Fisica dello Stato Solido - Università di Firenze. · collisioni: eventi istantanei che cambiano bruscamente la sua ... Questo corrisponde a delle funzioni ϕϕϕ in forma di onde

Fisica dello Stato Solido

Lezione n.7

Modelli di conduzione di Drude e Sommerfeld

Lezione n. 7 – Modelli di conduzione Drude e Sommerfeld – Fisica dello Stato Solido

Mara Bruzzi - Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.13-14

1

Modelli di conduzione di Drude e Sommerfeld

Corso di Laurea Magistrale in

Ingegneria Elettronica/Biomedica

a.a.13-14

http://www.de.unifi.it/FISICA/Bruzzi/fss.html

SOMMARIO

Modello di DrudeAssunzioni – derivazione della legge di Ohm – valutazione deltempo di rilassamento, della velocità, del libero cammino medio edel coefficiente di Hall – problemi del modello di Drude

Modello di SommerfeldAssunzioni – condizioni di Born Von Karman – soluzione dell’eq.



2

Assunzioni – condizioni di Born Von Karman – soluzione dell’eq.di Schroedinger per elettroni liberi – funzione degenerazione –Energia di Fermi – velocità di Fermi – energia media –

Applicazioni del modello di SommerfeldCalore specifico elettronico - libero cammino medio -conducibilità elettrica - coefficiente di Hall - conducibilità termica(legge di Wiedemann-Franz).

Joseph John Thomson(J.J.Thomson) nel 1897 scoprel’elettrone, studiando ladeflessione nei raggi catodici .

Modello di Drude



3

Nel 1900 Paul Drude (1863-1906) formula un primo modellosulla conducibilità elettrica nei metalli. Egli considera glielettroni di conduzione come un gas di particelle libere a cuiapplica la distribuzione statistica classica di MaxwellBoltzmann.

+

Assunzioni nel modello di Drude

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

L’elettrone di conduzioneinteragisce con gli ioni mediantecollisioni: eventi istantanei checambiano bruscamente la suavelocità .

1. Gli ioni nel reticolo sono disposti casualmente e sono fissi.



4

2. Nel tempo che intercorre tra collisioni successive si trascurano le interazionitra ione ed elettrone (approssimazione di elettrone libero) e tra elettrone edelettrone (approssimazione di elettrone indipendente).

3. La probabilità che e non abbia avuto collisione nel tempo t è pari a:con ττττ = tempo di rilassamento ( approssimazione di tempo di rilassamento).Allora ττττ è tempo medio tra due collisioni successive.

τ

t

eP−

=

4. La velocità di uscita dalla collisione ha direzione casuale e non correlata allavelocità prima della collisione e modulo correlato con la temperatura locale .

Derivazione della legge di Ohm nel modello di Drude

m

Fa

dt

vd==EeF −=

tm

Eedt

m

Eevv

t

−=−=− ∫0

0

.

Applico campo elettrico esterno: sugli elettroni di conduzione agirà la forza:

Per la legge di Newton: la velocità

varia, tra collisioni successive, con legge

Facendo la media otteniamo: τm

eEt

m

eEvv −>=<−>>=<<

0



5

avendo posto, per le assunzioni già viste, <v0> = 0 e < t > = ττττ ....

Definiamo mobilitàm

eτµ = coefficiente di proporzionalità tra campo

Poiché la densità di corrente per conduzione elettronica è : ><−= vneJ

Otteniamo: Em

neJ

τ2= ⇒⇒⇒⇒ EJ σ=

elettrico e velocità media.

