Fisica dello Stato Solido · 2016. 12. 13. · Mara Bruzzi –Lezione n. 10 - Fisica dei Semiconduttori Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.16-17 Fisica dello Stato Solido

Mara Bruzzi – Lezione n. 10 - Fisica dei Semiconduttori Laurea

Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.16-17

Fisica dello Stato Solido

Lezione n. 10

Proprietà di trasporto nei metalli

e semiconduttoriCorso di Laurea Magistrale

Ingegneria Elettronica

a.a.16-17

k

e

a

a

eF

E = 0

Trasporto elettrico nel modello a Bande

E ≠ 0

In presenza di F gli elettroni aumentano k in direzione di F, (eventualmente

subendo il fenomeno dell’Umklapp a bordo zona). Ne risulta una distribuzione

asimmetrica degli elettroni nella banda. C’è corrente elettrica poiché si hanno

più elettroni che si muovono in una direzione che in quella opposta.

Si ha forza :

dt

kdEeF

k

e

a

a

FE

0

Problema: Questa interpretazione non riesce a descrivere il caso stazionario, e

quindi i casi della legge di Ohm e dell’esperimento per la misura del

coefficiente di Hall. Poiché l’interazione tra elettroni e reticolo cristallino è già

inglobata nel modello, che ci ha portato a utilizzare le funzioni d’onda di Bloch

per gli elettroni nel cristallo e a definire le bande di energia en(k), non possiamo

considerare le collisioni tra elettroni e ioni del reticolo cristallino come fattore

dissipativo che produce la stazionarietà.



L’effetto delle interazioni con le imperfezioni del reticolo è quello di produrre delle

transizioni k → k’ nelle quali avviene trasferimento di momento ed energia. Il

risultato è che gli elettroni più energetici invertono il loro moto bilanciando così

l’effetto accelerante del campo elettrico. L’effetto di bilanciamento produce

corrente elettrica stazionaria.

Per il principio di esclusione di Pauli lo scattering per

interazione con le imperfezioni del reticolo avviene per

gli elettroni più energetici verso stati vuoti

k

e

a

a

Effetto dei fenomeni di scattering sulla corrente elettrica



Riconsideriamo ora l’equazione del moto dell’elettrone di conduzione:

dt

pdfF

F = forza esterna applicata = -e(E + vxB)

f = forza di attrito dovuta ai processi di scattering

p = momento cristallino

che diviene:

m

p

dt

pdF

Il significato di deriva dal fatto che, annullando la forza F all’istante t = 0,

risulta la costante di tempo della funzione esponenziale di rilassamento del

momento elettronico :

mt

eptp

0)(

In generale m è dello stesso ordine del tempo di collisione c, tempo medio tra

due collisioni successive.

Tempi di rilassamento per il momento



Processi di scattering

Ogni irregolarità nella periodicità del cristallo perturba il moto altrimenti libero

degli elettroni di Bloch. Le irregolarità sono essenzialmente di due tipi:

1. Imperfezioni del solido ( disordine reticolare come vacanze, interstiziali,

dislocazioni o impurezze intenzionali o intrinseche ) . Questo effetto è debolmente

dipendente dalla temperatura.

2. Moto oscillatorio degli ioni intorno alle posizioni di equilibrio del reticolo cristallino

per agitazione termica. Questo effetto è ovviamente dipendente dalla temperatura.

La legge di Ohm viene quindi reinterpretata considerando le collisioni tra

gli elettroni di conduzione e tali irregolarità del reticolo.



Tale probabilità dipende da N, concentrazione di centri di scattering,

s, sezione d’urto di scattering e v velocità del portatore carico:

s

vNc

1

Tale espressione si spiega considerando l’area totale, con cui il

portatore può effettuare la collisione: se i centri di scattering sono

N dischi di area s, essa è Ns. Il portatore che si muove

perpendicolarmente ai dischi coprendo la distanza dx = vdt nel

tempo dt ha probabilità di colpire uno dei dischi pari a:

dPc = N s v dt = dt/c.

v

N

s

Sia Pc = probabilità che avvenga una collisione allora:

c

c

dt

dP

1

Valutazione di c



Vibrazioni del reticolo: il sito reticolare oscilla di moto armonico di ampiezza A

intorno al punto di equilibrio: e’ come se coprisse un’area intorno a sè ove può

avvenire possibile collisione con il portatore. Tale area è proporzionale al

quadrato dell’ampiezza A di oscillazione e l’energia dell’oscillatore armonico U

dipende da A2 :

Metalli: Dipendenza dalla Temperatura di c vv sNc

s

1

22222222

2

1)(cos

2

1)(

2

1

2

1

2

1AktkAtsenAmkxmvU

A

Perciò per scattering da vibrazione reticolare c è inversamente

proporzionale alla temperatura: Tc

1

è proporzionale a T.

se vale la legge di Dulong Petit ( T >> QD ): U = 3KBT, allora U è proporzionale a T e

Nei metalli v = vF ( indipendente dalla temperatura).

Impurezze reticolari: anche il termine = N s è indipendente dalla temperatura → c è

indipendente da T .



Riconsideriamo ora l’espressione della conducibilità elettrica nel modello di Drude:

m

ne s

2

m → m* massa efficace al livello di Fermi

→ c tempo di collisione

v → vF velocità di Fermi

n densità efficace di elettroni al livello di Fermi

La stessa espressione può essere mantenuta anche alla luce del modello

quantistico se consideriamo le seguenti modifiche:

Resistività elettrica nei metalli

titiF

ne

vm

s

2

*1

Otteniamo per la resistività del metallo:

i = resistività residua del metallo: dovuta alle impurezze è essenzialmente

indipendente da T e prevale a bassa T; t è resistività dovuta alle vibrazioni reticolari.

Regola di Mathiessen



Dipendenza di da T nei metalli

La resistività residua, dipendendo

dalle impurezze, può variare per una

stessa sostanza da campione a

campione.

La resistività dovuta all’agitazione termica dipende da T ad alte temperature ( T >> QD) e

da T5 a basse ( T

In un intervallo limitato, intorno ad una decina di gradi a 20°C, la relazione (T) è

praticamente lineare : con t temperatura in °C. )201(20 t

materiale 20 [Ohm m] [°C-1]

Argento 1.59 10-8 4.1 10-3

Rame 1.67 10-8 6.8 10-3

Oro 2.35 10-8 4.0 10-3

Alluminio 2.65 10-8 4.3 10-3

Tungsteno 5.65 10-8 4.5 10-3

Zinco 5.92 10-8 4.2 10-3

Platino 10.6 10-8 3.9 10-3

Ferro 9.71 10-8 6.5 10-3

Piombo 20.7 10-8 3.4 10-3

Questo effetto è di solito impiegato per la costruzione di termometri a resistenza ( e.g.

al platino).



