2 Edio

Florianpolis, 2011

Fsica Bsica C-IIIvan Helmuth BechtoldNilton da Silva Branco

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Acadmica do Curso de Licenciatura em Fsica na Modalidade Distncia.

Ficha Catalogrfica B392f Bechtold, Ivan Helmuth Fsica bsica C-II / Ivan Helmuth Bechtold, Nilton da Silva Branco. 2. ed. Florianpolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. 186 p. : il. Inclui bibliografia UFSC. Licenciatura em Fsica na Modalidade Distncia ISBN 978-85-8030-009-3 1. Fsica bsica. 2. Fluidos. 3. Termodinmica. I. Branco, Nilton da Silva. II. Ttulo. CDU: 53 Catalogao na fonte pela Biblioteca Universitria da UFSC

Sumrio

Apresentao ............................................................................. 9

1. Esttica dos Fluidos ............................................................ 111.1 Propriedades dos fluidos ........................................................... 131.2 Presso num fluido .................................................................... 151.3 Variao de presso em um fluido em repouso ..................... 191.4 Aplicaes .................................................................................... 24

1.4.1 Princpio de Pascal ............................................................. 241.4.2 Vasos comunicantes ........................................................... 271.4.3 Medidas de presso ........................................................... 291.4.4 Empuxo: Princpio de Arquimedes ................................. 30

Resumo .............................................................................................. 35Exerccios ........................................................................................... 36Bibliografia bsica ............................................................................ 38Bibliografia complementar comentada ......................................... 38

2. Dinmica dos Fluidos ........................................................ 412.1 Introduo ................................................................................... 432.2 Conservao da massa: equao de continuidade ................ 452.3 Conservao da energia: equao de Bernoulli ..................... 492.4 Viscosidade ................................................................................. 56Resumo .............................................................................................. 60Questes ............................................................................................ 60Problemas ...........................................................................................61Bibliografia bsica ............................................................................ 62Bibliografia complementar comentada ......................................... 62

3. Temperatura e Calor........................................................... 633.1 Introduo ................................................................................... 653.2 Temperatura ................................................................................ 66

3.2.1 Escalas de temperatura ..................................................... 673.3 Expanso trmica ....................................................................... 683.4 Calor ............................................................................................. 72

3.4.1 Capacidade trmica e calor especfico ............................. 723.4.2 Transio de fase e calor latente ....................................... 77

3.5 Transferncia de energia trmica ............................................. 793.5.1 Condutividade trmica ...................................................... 81

Resumo .............................................................................................. 85

Questes ............................................................................................ 87Bibliografia bsica ............................................................................ 89Bibliografia complementar comentada ......................................... 90

4. Primeira Lei da Termodinmica ...................................... 914.1 Introduo ................................................................................... 934.2 Equivalente mecnico de caloria .............................................. 944.3 Trabalho adiabtico .................................................................... 95

4.3.1 Anlise grfica .................................................................... 984.4 Transferncia de calor .............................................................. 1004.5 Primeira lei da termodinmica .............................................. 1004.6 Processos reversveis ................................................................1014.7 Aplicao em processos termodinmicos ............................. 104

4.7.1 Processo adiabtico .......................................................... 1044.7.2 Processo isocrico ............................................................ 1044.7.3 Processo isobrico ............................................................ 1054.7.4 Processo isotrmico .......................................................... 1064.7.5 Processo cclico ................................................................. 106

4.8 Gs ideal .................................................................................... 1094.8.1 Energia interna de um gs ideal .....................................1124.8.2 Capacidade trmica de um gs ideal .............................1134.8.3 Processo adiabtico de um gs ideal ..............................116

Resumo ............................................................................................ 122Exerccios ......................................................................................... 123Bibliografia bsica .......................................................................... 127Bibliografia complementar comentada ....................................... 127

5. Teoria Cintica dos Gases ............................................... 1295.1 Introduo ..................................................................................1315.2 Modelo de gs ideal ..................................................................1315.3 Presso ...................................................................................... 1345.4 Temperatura: interpretao cintica ...................................... 1385.5 Fluido de Van der Waals ......................................................... 139Resumo ............................................................................................ 144Questes ...........................................................................................145Problemas .........................................................................................145Bibliografia bsica ...........................................................................146

6. Segunda Lei da Termodinmica e Entropia ................ 1476.1 Introduo ..................................................................................1496.2 Segunda Lei da Termodinmica: enunciados de Clausius e Kelvin ............................................151

6.3 Motor trmico e refrigerador .................................................. 1556.3.1 Motor trmico ................................................................... 1556.3.2 Refrigerador .......................................................................157

6.4 Equivalncia dos enunciados de Kelvin e Clausius ............ 1586.4.1 O enunciado de Kelvin leva ao de Clausius ................. 1586.4.2 O enunciado de Clausius leva ao de Kelvin ................. 159

6.5 Ciclo de Carnot ..........................................................................1606.6 A escala termodinmica de temperatura ............................. 1656.7 Exemplos de mquinas trmicas.............................................166

6.7.1 Refrigerador domstico .....................................................1666.7.2 Bomba de calor ..................................................................1676.7.3 Ciclo Otto ............................................................................1676.7.4 Ciclo Diesel .........................................................................169

6.8 Teorema de Clausius ................................................................ 1716.9 Entropia ..................................................................................... 172

6.9.1 Entropia e processos reversveis ..................................... 1726.9.2 Entropia e processos irreversveis .................................. 1756.9.3 O princpio do aumento da entropia ..............................178

Resumo ............................................................................................ 183Questes .......................................................................................... 183Problemas ........................................................................................ 184Bibliografia bsica .......................................................................... 186

ApresentaoEste livro contempla de forma simples e direta os contedos per-tencentes s reas de teoria dos fluidos e termodinmica. Ao lon-go dos textos as discusses relacionam os fenmenos fsicos a situaes prticas, com o intuito de facilitar o entendimento por parte dos estudantes.

Iniciamos esta disciplina com o estudo da esttica dos fluidos no Captulo 1: nesse contexto consideramos fluidos em equilbrio, onde propriedades como presso e empuxo so discutidas em detalhes.

No Captulo 2 veremos uma introduo dinmica dos fluidos, onde fluidos idealizados em movimentos simples sero estuda-dos. Apesar da simplicidade dos modelos tratados, as aplicaes so vrias, desde o escoamento de fluidos em encanamentos at a sustentao de avies.

Dando seqncia ao contedo, iniciamos o estudo das proprieda-des trmicas da matria no Captulo 3, que discute os fenmenos relacionados com temperatura e calor e onde abordamos as es-calas trmicas, os efeitos de dilatao trmica e os processos de transferncia de calor.

No Captulo 4 apresentada a primeira lei da termodinmica, a qual baseada nos conceitos de conservao de energia, sendo o calor e o trabalho as formas de energia transferidas entre os sis-temas considerados. Essa lei aplicada a diversos processos ter-modinmicos e dada uma nfase importncia dos processos reversveis na determinao dos parmetros citados acima. Nesse Captulo tambm introduzido o conceito de gs ideal, bem como as condies em que observado.

No Captulo 5 apresentamos a Teoria Cintica dos Gases, a qual se prope a dar uma interpretao microscpica s leis termodin-micas estudadas nos Captulos anteriores. Assim, estabelecemos a presso e a temperatura como mdias de grandezas microsc-picas. Veremos ainda um modelo de gs que vai alm daquele de gs ideal, o chamado gs de Van der Waals.

Finalmente, no Captulo 6 ser estudada a Segunda Lei da Termo-dinmica, nos seus vrios enunciados. Discutiremos mquinas trmicas (motores e refrigeradores), ciclos termodinmicos - es-pecialmente o de Carnot, que permite a definio de uma escala termodinmica de temperatura - e um conceito importante e de-licado em Termodinmica, o de entropia.

Ivan Helmuth Bechtold Nilton da Silva Branco

Captulo 1Esttica dos Fluidos

Captulo 1Esttica dos Fluidos

Neste Captulo, iremos estudar as propriedades de fluidos em equilbrio. Vamos analisar conceitos bsicos de densi-dade, presso, empuxo e tenso superficial. Ao final des-te estudo voc dever ser capaz de: aplicar os conceitos de presso, entender o Princpio de Pascal e o problema dos vasos comunicantes; definir densidade e explicar o empuxo sobre os corpos (por exemplo, sobre barcos e bales de ar quente) mediante o princpio de Arquimedes; resolver pro-blemas envolvendo variaes de presso e problemas com foras de empuxo sobre corpos flutuantes e imersos.

1.1 Propriedades dos fluidosUsualmente, costumamos classificar a matria em slidos, lquidos e gases. Um corpo slido tem geralmente volume e forma bem de-finidos, que s se alteram (geralmente pouco) em resposta a foras externas. Uma das principais propriedades dos lquidos e gases o escoamento, por isso ambos so denominados fluidos. Os lquidos tm volume bem definidos, mas no a forma, sendo que o volume amolda ao recipiente que o contm. J os gases no apresentam nem forma nem volume bem definidos, expandindo at ocupar todo o volume do recipiente que os contm. Em alguns casos, a separao entre slidos e fluidos no bem definida; o caso de fluidos como o vidro quente e o piche: eles escoam to lentamente que se comportam como slidos nos intervalos de tempo que trabalhamos com eles.

O plasma, caracterizado como um gs altamente ioniza-do, frequentemente chamado de o quarto estado da matria, em meio s trs classes de estado j existentes

14

(slido, lquido e gasoso). Alm disso, existem os materiais que se enquadram na chamada matria condensada mole, os quais apresentam uma grande variedade de formas e cujas principais caractersticas so: elasticidade, interaes fracas entre os elementos estruturais, grande variedade de graus internos de liberdade etc. Alguns exemplos so: ar-gila, sistemas granulares como a areia, polmeros como a borracha e o plstico, espuma, sistemas coloidais e micro-emulses (maionese), membranas e outros materiais biol-gicos, gis, cristais lquidos (para saber mais sobre matria condensada mole, consulte o artigo da Revista Brasileira de Ensino de Fsica, que pode ser obtido no endereo: ) etc. Os estudos nessa rea renderam o Prmio Nobel de fsica de 1991 a Pierre-Gilles de Gennes.

