles es inversamente proporcional a

ia temperatura

absolu ta ,

mientras que ia susceptibilidad eléctrica inducida deluda

a la distorsión del movimiento electrónico en átomos o moléculas, ec. (16.22),

es fa< -;'amenta.lmente independiente de ía. ' temperatura, exceptuando que

n

varia

ton la misma debido a la expansión térmica. Esto ofrece un medio de separar

los dos efectos experimentalmente. Midiendo /

e

a temp eraturas d i feren tes obte n

dremos una dependencia de la temperatura de la forma

Xe = A + — .

Un resultado más complejo se obtiene cuando el campo eléctrico depende del

tiempo.

Una clase especial de sustancias llamadas

ferroeléctricas

presenta una polari

zación permanente en ausencia de un campo eléctrico externo; esto sugiere que

los dipolos permanentes de sus moléculas tienen una tendencia natural a alinearse.

Este alineamiento probablemente resulta de las interacciones mutuas de las mo

léculas, las cuales producen intensos campos locales que lo favorecen. Entre estas

sustancias mencionaremos BaTi0

3

, KNh.O

a

y L iTa0

3

. Una de las sustancias ferro-

eléctricas más antiguamente conocida es la sal de Rochelle: NaK(C

4

H

4

0

6

) -4 H

2

0 .

EJEMPLO 1C.11. Discutir la polarización de un átomo en un campo eléctrico

externo.

Solución: En este ejemplo intentaremos, usando un modelo muy simplificado y

fenomenológico, determinar el efecto que un campo eléctrico externo produce

sobre el movimiento de los electrones en los átomos.

Supongamos que, cuando el centro del movimiento electrónico se desplaza una

distancia x con respecto al núcleo, una fuerza media —kx actúa sobre el electrón,



6-'í) í'.ál'-ulo de hi susceptibilidad eléctrica 599

H caá t iende a r es tau rar lo a su pos ic ión no rm al ; el equ i l ib r io r equ ie r e que e s ta

íistr>:.a sea ig ua l p. la fu erza

- - - ? '

deb ida a i campo e léc t r ico ap l icado . Luego —kx —

(••' •=•-• 0 ó x -=

f:,íC.

F.l s igno menos ind ica que la ó rb i ta de l e lec t rón se desp laza

i.n sentido opuesto ai del campo f ik-ctr ico , F,I m om en to eléc tr ico ind uc id o en el át o m o

p o r la per tu rbac ión de l mov imien to e lec t rón ico es p -- —e x = {e^/ky, y de es t a

manera t i e n e la m i s m a d i r e c c i ó n q u e e l c a m p o e l é c t r i c o . P o d e m o s e x p r e s a r e s t a r e

lación de una

manera

l igeramen te d i f e r en te asoc iando una f r ecuenc ia

w

0

con la

constante k, ta l com o ap are ce en la ec. (12 .8); est o es A- =-• m

e

co§. E n t o n c e s e n f o r m a

vec to r ia l

P

=

-?- e.

m

e

t¿>l

Comparando es te r esu l tado con la def in ic ión dada en la ec . ( 16 .20 ) , t enemos que

la

polanzabilidad

a tómica para es te modelo s imp le es

j^

Usando la r e lac ión X' —

Jr,a

> e n c o n t r a m o s q u e l a p o l a r i z a b i l i d a d e l é c t r i c a e s t á t i c a e s

Xe = — ^ V = (3,19 x

W) ~

. (16.27)

Comeas <o

Para que nues t ro modelo tenga s ign i f icado f í s ico , debemos iden t i f ica r la f r ecuenc ia

to

0

con a lguna p rop iedad a tómica . S i e l campo

C

s e e l i m i n a , p o d e m o s d e c i r q u e , u s a n d o

las

iders

expues tas en e l cap i tu lo 12 , la fuerza r es tau rado ra

—kx

s u p e r p o n e s o b r e

e l mov imien to na tu ra l de l e lec t rón , una o sc i lac ión de f r ecuenc ia <o

0

. M á s a d e l a n t e ,

en el cap í tu lo 19 , p roba rem os que una carg a o sc i lan te r ad i a energ ía . As í , pode mo s

iden t i f ica r

c>

0

con la fr ecuenc ia de la r ad iac ión em i t ida po r el á tom o . Po r lo ta n t o ,

s i el espectro de la sustancia contiene sólo una f recuencia co

0

, n u e s t r o m o d e l o c o i n c i d e

bás icamen te con la ec . ( 16 .21 ) .

C ons ideremos aho ra e l caso en e l cua l e l campo e léc t r ico ap l icado var ía con e l

tiempo según c

r

= e s co s co / . E n t o n c e s es r a z o n a b l e s u p o n e r q u e h a y u n a p e r t u r b a c i ó n

o s c i l a t o r i a s u p e r p u e s t a a l m o v i m i e n t o n a t u r a l d e l e l e c t r ó n , r e s u l t a n d o l a s i g u i e n t e

ecuac ión de mov imien to :

dix

—kx — et

0

eos vt, (16.28)

dP

donde e l ú l t imo té rmino co r r esponde a la fuerza deb ida a l campo osc i lan te . Hac iendo

k

=

mcuj

podemos escr ib i r l a ecuac ión an te r io r en la fo rma

d

*

x

+ <¿lx = ^ 2 - eos coi. (16.29)

dP ' m

e

Esta ecuación es s imilar a la ec. (12 .56) para las oscilaciones forzadas de un oscilador

am or t ig uad o . La p r inc ipa l d i f e r enc ia es tá , s in emb arg o , en que en la ec . ( 16 .29 ) no

ha y té rm ino de am or t igua c ión . D ebem os suponer una so luc ión de la fo rm a x — A

cós col, la cua l , cuando se su s t i tuye en la ec . ( 16 .29 ) , da A =

— e < V ( " o —

w

1

)- P o r

cons igu ien te

t

6

X = ; (

B

COS (OÍ = — ;

(?,

777e(co

0

2

—

u

2

)

me( tü¿ — co»)

y a q u e

í

=

<f

e

eos coi.

El d ipolo eléctr ico inducido es

/n

e

(c o

0

2

— co

2

)

•<f.



600 Campos electromagnéticos estáticos 16.8

(10.30)

de donde obtenemos la polarizabilidad dinámica del átomo como

e*

íoWleOo

—

Oi

2

)

Para obtener la susceptibilidad dinámica, usamos de nuevo la relación x« =

nx

>

y

encontramos que

/ l e "

Xtídtnámica) = ~— ;— , ( 1 6 . 3 1 )

€„íne(<Oo — u>

1

)

que es esencialmente idén tica a la

ec.

(16.23) si hay sólo la frecuencia

M

0

en el espectro

electromagnético de la sustancia. Una vez más observamos que nuestro burdo

modelo fenomenológico no puede dar resultados precisos. Una de las razones es

que, como en el caso estático, estamos suponiendo una frecuencia única

w

0

- Otra

razón es que estamos ignorando el hecho de que el movimiento del electrón sigue

las leyes de la mecánica cuántica y no las de la mecánica newtoniana.

16.S Capacitancia; capacitores

Hemos probado (sección

14.8)

que el potencial eléctrico en la superficie de una

esfera de radio

R

y carga

Q

es V* =

Qj-iiteoR.

Si la esfera está rodeada por un

dieléctr ico, tendremos en su lugar , reemplazando

€

0

por e,

n

4n

e

R

La relación QjV para la esfera es entonces 4-neR, que es una cantidad constante

independiente de la carga Q. Esto es comprensible porque si el potencial es pro

porcional a la carga que lo produce, la razón de las dos debe ser una constante.

Esta últ ima proposición es válida para todo conductor cargado cualquiera que

sea su forma geométrica. En consecuencia, la capacitancia de un conductor ais

lado se define como el cociente entre su carga y su potencial,

C = ^-.

(16.32)

La capacitancia de un conductor esfér ico es, como hemos indicado,

C =

3L =

AneR.

V

Si la esfera está rodeada por el vacío en lugar de un dieléctrico, tenemos para

su capacitancia C = 4w e . Por consiguiente, rodea r una esfera, y en g eneral

cualquier conductor , con un dieléctr ico, aumenta su capacitancia en el factor

e/e

0

. Esto se debe al efecto de pantalla que hacen las cargas opuestas que se

han inducido sobre la superf icie del dieléctr ico adyacente al conductor . Estas

cargas reducen la carga efectiva del conductor disminuyendo su potencial en el

mismo factor .



. » « < •

laaíiir.

,

cuíiatuor

601

La

capacitancia

de un conductor se expresa

en

C

V " \

unidad l lamada farad

(abreviado F) en honor de Michael Faraday. El farad se define como 3a capa

citancia de un conductor ais lado cuyo potencial eléctr ico, después de recibir una

carga de un coulomb, es de un volt . En función de las unidades fundamentales ,

tenemos que F = C

V

- 1

= m

2

kg

- 1

s

2

C

2

.

El concepto de capacitancia puede extenderse a un s is tema de conductores .

Consideremos el caso de dos conductores con cargas Q y — Q (fig. 16-22). Si V

1

y V

2

son sus potenciales respectivos, de modo que V =

V

x

— V

2

sea su

diferencia

de potencial, la capacitancia del sistema se define como

C =

Q

1

V

(16.33)

Esta disposición constituye lo que se llama un capacitor. Los capacitores t ienen

amplia aplicación en circuitos eléctr icos. Un capacitor t ípico está formado por

dos conductores planos y paralelos separados por una

distancia

d, con el espacio

Fig. 16-22. Sistem a de dos cond uctore s

con cargas iguales y opuestas.

Fig. 16-23. Capacitor de placas para

lelas.

entre ellos ocupado por un dieléctrico (fig. 16-23). El campo eléctrico en el espacio

entre los conductores es uniforme, y está dado por f = (V

1

— V

2

)d conforme a

i a

ec .

(14.31). Pero si

a

es a densidad superficial de carga, la intensidad de campó

eléctrico en el espacio e ntre las placa s es, según el ejemplo 16.2,

f

==<r¡e , donde

c

0

se ha reemplazado por e debido a la presencia de un dieléctrico. Por ¡o tanto

V,

<?d = ffd/Se.

Por otra parle, si S es el área de las placas metálicas, debemos tener Q = <rS.

Luego, haciendo la sustitución en la ec . (16.33), obtenemos para la capacitancia




del sistema,

C = eSid.

(16.8

(16.34)

Esto sugiere un medio práctico para medir la permitividad o constante dieléctrica

de un material. Primero medímos ia capaeitancia de un capacitor sin material

entre las Dlacas, resultando

Cn n

Sld.

Luego

llenamos

el espacio entre las placas con el material que se está investi

gando y medimos la nueva capacitancia, dada por la e c . (16.34). Entonces tenemos

Por consiguiente el cociente entre las dos capacitancias da la permitividad relativa

o constante dieléctrica del material colocado entre las placas.

EJEMPLO 16.12. Estu diar la combinación de capacitores.

Solución:

Los capaci tores pueden combi nars e en dos formas: en

serie y

en

paralelo.

En ia combinación en serie (ver flg. 16-24a ) , la placa negativa de un capacitor

se conecta a la positiva del próximo, y así sucesivamente. En consecuencia todos

los capacitores tienen la misma carga, positiva o negativa, sobre sus placas.

C\ c

2

c

3

+Q"-Q+Q

U

-Q+Q"-

K, V

2

V

3

y —

' i

+Q"-Q

V

n

(a)

+Ql

+<?2

| -<h[

-q¡["

( ) > )

F ig .

16-24. Combina ción de capaci tores en serie ,y en paralelo.

Llamemos V[,

V

2

, V

3

,

. . .

V

n

a las diferencias de potencial en los capacito res.

Si

C

u

C

2

, . . .

C

n

son sus respectivas capa citancias tenemos que V

t

= Q/C„ V, =

Q/C

z

V„ =

Q/C

n

.

Por lo tanto la diferencia de potencial total es

V = V, + v

2

y _ / \ , 1

*

n

—

i

-- -

-r

•—-

< B *

El sistema se puede susti tuir por un solo capacit or cuya capa cita ncia C satisface



16,9) Energía del campo eléctrico 603

la . relación V = QIC. Por consiguiente

i = -k

+

- k + -

+

k >

(16

-

35)

da la capacitancia resultante para una disposición de capacitores en serie.

E n ía asociación en paralelo

(ñg.

16~24b), todas las placas positivas se conectan

a un punto común, y las negativas también a otro punto común, de modo que la

referencia ele potencial es la misma para todos los capacito res. E n consecuencia,

si las cargas son Q,,

()

2i

, . ,, Q„ , debemos tener Q

x

— C,V. Q

2

=

C,V,

. .

.,Q„

—

Cn

v

. La carga tota del sistema es

G

=

Oí -r Q>

+

• • •

+ Q- =

(C ,

+ C

2

4-

. . . + C,) V.

El sistema puede reemplazarse por un capacitor único cuya capacitancia C satis

faga la relación Q = CV. Luego

C = C, + C

2

+ . • • + C (16.36)

da la capacitancia resultante de una disposición de capacitores en paralelo.

16.9 E nergía del campo eléctrico

Para cargar un conductor es necesario gastar energía porque,

para

suminis t rar le

más carga, debe realizarse trabajo para vencer ia repulsión de las cargas ya pre

sentes . Este trabajo ocasiona un aumento en la energía del conductor. Por ejemplo,

consideremos un conductor de capacitancia C con una carga q. Su potencial es

V = q¡C. Si añadimos una carga dq al conductor, trayén dola desde el infinito,

el trabajo hecho es, según la

ec .

(14.37), dW — V dq. Este trabajo es igual al

incremento dEz en la energía del conductor. Por consiguiente, usando el valor

de V, tenemos

El aumento total de la energia del conductor cuando su carga se incrementa

desde cero hasta el valor Q

(ío

que es igual al trabajo hecho durante el proceso) es

1

f°

O

2

* - c J . " * - - S T

(,6

'

37)

Para el caso de un conductor esférico, C = 4r:eR, y la energía es

£s

=4(i£r)-

(i6

-

38)

Esta expresión se puede relacionar de un modo muy interesante con el campo

eléctrico producido por la esfera. El campo eléctrico creado por un conductor

esférico a una distancia r mayor que su radio, es

4r:er

2




(16.9

Calculemos la integral de ("

l

extendida

ai

volumen

externo a la esfera. Para

obtener el volumen elemental de integración, dividamos el espacio exterior en

capas esféricas delgadas de radio r y espesor dr (íig. 16-25). El área de cada capa

es 4-r

2

, y en consecuencia su volumen es dv = área x espesor =

4-r.r

2

dr . Por

lo tanto tenemos

rp

d0=

ri_Q_Y

(W

dr)

=

_ Q L r *

.

J n

JH\

i™*) '

4ê

2

J

R

r*

Q

2

47te

2

fí

Comparando este resultado con la

ec .

(16.38), podemos escribir la energía de un

conductor esférico cargado en la forma

2

J R

Un tratamiento matemático más r iguroso indica que este resultado tiene validez

general, y la energía requerida para disponer un s is tema de cargas puede expre

sarse en la forma

Es,

i«j:

t o d o el e s p ac i o

í"

2

dv.

(16.39)

A esta expresión puede dársele una interpretación f ís ica importante. Podemos

decir que la energía utilizada en disponer las cargas se ha almacenado en el es-

Figura 16-25

Figura 16-26

pació que las rodea, de modo que al volumen dv corresponde la energía \eC

¿

dv.

Por consiguiente la energía por unidad de volumen, o densidad de energía Es

"almacenada" en el campo eléctr ico es

Ef,

h&.

(16.40)



16.9) Energía del campo eléctrico 605

E s t a i n t e r p r e t a c i ó n a e l a e n e r g í a d e u n s i s t e m a d e p a r t í c u l a s c a r g a d a s d i s t r i

bu idas en todo e l espac io donde existe e l campo e léc t r ico es muy ú t i l en Ja d is

cus ión de muchos p rocesos .

EJEMPLO 16.13. C alcu la r la energ ía

necesaria

para fo rmar una es f e r a de cargas

d i s t r i b u i d a s u n i f o r m e m e n t e e n t o d o s u v o l u m e n

(flg.

16.26) .

Solución:

L l a m e m o s

R

al radio de la esfera y

Q

a l a c a r g a d i s t r i b u i d a u n i f o r m e m e n t e

en su volumen ( f ig . 16-26) . Dividamos el volumen de la esfera en urra ser ie de capas

es fé r icas de lgadas de r ad io s c r ec ien tes desde cero has ta R. Podei..os i m a g i n a r q u e

la d is t r ibuc ión ha s ido cons t ru ida superpon iendo capas es f é r icas has ta a lcanzar

una esfera de radio R, en fo rma parec ida a como es tá fo rmada una cebo l la . Para

ca lcu la r la energ ía de la d i s t r ibuc ión es f é r ica de cargas , debemos sumar las energ ías

empleadas en la superpos ic ión de cada capa .

La densidad de carga en el volumen de la esfera es

Q

4nR

3

/3

Si el radio de la esfera es r, la ca rga q con ten ida en e l la es

q = p ( V ) =

- ^ -

(16.41)

R

3

y el potencia] eléctr ico en la superf icie es

áne r 4TC€

0

¿?

3

Al incremen tar e l r ad io en la can t idad dr con la s u p e r p o s i c i ó n d e u n a n u e v a c a p a ,

a ñ a d i m o s u n a c a r g a dq ob te n ida d i f e r enc iando la ec . (16 .41 ) , de donde

dq = — - — dr.

H

R

3

La energ ía necesar ia para ag regar es ta ca rga a la es f e r a es

dEs =

V d q

= — ^ ^

dr.

La energ ía to ta l necesar ia para ob tener e l va lo r f ina l de la ca rga es en tonces

£ 6 =

Q

Vdq

= r_JQ H ^ . s e f *

J o

J o *™ o

R6

4

« o *

a

J o

E f e c t u a n d o l a i n t e g r a c i ó n , o b t e n e m o s

£G

=

i(iSr)'

(16

-

42)

resultado que d if iere de la ec . ( 16 .37 ) . La r azón es tá en que para ob tener la ec . (16.37)

supus imos una es f e r a de r ad io cons tan te con cargas d is t r ibu idas sob re su super f ic ie

m i e n t r a s que 'para la ec. (16 .42) la carga está d is tr ibuida en todo su volumen y se

ha fo rmado po r ad ic ión suces iva de capas has ta ob tener e l t amaño f ina l . Dejamos

al es tudiante la tarea de ver if icar que en este caso la relación (16.39) s igue s iendo

vá l ida s iempre que se inc luya la energ ía asoc iada con e l campo e léc t r ico en e l in te r io r

de la esfera.




Una ap l icac ión in te r esan te de la ec . (16.42) es es t imar ¡a energía eléctr ica o coulom-

biana de un núcleo cuya carga es Q =-

Zc

T e n e m o s

E

6

= - ¿ _ £ - £ - - .

(16.43)

D 4rte

0

«

Sin embargo , en e l caso de un núc leo compues to de p ro tones y neu t rones , no hay

una d is tr ibución uniforme de carga en todo el volumen de la esfera. La carga está

concen t r ada sob re lo s p ro tones , y un análisis más cu idadoso da un r esu l tado l igera

men te d i f e r en te , en

el

cua l

Z

2

es tá r eemplazado po r

Z(Z

— 1).

EJEMPLO 16.14. Es t im ar e l " r ad io " de l e lec t rón .

Solución: Es m uy poco lo que conocem os acerca de la forma geo mé tr ica del ele ctrón .

Todo lo que

podemos

decir con cer teza es que un electrón es una par t ícula cargada

n e g a t i v a m e n t e c o n u n a c a r g a — e . Es tamos in te r esados en es t imar e l t amaño de

la r eg ión donde esa carga es tá concen t r ada . Para s imp l i f ica r nues t ro s cá lcu lo s ,

consideremos que el electrón es una esfera de radio R. Podemos ca lcu la r su energ ía

e léc t r ica u sando e l método an te r io r y después hacer a lgunas supos ic iones acerca

de cómo se d is tr ibuye la carga en el volumen del electrón. Si suponemos, por ejemplo ,

que el electrón es semejante a una esfera só lida de radio R y carga —

e ,

su energía será

Es

5 4K€

0

R

Podemos igua la r es ta energ ía con la energ ía

m

c

c

2

del electrón en reposo, con lo

cua l r esu l ta

3 e

2

3

mtC

R

=

4(~r~

)-^-r- (i

6

-

44

)

5 \

47re

0

/ mee

2 v

Esta expresión da el radio del electrón conforme al modelo escogido. Si suponemos

que el electrón, en lugar de estar cargado uniformemente, lo es tá só lo en la superf icie,

debemos u sar la ec . ( 16 .38 ) para la energ ía . La exp res ión que ob tenemos para e l

radio es s imilar a la ec. (16 .44) , pero con el factor i en lugar del factor | . Como el

e l e c t r ó n p r o b a b l e m e n t e n o corresponde a n inguno de es to s modelos , se acos tumbra

a d o p t a r c o m o definición de l r ad io del e lec t rón la can t ida d

r

e

=

—

1

— - = 2 ,8178 x 10- '

5

m. (16.45)

47re

0

m ee

2

R epet imos que es te r ad io no puede cons idera r se en un sen t ido es t r ic tamen te geo

mét r ico , s ino p r inc ipa lmen te como una es t imac ión de l tamaño de la r eg ión donde

e l e l e c t r ó n e s t á " c o n c e n t r a d o " .

16.10 Conductividad

eléctrica

; ley de

Ohm

E n l a s t r e s ú l t i m a s s e c c io n e s h e m o s ' d i s c u t i d o c i e r t o s a s p e c t o s d e l c o m p o r t a

mien to de una sus tanc ia ba jo la in f luenc ia de un campo e léc t r ico . Es te com

p o r t a m i e n t o s e h a r e p r e s e n t a d o p o r l a s u s c e p t i b i l i d a d e l é c t r i c a d e l m a t e r i a l .

E x i s t e o t r a p r o p i e d a d impór tente r e lac ionada con e l campo e léc t r ico ex te rno .

E s t a p r o p i e d a d s e l l a m a conduclividad eléctrica, y se es tud ia r á en es ta secc ión

en r e lac ión con la conducc ión e léc t r ica en un meta l .

C u a n d o s e a p l i c a u n c a m p o eléctrico a un d ie léc t r ico , és te se po la r iza . Pero

s i e l campo se ap l ica en una r eg ión donde hay cargas l ib r es , és tas se ponen en



16.10)

Conductividad eléctrica: ley de Ohm 607

movimiento resultando

rha

corriente eléctrica en lugar de ¡a polarización del

medio. El campo acelera las cargas, que de este modo ganan energía. (Esta s itua

ción se consideró en la sección 14.9).

Cuando en el interior de un cuerpo existen cargas libres, tales como electrones

en un metal, sus movimientos son obstaculizados por la interacción con los iones

positivos que forman la red cristalina del metal. Consideremos, por ejemplo, un

metal con los iones positivos regularmente dispuestos en tres dimensiones, como

en ¡a fig. 16-27. Los electrones libres se mueven en un campo eléctrico que muestra

Fig. 16-27. Movim iento de electrones a

través de la red cristalina de un metal.

En la figura, VT es la velocidad térm ica

_

de los electrones. (±)

la misma periodicidad que la red, y durante sus movimientos son frecuentemente

dispersados por el campo. Para describir es te t ipo de movimiento electrónico

debemos util izar los métodos de la mecánica cuántica. Debido a que los elec

trones se mueven en todas direcciones, no hay un transporte neto de cargas o

sea no hay corriente eléctrica. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico, un

movimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los elec

trones, resultando una corriente eléctr ica. Parece natural suponer que la inten

sidad de la corriente debe estar relacionada con la intensidad del campo eléctrico,

y que esta relación es una consecuencia directa de la estructura interna del metal.

Como guía para obtener esta relación, vamos a remitirnos primero a los resul

tados experimentales . Una de las leyes f ís icas que es quizás más familiar al e s tu

diante es la

ley de Ohm,

la cual establece que,

en un conductor metálico a tempera

tura constante, la razón de la diferencia de potencial V entre dos puntos a la corriente

eléctrica I es constante. Esta constante se l lama resistencia eléctrica R entre los dos

puntos del conductor. Por lo tanto podemos expresar la ley de Ohm por

V/I =R ó V = RI. (16.46)

Esta ley, formulada por el físico alemán Georg Ohm (1787-1854), la siguen con

sorprendente precis ión muchos conductores en un amplio intervalo de valores

de V, de / y de temperatura del conductor. Sin embargo, muchas sustancias ,

especialmente los semiconductores , no la obedecen.

En la

ec .

(16.46), vemos que R se expresa en volt/ampere ó m

2

kg s

—x

C"~

2

,

unidad llamada ohm, abreviado O. Así, un ohm es la resistencia de un conductor

por el cual pasa una corriente de un ampere cuando se establece entre, sus extre

mos una diferencia de potencial igual a un volt.



608

Camp os electromagnéticos estáticos (16.10

TABLA 16-2

Sus tanc ia

Metales

cobre

p l a t a

a lumin io

t u n g s t e n o

Aleaciones

m a n g a n i n a

c o n s t a n t á n

nicromo

íonduetividades

e léc t r icas a tempera tu ra amb ien te

<r, n-

1

m-

1

5.81 x 10'

6,14 x 10'

3,54 x 10'

1,53 x 10'

1.82

x 10'

2,27 x

10»

2,04 x

10

6

1,0 x 10

6

Sus tanc ia

Semiconductores

carbono

german io

silicio

Aisladores

vidr io

luc i ta

mica

cuarzo

teflon

paraf ina

o, o-> m-

1

2,8 x 10

4

2,2

x 10-

2

1,6 x 10-

5

10-'° a 1 0 - "

< 1 0 - "

l o - "

a IO-1

5

1,33 x

lO- i"

<

IO-1

3

3,37 x

l O - i '

Consideremos ahora un conductor cilindrico de longitud

l

y sección transver

sal S (fig. 16-28). La corriente puede expresarse como / —jS, donde j es la

densidad de corriente. El campo eléctrico a lo largo del conductor es é — Vfl.

(Recordar la ec. 14.30). Por consiguiente podemos escribir la ec. (14.46) en la

forma £l = RjS ó

-NrK

,6,

(16.47)

donde o =

IjRS

es una nueva constante l lamada conductividad eléctrica del ma

terial. Se expresa en

ü~

1

m~

1

ó m~

3

kg~'*

s C

2

. La relación entre a y R se escri

be más frecuentemente en la forma

R = 7/oS.

(16.48)

La tabla 16-2 da la conductividad eléctrica

de varios materiales .

La ecuación (16.47) es una relación entre

los módulos de los vectores j y

<f.

Si supo

nemos que tienen la misma dirección, situa

ción que se da en la mayoría de las sustan

cias, podemos reemplazar la ec. (16.47) por

la ecuación vectorial

Figura 16-28

«é*.

(16.49)

que es simplemente otro modo de escribir la ley de Ohm. Recordando la ec. (15.12),

con q = — e, j = — envz, donde n es el número de electrones por unidad de

volumen y

Vs

es la velocidad de arrastre debida al campo eléctrico aplicado

<f,

tenemos que

l >8

c.

en

(16.50)



16.10) Conductividad eléctrica: ley de Ohm 609

Esta ecuación muestra que los electrones libres del metal adquieren una veloci

dad de arrastre constante corno consecuencia del campo eléctr ico externo aplicado.

Llegamos aquí a una conclusión algo diferente de la obtenida en nuestra discu

sión del movimiento de un ion a lo largo del tubo al vacío de un acelerador (sec

ción 14.9). Allí encontramos que la aceleración es a

=

— (e¡m)C, la cual da lug ar

a una velocidad v = — (e¡m)(.'l, que aumenta cont inuamente con e l t iempo.

Sin embargo, no es la primera vez que encontramos una s ituación como ésta.

Sabemos que un cuerpo cayendo libremente en el vacío t iene una velocidad

v

— g t que aumenta continuamente con el t iempo. Pero s i el cuerpo cae en un

medio viscoso su movimiento llega a ser uniforme alcanzando una velocidad

límite constante, tal como se estudió en la sección 7.10. Por analogía, podemos

decir que el efecto de la red cristalina se puede representar por una fuerza "vis

cosa", que actúa sobre los electrones de conducción cuando su movimiento na

tural se perturba al aplicar un campo eléctr ico. La naturaleza exacta de esta

fuerza "viscosa" depende de la dinámica.del movimiento electrónico a través

de la red cristalina; discutiremos esto con más detalle en el ejemplo 16.15.

Mantener una corriente en un conductor requiere un gasto de energia. También

se debe gastar energía para acelerar un ion en un acelerador o en un tubo elec

trónico (sección 14.9), pero hay una d iferencia. E n el acelerado r toda la ene rgía

se emplea en aumentar la velocidad de los iones. En un conductor, debido a la

interacción entre los electrones y los iones positivos de la red cristalina, la energia

de los electrones se transfiere a la red, aumentando su energía vibracional. Esto

conduce a un aumento en la temperatura del material , y constituye el bien co

nocido efecto calórico de una corriente, llamada efecto Joule.

Podemos estimar fácilmente la rapidez con la cual se transfiere energía a la

red cris talina. El trabajo hecho por unidad de t iempo sobre un electrón es

F'Vz = — e<f-i?G (recordar la ec. 8.10) y el trabajo hecho por unidad de tiempo y

por unidad de volumen (o potencia por unidad de volumen) es p = n(— e¿" '©e ).

Usando las

ees.

(16.47) y (16.50) para eliminar

» s ,

obtenemos

p =

a

¿2 = jó . (16.51)

Consideremos nuevamente el conductor cilindrico de la fig. (16-28), cuyo vo

lumen es SI. La potencia necesaria para mantener la corriente en él es

P =

(SOP - (Sl)(j¿) =

<JS)(£l).

Pero jS =

/

y

<rl =

V. Por consiguiente la potencia necesaria para m ante ner la

corriente en el conductor es

P = VI. (16.52)

Esta ecuación es idéntica a la ec. (14.43), la cual se obtuvo de un modo más

general, y es independiente de la naturaleza del proceso de conducción. Para

aquellos con ducto res que siguen la ley de Ohm, V = RI, la ec. (16.52) puede

escribirse también en la forma

P = RI\ (16.53)




S i n e m b a r g o , a l g u n o s m a t e r i a l e s n o o b e d e c e n

ia

ley de

Ohm

y para el los la

ec.

(16 .53 ) no es co r r ec ta , aunque la

ec .

(16 .52 ) s igue s iendo vá l ida . Un con

d u c t o r c o n r e s i s t e n c i a , t a m b i é n l l a m a d o u n r e s i s t o r , s e r e p r e s e n t a c o n e l s í m b o l o

m o s t r a d o e n l a

í ig .

16-29.

H

o V W W o

Fig . 16 -29 . S ímbo lo para r ep resen ta r un r es i s to r .

EJEMPLO 16.15. Es tud ia r e l mo v im ien to de lo s e lec t rones de conducc ió n en un

m e t a l .

Solución: H e m o s i n d i c a d o q u e p o d e m o s r e p r e s e n t a r fenomenológicamente el efecto

áü la in te r acc ión en t r e la r ed c r i s ta l ina y lo s e lec t rones de conducc ión de un meta l

po r una fuerza "v iscosa" . Supon iendo que es ta fuerza es de la misma fo rma que

la considerada en el caso del movimiento de un f lu ido (sección 7 .10) , es to es ,— k v ,

escr ib imos la

ecuación

de mov imien to de un e lec t rón en un meta l en la fo rma

rfr

m* - V = — e¿ — kv. (16.54)

dt

De es te modo la ve loc idad l ími te de a r r as t r e , ob ten ida hac iendo

dv/dt

= 0, es

re = —

e¿/k.

S i c o m p a r a m o s e s t e resultad? con la ec. (16 .50) , la co nd uc tiv ida d

eléctr ica es

a

=

ne

2

/k.

Podemos exp resar es te r esu l tado de un modo d i f e r en te in t roduc iendo una can t idad

l l a m a d a tiempo de relajamiento. Supon gamo s que e l cam po e léc t r ico se in te r rum pe

de p ron to después que se ha a lcanzado la ve loc idad l imi te de a r r as t r e . La ecuac ión

de mov imien to para e l e lec t rón es en tonces

dv ,

nu ——- = —ir»,

dt

cuya so luc ión

es

v

= e g c

-

^ '"

1

- " .

