ELASTICIDAD DE MATERIALES SLIDOS = . E = . G

ELASTICIDAD DE MATERIALES SLIDOSSLIDO:Porcin de materia cuyas distancias intermoleculares permanecen constantes en el tiempo, siempre que no estn sometidos a fuerzas externas cuyas intensidades pueden estar deformando al slidoSLIDO RGIDO:Porcin de materia cuyas distancias intermoleculares permanecen constantes en el tiempo, an cuando estn sometidos a fuerzas externas

ELASTICIDAD Y DEFORMACINElasticidad: es una propiedad que tienen los materiales en su comportamiento estructural, se manifiesta mediante cambios en sus dimensiones al ser sometidos a efectos deformadores, de tal modo que al desaparecer stos, el material recupera completamente sus dimensiones iniciales.Deformacin: es el cambio relativo en las dimensiones de un cuerpo como resultado de la accin de agentes deformadores. La deformacin puede ser ELSTICA O PLSTICA.

ELASTICIDADConceptos BsicosLey de HookeEsfuerzo y deformacinDeformaciones axialesMdulo elstico (de Young)Mdulo de RigidezEsfuerzos de Tensin, Compresin y de CorteCurva Esfuerzo vs. Deformacin UnitariaDeformaciones transversales. Coeficiente de Poisson

Concepto: EsfuerzoCorteLos cuerpos slidos responden de distinta forma cuando se los somete a fuerzas externas. El tipo de respuesta del material depender de la forma en que se aplica dicha fuerza (traccin, compresin, corte o cizalladura, flexin y torsin).Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el comportamiento mecnico del material se describe mediante tres tipos de esfuerzos: traccin, compresin y corte.

Concepto: DeformacinCorteEs el cambio del tamao o forma de un cuerpo debido a los esfuerzos producidos por una o ms fuerzas aplicadas (o tambin por la ocurrencia de la dilatacin trmica).

Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el comportamiento mecnico del material se describe mediante tres tipos de deformaciones: traccin, compresin y corte.

Estado de Tensiones y Deformaciones El estado de tensiones de un elemento de volumen se describe mediante tres tipos de esfuerzos: traccin, compresin y corte.

El estado de deformaciones de un elemento de volumen se describe mediante tres tipos de deformaciones: traccin, compresin y corte.Por ms compleja que sea la solicitacin de un material:

Esfuerzo de tensinEsfuerzoRelacin de la fuerza perpendicular aplicada a un objeto dividida para su rea transversal.

Unidad de medida: unidades de fuerza/unidades de rea; Pascal (Pa), megapascal (MPa)

FFA

Normal (Axial) : la carga es perpendicular a la seccin transversal del material - Tension : los extremos del material son estirados hacia afuera para alargar al objeto, la carga es conocida como fuerza de tensin. - Compresin : Los extremos del material som empujados para hacer al material ms pequeo, la carga es llamada una fuerza de compresin.TensinCompresin Clasificacin de esfuerzos

Esfuerzo cortante : carga TangencialClasificacinestirandoPresinCarga

Esfuerzo.Esfuerzo longitudinal

Esfuerzo cortanteFFFFA = F/AFF/2F/2FF/2F/2A = F/(2A)

deformacinDeformacinLa relacin del cambio de longitud debida al esfuerzo para la longitud original del objeto.

Es una cantidad adimensionalElongacineLLoFF

Esfuerzo tensionante y deformacin

Mquina hidraulica Baldwin para pruebas de Tension & Compresion

Diagrama Esfuerzo-Deformacin deformacin (e/Lo)41235Esfuerzo (F/A)ReginElasticaRegin PlsticaRupturaultimaFuerza de Tensin

pendiente=ERegion Elastica pendiente= Mdulo de Young Regin Plastica ultima fuerza de tensin fracturaDeformacinpermanenteEsfuerzo mximo

Esfuerzo cortante y deformacinEl esfuerzo cortante es usado en aquellos casos donde se aplican fuerzas puramente torsionantes a un objeto y se denota por el simbolo t.La frmula de calculo y las unidades permanecen iguales como en el caso de esfuerzo de tensin.Se diferencia del esfuerzo de tensin slo en la direccin de la fuerza aplicada(paralela para cortante y perpendicular para tensin)

Esfuerzo cortanteDeformacin de corte o cizalladura (g) es definida como la tangente del ngulo q, y, en esencia, determina que extensin del plano fue desplazado.