Para uma definio mais precisa de slidos e fluidos, preciso classi-ficar os diferentes tipos de foras que atuam sobre eles. Essas foras so geralmente proporcionais rea de um elemento de superfcie (que pode ser interna ou externa ao meio) sobre o qual esto sendo aplicadas. A fora por unidade de rea definida como tenso: as tenses podem ser normais ou tangenciais s superfcies sobre as quais atuam, veja a Figura 1.1 abaixo:

m

T m

T

m

T1 T2

Cola

A B C

Figura 1.1 (a) e (b) so exemplos de tenses normais sobre o teto e sobre o solo, respectivamente, e (c) um exemplo de tenses tangenciais

sobre as superfcies laterais adjacentes ao corpo de massa m.

15

Na Figura 1.1, (a) e (b) so exemplos de tenses normais. Em (a) um bloco de massa m puxa o fio que exerce uma tenso T

num elemen-to de superfcie do teto, tambm chamada de trao. Em (b) o bloco est sobre o cho e exerce diretamente uma tenso T

sobre um ele-mento de superfcie deste, chamada de presso. Na Figura 1.1, em (c), o bloco est colado entre duas paredes e, como se pode notar, exerce as tenses 1T

e 2T

sobre as superfcies de cola que aparecem paralelas s paredes. Esse um exemplo de tenses tangenciais, tambm chamadas de tenses de cisalhamento.

A diferena fundamental entre slidos e fluidos est na forma com que estes respondem s tenses tangenciais sobre si. No caso de um slido, a fora externa pode deformar um pouco a sua estrutura, at que se atinja o equilbrio com as tenses tangenciais internas e o corpo permanea em repouso. Se a fora externa no for muito grande e o slido voltar condio inicial depois dela ser retirada, a deformao dita elstica. Essas deformaes, em geral, so muito menores que as dimenses do corpo slido.

Um fluido no consegue equilibrar uma fora externa tangencial (por menor que seja), o resultado disso o escoamento. Fisicamente esse fenmeno est relacionado com o deslizamento relativo entre as part-culas constituintes do fluido. A resistncia a esse deslizamento cha-mada de viscosidade e ser vista no Captulo seguinte.

Lembrando de (c) na Figura 1.1, enquanto a cola estiver fluida ela es-coa ao longo das paredes devido ao da gravidade; apenas depois de solidificada ela consegue equilibrar as foras tangenciais exerci-das pelo bloco.

1.2 Presso num fluidoComumente vamos nos referir a elementos de volume num fluido

V x y z = , onde suas dimenses , ,x y z devem ser muito me-nores que as distncias macroscpicas (ex.: a medida de uma caixa) e ao mesmo tempo muito maiores que as distncias interatmicas. Essa proposio necessria para que V contenha um grande n-mero de tomos e as flutuaes nas propriedades do fluido sejam desprezveis, resultando na condio de continuidade do fluido.

No caso de um pneu de automvel ou bicicleta, a presso interna do pneu est relacionada com as

colises das molculas de ar com a superfcie interna

(mais detalhes no Cap-tulo 5), mas existe ainda a presso atmosfrica na

superfcie externa do pneu (que igual a 1 atm quando

prximo ao nvel do mar). A presso medida com

um calibrador equivale diferena entre as presses interna e externa, diferena essa que compensada pela

elasticidade do material de que feito o pneu.

Um fluido se comporta como um meio contnuo

porque, na escala macroscpica, suas

propriedades variam continuamente de um

ponto para outro.

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Vamos imaginar uma quantidade de fluido com massa m fechada em um elemento de volume V . Podemos ento definir a densidade do fluido nessa regio como:

0

limV

m dmV dV

r

= = . (1.1)

onde o limite 0V nessa expresso significa que V um infinitsimo fsico, portanto a densidade pode variar continuamente na escala macroscpica. A unidade de densidade no Sistema Inter-

nacional de medidas (SI) 3

Kgm

. Na Tabela 1.1, apresentamos alguns

valores de densidades de algumas substncias.

Substncia Densidade

Hidrognio a 0C e 1atm 9,0 10-2

Ar: 0C e 1atm100C e 1atm0C e 50atm

1,290,956,50

Isopor 1,0 102

Petrleo (valor mdio) 8,0 102

Gelo 9,2 102

gua: 0C e 1atm 100C e 1atm 0C e 50atm

1,000 103

0,958 103

1,002 103

Sangue 1,06 103

Glicerina 1,26 103

Alumnio 2,7 103

Ferro, Ao 7,8 103

Prata 1,05 104

Mercrio 1,36 104

Ouro 1,93 104

Platina 2,14 104

Tabela 1.1 Densidades de algumas substncias

Um fluido est em equilbrio quando o resultado da soma das for-as que agem em cada poro do fluido igual a zero. Essas foras podem ser divididas em volumtricas e superficiais. Um exemplo de foras volumtricas a fora gravitacional, a qual de longo alcance e atua em todos os elementos do fluido, sendo dada por F mg =

,

Infinitsimo fsicoUm elemento infinitesimal definido como sendo muito pequeno, porm maior que zero.

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onde e representa a massa de um elemento de fluido. Te-mos ento:

. (1.2)

onde g a acelerao da gravidade.

Como discutimos anteriormente, os fluidos escoam quando submeti-dos a foras tangenciais superfcie, por isso a fora superficial deve ser sempre perpendicular superfcie para um fluido em repouso.

A fora superficial F

do fluido sobre um elemento de superfcie S proporcional rea desse elemento. conveniente ento de-

finir a presso P como o nmero que mede a fora por unidade de rea. Na Figura 1.2 a seguir, n representa um vetor unitrio normal a S , onde convencionamos que n aponta sempre para fora de uma superfcie fechada. Dessa forma, podemos escrever:

F P Sn =

. (1.3)

onde F

e n tm a mesma direo e sentido, portanto a presso pode ser escrita como:

FPS

=

. (1.4)

Tomando o limite onde o elemento de rea tende a zero, obtemos a seguinte equao diferencial para P:

0limS

F dFPS dS

= =

. (1.5)

S

S

Fn^

Figura 1.2 Representao esquemtica de um elemento de superfcie S (parte de uma superfcie S), indicando o sentido da fora sobre S, bem como

o vetor unitrio n normal superfcie em S.

As foras superficiais ocorrem em uma dada

poro do meio limitada por uma superfcie.

Por exemplo: a fora que a gua exerce na superfcie

interna de um copo.

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Em geral, a presso pode variar de um ponto a outro da superfcie, o que vem do fato dela depender diretamente da fora aplicada no ponto em questo. Sendo A a rea de uma superfcie e F a fora resultante sobre ela, a presso pode ser escrita como:

FPA

= . (1.6)

importante notar que a presso uma grandeza escalar, ou seja, no depende de . O que determina a direo da fora a orientao da superfcie, ou seja, .

A unidade de presso no SI o Pascal, abreviatura Pa, sendo que 21Pa 1N/m= . H outras unidades bastante comuns como: atmosfera

( 51atm 1,013 10 Pa= ) e mmHg (1atm 760mmHg= ).

Exemplo 1. Calcule a massa e o peso do ar no interior de uma sala contendo 2,0m de altura e um piso com rea de 3,0m 4,0m . Quais seriam a massa e o peso do mesmo volume de gua? Encon-tre ainda a fora total sobre o piso dessa sala exercida de cima para baixo pela presso do ar.

Soluo: Na tabela 1.1, encontramos os valores da densidade da gua e do ar (vamos considerar a densidade do ar igual a 31,2Kg/m na temperatura ambiente).

O volume da sala 3(2,0m)(3,0m)(4,0m) 24mV = = , portanto a massa do ar pode ser obtida pela equao abaixo, partindo da equa-o 1.1:

3 3(1, 2Kg/m )(24m ) 28,8Kgar arm V= = = .

O peso do ar dado em Newtons:

(28,8Kg)(9,8N/Kg) 282,2Nar arw m g= = = .

A princpio surpreendente que o peso de um volume to gran-de de ar seja igual ao de uma criana de aproximadamente 30Kg , mas agora faa as mesmas contas considerando a gua no lugar do ar e voc vai encontrar que a massa do mesmo volume de gua

324 10 Kgguam = e consequentemente seu peso 423,5 10 Nguaw = .

Em homenagem ao cientista e filsofo francs Blaise Pascal (1623-1662).

19

A presso de 1atm (quando prximo ao nvel do mar) sobre o piso de rea 2(3,0m)(4,0m) 12mA = = produz uma fora total de cima para baixo que dada pela equao abaixo, a partir da equao 1.6:

5 2 2 5(1,013 10 N/m )(12m ) 12 10 NF PA= = .

Essa fora equivalente ao peso de aproximadamente 120 tonela-das de gua. Assim, como o piso suporta um peso to grande? A resposta que existe uma fora de mesma magnitude apontando de baixo pra cima sobre o piso, da mesma maneira como um livro fica parado sobre uma mesa: seu peso est atuando para baixo, mas existe uma fora que atua de baixo para cima. E no caso de ser o piso de um apartamento no segundo andar? A precisamos lembrar que o apartamento de baixo tambm est preenchido de ar, e que esse ar produz uma fora igual de baixo para cima no piso.

1.3 Variao de presso em um fluido em repouso

Vamos considerar um pequeno elemento de um fluido, situado no interior deste e, alm disso, supor que esse elemento tem forma de disco com pequena espessura e est situado a uma distncia de re-ferncia z, como mostra a Figura 1.3.

A

P

z

z = 0

dzA

P

Figura 1.3

20

A espessura do disco dz e cada face tem uma rea A . Partindo da equao 1.1, podemos escrever a massa desse elemento como:

dm dV Adz = = . (1.7)

As foras superficiais atuando no elemento de volume provm do fluido que a este rodeia e so perpendiculares a sua superfcie em todos os pontos. A resultante das foras nos eixos horizontais nula, pois o elemento no tem acelerao ao longo desses eixos. As foras horizontais so devidas apenas s presses do fluido e, por simetria, a presso deve ser a mesma em todos os pontos do plano horizontal com altura z.

O elemento de fluido tambm no tem acelerao na direo ver-tical, logo a resultante das foras que agem nessa direo tambm nula; entretanto as foras verticais no provm unicamente das presses nas faces do disco, mas existe tambm uma contribuio do seu peso. Sendo P a presso na face inferior e P P dP = + a pres-so na face superior, a condio de equilbrio obtida observando que a fora sobre a face superior mais o peso do elemento de fluido igual fora sobre a face inferior do elemento, que escrita a partir da equao 1.6:

( )PA P dP A dw= + + . (1.8)

onde dw Agdz= o peso do elemento de volume, e aponta para baixo.