E l es tud ian te puede ver i f ica r es te r esu l tado b ien

po r su s t i tuc ió n d i r ec ta , b ien r e f ir iéndose a l p rob lema 7 .82 . En t onc es e l t i em po ne ce

sar io para que la ve loc idad de a r r a s t r e d i smin uya en e l f ac to r e es T = m/k. E s t e

es e l t i empo de r e la jamien to de l mov imien to de l e lec t rón , s imi la r a l que se in t rodu jo

en el ejemplo 7 .8 para el movimiento de un cuerpo a través de un f lu ido v iscoso.

Luego , ob tenemos para la conduc t iv idad la r e lac ión

np

2

r

<J

= - ^ — - . (16.55)

m

e

Si se conoce a, se puede calcular T y r e c í p r o c a m e n t e , y a q u e

n,eymt

s o n c a n t i d a d e s

conoc idas . Supon iendo que cada á tomo con t r ibuye con un e lec t rón , podemos es t imar

q u e n es cerca de 10

M

e lec t rones po r m

- 3

en la mayor ía de lo s meta les . Usando lo s

va lo res de e y m

e

, encon t r amos que , con o de l o rden de 10

7

f i"

1

m

_1

, e l t i empo de

re la jam ien to T es de l o rden de 10~

14

s.

Se debe comprender que todo lo que hemos hecho es idear un modelo f enómeno-

lógico por medio del cual se obtienen los resultados requer idos por la ley de Ohm;

pero es to nos ha conduc ido a in t rod uc i r una nuev a can t ida d T . Par a " ex p l i ca r " la

ley de Ohm y la conduc t iv idad e léc t r ica en Jos m e t a l e s , d e b e m o s r e l a c i o n a r T con

la d inámica de movimien to e lec t rón ico . Pero , como h e m o s i n d i c a d o a n t e r i o r m e n t e ,

es te mov imien to t iene lugar según las leyes de la mecán ica cuán t ica , po r lo cua l

u n a discuten m ás deta l lad a de la ec. (16 .55) debe post pon erse . (Ver el vol um en I I I ,

capítu lo 4) .



16.10)

Conductividad eléctrica: ley de Ohm 611

Podemos , s in embargo , es t imar la bondad de nues t ro modelo ver i f icando lo s

órdenes

de m agn i tud de ias can t id ades invo l ucra das . Es r azonab le supone r que e l

t iempo de r e la jam ien to es de m ismo o rden de ma gn i tu d que e i t i em po que ta rd a

el e lec t rón en r ea l iza r dos colisiones sucesivas con los iones de la red cr is tal ina.

Pero si / es la separación media entre iones y v es l a ve loc idad med ia de lo s e lec t rones ,

e t i empo de co l i s ión puede es t imar se po r e l eoek'i te

l/v.

Para la mayor ía de lo s só l i

dos / es del orden de 5 x

10""

9

m . P a r a o b t e n e r o, s u p o n g a m o s q u e p o d e m o s u s a r

la r e lac ión (9 .59 ) p ropues ta para las mo lécu las de gas . De es te modo , a tempera tu ra

a m b i e n t e ,

v

es del orden de 10

5

m

s~'.

C onclu imos en tonces que

T

es cerca de 5 x

1 0

- 1 4

s.

E s t e r e s u l t a d o c o n c u e r d a c o n l a e s t i m a c i ó n h e c h a p r e v i a m e n t e , u s a n d o l a ec . (16.55)

y lo s va lo res exper imen ta les de o .

EJEMPLO 16.16. C ombinac ión de r es i s to r es .

Solución: Los r es i s to r es puede n combin ar se en dos t ipos de d ispos ic ión , s imi la r es

a los d iscutidos en el ejemplo 16.12 para los capacitores: ser ie y paralelo. E n l a c o m b i

nac ión en • ser ie-( f ig í- l-6-30a) , los resis tores se co ne cta n de ta l modo q u e l a m i s m a

cor r ien te pasa a lo la rgo de e l lo s . La ca ída de po tenc ia l a t r avés de cada r es i s to r

es,

según la ley de Ohm,

V

=

diferencia de potencial to tal es

R

t

I, V

2

= R

t

I,

V

n

=

Rnl.

Po r lo ta n t o la

V

=

V ,

+

V

2

+

• • •

+

V

n

=

( f l ,

+ fí

2

+ + Rn)I.

El s i s tema puede r educ i r se e f ec t ivamen te a un r es i s to r ún ico R que sa t i s f aga la

relación V =

Rl.

Luego

R = fl, +

R¡

+

+ R»

(16.56)

da la r es i s tenc ia r esu l tan te para una d ispos ic ión de r es i s to r es en se r ie .

En la combinac ión en para le lo

(fig.

16 -30b ) , lo s r es i s to r es se conec tan de ta l modo

que la d i f e r enc ia de po tenc ia l V sea la mism a pa ra todos e l lo s . La c o r r ien te a t r avé s

•A /VW

Vi

« 2

-AA/vV

v

2

« 3

-•-vwv»

^ 3

-VWv¿~—

Vn

(a)

/ « * 2

•> .

R? • *„ (b)

Fig . 16-30. Com binac ión de resis to res en ser ie y en paral elo .

de cada resis tor es , según la ley de Ohm, I

x

= V/R

lt

I

2

= V/JR¡>, . . . , / » = V/R

n

.

L a c o r r i e n t e t o t a l / sumin is t r ada a l s i s tema es

/ =

/,

+ /, +

( 1 1

+

. . .

+

Rn)



612 Cam pos electromagnéticos estáticos (16.11

El sistema puede reducirse efectivamente a un resistor único que satisface la ecuación

/

=

V/R. Por consiguiente

1 1 1

1

_i _

=

_L_

+

_ L -

+ . , . + — . (16.57)

fí R,

/? ,

R„

da la resistencia resultante para una combinación de resistores en paralelo,

"Í6.Í2 Fuerza electromotriz

Supongamos que una partícula se mueve de A a i? según una trayectoria L bajo

la acción de una fuerza F. En el capítu lo 8 hemo s explicado que en este caso el

trabajo hecho por la fuerza es

W —¡L.F-dl,

donde el subíndice

L

significa que

la integ ra se efectúa a lo largo de la tray ect oria y di es un elemento lineal de la

misma. Hemos probado además que cuando la fuerza es conservativa (esto es , la

fuerza está relacionada con la energía potencial por F — — grad

E

p

),

el trabajo

es independiente de ia trayectoria; luego

(F-dl

=

E

Pt

A

— E

Pí

B- Una consecuen

cia importante, también establecida en el capítulo 8, es que cuando la trayectoria

es cerrada, el trabajo de una fuerza conservativa es cero, ya que los puntos A

y B coinciden y por lo tanto

E

P<

A

— E

p<

u-

Estos resultados se pueden extender a cualquier campo vectorial , tales como

los campos eléctr ico o magnético. Designemos el vector de campo por V. La in

tegral curvilínea del campo vectorial V desde el punto A hasta el punto B a lo

largo de la trayectoria L se define como

Integral curvilínea de \' = í

V-dl.

(16.58)

En general ia integral curvilínea depende de la trayectoria. Si la trayectoria a lo

largo de la cual se calcula la integral curvilínea es cerrada, ésta se

liama

circula

ción vectorial. Se indica por medio de una circunferencia colocada sobre el signo

in tegra l :

Circulación de V = j Vdl. (16.59)

Un caso importante es aquél en el cual el campo V se puede expresar como

el gradiente de una función. Esta es la misma situación encontrada en el caso

de fuerzas conservativas y por lo tanto podemos decir que

cuando un campo vectorial se puede expresar como el gradiente de

una función, la integral curvilínea d el campo entre dos puntos es

independiente de la trayectoria que une estos puntos y la circulación

alrededor de una trayectoria arbitraria c errada es nula.

A medida que avancemos en este texto, el es tudiante descubrirá que los con

ceptos de integral curvilínea y de circulación de un campo vectorial son muy

útiles para formular las leyes del electromagnetismo. Aplicaremos ahora estas

dos nuevas definiciones al campo eléctrico.



76.11)

Fuerza electromotriz

61íí

Como el campo eléctrico es igual a la fuerza por unidad de carga, ía in tegra l

curvilínea del campo eléctrico,

¡hC-dl,

es igual al traba jo hecho ai mo ver u na

unidad de carga a lo largo de la trayectoria L. Si Ja tra yec tori a es cerra da (fig. 16-31),

la integral curvilínea se convierte en ¡a circulación del campo eléctrico y se deno

mina fuerza electromotriz (fem) aplicada a la traye ctoria cerrad a. Design ándola

por Ve, tenemos que

fem -=

V e =

<>

€'

di.

(16.60)

Por consiguiente la fuerza electromotriz aplicada a una trayectoria cerrada es igual

al trabajo hecho al mover una unidad de carga alrededor de la misma. (La palabra

"fuerza" no está correctamente usada

porque nos estamos refiriendo a "ener

gía" , no obstante, es aceptada por el uso

general) . Naturalmente, la fem se ex

presa en volts.

Consideremos ahora el caso especial de

un campo eléctrico estacionario. Recor

dando que el campo eléctr ico estaciona

rio se relaciona con el potencial eléctrico

por

C —

— grad V, podemos escribir

Cdl

= V A

VB,

(16.61)

Figura 16-31

donde A y B son puntos unidos por la

t rayector ia

L.

De este modo la integral

curvilínea entre dos puntos de un campo eléctrico estacionario es igual a la dife

rencia de potencial entre esos dos puntos. Si el camino es cerrado, los puntos

A y B coinciden, y la ec . (16.61) da

V

E

=j¿-dl = 0 .

(16.62)

Expresándolo en palabras , podemos decir que

la fem, o circulación, de un cam po eléctrico estacionario

alrededor

de un camino cerrado arbitrario es nula.

Esta proposición significa que el trabajo hecho por un campo eléctrico estaciona

rio al mover una carga en una trayectoria cerrada es cero.

Si el campo eléctrico se aplica a un conductor, podemos combinar la ec. (16.61)

con la ley de Ohm y escribir la ec. (16.46) en la forma

j £-dl=RI,

(16.63)

donde

L es un camino a lo largo del conductor y

R

es la resistencia eléctrica

entre los puntos del conductor unidos por el camino

L.



614 Campos electromagnéticos estáticos (16.11

Como hemos dicho previamente, mantener una corriente entre dos puntos

de un conductor implica que debe suministrarse energía al sistema por medio d e

la fuente de diferencia de potencial. El problema que ahora se presenta es si una

corriente se puede o no mantener en un conductor cerrado o circuito eléctrico.

Cuando se aplica la ec. (16.63), que esencialmente no es otra cosa que la con

servación de la energía en el conductor, a un conductor cerrado, da

J

C-dl = RI.

(16.64)

El primer miembro de esta ecuación es la fem aplicada al circuito y R es la resis

tencia total del mismo.

Si el conductor se coloca en un campo eléctrico estacionario, entonces, según

la ec. (16.62), tenemos que la fem es cero (Vs =

0)

y la ec. (16.64) da

/

=

0.

En otras palabras,

un campo eléctrico estacionario no puede mantener una corriente en

un circuito cerrado.

La razón de esto es que un campo eléctrico estacionario es conservativo y la

energía total neta suministrada a una carga que describe un camino cerrado es

nula. Sin embargo, una carga moviéndose en el interior de un conductor trans

fiere la energia recibida del campo eléctrico a la red c ristalina y este proceso

Fig. 16-32. Una corriente eléctrica se mantiene en

un circuito cerrado por medio de generadores eléctricos.

es irreversible; es decir, la red no retorna la energía a los electrones. Por lo tanto,

a menos que se suministre una cantidad neta de energía a los electrones, éstos

no se podrán mover uniformemente en un circuito cerrado.

En consecuencia, para mantener una corriente en un circuito cerrado es nece

sario proveer energia al circuito en ciertos puntos A, A', A", ... (fig. 16-32).

A los dispositivos qu e suplen energía los llamam os

generadores eléctricos

G, G', G",...,

y podemos decir que constituyen las fuentes de fem. Luego el campo eléctrico <f

que aparece en la ec. (16.64) no es estacionario, y a los puntos A, A', A", ...,

corresponden campos localizados producidos por los generadores G, G', G" , ...

Hay muchas maneras de generar una fuerza electromotriz. Un método común

es por medio de una reacción química, tal como en una pila seca o en una batería,

en las cuales la energía interna liberada en la reacción química se transfiere a



re ,

ir,

•uf.râ eieciromolrh

Gl5

3-üR electrones. Otro r,; todü importarle es por rru-.dio d-.:

eión electromagnética,

que

m estudiará en el

^róxini '

l>«a fuente de tesr- ?.<¡ m->y-:-«.-t efiq^c-néücîiení' o

.;6~ ?3, donde el sentido

¡j

:

;

I.-í >.":

:

:

,-nl::

•::•>..•• • pr^ du cí; <•

,. 'o

posi.ti

fenómeno ue ¿a

i nduc

ía

pit ido.

:niñ se índi<,

A

e<i 3a ñg,

:

¡d circuito externo

a

lá

-o. ¿A s e g a n t e corte o

uente de fem es de:,de -¿1 zzga.t..-i-i h t v . - c-

f

.

polo

negativo,

Cuando aplicamos

la

ley

de

Ohm [ec.

(16,46)] a un circuito

simple

como el de

is fig. 16-33, debemos tener en cuenta qae la resistencia total R es la suma de la

resistencia

Interna Ui

de la fuente de

fem

y

la

resistencia externa

R

e

del conductor conectado

ai generador (o bater ía) . Así R — Ri +

R

e

,

y la

ley de Ohm se convier te en

V

G

=

(i ?

e

+ Ri)I.

(16.65)

Esta ecuación puede también escr ibirse en la

forma V — fl¡/ —

R

e

I.

Cada m iembro de la

ecuación da la diferencia de potencial entre

ios polos del generador (o bater ía) . Podemos

observar que esta diferencia de potencial es

menor que la fem.

•\

v,

? i

-vwv

Fig. 16-83. Representación en

símbolos de un circuito con una

fuerza electromotriz.

EJEMPLO 16.17. Métodos para calcular las corrientes que existen en una red

eléctrica.

Solución: Una red eléctrica es una combinación de conductores y fuerzas electro

motrices, tal como la ilustrada en la ñg. 16-34. Consideraremos por ahora sólo el

caso en que las fem son constantes y en la red se ha alcanzado un régimen estacio

nario, de modo que las corr ientes son también constantes. Usualmente el problema

consiste en encontrar las intensidades de corriente en función de las fem y de las

resistencias. Las reglas para resolver este tipo de problema, reglas conocidas como

leyes de Kirchhoff, expresan simplemente la conservación de la carga eléctrica y de

la energía. Las leyes de Kirchhoff se pueden enunciar como sigue:

(1) En un nudo de una red la suma de las intensidades es cero.

(2)

La suma de las caldas de potencial a lo largo de cualquier caminocerrado en una red es nula.

'•) 0

h

%

« i

-AAAA,

Flsr.

16-34. Red eléctrica.



616 Campos electromagnéticos estáticos (16.12

Al escribir la pr imera ley, debemos considerar aqoeMas corrientes que salen de un

nudo como posit ivas y las que llegan como negativas. La pr imera ley expresa la

conservación de la carga porque, como ias cargas n<< se acumulan en un nudo , el

número de cargas que llegan a un nudo en un cierto tiempo debe ser igual al número

de cargas que salen en el mismo t iempo.

Ai aplicar la segunda ley debernos tomsr en cuenta ias siguientes reglas. Una

caída de potencial a través de una resistencia es positiva o negativa según que

recorramos el circuito en el sentido de la corriente o en sentido opuesto. Cuando

pasamos

a

t r avés

de una

íem, tomamos

la

diferencia

de

potencial como negativa

o positiva dependiendo de que la atravesemos en el sentido en que actúa la íem

(aumento de potencial) o en sentido opuesto (disminución de potencial) . La segunda

ley expresa la

conservación

de la

energíaj

ya que

la

variación neta de energía de

una carga después de haber recorrido un camino cerrado debe ser cero. En la

ec. (16.65)

escrita

en la

forma

RI — V's ^ 0,

donde

R ~ Rt + Re,

hem os satisfecho

ya ese requisi to.

I lustraremos ahora el uso de las leyes de

Kirchhoff

aplicándolas a la red de la

fig. 16-34. La primera ley aplicada a los nudos A, B y C da:

Nudo A

Nudo B

Nudo C

—h +

1

2

+ h = 0,

— J,

+

J, +

I

s

= 0,

—/, — I, + I, = 0.

La segunda ley aplicada a los recorridos 1, 2 y 3 da:

Recorrido

1:

—

R

t

I

t

+

R

3

I

3

+

R,l

t

—

Ve

s

= 0,

Recorr ido 2: fí

5

/

5

— R

t

I

s

— R,I

t

= 0,

Recorrido 3:

RJ

X

+

RJ

t

+ R

s

I

e

— V

6 l

+ V&

t

= 0.

Estas seis ecuaciones son suficientes para determinar las seis corrientes en la red.

Una regla práctica a seguir para encontrar las corrientes en una red con n nudos

es aplicar la pr imera ley a n — 1 nudos solamente, porque si la ley se satisface

para n — 1 nudos , se sat isface automáticamente para el res tante . (El estudiante

deberá verificar esta aserción en la red de

la

fig. 16-34). La segunda ley se debe

aplicar a tanto s recorridos cerrados cuantos se requieran a fin de que cada conductor

sea par te de un recorrido ai menos una vez.

/ / .

EL CAMP O MAGNÉTICO

16.12 Ley de Arnpére para el campo magnético

Estudia remos ahora a lgunas de las propiedades de los campos magnét icos es ta

cionarios, o independientes del t iempo. Consideremos pr imero una corr iente I

rectilínea indefinida (fig. 16-35). El campo magnét ico 93 en un pun to A es pe r

pendicula r a O A y está dado por la ec . (15.41), o sea

2ítr

Calculemos la circulación de 93 a l rededor de una trayector ia circular de radio r.

El campo magnét ico 93 es t a nge n t e a ¡a t r ayec tor ia , de m o d o que 9 3 • di — °fádl,

y de módulo constante . Por lo t a n t o la circulación magnética (que des ignamos

por

Ase)

es

A»

=.

i

'Ti-dl

=r.

¿

c

fí

di

=

13

i di

- 95L =

(-^-)

(2wr)



16.12)

Ley de

Ampére

para el campo magnético 617

Fig. 18-85, Campo magn ético de una Fig. 16-36. La circulación ma gnétic a a

corriente rectilínea.

lo largo de todas las trayectorias circu

lares concéntricas alrededor de una co

rriente rectilínea es la misma e igual

a ixj .

porque L

~2nr.

De este modo

A« = (x

a

L (16.66)

La circulación magnética es entonces proporcional a la corriente eléctr ica i, y

es independiente del radio de la trayectoria. Por consiguiente, s i trazamos varias

circunferencias

L

v

L

2

,

L

3

,

. . . , ( f ig. 16-36) alrededor de la corriente / , la circula

ción magnética en todas ellas es la misma e igual a y.

0

I, conforme a la

ec .

(16.66).

Consideremos a continuación una camino arbitrario L rodeando la corriente

/

(fig. 16-37). La circulación magnética a lo largo de L es

•I

L

2n J

L

Ue'dl

Pero «a •

di

es la componente de

di

en la dirección del versor u$ , y por lo tanto

es igual a r d 9 . Por consiguiente

A« =

2TT

de

H

1

2TT

(2TT) = \i

0

I,

ya que el ángulo plano total alrededor de un punto es

2n .

Es te es nuevamente

nuestro resultado anterior (16.66), el cual es por lo tanto válido para cualquier

camino que encierre a la corriente rectil ínea, independientemente de la posición

de ia misma con respecto al camino.

Un análisis más riguroso, que omitiremos, indica que la ec. (16.66) es correcta

cualquiera sea la forma de la corriente, y no sólo para una corriente rectil ínea.

Si tenemos varias corrientes

I

v

I

2

, I

3

,

.. ., enlazadas por una línea L (fig. 16-38),

cada corriente da una contribución a la circulación del campo magnético a lo

largo de

L.

Podemos establecer entonces la ley de Ampére en la forma



618 Cam pos electromagnéticos estáticos

(16.12

Fisura 16-37

W i,

Fig. 16-38. La circulación ma gné

tica a lo largo

(ie

cualquier

camino

cerrado es proporcional a la corriente,

neta encerrada por el camino.

la circulación de un campo magnético a lo largo de una linea cerrada

que enlaza las corrientes I

v

1

2

,

¡

3

,

..., es

Ass =

<>

13-di

= f¿

0

/,

donde I — I

x

- j - I

2

+ /„ 4- .

tenada por la trayectoria L.

(16.67)

representa la corriente total conca-

Cuando aplicamos la

ec .

(16,67) tomamos como positiva la corriente que atra

viesa L en

el

sentido en

que

avanza un tornillo de rosca derecha al rotarlo en el

sentido en que está orientada

L,

y negativa si el sentido es opuesto. Así, en la

fig.

i6-38,

tas corrientes

1

1

e I

3

se consideran positiva* y la /„ negativa.

Cuando recordamos que. según e eráronle 16.1 la corriente eléctrica puede

expresarse como el flujo de densidad de eorner-U: (esto es. / =-- js j • u

N

dS), po

dernos expresar la lev de Ampére,

ce .

;'ií>,í;• 7). también en la forma

A«

« •

(16.68)

donde •> es cualquier .superficie '-u,í-¡u;¡ por L.

El hecho de que la circulación de

campo

magnético no sea generalmente, nula

indica que el campo magnético no tiene un potencial magnético en el mismo

sentido que el campo eléctrico tiene potencial eléctrico. La Ley de Ampére es

particularmente útil cuando deseamos calcular el campo magnético producido

por distribuciones de corriente que tienen ciertas simetrías geométricas, como

se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 10.18.

Usando la ley de Am pére, estudiar el campo magnético produ

cido por una corriente que pasa a lo largo de

un

cilindro recto de longitud infinita.



10,12) Ley de Ampére para el campo magnético 619

Soludóm C ons ide re mos l a c o r r i e n te

/

q u e

pa*a

a l o l a rgo de un c i l i nd ro de r a d io a

( í íg , 16-39) . La simetr ía de l

problema

sug ie re c l a ra me n te que ¡ a s l í ne a s de fue rz a

del

c a mpo ma gné t i c o son c i r c un fe re nc ia s c on sus c e n t ro s s i t ua dos a ¡o l a rgo

dei

eje

de l c a mpo ma gné t i c o e n un pun to de pe nde só lo

Por c ons igu ie n te , c ua ndo e sc oge mos una c i r c un -

'• s o b r e l a c o rr i e n t e c o m o n u e s t r a t r a y e c t o r i a L,

del c i l indro , y que e l módulo

de (a d istanc ia de l punto

al rj

fe renc ia de radio r con el cerr

l a c i r c u la c ión ma gné t i c a e s

AQ5:

é

93d/

93

L

d I

°ñL =

2Ttr03.

Si el radio r es mayor que e l radio de l c i l indro a, t o d a la c o r r i e n t e / q u e d a e n el interior

de la c i rcunferenc ia . Por lo cua l , apl icando la

ec .

(16 . 67 ) , t e ne mos

2tirr

c

B =

n,,

^

2w '

(16.69)

que es p re c i s a me n te e l r e su l t a do e nc on t ra do en e l capí tulo 15 para la corriente

e n un f i l a me n to . Po r c ons igu ie n te , en puntos fuera de una corriente cilindrica, el

campo magnético es el mismo que si la corriente estuviera a lo largo del eje.

Figura 16 - Fig. 16-40 . Bo bin a toroidal .

Pero si r es me no r q u e a, t e ne mo s dos pos ibi l idades . S i la corriente c ircula só lo

a lo largo de la superficie de l c i l indro (como puede ocurrir s i e l conductor es una

ho ja c i l i nd r i c a de me ta l )

la

c o r r i e n t e

encerrada por U es cero y la ley de

Ampére

d a 2itr

c

i0 = 0 ó -B = 0 . L ue go , el campo m agnético en los puntos interiores de un cilindro

que transporta una corriente sobre su superficie es cero. Pe ro s i l a c o r r i e n te e s t á un i

f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a a t r a v é s d e t o d a la secc ión transversal de l conductor, la

c o r r i e n te en e l i n t e r io r de L' es

/ ' =

(w

1

)

Jr*

na *

a

1

En co nse cue nc ia , ap l i cando la l e y de A mpére , o b te ne mo s 2w

c

B = yÎ'

93 =

2nra*

tolr*/a* ó

(16 .70)

P o r l o t a n t o el campo m agnético en un punto interior de un cilindro que transporta

una corriente uniformemente distribuida a través de su sección transversal es propor

cional a la distancia del punto al eje del cilindro.




(16.12

EJEMPLO 16.19.

Usando la ley de Am pére, discutir el campo magnético p roducido

por una bobina toroidal.

Solución: Una bobina toroidal consiste en un alambre umformemente arrollado en

un toro o superficie anular, como en la flg. 16-40. Sea N el número de vueltas, todas

igualmente espaciadas, e / la intensidad de la corriente que por ellas circula. La

simetría del problema sugiere que las lineas de fuerza del campo magnético son

circunferencias concéntricas con el toro. Tomemos primero como nuestro caminode integración una circunferencia dentro del toro. La circulación magnética es

entonces A * =

r

&L. El camino L concatena todas las vueltas alrededor del toro,

y por

io

tanto la corriente total que fluye a través de él es NI . Luego, aplicando

la ley de Ampére, obtenemos

C

BL = i^Nl á

c

fí

=

u.

0

Nl/L.

Si el radio de la sección transversal del toro es pequeño comparado con su radio,

podemos suponer que L es práctic am ente la misma pa ra todo s los pun tos interiores

del anillo. Dado que n =

N/L

es el núm ero de vueltas por unidad de longitud,

concluimos que el campo magnético en el interior del toro es uniforme y tiene el

valor constante

13 = tv ií . (16.71)

Para cualquier camino fuera del toro, tal como U o L" , la corriente total conca

tenada por él es cero, por lo que 03 = 0. En otras palabras, el campo magnético deuna bobina toroidal está enteramente confinado en su interior. Esta situación es

aplicable sólo a bobinas toroidales cuyas espiras están muy juntas.

EJEMPLO 16J20. Usando la ley de Amp ére hallar el campo m agnético en el centro

de un solenoide muy largo.

Solución: Consideremos el solenoide de la flg, 16.41, que tiene n espiras por unidad

de longitud cada una conduciendo una corriente /. Si las espiras están muy cerca

una s de otras y el solenoide es m uy largo , podemos co nsiderar que el campo magn ético

está confinado enter am ente en su interior y es uniforme, como se indica con las lineas

de fuerza en la figura. Escojamos como camino de integración el rectángulo

PQRS.

Mg.

16-41. Solenoide.

Fig. 18-42. Camino elemental para esta

blecer la ley de Ampére en forma diferen

cial.



16,13) Ley de

Ampére

en forma diferencial

621

La contribución de los lados QR ySP a la circulación magnética es cero porque el

campo es perpendicular a ellos; también la contribución del lado RS es cero porque

allí no hay campo. Por consiguiente sólo el lado PQ contribuye en la cantidad 93i

de modo que Alj —

c

l3x. La corriente total concatenada por el camino de integración

es nxl, ya que

n i

da el número de espiras. Por consiguiente la ley de Ampére da

13x = \i<jixl ó

C

15

= y^nl,

conforme

a

nuestros resultados del ejemplo 15.9 para el

campo en el centro de un solenoide largo.

El estudiante habrá comprendido con estos ejemplos la utilidad práctica de la

ley de Ampére para calcular campos magnéticos que tienen ciertas simetrías.

16.13 Ley deAm pére en forma diferencial

Como sabemos que la ley de Ampére se puede aplicar a trayectorias de cualquier

forma, apliquémosla a una trayectoria rectangular muy pequeña o infinitesimal

PQRS del plano XY , de lados dx ydy yárea dx dy (fig. 16-42). El sentido de la

circulación alrededor de PQRS se indica con las flechas. La circu lación c onst a

de cuatro términos, uno para cada lado; esto es ,

A«=<£ <13-dl=[ + f + f + f • (16.72)

JPQRS J PQ J QR J RS J SP

Ahora bien,

a

lo largo del camino

QR,

cuya orientación es paralela

a

la dirección

positiva del eje Y, di ~u

y

dy y

í W-dl^H-Uydy =93

u

dy.

J QR

Análogamente, para el lado SP , que está orientado en la dirección negativa del

eje

Y, di

= —

M

y

dy , y así

f T g . d i = _

W-Uydy

= — %dy,

de modo que

<&„ — %) dy.

1

QR J SP

Pero,

como PQ = d x, % — % = cR3y = (3%/ar) dx , se tiene

I

+

í

-

J QR J SP

» „

QR J SP

dx

dxdy.

Por un razonamiento análogo, los restantes dos integrales de la

ec .

(16.72) son

en3

x

f + f = — ZJ^Ldxdy.

J PQ J

RS dy

Sum ando los dos resulta dos, obtenem os finalmente

PQRS

\ te

dy

AS0 = <£ .

d

i ( L- L)dxdy. (16.73)

J

PQRS \ te 8y I



622 Campos eleclromagnélicos estáticos (16.13

Dado que di es la corriente que paso a través de PQRS, podemos relacionarla

con la densidad de corriente j escribiendo

di = )

z

dS = j

z

dx dy. (16.74)

Escribimos j . porque ésta es la

única

componente de la densidad de corr iente j

que contr ibuye a la corr iente di a través de PQRS. Las componentes j

x

y j

u

corresponden a movimientos paralelos a la superficie y no a través de ella. Sus

t i tuyendo las

ees.

(16.73) y (16.74) en la ley de Ampére, ce , (16.67) , podemos

escribir

393» S

:

)3

X

>

dx dy

I

dx dy = v

0

dl — u

Q

j

z

dx dy.

Cancelando el factor común dx dy en ambos miembros, obtenemos la ley de

Ampére en su forma diferencial,

¡ns»

lux

dx dy

= Hh- (16-75)

Podemos ahora colocar nuestra superf icie

PQRS

en los planos

YZ

o

ZX ,

resul

tando las expresiones equivalentes

= VvJz (16.7b)

Sí / dz

e %

a9¿

ez ex

nj»

(16.77)

Las t r es

ees.

(16.75), (16.76) y (16.77) pueden combinarse en una sola ecuación

vector ial . Obsérvese que los segundos miembros son las componentes del vector j ,

la densidad de corr iente, mult iplicada por ¡¿

0

. Análogamente, Jos pr imeros miem

bros pueden considerarse como las componentes de un vector obtenidas a par t ir

de 93 combinan do las der ivadas en la forma indica da; ese vector se l lama el

rota

cional de 93 y se escr ibe rot 93. Ento nces las tres ecuaciones se pueden resu mir

en la ecuación vectorial

rot 93 =

n j .

(16.78)

Esta es la expresión de la ley de Ampére en

forma

diferencial. Podemos usar la

ec. (16.78) para obtener el campo magnético cuando conocemos la distribución

de corr iente, y recíprocamente. En una región donde no haya corr iente eléctr ica,

rot 93 = 0.

La ley de Ampére en forma diferencial establece una relación local entre el

campo magnét ico 93 en un pu nto y la densidad j de corr iente en el mismo punto

del espacio, de un modo similar a como la ley de Gauss relaciona el campo eléc

trico y la-» cargas en el mismo punto del espacio. Podemos de este modo decir

que Jas corrientes eléctricas son las fuentes del campo magnético.



16.15) Magn etización de la materia 623

La expresión equivalente a la ec. (16.78) para un campo eléctrico estacionario es

rot ¿ = 0, (16.79)

ya que hemos probado [ec. (16.62)] que para tal campo la circulación es cero

($

L

¿-.di = 0 ) .

16.14 Flujo magnético

El flujo magnético a través de cualquier superficie, cerrada o no, colocada en un

campo magnético es

*a

=

J

'M 'U.v dS . (16.80)

El concepto de flujo magnético a través de una superficie es de gran impor

tancia, especialmente cuando la superficie no es cerrada, como veremos en el

capítulo 17. Por ello es conveniente definir una unidad de flujo magnético. Evi

dentemente, como el flujo magnético es igual al campo magnético multiplicado

por el área, se expresa en T m

a

, unidad llamada weber en honor del físico alemán

Wilhelm

E. Weber (1804-1891). Se abrevia Wb. Obsérvese que como T = kg

s"

1

C"

1

,

Wb = T m

2

= m

2

kg s

-1

C

-1

.

