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8/7/2019 Fisica - Cap 04 - Cinematic A en 2 Dimensiones
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Cinemtica en Dos Dimensiones
Captulo 04
8/7/2019 Fisica - Cap 04 - Cinematic A en 2 Dimensiones
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Contenido
Posicin
Desplazamiento y distancia recorrida
Velocidad y rapidez media Velocidad y rapidez instantnea
Aceleracin media e instantnea
Movimiento con aceleracin constante
Movimientos Unidimensionales
Cada Libre Movimiento de Proyectiles
Movimiento Circunferencial Uniforme
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Posicin
rx
z
r xi + yj + zk =
2 2 2r = r = x + y + z
Mdulo:
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fr
ir
r
Desplazamiento
vector
desplazamiento
trayectoria
ir r r distancia recorrida
s
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Desplazamiento
f i r = r r
Si: i i i i r = x i y j + z k + f f f f r x i + y j + z k =yEntonces:
( ) ( ) ( ) f i f i f i r x x i + y y j + z z k = ( ) ( ) ( ) r x i + y j + z k =
Magnitud del vector desplazamiento:
( ) ( ) ( )2 2 2 f i f i f i r = x x + y y + z z
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En general:
Magnitud del vectordesplazamiento
distanciarecorrida
Ejemplo:
En un ao la Tierra gira en torno al Sol ...
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Si:
i i i i r x i + y j + z k =
f f f f r x i + y j + z k =
y
Entonces:
( ) ( ) ( ) f i f i f i f i f i f i
x x y y z z v i + j + k
t t t t t t
< > =
x y z
v i + j + k t t t
< > = x y zv v i+ v j+ v k < > = < > < > < >
Velocidad Media
f i
f i
r rrvt t t
< > = =
Componente y de la velocidad media
= velocidad media en el e e
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Ejemplo: Calcule el desplazamiento y la velocidadmedia, si el intervalo de tiempo entre las dos
posiciones es
t = 10 s y las posiciones estnmedidas en metros.
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( )0 0
lim limf i
instt t f i
r rrv t v =t t t
=
Velocidad Instantnea
rectatangente
[ ] [ ][ ]d L m
d T s
rv
t= = =
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0( ) lim
t
r drv t
t dt= =
0 ( ) limt
x y z
v t i + j + k t t t
=
0 0 0 ( ) lim lim lim
t t t
x
y
zv t i + j + k
t t t =
( ) dx dy dz v t i + j + k dt dt dt
=
( )x y z
v t v i v j v k = + +
Velocidad Instantnea
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Ejemplo: Considere un automvil movindose en lnea recta ...
En este caso tendremos que: ( ) r x t i =Suponga, adems, que el auto semueve de acuerdo a la siguienteecuacin de itinerario:
( ) 2 3r t t i =con ten segundos y xen metros
Cunto vale la velocidad instantnea cuando t= 3 s?
x
t1 2 3 4
6
12
24
18
30
36
42
0
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x
t1 2 3 4
6
12
24
18
30
36
42
( ) t s ( )r m ( / )< >v m s1,00 21,00 i 21,00 i0,50 9,75 i 19,50 i
0,25 4,69 i 18,80 i
0,10 1,83 i 18,30 i
0,05 0,9075 i 18,15 i
0,01 0,1803 i 18,03 i
0,001 0,018003 i 18,003 i
Desplazamiento y velocidad mediapara diferentes intervalos de tiempo.(los intervalos comienzan en t= 3 s)
2 ( ) 3r t t i =
( ) ( ) 3 0,01 3f ir r r x s + s i x s i = = Por ejemplo, para t= 0,01s:
( ) ( ) ( )2 2 3 3,01 3 3 27,1803 27 0,1803r mi mi m m i mi = = =pendiente de latangente en t=3s
Clculo analtico del lmite
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2 ( ) 3r t t i =Clculo analtico del lmite
Entonces: ( ) ( ) f ir r r r t + t r t = = ( ) 2 2 3 3r t + t i t i = ( )2 2 2 3 2 3r t + t t + t t i =
2 6 3 r t t + t i = Dividiendo por t, se tiene:
[ ] 6 3
r t t it = +
Por lo tanto:
( )0
6limt
rv t t i t= =
R i d i
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( ) 6v t t i =Resumiendo, si: ( ) 2 3r t t i =Entonces:
Ruta corta:
DERIVAR !