Valutazione del tempo di rilassamento στ2

ne

m=

Nei metalli a T ambiente abbiamo, tipicamente:mΩ

=1

108σ

322

23

1049.855.63

96.810022.6−===== cm

A

zN

V

zN

A

m

V

Nn

AV

AV

ρ

Concentrazione di elettroni di conduzione in rame:

Con z = numero di elettroni di conduzione per atomo

s14830

101010911.0 −

−

≈⋅

=τ



6

s148

2196221010

)106.1(101049.8

10911.0 −

−≈

⋅⋅⋅⋅

⋅=τ

Valutazione della velocità termica

TKvvvmmv Bzyxth2

3)(

2

1

2

1 2222 =++=

Teorema di equipartizione dell’energia: ad ogni grado di libertà dellaparticella si associa un’energia pari a :

TKU B2

1=

La particella monoatomica ha tre gradi di libertà corrispondenti al moto traslazionale

con KB = Costante di Boltzmann = 1.38 10-23 J/K

m

TKv B

th

3=



7

s

mvth

5

30

23

1010911.0

3001038.13≈

⋅

⋅⋅⋅=

−

−

Valutazione del libero cammino medio

τ⋅= thvl ~ 10 Å

Il valore ragionevole del libero cammino medio, così come la spiegazione dellalegge di Ohm hanno molto contribuito ad avvalorare il modello di Drude dellaconducibilità elettrica nei metalli.

Valutazione del coefficiente di Hall

Applico campo magnetico esterno costante B lungo la direzione y e mantengouna densità di corrente costante J lungo la direzione x. Sia q la caricaresponsabile della conduzione. Su di essa agisce la forza di Lorentz:

y

x

z

B

J

BvqFL ×=

La forza per unità di carica può essere espressacome campo elettromotore:

+ + + + + + +

- - - - - - - - - -

Bvq

FE L

H ×==EH Eel



8

FL

q

Tale campo è noto come campo di Hall. Se q > 0EH risulta concorde all’asse z, mentre ha versoopposto se q < 0. All’equilibrio compare uncampo elettrostatico Eel uguale ed opposto adEH. Esso si può spiegare considerando che EHprovochi una deflessione nel moto delle cariche,tendendo ad accumulare cariche di segnoopposto sulle due facce ortogonali a EH stesso.

B

J+ + + + + + +

- - - - - - - - - -

FL

q > 0

q < 0

EH Eel

vneJ −= BJne

E H ×−=1

otteniamo .

Si definisce coefficiente di Hall :

Nel caso la conduzione sia dovuta ad elettroni, ricordando che:

yx

HH

BJ

ER =

neRH

1−=da cui: .

Problemi nel modello di Drude

1. Non spiega la grande variabilità della conducibilità elettrica osservata



9

1. Non spiega la grande variabilità della conducibilità elettrica osservatasperimentalmente tra i diversi materiali o osservata per uno stesso materiale a Tdifferenti

2. Non spiega come certi materiali possano avere valori positivi di RH

3. Non spiega il diverso comportamento elettrico tra metalli ed isolanti.

Una prima correzione al modello di Drude si effettua considerando che gli elettroniseguono la statistica quantistica di Fermi Dirac.

Modello di Sommerfeld

Drude applica la teoria cinetica dei gas agli elettroni di conduzione, non tenendo contoche:

a. Le densità elettroniche sono in realtà molto più elevate di quelle di un gasrarefatto in condizioni atmosferiche di pressione e temperatura;

b. Gli elettroni obbediscono al principio di esclusione di Pauli, perciò devonoessere descritti mediante la statistica quantistica di Fermi-Dirac.

c. Gli elettroni devono essere descritti con funzioni d’onda ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(r) soluzionidell’equazione di Schrödinger:



10

dell’equazione di Schrödinger:

Il modello elaborato da Sommerfeld considera queste proprietà del gas dielettroni liberi confinati nel metallo.

)()(2 2

2

2

2

2

22

rrzyxm

εϕϕ =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−h

)()(

2 2

22

rx

r

mεϕ

ϕ=

∂

∂−h

Soluzione generale dell’equazione:

è la autofunzione: ikxikxBeAex

−+=)(ϕ con2

2

h

εmk = .

Equazione di Schroedinger per gli elettroni liberi



11

Nel caso tridimensionale:rkirki

BeAer⋅−⋅ +=)(ϕ

somma di due onde piane, progressiva e regressiva, di vettor d’onda k.

Condizioni di Born Von Karman

Consideriamo per semplicità il materiale come un cubettomacroscopico di lato L i cui spigoli sono assi di riferimento cartesiano. Segli elettroni sono confinati nel materiale allora le autofunzioni ϕϕϕϕ si annullanosulle facce del cubo. Questo corrisponde a delle funzioni ϕϕϕϕ in forma di ondestazionarie, per le quali il valor medio del momento è nullo.