Muchos textos expresan el campo magnético

en Wb m

-2

en lugar de T.

Como no hay masas magnéticas o polos (o al menos no han sido observados),

las líneas de fuerza del campo magnético

)}

son cerradas, como se indica en el

ejemplo discutido en el capítulo 15. Concluimos que

ei

flujo magnético a través de una superficie cerrada es siempre nulo.

Esto es, el flujo entrante a través de cualquier superficie cerrada es igual al flujo

saliente. Luego

| . -li-UydS

=

0, (16.81)

j

s

;c>\üxn>io que se puede demosfrar niotemátKamenre partiendo de Ja expresión

:.h

nTu ;.;ir¡

¡I

dudo

m

'•••'

•••:.

i'ló .>"n, I.;? coinrirr¡barióii ser* omit ida . Es te resul-

;id<i constituye la leu </<

('•••í:¡-\$ ••

í

¿r,¡

el campo magnético. En forma diferencia

tenemos, por analogía con ht ec, (16.1) para el campo eléctrico,

--

- ^ + -''

--?-

- — - =

0 ó

d i v / J , = 0. (16.82)

c'x cy cz

lñ

Magnetización de la materia

En la sección 15.10 indicamos que una pequeña corriente, tal como la debida

a los electrones en un átomo, constituye un dipolo magnét ico . Los átomos pueden

o no presentar

un momento

dipolar

magnético neto,

dependiendo de la simetría o



624 Camp os electromagnéticos estáticos (16.15

de la orientación relativa de sus órbitas electrónicas. Como la mayoría de las mo

léculas no presentan s imetría esférica, pueden tener un momento dipolar magnético

permanente debido a orientación especial de las órbitas electrónicas . Por ejemplo,

las moléculas diatómicas t ienen simetría axial, y pueden poseer un momento

dipolar magnético paralelo al eje molecular. Una porción de materia, con la

excepción de los materiales ferromagnéticos, no presenta momento magnético

neto, debido a la orientación al azar de las moléculas, situación similar a la en

contrada en la polarización eléctrica de la materia. Sin embargo, la presencia

de un campo magnético externo dis tors iona el movimiento electrónico dando

lugar a una polarización magnética neta o magnetización del material . Lo que

Corriente superficial

/o

l'

O

O OPIO

D I O D I O O O O O

QOOOOTQO

oonooo

Q O O O O

oro

o\

o

Fig. 16-48. Corriente superficial de

magnetización en un cilindro magneti

zado.

Fig. 16-44. Corrientes elementales en

un cilindro magnetizado.

sucede esencialmente, es que el campo magnético produce sobre los electrones

un movimiento de precesión o de rotación en torno a la dirección del campo

magnético local, como se explicó en la sección 15.6. Cada electrón contribuye

con un momento dipolar magnético dado por la

ec .

(15.27).

Consideremos, por simplicidad, una sustancia en forma de cilindro que está

magnetizada en dirección paralela al eje del mismo (fig. 16-43). Esto significa

que los dipolos magnéticos moleculares están orientados paralelamente al eje del

cilindro, y por lo tanto las corrientes electrónicas moleculares están orientadas

perpendiculannente al eje del cilindro. Podemos ver en la fig. 16-43 (y con más

detalle en la vista de frente que se muestra en la fig. 16-44), que las corrientes

internas tienden a cancelarse debido a los efectos contrarios de las corrientes ad

yacentes, de modo que no se observa corriente neta en el interior de la sustancia.

Sin embargo, la magnetización da lugar a una corriente neta

I-sn

sobre la superficie

del material, que actúa como un solenoide.

El

vector magnetización

L

?/í de un material se define como el momento magnético

del medio por unidad de volumen. Si

m

es el mom ento dipolar magnético de cada



16.16) Campo magnetizante 625

átomo o molécula y n es el número de átom

JS

o moléculas por unidad de volumen,

la magnetización es

c

ílL

= nm . El mom ento magnético de una corriente elemental

se expresa en A m

2

, y por consiguiente la magnetización

c

7fl

se expresa en A m

2

/m

3

=

A m

- 1

ó m"

1

s"

1

C, y es equivalente a corriente por un idad de lon gitud.

Existe una relación muy importante entre ía corriente sobre la superficie del

cuerpo magnetizado y la magnetización

c

fíí. Observamos en la fig. 16-43 que

/ S R

fluye en dirección perpendicular a

C

M. El cil indro mism o se comporta como un

gran dipolo magnético resultante de la superposición de todos los dipolos indi

viduales. Si S es el área de la sección transversal del cilindro y / su longitud, su

volumen es

IS,

y por consiguiente su momento dipolar magnético total

es^FCQS)

=

(1KI)S.

Pero S es precisamente el área de ía sección transversal del circuito for

mado por la corriente superficial . Como momento dipolar magnético = corriente

multiplicada por área, concluimos que la corriente total de magnetización que

aparece sobre la superficie del cilindro es

C

)M y en consecuen cia la corrie nte por

unidad de longitud

IJH

sobre la superficie del cilindro ma gne tiza do es

9/£,

ó If& —^L

Aunque este resultado se ha obtenido para una disposición geométrica particular ,

es de validez general. De este modo podemos decir que

la corriente por unidad de longitud sobre la superficie de una porción

de materia magnetizada es igual a la componente del vector magneti

zación

9/ í

paralela al plano tangente a la superficie del cuerpo, y

tiene dirección perpendicular a Tff.

16.16 Camp o magnetizante

En la sección precedente vimos que una sustancia magnetizada tiene ciertas

corrientes sobre su superficie (y dentro de ella si la magnetización no es uniforme).

Estas corrientes de magnetización, s in embargo, están "congeladas" en el sentido

de que se deben a electrones l igados a átomos o moléculas determinadas y no

son libres de moverse a través de la sustancia. Por otra parte, en algunas sus

tancias tales como los metales , hay cargas eléctr icas capaces de moverse a través

de la sustancia. Llamaremos corriente libre a la corriente eléctr ica debida a estas




626 Cam pos electromagnéticos estáticos (16,16

cargas libres. En muchos casos se

necesita distinguir

explícitamente entre co

rrientes libres y corrientes de

magnetización, como

haremos en

esta

sección.

Consideremos de nuevo una porción cilindrica de mal cria colocada en el inte

rior de un soleaoide largo por el que circula, una corriente / (fig. 16-45). Esta

corriente produce un campo magnético qu e magnetiza el cilindro y da lugar a

una corriente de magnetización sobre la superficie del

mismo

en igual sentido

que •/. La corriente superficial de monetización por unidad de longitud es igual

a 9A". Si e soíenoide t iene n aspiras por unuiad d? longitud,

e

sistema solenoide

más el cilindro magnetizado

e-.

equhaleote a m solo solenoide que transporta

un a

corriente

por mudad

de

longitud igual a

;; / - ¡ -

?

ÍK. Esta corriente solenoidal

efectiva da lugar a un campo

magnético resultante

7j paralelo al eje del cilindro,

campo cuyo módulo está dado por ia

ec.

¿10.71), con

ni

reemplazado por la

corriente total por unidad de longitud

ni -\-

v

//c. Esto es, ,

j —

u

0

(nl

+ 9/Q 6

1 -,- ,-.-.

H — -,/( =: ni.

Esta expresión da las corrientes libres o de, conducción por unid ad de longi tud,

ni , sobre

la

superficie del cilindro, en función

del

campo magnético 13 en el medio

y ia magnetización

:

W( del mismo me dio. Si observ am os que )3 y 1K son vectores

en la misma dirección, el resultado anterior sugiere la introducción de un nuevo

campo vectorial , l lamado campo magnetizante, definido por

K =

--13~-~1K. (16.83)

Se expresa en A m

_1

o nr

1

s"

1

C, que son las unida des de los dos térm inos que

aparecen en el segundo miembro.

En nuestro ejemplo particular , tenemos

-Tí

5

= ni , que relaciona

9£

con la co

rriente libre o de conducción por unidad de longitud del solenoide. Cuando con

sideramos una longitud PQ = L a lo largo de la superficie, tenemos entonces

KL

=

Lnl

=

/

U

bre,

(16.84)

donde /ubre

= Lnl

es la corriente libre tota l del solenoide correspondie nte a la

longitud

L.

Calculando la circulación de tf alrededor del rectángulo

PQRS,

tene

mos que

Aj,; — H.L,

ya que

-K

es cero fuera del solenoide

(I i y

'

Vil

lo son) y los lados

QR

y

SP no contribuyen a

Ja

circulación, porque son perpendiculares al campo

magnético. De este modo la ec. (16,48) puede escribirse en la forma A

x

= /ubre,

donde /ubre es la corriente libre total a través del rectángulo PQRS. Este resultado

tiene validez más general de lo que nuestro análisis simplificado puede sugerir.

En efecto, puede

verificarse

que la circulación del campo magnetizante a lo largo

de una línea cerrada es igual a

¡a

c orriente libre total a

Iravés

de la trayectoria. Esto es,

As

=

|

:

-K'dl = J

y

.

hve

, (16.85)

drmóe ,';,;.. --•; la fO"~rienr,e tot"l eu":-:ad-> pe •

:

::-'>. v.

¡

',-

;

"'-

L

debido a la

£

careas

Ubres que ík;yen

e;.

i.i medio o en un circuiré ci-.t.trk.;., pci'u excluyendo las

co -



16.16) Cam po magnetizante 627

mentes debidas a la magnetización de la materia. Por ejemplo, s i la trayectoria L

(fig. 16-46) enlaza a los circuitos

I

v

í

2

y a un cuerpo con magnetización

°)K,

de

bemos incluir en la

ce .

(16.85) solamente las corrientes ij c

I

2

,

mientras que en

la

ley de Ampére, ec. (16.67), para el campo magnético 73 , debemo s incluir to da s

las

corrientes, esto es, a

/,

e

I

2

,

debidas a las sargas que se mueven libremente,

así como también las debidas a la magnetización

:

~)/l.

del cuerpo proveniente de

los electrones ligados.

Escribamos la ec. (16.83) en la forma

B = n

0

(9£ +

M).

(16.86)

Corno la magnetización M del cuerpo está físicamente relacionada con la resul

tante del campo magnético ?j , podríamos introducir una relación entre

X

1K y 7J

similar a Ja relación, en el caso eléctrico, entre fi y

<f,

dada en la ec. (16.10). Sin

embargo, por razones his tóricas se acostumbra a proceder de manera diferente,

y relacionar, en su lugar, -?/¿ y

9f,

escribiendo

l

JK -

7jnK- (16.87)

La cantidad xm se llama susceptibilidad magnética del material , y es un número

puro independiente de las unidades escogidas para

c

ffl

y

C

H.

Sus t i tuyendo la

ec . (16.87) en la ec. (16.86), podemos escribir

B = H„(9f + Xm9Q = (x

0

(l + XmW = v-H, (16.88)

donde

(*

= -IHK = m,(l + xm) (16.89)

se llama la permeabilidad del medio y se expresa en las mismas unidades que n

0

,

es decir, en m

k g

- 2

C. La permeabilidad relativa se define por

|i ,

= n/ix

0

= 1 + Xm, (16.90)

y es un número puro independiente del s is tema de unidades.

Cuando vale la relación

'73

= f¿9£ podemos escribir, en lugar de la ec. (16.85),

f> 73'di — /ubre-

L y -

Si el medio es homogéneo, de modo que

\i

es constante, la circulación del c am po

magnético es

A * = d> T3-dI =

|x/

B

bre.

(16.91)

• L

Este resultado es similar a la ley de Ampére, ec. (16.67), pero con la corriente

total reemplazada por la corriente libre y

n

en lugar de y.

0

. Podemos en tonces

concluir que el efecto de la materia magnetizada sobre el campo magnético

Q3

es reemplazar

;.¡.,,

po r

y..

Por ejemplo, el campo magnético de una corriente rec-



16.17) Cálculo de la susceptibilidad magnética 629

aunq ue en mu chas de ellas n se observa a

causa*del

efecto paramagnét ico que

se describe más adelante. La magnetización resultante está dada por

* — - ^ ( ^ ) *

< 1 6

-

93)

donde 9Í es el campo magnetizante en la sustancia, n es el número de átomos

por unidad de volumen y r¡ es la distancia del electrón í-ésimo al núcleo de un

átomo. La suma se extiende a todos los electrones del átomo y el valor medio

debe calcularse de acuerdo a las prescripciones de la mecánica cuántica. Las

otras cantidades tienen el significado usual. El signo menos se debe al hecho de

que 9/ í es opuesto a 1( . Enton ces, conforme a la ec. (16.87), la susceptibilidad

magnética es

y, como es negativa, la permeabilidad relativa t¿r = 1 + Xm es menor que uno.

Si

introducimos

el valor conocido de las constantes , suponemos que

n

es apro

x imadamen te

10

28

á tomos por m

3

en un sólido y estimamos que r¡ es cerca de

10

-1 0

m (que es el orden de magnitud de la órbita electrónica), entonces tenemos

que

xm

es del orden de mag nitud de

10~

5

para los sólidos, de conformidad con los

valores que aparecen en la tabla 16-3. El resultado (16.94) es el equ ivalen te m ag

nético de la susceptibilidad eléctrica estacionaria, dada por la ec. (16.22).

(b ) Efecto de orientación. A continuación veamos el efecto de orientación.

Como se indicó en el ejemplo 15.6, un átomo o molécula puede tener un momento

dipolar magnético permanente, asociado al momentum angular de sus electrones.

En este caso la presencia de un campo magnético externo produce un torque

que tiende a alinear todos los dipolos magnéticos según el campo magnético,

con lo cual resulta una magnetización adicional l lamada paramagnelismo. E l

magnetismo adquirido por una sustancia paramagnética t iene, por consiguiente,

la misma dirección del campo magnético. Este efecto es mucho más intenso que

el diamagnetismo y, en el caso de sustancias paramagnéticas , los efectos diamag

néticos están completamente compensados por los efectos paramagnéticos.

L a susceptibilidad paramagnética de los gases es tá dada, aproximadamente ,

por una expresión similar a la ec. (16.26) para la susceptibilidad eléctrica debida

a las moléculas polares,

donde m

0

es el momento magnético permanente atómico o molecular , T es la

temperatura absoluta de la sustancia y k es la constante de Boltzmann. Como

en el caso eléctrico,

Xm

d isminuye si la tempera tura de la sus tancia aum enta .

Esta dependencia de la temperatura se debe al movimiento molecular , el cual

aumenta con la temperatura y por consiguiente t iende a compensar el efecto de



628 Camp os electromagnéticos estáticos

tilínea

/

dentro de un medio magnetizado es

l'i = •

2nr

(16.17

(16.92)

en lugar del valor dado por la

ec .

(15.41).

16.17 Cálculo

de

la susceptibilidad mag nética

Como la susceptibilidad magnética x™ análogamente a la susceptibilidad eléc

tr ica xe> expresa la respuesta de un medio al campo m agnétic o exte rno, está

relacionada con las propiedades de los átomos y moléculas del medio. En el

fenómeno de la magnetización de la materia por un campo magnético externo

entran dos efectos. Uno es una

distorsión

del movimiento electrónico debida al

campo magnético. El otro es un efecto de orientación cuando el átomo o molécula

tiene un momento magnético permanente. Ambos efectos contribuyen al valor

de xm y serán discutidos separadamente.

(a) Efecto de distorsión. Sabemos que un cam po mag nético ejerce una fuerza

sobre una carga en movimiento. Por consiguiente, si se aplica un campo magné

tico a una sustancia, Jos electrones que se mueven en los átomos o moléculas

están sujetos a una fuerza adicional debido al campo magnético aplicado. Esto

ocasiona una perturbación del movimiento electrónico. Si fuéramos a evaluar

esta perturbación de un modo preciso, tendríamos que usar los métodos de la

mecánica cuántica. Por lo tanto nos l imitaremos a establecer los principales

resultados, haciendo una ilustración simplificada en el ejemplo

16.21.

El efecto de un campo magnético sobre el movimiento electrónico en un átomo

es equivalente a una corriente adicional inducida en el átomo. Esta corriente

esta orientada en un sentido tal que el momento dipolar magnético, a ella aso

ciado, tiene sentido opuesto ai del campo magnético. Como este efecto es inde

pendiente de la orientación del átomo y es el mismo para todos los átomos, con

cluimos que la sustancia ha adquirido una magnetización Q/í opuesta al campo

magnético,

resultado que contrasta con el encontrado en el caso del campo eléctrico.

Es te compor tamiento , l lamado diamagnetismo, es común a todas las sustancias,

TABLA 16-3 Susceptibilidad magnética a temperatura ambiente

Sustancias

diamagnéticas

Sustancias paramagnéticas

hidrógeno

nitrógeno

sodio

cobre

b is mut o

dia ma nt e

mercurio

íi

(1

atm)

atm)

•—2,1 x 10"

8

1 - - 5 , 0 x 1(T

8

i

- - 2 , 4

x

10"

8

i

— 1 , 0

x

K'r

5

i —1 ,7 x l íT

5

—2,2

x 10~

5

;

— 3 . 2 x

1Ü~

5

oxígeno (1

m a g n e s i o

aluminio

t'inssi.eno

ííía;nr:

platico

pioru — "

d.p

atm)

gadoii;-

10 (GdC

3

)

2,1 x lO "

6

1,2 x «r

5

2.3 x 10 -

s

6,8 x 10~

s

7,1 x lO"

5

3,0 x 10~

4

2,8 x lO"

3



030 Camp os electromagnéticos extáticos (16,17

alineamiento del campo magnético. Ahora bien, del resoltado del problema

15.50,

sabemos que el orden de magnitud del momento atómico es I O

-2 3

J T

_1

. De este

modo al introducir los valores de las otras constantes, la ec. (16,95) da para la

susceptibilidad paramagnética a temperatura ambiente (298°K) un orden de

magnitud de

10~

4

para sólidos y 1CT

7

para gases en condiciones normales. Piste

resultado concuerda satisfactoriamente con los valores dados en la tabla 16-3

para las sustancias paramagnéticas .

Una conclusión importante es que, tanto para las sus tancias paramagnét icas

como para las diamagnéticas , /

J7

, es muy pequeña comparada con la unidad, y

en muchos casos puede reemplazarse ¡x

r

= 1

- j -

xm por 'a unidad.

(c) Otros efectos Una tercera clase de sustancias magnéticas son las llama

das ferromacjnéíicas. La p rincipal ca racterística de estas sustancias es que pre

sentan una magnetización

permanente ,

que sugiere una tendencia natural

délos

momentos

magnéticos de sus

átomos

o moléculas a alinearse debido a sus inter

acciones mutuas. La magnetita y otros imanes naturales mencionados al principio

del capitulo 15 son ejemplos de sustancias íerromagnéticas. El ferromagnetismo

es entonces similar a la ferroelectricidad en su comportamiento general, aunque

su origen es diferente. Está asociado con la interacción entre los espines

S

x

y

S

2

de dos electrones, que funda men talm ente es de la forma

—JS

x

-

S

2

,

donde la can

tidad J, l lamada integral de intercambio, depende de la distancia entre los elec

trones. Cuando J es positiva, el equilibrio se obtiene si S

l

y

S» son paralelos,

( a ) í j)

( c )

Fig. 16-47. Dominios magn éticos, (a) Sustancias no ma gnetiza das, (b) magnetiza

ción por crecimiento de dominios, (c) magnetización por orientación de dominios.

resultando una orientación de los espines electrónicos en regiones microscópicas

llamadas dominios

(figs.

16.47a y 16-48a), cuyas dimensiones son del orden de

10"

8

a

10

-1 2

m

3

y que contienen de

10

21

a 10

17

átomos. La dirección de magneti

zación de un dominio depende de la estructura cristalina de la sustancia. Por

ejemplo en el hierro, cuyos cristales tienen estructura cúbica, las direcciones de

fácil magnetización están a lo largo de los tres ejes del cubo. En una porción

de materia los dominios mismos pueden estar orientados en diferentes direcciones,

dando un efecto neto, o macroscópico, que puede ser nulo o despreciable. En

presencia de un campo magnético externo, los dominios experimentan dos efectos:

aquellos dominios orientados favorablemente con respecto al campo magnético

crecen a expensas de ¡os orientados menos

i;venablemente

(íig. 16-47b); a me

dida que la intensidad del campo magnético externo aumenta, la magnetización



15.17)

Cálculo de la susceptibilidad magnética 631

de

los

domin ios t iende a a l inear se en la d i r ecc ión de l campo

( í ig .

16-47c) ; y la

po rc ión de mater ia se conv ie r te en un imán. E l ferromagnetismo e s u n a p r o

p i e d a d q u e d e p e n d e d e l a t e m r - p r a t u r a , y p a r a c a d a s u s t a n c i a ferromagnética

e x i s t e u n a t e m p e r a t u r a , llamad» temperatura de Curie, por. enc ima de la cua l la

sustancia s e h a c e p a r a m a g n é t i c a . E s t e f e n ó m e n o o c u r r e c u a n d o e l m o v i m i e n t o

t é r m i c o e s s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e p a r a v e n c e r l a s f u e r z a s d e a l i n e a c i ó n . L a s

s u s t a n c i a s q u e s o n f e r r o m a g n é t i c a s a t e m p e r a t u r a a m b i e n t e s o n : h i e r r o , n í q u e l ,

c o b a l t o y g a d o l i n i o . S u s t e m p e r a t u r a s d e C u r i e s o n 7 7 0 ° C ,

3 6 5

C

C ,

1075°C y

15°C,

r e s p e c t i v a m e n t e .

S i n e m b a r g o , e s p o s i b l e t a m b i é n q u e p a r a a l g u n a s s u s t a n c i a s J s e a n e g a t i v a .

E n t o n c e s , e i e q u i l i b r i o s e o b t i e n e s i l o s e s p i n e s e l e c t r ó n i c o s s o n a n t i p a r a l e l o s ,

O

o o o cp

Ferromagnetismo

°4 I

f

I

f

I f I

Antiferromagnetismo

F ig .

16 -48 . Or ien ta c ión de los m o

men tos d ipo la r es magnét icos de va

r ias su s tanc ias .

M O

H t H

s

l

errimagnetismo

r e s u l t a n d o u n a m a g n e t i z a c i ó n n e t a n u l a

(fig.

16 -48b ) . En es te caso la su s tanc ia

se llama antiferromagnética. A l g u n a s s u s t a n c i a s antiferromagnéticas s o n M n O ,

F e O ,

C oO y NiO.

O t r o t i p o d e m a g n e t i z a c i ó n e s e l l l a m a d o ferrimagnetismo. E s s i m i l a r a l a n t i

f e r r o m a g n e t i s m o , p e r o l o s m o m e n t o s m a g n é t i c o s a t ó m i c o s o i ó n i c o s o r i e n t a d o s

e n u n s e n t i d o s o n d i f e r e n t e s d e l o s o r i e n t a d o s e n s e n t i d o o p u e s t o , r e s u l t a n d o

u n a m a g n e t i z a c i ó n n e t a

(fig.

1 6 - 4 8 c ) . E s t a s s u s t a n c i a s s o n l l a m a d a s ferritas, y

s e r e p r e s e n t a n g e n e r a l m e n t e p o r l a f ó r m u l a q u í m i c a

M O F e

2

0

3

,

d o n d e M r e p r e

sen ta Mn , C o, N i , C u , Mg , Zn , C d , e tc . / Obs érvese que s i M e s F e r es u l t a e l co m

p u e s t o

F e g O ^

o m a g n e t i t a .

EJEMPLO

16.21.

C a l c u la r e l m o m e n t o m a g n é t i c o a t ó m i c o in d u c i d o p o r u n c a m p o

m a g n é t i c o e x t e r n o .

Solución: H e m o s i n d i c a d o q u e u n c a m p o m a g n é t i c o e x t e r n o p r o d u c e e n u n á t o m o

un momen to magnét ico en la d i r ecc ión opues ta a l campo . Es to se puede ju s t i f ica r

po r med io de un modelo muy s imp le . C ons ideremos un e lec t rón cuya carga es —

e ,

moviéndose a l r ededo r de un núc leo A

T

, en una ó rb i ta que po r s imp l ic idad supon

drem os circu lar , de radio p y en el p la no X Y. Si o>

0

es la ve loc ida d a ngu la r de l e lec t ró n

y F la fuerza sobre el mismo debida al

n ú c l e o ,

la ecuac ión de m ov im ien t o de l e lec t rón

es en tonces

me<o

0

p

F.

Si aho ra se ap l ica un campo magnét ico 15 seg ún el eje Z ( es to es , perp end i cu la r a l

plano

de la órbita) , se ejerce sobre el electrón una fuerza adicional F ' =

—ev

x 73.

Esta fuerza es ta r á en la misma d i r ecc ión que F o en la opues ta , depend iendo de la

o r ien tac ión r e la t iva de o

0

y >3, como se indica en la f ig . 16 .49. Como la fuerza radial

sob re e l e lec t rón var ía , l a f r ecuenc ia an gu la r ( supo n iendo que e l r ad io per ma nez ca




(a) (b)

F i? . 16-49. E x p l i c a c i ó n d e d i a m a g n e t i s m o .

con s tan te ) tam b ién var ía , y se hace igua l a

a.

La ecuac ión de mo v im ien t o de l electrón

es aho ra u sando v —

o>p

y el hech o de q ue ei mó dul o de

V

es eifü,

mew'p = F ± ewflB,

donde se toma e l s igno más para

el

caso (a) de la

fig.

(16-49) y el menos para el

caso (b ) . R es tando ambas ecuac iones de mov imien to para e l iminar

F,

e n c o n t r a m o s

nh(cú

2

— (Oo)p — iew'tf

m

e

(ü> + "o) (

w

—

w

o)

-_evf8.

Ahora b ien , e l cambio de f r ecuenc ia , Au = u —

<o

0

,

e s m u y p e q u e ñ o y p o d e m o s

r e e m p l a z a r

o>

+ o

0

p o r

2u

s in g ran e r ro r . En tonces tenemos

2meAo> = ±eD

A<o =

2m

e

-71

de modo que e i cambio de frecuencia es igual a la f recuencia de Larmor

Ü L,

que

def in imos en el ejemplo 15.7 . El s igno más, que corresponde al caso (a) , s ignif ica

un a u m e n t o d e r a

0>

y Acá es tá en tonces d i r ig ido hac ia la derecha . E l s igno

m e n o s ,

que corresponde al caso (b) , s ignif ica una d isminución de ra

0

, y Ara está ento nce s

también d i r ig ida hac ia la derecha . De modo que en ambos casos podemos escr ib i r

la r e lac ión vec to r ia l

Ara =

i _

fí.

El cambio en la f r ecuenc ia de l mov imien to e lec t rón ico p roduce una co r r ien te ne ta

—e(Aw/2it) y po r cons igu ien te , u sando la def in ic ión (15 .19 ) , un momen to magnét ico

( £ ) < - » • > - Arru

ÍJ.

Por lo tan to e l momento magnét ico de l á tomo es tá d i r ig ido en sen t ido opues to

a l camp o mag nét ic o M, y i

a

s u s t a n c i a c o m o u n t o d o a d q u i r i r á u n a m a g n e t i z a c i ó n

opues ta a l campo magnét ico ap l icado . C omo nues t ro s cá lcu lo s han s ido muy s im

p l i f icados , s i queremos ob tener un r esu l tado más genera l debemos

tomar

en consi

deración la d is tr ibución al azar en ei espacio de las órbitas electrónicas y analizar

en de ta l le la na tu ra leza de l campo magnét ico loca l M que ac túa sobre el electrón.

En cua lqu ie r caso , nues t ro s cá lcu lo s fundamen ta lmen te co inc iden con e l r esu l tado

seña lado en la ec . (16.93).



Bibliografía 6.33

16.18 Resumen de las leyes de los campos estáticos

En este capítulo hemos discutido los campos eléctr ico y magnético estáticos

como dos entidades separadas, s in relación alguna entre ellas , excepto que

las

fuentes del campo eléctrico son las cargas

eléctricas

y las del campo magnético

son las corrientes eléctricas. En consecuencia hamos obtenido dos conjuntos de

ecuaciones separadas, las cuales aparecen en la tabla 16-4 en ambas formas ,

integral y diferencial. Estas ecuaciones permiten calcular el campo eléctrico

<f*

y el campo magnético

13

s i se conocen las cargas y las corrientes , y rec íproc am ente .

De este modo parece como si los campos eléctr ico y magnético se pudieran con

siderar como dos campos independientes . Sabemos, s in embargo, que esto no es

cierto, ya que en el capítulo 15 hemos deducido reglas que relacionan los campos

eléctr ico y magnético, tal como los miden dos observadores en movimiento rela

tivo uniforme, usando la transformación de Lorentz, y notamos que £ y 93 están

intimamente relacionados. De este modo podemos esperar que en los casos que

dependen del t iempo las ecuaciones precedentes requerirán algunas modificaciones.

Aprender cómo hacer estas modificaciones es la tarea del próximo capítulo, donde

obtendremos un nuevo conjunto de ecuaciones basadas en evidencias experimen

tales y que son extensiones de las ecuaciones precedentes .

TABLA 16-4 Ecua ciones del campo electrom agnético esta ciona rio

L e y

I . Ley de Gaus s par a e l cam po e léc t r ico

[ E e s .

(16.3) y (16.5)]

I I . Lev de Gauss pa ra e l cam po m agné t ico

[ E e s . (16.81) y (16.82)]

I I I ,

C i r cu lac ión de l cam po e léc t r ico .

[ E e s .

(16.62) y (16.79)]

IV . C i r cu lac ión de l cam po magné t ico

(Ley de Ampére)

[ E e s .

(16.67) y (16.78)]

F o r m a i n t e g r a l

¿ f-u

N

dS-i-

JS «

0

<£ 13-ui,dS = 0

¿

£-dl

= 0

¿ 73-di = fA

0

J

F o r m a

d i f e r enc ia l

d i v o - £ -

d i v

73

= 0

r o t £ = 0

r o t li = HoJ

Bibliografía

4.

"Nonuniform

Electr ic Fields" , H. Pohl, Sci. Am., diciembre 1960, pág. 106

"Equipment for the Determination of Magnetic Susceptibilities", J. A. McMillan,

Am. J. Phys. 27, 352 (1959)

"Resource Letter FC-1

on the Evolution of the Electromagnetic

Field

Concept" ,

W. Scott, Am. J. Phys. 31, 819 (1963)

Foundations of Electromagnetic Theory, J. R. Reitz y F. J. Milford. Addison-

Wesley, Reading, Mass., 1960




5. The Feunman Lecturas on Physics, vol .

I I , R . Feynman , R . Le igh ton y M. L .

Sands. Addison-Wesley , Reading, Mass. , 1963, caps. 2 , 3 , 10 a 14 , y 34 a 37

6. Source Book in Physics, W . F . M a g i e . H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e ,

Mass . ,

1963, pág. 431

( V o l t a ) ;

p á g . 4 4 6 ( A m p é r e ) ; p á g . 4 6 5

( O h m ) ;

pág. 519

(Gauss)

Problemas

16.1 U na esfera de rad io R

t

t iene una

cav idad cen t r a l de r ad io

R

2

.

Una carga q

e s t á u n i f o r m e m e n t e distribuida en su

vo lumen , ( a ) Hal la r e l campo e léc t r ico

y el potencial en puntos fuera de la

esfera, en el interior de la esfera y en

ía

cavidad central , (b) Hacer los gráf icos

del campo y de) potencial eléctr icos en

función de la d is tancia al centro .

16.2 Un a esfera con duc tora de rad io

R,

t i ene una cav idad cen t r a l de r ad io

J?

2

.

En e l cen t ro de la cav idad hay una

carga

q.

( a ) En ton t r a r la ca rga sob re

las superf icies in t ern a y ext ern a del con

ductor, (b) Calcular el campo y

el

p o

tencial eléctr icos en puntos fuera de la

esfera, en el in ter ior de la esfera y en

la

cavidad,

(c) Hacer los gráficos del

campo y del potencial en función de la

d is tanc ia a l cen t ro . [Sugerenc ia : R eco r

dar que el campo en el in ter ior de un

conducto r es nu lo . ]

16 .3 E l e lec t rón en un á tomo de h id ró

geno se puede suponer "d isper so" en

todo e l vo lumen a tómico con una den

sidad p =

Ce -

2r

A°°,

d o n d e

o„

= 0 ,53 x

10~

10

m. ( a ) Hal la r la cons tan te C de

modo que la ca rga to ta l sea

—

e .