( ) ( ) ( )2 23 3 3 2 6d dt t t t dt dt
= = =
Al d i d il
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( )f t d fd t
0nt 1nn t ( )s in t ( )cos t ( )co s t ( )s in t
( ) ( )g t h t + d g d h+d t d t
( ) ( )g t h t ( ) ( )dg dhh t + g t dt dt
( )( )g h t d g d hd h d t
Algunas derivadas tiles
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Rapidez
La rapidez se define como el mdulo del vector velocidad.
2 2 2
x y zv v v + v + v =
Por lo tanto, la rapidez no es un vector,es un escalar.
v v v=
A l i M di
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iv vva
t t
< > = Aceleracin Media
x
y
v i
v f
v i
v f
v
a< >
A l i M di
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Entonces:
( ) ( ) ( ) xf xi yf yi zf zi f i f i f i
v v v v v va = i + j + k
t t t t t t
< >
y zx v vva = i + j + k t t t
< >
x y z
a a i+ a j+ a k < > = < > < > < >
Aceleracin Media
Componente y de la aceleracin media aceleracin media en el eje y
iv vv
a t t
< > = =
Si: i xi yi zi v v i + v j + v k = y f xf yf zf v v i + v j + v k =
Aceleracin Instantnea
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0 0
( ) lim lim
f i
inst t t
v vva t a
t t = =
Aceleracin Instantnea
ri
r f
v i
v f
v i
v fv a< >
A l i I t t
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Aceleracin Instantnea
Aceleracin Instantnea
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0( ) limt
v dv
a t t dt= =
0
( ) limy zx
t
v vva t i + j + k
t
t
t
=
0 0 0
( ) lim lim limy zx
t t t
v vva t i + j + k
t t t =
( )y zx
d v d vd va t i + j + k
d t d t d t
=
( )x y z
a t a i a j a k = + +Como:
( ) d rv td t
= 22
( )d dr d r
a tdt dt dt
=
Aceleracin Instantnea
C ti l M i i t R til
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Caso particular: Movimiento Rectilneo
( )r x t i = ( )xv v t i = ( )xa a t i =
( )x
dxv t =
dt
2
2( ) x
x
dv d xa t
dt dt = =
Movimiento Rectilneo Uniforme
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x x x
vx vx vx
ax
ax
ax
Movimiento Rectilneo Uniforme
Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado
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Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado
v(t) = pendiente de la tangente en t
Ejemplo: 1t s
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Ejemplo: 1t s=( ) 2i mv t + i
s
= ( ) 4f mv t + i s
=2
2x
ma i
s= +
( ) 4i mv t + i s
= ( ) 2f mv t = + i s
22
x
ma i
s=
( ) 2i mv t is
= ( ) 1f mv t is
= 2
1x
ma + i
s=
( ) 2i mv t is
= ( ) 3f mv t is
= 2
1x
ma i
s=
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Clculo del desplazamiento a partir de v(t)
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Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.
vx
t
vx(t) = vx0 = constante
vx0
tfti t
rea "bajo la curva": x0 f i v t = x = x x
Clculo del desplazamiento a partir de v(t)
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Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General
vx
ti tf
1 2 ...x x + x + =
1 2 ...x1 x2x v t + v t + =1 2
...x A + A + x A =
f ix x x=
Clculo del desplazamiento a partir de v(t)
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x
ti
ti
t
vx
desplazamientoxentre t
iy t
f
= rea delimitada por grficovx
v/s tentre tiy t
f
Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General
( ) ( )dtt
t
v=tt
t
v=x
f
it
ii
f
it
it
lim
0
Clculo del desplazamiento a partir de v(t)
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Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.A.