Desenvolvendo a equao 1.8, temos:

( )PA P dP A Agdz= + + ,

AdP A gdz= ,

logo,

dP gdz

= . (1.9)

A equao 1.9 mostra que a presso no fluido varia com a altura em relao a um certo referencial. Essa variao de presso equivale ao peso por unidade de volume do elemento de fluido compreendido

21

entre os pontos onde ocorre a variao de presso (lado direito da equao anterior).

Se 1P a presso na altura 1z e 2P a presso na altura 2z , acima de um nvel de referncia, a integrao da equao 1.9 fornece:

2 2

1 1

P z

P z

dP gdz= ou

. (1.10)

A equao 1.10 foi obtida considerando e g constantes de 1z a z2. Para lquidos, a densidade varia muito pouco, portanto, com boa aproximao, podemos tratar um lquido como incompressvel na esttica dos fluidos, ou seja, = constante. Em geral, as diferenas de nvel no so muito grandes para que seja necessrio considerar as variaes de g, por isso a aproximao g = constante tambm consistente.

A superfcie livre de um lquido em contato com a atmosfera uma superfcie onde a presso constante, pois todos os seus pontos esto submetidos presso atmosfrica 0P . Esse valor o mesmo para todas as superfcies livres em lquidos na vizinhana numa mesma altitude. Assim, conveniente definir essa superfcie livre como sendo o nvel natural de referncia, e ento podemos escrever

2 0P cte P= = . Consideremos 1z um nvel arbitrrio e que a presso nessa altura dada por P . Logo:

0 2 1( )P P g z z = ,

mas 2 1z z representa uma profundidade h abaixo da superfcie li-vre, onde a presso P (veja a Figura 1.4), ento temos que:

0P P gh= + . (1.11)

A equao 1.11 conhecida como Lei de Stevin e diz que a presso no interior de um fluido aumenta linearmente com a profundidade. Alm disso, ela mostra claramente que a presso a mesma em to-dos os pontos de mesma profundidade. Uma consequncia impor-

A densidade da gua, por exemplo, aumenta

aproximadamente 0,5% quando a presso varia de 1atm a 100atm em

temperatura ambiente.

22

tante que a presso no depende do volume do fluido; a presso da gua a 1m abaixo da superfcie de uma piscina igual presso da gua a 1m abaixo da superfcie da Lagoa dos Patos (RS), conside-rando que ambas esto na mesma altitude e esto preenchidas com o mesmo lquido.

1P P=2z

1z

2 1z z h =

Figura 1.4 Lquido confinado num recipiente, onde a superfcie superior est aberta para a atmosfera.

Um exemplo da aplicao da equao 1.11 ocorre na construo de represas ou barragens: a base projetada mais larga que a parte su-perior e isso se deve ao fato que a presso da gua no fundo maior que na superfcie.

Para os gases, bem menor que para os lquidos (ver tabela 1.1), por isso a diferena de presso entre dois pontos nas proximidades da superfcie da Terra desprezvel. No entanto, se o resultado de

2 1z z h = for muito grande, poder haver uma diferena de presso entre as duas extremidades do objeto (o que no ocorrer quando o h for muito pequeno): sabemos que a presso do ar varia bastante quando subimos a grandes altitudes na atmosfera terrestre. Nesses casos, onde a densidade varia com a altitude, precisamos conhecer a funo que relaciona com z , ( )z , antes de fazermos a integral que resultou na equao 1.10.

Exemplo 2. Achar a presso a 10m de profundidade, abaixo da su-perfcie de um lago, quando a presso na superfcie for de 1atm .

A presso atmosfrica est relacionada com o peso da coluna de ar acima da superfcie da Terra. O peso de uma coluna de ar com rea de 21cm aproximadamente 10 N, resultando numa presso de

51,013 10 Pa .

23

Soluo: Para resolver esse problema, vamos utilizar a equao 1.11,

0p p gh= + .

Sendo: 5 20 1atm 1,013 10 N/mp = = , 31000Kg/m= e

9,8 N/Kgg = , temos:5 2 31,013 10 N/m (1000Kg/m )(9,8 N/Kg)(10m)p = +

3 2199,3 10 N/m 1,97atmp = = .

Ou seja, a 10m de profundidade, a presso quase o dobro da pres-so na superfcie do lago, por isso dito que cada 10m de diferena de profundidade na gua corresponde a 1atm de presso.

Exemplo 3. Uma represa retangular, de 50 m de largura, suporta uma massa de gua com 20 m de profundidade (veja o esquema na Figura 1.5 abaixo). Calcule a fora horizontal total que age sobre a represa.

H = 20 m

L = 50 m

dA = Ldh

Figura 1.5 Represa retangular indicada no exemplo 3.

Soluo: Pelo fato da presso variar com a profundidade, no po-demos simplesmente multiplicar a presso pela rea da represa para encontrar a fora exercida pela gua. Para resolver o problema, necessrio integrar os elementos de fora sobre os elementos de su-perfcie em diferentes alturas dh , da base at o nvel superior da gua, ou seja, de 0h = at 20mh H= = . A presso da gua numa determinada profundidade h dada pela equao 1.11, mas, nesse caso, no precisamos considerar a presso atmosfrica 0p , pois ela age nos dois lados da parede da represa. O elemento de fora ento escrito como:

onde dA Ldh= , sendo que L a largura da represa. A fora obtida atravs da integral:

24

22

0 0 0

12 2

Hh H H

h

hF dF gLhdh gL gLH =

=

= = = = .

Substituindo os valores, obtemos:

3 2 71 (1000Kg/m )(9,8 N/Kg)(50m)(20m) 9,8 10 N2

F = = .

1.4 AplicaesA seguir sero estudadas as aplicaes dos fundamentos apresenta-dos anteriormente.

1.4.1 Princpio de PascalPela Lei de Stevin (equao 1.11), a diferena de presso entre dois pontos de um fluido em equilbrio constante, dependendo apenas do desnvel entre estes pontos. Assim, se produzirmos uma diferen-a de presso num ponto de um fluido em equilbrio, essa variao se transmitir a todos os pontos. O resultado prtico disso que todos os pontos do fluido sofrem a mesma variao de presso. Esse princpio foi enunciado por Pascal em seu Tratado sobre o equil-brio dos lquidos e conhecido como Princpio de Pascal.

Uma aplicao prtica disso o macaco hidrulico utilizado nas oficinas mec-nicas para levantar carros (ver esque-ma da Figura 1.6). A ideia bsica que, quando o pisto da esquerda baixado pela aplicao de uma fora f , o au-mento da presso transmitido para todos os pontos do fluido (em geral leo), inclusive na outra extremidade onde existe um pisto com rea A bem maior que a rea a do primeiro. Como a presso nos dois pistes a mesma, pois esto no mesmo nvel, a fora para cima no pisto da direita F ser maior que a fora f .

d

a

AF D

f

Figura 1.6 Esquema de um macaco hidrulico. Uma pequena fora aplicada num pisto pequeno produz uma grande fora

para movimentar um pisto grande.

25

Para obtermos a relao entre as foras f e F , consideramos a igualdade da presso no pisto da esquerda ( eP ) com a presso no pisto da direita ( dP ), e dP P= , logo:

f Fa A=

ento:AF fa

= . (1.12)

Ou seja, a fora f aumentada pela razo entre as reas. Sendo d e D as distncias de deslocamento dos pistes da esquerda e direita, respectivamente, e considerando o fluido incompressvel, o volume deslocado pelo pisto da esquerda ( )eV ad= deve ser igual ao vo-lume deslocado pelo pisto da direita ( )dV AD= , ento obtemos a seguinte relao entre as distncias: ad AD= . Utilizando a equao 1.12, encontramos uma relao entre as foras e as distncias nos dois pistes:

.fd FD= (1.13)

A equao 1.13 parece indicar que o trabalho realizado pela fora externa no pisto da esquerda igual ao trabalho realizado pelo fluido no pisto da direita. No entanto importante lembrar que a equao 1.13 obtida considerando a igualdade entre as presses na equao 1.12, ou seja, isso vlido apenas quando ambos os pistes esto na mesma altura. Dessa forma, a equao 1.13 passa a ser uma boa aproximao para deslocamentos infinitesimais dos pistes.

Para deslocamentos maiores, que produzem uma diferena de altura entre o pisto da esquerda e o da direita, estando este ltimo mais elevado, necessrio considerar tambm a presso devido ao peso da coluna do fluido no pisto da di-reita, ou seja: . O resultado prtico disso que a fora no pisto da esquerda tem que ser um pouco maior que a dada pela equao 1.12, pois precisa empurrar a colu-na do fluido, alm disso essa fora precisa ser maior com o aumento da altura . Nesse caso, vemos que a equao 1.13 no satisfeita, ou seja, o trabalho devido ao deslocamento

26

dos dois pistes no o mesmo. Esse fato merece uma aten-o especial, pois alguns livros de fsica bsica no tratam desse problema.

Exemplo 4. O pisto grande de um macaco hidrulico tem 40 cm de dimetro. Que fora deve ser aplicada ao pisto pequeno, de 8 cm de dimetro, para elevar uma massa (m = 1.800 Kg), que inclui a massa do carro mais a plataforma que o sustenta, a uma altura de 1,5 m?

Soluo: Para visualizar a situao, observe a Figura 1.6. A fim de resolver o problema, vamos inicialmente utilizar a equao 1.12, que relaciona as foras nos dois pistes e as reas destes. O objetivo determinar a fora f a ser exercida no pisto pequeno para elevar o carro no pisto grande, cuja fora F mg= . Inicialmente, precisamos determinar as reas dos pistes:

2(4cm)a = e 2(20cm)A =

Ento:2

2

(4cm) (1.800Kg)(9,8 N/Kg) 705,6 N.(20cm)

af mgA

= = =

Uma fora de 705,6 N equivale ao peso de uma pessoa de 72Kg .

Esse resultado obtido considerando a igualdade das presses entre os dois pistes durante todo o processo, o que na prtica no ocorre porque o pisto da direita precisa subir para elevar o carro. Conside-rando que o pisto da esquerda permanea no nvel do solo e o da direita se eleve a uma altura 1,5mh = , sabemos que ser necessria uma fora f f > devido ao peso da coluna de fluido a ser eleva-da no pisto da direita. O valor de f aumenta com o aumento da altura, sendo mximo na altura mxima 1,5mh = . Nessa situao, vamos calcular ento o valor mximo dessa fora, considerando que os pistes esto preenchidos com leo cuja densidade volumtrica aproximadamente 3820Kg/m . Nesse caso, a equao 1.12 se torna:

f F gha A

= +ou seja,

.af mg a ghA

= +

27

Assim:

2 3705,6 N (0,04m) (820Kg/m )(9,8 N/Kg)(1,5m)705,6 N 60,6 N 766,2 N.

ff = + = + =

Nessa situao, a fora mxima (a ser aplicada no pisto da esquer-da), para elevar o carro a uma altura de 1,5m do solo, precisa ser incrementada de 60,6 N , que equivale a um aumento de 8,6% em relao situao de equilbrio das presses.