(b)

Determinar la ca rga to ta l den t ro de una

esfera de radio « , , , que corresponde ai

radio de la órbita del electrón, (c) O b t e

ner el campo eléctr ico en función de r.

(d) ¿A qué d is tancia el campo eléctr ico

difiere de —p/4ê

c

r

2

en 1 %?

[Sugerencia:

Para la par te (a) , d iv id ir el espacio en

capas es f é r icas , cada una de vo lumen

47rr

2

rfr.]

16.4 Considerar la superf icie cúbica

cer r ada de lado a que se mues t r a en

la fig. 16-50. Esta superficie está colo

cada en una r eg ión donde hay un campo

eléctr ico paralelo al eje X. Hallar ei

f lu jo eléctr ico a través de la superf icie

y la carga to tal en su in ter ior s i el campo

eléctr ico es (a) uniforme, (b) var ia según

¿

= Cx.

16.5 Ha lla r el f lu jo eléctr ico y la carga

to tal en el in ter ior del cubo de lado a

(fig. 16-50) si éste está colocado en una

región donde el campo eléctr ico es (a)

<f — u r c í

2

, (b) f = c(u

z

y - f u „ i ) . H a l l a r

tamb ién , en cada caso , la dens idad de

carga .

16.6 Do s esferas con duc tora s de rad ios

0,10

cm

y 0 ,15 cm tienen cargas de

10~~

7

C y 2 x 10~

7

C , r e s p e c t i v a m e n t e .

Se ponen en con tac to y luego se separan .

Calcular la carga de cada esfera.

F i g u r a

16-50

16.7 Un a esfera me táli ca de

radio

1 m

tiene u na c arga e léctr ica n eta de 10"* C.

S e c o n e c t a m e d i a n t e u n a l a m b r e c o n

ductor a una esfera de radio 0 ,30 cm

inicialmente

descargada (muy le jo s de

la es f e r a mayor ) de modo que ambas

tienen el mismo potencial , (a) ¿Cuál será

la carga de equil ibr io en cada esfera

después de hacer la conexión? (b) ¿Cuál

es la energía de la esfera cargada antes de

hacer la conexión? (c) ¿Cuál es la energía

del s is tema después de unir las esferas?

S í hay a lguna pérd ida , exp l ica r dónde

se encuen t r a esa energ ía

p e r d i d a ,

(d) Mos

t r a r que la ca rga se d is t r ibuye en las

esferas de radios

R

t

y fí

2

un idas e léc t r ica -



Problemas 635

I y

w

IV

\

\

-tCtM-HS

Figura 16-51

Direcc ión

del

c a m p o

el éc t r i co ap l i cado

Figura 16-52

m e n t e d e m o d o q u e aja

t

= RJ R

it

d o n d e

o es la densidad superf icial de carga

e léc t r ica ,

( e ) D e m o s t r a r , e n t o n c e s , q u e

el valor del campo eléctr ico en la super

f icie de cada esfera es tal que £

u

superficie/

£¡¡, superficie = RJRi- Pa ra r eso lver es te

p rob lema, igno rar e l e f ec to de l a lambre .

16.8 Se coloca un a carg a

q

a una d is

t a n c i a

a

de un p lano conduc to r in f in i to

man ten ido a po tenc ia l ce ro . Se puede

demos t r a r que e l campo e léc t r ico r esu l

tan te en un pun to s i tuado f r en te a l p lano

es el mismo que el que se obtiene al

r eemplazar e l p lano po r una carga e léc

t r ica nega t iva — q s i tuado a una d is

t a n c i a —a (ver la fig. 16-51). Esta se

gunda carga se l lama imagen de la pr i

mera , ( a ) Demos t r a r que e l po tenc ia l

de plano es cero y que el campo es per

pend icu la r a l

p l a n o ,

(b ) P robar que la

dens idad de carga sob re e l p lano

esqa/r

1

.

(c) Ver if icar que la carga to tal sobre

eí p lano es igual a

•—q.

16.9 Se co loca una es fe r a co nduc to ra

de r ad io a en un campo e léc t r ico un i

fo rme c"„ como se muestra en la f ig . 16-52.

Como la esfera debe estar a un potencial

cons tan te , l e as ignaremos e l va lo r ce ro .

El campo e léc t r ico ac tuando sob re las

cargas l ibres de la esfera hace que éstas

se muevan hac ia la super f ic ie has ta que

el campo eléctr ico en su in ter ior es nulo . .

La es f e r a se po la r iza d is to r s ionando e l

campo e léc t r ico a su a l r ededo r , aunque

a g randes d is tanc ias e l campo perma

nece esenc ia lmen te un i fo rme. Puede de

mostrarse que la so lución de la ecuación

de Lap lace para e l po tenc ia l e léc t r ico

que satisface las condiciones de este

p rob lem a es V =- — ¿„r eos 6(1 —

a

3

/^).

(a) Ver if icar que el potencial de la esfera

es c e r o , ( b ) D e m o s t r a r q u e a d i s t a n c i a s

m u y g r a n d e s e l p o t e n c i a l c o r r e s p o n e a l

d e u n c a m p o u n i f o r m e , ( c ) N o t a r q u e

e l po ten c ia l V es la sum a de l po te nc ia l

c o r r e s p o n d i e n t e a u n c a m p o u n i f o r m e

y e l co r r espond ien te a un d ipo lo e léc

t r i c o .

O b t e n e r e l m o m e n t o d i p o l a r e l é c

t r ico de la es f e r a , ( d ) Ob tener las comp o n e n t e s r a d i a l y t r a n s v e r s a l d e l c a m p o

eléc t r ico , (e) Ver i f ica r que e l campo e léc

tr ico en la superf icie del conductor es

perpend icu la r a l mismo , ( f ) Hacer e l

g rá f ico de las l íneas de fuerza de l campo

eléc t r ico r esu l tan te , ( g ) Hal la r la den

s idad super f ic ia l de carga . D iscu t i r su

var iación sobre la superf icie de la esfera,

(h) Ver if icar que la carga to tal sobre la

esfera es

c e r o ,

( i ) Mos t r a r que e l campo

eléctr ico en el centro de la esfera pro

ducido por la carga superf icial es —c"

0

.

L o m i s m o o c u r r e p a r a c u a l q u i e r p u n t o

in te r io r de la es f e r a . ¿Era de esperar se

es te r esu l tado?

16 .10 C omo resu l tad o de las

ees .

(16.16)

y (16 .17 ) , puede p robar se que en la su

perf icie de separación de dos d ieléctr icos ,

l a c o m p o n e n t e t a n g e n c i a l d e l c a m p o

eléc t r ico y la componen te no rmal de l

d e s p l a z a m i e n t o e l é c t r i c o s o n c o n t i n u a s

es dec i r que t ienen e l mismo va lo r a

ambos lados de la super f ic ie . (La segunda

proposición vale só lo s i la superf icie es tá

d e s c a r g a d a ) . M o s t r a r e n t o n c e s q u e l o s

ángu los que las l íneas de fuerza fo rm an

con la no rmal a la super f ic ie sa t i s f acen

la relación tg 6,/tg B

3

= eê,.

1 6 .1 1 L a p e r m i t i v i d a d d e l d i a m a n t e es

1,46 x

10"

10

C

2

n r

2

N

- 1

.

(a) ¿Cuál es lac o n s t a n t e d i e l é c t r i c a d e l d i a m a n t e ? ( b )




12

M

F

Hh

—Irrb

uF

4 F

HP

—

\ \ j v

Hfe

Figura 16-58

Figura 16-54

T

c

2

I

- i_

¡rx

T

Figura 16-55

Figura 16-56

u O

h- *-

1 1ZZZ

Figura 16-57

¿Cuál es la susceptib il idad eléctr ica dei

d i a m a n t e ?

16.12 El statfarad es la un i dad de capa

citancia que se def ine como la capaci

tanc ia de un conduc to r que adqu ie re

e l po tenc ia l de un es ta tvo l t io cuando se

carga con un s ta tcou lomb . P robar que

un s tatfarad es igual a 9 x 1 0

u

F .

O t r a s

un idades ú t i les son e l microíarad

(uF ) ,

igual a 10~" F, v el p icofarad (pF) . igual

a

10"

1

'

F .

16.13 Demostrar

q u e

¡a

energía eléc

t r ica de un conduc to r a i s lado *-s + C V

a

.

P r o b a r iambicn que e l mismo r esu l tado

es válido para un capac i to r de p lacas

p lanas y para le las y , en genera l , para

cua lqu ie r capac i to r .

16 .14 U n cap aci tor qu e con sta de

dos p lacas para le las muy cerca una de

o t r a t iene en e l a i r e una capac i tanc ia

de 1000 pF . La carga sob re cada p laca

es de 1 C. (a) ¿Cuál es la diferencia

de po tenc ia l en t r e las p lacas? (b) S u p o

n iendo que la ca rga se man t iene cons

tan te , ¿cuá l se r á la d i f e r enc ia de po ten

cial entre las p lacas s i la separación

en t r e las mismas se dup l ica? <c) ¿Qué

t r a b a j o iv necesar io para dup l icar la se

parac ión en t r e las p lacas?

16 .15 Se desea cons t ru i r un ca pac i to r

in te r ca lando una ho ja de pape l de

0,004

cm

de espesor entre hojas de es

t a ñ o . E l pape l t i ene una cons tan te d ie léc

t r ica r e la t iva de 2 ,8 y conduc i r á la e lec

tr icidad s i es tá en un campo eléctr ico

de in tens idad 5 x 1 0 ' V m

- 1

(o mayor ) .

Esto

es, la

tensión de ruptura

del pap el

es 50 MV m

- 1

. ( a ) Dete rminar e l á r ea

de p laca que se neces i ta para que un

capac i to r de es te t ipo tenga una capac i

tancia de 0 ,3

¡ iF .

(b) ¿Cuál es el poten

c ia máx imo que se puede ap l ica r s i e l

campo eléctr ico en el papel no debe

exceder la mitad de la tens ión de rup

tura?

16.16 Se desea con stru ir un capa cit or

de p lacas para le las u sando goma como

d ie léc t r ico . Es ta goma t iene una cons

tan te d ie léc t r ica de 3 y una tens ión de

r u p t u r a d e 2 0 M V m

_1

. E l c a p a c i t o r

debe tener una capac i tanc ia de 0 ,15

¡iF

y debe sopo r ta r una d i f e r enc ia de po ten

cial máxima de 6000 V. ¿Cuál es el á r ea

mín ima que deben tener las p lacas de l

c a p a c i t o r ?

16 .17 La capa c i tanc ia de un capac i to r

var iab le de r ad io se puede var ia r en t r e

50 pF y 950 pF girando el d ial de 0

o

a 180°. Con el dial en 180°, se conec ta



Problemas

637

e l capac i to r

a una

b a t e r í a

de 400 V.

U n a

vez

c a r g a d o ,

el

c a p a c i t o r

se

des

c o n e c t a

de la

b a t e r í a

y se

l l eva

el

dial

a

0

o

. (a)

¿Cuá l

es la

c a r g a

dei

capac i to r?

(b) ¿Cuál

es la

diferencia

de

po tenc ia l

en

el

c a p a c i t o r c u a n d o

el

d ia l m a r c a

0

o

?

(c) ¿Cuál

es la

ene rg ía

del

c a p a c i t o r

en e s ta

posición? (d)

D e s p r e c i a n d o

el

r o c e , d e t e r m i n a r

la

c a n t i d a d

de

t r a b a j o

necesa r io pa ra g i ra r

el

dial.

16 .18 Se carga un capacitor de 2 0 - ( J I F

a

una

d i fe renc ia

de

p o t e n c i a l

de

1 0 0 0

V.

L u e g o

se

c o n e c t a n

los

t e r m i n a l e s

del

c a p a c i t o r c a r g a d o

a los de un

c a p a c i t o r

d e s c a r g a d o

de

5-[¿F. Ca lcu la r (a )

la

ca rga

or ig ina l

en el

s i s t e m a ,

(b) la

d i fe renc ia

de po tenc ia l f ina l

en

c a d a c a p a c i t o r ,

(c )

la

energía f inal

del

s i s t e m a ,

(d) la

d i s m i n u c i ó n

de

e n e r g í a c u a n d o

se co

n e c t a n

los

c a p a c i t o r e s .

16.19

(a)

D e m o s t r a r

qu e

l a c a p a c i t a n c i a

de

un

capac i to r e s fé r ico

de

r a d i o s a y b

es

1,11 x

10 -

1 0

e

r

ab/(a —

b) .

( b ) D e m o s

t r a r q u e

la

c a p a c i t a n c i a

de un

c a p a c i t o r

ci l indrico

de

l o n g i t u d l

y

r a d i o s

a y b

es 1,11

x

1 0-

1 0

e

r

l/2

In (b/a).

16.20

Un

c ie r to capa c i to r e s tá hecho

de

25

h o j a s d e l g a d a s

de

m e t a l , c a d a

una

de

600

c m

2

de

á r e a , s e p a r a d a s e n t r e

si

c o r p a p e l p a r a f i n a d o ( p e r m i t i v i d a d r e l a

t iva igua l

2,6).

H a l l a r

la


de l s i s t em a .

16.21 T r e s c a p a c i t o r e s

de 1,5

y.F,

2

¡xF

y 3

¡iF

se

c o n e c t a n

(1) en

serie ,

(2) en

para le lo

y se les

ap l i ca

una

diferencia

d e p o t e n c i a l

de 20 V.

D e t e r m i n a r

en

cada caso (a )

la

capa c i t an c ia de l s i s t em a ,

(b )

¡a

c a r g a

y la

diferencia

de

po tenc ia ld e c a d a c a p a c i t o r ,

(c) la

e n e r g í a

del

s i s t em a .

1 6 . 2 2 D e t e r m i n a r

la


de la

disposic ión

de

c a p a c i t o r e s

que se

i lus t ra

en

la fig.

16-53.

Si el

vo l t a je ap l i cado

es de 120 V, ha l l a r l a ca rga

y la

diferencia

d e p o t e n c i a l en c a d a c a p a c i t o r así com o

la ene rg ía

del

s i s t em a .

16.23

En la

dispos ic ión

de


de

la fig.

16-54 ,

d = 3

y.F, C

2

= 2 (¿F

y C

3

= 4 ¡xF. El

vo l t a je ap l i cad o en t re

i o s p u n t o s

a y b

es 300 V.

H a l l a r

(a)

l a ca rga

y la

diferencia

de

p o t e n c i a l

de

cada capac i to r , (b )

la

ene rg ía de l s i s t em a .

U s a r

dos

m é t o d o s d i f e r e n te s p a r a

el

cá lcu lo

de (b).

1 6 . 2 4 D a d a

la

c o m b i n a c i ó n

de

c a p a c i

t o r e s

que se

m u e s t r a

en la fig.

1 6 - 5 5 ,

p r o b a r

que la

re lac ión en t re

C

1

y C

2

d e b e

ser

C

2

=

0,618 C

1

p a r a

que la


del

s i s t e m a

sea

i g u a l

a

C

2

.

1 6 . 2 5 U s a n d o

el

r e s u l t a d o d e l p r o b l e m a

a n t e r i o r , m o s t r a r

que la


de l s i s t em a

de la fig.

16-55

es

0 , 618 GV

[Sugerencia: O b s e r v a r q u e ,

si el

s i s t e m a

se cor ta s egún

la

l ínea

de

t r a z o s ,

la

s ec

ción

de la

de rec ha s igue s iendo ig ua l

a l s i s t em a or ig ina l porque é s te

se

c o m

p o n e

de un

n ú m e r o i n f i n i t o

de

c a p a c i

tores . ]

16.26

Un

t r o z o

de

d ie léc t r i co

se

i n t r o

d u c e p a r c i a l m e n t e e n t r e

las dos

p l a c a s

de

un

c a p a c i t o r d e p l a c a s p a r a l e l a s , c o m o

s e m u e s t r a

en la fig.

16-57 . C a lcu la r ,

en función

de

x,

(a) la


del

s i s t e m a ,

(b) la

ene rg ía

del

s i s t e m a

y (c)

la fuerza sobre

el

t r o z o . S u p o n e r

que

e l po tenc ia l ap l i cado

al

c a p a c i t o r

es

c o n s

t a n t e .

[Sugerencia: Se

p u e d e c o n s i d e r a r

e l s i s t em a com o

dos


en

para le lo . ]

16.27

Las

p l a c a s p a r a l e l a s

de un

c a p a

c i to r

en el

vac ío t i en en ca rg as

+ Q y.—Q

y la

d i s t a n c i a e n t r e

las

m i s m a s

es

x.

Las p lacas

se

d e s c o n e c t a n

de la

f u e n t e

de vo l ta je

que las

c a r g a

y se

a p a r t a n

1

a

A.

-~—-^-m

Figura

16-58

u n a p e q u e ñ a d i s t a n c i a dx.

(a)

¿ C u á l

es

l a va r iac ión dC

en la


del ca

p a c i t o r ?

(b)

¿Cuá l

es la

v a r i a c i ó n

dE& en

su ene rg ía?

(c)

I g u a l a r

el

t r a b a j o F dx

a l i n c r e m e n t o

de

ene rg ía dE& y h a l l a r

la fuerza

de

a t r a c c i ó n F en t re l a s p lacas ,

( d ) E x p l i c a r

por qué

F

no es

igua l

a Q( s i endo (

la

i n t e n s i d a d

de

c a m p o

e léc t r i co en t re

las

p l a c a s . R e h a c e r

el

p r o b l e m a p a r a

el

caso

en que

V

se

m a n

t i e n e c o n s t a n t e .

16.28

Un electrómetro,

c u y o d i a g r a m a

s e m u e s t r a

en la fig.

16-58 ,

se usa

p a r ad e t e r m i n a r d i f e r e n c i a s

de

p o t e n c i a l . C o n -




s i s t e e n una ba l a nz a c uyo p l a t i l l o i z

quierdo es un disco de á rea

S

colocado

a una d i s t a nc ia

a

de un p l a no ho r i z on ta l ,

fo rma ndo a s í un c a pa c i to r . C ua ndo se

a p l i c a una d i fe re nc ia de po te nc ia l e n t re

el

d isco y e l p lano, se produce una fuerza

ha c ia a ba jo sob re e l d i sc o . Pa ra r e s t a u ra r

e l equi l ibr io de la ba lanza , se coloca

u n a m a s a m sob re

el

otro_ pla t i l lo . De

m o s t r a r q u e

V

= á\í2mg/e

a

S. |

Observa

ción: En e l inst rumento rea l e l d isco

e s t á rode a do po r un a n i l l o ma n te n ido

al

mismo

po te nc ia l pa ra a se gu ra r que

el

camiji)

sea uniforme en todo e. í dis-

co.l

16 .29 C ua t r o c a pa c i to re s

es1

án d is pues

to s c omo se mue s t ra en la fig. 16-59.

Se apl ica una di fe renc ia de potenc ia l

V

Figu ra 16 -59

e n t re l o s t e rmina le s

A y B y

se conec ta

u n e l e c t r ó m e t r o E e n t r e C y D pa ra de

t e rmina r l a d i f e re nc ia de po te nc ia l e n t re

ellos.

P r o b a r q u e e l e l e c t r ó m e t r o m a r c a

cero si Ci/C

2

--=

C

3

/C.

E s t a es una d i s

pos i c ión e n pue n te que pe rmi t e de t e r

mina r l a c a pa c i t a nc ia de un c a pa c i to r

e n func ión de un c a pa c i to r pa t rón y de l

c oc ie n te e n t re dos c a pa c i t a nc ia s .

16 . 30 En un me d io ion iz a do ( t a l c omo

un gas o un e lec t ro l i to) hay iones posi

t i vos y ne ga t ivos . D e most ra r que s i c a da

ion l leva una carga

±ve

l a de ns ida d

de c o r r i e n te

es j

=

ve(n+v+

—

n _ u _ ) ,

d o n

de n+ y n_ son e l número de iones de

c a da c l a se po r un ida d de vo lume n .

16.31 Se ha est i ma do que e l cob re t iene

cerca de 1Ü

29

e l e c t rone s l i b re s po r me t ro

c ub ic o ,

Usando

e l va lo r de ¡ a c onduc t i

v idad de l cobre dado en la tabla 16-2 ,

e s t ima r e l t i e mpo de re l a j a mie n to pa ra

iin

e lec t rón de l cobre ,

16.32

La c o r r i e n te e n un c onduc to r

está dada por / = 4 + 21-, d o n d e

/

está

e n a mpe re s y t en segundos. Hal la r e l

va lo r me d io y e l va lo r me d io c ua d rá t i c o

de la cor r iente ent re í = 0 y

I

= 10 s.

16 . 33 D e t e rm ina r l a r e s i s t e nc ia t o t a l

e n c a da una de l a s c ombina c ione s que

se mue s t ra n e n l a f i g . 16 -60 . D e te rmina r

además la corr iente y la d i fe renc ia de

po te nc ia l e n t re l o s e x t re mos de c a da

resistor .

16.34 (a ) Calcular la resisten c ia equi

v a l e n t e e n t r e

x

e

y

de l c i rcui to de la

fig. 16-61. (b) ¿Cuál es la diferencia de

po te nc ia l e n t re r y

a

si la corr iente en

e l resistor de 8

ohms

es de 0 ,5 amperes?

16.35 (a ) El resis tor la rgo entre

a y b

de la f ig . 16-62 t iene una resistenc ia de

300 ohms y der ivac iones a un te rc io

de su longi tud. ¿Cuál es la resistenc ia

equiva lente entre x e y? (b) La di fe renc ia

3íí

12

n

r v W h

6fi

<a)

COA

rvVA-f-AAA-f-i

4 0

L-vAyA/—'

20 a

-WSA-

5 «

wv

9fi

6 n

4v¿50 j t fc££} . -

3u n

-AAA-

3 )

V\AA-

Fif>ura

16-60



Problemas 639

40 n


I—VvA

Figura 16-63

WV\A-

« i -


d e p o t e n c i a l e n t r e

x e y es

320 V. ¿Cuál

es l a d i fe renc ia de po tenc ia l en t re b y c?

16.36 Cada un o de los t re s res is tore s

de la f ig. 16-63 t iene una res is tencia

de 2

ohms

y p u e d e d i s i p a r u n m á x i m o

de 18 wa t t s s in ca len ta rse exces iva

m e n t e . ¿ C u á l es l a p o t e n c i a m á x i m a q u e

e l c i rcu i to puede d i s ipa r?

16.37 T res re s i s to re s igua le s s e con ec tan

en s e r ie . Cuando se ap l i ca una c ie r t a

d i fe renc ia de po tenc ia l a l a com binac ión ,

é s t a c o n s u m e u n a p o t e n c i a t o t a l d e

10 wa t t s . ¿Qué po tenc ia consum irá s i

los t re s re s i s to re s s e conec tan en pa ra le lo

a l a m ism a d i fe renc ia de po tenc ia l?

16.38 D ad a la dispos ic ión de res is to res

que se muestra en la f ig. 16-64, probar

que l a re lac ión en t re

/? ,

y R

2

es R

z

=

1,618Í?

X

.

[Sugerencia:

Ob se rva r que s i

e l s is tema se corta a t ravés de la l ínea

de t razos , la sección de la derecha es

aún igua l a l s i s t em a or ig ina l porque é s te

es tá com pues to de un núm ero in f in i to

de res is tores . ]

16 .40 La cor r i e n te m áx im a pe rm is ib le

en l a bob ina de un ins t rum ento e léc t r i co

es 2,5 A. Su res is tencia es 20

Cl.

¿Qué

debe hace rse pa ra inse r ta r l a (a ) en una

l ínea e léc t r i ca que conduce una cor r i en te

de 15 A, (b ) en t re dos pun tos que t i enen

una d i fe renc ia de po tenc ia l de 110 V?

16 .41 ¿Cóm o va r ía l a re s i s t enc ia de un

a lam bre cuando (a ) s e dup l ica su lon

g i tud , (b ) s e dup l ica su s ecc ión t rans

ve rsa l , (c ) s e dup l ica su rad io?

16 .42 Dis cu t i r los e r ro r es com et ido s en

l a m e d i d a d e u n a r e s i s t e n c i a u s a n d o u n

v o l t í m e t r o y u n a m p e r í m e t r o c o m o s e

m ues t ra en l a f ig . 16-66 cuando la s re

s i s t enc ia s

Rv

y

RA

d e l o s i n s t r u m e n t o s

s e d e s p r e c i a n . ¿ C u á l m é t o d o d a e l m e n o r

e r r o r c u a n d o

R

e s ( a ) g r a n d e , ( b ) p e

q u e ñ o ? O b s e r v a r q u e , e n g e n e r a l ,

Rv es

m u y g r a n d e y

RA

e s m u y p e q u e ñ o .

1 6 . 4 3 L a s m e d i d a s q u e a p a r e c e n e n l a

t a b l a 1 6 - 5 c o r r e s p o n d e n a l a c o r r i e n t e

y a l a d i fe renc ia de po tenc ia l en t re

los ex t rem os de un alambre de c ie r to

m a t e r i a l ,

(a ) Hace r e l g rá f i co de V en

func ión de I. ¿S igue e l m a te r ia l l a l ey

d e

Ohm?

Es t im ar en e l g rá f i co l a re s i s

t e n c i a d e l m a t e r i a l c u a n d o l a c o r r i e n t e

es de 1,5 A. Es ta res is tencia se define

com o e l coc ien te

A V / A /

c u a n d o l a s v a r i a

c i o n e s s o n p e q u e ñ a s y s e o b t i e n e t r a

z a n d o l a t a n g e n t e a l a c u r v a e n e l p u n t o

d a d o , ( c ) C o m p a r a r s u s r e s u l t a d o s c o n

la res is tencia media entre 1,0 A y 2,0 A.

16.44 El gráfico de la f ig. 16-67 i lus t ra

la va r iac ión de l vo l t a je con l a cor r i en te

(sobre una e sca la loga r í tm ica ) , pa ra d i fe

r e n t e s t e m p e r a t u r a s d e u n s e m i c o n d u c

tor,

(a ) Es t im ar l a re s i s t enc ia de l s em i

c o n d u c t o r a l a s t e m p e r a t u r a s i n d i c a d a s

y hacer e l gráfico de la res is tencia en fun

c i ó n d e l a t e m p e r a t u r a e n e s c a l a

s em i-




10 -

R

<í>

(b)

F igu ra 16-6fi

l o g a r í t m i c a ,

(b ) Supon iendo que

la

var ia

ción en la resistencia se debe totalmente

a la var iación en el número de cargas

po r unnlod de vo lumen , es t imar el co

ciente

a ¡ 00 '

mire su valor a 300-'C

TABLA 16-5

su vaior

I, amp

0,5

,0

2,0

4,0

V, volts

1

4,75

5,81

7,05

8.56

Id.45 El enc uit o de la f ig . 16~t>>¡ se

l lama

purr.it:

«V

Wht'alslore.

Se usa para

med i r r es i s tenc ias . Dem os t r a r que cu pu

de la corr iente a t ravrs del gaivimó--

sneíro (I

es (aro (de mK i> que

los

p u n i o s

D y C están al misino potenc ia ) , se

cumple -fí.'/fü - R-¿;R:'í. ASí. si se cono

ce n

R.,

y ei cociente

R.

t

'R

s

,

podenius

ob tener la r es i s tenc ia R

L

.

10.46 La f ig . 16-60 m ue str a un poten

ciómetro u sado para med i r la f em W

de una p ila

x;

B es una bater ía y St es una

pila patrón de fem Vst. Cuando el con

mutador se coloca en 1 ó en 2 , se m u e v e

la der ivación

6

h a s t a q u e

el

g a l v a n ó

m e t r o G m a r q u e c e r o . D e m o s t r a r q u e s i

l

x

y l

2

son las d i s tanc ias co r r esp ond ien tes

desde 6 h a s t a a, en tonces

\'

z

= Vst(/i//

2

)-

16 .47 Vo lv iendo a l po te nc ió me tro de

la fig. 16-69, la fem de

B

e s a p r o x i m a d a

men te 3 V y su r es i s tenc ia in te rna es

desconoc ida ; S t es una p i la pa t rón cuya

fem es

1,0183

V . Se pone e l conmutado r

> 1.0

0.1

100°C

200°C

300°C

_L

0.1 1.0 10 100 1000

F i s u r a 1C-67

en ei

p u n t o ,

2 , coloc ando así la p i la

pa t rón en e l c i r cu i to de l ga lvanómetro .

Cuando

la der ivac ión b

está

a 0,36 de

la d is tanc ia en t r e

a y

c, en el galvanó

metro se lee ce ro , (a )

6

Cuá es la d ife

r enc ia de po tenc ia l en t r e ¡ o s ex t r emos

del res is tor

acl

ib ) Se pone e l conmutado r

en e l pun to 1 y se lee nuevamen te cero

en e l ga lvanómetro cuando b está a 0,47

de la d i s tanc ia en t r e

a

y c. ¿Cuál es la

fem de la pila

x?

16.48 La d iferencia de poten cial ent re

los terminales de una bater ía es de 8 ,5 V

cuando por el la pasa una corr iente de 3 A

desde e l t e rmina l nega t ivo a l pos i t ivo .

Cuando la corr iente es de 2 A en sentido

con t r a r io , l a diferencia de potencial se

i.

1

, 1-7

fí

¿-«.i

Figu ra

16-(>8

hace igual a 11 V. (a) ¿Cuál es la resis

tenc ia in te rna de la ba te r ía? (b ) ¿C uál

es su fem?

16.49 E n el circ uito de la fig. 16-70,

de te rminar ( a ) la co r r ien te en la ba te r ía ,

(b) la d iferencia de potencial entre sus

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Problemas

641

x^r

L»

* i .

\ •

d

Figura 16-69

i¡V,

i

S cada pila

i l l l l l —

12 íí

r - v W S

6<2

4

22 12

5Í2

Figu ra 16 -70 20 íí

12 V , 1 S2

¡lo v

~¡~3 <2

¡ 2 <2

h ) V

' 1 í 25 V

4 <> -

•9S2

4

íí

r v W H

ib)

fi

••>

V

' 12 2

10 Sí ,25V

fi

:i

L-vVNA-j |—vAAA-l

4 0

rWNA-WA^- ,

ov - i

3

"

(o)

-1(

2ü

2V

o—A/V^-*—AAA—11

1

U

2 2

A V

« 2

Figura 16-71

F i g u r a 16-72

t e rmina les y ( c ) la co r r ien te en cada

c o n d u c t o r .

16 .50 De te r mi na r la co r r ien te en cada

cond ucto r de la r ed que se m ues t r a en

la flg. 16-71.

16 .51 ( a ) De te r mi na r la d i f e r enc ia de

po tenc ia l en t r e lo s pun tos a y b de la

fig.

16-72. (b) Suponiendo que a y b

es tén conec tados , ca lcu la r la co r r ien te

en la pila de 12 V.

16.52 (a) E n la

í l g / 1 6 - 7 3 a ,

¿cuál es la

d i f e r enc ia de po tenc ia l

Van

cuando e l

i n t e r r u p t o r S está abier to? (b) ¿Cuál es la

co r r ien te a t r avés de l in te r rup to r S

cuando éste se cier ra? (c) En la f ig .

16-73b, ¿cuál es la d iferencia de poten

cial

Vat

c u a n d o e l i n t e r r u p t o r

S

está

Figura 16-73

ab ie r to? (d ) ¿C uál es la co r r ien te a t r avés

d e l i n t e r r u p t o r S c u a n d o é s t e e s t á

cer r ado? ¿ C uál es la r es i s tenc ia equ iva

lente del circuito de la f lg .

16 -73 ,

(e ) c u a n

d o e l i n t e r r u p t o r S es tá ab ie r to? , ( f )

¿ c u á n d o e s t á c e r r a d o ?

16 .53 Un conduc to r c i l ind r ico hueco ,

de long i tud L, t i e n e r a d i o s R

x

y fi

2

.

