Fisica dello Stato Solido - UniFI · h2 i,j = x,y,z k Prof. Mara Bruzzi – Lezione n. 9 - Fisica dello Stato Solido Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.13-14. Sommerfeld

Fisica dello Stato Solido

Lezione n. 9

Prof. Mara Bruzzi – Lezione n. 9 - Fisica dello Stato SolidoLaurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.13-14

1

Proprietà dei materiali semiconduttori Corso di Laurea Magistrale in

Ingegneria Elettronica/ Ingegneria Biomedica

a.a.13-14

Prof. Mara Bruzzi

Torniamo ad analizzare l’elettrone nel cristallo come pacchetto d’onda (vedereappendice 1). La funzione d’onda elettronica è data dallo sviluppo:

La velocità del pacchetto d’onda elettronico sarà la velocità di gruppo:

Elettrone in banda energetica: Velocità

kv g

∂

∂=

ω e ricordando che: ωε h= allora:

εε

kgk

v ∇=∂

∂=

hh

11

∑ ⋅=k

rki

keCr)(ϕ

2

k∂ hh

Considero un elettrone nel cristallo soggetto alla forza esterna F

Utilizzando la legge di Newton l’espressione della forza diviene:

dt

kd

kd

dm

dt

kd

kd

dm

dt

kd

kd

vdm

kd

kd

dt

vdm

dt

vdmamF

ggg h

hh2

2

22

2 εε======


dt

pdmaF ==Poiché deve valere:

Se vogliamo mantenere l’espressione per il momento:

kp h=

Dobbiamo porre: 2

2

21

kd

dm ε

h=

e quindi otteniamo:

=2

2

*d

mε

h

(*)

(legge di Newton)

Elettrone in banda energetica: massa

3

22kdh

2

kd

d ε

chiamo m* = massa efficace dell’elettrone nel cristallo, generalmente

diversa dalla massa dell’elettrone libero, me = 0.911x10-30kg. Utilizzando il

concetto di massa efficace posso scrivere, per l’elettrone nel cristallo:

== amF *dt

kdh


Notiamo che l’espressione del momento dell’elettrone utilizzata nellatrasparenza 7 (*) non è autovalore dell’autofunzione d’onda di Bloch perl’operatore quantistico momento lineare.

La definizione dell’operatore quantistico MOMENTO è infatti: ∇=i

ph

)()( rpri

ϕϕ =∇h

tale che:

Momento lineare e Momento cristallino

4

Per l’onda piana dell’elettrone libero:ikx

k Aex =)(ϕ

( ) )()( xkkAeikAei

Aexi

xxi

ikxikxikx ϕϕ hhhhh

===∂

∂=

∂

∂

Quindi p = ђk è autovalore dell’onda piana per l’operatore momento.


Per l’onda dell’elettrone di Bloch:

( ) ikxkikxkikx

k

ikx

k ex

u

ixke

x

u

ieiku

ieu

xix

xi ∂

∂+=

∂

∂+=

∂

∂=

∂

∂ hh

hhhh)()( ϕϕ

Quindi p = ђk NON è autovalore della funzione di Bloch per l’operatore momento. Per

rki

kk erur⋅= )()(ϕ

5

Quindi p = ђk NON è autovalore della funzione di Bloch per l’operatore momento. Per

questo lo indichiamo con un’altra denominazione, MOMENTO CRISTALLINO appunto,

dato che comunque esso mantiene il significato dinamico di quantità di moto definita

dalla relazione di Newton:

dt

pdF =

dt

kdF

h=


Lacune

Discutiamo ora il legame tra m* e andamento delle funzione ε(k):

ε

=

2

2

2

*

kd

dm

ε

h

Secondo il modello del potenziale periodico debole èpossibile approssimare la banda di energia infunzione di k come una parabola con concavitànegativa o positiva. Nelle regioni in cui questo vale lamassa efficace non risulta dipendere da k e si puòscrivere:

*2

22

m

kh=ε

6

Dalla discussione precedente abbiamo visto comela massa efficace potrebbe essere interpretatacome coefficiente di proporzionalità tra forzaapplicata ed accelerazione : F = m* a .

ka

π−

a

πa

π−

a

πPoiché però m* è legata alla concavità della curvaε(k) essa in questa definizione può essere sianegativa che positiva.