1.4.2 Vasos comunicantesA equao 1.11 d a relao entre as presses em dois pontos quais-quer de um fluido, independentemente da forma do recipiente que o contm. Portanto, se um recipiente formado por diversos ramos que comunicam entre si e possuem as superfcies livres (ver exemplo (a) na Figura 1.7 a seguir), o lquido sobe mesma altura h em todos os ramos. Note que, nesse caso, o fluido tambm tem a mesma presso em quaisquer pontos dos diferentes ramos que estejam mesma al-tura z. Esse conhecido como o Princpio dos Vasos Comunicantes.

B

p0

h2 h112

p0

A

C ChzA A

p0 p0 p0

Superfcie deseparao

z

A B

Figura 1.7 (a) Vasos comunicantes e (b) dois lquidos imiscveis com densidades diferentes em um vaso com forma de U.

Agora, se compararmos os dois vasos externos no exemplo (a) da Fi-gura 1.7, primeira vista, seramos induzidos a pensar que a presso do lquido maior na base do vaso da esquerda que na base do vaso da direita (apesar de ambos possurem a mesma rea A). Essa intui-o deve ao fato que, se os dois vasos fossem independentes e pesa-dos em separado, o vaso da esquerda acusaria um peso maior, pois existe um volume de gua maior nesse vaso. Se isso fosse verdade, a

28

altura da coluna de gua deveria ser maior no vaso da direita, o que no observado experimentalmente. Esse conhecido como o pa-radoxo hidrosttico. A explicao para essa situao resulta do fato que no vaso da esquerda a resultante das foras provenientes das presses que atuam sobre as superfcies laterais tm uma compo-nente para baixo, a qual gera uma reao das paredes do vaso com uma componente para cima que tende a contrabalanar parte do peso do lquido. No caso do vaso da direita, as foras de reao pro-venientes das presses das paredes verticais so horizontais, logo elas no tm componente vertical (observe as setas indicativas no exemplo (a) da Figura 1.7). O mesmo raciocnio vlido para o tubo do meio, com forma curvada, se a rea da base for a mesma que a dos tubos laterais.

Consideremos agora um tubo em forma de U que contm dois lqui-dos imiscveis com densidades diferentes; por exemplo, um lquido mais denso no ramo da direita ( 1 ) e um menos denso no ramo da esquerda ( 2 ). A presso pode ser diferente num mesmo nvel dos dois ramos do tubo. Essa situao est ilustrada pelo exemplo (b) da Figura 1.7, onde se pode ver que a superfcie do lquido mais alta no ramo da esquerda que no da direita. A presso em C e C a mesma em ambos os lados, os quais esto mesma altura z . No entanto, a presso diminui menos de C para A que de C para B , porque a coluna do lquido do lado esquerdo pesa menos que a coluna do lquido do lado direito. Assim, a presso no ponto A deve ser maior que no ponto B. Se P a presso em C e C , da equao 1.11 temos:

0 1 1 0 2 2P P gh P gh = + = + ,

de modo que:

1 2

2 1

hh

= . (1.14)

Atravs da expresso 1.14 acima, podemos determinar a relao entre as densidades de dois lquidos imiscveis a partir da medida das altu-ras das colunas de cada lquido em relao superfcie de separao entre eles.

29

1.4.3 Medidas de pressoPodemos usar o fato de a diferena de presso ser proporcional profundidade de um lquido para medir presses desconhecidas. Na Figura 1.8 a seguir, apresentamos um modelo simples de medidor de presso, chamado de manmetro de tubo aberto. Nesse disposi-tivo, um lado fica aberto presso atmosfrica 0P , enquanto a outra extremidade fica em contato com a presso P a qual deseja medir (essa extremidade pode estar conectada a qualquer sistema, como exemplo estufas e cilindros de gs). A diferena 0P P chamada de presso manomtrica e, de acordo com a equao 1.11, igual a gh , onde a densidade do lquido no tubo. Dessa forma, conhecendo a presso atmosfrica e a densidade do lquido, podemos determi-nar a presso absoluta P .

P

h1

h2

P0

h

Figura 1.8 Manmetro de tubo aberto para a medio de uma presso desconhecida.

Outro tipo comum de manmetro o barmetro de mercrio, uti-lizado pela primeira vez em meados do sculo XVII para medir a presso atmosfrica. Ele consiste de um longo tubo de vidro (apro-ximadamente 1m ), fechado em uma extremidade, previamente pre-enchido com mercrio e posteriormente invertido em um recipiente contendo a mesma substncia (ver Figura 1.9 ao lado). O lquido que est no tubo tende a descer, mas impedido pela presso atmosfri-ca atuando na superfcie do lquido que est no recipiente, mantendo assim uma coluna de mercrio dentro do tubo. O espao que se for-ma acima da coluna contm apenas vapor de mercrio, e sua presso muito pequena, podendo ser desprezada, de modo que a presso nesse volume considerada nula. Assim, o barmetro de mercrio

Figura 1.9 Barmetro de mercrio, utilizado para medir a

presso atmosfrica P0.

P0 P0

h

P 0

A presso manomtrica justamente aquela

presso medida para o pneu de seu automvel

no posto de gasolina.

30

mede a presso atmosfrica diretamente a partir da altura da coluna de mercrio. Ao nvel do mar, a altura da coluna de aproximada-mente 76 cm, sendo essa uma outra unidade de medida de presso: 76 cmHg = 1 atm; no alto de uma montanha, essa altura pode dimi-nuir em at 8cm , indicando a diminuio da presso externa.

1.4.4 Empuxo: Princpio de ArquimedesUma percepo familiar a todos ns que um corpo imerso na gua parece apresentar um peso menor que quando est no ar. Alm dis-so, sabemos que um corpo flutua quando sua densidade menor que a do lquido. Aparentemente, parece existir uma fora que ajuda a sustentar os corpos dentro de um lquido; essa fora realmente existe e denominada de fora de empuxo.

Vamos imaginar um corpo slido cilndrico, de rea A na base e de altura h , totalmente imerso e em equilbrio dentro de um recipiente contendo um fluido com densidade . A condio de equilbrio re-quer que a somatria de todas as foras sobre esse corpo seja nula. Como ilustrado na Figura 1.10 a seguir, vemos por simetria que as foras sobre a superfcie lateral do cilindro se cancelam, pois num mesmo eixo horizontal tm a mesma magnitude (que o caso das presses ,P P e ,P P na figura), entretanto a presso 2P exercida pelo fluido sobre a base inferior maior que a presso 1P sobre a base superior. Pela equao 1.11, temos:

2 1P P gh = . (1.15)

Logo, a resultante das foras superficiais exercidas pelo fluido sobre o cilindro ser a fora de empuxo .E E z=

, que dirigida para cima, onde:

2 1E P A P A ghA= = . (1.16)

Como a altura multiplicada pela rea d o volume (hA V= ) e a den-sidade multiplicada pelo volume d a massa ( V m = ), temos que o empuxo dado por:

fluidoE mgz w= =

. (1.17)

31

Ou seja, o empuxo igual ao peso da poro de fluido deslocada ( fluidow ), com o sinal invertido.

h

A

P

1P

P

P P

2P

Figura 1.10 Presses do lquido atuando sobre um cilindro slido imerso num fluido.

Diante disso, como ento o cilindro fica em equilbrio no fluido se existe uma resultante sobre ele de baixo para cima? Precisamos lem-brar que, alm do empuxo, atua sobre o slido uma outra fora vo-lumtrica que a fora peso ( w ), aplicada no centro de gravidade; essa fora que contrabalana o empuxo. No entanto, o equilbrio s acontece se as densidades do slido e do lquido forem as mesmas. Quando a densidade mdia do slido for menor que a do fluido, ele no pode ficar totalmente submerso, pois E w>

. O slido ficar ento flutuando, com o empuxo, devido poro submersa equili-brando o seu peso. Como exemplo podemos citar os icebergs que flutuam com apenas 11% do seu volume fora da gua; isso ocorre porque a densidade do gelo aproximadamente 90% da densida-de da gua (ver Exemplo 6 no final desta Seo). Por outro lado, se E w

; para afundar, bombeia gua para o interior dos compartimentos at que E w , e um tubo com um fluido de densidade em seu interior acoplado ao encanamento.

Note que foi atravs desse procedimento que Torricelli, quando assistente de Galileu, enunciou a frmula que leva seu nome.

53

A a

12

h

Figura 2.6 Medidor de Venturi: equipamento usado para medir a velocidade de escoamento de um fluido em um encanamento. A densidade

do fluido no encanamento e no tubo .

Devido equao de continuidade, temos que:

2 1,Av va

= (2.14)

onde 1v a velocidade do fluido na parte da tubulao com seo reta A (ponto 1) e 2v a velocidade na parte com seo reta a (pon-to 2 ). Desconsiderando a diferena de altura entre os pontos, pode-mos usar a equao de Bernoulli para escrever:

2 22 2 1 1

1 1 .2 2

P v P v+ = +

Aqui 2P a presso no ponto 2 e 1P a presso no ponto 1. Usan-do a equao 2.14 e o fato da diferena de presso ser dada por

1 2P P gh = , onde h a diferena entre as alturas do lquido de densidade nos dois lados do tubo, podemos mostrar (faa os cl-culos como exerccio) que:

2 2

2( )

ghv aA a

=

. (2.14.1)

Exemplo 4. Uma outra aplicao importante, usada na medio de velocidade de avies (quando acoplada s extremidades das asas), o chamado tubo de Pitot (este equipamento pode ter apresentado defeito no vo da Air France que caiu, em 2009, quando ia do Rio de Janeiro para Paris). Nessa montagem (veja Figura 2.7 a seguir), uma abertura (ponto A) est em um ponto de acumulao, tal que a velo-cidade nesse ponto seja zero, ou seja, a presso a presso esttica,

A eP P= . Na outra abertura no tubo (ponto B), a presso a dinmica

Usado para medir a velocidade de um fluido

em relao a um avio ou, de forma equivalente, a

velocidade de um avio se movendo em um fluido.