Se ap l ica una d i f e r enc ia de po tenc ia l

e n t r e s u s e x t r e m o s d e t a l m o d o q u e u n a

co r r ien te 7 f luye par a le lam en t e a su e je .

D e m o s t r a r q u e , s i a e s l a c o n d u c t i v i d a d

de l mater ia l , l a r es i s tenc ia de l conduc

tor es

L/T.O{R\ — R\).

16 .54 Un conduc to r c i l ind r ico hueco

d e l o n g i t u d

L

-tiene radios f i j y

R2.



642 Campos elextromagnélicos estáticos

Fiarura ;'

;

Figu ra 1G-T5

Se apíica uní) diferencia de poter.rnV.

entre las superf icies in ter ior y exter ior-

de modo que la corr iente / fluya en direc

ción radial bacía afuera. Dernos i^r

« nc ,

si

•<

es la

conductividad del

rosten,: ,

k¡ resi

c

'eoc'a

es

\x\(HJR,);'J:xoL.

16

5*i

í.íi aguja de un

galvanómetro se

de.-, vid com ple jam ent e ¿obre

se

escala

dsiones) c u a n d o la corr iente es

ai A La r es i s tenc ia del g;:iva;.U

aU

?s

"i o

: ,^

u e

cebe nacer se pe

u n a m p e r í m e t r o

a

transíeniiar<o (a; en

el cuaí cada d iv is ión corresponda a 0 ,2 A.

(b,i en un voltímetro en el cual cada

•división corresponda a 0,5 V?

16.56 El statampere (s tA) es una unidad

de co r r ien te e léc t r ica co r r espond ien te a

u n s t C p o r s e g u n d o . E v i d e n t e m e n t e

1 ¡ \ •-- 3 x 10

9

s t A . D e m o s t r a r q u e

cuando e l campo magnét ico se exp resa

en gauss (ver p rob lema 15-53) la corr iente

en s tA, la d is tancia en cm y la densidad

de co r r ien te en s tA cm"

2

, la ec . (16.67)

se conv ie r te en

jli'dl

= i x 10"

10

/ y Sa

ec . (16.78)

es

rot

13

=

i x

l í r

1 0

? .

10

57

Una

unidad para" e c a m p o m a g

n e t i z a n t e e s ei

oersted.

Se define como

e l cam po ma gne t iza n te p roduc ido po r

una co r r ien te r ec t i l ínea de 3 x 10

10

s tA

en un pun to s i tuado a 2 cm de la corr ien

te ,

(a) Pro ba r que 1 A m~

l

es igual a

4 x 10~

3

oersted, (b ) Demos t r a r que e l

c a m p o m a g n e t i z a n t e d e u n a c o r r i e n t e

recti l ínea es

-M = 21/3

x 10

10

r , cu ando

~K

se mide en oers ted , / en s tA y r en

cm. (c) Probar que, en función de las

mismas unidades, la ec. (16 .85) se con

v ie r te en §H-dl = 4rr//3 x 10

10

.

16.58 El ci l indro hueco con duc tor de

la flg,

10-74,

de radios

i?j

y

H„ ,

conduce

una co r r ien te / un i fo rmemen te d is t r i

bu ida en

KU

secc ión t r ansve r sa l . Usandola ley de Ampere . p robar qa e el campo

mag nét ico a d is tanc ias r > fí

2

es ti =

y,.I,2~r, que el cam po para

R,

< r <

R

2

es

Uo/(r' — fl*)/2r:(flí —

R\)r,

y qr.e

es cero para r <

R,.

l'..i;'} l n cab le coa xial se forme, ro

d e a n d o

un

conductor ci l indr ico sólido

o. ' radio /?

con

un c i l ind ro conduc to r

coixial de r ad io in te rno

K,

y radio

cvlerno U (flg. 16-75 i. En la p r ác t ica

«

c

ua so envía una corr iente por el cable

in ter ior que regresa por la capa exter ior .

Usando la ley de Ampére , de te rminar

e l campo magnét ico en pun tos en las

d is t in tas r eg iones den t ro y fuera

de

cabie. Hacer el gráf ico de

tí

en función

de r Supone r que a dens idad de co r r ien

te es uniforme.

16.60 La tab la 16-6 da me did as expe r i

men ta les de la su scep t ib i l idad magnét ica

de l a lumbre de amon io h ie r ro . Hacer

un gráfico de

1/xm en

función de la tem

pera tu ra abso lu ta y de te rminar s i va le

la ley de Cur ie. En caso af irmativo , ¿cuál

es ia cons tan te de C ur ie?

TABLA ¡(i-e

t

=

r

— 2 5 8

—173

— 7 3

27

*„

75,4 x K T

1

11,3 x

1( T

4

5,65 x

ICE

4

3,77 x 10-"

16.61 Usa ndo e l operad o r V = u

x

(d/8x)

4- u

y

(d¡ú j)

f Ui(d/8z)

definido en la

sección 8 .7 , demostrar que se ver if ican

las s igu ien tes iden t idades : d iv A ~ V-A,

ro t

A ---: V *

A.

16.62 Us and o el ope rado r V, reescribir

las ecuaciones d iferenciales del campo



Problemas

643

e lec t romagnét ico que

tabla 16-4 .

aparecen en

16.63 Usan do e l r esu l tado de p rob lem a

16.61,

pr ob ar que ro t g rad V = V x

(VV) = 0 y que d iv ro t A =-- V• (V x A)

= 0 . Dos r esu l tados impor tan tes se de

ducen de es tas iden t idades : uno es que ,

como para e l campo e lec t ro s tá t ico c" =

— g r a d

V,

e n t o n c e s r o t

£ —

V * £ = 0;

40 cm

Figura 16-76

es te r esu l tado se es tab lec ió en la ec.

(16 .79) .

La o t r a es que como para e l

c a m p o m a g n é t i c o d i v 'U = v" • '33 = 0 , en

tonces ex is te un campo vec to r ia l sí tal

q u e

93

= V x sí . E l vec to r de campo r f

se l lama po tenc ia l vec to r ia l de l campo

e l e c t r o m a g n é t i c o .

16 .64 De mo s t r a r que e l po tenc ia l vec

to r ia l de un campo magnét ico un i fo rme

es si = i D x r . [Sugerencia: Suponer

q u e

?J

está según el eje Z. Ob tener las

c o m p o n e n t e s c a r t e s i a n a s d e si y luego

ha l la r V x sí.]

16.65 Pr ob ar que en un me dio en el

cua l ex is te una co r r ien te e léc t r ica un i

fo rme de dens idad cons tan te , e l campo

m a g n é t i c o e s

18

=

i^j

x

r. [Sugerencia:

Ver i f ica r que va le la r e lac ión ro t H =

V x '?J = y^j.]

16 .66 Escr ib i r el o p e r a d o r V

s

= V-V.

L u e g o d e m o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n d e

Laplace

(16.7) y la ecuación de Poisson

(16 .6 ;

se pueden escr ib i r , r espec t iva

m e n t e c o m o V V = 0 y

V V

= —

p/e

a

.

16 .67 En una c ie r ta r eg ión e l mó du l o

d e l c a m p o m a g n é t i c o 73 es 2

2"

y su

d i r ecc ión la de l e je pos i t ivo X d e

la

fig. 16-76. ( a ) ¿C uál es e l f lu jo magnét ico

a t r avés de la super f ic ie abcd de la

f igura? (b) ¿Cuál es el f lu jo m ag né tic o

a través de la superf icie befcl (c) ¿Cuál

es e l f lu jo magnét ico a t r avés de la

superf icie aefa"i

16 .68 De te r mi nar e l f lu jo ma gné t ico a

t r avés de l c i r cu i to r ec tangu la r de la f i

gu ra 16 -77 cuando po r el a l a m b r e r e c t o

f luye una co r r ien te / .

F igu ra 16 -77

16 .69 In t ro duc ien do en la ec. ( 16 .78 )

el valor de

9í

dado por la ec. (16 .83)

p r o b a r q u e r o t K — ( (jubre + ro t 7 / í) .

Interpretar

e s t e r e s u l t a d o c o m o i n d i c a

c ión de que e l e f ec to de la magnet izac ión

de l med io es equ iva len te a la ad ic ión

d e u n a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e d e m a g n e

t izac ión jgit = ro t ffl, a la den s ida d de

co r r ien te l ib r e .



17

CAMPOS

ELECTROMAGNÉTICOS

DEPENDIENTES DEL TIEMPO

17.1 Introducción

17.2 Ley de Faraday-Henry

17.3 El betatrón

17.4 Inducción electromagnética debida al movimiento relativo

de un conductor y un campo magnético

17.5 Inducción electromagnética y el principio de relatividad

17.6 Potencial eléctrico e inducción electromagnética

17.7 Ley de Faraday- Henry en forma diferencial

17.8 Autoinducción

17.9 Energía del campo m agnético

17.10 Oscilaciones eléctricas

17.11 Circuitos acoplados

17.12 Principio de conservación de la carga

17.13 Ley de Ampére-Maxwell

17.14 Ley de Amp ére-Ma xwell en forma diferencial

17.15 Ecuaciones de Maxw ell



17.2)

J.7.1 Introducción

Ley de

Faraday-Henrn

645

En eí capítulo anterior consideramos campos eléctr icos y magnéticos indepen

dientes

del tiempo o, en

otrss

palabras , es táticos.

En

este capitulo considera

remos cam pos que depen den rid tiem po, es, decir, que

varían

en el t iempo. Po

demos esperar que exis tan nuevas relaciones an est e ca so. E n la sección 15.12

vimos la íntima relación entre las partes eléctr ica y magnética de un campo

electromagnético, especialmente en lo que se refiere a las propiedades de t r a n s

formación del campo electromagnético exigidas por

eJ

principio de relatividad.

En este capitulo veremos que un campo magnético variable exige la presencia

de un campo eléctr ico, e inversamente: que un campo eléctr ico variable exige

un campo magnético, y que esto es también un requisito del principio de re la

tividad. Las leyes que describen estas dos s ituaciones se denominan ley de Faraday-

Henry y ley de

Ampére-Maxwell.

17.2 Ley de Faraday-Henry

Uno de los muchos fenómenos electromagnéticos con los cuales el es tudiante

está familiarizado es la inducción electromagnética, que fue descubierta casi

s imul táneamente hacia 1830 por Michael Faraday y Joseph Henry , aunque

es taban t rabajando independientemente . La inducción e lec t romagnét ica es e l

principio sobre el que se basa el funcionamiento del generador eléctr ico, el trans

formador y muchos otros dispositivos de uso diario. Supongamos que se coloca

un conductor eléctrico en forma de circuito dentro de una región en la que hay un

campo magnético. Si el flujo magnético

<&&

a través del conductor cerrado varía

en el tiempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo está

variando). La presencia de una corriente eléctr ica indica la exis tencia o inducción

de una fem actuando en el circuito. Midiendo esta fem inducida se encuentra que

depende de la rapidez de variación

d<t>ge¡dt

del f lujo magnético. Por ejemplo, s i

se coloca un imán cerca de un conductor cerrado, aparece una fem en el circuito

cuando el imán (o el circuito) se mueve de tal modo que cambia el flujo mag

ín) (B

aumenta

(b) <B disminuye

Fitr,

17-1.

Campo eléctrico producido por un campo magnético depe ndiente deltiempo; (a) d&gs/dt positiva, Vs negativa; (b) d<&»/dí neg ativa , Vs positiva.



646 Camp os electromagnéticos dependientes del tiempo (17.2

nético a través de circuito. El valor absoluto de

'a iern

inducida depende de si el

imán (o

e

circuito)

se mueve

rápida o

len tamente .

Cuanto mayor sea la rapidez

de variación del ílujo,

mayor

será la

fem. inducida. E

sentido en que actúa la fem

inducida cambia según que el campo rnammtico aumente o disminuya.

Par-i ser urna

precisos,

rdiramemos

a la

f

£, 17-1, donde se ha orien tado la

curva :.. de emitido con

la

re^sa

Je i;

sección

3.10,

e-

decir, ers el sentido de un

..or-'li.

d.-

luiee

úer'

cha qiu

:

svaiuc m

'•••

di-ce ice de

1

campo magnético

}} .

Cuando

e

y.ú)

• -i'.-.inttico i cn -

:C;; (>-,•...

,y •> s •-•?;• es positiva), la fem inducida Ve

¡•cine

•••:•: jen t'dc re. .d i ••••:•, .medre-" rpm modo id :'aio ma 'nptic> disminuye

;e-,m '.fe maje-// v

¡;e :

íha;, , >Y actúa - ¡

e-,:j

t.- peCimo. Por lo tanto el ?v;¡-¡o

- x,--

¿*

, - \

,_-—--""' ^ - ' " ' Pigar» 17-2

de la fem inducida

V¿-

siempre es opuesto al de d^m'dt. Medidas más exactas

revelan

que

el valor de la

Vm

inducido es,

canndo

se expresa en volts, igual a

la ciernad-j

del flujo

mague'ico eco

respecto ai t iempo, expresada en Wb

s"

1

.

En íomseeu'aioia podemos escribir

Ve - — ----•- . 07.1)

di '

que expresa la ley de Faraday-Henry para la inducción electromagnética. En

palabras ia

podemos

establecer así;

en un campo magnético variable se induce una fem en cualquier cir

cuito cerrado,

a

cual es

igual a menos

la derivada con respecto al

tiempo dd flujo magnético a través del circuito.

Es importante verificar eme la

ec.

(17.1) es compatible en cuanto a unidades.

Sabemos que Ve se expresa en V ó m

2

kg ¡r

2

C"

1

. Recordemos de la sección 16.14

qu e

't'v s¡

expresa en Wb o sea nr

V«

s

_i

C~-

.sor

lo que d'Pmldi se debe expresar

en Wb

m

3

o sea rn

2

kn

s"

2

C ' \

Po r

'<•:•

t a n to , ambos miembros de la ec. (17.1)

están expresados en las mismas unidades.



17.2) Ley de

Faradag-Henry

647

Refiriéndonos a la fig. 17-2, si dividirnos la superficie limitada por L en ele

mentos infinitesimales de área, cada uno orientado de acuerdo con la regia e s t a

blecida en la sección 3.10, el flujo magnético a través de L es <£># =

Ss'T5'Ux

dS,

conforme a la sección 16,14. Además, la fem V

6

implica la exis tencia de un campo

eléctrico C tal que V's

—

Pv(:'dl,

según la

ec .

(16.60). Podemos por lo tanto

escribir la ec. (17.1) en la forma equivalente

í <f. di

=

— 4- í B •

u

N

dS.

(17.2)

J

L di J

s

Olvidemos ahora que el camino L coincide con un conductor eléctr ico tal como

un alambre cerrado y consideremos en cambio una región del espacio en que

existe un campo magnético variable en el t iempo. Entonces la ec. (17.2) es equi

valente a decir :

un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de

un campo e léctrico tal que su circulación a lo largo de un camino

arbitrario cerrado es igual a menos la derivada con respecto al tiempo

del flujo magnético a través de una superficie limitada por el camino.

Esta es otra manera de expresar la ley de Faraday-Henry para la inducción

electromagnética. Da una vis ión más profunda del contenido f ís ico del fenómeno

de inducción electromagnética, es decir , del hecho de que s iempre debe haber

un campo eléctr ico cuando un campo magnético está variando en el t iempo,

estando los dos campos relacionados por la ec. (17.2). El campo eléctrico se puede

determinar midiendo la fuerza que actúa sobre una carga en reposo en la región

donde el campo magnético está variando. De esta manera se ha confirmado expe-

rimentalmente nuestra interpretación de la ec. (17.2).

EJEMPLO 17.1. Se coloca un circuito plano de N vueltas , cada una de área S,

perpendicularmente a un campo magnético uniforme que varía en el tiempo en

forma alternada. La ecuación del campo es '"tí =

'tí

0

sen

oií.

Calcular la fem inducida

en el circuito.

Solución:

E l flujo a través de una vue lta del circuito es í>» = STi =

S

r

tí

0

sen io

y el flujo total a través de las N vueltas es

Ose = NS tí

0

sen

o>f.

Aplicando la ec. (17.1) obtenemos entonces para la fem inducida

V

S

=

— i ü l i . = —

JVS"73„a>

COSCúí, (17.3)

di

la cual indica que la fem inducida es ocilatoria o alterna con la misma frecuencia

que el campo magnético.

EJEMPLO 17,2. En una región del espacio hay un campo magné tico que es par a

lelo al eje Z

y

tiene simetría axial, es decir, que en cada punto su módulo depende

sólo de la distancia

r

al eje

Z.

El módulo también varía en el t iempo. Determinarel campo eléctrico £ en cada punto del espacio.



648 Cam pos electromagnéticos dependientes del tiempo

(17,3

(n) (b)

Pig. 17-8. Campo eléctrico producido por un campo magnético dependiente del

tiempo que tiene simetría axial; (a) vista lateral, (b) corte transversal.

Solución: Supongamos que el campo magnético decrece alejándose del eje Z. La

fig. 17-3(a) muestra una vista lateral del campo y la fig. 17-3(b) una sección trans

versal.

La simetría del problema sugiere que el campo eléctrico £ debe depender de r

solamente, y que debe ser perpendicular al campo magnético y al radio vector r.

En otras palabras: las líneas de fuerza del campo eléctrico C son circunferencias

con centro en el eje Z. Eligiendo una de estas circunferencias como nuestro camino L

para la

ec.

(17.2), tenemos

Ve

= i C-dl

c~(2nr).

Por lo tanto, usando la ec. (17.1), obtenemos

<¿Oí9

<í (2w) = —

dt

(17.4)

El campo magnético

promedio fí

en una región que cubre un área S se deflne_como

°ñ

= $»/S o sea

<t>m

= VS. En nuestro caso S = Ttr

2

, de modo que

í>SB

= Q^jrr

2

).

Entonces la ec. (17.4) nos da para el campo eléctrico a una distancia r del eje

< — ' ( • £ ) •

Si el campo magnético es uniforme, '•¡8 =

ÑB.

(17.5)

17.3 El betatrón

Los resultados del ejemplo 17.2 se han usado para diseñar un acelerador de elec

t rones l lamado betatrón, inven tado en 1941 por el f ís ico no rteame ricano D. Ke rst.

La idea es muy simple en principio. Si se inyecta un electrón (o cualquier partícula

cargada) en una región donde hay un campo magnético variable que tiene s ime-



17.3)

El betatrón

649

tria axial, el electrón será acelerado por el campo eléctrico asociado £ dado por

la

ec ,

(17.2) o la

ec .

(17.5). A medida que el electrón gane velocidad, el campo

magnét ico 93 curvará su trayectoria. Si se ajustan los campos eléctr ico y magné

tico en forma apropiada, la órbita del electrón será una circunferencia. En cada

revolución el electrón gana energía, por lo qt¡e.después de describir varias revo

luciones se ha acelerado adquiriendo una energía determinada; cuanto mayor

sea el número de revoluciones, mayor será la energía.

Para ver el problema con más detalle consideremos el electrón en el punto

P

(fig.

17.3).

Si las cosas se arreglan de modo tal que el electrón describa una cir

cunferencia de radio r, el campo eléctrico

producirá un movimiento tangencial que

se determina usando dpjdt = F'r (ver

sección 7.12) con una fuerza tangencial

F-r — — e{, de modo que

dp

~dT

=

— e£

-*(£)

(17.6)

Para generar un movimiento circular , el

campo magnético debe producir la ace

leración centrípeta necesaria. El módulo

de la fuerza centrípeta es, según la

ec. (15.1),

Fjv

= etfíd. Usando

pv¡r = Fs

(ver sección 7.12), obtenemos

Fig. 17-4.

betatrón.

Tiempo de aceleración en un

pvjr — ev93

p = e¡93, (17.7)

y derivando respecto al t iempo, teniendo en cuenta que r es constante porque la

trayectoria es una circunferencia, tenemos

dp d93

dt dt

Si comparamos ésta con la ec. (17.6), concluimos que la condición necesaria para

que el electrón describa una órbita circular bajo la acción combinada de los

campos eléctr ico y magnético es que, a cualquier dis tancia r , el campo magnético

debe ser

93 = fB (17.8)

donde 93 es el valor promedio de 93 en la reg ión en tre Z y L . E s to impone c ier tos

requisitos en la manera cómo el campo magnético 93 pued e va riar en función

de la dis tancia radial r al eje. La variación exacta de 93 co n r se determina por el

hecho de que es necesaria cierta estabilidad del movimiento orbital . Esto es ,

dado el radio de

la

órbita deseada, las fuerzas que actúan sobre el electrón deben

ser tales que si se perturba ligeramente el movimiento del electrón (es decir, si

se le empuja hacia un lado o hacia otro de la órbita), las fuerzas eléctrica y mag

nética que actúan sobre el electrón tiendan a colocarlo nuevamente en la órbita

correcta.



650 Campo s electromagnéticos dependientes del tiempo

(17.3

Pig. 17-5. (a) Vista del tub o de aceleración y de las piezas polares de un b etat rón ,

(b) Ensamblando el tubo de aceleración en un betatrón.

En general, el campo magnético T3 es oscilatorio con un a frecuencia ang ular

u>.

Ahora bien, de acuerdo con las

ees.

(17.6) y (17.7), el electrón se acelera solamente

cuando el campo magnético está aumentando. Por otra parte, como en la prác

tica se inyectan los electrones con momentum muy pequeño, se debe hacerlo

cuando el campo magnético es cero. Esto significa que sólo un cuarto del período

de variación del campo magnético sirve para acelerar ios electrones. Los tiem

pos de aceleración están indicados por las áreas sombreadas en la fig. 17.4.



17.i) Inducción electromagnética 651

Ti l mom entum máxim o que ganan los electrones es , según la

ec .

(17.7),

Pinas ~

«r'/jg, y en consecuencia

la

energía cinética máxima de los

eie : roñes

acelerados es

Ek.max — — praax — - "'

2m

e

2m

e

si no se los acelera a energías altas con respecto a la energía en reposo

m

e

c

2

.

Pero

cuando la energía es bastante grande, comparable o mayor que la energía en

reposo m

e

c

2

del electrón, debemos usar las ees. (11.18) y (11.20), con lo que resulta

£*,max

= c ] / míe

2

+

eWjg

— m?c\

Los betatrones consisten en un tubo toroidal (fig. 17-5) colocado en el campo

magnético producido por un imán a cuyas piezas polares se les ha dado una

forma tal que se produzca la variación correcta del campo magnético ) j con r

conforme a ía ec. (17.8) y se satisfagan las condiciones de estabilidad. Los elec

trones se inyectan al comienzo del período de aceleración y se los deflecta al

f inal del mismo de modo que puedan incidir sobre un blanco s ituado conveniente

mente. La energía cinética de los electrones se disipa como energía de radiación

(capítulo 19) y/o como energía interna del blanco que se calienta. Los betatrones

se han construido para energías de hasta 350 MeV. Se usan para estudiar ciertos

tipos de reacciones nucleares y como fuentes de radiación para el tratamiento

del cáncer.

17.4 Inducción electromagnética debida al movimiento relativo

de un conductor y un campo magnético

La ley de la inducción electromagnética, expresada por la ec. (17.2), implica la

existencia de un campo eléctrico local siempre que el campo magnético en ese

punto esté variando en el tiempo. Si se la expresa por la ec. (17.1), implica la

existencia de una fem cuando el flujo magnético a través del circuito varia en el

t iempo, lis importante descubrir s i se obtienen los mismos resultados cuando el

cambio de flujo se debe a un movimiento o a una deformación del camino L sin

que necesariamente,

9J

varíe en el t iempo. Consideremos dos

casos

simples.

Consideremos la disposición de. cond uctore s ilust rad a en la fig. 17-6, donde el

conductor PQ se puede mover paralelamente a s í mismo con velocidad v m a n

teniendo contacto con los conductores

RT

y SU. El s is tema PQRS forma un

circuito cerrado. Supongamos también que hay un campo magnético uniforme

93

perpendicular al plano del sistema.

Cada carga q del conductor móvil PQ está sujeta a una fuerza qv x }} que

actúa, de acuerdo con la ec. (15.1), según QP. Ahora bien, la misma fuerza sobre

la carga se podría suponer debida a un campo eléctr ico "equivalente"

í '

eq

dado por

?í'eq

=qv

x

75

o

<feq=

V X

?j.



652 Campo s electromagnéticos dependientes del tiempo (17.4

Como v y 13 son perpendiculares, la relación entre los módulos es

<feq=^13.

(17.9)

Si PQ ~ l, hay entre P y Q una

diferencia

de potencial V = ¿^l = Idol. Sobre

las secciones QR, RS y SP no se

ejercen

fuerzas porque no se mueven. En con

secuencia la circulación de <f

e

q a lo largo del circuito PQRS (o sea la fem) es

s implemente VE = V en la dirección de v

x

13 , es decir

v

s

= m

Por otra parte, s i l lamamos x al segmento SP , el área de PQRS es Ix y el flujo

Y

Fig. 17-6. Fem inducida en un conduc tor que se muev e en un campo magnético.

magnét ico a t ravés de PQRS es

13-u

N

dS

=

93fe.

/

PQRS

La variación de flujo por unidad de t iempo es entonces

-£ - (93 / * )=9d ^ ,

dt di

t

Pero

dxjdt

= v; por lo t an to

— —

=

13lu =

V

8

.

di

En otras palabras: obtenemos la ec. (17.1). El s igno menos no aparece porque

sólo estamos considerando la relación entre módulos. Sin embargo, la

ec .

(17.1)



17.4)

Inducción

electromagnética 653

sigue siendo válida en cuanto a signo, ya que el flujo $>& es tá aumentando y e l

signo de Vs es el de v x 93, de modo que concuerda con la f ig. 17.1.

Como segundo ejemplo, consideremos un circuito rectangular rotando con

veloc idad angular

<a

en un cam po magn ético uniforme 9 3 (fig. 17-7) . Cua ndo la

nor ma l UN al circuito forma un ángulo 0 = al con el campo magnético 93, todos

los puntos de PQ se están moviendo con

una velocidad v tal que el campo eléc

t r ico "equiva lente"

¿

e

q

=

v

* 93 está

dirigido de

Q

a P y su módulo es

£

eq

=

tfí3

sen 6. Análogamente , para los pun tos que

están sobre RS , el sentido de v x

93

es

de S a R y su módulo es el mismo. En

cuanto a los lados RQ y PS vemos que

v x

93 es perpendicular a el los no ha

biendo diferencia de potencial entr e S y P

y

ent re R y Q. Luego, si PQ = RS =

l,

la circulación del campo eléctrico equi

va lente ¿"eq alrededor de PQRS, o sea

la fem aplicada, es

Ve =

¿.dI=íeq( í

>

0

+ SJÍ)

2/y93

sen 6.

Fig. 17-7. Fem ind ucida en una es

pira rotante colocada en un campo

magnético.

Los lados PS y RQ no cont r ibuyen a

Vs

porque en ellos

£

eq

es perpendicular

a

di

como ya se dijo. Si x = SP, el radio de la circunferencia descr i ta por las

cargas que están sobre PQ y SR es \x, por lo que v = co(^x) = +ux. Luego, como

S = Ix es el área del circuito y 6 = u/, podemos escr ibir

V

6

= 2Z(|ox)95 se n

o>/

= a>93(¿r) sen <¿i = o>93S sen <oí

para la fem inducida en el circuito como resultado de su rotación en el campo

magnético. Por otra par te , el f lujo magnético a través del circuito es

$« = 93 • u

N

S = 93S eos 6 = 93S eos U.

Luego

d®S6

~dt

= w93S s en

Cú/

= Vs-

Verificamos entonces nuevamente que la fem induc ida resul tante de l movimiento

del conductor también se puede calcular aplicando la ec . (17.1) o la (17.2) en

vez de las

ees.

(15.1) y (16.60).

Aunque nuestro estudio ha tratado sólo circuitos de formas especiales, un

cálculo matemático más detal lado indica que para cualquier circuito

la ley de la inducción electromagnética Vs = — d<Pm¡dl se puede

aplicar bien cuando la variación del flujo magnético <¡>m se debe a



65 4

Camp os electromagnéticos dependientes del tiempo

{17.5

una variación del campo magnético 93, bien cuando se debe al movi

miento o a la deformación del circuito a lo largo del cual se calcula

la

fem,

o cuando se debe a ambos.

La fem inducida en el segundo caso se suele denominar

fem de movimiento.

17.5 Inducción electromagnética y el principio de relatividad

A pesar de que, como se indicó en el párrafo anterior, la ley de la inducción elec

tromagnética expresada por las

ees.

(17.1) y (17.2) es válida cualquiera sea el

origen de la variación del flujo magnético, hay una profunda diferencia entre

las situaciones físicas correspondientes a las dos posibilidades. Cuando el obser

vador

ve

í

;

ue el cambio de flujo

magnético

a través de un circuito estacionario

en su propio sistema de referencia se debe a una variación dei campo magnético 93,

mide al mismo t iempo un campo eléelrico

{'

relacionado con 93 en la forma indi

cada por la ec. (17.2), y reconoce la presencia del campo eléctrico midiendo la

fuerza

que

se ejerce sobre una carga en reposo en su sistema de referencia. Pero

(a)

Figura 17-8

(b)

cuando el observador ve que el cambio de

flajo

magnético se debe a un movi

miento del conductor respecto a su sistema de referencia, no observa campo

eléctrico alguno y atribuye la fem que mide la fuerza qv x 93 ejercid a por el

cam po ma gnétic o sobre las cargas del conducto r móv il, de conformidad con la

ec . (15.1).

¿Cómo puede ser que dos situaciones diferentes y aparentemente sin relación

tengan una descripción común? No es cuestión de coincidencia sino estrictamente

consecuencia del principio de relatividad. No podemos entrar aquí en un análisis

matemático completo; en su lugar, examinaremos la

situación

desde un punto

de vista intuitivo. Consideremos el caso del circuito rotante estudiado en conexión

con la fig. 17-7. En un sistema de referencia en el cual el campo magnético 93

es constante (fig. 17-8a) y el circuito está rotando, no se observa campo eléctrico



17.7) Ley de Faraday-H enry en forma diferencial 655

alguno y la fuerza que se ejerce sobre los electrones del circuito se debe a la

ec, (15.1).

Pero un observador fijo a un sistema que se mueve con el circuito

ve un conductor en reposo y un campo magnético 93 cuya dirección rota en el

espacio

(íig. 17-8b).

Relaciona entonces las fuerzas que actúan sobre los elec

trones del circuito con

el

campo eléctrico ¿ asociado con el cam po ma gnético

variable, conforme a la ley de la inducción electromagnética según la expresa

la ec. (17.2). (El análisis mate má tico de este caso es algo co mplicado por que

involucra un sistema de referencia rotante; por ello será omitido).

Concluimos entonces que la verificación experimental de la ley de la induc

ción electromagnética para campos magnéticos variables es s implemente una

reafirmación de la validez general del principio de relatividad.

17.6 Potencial eléctrico e inducción electromagnética

En los capítulos 14 y 16 indicamos que un campo eléctr ico

<f

está asociado con

un potencial eléctr ico V de tal modo que las componentes de

¿f

según los ejes

X, Y y Z son las derivadas de V respecto a x, y y z con signo negativo. Esto es,

<?

x

= — dV/dx, etc.; o s implemente: el campo eléctr ico es menos el gradiente

del potencial eléctrico. Una consecuencia de esto es que la circulación del campo

eléctrico estático a lo largo de cualquier camino (cerrado) es cero, propiedad

que se expresa matemáticamente mediante la ec. (16.62) o

£-dl = 0 .

L

Sin embargo, cuando el campo electromagnético depende del t iempo, hemos

visto que la ecuación anterior ya no es válida; en su lugar tenemos la ec. (17.2)

|

£dl =

— f 9 3 - M

N

dS .

J

L dt J

s

Concluimos entonces que en un campo electromagnético dependiente del t iempo

a circulación del campo eléctrico no es nula, por lo que dicho campo no se puede

expresar como menos el gradiente del potencial eléctrico. Esto no significa que

e

concepto de potencial es completamente inaplicable en este caso, s ino solamente

que se debe usar en forma diferente. De hecho se necesitan dos potenciales; uno

se llama potencial escalar, similar al usado en el caso estático, y el otro potencial

vectorial, No tendremos ocasión de usar estos potenciales en este texto; los men

cionamos aquí sólo para señalar al es tudiante que cuando pase de los campos

estáticos a los dependientes del t iempo debe tener mucho cuidado acerca de

cuáles conceptos correspondientes al campo estático puede continuar usando.