*2m


Quindi in questa descrizione ho un elettrone, particella di carica q = – e cherisponde alla sollecitazione del campo applicato:

F = q ( E + vxB) = m* a

con massa negativa m* ! Interpreto questo risultatoconsiderando che l’effetto dinamico è lo stesso chese avessi una carica positiva q = +e con massapositiva m = - m* > 0 . Chiamo questa ‘particella’

ε

εv

Lacune in banda di valenza

7

k

a

π

positiva m = - m* > 0 . Chiamo questa ‘particella’LACUNA. Le lacune coincidono in realtà con glistati elettronici vacanti in una banda. Neisemiconduttori si tratta tipicamente della banda divalenza, all’equilibrio le lacune si posizionano inprossimità dell’ orlo di massima energia dellabanda.

εv


Elettroni e lacune pesanti o leggere

Bande ‘strette’ presentano masse efficaci piccole (light) bande più larghe masseefficaci grandi (heavy).

ε

εc

light

heavy

8

Osserviamo inoltre che la massa efficace in generale è anisotropa:

ji

ij

kk

m

∂∂

∂=

ε2

2h

i,j = x,y,z

kεc


Sommerfeld Bloch

Numeri quantici

valori dei n. quantici

Energia

Funzione d’onda

k n, k

N

m

ak

π2=

n = set infinito di interi positivik = tutti i valori permessi dalla (1) entro la I zona di Brillouin

(1)

rki

k eV

r⋅=

1)(ϕ

rki

kk erur⋅= )()(ϕ

)()( Rruru kk +=

con R vettore di reticolo cristallino

k22

h=ε ε (k)= ε (k+G)

con G vettore di reticolo cristallino

Tabella Riassuntiva

9

Energia

Velocità

massa

momento

m2=ε εn(k)= εn(k+G) reticolo cristallino

m

kv

h=

k

kv n

g∂

∂=

)(1 ε

h

me = 0.911 10-30 kg

=

2

2

2

kd

dm

ε

h

khmomento elettronico momento cristallino

kh


ε

Osservazioni sui meccanismi di conduzione nel metallo

All’equilibrio, con campo applicato nullo E = 0

Gli elettroni occupano gli stati più bassi

della I zona di Brilluoin in modo

10

ka

π−

a

π

εF

simmetrico. Non si ha corrente netta

perché le onde piane progressive (k > 0)

e regressive (k < 0) danno contributo

uguale e opposto alla corrente.


ε

Applico E ≠ 0

Gli elettroni aumentano k in direzione diF. Ne risulta una distribuzioneasimmetrica degli elettroni nella banda.

Si ha forza :dt

kdEeF h=−=

FE

11

ka

π−

a

π

asimmetrica degli elettroni nella banda.C’è corrente elettrica poiché si hannopiù elettroni che si muovono in unadirezione che in quella opposta.

E

0


k

ε

a

π−

a

π

v

kv

∂

∂=

ε

h

1Poiché:

Derivando la funzione ε(k) otteniamo

A bordo zona la velocità dell’elettrone è nulla. Questo è dovuto alla riflessione di Bragg ( scattering a bordo zona). L’elettrone subisce riflessione passando

v

12

ka

π−

a

π

L’elettrone subisce riflessione passando da k = π/a a k = -π/a e quindi procedendo per k crescente

k

ε

a

π−

a

π


L’elettrone rimane perciò nella stessa banda fino a che non interviene unaltro fenomeno che fornendo sufficiente energia gli fa superare il gapproibito.

k

ε

π π

Umklapp ( turn down )

13

ka

π−

a

π


Bande di energia in tre dimensioni nello spazio k

Raffiguriamo le bande di energia nel caso reale in cui k = (kx,ky,kz). Per tracciare il

grafico di εn(k) è necessario scegliere un cammino significativo nello spazio k.