54

e a velocidade do fluido supostamente no perturbvel pela pre-sena do aparato, o que , formalmente, uma aproximao.

Tomando 0Av = e supondo como desprezvel a diferena de altu-ra entre os pontos A e B , a equao de Bernoulli pode ser escrita como:

2 21 1 ,2 2e B e B

P P v P P v= + =

onde a densidade do fluido externo ao tubo.

B

hA

0

B

Figura 2.7 Esquema do tubo de Pitot, usado para medir a velocidade de um fluido em relao a um avio ou, de forma equivalente, a velocidade de um avio

em relao ao fluido. O ponto A um ponto de acumulao, no qual o fluido encontra-se em repouso; no ponto B , por outro lado, supe-se que

o fluido no tem sua velocidade modificada pelo aparato.

Podemos tambm relacionar a diferena entre as presses eP e BP com a diferena de altura no tubo, 0 ,e BP P gh = onde 0 a den-sidade do fluido no interior do tubo. Assim:

2 00

1 2 .2

gh v v gh

= =

Exemplo 5. Um procedimento feito com certa frequn-cia no passado, para remover combustvel de um carro, est desenhado na Figura 2.8. O lquido do reservatrio, de densidade , aspirado atravs da mangueira ABC , para que saia pela abertura C .

Vamos calcular a velocidade de escoamento do fluido na abertura C da mangueira, em funo das alturas 1h e 2h e da presso 0P na superfcie O do reservatrio (se essa

h1

h2

A

O

C

B

Figura 2.8 Um fluido de densidade as-pirado por uma mangueira delgada e sai pela

sua abertura C . Esse esquema utilizado (mas no recomendado), por exemplo, para extrair combustvel do tanque de um veculo.

55

superfcie estiver aberta, essa presso a atmosfrica; vamos supor isso aqui). Suponha ainda que a superfcie O tenha uma rea muito maior que a da seo reta da mangueira, de modo que a velocidade com que a superfcie O diminui sua altura, medida que o fluido es-coa, seja desprezvel. A presso em C tambm a atmosfrica e pode-mos ento aplicar a equao de Bernoulli ao longo de um filete (como indicado em cor azul escuro na Figura 2.8) para os pontos O e C :

20 2 0 2

1 2 ,2 c c

p gh p v v gh + = + = (2.15)

onde cv a velocidade do fluido na abertura C e as alturas so sem-pre medidas em relao abertura C .

Note que, se 2h tende a zero, a velocidade cv tambm vai a zero. Se o valor de 2h se torna negativo, ou seja, a superfcie O fica abaixo da sada C , o fluido no escoa (pois o valor de 2cv seria negativo).

Sabendo a velocidade em C , podemos usar a equao 2.15 de con-tinuidade (lembre-se que o fluido suposto incompressvel) para calcular as velocidades em A e em B . Como a rea a mesma ao longo de toda a mangueira:

22 .B A Cv v v gh= = =

Com a ajuda desse ltimo resultado, podemos calcular a presso PB no ponto B e a presso PA no ponto A . Aplicando a equao de Bernoulli aos pontos A e C , obtemos:

2 22 0

1 1 ,2 2A A C

P gh v P v+ + = +

onde supomos que a diferena de altura entre A e O seja desprez-vel. Lembrando que as velocidades em A e em C so iguais, chega-mos ao seguinte resultado:

0 2.AP P gh=

O mesmo procedimento pode ser aplicado aos pontos B e C :

2 21 2 0

1 1( ) .2 2B B C

P g h h v P v+ + + = +

56

Mais uma vez usando a igualdade entre as velocidades em B e em C , obtemos:

0 1 2( ).BP P g h h= + (2.16)

Note que a presso em B menor que a presso atmosfrica. Se 1h for grande o suficiente, PB pode inclusive ir a zero. Dessa maneira, existe um valor mximo para 1h para que o fluido escoe pela man-gueira, dado pela condio de PB ser igual a zero:

01 2.

ph hh

=

2.4 ViscosidadeVamos discutir alguns aspectos simples de viscosidade. Essa uma fora de atrito entre camadas do fluido. Como toda fora de atrito, ela uma descrio fenomenolgica dos efeitos de foras funda-mentais (como tambm o na descrio do atrito entre superfcies slidas, visto por voc nas disciplinas anteriores).

Consideremos ento uma poro de fluido entre duas placas planas paralelas, conforme mostrado na Figura 2.9 a seguir: observado experimentalmente que, se a placa superior puxada de modo a escorregar com velocidade constante v , lminas inferiores do fluido so arrastadas, de tal forma que a lmina imediatamente abaixo da placa tem a mesma velocidade desta e a lmina em contato com a placa inferior est em repouso. Tambm observado que a veloci-dade dessas placas diminui linearmente com a altura y e, eventu-almente, vai a zero em alguma altura (que definimos como 0y = ). Esse escoamento chamado de laminar, pois o fluido se move em lminas, as quais deslizam umas sobre as outras. A fora por unida-de de rea, chamada de tenso tangencial, necessria para arrastar a placa superior com velocidade constante dada, em mdulo, por:

(2.17)

onde A a rea da placa e o coeficiente de viscosidade, o qual uma caracterstica do fluido. Essa a fora que a lmina de fluido imediatamente inferior placa faz nesta e tambm a fora que ela sofre da lmina de fluido inferior. A unidade de no MKS 2N.s / m .

Descrio fenomenolgicaDescrio feita a partir de informaes experimentais do sistema, buscando-se enunciar uma lei que des-creva aquele sistema em es-pecial e sistemas anlogos a ele. Esse procedimento al-ternativo ao usado em des-cries a partir de princpios fundamentais da Fsica.

57

Uma unidade mais comum na prtica o centipoise (cp), dado por 1 cp 210= poise = 3 210 N.s / m .

dy

A

x

y

v

Figura 2.9 Nesse processo, a placa superior puxada com velocidade v e a placa inferior est em repouso. O fluido entre as placas arrastado devido viscosidade.

Quanto mais viscoso o lquido, maior ser , e valores tpicos des-se coeficiente para alguns fluidos so, em 2N.s / m : 0,11 = para o leo lubrificante a 0 C , 0,03h = para o leo lubrificante a 20 C ,

31 10 = para a gua a 20 C e 51,8 10 = para o ar a 20 C .

Considere agora um escoamento viscoso ao longo de um cano ci-lndrico de raio a, de tal modo que a velocidade de escoamento no seja grande e este seja laminar. A poro do fluido em contato com o encanamento (r = a) est em repouso, e a velocidade aumenta no sen-tido do centro da tubulao. A fora necessria para manter o esco-amento com velocidade constante vem de uma diferena de presso entre as extremidades do encanamento (veja Figura 2.10 a seguir); para manter constante a velocidade de todas as lminas, a fora total sobre cada uma delas tem que ser nula. Sendo 1P e 2P as presses nas extremidades esquerda e direita do tubo de comprimento l, res-pectivamente, a fora por unidade de rea na superfcie externa de um tubo cilndrico do raio r dada por:

21 2 1 2( ) .

2 2P P r P PF r

A rl l = =

(2.18)

a

P2

P1

Figura 2.10 Escoamento viscoso em um cano de seo reta cilndrica.

58

Como essa a fora de viscosidade, a qual dada pela equao 2.17, temos:

1 2 ,2

P PF dv rA dr l

= =

onde usamos a equao 2.18, e o sinal negativo vem do fato que a velocidade diminui medida que r aumenta. Podemos isolar dv drna equao anterior, obtendo:

1 2( ) .2

P Pdv rdr l

=

Podemos resolver essa equao diferencial da seguinte forma: pas-sando a diferencial dr para o lado direito da equao e integrando ambos os lados, obtemos:

0' 1 2

( )

( ) ,2

a

v r r

P Pdv rdrl=

onde usamos a condio de contorno da velocidade ser zero no con-tato com o cano, isto , ( ) 0v a = . Obtemos ento:

2 21 2( ) ( ).4

P Pv r a rl=

Assim, o perfil de velocidades dentro da tubulao parablico, sen-do, como esperado, mximo para 0r = e mnimo, e igual a 0, para r a= .

A partir da equao anterior, podemos calcular a vazo total, isto , o volume de fluido que escoa por unidade de tempo atravs da se-o reta circular do cano. Como a velocidade varia com a distncia ao eixo r do cano, devemos dividir o volume total do cilindro em pequenos volumes elementares, associados a uma poro compre-endida entre dois raios r e r dr+ (veja a Figura 2.11 a seguir), com dr pequeno o suficiente para que a velocidade seja aproximadamen-te constante entre r e r dr+ . A contribuio dessa poro para a vazo , ou seja, o volume escoado por unidade de tempo, :

2 21 2( )( ) ( )2 ( ) .2

p pdVd v r dA v r rdr a r rdrdt l

= = = =

59

r

a

r + dr

Figura 2.11 Diviso do cano representado na Figura 2.10 em pequenas pores cilndricas, de raio r e espessura dr.

Essa, porm, apenas a contribuio da poro cilndrica entre os raios r e r dr+ ; para obtermos a vazo de todo o cano, temos que integrar desde 0r = at r a= :

2 21 2

0

( ) ( ) .2

ap pd a r rdrl

= =

Essa integral pode ser resolvida da seguinte forma:

(a2 r 2 )r dr

0

a

= a2r 2

2 r

4

4

0

a

= a4

2 a

4

4= a

4

4,

Assim o resultado final para a vazo :

41 2( ) .

8a P P

l=

Essa a lei de Hagen-Poiseuille, a qual diz que a vazo em um enca-namento proporcional queda de presso por unidade de compri-mento e inversamente proporcional ao coeficiente de viscosidade. Ela diz tambm que a vazo maior para tubos de raios maiores (manti-das constantes as outras caractersticas do escoamento e do fluido).