17.7 Ley de Faraday-H enry en forma diferencial

La ley de la inducción electromagnética, en la forma expresada en la ec. (17.2)

se puede aplicar a caminos de cualquier forma. La aplicaremos ahora a un camino

rectangular infinitesimal

PQRS

colocado en el plano X Y y de lados

dx

y

dy



656 Campos electromagnéticos dependientes del tiempo (17.7

(fig. 17-9). Debemos calcular primeramente la circulación del campo eléctrico ¿\

El procedimiento es similar al que seguimos en la sección 16.13 cuando estudiamos

la ley de

Ampére

en forma diferencial; ios detalles los encontrará el estudiante

en aquella sección. Para la superficie infinitesimal PQRS en el plano XY podemos

escribir

e-dl = f +

I

+ f + f f-dl.

PQRS J PQ J QR J RS J SP

Ahora bien, $>QR£-dl = <f

B

dy

y ¡spC'dl

= —

d:'

g

dy , de modo que

J + f

J QR JSP

¿-di =(£„ — <"„) dy =d£

y

dy

dx

dx dy.

Esto es así porque d('„ =

(d£

y

¡dx)

dx , ya que dC'

u

es el incremento de

<f¡,

corres

pondiente a dos puntos separados por la dis tancia dx y que tienen los mismos

y y z. Podemos escribir análogamente

J

J

J PQ J 1

e-di

B£x

dx dy.

PQ J RS oy

Sumando los dos resultados, obtenemos

8£x

C-dl

PQRS

\ dx

8y

i dx dy.

(17.10)

Fig. 17-9. Circuito elemental para de

ducir la forma diferencial de la ley de

Faraday-Henry .

A continuación debemos calcular el flujo

magnético a través de la superficie. Co

mo la superficie PQRS está en el plano

XY,

su versor normal UN es simple

men te

u

z

y 95 • UN = 93 •

u¡

—

9 3

z

.

E n

consecuencia el flujo magnético es

f 93 • u

N

dS = 93 , dxdy, (1

7.

11

)

J PQRS

ya que dxdy es el área del rectá ngu lo. Sustituy end o las ees.

(17.10)

y

(17.11)

en la ec.

(17.2)

y cancelando el factor común dx dy en ambos miembros, obtenemos

8< ?

y

8£x

dx

393,

8t

(17.12)

Colocando nuestro rectángulo en los planos YZ y ZX obtenemos otras dos ex

presiones :

8 ( f « 8 < ?

y =

m

x

dy dz

81

y

8Cx

8¿

z

&

:

)Óy

(17.13)

dz

dx

81

(17.14)



17.8)

Autoinducción

657

El conjunto de las expresiones (17.12), (17.13) y (17.14) constituye la ley de

Faraday-Henry en forma diferencial. Como se hizo en la sección 16.13 para la

ley de Ampére, se pueden combinar en una sola ecuación vectorial escribiendo

ro t C =

Zffí

di

(17.15)

L a ec . (17.15), o sus equivalentes (17.12), (17.13) y (17.14), expresa las relaciones

que deben exist ir entre la der ivada respecto al t iempo del campo magnético en

un punto y el campo eléctrico existente en ese mismo punto del espacio. I lustra

de una manera obvia la inter relación ínt ima entre las componentes eléctr ica y

magnética de un campo electromagnético.

17.8 Autoinducción

Consideremos un circuito por el que circula una corriente 1 (fig. 17.10) . De acuerd o

con la ley de Ampére, la corr iente produce un campo magnético que en cada

punto es proporcional a I. Podemos calcular el f lujo magnético a través del cir

cuito debido a su propio campo magnético y l lamar lo flujo propio. E s t e flujo,

Fig. 17-10.

un circuito.

Flujo magnético propio en

7 en aumento

(a)

/ en disminución

(b)

Fig.

17-11. Sentido de la

fem

inducida en un circuito.

que designaremos con <¡>¡ , es entonces proporcional a la corriente I por lo que

podemos escr ibir

<Di

= L Í .

(17.16)

El coeficiente

L

depende de la forma geométr ica del conductor y se denomina

auióinductancia

del circuito. Se expresa en W b A

- 1

, un idad l l amada

henru

en

honor de Joseph Henry y que se abrevia H. Esto es: H = Wb A

- 1

~ m

2

kg C

-2

.

Si la corriente / varía en el tiempo, el f lujo magnético <S>¡ a t ravés del circuito

también var ía y , de acuerdo con la ley de la inducción electromagnética, se induce

una fem en el circuito. Este caso especial de inducción electromagnética se llama




(17.8

autoinducción. Combinando las ees. (17.1) y (17.16), tenemos para la fem inducida,

V

L

=

—

d < t >

~dT

—

L

di

dt

(17.17)

El signo menos indica que

VL se

opone a la variación de corriente. Así, si la co

rriente aumenta,

di ¡di

es positiva y

VL

se opone a la corriente (fig. 17.11a). Si

la corriente disminuye, dljdt es negativa y VL actúa en el mismo sentido que la

corriente (fig. 17.11b). Por lo tanto

VL

siempre actúa en un sentido que se opone

a la variación de corriente. Cuando escribimos la ec. (17.17), supusimos que el

circuito era rígido por lo que consideramos L constante al derivar respecto al

tiempo. Si la forma del circuito es variable, L no es constante y en vez de la

ec .

(17.17) debemos escribir

V„ = - - ( . / > .

(17.18)

Para indicar en un diagrama que un conductor tiene una inductancia apreciable

se usa el símbolo mostrado en la

fig.

17-12- Sin embargo debemos hacer notar

que a au to inductancía de un circuito no está concentrada

en

un

punto

par

ticular sino que es una propiedad

de-i

circuito

como

un todo.

Fig, 17- i2 . Representac ión de una

autoinductancia.

r

%~§ ffflp-

IH'MPLO

Esíablecnniení

jmen .

un circuito.

¡¡•.alucian: Ciando íc apHca

U ¡?. i*

1

;.U*. 17-1 3V l:i corriente no .-deán'.a ii

i

la

ley dt

C'-ñm v¡m>

qu e

hu'n£n",A

ai

valor dad*.-

por i» ]?y

d :

í'suu».

üK

onone a Sa variación de la corriente

'•',-.

,- un circuito cerrando un interruptor

;."tsru ;.::ncut," el valer

Vt¡fí

correspondiente

a¡r;-u

1

RíT

,

H-, aprox'irr¡áTtd ->e uniforniemenís

jrori-f,. s<: C,<:.h?. ü

K

if-.ir.

Inducida

17.

que se

:-sta presente rnientrEs la corriente aumenta

Fig. 17-18. Circuito eléctrico con una re

sistencia y una autoinductancía.

.V

desde cero hasta su valor final constante. La fem total aplicada al circuito es

entonces VR

-f-

VL

~

Vs — L(dljdt). La ley de Oxim es ahora

RI VF,

+

VL

RI = Ve — L(dlldt).

(17.19)



17.8)

Autoinducción

Es ta ú l t im a se puede e sc r ib i r en l a fo rm a

R(I

—

Vz¡R)

l a s va r iab le s

I y t,

L(dl¡di) o , s e p a r a n d o

di

R

I — Vó/R L

A l i n t e g r a r , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e p a r a

/

= 0 l a cor r i e n te e s nu la ( / = 0 ) , t e n e m o s

di

_ f i ^

<•<

L

o sea

r—

Jo

/ —

r

o

di

ln

( J —

Vs/i?)

—

In

(— Vs/i?) = — (R¡L)t.

R e c o r d a n d o q u e

ln

e

x

— x,

t e n e m o s

Vs

R

(1 __ e-

R

«

L

).

E l s e g u n d o t é r m i n o d e l p a r é n t e s i s d i s m i n u y e c o n e l t i e m p o y l a c o r r i e n t e s e a p r o

x i m a a s i n t ó t i c a m e n t e a l v a l o r

Vs/R

dad o por l a l ey de

Oh m

(flg. 47-14). Si

R/L

es g rande , l a cor r i en te a lcanza e s te va lo r m uy ráp idam ente , pe ro s i RfL e s p e q u e ñ o

puede t ranscur r i r un l a rgo t i em po an te s de que l a cor r i en te s e e s tab i l i ce . E l e s tu

d ian te puede reconoce r l a s im i l i tud m a tem át ica en t re l a expres ión de / y l a de l a

ve loc idad de un cue rpo cayendo a t ravés de un

fluido

v i s coso (e jem plo 7 .8 ) s i s e

es tab lecen l a s s igu ien te s

c o r r e s p o n d e n c i a s :

V&*-*

F, L*-+m y

R*-*

Kr¡.

F i g . 1 7 - 1 4 . E s t a b l e c i m i e n t o d e u n a c o r r i e n t e e n u n c i r c u i t o .

EJEMPLO 17.4.

Es tud ia r l a ca ída de la cor r i en te en e l c i rcu i to de l a f lg . 17-15

cuando se m ueve e l conm utador de l a pos ic ión 1 a l a pos ic ión 2 .

Solución:

S i e l c o n m u t a d o r h a e s t a d o e n l a p o s i c i ó n 1 d u r a n t e m u c h o t i e m p o , p o

dem os supone r que l a cor r i en te en el c i rcu i to h a a lcan zad o su va lo r l im i t e (o e s ta

c iona r io )

V&¡R.

M o v i e n d o e l c o n m u t a d o r a l a p o s i c i ó n 2 , d e s c o n e c t a m o s l a íem

ap l icada s in abr i r rea lm ente e l c i rcu i to . La ún ica í em que queda e s VL

—

—

L dljdt

y la ley de Oh m e s tab lece que

RI =

A L

dt

6

d

-L

I

R

dt.



660 Camp os electromagnéticos dependientes de tiempo

(17.8

Si contamos el tiempo (/ = 0) desde el instante en que se desconecta

Ve

del cir

cuito, la corriente inicial es V&/R. Integrando tenemos

r

I 17

di

J VZ/R 1

- - f

L J

0

di

o sea

ln / — ln

(VtjR)

= —

(R/L)t.

Eliminando los logaritmos tenemos

/ =

(V&/R)e-

R

"

1

.

La corriente decrece exponencialmente como se muestra en la fig. 17.16. Cuanto

mayor es la resistencia R, o menor la inductancia L, más rápida es la caída de la

corriente. El tiempo necesario para que la corriente caiga a

1/e,

o aproximadam ente

6 3 % ,

de su valor inicial, es T =

L/R.

Este tiempo se denomina tiempo

de

relajamiento.

-nmwr--

'v

6

i

Fig. 17-15. Dispositivo par a eliminar la

íem

aplicada a un circuito sin cambiar

la resistencia.

EJEMPLO 17.5. Un circuito está com puesto de dos láminas metálicas cilindricas

coaxiales de radios a y b; por cada una circula una corriente / pero en sentidos

opuestos. Calcular la autoinductancia por unidad de longitud del circuito (fig. 17-17).

El espacio entre los cilindros está ocupado por una sustancia de permeabilidad

[i.

Solución: En el ejemplo 16.18 se obtuvo para el campo magnético de esta disposi

ción de corrientes:

13

=

¡A/ /2W

entre los cilindros y cero en el resto del espacio.

Aquí, de conformidad con la sección 16.16, hemos reemplazado y.

9

(usada en el

ejemplo 16.18) por u., que es la permeabilidad del medio que llena el espacio entre

los dos cilindros. Para calcular la autoinductancia debemos calcular el flujo mag

nético a través de cualquier sección del conductor, tal como la PQRS, que tiene

0,63

Fig. 17-16. Caída de la corriente en un circuito d espués de descon ectar la fem.



77

9)

Energía del campo magnético 661

longitud

l Si

dividimos esta sección

en

t iras

de

ancho

dr, el

área

de

cada tira

es

l

dr . El campo magnético 13 es perpendicular a PQRS. En consecuencia

<Pi

=

f

13 dS =

f

(-^-\(ldr)

J PQRS J a \

2*r

}

J a r

TT

InA.

2 T í a

Por

lo

t an to

la

autoinductancia

de una

porción

de longitud / es

L

=

<í>/

2(JI

a

(17.20)

y la autoinductancia por unidad de ldngitud será

(H/2TU)

ln b/a.

Figura

17-17

17.9 Energía del campo magnético

Hemos visto en la sección 16.10 que para mantener una corriente en un circuito

se debe suministrar energía. La energía que se necesita por unidad de tiempo

(o sea la potencia) es Vg/. Ahora bien, podemos escribir la ec. (17.19) en la forma

V

s

= Ri + L-%-.

ai

Multiplicando esta ecuación por / tenemos

di

Vil = RP + LI

di

(17.21)

De acuerdo

con la ec,

(16.53),

el

término RP

es la

energía consumida

por

unidad

de tiempo

en

mover

los

electrones

a

t ravés

de la red

cris talina

del

conductor

y

que se

transfiere

a los

iones

que

forman

la red.

In terpre tamos en tonces

el

ú l t imo

término de la ec. (17.21) como la energía que se necesita por unidad de t iempo

para establecer la

corriente

o su campo magnético asociado. En consecuencia

la rapidez de a u m e n t o de la energía magnética es

dEm

dt

LI

di

~dT

La energía magnética necesaria para aumentar una corriente desde cero hasta

el valor

/

es entonces

=

í

%

dEm

=

i'

LIdl

=

\LP.

Jo

-'

o

(17.22)



662 Campos electromagnéticos dependientes del tiempo {17.9

Por ejemplo, en el circuito del ejemplo 17.5, la energía magnética de una sección

de longitud l es, usando la

ec .

(17.20),

£

.

=

± ( J i L

1

n ± ) / . = J i í í L l n ± . (17.23)

2 \

2 *

a ] 4rt a

La energía magnética Em se puede también calcular empleando la expresión

Es¡ =

- J - f 93

a

d» , (17.24)

2¡x J

donde la integral se extiende a todo el volumen en que existe el campo mag

nético y

dv

es un elemento de volumen. Por ejemplo, en el caso del circuito de

la fig. 17-17, que se ha dibujado nuevamente en la

íig.

17-18, el campo magnético

está dado por 93 = iilfónr. Si tomam os como elemento de volumen una capa

cilindrica de radio r y espesor dr , encontramos que su volumen es dv = (2v:r)l dr.

Sustituyendo en la ec. (17.24) y recordando que el campo se extiende sólo desde

r = a has t a r — b, encontramos que

2TC

]

a

\

2n r

J

4 »

J , f

4 *

b

Obtenemos por lo tanto el mismo resultado que en la ec. (17.23).

Podemos interpretar la expresión (17.24) diciendo que la energía gastada en

establecer la corriente se ha almacenado en el espacio circundante, de modo que

a un volumen dv corresponde una energía

(93

2

/2(i)

dv , y la energía Eé» por unidad

de volumen almacenada en el campo magnético es

Es g

= _ L

cjg».

(17.25)

2(i

A u n q u e h e m o s j u s t i f i c a d o l a e x p r e s i ó n ( 1 7 . 2 5 ) p a r a l a d e n s i d a d d e e n e r g í a m a g

n é t i c a u s a n d o u n c i r c u i t o d e s i m e t r í a m u y e s p e c i a l , u n a n á l i s i s m á s d e t a l l a d o

q u e n o se d a r á a q u í , i n d i c a r í a q u e el r e s u l t a d o e s c o m p l e t a m e n t e g e n e r a l . C u a n d o

h a y t a n t o u n c a m p o e l é c t r i c o c o m o u n o m a g n é t i c o p r e s e n t e s , d e b e m o s c o n s i d e r a r

t a m b i é n l a d e n s i d a d d e e n e r g í a e l é c t r i c a d a d a p o r l a e c . ( 1 6 . 4 0 ) , p o r l o q u e l a

e n e r g í a t o t a l p o r u n i d a d d e v o l u m e n e n e l c a m p o e l e c t r o m a g n é t i c o e s

E =

-êó

2

+ • — ^G

2

. (17.26)

2\L

EJEMPLO 17,6.

Obte ne r l a ene rg ía del cam po m a gné t ico de un e lec t rón que s e

m u e v e l e n t a m e n t e y a n a l i z a r e l r e s u l t a d o .

Solución:

Seg ún la sección

15 .11 ,

u n a c a r g a q u e s e m u e v e l e n t a m e n t e p r o d u c e u n

cam po m agné t ico cuyas l íneas de fue rza son c i rcunfe renc ia s pe rpendicu la re s a l a

d i recc ión de l m ovim ien to y cuyo m ódulo e s , s egún l a ec . (15 .53) ,

,

v

, u

0

v

sen 0

B

=

— -

v

~

q

4 K ' r

2



J7.9)

Energía del campo magnético 663

Figura 17-18

Figura 17-19

con q = — e p a r a u n e l e c t r ó n . S u p o n g a m o s q u e p o d e m o s u s a r

el

m o d e l o b u r d o

del electrón in troducido en el ejemplo 16.14 , donde R es e l " r ad io" de l e lec t rón .

La energ ía de l campo magnét ico en e l exterior de la ca rga se ob t iene u sando la

ec .

(17.24) , extendiendo la in tegral a todo el espacio fuera d e l a c a r g a . T o m a r e m o s

como elemento de volumen al anil lo i lustrado en la f lg . 17-19. El mismo t iene un

per ímet ro igua l a

2n r

sen 8 y su secc ión t r ansv er sa l t i ene lados

dr y r dQ,

por lo

que su área es r dr

dQ .

E l vo lu me n es

dv — per ím et ro x secc ión t r ans ver sa l = 2nr* sen 6 dr dQ.

En consecuencia la ec. (17 .24) da

=

jto_

qV

r éL

r

s e n

,

6 M =

_L

/

±0. J í L L , .

16* J fl

r

J o 2 \ 4TT 3 f í /

Este r esu l tado no da la energ ía magnét ica to ta l po rque tenemos que ag regar le la

con t r ibuc ión deb ida a l campo magnét ico dentro de la par t ícu la ca rgada , que a su

vez r equ ie r e que conozcamos la d i s t r ibuc ión de carga den t ro de la par t ícu la . De

todos modos e l r esu l tado an te r io r da una es t imac ión de l o rden de magn i tud . La

c a r a c t e r í s t i c a m á s i m p o r t a n t e d e

Em

es que depende de

v

2

po r lo que r ecuerda la

energ ía c iné t ica de una par t ícu la cuya masa es

I*. 2?

2

4TT

3R

En e l caso de l e lec t rón , q

rtle

4 *

2e '

3R

e y m =

m

e

de modo que

1 2e

a

4*e„

3i?c

2

donde hemos u sado la ec . ( 15 .55 ) para e l iminar y.

0

. D e s p e j a n d o R o b t e n e m o s

2 / e*

R

\47re

0

mrf

í

/

•\47re

0

mrf

í

=

§r«,

donde re es el radio del electrón def in ido en la ec. (16 .45) . El hecho de que nuestro

c á l c u l o b u r d a m e n t e a p r o x i m a d o d é u n r e s u l t a d o d e l m i s m o o r d e n d e m a g n i t u d



664

Campos electromagnéticos

dependientes del tiem po

(17.10

que e de) ejemplo 16.14, donde obtuvimos R —

;•>.

es una prueba de la compa

tibilidad de muestra teoría ya que sólo se puede es i ¡mar ei orden de magnitud.

Si combinamos el presente, resultado con el del ejemplo 16.14, parece razonable

pensar que la energía en reposo de una partícula cargada está asociada con la energía

de su campo eléctrico, mientras que la energía cinética corresponde a la energía del

campo magnético. Es lógico pensar que los campos asociados con las otras interac

ciones que existen en la naturaleza también contribuyen a las energías en reposo

y cinética de una partícula. Sin embargo, nuestro conocimiento incompleto de esas

interacciones no nos permite al presente dar una respuesta definida. De hecho, el

problema que hemos considerado, tanto en el ejemplo 16.14 como aquí, es lo que

se denomina la determinación de la energía propia del electrón. El propósito de

nuestra discusión de este problema ha sido el de presentarlo al estudiante. Si de

seáramos tratarlo en forma apropiada, deberíamos emplear las técnicas de la me

cánica cuántica en un nivel muy superior al de este libro.

17.10 Oscilacione s eléctricas

Hemos vis to en diversas ocasiones que hay tres parámetros que caracterizan el

flujo de electricidad a través de un circuito eléctrico: la capacitancia C, la resis

tencia R y la autoinductancia L. Analizaremos ahora el modo en que los tres

juntos determinan la corriente producida por una fem dada. Suponiendo que la

c o m e n t e I en el circuito de la fig. 17.20(a) está en el sentido indicado, aparecen

cargas q y — q en las placas del capacitor C tales que

/ = dqjdt. (17.27)

Estas cargas producen una fem Ve — q¡C. El s igno menos aparece porque la fem

se opone a la corriente 1 como resultado de la tendencia del capacitor a descar

garse a través del circuito. En la inductancia L hay otra fem Vx,

=

— L(dl\dí)

conforme a la

ec .

(17.17). Puede haber además alguna otra fem aplicada al cir

cuito, tal como la V'e mostrada en la fig. 17.20(b).

(a) Oscilaciones libres. Consideraremos prime ro el caso en que están prese ntes

sólo las dos fem

V'L

y

Ve -

En este caso la corriente se inicia cargando el capacitor

o variando el f lujo magnético a través de la inductancia o intercalando y después

- W V \ A -

R

(a)

Figura 17-20



17.10) Oscilaciones eléctricas

665

desconectando (como en la f ig, 17-15) una fem externa. Por lo tanto, aplicando

la ley de Ohm,

ec .

(16.64), tenemos

RI = V,

V

c

RI =

di C

(17.28)

Derivando la ecuación respecto a

l,

tenemos

1 dq

dt dP C

dt

Usando la ec. (17.27) y pasando todos los términos al primer miembro de la ecua

ción, obtenemos

(PI

~d~P

dt C

0 .

(17.29)

Esta es una ecuación diferencial cuya solución da la corriente I en función de /.

Los parámetros L, R y C caracterizan el circuito.

Ahora bien, esta ecuación es formalmente idéntica a la ec. (12.51), corres

pondiente a las oscilaciones amortiguadas de una partícula, s i es tablecemos las

siguientes correspondencias L *-*

m,

R <-> X,

l/C*->/c.

En consecuencia, todas las

expresiones dadas all í se pueden aplicar en este caso. Las cantidades

y

y <> defi

nidas en las

ees.

(15.52) y (12.54) son ahora, cuando R

2

< 4L/C,

Y =

R¡2L,

co = ]fíJLC — R

2

l4L?, (17.30).

y la corriente está dada en función del tiempo por la misma expresión (12.54),

que escribimos ahora en la forma

I = 7

0

e~

w

sen

(u>t

+

a)*,

(17.31)

Fig. 17-21. Variació n de la corriente de descarga de un capa citor en función del

tiempo; (a) cuando

if

2

< 4L/C, (b) cuando

R

2

>

4L/C.



666 Campos electromagnéticos

dependiente?

del tiempo (17.10

que el estudiante puede verificar por

sustitución,

directa en la ec . (17.29). En

la fig. 17-21 (a) se da la gráfica de la corriente en función del tiempo. Vemos que

se establece una corriente oscilatoria o alterna cuya amplitud decrece con el

tiempo. Cuando la resistencia R es muy pequeña en comparación con la induc-

tancia L, podemos despreciar tanto y como el último término en la expresión

de u, con lo que resulta / —

I

0

sen (¡ni 4 a), de modo que las oscilaciones eléc

tricas no son amortiguadas y tienen una frecuencia

L C

p—ainmp

h

V

L

V

C

VWNA-

6)

0

=

| / 1 /L C.

(17.32)

Esta se denomina frecuencia característica de un circuito LC

y

es equivalente a la

frecuencia ca

0

=

]'kjm

de un oscilador no amortiguado. Obsérvese que el amor

tiguamiento en un circuito eléctrico proviene de la disipación de energía en la

resistencia R.

Si la resistencia es suficientemente grande como para que 7?

a

/4L

2

> 1/LC ó

R

2

- > 4L/C, la frecuencia

u

se hace imaginaria. En este caso la corriente disminuye

gradualmente sin oscilar como se muestra

en la fig. 17-21(b). Las oscilaciones que

hemos estudiado, en las cuales no hay una

fem externa aplicada, son las oscilaciones

libres del circuito.

Vt =

V'sosenayí

(p-y (b)

Oscilaciones forzadas. Las oscilaciones

^""^ eléctricas forzadas se produc en cuand o

agregamos al circuito mostrado en la fig.

17-20

una fem alterna de la forma

Vs =

Ve

0

R

sen

co/t,

como se ilustra en la fig. 17-22. Por

Figura 17-22 *° tan to , la ec. (17.28) tiene ahora la forma

RI =

V

L

+

V

c

+ Vs

0

sen

W /

í.

Repitiendo el procedimiento usado para obtener la ec. (17.29), derivamos respecto

al tiempo y ordenamos los términos en la forma

L - —

+

R —

+ — =

co/Vsn eos

o/ / . (17.3 3)

di ' di C

Esta ecuación es muy similar a la ec. (12.56) para las oscilaciones forzadas de

una partícula, pero con una diferencia importante: la frecuencia

u/

aparece como

factor en el segundo miembro de la ec. (17.33). La razón de esto es que, debido

a la relación / = dqjdt, la corriente en un circuito eléctrico corresponde a la ve

locidad v — dxjdt en el movimiento de una partícula. Podemos ahora aplicar

las fórmulas de la sección 12.13 con la correspondencia apropiada para las can

tida des tal cual se mu estra en la Tabla 17-1. Ten emo s entonces que la corriente

está dada por

/ = /„ sen (a¡t — «) (17.34)

donde, si usamos la ec. (12.62) para la amplitud

v

ü

de ia velocidad, con la corres-



17.10)

Oscilaciones

eléctricas

667

pondencia apropiada, la amplitud de corriente es

'o =

V s

0

(17.35)

Vi?

2

+

(

M/

L

— 1 / t o / O

2

-

TABLA 17-1 Correspondencia entre un oscilador am ortig uad o y un circuito eléctrico

Oscilador

masa , m

amor t iguamiento , X

constante elástica, k

desplazamiento, x

velocidad, v =

dxjdt

fuerza aplicada,

F

a

Circuito eléctrico

inductancia, L

resistencia, R

inversa de la capacitancia,

1/C

carga, q

corriente, / =

dqjdt

fem aplicada,

Vg

0

Usando las expresiones obtenidas en la sección 12.14, podemos expresar la

impedancia de un circuito eléctrico en la forma

Z =

]¡R*

+

(u,L

— 1/co/C)

2

.

La reactancia del circuito es

X = w/L — l/o)|C,

de modo que

Z =

V

i?

2

+

X

2

y la diferencia de fase a entre la corriente y la fem aplicada se obtiene de

X

u>fL

— 1/to/C

t g a = =

—i— '—í

—.

^ R R

(17.36)

(17.37)

(17.38)

(17.39)

Las cant idades Z, R, X y

a.

están relacionadas como se muestra en la fig¿

17-23,

a

> 0

Fig.

17-23.

Relación entre resistencia, Fig. 17-24. Vectores rota nte s de la co-

reactancia e impedancia. rriente y de la fem en un circuito de

corriente alterna.




{17-10

Fig. 17-26. Variación de la corriente y de la fem en función del tiem po en un

circuito de CA.

que es una reproducción de la fig. 12.39. Nótese que tanto la reactancia como la

impedancia se

expresan

en ohms. Por ejemplo, expresando el término

uL

en fun

ción de las unidades fundamentales se tiene s

_1

H = m

2

kg s

_1

C~

2

. Esta es la

misma expresión obtenida en la sección 16.10 para el ohm. El estudiante puede

hacer la misma verificación para el término

1/coC.

Si

R

y

X

se expresan en ohms,

también Z, en vista de su definición (17.38), se debe expresar en ohms.

Se pueden representar la fem

Vs

y la corriente

/

mediante vectores rotantes ,

como se ilustra en la fig. 17-24. Las componentes de los vectores según el eje X

dan los valores instantáneos de Vs y de / . La corriente / sigue o precede a la fem

según que <x sea positivo o nega tivo, o que

<o/L

sea mayor o menor que

1/w/C.

La fig. 17-25 da la gráfica de Vs y de J en función del tiempo. La potencia media

necesaria para mantener la corriente se obtiene de la

ec .

(12.70) con la corres

pondencia apropiada, es decir ,

P

= i V

6 o

/

0

eos « = \RI%.

(17.40)

En este caso, la resonancia es equivalente a la resonancia de energía, estudiada

(a)

Fig. 17-2fi, Relació n en tre fem y corriente cu ando la diferencia de fase es cero

(resonancia).



17.10) Oscilaciones eléctricas 669

en la sección

12 ,13 .

S e o b t i e n e c u a n d o P e s m á x i m a , l o c u a l o c u r r e c u a n d o a = 0

o c u a n d o <¿¡/L =

1/co/C,

c o r r e s p o n d i e n d o a u n a f r e c u e n c i a o>/ = \\¡LC, igua l a

la ec . ( 17 .32 ) . En la r esonanc ia , la c o r r i e n t e t i e n e a m p l i t u d m á x i m a y e s t á e n

fase con la f em, lo cua l s ign i f ica po tenc ia med ia máx ima. Los vec to res ro tan tes

Vn e I

están en fase o

superpuestos

y la corr iente y la fem

varían

c o m o s e m u e s t r a

en la fig. 17.26.

C omo en e l caso de las o sc i lac iones fo rzadas de una par t ícu la , l a so luc ión ge

nera l de la ec . ( 17 .33 ) es la suma de la ec . ( 17 .34 ) y de una co r r ien te t r ans i to r ia

dada po r la ec . ( 17 .31 ) . S in embargo , e l t é rmino co r r espond ien te a la ec . ( 17 .31 )

s e h a c e r á p i d a m e n t e d e s p r e c i a b l e a c a u s a d e l a m o r t i g u a m i e n t o y só l o e s n e c e

s a r i o t e n e r e n c u e n t a l a e c . ( 1 7 . 3 4 ) . N o o b s t a n t e , c u a n d o o c u r r e u n a m o d i f i c a c i ó n

en e l c i r cu i to , t a l como una var iac ión en L, C o R, e l t é r m i n o t r a n s i t o r i o a p a r e c e

p o r u n c o r t o t i e m p o h a s t a q u e e l c i r c u i t o se a j u s t a a l a s n u e v a s c o n d i c i o n e s .

EJEMPLO 17.7. U n -circuito t iene una r es i s tenc ia de 40 O , una au t o in du c ta nc i a

de 0 ,1 H y una capac i tanc ia de 1 0

- 6

F . La f em ap l icada t iene una f r ecuenc ia de

6 0 H z . E n c o n t r a r l a r e a c t a n c i a ,

la

¡ mpedanc ia , e l

defasaje

de la corr iente y la f re

cuenc ia de r esonanc ia de l c i r cu i to .

Solución: La f r ecuenc ia angu l a r es &v = 2TCV y com o v = 60 Hz , ten em os que

o>/

= 377 s

-1

. Po r lo tan to , u sando la ec . ( 17 .37 ) ob tenemos

X

= co/L

—

1/u/C

= 227ÍJ.

L a i m p e d a n c i a e s e n t o n c e s

Z = V

R

2

+ X* = 231ÍÍ.

El defasaje es , conforme a la ec. (17 .39) ,

tg a =

X/R

= — 5,67 ó a = — 80° .

Po r lo tan to la co r r ien te p recede a la f em. Para la f r ecuenc ia de r esonanc ia encon

t r a m o s ,

usando la ec. (17 .32) ,

<o

0

=

V

1/LC = 10»

s-

1

ó v = CO/2TT = 159 H z .

EJEMPLO 17.8. Es tud ia r un c i r cu i to de co r r ien te a l te rna u san do la técn ic a de lo s

v e c t o r e s r o t a n t e s .

fa-Zjc)

10

Fig . 17 -27 . D ia g ram a de vec to res ro t an

tes para el circuito mostrado en la f ig .

17-22.



670 Campo s electromagnéticos dependientes del tiempo (17.11

Solución: Los resultados establecidos en la sección 17.10 se pueden obtener muy

fácilmente por medio de la técnica de los vectores rotantes. Obsérvese que la ecua

ción del circuito se puede escribir en la íorma

V

6o

sen u>fl = Rl —

V

L

—• Ve = RI + L — + -3-.

dt

C

Del mismo modo que decimos que

RI

es la diferencia de potencial en la resistencia R,

podemos decir que L{dl¡dt) y

q/C

son las diferencias de potencial (o caídas de vol

taje) en la inductancia y en la capacitancia respectivamente.