Resistività elettrica e mobilità nei semiconduttori

Nell’espressione della conducibilità elettrica nel modello di Drude:

m

ne s

2

1. La conduzione può essere data sia da elettroni in BC che da lacune in BV

2. m → m* massa efficace al minimo banda di conduzione ( massimo banda di valenza )

3. → < m> è mediato sulla distribuzione di velocità degli e di conduzione ( h di valenza)

4. v → vth velocità dell’elettrone in banda di conduzione ( lacuna in banda valenza)

5. n densità di elettroni in banda di conduzione ( lacune in banda di valenza)

si considerano ora le seguenti modifiche:

pn

h

pm

n

nmpn pene

m

pe

m

ne

sss

*

2

*

2

con: n,p = mobilità di elettroni in banda di conduzione ( lacune in banda di valenza )

*

,

,

,

pn

pnm

pnm

e



In generale m dipende dall’energia del portatore e dalla temperatura:

Con r esponente che varia da -1/2 ( scattering da vibrazioni reticolari acustiche ) a

+3/2 ( scattering da impurezze ionizzate ). Facendo la media di m sulla distribuzione

di velocità dei portatori per un semiconduttore non degenere ( quindi utilizzando la

statistica di Maxwell Boltzmann ) si ottiene la seguente espressione per :

r

B

mTK

e 0

)!2

3(

3

40 rm

Con 0 fattore di proporzionalità in generale dipendente da T. Dato che è

contenuto nella mobilità può però essere utile esprimere direttamente la

dipendenza da T di :

*

,

,

,

pn

pnm

pnm

e

Dipendenza da T di m

0

2/3

3

4

TKde

TK B

TK

B

mmB

ee

e



Scattering da impurezze neutre

Prevale a T basse quando si ha congelamento dei portatori nelle impurezze, quindi la maggior

parte di esse sono neutre, e il contributo dei fononi è trascurabile. La mobilità risulta

indipendente da T, inversamente proporzionale alla concentrazione di impurezze e linearmente

dipendente dalla massa efficace m*.

Scattering da impurezze ionizzate.

Prevale per elevate concentrazioni di impurezze, a medio/alta T quando sono tutte ionizzate. La

mobilità risulta dipendente da T3/2, inversamente proporzionale alla concentrazione di impurezze

ionizzate NI e proporzionale a m*-1/2 .

Scattering da vibrazioni reticolari.

A bassa T il modo di vibrazione acustico prevale su quello ottico. In questo caso la mobilità

risulta dipendente da T-3/2 ( acustiche, T-1.67 per quelle ottiche ). Nel modo acustico è anche

proporzionale a m-5/2, da cui si ha elevata mobilità per piccola massa efficace. Lo scattering da

fononi ottici è importante nei cristalli ionici.

Dipendenza della mobilità dei semiconduttori da T,m*, N



Andamento con la temperatura delle mobilità di elettroni e

lacune in alcuni semiconduttori

In generale si hanno più fenomeni il cui effetto si combina, si tiene conto di una

media sulla mobilità tipo: che include i vari meccanismi di

scattering.

n

i i1

11



Diminuzione della mobilità all’aumentare della concentrazione del drogante (n =ND+,

p=NA-) dovuta a scattering da impurezze ionizzate. La differenza nelle mobilità per uno

stesso tipo di portatore in diverso tipo di diverso tipo di Si ( n o p) parzialmente

dovuta a interazioni tra i portatori carichi.

Mobilità in Silicio a T ambienteMobilità in Silicio al variare di T



Dipendenza della conducibilità elettrica dalla Temperatura in semiconduttore

s nem

ne m

*

2

La dipendenza della mobilità da ~ T-2 è particolarmente visibile nel regime

estrinseco, dove n è costante.



Coefficiente di Hall nei semiconduttori

Nell’espressione del coefficiente di Hall nel modello di Drude:

neRH

1

1. n è densità efficace di elettroni in banda di conduzione ( lacune in banda di valenza)

2. ci può essere contributo sia degli elettroni in BC che delle lacune in BV

3. I meccanismi di scattering devono essere tenuti in considerazione attraverso m

si considerano ora le seguenti modifiche.

2

2

)(|| nbp

nbp

e

rR hH

con: b n/p = rapporto tra mobilità di elettroni in BC e lacune in BV

rh = fattore di Hall

2

2

m

mhr

Otteniamo:



fattore di Hall

Nell’approssimazione del tempo di rilassamento

r

B

mTK

e 0

otteniamo i seguenti valori del fattore di Hall

Scattering r rH

Impurezze ionizzate +3/2 1.93

Impurezze neutre 0 1

Fononi acustici -1/2 1.18

Fononi ottici bassa T 0 1

Fononi ottici alta T +1/2 1.10

Piezoelettrico ( fononi acustici in materiali polari) +1/2 1.10



Coefficiente di Hall e regimi di conduzione

La misura dell’effetto Hall permette di distinguere tra conduzione per elettroni o

per lacune. RH cambia infatti segno se il semiconduttore è di tipo p o di tipo n:

Tipo p ( p>>n ) ;|| pe

rR hH Tipo n ( n>>p ) .

|| ne

rR hH

Notiamo che RH non si annulla nel caso intrinseco ( p = n ) ma per p = nb2. Per

esempio in silicio n = 1450 p = 450 quindi RH cambia segno per p ~ 10 n. Altri

materiali possono presentare b ~ 100. Nel caso intrinseco p = n = ni :

)1(

)1(

||

b

b

ne

rR

i

hH

Perciò per b > 1 ( come avviene in generale ) nel caso intrinseco domina la

conduzione per elettroni.



Andamento di RH per semiconduttore tipo p (b > 1) in funzione della temperatura.

Distinguiamo 4 regimi:

I regione intrinseca : RH expEg/(2KT)

II regione di conduzione mista: RH è ancora negativo ma diminuisce in

modulo all’aumentare del rapporto p/n, RH cambia segno per p/n = b2

III regione di esaustione: RH = rh/(pe)

IV regione di congelamento dei portatori RH expEa/(KT)



Resistività e RH possono essere misurate simultaneamente per determinare la mobilità

Definiamo mobilità di Hall: H = RH s rH .

InSb tipo p

Regime intrinseco

Conduzione mistaEsaustione ( regime estrinseco )

Notiamo che la mobilità dipende

dal campo magnetico applicato,

perciò la temperatura ove RH = 0

aumentando quando B aumenta.





All’equilibrio termico: p = Nve(Ev-Ef)/KT ; n = NCe

(Ef-Ec)/KT vale la legge di azione di

massa: pn = ni2 = NvNCe

-Eg/KT . Se non siamo all’equilibrio termico si ha: pn ≠ni2 ;

si instaurano processi che tendono a riportare il sistema all’equilibrio. In questi

processi prevale la ricombinazione e-h quando pn > ni2 , la generazione termica

quando pn < ni2.

Processi di generazione – ricombinazione nei semiconduttori

Processo per cui i due portatori carichi si annichilano a vicenda: l’elettrone va a

occupare lo stato vuoto associato con la lacuna. Durante tale processo viene

rilasciata un’energia pari alla differenza di energia tra stato iniziale e stato finale

dell’elettrone.

- Ricombinazione radiativa: energia emessa in forma di fotone;

- Ricombinazione non-radiativa: energia rilasciata in forma di uno o più fononi;

- Ricombinazione Auger: energia rilasciata come energia cinetica di un altro

elettrone/lacuna.

Processi di ricombinazione e-h

- Ricombinazione Shockley-Read-Hall

(SRH): il processo è mediato da un livello

intermedio nel gap dovuto ad un difetto

reticolare. Esso cattura l’elettrone dalla

banda di conduzione, successivamente

l’elettrone nella trappola si ricombina con

una lacuna in banda di valenza. Processo

di ricombinazione prevalente nei

semiconduttori a gap indiretto.

e

ec

ev

Banda-banda Trap-

assisted

(SRH)

- Ricombinazione banda-banda: un elettrone in banda di conduzione si

ricombina direttamente con una lacuna in banda di valenza. Ricombinazione

prevalente, generalmente anche radiativa, nei semiconduttori a gap diretto.