Relacin Esfuerzo-DeformacinLey de HookePara materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente bajo niveles, esfuerzo y deformacin son proporcionales

La constante E es conocida como el mdulo de elasticidad, o mdulo de Young.Es medida: unidades de fuerza/unidades de rea (en MPa y puede valer de ~4.5x104 a 40x107 Mpa)

Esfuerzo y Deformacin en CortanteEsfuerzo cortante y la deformacin se relacionan de manera similar, pero con una constante de proporcionalidad diferente

La constante G es conocida como el mdulo de corte y relaciona el esfuerzo cortante en la region elastica.

Coeficiente de PoissonCuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante, se crea una deformacin acompaante en la misma direccin.Como resultado de esta elongacin, habr constricciones en las otras dos direcciones.El coeficiente de Poisson n, es la relacin de las deformaciones lateral o transversal con la axial.

Coeficiente de PoissonTeoricamente, los materiales isotropicos tienen un valor de coeficiente de Poisson de 0,25. El maximo valor de n es 0,5 no hay cambio de volumen durante el proceso.La mayora de metales presentan valores entre 0,25 y 0,35Se usa ademas para relacionar los mdulos elstico y de corte

DeformacinLa deformacin elstica est alrededor de los 0,005.Despus de este punto, ocurre la deformacin plstica (no recuperable), y la ley de Hooke no es vlida.

FORMA GENERAL DE LA LEY DE HOOKEHemos visto la Ley de Hooke de la forma:

En el caso mas general cuando un elemento est sometido a tres tensiones normales perpendiculares entre s acompaadas de tres deformaciones respectivamente.

Superponiendo las componentes de la deformacin originada por la contraccin lateral debido al efecto de Poisson (deformacin lateral) a las deformaciones directas, obtenemos la expresin general de la Ley de Hooke:

Deformacin plstica

ElasticidadDespus de liberar una carga sometida, el objeto recupera su forma original.

Durante este proceso, la curva traza una lnea recta de elasticidad

Paralela a la porcin elstica de la curva

Elasticidad

EjemploUna barra de acero uniforme est suspendida verticalmente y soporta una carga de 2 500 kg en su extremo inferior como se indica en la figura. Si la seccin recta de la barra es 6 cm, el mdulo de elasticidad E=2,1x106 kg/cm2. Determinarel alargamiento total de la barra.DSLR=5 000 kg

La barra est afectada en tres porciones: superior, media e inferior; la deformacin de cada porcin se calcula con la relacin:Solucin

Las tres porciones de la barra se alargan, entonces el alargamiento total es:

EjemploDos barras prismticas estn unidas rgidamente y soportan una carga de 5 000 kg como se indica en la figura. La barra superior es de acero con una densidad de 0,0078 kg/cm, una longitud de 10 m y una seccin recta de 60 cm. La barra inferior es de bronce de densidad 0,0080 kg/cm, una longitud de 6 m y una seccin de 50 cm. Para el acero E=2,1x106 kg/cm2 y para el bronce E=9x105 kg/cm2. Determinar los esfuerzos mximos en cada material. Solucin:Se debe calcular primero el peso de cada parte de la barra.Peso = (peso especfico)(volumen)

El peso de la barra de bronce es:Wb=0,008 kg/cm(50 cm)(600 cm)=240 kgEl peso de la barra de acero es:Wa=0,0078 kg/cm(60 cm)(1000 cm)=468 kgEl mximo esfuerzo en la barra de bronce ocurre inmediatamente debajo de la seccin BB.El mximo esfuerzo en la barra de acero tendr lugar inmediatamente por debajo de la seccin AA.

Ejemplo 2. - Una grua esta alzando un objecto de 20,000 N. - Caracteristicas del cable dimetro=1.0 m, longitud previa al alzado =50 m1) Esfuerzo Normal en el cable?2) Deformacin?

Ejemplo 3F = 30.0 kg * 9.81 m/s2 = 294 NA = ( /4)*(5.00mm)2 = 19.6 mm^2

= F/A = 294 N / 19.6 mm2 = 15.0 N/mm2 = 1.5 x 107 Pa = 15 MPa2.50 m30.0 kg5.00 mm

Ejemplo 4 = 15.0 MPa

= /E = 15.0 MPa/210000 MPa = 7.14 x 10^-5 mm/mm = 0.0000714 mm/mm = 0.0000714 m/m

L = L = (0.0000714 m/m) * 2.50 m = 0.000178 m = 0.178 mmE = 21 x 10^4 MPa (varilla de acero)2.50 m30.0 kg5.00 mm

Ejemplo 5Una barra de 10 mm de dimetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 109 Pa) es sometida a una carga de traccin de 50 000 N. Calcule la recuperacin elstica que tendra lugar tras retirar la carga de traccin.Datos: E = 200 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 50 000 NFrmulas: = F/A; = /EDesarrollo: = F/A = 50 000N/ ((5x10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa= /E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3