Nella descrizione dei fenomeni di trasporto è però conveniente



12

),,(),,(),,(),,( LzyxzLyxzyLxzyx +=+=+= ϕϕϕϕ

disporre di autofunzioni in forma di onde progressive che descrivono ilmoto di un elettrone in una direzione determinata. Queste condizioni sipossono ottenere imponendo le condizioni al contorno periodiche o di BornVon Karman:

Applico le condizioni di B-V-K e ottengo la quantizzazione del vettor d’onda:

)( Lxikxik xx ee+=

)( Lyikyik yy ee+

=)( Lzikzik zz ee

+=

1=== LikLikLik zyx eee

L

nk

x

x

π2=

L

nk

y

y

π2=

L

nk

z

z

π2=; ; .



13

Lx

Ly

Lz

con nx, ny, nz numeri interi.

I valori permessi di k sono perciò multipli diL

π2.

Per ogni valore permesso di k si ha livello energetico:m

k

2

22h

=ε .

( ) επ

ε2/13

32

4)( m

h

Vg =

Numero di valori permessi di energia tra εεεε ed εεεε + dεεεε

Valutazione della funzione di degenerazione g(εεεε)

Nella lezione n. 3 abbiamo calcolato la funzione di degenerazione g(εεεε) per un gas ideale in un recipiente chiuso di volume V:

Nel modello di Sommerfeld gli elettroni di conduzione sono trattaticome gas di particelle libere, quindi la funzione di degenerazione è lastessa, essa viene moltiplicata per 2 perché ogni stato permesso puòcontenere elettroni con spin up o down:



14

contenere elettroni con spin up o down:

( ) επ

ε2/13

32

8)( m

h

Vg =

Poiché per gli elettroni vale il principio di esclusione di Pauli perottenere la funzione di occupazione dobbiamo considerare ladistribuzione quantistica di Fermi Dirac:

1/)( +

=− Tk

ii

BFie

gn

εε

Considerando una distribuzione quasi continua di energieotteniamo:

( )1

28 2/3

3

+

=−

TKB

F

e

mh

V

d

dnεε

επ

ε

1

)()(

+

=−

TKB

F

e

g

d

dnεε

ε

ε

ε

T = 0 K

g(E) g(E)T >> 0 Kεd

dn

εd

dng(ε) g(ε)



15

fF(E,T) g(E) g(E)

fF(E,T)

T >> 0 Kεd εdg(ε) g(ε)

εεFεεF

l’integrale sull’energia di dn/dεεεε è pari al numero totale N di elettroni:

ε

Energia di Fermi

∫∫∞

−

∞

−

+

=

+

=0

3

3

01

28

1

)(

TKTK B

F

B

F

e

d

h

mV

e

dgN

εεεε

εεπεε



16

a T= 0 K:

3/22 3

8

=

πε

n

m

hF

∫ ===F

Fh

md

h

mV

V

Nn

ε

επ

εεπ

0

23

3

3

3

3

3

21628

Otteniamo l’energia di Fermi in funzione della concentrazione di elettroni di conduzione:

metallo EF (eV) TF (K)

Li 4.7 5.5⋅104

Na 3.1 3.7⋅104

K 2.1 2.4⋅104

Cu 7.0 8.2⋅104

Ag 5.5 6.4⋅104

Au 5.5 6.4⋅104

TF = EF /kB

Energia media del gas di elettroni di

conduzione a T = 0 K:

Definiamo laTemperatura di Fermi :

Energia di Fermi di alcuni metalli



17

<εεεε>

εεF

F

F

F

F

F

dC

dC

εε

ε

εε

εεε

εε

ε

5

3

3

25

2

23

25

0

0 ==>=<

∫

∫

Li

Na

4.6 1022

2.5 1022

1.1 108

0.9 108

1.3 108

1.1 108

4.7

3.1

5.5 104

3.7 104

n [cm-3] εεεεF [eV] kF [cm-1] vF [cm/s] TF [K]