Scegliamo alcuni punti particolari.

centro della I zona di Brilluoin

bordo della I zona di Brilluoin lungola diagonale di corpo [111]

bordo della I zona di Brilluoin)1;0;0(2

Xπ

=

)2

1;

2

1;

2

1(

2

aL

π=

Γ = (0;0;0)

14

bordo della I zona di Brilluoinlungo lato kz [001]

)1;0;0(2

aX

π=

Percorso L Γ X

I zona di Brilluoin per fcc conindicati i punti contraddistinti daparticolari proprietà di simmetria


Bande di Energia di un metallo

15

Struttura a bande nell’approssimazione degli elettroni liberi per un metallo a strutturafcc ( valido per Al, Cu, Ag, ..). a è costante reticolare. Il livello di Fermi è mostrato perdiverse quantità di elettroni nella shell esterna per cella primitiva. La degenerazione diogni segmento di banda ( oltre a quella di spin) è indicata dal numero di punti sulsegmento.

Da: F. Herman, Atomic Structure, in Atomistic Approach to the Nature and Properties of Materials, WIley, NY, 1967


Struttura delle bande di energia dell’ alluminio

Struttura delle bande di energia del rame

livello di Fermi εF

16

Vettor d’onda di Fermi kF nella direzione Γ X

B. Segall, Phys Rev 125, (1962) 109

Rydberg = 13.53eV


Germanio Silicio GaAs

Bande di energia dei semiconduttori

17

Chelikowsky & Cohen, Phys Rev B14, 556 (1976)

In Si il minimo della banda di conduzione si trova vicino a X, in Ge si trova nellaposizione L mentre in GaAs in trova in Γ. Per tutti e tre i materiali a banda di valenza èdoppia: due bande con stesso massimo posizionato in G ma di diversa curvatura.


Confronto tra bande di energia in semiconduttori ed isolanti

Nei cristalli covalenti come il Si le bande sono estese e deltipo ad elettroni liberi. Il gap principale è piccolo seconfrontato con la larghezza della banda di valenza. Carattere di ionicità

frazionario dei legami

Si 0.00Ge 0.00GaAs 0.32ZnS 0.62

18

semiconduttore isolante

L’andamento da Si a KCl è fortemente legato all’aumento della ionicità delmateriale. Nel KCl la completezza del trasferimento elettronico da un atomo (K)all’altro (Cl) porta a potenziale ionico molto elevato, quindi elevato bandgap (circa10eV per KCl contro circa 1eV per Si) ed ad un elevato appiattimento delle bande .

Cohen & Heine, Solid State Physics 24, 38 (1970)


Nei metalli la correzione di potenziale periodico debole ( apertura dei gaps incorrispondenza del bordo zona ) è molto piccola (vedi caso dell’alluminio allatrasparenza 24 ). La correzione dovuta al potenziale periodico diventa forte neisemiconduttori ed isolanti, in particolare dipende dalla ionicità del legame.

In generale nell’intorno del massimo della banda di valenza e del minimo dellabanda di conduzione le bande paraboliche sono in accordo con l’approssimazionedi potenziale periodico debole.

Nell’intorno del bordo zona le bande tendono ad avere pendenza nulla, in accordocon il modello di potenziale periodico debole.

Osservazioni

19

Nel caso il massimo della banda di valenza(Ev) ed il minimo della banda di conduzione(Ec) si trovi stesso k il materiale si dice aGAP DIRETTO (GaAs) altrimenti è a GAPINDIRETTO (Si, Ge). Il gap delsemiconduttore è definito come Eg = Ec- Ev

k

con il modello di potenziale periodico debole.

GAP Diretto ed Indiretto


Un fotone di energia E = Eg o superiore può promuovere un elettrone nella banda diconduzione se il semiconduttore è a gap diretto. Nel caso di un semiconduttore a gapindiretto è necessario che l’elettrone, oltre all’energia , vari il suo momento e quindi ilsuo numero d’onda k. Facciamo l’esempio del silicio.

Il fotone di energia Eg nel silicio ha momento pari a p = hk= E/v con v = c/εr, quindi :

17

834

19

108.610310054.1

1210602.112.1 −

−

−

=== mxxx

xxx

c

Ek

rg

fotoneh

ε

Per passare dal massimo della banda di valenza al minimodella banda di conduzione il vettor d’onda dell’elettrone devepassare dal punto in Γ con k = 0 ad un punto vicino a X, dovek’ ~ π/a. Per il silicio a = costante reticolare = 5.43 Å. Perciò il

20

k’ ~ π/a. Per il silicio a = costante reticolare = 5.43 Å. Perciò ilsalto di gap richiede un ∆k ~ 5.8 x109 m-1.