Ejemplo 6Una barra de 10 mm de dimetro de un aluminio (E = 70 x 109 Pa) es sometida a una carga de traccin de 6 kN. a) Calcule el dimetro final de la barra. b) calcule de dimetro final de la barra si se somete a una carga de compresin de 6 kN. Relacin de Poisson = 0.33.Datos: E = 70 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 6 kNFrmulas: = F/A; = /E; = (df do)/doDesarrollo: a) = F/A = 6 000N/ ((5x10-3 m)2)= 76.4 x 106 N/m2= 76.4 MPa= /E = 76.4 x106 Pa/(70x 109 Pa) = 1.09 x 10 -3 = z= 0.33(1.09 x 10-3) = 3.6 x 10 -4. = (df do)/do df= do( +1)=10mm( -3.6 x 10-3 +1)= 9.9964 mmb) = + 3.6 x 10-4df= do( +1)=10mm( +3.6 x 10-3 +1)= 10.0036 mm

Ejemplo 7Una barra de 10 mm de dimetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 109 Pa) es sometida a una carga de traccin de 50 000 N. Calcule la recuperacin elstica que tendra lugar tras retirar la carga de traccin.Datos: E = 200 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 50 000 NFrmulas: = F/A; = /EDesarrollo: = F/A = 50 000N/ ((5x10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa= /E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3

Ejemplo 8Una pelota de 15 kg y de 4 cm de radio est suspendida de un punto localizado a 2.94 m sobre el piso por medio de un alambre de hierro cuya longitud es de 2.85 m y de dimetro de 0.090 cm, siendo su mdulo de Young de 180 GPa. Si la pelota se pone a oscilar de tal manera que su centro pase por el punto ms bajo de su trayectoria a 5 m/s, a qu distancia del piso pasar la pelota? Datos: Alambre E= 180 GPa, = 0.09 cm, Lo = 2.85 mpelota m= 15 kg, r = 4 cm; Altura del piso = 2.94 m.Frmulas: Fc= T mg T = Fc+mg = mg + mv2/RR = Lo+r+L = 2.85+0.04 + L= 2.89 + L L 0R = E= E L/L L= Lo /E= LoT/EA T= 15(9.81+52/2.89) =277 N L= (277x2.85)/(x(4.5x10-4)2x(180x 109)= 6.9x10-3 m h = 2.94-(2.85+0.08+6.9x10-3)=0.0031 mh

Ejemplo 9Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm2 de rea de seccin transversal, tiene un mdulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y alarga el alambre elsticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se suelta, el objeto experimentar un MAS vertical. Encuentre el periodo de vibracin.Datos: alambre Lo= 5 m, A= 0.088 cm2, E = 200GPa.; masa m= 2 kgFormulas: Ley de Hooke F = k.L k= F/ L y = E F/A =E (L /L)k= AE/Lo= (8.8x10-7 m2)(2x1011Pa)/(5 m) = 35 kN/m T= 2 (m/k) = 2(2/35000) = 0.047 s

Ejemplo 10La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su ancho vara uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en cada extremo una fuerza axial de traccin de 5 000 kg, determinar el alargamiento de la placa. Considerar el mdulo de elasticidad del acero

Solucin:Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (traccin), espesor e= 12 mm, longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mmFrmula: Solucin: teniendo en cuenta la frmula dada y expresndola en forma diferencial se tendr: , entonces;

Luego: para expresar de forma explcita la integral anterior y poderla integrar debemos expresar el rea del elemento diferencial en funcin de la variable x, entonces, si e es el espesor y la altura, el rea del elemento diferencial ser: A=ey=

Donde a es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y reemplazando en la expresin integral tenemos:

Reemplazando los datos queda: la misma que

integrando ( ) y reemplazando valores

resulta: L=0,0124 cm.

Resultado: el alargamiento de la placa por accin de las cargas de traccin es: L=0,0124 cm.

L=0,0124 cm

Mdulo de Corte: G SEsfuerzo cortante = Fuerza tangencial/ rea que se cortaS = Ft/ADeformacin cortante = distancia que se corta/distancia entre las superficiesS=x/h S = G S

Ejemplo 10Una barra de acero (G = 12 x 106 lb/plg2) de una pulgada de dimetro sobresale 1.5 pulgadas fuera de la pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo cortante de 8000 libras, calcular la deflexin hacia abajo.Datos: F= 8000 lb, = 1 plg, l = 1.5 plgFormula: G = (F/A)/(d/l) d=Fl/AGd = [(8000lb)(1.5 plg)]/[((1plg)2x12x106 lb/plg2] d = 1.27 x 10-3 plg.