Este clculo ya se hizo en el captulo 2 y las leyes obtenidas son:
( ) ( ) ( )2
0 0 02
x
x0
ax t x + v t t + t t =
( ) ( )0x x0 x v t v + a t t = .xa cte=
Adems:
( )2 2 02x x0 x v v + a x x =
Movimiento en 2 3 dimensiones con
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Movimiento en 2 3 dimensiones conaceleracin constante
Suponga que en 3D el cuerpo se mueve con aceleracin cte.
x y za a i + a j + a k =
Podemos descomponer este mov. en 3 mov. independientes:
uno en el eje x, otro en el eje y y otro en el eje z
( ) ( ) ( )20 0 02
x
x0
ax t x + v t t + t t = Eje x: a
x= cte. ( ) ( )0x x0 x v t v + a t t =
( ) ( ) ( )20 0 02
y
y0
at y + v t t + t t = Eje y: ay= cte. ( ) ( )0y y0 yv t v + a t t =
( ) ( ) ( )20 0 02zz0 az t z + v t t + t t = Eje z: az= cte. ( ) ( )0z z0 z v t v + a t t =
Movimiento en 2 3 dimensiones con
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Movimiento en 2 3 dimensiones conaceleracin constante
( ) ( ) ( )20 0 0 012
r t r + v t t + a t t =
( ) ( )0 0v t v + a t t = .a = cte
Adems:
( ) ( )2 20 02v t v + a r r =
Cada Libre y Movimiento de Proyectil
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y y
.a cte g =
Caida Libre y Movimiento de Proyectil
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Galileo Galilei (1564-1642): Nacido en Pisa. Su padre, Vincenzio Galileifue matemtico y msico. Estudi medicina en la Univ. de Pisa. 1589:Profesor de matemticas en Pisa. En 1610 publica Sidereus Nunciusen el que presenta observaciones astronmicas efectuadas con sutelescopio. En 1632 publica Dialogo sopra i due massimi sistemi delmondo. En 1638 publica Discorsi e Dimostrazioni Matematiche delledue nuove scienze (donde describe la cada libre).
Galileo Galilei
pelota
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vy= 0 en elpunto ms alto
durante el ascensoa
y= -g, la rapidez
disminuye y la
velocidad se hacemenos positiva
durante el descensoay = -g, la rapidezaumenta y lavelocidad se hacems negativa
g
( ) ( ) ( )20 0 02
y0
gy t y + v t t t t =
( ) ( )0y y0v t v g t t = 2
9,8m
g g j j s
= =
y(t) (m)altura
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vy(t) (m/s)
t (s)
t (s)
En amboslanzamientos,v
y=0 m/s en el
punto de alturamxima
velocidad
lanzamiento rpido
lanzamiento lento
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Problema: Calcular el tiempo que tarda un proyectilen llegar a tierra, si ste se lanza con una velocidad
de 16 m/s hacia arriba, desde una altura de 100 m
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-3,17 s 6,44 s
Movimiento de Proyectil
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Podemos:
Ignorar el roce con el aire
Ignorar la rotacin de la tierra
Con estas aproximaciones, tenemos que :
Una vez liberado, slo la gravedad acta
sobre el cuerpo, tal como en el movimientode lanzamiento vertical.
Como la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo,
entonces:
Hay aceleracin vertical hacia abajo.
NOhay aceleracin horizontal. El cuerpo sigue una trayectoria parablica.