Questo meccanismo di ricombinazione dipende dalla concentrazione di

elettroni e lacune libere, perciò, il tasso di ricombinazione banda-banda

deve essere proporzionale al prodotto pn:

Re = Rec pn.

Con Rec = coefficiente di ricombinazione All’equilibrio termico il tasso di

ricombinazione deve essere uguale al tasso di generazione termica Gthpoichè np = ni

2 possiamo scrivere Gth = Recni2. In condizioni di non

equilibrio il tasso netto di ricombinazione U è proporzionale a pn-ni2 :

U = Rec ( pn – ni2) ,

Ricombinazione Banda-Banda

e ec

ev

Banda-banda

In condizioni di bassa iniezione, quando

l’eccesso di portatori Dp = Dn è molto minore

dei portatori maggioritari, in un semiconduttore

tipo n abbiamo: pn = p0+Dp e nn ≈ ND quindi:

.p

Dec

ppNRU

DD

Con p = vita media dei portatori minoritari: .1

Dec

pNR



Ricombinazione Auger

La ricombinazione Auger è un processo in cui un elettrone ed una

lacuna ricombinano in una transizione banda-banda, ma l’energia

risultante viene data ad un altro portatore, elettrone o lacuna.

e

ec

ev

Auger

Il coinvolgimento di una terza

particella cambia il tasso di

ricombinazione, per questo il

processo viene trattato

differentemente dalla

ricombinazione banda-banda.





La ricombinazione Auger coinvolge tre particelle: un elettrone ed una lacuna

che ricombinano in una transizione banda-banda ed un elettrone o lacuna

che assorbe l’energia rilasciata. L’espressione del rate di ricombinazione è

perciò simile a quello della ricombinazione banda-banda ma include anche le

densità degli elettroni e delle lacune che ricevono l’energia rilasciata dalla

annichilazione elettrone-lacuna.

I difetti reticolari sono caratterizzati da livelli energetici posti all’interno del gap

proibito. Essi scambiano elettroni e lacune con le bande di conduzione e valenza. Il

tasso con cui avvengono questi processi è descritto mediante i coefficienti di

cattura cn,cp ed emissione en,ep rispettivamente per elettroni/lacune.

Parametri rilevanti di un difetto: livello energetico di energia Et, sezione d’urto per la

cattura di un elettrone/lacuna sn,sp (esprime la probabilità intrinseca che il difetto

catturi un portatore), la concentrazione del difetto nel materiale, Nt .

Ricombinazione assistita da difetti



ev

ec

ep cp ev

eccnensn,Nt,Etsp,Nt,Et

Nel determinare i coefficienti bisogna tener conto che gli elettroni sono emessi

(le lacune catturate) dai livelli energetici occupati con elettroni (nt), mentre

elettroni sono catturati (le lacune emesse) dai livelli vuoti (Nt-nt).

Nt = concentrazione totale di livelli energetici; nt = concentrazione di livelli occupati,

n = concentrazione di elettroni liberi; p = concentrazione di lacune libere;

vn = velocità termica media elettronica; vp = velocità termica media della lacuna

sn = sezione d’urto per la cattura di un elettrone;sp = sezione d’urto per la cattura di una lacuna;

Il difetto non occupato viene esposto ad un flusso di elettroni liberi per unità d’area

dato da: nvn, il numero di elettroni catturati dagli stati vuoti nell’intervallo Dt è:

Dnt = sn vn n (Nt-nt) Dt.

Definiamo coefficiente di cattura cn:

Analogamente per le lacune:

nvcnNt

nnnn

tt

sD

D 1

pvc ppp s

ev

ec

cp

cnEt

Coefficienti di cattura



L’occupazione del livello nt/Nt è determinato dalla competizione tra processi

di cattura ed emissione.La relazione che descrive il tasso di occupazione del livello è:

All’equilibrio termico i processi di emissione e cattura devono bilanciarsi sia per gli

elettroni che per le lacune:

quindi l’occupazione delle trappole è determinata dai rapporti:

tpttp

ttntn

ncnNe

nNcne

tpnttpnt ncenNecdt

dn

pp

p

nn

n

t

t

ec

e

ec

c

N

n

Ev

Eccn

en

Et

Equilibrio termico: bilancio tra cattura ed emissione

Ev

Ec

ep cp

Et



All’equilibrio termico l’occupazione del livello è determinata dalla

distribuzione di Fermi-Dirac. Per uno stato profondo ( per semplicità

assumo non si abbia degenerazione):

Da cui: ; . Dato che valgono:

otteniamo:

KT

Ece

KT

Ece

tFpp

Ftnn

e

e

exp

exp

1

exp1

KT

E

N

n Ft

t

t e

KTNp

KTNn

FVv

CFc

ee

ee

exp

exp

KT

ENve

KT

ENve

Vtvppp

tCcnnn

es

es

exp

exp

Equilibrio termico: coefficienti di emissione

TK

nB

tc

eTTe

ee

2)(Quindi i coefficienti di emissione dipendono dalla

temperatura con andamento:



1

1

pve

nve

pvc

nvc

ppp

nnn

ppp

nnn

s

s

s

sAbbiamo visto che: dove:

KT

ENp

KT

ENn

KT

EENp

KT

EENn

tVv

Ctc

FVv

CFc

e

e

exp

exp

exp

exp

1

1

Cinetica dei centri di ricombinazione - Modello di Schockley Read Hall

t

tne

t

ttnc

N

neR

N

nNcR

t

t

t

ttnnecn

N

nn

N

nNnvRRR 1s

Definiamo Rn tasso netto di scambio di elettroni tra banda di conduzione e centro di

ricombinazione come tasso netto differenza tra tassi di cattura ed emissione:

Analogamente per lo scambio di lacune con la banda di valenza:

t

tt

t

tppp

N

nNp

N

npvR 1s



Riscriviamo: utilizzando:

Per la ricombinazione delle coppie elettrone-lacuna deve valere: Rn = Rp

t

tt

t

tpp

t

t

t

ttnn

N

nNp

N

npv

N

nn

N

nNnv 11 ss

11

1

ppvnnv

pvnv

N

n

ppnn

ppnn

t

t

ss

ss

Da cui possiamo ricavare la frazione di trappole occupate:

Utilizzando questa relazione, che dà la frazione di centri occupati da elettroni,

possiamo ora calcolare il rate di ricombinazione R = Rn (= Rp )

11

2

11ppvnnv

nnpvv

N

nn

N

nnvR

ppnn

ipnpn

t

t

t

tnn

ss

sss



KT

EE

vppKT

EE

cnn

ipnpn

tvct

eNpveNnv

nnpvvR

ss

ss 2

definendo U = R.Nt , ponendo vn = vp = vth :



KT

E

VpKT

E

cn

itthpn

tvct

eNpeNn

nnpNvU

ee

ss

ss 2

Conviene riscrivere la relazione utilizzando la concentrazione intrinseca di

portatori ni e l’energia intrinseca ei:

V

CVCi

N

NKTln

22

eee

Riscriviamo n1 e p1 in termini di ni ed ei:

KTE

V

C

KTVC

KT

E

C

i

CVCt

CV

Ct

eN

N

eNN

eN

n

n1

22

2

1

eee

ee

e

quindi, definendo:

V

CVCi

N

NKTln

22

eee

otteniamo : e quindi:

i

itn

nKTE 1lne

.