Ejemplo 11Una gelatina con forma de caja tiene un rea en su base de 15 cm2 y una altura de 3 cm. Cuando se aplica una fuerza cortante de 0.5 N en la cara superior, sta se desplaza 4 mm en relacin a la cara inferior. Cules son el esfuerzo cortante, la deformacin al corte y el mdulo de corte para la gelatina?Datos: F= 0.5 N, A= 15 cm2, h = 3 cm, x= 4 mmFormulas: = Ft/A ; =S=x/h; G = /S =S = 0.5 N/(15 x 10 -4 m2)= 0.33 kPa=S= 0.4 cm/0.3 cm = 0.13G = 330 Pa/0.13 = 2.5 kPa

Ejemplo 12En la figura se muestra un punzn para perforar placas de acero, suponga que se usa un punzn con dimetro de 0.75 plg para perforar un agujero en una placa de plg como muestra la vista de perfil. Si se requiere una fuerza P = 28000 lb cul es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresin promedio en el punzn?Datos: d= 0.75 plg, P= 28000 lb, t = plgFormula: AS= 2rt= dt = (0.75 plg)(0.25 plg)= 0.589 plg2S = P/AS= 28000lb/0.589 plg2 = 47500 lb/plg2 C = P/AC= P/(d2/4)= 28000lb/ ((0.75 plg)2/4)= 63400 lb/plg2

Mdulo volumtrico: elasticidad de volumenB = esfuerzo de volumen/deformacin de volumenB = - (F/A)/ (V/V)B = - P/ (V/V)

Ejemplo 13Una esfera slida de latn cuyo mdulo volumtrico es B,( B = 6.1 x 1010 N/m2) inicialmente est rodeada de aire, y la presin del aire ejercida sobre ella es igual a 1 x 105 N/m2 (Presin atmosfrica). La esfera se sumerge en el ocano a una profundidad a la cual la presin es 2 x 107 N/m2. EL volumen de la esfera en el aire es de 0.5 m3. En cunto cambiar este volumen una vez que la esfera este sumergida?B = - P/ (V/V) V= - P V/B = - (2 x 10 7 N/m2)(0.5 m3)/ (6.1x 10 10 N/m2) V= -1.6 x 10 -4 m3

Ejemplo 14El mdulo volumtrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contraccin volumtrica de 100 ml de agua cuando se someten a una presin de 1.5 MPa.B = - P/ (V/V) V= - P V/B = - (1.5 x 10 6 N/m2)(100 ml)/ (2.1x 10 9 N/m2) V= -0.071 ml

SISTEMAS HIPERESTTICOS O ESTTICAMENTE INDETERMINADOSUn sistema se dice que es hiperesttico cuando las fuerzas que actan sobre un cuerpo no pueden determinarse solo por las ecuaciones de la esttica, porque hay mas fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio.Para solucionar los sistemas hiperestticos es necesario suplementar las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de las deformaciones; esto es, debemos disponer de n ecuaciones independientes para hallar los valores de n incgnitas.En los ejemplos siguientes se ilustra la forma de solucionar problemas hiperestticos o estticamente indeterminados. Los sistemas anteriormente estudiados, se denominan sistemas Isostticos o estticamente determinados.

EjemploUna barra de seccin recta cuadrada de 5 cm de lado, est sujeta rgidamente entre dos muros indeformables y cargada con una fuerza axial de 20 000 kg como se ve en la figura. Determinar las reacciones en los extremos de la barra y el alargamiento de la parte derecha. Considerar E=2,1x106 kg/cm2DSL de la barraRa+Rb=20 000 kg

Como la barra est fija a muros indeformables, entonces la deformacin de la porcin izquierda de la barra ser igual a la deformacin de la porcin derecha; entonces:Entonces:Luego:

Ejemplo:Considerar la barra AB de la figura, absolutamente rgida y horizontal antes de aplicar la carga de 20 000 kg, articulada en A y soportada por la varilla de acero EB y por la varilla de cobre CD. La longitud de CD es 90 cm y la de EB es 150 cm. Si la seccin de CD es de 5 cm y la de EB 3 cm, determinar el esfuerzo en cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso de AB y considerar para el cobre E=1,2x106 kg/cm2 y para el acero E=2,1x106 kg/cm2

DSL de la barra AB:Como se puede ver las ecuaciones del equilibrio del sistema no son suficientes para solucionar el problema; debemos entonces suplementar estas ecuaciones con otras provenientes de la deformacin ocurrida en el sistema.

El efecto de la carga aplicada deformar las barras verticales por lo que la barra AB dejar la posicin horizontal y aparecer inclinada como el esquema de la figura:Teniendo en cuenta que:Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

*