Si elegimos un sistema de referencia tal que la direccin y seati l iti h i ib t
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vertical y positiva hacia arriba, entonces:
ya g= 20 m/sxa =
00 mx = 0 0 my =
Supongamos tambin que en t0
= 0 el cuerpo partedel origen de coordenadas, es decir:
( ) 212
y0y t v t gt = ( ) x0x t v t =
( )y y0v t v gt = ( )x x0v t v=2
1
2y0
x0 x0
x xy v g
v v
= 2
2
1
( ) 2
y0
x0 x0
v g
x x xv v
=
g
x
y
2
2
1
y0v g
y x x =
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x
y
0
v 0
x0 y0v v
g
2
2
y 0v
gg
22x0 x0
yv v
2 2
2
2 2
21 1
2 2 2
x0 y0 x0 y0 y0
x0 x0
v v v v vg gy x x x +
v g v g g
= =
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g
Alcance y Altura Mxima
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El proyectil alcanza la altura mxima cuando: vy = 0 m/s
( ) 0 0yv t v sen gt= 0 00 hmv sen gt= 0 0
h m
v s e n
t g= tiempo en que
alcanza la alturamxima
Al sustituir este tiempo en la ley de la posicin vertical, se tiene:
( ) 20 0 12
max hm hmy t h v sen t gt= =
2
0 0 0 0
0 0
1
2max
v sen v sen
h v sen gg g
=
2 2
0 0
2m ax
v sen h g=
Siempre que el punto inicial y final estn a la misma altura:
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Reemplazando en la ley de la posicin horizontal, se tiene:
0 02t
v sent
g=
( ) 0 0co st tx t = v t
( ) 0 00 0cos 2 v senR v g = 2
0 0 02cosv sen
R g=2
0 0(2 )v s en R g=
El tiempo total de vuelo es: tt
= 2thm
Luego, el alcance R es:
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( )0 02
R R =
2
0
m a x
vR
g=
0
Para:4
=
Problema
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Un avin lanza un paquete a un
grupo de exploradores. El avinvuela horizontalmente a una alturade 100 m sobre el suelo, con unarapidez de 40 m/s
Dnde cae el paquete, relativo a laposicin en que fue lanzado?
d
1. Introducimos un sistema de coordenadas
Eje y: dirigido hacia abajo
Eje x: dirigido hacia la derechaOrigen: en la posicin del avin
cuando lanza el paquete
2. Tenemos que: x0
= 0 m y0
= 0 m
vx0= +40 m/s vy0 = 0 m/sa
x= 0 m/s2 a
y= +g= + 9,8 m/s2
( ) ( )2 2 213. 4,9 /2
y t gt = + m s t =( ) ( )40 /x0x t v t = m s t =
2
1004. 100 4,52
4,9 /
my + m t s
m s= = =
( ) ( ) ( )5. 4,52 40 / 4,52 181d x s m s s m= = =
0
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Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.
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ir
f
r
iv
fv
iv
fv v
a< >
La trayectoria del mvil es una circunferencia y
La recorre con rapidez constante: v = cte.
v
iv
Aceleracin Centrpeta.
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ac
iv
v
/ 2
/ 2
v
v
2 2
vsen
v
=
2 2
rsen
r
=
v
v rr
=
v r v
t t r=
va vr
=Si: 0t
Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.
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2
c
va
r=
Aceleracin
Centrpeta:
VelocidadTangencial:
2rv T=
T= Periodo
Aceleracin Radial (Centrpeta) y Tangencial
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En general: c ta a + a= 2
cvar
= t d vdvadt dt
= =
2 2c ta a + a=
Movimiento Relativo
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.u cte=
K'
r'
ut
r
K
pos. del cpo. c/r al sist. K= pos. del cpo. c/r al sist.
K' + pos. del sist. K' c/r a Kr r' + ut =
v v' + u= a a'=
vel. del cpo. c/r al sist. K= vel. del cpo. c/r alsist. K' + vel. del sist. K' c/r al sist. K
acel. del cpo. c/r al sist. K= acel. del cpo. c/r alsist. K' (si vel. de K' c/r a Kes cte.)
Movimiento Relativo
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Movimiento Relativo
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N
S
EO
vbr
vrt
vbt
Movimiento Relativo
8/7/2019 Fisica - Cap 04 - Cinematic A en 2 Dimensiones
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N
S
EOvbr
vbt
vrt
bt br rt v v v= +