Si suponemos que I —

I

0

sen (&>/í — a), el vector rota nte de la corriente queda

atrás del de la fem en un ángulo

a

(fig. 11-27). Ahora bien, podemos considerar

al vector rotante de la fem como suma de los vectores rotantes correspondientes

a ¡os tres términos del segundo miembro de la ecuación anterior. Notemos que

dl/dt

—

w/I

0

eos

(<úft

— a) y que q = J 7 dt = — (l/<o/)J

0

eos

(íú/¿

— a). Podemos

escribir entonces

Caída de potencial en la resistencia:

RI = RI

a

sen (co/í — a), en fase con I.

Caída de potencial en la inductancia:

L(dl¡dt)

=

<úfLI„

sen

(oift

—

a

+

in),

delante de / en $n.

Calda de potencial en el capacitor:

q/C =

(l/&>/C)/

0

sen (<o/í—

a— irc),

detrás de / en }n.

Los tres vectores rotantes se muestran en la fig. 17-27, donde la línea de referencia

está dada por el vector rotante correspondiente a Vs. Sus amplitudes son

RI

0

,

v>jLI

a

e

IJtafC.

Su resultante debe ser V&

0

ya que la suma de las tres caídas de potencial

da la fem aplicada. Por lo tanto

VL = **/ + («/i —-¿f)

J/

°

O/C

o sea

V

6 o

=

Y

fi* + (»/L — l/o>/Q

a

/„.

Si despejamos /„ de esta ecuación, el resultado es idéntico a la ec. (17.35). El án

gulo a se puede obtener de la figura, resultando un valor que concuerda con la

ec . (17.39). La técnica de los vectores rotantes es muy usada por los ingenieros

en el análisis de circuitos de corriente alterna.

17.11 Circuitos acoplados

Consideremos dos circuitos tales como el (1) y el (2) de la fig. 17-28. Cuando una

corriente

7

X

circula por el circuito (1), se establece a su alred edor u n cam po m ag

nético proporcional a

I

v

y a través del circuito (2) hay un flujo magnético 0

2

que también es proporcional a

I

v

Podemos entonces escribir

3>

2

= MI

V

(17.41)

donde

M

es un coeficiente de proporcionalidad y representa el flujo magnético

a través del circuito (2) por unidad de corriente en

el

circuito (1) . Análogamente,



17.11)

Circuitos acoplados 671

( 2 )

C x

7

Fig. 17-28. Inducción mu tua,

si una corriente /

2

circula por el circuito (2), se produce un campo magnético

que a su vez produce un flujo magnético

<b

x

a través del circuito (1) el cual es

proporcional a

I

2

.

Podemos escribir entonces

* =

M /

2

.

(17.42)

Nótese que en la

e c.

(17.42) hemos escrito el mismo coeficiente M que en la

ec .

(17.41).

Esto significa reconocer que el flujo magnético a través del circuito (1) debido

a la unidad de corriente en el circuito (2) es el mismo que antes. Este coeficiente

común se denomina inductancia mutua de los dos circuitos y se puede demostrar

que debe ser la misma en ambos casos, como hemos señalado. En otras palabras:

la inducción mutua es simétrica. El coeficiente M depende de las formas de los

circuitos y de su orientación relativa. También se mide en henrys, ya que co

rresponde a Wb A

-1

.

Si la corriente I

x

es variable, el flujo

<5

2

a través del circuito (2) varía y se induce

una fem VM

2

en este circuito. Esta fem está dada por

' M

2

— M

di

Al escribir esta ecuación hemos supuesto que los circuitos son rígidos y que están

fijos en el espacio de modo que

M

es constante. Análogamente, s i la corriente

I

2

es variable, se induce en el circuito (1) una fem

V

Mí

dada por

v

M l

= -

M — -

dt

(17.43)

Esta es la razón por la cual M se l lama " induc tancia m utu a" , ya que descr ibe

el efecto o influencia mutua entre los dos circuitos. Además, si se mueven los

circuitos uno respecto al otro, lo que origina una variación de M, también se

inducen fem en ellos.

Usando la ley de Ohm podemos obtener las ecuaciones que relacionan la co

rriente en el circuito (1) con los parámetros del sistema. Todo lo que tenemos

que hacer es sumar la fem

VAí,,

dada por la ec. (17.43), a la ec. (17.28). Esto es,

Mi =

v

Li +

y

c i + V

Ml

,



672 Cam pos electromagnéticos dependientes del tiempo (17.11

donde V^ = — L

t

dljdt

y V

C l

= — 9i/Cr Por lo tanto, si derivamos la ecua

ción anterior respecto al t iempo y tenemos en cuenta que

I

x

=

dqjdt,

obtenemos,

en vez de la

ec .

(17.29),

L

Ü L . +

R

ÍÍL +

J_

/ =

_

M

^±. (17.44)

1

dP

1

dt C,

1

di*

K

'

Análogamente, obtenemos la siguiente ecuación para el circuito (2)

L

* h . +

R

* *. + JL i __

M

*h_.

(17

.

45)

2

dP

2

dt C

2

2

di

2

v

'

Las ees. (17.44) y (17.45) forman un sistema de ecuaciones diferenciales simultá

neas similar a la

ec .

(12.36) correspondiente a dos osciladores acoplados. La cons

tante de acoplamiento es M. No consideraremos las soluciones generales, pero

del estudio de los osciladores acoplados que hicimos en la sección 12.10, concluimos

que habrá un intercambio de energía entre

los

circuitos . El transformador y el

generador de inducción son aplicaciones prácticas comunes de este proceso. Otra

aplicación de la inductancia mutua en un sentido más amplio, es la transmisión

de una señal de un lugar a otro produciendo una corriente variable en un cir

cuito l lamado

transmisor;

a su vez este circuito act úa sobre otro aco plado a él,

l lamado receptor. Este es el caso del telégrafo, la radio, la televisión, el radar, etc.

Sin embargo, para estudiar estos dispositivos se necesita una técnica diferente

que será desarrollada parcialmente en el capítulo 19.

El aspecto más

importante

y fundamental de la inducción es que se puede

intercambiar energía entre dos circuitos por intermedio del campo electromagnético.

Podemos decir que el campo electromagnético producido por las corrientes que

circulan por los circuitos actúa como portador de energía, transportándola a

través del espacio de un circuito a otro.

Pero la inducción mutua entre dos circuitos es un fenómeno macroscópico que

resulta de las interacciones elementales entre las cargas en movimiento que cons

tituyen sus respectivas corrientes. Podemos concluir entonces del fenómeno de

inducción mutua que la interacción electromagnética entre dos partículas car

gadas se puede describir como un intercambio de energía por intermedio del campo

elect romagnét ico mutuo .

Cuando dos partículas cargadas están sujetas a una interacción electromag

nética, el principio de conservación de la energía se debe reformular

incluyendo

la energía del campo. Recordar que también tuvimos que reformular el principio

de conservación del momentum en la ec. (15.68) para tener en cuenta el momen-

tum del campo. En consecuencia debemos escribir la energía total de un sistema

de dos partículas cargadas en interacción en la forma

E =E,+ E

2

+ Ecampo, (17.4 6)

donde Ej y E

2

son las energías de cada partícula, suma de sus energías cinética

y potencial que resulta de alguna fuerza que actúa sobre ellas, y E

c a m p 0

es la

energía asociada con su campo electromagnético común.



17.11)

Circuitos acoplados

673

S e p u e d e d e m o s t r a r q u e e n c o n d i c i o n e s e s t á t i c a s ( o q u e v a r í a n m u y l e n t a m e n t e

e n e i t i e m p o ) , ¿i

C

ampo c o r r e s p o n d e e x a c t a m e n t e a l a e n e r g í a p o t e n c i a l

d e b i d a a l a i n t e r a c c i ó n c o u l o m b i a n a e n t r e l a s d o s c a r g a s .

E s l a s u m a cié lo s t r es té rminos en la ec . ( 1 7 . 4 6 ) l a q u e p e r m a n e c e c o n s t a n t e

d u r a n t e e i m o v i m i e n t o d e l a s d o s p a r t í c u l a s s i n o e s t á n s u j e t a s a o t r a s f u e r z a s .

EJEMPLO 17.9,

Una bob ina que con t iene A

7

vue l tas es tá a r ro l la da en un so leno ide

to ro ida l que t iene n vue l tas po r un idad de long i tud y una secc ión t r ansver sa l de

área S. Calcular la inductancia mutua dei s is tema ( f ig . 17-29) .

Solución: Podemos r eso lver e l p rob lema sea ca lcu lando e l f lu jo magnét ico a t r avés

•

le

solenoide cuando c i r cu la una co r r ien te po r la bob ina , sea ca lcu lando e l f lu jo

m a g n é t i c o a t r a v é s d e

la

bob ina cuando c i r cu la una co r r ien te po r e l so leno ide . S iga

mos e l segundo p roced imien to , que es e l más f ác i l de lo s dos . Podemos r eco rdar

Solenoide

Figura 17 -29 F ig . 17 -30 . C or r ien te a t r a vé s

de una super f ic ie ce r r ada que

c o n t i e n e u n a c a r g a q.

del e jemp lo 16 .19 que en e l caso de un so leno ide to ro ida l , e l campo magnét ico es tá

conf inado a su in ter ior y t iene un valor dado por la ec. (16 .71) , *¡ =

n

0

n/.

El flujo

magnét ico a t r avés de cua lqu ie r secc ión de l so leno ide es

<l>as =

C

K5S

-

n

0

nSI,

donde S es el área de la sección transversal del so lenoide. Este f lu jo es el mismo

que e l que hay a t r avés de cua lqu ie r vue l ta de la bob ina , aunque su secc ión sea

mayor . Luego , e l f lu jo magnét ico a t r avés de la bob ina es

^bobina = N O » = PoTlNSI.

C omparando és ta con la ec . ( 17 .41 ) , se ob t iene para la induc tanc ia mu tua de l s i s tema

M = ^nNS.

Este a r r eg lo se u sa mucho en e l l abo ra to r io cuando se neces i ta una induc tanc ia

m u t u a p a t r ó n .



674 C ampos electromagnéticos dependientes del tiempo {17.12

17.12 Principio de conservación de la carga

En la sección 14.2 discutimos ei hecho de que la carga eléctrica se conserva.

En otras palabras: en todos los procesos que ocurren en el universo, la cantidad

neta de carga

siempre

debe

permanecer enlis tante.

Este enunciado se puede

expresar en una forma cuantitativa que

es muy

útil. Consideremos una super

ficie cerrada ¿ (fig. 17.30) y llamemos q a la carga neta dentro de ella en un ins

tante dado. Como nuestro problema es dinámico y no estático, las cargas libres

(tales como ios electrones en los metales o los iones en un plasma) se mueven

a través de medio,

atravesando

la superficie S. A veces puede haber más cargas

salientes que entrantes» originando una disminución de la carga neta q encerrada

por la superficie 5. Otras veces la situación se puede invertir y las cargas que

entran pueden exceder a las que salera dando como resultado un aumento de la

carga neta q. Por supuesto que si los flujos de carga que entran y salen de la su

perficie S son los mismos, la carga neta q permanece cons tan te .

El principio

de

conservación de la carga exige claramente que

pérdida de carga --flujo de carga saliente — flujo de

carga en tra nte = flujo neto de carga saliente. (17.47)

Ahora bien, se vio en el ejemplo 16.1 que el flujo neto de carga por unidad de

tiempo, o corriente, a través de una superficie S es / =

fsj'UN

dS , donde j es

la densidad de. corriente. En el caso presente la superficie es cerrada, de modo que

I

=j j-u

N

dS (17.48)

da la carga neta que sale a través de la superficie por unidad de tiempo, es decir,

la diferencia entre el flujo de carga saliente por unidad de tiempo y el entrante.

Por otra parte, la pérdida de carga por unidad de tiempo dentro de S es — dq¡dt.

Por lo tanto, en términos matemáticos la

ec .

(17.47) es —

dqjdt

= I o sea

— •— =

<f

j-u

N

dS , (17.49)

dt •> s

ecuación que expresa el principio de conservación de la carga suponiendo que

la carga no se crea ni aniquila. Ahora bien, de acuerdo con la ley de Gauss para

el campo eléctrico dada por la ec. (16.3), la carga total dentro de una superficie

cerrada se expresa en función del campo eléctrico en la superficie mediante

q =

e

0

J

s

C-u

N

dS,

por lo que

A

=

¿ <

c

-u

N

ds.

dt

°

dt J

s

Sustituyendo este resultado en la ec. (17.49), obtenemos

r

d

<>

j

• uy

dS +

e0

—•• é> £ •

u

N

dS = 0 (17.50)

J

s

dt - s



17.m

Ley de

Ampére-Maxwell 675

para expresar el principio de conservación de la carga de una manera que incor

pora la ley de Gauss. Cuando los campos son estáticos, la integral

$>s

£"•**#

dS

no

depende del t iempo. Luego, su derivada respecto al t iempo es cero, por lo que

<p j

Ux

dS = 0, para campos estáticos.

(17.51)

Esto s ignif ica que para campos estáticos no hay acumulación o pérdida de carga

en ninguna región del espacio por lo que

la

cor r ien te neta a t ravés de una super

ficie cerrada es cero. (Este es esencialmente el contenido de la primera ley de

Kirchhoff para el análisis de redes, que se introdujo en el ejemplo 16.17).

17.13 Ley de

Ampére.Ma&well

L a ley de Faraday-Henry , expresada por las

ees.

(17.2) o (17.15), establece una

relación entre el campo magnético y el campo eléctrico en la misma región del

espacio. La íntima relación que exis te entre los campos eléctr ico y magnético

sugiere que debiera exis tir una relación análoga entre la derivada de un campo

eléctr ico respecto al t iempo y un campo magnético en el mismo lugar. Ahora

bien, la ec . (17.2), es decir

£-dl

=

dt

f T9-u

N

dS,

relaciona la circulación del campo eléctrico con la derivada respecto al tiempo

del f lujo del campo magnético. Podríamos esperar que una relación s imilar de

biera relacionar la circulación del campo magnético con la derivada del flujo

del campo eléctr ico respecto al t iempo. Hasta ahora hemos encontrado que la

circulación del campo magnético está expresada por la ley de Ampére, ec. (16.68),

j <»•<« = H oJ

ju

N

dS,

(17.52)

L * S

pero esta expresión no contiene ninguna derivada del flujo del campo eléctrico

i i » )

<•)

Fig.

17-31.

Superficie limita da por una curva

L.

Cuando la curva

L

se encoge

hasta convertirse en un punto, la superficie se cierra.




respecto al tiempo. Esto no es sorprendente ya que se obtuvo en condiciones

estacionarias. Sin embargo podemos sospechar que la ley de Ampére puede nece

si tar una revisión cuando se la apl ique a campos dependientes del t iempo.

Ahora bien, la ley de Ampére en la forma (17.52) se aplica a la superficie S

limitada por la curva L. Excepto por estar limitada por la curva L, la super

ficie S es arbitraria. Si la curva L se encoge, el valor de (fnD-dl disminuye

(fig. 17-31). Finalmente se anula cuando

L

se convierte en un punto y la super

ficie S se convierte en una superficie cerrada. La ley de Ampére exige, según la

ec . (17.52), que

<£•

j -u

N

dS

= 0.

Esto concuerda con la ec. (17.51) para la conservación de la carga, en tanto el

campo sea estát ico. Sin embargo, sabemos que cuando el campo no es estát ico

sino dependiente del tiempo, la ec. (17.51) ya no es correcta. La correcta es la

ec .

(17.50) que incluye la ley de Gauss. Esto confirma nuestra sospecha de que

se debe modificar la ley de Ampére al tratar campos dependientes del tiempo.

La modificación parece evidente; en la ec. (17.52) debemos reemplazar

¡sj'

u

N dS

por

j •

u

N

dS +

e

0

—- <f •

u

s

dS,

J s di J

s

w

J S

de conformidad con la ec. (17.50). Resulta

d

<f 73 • di = n

0

í j-u

N

dS + e

oi

x

0

— f C-u

N

dS. (17.53)

j

L

J

s

dt •>

s

Recordando que

J

s j '

u

x

dS

es la corriente / que pasa a través de la superficie

S,

también podemos escribir la ec. (17.53) en la forma

i B-dl = tx

0

7 4- e

0

u

0

-

d

r

f ¿-u

N

dS. (17.54)

J

L

di •>

s

Hay que comparar ésta con la ec. (lfi.67) para la ley de Ampére. La ec. (17.54)

se reduce a la ley de Ampére para campos estáticos, ya que entonces el último

término es cero; además se transforma en la ec. (17.50) cuando.la línea L se

encoge hasta convertirse en un punto, cerrándose la superficie S. Por lo tanto,

vemos que esta ecuación satisface todas las condiciones físicas encontradas ante

riormente.

Has ta ahora hemos jugado meramente con la matemát ica t ra tando de hacer

la ley de Ampére compatible con la ley de conservación de la carga. Un paso

adicional necesario es verificar experimentalmente que la ec. (17.53) es correcta

y que describe la s i tuación real que se encuentra en la naturaleza. Podemos ant i

cipar que es así. La mejor prueba es la existencia de ondas electromagnéticas,

tema que se, estudiará en el capí Lulo 19.

La persona que primero sugirió la modificación de la ley de Ampére en la forma

que hemos señalado fue el científico británico James Clerk Maxwell (1831-1879)



17.13') Leu de Ampére-Maxwsll

677

en Ja segunda mitad del siglo pasado; por ello la ec. (17.53) se denomina ley de

Ampere-Maxwe 11. Maxwell introdujo Sa modificación más por la necesidad de com

patibilidad matemática que por los resultados exper imenta les . Los exper imentos

que corroboraron las ideas de Maxwell sólo se realizaron algunos años después.

La ley de Ampére, ec. (17.52), relaciona una corriente estacionaria con el campo

magnético que produce. La ley de Ampére-Maxwell, ec. (17.53), va un paso más

adelante e indica que un campo eléctr ico £ dependiente del t iempo también

contribuye al campo magnético. Por ejemplo, en ausencia de corrientes , tenemos

¿ 13-dl =

€

0

¡xo4-

f

€-u

N

dS

:

•I

T

al

J

e

(17.55)

que muestra más claramente la relación entre un campo eléctr ico dependiente

del t iempo y su campo magnético asociado.. En otras palabras:

un ca mpo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de

un cam po magnético en el mismo lugar.

Si a la circulación del campo magnético la l lamamos fuerza magnetomolriz

aplicada a la curva L y la designamos con Aa», y designamos con 3>s el flujo eléc-

• • t " ' •

•—_* -—"L I

(B

£5

E a u m e n t a

d &e/dt posi t iva

, .

, i . i

.

, ,

i

<B a

£ d i s m i n u y e

d <Pe¡dt

n e g a t i v a

Flg.

17-32.

tiempo.

(a) (b)

Campo magnético producido por un campo eléctrico dependiente del

trico a través de la superficie S l imitada por la curva L, podemos escribir la ec.

(17.55) en la forma

= «oô

d3>s

que el estudiante debe comparar con la ec (17.1) para la ley de la inducción

electromagnética. La orientación relativa de los campos eléctr ico y magnético

se muestra en la fig. 17-32, correspondiente a un campo eléctrico uniforme de

pendiente del tiempo. Si el campo eléctrico aumenta (disminuye), la orientación

de las líneas magnéticas de fuerza es igual (opuesta) al sentido de rotación de un



67S Campos electromagnéticos

dependientes

del tiempo

(17.14

tornillo de rosca derecha que avanza en el sentido del campo eléctrico. El estu

diante debe comparar este resultado con la fig. 17.1.

La ley de Ampére-Maxwell, tal como Ja expresa la ec . (17.54), difiere de la ley

de Faraday-Henry, tal como la expresa la ec. (17.2), en varios aspectos. En

primer lugar, tenemos en la ec. (17.53) un término que corresponde a una comente

eléctrica,

mientras que en la ec. (17.2) no hay ningún término que corresponda

a una corriente magnética. Esto se debe simplemente al hecho de que aparente

mente no hay polos magnéticos libres en la naturaleza. En segundo lugar, la

derivada del flujo eléctrico respecto al tiempo aparece con signo positivo en la

ec . (17.53), mientras que en la ec. (17.2) la dei flujo magnético aparece con signo

negativo. El estudiante también puede verificar que eJ factor

c

0

,u

0

es compatible

con las unidades.

Aunque hemos corregido la ley de Ampére usando como guia el principio de

conservación de la carga, igualmente podríamos haber usado el principio de

relatividad y encontrado que cuando los campos eléctrico y magnético están

relacionados en dos sistemas inercia les de referencia como en las

ees.

(15.58) y

(15.60),

y la ley de Faraday-Henry es correcta, también se debe satisfacer la

ec. (17.53). Este procedimiento es algo más difícil, pero es en cierto sentido más

fundamental.

17.14

Ley de Ampére-Maxwell en forma diferencial

Como a ec. (17.53) para la ley de Ampére-Maxwell es

muy

similar a la ec. (17.2)

para la ley de Faraday-Henry, podemos aplicar nuevamente la técnica empleada

en la

sec.

17.7 a fin de obtener la ley

de

Ampére-Maxwell en forma diferencial.

La fig. 17-9 se reemplaza ahora por la fig.

17-33.

Omitiendo los detalles, obte

nemos análogamente a la ec. (17.10), la circulación del campo magnético a lo

largo del camino rectangular

PQRS

de lados

dx

y

dy,

en la forma

q} .</ ==(

e

---'í-

—

fíZí.) dx dy.

(17.56)

PQRS \ °

x

¿y i

Para establecer la forma diferencial de la ley de Ampére, ya obtuvimos en la ec.

(16.74) el flujo de la densidad de corriente n través de la superficie limitada por

PQRS,

esto es,

SPQBS

*

*

UNd S

=

jz dX dlJ

-

( 1 7

-

57)

Finalmente el flujo del campo eléctrico a través de la superficie limitada por

PQRS

es, por analogía con la ec.

(17.57),

i

C- UN

dS

=

d dx dy,

J PQRS

y

en

consecuencia

•

-

i

£'

w.v

dS

••=

—

dx dy.

(17.58)

dt J

PQRS

M



17 14)

Ley de Ampére-Maxwdi en forma diferencial 679

Sust i tuyendo las ees. (17.56), (17.57) y (17.58) en la ec . (17.53) y cancelando en

ambos miembros el íactor común dx dg resul ta

dx

= 1V«

e

0

ft)

8ó

t

81

(17.59)

Colocando nuestro rectángulo en los planos YZ y ZX, obtenemos o t ras dos ex

presiones :

(17.60)

t

sy

m*

¿Ñ3y . ,

d£

x

OZ 01

Cfldz _ 8¿y

8z

(17.61)

Las expresiones (17.59), (17.60) y (17.61) constituyen conjuntamente la ley de

Ampére-Maxwell en forma diferencial . Las podemos combinar en una única ecua-

VcQ)

T

Flg.

17-33.

Circuito elemental par a de- Fig. 17-34. La corriente de de splaza-

ducir la forma diferencial de la ley de miento de M axwell en u n cap acito r.

Ampére-Maxwell.

ción vectorial como ya hicimos para las leyes de Ampére y de F a raday - Henry ,

escribiendo

rotl3 = n

0

( . ?

+

£

o - ^ - J .

(17.62)

que expresa la relación entre la corriente eléctrica en un punto del espacio y los

campos eléctrico y magnético en el mismo punto. En el espacio vacio, donde

no hay comentes , j = 0 y la ec. (17.62) se convierte en

rot°J =

lx

o

e

o~^f'

(17.63)



680 C ampos electromagnéticos dependientes del tiempo (17.15

que es el equivalente de la ec. (17.55) en forma diferencial. Es similar a la ec. (17.15)

para la ley de Faraday-Henry y muestra claramente la relación entre el campo

magnético y la derivada de campo eléctrico respecto al t iempo en el mismo punto.

Podemos observar que

en

la

ec .

(17.62) el efecto de un campo eléctrico depen

diente del t iempo es añadir un término €

0

df¡vl a la densidad de corriente. Max

well interpretó este término como una corriente adicional y la llamó corriente de

desplazamiento.

El razonamiento de Maxwell fue el siguiente. En un circuito que

contiene un capacitor C (fig. 17-34), éste interrumpe

ia

corriente

/.

Para "cer rar"

el circuito debe haber una corriente de una placa a la otra y esta corriente es

precisamente (e

0

a<f/fi/)S, donde ¿ es el campo eléctrico en el capacitor y S es

su superficie. Sin embargo, el término "corriente de desplazamiento" l leva a

confusiones y la "imagen" de Maxwell es innecesaria, ya que no hay tal corriente

entre las placas del capacitor, expresando la ec. (17.63) simplemente una corre

lación entre ¿\ 93 y j en el mismo punto del espacio.

17.15 Ecuaciones de Maxwell

Recapitulemos a esta altura nuestro estudio de campo electromagnético. Hemos

visto que una clase importante de interacción entre las partículas fundamentales

que componen la materia es la l lamada interacción electromagnética. Es tá re la

cionada con una propiedad característica de cada partícula que se denomina su

carga eléctrica. Para describir la interacción electromagnética, hemos intro ducido

la noción de campo electromagnético, caracterizado por dos vectores , el campo

eléctrico ¿ y el campo magnético 93, tales qu e ia fuerza que se ejerce sobre una

carga eléctrica es

F

= q(C +

vx

)j).

(17.64)

Los campos eléctrico

£'

y magnético }} están a su vez determ inad os po r las posi

ciones de las cargas y por sus movimientos (o corrientes). La separación del campo

electromagnético en sus compon entes eléctr ica y magnética depende del movim iento

relativo del observador y de las cargas que producen el campo. Además los cam

po s f y 93 están dire ctam ente correlacionados por las leyes de Am pére-Maxw ell

y de Faraday-Henry. Todas estas relaciones se expresan mediante cuatro leyes

que hemos analizado en los capítulos precedentes y que se pueden escribir tanto

en forma integral como en forma diferencial como en la tabla 17-2.

La teoría del campo electromagnético está condensada en estas cuatro leyes.

Se denominan ecuaciones de Maxwell porque fue Maxwell quien, además de. for

mular la cuarta ley, se dio cuenta que, junto con la ec. (17.64), constituían la

estructura básica de la teoría de las interacciones electromagnéticas . La carga

eléctrica q y la corriente / se denominan las fuentes del campo electromagnético

ya que, dadas q e I, las ecuaciones de Maxwe'i nos permiten calcular € y

95.

Debemos notar que las leyes de Gauss par:? ios campos eléctrico y magnético,

ees. (16.3) y (16.81), se obtuvieron en el capítulo 16 para campos estáticos. No

obstante, las estamos incorporando ahora a una teoría que involucra campos de-



17.15)

Ecuaciones de Maxw ell 681

pendientes del t iempo. El estudiante se puede preguntar s i no tendremos quizá

que corregir las del mismo modo que tuvimos que modificar la ley de Ampére

para hacerla aplicable en la s ituación de dependencia del t iempo. La respuesta

es negativa. Se ha encontrado que el mencionado conjunto de leyes está conforme

a la experiencia, y las consecuencias deducidas de ellas hasta ahora concuerdan

con ios resultados experimentales . Por lo tanto, las dos leyes de Gauss s iguen

siendo válidas cuando se aplican a campos eléctr icos y magnéticos dependientes

del t iempo.

TABLA 17-2 Ecuaciones de Maxwell para el

campo

electromagnético

L e y

I . Ley de Gauss para

e l campo e léc t r ico

[(16.3) y (16.5)3

I I . Ley de Gauss para

e l c a m p o m a g n é

tico [(16.81) y

(16.82)]

I I I . L e y d e F a r a d a y -

Henry [ (17.2) y

(17.15) ]

I V . L e y d e A m p é r e -

Maxwell [ (17 .54)

Y (17.62)]

F o r m a i n t e g r a l

<£

£-u„dS

=

- £ -

Js e

0

¿

c

B-u

N

dS = 0 •

¿ e-di = — ~ í ii-u

N

ds

JL dt JS

jjT3-dl = y , / +

e^-jj-je-UNdS

Forma d i f e r enc ia l

d iv £ =

- £ -

e

6

d i v

95 =

0

O í

rot <» = m i + £

0

¡¿o -7y -

Las ecuaciones de Maxwell forman también un conjunto compatible. Por un la

do,

la s

ees.

(16.3) y (17.54), que involucran una integral de superficie del campo

eléctrico, son compatibles porque éste fue nuestro requisito básico p#ra corregir

la

lij

de Ampére. Por otro lado, las

ees.

(16.81) y (17.2), que involucran una in

tegral de superficie del campo magnético, también son compatibles . Por ejem

plo,

aplicando la

ec .

(17.2) a la superficie de la fig.

17-31,

tenemos que cuando

la curva L se encoge hasta que la superficie se cierra, la circulación de C es cero.

Entonces

d

'dt

<>

IfS • u

N

dS = 0 ó

¿ 73

•

u

N

dS = const,

J o J o

que coincide con la ec. (16.81) s i anulamos la constante de integración.

En el espacio Ubre o vacío, donde no hay ni cargas (p — 0) ni corrientes (J — 0),

las ecuaciones de Maxw ell son algo más simples, siendo su forma diferencial

div <f = 0,

ro t <f = —

dt

div T3 = 0,

ro t 73 =

e

oi

x

0

dt

(17.65)




las cuales presentan cierta simetría. Sugerimos que el estudiante las escriba en

detalle usando las componentes cartesianas.

El estudiante debe comparar las ecuaciones de Maxwell, sea en forma integral

o diferencia], con las ecuaciones para el campo estático que se muestran en la

t ab la 16-4, y notar las principales modificaciones introducidas. En particular,

debe observar que las leyes de Faraday-Henry y de

Ampére-Maxwell

suminis tran

la conexión entre los campos eléctrico y magnético, la cual estaba ausente en las

ecuaciones para los campos estáticos.

Según el problema a resolver, las ecuaciones de Maxwell se usan en forma

integral o diferencial. En el capítulo 19, por ejemplo, ilustraremos cómo se usan

para estudiar las ondas electromagnéticas . Puede parecer a primera vis ta que

recordar todas estas ecuaciones es una tarea formidable. Sin embargo no es así.

En primer lugar tienen una cierta simetría que (una vez reconocida) ayuda a

organizarías en la mente y por aplicación continuada uno se

familiariza

gradual

mente con ellas. Pero en segundo lugar, comprender su significado físico es más

importante que recordarlas en detalle.

Las ecuaciones de Maxwell son compatibles con el principio de relatividad

en el sentido de que son invariantes frente a una transformación de Lorentz.

Es decir, su forma no cambia cuando las coordenadas x, g, z y el t iempo t se

transforman conforme a la transformación de Lorentz (6.33) y los campos <f y

c

]3

se transforman conforme a las

ees.

(15.59) y (15.61). La demostración matemática

de esto pertenece a un curso más avanzado, por lo que la omitiremos aquí aunque

no es esencialmente difícil.

La síntesis de las interacciones electromagnéticas que expresan las ecuaciones

de Maxwell es uno de los mayores logros de la física y es lo que coloca estas inter

acciones en una posición privilegiada. Son las mejor comprendidas de todas las

interacciones y las únicas que, hasta ahora, se pueden expresar en una forma

matemática cerrada y compatible. Esto es bastante afortunado para la huma

nidad, puesto que gran parte de nuestra civilización ha sido posible gracias a

nuestra comprensión de las interacciones electromagnéticas , ya que son respon

sables de la mayoría de los procesos, naturales y debidos a la mano del hombre,

que afectan nuestra vida diaria.

No obstante, debemos darnos cuenta que las ecuaciones de Maxwell, tal cual

han s ido presentadas, t ienen sus l imitaciones. Funcionan muy bien para tratar

interacciones entre gran número de cargas, como las antenas radiantes , los cir

cuitos eléctricos y aún los haces de átomos o de moléculas ionizados. Pero se ha

encontrado que las interacciones electromagnéticas entre partículas elementales

(especialmente a energías altas) se deben tratar en una forma algo diferente y

conforme a las leyes de la mecánica cuántica, constituyendo una técnica deno

minada electrodinámica cuántica. Este tema no recibirá consideración ulterior en

este l ibro. Aun dando por sentadas estas l imitaciones, los resultados obtenidos

de las ecuaciones de Maxwell dadas en este capítulo son una aproximación exce

lente para describir las interacciones electromagnéticas entre partículas elementales .