KT

E

i

it

enn

e

1

Analogamente per le lacune: KT

E

i

ti

enp

e

1





Osserviamo che U viene massimizzato per Et = ei, cioè solo le trappole vicino a

metà gap risultano degli efficienti centri di generazione/ ricombinazione.

Considerando solo tali difetti l’espressione si riduce a:

ipin

itthpn

npnn

nnpNvU

ss

ss 2

Per bassa iniezione in semiconduttori di tipo n il tasso di ricombinazione netto

diviene:

n

nppnNvU

n

itthpn

s

ss 20 D

p

tthp

ppNv

s

DD

tthp

pNvs

1

con p = vita media del portatore minoritario

in presenza di difetti con concentrazione Nt .

Nel caso sn ≈ sp possiamo anche riscrivere l’espressione di U come:

KT

ECoshnpn

nnpNvU

iti

itth

e

s

2

2

Ricombinazione superficiale

In superficie o alle interfacce abbiamo un grande numero di centri di

ricombinazione a causa della brusca interruzione del cristallo, che comporta

la presenza di molti centri elettricamente attivi. Sono presenti anche

impurezze dovute all’esposizione del semiconduttore all’atmosfera e agli

agenti esterni. Il tasso di ricombinazione netta dovuta a trappole è la stessa

che nel modello SRH :

Con la differenza che la ricombinazione è dovuta ad una densità bidimensionale

di trappole Nst, dato che esse sono presenti solo in superficie.

Per bassa iniezione anche questa espressione può essere semplificata, ad

esempio per elettroni in tipo p abbiamo p >> n and p >> ni , così che se Est ≈ ei :

dove vs, velocità di ricombinazione superficiale, data da:

KT

ECoshnpn

nnpNvU

isti

istthss

e

s

2

2

nvnnNvU spstthss D 0s





Quando le concentrazioni di portatori sono tali che pn < ni2 il

meccanismo di generazione prevale su quello di ricombinazione. Si può

definire un tempo medio di generazione g tale che:

gi

ipin

itthpn n

npnn

nNvU

ss

ss

/1/1

n

i

p

itthn

i

tthp

ig

n

p

n

n

Nv

np

Nv

nn

ss

11

/1/1

Il tempo medio di generazione dipende dalle concentrazioni di elettroni

e lacune ed ha un valore minimo circa doppio rispetto alla vita media di

ricombinazione.

Generazione assistita da trappole

Prof. Mara Bruzzi – Lezione n. 12 - Fisica dello Stato Solido

Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.10-11

Se facciamo incidere su un materiale luce monocromatica in generale parte

dell’onda verrà riflessa, parte trasmessa e parte assorbita.

Proprietà ottiche

Siano Ei , Er , Et rispettivamente campo

elettrico per onda incidente, riflessa e

trasmessa all’interfaccia.

Riflettanza trasmittanza

R= 𝐸0𝑟

𝐸0𝑖T=

𝐸0𝑡

𝐸0𝑖

𝑅(%) + 𝑇(%) + 𝐴(%) = 100%

A → attenuazione dovuto ad assorbimento nel mezzo



Interazione della radiazione e.m. con la materia

𝐸 = 𝐸0𝑒𝑖 𝑞∙𝑟−𝜔𝑡

𝛻2𝐸 =𝜀𝜇

𝑐2𝛿2𝐸

𝛿𝑡2+

4𝜋𝜎𝜇

𝑐2𝛿𝐸

𝛿𝑡

s conduttività ottica ( transizioni elettroniche da assorbimento di fotoni )

Sostituendo in:

Otteniamo la relazione:

definiamo indice di rifrazione complesso 𝑛 :

con n = indice di rifrazione; k = coefficiente di estinzione:

𝑞2 = 𝜇𝜔2

𝑐2𝜀 + 𝑖

4𝜋𝜎

𝜔

𝑞 = 𝑛𝜔

𝑐=

𝜔

𝑐𝑛 + 𝑖𝑘

Considero l’onda e.m.

𝐸 = 𝐸0𝑒−

𝜔𝑐 𝑘∙𝑟𝑒

𝑖𝜔𝑐 𝑛∙𝑟−𝜔𝑡



Il termine 𝑒−𝜔

𝑐𝑘∙𝑟

descrive l’attenuazione dell’ampiezza dell’onda con la

distanza percorsa nel mezzo.

Il coefficiente di assorbimento che descrive la diminuzione frazionale di

intensità con la distanza è: con I intensità dell’onda.

𝛼 = −1

𝑑

𝑑𝐼

𝑑𝑟

d spessore del film. Poiché l’intensità è proporzionale al quadrato

dell’ampiezza dell’onda si ottiene:𝛼 =

2𝜔𝑘

𝑐=

4𝜋𝑘

Il termine 𝑒𝑖

𝜔

𝑐𝑛∙𝑟−𝜔𝑡

descrive l’onda che viaggia nel mezzo con velocità di

fase c/n.

𝐸 = 𝐸0𝑒−

𝜔𝑐 𝑘∙𝑟𝑒

𝑖𝜔𝑐 𝑛∙𝑟−𝜔𝑡

Le espressioni:

Si possono utilizzare per scrivere e e s in termini di n e k:

Definiamo la funzione dielettrica complessa:

con e1 = e definita precedentemente come costante dielettrica relativa del

materiale, abbiamo:

;



𝑞2 = 𝜇𝜔2

𝑐2𝜀 + 𝑖

4𝜋𝜎

𝜔𝑞 =

𝜔

𝑐𝑛 + 𝑖𝑘

𝜀 =𝑛2 − 𝑘2

𝜇

4𝜋𝜎

𝜔=

2𝑛𝑘

𝜇

𝜀 = 𝜀1 + 𝑖𝜀2 = 𝑛2

𝜇

𝜀1 =𝑛2 − 𝑘2

𝜇𝜀2 =

4𝜋𝜎

𝜔=

2𝑛𝑘

𝜇

Per materiali non magnetici n e k possono essere scritti mediante e1, e2 :

𝑛 =1

2𝜀1

2 + 𝜀22 + 𝜀1 𝑘 =

1

2𝜀1

2 + 𝜀22 − 𝜀1

Utilizzando l’indice di rifrazione complesso 𝑛 :

E𝑖 + 𝐸𝑟 = 𝐸𝑡𝐻𝑖 − 𝐻𝑟 = 𝐻𝑡

con Ei , Hi, Er Hr, Et Ht, rispettivamente campo elettrico

e magnetico per onda incidente, riflessa e trasmessa

all’interfaccia e tenendo conto che H è perpendicolare

ad E ed ExH è nel verso di propagazione dell’onda.

Otteniamo 𝐸𝑖 + 𝐸𝑟 = 𝐸𝑡 e 𝐸𝑖 − 𝐸𝑟 = 𝑛𝐸𝑡

Avendo posto = 1. La frazione di onda riflessa è:

La riflettanza è definita come :

𝑟 =𝐸𝑟𝐸𝑖

=1 − 𝑛

1 + 𝑛

𝐻 = 𝑛

𝜇𝐸

𝑅 = 𝑟∗𝑟 =1 − 𝑛

1 + 𝑛

2

=1 − 𝑛 2 + 𝑘2

1 + 𝑛 2 + 𝑘2

La riflettanza per luce incidente a incidenza

normale può essere ottenuta utilizzando le

condizioni al contorno per E ed H

all’interfaccia:

Riflettanza



Modello di Lorentz - isolanti e semiconduttori. L’elettrone legato al nucleo è

visto come una piccola massa legata ad una massa molto più grande per

mezzo di una molla.