Il fotone di energia Eg è invece in grado di trasferire solocirca l’1.2% della variazione di k necessaria all’elettrone perfare il salto di banda, per questo senza un altro “agente”(fonone) in grado di fornire il ∆k richiesto la transizione nonha luogo.

Questo problema non si presenta nel caso deisemiconduttori a gap diretto come il GaAs


Superfici ad energia costante nei semiconduttori.

Nel caso dei semiconduttori a T > 0K la conduzione è data da

quegli elettroni che vengono promossi dalla banda di valenza

alla banda di conduzione. In questo processo essi lasciano

degli stati vacanti, le lacune, in banda di valenza, che anch’esse

21

contribuiscono alla conduzione. Il livello di Fermi si trova

all’interno del gap proibito. In questo caso perciò, per studiare

le proprietà di trasporto, siamo interessati alle superfici ad

energia costante nelle vicinanze del minimo della banda di

conduzione e del massimo della banda di valenza.


Ge: Minimo della banda di conduzione in L

Si: Minimo della banda di conduzione vicino X

22

Bande di energia per Si e Gecon valori dei gap diretti ed indiretti


Superfici ad energia costante nei pressi del minimo della banda di conduzione per Ge, Si, GaAs

23

GaAs: la BC è in k = 0 quindi la superficie a energia costante è una sfera. In Si la

superficie a energia costante è localizzata un po’ prima dei punti X lungo le

direzioni {100}, in Ge essa è localizzata sugli otto punti L. Sia per Ge che per Si

si tratta di ellissoidi di rotazione.


La massa efficace per il GaAs è unica per le tre direzioni di k: m = 0.067me.

Per Si e Ge si hanno due valori di massa efficace: la massa longitudinale

ml e quella trasversale mt.

Posso scrivere perciò, per Si e Ge:

+

+=

l

z

t

Yx

m

k

m

kkk

222

2

2)( hε

Masse efficaci degli elettroni in BC

24

lt mm2

ml = 0.98me

mt = 0.19me

ml = 1.59me

mt = 0.089me

Si Ge


Masse efficaci delle lacune in BV

Le bande di valenza di Si, Ge, GaAs, sono centrate in K = 0. La massa

efficace è la stessa nelle tre direzioni kx, ky, kz. E la superficie a energia

costante è una sfera. In tutti e tre i materiali le bande di valenza sono due,

avremo quindi due masse efficaci, una pesante e l’altra leggera.

SiGe GaAs

25

mlh = 0.044me

mhh = 0.28me

mlh = 0.16me

mhh = 0.48me

mlh = 0.082me

mhh = 0.45me


Statistica dei semiconduttori

Poiché tutti gli stati in banda di valenza sono occupati la conduzioneelettrica può avvenire solo se alcuni elettroni di valenza vengonopromossi in banda di conduzione superando il gap proibito.

ε ε

26

k

εg

Gap diretto

k

εg

Gap indiretto


In generale il livello di fermi εF giace nel gap proibito e solo la coda delladistribuzione di Fermi Dirac f(ε) si troverà nella banda di conduzione. Inquesto caso il semiconduttore è NON DEGENERE.

Nel caso in cui il numero di elettroni in banda di conduzione (BC) siamolto elevato il livello di Fermi può invece trovarsi all’interno della BC, inquesto caso il semiconduttore si dice DEGENERE (analogo il caso BV).

Semiconduttori DEGENERI e NON

εε f(ε)

27

k

ε

εF

Degenere

k

ε

εF

Non degenere

1

f(ε)

εεF εcεv

Caso non degenere


Nel caso di semiconduttore non degenere la statistica di Fermi divieneCLASSICA poiché è valida l’approssimazione:

TK

TK

B

F

B

F

e

e

f

εε

εεε

−−

−

+

= ~

1

1)(

con ε > εc

Caso non degenere

28

TKBe +1

Questa approssimazione di solito richiede che εF < 3 - 5 kBT sotto a εc.