Este método se denomina electrodinámica clasica. Es esta técnica aproximada

la que se usará en este libro cuando estudiemos las ondas electromagnéticas y

la estructura de la materia.



Problemas

GS3

Bibliografía

1.

"From F a r a d a y t o t h e D y n a m o " , H . S h a r l i n , Sci. Am., m a y o 1 9 6 1 , p á g . 1 0 7

2. " J o s e p h H e n r y " , C . A n d r e w s , The Physics

Teacher

3, 13 (1965)

3 .

"Michael F a r a d a y " , L . W i l l i a m s , The Physics Teacher 8, 64 (1965)

4 . "Displacement Currents a n d M a g n e t i c F i e l d s " , A . F r e n c h y J . Tessman» Am.

J. Phys. 31 , 201 (1963)

5.

" F o r c e s a n d F i e l d s i n S p e c i a l R e l a t i v i t y " , W . G a n l e y , A m .

J. Phys.

81 , 510

(1963)

6.

"Interpretat ion

o f t h e D i s p l a c e m e n t C u r r e n t " , W . Rosser, Am. J. Phys. 3 1 ,

807 (1963)

7 . " M a x w e l l , D i s p l a c e m e n t C u r r e n t , a n d

S y m m e t r y " ,

A . Bork, Am. J. Phys. 3 1 ,

854 (1963)

8.

Great Experiments in Physics,

M o r r i s S h a m o s , e d i t o r . Holt, R i n e h a r t a n d W i n s -

ton , New York , 1959 , cap . 10 (F a raday) ; cap . 11 (Lenz ) ; apénd ice 1 (Maxwel l )

9.

Foundations

of Electromagnetic Theory, J . Re i t z y F . Milford. A d d i s o n - W e s l e y ,

Read ing , Mass . , 1960 , sec . 7-2; cap. 9; secs . 12-2, 13-1 a 13-6, y 15-1 a 15-3

10. T he Feynman Lectures on Physics, v o l . I I , R . F e y n m a n , R . L e i g h t o n y M . S a n d s .

Addison-Wes ley , Read ing , Mass . , 1963 , caps . 16 , 17 , 18 , 22 y 28

11 .

Source Book

in Physics, W . M a g i e. H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s . ,

1963 , p á g . 4 7 2 ( F a r a d a y ) ; p á g . 5 1 1 ( L e n z ) ; p á g . 5 1 3 ( H e n r y ) ; p á g . 5 2 8 ( M a x

w e l l ) ;

p á g . 5 8 3 ( R o w l a n d )

12. Foundations of Modern Physical Science, G. Hol ton y D. H. D. Rol le r . Addison-

Wes ley , Read ing , Mass . , 1958 , s ecs . 28 .8 , 28 .9 y 28 .10

Problemas

17 .1 S e co loca un a bob ina de 200 vue l

tas y de 0,10 m d e r a d i o p e r p e n d i c u l a r -

m e n t e a u n c a m p o m a g n é t i c o u n i f o r m e

de 0 , 2 T . Encont ra r l a íem induc ida en

la bobina s i , en 0,1 s , (a) se duplica e l

cam po, (b ) s e reduce e l cam po a ce ro ,

(c ) s e inv ie r t e e l s en t ido de l cam po,

(d ) s e ro ta l a bob ina en 90° , (e ) s e ro ta

la bob ina en 180° . En cada caso , hace r

u n d i a g r a m a m o s t r a n d o e l s e n t i d o d e

la í em .

17 .2 Con re fe renc ia a l p ro b lem a 16 .68 ,

s i l a cor r i en te va r ía s egún I — I

a

sen

tal,

d e t e r m i n a r l a fem induc ida en e l c i rcu i to .

17 .3 Mos t ra r que s i

Ve¡

es una fem

osc i l an te ap l i cada en los t e rm ina le s AB,

la fem

V s

2

en los t e rm ina le s A'B' re su l

t an te de l a inducc ión m utua en t re los dos

enro l l ados e s

V e

2

= (¿V

2

/A

r

)V s

:

(ver fig.

17-35) . Es te e s e l fundam ento de l t rans

fo rm ador ; l a fó rm ula e s cor rec ta en t an to

el f lujo magnét ico a t ravés de los dos

enro l l ados s ea e l m ism o y en t an to l a

re s i s t enc ia s ea desprec iab le .

17 .4 Cu and o se exp resa e l cam po m ag

né t i co en gaus s y e l á rea en cm

s

, el flujo

m a g n é t i c o s e m i d e e n maxwells. ( a ) D e -

F igura 17-35

f in i r e l m axwel l . (b ) Mos t ra r que un

weber es igual a 10

8

m axwel l s . (c ) P one r

en la

ec .

(17 .1 ) e l fac to r num ér ico apro-



684 Campo s electromagnéticos

dependientes

de tiempo

piado de modo que VE se mida en volt ios

y Q>3B en maxwel l s .

17 .5 E l cam po magn ét ico 'H en todos

los puntos dentro de la circunferencia de

trazos de la

íig. 17-36

es igual a 0,ñ T .

Está d ir ig ido hacia el p lano del papel y

decrece a razón de 0,1 T s

. (a) ¿Cuál

es la forma de las líneas de fuerza del

Hacer un g rá f ico esquemát ico de ia fem

induc ida

en

la espira en función de x,

desde x --- — 2 h a s t a x =•- -

1

-

21,

r e p r e

sen ta ndo hac ia a r r iba la f em en e l sen

t ido de las agujas del relo j y hacia abajo

¡a de sentido opuesto .

17.7 Lina

esp i r a r ec tangu la r se mueve

a t r avés de un a región en la cual el

campo magnét ico es tá dado po r

'1%,

—

> % -----

0 ,

M* ^

(6 —

y)

T (ver flg. 17-38).

Encon t r a r la f em induc ida en la esp i r a

en func ión de l t i empo , pon iendo

/ =

0

cuando la espira es tá en la posición mos

trada en la figura, (a) si v — 2 m s

_1

,

(b)

s i la espira par te del reposo y t iene

una aceleración de 2 m s~

s

. ( c ) R epe t i r

p a r a c u a n d o

eí

mov imien to es para le lo

a OZ en lugar de OV. (d ) Encon t r a r la

corriente, si /«espira --- 2

ohm s .

Figura 17-36

campo e léc t r ico induc ido den t ro de la

circunferencia de trazos? (b) ¿Cuáles son

el módulo y la d irección de este campo

en cua lqu ie r punto del anil lo conductor ,

y cuál es la fem en el mismo? (c) ¿Cuál

es la

corriente

en el anillo si su resistencia

es 2 ohms? (d) ¿Cuál es ia diferencia de

po tenc ia l en t r e dos pun tos cua lesqu ie r a

del anil lo? (e) ¿C ómo conciiia sus res

puestas a (c) y a (d)? Si se cor ta el

anil lo en algún punto y se

separan

los

ex t r emos l igeramen te , ¿cuá l se r á la d i f e

r enc ia de po tenc ia l en t r e lo s ex t r emos?

17 .6 Una esp i r a cua d rad a de aiambre

se mueve con ve loc idad v cons tan te en

dirección transversal a un cam po mag

nético uniforme conf inado en una región

cuad rada cuyos lados son de long i tud

doble de los de la espira (ver flg. 17-37).

..—

/

~~1

1

1-

•

y

- > J

X X X X X

' X

X X X X X

X X X X X

X X X X x X

y x x x x

X X X X X X

'/

/

0,2 m

s

'<*• (

0,5

m

Figura 17-38

Figura 17-37

17.8 Supon iendo que la esp i r a de l p ro

blema 17.7 ro la alrededor del eje OZ,

(a) ¿cuál es la fem ined ia du ran te lo s

pr imeros 90° de ro tación s i el per íodo de

rotación es 0,2 s? (b) Calcular la fem y

la corr iente instantáneas en función del

t iempo .

17.9 En la fig. 17-39 sean l = 1,5 m,

í) --• 0,5 T y v = 4 m s

_1

. ¿Cuál es la di

f e r enc ia de po tenc ia l en t r e lo s ex t r emos

de l conduc to r? ¿C uál ex t r emo es tá a

p o t e n c i a l m á s a l t o ?

17.10 El cub o de la fig. 17-40 , de un

metro de lado , es tá en un campo mag

nético uniforme de 0 ,2 T d ir ig ido según

el eje Y. Los alambres A, C y D se

mueven en las d i r ecc iones ind icadas , to

dos con una velocidad de 0 ,5 m s

_1

. ¿Cuál

es la d iferencia de potencial entre los

e x t r e m o s d e c a d a a l a m b r e ?



Problemas 685

y.

< B

x

x

M

b

Figura 17-89 Figura 17-40 Figura 17-41

17 .11 Un d isco metá l ico de r ad io a ro ta

c o n v e l o c i d a d a n g u l a r

<o

en un p lano

d o n d e h a y u n c a m p o m a g n é t i c o u n i

fo rme

c

f) pa ral elo al eje del d isco (ve r

flg.

17-41) .

Demos t r a r que la d i f e r enc ia

de po tenc ia l en t r e e l cen t ro y e l bo rde

es

|coa

2

T8.

17 .12 Un so leno ide t iene una long i tud

de 0,30 m y una sección de 1,2 x 10 ~

3

m

2

.

Una bob ina de 300 vue l tas es tá a r ro l lada

en su par te cen t r a l . Dete rminar ( a ) su

i n d u c c i ó n m u t u a , ( b ) l a fem induc ida en

la bobina s i en 0 ,2 s se invier te el sentido

de la corr iente de 2 A que circula por el

so lenoide.

17 .13 Las bob i nas A y B t ienen 200 y

8 0 0 v u e l t a s r e s p e c t i v a m e n t e . U n a c o

r r iente de 2 A en A produce un f lu jo

magnét ico de 1 ,8 x 10~* Wb en cada

v u e l t a d e B . Calcular (a) el coef iciente

de induc tanc ia mu tua , (b ) e l f lu jo mag

né t ico a t r avés de

A

c u a n d o h a y u n a

co r r ien te de 4 A en B , (c) la fem indu

c ida en B cuando la co r r ien te en A

varía de 3 A a 1 A en 0,3 s.

17 .14 Se colo can dos bob ina s coaxia l-

mente como se muestra en la f ig . 17-42.

L a b o b i n a 1 e s t á c o n e c t a d a a u n a f u e n t e

e x t e r n a

V g,

de f em. Suponer que la geo

met r ía es ta l que un qu in to de l f lu jo

m a g n é t i c o p r o d u c i d o p o r l a b o b i n a 1

pasa po r la bob ina 2 y v icever sa . Las

res i s tenc ias de las bob inas son R¡ y i?

2

y l a b o b i n a 2 e s t á c o n e c t a d a a u n a r e

s i s t e n c i a e x t e r n a c o m o s e m u e s t r a . L o s

n ú m e r o s d e v u e l t a s d e l a s b o b i n a s s o n

N , y N

3

. E l f lu jo to ta l p roduc ido po r la

bob i na 1 es tá d ado po r <t>» = (L , / IVi) í i ,

d o n d e

L

x

es la autoinductancia de la bo

b ina 1 . ( a ) Encon t r a r la f em induc ida en

l a b o b i n a 2 c u a n d o / , a u m e n t a u n i f or

m e m e n t e d e 0 a I

0

en í s . ( b ) Encon t r a r

la f em induc ida en la bob ina 2 cuando

I

t

= I

0

sen a>t. ( c ) ¿C uán ta energ ía se r e

qu ie r e de l c i r cu i to 1 como r esu l tado de

la inducc ión en la bob ina 2?

17 .15 Se co loca una bob in a de N v u e l

tas a l r ededo r de un so leno ide muy la rgo

de sección S q u e t i e n e n v u e l t a s p o r u n i

dad de long i tud (ver f lg . 17 -34 ) . Demos

t r a r q u e l a i n d u c t a n c i a m u t u a d e l s i s

t e m a e s [íf/iNS.

17 .16 E n e l cen t ro de un a bo b in a c i r cu

lar de radio a q u e t i e n e N

x

v u e l t a s , h a y

Figu ra 17 -43

Figu ra 17 -44



686

Campo s electromagnéticos dependíale-;

aei ¡emho

u n a b o b i n a muy pequeña de secc ión S

que t iene N

t

vue l tas , como se mues t r a

en la f lg . 17 .44 . Demostrar que la induc-

t a n c i a m u t u a e s •i^

0

A

T

i¿V

2

S eos 6/a, donde

6 es el ángulo entre las normales a las

dos bob inas .

17.17 El f lu jo mag nét ico a tra vé s de un

c i r cu i to de r es i s tenc ia R es O » . En un

t iempo de te rminado e l f lu jo var ía en

Aí>£g. Demostrar que la cantidad de carga

que pasa a t r avés de cua lqu ie r secc ión

del circuito es Q = Aí>íg//?, independien

temente de que la var iación de f lu jo sea

ráp ida o len ta .

17 .18 Un a bob in a de 1000 vue l tas y

con

una resis tencia de 100

íi

es tá a r ro l lada

en un

solenoide

muy largo que t iene 10*

vuel tas po r met ro y una secc ión de

2 x 10 ~

3

m

2

. La corr iente que circula por

el so lenoide es de 10 A. En un t iempo

cor to d icha corr iente se (a) duplica, (b)

r educe a ce ro , ( c ) inv ie r te . Encon t r a r la

can t idad de carga que c i r cu la po r Ja bo

b ina en cada caso .

1 7 .1 9 E n c o n t r a r l a a u t o i n d u c t a n c i a de

un solenoide toroidal de N v u e l t a s . S u

poner que e l r ad io de l bob inado es muy

p e q u e ñ o r e s p e c t o a l fadio del toro .

¿¡

Galvanómetro

Figura 17-45

17.20 El f lu jo ma gné tic o a tra vés de un

c i r cu i to po r e l que c i r cu la una co r r ien te

de 2 A es 0,8

W b .

E n c o n t r a r s u a u t o i n

duc tanc ia . C a lcu la r la f em induc ida en

el circuito si en 0,2 s la corriente se (a)

duplica, (b) reduce a cero , (c) invier te .

17 .21 El pu en te i lus tra do en la f lg .17-45

se puede u sar para comparar las dos in -

d u c t a n c i a s L¡ y

L.¿.

Se equ i l ib r a e l puen te

de modo que la co r r ien te de

-B

a D sea

cero en todo momen to cuando se ap l ica

la f em a l te rn a V E. Mos t r a r q ue

LJ^

=

17.22 En t-1 p rob l em a 17 .21 se desp re

c ió la r es i s tenc ia de las induc tanc ias . S i

sus resis tencias son /{ , y

R

t

e l p roced i

mien to es e l s igu ien te : se equ i l ib r a p r i

mero e l puen te has ta que no haya co

r r ien te en t r e B y D cuando se ap l ica una

fe m conslanie. A con t inuac ión se equ i l i

b r a e l puen te como en e l p rob lema

17-21,

s in cambiar la r es i s tenc ia . Demos t r a r que

se man t iene la misma r e lac ión .

Figura

17-46

"VV

17.23 Si el circui to rec tan gul ar de la

f lg . 17-46 se mueve con velocidad v a le

jándose de la co r r ien te r ec t i l ínea , encon

t r a r la f em induc ida . Usar dos métodos .

{Sugerencia: R e co rd ar el p rob lem a 16 .68

y tener en cuen ta que t> = drjdt.]

17.24 Ref ir iéndos e a la s i tua ción est u

diada en las secciones 17.2 y 17.4 , calcu

lar el campo eléctr ico en el s is tema de

referencia f i jo al conductor móvil y de

terminar la d i f e r enc ia de po tenc ia l en t r e

s u s p u n t o s t e r m i n a l e s .

17 .25 Aplicar el es tudio de la sec

ción 12 .10 al anális is de dos circuitos

idén t icos acop lados .

17 .26 Se conec ta un capa c i to r C que

t iene una carga in ic ia q

0

a un r es i s to r R.

Si se cier ra el in ter rup tor S de la f lg .17-47,

e l capac i to r se descarga a t r avés de l r e

s i s to r . Demos t r a r que ( a ) la co r r ien te en

el circuito es J = — dqjdt, (b) la ecua

ción del circuito es q/C = RI , (c) la

carga de l capac i to r a l t i empo t es

q = q^C* "

0

, (d) la energía d is ipada en

la resis tencia por efecto Joule es igual

a la energía in icial del capacitor . [Suge

rencia:

Pa ra ( c) com binar ( a ) y (b ) ; pa ra

(d ) ca lcu la r la in teg ra l Jj° RP dt.)

17 .27 Un capa c i to r C, t iene una carga

in icial

q

a

.

C uando se c ie r r a e l in te r rup

t o r S

(flg.

17-48) , el capacitor se conecta



Problemas 687

+ 7

s

-9o

+

?0

• > -

Figura 17-47 Figu ra 17 -48 F ig u ra 17 -49

en ser ie con un resis tor R y un capac i to r

d e s c a r g a d o C¡ . ( a ) Demos t r a r que la ecua

ción del circuito es q¡C¡

+(q

0

—

q)¡C

= RI.

( b ) D e t e r m i n a r q e / en función del

t i e m p o .

17.28 Se con ect a un capac itor C que

t iene una carga in ic ia l q

0

a u n a a u t o i n -

d u c t a n c i a L de r es i s tenc ia desp rec iab le

(fig. 17-49) . Si se cier ra el in ter ruptor S,

e l capac i to r se descarga a t r avés de la

induc tanc ia . Demos t r a r que ( a ) la co

r r ie nte que c ircula p or el circuito es

. / = —

dqjdt,

(b) la ecuación del circuito es

q/C—L dl¡dt = 0,

(c) la carga en el

c a p a c i t o r a l t i e m p o / es q — q

0

eos

coi

1

,

d o n d e

a

=

1/V LC,

de modo que se es ta

b lecen o sc i lac iones e léc t r icas . Es te c i r

cu i to se u sa para ob tener o sc i lac iones

de a l ta f r ecuenc ia .

17 .29 Se cone c ta un a ba te r ía de fem

Vs y r es i s tenc ia in te rna desp rec iab le en

ser ie con. un re sis tor i? y un cap acit or

descarga do C ( fig. 17 -50) . De mo s t r a r que ,

Figura 17-50

después de cer r a r e l

interruptor

S, (a) la

corr iente en el circuito es I = +

dq¡dt,

d o n d e q es la ca rga acumulada en e l

capacitor , (b) la ecuación del circuito es

Vg — q/C — RI, (c ) la carga en función

de l t i empo es

q

= V

S

C(1

— e-

t

l

RC

),

la

co r r ien te en func ión de l t i empo es

I =

(Vs,¡R)e~

tlRC

. R e p r e s e n t a r q e I en

func ión de l t i empo .

17 .30 Un c i r cu i to es tá com pues to de

una resis tencia a la cual se aplica una

f e m a l t e r n a

Ye

=

V„

se n

cof.

D e m o s t r a r

que la co r r ien te es tá da da po r / =

(VJR)

sen

cof,

r e p r e s e n t a r l os v e c t o r e s r o t a n t e s

de la fem y de la corr iente y mostrar que

están en fase. ¿Cuál es la impedancia del

c i r cu i to?

17 .31 Un c i r cu i to es tá com pue s to de

u n a f e m a l t e r n a d e a m p l i t u d

V s

0

y fre

cuenc ia an gu la r co, con ec ta da a un capa

c i to r C . ( a ) Encon t r a r la co r r ien te , ( b )

Dibu ja r lo s vec to res ro tan tes co r r espon

dientes a la fem aplicada y a la corr iente.

( c ) R ep resen ta r la co r r ien te en func ión

de o y de C.

17 .32 Se conec ta un cap ac i to r de í[iF

a una fuen te de C A cuya ampl i tud t-e

vo l ta je se man t iene cons tan te a 50 V ,

pero cuya f r ecuenc ia se puede var ia r .

E n c o n t r a r l a a m p l i t u d d e c o r r i e n t e

cuando la f r ecuenc ia angu la r es ( a )

10 0 s"

1

, (b) 1000 s"

1

, (c) 10 .000 s"

1

.

(d ) C ons t ru i r un g rá f ico b i logar í tmico

de la corr iente en función de la f recuencia.

17 .33 La ampl i tud de vo l ta je de una

fuente de CA es 50 V y su f recuencia

angu la r es 1000 s

_1

. E n c o n t r a r l a a m p l i

tud de co r r ien te s i l a capac i tanc ia de un

capac i to r conec tado a la fuen te es ( a )

0,01

n F ,

(b) 1,0

(xF,

(c) 100

fiF.

(d) Cons

t ru i r un g rá f ico b i logar í tmico de

l a - c o

r r ien te en func ión de la capac i tanc ia .

17 .34 Un c i r cu i to es tá comp ues to de

u n a f e m a l t e r n a d e a m p l i t u d

Vs

0

y

fre

cuenc ia angu la r co cone c tad a a una au to -

i n d u c t a n c i a L. ( a ) Encon t r a r la co r r ien te ,

(b ) D ibu ja r lo s vec to res ro tan tes co r r es

pond ien tes a la f em ap l icada , a la ca ída

d e p o t e n c i a l e n l a a u t o i n d u c t a n c i a y a

la co r r ien te , ( c ) R ep resen ta r la co r r ien te

en fun ción de co y de L.

17.35 A la fuen te del pro ble m a 17.32

se conec ta un induc to r de au to induc

tanc ia 10 H y r es i s tenc ia desp rec iab le .



Problemas

689

R e p r e s e n t a r e l v e c t o r r o t a n t e d e l a f e m .

Luego , usando los re su l t ados de los p ro

b le m as 17 .34 y 17 .37 , d ibu ja r los vec to res

r o t a n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a c o r r i e n t e

en l a re s i s t enc ia y en l a

i n d u c t a n c i a .

S u re su l t an te da l a cor r i en te to ta l de l a

cua l s e ob t i enen l a im pedanc ia y l a d i

ferencia de fase . ]

Vz

O

le

IR

JE

J

Vz

e

le

l e

¡L

F igura 17-53

1 7 . 45 R e p e t i r e l p r o b l e m a p r e c e d e n t e

pa ra los t re s c i rcu i tos i lus t rados en l a

flg. 17-53.

17 .46 S e conec ta un a bo b in a que t i ene

una re s i s t enc ia de 1

ti

y u n a i n d u c t a n c i a

d e

10 ~

3

H en pa ra le lo con una s egunda

bobina que t i ene una re s i s t enc ia de 1 f i

y u n a

autoinductancia

de 3 x 10"

3

H .

S e ap l i ca a l s i s t em a una fem a l t e rna con

una am pl i tud de 10 V y una f recuenc ia

a n g u l a r d e

120TC s

_l

.

Calcular (a) la co

r r i en te que c i rcu la por cada bob ina ,

(b ) l a cor r i en te to ta l , (c ) Represen ta r

los vec to res ro tan te s de l a fem , de l a

cor r i en te en cada bob ina y de l a co

r r i en te to ta l , (d ) Ver i f i ca r que e l vec to r

de l a cor r i en te to ta l e s igua l a l a sum a

de los vec to res de cada cor r i en te .

17 .47 U n c i rcu i to e s tá com pue s to de

un induc tor y un capac i to r en pa ra le lo ,

conec tados en s e r ie con un re s i s to r

como

se muestra en la f ig. 17-54. (a) Dibujar

F i g u r a 1 7 - 5 4

l o s v e c t o r e s r o t a n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s a

V

s

,

II,

le , RI, V

L

y

Ve .

( b ) D e m o s t r a r

q u e l a i m p e d a n c i a d e l c i r c u i t o e s

[i ?

2

+

M

2

L

a

/( l

- u ' I C ) ' ] " » . ¿ C uá l es e l

v a l o r _ d e l a i m p e d a n c i a c u a n d o a =

1/Y LC1

(en e s te caso s e d ice que ha y

antirresondncia). ( d ) H a c e r u n a r e p r e

s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l a c o r r i e n t e e n

func ión de l a f recuenc ia . [Sugerencia:

O b s e r v a r q u e l a s u m a d e l o s v e c t o r e s

r o t a n t e s d e l a s c o r r i e n t e s q u e p a s a n p o r

L

y

C

debe s e r igua l a l de l a cor r i en te

q u e p a s a p o r

R,

p e r o l o s c o r r e s p o n d i e n

te s a l a d i fe renc ia de po tenc ia l deben s e r

i d é n t i c o s . T a m b i é n s e m u e s t r a e l d i a

g r a m a d e v e c t o r e s r o t a n t e s p a r a a y u d a r

a l e s t u d i a n t e . ]

1 7 . 48 U n a b o b i n a c i r c u l a r d e r a d i o

a,

r e s i s t e n c i a

R

y a u t o i n d u c t a n c i a

L

r o t a

c o n v e l o c i d a d a n g u l a r c o n s t a n t e a l r e d e

d o r d e u n d i á m e t r o p e r p e n d i c u l a r a u n

c a m p o m a g n é t i c o u n i f o r m e ( v e r f i g .

17-55) . Encont ra r (a ) l a fem

inducida

en l a bob ina y l a cor r i en te que c i rcu la

por e l l a , (b ) los va lo res m edios de l a s

c o m p o n e n t e s x e

y

d e l c a m p o m a g n é t i c o

i n d u c i d o p o r l a b o b i n a e n

O ,

(c) e l án

g u l o q u e u n a a g u j a m a g n é t i c a c o l o c a d a

e n

O

form a con e l e je

X.

F i g u r a 1 7 - 5 5



690 Campos electromagnéticos dependientes del tiempo

17 .49 De m o s t ra r que s i

K

fí

—

Cjr se sa

t is face la ec . (17 .8 ) .

[Sugerencia:

Calcu

la r

c

>3 p a r a

r

a r b i t r a r i o , i n t r o d u c i r e l

valor en la ec . (17.8) y calcular la deri

v a d a r e s p e c t o a

r.]

17 .50 U na ca rga

q de

m a s a

m

s e m ueve

en una ó r b i t a c i rcu la r de rad io p ba jo l a

acc ión de una fue rza cen t r ípe ta F. D u

ran te c ie r to in te rva lo de t i em po, s e e s ta

b lece un cam po m agné t ico un i fo rm e pe r

p e n d i c u l a r a l p l a n o d e

la

ó r b i t a . U s a n d o

ía l ey de l a inducc ión e lec t rom agné t ica ,

dem os t ra r que l a va r iac ión de l m ódulo

de la velocidad del ion es Av~—qp

H/2/n

y que l a va r iac ión cor re spondien te de l

m o m e n t o m a g n é t i c o e s Am = —(g

2

p

2

/4m)

B.

Com para r con e l e jem plo

16.21. [Su

gerencia:

P a r a o b t e n e r l a aceleración

t a n g e n c i a l m i e n t r a s e l c a m p o m a g n é t i c o

es tá va r iando , usa r l a ec . (17 .6 ) ob ten ida

a l d i s cu t i r e l be ta t rón . ]

17 .51 Ref i r i éndose a l a s i tuac ión des

cri ta en la sección 17.5 (a)

demostrar

que en e l s is tema de referencia en e l

cual e l c ircui to es tá en reposo y e l

c a m p o m a g n é t i c o r o t a c o n v e l o c i d a d

a n g u l a r —

<o, dW/dt

= —

co x 13 .

(b ) Es

cribir la ec . (17.15) con es te valor de

dHjdt

y , usand o el re su l t ado de l p ro

b lem a 16 .64 , dem os t ra r que e l cam po

e léc t r i co obse rvado en e s te s i s t em a de re

ferencia es

C

—

$((0 x W)

x

r

.

(c) De

m os t ra r que l a fem produc ida por e s te

cam po e léc t r i co e s l a m ism a que l a

fem

m e d i d a p o r e l o b s e r v a d o r fijo a l cam po

m a g n é t i c o .

[Sugerencia:

N o t a r q u e

}r x

di e s e l á rea de l t r i ángu lo de te rm inado

p o r a m b o s v e c t o r e s y q u e

A x

B-C =

A- B

x C.]

17 .52 En una reg ión donde hay un

c a m p o m a g n é t i c o u n i f o r m e

ÍJ ,

e l m ódulo

d e l c a m p o e s t á a u m e n t a n d o c o n u n a r a

p idez cons tan te , e s dec i r , &Ujdt ~

b,

donde b e s un vec to r cons tan te pa ra le lo

a

¡8.

(a ) Dem os t ra r que , conform e a l a

ec .

(17 .15) , e l cam po e léc t r i co en cada

p u n t o e s

C —

—

ib * r.

(b ) Colocando

el eje

Z

p a r a l e l o a l c a m p o m a g n é t i c o ,

o b t e n e r l a s c o m p o n e n t e s c a r t e s i a n a s d e

c".

(e) R epr esen ta r l a s l íneas de fue rza

de los cam pos e léc t r i co y m agné t ico .

17 .53 En co nt ra r e l f lu jo e léc t r i co a t ra

vés de una e s fe ra con cen t ro en una

ca rga que s e m ueve a a l t a ve loc idad .

[ S u g e r e n c i a :

U sa r l a expres ión (15 .64)

de

la ley de

Gauss,]

17.54 Esc ribi r la form a diferencia l de

la s ecuac iones de Maxwel l ( t ab la 17-2)

usando e l ope rador V.

17 .55 De m o s t ra r que l a fo rm a d i fe ren

c ia l de l a ecuac ión de con t inu idad (17 .51)

es

dp/dt

= — d iv

j .

17.56

D e m o s t r a r q u e p a r a q u e l a e c u a

c ión de con t inu idad e sc r i t a en e l p ro

b l e m a 1 7 . 55 p e r m a n e z c a i n v a r i a n t e b a j o

u n a t r a n s f o r m a c i ó n d e L o r e n t z p a r a

todos los obse rvadores ine rc ia le s , e s ne

cesa r io que l a cor r i en te y l a dens idad de

c a r g a s e t r a n s f o r m e n d e a c u e r d o c o n

la ley

1* =

/* •py

V

1 —

f

2

/c

2

/ * = /*,

P =

] y — ]vt

• jxvlc*

Y i

_

j,»/

c

»

Escr ib i r e l l ím i te no re la t iv i s t a de e s ta s

expres iones y d i s cu t i r su ve ros im i l i tud .

[Sugerencia:

R e c o r d a r q u e

j — pv

es la

dens idad de cor r i en te pa ra ca rgas que

se m ueven con ve loc idad

•».]

17 .57 Ver i f ica r por sus t i tu c ión d i re c ta

que la ec . (17.34) es solución de la ec .

(17.33) s i i , y

s

e s tán dados por l a s

ees .

(17 .35) y (17 .39) , re spec t ivam ente .

[Sugerencia:

Desa r r o l l a r p r im ero s en

(OJ/í — a ) y reem plaz a r s en a y eos a por

los va lo res ob ten idos de l a ec . (17 .39) - ]



688

Campos

electromaynéü.cos deps¡

de l í'empo

E n c o n t r a r l a a m p l i t u d d e c o r r i e n t e

cuan

do la frecuencia angular es (a) 100 s~

l

.

(b) 1000 s~

l

, (c) 10.000 s"

1

. (ó) Cons t ru i r

un gráfico bi logari tmico de la amplitud

de corriente en función de la frecuencia .

1 7 .2 6 E n c o n t r a r l a a m p l i t u d d e c o

r r i en te s i l a au to induc tanc ia de un

in

duc tor s in resistencia conec tado a l a

fuente del problema 17,33 es (a) 0.01 H,

coiürar i¿: am pl i tu d y l a fa se re spec to a

la fem de las diferencias de potencia l V

a

¡>,

Vbr. Vtd, Va.-,

VM . [Sugerencia:

D i b u j a r

los cor re spondien te s vec to res ro tan te s

como se indicó en la f lg. 17-27] .

17 .41 S e cone c ta un a fem a l t e r na que

t i ene un va lo r m áxim o de 100 V y una

f recuenc ia angula r de i207r

s"

1

en serie

cor; una res is tencia de 1 O , u n a a u t o i n

duc tanc ia de 3 x 10~

3

í l y u n a c a p a c i

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Fisica- Alonso 2