Dipendenza della frequenza di e1, e2 n,k dall’energia del fotone incidente.

e1 = 0

e1 ~ er

Riconosciamo varie regioni ( I, II, III, IV ) dove dominano trasmissione (T),

assorbimento (A) riflessione (R).



Dipendenza spettrale della riflettività calcolata dai valori di n e k del grafico

mostrato nella slide precedente.



Semiconduttore reale: riflettività e funzioni dielettriche

In Si il gap è nell’infrarosso e la regione di alta

riflettività è nel visibile, per questo il materiale ha

apparenza metallica. In KCl, La regione di bassa

riflettività si estende fino a 7eV, il materiale si

presenta quindi trasparente nel visibile.

SiKCl



Coefficiente di assorbimento

Quando la radiazione e.m. passa attraverso il semiconduttore, si ha

assorbimento della radiazione. L’intensità della radiazione, diminuisce con la

distanza percorsa nel semiconduttore con legge:

)()(

xIdx

xdI

Risolvendo tenendo conto di R,

riflettenza all’interfaccia del

semiconduttore a incidenza normale,

si ottiene:

x

o eRIxI )1()(

Io intensità all’esterno del

semiconduttore.

= 104 cm-1 → il 63% della radiazione è assorbito da 1m di semiconduttore.



Dall’andamento dell’orlo del coefficiente di assorbimento è possibile valutare

il gap del materiale

Vicino all’orlo di assorbimento, il coefficiente di assorbimento può essere espresso

come:

gEh

pg EEh

= 2 o 3 (transizioni permesse o proibite)

Per le transizioni indirette (c) sono coinvolti fononi (con

energia Ep) per la conservazione del momento, sia

assorbiti che emessi. Il coefficiente di assorbimento è :

= 1/2 (transizioni dirette permesse ( a,b ) in figura).(*)



Esempio: trasmissione ottica da film sottile di In2O3 ( 200nm ) e

determinazione del valore del bandgap dall’andamento dell’orlo di

assorbimento, pari a 3.75eV.

da M. Bruzzi et al., Gas sensing properties of In2O3 nano-films obtained by Pulsed Plasma Deposition

technique, presentato a nanfim Agosto 2016.

Tasso di generazione di coppie e – h per assorbimento di fotoni

e corrente fotoconduttiva

ec

ev

egh

-Il fotone deve avere energia maggiore del gap del semiconduttore: Eph > Eg ;

- L’energia in eccesso Eph – Eg viene rilasciata in forma di energia cinetica

della coppia elettrone-lacuna foto generati.



La generazione di

coppie è regolata da:

h

IG

opt

he

= coefficiente di assorbimento (cm-1 )

La vita media dei portatori minoritari può essere valutata utilizzando l’effetto

fotoconduttivo. Illuminiamo con fotoni il semiconduttore, si generano

elettroni e lacune in eccesso Dn = Dp, in condizioni stazionarie: Dn = Ge / .

Se al materiale è applicato un campo elettrico la corrente fotoconduttiva

dovuta all’eccesso di portatori è :

EGqnEqJ epnpnPC

D



Se aumentiamo localmente la concentrazione dei portatori per iniezione in

un punto del materiale si verificherà un processo di diffusione dei portatori

in eccesso attraverso il materiale. La corrente di diffusione è

proporzionale al gradiente di concentrazione, seguendo la legge di Fick

abbiamo, per gli elettroni e per le lacune:

Corrente di diffusione

),(),( trneDtrJ nn

),(),( trpeDtrJ pp

Avendo posto e = valore assoluto della carica elettronica. Notiamo che le

correnti di diffusione di elettroni e lacune viaggiano in senso opposto per

stesso segno del gradiente :

x

n

0dx

dn nv

nJ

x

p

0dx

dp pv

pJ



Processi di diffusione

Innanzitutto quando descriviamo i fenomeni di diffusione dobbiamo ricordare

che vale l’equazione di continuità che esprime la conservazione della materia.

Sia la concentrazione della quantità che diffonde (una densità volumetrica,

e.g. numero di molecole/massa/carica per unità di volume) mentre J è la

corrente o flusso della grandezza fisica che diffonde:

0

J

t

),(),( trDtrJ

La relazione empirica che si verifica tra J e

è la seguente (legge di Fick):

con segno - a indicare che la corrente J fluisce da una regione dove è

grande verso una regione in cui è minore. D è detta costante di

diffusione, con dimensione [L2/t]=m2/s. Unendo le due equazioni

otteniamo l’equazione di diffusione:

che deve essere valutata

tenendo conto delle condizioni

al contorno.

),(2 trDt

Correnti di deriva e diffusioneIn presenza di un campo elettrico E e di gradiente di concentrazione

avremo sia corrente di deriva che corrente di diffusione:

),(),( trneDEnetrJ nnn

),(),( trpeDEpetrJ ppp

Con: VE

e

KTD nn

e

KTD pp

L’espressione dei coefficienti di

diffusione per un semiconduttore non

degenere è data dalle relazioni di

Einstein:

Esempio: a 300K il valore di KT/e è pari a 25.9mV. Per una

mobilità di 1000cm2/Vs abbiamo: D = 25.9cm2/s.





KT

EEE

V

C

KTVC

KTC

i

CVCF

CV

CF

eN

N

eNN

eN

n

n1

22

2

e

ee

ee

quindi, utilizzando :

V

CVCi

N

NKTln

22

eee

otteniamo : cioè:

i

iFn

nKT lnee KT

i

iF

enn

ee

Analogamente per le lacune:KT

i

Fi

enp

ee

Possiamo riscrivere n in funzione dell’energia intrinseca ei già vista,

posta circa a metà del gap proibito. Infatti:



x

xp xn

ec

ev

e

ei

xxp xn

VNoto che se abbiamo campo elettrico nel materiale vale

, il potenziale V avrà un certo andamento lungo lo spessore del materiale, che dipenderà dalla

distribuzione di carica fissa. Per esempio in una

giunzione brusca pn V(x) ha l’andamento di figura.