Abbiamo già detto che la conducibilità elettrica dipende dai livelli occupati inbanda di conduzione (elettroni di conduzione) e dagli stati vuoti in banda divalenza (lacune). Poiché entrambi si trovano ove ε(k) può essereapprossimato ad una parabola possiamo dapprima considerare la funzione dioccupazione dell’elettrone libero :

( )1

24

)()()(2/3

3

+

==−

TKB

F

e

dm

h

VdfgdN

εε

εεπεεεε

Densità di stati in banda di conduzione

29

1+e

ε

)(εg

εc

Con andamento:

e minimo di energia all’orlo della banda di conduzione εc.


k

ε

Intorno al minimo della BC l’andamento di ε(k) èparabolico con concavità positiva, all’aumentare diε la funzione è una parabola con concavitànegativa, quindi la g(ε) diviene:

εd

dn Stati occupati in BCεd

dn Stati liberi in BV

30

εmax εεc

La densità di livelli occupati in BC è: ∫∫ ==max

)()()()(

ε

ε

εεεεεc

dfgdnn

con:

1

12)()(

2/3

32

+

−⋅⋅⋅==

−

TK

c

d

B

F

e

dm

V

dNdn

εε

εεε

π

εε

h

εv εεmin


md è detta massa effettiva della densità degli stati in BC, essa tiene conto dellacurvatura della banda di conduzione al minimo considerando sia l’anisotropiadella massa efficace che la molteplicità dei minimi della BC.

( )3/1

23/2

ltCd mmMm =

Nel caso del silicio ove MC = 6 ( sei punti X ) md = 1.08me.

31

∫∞

−

+

−⋅⋅⋅=

C B

F

TK

c

d

e

dmn

ε

εε

εεε

πε

1

12)(

2/3

32h

Dobbiamo risolvere l’integrale:

Definiamo:TKB

εη =

TKB

CFF

εεη

−=


∫∞

− +

=

0

2/3

22 1

2

2

1)(

Fe

dTKmn Bd

ηη

ηη

πε

h

calcoliamo l’integrale da 0 a ∞ ( ponendo εV = 0 non ci sono elettroni tra εV e εC):

Definendo:

2/3

2

2

4

1

=

hπ

TKmN Bd

CDENSITA’ EFFETTIVA DI STATI INBANDA DI CONDUZIONE

(*)

32

4 hπ BANDA DI CONDUZIONE

È la densità di elettroni in banda di conduzione che si avrebbe se tutti glielettroni di conduzione avessero energia ε = εc. Se n << NC il semiconduttoreè non degenere, se n >> Nc esso è degenere.

L’integrale (*) si risolve valutando l’integrale di Fermi-Dirac.


Integrale di Fermi-Dirac

∫∞

−+=

01

2)(

xy

m

me

dyyxF

π

Per m = ½, y = η , x = ηF e considerando il

semiconduttore NON DEGENERE abbiamo:

33

FeF F

ηη =)(2/1

e quindi:

TK

CB

CF

eNn

εε −

=

Concentrazione di elettroni liberi in banda di conduzione


Analogamente per le lacune in banda di valenza abbiamo:

Con :

TK

VB

FV

eNp

εε −

=

Concentrazione di lacune libere in banda di valenza

34

Con :

2/3

2

2

4

1

=

hπ

TKmN Bh

V

DENSITA’ EFFETTIVA DI STATI IN BANDA DI VALENZA


Densità effettiva di stati in Si, Ge, GaAs a T = 300K

NC NV

Si

Ge

cm-3 cm-3

2.8 x 1019

1.04 x 1019

1.04 x 1019

6.0 x 1018

35

GaAs 4.7 x 1017 7.0 x 1018


Semiconduttore intrinseco

k

ε

a

π−

a

π

εg

E’ il caso in cui la concentrazione di elettroni inbanda di conduzione è uguale allaconcentrazione di lacune in banda di valenza:

n = p = ni = concentrazione intrinseca di portatori

FVCF εεεε −−

36

ka a

TK

V

TK

CB

FV

B

CF

eNeN

εεεε −−

=otteniamo:

Ricaviamo l’espressione del livello di Fermi:


+

+=

C

VBVCF

N

NTKln

22

εεε

Se poniamo εV = 0 otteniamo εc = εg ed2

g

F

εε ~

εC

εF

Livello di Fermi nel semiconduttore intrinseco

ε

37

εV

εF

Otteniamo anche l’espressione per la concentrazione

intrinseca ni, considerando la legge di azione di massa: n·p = ni2

Allora: TK

VC

TK

VC

TK

V

TK

CiB

g

B

CV

B

FV

B

CF

eNNeNNeNeNn

εεεεεεε−

−−−

==⋅=2

εg


TK

VCiB

g

eNNn2

ε−

=

concentrazione intrinseca di portatori liberi

ni (cm-3) (eV)εg

Valori di ni ed εg a T = 300K in Si, Ge, GaAs

38

Si

Ge

GaAs

1.45 x 1010

2.4 x 1013

1.79 x 106

1.12

0.66

1.424

Grande variazione perché dipendenza esponenziale da ½ εg!


Dipendenza dalla temperatura di εg

In generale εg varia debolmente con la temperatura e la pressione.

Per Si, Ge, GaAs vale la legge:

β

αεε

+−=

T

TT gg

2

)0()(

Il gap diminuisce di circa 5-10meV

39

Il gap diminuisce di circa 5-10meV

andando da T = 0 a T = 300K. Per

altri materiali, come il PbS,

abbiamo invece un aumento di εg

con la temperatura.


Poiché Nc ed Nv dipendono da T 3/2

TK

iB

g

eTn22

3 ε

α−

Dipendenza dalla temperatura di ni

Il grafico a lato sottolinea la

40

Il grafico a lato sottolinea la

forte dipendenza di ni dalla

temperatura.


Impurezze estrinseche intenzionali

E’ possibile introdurre intenzionalmente una impurezza nelsemiconduttore per diffusione, impiantazione o trasmutazione. Taliatomi possono presentare un eccesso o un difetto di elettroni rispettoa quelli richiesti per riempire i quattro legami tetraedrici. Nel caso dieccesso si parla di DONORI, nel caso di difetto di ACCETTORI. Inentrambi casi si parla di tale impurezza come DROGANTE.

Si Si Si Si Si Si

41

Si

Si

P

Si

Si Si

Si

Si

Si

e-

Si

Si

B-

Si

Si Si

Si

Si

Si

h+

P in Si: DONORE B in Si: ACCETTORE


In generale, i droganti introducono un livello energetico permesso

vicino all’orlo della banda di conduzione (donore D) o della banda di

valenza ( accettore A ). A T = 0 il livello donore è pieno di elettroni

mentre quello accettore è vuoto, entrambe le impurezze sono neutre.

42

Aεv

εc

εA

D

εv

εcεDT = 0


Aumentando la temperatura, una frazione crescente di elettroni

localizzati negli atomi donore risultano eccitati in banda di conduzione,

l’atomo donore viene quindi ionizzato positivamente. Analogamente,

una frazione crescente di accettori catturano elettroni dalla banda di

valenza (BV), lasciando in BV una lacuna e risultando carichi

negativamente.

ε ε

43

A-

εv

εc

εA

D+

εv

εcεD

T > > 0

D → D+ + e-A + e- → A-

A → A- + h+o anche:


P

As

Sb

45

54

39

εc- εD εA- εV

[meV] [meV]

Impurezze shallow o superficiali

Sono le impurezze il cui livello energetico puòessere calcolato utilizzando il modelloidrogenoide.

Considero un atomo di P in posizione sostituzionalein Si. Il nucleo dell’ atomo di P rispetto al Si ha unacarica extra positiva +e, bilanciata da un elettrone divalenza in piu’. Possiamo trattare il potenziale diattrazione tra questo elettrone extra ed il protone

44

Droganti shallow in silicio

B

Al

Ga

In

45

67

72

16

attrazione tra questo elettrone extra ed il protoneextra nel nucleo di P come un atomo di idrogenoinserito nel reticolo cristallino del silicio. Esso èmolto piu’ debole del potenziale attrattivo in unatomo di idrogeno a causa dell’effetto di schermodegli elettroni di valenza degli atomi di silicio vicinoall’atomo P. Ne risulta un elettrone debolmentelegato che può essere facilmente ionizzato.