Tabella riassuntiva parametri modello di Sommerfeldper i metalli

mv F

F

ε2=

2

2

h

F

F

mk

ε=Definiamo velocità di Fermi: e vettor d’onda di Fermi:



18

Na

K

Cu

Ag

Au

2.5 1022

1.34 1022

8.50 1022

5.76 1022

5.90 1022

0.9 108

0.73 108

1.35 108

1.19 108

1.20 108

1.1 108

0.85 108

1.56 108

1.38 108

1.39 108

3.1

2.1

7.0

5.5

5.5

3.7 104

2.4 104

8.2 104

6.4 104

6.4 104

APPLICAZIONI DEL MODELLO DI SOMMERFELD

Il successo di questo modello è notevole perché consente di affrontarealmeno in prima approssimazione lo studio delle proprietàelettroniche dei metalli in base alle proprietà ed al comportamentoclassico dell’elettrone singolo. Vediamo nel seguito alcunesignificative proprietà dei metalli che possono veniresoddisfacentemente interpretate sulla base del modello diSommerfeld:

1. Calore specifico



19

2. Libero cammino medio

3. Conduttività elettrica e coefficiente di Hall

4. Conducibilità termica

La meccanica statistica classica ( teorema di equipartizione dell’energia )prevede che la particella puntiforme abbia energia pari a :

TKU B2

3= con KB = Costante di Boltzmann = 1.38 10-23 J/K

Contributo elettronico al calore specifico dei solidi a volume costante

Quindi la capacità termica di una mole di gas perfetto monoatomico è:



20

Quindi la capacità termica di una mole di gas perfetto monoatomico è:

AVB

V

V NKT

UC

2

3=

∂

∂=

⇒⇒⇒⇒ Cv indipendente dalla temperatura. Drude applica la teoria cinetica dei gasperfetti agli elettroni di conduzione del metallo, prevedendo un calore specificoelettronico indipendente da T.

AVmoli NnN =

ε

εd

dn

kBT

εF

kBT

Nel modello di Sommerfeld si considerainvece un gas di fermioni. In questo casosolo gli elettroni con energia vicina a εεεεFacquistano un’energia pari a KBT venendoeccitati termicamente. La quantità di elettronieccitati rispetto al totale N è:

B

F

FK

Tε

=con

l’energia di questi elettroni è:

F

FT

TNN ≈

2T

NKTK

TNU B=≈

γγγγ

mJ/(mole K)

AVmoli NnN =



21

Quindi il contributo al calore specifico molare degli elettronidipende linearmente dalla temperatura:

TT

UC

V

V γ=

∂

∂=

l’energia di questi elettroni è: 2T

T

NKTK

T

TNU

F

B

B

F

=≈Li

Na

Cu

Ag

Au

Fe

1.63

1.38

0.695

0.646

0.729

4.98

[ ]∫∞

−=∆0

00 )()0()( εεε dgfTfU

Seguendo un ragionamento quantitativo possiamo considerare ilfatto che l’energia interna U sia la somma di quella a T = 0K, paria U0 = N <εεεε> = 3/5 NεεεεF e del contributo ∆∆∆∆U dovuto alle variazionicausate dalla temperatura nella popolazione degli stati elettronici:

con:

1

1)(0

+

=−

TKB

F

e

Tfεε



22

0

( )∫∞

−=∆0

00 )0()()( εεε dfTfgU F

Poiché il termine in parentesi quadra è nullo quasi dovunque adeccezione che in una ristretta regione vicina ad εεεεF, possiamo porre:

1+TKBe

poniamo E = εεεε – εεεεF e scriviamo:TK

E

Be

fTf−

+

−=−

1

1)0()( 00

per: ε < εF

TK

E

Be

fTf

+

=−

1

1)0()( 00

per: ε > εF

allora scegliendo εεεεF comeorigine della scala delleenergie, otteniamo:

∫∞

+

=∆01

)(2

TK

EF

Be

dEEgU ε

L’integrale in questa espressione è noto. In definitiva si ha che l’energia interna in