A definio de viscosidade, representada pela equao 2.17, vlida para fluidos chamados de newtonianos. Para estes, um grfico entre a fora por unidade de rea ( F A ) e o gradiente da velocidade em uma direo perpendicular rea ( dv dy ) uma reta que passa pela origem. Os fluidos que no seguem esse comportamento so chamados de fluidos no-newtonianos. Em alguns desses fluidos, a viscosidade depende do gradiente de velocidade, de modo que

60

o fluido se comporta como um slido se tentarmos, por exemplo, estic-lo com movimentos bruscos, e se comporta como um lqui-do se o perturbarmos de forma mais suave. Em um fluido desse tipo, uma pessoa pode ser capaz de caminhar sobre ele, caso o faa com passos rpidos; por outro lado, se a pessoa parar em p sobre o fluido, ir afundar, de forma parecida com o que aconteceria em um fluido newtoniano. Um fluido no-newtoniano pode ser feito em casa, adicionando-se maizena, aos poucos, a um copo de gua e misturando. Se voc tentar enfiar seu dedo rapidamente na mis-tura, sentir uma forte reao contrria; o fluido se comporta como um slido deformvel. Por outro lado, se voc lentamente tentar in-troduzir qualquer objeto no fluido, este se comportar como um lquido e a reao contrria ser bem menor que no caso anterior.

ResumoFoi apresentado neste Captulo um breve estudo dos fluidos em mo-vimento. Utilizando conceitos bsicos como a conservao da massa e conservao de energia, foi deduzida a frmula da continuidade para fluidos e a equao de Bernoulli. Essa ltima implica que, se um fluido estiver escoando em um estado de fluxo contnuo, ento a presso depende da velocidade do fluido. Quanto mais rpido o fluido estiver se movimentando, tanto menor ser a presso mesma altura no fluido.

QuestesPor que o jato de gua em uma torneira, quando o escoamento 1) estacionrio, fica mais estreito medida que a altura dimi-nui? Essa questo j foi levantada no texto anterior sobre visco-sidade. Talvez seja uma boa hora de voltar a pensar nela.

Um recipiente, com um fluido em seu interior, est em repouso 2) sobre uma mesa. Voc caminha em relao ela. Voc usaria esttica ou dinmica dos fluidos para estudar o fluido no reci-piente? Por qu?

Esse interessante e divertido efeito pode ser visto no endereo realizando-se uma busca com a expresso non-newtonian fluid.

61

Em um escoamento estacionrio, a velocidade em cada ponto do 3) fluido constante. Como pode ento a partcula ser acelerada?

Seria possvel o grande Zico bater uma daquelas faltas de efei-4) to, que em geral terminavam com a bola dentro do gol do Flu-minense ou do Vasco, se o jogo se realizasse na Lua?

Explique qualitativamente como se d o empuxo dinmico 5) responsvel pela sustentao de avies.

Em 2002, durante uma ventania muito forte (semelhante aos 6) tornados, to comuns em algumas regies dos EUA), ocorrida no bairro Ribeiro da Ilha, em Florianpolis, o telhado de uma casa de alvenaria foi levantado e posteriormente caiu na rua, em frente casa. Tente explicar como isso pde acontecer, uti-lizando os conceitos estudados neste Captulo.

Explique o funcionamento de um canudo para tomar lquidos.7)

ProblemasUma mangueira de jardim tem 1,9 cm de dimetro interno e 1) est ligada a um irrigador que consiste de um recipiente ci-lndrico com 24 furos, cada um com 0,12 cm de dimetro. Se a velocidade da gua no interior da mangueira de 1,05 m/s, com que velocidade ela sai dos orifcios do irrigador?

Um grande reservatrio de paredes verticais e construdo 2) sobre um terreno horizontal contm gua at uma altura h . Suponha que um pequeno orifcio seja feito em uma de suas paredes. A que distncia mxima dessa parede o jato de gua que sai do reservatrio ir atingir o cho do terreno? Em que altura deve estar esse orifcio, acima do terreno, para que essa distncia seja atingida?

Explique qualitativamente por que, quando est ventando e 3) uma janela est aberta, as cortinas tendem a sair do aparta-mento, isto , elas so puxadas para fora da janela. Suponha agora que a janela mea 4,26 m por 5,26 m, que o vento esteja soprando a 28,0 m/s fora do apartamento, em uma direo pa-ralela janela, e que dentro do apartamento o ar esteja parado

Uma simulao interessante desse

fenmeno pode ser encontrada no endereo

62

(em mdia). Qual a fora resultante sobre as cortinas citadas acima considerando que a densidade do ar = 1,3 Kg/m?

Um avio tem uma massa total de 2000 Kg e a rea total co-4) berta pelas duas asas de 30 m2. A velocidade de escoamento acima das asas 1,25 vezes maior que abaixo delas, quando o avio est decolando. A densidade da atmosfera aproxima-damente 1,3 Kg/m. Que velocidade mnima de escoamento acima das asas necessria para que o avio decole? Proponha uma forma de o avio baixar de altura, no pouso, usando ape-nas a diferena de presso nas asas.

Bibliografia bsicaNUSSENZVEIG, H. M. Curso de fsica bsica. So Paulo: Edgard Blcher, 1997. 2 v.

SEARS, Z. Fsica II: termodinmica e ondas. 10. ed. So Paulo: Addison Wesley, 2003.

RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fsica. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 2 v.

TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 1 v.

Bibliografia complementar comentadaAGUIAR, C. E.; RUBINI, G. A aerodinmica da bola de futebol. Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 26, n. 4, p. 297-306, dez. 2004. Disponvel em: . Acesso em: 18 jan. 2011.

Uma aplicao prtica dos conceitos vistos neste Captulo pode ser encontrada nesse artigo, o qual tambm pode ser localizado no endereo , no link Fsica do futebol. Essa pgina foi construda pelo professor Nelson Canzian, do Departamento de Fsica da UFSC.

Captulo 3Temperatura e Calor

Captulo 3Temperatura e Calor

Ao final do Captulo estaremos aptos a entender e dife-renciar os conceitos de temperatura e calor, bem como de-finir a Lei Zero da Termodinmica; conhecer e relacionar matematicamente as escalas de temperatura e conceituar capacidade trmica e calor especfico relacionando-os com processos de transferncia de energia trmica.

3.1 IntroduoDaqui em diante (neste e nos prximos Captulos) iremos estudar os fenmenos termodinmicos, ou seja, os fenmenos relacionados com a temperatura, o calor e as trocas de calor. Entre outras coisas, ser possvel explicar processos cotidianos como a conduo de calor em um ferro eltrico ou o fato dos cabos de madeira de uma panela evitarem que voc queime a sua mo. Alm disso, voc entender o funcionamento de mquinas trmicas como uma geladeira, um aparelho de ar condicionado e um motor de automvel.

Historicamente, a termodinmica foi elaborada baseando-se em ob-servaes empricas. A descrio termodinmica sempre uma des-crio macroscpica (que se aplica a um nmero muito grande de par-tculas, considerando mdias entre as grandezas envolvidas), o que compatvel com uma descrio estatstica. Somente mais tarde, com a formulao da teoria cintica dos gases, precursora da teoria atmica da matria, que se procurou dar uma explicao microscpica (ao n-vel atmico ou molecular) para alguns resultados da termodinmica.

A termodinmica clssica trata de sistemas em equilbrio termodi-nmico, ou seja, quando as variveis macroscpicas que caracteri-zam o sistema no variam com o decorrer do tempo. No entanto, o fato de essas variveis serem constantes no tempo no quer dizer que o sistema esttico do ponto de vista microscpico, ou seja, as partculas que formam o sistema esto em constante movimento e mudam constantemente de velocidade.

A partir da observao experimental.

As variveis macroscpicas so, por exemplo: presso,

volume e temperatura.

66

Neste Captulo iremos abordar os conceitos de temperatura, de calor e as propriedades trmicas da matria, para nos Captulos seguintes estudarmos as leis da termodinmica, as quais acreditamos que re-gulam os fenmenos trmicos na natureza.

3.2 TemperaturaO conceito de temperatura est associado a uma propriedade comum de sistemas em equilbrio trmico. No entanto, a sensao subjetiva de temperatura no fornece um mtodo confivel de medio. Por exemplo: num dia frio, tocar um pedao de metal e um pedao de madeira, que estejam no mesmo ambiente, d a falsa impresso de que o metal est mais frio. Como voc explica esse fato? Mais adian-te isso ficar claro.

Desse problema trata a chamada Lei Zero da Termodinminca (em alguns livros chamada de Anteprimeira Lei da Termodinmica), que pode ser enunciada da seguinte forma:

Quando dois sistemas ( e ) esto em equilbrio trmico com um terceiro (C), ento e esto em equilbrio trmico entre si (ver figura 3.1).

A B

C

Figura 3.1 Ilustrao da Lei Zero da Termodinmica. Se A e B esto em equilbrio trmico com C , ento A e B esto em equilbrio trmico entre si.

A Lei Zero a princpio parece bvia, mas preciso entender que ela s se aplica para sistemas em equilbrio trmico, ou seja, quando a temperatura no varia com o decorrer do tempo. Essa lei trouxe grandes contribuies para a cincia: graas a ela que podemos uti-lizar termmetros para medir a temperatura de corpos diferentes.

67

3.2.1 Escalas de temperaturaA escala Celsius (C) a mais conhecida para ns, pois a esca-la adotada nos termmetros que usamos aqui no Brasil. Em outros pases outras escalas so mais comuns. A escala Celsius foi defi-nida como sendo 0C o ponto de congelamento da gua e 100C o ponto de ebulio da gua, ambos considerados prximos ao nvel do mar. Dessa forma, um termmetro calibrado a partir desses parmetros, sendo dividido em 100 partes iguais, onde cada diviso equivale a 1C. Com isso pode-se medir a temperatura desconheci-da de outros corpos.

A escala Fahrenheit (F) de uso corrente em pases de cultura in-glesa e foi definida como sendo 32F o ponto de congelamento da gua e 212F o ponto de ebulio da gua, quando prximo ao nvel do mar.Portanto, a diferena ente os pontos de congelamento e de ebulio de 100 para a escala Celsius e de 180 para a escala Fahre-nheit. Com isso, pode-se estabelecer uma relao geral entre essas duas escalas de temperatura para realizar converses entre elas:

(3.1)

em que TC a temperatura em graus Celsius e TF a temperatura em graus Fahrenheit.

A escala Kelvin (K) denominada de escala de temperatura absolu-ta, pois o ponto de 0 K, que igual a -273,15C, a temperatura de presso nula de qualquer gs. Esse valor obtido atravs da extra-polao da curva de presso em funo da temperatura, medida por um termmetro a gs de volume constante; para atingir a presso zero o grfico intercepta o eixo da temperatura em -273,15C, que conhecido como Zero Absoluto. Como a variao de 1 K igual a 1C, a relao entre as duas escalas dada por:

273,15KK CT T= + (3.2)

em que TK a temperatura em Kelvin.