Energie degli stati permessi nell’atomo di idrogeno:

Raggio degli stati permessi nell’atomo di idrogeno:

Con: = ao = raggio di Bohr = 5.29 10-11 m

n = numero quantico principale; εo = costante dielettrica del vuoto.

2

2

2

02

0 nem

naae

n

hε==

222

0

41

)(2 n

meE e

nhε

−=

45

ε0

o

Per n = 1 ho energia dello stato fondamentale = -13.6eV

Passando al caso del donore nel modello idrogenoide devo considerare che:

ε0εr me m* efficace E E - Ec = ED


Energie degli stati permessi del donore :

Raggio degli stati permessi nel donore:

La correzione di massa efficace ècomplicata in Si e Ge dall’anisotropiadelle bande:

2

2

2

0

** n

ema r

n

hεε=

222

0

4 1

)(2

*

n

meE

r

Dnhεε

−=

1−

46

delle bande:

La correzione della costante dielettrica èsignificativa. Abbiamo (per bassefrequenze):

Si: εr = 11.7Ge: εr = 15.8

1

123*

−

+=

lt mmm


Risulta che:

ED viene ridotta rispetto all’idrogeno del fattore:

aD viene aumentata rispetto all’idrogeno del fattore:

2

*

rem

m

ε

*m

merε

Da Eo = -13.6 eV energia dello stato fondamentale dell’idrogenopassiamo a:

E ~ 0.030 eV ; E ~ 0.010 eV

47

Da ao = 0.529 Å raggio di Bohr passiamo a:

aSi ~ 30 Å ; aGe ~ 80 Å

EDSi ~ 0.030 eV ; EDGe ~ 0.010 eV

Da cui si ha conferma che le orbite associate a impurezze superficiali sono molto

delocalizzate. La trattazione dell’impurezza accettore nel modello idrogenoide

risulta analoga al caso donore.


Consideriamo un semiconduttore del IV gruppo il cui gap contenga livelli donori D di unatomo del quinto gruppo, in concentrazione ND, di cui ND

X occupati da un elettrone equindi neutri. Il numero di distribuzioni distinguibili degli ND

x elettroni nei livelli NDdisponibili segue la statistica di Fermi Dirac. Utilizzando la scrittura che abbiamoricavato per la distribuzione F-D e considerando nJ come ND

X e gj come ND a prima vista:

( ) !!

!

XXDDD

D

NNN

NW

−=

( ) !!

!

jjj

JJ

ngn

gW

−=

( ) !!

!

XX

XD

DDD

DN

DDNNN

NgW

−=

In realtà:

48

con gD = 2 perché ogni elettrone catturato in NDx può avere spin up o down e questo per

NDx elettroni catturati aumenta le distribuzioni distinguibili della quantità gD

NDx.Chiamo nD = concentrazione elettroni contenuti nei livelli NDx allora nD = NDx.

Con il metodo già visto (lez. 3)

Utilizzando la relazione di Stirling : e imponendo:

Inserendo i moltiplicatori di Lagrange ottengo (β =1/KT e α = - εF/KT )0

)ln(=

D

D

dn

Wd

)!ln()!ln()!ln()ln()ln( DDDDDDD nNnNgnW −−−+=

xxxx −≈ )ln()!ln(

0)ln()ln(ln =−+−++ DDDDD nNng βεα


TK

D

DD

B

FD

eg

Nn

εε −

⋅+

=1

1

Che è la concentrazione di elettroni all’interno deldonore. La concentrazione di donori ionizzati, ND

+

è perciò data da:

TK

D

DDDD

B

DF

eg

NnNN

εε −

+

+

=−=

1

e quindi:

49

Notiamo che il livello donore occupato con un solo elettrone è il prodotto finale dellareazione D+ + e → Dx ed è tale da contenere un solo elettrone spaiato ( il quinto divalenza ).


Nel caso di un accettore, è prima che la reazione di cattura Ax + e → A- avvenga

che il livello è neutro e contiene un solo elettrone spaiato ( uno dei tre di valenza ).