23

L’integrale in questa espressione è noto. In definitiva si ha che l’energia interna infunzione della temperatura ha l’espressione:

222

6)()0(

5

3)( TKgNTU BFF

πεε +=

ed il calore specifico elettronico avolume costante risulta:

TKgT

UC BF

V

V

22

)(3

επ

=∂

∂=

il calore specifico elettronico dipende direttamente dalla densitàdegli stati sulla superficie di Fermi g(εεεεF) ed è lineare in T:

TTKgC BFV γεπ

== 22

)(3

In realtà vedremo più avanti ( lezione 13 ) che il calore specifico risente

anche del contributo delle vibrazioni reticolari che dipendono da T3.



24

CV = AT3 + γγγγ T

Cammino libero medio nel modello di Sommerfeld

Riprendiamo il concetto di libero cammino medio visto nel modello di Drude.Alla velocità termica nel modello di Sommerfeld bisogna sostituire la velocitàdi Fermi:

mv F

F

ε2=

che è maggiore di vth di un fattore:TKB

F

3

2ε.

τ⋅= Fvl ~ 100 ÅSi ottiene allora:

corrispondente ad una maggiore delocalizzazione elettronica.



25

corrispondente ad una maggiore delocalizzazione elettronica.

In effetti, misure su metalli come rame, argento, .. fornisconoeffettivamente valori di libero cammino medio dell’ordine delcentinaio di Å , in accordo con la teoria di Sommerfeld.

Conduttività elettrica e coefficiente di Hall

kp h=

A T = 0 gli stati occupati da elettroni sono tutti quellidentro la sfera di Fermi e la velocità nel gas difermioni è compresa tra 0 e la velocità di Fermi vF.

All’istante t = 0 applichiamo una forza esterna F. Inassenza di collisioni essa fa variare la distribuzioneiniziale dei vettori k, della quantità δδδδk tale che:

Gli elettroni hanno velocità legata al vettor d’onda k conlegge:

m

khv

π2=

kx

ky

kF

kz

kyF



26

dt

kd

dt

pdF

)(δh==

iniziale dei vettori k, della quantità δδδδk tale che:

La sfera di Fermi, prima centrata nell’origine, ora risulta centrata in δδδδk.

kxδδδδk

kz

m

kv

δδ

h=

e la velocità dell’elettrone subisce la variazione:

(*)

kx

ky

δδδδk

F

Notiamo che nel processo di variazione di k sono coinvolti solo gli elettroniche hanno |k| ~ |kF|.:



27

L’effetto delle collisioni tra ioni ed elettroni ipotizzato nel modello di Drude puòessere descritto pensando che, oltre alla forza F, sull’elettrone agisca una forza diattrito viscoso direttamente proporzionale alla variazione di velocità δδδδv einversamente proporzionale al tempo medio tra due collisioni successive ττττ.... La leggedi Newton diviene quindi:

dt

vdm

vmF

)(δ

τ

δ=− v

dt

dmF δ

τ

+=

1che scritta evidenziando la δδδδv diviene:

Equazioni del moto in presenza di E, B

[ ]BxvEeF δ+−=

[ ]BxvEevdt

dm δδ

τ+−=

+

1

Risolvendo il prodotto vettoriale otteniamole equazioni per le componenti di δδδδv:

[ ]yzxx vBEevdt

dm δδ

τ+−=

+

1

[ ]xzyy vBEevdt

dm δδ

τ−−=

+

1

Siano: B = (0,0,Bz) ; E = (Ex, Ey,Ez). La forza sull’elettrone è:

L’equazione generale del moto è:



28

[ ]xzyy vBEevdt

m δδτ

−−=

+

zy eEvdt

dm −=

+ δ

τ

1

ωωωωc = pulsazione ciclotronica dell’elettrone libero:m

eBc =ω

Definisco:

Nel caso stazionario:

xcyy vEm

ev δτω

τδ +−=

ycxx vEm

ev δτω

τδ −−=

zz Em

ev

τδ −=

Regime stazionario

0)(

=dt

vd δ

E le equazionidivengono:



29

( )( )

ycx

c

x EEm

ev τω

τω

τδ −

+−=

21

1

( )( )xcy

c

y EEm

ev τω

τω

τδ +

+−=

21

1Con soluzione:

ZZ Em

ev

τδ −=

Siano: m

en τσ

2

0 = xx vneJ δ−=yy vneJ δ−=; ; .