Assim, a temperatura de ebulio da gua na escala Kelvin 373,15 K. Para a maioria dos propsitos prticos pode-se arredondar para 273 K a temperatura de congelamento da gua.

Sabemos que no alto de uma montanha a gua entra

em ebulio abaixo de 100C. Isso est relacionado com a presso atmosfrica,

que menor no alto da montanha (como vimos no

Captulo 1).

Para mais informaes sobre o Zero Absoluto, verifique a bibliografia

comentada ao final deste Captulo.

68

Exemplo 1. Faa as seguintes converses entre as escalas de tempera-tura: a) de 37C para o equivalente em Fahrenheit; b) de 310 K para o equivalente em Celsius; e c) de 68F para o equivalente em Kelvin.

Soluo:

Para essa converso vamos utilizar a equao 3.1, ento:a)

ou seja,9 (37 ) 32 98,6 F5F

T = + = .

Para essa converso vamos utilizar a equao 3.2, ento:b)

310K 273,15K,CT= +ou seja,

310K 273,15K 36,85 C.CT = - =

Para essa converso precisamos primeiro transformar os c) 68F em Celsius pela equao 3.1 para depois transformar esse valor para Kelvin atravs da equao 3.2, ento:

( )5 68 32 20 C,9C

T = - =

portanto

273,15K 20 273,15K 293,15K.K CT T= + = + =

3.3 Expanso trmicaQuando a temperatura de um corpo aumenta, em geral observa-se uma expanso de suas dimenses. Isso ocorre devido ao aumen-to da energia interna do material, fazendo com que as molculas ou tomos constituintes se afastem um pouco mais uns dos outros, em mdia. Consideremos uma barra comprida de comprimento L mantida temperatura T : se sua temperatura for alterada ( T ), ob-serva-se uma variao L , no seu comprimento, proporcional a T e ao comprimento original L:

69

L L Ta = (3.3)

Aqui a o coeficiente de expanso linear e suas unidades so 1/C ou 1/K . Esse coeficiente no varia sensivelmente com a presso, mas pode variar com a temperatura, portanto a equao 3.3 fornece o valor mdio de a num intervalo T . O valor correto numa dada temperatura obtido tomando-se o limite de a para 0T .

0

1limT

L L dLT L dT

a

= =

(3.4)

No entanto, para fins prticos, podemos considerar a constante para valores de temperatura no muito prximos da temperatura de fu-so dos slidos. Valores tpicos de a para slidos so da ordem de

510- por C .

importante destacar que em se tratando de slidos aniso-trpicos, isto , aqueles em que as propriedades variam de acordo com a direo a ser tomada, assume valores dife-rentes, dependendo da direo considerada.

Vamos considerar agora uma lmina delgada (muito fina), com es-trutura isotrpica (igual em todas as direes) e lados 1L e 2L , cuja rea A dada por 1 2L L . Nesse caso, uma variao na temperatura dT produzir uma mudana na rea dA dada por:

1 2 2 11 2

( )d L L dL dLdA L LdT dT dT dT

= = + (3.5)

Logo, se dividirmos ambos os lados da igualdade por 1 2A L L= , obtemos:

2 1

2 1

1 1 1 2dL dLdAA dT L dT L dT

a= + =

portanto

2A A Ta = (3.6)

70

Ou seja, o coeficiente de dilatao superficial igual a duas vezes o coeficiente linear a . Analogamente, para o caso de um paralelep-pedo teremos uma variao no volume V , devida a uma variao de temperatura T , que dada por:

V V T = (3.7)

onde 3 a= definido como o coeficiente de dilatao volumtrico. Em geral, o valor de para lquidos (da ordem de 310- por C ) bem maior que para os slidos (da ordem de 510- por C ). A defini-o de um coeficiente de dilatao volumtrico conveniente no caso de lquidos e gases, os quais ocupam todo o ambiente em que esto confinados, onde se busca saber apenas a variao volumtrica.

Para a maioria dos materiais > 0, mas existe uma exceo para a gua, onde 0

71

30 C 0 C 30 C 30KT = - = =

logo, 6 1(11 10 K )(1000m)(30K) 0,33mL L Ta - - = = = ,

ou seja, a ponte expande 33cm . por isso que necessrio deixar folgas ao longo de uma ponte para que essa expanso seja possvel, caso contrrio a ponte poderia romper. Essa folga tambm necess-ria ao longo dos trilhos de trem, ou estes poderiam se curvar.

Exemplo 3. Um recipiente de vidro de 1 litro est cheio de lcool at a boca em temperatura de 10 C . Se a temperatura for aumentada para 30 C , qual a quantidade de lcool que transbordar do reci-piente? Dados: 6 19 10 Kvidroa - -= e 3 11,1 10 Klcool - -= .

Soluo: Para determinarmos a quantidade de lcool que transborda, precisamos calcular separadamente a variao no volume do vidro e a variao no volume do lcool. Para isso utilizaremos a equao 3.7, e depois subtrair os valores. Temos que a variao de temperatura

20 C 20KT = = . Alm disso:

A variao do volume do vidro dada por:a) 6 1

vidro vidro4

vidro

3 3(9 10 K )(1 litro)(20K)

5, 4 10 litros 0,54ml

V V TVa - -

-

= = = =

A variao do volume do lcool dada por:b)

3 1

2

(1,1 10 K )(1 litro)(20K)

2,2 10 litros 22,0 mllcool lcool

lcool

V V TV - -

-

= = = =

Assim, a quantidade que transborda ser: c)

lcool vidro 22,0ml 0,54ml 21,46ml

V V VV

= - = - =

Vale lembrar que existem materiais como o plstico e a bor-racha, que apresentam um efeito chamado entrpico, ou seja, eles contraem com o aumento da temperatura.

72

3.4 CalorA primeira tentativa de definir calor foi dada por Lavoisier no s-culo XVIII, com a hiptese do calrico, uma substncia que escoaria entre os corpos, transferindo calor de um corpo para outro, sendo que a quantidade total de calrico era conservada. A hiptese ri-val foi dada por Francis Bacon e Thomas Hooke e enunciada por Newton, atribuindo o calor ao movimento de vibrao das partcu-las dos corpos (ver sugesto de leitura no final deste Captulo).

A definio mais correta para o calor, considerada atualmente, que o calor uma forma de energia, que transferida de um corpo para outro em virtude de diferena de temperatura, portanto o calor uma energia em transio. Nesse contexto, no faz sentido dizer que um corpo possui mais calor que outro; na verdade, os corpos podem possuir temperaturas diferentes, mas o calor (como veremos mais adiante) est sempre associado a um gradiente de temperatura.

3.4.1 Capacidade trmica e calor especficoQuando se adiciona energia trmica a uma substncia, ou seja, quando transferido calor para uma substncia, a temperatura ge-ralmente se eleva1. Nesse caso, a quantidade de energia trmica Q necessria para elevar a temperatura da substncia em T pro-porcional variao de temperatura T e sua massa m . Podemos escrever ento:

Q mc T C T = = (3.8)

onde C mc= chamada de capacidade trmica2 e c chamado de calor especfico3. A unidade para a quantidade de calor a caloria e foi definida inicialmente como a quantidade de energia trmica para elevar a temperatura de 1 grama de gua de 14,5 C at 15,5 C . No Sistema Internacional de medidas 1cal 4,186J= .

Analogamente, pode-se ento definir uma capacidade trmica mo-lar, /MC Mc C n= = , como sendo a capacidade trmica de 1mol da substncia, onde M a massa molecular. Nesse sentido, a capacida-de trmica de n moles dada por n MC nC= .

1 Como veremos mais adiante, uma exceo ocorre nas transies de fase, onde a quantidade de calor absorvida utilizada para alterar propriedades fsicas da substncia.

2 A capacidade trmica est relacionada com a capacidade que uma substncia ou corpo tem de absorver calor e variar a temperatura. Vemos que quanto maior a massa de um corpo, maior a sua capacidade trmica.

3 O calor especfico uma propriedade de cada substncia e representa a medida da capacidade que uma substncia tem de absorver calor.

73

A massa molecular (em alguns livros chamada equi-vocadamente de peso molecular) definida como a mas-sa por mol da substncia e, portanto, a sua massa total dada por . O valor de para todos os elementos existentes na natureza pode ser determinado utilizando-se a massa atmica (muitas vezes chamada de nme-ro de massa) de cada elemento da tabela peridica, que expressa em gramas por mol. Por exemplo: para o Oxig-nio 16,0g / molam e para o Hidrognio 1,0g / molam , ento uma molcula de gua ( 2H O ) possui 18g / molM .

A capacidade trmica de um sistema com mais de uma substncia, cujas massas so 1 2 3, , ,...m m m , nm , e seus respectivos calores espec-ficos 1 2 3, , ,...c c c , nc dada pela soma da capacidade trmica de cada substncia, ou seja:

1 1 2 2 3 3 ... n nC m c m c m c m c= + + + +

Nesse caso, a quantidade de energia trmica necessria para intro-duzir uma variao T na temperatura do sistema dada por:

1 1 2 2 3 3( ...) .Q m c m c m c T = + + + (3.9)

O calor especfico varia com a temperatura e com as condies em que a variao de temperatura ocorre: a presso constante ou a volume constante. Por isso define-se o calor especfico a presso constante como Pc e o calor especfico a volume constante como Vc . Para l-quidos e slidos a diferena entre Pc e Vc pequena e pode ser desprezada, pois o volume varia muito pouco com a presso. Em geral, o calor especfico determinado nas condies de presso at-mosfrica (que constante), por isso a maioria dos valores de calor especfico refere-se a Pc . Entretanto, para gases Pc e Vc so bas-tante diferentes, como veremos no Captulo seguinte. Na tabela 3.1 a seguir apresentamos os valores de calor especfico e capacidades trmicas molares de alguns slidos e lquidos, juntamente com seu valor de massa molecular; esses valores foram obtidos em condies de presso atmosfrica (1atm ).

74

Quando a variao da temperatura grande, preciso considerar a dependncia de c com a temperatura: ( )c c T= . Assim, o correto seria integrar a equao 3.8 da temperatura inicial iT at a tempera-tura final fT :

(3.10)

Para pequenas variaes de temperatura, porm, onde o calor espe-cfico no varia apreciavelmente, a equao 3.8 pode ser utilizada com boa aproximao. Nesse caso, o calor especfico pode ser consi-derado como o valor mdio entre iT e fT .

No prximo Captulo veremos que a linha em indica que se trata de uma diferencial inexata.