La degenerazione del livello nel caso accettore è pari a 4 perché il livello accettore

può accettare un elettrone sia con spin up che con spin down (2) inoltre abbiamo

due bande degeneri nella posizione k = 0 per la banda di valenza ( caso di Si, ge,

GaAs). Imponendo : con:

otteniamo:

−= AA Nn0)ln(

=A

A

dn

Wd

N

50

otteniamo:

TK

A

AAA

B

FA

eg

NNn

εε −

−

⋅+

==

1


TK

vB

vF

eNp

εε −−

⋅=TK

CB

FC

eNn

εε −−

⋅=Con:

La condizione di neutralità del semiconduttore si scrive:

n + NA- = p + ND

+

51

concentrazioni rispettivamente di elettroni liberi in banda di

conduzione e di lacune in banda di valenza.

TK

V

KTD

D

KTA

ATK

CB

FV

DFFA

B

FC

eN

eg

N

eg

NeN

εε

εεεε

εε −

−−

−−

⋅+

+

=

+

+⋅

11


Semiconduttore tipo n

n + NA- = p + ND

+

Il drogante è donore, la presenza di accettori è trascurabile, p èportatore minoritario.

n ~ ND+

DD

DF

NNn

εε −

+ ≈≈

Per semiconduttore non degenere posso usare l’espressione classica

52

Inoltre noto che: TK

CTK

C

TKTK B

DC

B

CF

B

DF

B

DF

eN

n

eN

nee

εε

εε

εεεε −

−

−−

==

TK

D

D

B

DF

eg

εε −

⋅

TK

C

D

D

B

DC

eN

ng

Nn

εε −

⋅

≈quindi:


Ottengo: TK

D

CD B

DC

eg

NNn

2

εε −−

≈

L’espressione sopra vale quando la percentuale di atomi donori

ionizzati non è ancora saturata al valore totale ND+ = ND cioè per le

basse temperature ( KBT < < εC – εD ) (*). Siamo nel REGIME DI

CONGELAMENTO DEI PORTATORI.

La frazione di donori ionizzati aumenta all’aumentare della T fino a

53

La frazione di donori ionizzati aumenta all’aumentare della T fino a

quando tutti i donori sono ionizzati. In questa regione di temperatura

intermedia si ha:

n = ND

REGIME ESTRINSECO o di SATURAZIONE

(*) n.b. nel caso di compensazione, cioè in presenza di una concentrazionenon trascurabile di atomi accettori, a basse T in realtà si ha:

TKB

DC

en

εε

α−

−

n indipendente da T


All’ulteriore aumentare della temperatura la produzione di coppie

elettrone lacuna per salto da banda di valenza a banda di conduzione

diviene sempre piu’ importante, finchè, nell’equazione di neutralità

n + NA- = p + ND

+

i contributi degli atomi impurezze accettori e donori diventano

54

i contributi degli atomi impurezze accettori e donori diventano

trascurabili. In tal caso n ~ p e siamo quindi nel REGIME INTRINSECO

TK

VCiB

g

eNNnn2

ε−

=≈


Andamento della concentrazione di portatori liberi in semiconduttore di tipo n

55

Da: S. M. Sze, Physics of Semiconducor Devices, Wyley & Sons, Singapore, 1981


Posizione del livello di Fermi nei semiconduttori drogati

Via via che avviene lo scongelamento dei portatori il livello di Fermitende a posizionarsi verso il livello drogante dominante. Infatti la

funzione di occupazione del livello f(εD) è pari a ½ per εF ~ εD (per

tipo p: εF~ εA ).

TKNeN B

CF

=

−εε

Nel regime estrinseco in semiconduttore tipo n, da n = ND otteniamo:

=− CNTK lnεε

56

D

TK

C NeN B =

In regime intrinseco invece abbiamo: εF ~ ½ εg.

=−

D

CBFC

N

NTK lnεε

Analogamente per il semiconduttore estrinseco di tipo p:

A

TK

V NeN B

FV

=

−εε

=−

A

VBVF

N

NTK lnεε


La posizione di εF nel gap proibito dipende quindi sia dalla concentrazione deldrogante dominante che dalla temperatura.

57

Da: S. M. Sze, Physics of Semiconducor Devices, Wyley & Sons, Singapore, 1981


Documents

Fisica dello Stato Solido - UniFI · h2 i,j = x,y,z k Prof. Mara Bruzzi – Lezione n. 9 - Fisica dello Stato Solido Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.13-14. Sommerfeld