( ) ( )

+

−

+=

z

y

x

c

c

c

cz

y

x

E

E

E

J

J

J

22

0

100

01

01

1τω

τω

τω

τω

σ

Allora la densità di corrente è il vettore di espressione:

;

.

ZZ vneJ δ−=



30

( ) zcz

Per B = 0 ωωωωc = 0 e l’equazione si riduce a: J = σσσσ0 E

Equivalente all’espressione di Drude, con : vneJ δ−=

Caso 1. Legge di Ohm

Caso 2. Valutazione del coefficiente di Hall

Le formule appena viste si applicano al caso dell’effetto Hall, dove la geometriadell’esperimento impone che B = Bz e J = JX. Quindi JY = Jz = 0 e :

z

x

y

J+ + + + + + +

- - - - - - - - - -

q < 0

EH Eel

0=yvδ xcy EE τω−=

xz

y Em

eBE τ−=

B

( )( ) ee ττ 1

da cui si ottengono facilmente le relazioni:

e:



31

- - - - - - - - - -

FL

xzyH JBne

EE1

−==

( )( )( ) xxcx

c

x Em

eEE

m

ev

ττω

τω

τδ −=+

+−=

2

21

1

Otteniamo l’espressione del campo di Hall:

neRH

1−=e quella del coefficiente di Hall: .

.

Li

Na

Cu

Ag

Au

+ 1.3

+ 0.9

+ 0.8

+ 0.8

+ 0.7

RH(sperim) / RH(teorico)

Confronto tra coefficiente di Hall misurato e calcolato dalla teoria di elettrone libero

neteoricoRH

1)( −=

Buon accordo per metalli monovalenti( alcalini e nobili ). Per Be, Cd, W* ilsegno dell’effetto Hall è positivo,opposto a quello previsto perconduzione di elettroni. Questoproblema verrà risolto solo utilizzandola teoria delle bande, ove gli stati

xz

y

HJB

EsperimR =)(



32

Au

Be

Cd

W

+ 0.7

- 5.0

- 0.5

- 1.2

la teoria delle bande, ove gli stativacanti ( detti lacune) prossimi allacima di una banda di energie perelettroni si comportano come se dotatidi carica positiva. Notiamo che leconfigurazione elettroniche esternevedono in Be, Cd, W un numero dielettroni pari negli orbitali s .

Be 1s2 2s2 Cd (Kr) 4d105s2 W (Xe) 4f145s46s2

Conducibilità Termica

Applicando ad un gas di elettroni liberi un gradiente termicoδδδδT/δδδδx si ha un flusso di corrente termica jth cioè una quantità dicalore che attraversa nell’unità di tempo l’unità di superficie : x

TKjth

∂

∂−=

La situazione è strettamente analoga a quella della conduzioneelettrica . Si può mostrare che la conducibilità termica K puòvenire espressa nella forma:

TKm

nK B

e

22

3

τπ=



33

Se il tempo di rilassamento che caratterizza i fenomenidi conduzione elettrica e termica è lo stesso il rapportotra conducibilità termica ed elettrica è:

LTTe

KK B =

=

22

3

π

σ

LEGGE DI WIEDEMANN-FRANZCon L numero di Lorenz: L = 2.445x10-8 WΩΩΩΩ/K2

Per i metalli a temperatura non troppo bassa il rapporto tra la conducibilità termica edelettrica è proporzionale a T, con un coefficiente di proporzionalità, L, indipendentedal particolare metallo.

Il modello di Sommerfeld descrive abbastanza bene le

proprietà elettriche dei metalli (in particolare quelli del I

gruppo ed i metalli nobili). Non è però in grado di

descrivere le fondamentali differenze tra metalli

semiconduttori ed isolanti. Il modello deve essere affinato



34

tenendo conto del potenziale periodico dovuto agli ioni

presenti nei siti reticolari → Teoria delle bande.

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