Tale andamento provoca una curvatura del minimo

della banda di conduzione, del massimo della

banda di valenza e dell’energia intrinseca ei in modo

che ec(x) =-eV(x) . Quindi ei segue l’andamento

del potenziale lungo il dispositivo e vale:

dx

d

edx

dV ie1

dx

d

edx

dVE i

e1

allora si ha:

VE

dx

dnKTEneJ nnn Valutiamo ora le: ;

nel caso di equilibrio (Jn = 0, Jp = 0 ) allo scopo di capire l’andamento di eF in

funzione dello spessore.

dx

dpKTEpeJ ppp

Utilizzando: otteniamo:

dx

d

dx

d

KT

n

KTdx

d

dx

den

dx

dn iFiFKTi

iF eeeeee

1

Utilizzando la relazione: dx

d

eE i

e1 abbiamo:

Allora, la:

dx

d

dx

d

eEneJ iFnn

ee

1

Perciò: 0nJ eF = costante

dx

dnJ Fnn

e

Esempio: giunzione pn in equilibrio

termico, il livello di Fermi è costante

lungo x su tutto il dispositivo.

x

xp xn

ec

ev

eFei

KTi

iF

enn

ee



Schema delle bande tra metallo e

semiconduttore (barriera Schottky e

contatto ohmico)

Altri EsempiSchema delle bande in transistors

npn e pnp all’equilibrio



Nel caso il semiconduttore non sia in condizioni di equilibrio si

introduce il concetto di energia di quasi-fermi (imref)

denominata eFn eFp nel caso rispettivamente di elettroni /

lacune. Le relazioni già viste all’equilibrio per la concentrazine

dei portatori liberi divengono:

KTi

iFn

enn

ee

KTi

Fpi

enp

ee

KTi

FpFn

enpn

ee

2

KTi

iF

enn

ee

KTi

Fi

enp

ee

2

inpn

EQUILIBRIO NON-EQUILIBRIO



L’interpretazione fisica delle energie di quasi-fermi può essere chiarita

riscrivendo le espressioni della densità di corrente in caso di non

equilibrio:

Ricordando che:

otteniamo: , analogamente per le lacune:

La densità di corrente di elettroni / lacune è quindi proporzionale al

gradiente del livello di quasi Fermi corrispondente. Tale gradiente

rappresenta l’insieme dei due contributi dovuti al campo elettrico ed al

gradiente della concentrazione di portatori.

dx

dnJ Fnnn

e

dx

dpJ

Fp

pp

e

dx

d

dx

d

eEneJ iFnnn

ee

1

dx

d

eE i

e1





Nella regione di svuotamento eFn and eFp sono

praticamente costanti (le concentrazioni di

portatori sono piuttosto alte, ma in tale

regione la corrente è costante → i gradienti

dei livelli di quasi-Fermi devono essere

piccoli. Ne segue che dentro la regione

svuotata vale:

qV = eFn-eFP

Da cui posso determinare le condizioni

al contorno ai bordi della regione

svuotata (bassa iniezione):

KT

qV

PKT

qV

iDPp ene

p

nWn 0

2

)(

KT

qV

nKT

qV

iDnn epe

n

nWp 0

2

)(

Tensione applicata diretta V

2

inpn

p n

+ -

nec

ev

eFp

p

eFn

Tensione applicata inversa V

2

inpn

p n

- +

n

p

eFn

ev

eFp

eC

0 FpFn ee

0 FpFn ee

Esempio: giunzione pn



equilibrio (a) durante eccitazione ottica (b)

Altro esempio: livelli di quasi Fermi in semiconduttore di tipo n a cui non

è applicata tensione (bande piatte) in condizioni di buio (equilibrio) e

sotto illuminazione.

22

iKT

i nenpnFpFn

ee

0 FpFn eeFpFn ee

22

iKT

i nenpnFpFn

ee



Esempi di livelli di quasi fermi in eterostrutture



Equazione di continuità in presenza di generazione/ricombinazione

La cinetica dei portatori nel tempo e nello spazio viene descritta dall’equazione

di continuità, che deve tenere in considerazione anche dei tassi di

generazione e ricombinazione:

n

n

Je

nG

t

n

D

D 1

Siano ad esempio :

( dopo eccitazione ottica spengo la sorgente, la densità di carica è

trascurabile, la generazione termica è trascurabile). L’equazione diviene:

.0;0;0

DGE

t

n

nnD

nn

DD2

Definisco lunghezza di diffusione per gli elettroni: nnn DL

Otteniamo: nL

x

ennxnn

DD 00)(Dn0

x

Dn(x)

Esempio: per Dn = 25.9cm2/s e n = 100s

→ Ln = 0.5mm.

nnn Je

UGt

n

1

Se Dn è l’eccesso di portatori iniettiati, a

bassa iniezione:



http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_9.htmhttp://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_9.htm



In realtà anche l’eccesso di carica Dn contribuisce alla formazione del campo

elettrico, attraverso l’equazione di Poisson. Se generazione e ricombinazione

sono trascurabili l’equazione si scrive:

→ s = conducibilità elettrica

Vale l’equazione e quindi:

con soluzione , = tempo di rilassamento dielettrico

che rappresenta la costante di tempo caratteristica per il ritorno alla neutralità di

carica della carica nel semiconduttore. Possiamo definire una lunghezza

caratteristica di diffusione che chiamiamo lunghezza di Debye:

che rappresenta la distanza di decadimento della carica in eccesso.

r

neE

ee0

D

0

DE

et

n s

r

n

t

n

ee

s

0

D

D

dtetn/

)(

Ds

ee rd

0

DnD DL

01

DnJ

et

n

Tempo di rilassamento dielettrico e lunghezza di Debye



All’equilibrio termico le profondità della regione svuotata in caso di

giunzioni brusche sono di circa 8LD per il Si 10LD per il GaAs.

Essendo D inversamente proporzionale alla conducibilità elettrica , nel

regime estrinseco LD varia con la concentrazione di drogaggio con

andamento √ND, e.g. T =300K per una densità di drogaggio di 1016cm-3

la lunghezza di Debye è 40nm.

Vale l’equazione di continuità: nnn Jq

UGt

n

1

Considerando che idealmente G, tasso di generazione, è nullo, in condizioni di non

equilibrio stazionario, in caso monodimensionale diviene:

02

2

dx

ndD

dx

dEn

dx

dnEU nnnn

nn

Abbiamo usato: Un = Up = U rate di ricombinazione netto, dato che per la

neutralità della carica: nn- nn0 ~ pn – pn0 (bassa iniezione). Moltiplicando

l’equazione per gli elettroni per ppn e quella per le lacune per nnn si ottiene:

02

2

dx

pdD

dx

dEp

dx

dpEU npnp

np Analogamente per i portatori minoritari :

02

2

0

dx

pdD

dx

dpE

pn

pnpp nn

n

n

p

n

nnnn

Esempio di utilizzo dell’equazione di continuità per il calcolo della corrente nel

dispositivo. Torniamo alla giunzione pn

Equazione di Schockley





Le equazioni per la densità di corrente già viste riguardano le condizioni

stazionarie. In generale i fenomeni dipendenti dal tempo sono descritti

dalle equazioni di continuità. Qualitativamente, la variazione netta della

concentrazione di portatori per unità di tempo è data dalla differenza tra

generazione e ricombinazione più il flusso netto di corrente che entra ed

esce dalla regione di interesse.