Substncia (J / Kg K)c (Kg / mol)M (J / mol K)MC

Alumnio 910 0,0270 24,6

Cobre 390 0,0636 24,8

Ouro 126 0,203 25,6

Chumbo 128 0,207 26,5

Prata 234 0,108 25,3

lcool etlico 2.428 0,0461 111,9

Mercrio 138 0,201 27,7

Sal (NaCl) 879 0,0585 51,4

gua 4.186 0,0180 75,4

Gelo (-10C) 2.050 0,0180 36,9

Tabela 3.1 Calores especficos e capacidades trmicas molares de algumas substncias (a presso constante de 1 atm).

Atravs da tabela 3.1 interessante observar que as capacidades trmicas molares de todos os metais so praticamente as mesmas, apesar de terem calores especficos bem diferentes. Os calores es-pecficos dos lquidos so bem maiores, especialmente o da gua,

75

que consideravelmente maior que o das outras substncias: , por exemplo, aproximadamente 10 vezes maior que o do cobre. Assim, devido a sua grande capacidade trmica, a gua uma excelente substncia para armazenar energia trmica. Alm disso, o calor especfico da gua varia muito pouco num amplo intervalo de tem-peraturas; medidas precisas mostraram uma variao de aproxima-damente 1% no intervalo de 0 C a 100 C . Dessa forma, ela pode ser utilizada para determinar o valor do calor especfico de uma substncia desconhecida.

Sabendo-se a temperatura inicial de uma substncia qualquer ST com massa Sm e calor especfico Sc (desconhecido), se ela for mer-gulhada num recipiente termicamente isolado, de massa Rm e calor especfico Rc e contendo uma massa de gua Am cujo calor espec-fico dado por Ac , ambos numa temperatura inicial conhecida iT , ocorre uma troca de calor entre a substncia, a gua e o recipiente contendo a gua, at que o equilbrio trmico seja atingido e todo o sistema assuma a mesma temperatura final fT . No caso de tambm ocorrerem transies de fase, necessrio considerar a quantidade de calor utilizada nesse processo.

Nessas condies, a quantidade de calor trocada pela substncia dada por:

( )s s s f sQ m c T T = - , (3.11)

em que f ST T T = - a variao de temperatura da substncia. A quantidade de calor trocada pelo recipiente e a gua dada por:

( ) ( )RA R R f i A A f iQ m c T T m c T T = - + - , (3.12)

onde f iT T T = - a variao de temperatura do conjunto recipiente + gua. Como o sistema substncia + recipiente + gua est termi-camente isolado, pela conservao de energia todo calor que sai da substncia absorvido pelo conjunto recipiente + gua, e vice-versa. Portanto, a soma das equaes 3.11 e 3.12 tem que ser igual a zero. Assim:

0,S RAQ Q + =

ou seja,

( ) ( )( ) 0s s f s R R A A f im c T T m c m c T T- + + - = . (3.13)

Recipiente termicamente isoladoChamado de calormetro, tem a propriedade de no permitir a troca de calor com o meio externo.

O fato que grandes massas de gua como

lagos e o oceano tendem a moderar as variaes

de temperatura nas suas vizinhanas, ou seja, no inverno, quando a noite

cai, a gua comea a liberar o calor absorvido do sol durante o dia, no deixando a temperatura

cair bruscamente. J numa regio desrtica, onde

praticamente no existe gua, durante o dia, com

sol as temperaturas chegam facilmente a 40C, baixando

rapidamente para valores negativos com o pr do sol.

76

Atravs da equao 3.13, conhecendo-se as massas e medindo-se as temperaturas, pode-se determinar o calor especfico de uma subs-tncia desconhecida.

Como nesses clculos utilizam-se variaes de temperatura e essa variao igual nas escalas Celsius e Kelvin, ambas as escalas podem ser utilizadas.

Reescrevendo a equao 3.8 na forma QT

C = , obtemos uma ex-

presso para a variao da temperatura T de um sistema com ca-pacidade trmica C pela transferncia de uma quantidade de calor

Q . Como C proporcional massa, vemos que 0T quando a massa for muito grande. Nesse caso limite, o sistema permite uma transferncia de calor Q sem que a temperatura se altere significa-tivamente. Tal sistema chamado de reservatrio trmico. Exemplos de reservatrios trmicos ideais so a atmosfera terrestre e o oceano, mas na prtica pode-se considerar qualquer recipiente de tamanho adequado e contendo um fluido em equilbrio trmico como sendo um reservatrio trmico.

Exemplo 5. Um pedao de chumbo com massa de 600g aquecido a 100 C e colocado num recipiente de alumnio de 200g contendo 500g de gua, ambos a 17,3 C . Sabendo-se que a temperatura final de equilbrio 20 C , determine o calor especfico do chumbo. Da-dos: 30,9 10 J / Kg KAlc = e 2

3H O 4,18 10 J / Kg Kc = .

Soluo: Vemos que a variao de temperatura do recipiente com a gua 20 C 17,3 C 2,7 C 2,7KRAT = - = = e do chumbo

20 C 100 C 80 C 80KchT = - = - = - . Lembre-se que, nas unidades dos calores especficos, a massa aparece em quilogramas (Kg), assim as massas do problema precisam ser transformadas para essa unida-de. Usando a equao 3.13 temos:

3

3

(0,6Kg)( 80) [(0,2Kg)(0,9 10 J / Kg K)

(0,5Kg)(4,18 10 J / Kg K)](2,7K) 0,chc- +

+ =3

3

(0,6Kg)( 80) [(0,2Kg)(0,9 10 J / Kg K)

(0,5Kg)(4,18 10 J / Kg K)](2,7K) 0,chc- +

+ =

77

onde, isolando-se chc , obtemos:

3 3(0, 486 10 J 5,643 10 J) 128J / Kg K.48Kg Kch

c + = =

3.4.2 Transio de fase e calor latenteComo dito anteriormente, quando se fornece uma quantidade de calor a uma substncia, a presso constante, usualmente se obser-va um aumento da sua temperatura. Entretanto, numa transio de fase uma substncia pode absorver grandes quantidades de calor sem variar a temperatura. Nesse caso, a energia transferida subs-tncia utilizada para alterar o seu estado fsico. As transies de fase mais conhecidas so:

Fuso:a) do estado slido para o lquido;

Vaporizao: b) do estado lquido para o gasoso;

Sublimao: c) passagem direta do estado slido para gasoso (ex: gelo seco (CO2 solidificado), naftalina etc.) e vice-versa;

Condensao: d) do estado gasoso para o lquido;

Solidificao:e) do estado lquido para o slido.

No caso de uma substncia pura como a gua, as transies ocor-rem em uma dada temperatura, que, nas proximidades do nvel do mar, so: 0 C para a fuso e 100 C para a vaporizao.

Observou-se experimentalmente que a quantidade de calor necess-ria para ocorrer uma transio proporcional massa m, e ento de-finiu-se a constante de proporcionalidade como sendo o calor latente L . Para um processo de fuso existe o calor latente de fuso FL :

F FQ mL = , (3.14)

Para um processo de vaporizao existe o calor latente de vaporiza-o VL :

v vQ mL = , (3.15)

onde, para a gua, a presso de 1atm,

A transio de fase identificada pela alterao

do estado fsico da substncia. Quando o gelo

derrete, por exemplo, ocorre a passagem do estado

slido para o estado lquido da gua.

78

3 3333,5 10 J / Kg 79,7 10 cal / KgFL = = e6 32, 26 10 J / Kg 540 10 cal / KgVL = = .

Percebe-se que o calor latente de vaporizao bem maior que o de fuso, isso indica que necessria uma quantidade de calor maior para realizar a transio do estado lquido para o gasoso.

importante destacar que o valor do calor latente para a solidificao o mesmo que o valor para a fuso, a dife-rena que para ocorrer a fuso uma quantidade de ca-lor tem que ser transferida para a substncia, enquanto que para a solidificao essa mesma quantidade de calor deve ser removida. Portanto, convencionou-se que para a fuso e para a solidificao . O mes-mo raciocnio vlido para a vaporizao e condensao.

Exemplo 6. Qual a quantidade de calor necessria para vaporizar 1,0Kg de gelo a 20 C- e mantido a uma presso de 1atm?

Soluo: Para encontrarmos a quantidade de calor necessria para vaporizar o gelo, precisamos inicialmente determinar a quantidade de calor gasta para lev-lo de 20 C- a 0 C , depois aquela para fundi-lo nessa temperatura, em seguida a quantidade de calor para lev-lo de 0 C a 100 C e por fim aquela para vaporiz-lo a 100 C . Assim, calcula-se a quantidade de calor gasta em cada um dos processos para somar todas as quantidades ao final.

Levar o gelo de a) 20 C- a 0 C :

O calor especfico do gelo 32,05 10 J / Kg Kgeloc = e temos que 0 ( 20) 20 C 20KT = - - = = . Utilizando a equao 3.8:

3

3

(1,0Kg)(2,05 10 J / Kg K)(20K)

41 10 J.gelo gelo

gelo

Q mc T

Q

= =

=

Fundirb) o gelo a 0 C (a temperatura permanece constante), para isso vamos utilizar a equao 3.14:

3 3(1,0Kg)(333,5 10 J / Kg) 333,5 10 JF FQ mL = = =

79

Levar a gua de c) 0 C a 100 C : o calor especfico da gua

2

3H O 4,18 10 J / Kg Kc = e temos que 100 C 100KT = = . Uti-

lizando a equao 3.8:

2 2

2

3H O H O

3H O

(1,0Kg)(4,18 10 J / Kg K)(100K)

418 10 J.

Q mc T

Q

= =

=

Vaporizar a gua a d) 100 C (a temperatura permanece constante), para isso vamos utilizar a equao 3.15:

6 6(1,0 )(2,26 10 J / Kg) 2,26 10 J.V VQ mL Kg = = =

Dessa forma, a quantidade total de calor necessria para realizar esse processo a soma das quantidades de calor de todas as etapas, logo:

2

33052,5 10 J.total gelo F H O V

total

Q Q Q Q Q

Q

= + + +

=

3.5 Transferncia de energia trmicaDe modo geral, sabemos que sempre que existir uma diferena de temperatura entre dois corpos ou dois meios, esse gradiente de tem-peratura faz com que haja um fluxo de energia trmica da tempera-tura maior para a menor. Existem trs mtodos pelos quais a energia trmica pode ser transferida: conduo, conveco e radiao.