Nel caso unidimensionale e di bassa iniezione si riscrivono

per i portatori minoritari (elettroni in tipo p e lacune in tipo n):

nnn Jq

UGt

n

1

ppp Jq

UGt

p

1

2

2

0

x

nD

x

nE

x

En

nnG

t

n pn

p

nnp

n

pp

n

p

2

2

0

x

pD

x

pE

x

Ep

ppG

t

p np

nppn

p

nnp

n



Esempio:

Decadimento di un eccesso di portatori con il tempo

Semiconduttore tipo n, illuminato con rate uniforme Gp, spessore del campione

molto più piccolo di 1/. Valgono: E = 0, dE/dx=0 dpn/dx=0

In condizioni stazionarie dpn/dt = 0 e quindi

pn – pn0 =pGp = costante . Se spegniamo

la sorgente al tempo t = 0 abbiamo

con condizione

al contorno pn(t=0) = pn0 +pGp, pn(∞)=pn0 con soluzione: pn(t)=pn0+pGpexp(-t/p)

p

nnp

n ppGt

p

0

p

nnn pp

t

p

0



Decadimento dei portatori in eccesso con la distanza

Poniamo di iniettare da un lato portatori in eccesso, per esempio illuminando

con luce di energia maggiore del gap. Per esempio il coefficiente di

assorbimento sia 106cm-1 così che l’intensità del segnale ottico si riduce di e

dopo 10nm. All’interno del semiconduttore quindi G = 0. Allo stato

stazionario c’e un gradiente di concentrazione vicino alla superficie di

iniezione. Per un semiconduttore tipo n abbiamo, senza campo elettrico

applicato:

2

2

00x

pD

pp

t

p nn

p

nnn

pLx

nnnn epppxp

00 )0()(

con condizioni al contorno pn(x=0) =

costante e dipendente dal livello di

iniezione, pn(∞) = 0. La soluzione è:

Nell’assunzione di bassa iniezione: pn



Risoluzione dell’equazione

ppp DL = lunghezza di diffusione dei minoritari ( lacune )Definisco:

Densità di corrente nel punto x = xn:

1exp

0

TK

qV

L

pqD

dx

dpqDJ

B

a

p

np

x

npp

n

Similmente nel lato p in x = -xp:

1exp

0

TK

qV

L

nqD

dx

dnqDJ

B

a

n

pn

x

p

nn

p

1exp

TK

qVJJ

B

as

La corrente totale è data dalla somma: J = Jn + Jp

n

pn

p

np

sL

nqD

L

pqDJ

00

Equazione di Schockley

An

in

Dp

ip

sNL

nqD

NL

nqDJ

22

con:

o anche :



Distribuzione dei

portatori minoritari e

delle densità di corrente

Jn, Jp per tensione

applicata ai capi della

giunzione pn (a) diretta

(b) inversa

(a) (b)



Caso non ideale: tasso di generazione non nullo dovuto a difetti

Nella regione svuotata di una giunzione pn si verifica:

pn

Andamento sperimentale della caratteristica I-V di una giunzione pn di silicio



Fenomeni a campo elettrico

elevato



Dove il secondo termine al secondo membro rappresenta il tasso di perdita di

energia dell’elettrone per scattering anelastico, rispetto al valore di equilibrio eeq (E

tempo di rilassamento per l’energia con definizione analoga a m). Il fenomeno di

rilassamento energetico si intende dovuto ad emissione – assorbimento di fononi

(le impurezze provocano scattering elastico). In regime stazionario :

Energia del portatore dovuta all’applicazione di campo elettrico

E

eqvEe

dt

d

eee

All’equilibrio (campo elettrico nullo) i portatori scambiano fononi con il reticolo: li

assorbono ed emettono in modo che il rate di scambio netto sia nullo, hanno

perciò stessa T del reticolo. Sia eeq l’energia del portatore all’equilibrio. In

presenza di campo elettrico ai portatori viene fornita la potenza: P = |F·v|=e E· v.

Il rate di variazione dell’energia del portatore e, nel tempo è dato da:

0dt

de

e l’energia dell’elettrone diviene :

aumenta quindi per effetto del campo elettrico ed è superiore al valore di

equilibrio.

Eeq eEvee



In pratica, si preferisce utilizzare , al posto delle energie, valori di temperatura a loro correlati.

La temperatura che associamo all’energia media del portatore è data dalla legge:

Utilizzando le temperature invece delle energie in condizioni stazionarie

abbiamo:

dove abbiamo usato: v = E.

23 e

KTe

Elettroni caldi

E

eB

TTKeE

2

32

All’equilibrio termico Te = T temperatura del

reticolo, T. Se Te è solo un po’ più grande di T il

trasporto elettronico segue ancora la legge di Ohm

e diciamo che gli elettroni sono tiepidi ( warm

electrons). Se invece Te >> T gli elettroni sono

lontani dall’essere in equilibrio con il reticolo : essi

si dicono caldi (hot electrons). La descrizione

completa del caso di gas elettronico di non

equilibrio si ottiene derivando la funzione di

distribuzione elettronica dall’equazione di trasporto

di Boltzmann. Tale trattazione è al di là degli scopi

di questo corso.

Rappresentazione schematica del

bilancio di energia dei portatori



Saturazione della velocità di deriva nei semiconduttori

Uno degli effetti più noti degli elettroni caldi è la saturazione della velocità di deriva.

Se a campi elettrici bassi vale la relazione v = 0 E con 0 mobilità definita nei paragrafi

precedenti, per campi elettrici elevati si osserva una sublinearità e quindi una

saturazione della velocità di deriva, il che significa che la mobilità dipende dal campo

elettrico, con andamento alla E-1 quando E è sufficientemente elevato.

La spiegazione data da Schockley e Ryder nel 1954 sulla saturazione della velocità a

campi elevati è basata sul fatto che i portatori emettano un fonone ottico nel momento in

cui essi raggiungono l’energia corrispondente . Il modello deriva

un’espressione per la velocità di saturazione pari a :0 2/1

0

*3

8

mvs



Streaming dei portatori caldi e saturazione della velocità di deriva

Diamo qui un’analisi qualitativa del fenomeno considerando il caso seguente.

Assumiamo per semplicità che

-scattering elettronico per energie sotto il valore del fonone ottico trascurabile ( cio è

verificato, in semiconduttori poco drogati, per le basse temperature, cioè per kT

Periodo di moto in cui avviene il moto accelerato dal campo ( )

Per trovare una velocità media di deriva mediamo la (1) sul periodo di moto accelerato:

Quindi sia la velocità di deriva che l’energia dell’elettrone risultano perciò non dipendere

dal campo elettrico: in questo regime sono caratterizzati da un valore di saturazione.

In realtà, lo streaming da solo non può spiegare gli effetti di saturazione della velocità,

specialmente alle alte temperature. il fenomeno si realizza se: (1) la temperatura è abbastanzabassa (KT

In generale: quando il campo elettrico aumenta, aumenta anche l’energia media degli

elettroni di conduzione, il che comporta un aumento dei fenomeni di scattering e

quindi una diminuzione della mobilità. Poichè nei semiconduttori più comuni la mobilità

ad elevato campo elettrico risulta inversamente proporzionale al campo elettrico, la velocità

di fatto diventa indipendente dal campo elettrico applicato, cioè satura.

Di solito vengono utilizzate delle espressioni empiriche, tipo:

con vs velocità di saturazione, Es costante

caratterizzante il campo elettrico

necessario per raggiungere la

saturazione, parametro. Esempio Si: vs~ 107 cm/s Es = 10 kV/cm e 20kV/cm

rispettivamente per elettroni e lacune. Le

curve di figura per n-Si a diverse

temperature interpolate su tre regioni:

basso campo (v E) , campo intermedio

(v E1/2), alto campo ( v E0).

)



Gli elettroni caldi, spostandosi lungo la banda di

conduzione, possono venire trasferiti verso minimi

relativi della banda di conduzione caratterizzati da

un’energia più elevata del minimo assoluto. Per i

semiconduttori di tipo III-V elettroni caldi nella valle G

possono essere trasferiti a minimi delle valli laterali X

e/o L.

Conduzione multi-valley nei semiconduttori

La transizione da una valle ad energia più bassa

con massa efficace piccola verso valli a energia

più alta e masse efficaci maggiori porta ad una

regione dove la velocità di deriva e quindi la

densità di corrente elettrica diminuiscono

all’aumentare del campo elettrico applicato →

resistenza differenziale negativa. L’effetto è

utilizzato nei transferred-electron device

(TED), anche chiamati diodi Gunn.

Esempio: lega InyGa1-yAs: velocità massime e resistenze differenziali negative

aumentano all’aumentare della frazione di indio, in quanto la massa efficace nella valle

G diviene più leggera.Mara Bruzzi – Lezione n. 10 - Fisica dei Semiconduttori Laurea


Conduzione Multivalley : Alcuni dati per il GaAs

Valle con minimo assoluto in G: massa efficace

piccola (0.068m) e quindi elevata mobilità ( = 4000-

8000 cm2/Vs).

Valle di più alta massa efficace (1.2m), bassa

mobilità (100cm2/Vs) posizionata vicino al punto L,

circa 0.3eV più in alto. Densità di stati nella valle a

energia più alta circa 70 volte maggiore.

A causa di questo effetto la velocità di saturazione

ha valore di picco 2x107 cm/s.



E’ possibile creare dispositivi che lavorano

alla velocità di overshoot: iniettiamo da un

contatto degli elettroni freddi, che, nel loro

cammino, vengono accelerati dal campo

elettrico fino a raggiungere la massima

velocità. Successivamente essi dovrebbero

diminuire la velocità fino al valore di

saturazione stazionario.

Gli elettroni accelerati nella valle centrale possono raggiungere velocità molto

elevate prima di essere trasferite nelle valli dove la massa efficace è maggiore, una

volta in tali valli gli elettroni raggiungeranno perciò una velocità di saturazione piu’

bassa (effetto di transient overshoot ). La velocità massima raggiunta è detta

velocità di overshoot.

Velocità di overshoot



Se però la lunghezza attiva della regione è scelta in modo da essere

confrontabile con la distanza alla quale si verifica il raggiungimento della velocità

di overshoot, il dispositivo funzionerà con la velocità di overshoot,

significativamente maggiore di quella di saturazione.

Breakdown

Ci sono tre meccanismi alla base del breakdown: l’instabilità termica,

l’effetto tunnel e la moltiplicazione a valanga.

1) breakdown per instabilità termica - a causa della dissipazione termica

dovuta al valore elevato della corrente inversa registrato ad alte tensioni,

la temperatura della giunzione aumenta. A sua volta l’aumento di T porta

ad un aumento della corrente.

La corrente inversa I a temperatura

costante è rappresentata da linee

orizzontali . Le iperboli indicanti la

dissipazione di calore a T costante

(prodotto IV) sono rette nel plot log-

log. La caratteristica I-V ad una certa

temperatura è ottenuta unendo i punti

di intersezione delle due linee per una

stessa T. Vu è detto potenziale di turn-

over. per T elevate a causa della

grande dissipazione abbiamo una

caratteristica con resistenza

differenziale negativa.



2) breakdown per effetto tunnel (Effetto Zener) – Per campi elettrici elevati

(e.g. 106 V/cm in Ge e Si) comincia a fluire una corrente rilevante nel

dispositivo a causa di un processo di tunneling banda-banda

L’effetto è più rilevante

se il semiconduttore è

molto drogato e quindi

la regione svuotata è

molto sottile, il

fenomeno non è

distruttivo.

L’effetto è utilizzato nei dispositivi per

stabilire una tensione di riferimento.



http://it.wikipedia.org/wiki/File:Zenerkarakteristiek.pnghttp://it.wikipedia.org/wiki/File:Zenerkarakteristiek.png

Diodo Zener e coefficiente di temperatura

Per 4Eg/q < VBD < 6Eg/q, il breakdown è dato da una

combinazione dei due meccanismi. Si può allora per

esempio connettere un diodo a coefficiente di

temperatura negativo in serie con un coefficiente di

temperatura positivo per produrre un regolatore

indipendente dalla temperatura ( con un coefficiente di

temperatura dell’ordine di 0.002% per °C), che può

essere utilizzato come riferimento di tensione.

Per tensioni di breakdown VBD maggiori di ≈

6Eg/q (≈ 7 V for Si), il meccanismo di breakdown

dominante è la moltiplicazione a valanga e il

coefficiente di temperatura di VBD è positivo. Per

VBD < 4Eg/q (≈ 5 V for Si), il meccanismo di

breakdown è il tunneling banda-banda e il

coefficiente di temperatura è negativo.



Ionizzazione da impatto

Meccanismo di generazione causato da elettrone/lacuna con energia molto

maggiore /minore dell’orlo della banda di conduzione/valenza. L’energia in eccesso

viene utilizzata per generare una coppia e-h attraverso una transizione banda-

banda.

e

ec

ev

EMoltiplicazione a valanga

Questo processo di generazione causa la

moltiplicazione a valanga nei diodi

semiconduttori contropolarizzati. L’aumento di

energia del portatore dovuto alla presenza di

campo elettrico può essere significativo, in tal

caso l’energia cinetica in eccesso viene

rilasciata ad un elettrone di valenza, dando così

luogo ad una coppia e-h. Con lo stesso

processo i due elettroni risultanti daranno luogo

ad altri due, che a loro volta ne genereranno

quattro, e così via, con un effetto di

moltiplicazione. Al fenomeno di moltiplicazione

a valanga contribuiscono sia gli elettroni che le

lacune.



Quando il campo elettrico aumenta oltre un certo valore I portatori

acquistano abbastanza energia da eccitare coppie e-h.

In Si : EI = 3.6eV per elettroni, 5.0eV per lacune.

eT, eP, eI, soglie per il campo elettrico (thermal,

optical-phonon and ionization scattering.)

= tasso di ionizzazione = n. di e-h generati da un portatore per unità di

lunghezza percorsa

fortemente dipendente dal campo applicato :



Considero Ipo corrente entrante dalla parte sinistra della regione svuotata di

spessore WDm. Se il campo elettrico E nella regione svuotata è abbastanza

elevato vengono generate coppie e-h mediante il processo di ionizzazione da

impatto, la corrente di lacune Ip aumenterà con la distanza attraverso la

regione svuotata raggiungendo il valore MpIpo a x = WDm.

Definisco:

Mp = fattore di moltiplicazione = Ip(WDm)/Ip0

n, p = tassi di ionizzazione per elettrone e lacuna

Valutando Ip (x) a WDm si ottiene:

Moltiplicazione a valanga



Avalanche breakdown voltage VBD = tensione alla quale Mp tende all’infinito

→

Esempio di applicazione: Fotodiodi a effetto valanga (Avalanche

Photodiodes APDs)

In pratica, la massima moltiplicazione possibile in dc sotto illuminazione

è limitata dalle resistenze serie Rs e da effetti di carica spaziale.

I corrente moltiplicata, Ip fotocorrente primaria, VR tensione inversa

applicata, VB tensione di breakdown, n costante dipendente dal

semiconduttore dal profilo di drogaggio e dalla lunghezza d’onda della

radiazione.



Basic device configurations of avalanche photodiode

Pn junction

Metal semiconductor

Avalanche photodiode with doping profile

The narrow and high field region serves for avalanche multiplication.

Excessive leakage current due to high field at junction edges eliminated by

guard ring structures.



Documents

Fisica dello Stato Solido · 2016. 12. 13. · Mara Bruzzi –Lezione n. 10 - Fisica dei Semiconduttori Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.16-17 Fisica dello Stato Solido